Esercizi Geotecnica

Politecnico di Milano Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio Insegnamento di Geotecnica 1 con Laboratorio prof. Cristina Jommi

Raccolta di esercizi tratti dai vecchi temi d’esame e classificati per argomenti a cura di Carlo Pretara – luglio 2006

Indice

CLASSIFICAZIONE DEI TERRENI .............................................................................................3 Soluzioni degli esercizi sulla classificazione dei terreni ................................................................................................. 5

FILTRAZIONE................................................................................................................................10 Soluzioni degli esercizi sulla filtrazione ........................................................................................................................ 29

STATO DI SFORZO GEOSTATICO ...........................................................................................58 Soluzione degli esercizi sullo stato di sforzo geostatico................................................................................................ 65

PROVE PER LA DETERMINAZIONE DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE ...73 Prove edometriche ........................................................................................................................................................... 73 Prove di taglio .................................................................................................................................................................. 79 Soluzione degli esercizi sulle prove di taglio ............................................................................................................ 85 Prove triassiali ................................................................................................................................................................. 89 Soluzione degli esercizi sulle prove triassiali ........................................................................................................... 99

CONSOLIDAZIONE.....................................................................................................................103 Soluzione degli esercizi sulla consolidazione .............................................................................................................. 118

SPINTE SU PARETI .....................................................................................................................126 Soluzione degli esercizi sulle Spinte su pareti............................................................................................................. 129

Classificazione dei terreni

Esercizio 1 Due campioni di sabbia vengono preparati in laboratorio utilizzando le medesime procedure e consolidati isotropicamente alla stessa pressione isotropa efficace. Il campione A ha grani arrotondati di dimensioni uniformi. Il campione B è granulometricamente ben assortito e ha grani a spigoli vivi. a) quale campione avrà l’indice dei vuoti, e, più alto a fine compressione isotropa? b) quale campione avrà maggiore resistenza al taglio? Esercizio 2 Di un campione di limo argilloso vengono forniti i seguenti valori per le proprietà indice: peso specifico delle particelle solide γs = 2.72 g/cm3 peso dell’unità di volume totale γtot = 1.40 g/cm3 indice dei vuoti e = 1.000 grado di saturazione Sr = 0.85 contenuto in acqua w = 31.25% uno dei valori forniti è inconsistente con gli altri; dire quale, e darne il valore corretto. determinare la porosità n del campione. determinare il valore del peso dell’unità di volume dello stesso campione in condizioni secche γd e in condizioni sature γsat . Esercizio 3 Un campione di sabbia (a) secca di peso Ps = 750 g, contenuta in un cilindro di volume V0 = 500 cm3, viene assoggettato a un incremento di sforzo pari a 200 kPa, e subisce una variazione di volume ΔV1 = 1%. Un identico campione di sabbia (b), sottoposto ad addensamento per vibrazione, mostra una diminuzione di volume ΔV2 = 10%. Il peso specifico delle particelle solide è pari a γs = 2.65 g/cm3. Si calcolino la porosità n e il peso dell’unità di volume γd dei due campioni originali (uguali fra loro), del campione (a) dopo l’applicazione del carico, e del campione (b) dopo vibrazione. Esercizio 4 Un campione di terreno è caratterizzato da un contenuto in acqua pari a w = 25 %, una porosità n = 0,46 ed un peso di volume dei costituenti solidi γs = 29,6 kN/m3. Si determinino il grado di saturazione Sr ed il peso totale γtot del campione. Esercizio 5 Un provino cilindrico di terreno completamente saturo (Sr = 1) di sezione A =100 cm2 viene sottoposto ad una prova di compressione in condizioni edometriche. Il provino ha una altezza iniziale di H0 =3,81 cm e un contenuto in acqua w0 = 31,40%. Al termine della prova la variazione di altezza è pari a ΔH = - 0,762 cm e il contenuto in acqua risulta wf =17,84%. Si misura il peso del provino in condizioni secche, che risulta pari a Ps = 561,8 g. Determinare:

a) il peso specifico dei grani γs; b) l’indice dei vuoti, e, nelle condizioni iniziale e finale.

Esercizio 6 Uno strato superficiale di terreno, inizialmente non saturo, raggiunge, a seguito di una pioggia intensa, le condizioni di totale saturazione (Sr = 1) con w = 22.8%. Sapendo che per il terreno in oggetto γs = 27 kN/m3, valutare: l’indice dei vuoti nelle condizioni sature; il peso totale di volume nelle condizioni sature; il peso di volume immerso. Esercizio 7 Un terreno limo-argilloso, compattato all’ottimo, ha un peso di volume allo stato secco γd = 15.5 kN/m3. Il suo contenuto in acqua è pari a w = 24%. Il peso specifico delle particelle solide è stato determinato in laboratorio e risulta γs = 26.5 kN/m3. Si determini: il grado di saturazione Sr del materiale compattato all’ottimo; l’indice dei vuoti, e; il peso di volume del terreno γsat saturato a indice dei vuoti costante; se il terreno durante la fase di saturazione rigonfiasse, il peso di volume in condizioni sature sarebbe maggiore o minore del precedente? Esercizio 8 La costruzione di un rilevato viene effettuata compattando un limo argilloso e sabbioso con un contenuto in acqua pari a w = 26.5% in modo da raggiungere un indice dei vuoti pari a e = 0.786. Sapendo che il peso specifico delle particelle solide è γs = 2.71 g/cm3, determinare il grado di saturazione Sr del terreno compattato; il peso per unità di volume totale, γtot; il peso dell’unità di volume del terreno in condizioni secche γd (Sr = 0).

Domanda 1 Dare la definizione di peso di volume totale, peso di volume immerso e peso specifico delle particelle solide.

Soluzioni degli esercizi sulla classificazione dei terreni

Esercizio 2 Ricordando che Gs =

γ s 2.72 g / cm3 = = 2.72 γw 1 g / cm3

(1)

ed essendo noti dai dati del problema i valori del grado di saturazione Sr, dell’indice dei vuoti e, e del contenuto in acqua w, è possibile facilmente verificare che risulta soddisfatta la relazione: Sr ⋅ e = Gs ⋅ w

(2)

in quanto 0,85 ⋅1 = 2.72 ⋅ 0.3125 0.85 = 0.85

(3)

Conseguentemente il valore inconsistente è quello del peso dell’unità di volume totale γtot. Poiché:

γ tot = (1 − n ) γ s + n Sr γ w

(4)

e n=

e = 0.5 1+ e

(5)

si ricava

γ tot = (1 − 0.5 ) ⋅ 2.72 + 0.5 ⋅ 0.85 ⋅1 = 1.785 g / cm3

(6)

La valutazione del peso dell’unità di volume in condizioni secche e in condizioni sature avviene impiegando la relazione (4), ove si sostituisce rispettivamente Sr = 0 :

γ d = (1 − 0.5 ) ⋅ 2.72 + 0.5 ⋅ 0 ⋅1 = 1.36 g / cm3

(7)

γ d = (1 − 0.5 ) ⋅ 2.72 + 0.5 ⋅1⋅1 = 1.86 g / cm3

(8)

e Sr = 1 :

Esercizio 3

La porosità n del terreno è data da: n=

Vv Vt − Vs = Vt Vt

(9)

avendo indicato con pedice t, v, s, rispettivamente il volume totale, della parte solida e dei vuoti. Il volume della parte solida dei due campioni risulta essere il medesimo (i due campioni sono perfettamente identici) e può essere calcolato mediante:

Vs =

Ps

γs

=

750 = 283 cm3 2.65

(10)

Nelle condizioni iniziali il volume totale dei due campioni è pari a V0 e conseguentemente: n0 =

V0 − Vs 500 − 283 = = 0.434 500 V0

(11)

Il peso dell’unità di volume si può quindi calcolare attraverso la (4), ricordando che il campione è secco ( Sr = 0 ):

γ d = (1 − 0.434 ) 2.65 = 1.5 g / cm3 0

(12)

Il primo campione di sabbia dopo l’incremento di carico avrà raggiunto un volume pari a: Vt1 = 500 ⋅ (1 − 0.01) = 495 cm3

(13)

ovvero n1 =

Vt1 − Vs Vt1

=

495 − 283 = 0.428 495

(14)

cui corrisponde un peso di volume:

γ d = (1 − 0.428 ) 2.65 = 1.516 g / cm3 1

(15)

Il secondo campione di sabbia al termine dell’addensamento per vibrazione occuperà un volume totale pari a Vt1 = 500 ⋅ (1 − 0.1) = 450 cm3

(16)

da cui n2 =

Vt2 − Vs Vt2

=

450 − 283 = 0.371 450

(17)

cui corrisponde un peso di volume:

γ d = (1 − 0.371) 2.65 = 1.667 g / cm3 2

(18)

Esercizio 5

Per la determinazione del peso specifico dei grani si tiene presente che prima di eseguire la prova di compressione il provino è saturo e pertanto il volume occupato dall’acqua, Vw, coincide con il volume dei vuoti, Vv. Essendo noto il contenuto in acqua w0, e il peso secco, è possibile ricavare il peso dell’acqua presente all’interno del campione:

Pw0 = w0 ⋅ Ps = 561.8 ⋅ 0.3140 = 176.41 g

(19)

cui corrisponde un volume:

Vw0 =

Pw0

γw

176.41 cm3 = = 176.41 cm3 3 1. g / cm

(20)

E’ pertanto possibile risalire al volume occupato dalla parte solida:

Vs = Vt0 − Vv0 = Vt0 − Vw0

(21)

Vt0 = A ⋅ H 0 = 100 ⋅ 3.81 = 381 cm3

(22)

con Vt0 volume totale del provino:

Sostituendo i valori nella (21) si ha:

Vs = 381 − 176.41 = 204.59

(23)

da cui poter ricavare il peso specifico dei grani:

γs =

Ps 561.8 = = 2.75 g / cm3 Vs 204.59

(24)

L’indice dei vuoti nelle condizioni iniziali e0 si ricava tenendo presente che:

Gs =

γ s 2.75 = = 2.75 1 γw

(25)

Sr ⋅ e = Gs ⋅ w

(26)

e che

da cui

e0 =

Gs ⋅ w 2.75 ⋅ 0.3140 = = 0.864 1 Sr

Al termine della prova varia il volume totale,

(27)

Vt f = 100 ⋅ ( H 0 + ΔH ) = 100 ⋅ ( 3.81 − 0.762 ) = 100 ⋅ 3.048 = 304.8 cm3

(28)

mentre il volume della parte solida rimane costante. Pertanto il volume dei vuoti può essere calcolato come differenza tra Vt f e Vs :

Vv f = Vt f − Vs = 304.8 − 204.59 = 100.21 cm3

(29)

da cui: e0 =

Vv f Vs

=

100.21 = 0.490 204.59

(30)

Esercizio 6

L’indice dei vuoti in condizioni sature si può valutare mediante la (26):

esat =

Gs ⋅ w 2.7 ⋅ 0.228 = = 0.616 Sr 1

(31)

27 kN / m3 = 2.7 10 kN / m3

(32)

essendo: Gs =

Ricordando poi che la porosità n è data da: n=

e 0.616 = = 0.381 1 + e 1 + 0.616

(33)

si può ricavare il peso dell’unità di volume in condizioni sature mediante la:

γ = (1 − n ) γ s + n Sr γ w

(34)

γ sat = (1 − 0.381) ⋅ 27 + 0.381⋅10 = 16.71 + 3.81 = 20.52 kN / m3

(35)

ove si ponga Sr = 1 , ovvero:

Il peso di volume immerso è pari a:

γ ' = γ sat − γ w = 20.52 − 10 = 10.52 kN / m3

(36)

Esercizio 7

Scrivendo

γ d = (1 − n ) γ s ⇒ n = 1 −

γd n = 0.415 ⇒ e = = 0.709 γs 1− n

(37)

si ha w ⋅ Gs = Sr ⋅ e ⇒ Sr =

w ⋅ Gs = 0.896 = 89.6% e

(38)

Il peso di volume del campione saturo è pari a:

γ sat = γ d + n ⋅ γ w = 19.65 kN / m3

(39)

Se il terreno rigonfiasse il peso γsat sarebbe minore del precedente:

γ sat = (1 − n ) ⋅ Gs ⋅ γ w + n ⋅ γ w = γ w [Gs − n ⋅ ( Gs − 1)] ⇓ n2 > n1 ⇒ γ sat2 < γ sat1 

rigonfiamento

(40)

Filtrazione

Esercizio 1

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nel terreno di fondazione di una traversa fluviale. Il terreno è omogeneo e isotropo e il suo coefficiente di permeabilità e’ pari a k = 10-5 m/sec. a) calcolare la portata del moto di filtrazione b) determinare il valore della pressione nei punti A,B,C,D.

