Esercizi Svolti Analisi 2
December 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ANALISI VETTORIALE — ESAME SCRITTO DEL 14/5/2014 Esercizio 1 Determinare Esercizio Determinare,, al variare variare di α α funzione f funzione f ((x, y ) = x y .
||
∈ ]0, ]0, 1], in quali punti dell’asse x `e differenz differenziabil iabilee la
Risposta Per Per x = 0 la funzione non ´e derivabile derivabile rispetto alla alla y quindi a maggior ragione non `e
differenziabile. Per x Per x = = y y = 0 applicando la definizione di differenziabilit`a si verifica che h k f (h, k) f (0, (0, 0) = 0 = lim lim (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 h2 + k 2
| √ −
dato che
√ | || |
|
√ h|h2||+k k| 2 ≤ |h|.
Esercizio 2 Data 2 Data la funzione f (x, y) = a( a(x2
− 1) + 3xy 3xy + + y y 3 :
1. si dimostri che, per ogni a, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y = g = g((x) in un intorno di (1, (1, 0); 2. si calcoli calcoli a in modo che g che g (x) abbia in in x = 1 un punto critico . Risposta La funzione funzione f (x, y) `e un polinomio e quindi di classe classe C ∞ . Si verifi verifica ca che che f (1, (1, 0) = 0 e che f y (1 (1,, 0) = 3. Applic Applicand andoo il Teore Teorema ma del Dini si deduce deduce quindi quindi che che f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione funzione y = = g g((x). La derivata prima di g di g((x) `e data dalla formula: g (x) =
− f f ((x,x, gg((xx)))) x y
da cui si deduce che g (1) = 2a/ 2a/33 e quindi si ha un punto critico se e solo se se a = 0. Esercizio 3 Si 3 Si consideri la successione f n (x) =
n : x + + n n
1. si studi la convergenza convergenza puntuale puntuale ed uniforme uniforme della succession successionee nell’in nell’interv tervallo allo [0, [0 , a] con a con a > 0. 2. si studi la conver convergenza genza uniforme uniforme della succession successionee nell’insieme nell’insieme [0, [0,
∞).
Risposta La successione converge converge puntualmente a f a f ((x) = 1 per ogni x ogni x la convergenza uniforme si ha che sup x∈ [0,a]
n
x a 1 = xmax + x = n + a + a ∈[0,a] n + x
|f (x) − |
∈ R. Per quanto riguarda
e dato che
a = 0 n→∞ n + + a a lim
si ha la convergenza richiesta. In [0, [0, ) al contrario si ha
∞
x = 1 + x x x∈[0,∞) n + sup
quindi la successione non converge uniformemente. Esercizio 4 Dato 4 Dato il campo vettoriale F = (
1 xx+ y − 5y, 2 + 7x 7x) x + y 2
2
determinare l’insieme di definizione e calcolare la circuitazione del campo lungo la frontiera del dominio D dominio D = (x, y ) : 1 x2 + (y (y 3)2 4 percorsa in senso antiorario. camp o `e definito nell’insieme del piano semplicemente connesso y > x2 . Si pu puo` Risposta Il campo applicare il teorema di Stokes :
{
≤
−
≤ }
−
F τ ds ds = =
·
∂D
(rot rotF F)3 dxdy
D
Tenendo presente che (rot (rotF F)3 = 12 e che che D `e una corona circolare di centro (0, (0 , 3) e raggi 1 e 2 si ha che
Esercizio 5 Studiare 5 Studiare per quali quali α
F τ ds ds = = 12 areaD areaD = = 36 π.
·
∂D
∈ R converge l’integrale 1 x3 − sin x3 dx. 0
Risposta Si ha
xα (x3 + 2)
x3 sin x3 xα (x3 + 2)
−
L’integrale L’integra le `e quindi convergente per α
≈ x 1 9 α−
x
→ 0.
− 9 <
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