Enfriamiento de Newton

 

F´ısi ısica ca Computa Com putacio cional nal I

Sesi´  on 03  14 de mayo de 2015

Reporte de la sesi´ on on En esta sesi´oon n comenzamo comenzamoss a utilizar m´etodos etodo s num´eericos ricos para resolver ecuaciones diferenciales. El primero de ellos y m´aass sencillo, es el m´eetodo todo de Euler. Para complemen complementar tar el enlace proporcionado en la sesi´oon, n, utiliz´e el libro que incluyo en la bibliog bibliograf raf´´ıa. Al leer la informaci´on, on, hice un breve resumen. Esto me ayud´o a escribir la especificaci´on on correspondiente para guiarme aall hacer el programa en Fortran. Prob´e el correcto funcionamiento del programa con el ejemplo que indica el libro que consult´e y despues lo aplique a la ley de enfriamiento de Newton, con distintos anchos de paso. Agrego las dos especificaciones correspondientess al m´eetodo correspondiente todo de Euler y a la Ley de enfriamien enfriamiento. to. Paraa segui Par seguirr adqui adquiriend riendoo la habili habilidad dad de progr programar amar en Phy Phyton, ton, reso resolv lv´´ı el proble problema ma en ese entorno de programaci´oon. n. En la carpeta de archivos se incluyen los archivos de datos arrojados por el programa. Cada uno nombrado por el valor del ancho de paso correspondiente.

M´ eto et o do de Eule Euler r Especificaci´ o on n Se pretende crear un programa para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias numericamente. El m´etodo eto do num´eerico rico a usa usarr es el de Eule Euler. r. Sigue la siguiente estructura: Nuevo valor   =   valor anterior   + ( pendiente  pendiente   x  ancho de paso) paso) Se toma como punto de partida un valor de la funcion conocida para un cierto valor de la variable independiente. ENTRADA: l´ımite inferior inferior,, l´ımite superi superior, or, valor inicial inicial,, tama tama˜ n no ˜ o de paso SALIDA: valores aproximados de la funci´on on 1. Obtener l´ımites de integra integraci´ ci´on on 2. Obte Obtener ner va valor lor inicia iniciall 3. Obtener tama˜ n noo de paso 4. Calcular numero de pasos - (l´ (l´ımite superi superior or - l´ımite inferior) inferior)/ancho /ancho de paso 1

 

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Sesi´oon n 03

5. Calcular primer valor de la funci´on on - primer valor de la funci´oon n = valor inicial + pendiente de la funci´oon n x ancho de paso 6. Calcular dem´aass valores de la funci´oon n por cada paso - valores de la funci´oon n = valor anterior + pendiente x ancho de paso 7. Mostrar valores de la funci´on on 8. Crear archivo de texto con los valores de la funci´on 9. Terminar

Pseudoc´ o odigo digo 1. Pedir l´ıımites mites de iintegraci´ ntegraci´oon n (a, b) 2. Pedir valor inicial (yi (yi)) 3. Pedir tama˜n noo de paso ((h h) 4. Calcular n´u umero mero de pasos ((n n) (b − a  − a))/h 5. Mostrar primer valor de la funci´oon n en el tiempo 0(t,yi 0(t,yi)) 6. Calcular valores de la funci´on on y   =   y   +   phi phi((x) ∗ h  ∗ h x = x + h 7. Mostrar  Mostrar   y 8. Abrir archivo de datos 9. Escribir  Escribir   y 10. Cer Cerrar rar archi archivo vo 11. Terminar

Ley de Enfriamiento de Newton Especificaci´ o on n Se pretende utilizar el m´eetodo todo de Euler para resolver un problema de Ley de enfriamiento dT (t) dT (   = −  −k k (T  T ((t) − T   − T m ) dt En un intervalo de tiempo de 0 a 100; temperatura del ambiente de 20 grados centigrados, temperatura inicial de 100 grados centigrados, constante k constante  k =  = 0.07. Utilizando anchos de paso de 2,5 y 10. Mar´ııaa Fernanda More Moreno no L´opez

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Soluci´ o on n an anal´ al´ ııtic t ica a Integrar la ecuaci´oon n diferencial y resolver para para   T : T :

 

  T 

T o

dT    =  −k  −k (T   − T m )

ln| ln|

 T   − T m o

 

 t

0

|  =  = −  −kt kt

m

T   −  − T   T  T  T    = e −kt (T o −  − T   T m ) + T  + T m ENTRADA: tiempo inicial, tiempo final, temperatura inicial, tama˜n noo de paso SALIDA: temperaturas aproximadas 1. Obte Obtener ner temperat temperatura ura del amb ambien iente te 2. Obtener valor de la constante 3. Obte Obtener ner inte interv rvalo alo de tiem tiempo po 4. Obte Obtener ner temperat temperatura ura inicial 5. Obtener ancho de paso 6. Calcular n´u umero mero de pasos - (l´ (l´ımite superi superior or - l´ımite inferior) inferior)/ancho /ancho de paso 7. Mostrar temperatura inicial en el tiempo 0 8. Calcular valores de la funci´on on - valores de la funci´oon n = valor anterior + pendiente x ancho de paso 9. Mostrar valores de la funci´on on 10. Crear archivo de datos 11. Terminar

Pseudoc´ o odigo digo 1. Pe Pedir dir temperat temperatura ura del ambien ambiente te ((T T r) 2. Leer  Leer   T r 3. Pedir valor de la constante (k ( k) 4. Leer  Leer   k 5. Pedir intervalo de tiempo (a, (a, b) Mar´ııaa Fernanda More Moreno no L´opez

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6. Leer  Leer   a, b 7. Pedir temperatura inicial (T (T i) 8. Leer  Leer   T i 9. Pedir tama˜n noo de paso ((h h) 10. Leer  Leer   h 11. Calcular n´u umero mero de pasos ((n n)   (b−a) n  = h 12. Mostrar temperatura inicial en el tiempo 0(t,T 0( t,T i) i) 13. Calcular valores de la funci´on on   dT  T   T    =   T i   + dt h T   T    =   T i tiempo   =   tiempo   +   h 14. Mostrar  Mostrar   T  15. Abrir archivo de datos 16. Escribir  Escribir   T  17. Cer Cerrar rar archi archivo vo 18. Terminar  100 h=2 h=5 h = 10 Soluciˆ‡n analˆ›tica

 90

 80

 70

 60

 50

 40

 30

 20  0

20

40

60

80

100

Figura 1: Gr´aaficas ficas para los tres anchos de paso.

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Bibliograf´ıa 1. Chapr Chapra,Can a,Canale, ale,M´eetodos tod os num´ nu m´ ericos er icos para inge in geni nieros  eros , 5ta edici´ oon, n, 2007. 2. Rosetta code,Euler Method  link: http://rosett http:/ /rosettacode.o acode.org/wiki rg/wiki/Euler /Euler method

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