Esercizi di Geotecnica

Esercizi di Geotecnica

POLITECNICO DI TORINO I FACOLTA’ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA EDILE

Esercizi svolti nel Corso di Geotecnica relativamente a:

Prove triassiali su rocce Prove triassiali su argille

Verifiche di stabilità su muri e diaframmi Carico limite e capacità portante su fondazione

1

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 1. Tre provini cilindrici in roccia sono sottoposti a prova di compressione triassiale, tutti e tre hanno diametro pari a 40mm e sono noti i valori della sollecitazione radiale e del carico normale alla rottura. Saranno determinati: a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui piani 𝜏 − 𝜎 , 𝜎1 − 𝜎3 , 𝑡 − 𝑠 b. il piano di rottura su un provino di riferimento c. il valore della resistenza a compressione monoassiale

prov.1

Ϭ3 [MPa] 2

N [kg] 18600

N [kN] 186

prov.2

4

20400

204

prov.3

8

24800

248

I valori di N sono stati convertiti essendo 1𝑘𝑔 = 10−2 𝑘𝑁 Area dei provini

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝐷2 /4 = 1256,6 𝑚𝑚2 = 0,00125 𝑚2

Dal rapporto tra N ed A si ottengono le sollecitazioni assiali riportati in MPa 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 1 𝜎1 =

186 𝑘𝑁/𝑚2 = 148800 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 148,8 𝑀𝑃𝑎 0,00125

𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 2 𝜎1 =

204 𝑘𝑁/𝑚2 = 163200 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 163,2 𝑀𝑃𝑎 0,00125

𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 3 𝜎1 =

248 𝑘𝑁/𝑚2 = 198400 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 198,4 𝑀𝑃𝑎 0,00125

2

Esercizi di Geotecnica a.1. PIANO 𝑡 − 𝑠 Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo

Ϭ1 [MPa] 148,8 163,2 198,4

prov.1 prov.2 prov.3

Ϭ3 [MPa] 2 4 8

s = (Ϭ1+Ϭ3)/2 75,4 83,6 103,2

t = (Ϭ1-Ϭ3)/2 73,4 79,6 95,2

La retta interpolante ha equazione 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 dove 𝑏=

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 𝑑𝑒𝑣

= 0,786 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦̅) = 320,88 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 408,08 [𝑀𝑃𝑎] 𝑥̅ = ∑

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 87,4 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑁

𝑦̅ = ∑

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 82,73 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑁

Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi 𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ = 82,73 − 0,78 ∙ 87,4 = 14,01 [𝑀𝑃𝑎] 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,78) = 38°

𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 − 𝑠

Piano t-s 120

y = 0,786x + 14

100

103,2; 95,2

t [MPa]

80

83,6; 79,6 75,4; 73,4

60 40 20 14 0 0

20

40

60

80

100

120

s [MPa]

3

Esercizi di Geotecnica

a.2. PIANO

𝜏−𝜎

Riportando le coppie 𝜎1 , 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel piano 𝜏 − 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e 𝜑

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(tan 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,78) = 51° 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑′𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑐=

𝑎 14 = = 22,25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 cos 𝜑 0,629

prov.1 prov.2 prov.3

Ϭ1 [MPa] 148,8 163,2 198,4

Ϭ3 [MPa] 2 4 8

4

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a.3. PIANO

𝜎1 − 𝜎3

la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = 𝐶𝑜 + 𝜎3 𝑁Ф 𝑁Ф =

𝐶𝑜 =

1 + sin 𝜑 1 + sin 51 = = 7,97 1 − sin 𝜑 1 − sin 51

2c cos φ 2(22,25 MPa) cos 51° = = 125,66 MPa 1 − sin φ 1 − sin 51°

Piano ϭ1-ϭ3 250 8; 198,4 200 4; 163,2 2; 148,8

ϭ1 [MPa]

150

100

50

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ϭ3 [MPa]

5

Esercizi di Geotecnica b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA Considerando il provino 1 è individuato nel piano 𝜏 − 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo dell’origine dei piani. 𝛼=

𝜋 φ + = 70,5° ; 4 2

𝛽=

𝜋 φ − = 19,5° 4 2

c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che è già stato utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 − 𝜎3 𝐶𝑜 =

