Esercitazione Di Tecnica Delle Costruzioni

PARTE PRIMA – INTRODUZIONE Descrizione dell’edificio Il presente esempio di calcolo attiene alle strutture dell’edificio multipiano del quale sono riportate rispettivamente la sezione trasversale e la pianta relativa ad un piano di impalcato tipo. L’edificio, da realizzarsi nel territorio del comune di Milano e destinato a civile abitazione, consta di 5 piani fuori terra e di un piano seminterrato, con un interpiano pari a 3,06 m al lordo dello spessore di solaio, ed ha pianta rettangolare di dimensioni 11,7 m x 24,4 m, per un’altezza complessiva al colmo di falda pari a 18 m.

L’impalcato tipo è realizzato con un solaio latero-cementizio costituito da nervature in calcestruzzo armato, con interposti blocchi forati di alleggerimento in laterizio non collaborante, e completato con una sovrastante soletta collaborante, anch’essa in calcestruzzo armato. Il solaio è ordito trasversalmente al lato maggiore dell’edificio ed è sostenuto da tre travate longitudinali, una di spina (per la quale verranno esaminate nei calcoli sia una soluzione fuori spessore sia una in spessore di solaio) e due di bordo realizzate in spessore di solaio, così come le travi perimetrali, parallele al solaio stesso e realizzate alle due estremità laterali al fine di sostenere il peso delle chiusure verticali ivi localizzate, nonché a presidio degli sforzi derivanti dai momenti trasversali nel solaio, non esplicitamente tenuti in conto nel calcolo. Sono altresì previste nervature rompitratta che collegano i vari travetti del solaio in modo da ripartire adeguatamente fra di essi gli effetti di eventuali carichi concentrati. Per la copertura, prevista non praticabile, si ipotizza una struttura di tavelle e muricci, direttamente posata sull’ultimo impalcato piano, a formare le due falde inclinate, e completata con un manto superiore in tegole. Le travi, sia quelle di bordo sia quella di spina, poggiano sulle corrispondenti file di pilastri, a formare con questi ultimi ossature portanti a telaio a sostegno dei carichi gravitazionali provenienti dai solai ovvero gravanti direttamente sulle travi. La trave di spina e la trave di bordo della facciata “interna” poggiano, oltre che sulle corrispondenti file di pilastri, anche sui muri del vano scale/ascensore, che le divide in due tronconi. Il progetto è stato sviluppato con riferimento a due soluzioni realizzative per la trave di spina, sia sporgente rispetto all’estradosso del solaio sia in spessore di solaio. I muri in calcestruzzo armato del vano scale/ascensore costituiscono una struttura scatolare di elevata rigidezza alla quale viene riservata la funzione di nucleo di controvento a sostegno delle azioni orizzontali previste sull’edificio.

Le fondazioni sono previste del tipo diretto e consistono in un muro di fondazione controterra lungo tutto il perimetro dell’edificio, una platea al di sotto del vano scale e plinti isolati al di sotto dei pilastri interni. Viene proposto, nello sviluppo del presente esempio, il calcolo di un elemento di fondazione isolato, con il precipuo ed unico scopo di fornire un’indicazione metodologica operativa, rinunciando ad una completezza di trattazione che avrebbe di necessità coinvolto tematiche quali il comportamento meccanico dei terreni, l’interazione terreno-struttura, la tecnica delle fondazioni etc., che pure costituiscono quotidiano banco di prova per il progettista strutturale.

Caratteristiche dei materiali • Calcestruzzo classe C25/30 Resistenza caratteristica a compressione su cubi: Resistenza caratteristica a compressione: Resistenza di calcolo a compressione:

Rck = 30

N mm 2

N = 0,83Rck mm 2 f ck 25 N = 0,85 = 14,2 γc 1,5 mm 2

f ck = 25

f cd = α cc

Tensione ammissibile nel calcestruzzo sotto combinazione dei carichi rara:

σ cadm = 0,6 f ck = 15

Tensione ammissibile nel calcestruzzo sotto combinazione dei carichi quasi permanente:

σ cadm = 0,45 f ck = 11,25

N mm 2 f ctm = 0,3( f ck )

N mm 2 N Resistenza caratteristica a trazione: f ctk = 0,7 f ctm = 1,8 mm 2 f 1,8 N = 1,2 Resistenza a trazione di progetto: f ctd = α ct ctk = 1,0 γc 1,5 mm 2 Resistenza media a trazione:

 f +8 Modulo elastico secante: Ec = 22 ck   10  •

2/3

= 2,6

0,3

≅ 31000

N mm 2

Acciaio tipo B450C

Tensione caratteristica di snervamento: Tensione di snervamento di progetto: Modulo elastico:

Es ≅ 200000

N mm 2

N mm 2 450 N = ≅ 391 1,15 mm 2

f yk ≥ 450

f yd =

f yk

γs

N mm 2

PARTE SECONDA – AZIONI SULLA STRUTTURA Combinazioni delle azioni Ai fini delle verifiche degli stati limite si definiscono le seguenti combinazioni delle azioni. Combinazione fondamentale, generalmente impiegata per gli stati limite ultimi (SLU):

γ G1 ⋅ G1 + γ G 2 ⋅ G2 + γ P ⋅ P + γ Q1 ⋅ QK 1 + γ Q 2 ⋅ψ 02 ⋅ QK 2 + γ Q 3 ⋅ψ 03 ⋅ QK 3 + ...

Combinazione caratteristica (rara), generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) irreversibili, da utilizzarsi nelle verifiche alle tensioni ammissibili:

G1 + G2 + P + QK 1 + ψ 02 ⋅ QK 2 + ψ 03 ⋅ QK 3 + ...

Combinazione frequente, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) reversibili:

G1 + G2 + P + ψ 11 ⋅ QK 1 + ψ 22 ⋅ QK 2 + ψ 23 ⋅ QK 3 + ...

Combinazione quasi permanente (SLE), generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine:

G1 + G2 + P + ψ 21 ⋅ QK 1 + ψ 22 ⋅ QK 2 + ψ 23 ⋅ QK 3 + ...

Combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi e di esercizio connessi all’azione sismica E:

E + G1 + G2 + P + ψ 21 ⋅ QK 1 + ψ 22 ⋅ QK 2 + ...

Combinazione eccezionale, per gli stati limite ultimi connessi alle azioni eccezionali di progetto

Ad :

G1 + G2 + P + Ad + ψ 21 ⋅ QK 1 + ψ 22 ⋅ QK 2 + ... Nelle combinazioni per SLE, si intende che vengono omessi i carichi ai fini delle verifiche e, se del caso, i carichi

Qkj che danno un contributo favorevole

G2 .

Analisi dei carichi – Carichi permanenti Pesi propri degli elementi strutturali e non strutturali Si farà riferimento ai carichi per metro quadrato di impalcato di un piano tipo.  Chiusure verticali: si prevede una soluzione tradizionale in doppio tavolato peso strato spessore unitario Intonaco esterno

0,03 m

Muratura esterna

0,12 m

Intonaco rustico

0,02 m

Strato isolante

0,03 m

Muratura esterna

0,06 m

Intonaco interno

0,02 m

kN m3 kN 16 3 m kN 20 3 m kN 1 3 m kN 11 3 m kN 20 3 m

20

peso

kN m2 kN 1,92 2 m kN 0,4 2 m kN 0,03 2 m kN 0,66 2 m kN 0,4 2 m kN 4,01 2 m 0,6

DM 14 gennaio 2008

Per un interpiano netto pari a (3,06-0,24)m = 2,82 m (o,24 m = spessore del solaio) si ha:

4,01

kN kN ⋅ 2,82m = 11,31 2 m m

Ipotizzando, forfettariamente, una incidenza delle aperture pari al 20%:

11,31

kN kN kN − 2,26 = 9,05 , che è il peso totale per metro lineare di parete. m m m

n.b. il peso delle chiusure esterne grava solo e direttamente sulle travi di bordo e sui cordoli perimetrali e non viene ripartito sui solai  Partizioni verticali interne: si prevede quale soluzione un tavolato semplice peso strato spessore peso unitario Intonaco civile

0.02 m

Muratura in forati

0,08 m

Intonaco civile

0,02 m

kN m3 kN 11 3 m kN 20 3 m 20

kN m2 kN 0,88 2 m kN 0,4 2 m 0,4

1,68

kN m2

Il peso per metro lineare delle partizioni verticali interne, considerata una altezza netta di interpiano pari a 2,82 m, risulta dunque pari a:

2,82m ⋅ 1,68

kN kN = 4,74 2 m m

 Elementi divisori interni Per gli orizzontamenti degli edifici per abitazioni e uffici, il peso proprio di elementi divisori interni potrà essere ragguagliato ad un carico permanente portato uniformemente distribuito g 2 k , purché vengano adottate le misure costruttive atte ad assicurare una adeguata ripartizione del carico. Il carico uniformemente distribuito g 2 k ora definito dipende dal peso proprio per unità di lunghezza G2 k delle partizioni nel modo seguente:  per elementi divisori con  per elementi divisori con  per elementi divisori con  per elementi divisori con

G2 ≤ 1,00 kN / m : g 2 = 0,40 kN / m 2 1,00 < G2 ≤ 2,00 kN / m : g 2 = 0,80 kN / m 2 2,00 < G2 ≤ 3,00 kN / m : g 2 = 1,20 kN / m 2 3,00 < G2 ≤ 4,00 kN / m : g 2 = 1,60 kN / m 2 4,00 < G2 ≤ 5,00 kN / m : g 2 = 2,00 kN / m 2

 per elementi divisori con Elementi divisori interni con peso proprio maggiore devono essere considerati in fase di progettazione, tenendo conto del loro effettivo posizionamento sul solaio. DM 14 gennaio 2008 È opportuno precisare come tale ”carico ragguagliato” venga considerato nella EN 1991-1-1 un carico variabile con coefficienti parziali γ Q = 1,5 (= 0 se a favore di sicurezza) nelle combinazioni dei carichi allo stato limite ultimo e con coefficienti ψ 0

= ψ 1 = ψ 2 = 1,0 nelle combinazioni proprie degli stati limite di

esercizio. Secondo l’approccio delle NTC il peso degli elementi divisori interni è considerato un carico permanente portato, al quale peraltro competono coefficienti parziali γ G 2 = 1,5 (= 0 se a favore di sicurezza) uguali a quelli dati per i carichi variabili, rendendo l’applicazione della norma sostanzialmente coerente con gli Eurocodici.

 Solaio piano tipo La struttura del solaio è costituita da nervature in calcestruzzo armato, dello spessore di 100 mm ed alte 200 mm, realizzate ad un interasse i pari a 500 mm e con interposti laterizi di alleggerimento (non collaboranti), il tutto completato da una soletta collaborante in calcestruzzo armato gettata in opera dello spessore di 40 mm. Si prevedono altresì le opere di finitura quali illustrate nello schema qui appresso riportato:

strato

spessore

interasse

soletta collaborante in c.a.

0,04 m

=

nervature in c.a.

0,2 m

0,5 m

laterizi di alleggerimento

0,2 m

0,5 m

peso unitario

kN m3 kN 25 3 m kN 11 3 m

25

peso

kN m2 0,1 kN 0,2 ⋅ 25 ⋅ = 1,00 2 0,5 m 0,4 kN 0,2 ⋅ 11 ⋅ = 1,76 2 0,5 m kN 3,76 2 m 1,00

Per valutare l’incidenza dei cordoli si procede nel modo seguente:

kN kN = 6,00 2 3 m m

peso solettone pieno in c.a. spessore 240 mm:

0,24m ⋅ 25

da detrarre il peso del solaio latero-cementizio

kN    3,76 2  : m  

(6,00 − 3,76) kN2 m

= 2,24

kN . m2

I cordoli incidono per una larghezza complessiva di 2,4 m (0,5 m ciascuna delle due travi di bordo, 1,2 m la trave di spina, 0,1 m ognuno dei due travetti rompitratta) sulla larghezza complessiva di 11,7 m dell’impalcato. Pertanto

2,24

kN 2,4m kN ⋅ = 0,46 2 . 2 m 11,7 m m

strato

spessore

solaio latero-cementizio

0,24 m

incidenza cordoli Peso proprio solaio piano tipo (carico permanente strutturale G2 )

peso unitario

peso

kN m2 kN 0,46 2 m kN 4,22 2 m 3,76

A ciò si aggiungano i carichi permanenti portati dovuti alle opere di finitura: con riferimento alla tipica soluzione costruttiva ipotizzata essi possono considerarsi come compiutamente definiti e dunque, ai fini dell’analisi strutturale di cui ai capitoli successivi, equipararsi ai carichi permanenti strutturali:

strato

spessore

peso unitario

peso proprio strutturale solaio piano tipo pavimento in piastrelle

0,02 m

sottofondo in cls magro

0,06 m

intonaco civile

0,02 m

kN m3 kN 20 3 m kN 20 3 m

20

carichi permanenti “strutturali” solaio piano tipo

peso

kN m2 kN 0,40 2 m kN 1,20 2 m kN 0,40 2 m kN 6,22 2 m 4,22

Tabella 2.6.I – Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni nelle verifiche SLU A1 EQU Coefficiente γ F STR favorevoli 0,9 1,0 γ G1 carichi permanenti sfavorevoli 1,1 1,3 carichi permanenti non favorevoli 0,0 0,0 γ G2 strutturali* sfavorevoli 1,5 1,5 favorevoli 0,0 0,0 γ Q1 carichi variabili sfavorevoli 1,5 1,5

A2 GEO 1,0 1,0 0,0 1,3 0,0 1,3

*Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es. carichi permanenti portati) siano compiutamente definiti si potranno adottare per essi gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.

