Enlace de Circunferencias

 

T

A

N

G

E

N

C

I

A

S

DEFINICIÓN : Es el punto común entre una recta y una circunferencia o entre dos circunferencias.

 TANGE ANGENCI NCIA A ENT ENTR RE RECTA Y CI CIR RCU CUNF NFE ERENCI NCIA A

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

.

0

.

0

 T

0

.

 T

Dada la circunferencia 0 y un punto T que será el tangente de la recta.

.

0

.

 T

Unir 0 con T.

.  T

Por T recta perpendicular.

La recta perpendicular es la recta tangente a la circunferencia en el punto T.

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

P

0

P

0

.

0

. 1

2

 T

 T

. .

. .

P

0

. 1

2

 T1

Dada la circunferencia 0 y el punto P.

Se une 0 con P y se halla la mediatriz.

P

.

 T1

Desde la mediatriz se traza una circunferencia que pasa por P y es secante a la circunferencia en los puntos T y T1.

Unir P con T y T1.  T y T1 puntos tangentes de las rectas tangentes a la circunferencia..

RECTA TANGENTE A UN ARCO Y UN PUNTO DADO

 T

. .

A

 T  T

 T  T

. .

.

A

. B

Desde T radio cualquiera y nos da A.

Desde A se repite el radio y nos da B.

 T

. .  . C

B

Desde T radio TB y donde corte con el arco inicial obtenemos C.

. .

C

B

Unir T con C y es la recta tangente en T del arco inicial.

 

RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

R1

R 01

01

0

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1.

1

0

2

Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que será el punto centro de la circunferencia que pasa por 0 y 01.

. . .  T1

. .

R1 _ R A

.

 T3

A

01

01

0

B

0

.

B

 T4

.

 T2 Se resta en 01 (  (R R1 - R). Y nos da A y B, desde 01 se une con A y B. Unir O con A y B

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B. Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4). Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas exteriores a las dos circunferencias.

RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

R1

R 0

01

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1.

.

0

1

Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que será el punto centro de la circunferencia que pasa por 0 y 01.

A

. .

 T2

R1+R 0

01

0

 T3

. B

Se suma en 01 (  (R R1 +R). Y dá A y B, desde 01 se une con A y B. Unir O con A y B.

01

2

..  T1

. .

01

 T4

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B. Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4). Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas interiores a las dos circunferencias.

 

ANGENCIAS AS A TR TRES RECTAS DAD ADAS AS  TANGENCI m

s

m

s

. B

e

C

Dadas las rectas m,s y e que se cortan de forma arbitraria.

.

.

e

A

Nos dá los puntos A,B y C. Se trazan los arcos de los ángulos que forman entre sí.

.

.

02

02

.

.

03

03

01

01

.

.

04

04

Se halla las bisectrices y en sus intersecciones están los centros de las cir circunfe cunferencias rencias tangen tangente tes. s.

 Tra raza zarr circ ircu unfere ren ncia ias s tan ange gentes.

 TANGE ANGENCI NCIA A ENT ENTR RE CI CIR RCU CUNFE NFER RENCI NCIAS AS  TANGENCI ANGENCIA A EX EXTERIOR

 TANGENCI ANGENCIA A INT INTE ERIOR

 T

.

.  T  T

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

0

0

. .

 T

P

Dada la circunferencia 0 y el punto P. Desde 0 recta cualquiera que corte a la circunferencia y nos da T, punto tangente de las circunferencias. Se une T con con P.

0

.. .  T

01

P

Se halla la mediatriz entre TP y donde corta la recta que nace de 0 y la mediatriz, obtenemos 01.

.. .

P

 T

01

Pinchando en 01 y radio 01P se traza la circunferencia.

 

DESDE DOS PUNTOS EXTERIORES C

C

.

P

.

P

P1

P

P

A

..

0

C

.

 T1

 T  T

. .. . .   . . . .

0

P1

0

P1

 T

 T1

Se une P y P1. Se halla la mediatriz y en ella se traza una circunferencia de radio cualquiera que pase por P y P1. Siendo secante a 0 en A y B. Se prolonga el segmento AB y PP1 hasta cortarse, dando el punto C.

