Equacoes 2 Grau

 

Curso Cur so Men Mentor tor

2

b) 3x2 c)   x2

 8ax − 3a  3a = 0 − 8ax + 2ax 2ax +  + a  a − b = 0 2

2

Tema:   Equa¸cc˜ oes ˜oes do Segundo Grau

d)   abx2

Prof.:   Leonardo Santos Data:  15 de setembro de 2012

−− 4ax  4ax +  + a  a = 1 f ) 2x − kx =  kx  = 0 g) (x − a)  a) − 5a  5a (x − a)  a) + 6a 6a

 (a  (a +  + b  b)) x + 1 = 0

e) 4x2

2

2

Q1.   Resolv Resolvaa as equa¸ equa¸cc˜ oes o˜es na var ari´ i´ avel avel   x   que que se

2

seguem, sendo U  sendo  U    = R  e indique o conjunto solu¸cc˜˜aaoo S .

=0

Q3.   Dada a equa¸cc˜ ao a˜o do 2o. grau grau   x2 + 2x 2 x + 3 = 0,

a) 4x2 + 32x 32x  = 0 b)

2

cuja inc´oogni g nita ta ´e  x,  x , determine:

  x2 3

  −  x  −6  9  =   23

a) a soma so ma da d a ra´ızes; ızes; b) o produto pro duto das ra´ızes; ızes;

2

c) 3x = 48

c) a diferen¸ diferen¸ccaa da dass ra´ıızes; z es;

d)   x2 + 4 = 0

d) a soma dos inversos das ra´ ra´ızes;

e) 6x2 = 0

e) a soma dos quadrados das ra´ızes; ızes; 2

 (x − 4) (x − 2) = 2 (2 − 3x  3x)  − − (x g) 3x − 5  5x x + 2 = 0 h)   x − 4x  4x + 1 = 0 i)   x − 4x  4x + 5 = 0  j)   x − 8x  8x + 16 = 0 f) 3(x 3(x  2)

f ) a soma dos quadrados dos inversos das ra´ıızes zes ou soma dos inversos dos quadrados q uadrados das ra r a´ızes;

2

2

g) a soma dos cubos cub os das ra´ ra´ızes;

2

h) a soma soma dos cubos cubos dos in inve verso rsoss das ra´ ra´ıze ızess ou soma dos inversos inversos dos cubos das ra´ ra´ızes.

2

Q4.  Determine a equa¸cc˜ ao a˜o cujas unicas u ´ni cas ra´ızes ızes sejam seja m

k)   x2 + x +  x + 2 = 0

3+

l)   x2

− 2x  2x + 3 = 0 m) 3x + 5x 5x − 2 = 0  17x x + 3 = 0 n) 20x 20x − 17

Q5. Determine a equa¸cc˜ ao a˜o do 2o. grau onde uma das

√ −1 e cuja soma dos coeficientes seja 3. Q6.  Determine  Determine m  m na  na equa¸cc˜˜aao x o  x − 9x + 4m +2 = 0

2

ra´ızes ´e 1 +

2

2

de modo que uma raiz seja o dobro da outra.

2

o)   x + 3x 3x  4 = 0 p) (x + 1) 2  7 (x + 1) + 10 = 0

 − −

q) (3

 − x x))

2

Q7. Determine  Determine m  m na  na equa¸cc˜˜aao x o x 2

− (m − 1) 1)x x +8 = 0

de modo que uma raiz seja o quadrado da outra.

+ 8(3

 − x x)) + 12 = 0

Q8.   Ache Ache os val alor ores es de   a   a fim de que as

2

 x + 4    (x + 4) r) − 2 · 3   − 24 = 0 3    7xx + 3 + 10 x − 7x  7x + 3  + 21 = 0 s) x − 7 2

√ 5 e 3 − √ 5 e cujo coeficiente a coeficiente  a  seja 2.

2

equa¸cc˜ oes x o˜es x 2 ax +8 = 0 e x e  x 2 uma unica u ´nica raiz comum.

−

2

− 5x +6 = 0 possuam

Q9.  Calcule  Calcule a  a  para que as equa¸cc˜ oes x o˜es  x 2 + x + a  = 0

e   x2 +  ax  ax +  + 1 = 0 possuam pelo menos uma raiz comum. se seguem seguem,, sendo sendo   U   U    =   R   e ind indiqu iquee o conjun conjunto to solu¸cc˜˜aao  o   S . Q10.   Determine   m   e   n   p paara que as 2 2 2 equa¸cc˜ o˜es (2n   +   m)x   4mx  3 = 0 e a)   x  ax  2  2a a =0

Q2.  Resolva as equa¸cc˜ oes ˜oes literais na vari´avel x avel  x   que

−

−  −

1

 −

 

3(n (6 (6n n   + 3m)x2   3(n mesma mes mass rra´ a´ıızes. z es.

−

Q11.   Seja

  R

1)x x −   9  −   1)

d) 15 e 16 e) 15 e 20

= 0 tenham as

egio,   o con onju jun nto do doss n´ umeros umeros reais. reais. Q16.   O aluno Mauro, do 9o. ano de um col´egio, 2

4

 ais, x s,+obse 2xserv  ou 1 =que paraco para resolv res olver er dos a equa¸ a¸ ˜aaooeros   os x re Sejam  Sejam   p   e   q  os q relativa  os catetos de um triˆangulo angulo angulo angulo conj njun unto to do sequn´ umer ucc˜ m reai ob rvou qu0e, cuja altura a` hipotenusa hipo tenusa ´e   h. retˆ Pod odem emos os no x4 =   x2  2x  2 x   + 1 e que o segundo membro da afirmar que a equa¸cc˜ao: ˜ao: equa¸cc˜ aao ˜o ´e um produto produto not´ not´aavel vel.. Dess Dessee mod modo, o, x  1 x2 2 concluiu que (2 (2x x  + 1) ´ e ig igual ual a:  2   +   = 0 2 h q   p a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 a) N˜aaoo admite ra´ ra´ızes reais. ra´´ızes da equa¸ cc˜ aao ˜o biquad biquadrad radaa b) Admi Admite te uma uma raiz raiz da fo form rmaa   m 1,   m   R, Q17.   Duas das ra x4 + bx2 + c =  c  = 0 s˜ao ao 0, 2333 . . .  e 30 30//7. O valor de m >  0. c  ´e: e: c) Admite sempre ra´ ra´ızes reais. b) 3 c) 5 d) 7 e ) 11 d) Admite uma raiz da forma m 1,   m   R, a) 1 m >  0. Q18.   Um prof profes esssor el elab aboorou rou 3 mode modelo loss de e) N.R.A. pr proova. No 1o. mode modelo, lo, colocou colocou uma equa¸ equa¸cc˜ ao a˜ o do o o . . aao ˜o Q12.  Sendo  Sendo a  a a  a hipotenusa e b e  b e  e c  c os  os catetos de um 2 grau; no 2 modelo, colocou a mesma equa¸cc˜ o 2 2 2 2 . b x c = 0 trocando apenas o coeficiente do termo do 2 grau; triˆangulo angulo retˆangulo, angulo, a equa¸cc˜˜aao a o  a x

