ESEMPIO Di Calcolo Di Una Trave Mista Acciaio Calcestruzzo

329

APPENDICE – ESEMPIO 2

Trave continua composta acciaio-calcestruzzo INTRODUZIONE Si riporta il calcolo di una trave continua composta costituita da un profilo in acciaio e da una soletta in calcestruzzo armato. Le verifiche sono eseguite agli stati limite ultimi, considerando il comportamento plastico della sezione, e agli stati limite di esercizio. Con riferimento alla tipica configurazione di Figura 1, si richiamano preliminarmente le formule per il calcolo delle tensioni in regime lineare e dei momenti plastici per alcuni casi di interesse applicativo, utilizzando le seguenti grandezze:

Aa , J a area e momento d'inerzia rispetto all'asse baricentrico della sezione di acciaio Ac , J c area e momento d'inerzia rispetto all'asse baricentrico della sezione di cls As area dell'eventuale armatura longitudinale della soletta

Figura 1 - Tipica sezione di trave composta

Analisi lineare 1 - Momento positivo con asse neutro esterno alla soletta

-

ha

h

x

tf

ysup

ya

As

hc

ys

yc

beff bf

yinf

tw

Posizione dell’asse neutro

Momento di inerzia della sezione equivalente

Tensioni nelle fibre superiori ed inferiori della soletta e dalla trave di acciaio

+

Ay   A   x =  Aa ya + As ys + c c  /  Aa + c + As  n n    

J = Ja +

Jc 1 + Aa ( ya − x) 2 + As ( ys − x) 2 + Ac ( yc − x) 2 n n

σ c,s = −

M M x=− nJ nWc , s

σ a,s = −

M M ( x − hc ) = − J Wc ,i

σ c ,i = −

M M ( x − hc ) = − nJ nWc ,i

σ a ,i =

M M (h − x) = J Wa ,i

COSTRUZIONI in CALCESTRUZZO - COSTRUZIONI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO

330

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Analisi lineare 2 – Momento positivo con asse neutro interno alla soletta beff bf

ys

yc

hc

ta

ha

h

-

x

tf

ysup

ya

As

yinf

+

 x =  − ( Aa + As ) +  

Posizione dell’asse neutro

J = Ja +

Momento di inerzia della sezione equivalente

σ c,s = −

Tensioni nella fibra superiore della soletta e in quelle superiore e inferiori della trave di acciaio

σ a,s =

beff x 3 3n

( Aa + As )

2

+

2beff n

 beff

( Aa ya + As ys )  / 

+ Aa ( ya − x ) + As ( ys − x ) 2

2

M M x=− nJ nWc ,a

M M ( hc − x ) = J Wa , s

σ a ,i =

M M (h − x) = J Wa ,i

Analisi lineare 3 – Momento negativo con asse neutro esterno alla soletta beff bf

ys

yc

hc

As

+

ysup

ta

yinf

ha

h

ya

x tf

-

Posizione dell’asse neutro

x = ( Aa ya + As ys ) / ( As + Aa )

Momento di inerzia della sezione equivalente

J = J a + Aa ( ya − x ) + As ( ys − x )

Tensioni nelle armature della soletta e in quelle superiore e inferiori della trave di acciaio

2

σs =

2

M M ( x − ys ) = J Ws

σ a,s =

M M ( x − hc ) = J Wa , s

σ a ,i = −

M M (h − x) = − J Wa ,i

n

331

APPENDICE – ESEMPIO 2

Analisi plastica 1 – Momento positivo con asse neutro che taglia la trave di acciaio

Risultante compressioni soletta

Cc = hc beff 0,85

Risultante compressioni trave di acciaio

 1  f yk Ca =  Aa − Cc  2 γA 

Risultante trazioni trave di acciaio

Ta =

f yk

γA

f ck

γC

f sk

γS

Aa − Ca

Ca γ A ≤ bf t f f yk




x = hc +

Ca γ A > bf t f f yk




C x = hc + t f +  a γ A − b f t f  f  yk

Posizione asse neutro

Momento plastico

+ As

Ca γA b f f yk

  / tw 

M pl , Rd = Ta ( xa′′ − xc ) − Ca ( xa′ − xc )