Desde C rectas tangentes a 0 con los puntos de tangencia T T1.

Se prolonga T0 y nos da 01. Se prolonga T10 y nos da 02. Dado los dos centros con radio 01P y 02P, se trazan las circunferencias buscadas.

 TANGENT ANGENTE ES ENT NTR RE SÍ E INT INTE ERIOR A OTR OTRA

. . . . . . 1

6

2

0

0

. . .

3

5

3

5

B

A 4

.

Dada la circunferencia 0 se ha dividido en el número de6 partes iguales que se quiere inscribir (metodo del hexágono ).

.

D

C

.

3

.

D

. B

.

B

A

Recta perpendicular al eje vertical. Se une 0 con 5 y nos da A. Bisectriz y donde corta al eje vertical, obtenemos B.

.

. . .

5

m

C

.

A m

Desde B perpendicular a 05 y 03. No Nos da C y D.

.

P1

02

B

Dada la circunferencia 0 y los puntos P P1.

01

. . .

0

B,C y D centros de las circunferencia tangentes interio iorr a 0. 0.

 

DESDE UN PUNTO INTERIOR

P

P

.

P

.

0

.

0

0

P1

. 01

P1

.

P1

.

.

Se unen y se hal alllan la media iattriz iz..

Dada la circunferencia 0 y los puntos P, P1.

Donde corte la media iattriz con el segmento 0P1.Centro 01 de la circunferencia a trazar.

CASOS MIXTOS

 TANGENCI ANGENCIAS AS A UNA UNA RE RECTA Y UNA CIR CIRCU CUNF NFE ERENCIA CONOCID CONOCIDO O EL EL PUNT UNTO O DE DE TANGENCI ANGENCIA A

0

0

P

.

.

P

m

m

. A

Dada la circunferencia 0, el punto P y la recta m.

Se une 0 con P, se traz raza a recta recta tangente en P y da A .

02

02

.

. 0

0 P

P

..

01

. A

Por A bisectrices y donde cortan con el segmento 0P, dan los centros 01 y 02.

.. .

01

.

 T1

 T

Con centro en 01 y radio 01P. Con centro en 02 y radio 02P. Se trazan las circunferencias buscadas. Se hallan las tangencias P T T1.

 

ANGENCIAS AS A UNA UNA CIR CIRCU CUNF NFE ERENCI NCIA A  TANGENCI  Y A UNA SEMIRRECTA

03

03

.

.

A

. .. ..

0

r

0

B

m

02

 T1

m

P

C

 T

 T

01

m

P

C

. .. .. C

Desde C rectas tangentes a 0 y nos dan los puntos de tangencia T y T1. Unir T con P y desde C semirrecta perpendicular y donde corta a la per. de P, obtenemos el centro 02,uno de los centros buscados. Se prolonga T10 y donde corta con la perpendicular de P, tenemos el centro 03.

Dada la circunferencia 0, la recta m y el punto P. Por P perpendicular. Se toma un centro y un radio cualquiera (01) siendo secante en A y B a 0. Unir AB y nos da C en m.

02

 T1

.   . . ..

P

Hallados los centros de las circunferencias buscadas sólo queda trazar. Con centro 02 y radio 02 P. Con centro 03 y radio 03 P.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ Y A UN TRIÁNGULO

 T

 T

.

.

 T

02

I

I

.

.

 T

..

0

01

0

.

 T

 T

.

 T

 T

.

. .

. .

45ºº 45

. T

D Por D ángulo de 45º y nos da el centro 0. Con centro en I y radio I0 se traza una circunferencia.

Dado el triángulo ABC. Se halla el Incentro.

.T

Donde corte la circunferencia con las otras bisectrices, obtenemos los centros 01 02. Por los centros perpendiculares para determinar las tangencias.

 T

 T

Con los centros 0 01 02 y radios T. Se trazan las circunferencias.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ Y QUE TENGAN POR CENTROS LOS VÉRTICES DE UN TRIÁNGULO

.

.

0

.

.

.

01

.

02

Bisectriz de los ángulos que forma y da el Incentro del triángulo.

0

.

.