Esercizio 2

Si calcolino il gradiente idraulico totale i, la portata del moto di filtrazione Q e l’andamento della pressione u lungo la direzione s del sistema costituito dai due strati rappresentati in figura.

coefficienti di permeabilità: k1 = 10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec lunghezze: L1 = 20 cm L2 = 10 cm pressioni : uA = 10 kPa uB = 5 kPa area: A = 10 cm2 inclinazione direzione s: α = 30°

Esercizio 3

Su un provino cilindrico di limo, di altezza L = 7.60 cm e diametro D = 3.80 cm, viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante, imponendo un flusso idraulico dal basso verso l’alto. Il provino è assoggettato a uno sforzo verticale totale pari a σv = 100 kPa e a uno sforzo di confinamento radiale totale σr = 50 kPa. La differenza di carico idraulico totale, ΔhAB = 1m, viene

imposta collegando la base del provino a un attuatore di pressione che mantiene la pressione di base uB = 30 kPa, mentre alla testa del campione viene mantenuta una pressione uA = 20 kPa. La portata misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. a) determinare il coefficiente di permeabilità k del limo. b) trascurando le componenti di sforzo dovute al peso proprio del provino, si tracci l’andamento degli sforzi efficaci σ’v e σ’r lungo l’altezza del provino.

Esercizio 4

Due bacini idrici sono collegati da uno strato permeabile confinato fra due strati impermeabili. La geometria e le proprietà idrauliche degli strati sono schematizzati in figura. Si determini, a regime: a) il gradiente del moto di filtrazione b) la portata del moto

Esercizio 5

Con riferimento allo schema per la prova di permeabilità a carico costante già presentato nell’esercizio 3, si consideri la presenza alla testa e alla base del provino di due pietre porose di area uguale a quella del provino, di spessore tP = 2.5 mm con permeabilità kP = 10-6 cm/sec. La differenza di carico idraulico ΔhA’B’ = 1m viene imposta all’intero sistema tramite una pressione di base uB’ = 30 kPa e una pressione in testa uA’ = 20 kPa. La portata attraverso l’intero sistema (provino + pietre porose) misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. Determinare nuovamente la permeabilità del limo, tenendo in conto l’effetto della presenza delle pietre porose.

Esercizio 6

Data la situazione schematizzata in figura e supposto che il moto di filtrazione sia a regime: a) si determini la portata che transita dal serbatoio di monte verso il serbatoio di valle; b) si determini il valore della pressione nel punto P indicato in figura. Dati: hm = 30 m hv = 8 m sA = 3 m sB = 1,5 m L = 750 m LP = 250 m

kA = 4 ·10-5 m/s kB = 2 ·10-5 m/s

L A B

LP P

α hm hv

sA sB

Esercizio 7

Si consideri una prova di permeabilità a carico variabile eseguita su un provino di limo saturo avente sezione A=3800 mm2. Come rappresentato in figura, inizialmente (t=0) viene posta sul provino una buretta d’acqua avente sezione a=80 mm2 imponendo un carico h0=800mm. Trascorso un tempo t1= 75 minuti dall’inizio della prova, si osserva che la colonna d’acqua al di sopra del provino si è abbassata fino a raggiungere l’altezza h1= 400 mm. Determinare il valore della permeabilità del campione di terreno sottoposto alla prova. a t=t0 t=t1

h0

provino

h1

A

Esercizio 8

Si consideri la schematizzazione del moto di filtrazione in un terreno stratificato rappresentata in figura. Determinare l’andamento delle pressioni e la portata del moto di filtrazione nelle seguenti situazioni: - ΔHA=2 m; - ΔHB=4,5 m; h1=1,5 m h2=3 m h3=2 m k1= 2 ⋅10 −4 m/s k2= 2 ⋅10 −8 m/s k3= 4 ⋅10 −4 m/s

A k1

h1

k2

h2

k3

h3

ΔhA ΔhB

Sezione: A=1 m2

Esercizio 9

Con riferimento al sistema in figura, si calcolino: a) il gradiente idraulico totale medio i; b) la portata del moto di filtrazione Q; c) l’andamento della pressione u lungo la direzione z del sistema costituito dai due strati rappresentati in figura.

coefficienti di permeabilità: k1 = 10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec L1 = 60 cm lunghezze: L2 = 40 cm ha = 1.5 m carico idraulico: hb = 0.0 m A = 10 cm2 area:

Esercizio 10

Su un provino cilindrico di sabbia limosa, di altezza L e area A, viene eseguita una prova di permeabilità a carico variabile, secondo lo schema indicato in figura. I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica nel tempo sono riportati in tabella. d) determinare il coefficiente di permeabilità k della terra esaminata; e) dire quali condizioni devono essere verificate affinché la stima del coefficiente di permeabilità sia accurata con l’assetto sperimentale proposto; f) determinare il massimo e il minimo gradiente idraulico a cui è assoggetato il provino durante il corso della prova (t = 0÷1h); g) determinare il modulo e la direzione della massima forza di filtrazione a cui è assoggetato il provino durante il corso della prova.

lunghezza: carico idraulico area provino: area capillare:

L = 10 cm h (t1=0) = 0.5 m h (t2=1 ora) = 0.4 m A = 20 cm2 ac = 1 cm2

Esercizio 11

Su un provino cilindrico di sabbia limosa, di altezza L e area A, viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante, secondo lo schema indicato in figura. I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica sono riportati in tabella. h) determinare il coefficiente di permeabilità k della terra esaminata; i) determinare il modulo e la direzione della massima forza di filtrazione a cui è assoggettato il provino durante il corso della prova.

lunghezza: carico idraulico area provino: portata, Q:

L = 10 cm h (a’) = 2.5 m h (b’) = 0.5 m A = 20 cm2 4 10-3 m3/sec

Esercizio 12

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione alle spalle di un muro di sostegno, con dreno verticale in ghiaia. La permeabilità del terreno è pari a k = 10-7 m/sec. a) Tracciare l’andamento qualitativo della pressione dell’acqua lungo la retta inclinata a 45° rispetto alla direzione orizzontale; b) determinare la portata del moto; c) determinare la spinta dell’acqua sulla parete del muro di sostegno.

Esercizio 13

Un deposito stratificato è costituito da due strati sabbiosi separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella. Strato Spessore (m) Sr n e Gs γs (kN/m3) Permeabilità (m/s) 1 3 1 0,4 ---2,7 ---10-3 2 5 1 0,8 ---26 2·10-9 3 ---1 0,35 ---2,7 ---10-3

Si determini: j) il gradiente idraulico all'interno dello strato di argilla; k) la portata del moto di filtrazione; l) l'andamento delle pressioni fino ad una profondità dal piano campagna z = 6 m. m) lo stato di sforzo verticale, totale ed efficace fino alla profondità z = 6 m; Si ipotizzi ora un abbassamento di 3 m del livello di falda nello strato sabbioso profondo rispetto alla situazione precedente. Determinare l'andamento delle pressioni nella nuova configurazione.

1

Sabbia e ghiaia

3m

1,5 m 3m

2

Argilla

5m

z 3

Sabbia

6m

livello a seguito abbassamento

Esercizio 14

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione all'interno di una diga in terra. Al piede della diga, come indicato in figura, è posizionato un dreno in materiale ghiaioso. La diga è stata realizzata impiegando un limo argilloso, la cui permeabilità può essere assunta pari k = 2 ⋅10-8 m / s . n) Determinare la portata del moto di filtrazione per unità di lunghezza in direzione ortogonale al piano del moto. o) Determinare il valore della pressione nei punti A, A', P e P'.

Esercizio 15

Un deposito stratificato è costituito da due strati sabbiosi separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Nel primo strato, il livello di falda coincide con il piano campagna. Nel secondo acquifero il livello piezometrico è posizionato a –4.5. m dal piano campagna. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella. Strato 1 2 3

Spessore (m) 3 5 ----

Sr 1 1 1

n 0,4

0,35

e ---0,8 ----

Gs 2,7 ---2,7

γs (kN/m3) Permeabilità (m/s) ---26 ----

10-3 2·10-9 10-3

Si determini: p) il gradiente idraulico nello strato di argilla; q) la portata del moto di filtrazione; r) l'andamento delle pressioni fino ad una profondità dal piano campagna z = 8 m; s) l’andamento della componente verticale di sforzo, totale ed efficace, fino alla profondità z = 8 m. Si ipotizzi ora un innalzamento di 3 m del livello di falda nel secondo strato sabbioso, mentre il livello della prima falda rimane inalterato a piano campagna. Si determini: t) l’andamento della pressione neutra a regime; u) la variazione della componente verticale di sforzo totale ed efficace a regime; v) il grado di sovraconsolidazione OCR dopo l’innalzamento della falda, sapendo che il deposito era originariamente normalconsolidato.

1

Sabbia e ghiaia

1,5 m

3m

3m 2

Argilla

5m innalzamento della falda z

3

Sabbia

6m

Esercizio 16

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nell’intorno di una traversa. Il terreno, sede del moto di filrazione è un limo sabbioso, con conducibilità idraulica omogenea e isotropa pari a k = 10-6 m/s. w) determinare la portata del moto di filtrazione; x) eseguire la verifica a sifonamento a valle della traversa, secondo il meccanismo di Terzaghi.

h = 3.5m

0.75 m h = 1.5 m k = 10-6 m/s γsat = 20 kN/m3

Esercizio 17

Su un provino cilindrico di limo, di altezza L e diametro D, viene eseguita una prova di permeabilità a carico idraulico costante, secondo lo schema indicato in figura (caso 1). I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica sono riportati in tabella. Determinare il coefficiente di permeabilità k1 del limo.

(1)

(2)

a

a

L

L

b D

L = 7,60 cm h (a) = 1m h (b) = 2 m D = 3,80 cm Q = 5,37 cm3/h

b D

Lo stesso tipo di prova viene eseguita in presenza, alla testa e alla base del provino, di due pietre porose, di diametro pari a quello del provino, con permeabilità kp = 10-8 cm/s (caso 2). La differenza di carico idraulico, ancora pari a 1 m, viene applicata all’intero sistema provino + pietre porose. La portata misurata attraverso l’intero sistema è ancora pari a 5,37 cm3/h. Dire se la permeabilità k2 del materiale sottoposto a prova è maggiore, minore o uguale alla precedente, e giustificare la risposta.

Esercizio 18

In figura è riportato il reticolo di filtrazione nell’intorno di una paratia in terreno granulare omogeneo e isotropo, con peso di volume saturo γsat = 20 kN/m3 e coefficiente di permeabilità k = 10-6 m/sec. Calcolare: a) la portata del moto di filtrazione; b) il coefficiente di sicurezza nei confronti del sifonamento a valle della paratia.

Esercizio 19

Il deposito schematizzato in figura, è costituito da uno strato sabbioso superficiale (1) di spessore 3 m e sede della falda F1, sovrastante due strati di argilla (2 e 3) di spessore 2m e 4m rispettivamente. Lo strato argilloso superiore risulta caratterizzato da un coefficiente di permeabilità doppio rispetto allo strato argilloso inferiore. Lo strato più profondo del deposito è costituito da ghiaia (4). Il carico idraulico totale dello strato di ghiaia 4 è governato dal livello idrometrico F3. A seguito dell’abbassamento del livello idrometrico di –1.5 m (da F3A a F3B) determinare, con riferimento alle condizioni di lungo termine: a) la portata del moto di filtrazione che viene a generarsi, essendo la permeabilità dello strato di argilla (3) pari a k3 = 2ּ10-10 m/s; b) l’andamento delle pressioni neutre lungo la direzione z; c) la variazione della componente verticale di sforzo efficace lungo lo spessore dei due strati argillosi.

