Entregable 1 Calculo Vectorial.

´ ´ UNIVERSIDAD TECNOLO GICA DE ME XICO Alcantara Carrasco Yahir. Cálculo vectorial.

CÁLCULO VECTORIAL Prof.: Omar Olivares Reyes.

ENTREGABLE 1 Instrucciones: Resolver cinco de los siguientes problemas. Es necesario que se anote, de manera clara, la resolución al problema (de preferencia, realizar las anotaciones en un procesador de texto). En caso de realizar los ejercicios a mano, tomar foto con la mejor calidad posible mostrando el desarrollo. Recuerden que la claridad y el formato son parte de la evaluación. Si se resuelven los problemas usando Matlab o cualquier otro software matemático, anotar el software utilizado, realizar captura de pantalla con los datos ingresados, así como del código (en caso de contar con código). El trabajo se realiza y se entrega de manera individual. Formato: La entrega del archivo debe ser en formato PDF y debe incluir nombre del alumno y asignatura. Bibliografía: las referencias deben estar anotadas en formato APA.

PROBLEMAS: 1.-(Espacios tridimensionales y vectores) Si tomamos los vectores a = ⟨1, −3, 2⟩, b = ⟨−1, 1, 1⟩ y c = ⟨2, 6, 9⟩, Calcular: d = b + 2(a − 3c) Primero eliminamos paréntesis: D=b+2(a-3c) = b+2a-6c Se multiplica el escalar por el vector: b= (-1,1,1) 2a=2(1,-3,2) = (2,-6,4) -6c=-6(2,6,9) = (-12,-36,-54) Se realiza la operación: d = b+2a-6c d= ([-1+2-12], [1-6-36], [1+4-54] d=-11, -41, -49

2.-(Espacios tridimensionales y vectores) Si tomamos los vectores a = ⟨1, −3, 2⟩, b = ⟨−1, 1, 1⟩ y c = ⟨2, 6, 9⟩, Calcular: d = a + (b + c) Primero eliminamos paréntesis: D=a+(b+c) = a+b+c Se multiplica el escalar por el vector: b= (-1,1,1) a= (1,-3,2) = (1,-3,2) c= (2,6,9) = (2,6,9) Se realiza la operación: d = a+b+c d= ([-1+1+2], [1-3+6], [1+2+9] d=2, 4, 12 3.- (Producto escalar y vectorial) Encuentre el producto cruz o vectorial (a x b) de los siguientes vectores: a = ⟨1, −3, 1⟩, b = ⟨2, 0, 4⟩ Aquí vamos a calcular el producto cruz de dos vectores:

( u1 u2 u3 )∗( v1 v 2 v 3 )=( u 2 v3 −u3 v 2 ,u3 v1 −u1 v 3 , u1 v 2−u 2 v1 ) Sustituyo los valores siguiendo el procedimiento y pongo los datos.

¿ (−3∗4−1∗0 1∗2−1∗4 1∗0−(−3∗2)) Simplifico cada elemento de la matriz.

a∗b=−12 i −2 j 6 k 4.- (Producto escalar y vectorial) Encuentre el producto cruz o vectorial (a x b) de los siguientes vectores: a = ⟨2, 2, −4⟩, b = ⟨−3, −3, 6⟩ Aquí vamos a calcular el producto cruz de dos vectores:

( u1 u2 u3 )∗( v1 v 2 v 3 )=( u 2 v3 −u3 v 2 ,u3 v1 −u1 v 3 , u1 v 2−u 2 v1 ) Sustituyo los valores siguiendo el procedimiento y pongo los datos.

¿ ( 2∗6−(−4∗−3) −4∗−3−2∗6 2∗−3−2∗−3 ) Simplifico cada elemento de la matriz.

a∗b=0 i 0 j 0 k 5.- ( Lím it es y cont inuidad) Evalué el lím it e dado de la siguient e f unción:

Sustituir la variable. 2

¿ 5 + (−1 )

2

Sustituyo.