2c cos φ 2(22,25 MPa) cos 51° = = 125,66 MPa 1 − sin φ 1 − sin 51°

6

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 2. Su un provino di calcare viene effettuata una prova di compressione monoassiale, il diametro del provino è di 62 mm e l’altezza è doppia rispetto al diametro. Di seguito sono ricavati i valori di a. Resistenza a compressione monoassiale 𝐶𝑜 b. Modulo elastico secante 𝐸𝑆50 e rapporto di Poisson secante 𝜈𝑆50 in corrispondenza del valore 𝐶𝑜/2 La resistenza a compressione monoassiale è nota → 𝜎1 = 𝐶𝑜 = 68 𝑀𝑃𝑎 Si terrà conto della resistenza a compressione monoassiale media 𝐶𝑜/2 = 34 𝑀𝑃𝑎 Presa una retta parallela all’asse delle ascisse e passante per il punto 𝐶𝑜/2, si individuano le parallele considerando un intervallo ∆𝜎 = 10 𝑀𝑃𝑎. Per le due curve del diagramma, mandiamo le secanti che intercettano il punto 𝐶𝑜/2 e l’origine, quindi nei punti in cui le parallele incontrano la secante tracciamo l’ortogonale che ci darà i valori specifici sull’asse delle ascisse (∆𝜀𝑠1 , ∆𝜀𝑠3 ).

ricordando che 𝜇𝜀 = 𝜀 ∙ 10−6 , ∆𝜀𝑠1 = 200𝜇𝜀, ∆𝜀𝑠3 = 75𝜇𝜀 𝐸𝑆50 =

∆𝜎 10 𝑀𝑃𝑎 = = 50000 𝑀𝑃𝑎 ∆𝜀𝑆1 200 ∙ 10−6

𝜈𝑆50 =

∆𝜀𝑆3 50 ∙ 10−6 = = 0,25 ∆𝜀𝑆1 200 ∙ 10−6

7

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E S E R C I Z I O 3. Da una serie di prove di compressione triassiale su campioni di roccia sono ottenuti i risultati in tabella. Saranno determinati: a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui piani 𝜏 − 𝜎 , 𝜎1 − 𝜎3 , 𝑡 − 𝑠 b. il piano di rottura su un provino di riferimento c. il valore della resistenza a compressione monoassiale

Ϭ3 [MPa]

Ϭ1 [MPa]

prov.1

5

86

prov.2

10

104

prov.3

20

147

a.1. PIANO 𝑡 − 𝑠 Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo

prov.1 prov.2 prov.3 3

𝑥̅ = ∑ 𝑖=1 3

𝑦̅ = ∑ 𝑖=1

Ϭ1 [MPa]

Ϭ3 [MPa]

s = (Ϭ1+Ϭ3)/2

t = (Ϭ1-Ϭ3)/2

86 104 147

5 10 20

45,5 57 83,5

40,5 47 63,5

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 62 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑁 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 50,33 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑁

La retta interpolante ha equazione 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 dove 𝑏=

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 𝑑𝑒𝑣

= 0,608 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 3

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦̅) = 462 [𝑀𝑃𝑎] 𝑖=1 3

𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 759,5 [𝑀𝑃𝑎] 𝑖=1

8

Esercizi di Geotecnica Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi 𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ = 50,33 − 0,608 ∙ 62 = 12,62 [𝑀𝑃𝑎] 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,608) = 31°

𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 − 𝑠

Piano t-s 80 y = 0,608x + 12,62

70

83,5; 63,5

60

t [MPa]

50

57; 47 45,5; 40,5

40 30 20

12,62 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

s [MPa]

9

Esercizi di Geotecnica

a.2. PIANO

𝜏−𝜎

Riportando le coppie 𝜎1 , 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel piano 𝜏 − 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e 𝜑

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(tan 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,6) = 36° 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑′𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑐=

𝑎 12,62 = = 15,6 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 cos 𝜑 0,809

Ϭ3 [MPa]

Ϭ1 [MPa]

prov.1

5

86

prov.2

10

104

prov.3

20

147

10

Esercizi di Geotecnica

a.3. PIANO

𝜎1 − 𝜎3

la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = 𝐶𝑜 + 𝜎3 𝑁Ф 𝑁Ф =

2c cos φ 2(15,6 MPa) cos 36° = = 61,26 MPa 1 − sin φ 1 − sin 36°

Piano ϭ1-ϭ3 160 140

20; 147

120 100 10; 104

ϭ1 [MPa]

𝐶𝑜 =

1 + sin 𝜑 1 + sin 36 = = 3,85 1 − sin 𝜑 1 − sin 36

80

5; 86

60 40 20 0 0

5

10

15

20

25

ϭ3 [MPa]

11

Esercizi di Geotecnica b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA Considerato il provino 1 è stato individuato nel piano 𝜏 − 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo dell’origine dei piani O.P.)

c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che è già stato utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 − 𝜎3 𝐶𝑜 =

2c cos φ 2(15,6 MPa) cos 36° = = 61,26 MPa 1 − sin φ 1 − sin 36°

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E S E R C I Z I O 4. Un provino in roccia è interessato da una discontinuità avente le seguenti caratteristiche di resistenza a taglio: 𝐽𝑅𝐶 = 14 𝐽𝐶𝑆 = 75 𝑀𝑃𝑎 𝜑𝑟 = 32° ipotizzando che il provino sia sottoposto a stato tensionale in cui 𝜎1 = 80 𝑀𝑃𝑎, 𝜎3 = 20 𝑀𝑃𝑎 determinare: a. le tensioni agenti sulla discontinuità e verificare la stabilità della stessa b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏 c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr

stato tensionale principale 𝜎𝑥𝑦 = |

20 0

0 | [𝑀𝑃𝑎] 80

angolo tra la normale al piano e l’asse x

𝛼 = 90° − 50° = 40°

𝜎𝑛 = 𝜎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝜎𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 20 ∙ 0,586 + 80 ∙ 0,413