Esercizio 20

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nel terreno alle spalle di un’opera di sostegno. La permeabilità del terreno è k = 5. 10 –6 m/s.

a) Tracciare l’andamento della pressione dell’acqua lungo la retta inclinata diagrammata in figura. b) Determinare la portata del moto di filtrazione. c) Determinare la spinta dell’acqua sulla parete di sostegno.

Esercizio 21

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nell’intorno di una traversa fluviale. Il terreno, sede del moto di filrazione è un limo sabbioso, con conducibilità idraulica omogenea e isotropa pari a k = 10-6 m/s. y) determinare la portata del moto di filtrazione; z) eseguire la verifica a sifonamento a valle della traversa, secondo il meccanismo di Terzaghi

h = 3.5m

0.75 m h = 1.5 m k = 10-6 m/s γsat = 20 kN/m3

Esercizio 22

Con riferimento al reticolo di filtrazione tracciato in figura 1: a) Tracciare l’andamento delle pressioni sulla paratia. b) Determinare la portata del moto di filtrazione. c) Effettuare la verifica a sifonamento a valle dell’opera di sostegno.

Esercizio 23

Sapendo che k1 = 0.4·10-6 m/sec e k2 = 0.6 10-6 m/sec, nei due casi schematizzati in figura, a) determinare il gradiente idraulico totale. b) determinare l’andamento del carico idraulico lungo le rette s indicate in figura. c) determinare l’andamento delle pressioni lungo le stesse rette.

caso (I)

caso (II)

Esercizio 24

Rispondere alle stesse domande dell’esercizio precedente, assumendo:

k1 = 0.4·10-6 m/sec k2 = 0.6 10-10 m/sec

Esercizio 25

Su un provino cilindrico di limo, di altezza L = 7.60 cm e diametro D = 3.80 cm, viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante, imponendo un flusso idraulico dal basso verso l’alto. Il provino è assoggettato a uno sforzo verticale totale pari a σv = 100 kPa e a uno sforzo di confinamento radiale totale σr = 50 kPa. La differenza di carico idraulico totale, ΔhAB = 1m, viene imposta collegando la base del provino a un attuatore di pressione che mantiene la pressione di base uB = 30 kPa, mentre alla testa del campione viene mantenuta una pressione uA = 20 kPa. La portata misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. c) determinare il coefficiente di permeabilità k del limo. d) trascurando le componenti di sforzo dovute al peso proprio del provino, si tracci l’andamento degli sforzi efficaci σ’v e σ’r lungo l’altezza del provino. Esercizio 26

Con riferimento allo schema per la prova di permeabilità a carico costante già presentato nell’esercizio 4, si consideri la presenza alla testa e alla base del provino di due pietre porose di area uguale a quella del provino, di spessore tP = 2.5 mm con permeabilità kP = 10-6 cm/sec. La differenza di carico idraulico ΔhA’B’ = 1m viene imposta all’intero sistema tramite una pressione di base uB’ = 30 kPa e una pressione in testa uA’ = 20 kPa. La portata attraverso l’intero sistema (provino + pietre porose) misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. Determinare nuovamente la permeabilità del limo, tenendo in conto l’effetto della presenza delle pietre porose.

Esercizio 27

Determinare l’andamento delle pressioni lungo la direzione s nei quattro casi schematizzati in figura. In tutti i casi, il valore del carico idraulico nella sezione A, hA, è pari a 10 m, mentre quello in corrispondenza della sezione B è hB = 5 m. L’origine del sistema di riferimento è posta in corrispondenza della sezione A (zA = 0.)

Figura 1a

Figura 1b

Figura 1c Figura 1d ------------------------------------------------------------------------------------------------------coefficienti di permeabilità: k1 = 4*10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec k3 = 2*10-9 m/sec lunghezze:

a =1m b =5m

carichi idraulici :

hA = 10 m hB = 5 m

inclinazione direzione s:

α = 30°

quota:

zA = 0

Esercizio 28

Il deposito in figura, costituito da due strati sabbiosi, è sede di un moto di filtrazione. Il piano di falda coincide con il piano campagna. La misura della pressione alla quota del punto P fornisce uP = 65 kPa.

Si determini: a) la portata Q per unità di area che filtra attraverso il sistema; b) l’andamento della componente verticale di sforzo totale ed efficace da piano campagna, fino alla profondità di 5 metri (alla quota del punto P). Esercizio 29

Il versante in figura è costituito da due strati di materiale colluviale, sovrastanti un substrato roccioso impermeabile. Lo strato superficiale, 1, può essere considerato impermeabile. Lo strato inferiore, 2, ha elevata permeabilità. In tabella 1 sono riassunte le proprietà dei due strati. Le caratteristiche geometriche del versante e le condizioni al contorno idrauliche sono riassunte in tabella 2. Inizialmente (caso 1) il livello idraulico nei due bacini coincide con l’interfaccia fra i due strati. Successivamente (caso 2), entrambi i livelli risalgono fino al massimo, indicato in figura. Tabella 1 γ tot (kN/m3) 22 20

strato 1 2

condizione 1 2

L (m)

H (m)

400.

145.6

k (m/sec) ---10-5

spessore H (m) 5 10

Tabella 2 carico idraulico di monte b’ b

carico idraulico di valle a’ a

b' 1 2

H

a a' L h

Determinare:

a'

h

a

z

h

b'

h

b

b

a) il gradiente idraulico, la portata, e la distribuzione delle pressioni in funzione di z nella condizione 1 (livelli idraulici: a’-b’); b) il gradiente idraulico, la portata, e la distribuzione delle pressioni in funzione di z nella condizione 2 (livelli idraulici: a-b).

Esercizio 30

Con riferimento al sistema in figura, si calcolino: a) la portata del moto di filtrazione Q; b) l’andamento del carico idraulico h della pressione u lungo la direzione z del sistema costituito dai due strati rappresentati in figura coefficienti di permeabilità: k1 = 10-10 m/sec k2 = 10-5 m/sec L1 = 60 cm lunghezze: L2 = 40 cm ha = 1.6 m carico idraulico: hb = 0.0 m A = 10 cm2 area:

Domanda 1

Con riferimento a un moto di filtrazione monodimensionale in direzione s, dire sotto quali ipotesi l’andamento delle pressioni u (s) è lineare

Domanda 2

Definire i coefficienti di permeabilità equivalenti a un sistema composto da più strati.

Domanda 3

Con riferimento a un moto di filtrazione monodimensionale in direzione s, dire sotto quali ipotesi l’andamento delle pressioni u (s) è lineare

Soluzioni degli esercizi sulla filtrazione

Esercizio 2

Il sistema è costituito da due strati di caratteristiche differenti posti in serie

z zB

Fig. 1

Assumendo come riferimento l’asse z con origine in A, è possibile valutare il carico idraulico nei punti A e B. In particolare si ha: zA = 0

z B = ( L1 + L2 ) sen (α ) = 15 cm = 0.15 m

(41)

da cui: hA = z A +

uA

γw

= 0+

10 = 1m 10

5 hB = z B + = 0.15 + = 0.65 m 10 γw uB

(42)

Ricordando quindi la legge di Darcy e che la portata risulta essere la medesima nei due strati si può scrivere: k1

Δh1 Δh = k2 2 L1 L2

k1 k ( hC − hA ) = 2 ( hB − hC ) L1 L2 e quindi

(43)

k1 hA + L1 hC = k1 + L1

−5 −5 k2 hB 10 1 + 2 ⋅10 0.65 L2 = 0.2 −5 0.1 −5 = 0.72 m k2 10 2 ⋅10 + L2 0.2 0.1

(44)

La pressione nel punto C è pertanto: uC = γ W ( hC − zC ) = 10 ( 0.72 − 0.1) = 6.2 kPa

(45)

L’andamento delle pressioni risulta essere pertanto quello riportato nelle figure seguenti:

1.4 h(s) z(s)

1.2

h, z (m)

1

A

0.8

C

0.6

u/γw

0.4 0.2 0

B

B

C A

0

0.1

0.2

0.3

s (m) Fig. 2

12 10

z(s)

A

u (kPa)

8

C

6

B

4 2 0 0

0.1

0.2 s (m)

0.3

Fig. 3

Il gradiente idraulico nei due strati è pari a: Δh1 (1 − 0.72 ) = = 1.4 L1 0.2 Δh ( 0.72 − 0.65 ) = 0.7 i2 = 2 = L2 0.1 i1 =

(46)

mentre la portata che attraversa i due strati: Q = A k1

Δh1 0.28 = 0.001⋅10−5 ⋅ = 0.0014 ⋅10−5 m3 / s L1 0.2

(47)

Esercizio 3

Per la legge di Darcy:

Q = k Ai

(48)

e risolvendo rispetto a k: k=

Q Q = = 10−5 cm / s 2 A i π D Δh 4 L

L’andamento degli sforzi è quello rappresentato in figura:

z Fig. 4

(49)

σv (kPa)

100

σr (kPa)

50

u (kPa)

20

σ'v (kPa)

80

σ'r (kPa)

30

z (cm)

0

7.6

50

100

30

70

20

Fig. 5

Esercizio 4

Il gradiente idraulico i è pari a: i=

ΔhAB = 0,18 LAB

(50)

Per il calcolo della portata, lo strato permeabile può essere schematizzato come costituito da due elementi in serie (fig. 6): – lo strato 1; – uno strato avente la permeabilità equivalente ottenuta tenendo presente che gli strati 2 e 3 sono in parallelo

(a)

k1

keq_23

(b)

A

B

keq_1_23

(c) Fig. 6

Conseguentemente occorrerà determinare il valore di keq. Per due strati posti in parallelo questo è dato da: &

k eq =

∑ kH ∑H i

i

i

Sostituendo i valori per gli strati 2 e 3: (fig. 6 a):

i

i

(51)

&

k eq _ 23

10−8 ⋅ 2 + 0.5 ⋅10−8 ⋅ 3 = = 0.7 ⋅10−8 m / s 2+3

(52)

Ora occorre valutare la permeabilità equivalente considerando lo strato 1 e quello equivalente agli strati 2 e 3 (fig. 6 c) posti in serie l’uno rispetto all’altro. Ricordando che per una sequenza di strati posti in serie: ⊥

k eq =

∑L L ∑ k i

i

(53)

i

i

i

si ottiene:

6+5

⊥

k eq _123 =

6 5 + −5 10 0.7 ⋅10−8

= 1.54 ⋅10−8 m / s

(54)

Pertanto, la portata del moto di filtrazione sarà pari a: Q = keq _123 ⋅ A ⋅

ΔhAB LAB

(55)

essendo ΔhAB la perdita di carico tra i punti A e B (2 m, pari alla differenza di quota tra i bacini idrici di valle e di monte) e LAB la distanza (11 m). Sostituendo: Q = 1.4 ⋅10−8 ⋅ 5 ⋅

2 = 1.4 ⋅10−8 m3 / s 11

(56)

Esercizio 5

In questo caso occorre tenere presente che la filtrazione avviene all’interno del sistema costituito da tre strati posti in serie, e pertanto: ⊥

Q = k eq ⋅ A ⋅

ΔH A ' B ' = 1.49 ⋅10−9 m3 / s LA ' B '

(57)

da cui si ricava: ⊥

k eq =

⊥

Q = 1.06 ⋅10−7 m / s ΔH A ' B ' A⋅ LA ' B '

Ma per gli strati posti in serie k eq è dato dalla (53) e quindi:

(58)

⊥

k eq =

L + 2t p t L 2 p + kp k

(59)

da cui 1.06 ⋅10−7 =

0.081 0.25 ⋅10−2 7.6 ⋅10−2 + 2⋅ 10−8 k

(60)

e quindi k = 2.88 ⋅10−7 m / s

Esercizio 9

Il gradiente idraulico medio è dato da: i=

(1.5 − 0 ) 1.5 Δhab = = = 1.5 ( 0.6 + 0.4 ) 1 Lab

(61)

