Equilibrio de Una Particula en Tres Dimensiones

98

•

SEMANA 3 Eq u i l i brio de una partíc u l a

Sistemas tridimensionales de fuerzas Para el equilibrio de una partícula se requiere

LF

=

O

(3-4 )

Si las fuerzas son resueltas en sus respectivas componentes i, j, k, figu­ ra 3-9, tenemos entonces

Por consiguiente, para garantizar el equilibrio, es preciso que las siguien­ tes tres ecuaciones de componentes sean satisfechas:

L Fx = O L Fy = O L Fz = O

(3-5)

Estas ecuaciones representan las sumas algebraicas de las componentes Z de fuerza que actúan sobre la partícula. Usándolas podemos re­ solver un máximo de tres incógnitas representadas generalmente como ángulos o magnitudes de fuerzas mostradas sobre el diagrama de cuer­ po libre de la partícula.

x, y,

z

Fig. 3-9

INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA

SECCIÓN 3.4 Sistemas trid i mensiona les de fuerzas

w

FB F FD e

El anillo en A está sometido a la fuerza del gancho así como a las fuerzas de cada una de las tres cadenas. Si el electroimán y su carga tienen un peso W, entonces la fuerza del gan­ cho será W, y las tres ecuaciones escalares de equilibrio pueden ser aplicadas al diagrama de cuerpo libre del anillo para determinar las fuerzas en las cadenas, FB, Fe y FD'

R P O CEDIMIENTO

DE ANÁLISIS

Los problemas de equilibrio tridimensional de fuerzas para una par­ tícula pueden ser resueltos usando el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre •

• •

Establezca los ejes x, y, z con cualquier orientación apropiada.

Rotule todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conoci­ das y desconocidas sobre el diagrama.

El sentido de una fuerza que tenga magnitud desconocida puede ser supuesto.

Ecuaciones de equilibrio •

•

o¡

Use las ecuaciones escalares de equilibrio, '2:.Fx = 0, '2:.Fy = 0, '2:.Fz = 0, en los casos en que sea fácil resolver cada fuerza en sus componentes x, y, z .

Si la geometría tridimensional parece difícil, entonces exprese pri­ mero cada fuerza como un vector cartesiano, sustituya esos vecto­ res en '2:.F = 0, y luego haga las componentes i, j , k igual a cero. Si la solución da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el diagrama de cuerpo libre.

INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA

99

1 00

•

SEMANA 3 E q u i l i brio de una partícula

Una carga de 90 lb está suspendida del gancho mostrado en la figura 3 - lOa . La carga está soportada por dos cables y un resor­ te con rigidez k = 500 lb/pie. D etermine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x -y y el cable AC en el plano X - Z .

z e

---� �. 30°

/sj 3 /A SOO lb/pie =

Y-�� · � A�HH�B

-----

y

..

D x

Solución

El alargamiento del resorte puede ser determinado una vez que la fuerza presente en él sea calculada. 90 lb Diagrama de cuerpo libre. La conexión en A es la seleccionada pa­ ra el análisis del equilibrio ya que las fuerzas presentes en los cables son concurrentes en este punto. El diagrama de cuerpo libre se mues­ tra en la figura 3 - l0b.

(a) z

y

Ecuaciones de equilibrio. Por inspección, cada fuerza puede ser re­ suelta fácilmente en sus componentes x, y, Z, y, por tanto, es posible aplicar directamente las tres ecuaciones escalares de equilibrio. Con­ siderando las componentes dirigidas a lo largo de los ejes positivos como "positivas", tenemos

2:- Fx

x

90 lb

2:- Fy 2:- Fz

(b)

Fig. 3-10

=

=

=

O;

F D sen 30° - �Fe

O;

- FD cos 30° + FB

O;

�Fe - 90 lb

=

=

=

O

(1)

O

(2)

O

(3 )

Despejando Fe de la ecuación 3, luego FD de la ecuación 1 , y final­ mente FB de la ecuación 2, obtenemos Fe = 150 lb FD

FB

=

=

Re!>p.

240 lb

Resp.

208 lb

Resp

.

El alargamiento del resorte es entonces FB

208 lb S AB

INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA

=

=

=

k SAB 500 1b/pie (sAB) 0 .4 1 6 pies

Rew

SECCiÓN 3.4 Sistemas tridimensiona les de fuerzas

Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F en la figura 3 - 1 1a que son requeridos para obtener el equi­ librio de la partícula O. Solución

Sobre la partícula O actúan cuatro fuer­

Diagrama de cuerpo libre

zas, figura 3 - 1 1 b.

Cada una de las fuerzas puede ser expresa­ da en forma vectorial cartesiana, y las ecuaciones de equilibrio pueden ser aplicadas para determinar las componentes x, y, z de F. Observan­ do que las coordenadas de B son B( -2 m, -3 m, 6 m), tenemos

F}

=

( )

=

F = Fxi

+

Por equilibrio,

'i,F

=

2m

--- y

F2

[

O;

'i, Fx = O; 22 Fz

=

800 N

x

-

Fyj . + Fzk

]

z

F3

-

Fl + F2 + F3 + F = O 200i - 300j + 600k + Fxi + Fyj

+

Fzk

=

=

700 N

O

Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero, tenemos =

=

---

400j - 800k

22 Fy

700 N

( a)

{400j } N

{ - 800k} N r - 2i - 3j + 6k F3 = F3 B = 700 N rB V( -2 f + ( -3 ) 2 + (6) 2 = { - 20Oi 300j + 600k} N

F2

=

\

Ecuaciones de equilibrio.

