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ENSAYO

NACIONAL PSU

MATEMÁTICA MATEMÁTICA

1 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES

FORMA:

946-D

ES DE SUMA IMPORTANCIA QUE PRESTE ATENCIÓN A TODAS LAS INSTRUCCIONES QUE SE LE ENTREGAN, TANTO EN EL FOLLETO COMO EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1.

Esta prueba consta de 70 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A;B;C;D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.

Dispone de 2 horas y 15 minutos para responderla.

3.

Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.

Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito Nº2 o portaminas HB.

5.

Lea atentamente las instrucciones específicas de cada sección de la prueba, en donde se explica la forma de abordar las preguntas.

6.

Responda las preguntas sin tratar de adivinar, porque las respuestas erróneas disminuyen su puntaje.

7.

Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8.

Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.

9.

Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados. 11. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 12. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 13. Antes de responder las preguntas Nº 64 a la Nº 70 de esta prueba, lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta Nº 63. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

MATEMÁTICA

2 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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SÍMBOLOS MATEMÁTICOS < : es menor que

 : es congruente con

> : es mayor que

~ : es semejante con

 : es menor o igual a

 : es perpendicular a

 : es mayor o igual a

 : es distinto de

: ángulo recto

// : es paralelo a

: ángulo

 : pertenece a

log : logaritmo en base 10  : conjunto vacío

x  : parte entera de x

MATEMÁTICA

AB : trazo AB

x : valor absoluto de x n! : el factorial de n

3 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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1)

Si P=0,003; Q=0,03 y R=0,3, entonces el valor de

QR es P

A) 0,003 B) 0,03 C) 0,3 D) 3 E) 2)

1 2 3 ,  4, ,  5, , ... , la diferencia 2 3 4 entre los términos octavo y séptimo es

En la secuencia siguiente:

A) B) C) D) E) 3)

9 3,

34 5 26  5 34  5 26 5 10 5

Un grupo de amigas gastó $10.000 en un asado. La mitad lo gastó en carne y el resto de la siguiente forma: la mitad se gastó en vinos y bebidas, un cuarto en frutas y el resto en ensaladas. ¿Cuál(es) de las aseveraciones siguientes se desprende(n) de la información dada? I) Gastaron en carne el doble que en vinos y bebidas. II) El gasto en frutas y ensaladas fue el mismo que en vinos y bebidas. III) El 25% del total se gastó en frutas y ensaladas. A) B) C) D) E)

Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

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4 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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4)

5)

6)

En un jardín infantil, por cada cuatro niñas hay un niño. Si el total de alumnos es 40, ¿cuántas son las niñas? A)

8

B)

10

C)

30

D)

32

E)

36

Una familia compuesta de 20 personas, se reúnen a almorzar. Si faltan 5 de sus integrantes, ¿qué porcentaje estuvo presente en el almuerzo? A)

20%

B)

25%

C)

30%

D)

50%

E)

75%

Si en un cajón se mezclan manzanas maduras y verdes en la razón 3 : 1 , respectivamente, entonces el número de kilos de manzanas maduras que hay en 32 kilos de mezcla es A) 24 B) 18 C) 12 D)

8

E)

6

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5 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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7)

8)

9)

En una macedonia compuesta por duraznos, frutillas, peras y manzanas, las manzanas con la peras están en la razón 4 : 3. Las manzanas con las frutillas en la razón 1 : 2 y las peras con los duraznos en la razón 3 : 2. ¿En qué razón están los duraznos con las frutillas? A)

2:3

B)

3:8

C)

1:4

D)

1:2

E)

3:4

3 de una botella en 2 minutos, entonces 4 el resto de la botella se llenará en

El goteo de un grifo ha llenado

A)

90 segundos

B)

75 segundos

C)

60 segundos

D)

45 segundos

E)

40 segundos

En cierta empresa, la gerencia acordó con el sindicato de trabajadores, una política de aguinaldo inversamente proporcional a la remuneración bruta. Si el jefe de la división, que tiene un sueldo bruto de $ 1.200.000 recibirá un aguinaldo de $ 20.000, entonces el aguinaldo que recibirá un operario cuyo sueldo bruto es $ 480.000 es A)

$

8.000

B)

$

24.000

C)

$

50.000

D)

$

80.000

E)

$ 120.000

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6 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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10) Si x  0 , el valor numérico de la expresión 3x0  16 A)