 Solaio di copertura Il peso dovuto alla struttura in muricci e tavelle della copertura, potendo considerarsi compiutamente definito e sostanzialmente non soggetto a modifiche nel corso della vita utile della costruzione, verrà considerato alla stregua di un carico permanente, ciò essendo lecito secondo quanto specificato nella Appendice Nazionale alla EN 1990, conformemente ripreso nelle Norme Tecniche sulle Costruzioni. Si ipotizza una pendenza della copertura del 35%, corrispondente ad una inclinazione sull’orizzontale pari ad α=20°.

strato

Spessore

solaio latero-cementizio

0,24 m

intonaco

0,02 m

isolante

0,03 m

peso unitario

1/cos 20°

cappa calcestruzzo

0,03 m/cos 20°

tegole marsigliesi

1/cos 20°

kN m2 kN 0,40 2 m kN 0,03 2 m kN 1,23 2 m kN 0,43 2 m kN 0,80 2 m kN 0,53 2 m kN 7,64 2 m 4,22

kN m3 kN 1 3 m

20

muricci ripartiti tavelloni

peso

kN m2 kN 25 3 m kN 0,50 2 m

0,40

Totale carichi permanenti impalcato solaio copertura

Il peso dei muricci ripartiti è stato valutato nel modo seguente. I muricci sono realizzati in mattoni semipieni dello spessore di 12 cm con un indice di vuoti pari a 0,75; tenendo conto che la copertura è a due falde (ciascuna su luce, in pianta, pari a 5,7 m) e per una pendenza della falda del 35%, i muricci avranno un’altezza media pari a: hm = 0,35 ⋅ 5,7 m / 2 ≅ 1,00m , cui corrisponde, sempre in media, un peso proprio

kN kN ⋅ 0,75 = 1,17 . 3 m m Ipotizzando i muricci disposti ad un interasse pari a 1m ⋅ cos 20° = 0,95m , per un metro quadrato di

per metro lineare di muriccio pari a

0,12m ⋅ 1m ⋅ 13

impalcato il peso dei muricci ripartiti sarà dato da

kN  1,17    = 1,23 2 . m  0,95 

Tabella 3.1.II – Valori dei carichi d’esercizio per le diverse categorie di edifici Cat.

A

B

C

D

Ambienti Ambienti ad uso residenziale. Sono compresi in questa categoria i locali di abitazione e relativi servizi, gli alberghi (ad esclusione delle aree suscettibili di affollamento) Uffici. Cat. B1 Uffici non aperti al pubblico Cat. B2 Uffici aperti al pubblico Ambienti suscettibili di affollamento. Cat. C1 Ospedali, ristoranti, caffè, banche, scuole Cat. C2 Balconi, ballatoi e scale comuni, sale convegni, cinema, teatri, chiese, tribune con posti fissi Cat. C3 Ambienti privi di ostacoli per il libero movimento delle persone, quali musei, sale per esposizioni, stazioni ferroviarie, sale da ballo, palestre, tribune libere, edifici per eventi pubblici, sale da concerto, palazzetti per lo sport e relative tribune Ambienti ad uso commerciale. Cat. D1 Negozi Cat. D2 Centri commerciali, mercati, grandi magazzini, librerie…

 kN  qk  2  m 

Qk [kN ]

 kN  Hk   m

2,00

2,00

1,00

2,00 3,00

2,00 2,00

1,00 1,00

3,00 4,00

2,00 4,00

1,00 2,00

5,00

5,00

3,00

4,00 5,00

4,00 5,00

2,00 2,00

Analisi dei carichi – Carichi variabili I valori dei carichi variabili sono stati determinati con riferimento ad una vita nominale della costruzione pari a 50 anni, conformemente a quanto indicato in Prospetto 2.1-EN1990 quale modificato dalla relativa Appendice Nazionale e nella Tabella 2.4.1-NTC.  Carichi variabili di esercizio Sovraccarico su solai per edifici con destinazione residenziale:

2,00

kN . m2

 Azione della neve Si è fatto riferimento al NTC ed alle relative indicazioni contenute nella Circolare esplicativa. Il carico da neve sulla copertura risulta dato da:

qs = µi ⋅ qsk ⋅ C E ⋅ Ct

µi

coefficiente di forma

qsk valore caratteristico del carico di neve al suolo

CE coefficiente di esposizione Ct coefficiente termico VALORE CARATTERISTICO DEL CARICO DI NEVE AL SUOLO

Zona I – Mediterranea Alessandria, Ancona, Asti, Bologna, Cremona, Forlì-Cesena, Lodi, Milano, Modena, Novara, Parma, Pavia, Pesaro e Urbino, Piacenza, Ravenna, Reggio Emilia, Rimini, Treviso, Varese:

qsk = 1,50

kN m2

as ≤ 200m

  as  2  kN qsk = 1,351 +    2   602   m

as > 200m

COEFFICIENTE DI ESPOSIZIONE

Tabella 3.4.I – Valori di

CE per diverse classi di topografia

Topografia Battuta dai venti Normale Riparata

CE

Descrizione Aree pianeggianti non ostruite esposte su tutti i lati, senza costruzioni o alberi più alti. Aree in cui non è presente una significativa rimozione di neve sulla costruzione prodotta dal vento, a causa del terreno, altre costruzioni o alberi. Aree in cui la costruzione considerata è sensibilmente più bassa del circostante terreno o circondata da costruzioni o alberi più alti.

0,9 1,0 1,1

COEFFICIENTE DI FORMA

Tabella 3.4.II – Valori del coefficiente di forma Coefficiente di forma 0° ≤ α ≤ 30°

µ1

0,8

30° < α < 60° (60 − α ) 0,8 30

α ≥ 60° 0,0

Riassumendo: µ1 = 0,8 per copertura piana o con inclinazione di falda inferiore a 30° sull’orizzontale

CE = 1,0 per topografia normale Ct funzione della termotrasmittanza della copertura, utilizzato per valutare la diminuzione del carico della neve sulle coperture dotate di una elevata trasmittanza termica (> 1 assenza di valutazioni specifiche.

W / m 2 K ). Si assume Ct = 1,0 , in

qsk = 1,5

kN è il valore caratteristico del carico di neve al suolo per la provincia di Milano e per altitudini sul m2

livello del mare inferiori a 200 m. la Appendice Nazionale, così come le NTC, precisa tale valore riferirsi ad un periodo di ritorno pari a 50 anni, e dunque in accordo con le assunzioni circa la vita utile di progetto della struttura.

s = 0,8 ⋅ 1,5

kN kN = 1,2 2 2 m m

In base alle prescrizioni della citata EN 1991-1-3 sono da prendere in considerazione le distribuzioni del carico di neve in copertura quali riportate nella figura 3.4.3. Nei capitoli che seguono si farà riferimento alla distribuzione indicata in figura come Caso I, per la valutazione delle azioni trasmesse dalla copertura ai pilastri, le altre due distribuzioni rimanendo comunque significative per le verifiche “locali” relative all’impalcato di copertura, ovvero per le verifiche relative ai casi di carico da neve con vento (non esplicitate in questo “macroesempio”).

 Azione del vento Si è fatto riferimento al NTC ed alle relative indicazioni contenute nella Circolare esplicativa (si veda anche EN 1991-1-4 e relativa Appendice Nazionale). La valutazione della azione del vento viene esperita in base alla seguente procedura: si valuta dapprima il valore di riferimento della velocità del vento, vb , definito come il valore caratteristico della velocità del vento, mediata su un intervallo di 10 minuti, e misurata a 10 m dal suolo in aperta campagna su terreno di II categoria (terreno con vegetazione bassa, tipo erba, ed ostacoli isolati, con distanza

reciproca pari ad almeno 20 volte l’altezza dell’ostacolo stesso), indipendentemente dalla sua direzione e da fattori climatici stagionali. La determinazione di tale valore è ovviamente demandata al legislatore nazionale, al quale viene pure data facoltà di indicare una opportuna procedura per tener conto della variabilità della velocità di riferimento del vento con l’altitudine as del sito. L’Appendice Nazionale alla EN 1991-1-4 fornisce in merito tali indicazioni:

vb = vb , 0

vb = vb , 0 + ka (as − a0 )

per

as ≤ a0

per

a0 < as ≤ 1500m

Per altitudini superiori a 1500 m sul livello del mare potendosi fare riferimento alle condizioni locali di clima e di esposizione, utilizzando comunque valori della velocità di riferimento non inferiori a quelli previsti alla quota di 1500 m. I valori di vb , 0 , k a e a0 sono dati in funzione della posizione geografica del sito, in base ad una suddivisione del territorio nazionale (macrozonazione) in 9 zone. Per il territorio del comune di Milano, essendo as < a0 = 1000m , è: vb = vb , 0 = 25m / s . Tale valore, conformemente alle indicazioni della EN 1990 e della EN 1991-1-4, è riferito ad una probabilità annua di superamento del 2% e dunque ad un periodo di ritorno di 50 anni, in accordo con le assunzioni sulla vita di riferimento della struttura.

Si valuta quindi il valore della pressione cinetica di riferimento

qb =

qb (in N / m 2 ):

1 2 ρvb 2

dove ρ = 1,25 kg / m è il valore convenzionalmente assunto per la densità dell’aria. Si valuta quindi la pressione del vento attraverso la relazione: 3

p = qb ce c p cd dove: ce è il coefficiente di esposizione

c p è il coefficiente di pressione, funzione della tipologia e della geometria della costruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento cd è il coefficiente dinamico con cui si tiene conto degli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alle vibrazioni strutturali. Esso verrà assunto pari ad 1, come consentito nelle NTC per edifici di forma regolare con altezza inferiore a 80 m. Il coefficiente di esposizione viene valutato mediante la seguente relazione:

ce = ce ( z ) = k r2 ct ln (z / z0 )[7 + ct ln (z / z0 )] ce ( z ) = ce ( zmin )

per z ≥ zmin

per z < zmin

k r , z0 , zmin sono definiti in Tabella 3.3.II NTC in funzione della categoria di esposizione del sito ove sorge la costruzione e ct è il coefficiente di topografia assunto unitario conformemente alle prescrizioni dove

contenute nelle NTC.

Per una classe di rugosità del terreno A (aree urbane con almeno il 15% della superficie coperto da edifici con altezza media superiore a 15 m), in zona 1 ed a più di 30 km dalla costa, per un’altitudine inferiore a 500 m sul livello del mare, la categoria di esposizione del sito è la V, cui corrispondono i seguenti valori dei parametri sopra indicati:

k r = 0,23 È pertanto:

ce ( zmin ) = 1,48

z0 = 0,7m

zmin = 12m

ce (h ) = ce (1,48) = 1,76

Per la valutazione del coefficiente di pressione, in assenza di valutazioni precise suffragate da opportuna documentazione ovvero da prove condotte in galleria del vento, si sono seguite le indicazioni contenute nella Circolare esplicativa alle NTC.

AZIONE DEL VENTO (UNIN1991-1-4_2005_EIT_1400_611) Per la verifica degli elementi verticali in cemento armato è stata valutata la forza cinetica del vento. L’azione del vento deve essere considerata, nella condizione più sfavorevole, agente in direzione orizzontale, alternativamente, secondo gli assi principali della struttura. Chiamando x e y gli assi principali locali di un edificio tipo a pianta rettangolare di lati b e d e altezza h, si considera ad esempio che il vento agisca secondo l’asse delle y.

La parete b dell’edificio in questione è investita dal vento e su questa il vento stesso è rallentato creando una sovrappressione; contemporaneamente viene deviato ed accelerato dalle pareti laterali e dal tetto, generando sacche di vuoto che esercitano sulle pareti sottovento delle depressioni. La sovrappressione sulle facciate tende ad essere massima nella zona centrale e a diminuire verso i margini; le depressioni invece sono maggiori in corrispondenza degli spigoli e lungo i bordi delle pareti. Per lo studio di questi fenomeni, seguiamo le prescrizioni dell’Eurocodice 1, che individua zone delle pareti di un edificio con diverso coefficiente aerodinamico. In questo studio l’edificio ha pianta rettangolare di dimensioni 24,4 m x 11,7 m e altezza pari a 18,30 m. Nel caso di strutture o elementi di grande estensione, si deve tener conto dell’azione tangenziale esercitata dal vento che dipende, in modo significativo, dalla scabrezza superficiale del rivestimento; per rivestimenti lisci la forza tangenziale è trascurabile perché di bassa intensità avendo il coefficiente di attrito pari a 0,01. L’azione del vento sul singolo elemento è determinata considerando la combinazione più gravosa della pressione agente sulla sua superficie. Coefficienti di pressione esterna

cpe

Nell’Eurocodice 1 i coefficienti di pressione esterna

cpe per edifici e singole parti di edifici dipendono dalla

misura dell’aria caricata A, che è l’area della struttura che produce l’azione del vento nella sezione da calcolare. Per

A = 1m 2

cpe = cpe,1

Per

A = 10 m 2

cpe = cpe ,10

Per 1 m

2

< A < 10 m 2

Nel nostro caso,

cpe = cpe ,1 + (cpe,1 − cpe,10 )log10 A

A = 10 m 2 .