Analisi plastica 2 – Momento positivo con asse neutro interno alla soletta

Posizione dell’asse neutro

f yk  f   f  x =  Aa − As sk  /  beff 0,85 ck  γS   γC   γC

Momento plastico

M pl , Rd = Aa

f yk

γa

ysup + xbeff 0,85

f ck  f sk x ( h − ds )  hc −  + As γC  2 γS c

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332

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Analisi plastica 3 – Momento negativo con asse neutro che taglia la trave di acciaio

Risultante trazioni armature soletta

Ts = As

Risultante trazioni trave di acciaio

f yk  1 Ta =  Aa − Ts  2 γA 

Risultante compressioni trave di acciaio Posizione asse neutro

Momento plastico (*per profili simmetrici)

Ca = Aa

f sk

γS

f yk

γA

− Ta

T x = hc + t f +  a γ A − b f t f  f  yk

  / tw 

M pl , Rd = Ca ( xa′′ − xs ) − Ta ( xa′ − xs ) 2  h   f yk h f * = W pl ,a − tw  a + hc − x   + As  a + hc − d s  sk  2   γ A  2  γS 

ESEMPIO NUMERICO Si consideri la trave di un impalcato composto ottenuto con profili metallici IPE 360 posti ad interasse di 4 m (figura 2a) e con una soletta di 13 cm di spessore. Lo schema statico è quello di trave continua con due campate uguali di 8m (figura 2b).

(a)

(b)

Figura 2 - Impalcato composto: (a) sezione trasversale; (b) schema statico

333

APPENDICE – ESEMPIO 2

Caratteristiche geometriche Soletta in cemento armato - spessore soletta s = 130 mm - copriferro c = 20 mm - armatura longitudinale Φ12/15 (rapporto geometrico di armatura longitudinale = 0,58 %) Profilo metallico - profilo IPE 360 - momento di inerzia Ja = 16270 x 104 mm4 - area Aa = 7270 mm² - modulo di resistenza plastico Wpl,a = 1019000 mm3 Connettori - diametro piolo Φ 19 - altezza complessiva H = 95 mm Caratteristiche meccaniche Calcestruzzo C20/25 - resistenza a compressione cilindrica caratteristica - coefficiente parziale di sicurezza - resistenza a compressione cilindrica di progetto - resistenza a compressione media - modulo elastico

fck = 20 MPa γc = 1,5 fcd =20/1,5= 1,33 MPa fcm = fck+8=28 MPa Ecm = 22000(fcm/10)0,3 = 29962 MPa

Acciaio armatura B450C - tensione di snervamento caratteristica - coefficiente parziale di sicurezza - tensione di snervamento di progetto

fsk = 450 MPa γs = 1,15 fsd = 450/1,15 = 391,3 MPa

Acciaio profilo S275 - tensione di snervamento caratteristica - coefficiente parziale di sicurezza - tensione di snervamento di progetto - modulo elastico

fyk = 275 MPa γa = 1,05 fyd =275/1,05 =262 MPa Es = 210000 MPa

Acciaio connettori S275 - tensione di rottura caratteristica - coefficiente parziale di sicurezza

fuk = 430 MPa γv = 1,25

Analisi dei carichi Peso proprio IPE 360 Soletta (4,00 m x 0,13 m x 25 kN/m3) G1 =

0,57 13,00 13,57

kN/m kN/m kN/m

G2 =

4,00 2,40 2,40 1,44 1,20 11,44

kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m

Q=

8,00

kN/m

Sovraccarichi fissi Tramezzi (4,00 m x 1 kN/m2) Pavimento (4,00 m x 0,03 m x 20 kN/m3) Massetto (4,00 m x 0,04 m x 15 kN/m3) Intonaco (4,00 m x 0,02 m x 18 kN/m3) Controsoffitto (4,00 m x 0,30 kN/m2) Carichi variabili Cat. A – Abitazione (4,00 m x 2 kN/m2)

