Esami Geotec Trento

Corsi di Geotecnica 1, Geotecnica 2 e Meccanica delle terre e delle rocce.

Esercizi d’esame risolti

Ing. Lucia Simeoni http://www.ing.unitn.it/~simeonil/Esercizi.html

3. Moti di filtrazione transitori

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

6. il grado di sovraconsolidazione OCR al centro dello strato AB dopo 1 anno

∆u1anno=(1-0,7)∆uiniziale==(1-0,7)·30=9 kPa u1anno=ufinale+ ∆u1anno=20+9=29 kPa σ1anno =70 kPa σ’1anno =70-29=41 kPa OCR= σ’p/ σ’1anno=125/41=3,05

ESERCIZIO 2 (5 settembre 2003) In un deposito orizzontale di terreno, costituito da 6 m di argilla limosa in sommità e sabbia in profondità, si esegue uno scavo fino alla profondità di 2 m dal piano di campagna. Contemporaneamente si mantiene il piano di falda coincidente con il piano di scavo e, quindi, esso si sposta dalla posizione 1 (prima dello scavo) alla posizione 2 (a fine scavo). Il regime delle pressioni interstiziali nella sottostante sabbia rimane invece inalterato. Sapendo che il peso di volume unitario dell’argilla limosa è γ=20 kN/m3, si valutino e si riportino in grafico i valori degli sforzi verticali totali, delle pressioni interstiziali e degli sforzi verticali efficaci agenti in sito: a) prima dell’esecuzione dello scavo; b) immediatamente dopo l’esecuzione dello scavo; c) al termine del processo di consolidazione. Nell’ipotesi che la sabbia sia indeformabile e che la deformazione verticale dello strato di argilla sia uniforme e pari a quella del centro dello strato, si valuti inoltre l’entità dell’innalzamento del fondo dello scavo dopo 6 mesi dalla sua esecuzione. Si assuma per l’argilla limosa un valore del coefficiente di consolidazione cv = 1,03 10-7 m2/s ed un modulo edometrico costante pari a M=1500 kPa.

1=2

1 2

2m

Argilla Sabbia

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

4m

ESERCITAZIONE n. 1 (29 ottobre 2003) Su un terreno con piano di campagna orizzontale si applica uno strato di terra dello spessore di 4 m, secondo la geometria riportata in figura.

Nuovo strato 1m

1

Sabbia

1m

2

Argilla

A

Ghiaia con Sabbia

3 4

La stratigrafia del terreno è: profondità (m) 0-3 3-5 >5

Terreno Sabbia Argilla Ghiaia con sabbia

Peso di volume γ (kN/m3) 19.0 18.0 20.0

Grado di saturazione S 1 1 1

Il terreno utilizzato per realizzare il nuovo strato possiede un peso dell’unità di volume γ = 21 kN/m3 , mentre l’acqua possiede un peso dell’unità di volumeγw = 10 kN/m3. Prima, durante e dopo la realizzazione del nuovo strato i livelli d’acqua nei piezometri collocati negli strati di sabbia si possono considerare costanti: nello strato di sabbia superiore il livello si trova 1 m sotto il piano di campagna; nello strato di sabbia inferiore si trova 1 m sopra il piano di campagna. Per studiare il processo di consolidazione nell’argilla dalla mezzeria dello strato di argilla (punto A) è stato prelevato un campione indisturbato su cui è stata eseguita una prova di compressione edometrica, che ha fornito i seguenti risultati di pressione di preconsolidazione σ’vp=50 kPa, di indici di compressione e ricompressione cc=0.320 e cr=0.030, di coefficiente di consolidazione cv=2.1 10-7 m2/s. Il contenuto d’acqua del campione di terreno prima dell’esecuzione della prova era pari a w=0.30 e la densità specifica dei grani Gs=2.68. Rispondere alle domande di seguito elencate, riportando i passaggi fondamentali con la notazione letterale, i valori numerici ed eventuali commenti.

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 1 (15 gennaio 2004) Su un deposito di terreno costituito da uno strato di 4 m di argilla (figura 1) su sabbia viene applicato un sovraccarico q=100 kPa. Il piano di campagna è orizzontale e l’impronta di carico può essere assunta infinitamente estesa. Il piano di falda si trova a 1 m sotto il piano di campagna. Dalla mezzeria dello strato di argilla (punto A) è stato prelevato un campione indisturbato su cui è stata eseguita una prova di compressione edometrica. L’indice dei vuoti iniziale e0 del terreno è uguale a 0,535; i risultati della prova sono riportati in tabella 1 e illustrati nel grafico di figura 2.

q=100 1m

Argilla

A

Sabbia

Figura 1: stratigrafia e condizioni di carico

e

e0= 0,535

0.530 0.528 0.523 0.514 0.489 0.443 0.397 0.343 0.290

Tabella 1: risultati della prova di compressione edometrica

0.550 0.500 0.450

e

σ'v [kPa] 50 100 200 400 800 1600 3200 6400 12800

0.400 0.350 0.300 0.250 10

100

1000

10000

100000

σ 'v (kPa) Figura 2: rappresentazione grafica sul piano semilogaritmico dei risultati della prova di compressione edometrica

