EP - Romero Leon (Problemas)

RESOLUCION DE PROBLEMAS – PROBABILIDADES Y ESTADISTICA LISTA 17 1.

Suponga que una tienda de pinturas quiere estimar la cantidad correcta de pintura que hay en latas de un galón comprados a un conocido fabricante. Por las especificaciones del producto se sabe que la desviación estándar de la cantidad de pintura es igual a 0.02 galones. Se selecciono una muestra aleatoria de 50 latas de un galón, estas fueron pesadas y la cantidad media de pintura por lata de un galón es de 0.995 galones. a. Obtenga una estimación por intervalos para la media de pintura por lata de un

galón. b. Con base a los resultados de “a”, ¿Es posible que el propietario de la tienda tuviera derecho a quejarse al fabricante? ¿por qué? UO. Latas de pintura de un galón comprado a un conocido fabricante Conjunto de UO: Todas las latas de pintura compradas a un conocido fabricante. Constituyen toda la población. X: Peso de la lata de pintura. La distribución de los datos de la cantidad de pintura de las latas compradas se supone que es normal y se sabe que su desviación estándar o típica conoce el peso medio

X

X

es de 0.02 gal., pero no se

de las latas de pintura compradas.

Se obtendrá una estimación por intervalos para la cantidad media de pintura

X

de las latas

de toda la población, para ello se seleccionó una muestra aleatoria de 50 latas. Asumimos un nivel de confianza de 99% para tener más certeza de nuestra estimación. En el caso del intervalo de confianza al 99 por ciento, tenemos que:  el factor de fiabilidad donde

 / 2  0.005

, es

z0.005  2.58

,

 la media muestral obtenida a partir de una muestra de tamaño n=50 es gal.

x

= 0.995

Los límites de confianza son: LI  x  z / 2

LS  x  z / 2

X n

X n

 0.995  2.58

 0.995  2.58

0.02 50

0.02 50

 0.9877

 1.0023

Interpretación, el intervalo (0.9877, 1.0023) contiene cantidad media de pintura de las latas compradas a un conocido fabricante con un 99 % de confianza. Podemos decir que el propietario puede estar conforme porque la cantidad media de pintura de las latas está cerca a la cantidad que deberían tener, 1 galón. 2.

Se van a realizar durante un mes pruebas de mercado de un nuevo cereal para desayuno, en las tiendas de una gran cadena de supermercados. Los resultados para una muestra de 16 tiendas señalaron ventas promedio de 1200 soles con una desviación estándar de 180 soles. Obtenga un intervalo de confianza del 99% de las ventas promedio reales de este nuevo cereal para desayuno.

UO. Tienda de cereal de una cadena de supermercados en un mes. Conjunto de UO: Todas las tiendas de cereal de una cadena de supermercados. Constituyen toda la población. X: Venta de la tienda obtenida en un mes. La distribución de los datos de las ventas obtenidas de la tienda se supone que es normal, pero no se sabe que su desviación estándar

X

y no se conoce las ventas promedio

X

de las

tiendas de cereal. Se obtendrá una estimación por intervalos para la cantidad media de pintura

X

de toda la población, para ello se seleccionó una muestra aleatoria de 16 latas.

de las latas

Asumimos un nivel de confianza de 99% para tener más certeza de nuestra estimación. En el caso del intervalo de confianza al 99 por ciento, tenemos que:  t0.005 ,

 Se halla el factor de fiabilidad

P (t '  t 0.005 )  0.005 

 t 0.001   2.947

 la media muestral obtenida a partir de una muestra de tamaño n=16 es

x

= S/.1200.

 La desviación estándar también, s = S/.180.



180



16

 1200  2.947 Luego I =

,1200  2.947

180  16

I = ( 1067.38 , 1332.6) Interpretación. El intervalo (1067.38, 1332.6) contiene el valor de las ventas promedio de las tiendas de una cadena de supermercados en un mes con un 99% de confianza. 5. Se seleccionó una muestra aleatoria de 30 docentes de entre los profesores de una universidad con el objeto de estimar la experiencia docente media de ellos. Los resultados obtenidos en la muestra (medidos en años) fueron: 3, 4, 4, 6, 2, 3, 4, 6, 2, 4, 6, 4, 3, 4, 4 7, 3, 4, 5, 6, 1, 6, 4, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 4 Utilizando la información anterior, obtenga: a. Una estimación puntual para estimar la experiencia docente media de los profesores de la universidad b. Un intervalo de confianza 0.99 para estimar la experiencia docente media de los profesores de la universidad.