La portata del moto di filtrazione è invece data da: ⊥

Q = keq ⋅ A ⋅ i

(62)

con ⊥

k eq =

∑L L ∑ k i

=

i

i

i

i

0.6 + 0.4 = 1.25 ⋅10−5 m / s 0.6 0.4 + 10−5 2 ⋅10−5

(63)

e: A = 10 cm 2 = 10 ⋅10−4 m 2 = 10−3 m3

(64)

Q = 1.25 ⋅10−5 ⋅10−3 ⋅1.5 = 1.875 ⋅10−8 m3 / s

(65)

Quindi:

Per la determinazione dell’andamento delle pressioni è possibile scrivere per un generico punto P: hP = z P +

uP

γw

(66)

Per quanto riguarda il punto b, dai dati del problema si ricava hb = 0 , e dal sistema di riferimento adottato zb = 0 . Pertanto dalla (66) si ricava:

0 = 0+

ub

γw

⇒ ub = 0

(67)

za zc

Fig. 7

Per il punto b si ha invece dai dati del problema ha = 1.5 m e dal sistema di riferimento adottato za = L1 + L2 = 1 m e pertanto: 1.5 = 1 +

ua

γw

⇒ ua = 10 ⋅ (1.5 − 1) = 5 kPa

(68)

L’andamento delle pressioni sarà lineare tra a e c e tra b e c: occorre quindi determinare la pressione nel punto c. A tal scopo, dette Q1 e Q2 le portate che passano attraverso lo strato 1 e lo strato 2 si ha che: Q1 = Q2 = Q

(69)

e pertanto Q1 = k1 ⋅ A ⋅

Δhbc bc

(70)

si ha: Q1 1.875 ⋅10−8 Δhbc = 0.6 = 1.125 m bc = −5 10 ⋅10−3 k1 A

(71)

hc = hb + Δhbc = 0 + 1.125 = 1.125 m

(72)

Conseguentemente

e quindi essendo zc = L1 = 0.6 m ubc = (1.125 − 0.6 )10 = 5.25 kPa

(73)

L’andamento delle pressioni in funzione della coordinata z è riportato in fig. a

1 u(z)

0.9 0.8

z (m)

0.7

c

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

b

0

1

2

3 u (kPa)

4

5

6

Esercizio 10

La prova di permeabilità viene eseguita con un permeametro a carico variabile: ⎛h ⎞ ln ⎜ 1 ⎟ h a k= c L ⎝ 2⎠ A ( t2 − t1 )

(74)

Le misure effettuate consentono di stimare il coefficiente di permeabilità: ⎛ 0.5 ⎞ ln ⎜ ⎟ 1 ⎝ 0.4 ⎠ = 3.1 ⋅10−5 cm / s = 3.1⋅10−7 m / s k= 10 20 ( 3600 − 0 )

(75)

Il massimo e il minimo gradiente idraulico in t = [ 0,1h ] sono pari a: ⎧ max h ( t ) h ( 0 ) 0.5 t∈ 0, 1 h ⎪imax = [ ] = = =5 ⎪ L L 0.1 ⎨ min h ( t ) h (1h ) 0.4 ⎪ t∈[ 0, 1 h] = = = =4 i ⎪ min L L 0.1 ⎩

(76)

La massima forza di filtrazione per unità di volume sarà pari pertanto a: f max = γ w ⋅ imax = 10 ⋅ 5 = 50 kN / m3

(77)

ed è diretta come il vettore velocità (vedi fig):

f

L’assetto sperimentale consente una stima affidabile del coefficiente di permeabilità se: 1) la perdita di carico idraulico nelle pietre porose è trascurabile kp >> k, o può essere quantificata (conoscendo la permeabilità kp delle pietre porose). 2) la variazione di porosità durante il corso della prova è trascurabile Esercizio 11

La permeabilità è data da: k=

Q = A⋅i

Q = 0.1 m / s h ( a ') − h ( b ') A⋅ L'

(78)

mentre la forza di filtrazione, costante per tutta la durata della prova, è diretta dall’alto verso il basso e ha modulo: f = γ w ⋅i = γ w ⋅

h ( a ') − h ( b ') = 200 kN / m3 L'

(79)

Esercizio 12

Considerando il tubo di flusso più profondo, il carico idraulico da dissipare è pari a 6.1 m e i salti di potenziale sono 8. Pertanto:

Δhmaglia =

6.1 = 0.762 m 8

(80)

Lo stessa informazione può essere ricavata anche dalla scala graduata riportata in figura alla sinistra del muro. Sebbene nel testo del problema venga richiesto un andamento qualitativo, a titolo di completezza viene riportata la soluzione analitica. A tal scopo, prendendo in esame i punti da 1 a 9, (fig. 8) si costruisce la tabella seguente, ricordando che per il k-esimo punto: hk = 6.1 − ( k − 1) ⋅ Δhmaglia

(81)

uk = γ w ( hk − zk )

1

2

3 4 s

5 6

7 8 9

Fig. 8

PUNTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9

zk (m) 6.10 4.23 3.06 2.25 1.62 1.08 0.72 0.32 0

hk (m) 6.10 5.34 4.58 3.82 3.06 2.30 1.54 0.76 0

uk (kPa) 0 10.89 14.91 15.40 14.13 11.97 8.04 4.32 0

8 7 ) 6

m s( 5 4 3 2 1 0

20

16

( u 12

a) kP 8

4

0

Fig. 9

La portata del singolo tubo di flusso per unità di lunghezza in direzione ortogonale al moto è pari a: q = k ⋅ Δhmaglia = 7.6 ⋅10−8 m 2 / s

(82)

mentre la portata complessiva (sempre per unità di lunghezza) è pari a: Q = q ⋅ N tubi = 4.56 ⋅10−7

m2 s

(83)

La spinta esercitata dall’acqua sulla parete è nulla in quanto, per effetto della presenza del dreno la pressione dell’acqua è nulla.

Esercizio 13 Data la differenza di permeabilità tra gli strati sabbiosi e quelli argillosi, si può supporre che le perdite di carico siano tutte concentrate nello strato di argilla. In particolare il gradiente idraulico sarà dato da: im =

da cui una portata per unità di area:

Δh hargilla

=

1.5 = 0.3 5

(84)

3 Q k ⋅i ⋅ A 1 −9 −9 m q= = = k ⋅ i = 2 ⋅10 ⋅ 0.3 = 0.6 ⋅10 A A s m2

(85)

I pesi di volume saturo per ciascuno strato possono essere ricavati dalle relazioni di fase e in particolare si ottiene: strato 1: γ sat = Gs γ w (1 − n ) + γ w n = 20.2

kN m3

(86)

e kN strato 2 : n = = 0.444 ⇒ γ sat = γ s (1 − n ) + γ w n = 18.9 3 1+ e m

La componente verticale di sforzo totale, lineare a tratti, è in equilibrio con i pesi di volume totali. La componenente efficace può essere ricavata per differenza: σ'v = σv − u L’andamento delle pressioni è idrostatico nello strato superiore sabbioso. E’ lineare nello strato di argilla, con un valore all’interfaccia con lo strato inferiore pari a 65 kPa. Il carico idraulico nel secondo acquifero è, infatti pari a 6.5 m (fig. 10) u (kPa)

0

0

σ'v (kPa) 0

z (m)

0

σv (kPa)

2 60.6

30

30.6

4

6

8

117

155

51

65

66.3

90

Fig. 10

Dopo l’abbassamento del livello di falda, a regime: aa) andamento della pressione neutra: l’andamento rimane idrostatico nello strato superiore sabbioso, e lineare nello strato di argilla. Il valore di pressione all’interfaccia con lo strato inferiore, governato dal nuovo carico idraulico nel secondo acquifero (3.5 m), scende a 35 kPa. bb) variazione della componente verticale di sforzo a regime, fino alla profondità z = 8m: la componente verticale di sforzo totale rimane ovunque invariata Δσv ≡ 0. Nello strato 1, la pressione u rimane invariata e, di conseguenza, anche la componente verticale di sforzo efficace. Nello strato di argilla, la pressione varia linearmente da zero a –30 kPa. La variazione della componente verticale di sforzo efficace è uguale ed opposta alla variazione di pressione: Δσ'v ≡ −Δu . Gli andamenti sono riportati in grafico (fig. 11)

Δσ'v (kPa)

u (kPa) 0

0

30

0

33

35

30

Fig. 11

Esercizio 14

z

Fig. 12

Dalla fig. 12 si possono ricavare le seguenti informazioni: – differenza di carico idraulico totale: ΔhTOT = 35 m – numero di salti di potenziale: N salti = 14 – numero di tubi di flusso: N tubi = 4 La perdita di carico idraulico per ciascun salto di potenziale vale pertanto: Δhi =

ΔhTOT 35 = = 2.5 m N salti 14

La portata complessiva del moto di filtrazione, per unità di lunghezza di diga è pari a:

(87)

−8

Q = k ⋅ Δhi ⋅ N tubi = 2 ⋅10 ⋅ 2.5 ⋅ 4 = 2 ⋅10

−7

m2 . s

(88)

La pressione nel punto P è nulla in quanto sul pelo libero. Anche la pressione nel punto A' è nulla in quanto il punto si trova in corrispondenza del dreno. La pressione nel punto A è data dal valore della pressione idrostatica, ovvero: u A = γ w ⋅ 35 = 350 kPa

(89)

La pressione nel punto P, assumendo il sistema di riferimento in fig. 12 è ricavabile scrivendo che: hP ' = hA − ΔhAP ' = hA − Δhi ⋅ n = 35 − 2.5 ⋅ 4 = 25 m

(90)

u P ' = ( hP ' − z P ' ) ⋅ γ w = hP ' ⋅ γ w = 25 ⋅10 = 250 kPa

(91)

da cui

Esercizio 15 Data la differenza di permeabilità tra gli strati sabbiosi e quelli argillosi, si può supporre che le perdite di carico siano tutte concentrate nello strato di argilla. In particolare il gradiente idraulico sarà dato da: im =

Δh hargilla

=

4.5 = 0.9 5

(92)

da cui una portata per unità di area: q=

Q k ⋅i ⋅ A m3 1 = = k ⋅ i = 2 ⋅10−9 ⋅ 0.9 = 1.8 ⋅10−9 A A s m2

(93)

I pesi di volume saturo per ciascuno strato possono essere ricavati dalle relazioni di fase e in particolare si ottiene: strato 1: γ sat = Gs γ w (1 − n ) + γ w n = 20.2

kN m3

e kN strato 2 : n = = 0.444 ⇒ γ sat = γ s (1 − n ) + γ w n = 18.9 3 1+ e m

(94)

La componente verticale di sforzo totale, lineare a tratti, è in equilibrio con i pesi di volume totali. La componente efficace può essere ricavata per differenza: σ'v = σv − u

L’andamento delle pressioni è idrostatico nello strato superiore sabbioso. E’ lineare nello strato di argilla, con un valore all’interfaccia con lo strato inferiore pari a 35 kPa. Il carico idraulico nel secondo acquifero è, infatti pari a 3.5 m (fig. 10) σv (kPa)

u (kPa)

0

0

0

z (m)

0

σ'v (kPa)

2 60.6

30

30.6

117.3

33

84.27

155

35

120

4

6

8

Fig. 13

Dopo l’innalzamento del livello di falda, a regime: cc) andamento della pressione neutra: l’andamento rimane idrostatico nello strato superiore sabbioso, e lineare nello strato di argilla. Il valore di pressione all’interfaccia con lo strato inferiore, governato dal nuovo carico idraulico nel secondo acquifero (6.5 m), sale a 65 kPa. dd) variazione della componente verticale di sforzo a regime, fino alla profondità z = 8m: la componente verticale di sforzo totale rimane ovunque invariata Δσv ≡ 0. Nello strato 1, la pressione u rimane invariata e, di conseguenza, anche la componente verticale di sforzo efficace. Nello strato di argilla, la pressione varia linearmente da zero a +30 kPa. La variazione della componente verticale di sforzo efficace è uguale ed opposta alla variazione di pressione: Δσ'v ≡ −Δu . Gli andamenti sono riportati in grafico (fig. 11) u (kPa) 0

0

0

0

0

z (m)

0

Δσ'v (kPa)

Δσv (kPa)

2 30

4

6

8

51

65

0

0

-18

-30 Fig. 14

In relazione al grado di sovraconsolidazione OCR, nello strato di sabbia non vi è variazione di sforzo efficace e quindi, essendo il deposito inizialmente normalconsolidato OCR si mantiene pari ad 1. Per lo strato di argilla l'andamento con la profondità è riportato in figura Errore. L'origine riferimento non è stata trovata..

