Equilibrio de Vectores - Laboratorio

Laboratorio N°3

Equilibrio De Vectores

1.- Marco Teórico: 

¿Qué es un Vector?

Vector es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”. Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto. Un vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo un módulo y una dirección u orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una  flecha. La  flecha. La   velocidad y la fuerza la  fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales. Dentro de este ámbito científico, y también de las Matemáticas, se hace necesario dejar patente que existe una gran variedad de vectores. De tal manera, que podemos hablar de fijos, paralelos, deslizantes, opuestos, concurrentes, libres o colineales, entre otros muchos más. De la misma forma hay que subrayar que se pueden llevar a cabo un importante número de operaciones con dichos elementos. Entre las más frecuentes se encuentra la suma, el producto por un escalar, la obtención de una derivada ordinaria, las descomposiciones, el ángulo entre dos vectores o la derivada de tipo covariante. 

Representación De Un Vector

Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman y que estudiamos en el apartado anterior, además de algunos más.

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Tienen un punto desde el que nace la flecha llamado origen o punto de aplicación.

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De igual forma, tienen otro punto donde termina la flecha llamado extremo.

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La recta sobre la que "descansan" los puntos de extremo y origen se denomina dirección o recta soporte.

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La distancia entre el punto origen y extremo corresponde con su módulo. A mayor distancia entre ellos, el módulo será mayor.

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La punta de la flecha determina su sentido, dentro de los dos posibles que se podría dibujar siguiendo su dirección, es decir hacia un lado de la recta o hacia el otro.

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Operaciones Con Vectores 

Suma y Resta De Vectores

. La suma o resta de vectores es otro vector a + b = suma Que tiene por coordenadas la suma de las coordenadas de los dos vectores. a + b = suma = (a1 + b1,a2 + b2) 2

En el applet inferior se puede observar la suma y la resta de vectores si seleccionamos la opción que aparece debajo del panel de selección de vectores. La resta a - b equivale vectores a + b1 donde b1=-b.

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a

sumar

dos

Producto de un escalar por un vector.

El producto de un escalar, k, por un vector r es otro vector, kr, de la misma dirección que r y cuyo sentido viene determinado por el signo de k. Si k = 0, el vector kr es el vector nulo.  A la derecha puede observarse como aumentando el valor de k aumenta el vector v2. El vector v2 es k veces el vector v1 en módulo.

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Producto escalar de dos vectores.

Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector b (se lee a multiplicado escalarmente por b, o a escalar b ), al escalar fruto de la siguiente operacion a · b = axbx+ayby. Puede comprobarse que la anterior operación puede también expresarse como el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del ángulo,θ,   que forman entre sí, es decir, a · b = a b cosθ. También se puede decir que el producto escalar nos proporciona el valor de la proyección de un vector sobre el otro

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Producto vectorial de dos vectores.

Dados dos vectores a y b , se llama producto vectorial de a por b o a x b (se lee a multiplicado vectorialmente por b ) a un vector p perpendicular al plano formado por los dos vectores (dirección del vector). El sentido de dicho vector es el de avance de un tornillo de rosca a 3

derechas que girara del primer vector hacia el segundo por el camino más corto. El módulo del vector producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno de ángulo, θ, que forman (tomado desde  a hasta b). |p| =| a x b| = a b sinθ p= a x b= a b sinθ u donde u es el vector unitario en la dirección perpendicular al plano formado por a y b.

2.- Competencia: El estudiante estudiará el equilibrio de vectores concurrentes, verificando el método experimental con los métodos analítico y gráfico.

3.- Materiales.  –   

1 anillo 3 clavijas 3 dinamómetros de 0.196 [N] de precisión

4.- Procedimientos:    

Elegir dos posiciones cualesquiera en el primer y segundo cuadrante para dos dinamómetros (F1 y F2). Sujetarlos con las clavijas. Enganchar el anillo en los dos dinamómetros. Enganchar el tercer dinamómetro (E), ubicarlo en el tercer o cuarto cuadrante haciendo que el centro del anillo coincida con el origen de coordenadas. Leer los dinamómetros (F1, F2 y E) y los ángulos que forma cada fuerza con los ejes coordenados x, y. 4

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Repetir el procedimiento tres veces, variando en cada caso la posición de los dinamómetros situados en el 1ª y 2ª cuadrante, procediendo para E según se indica en el punto 3. Cumplimentar estas lecturas en los formularios de la Hoja de Datos. Repetir el proceso 3 veces como indicó el docente.