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334

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Combinazioni di carico Combinazione SLU:

Fd = γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q Qk = 1,3 x 13,57 + 1,5 x 11,44 + 1,5 x 8,00

Combinazione SLE rara:

Fd = G1 + G2 + Qk = 13,57 + 11,44 + 8,00

Ritiro del calcestruzzo (11.2.10.6) Le deformazioni da ritiro sono determinate in accordo al punto 11.2.10.6 interpolando i valori riportati nelle tabelle 11.2.Va e 11.2.Vb.

h0 (mm) kh 100 1,0 200 0,85 300 0,75 0,70 ≥500 Spessore fittizio (soletta con esposizione su un solo lato)

h0 = 260 mm

Calcestruzzo C20/25, Umidità Relativa 55%

ε c0 =

Ritiro da essiccamento a lungo termine

−0.49 + 0.58 15 − 0.58 = −0,512 ‰ 20 0,75 − 0,85 kh = 60 + 0,85 = 0,79 100 ε cd ,∞ = khε c 0 = −0, 404 ‰

ε ca ,∞ = −2.5 ( f ck − 10 )10−6 = −0,025 ‰ ε cs ,∞ = ε cd ,∞ + ε ca ,∞ = −0,43 ‰

Ritiro autogeno a lungo termine Ritiro totale a lungo termine

Viscosità (11.2.10.7) Per la valutazione degli effetti a lungo termine (carichi permanenti e ritiro) può essere adottato il metodo semplificato suggerito dalla normativa, basato sull’impiego di un modulo elastico ridotto per il calcestruzzo, pari al 50% del suo valore medio istantaneo, Ecm.

Coefficienti di omogeneizzazione Nelle analisi e nelle verifiche a breve e a lungo termine saranno utilizzati i seguenti coefficienti di omogeneizzazione: - analisi a breve termine n0 =

Ea = 7,01 Ecm

- analisi a lungo termine (permanenti + ritiro)

n* =

Ea = 2n0 = 14,02 0,5 Ecm

335

APPENDICE – ESEMPIO 2

Calcolo delle larghezze efficaci (4.3.2.3) La larghezza efficace della soletta si determina con la relazione beff = b0 + be1 + be 2

dove i tre contributi sono riportati in figura 3. In particolare b0 può essere trascurato, mentre

be1 = be 2 = Le / 8 . - sezioni in campata

beff = 2 × ( 0,85 × 8,00 / 8 ) = 1,70 m

- sezioni in appoggio

beff = 2 × ( 0, 25 × 16,00 / 8 ) = 1,00 m

Il valore calcolato per le sezioni di campata è utilizzato sia per le verifiche sezionali che per il calcolo delle sollecitazioni (analisi della trave continua). Il valore calcolato per le sezioni di appoggio è utilizzato solo per le verifiche sezionali.

Figura 3 - Definizione della larghezza efficace

VERIFICHE ALLO SLU Il profilo IPE 360 rientra in classe 1, sia per le sollecitazioni di momento positivo che negativo, per cui le verifiche allo SLU possono essere eseguite con riferimento alla resistenza plastica della sezione, trascurando gli effetti delle fasi costruttive, del ritiro e della viscosità. Combinazione delle azioni Fd = γ G1G1 + γ G 2G2 + γ Q Qk = 1,3 x 13,57 + 1,5 x 11,44+ 1,5 x 8,00 = 46,8 KN/m Le sollecitazioni vengono calcolate con un’analisi lineare valutando gli effetti della redistribuzione delle sollecitazioni considerando l’inerzia della sezione fessurata per i tratti di trave adiacenti all’appoggio con lunghezza pari al 15% della campata (seconda procedura indicata al 4.3.2.2.1). Trascurando gli effetti viscosi (n=n0), le sollecitazioni massime risultano: MEd = 251 kNm (in campata) MEd = -270 kNm (sull’appoggio centrale) VEd = 221 kN con una riduzione del momento negativo sull’appoggio centrale del 27% rispetto al caso di trave a sezione costante (trave non fessurata).