−

−

 −

 −

√ −

 ∈

 − √ −

 ∈

e no 3o. modelo, colocou a mesma equa¸cc˜ ao a˜ o do 1o. modelo trocand modelo trocandoo apenas apenas o ter termo mo indepen independen dente. te. o Sabendo que as ra´ ra´ızes da equa¸cc˜ao ˜a o do 2 . modelo o . s˜ aaoo 2 e 3 e que as ra ra´´ızes do 3 modelo s˜ao a o 2 e -7, o . pode-se afirmar sobre a equa¸cc˜ao ˜ao do 1 modelo, que a) n˜aaoo tem ra´ızes ızes reais. reai s. ca entre a sua maior e a sua menor raiz Q13.   As ra´ ra´ızes de   ax2 +   bx  bx   +   c   = 0 s ˜aaoo   r   e b) a diferen¸ca ´e 7. s. A equa¸cc˜ aao ˜o cujas cuja s ra´ızes ızes s˜aao ar o  ar +  + b  b e  e  as  as +  + b  b ´  ´e: e: 2 c) a sua su a maior m aior raiz ´e 6. 6. a) a) x  x  bx  ac =  ac  = 0 2 d) a ssua ua menor raiz ´e 1. 1.  bx  bx +  + ac  ac =  = 0 b) x b)  x e) a soma dos inversos das suas ra´ ra´ızes ´e 2/3. c) c) x  x 2 + 3bx 3bx +  + ac  ac +  + 2b 2 b2 = 0 2 2 d) x d)  x + 3bx 3bx  ac  ac +  + 2b 2b = 0 2 Q19.   Sobre a equa¸cc˜ a˜o do segundo grau e) e) x  x + bx  bx(2 (2  a)  a) + a +  a2c + b  + b2 (a + 1) = 0 2  2000x  2000 x   20 2001 01 = 0, a afirma firma¸¸cc˜ ao a˜o co corr1999x 1999 x Q14.   Consid Considere ere a equa¸ equa¸cc˜ a˜o do 2o. gr grau au em   x reta ´e ra´ızes reais de sinais contr´ arios, arios, mas tal que  que   ax2 + bx  bx +  + c  c  = 0, sendo   a,   b   e   c   n´umeros umeros a) tem duas ra´ sim´ m´eetric t ricas. as. reais com   a   difere diferent ntee de zero. zero. Sabe Sabendo ndo que 2 e 3 n˜aaoo si b) tem duas dua s ra´ ra´ızes sim´eetricas tr icas.. s˜ao ao as ra´ ra´ızes dessa equa¸cc˜˜ao, ao, pode-se afirmar que: c) n˜aaoo tem ra´ıızes ze s reais r eais.. a) 13a 13a + 5b 5 b + 2c 2c  = 0 d) tem duas ra´ ra´ızes positivas. posit ivas. b) 9a + 3b 3b  c  c =  = 0 e) tem duas ra ra´´ızes negativas. negati vas. c) 4a  2  2bb +  + c  = 0  c = d) 5a  b  b =  = 0 Q20.   Uma eq equa ua¸¸cc˜ao ˜a o bi biqu quad adra rada da de coefic coeficie ienne) 36a 36a + 6b 6b +  + c  c =  = 0 tes inteiros, inteiros, cuja soma desses desses coeficientes coeficientes ´e zero, ra´´ızes igual a 3. O prod produt utoo das das Q15.   A soma soma e o pr produ oduto to da dass ra ra´´ızes ızes re reai aiss da tem uma das ra 2 2 2 ızes dess dessaa equa¸ equa ¸cc˜ a˜o ´e  5x  5 x  + 6) 6) + 6 = 0 ra´ızes  5(  5(x x  5  5x x  + 6) equa¸cc˜ao ˜ao (x a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 s˜ao, ao, respectivamente, a) 6 e 8 Q21.   A soma de dois n´ umeros umeros reais reais dis distin tintos tos b) 7 e 10 ´e igual ao produto desses n´umeros. umeros. O menor valor c) 10 e 12

a) Tem uma raiz igual a 1 e a outra entre 0 e 1. b) Tem ra´ızes ızes imagin´ imag in´arias. arias. c) Tem uma raiz igual a 1 e a outra entre 0 e 1. d) N˜aaoo admite ra´ ra´ızes racionais. racionai s. e) N.R.A.

−

 −

−

 −

−  − −  −  −

 −  −

−

 −

 −

√ 

−

−

−

2

 

natural desse produto ´e igual a: a) 8 b) 7 c) 6 Q22.  A equa¸cc˜ aao  ˜o   x4

2

 (a − 6)  6)x x − (a

Q1.

d) 5 + (9

e) 4

a)   S   = =

 a) = 0, na  − a)

 {−  {−8, 0}

b)   S   = = 0,   21

vari´ avel  avel   xse: , tem quatro ra ra´´ızes reais e distintas, se e c)   S   = somente = 4, 4 a) a) a  a >  8 d)   S   = = b) 6  < a