Fl

- 200

+

Fx = O

400 - 300 + Fy = O

O;

- 800

O;

101

z

B

í\

•

+

600 + Fz

=

O

Fx Fy

=

=

F2

=

y

800 N

x

200 N -100 N

(b)

Fz = 200 N

z

Entonces,

F = {20Oi - 1 00j + 200k} N F = V(200) 2 + ( - 1 00) 2 + (200) 2 = 300 N F 200 . 100 . 200 + k = UF = J 1 300 300 300 F

( ) ( ) COS-l(���)

a

= cos- 1

f3

=

l' =

cos-1

200 300

=

- 100 300

=

Resp.

48.20

�I

I----'---- y

48 . 2°

Resp.

= 1 09°

Resp.

48.2°

Resp.

La magnitud y la dirección correctas de F se muestran en la figura 3 - 1 1 c.

INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA

F . 300 N

x

(e) Fig. 3--1 1

1 02

•

SEMANA 3 E q u i l i brio de una partícula

Determine la fuerza desarrollada en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb que se muestra en la figura 3 - 12a.

z

Solución

Como se aprecia en la figura 3 - 12b, el diagrama de cuerpo libre del punto A es considerado para "exponer" las tres fuerzas desconocidas en los cables.

Diagrama de cuerpo libre.

Primero expresaremos cada fuerza en for­ ma vectorial cartesiana. Como las coordenadas de los puntos B y e son B( - 3 pies, -4 pies, 8 pies) y C( -3 pies, 4 pies, 8 pies), tenemos

Ecuaciones de equilibrio.

x---D

[ [

]

-3i - 4j + 8k Y( -3 f + ( -4) 2 + (8) 2 = - 0.318FBi - 0.424Fsj + 0.848FBk -3i + 4j + 8k Fe = Fe --;====:===::;=====: Y( -3 ) 2 + ( 4 f + ( 8 ) 2 = -0.318Fei + 0.424Fd + 0.484Fek FD = FDi W = { -40k} lb FB = FB

(a)

---;= ; ===== = ======:==�

]

Por equilibrio se requiere que

z

LF = O; FB + Fe + FD + W = O -0.318FBi - 0.424Fsj + 0.848FBk - 0.318Fci + 0.424Fd +0.848Fek + FDi - 40k

=

O

Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero resulta

L Fx L Fy L Fz y (h)

hg. 3-12

INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA

=

=

=

O; O; O;

- 0.318FB - 0.318Fe + FD -0.424FB + 0.424Fe 0.848FB + 0.848Fe - 40

=

O

=

O

=

O

(1) (2) (3)

La ecuación 2 establece que FB = Fe. Entonces, despejando FB y Fe de la ecuación 3 y sustituyendo el resultado en la ecuación 1 pa­ ra obtener FD, tenemos

FB = Fe = 23.6 lb FD = 15.0 lb

Re5p. ReW

SECCiÓN 3.4 Sistemas trid i mensiona l es de fuerzas

El cajón de 100 kg mostrado en la figura 3 - 13a está soportado por tres cuerdas, una de las cuales se conecta a un resorte. Determine la tensión en las cuerdas AC y AD, así como el alargamiento del resorte. La fuerza presente en cada una de las cuerdas puede ser determinada investigando el equilibrio del punto A. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3 - 13b. El pe­ so del cajón es W = 100(9.81) = 981 N.

Diagrama de cuerpo libre.

Cada vector trazado en el diagrama de cuerpo libre se expresa primero en forma vectorial cartesiana. Usan­ do la ecuación 2 - 1 1 para Fe Y el punto D( - 1 m, 2 m, 2 m) para FD, tenemos

Ecuaciones de equilibrio

[

]

(a)

z

Jr---- y

Por equilibrio se requiere que O;

FB + Fe + FD + W = O Fsi - 0.5Fei - 0.707Fd + 0.5Fek - 0.333FDi + 0.667FDj + 0.667FDk - 981k Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero resulta :¿ F

=

:¿ Fx = O; :¿ Fy = O; :¿ Fz = O;

Fs - 0.5Fe - 0.333FD -0.707Fe + 0.667FD 0.5Fe + 0.667FD - 981

=

O

=

O

=

O

=

O

(1) (2) (3)

Despejando FD en la ecuación 2 en términos de Fe, y sustituyendo este resultado en la ecuación 3, se obtiene Fe. FD se determina con la ecuación 2. Finalmente, al sustituir los resultados en la ecuación 1 re­ sulta Fs. Por consiguiente,

Fe = 813 N FD = 862 N FB = 693.7 N

Resp. Resp.

El alargamiento del resorte es entonces

F

=

ks;

693.7 s

INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA

= =

1500s 0.462 m

Resp.

103

D

Solución

FB = Fsi Fe = Fe cos 1200i + Fe cos 135°j + Fe cos 600k = -0.5Fci - 0.707 Fd + 0.5Fek -li + 2j + 2k FD = FD ---¡==;::===::;;===;::2 V( - l f + (2 f + ( 2 ) = -0.333FDi + 0.667Fvj + 0.667FDk W = { -981k} N

•

(b)

Hg. 3--13