3 16

B)

3 18

C)

1 3 12

D)

1 18

E)

No se puede determinar sin el valor de x

3 4

, es

11) El valor de la variable (incógnita) “y” dado por la ecuación

1 1 1   , x y z

cuando x=6 y z=3 está dado por A) 18 B) 9 C)

6

D)

2

E)

1

12) El cuadrado de  A) B) C) D) E)

2 3 a  b

es

4 2

9a  9b2 4 6a2  6b2 4 9a2  9ab  9b2 4

9a2  18ab  9b2 4 9a2  18ab  9b2

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7 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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13) La ecuación irracional solución(es) a A) B) C) D) E)

14) Si

x 

x 1  1

admite

como

raíz(ces)

sólo al 1 sólo al 2 ambos, al 1 y al 2 ni al uno ni al 2 no tiene solución (la solución es el conjunto vacío)

fg  0 , entonces la fracción

f 1 f 1  g1

, sin exponentes negativos, es

equivalente a A) B) C) D) E)

f f

f f

g g g g f f g g g

15) ¿Cuál es la expresión equivalente a A)

2 34

B)

24

C)

23

4

23 ?

3

4

3

 1 4 D)   2 4

E)

o

 1 3 2  

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8 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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16) Si x  0 y x  1 , entonces al simplificar la expresión A)

x

B)

x

C)

x 1

D)

1 x

E)



X 1 , se obtiene 1 1 X

1 x

17) Sea S el conjunto solución de la ecuación x2  8x  q  0 . elemento de S, entonces otro elemento de S es A)

0

B)

6

C)

8

D)

12

E)

faltan datos para determinarlo

Si 2 es un

18) La expresión x2  4xy  ky2 corresponde al cuadrado de un binomio para un cierto valor k. Éste debe ser A)

k=1

B)

k=2

C)

k=4

D)

k = 4

E)

k=0

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9 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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19) Al resolver la ecuación literal a(x + b  a ) = b(x + a  b ), con a  b , se llega a que la solución para x es A)

a + b

B)

ab

C)

ab

D)

a

E)

b

20) La cifra de las decenas de un número de dos dígitos es “d” y la de las unidades es “u”. El número excede a la cifra de sus decenas en 34. La información anterior nos permite escribir la siguiente ecuación para “d” y “u” A)

du  d = 34

B)

du  10d = 34

C)

10d + u + 34 = d

D)

9d + u = 34

E)

9u + d = 34

21) Al desarrollar y simplificar  q  p   4qp , se obtiene 2

A)

p  q2

B)

q2  2  p2

C)

p2  4pq  q2

D)

2q  4pq  2p

E)

2q  2pq  2p

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10 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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22) Al

resolver

la

ecuación

soluciones que se obtiene es

23)

A)

1

B)

2

C)

1, 2

D)

1, 2

E)

1,

x x  1 x2  1   , x  1 x  1 x2  1

el

conjunto

de

las

1, 2

Si n es un número natural par, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) también un número par? I) II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

3n n  1

n  1 n  1 n n  1 I II III I y II I y III

24) El valor de x en la ecuación 9x + 1 = 24 + 9x es A)

1

B)

2-1

C)

3-1

D)

4-1

E)

6-1

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11 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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25) Respecto de los gráficos de las funciones f  x   x  1

y

g  x   1 , en

un mismo sistema cartesiano, es correcto afirmar que I) se intersectan en dos puntos distintos. II) forman un triángulo cuya área es 4. III) ambas tienen el mismo dominio. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E)

I, II y III

26) El largo de un rectángulo es el doble del ancho. La función que permite calcular el perímetro del rectángulo si se conoce su ancho x es

27)

A)

f(x) = 2x

B)

f(x) = 4x

C)

f(x) = 6x

D)

f(x) = 8x

E)

f(x) = 10x

a y b son dos números reales positivos cualesquiera. Si se define a  b  a  b , entonces 1  2  3  3  I)

7  11

II)

9  32

III)

1  17

¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) correcta(s)? A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

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12 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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28) El gráfico de la función recta

y  2x2  6x  5

es simétrico respecto de la

3 2

A)

x

B)

x  3

C)

x

D)

y3

E)

yx

2 3

29) La ecuación de la recta que pasa por el punto

P 2, 6 

y es

perpendicular a la recta x – 3y = 6 es A)

x  3y  2  0

B)