0

0.4

OCR 0.8 1.2

z (m)

0 1 2 3 4

1 1.14

5 6 7 8

Esercizio 16

Dalla fig. 15 si ricava: – differenza di carico idraulico totale: ΔhTOT = 3.5 m – numero di salti di potenziale: N salti = 7 – numero di tubi di flusso: N tubi = 3

1.22 1.27 1.306 1.332

1.6

2

z

h = 3.5m

0.75 m A' h = 1.5 m A B

Fig. 15

La portata complessiva del moto di filtrazione, per unità di lunghezza di paratia è pari a: Q = k ⋅ Δh ⋅

N tubi 3 m3 1 = 10−6 ⋅ 3.5 ⋅ = 1.5 ⋅10−6 ⋅ . 7 N salti s m

(95)

Per la verifica al sifonamento, ricordiamo la definizione del fattore di sicurezza secondo Terzaghi: FS =

γ '⋅ h ⋅ h / 2 B

∫u

ecc

(96)

dx

A

con υecc pressione in eccesso. Nel caso in esame: ⎡ ⎛ ⎤ Δh ⎞ ⎡ ⎤ u Aecc = u A − u idr − z A ⎟ − γ w ⋅ h ⎥ = 10 kPa A = ⎣γ w ( hA − z A ) − γ w ⋅ h ⎦ = ⎢γ w ⎜ hA ' − n A ⋅ nsalti ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

(97)

con nA numero di salti da A ad A' e zA quota del punto a con riferimento al sistema in figura. Con analogo ragionamento per il punto B: uBecc = 5 kPa

(98)

da cui: FS =

γ '⋅ h ⋅ h / 2 B

∫u A

ecc

dx

=

(u

γ '⋅ h ⋅ h / 2 ecc A

+u 2

ecc B

) ⋅h/ 2

=

10 ⋅1.5 =2 (10 + 5 ) 2

(99)

Esercizio 27

Indipendentemente dalla configurazione dei due strati nei differenti casi il calcolo della pressione nei punti A e B può essere effettuato una sola volta in virtù del fatto che la distanza AB e l’inclinazione α non varia nelle differenti situazioni analizzate.

z zB

Fig. 16

Con riferimento alla fig. 16, e ricordando che per un generico punto P si ha:

hP = z P +

uP

(100)

γw

è possibile scrivere:

hA = z A +

uA

γw

=

uA

(101)

γw

essendo z A = 0 , mentre

hB = z B +

uB

γw

= ( a + b ) sin (α ) +

uB

γw

(102)

Sostituendo il valori numerici:

uA ⎧ ⎪⎪10 = 10 ⎨ ⎪5 = ( 5 + 1) sin ( 30° ) + uB ⎪⎩ 10 da cui si ricava:

(103)

⎧u A = 100 kPa ⎨ ⎩u B = 20 kPa

(104)

Vengono ora presi in esame i differenti casi. Le situazioni 1a) e 1c) (fig. 17) sono sostanzialmente identiche, potendo essere schematizzate come due strati posti in parallelo tra loro (la permeabilità dei due strati anche se differente nei due casi non influisce sull’andamento delle pressioni, ma solo sulla portata). Con questa configurazione l’andamento della pressione sarà di tipo lineare (fig. 18).

Caso 1a)

Caso 1c) Fig. 17

120 100

ucaso_ac(s)

A

u (kPa)

80 60 40 B

20 0 0

2

4 s (m)

6

Fig. 18

Viceversa per quanto riguarda i casi 1b) e 1d), il sistema è costituito da due strati posti in serie. Pertanto per determinare l’andamento delle pressioni occorre valutare la pressione uC nel punto C, che risulterà differente in entrambi i casi. Valutato hC in ogni situazione si avrà per la (66) uC = ( hC − zC ) γ w

(105)

zC = a sin (α ) = 0.5 m

(106)

con, in entrambi i casi:

z

z

zB

zB

zC

zC

C

Caso 1b)

C

Caso 1d)

Fig. 19 –

Prendendo in esame il caso 1d) si può osservare che k1  k3 : conseguentemente la perdita di carico nel tratto AC può ritenersi del tutto trascurabile e quindi:

hC = hA

(107)

uC = (10 − 0.5 )10 = 95 kPa

(108)

da cui sostituendo nella (105) si ottiene:

L’andamento delle pressioni è rappresentato in fig. 20. Analizzando il caso 1a) occorre invece valutare la perdita di carico nel tratto AC. A tal scopo ricordando la legge di Darcy, si ha che: ⊥

v = k eq ⋅ i

(109)

con

i=

ΔhAB 5 = = 0.833 AB 6

(110)

120 100

A

ucaso_d(s)

C

u (kPa)

80 60 40 B

20 0 0

2

4

6

s (m)

Fig. 20

Ricordando che per una sequenza di strati posti in serie: ⊥

k eq =

∑L L ∑ k

i

i

(111)

i

i

i

si ottiene: 1+ 5

⊥

k eq =

1 5 + −5 4 ⋅10 2 ⋅10−5

= 2.18 ⋅10−5 m / s

(112)

In questo caso occorre tenere presente che la filtrazione avviene all’interno del sistema costituito da due strati posti in serie, e pertanto: v = 2.18 ⋅10−5 ⋅ 0.833 = 1.817 ⋅10−5

(113)

Considerando ora le velocità v1 e v2 dell’acqua nei due strati, poiché sono posti in serie si ha: v1 = v2 = v

(114)

e poiché: ΔhAC AC

(115)

v1 1.817 ⋅10−5 1 = 0.454 m AC = 4 ⋅10−5 k1

(116)

v1 = k1 ⋅

si ha: ΔhAC =

Conseguentemente hC = hA − ΔhAC = 10 − 0.454 = 9.546

(117)

uC = ( 9.546 − 0.5 )10 = 90.5 kPa

(118)

e quindi

L’andamento delle pressioni è riportato in figura 21. 120 100

ucaso_b(s)

A C

u (kPa)

80 60 40 B

20 0 0

2

4

6

s (m)

Fig. 21

Esercizio 28

P' P''

z

ζ

Fig. 22

Per il punto P: hP = z P + mentre per il punto P':

uP

γw

= zP +

65 = z P + 6.5 10

(119)

hP ' = z P ' +

uP '

= zP '

γw

(120)

poiché uP ' = 0 , essendo sul pelo libero. Sottraendo membro a membro la (119) e la (120) si ottiene:

( hP − hP ' ) = ( zP − zP ' ) + 6.5 = −5 + 6.5 = 1.5 m

(121)

La filtrazione avviene attraverso due strati posti in serie di caratteristiche geometriche note. Pertanto è possibile valutare la permeabilità equivalente: ⊥

k eq =

∑L L ∑ k i

=

i

i

i

i

3+ 2 3 2 + −5 10 5 ⋅10−5

= 1.47 ⋅10−5 m / s

da cui, ricordando che la portata per unità di area q = ⊥

v = k eq ⋅ i = 1.47 ⋅10−5 ⋅

(122)

Q =v, A

1.5 = 4.41⋅10−6 m / s 5

(123)

essendo: i=

ΔH PP ' LPP '

(124)

Per valutare l’andamento verticale degli sforzi efficaci, occorre determinare la distribuzione delle pressioni, procedendo in maniera del tutto analoga all’esercizio 3 con riferimento al punto P'': v1 = v2 = v

(125)

Pertanto: ΔH PP '' = k1 i1 PP ''

(126)

v1 4.41 ⋅10−6 = 3 = 1.32 m PP '' = 10−5 k1

(127)

v1 = k1 ⋅ da cui ΔH PP '' Scrivendo ora

hP '' = z P '' +

uP ''

γw

(128)

e sottraendo membro a membro la (119) e la (128) si ottiene:

( hP − hP '' ) = ( zP − zP '' ) + ⎛⎜ 6.5 − ⎝

uP '' ⎞ ⎟ 10 ⎠

(129)

Ricordando che ( hP − hP '' ) = 1.32 m e che ( z P − z P '' ) = −3 m si ricava che: 1.32 = −3 + 6.5 −

uP '' 10

⇒ uP '' = 21.76 kPa

(130)

L’andamento della componente verticale della pressione, degli sforzi verticali totali ed efficaci sono rappresentati in fig. 23. Per il calcolo degli sforzi verticali si fa riferimento alle prime tre relazioni delle (145).

0 0

σv (kPa)

0

ζ (m)

0

21.76

40

5

σ'v (kPa)

u (kPa)

103

18.24

65

38

Fig. 23

Esercizio 29

Il gradiente idraulico del moto di filtrazione, parallelo al pendio, è pari a: i = sen (α ) = 0.342

(131)

con α = 20° , inclinazione del pendio. La portata specifica per unità di lunghezza in direzione ortogonale al piano di filtrazione è data da:

q=k⋅

A m [10 m ⋅1 m ] ⋅ i = 10−5 ⋅ ⋅ 0.342 = 3.42 ⋅10−5 m 2 / s 1 s 1m

(132)

Per il calcolo dell’andamento della pressione, si fa riferimento solo allo strato 2 , in quanto nello strato 1 , è nulla lungo tutto lo spessore. Si introduce a tal scopo la coordinata z.

b' 1 2

H

a'

z h

L

h

b'

a'

1 z P'

A

2

P' P

zP B

z Fig. 24

Con riferimento alla fig. 24 si può scrivere ( uP ' = 0 essendo P' sul pelo libero): hP = hP '

⇒ − zP +

uP

γw

= − zP ' +

uP '

γ

w N

(133)

uP ' =0

quindi uP = γ w ( zP − zP ' )

Ma da considerazioni geometriche:

(134)

PP ' = z P cos (α )

(135)

( zP − zP ' ) = PP ' cos (α ) = zP cos 2 (α )

(136)

uP ( z ) = γ w z P cos 2 (α )

(137)

e

da cui:

ottenendo: Punto A B

u (kPa) 0 94

z (m) 0 10.6

L’andamento di u lungo l’asse z è riportato in figura 25.

0

A0 z

1 2

94

u (kPa) B

Fig. 25

Per effetto della risalita dei livelli idraulici il gradiente del moto di filtrazione e la portata che attraversa lo strato 2 rimane la medesima (si ricorda che lo strato 1 è impermeabile e pertanto non è interessato da fenomeni di filtrazione). Per quanto riguarda l’andamento delle pressioni, si osservi la fig. 26.

b'

b

1 2

a

H

a' L h

a'

h

z

h

b'

h

b

a

P''' H

1

⋅ cos (α )

1

l ⋅ sen (α )

l

2

A z P'

P''

P' P

zP B

z Fig. 26

Si ha: hP = hP ' = hP '' − l sen (α )

(138)

hP '' = hP '''

(139)

hP ' = hP ''' − l sen (α )

(140)

e allo stesso tempo,

Quindi si può scrivere:

da cui:

( − zP ''' + zP ' ) e dalla geometria

( hP ''' − hP ' ) = l sen (α ) (u − u ) − P ''' P ' = l sen (α ) γw

(141)

( − zP ''' + zP ' ) − l sen (α ) = H 1 cos (α )

(142)

e quindi, ricordando che uP ''' = 0 uP ' = γ w H 1 cos (α )

(143)

Noto ora uP ' si procede in maniera del tutto analoga al caso precedente:

( uP − uP ' )

hP − hP ' = ( − z P + z P ' ) −

γw

0 = z P cos 2 (α ) −

( uP − γ w H1 cos (α ) )

(144)

γw

uP = γ w z P cos (α ) + γ w H1 cos (α ) 2

Punto A B

u (kPa) 47 141

z (m) 0 10.6

La pressione nel primo strato continuerà ad essere nulla poiché essendo impermeabile non risentirà dell’effetto della risalita della falda. Il nuovo andamento delle pressioni in funzione di z è rappresentato in fig. 27.