Valori del coefficiente di pressione esterna per pareti verticali di edifici a pianta rettangolare L’edificio in questione misura in pianta 24,4 m x 11,7 m; l’altezza totale è pari a 18,30 m. Il vento si considera agente in direzione orizzontale, di regola secondo uno degli assi principali della struttura. Si ipotizza dapprima che la direzione del vento risulti ortogonale al lato di 11,7 m. Successivamente sarà fatta l’ipotesi che la direzione del vento sia ortogonale al lato di 24,4 m. Nelle prescrizioni dell’Eurocodice 1, il lato ortogonale alla direzione del vento è indicato con la lettera b, quello parallelo con la lettera d. 1° CASO: b=11,7 m d=24,4 m h=18,3 m Valutazione dell’altezza di riferimento ze : l’altezza di riferimento dipende dal rapporto h/b; avremo i seguenti casi:  Edifici la cui altezza h è minore di b, devono essere considerati come una sola parte  Edifici la cui altezza h è maggiore di b ma minore di 2b, devono essere considerati suddivisi in due parti comprendenti una parte bassa che si estende dal suolo verso l’alto fino ad un’altezza pari a b, ed una parte superiore  Edifici la cui altezza h è maggiore di 2b, che devono essere considerati suddivisi in più parti comprendenti una parte bassa che si estende verso l’alto dal suolo sino ad un’altezza pari a b e una parte superiore che si estende verso il basso dalla cima dell’edificio fino ad un’altezza pari a b, una

regione intermedia, compresa fra la parte bassa e la parte alta, divisa a piacere in più strisce orizzontali con un’altezza massima pari a b. In questo caso l’altezza h pari a 18,30 m è minore di 2b (23,4 m).

Coefficienti della pressione esterna per muri verticali di edifici con pianta rettangolare. Zona A B C D h/d

cpe,10

cpe,1

cpe,10

cpe,1

5 1 ≤0,25

-1,2 -1,2 -1,2

-1,4 -1,4 -1,4

-0,8 -0,8 -0,8

-1,1 -1,1 -1,1

cpe,10

cpe,1 -0,5 -0,5 -0,5

In questo caso il rapporto h/d è pari a circa 0,74: A B h/d=0,74

cpe,10

cpe,1

cpe,10

cpe,1

-1,2

-1,4

-0,8

-1,1

cpe,10

cpe,1

+0,8 +0,8 +0,7

+1,0 +1,0 +1,0

C

cpe,10

cpe,10

cpe,1 -0,7 -0,5 -0,3

D

cpe,1 -0,5

E

E

cpe,10

cpe,1

+0,8

+1,0

cpe,10

Secondo la normativa: e=b o 2h a seconda di quale sia il più piccolo. Nel nostro caso e=b=11,7 m.

-0,43

cpe,1

Vento in direzione x (parallelo al lato lungo dell’edificio) Trattandosi di una costruzione la cui altezza (18,3 m) è maggiore della dimensione in pianta in direzione ortogonale a quella del vento (11,7 m) ma inferiore al doppio di tale dimensione, si assume sulla parete sopravvento della costruzione un profilo di pressioni così definito: un primo tratto uniforme, con valore calcolato assumendo quale altezza di riferimento una quota pari alla dimensione in pianta in direzione ortogonale al vento ( ze = b = 12 m ); un secondo tratto, anch’esso uniforme, con valore calcolato assumendo quale altezza di riferimento la massima altezza della costruzione stessa ( ze

= h = 18 m ). Per la parete

sottovento e per quelle parallele alla direzione del vento si assumerà un profilo di pressioni uniformi, il cui valore si calcola assumendo quale altezza di riferimento l’altezza massima della costruzione. Il dettaglio del calcolo della pressione cinetica sulla parete direttamente investita dal vento alle sopracitate quote è sintetizzato nella seguente tabella.

(

z (m )

ce (z )

qb N / m 2

12 18

1,48 1,76

390,625 390,625

)

(

p N / m2

)

462,5 550

Per quanto attiene ai coefficienti di pressione, si ha (Tabella 3.3.IV NTC e Prospetto 7.1 EN 1991-1-4):  per la parete sopravvento, ossia quella direttamente investita dal vento, è cpe = 0,8 ;

cpe ≅ −0,43 , come si ottiene dalle tabelle per un valore del rapporto h / d = 18 / 24,4 ≅ 0,74 , dove d è la dimensione in pianta in direzione parallela al vento.

 per la parete sottovento è invece

Si tralascia, per brevità, il dettaglio della valutazione dei coefficienti di pressione relativi alla copertura, le azioni del vento sulla stessa avendo significato ai fini delle sole verifiche locali, omesse in questo esempio. L’azione del vento sulla costruzione risulta dunque quale schematizzata nella seguente figura.

Le azioni orizzontali da applicarsi a livello dei singoli impalcati per la verifica della struttura di controvento, quali dovute alle pressioni sulle superfici verticali di chiusura dell’edificio, sono qui appresso calcolate:  impalcato di copertura: (550+295,6) (11,7·1,6/2+11,7·1,53) = 23,0 kN  impalcato 4° piano: (550+295,6)·11,7·2,87+(462,5+295,6)·11,7·0,19 = 30,1 kN  impalcato 3° piano: (462,5+295,6)·11,7·3,06 = 27,1 kN  impalcato 2° e 1° piano: (462,5+295,6)·11,7·3,06 = 27,1 kN  impalcato piano rialzato: (462,5+295,6)·11,7·(1,53+0,55) = 18,4 kN

2° CASO: b=24,4 m d=11,7 m h=18,3 m Valutazione dell’altezza di riferimento ze : l’altezza di riferimento dipende dal rapporto h/b; nel nostro caso l’altezza h pari a 18,3 m è inferiore a b che risulta essere pari a 24,4 m.

Coefficienti della pressione esterna per muri verticali di edifici con pianta rettangolare per il 2° caso, con rapporto h/d pari a 1,54: A B D E h/d=1,54

cpe,10

cpe,1

cpe,10

cpe,1

cpe,10

cpe,1

-1,2

-1,4

-0,8

-1,1

+0,8

+1,0

cpe,10

cpe,1

-0,525

Vento in direzione y (parallelo al lato corto dell’edificio) Essendo in questo caso l’altezza della costruzione (18,3 m) inferiore alla dimensione in pianta in direzione ortogonale al vento (24,4 m), si applicherà tanto sulla parete sopravvento quanto su quella sottovento una distribuzione uniforme di pressioni il cui valore viene calcolato assumendo quale altezza di riferimento l’altezza massima della costruzione (trascurando, per quanto detto in precedenza, gli effetti locali di depressione sulle pareti parallele al vento e quelli di pressione e depressione sulla copertura). Per quanto attiene ai coefficienti di pressione, si ha (Tabella 3.3.IV NTC e Prospetto 7.1 EN 1991-1-4):  per la parete sopravvento, ossia quella direttamente investita dal vento, è cpe = 0,8 ;

 per la parete sottovento è invece rapporto

cpe ≅ −0,525 , come si ottiene dalle tabelle per un valore del

h / d = 18 / 11,7 ≅ 1,54 , dove d è la dimensione in pianta in direzione parallela al vento.

Le azioni del vento risultano dunque dalle pressioni e depressioni applicate sulla proiezione verticale della sagoma dell’edificio come indicato nella figura.

Le forze ai singoli piani di impalcato sono qui di seguito calcolate:  impalcato di copertura: (550+360,9)·24,4·(1,53+1,6) = 69,6 kN  impalcato 4°, 3°, 2° e 1° piano: (550+360,9)·24,4·3,06 = 68,0 kN  impalcato piano rialzato: (550+360,9)·24,4·(1,53+0,55) = 46,2 kN

PARTE TERZA – CALCOLO DEI SOLAI Il solaio è ordito parallelamente al lato minore dell’edificio, su due campate di eguale luce pari a lsx = ldx = 5,7 m ed è costituito da nervature in calcestruzzo armato gettato in opera, con interposti blocchi di alleggerimento in laterizio non collaborante, completato da una soletta in calcestruzzo armato pure gettata in opera. Il calcolo verrà effettuato con riferimento al solaio di un piano tipo, considerando una striscia di solaio di lunghezza pari a 1 m; i carichi agenti su tale striscia di solaio risultano pertanto essere i seguenti:  Carichi permanenti strutturali (e ad essi equiparati): peso proprio del solaio e peso proprio delle finiture G1 = 6,22 kN / m  Carichi permanenti portati: partizioni interne  Carichi variabili: sovraccarico di esercizio

G2 = 2,00 kN / m Qk1 = 2,00 kN / m

Analisi delle sollecitazioni Viene condotta secondo il metodo dell’analisi lineare elastica con riferimento alle combinazioni delle azioni per gli stati limite ultimi, così definita:

γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Qk1

dove i coefficienti parziali delle azioni assumono i seguenti valori:  per i carichi permanenti relativi al peso proprio strutturale γ G1 = 1.3 se a sfavore di sicurezza

γ G1 = 1.0

se a favore di sicurezza

 per i carichi permanenti portati γ G 2 = 1.5 se a sfavore di sicurezza

γ G2 = 0

se a favore di sicurezza

 per i carichi variabili γ Q1 = 1.5 se a sfavore di sicurezza

γ Q1 = 0

se a favore di sicurezza

Successivamente si considerano le seguenti combinazioni di carico. Combinazione 1SLU (massimo momento all’appoggio di continuità): carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati carichi variabili

G 2 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

Qk1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

γ G1 = 1.3 γ G 2 = 1.5 γ Q1 = 1.5

Si risolve la struttura con il metodo delle forze:

equazione di congruenza:

ϕ11 X + ϕ10 = 0

l sx l 11,4 3,8 + dx = = (con l sx = l dx = l = 5,7 m luce della campata) 3EJ 3EJ 3EJ EJ  l 3 + l 3  15,43 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 ϕ10 = γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1  sx dx  = EJ  24 EJ 

ϕ11 =

[

X =−

[

]

]

ϕ10 l2 = −[γ G1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q1Q1 ] ≅ −4,06 [γ G1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q1Q1 ] = −57,2 kNm 8 ϕ11

Le reazioni vincolari valgono:

[

R A = RC = γ G1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q1Q1

[

]

R B = γ G1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q1Q1 l + 2

] 2l − Xl

[

]

= 2,14 γ G1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q1Q1 = 30,1 kN

[

]

X = 7,12 γ G1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q1Q1 = 100,3 kN l

Si ricavano le espressioni analitiche dei diagrammi del momento flettente e del taglio:  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

[

]

[

]

M (x ) = 2,14 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x − 0,5 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x 2 = 30,1 x − 7,0 x 2

[

][

]

V ( x ) = 2,14 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 − γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x = 30,1 − 14,1 x  campata destra (simmetrico rispetto alla precedente) Si calcola la posizione della sezione di massimo momento in campata:

xM max =

RA = 2,14 m γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1

[

]

e quindi il valore del massimo momento:

[

]

M max = RA xM max − 0,5 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 xM2 max = 32,2 kNm Combinazione 2SLU (massimo momento in campata sinistra): carico permanente strutturale G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

γ G1 = 1.3

conformemente alle prescrizioni in Nota 3 – Prospetto A1.2(B) EN1990, così come confermata dalle decisioni nella relativa Appendice Nazionale, si adotta, per il carico permanente strutturale, un unico valore del coefficiente γ G1 , tanto per la campata di sinistra quanto per la campata di destra, trattandosi di azione originata dalla medesima fonte o risultando l’effetto complessivamente sfavorevole carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

γ G 2 = 1.5 γ G2 = 0

carichi variabili

Qk 1

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra

γ Q1 = 1.5

a favore di sicurezza sulla campata destra

γ Q1 = 0

Analogamente al caso precedente si ricavano le espressioni analitiche dei diagrammi del momento flettente e del taglio:  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

[

]

M (x ) = 2,14 γ G1G1 x + 2,49(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )x − 0,5 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x 2 = 32,2 x − 7,0 x 2

[

]

V ( x ) = 2,14 γ G1G1 + 2,49(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )− γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x = 32,2 − 14,1 x

si calcolano la posizione della sezione di massimo momento in campata ed il valore di tale momento massimo:

x'M max = 2,28 m M 'max = 36,8 kNm  campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 2,14 γ G1G1 x + 0,36(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )x − 0,5 γ G1G1 x 2 = 15,1 x − 4,0 x 2

V ( x ) = 2,14 γ G (G1 + G2 ) − 0,36(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )− γ G1G1 x = 15,1 − 8,1 x

si calcolano la posizione della sezione di massimo momento in campata ed il valore di tale momento massimo:

x ' 'M max = 1,86 m M ' 'max = 14,2 kNm Combinazione 3SLU (massimo momento in campata destra): carico permanente strutturale G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata destra a favore di sicurezza sulla campata sinistra

carichi variabili

Qk 1

a sfavore di sicurezza sulla campata destra a favore di sicurezza sulla campata sinistra