01

Dado el triángulo cuyos vértices son centros de las circunferencias que vamos a trazar.

.

I

.

02

01

0

0

.

.

.

I

 .

.

02

Desde el incentro perpendicular a los lados que determinan las tangencias y los valores de radio.

01

.

02

.

Desde los centros trazar circunferencias tangentes entre sí.

 

E

N

L

A

C

E

S

ENL EN LACES DE RECTA CO CON N RE RECT CTA A ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR UN ARCO DADO m

m

m1

s1

s

Dada las rectas m y s. Perpendiculares entre sí.

0

s

 T1

.

Por m y s paralelas a la distancia del valor de la circunferencia a enlazar (m1 y s1).

0

. .

 T2

Donde se corta m1 y s1. Obtenemos el centro 0 que con radio conocido se traza la circunferencia.

Desde 0 perpendicular a m y s para hallar puntos de tangencias (T1 - T   2). Enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS OBLICUAS POR UN ARCO DADO

m

 T1

m

m1 s1

.

.

.

0 s Dada las rectas m y s. Perpendiculares entre sí.

0  T2

s Donde se corta m1 y s1. Obtenemos el centro 0 que que con radio conocido se traza la circunferencia.

Por m y s paralelas a la distancia del valor de la circunferencia a enlazar (m1 y s1).

Desde 0 perpendicular a m y s para hallar puntos de tangencias (T1 - T   2). Enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR UN ARCO DADO m

 T1

m

.

.

0

s

0

s

 T2

Se traza una perpendicular que corta a las dos rectas. Mediatriz del segmento perpendicular.

Dada las rectas m y s. Paralelas entre sí.

Se traza una circunferencia con centro 0.

Se halla las tangencias T1 y T2. Enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO IGUALES

m

. A

m

.

..

A

A

0

. B

Dadas las semirrectas m y s.

s

.

A

..

01

s

B

Unir A y B. Se divide el segmento en 4 partes iguales.

.. .

B

0  T

..

01

B

Por A y B perpendicular, Hallar tangencias A,B y T. donde corta con las Enlazar. mediatrices obtenemos 0 y 01.

 

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO CONOCIDO UNO DE ELLOS

. A

m

. A

m m1

.. A

m m1

.. .. . A

m

A1

.

B

.

.. . 0

B

s

B

s s1

Dada las semirrectas m y s.

 T

Desde A y B rectas perpendiculares. A m y s se trazan semirrectas paralelas m1 y s1 a la misma distancia que el radio de la circunferencia conocida.

B

s

s

s1

B1

Con centro en A1 y radio el dado se traza la circunferencia conocida. Hallar la mediatriz del segmento A1 y B1. Donde corte con la perpendicular B B1, se obtiene 0.

Con centro en 0 y radio 0B se traza la circunferencia. Se halla las tangencias (A B T) y por último enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO NO CONOCIDOS

A

m

. A

m

. A

m

..

m-s

..

C

s

B

s

C

0 s

B

A

m

s

B

. Se halla la mediatriz m-s. Se une A con B. Se traza una semicircunferencia y en la intersección con la mediatriz nos da el punto C.

.. B

.

01

Dada las semirrectas m y s.

.

C

0

01

Por A y B perpendicular. Por C paralela a la mediatriz del segmento AB y donde corta con las perpendiculares obtenemos los centros 0 y 01.

Con el centro 0 y radio 0B, con centro 01 y radio 01A se trazan las circunferencias.  Y dad dadas as la las s tan ange gencia ias s AB ABC. C. Enlazar.

ENLACE DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA ENLACE DE DE RECTA CON CO N CIR CIRC.PO C.POR R UN AR A RCO IN INTER ERIO IOR R

r

r

r - r1

0

0

.

0

.

m1

.

m1

. 01

. . .

 T

r1 m

0

. r1 01

m

 T1

Dada la circunferencia 0 con radio r y la recta m.

Paralela a m a la distancia valor de radio de la circunferencia que vamos a enlazar. Con centro en 0 (r menos r1).

Donde corte la circunferencia de centro 0 de radio r -r1, con la recta m1, nos da el centro de la circunferencia 01.  Tra raza zarr de desde 01 con radio r1.