COSTRUZIONI in CALCESTRUZZO - COSTRUZIONI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO

336

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

I momenti resistenti delle sezioni di campata e di appoggio si calcolano secondo le procedure richiamate nell’introduzione. Il contributo delle armature della soletta viene determinato tenendo conto del numero di barre che ricadono all’interno delle larghezze efficaci. SLU plastico di flessione Momento Plastico Positivo

Posizione dell’asse neutro

f yk  f  − As sk   Aa γC γ S  ( 7273 × 262 − 1282 × 391) x= = = 73mm f ck 0,85 × 1700 × 13,33 beff 0,85

γC

f ck  f sk x ( hc − d s )  hc −  + As γa γC  2 γS 73   = 7273 × 262 × 180 + 73 × 1700 × 0,85 × 13,33 ×  130 −  2   M pl , Rd = Aa

Momento plastico

f yk

ysup + xbeff 0,85

+1282 × 391 × (130 − 20 ) = 529515238 Nmm ≅ 530 kNm Mpl,Rd = 530 kNm > MEd = 251 kNm

(Verifica soddisfatta)

Momento Plastico Negativo f sk

Risultante trazioni armature soletta

Ts = As

Risultante trazioni trave di acciaio

f yk  1 1 − Ts  = ( 7273 × 262 − 295033) = 805246 N Ta =  Aa 2 γA  2

Risultante compressioni trave di acciaio

Ca = Aa

Posizione asse neutro

Momento plastico

γS

f yk

γA

= 754 × 391 = 295033 N

− Ta = 7273 × 262 − 805246 = 1100280 N

T  x = hc + t f +  a γ A − b f t f  / tw  f yk     805246  = 130 + 12,7 +  − 170 × 12,7  / 8 = 257 mm 262   2  h   f yk h  f M pl ,Rd = Wpl ,a − tw  a + hc − x   + As  a + hc − d s  sk  2   γ A  2  γS  2   360    360  = 1019000 − 8  + 130 − 257   262 + 754  + 130 − 20  391  2    2   = 346651629 Nmm ≅ 347 kNm

Mpl,Rd = 347 kNm > MEd = 270 kNm

(Verifica soddisfatta)

Si verifica a posteriori che la sezione soggetta a momento negativo sia in classe 1 (4.2.3.1).

337

APPENDICE – ESEMPIO 2

Anima - altezza anima al netto dei raccordi - spessore anima

c = 298,6 mm t = 8 mm 360 + 130 − 257 − 12.7 − 18 202, 63 = = 0, 67 > 0, 5 298, 6 298, 6 c 298, 6 396ε 396 × 0.92 = = 37, 32 < = = 46, 62 t 8 13α − 1 13 × 0, 67 − 1 (Verifica soddisfatta)

α=

x

+

c

αc

Ali

- semilarghezza ala al netto del raccordo c = 63 mm - spessore ala t = 12,7 mm c 63 = = 4,96 < 9ε = 9 × 0,92 = 8.28 (Verifica soddisfatta) t 12.7

La sezione può essere pertanto considerata in classe 1.

SLU plastico di taglio Per il calcolo del taglio resistente si considera solo il contributo del profilo in acciaio Area resistente a taglio (4.2.4.1)

Av = A − 2bt f + ( tw + 2r ) t f

Taglio plastico

Vc , Rd =

= 7273 − 2 × 170 × 12,7 + ( 8 + 2 × 18 ) × 12,7 = 3514 mm 2 Av f yk

Vc,Rd = 532 kN > VEd = 221 kN

3γ A

=

3514 × 275 3 × 1,05

= 531518 N = 532 kN

(Verifica soddisfatta)

Non occorrono verifiche specifiche di stabilità dell’anima del profilo (4.2.3.1) in quanto

hw 298.6 72 235 72 235 = = 37,32 < = = 66,84 t 8 η f yk 1 275 Essendo il taglio di progetto VEd = 221 kN minore di 1/2 Vc,Rd = 532/2 = 266 kN, l’influenza del taglio sul momento ultimo plastico (Mpl,Rd) può essere trascurata.