¿ 25+1 =26

6.- ( Lím it es y cont inuidad) Evalúa el lím it e dado de la siguient e f unción:

2

( 02−0 2 ) ( 0−0 )2 ( 0 )2 0 ¿ 2 2 = = = =0 ( 0 + 0 ) ( 0+0 ) ( 0 ) 0 =0

7.- (Derivadas parciales de orden superior) Encuentre la derivada parcial indicada:

Primero realizo el primer término y luego el otro.

∂ xy (e ) ∂x Aquí aplico la regla de la cadena y obtengo:

¿ e xy y Realizo mi segunda termino:

∂ xy (e y) ∂x Aplico nuevamente la regla de la cadena y simplifico.

¿ e xy y 2

8.- (Derivadas parciales de orden superior) Encuentre la derivada parcial indicada: w = u2v3t3

;

wtuv

Aplico las leyes de los exponentes primero a un término.

a b∗a c =ab +c ¿ uv u 2 v 3 t 1+3 ¿ uv u 2 v 3 t 4 Aplico las leyes de los exponentes a mi siguiente termino.

u u2=u 1+2 ¿ v u1+ 2 v3 t 4 ¿ v u3 v 3 t 4 Aplico las leyes de los exponentes a mi siguiente termino.

v v 3=v 1 +3 ¿ u3 v 1+3 t 4 ¿ u3 v 4 t 4 9.-(Diferenciales) Calcule la diferencial total de la función dada.

dz=

¿

√

∂F ∂F d x+ dy ∂x ∂y 2x 6 y2 dx− dy 2 x 2−4 y 3 2 x 2−4 y 3

√

1 x 2

(¿ 2( ) ) ¿¿

Es el mismo resultado solo que más simplificado.

10.-(Diferenciales) Calcule la diferencial total de la f u nc ió n dada.

dw=

∂F ∂F ∂F dr+ d s− dt ∂r ∂s ∂t

¿ 3 r 2 dr−

2 ds−−2 dt s3

11.- (Regla de la cadena) Encuentre la derivada indicada.

dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt Aplico la regla de la suma/diferencia:

d 4 d −4 ( t ) + (t ) dt dt d 4 ¿ ( t )=4 ¿3 dt d −4 ¿ ( t −4 ) = 5 dt t 4 ¿ log 4 t 3− 5 t ¿

(

4 t 3− ¿

)

4 t5

−1 4 +t t4

12.- (Regla de la cadena) Encuentre la derivada indicada.

¿

2u

2 1 + 2 2u 2√u 2u ¿ 2 1 + 4u 2√u ¿

2u

1 2√u Se eliminan terminosiguales . 1 ¿ 2√u 2u+

13.- (Máximos y mínimos relativos absolutos para funciones de dos variables independientes) Encuentre los extremos relativos de la f u nc ió n indicada: f (x, y) = 5x2 + 5y2 + 20x − 10y + 40 Primero encontrar puntos críticos. Encontrar donde ∇ f ( x , y ) es igual a 0 o no esta definido .

∇ f ( x , y )=(10 x+20+ 10 y −10) Resuelvo (10 x+ 20+10 y−10) 10 x +20=0 10 y−10=0 Despejo x para 10 x+ 20=0

[

]

Resto 20 para ambos lados.

10 x+ 20−20=0−20 10 x=−20

Divido ambos entre 10

20 −20 = 10 10 Simplifico.

¿

−20 −10 −−2 = = =−2 10 5 1

x=−¿ 2 Despejo y para 10 y−10=0 Sumo 10 para ambos lados.

10 y−1 0+1 0=0+1 0 10 y=10

Divido ambos entre 10

10 1 0 = 10 10

Simplifico.

¿

10 10 −5 = = =1 10 10 5

y=1 Las soluciones para el sistema de ecuaciones son:

(−2,1)

∂2 ( 2 2 = 5 x +5 y + 20 x−10 y + 40 ) 2 ∂y ∂ = ( 5 x 2 +5 y 2+ 20 x −10 y+ 40 ) =10 y−10 ∂y ¿

∂ (10 y−10) ∂y

Aplico la regla de la suma y diferencia.

∂ ( 10 y−10 )=10 ∂y

f ( x , y )=5 x2 +5 y 2 +20 x−10 y+ 40 ∂2 f =10 ∂ x2 ∂2 f =10 ∂ y2 ∂2 f =0 ∂x∂ y D ( x , y )=10∗10−(0)2 Simplifico.

