Energia

 

2.5- La figura representa la ladera de una montaña, por la que se desliza con rozamiento despreciable un esquiador esquiador de 80 kg. Se sabe que pasa por el punto A con una velocidad de 5 m/s, y pasa por el punto C con una velocidad de 10 m/s. Determinar la energía potencial gravitatoria, la energía cinética y la energía mecánica del esquiador en los puntos indicados. Hallar la distancia que necesitará para detenerse en la planicie horizontal, si a partir del punto G actúa una fuerza de rozamiento cuya intensidad constante es 500 N.  N.  

Este es un ejercicio archi-típico de los que los físicos y profesores de física llamamos:ejercicios de montaña rusa, creo que no hace falta que explique por qué. La idea general es que vincules --de de a dos-- estados, momentos, situaciones o como quieras llamarlos y los compares energéticamente... dos siempre de a dos. dos. En principio conviene elegir para la comparación algún estado en que puedas conocer el valor de la energía mecánica, en nuestro caso el punto C, ya que nos ofrecen datos suficientes para conocerlo. Fui volcando toda la información en una tabla. Eso nos va a permitir ordenar la búsqueda y la obtención de información. Las energías potenciales y las cinéticas las calculé así, para cada altura y cada velocidad de cada posición cualesquiera ( N )):: E PN  PN = m g hN   E CN  CN  = ½ m v  N  N²    

Fijate si coincidís conmigo en los valores que consigné en la tabla.

A 

B 

C 

D 

E 

G 

H 

h (m)

7

9

3

7

5

5

E P P   (kJ) 

5,6   5,6

7,2   7,2

2,4   2,4

5,6   5,6

4 

4 

v (m/s)

5

10

0

E CC    (kJ) 

1 

4 

0 

11,2   11,2

4 

E M M   (kJ) 

Ahora, en todo el recorrido hay dos lugares solos en los que la informacion suministrada permite calcular la energía mecánica: el C y el H (te coloreé sus columnas). De modo que las energías mecánicas valen... E M MC  C  = E  C CC  C  + E  PC  PC   E M MC  C  = 4 kJ  + 7,2 kJ   E M MC  C  = 11,2 kJ  

Desde A hasta G el viaje es conservativo; eso quiere decir que aunque la altura (y por lo tanto la energía potencial) y la velocidad (la energía cinética) varíen... la energía mecánica se mantiene constante. A  h (m)

B 

C 

D 

E 

G 

H 

7

9

3

7

5

5

Por lo tanto las energías mecánicas de cualquiera de los otros instantes (antes de ingresar al tramo con rozamiento)

 

E P P   (kJ) 

5,6   5,6

7,2   7,2

2,4   2,4

5,6   5,6

4 

4 

v (m/s)

5

10

0

E C  C    (kJ) 

1 

4 

0 

E M  M  (kJ) 

11,2   11,2

11,2   11,2

11,2   11,2

11,2   11,2

11,2   11,2

11,2   11,2

4 

debe valer lo mismo, 11,2 kJ, y eso es lo que volqué a la tabla (y lo coloreé en rosa). Fijate qué patente resulta la conservación de la energía mecánica hasta G.

Conociendo el valor de la energía mecánica y alguna de sus componentes (cinética o potencial se puede conocer la otra). Te muestro dos ejemplos: E PPA A = E  M MA A — E  C CA A = 11,2 kJ  — 1 kJ  = 10,2 kJ   E CCB B = E  M MA A — E  P PB B = 11,2 kJ  — 5,6 kJ  = 5,6 kJ  

h (m)

A 

B 

C 

D 

E 

G 

H 

12,75

7

9

3

7

5

5

5,6   5,6

4 

4 

E P 10,2   5,6 5,6   P   (kJ)  10,2

7,2   2,4 7,2 2,4  

v (m/s)

5

11,8

10

14,8 11,8 13,4

0

E C  C    (kJ) 

1 

5,6   5,6

4 

8,8   8,8

0 

5,6   7,2 5,6 7,2  

E M  11,2   11,2 11,2   11,2 11,2   11,2 11,2   11,2 11,2   11,2 11,2   M  (kJ)  11,2

4 

Volqué toda esa información nueva a la tabla (y la pinté de verde). Además, conociendo las energías cinéticas o las potenciales, puedo calcular las velocidades y las alturas, respectivamente. respectivame nte. Lo hice, aunque el enunciado no lo pide, y lo volqué en la tabla (también en verde).

Finalmente, te darás cuenta que entre el punto G y el H, el esquiador pierde (a manos del trabajo del rozamiento) 7,2 kJ . No te compadezcas del esquiador que lo hace a propósito colocando sus esquíes en forma de cuña, para no estrolarse contra el resto de los turistas. Lo cierto es que sabiendo que el planteo de esa variación de energía nos permite encontrar la distancia GH, ΔX GH  GH .  ΔE MGH  MGH =

W RozGH  RozGH  

E M  X GH  MH  H — E  M MG  G  = Roz .  Δ GH . cos 180º  —

7,2 kJ  =

—

500 N  . ΔX GH  GH  

 ΔX GH  GH =

14,4 m 

Para terminar... mirá lo que te traje. Un gráfico de energía a lo largo del recorrido. Analizalo y aprovechalo, mirá que me llevó como media hora hacerlo.