SLU della connessione I connettori utilizzati sono di tipo duttile. Per la resistenza a taglio di progetto di un piolo munito di testa saldato in modo automatico con collare di saldatura normale, si assume il più piccolo tra i due seguenti valori: Rottura piolo

PRd ,a =

0,8 f uπ d 2 / 4

γv

=

0,8 × 430 × π × 192 / 4 = 78027 N = 78 kN 1,25

h   ≤1 d   0, 29α d 2 f ck Ecm

α = 0, 2  1 + Rottura calcestruzzo

PRd ,c =

γv

=

0, 29 × 1 × 192 20 × 29962 = 64834 N = 65 kN 1, 25

COSTRUZIONI in CALCESTRUZZO - COSTRUZIONI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO

338

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Resistenza connettore

PRd = min ( PRd ,a , PRd ,c ) = 65 KN

Si progetta la connessione a completo ripristino di resistenza. Per le travi nelle quali si utilizza la teoria plastica, per valutare la resistenza delle sezioni trasversali, la forza totale di scorrimento di progetto Vld che deve essere trasferita dai connettori deve essere calcolata tra l’appoggio di estremità e la sezione di momento massimo in campata (Figura 4a) e tra quest’ultima e l’appoggio centrale (Figura 4b).

(a)

(b)

Figura 4 - Lunghezze di riferimento per il calcolo dei connettori

Calcolo connettori tra appoggio di estremità e campata

Forza totale sulla connessione

 Aa f yk 0,85 Ac f ck As f sk  Vld = min  ; +  γC γS   γA = min {7273 × 262; 0,85 × 1700 × 130 × 13, 33 + 1281 × 391} = 1905526 N = 1906 kN

Numero connettori

Nf =

Vld 1906 = = 29, 3 → N f = 30 PRd 65

Calcolo connettori tra appoggio intermedio e campata

Forza totale sulla connessione

 Aa f yk 0,85 Ac f ck As f sk  As f sk Vld = min  ; + + γC γS  γS  γA = min {7273 × 262; 0,85 × 1700 × 130 × 13, 33 + 1281 × 391} + 754 × 391 = 2200559 N = 2201 kN

Numero connettori

Nf =

Vld 2201 = = 33,8 → N f = 34 65 PRd

VERIFICHE AGLI SLE Le verifiche agli SLE riguardano il controllo delle tensioni a breve e lungo termine e delle deformazioni a lungo termine. Per tener conto delle fasi costruttive, della fessurazione della soletta in appoggio, degli effetti a lungo termine di viscosità e ritiro, saranno considerate le sezioni resistenti di Figura 5. Le verifiche sono eseguite sia nel caso di trave puntellata che in quello di trave non puntellata.

339

APPENDICE – ESEMPIO 2

AZIONE: CARICHI ACCIDENTALI TEMPERATURA

SEZIONE TIPO 1: trave metallica + soletta + armature

n=n*=Ea/Ecm

AZIONE: CARICHI PERMANENTI E RITIRO

SEZIONE TIPO 2: trave metallica + soletta + armature

n=n*=Ea/0,5Ecm

AZIONE: CARICHI ACC., PERM, RITIRO

SEZIONE TIPO 3: trave metallica + armature

AZIONE: PESO PROPRIO SOLETTA E TRAVE METALLICA

SEZIONE TIPO 4: trave metallica

Figura 5 - Sezioni resistenti considerate nelle analisi

Tenendo conto dei coefficienti di omogeneizzazione precedentemente calcolati (n0 = 7,01, n* = 14,02), si valutano le caratteristiche delle sezioni resistenti di Figura 5. Nelle tabelle che seguono sono riportate le caratteristiche della sezione soggetta a momento positivo e a momento negativo. Sezione con momento positivo Analisi Breve termine Lungo termine Transitoria (acciaio)

Sez. Tipo

n ---

x [mm]

J [mm4]

A [mm2]

Wc,s [mm3]