0

A 0 47 z

1 2

141

u (kPa) B

Fig. 27

Stato di sforzo geostatico Esercizio 1

Il livello medio di un lago è di 5 m rispetto al fondo (fig. 3). Determinare l’andamento dello sforzo efficace geostatico (σ'v e σ'h) al di sotto del letto del lago fino ad una profondità di 10 m (punto C), note le caratteristiche di ogni strato sotto riportate. Strato 1 (NC):

γsat=20 kN/m3

K0=0,5 Strato 2 (NC): γ sat= 18 kN/m3 K0=0,6 α =0,5

A

1 K 0 (OCR ) = K 0 ( NC ) ⋅ OCR

2m

5m

5m B

α

2

5m C

Un periodo di secca causa un abbassamento del livello dell’invaso di 3 m in maniera pressoché istantanea. Qual è l’andamento degli sforzi verticali totali ed efficaci nella nuova configurazione? Qual è ora lo sforzo orizzontale totale ed efficace nei punti A e B? Esercizio 2

Con riferimento al deposito rappresentato in fig.1, si determini lo stato di sforzo geostatico, totale ed efficace, in corrispondenza dei punti medi dei due strati, denominati A e B. Le caratteristiche degli strati di terreno rappresentati sono riassunte in tabella 1.

2m

4m

1

2

A

sab bia fin e

B arg illa

Figura 1

strato 1 strato 2

γtot [ kN/m3] 16 20

φ’ 30° 25°

H [m] 2 4

OCR 1,6 1

Tabella 1

Esercizio 3

Con riferimento al deposito argilloso normalconsolidato di figura a, si determini lo stato di sforzo geostatico in corrispondenza del punto A e si individui nel piano degli sforzi q - p’ il punto corrispondente. I dati relativi al deposito sono raccolti in tabella. In un secondo momento (t = 0), sulla superficie dello strato viene applicato, in maniera pressoché istantanea, un carico uniformemente distribuito pari a 50 kPa (fig. 8b). Si individuino nel piano q p’ i punti rappresentativi degli stati tensionali efficaci del punto A, relativi agli istanti t = 0+ e t = :. Argilla

γd [kN/m3] 15

γsat [kN/m3] 21

h1 [m] 2

h1 hA A

h2

Figura a

50 kPa

h1 h2

hA A

Figura b

Esercizio 4

h2 [m] 1,5

hA [m] 0,5

K0 0,53

Il deposito stratificato, schematizzato in figura, è costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume γsat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume γsat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 25°, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito è inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione è idrostatico.

K0 = (1-sin φ’) * OCR0.5 Si determini: lo stato di sforzo, totale ed efficace, ad una profondità di 2m dal piano campagna (all’interfaccia fra lo strato sabbioso e quello argilloso); lo stato di sforzo, totale ed efficace, in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = 7m dal piano campagna). Sul deposito viene costruito un rilevato su un’area molto estesa rispetto allo spessore degli strati, il cui peso equivale a un carico verticale uniforme per unità di area pari a q = 40 kPa.

determinare la variazione di sforzo, totale ed efficace, indotta a lungo termine dalla costruzione del rilevato in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Il rilevato viene successivamente rimosso. determinare lo stato di sforzo, totale ed efficace a lungo termine, dopo la rimozione del rilevato in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Infine, il livello della falda presente nello strato ghiaioso si abbassa di due metri, mentre quello della falda superiore nello strato sabbioso rimane inalterato.

determinare lo stato di sforzo, totale ed efficace finale in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna), dopo la rimozione del rilevato e l’abbassamento del livello di falda. Esercizio 5

Stimare lo spostamento a livello di piano campagna a seguito della costruzione del rilevato: a seguito della rimozione del rilevato: a) a seguito dell’abbassamento del livello di seconda falda. Si ricorda che lo spostamento richiesto è somma delle variazioni di altezza dei due strati deformabili. Nel calcolo si assuma il modulo edometrico Eed/carico se il terreno è in condizioni normalconsolidate, e Eed/scarico se, invece, si trova in condizioni sovraconsolidate. Esercizio 6

Un deposito normalconsolidato è costituito da due strati di terreno granulare separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella. Strato

Spessore (m)

φ’ (°)

γtot (kN/m3)

1 2 3

2 4 ----

30 25 32

16 21 ----

Si determini lo stato di sforzo, totale ed efficace, ed i valori della pressione interstiziale in corrispondenza dei punti A e B. 1

2

Sabbia

Argilla

A

scavo

2m 1

Sabbia

2

Argilla

A

4m B

4m B

3

2m

Ghiaia 3

Ghiaia

A seguito di uno scavo, lo strato 1 di sabbia viene completamente rimosso. I livelli di falda rimangono inalterati. Si determini lo stato di sforzo, totale ed efficace, ed i valori della pressione interstiziale a regime, in corrispondenza dei punti A e B. Si determini, inoltre, il grado di sovraconsolidazione OCR in corrispondenza dei punti A e B. Si ricorda che K0 = (1-sin φ’) * OCR0.5. Esercizio 7

Dato il deposito schematizzato in figura 1, si diagrammino gli andamenti dello stato di sforzo geostatico, totale ed efficace, fino ad una profondità di –10 m dal piano campagna, con riferimento alla condizione (a). Il deposito è inizialmente normalconsolidato. Il primo strato è sede di una falda con livello piezometrico coincidente con il piano campagna. Lo strato inferirore di sabbia è anch’esso sede di una falda con livello piezometrico indicato dal piezometro in figura. I coefficienti di spinta a riposo, in condizione di normale consolidazione, possono essere assunti pari a: K0 = 0.4 per lo strato superficiale di sabbia, K0 = 0.5 per il banco di argilla e K0 = 0.3 per lo strato sabbioso più profondo. I pesi per unità di volume sono indicati in figura.

Fig.1

Successivamente, il livello piezometrico della falda profonda si innalza fino a piano campagna (condizione (b)). Dire quanto vale il grado di sovraconsolidazione in corrispondenza del punto P.

Esercizio 8

Il deposito stratificato, schematizzato in figura (a), è costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume γsat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume γsat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 25°, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito è inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione è idrostatico.

K0 = (1-sin φ’) * OCR0.5

Sul deposito (fig. (b)) viene costruito un rilevato su un’area molto estesa rispetto allo spessore degli strati, il cui peso equivale a un carico verticale uniforme per unità di area pari a q = 40 kPa.

z Si determini: la variazione di sforzo totale ed efficace a breve e lungo termine nel punto medio dello strato argilloso; il grado di sovraconsolidazione OCR ad una profondità z = 9,5 m dal piano campagna dopo la costruzione del rilevato.

Esercizio 9

Il deposito stratificato, schematizzato in figura, è originariamente costituito da uno strato superficiale 1 sovrastante uno strato sabbioso 2, a sua volta poggiante su uno strato argilloso 3. Il deposito è originariamente normalconsolidato. I dati relativi ai tre strati sono riassunti in tabella (si ricorda che K0OC = K0NC * OCR0.5 ). Originariamente il piano di falda è posto a –2 m dal piano campagna (figura 2a). STRATO 1 2 3

Η0

[m] 2. 2. 4.

γsat

3

[kN/m ] --20. 18.

γd

3

[kN/m ] 15. 18. ---

K0NC --0.6 0.4 0.5

a) determinare l’andamento degli sforzi efficaci (σ’V0 , σ’H0 ) su tutto lo spessore del deposito nella configurazione originaria b) lo strato superficiale viene successivamente eroso. Determinare il grado di sovraconsolidazione OCR e la componente orizzontale di sforzo efficace,σ’H0 alla fine del processo di erosione (figura b) in corrispondenza della profondità A c) nel corso del tempo, il piano di falda subisce un abbassamento di 2m rispetto alla sua posizione originaria (figura c). Determinare OCR e σ’H0 in A

d) infine sul deposito vengono riportati 4m di terreno con peso di volume totale γtot = 18 kN/m3. Determinare nuovamente OCR e σ’H0 in A (figura d)

Figura a

Figura c

Figura b

Figura d

Soluzione degli esercizi sullo stato di sforzo geostatico

Esercizio 4

Ai fini della determinazione dello stato di sforzo nelle condizioni iniziali, si fa riferimento alle seguenti relazioni:

σv = γ ⋅ z u =γw ⋅z σ 'v = σ v − u σ 'h = k0 ⋅ σ 'v σ h = σ 'h + u

(145)

k0 = 1 − sen (φ ')

(146)

con k0 dato dalla formula di Jaky:

A B

5m

z C

Fig. 28

Individuando il punto A e il punto B rispettivamente ad una profondità di –2m e di –7m dal piano campagna (fig. 28), è possibile scrivere la seguente tabella riassuntiva: Punto

z (m)

σ v (kPa)

u0 (kPa)

σ 'v (kPa)

A

2

40

20

20

B

7

130

70

60

0

0

k0NC

σ 'h0 (kPa)

σ h0 (kPa)

sabbia: 0.500

10

30

argilla: 0.577

11.5

31.5

0.577

34.6

104.6

Occorre osservare che essendo il punto A di interfaccia tra lo strato di sabbia e lo strato di argilla, occorre valutare lo sforzo orizzontale con riferimento ad entrambi, essendo un punto di discontinuità per σ 'h ( z ) . Con riferimento alle condizioni di lungo termine, la variazione degli sforzi verticali totali ed efficaci a seguito della costruzione del rilevato è indipendente da z e pari al carico q: Δσ v = Δσ 'v = 40 kPa

(147)

Analogamente anche la variazione degli sforzi orizzontali totali ed efficaci coincidono: Δσ h = Δσ 'h

(148)

e poiché il terreno si trova in condizioni normalconsolidate sia prima che dopo la realizzazione del rilevato tale variazione può essere espressa nella forma: Δσ h = Δσ 'h = k0NC ⋅ q

(149)

Δσ h = Δσ 'h = 0.577 ⋅ 40 = 23.08

(150)

ovvero

La successiva rimozione del rilevato, porta, a lungo termine, ad avere sforzi verticali coincidenti con quelli valutati nelle condizioni iniziali. Punto

z (m)

σ v = σ v (kPa)

u (kPa)

130

70

d

B

7

0

σ 'v = σ 'v (kPa) 0

d

60

La componente orizzontale di sforzo sarà invece differente rispetto a quella in condizioni indisturbate in quanto il terreno, a seguito dello scarico, risulta essere sovraconsolidato. Il grado di sovraconsolidazione OCR nel generico punto P è pari a: OCR ( P ) =

σ 'v ( P ) σ 'v ( P )

(151)

max

attuale

con σ 'vmax , massimo sforzo verticale efficace cui è stato soggetto il terreno in quel punto e σ 'vattuale sforzo verticale efficace cui è soggetto il terreno nelle condizioni attuali. Quindi ricordando che k0OC = k0NC OCR 0.5

(152)

le componenti di sforzo orizzontale totale ed efficace a seguito della rimozione del rilevato sono indicate nella tabella seguente:

σ 'v

max

B

= σ 'v0 + q (kPa) 100

σ 'v

attuale

= σ 'vd (kPa) 60

OCR

k0OC

1,667

0,745

σ 'h

d

(kPa)

44,7

σh

d

(kPa)

114,7

Il successivo abbassamento della falda presente nello strato ghiaioso provoca una variazione della pressione nel punto B e conseguentemente una variazione degli sforzi efficaci. Poiché la permeabilità dello strato argilloso risulta essere notevolmente più bassa rispetto a quella dello strato sabbioso e dello strato ghiaioso, è possibile schematizzare la situazione nel seguente modo (fig. 29): – la distribuzione delle pressioni è di tipo idrostatico sia nello strato sabbioso che in quello ghiaioso;

– all’interno dello strato di argilla si instaura un moto di filtrazione caratterizzato da un andamento lineare delle pressioni tra A e C.

A B C

falda sup.

falda inf.

complessiva.