 

 

DISCUSION: Los resultados impresos en la guía difieren de los que yo obtuve. El motivo es que eligieron (y lo consignaron) un nivel cero para las alturas diferente del que utilicé yo. El nuestro fue inducido por los datos del enunciado, y me imagino que es el mismo que hubieras elegido vos. Pero la elección de los autores de la guía que pusieron el cero en el nivel de G y H conlleva una enseñanza importante: los valores de las energías son relativos. Así y todo las alturas relativas y las velocidades coinciden con las nuestras... y eso es independiente del SR  SR que que cada uno haya elegido.

2.16 - Una varilla rígida de masa despreciable y de 80 cm de longitud puede girar en un plano vertical, alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos, mientras que al otro extremo está fijo un contrapeso de 2 kg. El contrapeso es lanzado hacia abajo, desde la posición A indicada en la figura.  figura.   a- Determinar el vector velocidad en el punto A, si al girar con rozamiento despreciable la varilla se detuvo en posición vertical D. b- Determinar qué fuerza ejerce la varilla sobre el contrapeso, cuando éste pasa por las posiciones B, C y D, en ese caso. c- El contrapeso se lanza desde el punto A con la misma velocidad que antes, pero ahora el rozamiento ro zamiento en el eje hace que la varilla se detenga en posición horizontal. Determinar el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el recorrido AC.  AC.  

 

Lo importante antes de resolver este ejercicio es darse cuenta de que no hay ninguna fuerza no conservativa actuando. El eje al cual está unida la varilla le permite girar libremente, no le comunica ninguna furza de rotación, sólo la sostiene, ¿está claro? Si es así, ya podés anticipar que el trabajo de todas las fuerzas no conservativas en cualquier intervalo considerado, será nulo. W Fnc0A Fnc0A = 0 

Y, por lo tanto, la energía mecánica del contrapeso valdrá lo mismo en cualquier instante y en cualquier posición. Comparemos las energías mecánicas en  A y en D. E M MA A = E  M MD D  E CCA A + E  P PA A = E  C CD D + E  P PD D  ½ m v   A² + m g h A = ½ m v D² + m g hD 

Fijate que como energías potenciales sólo puse las potenciales gravitatorias, ya que al no haber resortes o elásticos unidos al contrapeso, no puede tener energía potencial elástica. Por otro lado podemos tirar la energía cinética en D, ya que es un dato del enunciado que la velocidad en ese punto vale cero. Y por último podemos tomar el cero de las alturas en la posición de  A (h A = 0), con lo cual su energía potencial se anula y la altura de D resulta igual al largo de la varilla, L. ½ m v   A² = m g L   ½ v   A² = g L   v   )½   A = ( 2 g L ) ½ v  10 m /   s² . 0,8 m )    A = ( 2 . 10

 s  v   A = 4 m / 

Vamos a la pregunta siguiente: b- Determinar qué fuerza ejerce la varilla sobre el contrapeso, cuando éste pasa por las posiciones B, C y D, en ese caso. Tené presente que la varilla no puede hacer sobre el contrapeso fuerzas laterales, solo puede hacer fuerzas que tengan la misma dirección que la varilla, ya sea hacia afura o hacia adentro. En los tres casos la respuesta nos la va a dar la dinámica (se trata de un movimiento circular) a través de la Ley de Newton. La aceleración centrípeta la voy a expresar en los tres casos como: ac  = v² / r = v² / L . Acá van los 3 casos. Primero tenemos que conocer la velocidad con la que pasa por B. E M M MB B  MA A = E  E CCA A + E  P PA A = E  C CB B + E  P PB B  ½ m v   A² + m g h A = ½ m v B² + m g h B 

Tomemos el cero de las alturas en el mismo lugar que antes. Y cancelemos la masa.

 

½ v   A² = ½ v B²

—

g L 

Acordate que v   A² = 2 g L , entonces: v B² = 4 g L  

Ahora sí, vamos a Newton:  Σ F

= m a cB 

F B — P = m v B²/ L  F B = m g + m 4 g L / L  F B = m g + m 4 g   F B = 5 m g    s²  F B = 5 . 2 kg . 10 m / 

F B = 100 N  

En la posición C no cabe duda que la velocidad es igual a la velocidad en A, ya que se encuentran a la misma altura. La ecuación de Newton para las fuerzas centrípetas, centrípetas, dirá:  ΣF = m acC  

F CC   = m v CC  ²/ ²/ L  F CC   = m v   A²/ L  F CC   = m 2 g L / L  F CC   = m 2 g   F CC   = 40 N  

En la posición D la velocidad vale cero (dato del enunciado), de modo que se nos pone muy fácil.  ΣF = m aD 

P — F D = 0  F D = m . g 

F D = 20 N  

 

Ahora viene la última pregunta. ¿Todavía estas aqui? c- El contrapeso se lanza desde el punto A con la misma velocidad que antes, pero ahora el rozamiento en el eje hace que la varilla se detenga en posición horizontal. Determinar el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el recorrido AC.  AC.   La nueva posición la voy a llamar C' C'.. Entonces... W FncAC'  FncAC' = E  M MC'  C'  —  E  M MA A 

Acordate que pusimos el cero de las alturas en A. W FncAC'  FncAC' = 0 — ½ m v   A²  W FncAC'  FncAC' =

— ½

W FncAC'  FncAC' =

— 

m 2 g L 

m g L 

W FncAC'  FncAC' =

— 

16 J