UO. Docente de una universidad Conjunto de UO: Todos los docentes de esa universidad. Constituyen toda la población. Muestra: Se tomó una muestra aleatoria de 30 alumnos. Variable poblacional de interés, X: La experiencia de los docentes (medidos en años).

No se conoce la distribución de probabilidades de X pero suponemos que es X  X2 donde y son desconocidos.

N   X ,  X2 

Dado que no conocemos la forma de distribución de los datos de la variable aleatoria, construiremos un polígono de frecuencias para ver cómo es su comportamiento.

xi

F(xi)

1

1

2

3

3

6

4

12

5

2

6

5

7

1

14 12 10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Consideremos

como

30

estimador de

 X n

i 1

S2 =

i

x X

µ X   x a la variable



X i 1

i

30

2

n 1

Calculamos el valor del estimador que de acuerdo a como está definido es: X

= 4 años Sx = 1.4142 años Este valor nos dice que una estimación de la experiencia media de los docentes de una universidad es 4 años, la información proporcionada por esta muestra está en situación de incertidumbre.

X

Se desea estimar , y como el valor de la varianza no se conoce y el tamaño de muestra es mayor o igual a 30, se calcula los límites del siguiente intervalo. X  z 2 I =

S S , X  z 2 n n

En el caso del intervalo de confianza al 99 por ciento, tenemos que:  el factor de fiabilidad donde

 / 2  0.005

, es

z0.005  2.58

,

 la media muestral obtenida a partir de una muestra de tamaño n=30 es años y la desviación estándar o típica es Sx = 1.4142.

x

=

4

X Se remplazan los valores de y S, luego el intervalo es: 1.41 1.41 4  2.58    4  2.58 30 30

I = (3.36, 4.66) Interpretación. La experiencia media de todos los profesores de una universidad está contenido en el intervalo (3.36, 4.66) con un nivel de confianza de 99%. 8) Una muestra de 100 alumnos varones de cierta Universidad indica que 10 alumnos practican deporte en forma activa. Obtenga un intervalo de confianza 0.90 para estimar la proporción de alumnos varones de dicha Universidad que practican un deporte en forma activa. UO. Alumno varon de cierta Universidad Conjunto de UO: Todos los docentes de esa universidad. Constituyen toda la población. Muestra: Se tomó una muestra aleatoria de 100 alumnos. Asociamos el modelo Bernoulli, la variable es: X: Número de alumnos varones de cierta universidad que practican deporte de manera activa. RX: 0,1 Donde X = 0 Indica que el alumno no practica deportes de manera activa. X = 1 Indica que el alumno practica deportes de manera activa. La función de cuantía es: P( X = k) = Pk(1 – P)1 – k , k = 0 ,1 P es la proporción de alumnos que practican deportes de manera activa. Se tendrá que obtener una estimación Puntual, para esto se tendrá que contar con un estimador.

10

µ  P Consideremos como estimador de P a la variable

µ P

X i 1

i

10

= 0.1

Este valor nos dice que la Proporción de alumnos de cierta Universidad que practican deporte de manera activa es de 0.1. Como la información proporcionada por una muestra está en situación de incertidumbre, cuando se hace una estimación puntual no contamos con una medida que nos diga con cuanto de confianza se puede aceptar ese valor como el valor de la Proporción de alumnos que practican deporte de manera activa de todos los alumnos de cierta Universidad por lo que debemos contar con otro método. Construcción del intervalo. µ P P ~ N  0,1 PQ n Sea la variable Z = . PQ µ PQ µ z P , P  z 2  2 n n

I=  el factor de fiabilidad donde

 / 2  0.05

, es

z0.05  1.645

,

1 9 1 9 . . 0.1  1.645 10 10 ,0.1  1.645 10 10 100 100 I=

0.05065, 0.14935 I=

0.05065, 0.14935 Luego, el intervalo es: de confianza 90%.

contiene la proporción poblacional con un nivel