→

44,79 𝑀𝑃𝑎

1 1 1 1 𝜏 = − 𝜎𝑥 cos 2𝛼 + 𝜎𝑦 sen 2𝛼 = − ∙ 20 ∙ 0,173 + ∙ 80 ∙ 0,984 2 2 2 2

→

29,544 𝑀𝑃𝑎

Stato tensionale agente sulla superficie della discontinuità nel cerchio di Mohr 𝜎1 + 𝜎3 𝐶=( ; 0) = (𝜎𝑚𝑒𝑑 ; 0) 2 { 𝜎1 − 𝜎3 𝑅= = 𝜏𝑚𝑎𝑥 2

→

𝐶 = (50; 0) [𝑀𝑃𝑎] { 𝑅 = 30 [𝑀𝑃𝑎]

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Esercizi di Geotecnica Applicando il criterio di Barton 𝜑𝑝 = 𝐽𝑅𝐶 ∙ log

𝐽𝐶𝑆 75 + 𝜑𝑟 = 14 ∙ log + 32° = 35°, 13 𝜎𝑛 44,79

𝜏𝑝 = 𝜎𝑛 ∙ tan 𝜑𝑝 = 44,79 𝑀𝑃𝑎 ∙ 0,7 = 31,51 𝑀𝑃𝑎 31,51 𝑀𝑃𝑎 > 29,54 𝑀𝑃𝑎 →

𝜏𝑝 > 𝜏𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏 c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr

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E S E R C I Z I O 5. Una superficie con lunghezza di 18m è sottoposta alla tensione normale media 𝜎𝑛 = 50 𝑘𝑃𝑎 lungo tutta la superficie. Determinare la resistenza a taglio della superficie sapendo che su porzioni di essa (L=10cm) sono noti i parametri 𝐽𝑅𝐶 = 14 𝐽𝐶𝑆 = 80 𝑀𝑃𝑎 𝜑𝑟 = 25°

Effetti di scala 𝐿𝑛 −0,002𝐽𝑅𝐶0 18𝑚 −0,002∙14 𝐽𝑅𝐶𝑛 = 𝐽𝑅𝐶0 ∙ ( ) = 14 ∙ ( ) = 3,27 𝐿0 0,1𝑚

𝜑𝑝 = 𝐽𝑅𝐶 ∙ log

𝐽𝐶𝑆 𝜎𝑛

+ 𝜑𝑏 = 3,27 ∙ log

80 𝑀𝑃𝑎 0,05 𝑀𝑃𝑎

+ 25° = 35°, 47

𝜏𝑟 = 𝜎𝑛 ∙ tan 𝜑𝑝 = 50 ∙ 10−3 MPa ∙ tan35°, 47 = 0,035 MPa = 35 KPa

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E S E R C I Z I O 6. Una prova triassiale di tipo UU è effettuata su tre provini. In tabella sono riportati i risultati relativi a tale prova, nell’esercizio verranno ricavati l’inviluppo di rottura e i parametri di resistenza a taglio.

Ϭc (Ϭ1-Ϭ3)r

PIANO

[KPa] [KPa]

prov.1 300 350

prov.2 400 338

prov.3 500 342

𝜏−𝜎

Per questo tipo di prova i calcoli sono effettuati in termini di tensioni totali calcolo di 𝜎3𝑅 , 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅 = 𝜎𝐶 𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3 )𝑅 + 𝜎3𝑅

Ϭ3r=Ϭc Ϭ1r

[KPa] [KPa]

prov.1 300 650

prov.2 400 738

prov.3 500 842

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PIANO 𝑡 − 𝑠 calcolo di 𝑡𝑅 , 𝑠𝑅 dove 𝑡𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3 )𝑅 /2 𝑠𝑅 = (𝜎1 + 𝜎3 )𝑅 /2

𝑡𝑅

[𝑘𝑃𝑎]

𝑠𝑅

[𝑘𝑃𝑎]

prov.1 175 475

prov.2 169 569

prov.3 171 671

Parametri di resistenza a taglio: 𝐶𝑢 = (𝑡𝑅1 + 𝑡𝑅2 + 𝑡𝑅3 )/3 = 171,66 𝑘𝑃𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑛 𝑑𝑟𝑒𝑛𝑎𝑡𝑎 ϕu = 0

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E S E R C I Z I O 7. In tabella sono riportati i risultati di tre prove triassiali CIU su argilla. Di seguito sono riportati nei punti i calcoli necessari alla rappresentazione dello stato tensionale ed al tracciamento dell’inviluppo di resistenza a taglio oltre che ad indicare gli stress-path totali ed efficaci della prova.

