Esercizi Svolti Analisi 2

 

ANALISI VETTORIALE — ESAME SCRITTO DEL 14/5/2014 Esercizio 1   Determinare Esercizio Determinare,, al variare variare di   α α funzione f  funzione  f ((x, y ) =  x y .

||

 ∈ ]0, ]0, 1], in quali punti dell’asse   x   `e differenz differenziabil iabilee la

Risposta   Per  Per   x = 0 la funzione non ´e derivabile derivabile rispetto alla  alla   y  quindi a maggior ragione non `e

 

differenziabile. Per x Per  x  =  = y  y  = 0 applicando la definizione di differenziabilit`a si verifica che h k f (h, k) f (0, (0, 0)  = 0   = lim lim (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 h2 + k 2

| √  −

dato che

√ | || |

|

√ h|h2||+k k| 2 ≤ |h|.

Esercizio 2 Data 2  Data la funzione f (x, y) =  a(  a(x2

− 1) + 3xy 3xy +  + y  y 3 :

1. si dimostri che, per ogni   a, l’equazione   f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y  = g  =  g((x) in un intorno di (1, (1, 0); 2. si calcoli  calcoli   a  in modo che g che  g (x) abbia in  in   x  = 1 un punto critico . Risposta   La funzione  funzione   f (x, y) `e un polinomio e quindi di classe  classe   C ∞ . Si verifi verifica ca che che   f (1, (1, 0) = 0 e che   f y (1 (1,, 0) = 3. Applic Applicand andoo il Teore Teorema ma del Dini si deduce deduce quindi quindi che  che   f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione  funzione   y  =  = g  g((x). La derivata prima di g di  g((x) `e data dalla formula: g  (x) =

− f f  ((x,x, gg((xx)))) x y

da cui si deduce che   g  (1) = 2a/ 2a/33 e quindi si ha un punto critico se e solo se  se   a = 0. Esercizio 3 Si 3  Si consideri la successione f n (x) =

  n  : x +  + n  n

1. si studi la convergenza convergenza puntuale puntuale ed uniforme uniforme della succession successionee nell’in nell’interv tervallo allo [0, [0 , a] con a con  a > 0. 2. si studi la conver convergenza genza uniforme uniforme della succession successionee nell’insieme nell’insieme [0, [0,

∞).

Risposta   La successione converge converge puntualmente a f  a  f ((x) = 1 per ogni x ogni  x la convergenza uniforme si ha che sup x∈ [0,a]

n

x   a 1 = xmax  + x   = n + a  + a ∈[0,a] n + x

|f  (x) − |

∈ R. Per quanto riguarda

 

e dato che

a  = 0 n→∞ n +  + a  a lim

si ha la convergenza richiesta. In [0, [0, ) al contrario si ha

∞

x  = 1  + x  x x∈[0,∞) n + sup

quindi la successione non converge uniformemente. Esercizio 4 Dato 4  Dato il campo vettoriale F  = (

  1    xx+ y − 5y, 2  + 7x 7x) x + y 2

2

determinare l’insieme di definizione e calcolare la circuitazione del campo lungo la frontiera del dominio D dominio  D  = (x, y ) : 1 x2 + (y (y 3)2 4  percorsa in senso antiorario. camp o `e definito nell’insieme del piano semplicemente connesso   y > x2 . Si pu puo` Risposta   Il campo applicare il teorema di Stokes :

{

≤

−

≤ }

 

 −

F τ ds ds =  =

·

∂D

  

(rot rotF F)3 dxdy

D

Tenendo presente che (rot (rotF F)3  = 12 e che  che   D  `e una corona circolare di centro (0, (0 , 3) e raggi 1 e 2 si ha che

 

 

Esercizio 5 Studiare 5  Studiare per quali  quali   α

F τ ds ds =  = 12 areaD areaD =  = 36 π.

·

∂D

∈ R  converge l’integrale    1 x3 − sin x3 dx. 0

Risposta   Si ha

xα (x3 + 2)

x3 sin x3 xα (x3 + 2)

−

L’integrale L’integra le `e quindi convergente per  α

 ≈ x  1 9 α−

  x

→ 0.

− 9 <