Hallar tangencias (T - T1). Enlazar.

 

ENLACE DE RECTA CO CON CIRC.POR UN AR ARCO EX EXT TER ERIO IOR R r

r

.

.

0

r +r1

0

m1 r1

m

0

r1

.

0

. .. .  T

m1

.

01

01

m

 T1 Dada la circunferencia 0 con radio r y la recta m.

Donde corte la circunferencia de centro 0 de radio r +r1, con la recta m1, da el centro de la circunferencia 01.  Tra raza zarr de desde 01 con radio r1.

Paralela a m a la distancia valor de radio de la circunferencia que vamos a enlazar. Con centro en 0 (r más r1).

Hallar tangencias (T - T1). Enlazar.

ENLACE DE RECTA CO CON CIRC. DADO EL PUNTO DE TANGEN GENCIA CIA

r

r

 T

. .

0

 T

 T

. . .

0 m

m

0

 T1

A

UnirT0recta con T. Por tangente a 0 y da el punto A.

Desde A bisectriz del ángulo que forma y donde corte con 0T. Obtenemos el centro 01.  Tra raza zarr 01 con radio 01 T.

01

 T

  . . . .

0

A

Dadam la ycircunferencia recta el punto de 0, la tangencia T.

01

  . . . .

Hallar tangencias y enlazar.

ENLACE DE CIRC. CON UNA SEMIRRECTA m1 r

0

m

.   .  T

A

r

m

A

. .   .

0 r

 T

m

. .   . .

0

m

 T

 T

 T1

01

Dada la semirrecta m y la circunferencia 0.

0

.  . . . 01

Paralela a m y a la misma distancia de r.

En el segmento 0A se halla la mediatriz y donde corte al

Con centro 01 y radio 01 T se traza la circunferencia.

Nos da m1 con else punto A. Se une A con 0y prolonga el segmento AT.

segmento centro 01. AT, obtenemos el

Se obtieneTlos de tangencia y Tpuntos 1. Enlazar.

ENLACE DE CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA ENLACE DE CIRC. SECANTES POR UN ARCO INTERIOR 01

01

.

01

. r1- r2 02

r1

r

01

.

. 02 r2

02

 .

 .

r - r2 0

.

Dadas las circunferencias 0 01, con radios r y r1.

 T

. ..  T1

0

.

Se resta r - r2 y r1 - r2. En su intersección dá el centro 02.

0

.

 Tra raza zarr cir circ cunfere ren ncia de ra radi dio o r2 con centro en 02.

0

.

Hallar tangencias T y T1. Enlazar.

 

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO INTERIOR

.

 T

.

.

r

.

0

0

r1 01

.

.

r2

.

01

r - r2

r1 - r2

.

02

r2 = 4cm.

Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.

. 02

r2 = 4cm.

r2 = 4cm.

Hallar tangencias T y T1. Enlazar.

Se le resta a los radios r2 y te dará su intersección el centro 02.  Tra raza zarr de desde 02 con radio r2.

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR

r +r2

.

.

02

02

r2

.

r

.

.

0

r1 +r2

.

.

0

r1

01

.

. .

 T

 T1

0

01

r2 = 2cm.

01

r2 = 2cm.

r2 = 2cm.

Se le suma a los radios r2 y te dará su intersección el centro 02.  Tra raza zarr desde 02 con radio r2.

Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.

Hallar tangencias T y T1. Enlazar.

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR E INTERIOR

r1

.

.

0

r

01

Dadas las circunferencias 0 01, con radios r y r1.

r +r2

.

0

.

.

02

02

. . .  T1

r2

.

r1- r2

01

Se suma r +r2 y se resta r1 - r2. En su intersección da el centro 02.

. 0

02

.

01

 Tra raza zarr cir circ cunfere ren ncia de ra radi dio o r2 con centro en 02.

. 0

 T

.

01

Hallar tangencias T y T1. Enlazar.

.

 T1

 

ENLAC ACE E DE CIR CIRC. C. POR UN AR A RCO CO CON N O CIDO UN PUNTO PUNTO DE TAN GEN GENCIA CIA ENL

A

A

.

.

P

P

P

.

.

. .

P

. . . ..

02

r1+r

02

r1

 T

0

.   .

01

r

Dada las circunferencias 0 01 con punto en 01.

0

.   .

01

Se une 01 con P y el radio r se le suma y dá A. Se une A con 0.

0

.

.

01

0

01

Se traza mediatriz y donde se corte con el segmento 01 P, obtenemos 02.

Desde 02 y radio 02 P circunferencia. Hallar puntos de tangencia P y T. Enlazar.

ENLACE DE CIRCUNFERENCIAS POR SEGMENTOS 2 Apartir del caso de Arco que pasa por 3 puntos fijos. - Dados X número de puntos -- Unir por segmentos Se comienza siempre con los 2 primeros segmentos de la siguiente manera: Se une las mediatrices de 1-2-3 y nos da 01. Se traza la mediatriz del segmento 3-4. Se une 01 con 3 y donde corta con la mediatriz se obtiene 02 y así  sucesivamente.

  . . .  . . . . . 1

3

0

01

4

02

5

 

C U R V A S

E M P L E A D A S

E N

L A

T É C N I C A  

ÓVALO : Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatros arcos de circunferencia, iguales dos a dos.  Tie  T ien ne dos eje jess de simetrí ría a perp rpe endic icu ula lare ress entre sí. CONOCIDO EL EJE MAYOR Y MENOR. A

A

. . .

. . . . .

E

C

E

D

02

01

C

B

D

02

01

B

03

Dados los ejes AB y CD, se pone una medida arbitraria que nos da E y los centros 01 y 02.

.

04

Se halla la mediatriz del segmento 01 E y donde corta obtenemos el centro 03, que con radio 03 A. Trazamos un arco de circunferencia. 04

A

A

...

...

 T

C

T

01

02

 T

...

...

 T

D

C

T

01

02

 T

 T

 T

.

.

B

B

03

03

Una vez trazado 03 se hace lo mismo en la parte superior del éje menor y nos dará el centro 04 y su arco respectivo. Unimos los centros para determinar los puntos de tangencia.

Enlazar.

.

CONOCIDO EL EJE MAYOR.

A

D

04

01

02

B

...

A

01

02

B

03

Dado el eje mayor AB, se divide en 3 partes iguales y da 01 y 02.

. . . . . 04

 T

A

 T

03

B

 T

. . .

. . . . .

Una vez obtenido todos los centros que forman el óvalo. Se unen los centros para determinar los puntos de tangencias. Se trazan las circunferencias 03 y 04.

A

01

 T

 T

04

 T

 T

02

01

Con centros en 01, 02 y conocido los radios que pasan por A y B se trazan las circunferencias, donde se cortan obtenemos los centros 03 y 04.

02

03

 T

. . . Enlazar.

B

 

CONOCIDO EL EJE MENOR A

A

.

C

. D

0

B

B Se halla la mediatriz y se traza la circunferencia 0. Donde corta la circunferencia con el eje horizontal o mediatriz, obtenemos los puntos C y D.

Dado el eje menor AB.

A

.. .

. ..

.. .

 T

 T  T

C

 T

. ..  T

 T  T

C

D

0

A

D

0

 T

 T

 T

B

B

Se trazan las circunferencias con centros A B . Se une AB con CD, para determinar los puntos de tangencias y los radios de las circunferencias de centro en C y D.

Enlazar.

OVOIDE : Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos desiguales. Tiene un eje de simetría.

CONOCIDO EL ÉJE MENOR. C

A

0

B A

.

E

0

C

.

02

B A

.

01 D

Se traza el eje menor AB. Se traza la mediatriz y una circunferencia que pasa por AB.

Sobre el eje vertical se pone el eje mayor CD. Con centro en 01 y radio 01D, trazamos una de las circunferencias. Con ese mismo radio pinchamos en A y nos da E. Hallamos la mediatriz entre A 01 y cuando corta el eje menor, obtenemos el centro 02.

C

. . .. .

03

0

02

B

A

01

 T

T

D

Con centro en 0 y distancia 02 , lo llevamos al otro lado y da 03. Con centro en 02 y radio 02 A arco. Con centro en 03 y radio 03 A arco. Unimos los centros para determinar los puntos de tangencia.