0

0

sabbia

20

0

20

z

argilla

100

100

ghiaia

Fig. 29

Pertanto per la determinazione dell’andamento delle pressioni si valuteranno le pressioni nei punti A e C considerando le distribuzioni idrostatiche nei due strati indicati e successivamente il conseguente andamento nel tratto AC. Pertanto essendo il punto B di interesse a metà dello strato argilloso, ovvero punto medio di AC: uBe = 20 +

(100 − 20) (100 + 20) ⋅5 = = 60 kPa 10 2

(153)

Quindi il nuovo valore di sforzo verticale efficace nel punto B sarà (quelli totali sono invariati): σ v ' = σ v − 60 = 70 kPa

(154)

0

e

Poiché il massimo sforzo efficace sopportato dal terreno nel punto B risulta essere stato pari a 100 kPa (dopo la costruzione del rilevato), ci si viene a trovare ancora in condizioni di sovraconsolidazione: σ 'v

max

B

= σ 'v0 + q (kPa) 100

σ 'v

attuale

= σ 've (kPa) 70

OCR

k0OC

1.43

0.690

σ 'h

e

(kPa)

48.3

σh

e

(kPa)

108.3

Esercizio 5

La componente verticale di deformazione εv (z) nel punto P a seguito di una variazione dello sforzo efficace Δσ’v (z) è data da: Δε v ( z ) =

Δσ v' ( z ) Eed ( z )

(155)

' con Δσ v' ( z ) = σ v' fin ( z ) − σ viniz ( z) .

La variazione di altezza di ciascuno strato, ΔHi, è l’integrale della componente verticale di deformazione sull’altezza iniziale dello strato. Se la variazione di sforzo e il modulo edometrico sono costanti sullo spessore dello strato, quest’ultima è semplicemente data dal prodotto ΔH i = Δε v ⋅ H i = ( Δσ v / Eed ) ⋅ H i . Se la variazione di sforzo è lineare, e il modulo edometrico è costante, l’integrale può essere semplicemente calcolato con il valor medio delle variazioni di sforzo e deformazione: ΔH i = Δε puntomedio ⋅ H i

(156)

Lo spostamento del p.c. sarà dato da: ΔH = ∑ i ΔH i

(157)

A seguito della costruzione del rilevato il terreno si mantiene in condizioni normalconsolidate e pertanto andrà utilizzato Eedi / carico . La variazione di sforzo verticale efficace nella soluzione dell’esercizio precedente è stata vista essere indipendente dalla profondità z e pari a q. Quindi si potrà scrivere: q

Δε1 =

1 ed / carico

E

Δε 2 =

q Eed2 / carico

=

40 = 0.002 20 ⋅103

40 = = 0.02 2 ⋅103

(158)

da cui un abbassamento del piano campagna: ΔH1 = 0.002 ⋅ 2 = 0.004 m ⇒ ΔH = ΔH1 + ΔH 2 = 0.204 m = 20.4 cm ΔH 2 = 0.02 ⋅10 = 0.2 m

(159)

La rimozione del rilevato provoca una variazione di carico anch’essa costante con la profondità e pari a –q. Pertanto, trovandosi in condizioni sovraconsolidate (vedi esercizio precedente) sarà: Δε1 = Δε 2 =

−q 1 ed / scarico

E

−q Eed2 / scarico

=

−40 = −0.0002 200 ⋅103

−40 = = −0.004 10 ⋅103

da cui un innalzamento del piano campagna (indicato dal segno negativo di ΔH):

(160)

ΔH1 = −0.0002 ⋅ 2 = −0.0004 m ⇒ ΔH = ΔH1 + ΔH 2 = −0.0404 m ≅ −4 cm ΔH 2 = −0.004 ⋅10 = −0.04 m

(161)

La successiva variazione del livello della falda, non provoca alcuna variazione del regime delle pressioni, e quindi dello sforzo efficace, nei punti dello strato sabbioso (vedi esercizio precedente). Lo spostamento a livello del piano campagna in questo caso sarà pari a: ΔH = ΔH 2

(162)

La variazione di sforzo efficace è lineare lungo lo spessore dello strato. Nel suo punto medio è pari a: Δσ ' = σ 've − σ 'vd = 70 − 60 = 10 kPa

(163)

Sempre dall’esercizio precedente si osserva che il terreno si mantiene in condizioni sovraconsolidate e pertanto: Δε 2 =

Δσ ' 2 ed / scarico

E

=

10 = 0.001 10 ⋅103

(164)

da cui un abbassamento del piano campagna: ΔH 2 = 0.001⋅10 = 0.01 m ⇒ ΔH = ΔH 2 = 0.01 m = 1 cm

(165)

Esercizio 8

Con riferimento alle condizioni di breve termine, la variazione degli sforzi efficaci totali, a seguito della costruzione del rilevato è indipendente da z e pari al carico q: Δσ v = 40 kPa

(166)

Δσ h = Δu = 40 kPa

(167)

mentre:

Con riferimento alle condizioni di lungo termine invece, si ha: Δσ v = Δσ 'v = 40 kPa

(168)

La variazione degli sforzi orizzontali totali ed efficaci coincidono e si ha: Δσ h = Δσ 'h

(169)

e poiché il terreno si trova in condizioni normalconsolidate sia prima che dopo la realizzazione del rilevato tale variazione può essere espressa nella forma: Δσ h = Δσ 'h = k0NC ⋅ q

(170)

Δσ h = Δσ 'h = 0.577 ⋅ 40 = 23.08

(171)

ovvero

Il terreno rimane ovunque normalconsolidato poiché σ 'v f > σ 'v0 e conseguentemente anche alla profondità z=9,5 m OCR=1.

Esercizio 9

H2

A

z

Fig. 1

Il calcolo dell’andamento degli sforzi verticali totali ed efficaci, quelli orizzontali e la pressione dell’acqua prima nella configurazione originaria (fig.1) sono rappresentati in fig. 2, tenendo presente che:

σv = γ ⋅ z σ 'v = σ v − u σ 'h = k0 ⋅ σ 'v σ h = σ 'h + u ove γ = γ d per lo strato 1 (secco) e γ = γ sat per gli strati 2 e 3.

(172)

σv (kPa)

u (kPa)

0

0

z (m)

0

σ'v (kPa)

σ'h (kPa)

0

1

A2

30

0

30

12

15

3 70

4

20

20 25

50

5 6 7 142

8

60

82

41

Fig. 2

Il grado di sovraconsolidazione OCR nel generico punto P è pari a: OCR ( P ) =

σ 'v ( P ) σ 'v ( P )

(173)

max

attuale

con σ 'vmax , massimo sforzo cui è stato soggetto il terreno in quel punto e σ 'vattuale sforzo cui è soggetto il terreno nelle condizioni attuali. Dopo il processo di erosione, poiché il terreno si trova inizialmente in condizioni normalconsolidate, σ 'vmax coincide con lo sforzo valutato nelle condizioni precedenti all’erosione ( σ 'vmax = 50 kPa ) mentre

σ 'v

attuale

= γ '2 ⋅ H 2 = ( 20 − 10 ) ⋅ 2 = 20 kPa

(174)

Pertanto il grado di sovraconsolidazione e lo sforzo orizzontale efficace nella nuova configurazione sono indicati nella tabella seguente: σ 'v

(kPa)

attuale

k0OC

OCR OCR =

σ 'v σ 'v

max

k0OC = k0NC OCR 0.5

σ 'h

attuale

(kPa)

σ 'h = k0OCσ 'v fin

fin

attuale

A

20

2.5

strato 2: 0.63

12.65

strato 3: 0.79

15.81

Occorre osservare che essendo il punto A di interfaccia tra lo strato 2 e lo strato 3, occorre valutare lo sforzo orizzontale con riferimento ad entrambi, essendo un punto di discontinuità per σ 'h ( z ) . Il successivo abbassamento del piano di falda, provoca una ulteriore variazione dello sforzo efficace nel punto A. Lo strato 2 si viene a trovare in condizioni secche e la pressione dell’acqua sempre nel punto A è nulla. Pertanto:

σ 'v

attuale

= γ d2 ⋅ H 2 = 18 ⋅ 2 = 36 kPa

(175)

Il massimo sforzo σ 'vmax risulta essere ancora quello valutato nella configurazione originaria (50kPa) e pertanto il terreno è in condizioni sovraconsolidate. Pertanto le quantità richieste nel punto C sono riassunte nella tabella seguente: σ 'v

(kPa)

attuale

k0OC

OCR OCR =

σ 'v σ 'v

max

σ 'h

attuale

(kPa)

σ 'h = k0OCσ 'v

k0OC = k0NC OCR 0.5

fin

fin

attuale

A

36

1.39

strato 2: 0.47

16.98

strato 3: 0.59

21.22

A seguito del posizionamento del riporto, nel punto A, lo sforzo attuale è dato da:

σ 'v

attuale

= γ tot ⋅ H riporto + γ d2 ⋅ H 2 = 18 ⋅ 4 + 18 ⋅ 2 = 92 kPa

(176)

Si osserva che in questo caso, lo sforzo verticale valutato supera il massimo sforzo mai sopportato dal terreno fino ad ora (che si ricorda essere stato valutato in 50 kPa). Conseguentemente il terreno ritorna ad essere in condizioni normalconsolidate e pertanto: σ 'v

(kPa)

attuale

k0NC

OCR OCR =

σ 'v σ 'v

σ 'h

attuale

σ 'h = k0OCσ 'v

max

fin

attuale

A

92

1

(kPa)

strato 2: 0.4

36.8

strato 3: 0.5

46

fin

Prove per la determinazione delle caratteristiche meccaniche

Prove edometriche Esercizio 1

In figura 1 sono riportati gli abbassamenti misurati all’applicazione di un incremento di sforzo Δσv = 1600 kPa in un passo di carico di una prova edometrica eseguita su un campione di limo indisturbato. Per l’intervallo tensionale σv = 1600 ÷ 3200 kPa si determini: a) il modulo edometrico Eed b) il coefficiente di consolidazione cv (si ricorda che TV50 = 0.197) c) il coefficiente di permeabilità k

1.7

δ0

abbassamento, δ (mm)

1.8

PROVA EDOMETRICA altezza iniziale del provino: H0 = 23.0mm

1.9

lettura di zero del passo:

δ0 = 1.71mm

passo di carico: 1600-3200 kPa

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 0.01

0.1 t1

1 4t1

10 100 tempo, t (min)

1000

10000

Figura 1

Esercizio 2

Uno strato di limo normalconsolidato saturo, di altezza H0 = 6m viene sottoposto ad un incremento di sforzo verticale q = 50 kPa su un’area molto estesa rispetto al suo spessore (figura a). Si consideri il processo di carico istantaneo. Le caratteristiche dello strato sono riassunte in tabella. STRATO LIMO ARGILLA

k [m/sec] 10-9 10-11

γtot

3

[kN/m ] 20. 18.

e0 [---] 0.500 0.900

IC [---] 0.05 0.40

cv [m /sec] 0.33*10-6 0.55*10-9 2

Η0

[m] 6.0 0.2

Si determini: a) il cedimento istantaneo dello strato di limo δBT b) il cedimento a lungo termine δLT c) il tempo t90 necessario per raggiungere un grado di consolidazione pari al 90% (si ricorda che TV90 = 0.848) d) il cedimento accumulato dopo 100 giorni (si faccia riferimento alla figura c). e) si valuti l’influenza sul cedimento complessivo e sui tempi di consolidazione della eventuale presenza di una intercalazione continua di argilla (figura 2b) le cui caratteristiche sono riportate nella tabella precedente (è sufficiente una risposta qualitativa).

Figura a

Figura b

Figura c

Esercizio 3

Il deposito, schematizzato in figura, è costituito da uno strato sabbioso superficiale (1) sede della falda F1, sovrastante uno strato di argilla (2) di spessore 3m, a sua volta poggiante su uno strato di sabbia (3). Il carico idraulico totale dello strato di sabbia 3 è governato dal livello idrometrico F3. In tempi brevi rispetto ai tempi di risposta dello strato argilloso il livello idrometrico F3 scende di – 1.5m (da F3A a F3B). Si consideri l’abbassamento del livello idrometrico F3 istantaneo. La falda superficiale F1 mantiene inalterato il suo livello. Si valuti: a) la variazione della componente verticale di sforzo efficace a breve termine Δσ’vBT lungo lo spessore dello strato argilloso b) la variazione della componente verticale di sforzo efficace a lungo termine Δσ’vLT lungo lo spessore dello strato argilloso c) il valore della pressione u a 130 giorni di distanza dall’abbassamento idrometrico (è sufficiente fornire i valori in corrispondenza delle quote corrispondenti ai punti A, B, C). Si faccia

riferimento alla soluzione analitica riportata in figura. Il coefficiente di consolidazione dello strato argilloso è pari a cv = 1. *10-7 m2/sec.