Wc,i [mm3]

Wa,s [mm3]

Wa,i [mm3]

0

1

7,01

106

571143180

40086,21

5372162

---

24114458

1488574

*

2

14,02

136

501806713

24317,96

3692401

6063871 10817225

1417143

a

4

---

---

162700000

7273

---

---

903600

903600

Sezione con momento negativo Analisi

sez. tipo

n ---

x [mm]

J [mm4]

Ws [mm3]

Wa,s [mm3]

Wa,i [mm3]

Fessurata

f

3

---

283

220167633

833731,3

1428964

1069164

Transitoria (acciaio)

a

4

---

---

162700000

---

903600

903600

Controllo tensioni Per le sezioni soggette a momento massimo positivo (campata) e momento massimo negativo (appoggio), si verificano le tensioni nei materiali risultanti dall’azione concomitante dei carichi permanenti e variabile, secondo la seguente combinazione: Combinazione SLE rara: Fd = G1 + G2 + Qk

COSTRUZIONI in CALCESTRUZZO - COSTRUZIONI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO

340

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Trave puntellata Le sollecitazioni sono determinate sullo schema di trave continua con soletta fessurata, valutando le rigidezze delle sezioni a breve e a lungo termine in accordo agli schemi di Figura 6.

Sez. 1

Sez. 3

Sez. 1

Sez. 2

Sez. 3

Sez. 2

Schema 1. Azioni a breve termine (n = n0)

Schema 2. Azioni a lungo termine (n = n*)

Figura 6 - Schemi di riferimento per il calcolo delle sollecitazioni

Verifiche a breve termine Tutti i carichi agiscono sullo schema 1. Sezione campata

Sezione appoggio

MEd,G1 = 72,60 kNm MEd,G2 = 61,20 kNm MEd,Q = 42,80 kNm

MEd,G1 = -78,95 kNm MEd,G2 = -66,56 kNm MEd,Q = -46,54 kNm

Sezione campata M + M Ed ,G 2 + M Ed ,Q σ c ,s = Ed ,G1 = 4,69 N/mm2 < 0,6fck = 12,00 N/mm2 n0Wc ,s ,1

σ a ,i =

M Ed ,G1 + M Ed ,G 2 + M Ed ,Q Wa ,i ,1

= 118,63 N/mm2 < fyk = 275N/mm2

Sezione appoggio M + M Ed ,G 2 + M Ed ,Q σ s = Ed ,G1 = 230,35 N/mm2 < 0,8fsk = 360 N/mm2 Ws ,4

σ a ,i =

M Ed ,G1 + M Ed ,G 2 + M Ed ,Q Wa ,i ,4

= 179,62 N/mm2 < fyk = 275N/mm2

(Verifica soddisfatta)

(Verifica soddisfatta)

(Verifica soddisfatta)

(Verifica soddisfatta)

Verifiche a lungo termine I carichi permanenti G1 e G2 agiscono sullo schema 2, il carico variabile Q agisce sullo schema 1. Sezione campata

Sezione appoggio

MEd,G1 = 70,90 kNm MEd,G2 = 59,77 kNm MEd,Q = 42,80 kNm

MEd,G1 = -82,86 kNm MEd,G2 = -69,86 kNm MEd,Q = -46,54 kNm

341

APPENDICE – ESEMPIO 2

Le sollecitazioni dovute al ritiro si determinano sovrapponendo gli effetti ottenuti sui due schemi di Figura 7: (a) soletta sottoposta alle reazioni longitudinali di incastro perfetto Ncs e (b) trave composta con soletta fessurata soggetta alle forze longitudinali Ncs applicate nel baricentro della soletta. Sia la forza Ncs che le caratteristiche geometriche della sezione nello schema (b) sono calcolate con n = n*.