γ G1 = 1.3 γ G 2 = 1.5 γ G2 = 0 γ Q1 = 1.5 γ Q1 = 0

simmetrica rispetto alla combinazione 2 Per valutare l’entità dei momenti flettenti “negativi” alle estremità dei solai, quali dovuti al parziale grado di incastro fornito dalle travi, ci si può riferire ad uno schema “parziale”, quale quello di figura (4.4)-4, ottenuto tenendo conto del reale andamento del momento flettente lungo i pilastri di un telaio multipiano per effetto dei carichi verticali. In tali schemi statici parziali l’effetto irrigidente dei pilastri viene “spalmato” sul loro interasse, la rigidezza equivalente attribuita al ritto, I * pilastro , essendo dunque pari alla rigidezza del pilastro divisa per l’interasse dei pilastri stessi. Con riferimento ad un pilastro di sezione quadrata di lato 300 mm e ad un interasse medio fra i pilastri pari a 3,5 m circa

I * pilastro = (300) 4 /(12 ⋅ 3,5) = 1,93 ⋅ 108 mm 4

Per il calcolo della rigidezza della sezione corrente del solaio (si trascura la maggior rigidezza dei tratti terminali di solaio a sezione piena) si calcola innanzitutto la posizione del baricentro della sezione di calcestruzzo. Con riferimento alla sezione schematizzata in figura, e calcolando la quota del baricentro rispetto all’estradosso della soletta, è:

yG =

1000 ⋅ 40 ⋅ 20 + 2 ⋅ 100 ⋅ 200 ⋅ 140 = 80 mm 1000 ⋅ 40 + 2 ⋅ 100 ⋅ 200

Il momento di inerzia della sezione del solaio rispetto al suo asse baricentrico è:

[

]

[

]

I solaio = 1000 ⋅ 40 ⋅ ( 40) 2 / 12 + (60) 2 + 2 ⋅ 100 ⋅ 200 ⋅ (200) 2 / 12 + (60) 2 = 4,27 ⋅ 108 mm 4 I * pilastro = 0,45 I solaio

Combinazione 4SLU (valore più sfavorevole del momento negativo in A): carico permanente strutturale G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili

Qk 1

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

γ G1 = 1.3 γ G 2 = 1.5 γ G2 = 0 γ Q1 = 1.5 γ Q1 = 0

La struttura viene risolta con il metodo degli spostamenti adottando quali incognite iperstatiche le rotazioni ai nodi A, B, C rispettivamente ϕ1 , ϕ 2 , ϕ3 , come pure indicato nella figura.

Per il sistema di equilibrio quale scritto qui di seguito

 m11ϕ1 + m12ϕ 2 + m13ϕ3 + m10 = 0  m21ϕ1 + m22ϕ 2 + m23ϕ3 + m20 = 0 m ϕ + m ϕ + m ϕ + m = 0 32 2 33 3 30  31 1

  4 EI solaio 3EI pilastro  l2 3EI *solaio ϕ1 + ϕ 2 − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] sx = 0 +2   h/2  lsx 12   lsx  2 EI solaio  4 EI solaio 4 EI solaio  2 EI solaio lsx2   ϕ1 +  ϕ2 + ϕ3 + 1,5(G2 + Q1 ) = 0 +  ldx  ldx 12  lsx  lsx 2  2 EI solaio 3EI * pilastro   4 EI solaio l ϕ3 + 1,3 G1 dx = 0 ϕ 2 +  +2  h/2  12  ldx  lsx − 38,14 = 0  2,47 EI solaioϕ1 + 0,35 EI solaioϕ 2   0,35 EI solaioϕ1 + 1,40 EI solaioϕ 2 + 0,35 EI solaioϕ3 + 16,24 = 0  0,35 EI solaioϕ 2 + 2,47 EI solaioϕ3 + 21,89 = 0  la risoluzione risulta la seguente:

ϕ1 = 17,46

kNm 2 EI solaio

ϕ 2 = −14,25

kNm 2 EI solaio

ϕ3 = −6,84

kNm 2 EI solaio

cui corrispondono i seguenti valori dei momenti flettenti agli estremi delle campate del solaio (negativi se tendono le fibre superiori):

l 2 4 EI solaio 2 EI solaio M A = −[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] sx + ϕ1 + ϕ 2 = −30,9 kNm 12 lsx lsx l 2 2 EI solaio 4 EI solaio M Bsx = −[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] sx − ϕ1 − ϕ 2 = −34,3 kNm 12 lsx lsx l 2 4 EI solaio 2 EI solaio M Bdx = −[1,3 G1 ] dx + ϕ2 + ϕ3 = −34,3 kNm 12 ldx ldx l 2 2 EI solaio 4 EI solaio M C = −[1,3 G1 ] dx − ϕ2 − ϕ3 = −12,1kNm 12 ldx ldx Calcolate per equilibrio le reazioni vincolari in A e C (con la convenzione di segno dei momenti prima utilizzata):

lsx M A − M Bsx − = 39,5 kN 2 lsx l M − M Bdx RC = −VC = [1,3 G1 ] dx − C = 19,1 kN 2 ldx RA = VA = [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]

si hanno le espressioni analitiche del momento flettente e del taglio:  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

x2 = −30,9 + 39,5 x − 7,0 x 2 2 V ( x ) = RA − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]x = 39,5 − 14,1 x M (x ) = M A + RA x − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

x2 = −12,1 + 19,1 x − 4,0 x 2 2 V ( x ) = RC − [1,3 G1 ]x = 19,1 − 8,1 x M (x ) = M C + RC x − [1,3 G1 ]

Combinazione 5SLU (valore più sfavorevole del momento negativo in C): carico permanente strutturale G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili

Qk 1

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

γ G1 = 1.3 γ G2 = 0 γ G 2 = 1.5 γ Q1 = 0 γ Q1 = 1.5

simmetrica rispetto alla combinazione 4 Diagramma inviluppo dei momenti flettenti Dalla analisi delle sollecitazioni condotta precedentemente si ottengono i diagrammi dei momenti flettenti riportati in figura.

Per il dimensionamento delle armature e per le successive verifiche flessionali agli stati limite ultimi, conformemente alle prescrizioni dell’Eurocodice 2, il diagramma inviluppo deve essere traslato, comunque nella direzione più sfavorevole, di una quantità pari, per elementi sprovvisti di armature trasversali, all’altezza utile d=(h-c- φ /2), con h altezza della sezione, c copri ferro e φ diametro delle barre di armatura.

Si riporta in figura il diagramma inviluppo a traslazione eseguita, sul quale si individuano, per ciascuna campata, le seguenti sezioni significative ai fini del progetto delle armature e della successiva verifica:  sezione A (x = 0 – sezione piena) – da combinazione 4 – schema a telaio

M ed = −33,5 kNm

 sezione A’ (x = 0,35 m – cambio di sezione da piena a doppio T) da combinazione 4 – schema a telaio

M ed = −27,7 kNm  sezione S (x = 2,28 m – sezione di massimo momento in campata) da combinazione 2 – schema a trave continua

M ed = 40,4 kNm  sezione B’ (x = 5,1 m – cambiamento di sezione da doppio T a soletta piena) da combinazione 1 – schema a trave continua

M ed = −39,5 kNm  sezione B (x = 5,7 m – appoggio di continuità, sezione piena) da combinazione 1 – schema a trave continua

M ed = −58,8 kNm COPRIFERRO PARI A 25 mm Tale valore risulta essere praticamente coincidente con quello raccomandato in Circ. NTC (Tabella C.4.1.IV) per elementi monodimensionali in strutture con vita nominale di 50 anni, condizioni ambientali ordinarie e classe di calcestruzzo C25/30 (c = 25 mm). d = (h – c – φ /2) = 240-25-14/2 = 208 mm

PARTE QUARTA – CALCOLO DELLE TRAVI Si riporta qui di seguito il calcolo della trave di spina ordita fra il nucleo di controvento ed i pilastri P13 e P14. Il calcolo è stato eseguito con riferimento a due distinte tipologie costruttive: una prima soluzione prevede le trave fuori spessore, con piattabanda in spessore di solaio larga 1200 mm e nervatura d’anima larga 400 mm e sporgente di 300 mm all’intradosso del solaio; la tipologia alternativa considera invece la trave in spessore di solaio e di larghezza pari a 1200 mm. I valori dei carichi permanenti e variabili da considerarsi sulla trave si ottengono dall’analisi strutturale del sovrastante solaio quale valore della reazione vincolare in corrispondenza dell’appoggio di continuità del solaio, dovuta alla combinazione di carico 1. Carichi permanenti: peso proprio strutturale ed opere di finitura G1 ≅ 44,3 kN / m cui, nel caso di trave fuori spessore, va aggiunto il peso proprio della nervatura della trave sporgente all’intradosso del solaio: 0,3 m x 0,4 m x 25 kN/m³ = 3 kN/m G1trave = 47,3 kN / m pertanto per la soluzione con trave fuori spessore di solaio carichi permanenti portati (peso proprio partizioni interne)

G2 ≅ 14,3 kN / m

Carichi variabili (ad assetto libero): sovraccarico di esercizio Q1 ≅ 14,3 kN / m L’analisi delle sollecitazioni verrà condotta con riferimento agli schemi statici delle seguenti figure e per le combinazioni dei carichi relative agli stati limite ultimi.

∑

γ Gkj + γ Q1Qk1 + ∑i >1ψ 0i Qki

j ≥1 Gj

(Espressione 6.10-EC0)

SOLUZIONE CON TRAVE FUORI SPESSORE Analisi delle sollecitazioni Combinazione 1SLU (massimo momento in continuità) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati carichi variabili

G 2 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

Qk1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

γ G1 = 1.3 γ G 2 = 1.5 γ Q1 = 1.5

 campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

[

]

[

]

M ( x ) = 2 ,1 γ G 1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q 1Q1 x − 0 ,5 γ G 1G1 + γ G 2 G 2 + γ Q 1Q1 x 2 = 219 , 2 x − 52 , 2 x 2

M B = M (5,2m) = −271,6 kNm momento massimo in campata: M ( 2,1m) = 2,205 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 = 230,2 kNm momento di continuità:

[

[

][

]

]

V ( x ) = 2,1 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 − γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x = 219,2 − 104,4 x

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

[

]

[

]

M (x ) = 0,8 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x − 0,5 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x 2 = 83,5 x − 52,2 x 2

momento massimo in campata:

[

[

]

M (0,8m) = 0,32 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 = 33,4 kNm

][

]

V ( x ) = 0,8 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 − γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x = 83,5 − 104,4 x Combinazione 2SLU (massimo momento in campata sinistra): carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

γ G1 = 1.3 γ G 2 = 1.5 γ G2 = 0 γ Q1 = 1.5 γ Q1 = 0

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili

Q1

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

 campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

[

]

M (x ) = 2,1γ G1G1 x + 2,2(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )x − 0,5 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x 2 = 223,5 x − 52,2 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,14m) = 239,2 kNm V ( x ) = 2,1γ G1G1 + 2,2(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )− γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x = 223,5 − 104,4 x

[

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

]

M (x ) = 0,8 γ G1G1 x + 0,65(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )x − 0,5 γ G1G1 x 2 = 21,3 x − 30,7 x 2

momento massimo in campata:

M (0,35m) = 3,7 kNm

[

]

V ( x ) = 0,8 γ G1G1 − 0,65 γ G 2G2 + γ Q1Q1 x − γ G1G1 x = 21,3 − 61,4 x Combinazione 3SLU (massimo momento in campata destra): carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

γ G1 = 1.3 γ G2 = 0 γ G 2 = 1.5 γ Q1 = 0 γ Q1 = 1.5

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili

Q1

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

 campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1γ G1G1 x − 0,1(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )x − 0,5 γ G1G1 x 2 = 124,8 x − 30,7 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,03m) = 126,8 kNm V ( x ) = 2,1γ G1G1 − 0,1(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )− γ G1G1 x = 124,8 − 61,4 x

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

[

]

M (x ) = 0,8 γ G1G1 x + 1,45(γ G 2G2 + γ Q1Q1 )x − 0,5 γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x 2 = 111,4 x − 52,2 x 2

M (1,07 m) = 59,4 kNm V ( x ) = 0,8 γ G1G1 + 1,45 γ G 2G2 + γ Q1Q1 x − γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q1Q1 x = 111,4 − 104,4 x

momento massimo in campata:

[

] [

]

Per la risoluzione dello schema a telaio di Figura (4.5)-1b è necessario innanzitutto valutare la rigidezza flessionale della trave e del pilastro di bordo P9. Per quest’ultimo, ipotizzando una sezione di larghezza 400 mm (pari alla larghezza della nervatura fuori spessore della trave) ed un’altezza di 300 mm, con riferimento alla sezione di solo calcestruzzo, è:

IP =

400 ⋅ (300)3 mm 4 = 9 ⋅ 108 mm 4 12

Per la trave, con riferimento alla sezione qui sotto schematizzata:

1200 ⋅ 240 ⋅ 120 + 400 ⋅ 300 ⋅ 390 mm ≅ 200mm 1200 ⋅ 240 + 400 ⋅ 300  1200 ⋅ 2403  400 ⋅ 3003 2  It =  + 1200 ⋅ 240 ⋅ 80 + + 400 ⋅ 300 ⋅ 190 2 mm 4 12 12   yG =

I t = 84,6 ⋅ 108 mm 4 ≅ 9,4 I P ⇒ 9 I P Combinazione 4SLU (momento negativo all’estremo sinistro): carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra

γ G1 = 1.3 γ G 2 = 1.5 γ G2 = 0 γ Q1 = 1.5

a favore di sicurezza sulla campata destra

γ Q1 = 0

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili

Q1

La struttura viene risolta con il metodo degli spostamenti adottando quali incognite iperstatiche le rotazioni ai nodi B e C come indicato in figura. Per il sistema di equilibrio quale scritto qui di seguito:

mBBϕ B + mBCϕC + mB 0 = 0  mCBϕ B + mCCϕC + mC 0 = 0  4 EI t 4 EI t  2 EI t lsx2 ldx2   [ ] ϕ ϕ + + + 1 , 3 G + 1 , 5 G + 1 , 5 Q − 1 , 3 G =0  B C 1 2 1 1 ldx  ldx 12 12  lsx  2  2 EI t ϕ +  4 EI t + 2 3EI P ϕ + 1,3 G ldx = 0 C 1  ldx B  ldx h / 2  12 2.02 EI tϕ B + 0,625EI tϕC + 182,75 = 0   0,625 EI tϕ B + 1,685EI tϕC + 52,47 = 0 la soluzione risulta la seguente:

ϕB = −

91,32 kNm 2 EI t

ϕC =

2,73 kNm 2 EI t

cui corrispondono i seguenti valori dei momenti flettenti agli estremi delle campate della trave (negativi se tendono le fibre superiori):

l 2 2 EI t M A = −[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] sx + ϕ B = −270,3 kNm 12 lsx M Bsx

lsx2 4 EI t = −[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] − ϕ B = −165 kNm 12 lsx

l 2 4 EI t 2 EI t M Bdx = −[1,3 G1 ] dx + ϕB + ϕC = −165 kNm 12 ldx ldx ldx2 2 EI t 4 EI t M C = −[1,3 G1 ] − ϕB − ϕC = 1,2 kNm 12 ldx ldx Calcolate per equilibrio le reazioni vincolari in A e in C, con la convenzione di segno dei momenti prima adottata:

lsx M A − M Bsx − = 291,6 kN 2 lsx l M − M Bdx RC = −VC = [1,3 G1 ] dx − C = 46,5 kN 2 ldx

RA = VA = [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]

si hanno le seguenti espressioni analitiche del momento flettente e del taglio:  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

x2 = −270,3 + 291,6 x − 52,2 x 2 2 V ( x ) = RA − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]x = 291,6 − 104,4 x M (x ) = M A + RA x − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

x2 M (x ) = M C + RC x − [1,3 G1 ] = 1,2 + 46,5 x − 30,7 x 2 2 V ( x ) = RC − [1,3 G1 ]x = 46,5 − 61,4 x Combinazione 5SLU (momento negativo all’estremo destro): carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili

Q1

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

γ G1 = 1.3 γ G2 = 0 γ G 2 = 1.5 γ Q1 = 0 γ Q1 = 1.5

Analogamente a quanto sviluppato in precedenza nel dettaglio con riferimento alla combinazione 4, per la combinazione 5 il sistema di equilibrio risulta modificato nei soli termini noti:

 4 EI t 4 EI t  l2 l2 2 EI t ϕ B + ϕC + 1,3 G1 sx − [1,3 G1 + 1,5 G2 + 1,5 Q1 ] dx = 0 +  ldx  ldx 12 12  lsx  2  2 EI t ϕ +  4 EI t + 2 3EI P ϕ + [1,3 G + 1,5 G + 1,5 Q ] ldx = 0 C 1 2 1  ldx B  ldx h / 2  12

 2.02 EI tϕ B + 0,625EI tϕC + 49,47 = 0  0,625EI tϕ B + 1,685 EI tϕC + 89,09 = 0 la soluzione risulta la seguente:

ϕB = −

9,18 kNm 2 EI t

ϕC = −

49,46 kNm 2 EI t

cui corrispondono i seguenti valori dei momenti flettenti agli estremi delle campate della trave (negativi se tendono le fibre superiori):

lsx2 2 EI t M A = −[1,3 G1 ] + ϕ B = −142,1kNm 12 lsx M Bsx

lsx2 4 EI t = −[1,3 G1 ] − ϕ B = −131,5 kNm 12 lsx

l 2 4 EI t 2 EI t M Bdx = −[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] dx + ϕB + ϕC = −131,5 kNm 12 ldx ldx l 2 2 EI t 4 EI t M C = −[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] dx − ϕB − ϕC = −21,5 kNm 12 ldx ldx Si osserva come tale valore sia, in valore assoluto, inferiore a 0,65 volte il momento di incastro perfetto, secondo quanto raccomandato nell’Eurocodice 2:

ldx2 0,65[1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] = 0,65 ⋅ 89,1kNm = 57,9 kNm 12 Si assumerà pertanto M C = −57,9 kNm . Calcolate quindi per equilibrio le reazioni vincolari in A e in C, con la convenzione di segno dei momenti prima adottata:

lsx M A − M Bsx − = 161,9 kN 2 lsx l M − M Bdx RC = −VC = [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] dx − C = 144 kN 2 ldx

RA = VA = [1,3 G1 ]

si hanno le seguenti espressioni analitiche del momento flettente e del taglio:  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

x2 = −142,1 + 161,9 x − 30,7 x 2 2 V (x ) = RA − [1,3 G1 ]x = 161,9 − 61,4 x M (x ) = M A + RA x − [1,3 G1 ]

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

x2 M (x ) = M C + RC x − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )] = −57,9 + 144 x − 52,2 x 2 2 V ( x ) = RC − [1,3 G1 + 1,5(G2 + Q1 )]x = 144 − 104,4 x

Diagramma inviluppo dei momenti flettenti e predimensionamento delle armature Dall’analisi delle sollecitazioni sopra condotta risultano dunque i diagrammi dei momenti flettenti di Figura (4.5)-8. Si individuano sul diagramma inviluppo del momento flettente le sezioni significative ai fini delle verifiche: Sezione

posizione (m)

M ed (kNm)

A (incastro vano scale)

x=0

-270,3

S ( M max campata sinistra)

x = 2,14

239,2

B (continuità)

x = 5,2

-271,6

D ( M max campata destra)

x = 7,33

59,4

C (innesto pilastro bordo)

x = 8,4

-57,9

Il predimensionamento delle armature longitudinali tese della trave, nelle diverse sezioni significative quali individuate al precedente paragrafo, viene esperito utilizzando le medesime equazioni che si utilizzeranno nel seguito per la verifica, nella ipotesi di sezione inflessa con armatura semplice ed utilizzando le seguenti leggi costitutive di progetto:  per il calcestruzzo compresso il blocco uniforme di tensioni (Fig. 3.5-EC2), di valore ηfcd, esteso su una profondità λx, dove con x si è indicata la posizione dell’asse neutro. Per un calcestruzzo di classe C25/30 si assume η = 1,0 e λ = 0,8;  per l’acciaio teso il diagramma elastico-perfettamente plastico (diagramma B di Figura 3.8-EC2), che non richiede quindi il controllo del limite di deformazione dell’acciaio.

Si scrive l’equazione di equilibrio alla rotazione della sezione con il momento sollecitante di calcolo assumendo quale polo il baricentro delle armature tese:

0,8 bxf cd (d − 0,4 x) = M ed dalla quale, noti b, d, fcd (= 14,2 N/mm²), ed M ed si ricava la posizione dell’asse neutro x. Per l’equilibrio alla traslazione, nell’ipotesi di armatura tesa snervata (fyd = 391 N/mm²):

0,8 bxf cd = As f yd da cui si ha

As , req =

0,8 bxf cd , con x soluzione dell’equazione precedente. f yd

Tale armatura deve risultare non inferiore alla armatura minima:

As , min = 0,26

f ctm bt d > 0,0013 bt d f yk

M ed ,

Dove:

bt è la larghezza della zona tesa alla incipiente fessurazione f ctm = 2,6 N / mm 2 è la resistenza media a trazione del calcestruzzo

f yk = 450 N / mm 2 La valutazione dell’altezza utile d della sezione, da utilizzarsi sia per il predimensionamento delle armature sia per il calcolo dell’armatura minima, richiede, come già visto con riferimento al calcolo del solaio, la determinazione dello spessore del copriferro. Il valore nominale del copriferro viene calcolato in base alla relazione:

cmin

cnom = cmin + ∆cdev = max (cmin,b ; cmin, dur + ∆cγ − ∆cdur , st − ∆cdur , add ;10 mm )

 per le armature trasversali (staffe)

cmin,b = φ = 8 mm

cmin, dur = 10 mm [per una classe di esposizione X0 (nessun rischio di corrosione) e per una classe strutturale S4, essendo previsto l’uso di calcestruzzo classe C25/30]

∆cγ = 0

∆cdur , st = ∆cdur , add = 0 , non essendo previsto l’uso di armature di acciaio inossidabile né l’adozione di specifiche misure di protezione. È pertanto: cmin = max 8 mm;10 mm;10 mm

(

Assumendo inoltre

) = 10 mm

∆cdev = 10 mm , si ha: cnom, trasv = 10 + 10 = 20 mm

 per le armature longitudinali cmin,b = φ = 16 mm

cmin, dur = 10 mm [per una classe di esposizione X0 (nessun rischio di corrosione) e per una classe strutturale S4, essendo previsto l’uso di calcestruzzo classe C25/30]

∆cγ = 0 ∆cdur , st = ∆cdur , add = 0 , non essendo previsto l’uso di armature di acciaio inossidabile né l’adozione di specifiche misure di protezione. È pertanto: cmin = max 16 mm;10 mm;10 mm

(

Assumendo inoltre

) = 16 mm

∆cdev = 10 mm , si ha: cnom,long = 16 + 10 = 26 mm

Tenendo presente che per le armature longitudinali il copriferro include anche il diametro delle staffe risulta essere dominante il valore di copriferro calcolato per le staffe (adottando infatti per le staffe cnom,trasv = 20 mm , per le armature longitudinali è cnom, long = 26 mm ). Le indicazioni riportate in Circ.NTC Tabella C.4.1.IV non distinguono fra armature longitudinali e trasversali e prescrivono, per condizioni ambientali ordinarie (comprendenti la classe di esposizione X0) e per il calcestruzzo di classe C25/30, nel caso di elementi monodimensionali in strutture con vita nominale pari a 50 anni, un copriferro minimo pari a 25 mm. Il copriferro calcolato secondo la procedura EC2 sopra illustrata soddisfa tale limite per quanto riguarda le armature longitudinali ma non per le armature trasversali. Adottando dunque tale valore minimo del copriferro per le armature più esterne, ossia per le staffe, l’altezza utile della trave risulta:

d = h − c − φs , trasv − φs , long / 2 = 540 − 25 − 8 − 16 / 2 = 499 mm ≅ 500 mm

I risultati del predimensionamento così esperito sono sintetizzati nel prospetto seguente, dove pure si riportano le armature effettivamente disposte nelle varie sezioni significative: Sezione

M ed (KNm)

x (mm)

b (mm)

As ,req (mm²)

bt (mm)

As ,req (mm²)

As , prov (mm²)

A (vano scale)

-270,3

133

400

1547

1200

909

1633

7 φ 16+2 φ 12

S ( M max sx)

239,2

36

1200

1260

400

303

1432

6 φ 16+2 φ 12

B (continuità)

-271,6

134

400

1556

1200

909

1633

7 φ 16+2 φ 12

D ( M max dx)

59,4

9

1200

306

400

303

628

2 φ 16+2 φ 12

C (pil. bordo)

-57,9

27

400

312

1200

909

1030

4 φ 16+2 φ 12

n° φ

Verifica allo stato limite ultimo per flessione Con riferimento alle ipotesi di calcolo appena illustrate, le verifiche allo stato limite ultimo per flessione vengono esperite come segue. Nell’ipotesi di acciaio teso snervato, ed ipotizzando una distribuzione uniforme di compressioni nel calcestruzzo di intensità pari ad f cd e su di un’altezza uguale a 0,8 volte la profondità dell’asse neutro, l’equazione di equilibrio alla traslazione in tal caso si scrive:

0,8 bxf cd = As f yd Ricavata da tale equazione la posizione x dell’asse neutro, attraverso l’equazione di equilibrio alla rotazione, scritta scegliendo quale polo, in alternativa, il baricentro della distribuzione uniforme di tensioni sulla zona compressa di calcestruzzo ovvero il baricentro delle armature tese, si ottiene il valore di progetto del momento resistente M Rd , da confrontarsi con il valore di progetto del momento sollecitante M Ed .

M Rd = As f yd (d − 0,4 x ) = 0,8 bxf cd (d − 0,4 x ) ≥ M Ed

I risultati di tali verifiche sono sintetizzati nel seguente prospetto: Sez.

