Ensayo Sobre La Importancia de Los Numeros Complejos

 

ENSAYO SOBRE LA IMPORTANCIA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

YULIANA ANDREA PALACIOS PALOMEQUE

FUNDACION UNIVERSITARIA CLARETIANA- “UNICLARETIANA” FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS MATEMÁTICAS ESPECIALES

2021

 

ENSAYO SOBRE LA IMPORTANCIA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

YULIANA ANDREA PALACIOS PALOMEQUE

ENSAYO - MATEMÁTICAS ESPECIALES

PRESENTADO A: NANCY GONZALEZ RAMIREZ  LIC. EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA, ESPEC. EN ADMINISTRACIÓN DE LA INFORMÁTICA, MAG. EN TECNOLOGÍA EDUCATIVA . FUNDACION UNIVERSITARIA CLARETIANA- “UNICLARETIANA” FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 2021

 

INTRODUCCION

A continuación mediante el presente ensayo, se hablara sobre los números complejos,  pero primero es importante saber que son, los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios. En otras palabras, los números complejos son números que tienen una parte real y una parte imaginaria. Máss adel Má adelan ante te habl hablar arem emos os sobre sobre,, pa para ra que nos nos sirve sirven, n, así como como de las las difer diferent entes es operaciones que se pueden realizar con ellos, en que ramas son más utilizados y sobre su origen e importancia. Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene, se representan en ejes cartesianos, el eje x se denomina como eje real y el eje y como eje imaginario. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario, o en forma polar. Las operaciones fundamentales con números complejos son la suma, resta, multiplicación y división, los números complejos se utilizan en todos lados como en las matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar  las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

 

DESARROLLO

Comenzare por hablar sobre los números complejos, los números complejos son la herramienta herrami enta de trabaj trabajoo del álgebra, análisi análisis, s, así como de ramas de las matemát matemáticas icas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la elec electr trón ónic icaa y la lass tele teleco comu muni nica caci cione ones, s, por su util utilid idad ad par paraa rep repres resent entar ar las las onda ondass electromagnéticas y la corriente eléctrica. La primera persona en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos. Ahora daré una pequeña definición de los números complejos, un numero complejo z es una combinación lineal de la forma z=(a+bi). A su vez el primer primer elemento elemento a se defin definee como part partee real de z, se den denota ota a =Re (z); el segundo elemento elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota b=Im (z). Se le llama uni unida dadd ima magi gina nari riaa al núm númer eroo √-1 y se desi design gnaa por por la letra etra i. Dos Dos com complej plejos os son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos, en donde el eje x se llama eje real y el eje y se llama eje imaginario, al punto (a,b) se llama su afijo.

 

Las operaciones fundamentales con números complejos son la suma, el producto por  escalar,, la multiplicaci escalar multiplicación ón y la relación de igual igualdad, dad, de estas se pueden deducir otras como la re rest staa y la divi divisi sión ón.. El núm númer eroo co comp mple lejjo z=(a z=(a+b +bi) i) pued puedee ser ser repr repres esen enta tado do geométricamente por el punto (a,b) esto es forma binomial, el punto z=(a+bi) también  puede ser expresado en términos de coordenadas ppolares olares (r,ϴ) donde r ≥ 0, por lo tanto a=r  cos ϴ y b=r sen ϴ, la forma polar de los números complejos puede ser utilizada para  proporcionar interpretaciones geométricas de la multiplicación y división, cualquier   potencia de “i” elevada a la “0” potencia dará como resultado “1”, “1 ”, i²= -1. Las potencias de la unidad imaginaria a partir de la potencia de exponente 4 se van repitiendo. Por tanto,  para hallar una potencia de i, se divide el exponente entre 4 y se calcula la potencia de i con exponente el resto de la división. Las aplicaciones de los números complejos en matemáticas se utilizan para la solución de ecuaciones polinomicas, para variable compleja o análisis complejo, para ecuaciones diferenciales y para fractales. En física los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. También son utilizados en la mecánica cuántica, en la relatividad especial y la relatividad general. Los números complejos son importantes, ya que nos permiten darle mucha utilidad, entre esas tenemos: 

En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación relaci ón espacial de los esfuerzos en un sistema o inter internament namentee en un material y  para poner en números el comportamiento compor tamiento de los fluidos.

 

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Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de una máquina-herramienta por medio de números.

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En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

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Los frac fractal tales es son dis diseños eños artíst artístico icoss de inf infini inita ta com comple plejid jidad. ad. En su versión versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

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Los núm números eros com comple plejos jos son usad usados os en los mod modela elami miento entoss mat matemá emátic ticos os de  procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.

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Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha, amplificadores amplificadores de señale señales, s, procesam procesamiento iento digital de señale señales, s, transm transmisión isión eléctrica, centrales hidroeléctricas.

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Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas (par (paraa los arquitect arquitectos os e ingenieros civi civiles), les), estudi estudioo de ondas (par (paraa los los físi físico cos) s),, ad adem emás ás se em empl plea ea en los los es estu tudi dios os conc concer erni nien ente tess a la  propagación del calor.

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En sistem sistemas as de contro control,l, como contro controll de robots indust industriale riales, s, siste sistema ma de navegación navegac ión de buques, cont control rol de aviones, la lanzamie nzamiento nto de cohetes al espac espacio. io. Una her herram ramien ienta ta fund fundame amenta ntall es la llamad llamadaa tra transfo nsforma rmada da de Fou Fourie rierr (est (estaa herramienta se emplea para las aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos.

 

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Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z =

r ei eiφ φ pode podemos mos ppensar ensar en r como la am amplitu plitudd y en φ como la ffase ase

de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de de variabl variablee comple compleja ja de la forma: f (t) = z eiω eiωtt donde ω rep representa resenta llaa frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.

 

CONCLUSIÓN

Los números complejos son importantes ya que le dieron solución a operaciones que decían no tener, los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas pero durante mucho tiempo fueron ignorados ya que parecían extraños y difícil de representar. Los números complejos son utilizados en diferentes ramas por su gran utilidad. Los números complejos contienen tanto a los números reales como a los números imaginarios. En conclusión se puede mencionar que los números complejos son la combinación de números reales con números imaginarios, los cuales nos dan la oportunidad de efectuar  opera ope raci cion ones es pa para ra obt obten ener er re resul sulta tado doss que que puede puede que que sea seann difí difíci cile less de infe inferi rirr con una operación aritmética básica.

 

REFERENCIAS

Colaboradores de Wikipedia. (2021, 15 julio). Número complejo. Wikipedia, la enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo  https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo   Números complejos | Precálculo | Matemáticas. (s. f.). Khan Academy. Recuperado

18 de agosto de 2021, de https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:complex  https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:complex  Rodó, P. (2021, 2 marzo). Números complejos. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/numeros-complejos  https://economipedia.com/definiciones/numeros-complejos