Ϭ'c Ϭ3 (Ϭ1-Ϭ3)r Ur

PIANO

[KPa] [KPa] [KPa] [kPa]

prov.1 200 200 147 104

prov.2 400 400 301 208

prov.3 600 600 473 294

𝜏−𝜎

essendo ∆𝑢 ≠ 0 le tensioni totali saranno diverse da quelle efficaci ′ ′ calcolo di 𝜎3𝑅 , 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅 , 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅 = 𝜎𝐶 = 𝜎𝐶′ ′ 𝜎3𝑅 = 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅

𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3 )𝑅 + 𝜎3𝑅 ′ 𝜎1𝑅 = 𝜎1𝑅 − 𝑢𝑅

Ϭ3r=Ϭc=Ϭ'c [KPa] Ϭ1r [KPa] Ϭ'3r Ϭ'1r

[KPa] [KPa]

prov.1 200 347

prov.2 400 701

prov.3

96 243

192 493

306 779

600 1073

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Esercizi di Geotecnica

PIANO 𝑡 − 𝑠 Lo stato tensionale in questo piano sarà ′ ′ 𝑡𝑅′ = 𝑡𝑅 = (𝜎1𝑅 − 𝜎3𝑅 )/2 = (𝜎1 − 𝜎3 )𝑅 /2 𝑠𝑅 = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅 )/2 ′ ′ 𝑠𝑅′ = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅 )/2

tr = t'r sr s'r

[KPa] [KPa] [KPa]

prov.1 73,5 273,5 169,5

prov.2 150,5 550,5 342,5

prov.3 236,5 836,5 542,5

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Esercizi di Geotecnica Rappresentazione dei risultati nel piano t-s,s’

Parametri di resistenza a taglio (graficamente) 𝑎′ = 0

𝛼′ = 24°

𝜑 ′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛32) = 26,44° 𝑐 ′ = 𝑎′ /𝑐𝑜𝑠𝜑 ′ = 0

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente) 𝑥̅ = ∑

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 351,5 [𝑘𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑁

𝑦̅ = ∑

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 153,5 [𝑘𝑃𝑎] 𝑁

𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦̅) = 30440 [𝑘𝑃𝑎] 𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 69686 [𝑘𝑃𝑎] 𝑏=

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 𝑑𝑒𝑣

= 0,437 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

20

Esercizi di Geotecnica 𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ = 153,5 − 0,437 ∙ 351,5 = −0,05 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,437) = 23,60°

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente) 𝛼 ′ = 24°

𝜑 ′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼 ′ ) = 25,90°

𝑎′ = 0

𝑐 ′ = 𝑎′ /𝑐𝑜𝑠𝜑 ′ = 0

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E S E R C I Z I O 8. Da un deposito di argilla sono estratti 4 campioni alla profondità di 5m rispetto al piano di campagna e su tali campioni sono eseguite prove di compressione triassiale CK0U. Verranno determinati i parametri di resistenza a taglio 𝑐 ′ , 𝜑′ relativi all’argilla in esame e la resistenza a taglio non drenata Cu per ognuno dei quattro provini.

Ϭ'vc Ϭ'hc (Ϭ1-Ϭ3)r Ur

[KPa] [KPa] [KPa] [KPa]

prov.1 20 9 17 4

prov.2 50 22.5 44 7

prov.3 100 45 95 11

prov.3 200 90 190 20

Stima dei parametri di resistenza a taglio 𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3 )𝑅 + 𝜎3𝑅 ′ 𝜎3𝑅 = 𝜎ℎ𝐶 = 𝜎ℎ𝐶 ′ 𝜎1𝑅 = 𝜎1𝑅 − 𝑢𝑅 ′ 𝜎3𝑅 = 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅 ′ ′ 𝑡𝐶′ = 𝑡𝐶 = (𝜎𝑣𝐶 − 𝜎ℎ𝐶 )/2 = (𝜎𝑣𝐶 − 𝜎ℎ𝐶 )/2 ′ ′ ′ 𝑠𝐶 = 𝑠𝐶 = (𝜎𝑣𝐶 + 𝜎ℎ𝐶 )/2 = (𝜎𝑣𝐶 + 𝜎ℎ𝐶 )/2 ′ ′ 𝑡𝑅′ = 𝑡𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3 )𝑅 /2 = (𝜎1𝑅 + 𝑢𝑅 − 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅 )/2 ′ ′ (𝜎 )/2 (𝜎 𝑠𝑅 = 1𝑅 + 𝜎3𝑅 = 1𝑅 + 𝑢𝑅 + 𝜎3𝑅 + 𝑢𝑅 )/2 ′ 𝑠𝑅 = 𝑠𝑅 − 𝑢𝑅

I calcoli sopracitati sono riportati nella tabella seguente per tutti i quattro provini

Ϭ'vc Ϭ'hc (Ϭ1-Ϭ3)r Ur Ϭ1r Ϭ3r Ϭ'1r Ϭ'3r tc = t'c sc = s'c tr=t'r sr s'r

[KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa]

prov.1 20 9 17 4

prov.2 50 22,5 44 7

prov.3 100 45 95 11

prov.3 200 90 190 20

26 9 22 5 5,5 14,5 8,5 17,5 13,5

66,5 22,5 59,5 15,5 13,75 36,25 22 44,5 37,5

140 45 129 34 27,5 72,5 47,5 92,5 81,5

280 90 260 70 55 145 95 185 165

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Esercizi di Geotecnica

Parametri di resistenza a taglio (graficamente) 𝑎′ = 0 𝛼′ = 30° 𝜑 ′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛30) = 35° 𝑐 ′ = 𝑎′ /𝑐𝑜𝑠𝜑 ′ = 0 Analiticamente 𝑥̅ = ∑

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 74,375 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑁

𝑦̅ = ∑

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 43,5 [𝑀𝑃𝑎] 𝑁

𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) ∙ (𝑦𝑖 − 𝑦̅) = 7619,125 [𝑀𝑃𝑎] 𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 13329,19 [𝑀𝑃𝑎] 𝑏=

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 𝑑𝑒𝑣

= 0,572 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ = 43,5 − 0,572 ∙ 74,375 = 0,74 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,572) = 29,77°

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Esercizi di Geotecnica Parametri di resistenza a taglio (analiticamente) 𝜑 ′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼 ′ ) = 34,89° 𝑐 ′ = 𝑎′ /𝑐𝑜𝑠𝜑 ′ = 0,85

Stima della resistenza a taglio non drenata in ogni campione per il provino 1 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 8,5 per il provino 2 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 22 per il provino 3 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 47,5 per il provino 4 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 95 ′ ′ Resistenza a taglio non drenata nel provino in cui 𝜎𝑉0 = 𝜎𝑉𝐶 ′ ′ se in uno dei quattro provini accade che 𝜎𝑉0 = 𝜎𝑉𝐶 allora la 𝑡𝑚𝑎𝑥 a rottura corrisponde alla Cu in sito. Alla profondità di estrazione dei provini (5m) ′ 𝜎𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 = 𝛾𝑧 − 𝛾𝑤 𝑧𝑤 = 20𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 5𝑚 − 10𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 5𝑚 = 100𝑘𝑃𝑎 − 50𝑘𝑃𝑎 = 50𝑘𝑃𝑎 ′ ′ 𝜎𝑉0 = 𝜎𝑉𝐶

→

𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 2

𝐶𝑢 = 𝜏𝑚𝑎𝑥𝑅 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 22 𝑘𝑃𝑎

→

′ 𝐶𝑢 = 𝑓(𝜎𝑉0 )

24

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 9. Un muro è soggetto alla spinta del terreno (sabbia) su cui grava un carico uniformemente distribuito ed è presente una falda a 8m. verrà calcolata la spinta attiva e verrà eseguita la verifica a ribaltamento e scorrimento trascurando la spinta passiva.

In conformità con le ipotesi di Rankine: -

piano di campagna orizzontale paramento del muro verticale attrito nullo tra terreno e muro

i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle più sfavorevoli. Sabbia 𝛾 = 21 𝑘𝑁/𝑚3 , 𝜑 ′ = 38° Presenza di falda 𝛾𝑤 = 10 𝑘𝑁/𝑚3 Presenza di sovraccarico 𝑞 = 35 𝑘𝑃𝑎 = 35 𝑘𝑁/𝑚2 Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue 𝜎𝑉0 = 𝛾 ∙ 𝑧 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑢0 = 𝑧 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝜎′𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑉0 ∙ 𝑘𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑄 = 𝑞 ∙ 𝑘𝑎 𝜋 𝜑′ 𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 ( − ) = 0,24 4 2

25

Esercizi di Geotecnica

𝜎𝑉0

𝑢0

′ 𝜎𝑉0

𝜎𝑎′

punti

z [m]

KN/m

KN/mq

KN/mq

KN/mq

A

0

0

0

0

0

B

8

168

0

168

40,32

C

9

189

10

179

42,96

𝑄 KN/mq 8,4

26

Esercizi di Geotecnica

I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare :

Le spinte sono date calcolando le rispettive aree 𝑃1 = 8 𝑚 ∙ 40,32 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 161,28 𝑘𝑁/𝑚 𝑃2 = 1 𝑚 ∙ 40,32 𝑘𝑁/𝑚2 = 40,32 𝑘𝑁/𝑚 𝑃3 = 1 𝑚 ∙ (42,96 − 40,32) 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 1,32 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑤 = 1 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 5 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑞 = 9 𝑚 ∙ 8,4 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 75,6 𝑘𝑁/𝑚