εcs

Ncs

εcs

Ncs

Ncs

(a) +

Ncs

Ncs

Ncs

ecs

(b)

sez.2

sez.4

sez.2

Figura 7 - Schemi di riferimento per il calcolo degli effetti del ritiro

N cs = Ea

AC 1, 7 ⋅ 0,13 ε cs = 210000000 × 0, 00043 = 1423,42 kN n* 14, 02

M cs = N cs ecs = N cs ( xcs − hc / 2 ) = 1040,33 ⋅ ( 0,160 − 0,13 / 2 ) = 100,92 kNm Sezione campata

Sezione appoggio

NEd,cs = 1434,42 kN MEd,cs = 73,07 kNm

NEd,cs = 0 kN MEd,cs = -73,22 kNm

Sezione campata

σ c,s =

M Ed ,G1 + M Ed ,G 2 n * Wc ,s ,2

+

M Ed ,Q n0Wc ,s ,1

−

N Ed ,cs beff hc

+

N Ed ,cs ncs A2

+

M Ed ,cs n * Wc ,s ,2

= 1,32 N/mm2 < 0,6fck = 12,00 N/mm2 (Verifica soddisfatta)

σ a ,i =

M Ed ,G1 + M Ed ,G 2 Wa ,i ,2

+

M Ed ,Q Wa ,i ,1

−

N Ed ,cs A2

+

M Ed ,cs Wa ,i ,2

= 59,81 N/mm2 < fyk = 275 N/mm2 (Verifica soddisfatta)

Sezione appoggio M + M Ed ,G 2 + M Ed ,Q + M Ed ,cs σ s = Ed ,G1 = 330,35 N/mm2 < 0,8fsk = 360,00 N/mm2 Ws ,3 (Verifica soddisfatta)

σ a ,i =

M Ed ,G1 + M Ed ,G 2 + M Ed ,Q + M Ed ,cs Wa ,i ,3

= 257,60 N/mm2 < fyk = 275N/mm2

(Verifica soddisfatta)

COSTRUZIONI in CALCESTRUZZO - COSTRUZIONI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO

342

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Trave non puntellata Le sollecitazioni sono determinate sullo schema di trave continua con soletta fessurata, valutando rigidezze delle sezioni a breve e lungo termine in accordo agli schemi di Figura 8.

Sez. 4

Schema 0. Schema transitorio fase di getto

Sez. 1

Sez. 3

Sez. 1

Sez. 2

Sez. 3

Sez. 2

Schema 1. Azioni a breve termine (n = n0)

Schema 2. Azioni a lungo termine (n = n*)

Figura 8 - Schemi di riferimento per il calcolo delle sollecitazioni.

Verifiche a breve termine Il carico G1 agisce sullo schema 0 mentre i carichi G2 e Qk agiscono sullo schema 1. Sezione campata

Sezione appoggio

MEd,G1 = 61,02 kNm MEd,G2 = 61,20 kNm MEd,Q = 42,80 kNm

MEd,G1 = -108,56 kNm MEd,G2 = -66,56 kNm MEd,Q = -46,54 kNm

Sezione campata

σ c,s = σ a ,i =

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q n0Wc ,s ,1 M Ed ,G1 Wa ,i ,4

+

= 2,76 N/mm2 < 0,6fck = 12,00 N/mm2

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q Wa ,i ,1

= 137,37 N/mm2 < fyk = 275N/mm2

(Verifica soddisfatta)

(Verifica soddisfatta)

Sezione appoggio

σs =

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q

σ a ,i =

Ws ,4 M Ed ,G1 Wa ,i ,4

+

= 135,66 N/mm2 < 0,8fsk = 360 N/mm2

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q Wa ,i ,3

= 196,08 N/mm2 < fyk = 275 N/mm2

(Verifica soddisfatta)

(Verifica soddisfatta)

le

343

APPENDICE – ESEMPIO 2

Verifiche a lungo termine Il carico permanente G1 agisce sullo schema 0, G2 agisce sullo schema 2, il carico variabile Qk agisce sullo schema 1.

Sezione campata

Sezione appoggio

MEd,G1 = 61,02 kNm MEd,G2 = 59,77 kNm MEd,Q = 42,80 kNm

MEd,G1 = -108,56 kNm MEd,G2 = -69,86 kNm MEd,Q = -46,54 kNm

Le sollecitazioni dovute al ritiro sono le stesse calcolate in precedenza.