10∗10−0 2=100 D ( x , y )=100 Verifico el punto crítico en cada punto crítico.

Verifico el signo de D ( x , y )=100 en (−2,1 ) : Positivo ∂2 f Verifico el signo de 2 =10 en (−2,1 ) :Positivo ∂x Mínimo (-2,1) 14.- (Máximos y mínimos relativos absolutos para funciones de dos variables independientes) Encuentre los extremos relativos de la función indicada: f (x, y) = 4x3 + y3 − 12x − 3y Primero encontrar puntos críticos. Encontrar donde ∇ f ( x , y ) es igual a 0 o no esta definido .

∇ f ( x , y )=(12 x 2−12 , 3 y 2−3) Resuelvo (12 x2 −12, 3 y 2−3) 12 x 2−12=0 3 y 2−3=0 Resuelvo 12 x2−12=0 x =−1 , x=1 Para 3 y 2−3=0 , sustituir x con−1 : y=1 , y=−1 Para 3 y 2−3=0 , sustituir x con1 : y=1 , y=−1

[

]

Resuelvo 3 y 2−3=0 : y=−1 , y=1 Para 12 x2−12=0 , sustituir y con 1: x=1, x=−1 Por lo tanto, las soluciones finales para 12 x2−12=0 , 3 y 2−3=0

x=−1 , y=1 x=−1 , y=−1 x=1 , y=1 x=1 , y=−1 (−1,1 ) , (−1,−1 ) , ( 1,1 ) ,(1 ,−1)

(

)

Aplico la regla de la suma y de la diferencia:

∂2 f =¿ ∂ x2 ∂2 f 3 3 =4 x + y −12 x−3 y 2 ∂x ∂ = ( 4 x 3 ) =0 ∂y ∂ = ( y 3 )=3 x 2 ∂y ∂ = (12 x )=0 ∂y ∂ = ( 3 y ) =3 ∂y ¿ 0+3 y 2−0−3 Simplifico: ¿ 3 y 2−3 ∂ = ( 3 y 2−3 ) =6 y ∂y ¿6 y D ( x , y )=144 xy ∂2 f =24 x ∂ x2 ∂2 f =6 y ∂ y2 ∂2 f =0 ∂x∂ y D ( x , y )=24 x∗6 y−(0)2 Simplifico: D ( x , y )=144 xy Verifico el signo de en cada punto critico

Verifico el punto critico (−1,1 ) : Silla

Verifico el signo de D ( x , y )=144 xy en (−1,1 ) : Negativo Silla(−1,1) Verifico el punto critico (−1 ,−1 ) : Máximo . Verifico el signo de D ( x , y )=144 xy en (−1 ,−1 ) : Positi vo ∂2 f Verifico el signo de 2 =6 y en (−1 ,−1 ) Negativo ∂x M á ximo(−1 ,−1) Verifico el signo de D ( x , y )=144 xy en ( 1,1 ) :Positivo ∂2 f Verifico el signo de 2 =6 y en ( 1 ,1 ) Positi vo ∂x M í nimo (1,1) Verifico el signo de D ( x , y )=144 xy en ( 1 ,−1 ) : Negativo Silla(1 ,−1)

Silla (−1,1 ) , M á ximo (−1 ,−1 ) , Mínimo ( 1,1 ) , Silla (1,−1) Fuentes APA:

Raquel Cárdenas G. [Slideshare]. (2016, 27 marzo). Máximos y mínimos función de varias variables. [Publicación en línea]. https://es.slideshare.net/KellyCardenas2/maximos-y-minimos-funcion-devarias-variables José Luis Narváez. [Slideshare]. (2011, 31 septiembre). Regla de la cadena. [Publicación en línea]. https://es.slideshare.net/luisjaviernarvaez/regla-de-la-cadena-9966098?qid=89109ef7-ba72-4b25b821-003e670f942f&v=&b=&from_search=4

Bibliografía Zill, D. G., & Wright, W. S. (2011). Cálculo de varias variables. México: McGraw Hill. Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Cálculo 2 de varias variables. México: McGraw Hill. Stewart, J. (2018). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage.