Ensayos Fractales

 

Ensayos fractales

INTRODUCCION Lo que se desea realizar es una fractal, el cual nos puede servir para tener un logotipo con un toque más matemático pero al mismo tiempo más natural.  A continuación continuación se va va a citar una una breve pero muy exacta explicación explicación sobre sobre las fractales fractales y quien ha hecho estudios sobre este tema. ¿QUÉ SON LOS FRACTALES? Es complicado dar una definición general de fractales porque muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera. ETIMOLOGÍA DE LA PALABRA FRACTAL El matemático francés Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los 70, derivándola del adjetivo latín "fractus". El correspondiente verbo latino: frangere, significa romper, crear fragmentos irregulares. ¿POR QUÉ FRACTALES? La geometría tradicional, la euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. La geometría euclídea también describe los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas. Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descriptos por la geometría tradicional. La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza. DIFERENCIAS ENTRE LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA Y LA FRACTAL |EUCLÍDEA |FRACTAL | |Tradicional (más de 2000 años) |Moderna (aprox. 10 años) | |Dimensión entera |Dimensión fractal |

 

|Trata objetos hechos por el hombre |Apropiada para formas naturales | |Descripta por fórmulas |Algoritmo recursivo (iteración) |

FRACTAL

 A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos; poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida. La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos.

DESARROLLO Para el desarrollo de este proyecto lo que se va a necesitar es hojas de papel para poder realizar un boceto sobre las fractales y asi poder tener una idea final para realizar, lápiz, regla y goma. La relizacion de un fractal se puede resumir en cinco sencillos pasos. 1.- tener una hoja para diseñar 2.- tener una figura central o madre 3.- repetirla en una escala menos 4.- repetirla a otra escala aun más pequeña 5.- y el rellenado de la hoja q se puede hacer con otra repetición de la misma

 

figura a otra escala. RESULTADOS

[pic][pic] CONCLUSION Se logro lo planeado gracias a los pasos q se mencionaron en el desarrollo, tal vez no pueda servir para un arquitecto para escudo pero sin duda con un poco mas de diseño este boceto puede ser un símbolo o escudo para cualquier clase de diseñador. ///////////////////////// //////////// //////////////////////// ///////////////////////// ///////////////////////// //////////////////////// ///////////////////////// /////////////////////////// //////////////////////////// ///////////////////////// ///////////////////////// //////////////// ///

INTRODUCCIÓN El tema de los fractales es un tema que es de vital importancia en nuestra carrera ya que fue a partir de él que se pudo obtener tanto desarrollo tecnológico y científico en nuestra área el de la ingeniería de sistemas. El desarrollo de la teoría fractal de los últimos años muestra un cambio de actitud en los matemáticos. En el pasado fueron ignoradas aquellas funciones que no eran suficientemente regulares y con el cambio de actitud, ciertas curvas consideradas “monstruos matemáticos” o funciones “patológicas”, encontraron su sitio natural y se

convirtieron en merecedoras de estudio por lo que el tema nos permite ver con claridad el sentido de las cosas ya que como mucho fue mencionado en el video los fractales están por todas partes en nuestros cuerpos, en la naturaleza, en las nubes, etc. FRACTALES Un fractal es un objeto cuya estructura se repite en diferentes escalas, es decir, en cuanto más nos acerquemos o alejemos del objeto observaremos siempre la misma estructura de echo somos incapaces de saber a qué tan lejos o que tan t an cerca estamos del objeto por ser siempre igual. El termino fractal (del latín fractus), fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975, que impacto al referirse de la geometría fractal como una disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publico su De libro en el que explica su investigaciones en este campo. la fractal que se geometry diferenciaofdenature, la geometría básica.

 

También el profesor Mandelbrot se interesa por cuestiones que nunca otros científicos se habían preocupado, como los patrones que rigen la rigurosidad o las grietas y fractales en la naturaleza. Probablemente, el primer objeto fractal en la historia fue el polvo de cantor, fue descrito por el alemán Georg cantor ya que fue el inventor de la teoría de los conjuntos alrededor de 1872. A pesar de ser una figura realmente sencilla recoge todos los atributos discutidos sobre los fractales hasta el momento. El polvo de cantor se inicia con un segmento lineal, este se divide en tres t res segmentos menores de la misma longitud, el central de los cuales se extrae. Este proceso se repite indefinidamente al final de lo cual si tiene final se habrá producido el polvo de cantor. Los fractales también sirven mucho en la vida cotidiana ya que los lo s fractales se pueden utilizar en la medicina, arte, ingeniería y demás cosas, como poder saber cuento dióxido de carbono recibe un bosque tan solo con el estudio de un árbol, también es un hecho cultura ya que las personas empezaron a usar ropa con estas formas que salieron de construir fractales y también ayuda mucho a la pate de las l as películas ya que con estos se puede realizar gráficos en una computadora para que se vean más reales. Los fractales son importantes ya que estos se encuentra en el diario vivir de las personas y nos ayudan a encontrar un por qué a muchas cosas que no se pueden definir con la geometría básica.  Algo muy importante que descubrimos en nuestro proceso proceso de apropiación del tema fue que este tema de los fractales no fue descubierto por Mandelbrot sino que primeramente fue desarrollado por Gastón Julia, quien escribió la teoría de los conjuntos de Julia que luego le fueron de ayuda Mandelbrot quien se apropió del tema  y los desarrollo más a fondo. Lo que más nos llamó la atención en este tema es el hecho de ser un tema de las matemáticas más propiamente de la geometría y que este tema sea aplicable en tantas ciencias como: la biología, el arte, las ciencias naturales, la física, la química, entre otras. Los que nos lleva a pensar que si esto no hubiese sido descubierto tal vez en esta época estaríamos muy atrasados en cuanto a la tecnología, que fue gracias a este que se mejoraron las telecomunicaciones y se puedo avanzar enya ellas. “La geometría fractal prueba que, a partir de la investigación, es posible establecer un

puente entre el pensamiento científico racional y la emoción estética, estos dos modos de cognición de la especie humana están comenzando a concurrir en su estimación de lo que constituye la Naturaleza en la cual estamos e stamos inmersos.” Nos pareció de vital

importancia resaltar esta frase porque nos lleva a tener un punto de vista más analítico de él porque van conectados en esta teoría tantas t antas áreas y todas sin similitud. Los fractales constituyen un tema matemático de actualidad muy importante, gracias a las figuras que se crean por medio del computador y siguiendo ciertas reglas y bases matemáticas. Estas figuras se obtienen gracias a la repetición una y otra vez del mismo procedimiento los que lleva a decir de esto que se puede hacer infinidad de veces y el resultado siempre vanos a ser el mismo.

 

BIBLIOGRAFIA • http://www.docentes.unal.e http://www.docentes.unal.edu.co/cibermudezs/docs du.co/cibermudezs/docs/CursoGeometriaFrac /CursoGeometriaFractal.pdf tal.pdf • http://es.wikipedia.o http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_C rg/wiki/Conjunto_de_Cantor antor  •

http://sabia.tic.udc.es/gc/Contenidos%20adicionales/trabajo http://sabia.tic.udc.es/gc/C ontenidos%20adicionales/trabajos/Imagenyvideo/fractale s/Imagenyvideo/fractale s/curvasrelleno.htm • http://es.scribd.com/ http://es.scribd.com/doc/ doc/117889641/Geometria-fractal • http://es.wikipedia.o http://es.wikipedia.org/wiki/Atractor_de_Lor rg/wiki/Atractor_de_Lorenz enz  • http://es.wikipedia.o http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_ rg/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch de_Koch  • http://www.elecodelospa http://www.elecodelospasos.net/article sos.net/article-17251700.html} • http://es.wikipedia.o http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal rg/wiki/Fractal 

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LOS FRACTALES Es complicado dar una definición general de fractales porque muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos el los son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera. Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.  A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos; poseen poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. La característica que fue decisiva para llamarlos ll amarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. Los fractales son una idealización. Los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación. CARACTERISTICAS:

 

Su principal característica es que tienen una dimensión fraccionaria y una estructura geométrica recursiva. Además, su área o superficie es finita, pero su perímetro o longitud es infinita. Su complejidad es también infinita. La generación de un fractal puede hacerse de muchas maneras y presentan detalle a toda escala, usando algoritmos o formulas sencillas y muy pocos datos. Otra característica destacar es partes la de sudeautosimilitud a distintas hay una similitud entrealas distintas una misma figura fractalescalas: aunquesiempre estas estén muy distantes. Cada porción del fractal puede visualizarse como un todo, ya que es su réplica. Los fractales que existen en la naturaleza tienden a ser irregulares y son autosimilares, sólo en sentido estadístico; esto es, si tomamos un conjunto suficientemente grande de objetos de la misma clase y amplificamos una porción de alguno de ellos, es e s posible que no sea idéntico al original, pero seguramente sí será similar a algún otro miembro de la colección.  A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes siguientes características:  Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

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 Posee detalle a cualquier escala de observación.

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 Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).

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 Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. 

 Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

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No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas. Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural. La geometría tradicional, la euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y  volúmenes. La geometría euclídea también describe los los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas. específicas. Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descriptos por la

 

geometría tradicional. La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza. DIFERENCIAS ENTRE LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA Y LA FRACTAL EUCLÍDEA FRACTAL Tradicional (más de 2000 años) Moderna (aprox. 10 años) Dimensión entera Dimensión fractal Trata objetos hechos por el hombre Apropiada para formas naturales Descripta por fórmulas Algoritmo recursivo (iteración) IMPORTANCIA Los fractales son hoy en día una herramienta insustituible en el trabajo de muchos físicos, químicos, matemáticos. Tienen un gran potencial interdisciplinar pudiendo trabajar con ellos distintas disciplinas coordinadamente. Nos permiten observar que aun dentro de la enorme complejidad existen ciertos patrones a seguir. Ejemplo: una roca es similar a la montaña de la que forma parte; una rama tiene la misma estructura que la del tronco del que nace; como si la decisión hubiera sido repetir la misma forma a diferentes escalas dentro de un mismo objeto, asegurando la preservación de una copia del original a cualquier nivel de amplificación; como si se pensara en generar el máximo nivel de detalle con el mínimo costo en el diseño. Muestras vivas de este juego de la naturaleza en el que el mismo patrón de crecimiento se manifiesta a diferentes escalas podemos verlas en un helecho, un cuerno de ciervo, un brócoli o una coliflor, nada nos impide especular sobre las propiedades de helechos "imaginarios" que aun a nivel microscópico exhiben características geométricas semejantes semejantes a las de la l a planta completa. Su importancia crece, porque ellos son capaces de resolver y llegar allí donde no puede hacerlo la geometría euclídea. Gracias a ellos hemos podido identificar innumerables manifestaciones naturales ya que su geometría está presente en todo. La dimensión fraccionaria fractal permite medir el grado de escabrosidad o discontinuidad de un objeto, siempre que presente un grado de irregularidad constante a diferentes escalas por lo que al final resulta una irregularidad regular. Han revolucionado la tecnología de la generación de imágenes. Por ser mucho más que interesantes curiosidades matemáticas destinadas a alimentar nuestra fantasía. Gracias al descubrimiento de los fractales y a los ordenadores podemos observar la naturaleza sin movernos del sitio, quizás sea esta la causa de que en los últimos años añ os haya crecido su popularidad y de ahí la gran cantidad de páginas y servidores Web dedicados a ellos, popularidad que se debe en parte a su gran belleza y sencillez. ORIGEN HISTORIA Y EVOLUCION

 

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuye al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en e n Yorktown Heights, Nueva York, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). Anteriormente trabajaron en ellos Koch, Cantor y Peano principalmente definiendo objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no reconocidos como tales. La teoría de la geometría de los fractales, se fraguó en IBM cuando intentaban solucionar un problema de ruido en las comunicaciones telefónicas de los ordenadores. Fue Mandelbrot, quien trabajaba en dicha compañía, quien descubrió que el fallo se encontraba en la distribución errónea del flujo de la información, ya que existía una relación geométrica entre los periodos de ruido y los periodos sin él, que se podía comprobar visualmente y representar en un grafico. La construcción de un fractal es posible y se simplifica considerablemente haciendo uso de la computadora: parecen estar hechos el uno para el otro. De hecho, sin la computadora no hubiera sido posible demostrar sus efectos, posibilidades y utilidades. En su creación se usan procedimientos: matemáticos, geométricos, físicos y químicos principalmente y en su evolución y desarrollo tuvieron mucho que ver las soluciones que varios investigadores propusieron para resolver problemas que la geometría tradicional t radicional o euclidiana era incapaz de solucionar. Con la aparición de los fractales podemos hablar de dos tipos de geometría: a) Tradicional o euclidiana, que tiene más de 2000 años de antigüedad, que estudia las propiedades y mediciones de líneas, planos, volúmenes, y que describe las figuras y formas creadas con ellas; pero que es incapaz de explicar las formas encontradas en la naturaleza.  b) La fractal que apenas tiene 20 años y que sí es capaz de explicarlas. explicarlas. Nos estamos refiriendo a las formas de las montañas, fronteras, árboles nubes, hojas, copos de nieve etc, esta geometría describe una forma o modelo matemático que resuelve el problema. Los investigadores más destacados en el desarrollo de los fractales fueron: K. Weierstrass (1815 N. -1897); Cantgor (1845 1918): A. (1882 Lyapunov (1857 G. Peano (1858 -1932); KochG. (1815 -1897); W. -Sierpinski -1969); G. -1918); Julia (1893 1978); B. Mandelbrot Quizá uno de los ejemplos más representativos de cómo surgen o se construyen sea la curva construida por la matemática sueca Helge von Koch en 1904 1 904 (Peterson, 1988). Para dibujarla basta tomar un triángulo equilátero (a) como figura inicial y añadir en el centro de cada uno de sus lados un nuevo triángulo equilátero tres veces más pequeño que el original. Repitiendo indefinidamente este proceso se obtiene la curva o copo de nieve de Koch. En la anterior imagen podemos ver las primeras cuatro etapas del proceso de iteración que da lugar a la curva de Koch. Triángulo sobre triángulo hasta el límite de cualquier imaginación, así construida indibujable, pues la forma repite a todoslaloscurva niveles. Cada puntoresulta sobre ella, si lo exploráramos condel unacontorno lupa, nosse

 

revelaría siempre los mismos secretos; triángulo sobre triángulo, indefinidamente. A entidades como ésta se les denomina autosimilares, pues cada una de sus partes es igual al total (su apariencia es la misma a cualquier escala) y desde el e l punto de vista matemático poseen ciertas propiedades peculiares que las distinguen (Briggs, 1990). Se generan pues a través de iteraciones de un patrón geométrico existente fijo. La naturaleza puede crearlos a) De forma gradual: las partículas se van agrupando lentamente y además pueden cambiar de posición varias veces.  b) De forma brusca: las partículas partículas se agrupan y crean un cuerpo con estructura irregular, rugosa etc... A las agrupaciones que hace la naturaleza se las conoce con el nombre de agregados fractales. L. M. Sander y T. A. Witten (Witten, 1981, 1983) propusieron un mecanismo para explicar el crecimiento de agregados fractales y lo denominaron agregación limitada por difusión (DLA). La idea central consiste en reconocer que la difusión de partículas en el medio es el factor más importante que condiciona y limita la formación del agregado. En este modelo, el proceso de crecimiento se inicia suponiendo la presencia de una partícula o un conjunto de ellas (cúmulo) que actúa como semilla para el desarrollo posterior. Adicionalmente, se considera que una gran cantidad de partículas se difunden hacia el cúmulo siguiendo una caminata al azar; una ruta en la l a que el tamaño  y la dirección de los pasos se elige aleatoriamente. Cuando Cuando una partícula entra en contacto con el cúmulo se adhiere a él de manera permanente, y así el agregado crece a través de un mecanismo irreversible. Siguiendo este razonamiento hay quien piensa que el universo pudo auto-organizarse de una forma parecida a como lo hacen los fractales ya que presenta estructuras organizadas a distintas escalas cúmulos, galaxias estrellas, nubes, montañas y toda clase de organismos vivos. Para explicar estos fenómenos de auto-organización se han propuesto distintos modelos, los más utilizados son los autómatas celulares estos fueron utilizados por primera vez por los matemáticos John von Neumann y Stanislaw Ulam en 1948 para representar la reproducción en algunos sistemas biológicos. Posteriormente, su uso se extendió a diversos campos y hoy día sus aplicaciones son muy variadas. Usos El primer uso que se hizo de ellos fue para solucionar problemas de ruidos en las comunicaciones, pero hoy en día se usan en diferentes campos de la ciencia: en topología para medir litorales, fronteras y superficies irregulares, rocosas escabrosas, galaxias…, en mineralogía para entender como la naturaleza crea sus formas y como el

crecimiento de las agrupaciones o seres que contiene está vinculada con ellos, en medicina para descubrir las ramificaciones de los tumores principalmente, en la industria para el diseño, en imagen y sonidolapara generar efectos, almacenar, transmitirtextil señales visuales, simular paisajes….en composición de música. En

 

informática para reducir por compresión el espacio físico que ocupan las imágenes en el disco duro, haciendo posible almacenar gran cantidad de imágenes en el menor espacio, sin degradar la información. Esta técnica pudo apreciarla el publico por primera vez cuando se publicó la enciclopedia Encarta, pero actualmente se puede ver en animaciones de videojuegos, películas de ciencia ficción, etc… Se usa tanto en

imágenes estáticas como dinámicas. También senuevas usan para describir lapara geometría desus laspropiedades formas naturales, ya quelanos proveen de herramientas analizar dinámicas, manera en que se desarrollan y evolucionan, o cómo interaccionan entre sí para competir u organizarse. Los fractales son sin duda una parte fundamental del nuevo lenguaje de la complejidad y el caos. Hay quien dice que están dentro del espejo e spejo que separa al reino del caos del dominio de la organización y la estructura (Briggs, 1990); aparentemente están ahí y sus reflejos se multiplican.