ENERGIA DE DEFORMACIÓN

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 

En la figura se observa una barra de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga axial P que se incrementa lentamente.

 B

C 

 A

 L  B

 x

C 

 P

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 

En la figura se observa una barra de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga axial P que se incrementa lentamente.

 B

C 

 A

 L  B

 x

C 

 P

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 



 P Graficando la magnitud de la carga  x contra la deformación de la barra se obtiene un diagrama carga BC  de deformación que es característico la barra

 d U  realizado El trabajo elemental dU   P por la carga cuando la barra se  dx  d x dad alarga alarga una pequeña pequeña cantidad canti es igual al producto de la  P magnitud de  dx  d x la carga y del pequeño alargamiento . Se tiene:

 dU   P * dx

 P

 x

0

 P U    Área  P

0

 x

 x1

 dx

 

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 

El trabajo realizado por la carga P cuando se le aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de energía asociada con la deformación de la barra. Esta energía es la energía de deformación  de la barra. Por definición:  U   Energía de deformación

 x1



0

 Pdx

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 

El trabajo se transforma parcial o totalmente en energía potencial de deformación Ley de Hooke

 P

U  

 P

0

   f 

 

 P *   2

 PL     AE

 P * P * L  P 2 * L  EA 2 U     2 EA 2 EA 2 L

 

Energía se disipa en forma de calor Deformación permanente

 

 

DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 

Es igual a la relación entre la Energía de deformación y el volumen del elemento y se designará por lauletra . Se tiene entonces: U  u

V 

 

 x1



 Pdx U  0 u   V   A * L 0

 x1  Pdx



0

 AL

  u

Densidad de Energía de u  deformación

 1



0

  d  

MÓDULO DE TENACIDAD 

Es la densidad de energía del material cuando llega a la rotura, nos da la idea de la ductilidad de un material.  

RUPTUR A

u

0

u1

Módulo de Tenacida  u2 d

 

 

RUPTUR A

RUPTUR A u2

u1

 

 

0

> ductilidad

0

< ductilidad

 

MÓDULO DE RESILIENCIA 



Es la densidad de energía de deformación que el material puede absorber sin fluir. La capacidad de una estructura para soportar una carga de impacto sin deformase en forma permanente depende de la tenacidad y de la resiliencia del material utilizado.  

u

  f 

u

Módulo de Resiliencia 0

  f 

  f    2

  f   f  2 E 

2



  f 

2 E 

 



Módulo de Resiliencia

u 

 2f  2 E

ENERGÍA DE DEFORMACION ELÁSTICA PARA ESFUERZOS NORMALES En un elemento estructural con distribución de esfuerzos no uniforme, la densidadu se define considerando un V  de volumen pequeño elemento de material .



 

u

 dU   dV 

U   0

   dV  2

 

Energía de deformación elástica bajo esfuerzos uniaxiales 



  dU   udV 

U  

 2

  E dV  2

Esto se usa para el rango elástico antes de llegar a la

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA BAJO ESFUERZOS CORTANTES 

Cuando un material está sometido a esfuerzo cortante   plano la densidad de energía de deformación en un punto dado se   expresa:  Ley  de  Hooke (En el rango elástico)

   G *  



u   d  

G 0

  u

u

  *  

u

dU 

2

dV 

u



Energía de deformación elástica bajo esfuerzos cortantes

 

  es la deformación   cortante correspondiente a

2

2G

 dU   udV  U  

V 

 2

 dV  2G

  A ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA  



.

Cargas Axiales Momentos Flectores

Energía de deformación bajo carga axial Si un elemento de longitud L y área transversal se encuentra sujeto a una carga axial siendo el esfuerzo normal o axial P y se tienen en cuenta las  / A se obtiene: relaciones entre tensión normal σ = P   dx

v 

 P2

 P3

 x

  

 A x  v 

 P1

 P x 

 L

U  



2

 P x  2 E  A

 dx





......... *

 A x 

 P x 

 dx

 L

 P x 

 dV   A x dx 

Energía de deformación bajo carga axial 

Para una carga constante y sección constante U  



0

A

 L

 P

U  

U  

 P 2

 L

 dx

2 E  A

 P

2

 L

 x 2 E  A 0  P 2 L

Sabiendo que también se puede llegar con la expresión general (*)

2 E  A

Ejemplo

 

Para una carga constante y sección constante  A 1

 A

2

 P1

 P2

U  

P  P   L 2

1

2

2 EA 1

1

2



P2 * L2 2 EA 2

  A ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA 

Energía de deformación bajo momentos flectores  y W  x 

 Pi

 M  x 

 x

 x



Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado por:   

 M  x  * y  I 

Energía de deformación bajo momentos flectores  y

  

 y

 dA

 y

 M  x 

 E . N   x

 dx

Esfuerzo varía en cada diferencial de área  dV  dA* dx

U  

 V 

 

2



dV 

2 E 

  E  2

 L A

 1  M  x  U     L   2 E   I 



U  

1  M  x  y 

2

2

  y dA * dx  A

 I 

2

 dAdx 

 I 





2



U  

  L

1 2 E 

 M  x 

2

2

 I 

* Idx

 U  

1

 M  x 

  E  2

 L

2

 I 

* dx

Energía de deformación bajo momentos flectores Problema:



 PL

P

Solución: U  

 L

 P

U    M  x 

 P

 M  x   PX   PL

  E 2

 PX   PL 2 * dx  I 

 L

 PL

 x

1

 P  X    PXPL  P  L  dx   EI   1

2

2

2

2 2

2

 L  L  L   3 2  L 1  2  X  2  X  2 2 U    P  2 P  L  P  L  X   0 2 EI   3 2 0 0   2  2  L3  2  L 2 2 U    2 P  L  P  L  L  P 2 EI   3 2  

1

2 3

U  

 P  L

6 EI 

  A ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA  



.