La spinta risultante (spinta attiva) è la seguente 𝑃𝑎 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃𝑤 + 𝑃𝑞 = 283,52 𝑘𝑁/𝑚 Il punto di applicazione delle spinte è quello più valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti 𝑀1 = 𝑃1 ∙ 𝑏1 = 161,28 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 3,67 𝑚 = 591,90 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀2 = 𝑃2 ∙ 𝑏2 = 40,32 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,5 𝑚 = 20,16 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀3 = 𝑃3 ∙ 𝑏3 = 1,32 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,33 𝑚 = 0,44 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀𝑤 = 𝑃𝑤 ∙ 𝑏𝑤 = 5 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,33 𝑚 = 1,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀𝑞 = 𝑃𝑞 ∙ 𝑏𝑞 = 75,6 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 4,5 𝑚 = 340,20 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Il momento totale è 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 954,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚

27

Esercizi di Geotecnica VERIFICA A RIBALTAMENTO A MONTE DEL MURO Calcolo dei momenti ribaltanti :

Il momento ribaltante è dato dalle rispettive spinte attive (forze orizzontali) moltiplicate per i relativi bracci; esso tende ad instabilizzare la struttura. Essendo state moltiplicate le spinte per i bracci rispettivi in precedenza, il momento ribaltante è il momento totale 𝑀𝑟𝑖𝑏 = 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 648,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚 Calcolo dei momenti stabilizzanti :

28

Esercizi di Geotecnica Il momento stabilizzante è dato dalle forze verticali moltiplicate per i rispettivi bracci, esso tende a stabilizzare la struttura e quindi e a contrastare il ribaltamento della struttura. Dividendo la sezione del muro in figure geometriche regolari. Per ogni figura, moltiplicando il volume V per la densità del calcestruzzo (𝛾𝑐𝑙𝑠 = 25 𝑘𝑁/𝑚3 ) per le figure P1, P2,P3 e per la densità della sabbia (𝛾𝑠𝑎𝑏𝑏𝑖𝑎 = 21 𝑘𝑁/𝑚3 ) per la figura P4, si ottiene il peso W. Dall’equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene il valore di M.

V

W

bw

M

mc/m

kN/m

m

kNm/m

P1

4

100

0,66

66

P2

5,6

140

1,35

189

P3

5

125

2,5

312,5

P4

26,4

554,14

3,35

1857,24

Nel calcolo è stato trascurato il sovraccarico q che contribuisce alla stabilità del muro, andando quindi a FAVORE DI SICUREZZA. Infatti se la struttura è verificata senza considerare il carico (Q=q . 3,3); a maggior ragione considerandolo, aumenterà il carico e il momento stabilizzante e con esso anche il Fattore di Sicurezza.

𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏 = 2424,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝐹𝑠 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏 /𝑀𝑟𝑖𝑏 ≥ 1,5 𝐹𝑠 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏 /𝑀𝑟𝑖𝑏 = 2424,9/954,65 = 2,54 > 1,5

VERIFICATO

VERIFICA A SCORRIMENTO A MONTE DEL MURO Tenendo conto dei pesi W delle figure calcolati per la verifica a ribaltamento, del coefficiente d’attrito 𝛿 terreno/piede del muro e della spinta attiva 𝑃𝑎 deve essere soddisfatta la disuguaglianza

𝐹𝑠 = dove 2 𝛿 = 𝜑 ′ = 25,33 → tan 𝛿 = 0,47 3 𝑊𝑖 = 919,14 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑎 = 283,52 𝑘𝑁/𝑚

→

𝐹𝑠 =

∑ 𝑊𝑖 tan 𝛿 ≥ 1,3 𝑃𝑎

919,14 ∙ 0,47 = 1,52 ≥ 1,3 283,52 VERIFICATO

29

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 10. Con riferimento al caso riportato nel disegno eseguire la verifica a sifonamento del diaframma ( Fs=4 ), nell’ipotesi di percorso semplificato. Calcolare la spinta attiva agente sul diaframma ed il suo punto di applicazione, trascurando l’attrito tra struttura e terreno e considerando il moto di filtrazione.

In conformità con le ipotesi di Rankine: -

piano di campagna orizzontale paramento del muro verticale attrito nullo tra terreno e muro

i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle più sfavorevoli.

Argilla 𝛾 = 21 𝑘𝑁/𝑚3 , 𝜑 ′ = 32° Presenza di falda 𝛾𝑤 = 10 𝑘𝑁/𝑚3 Presenza di coesione 𝑐′ = 10 𝑘𝑃𝑎 = 10 𝑘𝑁/𝑚2

30

Esercizi di Geotecnica Verifica a sifonamento del diaframma, nell’ipotesi di percorso semplificato: 𝐹𝑆 = 4 gradiente critico: 𝛾 ′ 𝛾 − 𝛾𝑤 21 − 10 𝑖𝑐 = = = = 1,1 𝛾𝑤 𝛾𝑤 10 gradiente richiesto: 𝑖𝑐 1,1 𝑖𝑐𝐹𝑠 = = = 0,275 𝐹𝑠 4 Percorso semplificato di filtrazione: 𝐿 = 9𝑚 + 9𝑚 + 4𝑚 = 22𝑚 gradiente di efflusso: ∆𝐻 5 𝑖𝑒 = = = 0,227 𝐿 22 0,275 > 0,227

→

𝑖𝑐𝐹𝑠 > 𝑖𝑒

VERIFICATO

Una ulteriore verifica è il calcolo del fattore di sicurezza reale 𝑖𝑐 1,1 𝐹𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 = ≥ 𝐹𝑆 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑖𝑒𝑠𝑡𝑜 → 𝐹𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 = = 4,85 ≥ 4 𝑖𝑒 0,227

31

Esercizi di Geotecnica Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue: 𝜎𝑉0 = 𝛾 ∙ 𝑧 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑢𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑧𝑤 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 = 𝑖 ∙ 𝑧𝑤 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝑢𝑡𝑜𝑡 = 𝑢𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 − 𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2 ]

( moto di filtrazione dall’alto verso il basso )

𝜎′𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝐶 ′ = − 2 ∙ 𝑐 ′ ∙ √𝑘𝑎 𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑉0 ∙ 𝑘𝑎 − 2 ∙ 𝑐 ′ ∙ √𝑘𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2 ] 𝜋 𝜑′ 𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 ( − ) = 0,31 4 2 𝑖 = 0,227

punti

z [m]

A

0

B

1

C

14

283

KN/m

KN/mq

KN/mq

KN/mq

KN/mq

0

0

10

10 140

KN/mq

KN/mq

0

0

0

0

0

0

10

0

-11,14

-11,14

29,51

110,49

172,51

-11,14

42,34

32

Esercizi di Geotecnica

(11,14 + 42,34)𝑘𝑁/𝑚2 ∶ 13𝑚 = 42,34 𝑘𝑁/𝑚 ∶ 𝑋 𝑋=

13𝑚 ∙ 42,34 𝑘𝑁/𝑚 = 10,29 𝑚 (11,14 + 42,34)𝑘𝑁/𝑚2

33

Esercizi di Geotecnica I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare:

Le spinte sono date calcolando le rispettive aree 𝑃1 = 10,29𝑚 ∙ 42,34 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 217,84 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑤1 = 1,00 𝑚 ∙ 10,00 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑤2 = 13 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚2 = 130 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑤3 = 13 𝑚 ∙ (110,49 − 10,00) 𝑘𝑁/𝑚2 /2 = 653,18 𝑘𝑁/𝑚

La spinta risultante (spinta attiva) è la seguente: 𝑃𝑎 = 𝑃1 + 𝑃𝑤1 + 𝑃𝑤2 + 𝑃𝑤3 = 1006,02 𝑘𝑁/𝑚 Il punto di applicazione delle spinte è quello più valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti 𝑀1 = 𝑃1 ∙ 𝑏1 = 217,84 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 3,41 𝑚 = 747,19 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀𝑤1 = 𝑃𝑤1 ∙ 𝑏𝑤1 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 13,33 𝑚 = 66,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀𝑤2 = 𝑃𝑤2 ∙ 𝑏𝑤2 = 130,00 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 6,5 𝑚 = 845,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑀𝑤3 = 𝑃𝑤3 ∙ 𝑏𝑤3 = 653,18 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 4,33 𝑚 = 2828,27 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Il momento totale è 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 4487,11 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Punto di applicazione della spinta attiva: 𝑀𝑡𝑜𝑡 = 𝑃𝑡𝑜𝑡 ∙ 𝑧𝑡𝑜𝑡 => 𝑧𝑡𝑜𝑡 =

𝑀𝑡𝑜𝑡 4487,11 = = 4,46 𝑚 𝑃𝑡𝑜𝑡 1006,02

34

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 11. Con riferimento alla fondazione riportata in figura si richiede di calcolare 𝑞𝑙𝑖𝑚 , 𝑞𝑎𝑚𝑚

Nel caso in esame il terreno è un’argilla poco SC, le condizioni a breve termine in termini di sforzi efficaci sono quelle più sfavorevoli, ma non conoscendo le ∆𝑢 ≠ 0 la formula di Brinch-Hansen non può essere applicata. Quindi verrà applicato il Criterio di Tresca in termini di sforzi totali.