As (mm²)

b (mm)

x (mm)

ξ

M Rd (kNm)

M Ed (kNm)

M Rd / M Ed

A

1633

400

141

0,28

283,4

270,3

1,05

S

1432

1200

41

0,08

270,8

239,2

1,13

B

1633

400

141

0,28

283,4

271,6

1,04

D

628

1200

18

0,04

121,0

59,4

2,04

C

1030

400

89

0,18

187,1

57,9

3,23

Verifica allo stato limite ultimo per taglio Dall’analisi delle sollecitazioni si ottengono i diagrammi del taglio di figura:

Le NTC prescrivono che nelle travi si debba prevedere una armatura trasversale costituita da staffe con sezione non inferiore ad Ast = 1,5b mm 2 / m , ove b è lo spessore minimo dell’anima in millimetri, con un minimo di almeno tre staffe al metro e passo comunque non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione. Nel caso di specie, per b = 400 mm, deve prevedersi una area armatura trasversale con sezione almeno pari a 600 mm²/m e spaziatura longitudinale non superiore a 400 mm. Tale requisito può ottenersi con staffe a due bracci φ 8@150 mm per cui è:

2 ⋅ 50mm 2 Ast = = 667 mm 2 / m 150mm cui corrisponde un valore del taglio resistente pari a:

VRd , s = 0,9d

Asw 100 f ywd ctgθ = 0,9 ⋅ 500 ⋅ 391 ⋅ 2 = 234,6 kN s 150

assumendo ctgθ = 2 . Sovrapponendo il valore del taglio resistente così calcolato al diagramma inviluppo del taglio sollecitante di calcolo si osserva come rimangano “scoperti” tratti terminali di lunghezza pari a 0,55 m, in prossimità dell’incastro a sinistra sulla parete del vano scale (0,45 m dal filo della parete esterna del vano scale), e di lunghezza pari a 0,85 m a sinistra dell’appoggio di continuità (al netto della larghezza del pilastro rimane scoperto un tratto lungo 0,70 m, il tratto scoperto a destra dell’appoggio di continuità rientrando invece nella larghezza del pilastro). In tali zone l’armatura trasversale può essere dimensionata in base alla relazione

ρ sw ≥ ρ sw required =

VEd 0,9 d bw f ywd ctgθ

Con l’armatura così dimensionata si esperiranno le verifiche come sopra. Il dettaglio di tali verifiche è sintetizzato nel prospetto seguente. È inoltre:

Vrd ,max = 0,9d bw f ' cd

zona estremo sx combinazione 4 sx continuità combinazione 1

ctgθ 2 = 0,9 ⋅ 500 ⋅ 400 ⋅ 0,5 ⋅ 14,2 = 511,2 kN > V Ed 2 5 1 + ctg θ

()

VEd (x)

VEd x

x (m)

(kN)

291,6-104,4 x

x = 0,1 219,2-104,4 x

x = 5,2-0,15 = 5,05

ρ sw rqd

281,2

0,002

308,2

0,00217

φ /passo ρ sw

VRd ,s (kN)

φ /125 mm

283,8

φ

0,002 /100 mm 0,0025

354,7

Si osservi che la staffatura minima raccomandata dall’EC2 deve essere tale da garantire un rapporto geometrico pari a:

ρ sw =

f Asw ≥ 0,08 ck = 9 ⋅ 10− 4 (per calcestruzzo C25/30 e acciaio B450) bw s f yk

con spaziatura longitudinale non superiore a 0,75 d = 375 mm (per d = 500 mm). Tale requisito è soddisfatto con staffe φ 8@250 mm ( ρ sw

=

2 ⋅ 50 = 0,001), cui corrisponde un taglio resistente di progetto pari a 400 ⋅ 250

140,8 kN, con conseguenti modifiche nella disposizione delle armature trasversali nei tratti terminali. Si fa altresì osservare che l’EC2 per la verifica allo schiacciamento dei puntoni compressi di calcestruzzo prescrive di usare una resistenza ridotta pari a vfcd, con v = 0,7 (1 - fck/250), diversamente da quanto riportato nelle NTC, in cui tale resistenza ridotta viene comunque fissata pari a f’cd = 0,5 fcd. Verifiche agli stati limite di esercizio: tensioni nei materiali Conformemente alle prescrizioni normative e secondo quanto già visto al precedente paragrafo, si determinano le sollecitazioni sotto le combinazioni dei carichi rara e quasi permanente e si calcolano le tensioni nei materiali prodotte da tali sollecitazioni, da confrontarsi con i valori ammissibili definiti in funzione delle diverse combinazioni di azioni. COMBINAZIONE CARATTERISTICA Si valutano quindi i momenti flettenti sotto combinazione dei carichi caratteristica o rara, che per la struttura in esame si scrive:

Gk1 + Gk 2 + Q1k Con riferimento alle combinazioni di carico illustrate precedentemente, ove si pongano unitari i coefficienti parziali dei carichi, si ha: Combinazione C1 carico permanente

G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati G 2 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi variabili Qk 1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1[G1 + G2 + Q1 ] x − 0,5 [G1 + G2 + Q1 ]x 2 = 159,4 x − 38,0 x 2 momento di continuità: M B = M (5,2m) = −198,6 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8[G1 + G2 + Q1 ] x − 0,5 [G1 + G2 + Q1 ]x 2 = 60,7 x − 38,0 x 2

Combinazione C2 carico permanente

G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati G 2 a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1G1 x + 2,2(G2 + Q1 )x − 0,5 [G1 + G2 + Q1 ]x 2 = 162,2 x − 38,0 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,13m) = 173,1 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8 G1 x + 0,65(G2 + Q1 )x − 0,5 G1 x 2 = 19,2 x − 23,6 x 2 momento massimo in campata: M (0,41m) = 3,9 kNm

Combinazione C3 carico permanente

G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati G 2 a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

carichi variabili

Q1

M (x ) = 2,1G1 x − 0,1(G2 + Q1 )x − 0,5 G1 x 2 = 96,5 x − 23,6 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,04m) = 98,6 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8 G1 x + 1,45(G2 + Q1 )x − 0,5 [G1 + G2 + Q1 ]x 2 = 79,3 x − 38,0 x 2 momento massimo in campata: M (1,04m) = 41,4 kNm

Combinazione C4 (“massimo” momento negativo all’estremo sinistro) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = −197,3 + 212,8 x − 38,0 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,2 + 30,0 x − 23,6 x 2

Combinazione C5 (“massimo” momento negativo all’estremo destro) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra a favore di sicurezza sulla campata sinistra carichi variabili Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = −110,2 + 125,2 x − 23,6 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = −42,0 + 104,1 x − 38,0 x 2

Per la valutazione delle tensioni nei materiali, come già visti in precedenza, nell’ipotesi di planarità delle sezioni e con riferimento ad un comportamento elastico lineare dei materiali trascurando il contributo del calcestruzzo teso (sezione parzializzata), si scrive dapprima l’equilibrio alla traslazione della sezione:

1 σ cbx + σ 's A's −σ s As = 0 2 Sfruttando l’ipotesi di comportamento elastico dei materiali (σ = E·ε) e la linearità del diagramma delle deformazioni (planarità della sezione) si ha che:

d−x x x − d' σ 's = α cσ c x

σ s = α cσ c

Dove il coefficiente

α c = Es / Ec

si assume pari a 15.

Sostituendo nella equazione precedente e riducendo a forma normale

b

x2 + α c ( As + A's )x − α c ( As d + A's d ') = 0 2

da cui si ricava la posizione dell’asse neutro x. Attraverso la scrittura dell’equazione di equilibrio alla rotazione, rispetto al baricentro delle armature tese, può quindi calcolarsi il valore della massima tensione di compressione nel calcestruzzo σ c , da confrontarsi con il valore ammissibile

σ c , adm = 0,6 f ck = 15 N / mm 2 1 x  σ cbx d −  = M 2 3  2M σc = < σ c , adm x  bx d −  3 

lo sforzo nelle armature tese ottenendosi attraverso la relazione di proporzionalità prima scritta e dovendo confrontarsi con il valore

0,8 f yk = 360 N / mm 2 per acciaio B450C. I risultati sono sintetizzati nel seguente

prospetto: Sezione M Ed (kNm)

As (mm²)

b (mm)

x (mm)

A |-197,3|

1633

400

194

σc

σs

< 0,8 f yk ?

(N/mm²)

< 0,6 f ck ? (15 N/mm²)

(N/mm²)

(360 N/mm²)

11,5

SI

275,1

SI

S |173,1|

1432

1200

184

3,5

SI

91,1

SI

B |-198,6|

1633

400

194

11,6

SI

277,0

SI

D |41,4|

628

1200

132

1,1

SI

47,8

SI

C |-42,0|

1030

400

162

2,9

SI

90,6

SI

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE Si valutano quindi i momenti flettenti sotto combinazione dei carichi quasi permanente, che per la struttura in esame si scrive:

Gk1 + Gk 2 + ψ 21Q1k

con ψ 21 = 0,3 . Con riferimento alle combinazioni di carico illustrate precedentemente, ove si pongano unitari i coefficienti parziali dei carichi, si ha: Combinazione QP1 carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G 2 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

carichi variabili ψ 21Qk 1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

 campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1[G1 + G2 + ψ 21Q1 ] x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 21Q1 ]x 2 = 138,4 x − 32,9 x 2 momento di continuità: M B = M (5,2m) = −170,0 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M ( x ) = 0,8[G1 + G2 + ψ 21Q1 ] x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 21Q1 ]x 2 = 53,7 x − 32,9 x 2 momento massimo in campata: M (0,82m) = 0,32 [G1 + G2 + ψ 21Q1 ] = 21,1 kNm

Combinazione QP2 carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili ψ 21Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1G1 x + 2,2(G2 + ψ 21Q1 )x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 21Q1 ]x 2 = 140,2 x − 32,9 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,13m) = 149,4 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8 G1 x + 0,65(G2 + ψ 21Q1 )x − 0,5 G1 x 2 = 25,8 x − 23,6 x 2 momento massimo in campata: M (0,55m) = 7,0 kNm

Combinazione QP3 carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili ψ 21Q1 a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1G1 x − 0,1(G2 + ψ 21Q1 )x − 0,5 G1 x 2 = 97,5 x − 23,6 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,06m) = 100,7 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8 G1 x + 1,45(G2 + ψ 21Q1 )x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 21Q1 ]x 2 = 64,8 x − 32,9 x 2 momento massimo in campata: M (0,98m) = 31,9 kNm

Combinazione QP4 (“massimo” momento negativo all’estremo sinistro) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = −168,5 + 182,8 x − 32,9 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = −2,1 + 42,5 x − 23,6 x 2

Combinazione QP5 (“massimo” momento negativo all’estremo destro) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili Q1 a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = −110,2 + 125,2 x − 23,6 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = −15,2 + 93,5 x − 38,0 x 2

Le tensioni nei materiali, valutate come sopra illustrato, sono riportate nel seguente prospetto: la massima tensione di compressione nel calcestruzzo σ c va confrontata con il valore ammissibile pari a

0,45 f ck = 11,25 N / mm 2 . Nessuna indicazione viene data circa la limitazione delle tensioni nell’armatura sotto combinazione dei carichi quasi permanente, salvo quanto verrà innanzi specificato con riferimento alla verifica di fessurazione per via indiretta. Sezione M Ed (kNm)

As (mm²)

b (mm)

x (mm)

σc

< 0,45 f ck ?

σs

(N/mm²)

(11,25 N/mm²)

(N/mm²)

A |-168,5|

1633

400

194

10,0

SI

237,0

S |149,4|

1432

1200

184

3,1

SI

79,3

B |-170|

1633

400

194

10,1

SI

239,1

D |31,9|

628

1200

132

0,9

SI

37,1

C |-36,5|

1030

400

162

2,5

SI

79,4

Verifiche agli stati limite di esercizio: stato limite di fessurazione Per verificare lo stato limite di fessurazione senza il calcolo diretto dell’ampiezza di fessura è necessario confrontare la tensione nelle armature, quale sopra calcolata, con i valori della Tabella 4.4.II NTC, in funzione del diametro massimo delle barre e dell’ampiezza di fessura ammissibile.