3x  y  1  0

C)

3x  y  1  0

D)

3x  y  0

E)

x  3y  2  0

30) Un agricultor cosecha primero un cierto número entero x de sacos de trigo. Vende 80 de ellos y le quedan más de la mitad. Luego de esta venta, cosecha 5 sacos más y vende 26 sacos, quedándole menos de 61 sacos. ¿Cuántos sacos tenía al principio? A)

161

B)

162

C)

163

D)

164

E)

165

MATEMÁTICA

13 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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31) ¿Cuál

de

los

siguientes

gráficos

corresponde

al

de

la

función

f  x   2   x  2  ? 2

A)

B)

D)

E)

C)

32) Si  3, t  es un punto de la recta con ecuación y  5x  4 , entonces el valor de t es A)

11

B)

1 5

C)



1 5

D) 11 E)

19

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14 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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33) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta x  y  1  0 ? Y

A)

0

B)

Y

X

0

Y

0

C)

D)

E)

X

Y

X

0

X

Y

0

X

34) En la solución del sistema

A)

1 2

B)

3 4

C)

3

D)



1 2

E)



3 4

MATEMÁTICA

x  y  2 3x  y  1

,

x=

15 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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35) Si log

2

7x  1  log2 3x  5  1 ;

A)

16

B)

12

C)

11

D)

7/4

E)

0,57

¿cuánto vale x?

36) La figura está formada por un rectángulo cuyas dimensiones son tales que el largo es el doble del ancho que mide 2 cm y dos semicírculos. El área de la figura es A) B) C) D) E)

8 1    cm2

2  4    cm2

4 2    cm2

 4  2  8   

cm2 cm2

37) El perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50° y cuya diagonal menor mide 13 cm, es A)

6,5 cm sen 25 

B)

13 cm sen 50 

C)

13 cm sen 25 

D)

26 cm sen 50 

E)

26 cm sen 25 

MATEMÁTICA

13 50°

16 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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38) Si en la función f  x   6  sen2  x   7  sen  x   10 , consideramos como variable la función sen (x), entonces al factorizar esta función resulta A)

f(x) = (3 sen(x)  2) (2 sen(x) + 5)

B)

f(x) = (3 sen(x) + 2) (2 sen(x)  5)

C)

f(x) = (6 sen(x) + 2) (sen(x)  5)

D)

f(x) = (6 sen(x) + 5) (sen(x)  2)

E)

f(x) = (6 sen(x)  5) (sen (x) + 2)

39) En la figura se muestran dos circunferencias tangentes entre sí, dos rectas que parten desde un punto A, secantes a las circunferencias, y una tangente a ambas circunferencias que parte de A. ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempre verdadera(s)? I) AB  AC  AD  AE II) AD  AB III) ΔDAF  BAF A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II III I y II I y III

D

B F

E

C

A 40) Un obrero que se encuentra a 6 m de un poste de alumbrado proyecta una sombra de 1 m de largo. Si la estatura del obrero es 1,8 m, entonces la altura del poste es A) 10,80 m B) 12,60 m C) 13,89 m D) 15,40 m E) 18,89 m

MATEMÁTICA

6m

1m 17

ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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41)

Dados los triángulos escalenos ABC y A’B’C’ de la figura adjunta, con sus elementos indicados en ellos. Podemos saber que el triángulo ABC es congruente con el triángulo A’B’C’ (en ese orden) si se cumple que C’

C

A A) B) C) D) E)

α

β

B

α'

A’

β'

B’

  ' y   '    ' ' AB BC CA   A 'B ' B ' C ' C ' A ' AC AB   ' y  A ' C ' A 'B '    ' y    ' y AB  A 'B '

42) ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación de la figura, con centro en el punto P y con un ángulo de 135°?

P A)

P

B)

C) P

P D)

MATEMÁTICA

P

P E)

18 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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43) Francisca tiene una tarjeta cuyas dimensiones son 8 y 10 cm. Si desea hacer una ampliación de esta tarjeta mediante una homotecia de razón 3 : 1 , entonces la superficie de la tarjeta ampliada será A) 24 cm2 80 B) cm2 3 C) 240 cm2 D) 720 cm2 E) 800 cm2 44) En el triángulo ABC de la figura M, N y P son puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempre verdadera(s)? I) NPM es semejante al ABC . II) NPM es congruente con el PNC . III) MP es bisectriz del AMN .