Sezione campata

Sezione appoggio

NEd,cs = 1434,42 kN MEd,cs = 73,07 kNm

NEd,cs = 0 kN MEd,cs = -73,22 kNm

Sezione campata

σ c,s =

M Ed ,G 2 n * Wc ,s ,2

+

M Ed ,Q n0Wc ,s ,1

−

N Ed ,cs beff hc

+

N Ed ,cs ncs A2

+

M Ed ,cs n * Wc ,s ,2

= 0,039 N/mm2 < 0,6fck = 12,00 N/mm2 (Verifica soddisfatta)

σ a ,i =

M Ed ,G1 Wa ,i ,4

+

M Ed ,G 2 Wa ,i ,2

+

M Ed ,Q Wa ,i ,1

−

N Ed ,cs A2

+

M Ed ,cs Wa ,i ,2

= 114,63 N/mm2 < fyk = 275 N/mm2 (Verifica soddisfatta)

Sezione appoggio

σs =

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q + M Ed ,cs

σ a ,i =

Ws ,3 M Ed ,G1 Wa ,i ,4

+

= 212.63 N/mm2 < 0,8fsk = 360,00 N/mm2

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q + M Ed ,cs Wa ,i ,3

= 304,20 N/mm2 < fyk = 275N/mm2

(Verifica soddisfatta)

(Verifica non soddisfatta)

Per il soddisfacimento della verifica si dispone un’armatura longitudinale aggiuntiva nella zona di appoggio. Con un rapporto geometrico di armatura longitudinale pari a 2% si ottiene:

σ a ,i =

M Ed ,G1 Wa ,i ,4

+

M Ed ,G 2 + M Ed ,Q + M Ed ,cs Wa ,i ,3

= 269,99 N/mm2 < fyk = 275N/mm2

(Verifica soddisfatta)

344

COSTRUZIONI in CALCESTRUZZO - COSTRUZIONI COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO

Commentario alle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/1/2008

Controllo spostamenti verticali Si calcolano gli spostamenti massimi in campata risultanti dall’azione concomitante dei carichi permanenti e variabile secondo la seguente combinazione: Combinazione SLE rara: Fd = G1 + G2 + Qk Vengono assunte le seguenti limitazioni in accordo alla tabella 4.2.X di normativa: δmax ≤ L / 250 = 8000 / 250 = 32 mm δ2 ≤ L /350 = 8000 / 350 = 23 mm Trave puntellata Gli spostamenti sono determinati considerando gli stessi schemi di trave continua impiegati per le verifiche tensionali (Figura 6). Indicando con δ sch 2 e δ sch1 gli spostamenti valutati sugli schemi 1 e 2, si ottiene:

δ max = δ sch 2 ( G1 + G2 ) + δ sch1 ( Q ) + δ sch 2 ( M cs )

= 3,16 + 2,67 + 1,68 + 3,83 = 11,34 mm < L/250 = 32 mm (Verifica soddisfatta) δ 2 = δ sch 2 ( G1 + G2 ) − δ sch1 ( G1 + G2 )  + δ sch1 ( Q ) + δ sch 2 ( M cs ) = 3,16 + 2,67 - 2,854 - 2,406 + 1,68 + 3,83 = 6,08 mm < L/350 = 22 mm Trave non puntellata Con riferimento agli schemi di trave continua di Figura 8, si ottiene:

δ max = δ sch 0 ( G1 ) + δ sch 2 ( G2 ) + δ sch1 ( Q ) + δ sch 2 ( M cs ) = 7,890 + 2,67 + 1,683 + 3,83 = 16,07 mm < L/250 = 32 mm (Verifica soddisfatta)

δ 2 = δ sch 2 ( G2 ) − δ sch1 ( G2 )  + δ sch1 ( Q ) + δ sch 2 ( M cs ) = 2,67 - 2,406 + 1,683 + 3,83 = 5,78 mm < L/350 = 22 mm (Verifica soddisfatta)