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑁𝑐 ∙ 𝑠𝑐0 ∙ 𝑑𝑐0 ∙ 𝑖𝑐0 ∙ 𝑏𝑐0 ∙ 𝑔𝑐0 + 𝑞 𝐶𝑢 /𝜎′𝑣0 = 0,34 𝑁𝑐 = 2 + 𝜋 = 5,14 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡à 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞 = 𝜎𝑣0 = 𝛾 ∙ 𝐷 𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑐𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖) 𝑠𝑐0 = 1 + 0,4𝐵/𝐿 = 1,16 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑐0 = 1 + 0,2𝐷/𝐵 = 1,08 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑎 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1𝑚 𝑖 = 1 𝑖𝑛 𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐ℎ𝑖 𝑏 = 𝑔 = 1 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑖 I coefficienti correttivi s, d, i, b, g hanno lo stesso significato di quelli considerati nella formula di BrinchHansen 𝑞 = 𝛾 ∙ 𝐷 = 19 𝑘𝑁/𝑚2 2𝐵 𝑧𝑢 = 𝐷 + 𝑧 = 1𝑚 + = 4,18𝑚 𝑧 = 3,18𝑚 𝜋 𝜎′𝑉0 = (𝛾 ∙ 𝑧𝑢 ) − 𝛾𝑤 (𝑧𝑢 − 𝐷) = (19𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 4,18𝑚) − (10𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 3,18𝑚) = 47,62 𝑘𝑁/𝑚2 𝐶𝑢 = 0,34 ∙ 𝜎′𝑣0 = 16,19 𝑘𝑁/𝑚2

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑁𝑐 ∙ 𝑠𝑐0 ∙ 𝑑𝑐0 ∙ 𝑖𝑐0 ∙ 𝑏𝑐0 ∙ 𝑔𝑐0 + 𝑞 𝑞𝑎𝑚𝑚 =

𝑞𝑙𝑖𝑚 −𝑞 𝐹𝑠

+𝑞

→

→

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 123,25 𝑘𝑁/𝑚2

𝑞𝑎𝑚𝑚 = 53,75 𝑘𝑁/𝑚2

35

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 12. Con riferimento alla fondazione nastriforme poggiante su sabbia, si richiede di calcolare il 𝑞𝑙𝑖𝑚 ed eseguire la verifica a capacità portante.

Dato che il terreno è una sabbia, siamo in condizioni drenate, ∆𝑢 = 0, la verifica è effettuata con la formula di Brinch-Hansen in termini di gli sforzi efficaci. 1

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝛾 ′ ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑠𝛾 ∙ 𝑖𝛾 ∙ 𝑏𝛾 ∙ 𝑔𝛾 + 𝑞′ ∙ 𝑁𝑞 ∙ 𝑠𝑞 ∙ 𝑑𝑞 ∙ 𝑖𝑞 ∙ 𝑏𝑞 ∙ 𝑔𝑞 2

Calcolo dell’eccentricità 𝑒=

𝑀 20𝑘𝑁𝑚 = = 0,12 𝑚 𝑁 170𝑘𝑁

Tenendo conto dell’eccentricità la base della fondazione di cui si tiene conto non è la base iniziale 𝐵, bensì una base ridotta 𝐵𝑟 𝐵𝑟 = 𝐵 − 2𝑒 = 2,76 𝑚 Influenza della falda a livello di piano di campagna 𝛾 ′ = 𝛾 − 𝛾𝑤 = 22𝑘𝑁/𝑚3 − 10𝑘𝑁/𝑚3 = 12 𝑘𝑁/𝑚3 𝑞 ′ = 𝜎 ′ 𝑣0 = 𝛾 ′ ∙ 𝐷 = 12𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 3𝑚 = 36 𝑘𝑁/𝑚2

36

Esercizi di Geotecnica Coefficienti correttivi 𝑠=1 𝑏=1 𝑔=1 𝑑=1

𝑝𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑛𝑎𝑠𝑡𝑟𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑎𝑔𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑐𝑢𝑟𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐ℎ𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝐻 𝑚+1 85 3 𝑖𝛾 = [1 − ] = [1 − ] = 0,125 𝑁 170 𝐻 𝑚 85 2 𝑖𝑞 = [1 − ] = [1 − ] = 0,25 𝑁 170 𝑁𝛾 = 92,25 Fattori di capacità portante per 𝜑 ′ = 39° → { 𝑁𝑞 = 55,96

1

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝛾 ′ ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑖𝛾 + 𝑞 ′ ∙ 𝑁𝑞 ∙ 𝑖𝑞 2

→

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 694,6 𝑘𝑁/𝑚2

VERIFICA DELLA CAPACITA’ PORTANTE

𝑞𝑠𝑒𝑟𝑣 =

𝐹𝑠 =

𝑊 𝐵𝑟 ∙1𝑚

𝑞𝑙𝑖𝑚 𝑞𝑠𝑒𝑟𝑣

=

>3

170𝑘𝑁 2,76𝑚2

= 61,59 𝑘𝑁/𝑚2

→

694,6 61,59

= 11,28 > 3 VERIFICATO

37