Esercizio 4

Sul deposito stratificato schematizzato in figura 1 deve essere realizzato un rilevato di altezza H=7m costipando della terra con peso di volume di 18 kN/m3 su un’area molto estesa rispetto allo spessore H1=8m dello strato argilloso saturo superficiale ( γargilla=20 kN/m3) al di sotto del quale si trova un strato impermeabile. Per la caratterizzazione meccanica dello strato argilloso intermedio è stata eseguita una prova edometrica su un campione indisturbato che ha fornito i dati riportati in fig. 2. Stimare la variazione di altezza dello strato argilloso a lungo termine indotta dalla costruzione del rilevato.

7m 4m 8m

edo

Figura 1

argilla

σ' v

max

1

10

100

1000

1

10

100

1000

1 0.9

Indice dei vuoti, e

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 σ'v (kPa) Figura 2

Esercizio 5

In figura sono riportati i dati di una prova edometrica eseguita su un provino indisturbato, prelevato a una profondità di –4.0 metri dal piano campagna in un deposito saturo di argilla limosa. Il livello di falda, in regime idrostatico, è coincidente con il piano campagna. Il peso saturo è pari a 20 kN/m3. L’indice dei vuoti iniziale, e0, è pari a 0.950. a) Si determini il grado di sovraconsolidazione OCR del deposito alla quota di prelievo del campione; b) si determini graficamente la curva di compressibilità del materiale naturale.

1

10

100

1000

1

10

100

1000

1 0.9

indice dei vuoti, e

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

sforzo verticale efficace, σ 'v (kPa)

Soluzione degli esercizi sulle prove edometriche

Esercizio 5

La costruzione per la determinazione di σ 'vmax (pari a 110 kPa) è riportata in figura 30. Conseguentemente: OCR =

100 = 2.5 40

(177)

σ'v ≅ 100 kPa max

1

10

100

1000

1

10

100

1000

1 0.9

Indice dei vuoti, e

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 σ'v (kPa) Fig. 30

Prove di taglio Esercizio 1

In figura sono riportati i dati di una prova di taglio radiale. Determinare i parametri di resistenza al taglio di picco e residua. 140

tensione tangenziale media, τ (kPa)

120

100

80

60 σ'n=200 kPa

40 σ'n=150 kPa

20

σ'n=50 kPa

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

spostamento relativo, x (cm)

Esercizio 2

In tabella sono riportati i dati di rottura relativi a prove di taglio diretto eseguite su provini di un campione indisturbato aventi sezione circolare di diametro D = 60 mm. Prova 1 2 3 4

σv (kPa) 50 100 150 200

T (N) 147 218 277 350

a) Determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati a disposizione. b) Considerando una prova sul medesimo campione condotta a sforzo verticale di 350 kPa, qual è il valore dello sforzo tangenziale a rottura τmax che ci si aspetta di rilevare?

Esercizio 3

In tabella sono riportati i dati di rottura relativi a prove di taglio diretto eseguite su provini di un campione indisturbato aventi sezione circolare di diametro d = 60 mm. Determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati a disposizione.

Prova 1 2 3

Ν (kg) 14.13 28.27 56.54

Tp (kg) 8.54 14.18 26.10

Tres (kg) 4.60 9.10 18.55

Se sul medesimo terreno si eseguisse una prova triassiale standard consolidata drenata (CD) in cui si misura qf = 180 kPa, determinare i valori degli sforzi efficaci assiale e radiale a rottura σ’af e σ’rf.

Esercizio 4

In figura sono riportati i risultati di una prova di taglio anulare. Determinare i parametri di resistenza al taglio di picco e residua.

σn=200 kPa

σn=150 kPa σn=100 kPa

I dati relativi a un’ulteriore prova, eseguita a sforzo normale pari a 50 kPa sono riportati in fig. 9.2. Sono consistenti con i precedenti? Perché?

Esercizio 5 In figura sono riportati i dati della fase di taglio di prove triassiali standard su sabbia di media densità relativa. Determinare i parametri di resistenza al taglio.

2

deviatore, q (MPa)

1.6 σ'r = 0.5 MPa

1.2

σ'r = 0.3 MPa

0.8

0.4 σ'r = 0.1 MPa

0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

deformazione assiale, εa

Esercizio 6

In tabella sono riportati i dati a rottura di una serie di prove di taglio diretto effettuate su campioni del medesimo terreno. Provino 1 2 3

σn (kPa)

τp (kPa)

100 200 400

87 123 195

Determinare i parametri di resistenza al taglio. Dire inoltre, motivando la risposta, di che tipo di terreno si tratta.

Esercizio 7

Considerati i seguenti risultati ottenuti da prove di taglio diretto: Prova 1 2 3

σn (kPa)

τf (kPa)

100 200 400

56 105 215

a) valutare i parametri di resistenza al taglio del terreno; b) Ipotizzando di eseguire su un campione del medesimo materiale una prova TXCU che a rottura fornisce i valori q=180 kPa, e σr= 210 kPa dire se il valore u=110 kPa indicato dal trasduttore di pressione risulta essere consistente sulla base dell'inviluppo di rottura ricavato precedentemente. Esercizio 8

La resistenza al taglio di un terreno è stata caratterizzata mediante l’esecuzione di tre prove di taglio diretto eseguite su tre provini cilindrici aventi sezione circolare di diametro 60 mm. Le tre prove eseguite a tre differenti livelli di carico verticale, pari rispettivamente a 300 N, 560 N e 700 N, hanno fornito i risultati riportati in figura, ove si riporta l’andamento della forza T in funzione dello spostamento orizzontale x.

Si determinino i parametri di resistenza al taglio del terreno in esame. Esercizio 9

In figura sono riportati i dati di prove di taglio diretto eseguite su campioni indisturbati saturi di argilla. Si ricavino i parametri di resistenza a taglio del materiale.

140

120

sforzo di taglio, τ (kPa)

σ'v = 275 kPa 100

80

σ'v = 151 kPa

60

40

σ'v = 69 kPa 20

0 0

2

4

6

8

spostamento orizzontale, x (mm)

10

Domanda 1 Descrivere brevemente una prova di taglio diretto. Dire a che scopo può essere eseguita e quali parametri possono essere deteminati.

Soluzione degli esercizi sulle prove di taglio Esercizio 2

Dividendo i valori di T per l’area del provino (28.27 cm2) si ottiene: Prova 1 2 3 4

σv (kPa)

τp (kPa)

50 100 150 200

52 77 98 124

Diagrammando tutte le prove nel medesimo piano τ, σ'n:

τ (kPa)

600

400

200

0

20

0

200 400 σ' (kPa)

600

Fig. 31

da cui graficamente φ ' ≅ 27° e c ' ≅ 20 kPa . Pertanto l’inviluppo di rottura è dato da:

τ max = 20 + σ '⋅ tan (φ ')

(178)

ovvero, eseguendo una prova a sforzo verticale di 350 kPa, τ max ≅ 198 kPa .

Esercizio 4

Dai dati sperimentali riportati per ciascuna prova si ricavano i valori di resistenza a taglio di picco e residui: Provino 1 2 3

σn (kPa)

τp (kPa)

τr (kPa)

100 150 200

45 63 82

26 42 50

Diagrammando i valori di picco e residui nel medesimo piano τ, σ'n:

Punti sper picco Inv. picco Punti sper residuo Inv. residuo

τ (kPa)

120

80

40 10

0 0

100 200 σ'n (kPa)

300

Fig. 32

da cui, interpolando i dati sperimentali mediante due opportune rette: – picco: φ ' picco ≅ 20° , c ' ≅ 10 kPa – residuo: φ 'res ≅ 15° Ricordando poi l’inviluppo di rottura:

τ picco = σ ' tan (φ ' picco ) + c ' τ res = σ ' tan (φ 'res )

(179)

si ricava, per che per la quarta prova τ picco è consistente con gli inviluppi trovati mentre non lo è τ res .

Inv. picco Inv. residuo Punti sper picco 50 kPa Punti sper residuo 50 kPa

τ (kPa)

120

80

40 10

0 0

100 200 σ'n (kPa)

300

Fig. 33

Esercizio 5 Dai grafici riportati nel testo del problema si ricava al picco:

σ' r (MPa)

Quindi per ogni prova si ricava

0.1 0.3 0.5

q (MPa) 0.39 1.08 1.63

σ'r

σ 'a = σ 'r + q

0.1 0.3 0.5

0.49 1.38 2.13

Disegnando i cerchi di Mohr rappresentativi dello stato di sforzo limite nel medesimo piano τ, σ':

τ (MPa)

1.6 1.2 0.8 0.4 0

0.1 0.3 0.49 0.495

0

1.38

1

σ' (MPa)

2.135

2

3

Fig. 34

si ricava graficamente: φ ' ≅ 40° e c ' = 0 .

Esercizio 6

Diagrammando tutte le prove nel medesimo piano τ, σ'n:

τ (kPa)

600

400

200 50

0 0

200 400 σ'n (kPa)

600

Fig. 35

si ricava graficamente: φ ' ≅ 20° e c ' = 50 kPa . Dai dati sperimentali ottenuti si può ipotizzare che il terreno sia un'argilla sovraconsolidata (c'>0).

Prove triassiali Esercizio 1

In tabella sono riportati i dati a rottura relativi a prove triassiali eseguite su provini di un campione indisturbato: a) determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati (c’, φ’, cu) b) dire che tipo di terreno è stato presumibilmente sottoposto a prova c) determinare il valore della pressione uf che si sarebbe misurata a rottura nella prova TXUU provino

tipo prova

1 2 3 4

TXCD TXCU TXCD TXUU

σ rf

2

[kN/m ] 300 300 500 200

σaf

2

[kN/m ] 477 390 1030 280

uf [kN/m2] 200 250 200 ???

Esercizio 2

Su un provino di terreno con resistenza caratterizzata da coesione nulla c’= 0, e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, viene eseguita una prova triassiale non standard nei seguenti passi: - consolidazione isotropa fino a una pressione di cella σr = 500 kPa con contropressione B.P = 300 kPa - incremento di sforzo deviatorico con Δσr = - Δσa/ 2 in condizioni drenate a B.P costante a) diagrammare i percorsi degli sforzi totali TSP ed efficaci ESP seguiti nel corso della prova b) determinare il valore del deviatore a rottura qf

Esercizio 3

In figura sono riportati i dati della fase di taglio di una prova triassiale consolidata non drenata standard eseguita su un terreno morenico. Un elemento di volume saturo dello stesso materiale viene assoggettato a un incremento di sforzo totale caratterizzato da Δσa = 50 kPa e Δσr = 20 kPa, in condizioni non drenate. Determinare l’incremento di sforzo efficace Δσ’a , Δσ’r indotto dalla variazione di sforzo totale.

50

40

35 40

30

30 Δ u (kPa)

q (kPa)

25

20

20

15

10 GRUBEN MORAINE TXCU - p' 0 = 50 kPa

10

5

0 0.000

0.004

0.008

0.012

0.016

0 0.000

0.020

0.004

0.008

0.012

0.016

0.020

εa

εa

Esercizio 4

Su provini indisturbati di limo argilloso vengono eseguite tre prove triassiali non drenate di compressione standard i cui dati sono riportati in figura. Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno. 500

350

450

σc = 600 kPa

σc = 600 kPa

300

400 250

350

300

u [kPa]

q [kPa]

200

σc = 400 kPa

250

σc = 400 kPa 150

200

150

100

σc = 200 kPa

σc = 200 kPa 100 50

50

0

0 0

2

4

6

8

10

εa [%]

12

14

16

18

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

εa [%]

Esercizio 5

Su un provino di terreno, caratterizzato da un angolo di resistenza al taglio φ’=30° e coesione c’ nulla, viene eseguita una prova triassiale drenata non standard nei seguenti passi: ƒ consolidazione isotropa fino a una pressione radiale σr = 450 kPa con contropressione B.P. = 300 kPa; ƒ decremento di sforzo deviatorico con Δσr