. . .. .

03

0

01

 T

T

D

 Enlazar.

02

B

 

CONOCIDO EL EJE MENOR

0

A

0

B A

B

0

A

0

B A

. . .

. . .

C

Por A y B arcos valor el diámetro.

Dado el eje menor AB. Mediatríz y centro 0. Se prolonga el eje vertical.

C

 T

 T

B

 T

 T

Donde corta la circunferencia al éje vertical, punto C. Se une AB con C para determinar las tangencias. Por C circunferencia.

Obtenidos los puntos de tangencias se enlaza.

CONOCIDO EL EJE MAYOR A

.

. . . . . . . . . . . . .

1

r

r  T

02

0 2

1

r

r

 T

r

03 02

 T

 T

0 2

3

0

3

4

4

5

01

5

 T

B

Dado el eje AB. Se divide en 6 partes iguales y en el punto dos se encuentra el centro 0 de radio 2-4.

 T

 T

El radio 2-4 se repite a cada lado y nos da 03 y 04. Unimos los centros con el punto 5 =01, para determinar los puntos de tangencias.

 T

Por último enlazar.

ESPIRAL : Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta a la vez que ésta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad ángular constante. Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una vuelta completa. 1

8

N 7

.

2

...

. 6

. . . 5

3

4

Construcción de una espiral de paso N. Se traza un segmento igual igual a N . Se divide el segmento en un número cualquiera de partes iguales. Haciéndo centro en 0 se trazan circunferencias concéntricas. Se divide las circunferencias y la intersección de los radios con las circunferencias dan los puntos de la espiral. Sólo queda unir los puntos.

03

 

VOLUTA : Es la curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendo los centros de los arcos los vértices de un polígono ó un segmento dado.

4 3

1 2

1

0 2

3

1

 

C

U

R

V

A

S

C

Ó

N

I

C

A

S

CIRCUNFERENCIA : Es la figura que resulta de cortar un plano perpendicular al eje de un cono y a las dos ramas por debajo o por encima.

ELIPSE : Es la figura figura que result resulta a de cortar un plano no perpendicular al eje de un un cono cono y a las las dos ramas por debajo o por encima.

HIPÉRBO HIPÉRB O LA : Es la figura que resulta de cortar un plano a las dos ramas por debajo y por encima del vértice y al mismo tiempo.Siendo dicho plano paralelo al eje.

PARÁBOLA : Es la figura que resulta de cortar un plano a una de las ramas por debajo o por encima del vértice siendo paralelo a la otra rama.

P P

P

P

CIRCUN FERENCIA

E

L

ELEME MENT NTOS OS::

ELIPSE

I

HIPÉRBO LA

P

S

E

P

EJE MAYOR MAYOR ( A - A´) A´) EJE EJ E MENO MENO R ( B -B´ ) FOCOS ( F1 - F2 )

COMO HALLAR EL EJ E MENO R

COMO HALLAR LO S FO CO S

.

B

B

A0 A

PARÁBO LA

0 F1

F2

A´

A

.

0

F1

. F2

A´

A0

B´

.

Si nos dán el eje mayor (A-A´) y los focos. Hallamos la mediatriz del éje mayor y pinchando en cualquier de los focos y radio A0, donde corte con la mediatriz determinamos el eje menor (B-B´).

B´ Si nos dan los ejes y desconocemos los focos, para hallarlos se pincha en B´ y distancia de radio A0 donde corte al eje mayor obtenemos los focos.

 

CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS A - 1 PINCHANDO EN F1 FORMULA A APLICAR: A´- 1 PINCHANDO EN F2

B

.

1

A

F1

B 1

.. .

0

2 3

1

A´ A F1

F2

2

2 3 F2 A´

A

4 5

F1

6

F2

A´

1

1

2 3

B´

Dados el eje mayor (A-A´), el eje menor (B-B´) y los focos (F1-F2). Entre F1 y 0 determinamos diferentes puntos de forma arbitraria.