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

Nelle ipotesi che il peso dell’unità di volume del terreno sia costante e pari a 20 kN/m3 e che la deformazione verticale dello strato di argilla sia uniforme e pari a quella del punto A, si valuti: 1. la pressione di preconsolidazione σ’p, valutata con il metodo grafico di Casagrande: σ’p=…………………kPa 2. il grado di sovraconsolidazione dell’argilla nel punto A, prima dell’applicazione del sovraccarico q: OCR0-=….………………… 3. il grado di sovraconsolidazione dell’argilla nel punto A, dopo l’applicazione del sovraccarico q: OCR∞=…………………… 4. l’indice di ricompressione cr (per semplicità di calcolo si faccia riferimento ai primi due gradini di carico): cr =…………………… 5. l’indice di ricompressione cc (per semplicità di calcolo si faccia riferimento agli ultimi due gradini di carico): cc =…………………… 6. il valore del cedimento finale ∆H: ∆H=………..………cm 7. il valore del carico q, che può essere applicato affinché il cedimento finale sia pari a 3 cm: q3cm=………………kPa

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 1 (21 giugno 2004) Un deposito di argilla con piano di campagna orizzontale ha uno spessore di 8 m e la falda in quiete coincidente con il piano di campagna. Alla profondità di 4 m di tale deposito è stato prelevato un campione per eseguire una prova di compressione edometrica. Il provino su cui è stata eseguita la prova è di forma cilindrica, con diametro D=80 mm e altezza iniziale H0=20 mm. La densità specifica del terreno è stata valutata pari a 2,71. I valori di pressione verticale a cui è stato sottoposto il provino e le entità dei cedimenti misurati durante le fasi di consolidazione sono riportati nella seguente tabella: σ’v (kPa) ∆H (mm) e

25 0.085

50 0.465

100 0.951

200 1.452

400 2.012

800 2.675

1600 3.206

800 3.041

200 2.674

50 2.329

Tabella 1: dati della prova di compressione edometrica Alla fine della prova la massa del provino umido era Mwf=180,557 g; quella del provino secco era Msf=145,378 g.

σ'v (kPa) 1

10

100

1000

10000

0.000 0.500

∆Η (mm)

1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500

Figura 1: rappresentazione grafica sul piano semilogaritmico dei risultati della prova di compressione d ti 1. Si rappresenti la prova di compressione edometrica nel grafico di figura 1. Assumendo un peso medio dell’unità di volume dell’acqua pari a 10 kN/m3, un peso medio dell’unità di volume del terreno costante con la profondità e pari a 20 kN/m3 e che la deformazione verticale dello strato di argilla sia uniforme e pari a quella del provino, si valuti: 2. il contenuto d’acqua finale wf: 3. l’espressione dell’indice dei vuoti e in funzione del cedimento ∆H del provino: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

wf =…………………… e(∆H) =……………………

4. l’indice dei vuoti finale ef: 5. l’indice dei vuoti iniziale e0: 6. il contenuto d’acqua iniziale w0: 7. l’indice di compressione cc medio nell’intervallo di carico 50-200 kPa:

ef =…………………… e0 =…………………… w0 =…………………… cc =……………………

8. il valore del cedimento finale ∆H per effetto dell’applicazione di un carico q=150 kPa sul piano di campagna: ∆H=………..………cm

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 1 (1 settembre 2004) Un deposito di sabbia contiene due strati di argilla aventi ciascuno uno spessore di 3 m. Nel deposito sono state identificate due differenti falde: il piano di falda di quella più superficiale è ubicato nello strato di sabbia più superficiale, la falda più profonda è rappresentata in figura con i due piezometri. In questo deposito si deve realizzare un pozzo per emungere acqua dallo strato di sabbia interposto tra i due strati di argilla. Tale emungimento provocherà un’abbassamento di 4 m della falda più profonda, mentre il livello della falda superficiale rimarrà inalterato. Inoltre, lo strato di sabbia intermedio sarà sempre soggetto a pressioni interstiziali positive. La permeabilità dell’argilla è molto minore di quella della sabbia. I valori di deformabilità edometrica e del coefficiente di consolidazione di due campioni A e B, prelevati rispettivamente in mezzeria allo strato di argilla più superficiale e a quello più profondo, sono riportati in tabella 1. coefficiente di consolidazione cv [m2/s] 3.20 10-7 1.39 10-7

campione modulo edometrico M [MPa] A 3 B 4 Tabella 1. Caratteristiche di deformabilità e consolidazione dell’argilla.

Sabbia

∆ h=4 m C

Argilla

A D

Sabbia E B

Argilla

F Sabbia

Nell’ipotesi che la deformazione verticale dell’argilla di ciascun strato sia pari a quella del campione prelevato nella sua mezzeria, si determini: 1. l’incremento degli sforzi verticali efficaci nei due strati di argilla, che si verifica a tempo infinito per effetto dell’emungimento (si assuma un peso dell’unità di volume dell’acqua pari a 10 kPa); 2. il cedimento totale del piano di campagna; 3. il tempo necessario per raggiungere il 70% del cedimento dello strato di argilla più superficiale; 4. il grado di consolidazione raggiunto dallo strato di argilla più profondo nello stesso intervallo di tempo; 5. la stima dei coefficienti di permeabilità k dell’argilla in funzione delle caratteristiche di deformabilità e consolidazione. U

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Tv 0 0.0017 0.0077 0.0177 0.0314 0.0491 0.0707 0.0962 0.126 0.159 0.196 0.238 0.286 0.342 0.403 0.477 0.567 0.684 0.848 1.129 ∞

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

Facciamo riferimento allo schema di figura, in cui con hw1 e hw2 sono state denominate le distanze dei piani di falda dal tetto e dal letto dello strato di argilla più superficiale; con L1 e L2 gli spessori degli strati di sabbia più superficiale e intermedio.

Sabbia

L1

∆ h=4 m C

Argilla

hw 1

A

3

hw 2

D

L2

Sabbia E B

Argilla

3

F Sabbia

C

σ'v

u

A D

∆u=-40 kPa

∆σ'v=40 kPa

E B F

Affinchè le pressioni interstiziali nello strato di sabbia intermedio siano sempre positive, anche durante l'emungimento, deve essere:

hw2 − 4 > 0 hw2 > 4 m In generale, nè prima dell'emungimento, nè successivamente, i due piani di falda coincidono e, quindi, vi è un moto di filtrazione nei tre strati di terreno più superficiali. Essendo però la permeabilità della sabbia molto maggiore di quella dell'argilla, le perdite di carico negli strati di sabbia sono trascurabili rispetto a quelle che si hanno nello strato di argilla. Nello strato di argilla più profondo non ci sono perdite di carico. Per effetto dell'emungimento si ha un abbassamento del livello della falda più profonda. Questo significa che i valori delle pressioni interstiziali negli strati di sabbia più profondi si riducono della quantità: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

∆u = ∆h ⋅ γ w = −4 ⋅10 = −40 kPa e, quindi, si riducono i valori delle pressioni interstiziali al contorno inferiore dello strato di argilla più superficiale e ad entrambi i contorni dello strato di argilla più profondo. Per effetto dell'emungimento le variazioni dello stato tensionale negli strati di argilla sono:

∆σ v = 0 ∆u ≠ 0 ∆σ v′ = − ∆u ≠ 0 1) Le variazioni delle pressioni interstiziali e dello stato tensionale efficace sono state rappresentate nello schema riportato sotto la figura. Nello strato di argilla più superficiale si ha una variazione con la profondità di tipo triangolare, nello strato di argilla più profondo si ha una variazione di tipo rettangolare. Tali variazioni valgono:

∆u D = ∆u E = ∆u B = ∆u F = −40 kPa ∆uC = 0 kPa ∆uC + ∆u D = −20 kPa 2 ∆σ v′ = − ∆u ∆σ ′D = ∆σ ′E = ∆σ ′B = ∆σ ′F = 40 kPa

∆u A =

∆σ C′ = 0 kPa ∆σ ′A = 20 kPa 2) Noto l'incremento degli sforzi verticali efficaci è possibile valutare il cedimento del piano di campagna come somma dei cedimenti per consolidazione dei due strati di argilla: Strato 1: ∆H 1 = H 01

∆σ ′A 20 = 300 ⋅ = 2 cm M1 3000

Strato 2: ∆H 2 = H 02

∆σ ′B 40 = 300 ⋅ = 3 cm M2 4000

Il cedimento totale ∆H vale:

∆H = ∆H 1 + ∆H 2 = 5 cm 3) Per calcolare il tempo necessario per raggiungere il 70% del cedimento dello strato di argilla più superficiale si deve conoscere il valore del tempo adimensionale Tv1 riferito ad un grado di consolidazione medio U=70%. Il valore di Tv1 è 0,403. Tenendo presente che il drenaggio avviene da entrambi i lati dello strato di sabbia, il tempo richiesto vale: 2

3 0,403 ⋅   2 T ⋅H  2  = 2833594 s ≈ 33 giorni t = v1 = cv1 3,2 ⋅10 −7 4) Nello stesso intervallo di tempo il tempo adimensionale per il secondo strato di argilla vale: Tv 2 =

cv 2 ⋅ t cv 2 Tv1 ⋅ H 2 cv 2 ⋅ Tv1 = 2 = = 0,175 H2 H cv1 cv1

Il grado di consolidazione medio U corrispondente a Tv2 si può calcolare per interpolazione lineare tra i valori riportati in tabella corrispondenti a Tv=0,159 e Tv=0,196. Esso vale 0,4718. In 33 giorni lo strato di argilla più profondo raggiunge un grado di consolidazione medio U=47%. 5) Ricordando la definizione del coefficiente di consolidazione cv: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

cv =

k⋅M

γw

è facile calcolare i valori dei coefficienti di permeabilità:

k1 = k2 =

γ w ⋅ cv1 M1

γ w ⋅ cv 2 M2

= 1,07 ⋅ 10 −9 m / s = 3,48 ⋅ 10 −10 m / s

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 1 (18 gennaio 2005) Un deposito di terreno è costituito da uno strato di argilla dello spessore di 4 m, poggiante su uno strato di sabbia, come riportato in figura. Inizialmente le condizioni di falda sono quelle indicate in figura al tempo t0-. Sul piano di campagna si deve applicare un carico sufficientemente esteso di valore q=120 kPa, e si prevede che la falda nello strato di sabbia si innalzi di 3 m, come indicato in figura al tempo t0+. Dal punto intermedio dello strato di argilla, punto P, è stato prelevato un campione indisturbato su cui è stata eseguita una prova di compressione edometrica. I valori ottenuti dalla prova sono: pressione di preconsolidazione σ’p=80 kPa; rapporto di compressione CR= cc/(1+e0) = 0,18; rapporto di ricompressione RR= cr/(1+e0) = 0,02; coefficiente di consolidazione cv=2,7 10-7 m2/s. Il peso dell’unità di volume del terreno è di 20 kN/m3, quello dell’acqua di 10 kN/m3. Assumendo che il comportamento del campione prelevato nel punto P sia rappresentativo del comportamento dell’intero strato di argilla, si determini: 1) lo stato tensionale verticale totale ed efficace nello strato di argilla, prima dell’applicazione del carico e della variazione del livello di falda (tempo t0-); 2) lo stato tensionale verticale totale ed efficace nello strato di argilla, immediatamente dopo l’applicazione del carico e la variazione del livello di falda (tempo t0+); 3) lo stato tensionale verticale totale ed efficace nello strato di argilla, al raggiungimento delle condizioni stazionarie (tempo t+∞); 4) il cedimento totale dello strato di argilla per effetto della consolidazione; 5) il cedimento dello strato di argilla e lo stato tensionale efficace in P dopo 3 mesi.

q=120 kPa t0-= t

Argilla

Sabbia

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

P

t0+ 3m

t0-

Definita la coordinata z crescente con la profondità e assunto come piano di riferimento della quota geometrica il piano passante per il punto B, lo stato tensionale può essere valutato come segue.

A

Argilla

P

D 3m

z B

C

Sabbia Tempo t0Al tempo t0- (prima dell'applicazione del carico e della variazione del livello di falda) lo stato tensionale totale è dato da:

σ v = γ ⋅ z = 20 ⋅ z σ vA = γ ⋅ z A = 20 ⋅ 0 = 0 kPa σ vB = γ ⋅ z B = 20 ⋅ 4 = 80 kPa σ vP = γ ⋅ z P = 20 ⋅ 2 = 40 kPa I valori della quota piezometrica nei punti A e B sono: hA = (4 − z A ) +

uA

γw

=4+0=4 m

hB = hC = (4 − z C ) +

uC

γw

= (4 − 3) + 0 = 1 m

La quota piezometrica del punto A è maggiore della quota piezometrica del punto B e, quindi, nello strato di argilla vi è un moto di filtrazione monodimensionale dall'alto verso il basso. Nell'ipotesi che la permeabilità verticale dello strato di argilla sia costante con la profondità, il gradiente idraulico è costante e le pressioni interstiziali variano linearmente con z: u A = γ w [hA − ( 4 − z A )] = 10 ⋅ [4 − 4] = 0 kPa

u B = γ w [hB − ( 4 − z B )] = 10 ⋅ [1 − 0] = 10 kPa uP =

10 − 0 ⋅ 2 = 5 kPa 4

Lo stato tensionale efficace vale:

σ v′ = (σ v − u ) ′ = (σ vA − u A ) = 0 − 0 = 0 kPa σ vA ′ = (σ vB − u B ) = 80 − 10 = 70 kPa σ vB ′ = (σ vP − u P ) = 40 − 5 = 35 kPa σ vP Gli andamenti delle pressioni al tempo t0- sono illustrati nella figura riportata alla fine dell'esercizio. 2) Tempo t0+ L'applicazione del carico q comporta un incremento uniforme di 120 kPa dello stato tensionale totale. A causa della sua bassa permeabilità, nell'argilla l'applicazione di questo carico avviene istantaneamente a deformazione volumetrica nulla. Questo si traduce in un incremento istantaneo delle pressioni interstiziali u pari all'incremento degli sforzi totali σv e in nessuna variazione dello stato tensionale efficace. Nella sabbia, invece, l'incremento delle pressioni interstiziali associato all'incremento degli sforzi totali si dissipa in tempi brevissimi, grazie alla maggiore permeabilità di questo terreno. Di conseguenza, nella sabbia l'incremento di sforzo totale equivale all'incremento di sforzo efficace. Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

In modo analogo, l'innalzamento del livello della falda nello strato di sabbia equivale ad un incremento istantaneo delle pressioni interstiziali nella sabbia, mentre nell'argilla, dove la deformazione volumetrica istantanea è nulla, l'innalzamento della falda non produce alcuna variazione istantanea delle pressioni interstiziali. L'innalzamento della falda equivale ad un incremento della quota piezometrica nel punto B, lato sabbia (Bs): hBs = (4 − z D ) +

uD

γw

= (4 − 0) + 0 = 4 = hA

m

La quota piezometrica in B ora risulta uguale alla quota piezometrica in A; ne segue che a lungo termine (t+∞) il regime delle pressioni interstiziali dovrà essere di tipo idrostatico. Denominato con Ba il punto B, lato argilla, lo stato tensionale diventa:

σ v = γ ⋅ z + q = 20 ⋅ z + 120 σ vA = γ ⋅ z A + 120 = 20 ⋅ 0 + 120 = 120 kPa σ vB = γ ⋅ z B + 120 = 20 ⋅ 4 + 120 = 200 kPa σ vP = γ ⋅ z P + 120 = 20 ⋅ 2 + 120 = 160 kPa ∆u = ∆σ v

(nell'argilla)

u A = 0 + q = 120 kPa u P = 5 + q = 125 kPa u Ba = 10 + q = 130 kPa u Bs = γ w ⋅ z B = 10 ⋅ 4 = 40 kPa

∆σ v′ = 0 (nell'argilla) σ v′ = (σ v − u ) ′ = (σ vA − u A ) = 120 − 120 = 0 kPa σ vA ′ = (σ vP − u P ) = 160 − 125 = 35 kPa σ vP

′ = (σ vB − u Ba ) = 200 − 130 = 70 kPa σ vBa ′ = (σ vB − u Bs ) = 200 − 40 = 160 kPa σ vBs Gli andamenti delle pressioni al tempo t0+ sono illustrati nella figura riportata alla fine dell'esercizio. 3) Tempo t+∞ A tempo infinito si conclude il processo di consolidazione nell'argilla innescato sia dalla variazione istantanea delle pressioni interstiziali dovuta all’applicazione del carico q, sia alla variazione delle condizioni al contorno inferiore dello strato di argilla. Durante il processo di consolidazione lo stato tensionale totale rimane costante, mentre le variazioni dello stato tensionale efficace coincidono, in modulo, alle variazioni delle pressioni interstiziali. Gli sforzi ora diventato: ∆σ v = 0

σ vA = 120 kPa σ vB = 200 kPa σ vP = 160 kPa Le pressioni interstiziali corrispondono alle condizioni stazionarie: u A = 0 kPa u B = γ w ⋅ z B = 10 ⋅ 4 = 40 kPa uP =

0 + 40 ⋅ 2 = 20 kPa 4

Gli incrementi di sforzo efficace sono pari alle riduzioni di pressione interstiziale: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

∆σ v′ = −∆u (nell' argilla) σ v′ = (σ v − u )

′ = (σ vA − u A ) = 120 − 0 = 120 kPa σ vA ′ = (σ vP − u P ) = 160 − 20 = 140 kPa σ vP ′ = (σ vB − u B ) = 200 − 40 = 160 kPa σ vB 4) cedimento totale: Il punto P risulta soggetto ad un incremento dello sforzo verticale efficace pari a:

′ = 140 − 35 = 105 kPa ∆σ vP Tale valore è il risultato dell'incremento associato all'applicazione del carico q: ′ = q = 120 kPa ∆σ vP e alla diminuzione dovuta all'innalzamento della falda nello strato di sabbia:

′ = − ∆u = −(20 − 5) = −15 kPa ∆σ vP La variazione dello sforzo totale efficace è positiva; lo strato di argilla è pertanto soggetto ad un cedimento pari a:  σ ′p σ ′ + ∆σ v′  140  80  ∆H = H 0  RR ⋅ Log + CR ⋅ Log v 0 = 400 0,02 ⋅ Log + 0,18 ⋅ Log  = 20,4 cm   σ v′0 σ ′p 80  35   

5) cedimento e stato tensionale del punto P dopo 3 mesi: Il tempo adimensionale Tv a 3 mesi vale: Tv =

cv t 2,7 ⋅10 −7 ⋅ (3 ⋅ 30 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60) = = 0,525 H2 22

Nella soprastante espressione con H si è assunta la lunghezza massima del percorso di drenaggio. Nel caso in esame il drenaggio avviene da entrambi i contorni dello strato di argilla, il massimo percorso di drenaggio è pertanto pari a metà altezza dello strato di argilla. Il valore di Tv è compreso tra i valori del tempo adimensionale associati ai gradi di consolidazione U uguali a 0,7640 e 0,8156. Per interpolazione lineare si determina il grado di consolidazione associato a Tv=0,525:

U 3mesi = 0,7640 +

(0,8156 − 0,7640) ⋅ (0,525 − 0,50) = 0,777 (0,60 − 0,50)

Dopo 3 mesi il cedimento vale: ∆H 3mesi = U 3mesi ⋅ ∆H = 0,777 ⋅ 20,4 = 15,8 cm Nel grafico z/H-Uz è possibile risalire alla percentuale di sovrappressione interstiziale dissipata. Il punto P si trova sulla mezzeria dello strato, che nel grafico equivale al rapporto z/H=1. Il valore di Tv è pari a 0,525:

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

P

Sul grafico si legge un valore di: Uz =

∆u3 mesi ∆σ v′ 3mesi = = 0,66 ∆u 0 ∆σ v′ ∞

con cui si può calcolare la variazione dello sforzo verticale efficace dopo 3 mesi: ∆σ v′ 3 mesi = 0,66 ⋅ ∆σ v′ ∞ = 0,66 ⋅ (140 − 35) = 69,3 kPa Lo sforzo verticale efficace dopo 3 mesi vale: ∆σ v′ 3 mesi = σ v′0− + ∆σ v′ 3mesi = 35 + 69,3 = 104,3 kPa

t0-

APBa Bs

t0+

A-

0

0 40 80

∆σv=12

P-

70

10

∆u=∆σv

120

120 125

160 200

Ba Bs

A-

35

5

P-

t+∞

0

130

0

∆σ'v= 35 70

40

∆σv=0

120

0

160

Ba Bs Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

200

∆u≠0 20 40

160

∆σ'v=-∆u

120 140 160

ESERCIZIO 1. (11 novembre 2005) Un deposito di terreno con piano di campagna orizzontale è costituito da 4 m di sabbia, 7 m di argilla e uno strato di ghiaia. Il peso dell’unità di volume della sabbia è γS=18 kN/m3, quello dell’argilla è γA=20 kN/m3. Entrambi gli strati hanno una permeabilità isotropa ed omogenea e sono saturi; la permeabilità della sabbia è molto maggiore di quella dell’argilla. Nello strato di argilla sono stati installati due piezometri: uno alla profondità di 5 m e l’altro alla profondità di 10 m. Il livello dell’acqua nel primo piezometro si trova a 2 m di profondità dal p.c., quello nel secondo piezometro di trova 0,5 m sopra il piano di campagna. q=350 kPa E’ A Sabbia γS=18 kN/m3

4

C’ B

7,5

10

0,5

2

5 C

3

Argilla γA=20 kN/m 7

D

E

γw=10 kN/m3

F Ghiaia Su questo deposito si deve costruire un’opera molto estesa che caricherà il deposito con una pressione uniforme q=350 kPa. Dalla mezzeria dello strato di argilla (punto D) è stato prelevato un campione di terreno. Sono stati determinati il contenuto d’acqua w=0,24 e la densità specifica Gs=2,68. Su un provino cilindrico è stata eseguita una prova di compressione edometrica, da cui sono stati stimati i valori degli indici di compressione e ricompressione cc=0.295 e cr=0.021, della pressione di preconsolidazione σ’vp=150 kPa e del coefficiente di consolidazione cv=1,8 10-7 m2/s. Rispondi alle domande di seguito elencate, riportando i passaggi fondamentali con la notazione letterale, i valori numerici ed eventuali commenti. 1.

l’indice dei vuoti iniziale e0 del campione di argilla;

e0 = w0Gs = 0.24 ⋅ 2.68 = 0.6432 2.

i carichi idraulici h, valutati con origine della quota geometrica nel punto F, e le pressioni interstiziali u nei punti A, B, C, D, E e F, riportati in figura, prima dell’applicazione del carico (si assuma un peso dell’unità di volume dell’acqua γw=10 kN/m3);

Assunto come origine delle quote geometriche il piano passante per il punto F si ha:

hC = ξC + hE = ξ E +

uC

= hC ' = ξC ' +

uC '

=9+0=9m

uE

= hE ' = ξ E ' +

uE '

= 11 + 0.5 = 11.5 m

γw γw

γw

γw

Tra i punti E e C vi è dunque un moto di filtrazione verso l’alto. La differenza di carico idraulico è pari a:

∆hEC = hE − hC = 11.5 − 9 = 2.5 m Entrambi i punti appartengono allo strato di argilla, avente una permeabilità omogenea. Di conseguenza il gradiente idraulico tra i punti E e C è uniforme su tutto lo strato di argilla:

iEC = iFB =

∆hEC 2 .5 = = 0.5 10.5 LEC

Noto il gradiente idraulico è ora possibile valutare i carichi idraulici alle estremità dello strato di argilla, nei punti F e B, ed in mezzeria, nel punto D: Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

hB = hC − iFB ⋅ LCB = 9 − 0.5 ⋅ 1 = 8.5 m hF = hE + iFB ⋅ LFE = 11.5 + 0.5 ⋅ 1 = 12 m hD = hE − iFB ⋅ LED = 11.5 − 0.5 ⋅ 2.5 = 10.25 m Essendo la permeabilità della sabbia molto maggiore di quella dell’argilla, kS>>kA, il moto di filtrazione verso l’alto avviene con perdite di carico trascurabili nella sabbia, al fine di soddisfare l’equazione di continuità vA=kA·iA=vS=kS·iS. Ne segue che il carico idraulico nel punto A può essere assunto coincidente con il carico idraulico nel punto B:

hA = hB = 8.5 m Applicando la definizione:

hi = ξi +

ui

γw

è ora possibile valutare i valori di pressione interstiziale nei punti A, B, C, D, E ed F:

u A = γ w ⋅ (hA − ξ A ) = 10 ⋅ (8.5 − 11) = −25 kPa uB = 15 kPa uC = 30 kPa uD = 67.5 kPa uE = 105 kPa uF = 120 kPa

3.

gli sforzi verticali totali, le pressioni interstiziali e gli sforzi verticali efficaci agenti in sito prima dell’applicazione del carico q (t0-); A

σv

-25

u

σ’v 25

Sabbia B Argilla D

F

72

57

15

142

67.5

212

σ v = ∑ γ i ⋅ hi i

σ 'v = σ v − u

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

120

74.5

92

4.

gli sforzi verticali totali, le pressioni interstiziali e gli sforzi verticali efficaci agenti in sito immediatamente dopo l’applicazione del carico q (t0+); A σv

350

-25

u

σ’v

375

Sabbia B

422

407

365 57

Argilla D

417.5

492

562

F

74.5

92

470

442

120 In questa fase si ha un incremento degli sforzi totali verticali:

∆σv=350 kPa Nella sabbia, molto permeabile, l’incremento di sforzi totali si trasferisce praticamente istantaneamente in un incremento degli sforzi efficaci (condizioni drenate):

∆σ'v=∆σv=350 kPa Nell’argilla, molto poco permeabile, al tempo 0+ le condizioni sono NON drenate, le variazioni di volume del terreno sono nulle e quindi le variazioni di sforzo efficace devono essere pari a 0. L’incremento degli sforzi totali provoca un uguale incremento delle pressioni interstiziali:

∆u=∆σv=350 kPa

5.

gli sforzi verticali totali, le pressioni interstiziali e gli sforzi verticali efficaci agenti in sito alla fine del processo di consolidazione (t∞); A σv

350

-25

u

σ’v

375

Sabbia B Argilla D

F

422

407

15

492

67.5

562

120

424.5

442

A tempo infinito la distribuzione delle pressioni interstiziali raggiunge la condizione stazionaria che, in questo caso, coincide con la distribuzione che si aveva al tempo 0-. Quindi le sovrappressioni interstiziali che si erano originate nello strato di argilla per effetto della variazione degli sforzi verticali totali si sono completamente dissipate, provocando un incremento degli sforzi verticali efficaci. A tempo infinito nello strato di argilla si registra un incremento degli sforzi verticali efficaci pari all’incremento degli sforzi totali avvenuto al tempo 0+:

∆σ'v=∆σv=350 kPa Nell’argilla le pressioni interstiziali sono diminuite dello stesso incremento degli sforzi verticali efficaci, ritornando ai valori iniziali del tempo 0-:

∆u=-∆σ'v=-350 kPa Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

6.

il rapporto di sovraconsolidazione OCR dell’argilla nel punto D, prima dell’applicazione del carico (t0-) e alla fine del processo di consolidazione (t∞);

OCR0 − =

σ 'p 150 = = 2.01 σ ' v 0 − 74.5

A tempo infinito il valore dello sforzo verticale efficace è superiore al valore della pressione di preconsolidazione σ’vp. Pertanto:

OCR∞ = 1

7.

∆H =

nell’ipotesi che la deformazione verticale dello strato di argilla sia uniforme e pari a quella del punto D, l’entità del cedimento nello strato di argilla alla fine del processo di consolidazione;

σ ' vp H 0  700  150 424.5  σ'  + cc Log v∞  = + 0.295 Log cr Log  0.021 Log  = 59.5 cm   1 + e0  74.5 150  σ 'v 0 − σ ' vp  1 + 0.6432 

8.

la posizione del livello d’acqua rispetto al piano di campagna nel piezometro più profondo dopo 90 giorni;

Le variabili dimensionali Z e Tv calcolate per il punto E dopo 90 giorni valgono:

cv t 1.8 ⋅ 10 −7 ⋅ (90 ⋅ 24 ⋅ 3600) = = 0.114 3.52 H2 z 6 Z= = = 1.71 H 3 .5

Tv =

Nel grafico delle isocrone si stima un grado di consolidazione locale pari a Uz=0.55. Il valore della sovrappressione interstiziale dopo 90 giorni è:

∆u90 g = (1 − U z ) ⋅ ∆u0 = 0.45 ⋅ 350 = 157.5 kPa I valori della pressione interstiziale e del carico idraulico nel punto E dopo 90 giorni sono:

uE 90 g = uE ∞ + ∆u90 g = 105 + 157.5 = 262.5 kPa hE 90 g = ξ E +

uE 90 g

γw

=1+

262.5 = 27.25 m 10

La posizione del livello d’acqua rispetto al piano di campagna è:

hw = hE 90 g − 11 = 16.25 m

1.71 0.55 Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 1 (17 gennaio 2006) Uno strato di argilla dello spessore di 6 m poggia su un deposito di sabbia. Nello strato di argilla e nella sabbia sottostante sono stati installati due piezometri: il primo a 5 m dal piano di campagna, il secondo a 8 m dal piano di campagna. Inizialmente (tempo t0-) i livelli della falda nello strato di argilla e nel deposito di sabbia coincidono e si collocano a 2 m dal piano di campagna. Al tempo t0+ il livello della falda nel deposito di sabbia si innalza di 3 m e l’area viene allegata con un battente d’acqua molto piccolo al fine di azzerare la pressione interstiziale sul piano di campagna. Per studiare gli effetti dell’innalzamento della falda al tempo t0- è stato prelevato il campione A a 3 m dal piano di campagna. Sul campione sono stati determinati la densità specifica Gs, il contenuto d’acqua w e l’indice dei vuoti e ed è stata eseguita una prova di compressione edometrica per stimare i valori degli indici di compressione cc, di ricompressione e rigonfiamento cr=cs e del coefficiente di consolidazione cv. I valori sono riportati in tabella. Campione A

Gs 2,68

w 14,5%

e 0,388

cc 0,342

cr=cs 0,037

cv [m2/s] 3,4 x 10-6

Si è anche verificato che il terreno dello strato di argilla è ovunque saturo anche al di sopra della falda. Determina: 1. assumendo un peso dell’unità di volume del terreno omogeneo e pari a quello del campione A e un peso dell’unità di volume dell’acqua pari a 10 kN/m3, gli stati tensionali totali ed efficaci prima dell’innalzamento della falda (tempo 0-), immediatamente dopo l’innalzamento (tempo 0+) ed a tempo infinito [R. σ’A0-=56,3 kPa; σ’A0+=56,3 kPa; σ’A∞=31,3 kPa]; 2. assumendo che la deformazione nello strato di argilla sia uniforme e pari a quella del terreno posto a 3 m dal piano di campagna, l’entità del rigonfiamento dello strato di argilla [R. 4,1 cm]; 3. l’entità del rigonfiamento dopo 1 mese [3,8 cm].

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

ESERCIZIO 1 (9 febbraio 2006) Uno strato di argilla dello spessore di 4 m poggia su un deposito di sabbia. Nello strato di sabbia è stato installato un piezometro: al tempo t0- il livello dell’acqua nel piezometro si trova a 4 m di profondità dal piano di campagna, dal tempo t0+ il livello si posiziona a 5 m di profondità dal piano di campagna. Nell’argilla la falda rimane sempre coincidente con il piano di campagna. Assumendo che: 1. sia l’argilla che la sabbia sono ovunque completamente sature; 2. i moduli edometrici dell’argilla sono Mc=1000 kPa, in fase di carico, e Ms=1600 kPa, in fase di scarico; 3. i pesi dell’unità di volume dell’argilla e della sabbia sono entrambi pari a γ=20 kN/m3; 4. il peso dell’unità di volume dell’acqua è γw=10 kN/m3; 5. i valori di permeabilità della sabbia kS e dell’argilla kA sono tali che: kS >> kA; determina: 1. la distribuzione degli sforzi verticali totali ed efficaci e delle pressioni interstiziali nello strato di argilla, negli istanti t0-, t0+ e t∞ [t0-, = t0+: σ’vA=0 kPa, σ’vB=80 kPa; t∞ : σ’vA=0 kPa, σ’vB=90 kPa]; 2. lo spostamento verticale finale del piano di campagna [2 cm].

t0- = t0+

4m

Argilla S=1

4m

5m

t0-

Sabbia S=1

Dr. Lucia Simeoni, Università degli Studi di Trento

t0+

ESERCIZIO 1 (18 aprile 2006) Uno strato di argilla di spessore L poggia su un deposito di sabbia. Inizialmente la distribuzione delle pressioni interstiziali è di tipo idrostatico sia nell’argilla che nella sabbia, con la falda coincidente con il piano di campagna. Nell’istante t0+ sul piano di campagna viene applicato un carico q e il livello della falda della sabbia si innalza di una quantità H tale che: γwH=2q con q