Nel caso di specie, potendosi ipotizzare una condizione ambientale ordinaria (Tabella 4.4.III NTC, classe di esposizione X0 secondo EC2, in assenza di qualsiasi rischio di corrosione per le armatura), e per armature poco sensibili alla corrosione, viene richiesto di verificare che sotto combinazione frequente il valore di

calcolo dell’ampiezza di fessura non superi il valore

w3 = 0,4 mm e che sotto combinazione quasi permanente

non venga ecceduto il valore limite w2 = 0,3 mm. Ciò, in base ai prospetti sopra riportati, corrisponde a limitare la tensione nelle barre ( φ 16) ai seguenti valori:  280 N/mm² sotto combinazione frequente;  240 N/mm² sotto combinazione quasi permanente. Dai valori riportati nell’ultimo prospetto si osserva le tensioni nell’armatura sotto combinazione quasi permanente essere comunque inferiori ai limiti sopra indicati. Per quanto attiene alle verifiche sotto combinazione frequente si procede innanzitutto a calcolare i momenti flettenti; la combinazione frequente delle azioni, in presenza di un unico carico variabile Q1 , si scrive:

Gk1 + Gk 2 + ψ 11Q1k con ψ 11 = 0,5 per il carico variabile Q1 = 14,3 kN / m . Combinazione F1 carico permanente

G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati G 2 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi variabili ψ 11Qk 1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1[G1 + G2 + ψ 11Q1 ] x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 11Q1 ]x 2 = 144,4 x − 34,4 x 2 momento di continuità: M B = M (5,2m) = −179,3 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8[G1 + G2 + ψ 11Q1 ] x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 11Q1 ]x 2 = 55 x − 34,4 x 2

Combinazione F2 carico permanente

G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra carichi permanenti portati G 2 a favore di sicurezza sulla campata destra a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

carichi variabili ψ 11Q1

M (x ) = 2,1G1 x + 2,2(G2 + ψ 11Q1 )x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 11Q1 ]x 2 = 146,5 x − 34,4 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8 G1 x + 0,65(G2 + ψ 11Q1 )x − 0,5 G1 x 2 = 23,9 x − 23,6 x 2 momento massimo in campata: M (0,51m) = 6,0 kNm

Combinazione F3 carico permanente

G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati G 2 a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra a favore di sicurezza sulla campata sinistra carichi variabili ψ 11Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = 2,1G1 x − 0,1(G2 + ψ 11Q1 )x − 0,5 G1 x 2 = 97,2 x − 23,6 x 2 momento massimo in campata: M ( 2,06m) = 100,1 kNm

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = 0,8 G1 x + 1,45(G2 + ψ 11Q1 )x − 0,5 [G1 + G2 + ψ 11Q1 ]x 2 = 68,9 x − 34,4 x 2 momento massimo in campata: M (1,00m) = 34,5 kNm

Combinazione F4 (“massimo” momento negativo all’estremo sinistro) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili Q1 a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = −176,3 + 191,1 x − 34,4 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = −1,3 + 41,1 x − 23,6 x 2

Combinazione F5 (“massimo” momento negativo all’estremo destro) carico permanente G1 a sfavore di sicurezza su entrambe le campate carichi permanenti portati

G2

a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra carichi variabili Q1 a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra  campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

M (x ) = −112,2 + 119,9 x − 23,6 x 2

 campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

M (x ) = −38,1 + 91,1 x − 38,0 x 2

Le tensioni nei materiali, calcolate come sopra illustrato, sono riportate nel prospetto seguente: la tensione nelle armature è ovunque inferiore a 280 N/mm², valore limite corrispondente ad una ampiezza di fessura pari a 0,4 mm, indicata in normativa per le esigenze funzionali e durabilistiche in questione. Sezione

x (mm)

σc

σs

(N/mm²)

(N/mm²)

400

194

10,5

248

1200

184

3,2

83

400

194

10,6

252

628

1200

132

1,0

40

1030

400

162

2,6

83

M Ed (kNm)

As (mm²)

A |-176,3|

1633

S |156,0|

1432

B |-179,3|

1633

D |34,5| C |-38,1|

b (mm)

Viene riportata qui di seguito la procedura di verifica allo stato limite di fessurazione tramite calcolo diretto della ampiezza di fessura secondo EC2 § 7.3.4, essendo in NTC § 4.1.2.2.4.6 indicato di fare riferimento per tale calcolo a criteri consolidati riportati nella letteratura tecnica. L’ampiezza di fessura viene calcolata in base alla relazione:

wk = smax (ε sm − ε cm )

smax = 3,4c + 0,425 k1k 2

φ ρ eff

k1 = 0,8 per barre ad aderenza migliorata k 2 = 0,5 per sollecitazione di flessione A A ρ eff = s = s As , eff bt heff

heff = min[2,5( h − d ), (h − x ) / 3, h / 2]

bt larghezza della sezione nella zona tesa

 f ct  E 1 + s ρeff  ρ eff  Ecm  ≥ 0,6 σ s (ε sm − ε cm ) = Es Es dove si assume kt = 0,4 per carichi di lunga durata.

σ s − kt

La sintesi di tali verifiche è riportata nei seguenti prospetti. Sezione

2,5(h-d) (mm)

x (mm)

(h-x)/3 (mm)

h/2 (mm)

heff

bt

As

ρeff

(mm)

(mm)

(mm²)

(%)

A

90

195

115

270

90

1200

1633

1,51

S

90

185

118

270

90

400

1432

3,98

B

90

195

115

270

90

1200

1633

1,51

D

90

132

136

270

90

400

628

1,74

C

90

162

126

270

90

1200

1030

0,95

Combinazione frequente

ρeff

smax

σs

(%)

(mm)

(N/mm²)

A

1,51

316

248

Sezione

(ε sm − ε cm )

0,6

σs

wk

Es

(mm)

0,000862

0,0007438

0,272

− f ct tensioni principali σ I =  − min +   2 4 mm 2   σ  σ max 2 N 2 σ II =  max + + τ max  = 1,49 < σ c , adm  2  4 mm 2   tensione di compressione massima

σ min = 1,48

vento in direzione y

3145,7 kNm 6,25m M N =± ⋅ = ±0,48 4 Wx 2 20,3m mm 2 N tensione di compressione massima σ min = 1,83 mm 2 N tensione di compressione minima σ max = 0,87 mm 2 V V 341,6 kN N azione tagliante τ V = = = = 0,22 0,79 b z 0,79 b (0,8h ) 0,79 ⋅ 0,4m ⋅ 0,8 ⋅ 6,25m mm2 T 444,1kNm N momento torcente τ T = = = 0,05 2 0,79 2 At t 0,79 ⋅ 56,25m ⋅ 0,2m mm 2 N tensione tangenziale massima τ max = τ V + τ T = 0,27 mm 2  σ  σ min 2 N 2 min  + + τ max  = 0,08 > − f ct tensioni principali σ I = −   2 4 mm 2   2 σ  σ max N 2 σ II =  max + + τ max  = 1,87 < σ c , adm  2  4 mm 2   momento flettente

∆σ = ±

Verifiche agli stati limite ultimi Per le verifiche a rottura nei riguardi delle azioni normali: innanzitutto si individua quale elemento più debole del vano scale lo spigolo inferiore destro, la cui azione assiale resistente vale

N Rdc = f cd A = 14,2 N / mm 2 ⋅ 200mm ⋅ 1750 mm = 4970 kN Si ripartisce l’azione assiale proporzionalmente all’area resistente:

N Ed spigolo = N Ed ⋅ (1,75 ⋅ 0,2 ) / 3,38 ≅ 471 kN

Il momento si ripartisce in una coppia di forze (trazione e compressione) applicata sugli spigoli sottovento e sopravvento e pari a M/z; mentre il momento torcente dà su ciascuno spigolo resistente una forza di trazione pari a 0,25 T /(2 At / u ) .

vento secondo x

M Ed = 1794,7 kNm z = 0,8 ⋅ 4,5m = 3,6m forza su ciascuno spigolo:

FEd , M = ±0,5 ⋅ 1794,7 kNm / 3,6m = ±249,3 kN

TEd = 477,8 kNm forza su ciascuno spigolo:

(

)

FEd ,T = −0,25 ⋅ 477,8 kNm / 56,25m 2 / 21,5m = −45,6 kN

Compressione minima Compressione massima

N Ed = 176,1kN < N Rdc N Ed = 674,7 kN < N Rdc

vento secondo y

M Ed = 4718,5 kNm z = 0,8 ⋅ 6,25m = 5m forza su ciascuno spigolo:

FEd , M = ±0,5 ⋅ 4718,5 kNm / 5m = ±471,8 kN

TEd = 666,1kNm forza su ciascuno spigolo: Trazione massima

(

)

FEd ,T = −0,25 ⋅ 666,1kNm / 56,25m 2 / 21,5m = −63,1kN N Ed = −63,9 kN

Onde assorbire tale sollecitazione assiale di trazione sarà necessario disporre all’interno delle pareti del nucleo un’armatura. Per quanto attiene all’armatura longitudinale l’EC2 prescrive che l’area complessiva di armatura longitudinale, da disporsi in corrispondenza di ciascuna faccia del muro, sia non inferiore a 0,002 Ac , con Ac area della sezione del muro stesso e che le barre d’armatura longitudinale non siano disposte a distanza maggiore di tre volte lo spessore del muro e comunque a non più di 400 mm, laddove nessuna prescrizione viene data relativamente al diametro minimo delle barre da utilizzarsi. Si scelgono barre φ 12, anche per omogeneità con l’armatura longitudinale utilizzata per i pilastri, disposti ad intervalli di 300 mm in corrispondenza di ciascuna faccia. Il rapporto geometrico d’armatura che così si ottiene può essere valutato come

2 ⋅ 113mm 2 ρ sv = = 0,0038 > 0,002 200mm ⋅ 300mm Nella porzione di nucleo esaminata si disporranno 6+6 φ 12, cui corrisponde il seguente valore di resistenza alla sollecitazione di trazione

N Rdt = 12 ⋅ 113mm 2 ⋅ 391

N = 530,2 kN > N Ed mm 2

Compressione massima

N Ed = 879,7 kN < N Rdc

Per l’armatura orizzontale, parallela alle facce del muro, l’EC2 prescrive che la sua area debba essere almeno pari al 25% dell’area di armatura verticale e comunque non inferiore a 0,001 Ac . Si prevedono barre φ 8/300 mm per cui è:

2 ⋅ 50mm 2 ρ sb = = 0,0017 > 0,001 ( > 0,25ρ sv ) 200mm ⋅ 300mm Con riferimento a tale armatura orizzontale minima si eseguono le verifiche di resistenza al taglio. L’azione tagliante più sfavorevole è data dalla somma della quota parte del taglio e del torcente che compete a ciascuna delle due pareti parallele all’azione orizzontale.

azione orizzontale in direzione x Piano

VEd (kN)

TEd (kN)

V * = V / 2 + T / 2 At ax (kN)

4 3 2 1 Rialzato

34,50 79,65 120,30 160,95 191,10

86,3 199,1 300,8 402,4 477,8

24,15 55,76 84,21 112,67 133,77

sollecitazioni tangenziali nelle pareti del nucleo per vento e spinta convenzionale in direzione x (lunghezza pareti nucleo parallele asse x: ax = 4,5 m)

Si faccia riferimento alla parete orizzontale inferiore del nucleo in Figura (4.7)-1: l’azione tagliante complessiva può, in prima approssimazione, ripartirsi proporzionalmente alla rigidezza delle due porzioni di parete isolate dall’apertura, ovvero proporzionalmente alla dimensione in pianta delle stesse, considerando dominante la rigidezza al taglio χGA/h rispetto a quella flessionale 3EI/h³. Con riferimento alle dimensioni indicate in figura la parte destra della parete viene a sostenere il 70% della azione complessiva, la rimanente parte essendo demandata alla parte sinistra. Si valuti dunque la resistenza al taglio per ciascuna delle due porzioni di parete separate dall’apertura. Per cot θ = 2 , si ha:  parte sinistra: dimensione 1050 mm · 200 mm

z = 0,8 ⋅ 1,05m = 0,84m VRds = ( Ass / s ) z f yd cot θ = (100 / 300 ) ⋅ 840 ⋅ 391 ⋅ 2 = 219 kN > 0,3VEd = 42,5 kN VRdc = b zν f cd / (cot θ + tan θ ) = 200 ⋅ 840 ⋅ 0,6 ⋅ 14,2 / 2,5 = 572,5 kN > 0,3VEd

 parte destra: dimensione 2450 mm · 200 mm

z = 0,8 ⋅ 2,45m = 1,96m VRds = ( Ass / s ) z f yd cot θ = (100 / 300 ) ⋅ 1960 ⋅ 391 ⋅ 2 = 511 kN > 0,7VEd = 99,2 kN

VRdc = b zν f cd / (cot θ + tan θ ) = 200 ⋅ 1960 ⋅ 0,6 ⋅ 14,2 / 2,5 = 1335,6 kN > 0,7VEd azione orizzontale in direzione y Piano

V (kN)

T (kN)

V * = V / 2 + T / 2 At a y (kN)

4 3 2 1 Rialzato

104,40 206,40 308,40 410,40 512,40

135,7 268,3 400,9 533,5 666,1

67,28 133,01 198,75 264,48 330,21

sollecitazioni tangenziali nelle pareti del nucleo per vento e spinta convenzionale in direzione y (lunghezza pareti nucleo parallele asse y: ay = 6,25 m)

Operando come nel caso precedente l’azione tagliante complessiva si ripartisce per l’80% sulla porzione maggiore di parete e per il 20% sulla rimanente (si faccia riferimento alla parete verticale sinistra in Figura (4.7)-1)  parte inferiore: dimensione 900 mm · 200 mm

z = 0,8 ⋅ 0,9m = 0,72m VRds = ( Ass / s ) z f yd cot θ = (100 / 300 ) ⋅ 720 ⋅ 391 ⋅ 2 = 187,7 kN > 0,2VEd = 66,0 kN