B

1

A´1

A1

B´

3

B´

Siguiendo el paso anterior se realiza con los restantes puntos. Lo mismo con los puntos del lado derecho de la figura. Luego sólo queda enlazar dichos puntos con los puntos que determinan los ejes y obtendremos la elipse.

Se toma la distancia A1, se pincha en F1 y se hace dos arcos por arriba y por debajo. Se toma la distancia A´1, se pincha en F2 y se hace dos arcos por arriba y por debajo. Donde se corten los arcos obtenemos el punto buscado por arriba y por debajo.

CONSTRUCCIÓN POR EJES

B

 . A´

. ..

D

A

A´

.

0

3 B´

Dados los ejes de la elipse, con centro en 0 se trazan dos circunferencias concéntricas que pasan por los ejes. Desde el centro de forma arbitraria se trazan radios ó diámetros. Los radios cortan a las circunferencias en CyD. Para hallar el punto se traza por C perpendicular al eje menor, por D perpendicular al eje mayor, donde se corten obtenemos el punto buscado.

.

B

1

2

. 0

.

1

C

B

 .

.

4

A

B´

Siguiendo el paso anterior se trazan tantos puntos como necesitemos para la formación de la figura.

A´

.

A

B´

Luego sólo queda unír los puntos con los ejes y obtenemos la elipse. Se recomienda 4 puntos por cada cuarto de circunferencia.

 

H

I

P

ELEMENTOS:

É

R

B

EJE ( A - A´) VÉRTICES ( B -B´ ) FOCOS ( F1 - F2 ) XZ ( Asintotas )

O

L

A

 

A - 1 PINCHANDO EN F1 FORMULA A APLICAR: A´- 1 PINCHANDO EN F2

CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS

P

X

X

. . .

3

6 2

1

F1 3

2 1

.

A

A´

5 1 F1

F2 3

.

.

A

2 1

A´

1

1

4 F2 4

6

4

2

5

3

Z

5

6

Z Dados el eje (A-A´), los focos (F1-F2) y las axintotas (Z-X). Desde los focos hacia la izquierda y derecha respectivamente se van tomando puntos arbitrariamente. Se tom toma a la dist di stancia ancia A1, A 1, se pincha en F1 y se hace dos arcos por arriba y por debajo. Se toma la distancia A´1, se pincha en F2 y se hace dos arcos por arriba y por debajo. Donde se corten los arcos obtenemos el punto buscado por arriba y por debajo

P

A

R

Á

B

Siguiendo el paso anterior se realiza con los restantes puntos. Lo mismo con los puntos del lado derecho de la figura. Luego sólo queda enlazar dichos puntos con los puntos que determinan el eje y obtenemos la hipérbola.

O

L

A

 

ELEME MENT NTOS: OS: FOCO ( F ) PUNTO ( A ) Directriz ( D )

P

Eje Ej e

Eje Ej e

Eje H

F

. H

A

. .

1

F

.

A

Directriz

0 A0 =AF Dada la directriz y la perpendicular en 0 el eje de la parábola. Se traza sobre el eje la distancia A0 y a la misma distancia encontramos el foco.

h

3

3

H

1

2 H

Directriz

0

Desde A se trazan perpendicular (H) de forma arbitraria se determina la distancia entre dicha recta y la directriz , con esa medida se lleva al foco y se traza el arco que corta a (H) y da los puntos para trazar la parábola (1).

.

1

h Directriz

2

F A

1

h h

0

Siguiendo los pasos anteriores , obtendremos los restantes puntos para determinar la parábola. Se recomienda 4 perpendiculares.

 

POR UN PUNTO DADO RECTA TANGENTE E

L

I

P

S

E

P A R Á B O L A

 T  T

..

 T  T

R

R

.

 .  T

F F1

H I P É R B O L A

F2

.

.

F1

.

F2

. R

Desde el punto T tangente dado, se une con los focos, se halla la bisectriz y perpendicular perpendicul ar por el punto T y es la recta R buscada.

Desde el punto T tangente dado, se une con el foco y desde T perpendicular a la directriz, se halla la bisectriz que es la recta R buscada.

Desde el punto T tangente dado, se une con los focos, se halla la bisectriz que es la recta R buscada.