C

A) Sólo I P

B) Sólo II

N

C) Sólo III D) Sólo I y II E)

I, II y III

A

45) Un cuadrado de lado 6 cm se hace girar en torno a su diagonal. volumen del sólido así engendrado es, en centímetros cúbicos A)

36

B)

36 2

C)

72

B

M

El

D) 72 2 E)

72 2

MATEMÁTICA

19 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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46) En la figura adjunta, el triángulo ABC es rectángulo en C. L y M son los puntos medios de los lados AB y BC , respectivamente. Entonces si AB  60 cm , el segmento GL mide A)

10 cm

B)

12 cm

C)

15 cm

D)

20 cm

E)

24 cm

C

A

12 cm

B)

10 cm

C)

5,5 cm

D)

8 cm

E)

2 cm

B

L

   47) En la figura adjunta, AB // CD // EF . DF  6 cm , entonces BF =

A)

M

G

Si AC = 3 cm, CE = 9 cm y

A

B

C

D

E

F

48) En la figura adjunta, ABCD es un rectángulo de lados AB = 8 cm y BC  6 cm . Si se traza la diagonal AC , y BF  AC , DE  AC , entonces EF mide A) 1,8 cm

C

D F

B) 2,8 cm C) 3,2 cm D) 3,6 cm E) 6,4 cm

MATEMÁTICA

E A

B

20 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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49) Mediante una reflexión el punto

3, 4

se transformó en el punto

 3, 4  . La ecuación del eje de reflexión es A)

y=0

B)

x=0

C)

y=4

D)

x=4

E)

y=x

50) En la circunferencia de centro O de la figura, se tiene que  : CB   2 : 1 . La medida del ángulo x es AC A)

30°

B)

45°

C)

60°

D)

90°

E)

120°

CE  AB

y

C x A

O E

B

D

51) Si en el espacio tridimensional, a un círculo con centro en el punto 0,2,2 y radio 3 situado en el plano YZ, se le aplica una traslación dada por el vector 4, 0, 0 , entonces el volumen del cuerpo que se genera es A)

12

B)

24

C)

36

D)

48

E)

144

MATEMÁTICA

21 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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52) En el

ABC

  

A)

5°

B)

10°

de la figura, se tiene que

C

35°

E)

75°



E

C) 17,5° D)

AD : DB = AE : EC. Entonces

A

35°

 D

70°

B

53) Al aplicar al triángulo ABC una reflexión respecto del lado BC , se obtuvo que la figura ABA ' es un triángulo isósceles con altura BC , entonces es siempre cierto que A)

el triángulo ABC es rectángulo en C.

B)

el triángulo ABC es equilátero.

C)

AC  BC

D)

el triángulo ABC es escaleno

E)

el triángulo ABC es acutángulo

54) Respecto del pentágono regular de la figura adjunta, es correcto afirmar que I) II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

MATEMÁTICA

tiene 5 ejes de simetría. sus ángulos interiores son agudos. con él no es posible cubrir completamente (teselar) el plano. I II III I y II I y III

22 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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55) Se tiene una bolsa llena de bolitas de piedra y de madera. Si el total son n + 2 bolitas, y n - 3 son de madera. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita, ésta sea de piedra? A)

4n

B)

5n

C)

n-1

D)

5 n2

E)

5n  1 6

56) En un juego se utiliza la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que un lanzamiento resulte número par o sector en blanco? A) B) C) D) E)

7 8 6 8 5 8 4 8 3 8

1

1

3

2

2

3 4

2

57) Un liceo tiene 1.500 alumnos. Si la probabilidad de que un alumno de 1 este liceo esté en 4° Medio es , ¿cuántos alumnos del liceo no están 5 en 4° medio? A)

1.300

B)

1.200

C)

900

D)

600

E)

300

MATEMÁTICA

23 ENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

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58) En un centro de investigación genética el 65% de los investigadores son médicos, el 45% biólogos y el 30% tiene ambas especialidades. Si se selecciona un investigador al azar ¿cuál es la probabilidad de que ese investigador sea médico pero no biólogo? A) B) C) D) E)

7 20 13 20 3 20 1 5 1 2

59) En una región del sur de Chile la lluvia caída durante los cuatro primeros meses del año ha sido: 5 cm, 3 cm, 6 cm y 12 cm. ¿Cuántos centímetros deberán caer en el siguiente mes, para que la media mensual de enero a mayo sea 6,5 cm? A) B) C) D) E)

5,0 5,5 6,0 6,5 7,0

60) Se lanza un dado con 12 caras numeradas del 1 al 12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y mayor que 7? A) B) C) D) E)

1 2 1 3 1 4 1 6 1 7

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61) Al observar la tabla de distribución de frecuencias siguiente, la alternativa falsa es Sueldos (miles de $) 8 – 12 13 – 17 18 – 22 23 – 27 28 – 32 33 – 37 A) B) C) D) E)

Empleados 2 3 5 8 6 4

existen 2 empleados que ganan entre 8 y 12 mil pesos. existen 10 empleados que ganan menos de 23 mil pesos. existen 18 empleados que ganan más de 27 mil pesos. existen 13 empleados que ganan más de 17 mil y menos de 28 mil pesos. el total de empleados considerados en este estudio es de 28.

62) La actividad en el rubro construcción está fuertemente ligada a la actividad económica de nuestro país. De acuerdo al gráfico siguiente, se puede inferir que I) II) III)

entre los años A y B, la economía estuvo estancada (no creció). entre los años B y C la economía cayó. el período comprendido entre los años M y A fue de crecimiento económico.

De estas afirmaciones, es(son) correcta(s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

m2

N° de m2 construidos por año

D) Sólo II y III E)

I, II y III

M

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A

B

C

año

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63) En el gráfico se representa la distribución del número de años que tiene en el Colegio un grupo de estudiantes. De acuerdo con éste, ¿cuál(es) de la siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) La moda es 6 años. II) La mediana tiene el mismo valor que la moda. III) La media aritmética (el promedio) es 5. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E)

I, II y III

Pesosen deelun grupo de de un estudiantes Años Colegio grupo de estudiantes

Número de estudiantes

8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Años en el Colegio

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Instrucciones para las preguntas N° 64 a la N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente; D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000. ¿Cuál es el capital de Q? (1) (2) A) B) C) D) E)

Las partes de P y Q están en razón de 3 : 2. P tiene $ 2.000 más que Q.

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

En este ejemplo usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto: P:Q= (P + Q) : Q = $10.000 : Q = Q=

3 5 5 $

: 2, luego : 2, de donde :2 4.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000 ) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) (1) ó (2), cada una por sí sola.

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64)

La igualdad

a  b

2

 a  b se verifica si

(1)

a y b son números reales positivos

(2)

a,b   y a  b .

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2). D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

65)

María Teresa compró una chaqueta en una liquidación de temporada. ¿Cuánto pagó por su compra? (1) $ 5.000 corresponden al 20% de descuento en el precio de la chaqueta. (2) Antes de la liquidación la chaqueta costaba $ 25.000. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2). D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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66)

En la figura, ¿cuál es la longitud de la circunferencia de centro O?

(1) La altura OD del triángulo AOB mide (2) El

AOB

es equilátero de área

3 cm.

3 cm2.

A) (1) por sí sola. O

B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2). D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

67)

A

D

B

Pedro, Juan y Diego organizaron un evento y deben repartirse los $600.000 que se obtuvieron de utilidad. Si Diego recibe lo mismo que Pedro y Juan juntos, ¿cuánto recibe cada uno? (1) Pedro recibe la mitad de lo que recibe Juan. (2) Diego recibe el triple de lo que recibe Pedro. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2). D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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68)

¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo ABCD de la figura? (1) sen   (2)

1 2

D

C

AC  2  BC



A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2).

A



B

D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

69)

Para que la ecuación de segundo grado ax2  bx  c  0 tenga sus raíces o soluciones iguales debe cumplirse necesariamente que (1) b2  4ac  0 .

(2) el trinomio ax2  bx  c debe ser necesariamente un trinomio cuadrado perfecto con coeficientes enteros. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2). D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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70)

Una caja contiene 100 fichas de colores: blancas, azules y rojas. ¿Cuántas fichas azules hay en la caja? (1) La probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca es

(2) La probabilidad de sacar una ficha roja es

2 . 5

1 . 10

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) ambas juntas, (1) y (2). D) cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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