VRdc = b zν f cd / (cot θ + tan θ ) = 200 ⋅ 720 ⋅ 0,6 ⋅ 14,2 / 2,5 = 490,7 kN > 0,2VEd  parte superiore: dimensione 4350 mm · 200 mm

z = 0,8 ⋅ 4,35m = 3,48m VRds = ( Ass / s ) z f yd cot θ = (100 / 300 ) ⋅ 3480 ⋅ 391 ⋅ 2 = 907,3 kN > 0,8VEd = 264,2 kN VRdc = b zν f cd / (cot θ + tan θ ) = 200 ⋅ 3480 ⋅ 0,6 ⋅ 14,2 / 2,5 = 2371,4 kN > 0,8VEd

Si ricorda infine che devono essere disposte barre di collegamento trasversale fra i due ordini di armatura posizionati in prossimità delle due facce del muro in numero non inferiore a 4 collegamenti per metro quadrato di superficie. Verifica degli architravi Il discorso relativo alla valutazione della resistenza della struttura alle azioni orizzontali viene completato con le verifiche relative agli architravi, i quali, grazie al trasferimento degli sforzi di scorrimento correlati alle azioni taglianti e torcenti, garantiscono la reciproca solidarietà dei vari pannelli murari isolati dalle aperture presenti nel nucleo scale, in tal modo giustificando il comportamento scatolare a “nucleo chiuso” ipotizzato nei calcoli strutturali svolti fin qui. Nel seguito si farà riferimento agli architravi posti al di sopra della apertura nella parete del lato lungo del vano scale. Si farà riferimento all’azione del vento nella direzione parallela alla parete in questione (direzione y), per la quale, come è ovvio, le sollecitazioni nella parete stessa risultano essere le più gravose. Si inizia con la valutazione delle sollecitazioni per le quali gli architravi stessi dovranno essere dimensionati e verificati: tali sollecitazioni possono essere schematizzate in una forza di scorrimento Q applicata ad una distanza “e” dalla mezzeria dell’architrave, funzione dei rapporti di rigidezza relativi fra i due pannelli di muro collegati dall’architrave. La luce di calcolo “l” della trave di collegamento viene stimata pari alla luce netta l0 aumentata di 0,08h da ciascun lato, essendo h l’altezza dell’architrave stesso (pertanto l = l0 + 0,16 h ). Per la situazione in esame, con riferimento alla posizione delle aperture, può assumersi e ≅ l / 2 . È dunque:

l = 1,2 + 0,16 ⋅ 1,06 = 1,37 m e = l / 2 ≅ 0,69 m

La forza Qi che la trave di collegamento è chiamata a trasmettere al piano i-esimo viene dunque valutata attraverso semplici considerazioni di equilibrio attraverso la relazione

Qi = con:

Vi hi z

Vi azione tagliante all’i-esimo piano di impalcato hi altezza di piano (= 3,06 m nel caso in esame) z braccio resistente del muro in esame, stimato pari a 0,8 volte l’altezza in pianta del muro, al lordo dell’apertura (0,8 · 6,25 m = 5 m nel caso di specie).

Per l’architrave oggetto della verifica si riportano nel prospetto seguente i valori di progetto ( γ F = 1,5 ) delle sollecitazioni così calcolate:

Piano

VEd (kN)

QEd (kN)

4 3 2 1 R

69,6 137,6 205,6 273,6 341,6

42,6 84,2 125,8 167,4 209,1

La resistenza della trave di collegamento viene valutata in base ad uno schema che prevede l’attivazione di puntoni diagonali di calcestruzzo attraversanti l’architrave, le forze orizzontali necessarie a garantire l’equilibrio del meccanismo essendo fornite dalle armature longitudinali, secondo quanto qui appresso riportato. Sia innanzitutto: λ = cot β = l / z = 1,37 / 0,84 ⋅ 1,06 = 1,54 con z braccio della coppia interna dell’architrave, assunto, in base a quanto prima detto, pari a 0,84h dai competenti equilibri alla traslazione verticale ed orizzontale ed alla rotazione attorno al baricentro della trave di collegamento.

(

)

Con riferimento al significato dei simboli esplicitato nello schema, si ha:

QEd = QEd 1 + λ2 sin β λ e S ' s , Ed = Q Ed  −  2 z λ e S ' ' s , Ed = Q Ed  +  2 z

Sc , Ed =

che, nel caso di specie, per e = l/2, diventano:

S ' s , Ed = 0 S ' ' s , Ed = Q Ed λ

tali valori delle sollecitazioni nel puntone inclinato di calcestruzzo e nei correnti longitudinali di armatura dovendo essere confrontati con i relativi valori resistenti, onde ottenersi la portanza della trave di collegamento. Per le armature longitudinali, detta Asl l’area dell’armatura longitudinale ivi disposta:

S ' ' s , Ed = Q Ed λ ≤ Asl f yd da cui si ottiene:

QRd , s =

Asl f yd

λ

Per la valutazione della resistenza del puntone compresso può utilizzarsi la formula relativa al comportamento ad arco di travi staffate:

S Rd , c = c 0,4

b d f cd 1 + λ2

con il coefficiente c che, sulla base di risultanze sperimentali, può assumersi pari a 1,5. Per d = 0,92 h è dunque:

QRd , c = 0,55

b h f cd . 1 + λ2

Nel prospetto seguente si riportano in sintesi i risultati delle verifiche così esperite:

Lo schema resistente duale vede l’utilizzo di ferri diagonali, secondo lo schema qui sotto riportato. Nell’ipotesi di trascurare il contributo del ferro diagonale discendente, che risulta compresso e dunque suscettibile di instabilità, secondo lo schema di figura, le forze orizzontali necessarie a garantire l’equilibrio dello schema resistente ipotizzato sono in questo caso fornite da correnti longitudinali compressi di conglomerato (nonché dalle relative armature longitudinali, il cui contributo può comunque trascurarsi).

Dai competenti equilibri, con il significato dei simboli esplicitato in figura:

QEd = QEd 1 + λ2 sin β λ e S 'c = QEd  +  2 z λ e S ' 'c = QEd  −  2 z

S s , Ed =

che, nel caso di specie, per e = l/2, diventano:

S 'c = Qλ S ' 'c = 0

da confrontarsi con i relativi valori di portanza, che sono dati da:  per i puntoni di calcestruzzo: S Rd , c = 0,16 b h f cd

QRd , c = 0,16 b h f cd / λ  per l’armatura diagonale:

S Rd , s = Asdiag f yd

QRd , s =

Asdiag f yd 1 + λ2

Nel prospetto seguente sono sintetizzate le verifiche esperite secondo tale schema resistente:

L’utilizzo combinato dei due tipi di armatura, longitudinale (scegliendo ad esempio di dimensionare quest’ultima per sostenere almeno il 50% dell’azione globale) e diagonale, i cui contributi possono ritenersi additivi ai fini della portanza complessiva della trave di collegamento, consente altresì di frazionare lo sforzo nel calcestruzzo, ripartendolo fra il puntone d’anima ed i correnti longitudinali. Posto:

QRd , s = Q 'Rd , s +Q ' 'Rd , s =

l’azione

Asl f yd A f + sdiag yd λ e 1 + λ2  +  2 z

Qad può essere ripartita fra i due meccanismi resistenti in misura proporzionale: Q' Q 'Ed = QEd Rd , s QRd , s Q ' 'Ed = QEd

Q ' 'Rd , s QRd , s

la prima aliquota da confrontarsi con la portanza del puntone d’anima

Q 'Ed ≤ 0,55

b h f cd 1 + λ2

la seconda, depurata dell’effetto della trazione dovuto al primo meccanismo, da riferirsi alla portanza del corrente longitudinale di calcestruzzo:

Q ' 'Ed −Q 'Ed

λ /2 − e/ z b h f cd ≤ 0,16 . λ /2 + e/ z λ /2 + e/ z

Nel prospetto seguente sono sintetizzati i risultati di un dimensionamento esperito sfruttando la combinazione dei due schemi resistenti quale sopra ipotizzata. Non si riportano i risultati relativi alla portanza del puntone diagonale ovvero dei correnti longitudinali compressi di calcestruzzo, che, come visto in precedenza, sono, ciascuno per suo conto, in grado di sostenere l’intera azione di scorrimento nell’architrave.

Nel seguito si riportano gli schemi del tracciato delle armature della parete esaminata per le diverse schematizzazioni adottate per il calcolo degli architravi.

PARTE SETTIMA – ESEMPIO DI CALCOLO DI UN PLINTO DI FONDAZIONE Per completezza della trattazione viene qui riportato un semplice esempio di verifica di un elemento strutturale di fondazione relativo al plinto posto sotto il pilastro interno P13. L’esempio qui riportato non entra nel merito della complessa tematica della interazione fra terreno e struttura né vengono prese in conto le problematiche relative alla deformabilità del terreno. Esso certamente non è esaustivo della tematica relativa al progetto degli elementi strutturali di fondazione ma intende unicamente fornire una proposta metodologica per la verifica di elementi di fondazione isolati. Verifica di resistenza del terreno L’azione assiale al piede del pilastro vale, sulla base di quanto detto in precedenza nella Parte Quinta

N = 2037,2 kN

Si ipotizza un plinto di dimensioni a·b·h = 3,4·3,2·0,8 m, il cui peso proprio vale dunque:

GPLINTO = (3,4 ⋅ 3,2 ⋅ 0,8) m3 ⋅ 25 kN / m 3 = 217,6 kN

Si ipotizza un terreno ghiaioso compatto con angolo di attrito interno φ = 35° e peso per unità di volume γ = 18 kN/m³. Trascurando la coesione ed il contributo dovuto al ricarico del terreno circostante, la resistenza del terreno viene valutata attraverso la relazione seguente:

σ Rd , terreno = s g N g γ b / 2

con

sg = 1 − 0,4 b / a

 π φ   N g = 2 eπ tan φ tan 2  +  + 1 tan φ  4 2   dovendo risultare, ai fini della verifica,

σ Rd , terreno > σ Ed , terreno , quest’ultimo essendo il valore della pressione

dovuta al carico trasmesso dal pilastro ed al peso proprio del plinto. Conformemente alle indicazioni dell’Eurocodice 7, e coerentemente con NTC, si fa riferimento ai seguenti valori dei coefficienti parziali da applicarsi alle azioni ( γ F ), ai parametri geotecnici del terreno ( γ M ) ed alla resistenza del terreno stesso, a valle del calcolo ( γ R ) (approccio 2).

γ F = γ G1 = 1,3 per i carichi permanenti strutturali γ F = γ G 2 = 1,5 per i carichi permanenti portati γ F = γ Q = 1,5 per i carichi variabili (si può applicare al valore di azione assiale trasmesso dal pilastro un unico coefficiente globale γ F = 1,37 ottenuto come media ponderata dei due valori sopra indicati) γ M = γ φ = 1,0 per l’angolo di attrito interno del terreno da applicarsi alla tangente dell’angolo φ

γ M = γ γ = 1,0

per il peso per unità di volume del terreno

γ R = 2,3 Si ha pertanto:

N Ed = 1,37 N + 1,3G PLINTO = (1,37 ⋅ 2037,2 + 1,3 ⋅ 217,6 ) kN = 3073,8 kN

σ Ed , terreno = N Ed / ab = 3073,8 / (3400 ⋅ 3200) = 0,28 N / mm 2 sg = 0,624 tan φ = tan 35° / 1,0 = 0,70 N g = 47,9

σ Rd , terreno = [0,624 ⋅ 47,9 ⋅ 18 kN / m 3 ⋅ 3200mm / 2]/ 2,3 = 0,37 N / mm 2 > σ Ed , terreno

Verifica del plinto Con riferimento agli schemi delle figure seguenti vengono dimensionate le armature del plinto. I coefficienti parziali applicati alle azioni sono quelli dell’approccio 2 secondo NTC. in direzione “a”

d a = 750mm ca = a ' / 4 = 100mm

la = (a − a') / 4 + ca = (3400 − 400) / 4 + 100 = 850mm

λa = la / d a = 850 / 750 = 1,13

PEd , sa = [(a − a ') / a ] N Ed = [(3400 − 400 ) / 3400] ⋅ 3073,8 kN = 2712,2 kN

Asa > PEd , a λ a / 2 f yd = 3919mm 2 Asa = 4082mm 2 1 1 = 2 ⋅ 4082 ⋅ 391 ⋅ = 2825 kN > PEd , sa λa 1,13

con 13 φ 20 ( ≅ φ 20/250) è

PRd , s = 2 Asa f yd in direzione “b”

d b = 730mm cb = b' / 4 = 125mm lb = (b − b') / 4 + cb = (3200 − 500) / 4 + 125 = 800mm

λb = lb / d b = 800 / 730 = 1,10

PEd , sb = [(b − b') / b ] N Ed = [(3200 − 500 ) / 3200 ] ⋅ 3073,8 kN = 2593,5 kN Asb > PEd ,b λb / 2 f yd = 3648mm 2 Asb = 4396mm 2 1 1 = 2 ⋅ 4396 ⋅ 391 ⋅ = 3125 kN > PEd , sb λb 1,10

con 14 φ 20 ( ≅ φ 20/250) è

PRd , s = 2 Asb f yd