EPI-Unidad4 7 Decimotercera Semana (2)

ESTADISTICA y PROBABILIDAD I SEMESTRE ACADEMICO: 2012-I

UNIDAD IV: Introducción a la Teoría de Probabilidad

USMP, 05/ 2012

ESTADISTICA y PROBABILIDAD I

Duodécima semana: •

Sesión 1: Semejanza entre la distribución hipergeométrica y binomial. Aproximación de la distribución binomial a la hipergeométrica.

•

Sesión 2: Distribuciones discretas importantes: Distribución de Poisson. Parámetros de la distribución de Poisson. Media y varianza.

ESTADISTICA y PROBABILIDAD I

IV.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDAD 4.6. Distribuciones Discretas Importantes

1. Distribuciones Discretas Importantes: Semejanza entre la distribución Hipergeométrica y binomial. Aproximación de la distribución binomial a la Hipergeométrica.

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IV.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDAD 4.6. Distribuciones Discretas Importantes

1. Aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial •

Si el tamaño n de la muestra sin reemplazo es pequeña con relación a N, la probabilidad de cada extracción varía muy levemente. En la práctica cuando n es menor que el 10% de N, (es decir n/N < 0.1) se aproxima la distribución hipergeométrica a la distribución binomial con parámetro p = M/N y n.

•

Entonces,

 n   M   x    M  n x h( x; N, n, M)  b(x; n, M/N)     1   ,  x  0,1,2,...min(n, N)   x   N      N   •

La media y la varianza se aproxima por,

   np  n( M  / N )

 2

 npq  n( M  /  N )(1  M  / N )( N   n) /( N   1)

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INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDAD 4.6. Distribuciones Discretas Importantes

1. Aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial •

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Ejemplo 1:  Un auditor del Departamento de Impuesto sobre la Renta está seleccionando una muestra de seis declaraciones de impuestos de personas de una profesión particular, para una posible auditoría. Si dos o más de ellas indican deducciones “no autorizadas”,  se auditará todo el grupo (población) de 100 declaraciones. Si el 25% de las declaraciones son incorrectas, determinar: a. La verdadera distribución de probabilidad del número de declaraciones incorrectas en la muestra. ¿Cuáles son los parámetros?. Hallar la probabilidad de una auditoría más detallada. b. Utilice una aproximación a la verdadera distribución de probabilidad para hallar la probabilidad de una auditoría más detallada.

Solución:

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1. Aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial •

Ejemplo 1:  Solución

Definimos la variable aleatoria X como, X(w) = número de declaraciones incorrectas en la muestra de 6. Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} N=100, M = 25, n = 6, N-M = 75 El muestreo es sin reemplazamiento. a. Se cumple las condiciones de un experimento hipergeométrico. Luego X es una variable aleatoria hipergeométrica. Por tanto la verdadera distribución de probabilidad es la hipergeométrica,  25   75      x   6  x          , 0,1,2,3,4,5,6. h( x;100,6, 25)   100    6      

Los parámetros son: E(X) = 6(25/100) = 3/2 y V(X) = 6(25/100)(1-75/100)(94/99) = 47/44

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1. Aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial

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Ejemplo 1: Solución

Se hará auditoría más detallada, si X toma valores mayores o iguales que 2. Es decir,  P ( X   2)  1  P ( X   2)  1  P ( X   0)  P ( X   1)

 75   25  75        6 1 5  P ( X   2)  1              0.4691  100      6  

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1. Aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial

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Ejemplo 1: Solución

b.

n/N = 6/100 = 0.06 es pequeño (6/100 < 0.1), aproximamos la distribución hipergeométrica a la binomial con p = 25/100 = 1/4 . Es decir,

 6   x 6  x h( x;100,6,25)  b( x;6,1 / 4)   1 / 4  1  1 / 4 , x  0,1,2,...,6.   x  Luego,  P ( X   2)  1  P ( X   2)  1  P ( X   0)  P ( X   1)

 P ( X   2)  1  (0.75 ) 6  6(0.25 )(0.75 ) 5

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2. Distribuciones Discretas Importantes: Distribución de Poisson. Parámetros de la distribución de Poisson. Media y Varianza.

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4. Distribución Poisson Definición:  Se dice que una variable aleatoria

parámetro  0( X   P ( ))

 

tiene distribución de Poisson con

si su función de probabilidad esta definida por:

 e     x  ,  x  0,1,2,...  p( x)   P  X    x     x!  0 , en otro caso Es claro que  p ( x)  0 para cada valor de  X . A fin de verificar que la función p( x) 

los requerimientos de toda función de probabilidad, se debe de probar que: 

 x 0



Por calculo diferencial e   x 0  

 x

 

 x!

satisface

 p( x)  1

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4. Distribución Poisson

Observación:

La distribución de Poisson es generalmente utilizada en los problemas en que se cuentan el número de eventos de cierto tipo, que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región o en un volumen. Por lo expuesto, esta distribución es llamada distribución de los “eventos raros”, tales como: -

Número de llamadas telefónicas recibidas por la central telefónica durante un intervalo de pequeño de tiempo

-

Número de fallas de un computador en un día de operación

-

Número de relatos de accidentes enviados a una compañía de seguros en una semana

-

Número de clientes que entran a una oficina postal en un día determinado

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4. Distribución Poisson

Teorema . Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson con parámetro  λ>0, entonces

a.

 E ( X )   

b. V ( X )    t 

tx  ( e 1) c. M  x (t )   E (e )  e

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4. Distribución Poisson

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Ejemplo 1: Suponga que un número de errores tipográficos en una página de un

libro tiene distribución de Poisson con parámetro

   1 / 2.

Halle la probabilidad de que por lo menos hay un error en esta página. Solución:

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4. Distribución Poisson

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Ejemplo 1: Solución

Sea X la variable aleatoria que denota el número de errores en la página, entonces se tiene:

 P  X   1  1  P  X   0  1 

e 1/ 2 (1 / 2) 0 0!

 1  e 1/ 2  0.3935

Por lo tanto, la probabilidad de que por lo menos hay un error en esta página es de 0,39

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4. Distribución Poisson

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Ejemplo 2:  El número medio de automóviles que llegan a una estación de

suministro de gasolina es de 240 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de 8 automóviles por minuto, determine la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación más automóviles de los que puede atender. Solución:

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4. Distribución Poisson

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Ejemplo 2:  Solución

Sea X la variable aleatoria que denota el número de automóviles que llegan a la estación de servicio en un minuto dado. El número medio de automóviles que llegan a la estación de suministro en un minuto es   

240 60

 4,

entonces  X    P (4), esto es

 p( x)   P  X    x 

e 4 4

 x!

 x

,

 x  0,1,2,...

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4. Distribución Poisson

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Ejemplo 2. Solución

Luego, reemplazando en la función de probabilidad:

4 8  4 e 4  4  0.02134  P  X   8  1  P  X   8  1  e  4e  ...  8!  

Por lo tanto , la probabilidad de que, en una minuto dado, lleguen a la estación más automóviles de los que puede atender es de 0.02.