5.- Gráficos Y Cálculos:

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Primera Demostración  = 2.156  = 3.136  = 4.214

∅ = 105 ∅ = 44 ∅ = 24

La Resultante de los 3 vectores deberá ser 0 para comprobar que el vector se encuentra en equilibrio: Descomponemos las fuerzas en “X” y “Y”  :  =  ∗ ∅  = 2.156 ∗ 105 5

 = −0.558  =  ∗ ∅  = 2.156 ∗ 105  = 2.08  :  =  ∗ ∅  = 3.136 ∗ 44  = 2.255  =  ∗ ∅  = 3.136 ∗ 44  = 2.178   =  ∗ ∅  = 4.214! ∗ 244  = −1.714  =  ∗ ∅  = 4.214 ∗ 244  = −3.788

Comprobamos:  =  +  +   = −0.558 + 2.255 − 1.714  = −0.017  =  +  +   = 2.08 + 2.178 − 3.788  = 0.47

El sistema está mal ya que no queda demostrado, hubo fallas al medir los vectores o ángulos 

.Segunda Demostración

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 = 2.107  = 1.127  = 1.323

∅ = 154 ∅ = 10 ∅ = 305

La Resultante de los 3 vectores deberá ser 0 para comprobar que el vector se encuentra en equilibrio: Descomponemos las fuerzas en “X” y “Y”  :  =  ∗ ∅  = 2.107 ∗ 154  = −1.894  =  ∗ ∅  = 2.107 ∗ 154  = 0.924  :  =  ∗ ∅  = 1.127 ∗ 10  = 1.110  =  ∗ ∅ 7

 = 1.127 ∗ 10  = 0.196   =  ∗ ∅  = 1.323 ∗ 305  = 0.759  =  ∗ ∅  = 1.323 ∗ 305  = −1.084

Comprobamos:  =  +  +   = −1.894 + 1.110 + 0.759  = 0.025  =  +  +   = 0.924 + 0.196 − 1.084  = 0.036

El vector equilibrante resulta ser correcto ya que descomponiendo y sumando se obtiene un 0 con decimales pequeños. 

Tercera Demostración

 = 2.314  = 1.323  = 2.499

∅ = 133 ∅ = 72 ∅ = 296

La Resultante de los 3 vectores deberá ser 0 para comprobar que el vector se encuentra en equilibrio: 8

Descomponemos las fuerzas en “X” y “Y”  :  =  ∗ ∅  = 2.314 ∗ 133  = −1.578  =  ∗ ∅  = 2.314 ∗ 133  = 1.692  :  =  ∗ ∅  = 1.323 ∗ 72  = 0.409  =  ∗ ∅  = 1.323 ∗ 72  = 1.258   =  ∗ ∅  = 2.499 ∗ 296  = 1.095  =  ∗ ∅  = 12.499 ∗ 296  = −2.246

Comprobamos:  =  +  +   = −1.578 + 0.409 + 1.095  = 0.074  =  +  +   = 1.692 + 1.258 − 2.246  = 0.70

El vector equiulibrante posee fallas mínimas en los datos ya que al descomponer los vectores la resultante da 0 pero con céntimas lo cual no asegura el dato obtenido.

5.- Cuestionario: 

Defina que es un vector 9

R: Vector, también llamado vector euclidiano es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo y una dirección. 

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Explique qué condiciones debe existir para que 3 vector concurrente se encuentra en equilibrio R: *Los 3 vectores deben estar en congruencia con su magnitud, dirección y sentido. *La suma total o resultante de los vectores debe ser igual a cero. Las magnitudes de dos vectores A y B son 5 y 2 unidades respectivamente. Encuentra los valores más grande y más pequeño posible para las magnitudes de su vector resultante.

R: A= 5 unidades B= 2 unidades. R= 5 + 2 = 7 unidades

6.- Conclusiones: Tras resolver los tres vectores se logro notar que los datos no estaban bien anotados lo que llevo a no realizar perfectamente las demostraciones.

7.- Recomendaciones: La única recomendación es ser cautelosos y atentos cuando se trata de redactar datos para demostrar un ejercicio ya que sin estos datos no se encuentran bien el resultado no será el esperado por lo tanto el ejercicio no estará bien realizado.

Bibliografía.  –   

http://definicion.de/vector/ https://www.fisicalab.com/apartado/representacion-de-vectores#contenidos http://departamento.us.es/dfisap1/ffi/applets/matematicas/vectores/

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