Torsión Fuerza Cortante

Energía de deformación bajo torsión Sección Circular

  

 d   

  

T *    J 

U  



1

 2 dV  2G

Energía de deformación bajo torsión 

v 

T 3

T 2

T 1 T  x

La energía de deformación bajo torsión se define: 2

T  x



U    L

U  

  

T  x  *  

*

T  x *  2

2G



2

 J  x 

V 

 dx

 x

1

1

2G  L R x 

* 2    d     dx

2

*

T  x   J 2 x 

3

* 2  d     dx

 J  x 

 dV   2    d    * dx     

 dA

 J  x     T  x  1  U      2   d    dx *   L 2G  J  x   R   x     2



U  

  L

2

1 2G



2

*

T  x   J  x 

dx

2

  A ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA 

.

Energía de deformación bajo fuerza cortante Q

 A  b h / 2   y   y  E . N   x

 b   h 

 y

y

 x  h / 2

 h / 2   y   1  h / 2   y  2

2

 Q   A * y      y  2   2   

 t  b

 h / 2

 y   y 

,

  

 I  

,

2

1

2

 b h3



V  x  * b / 2  h / 22   y 2 1

 b * h3 * b

12

,

12



 dV   bdy * dx

   

6V  x  3

 bh

 h /   2

2

  y 2



Energía de deformación bajo fuerza cortante 2

 1  6V  x    2 2  h / 2   y   dV  U    dV   U    3 2G 2G   bh  V  V  2







2  36V  x  2 2  U    h / 2   y  2G   b 2 h6  V 





1

2

U  

18V  x 

 Gb  h 2

6

 h

 / 2



2



  b dy dx 

4  2 h / 2 2  y 2   y 4  b dy dx

V 

  U   6 Gb h    L



U  



2

18V  x 

  h4  h2    2  h / 2   16  h / 2



 4 2  h  h   y  6  16 2 Gb h  2

18V  x 

*

 y

   *  y   y  dy  dx     2

3

3



 y

5

5

4

  dx   h / 2  

 h / 2

2

U  

18V  x 

 Gb h  L

6

*

1

 h5 dx 

30

0.6

Gbh

V x dx 2

Energía de deformación bajo fuerza cortante 2

U  

18V  x 

 Gb h

 L

6

*

1 30

U  

h dx  5

0.6



GA  L

0.6

Gbh



V  x  dx 2

V  x  dx 2

Energía de deformación elástica bajo fuerza cortante

Ejemplo 1 

Problema: Hallar la Energía de deformación del sistema  A1  90 mm 2

 F1

 E  20 0GPa  F x  0  F1Cos37  F2Cos37   F1  F2

 L1  1.5 m 0.9 m º

37

0.9 m

12 KN 

12 KN 

 A2  150 mm

2

 F2

 L2  1.5 m

3   3   F1     F1   12   F1  10 KN  ,  F2  10 KN 

 5  P 2 * L U    2 EA

 5 

U   6 67 N * m

 10000  x 1.50  x 1.50 U    9 9 6 6 2  x 200  x 10  x 90  x 10 2  x 200 x 10  x 150  x 10 10000

2



 U   6 67  joule

2

Ejemplo 2 

Problema: Calcular la Energía de deformación para una carga puntual.  P  V    

Primer tramo  P V  x  

  M      P / 2

2

 P / 2

Segundo tramo  P

 P / 2

 

V  x 

V  x   



2

 P / 2

Momentos por tramos: Primer tramo  M  x 

Segundo tramo  M  x   P / 2 X 

 L

 M  x   P / 2 X  P  X  L / 2

2

 P / 2  x

 P

 M  x 

 P / 2

Ejemplo 2 

La energía debida a  U  

 L

1

 M  x2 dx 2 EI 

 L / 2 1   P   2



0

:

 L 1  P / 2 x  P  x  L / 2  2 dx   x   dx   L 2 EI   2   2 EI 



2

 P 2  X 3 U   8 EI  3

 L / 2

Operando :

0

 L 1  P 2   L  2 EI   4 



2

 P 2 L3 U    96 EI 

2  L  X   dx  2

Esto es debido a  normales

Ejemplo 2 

La energía debida  a U   U  

0.6

G * A 0.6

 *

V  x2 dx  U    P 2  L

G * A 4 2 0.15 P  L U   GA

*

2

*2

: 0.6

G * A

 L / 2   P   2



0

0. 6

 L   P   2



   dx   G  A 2 *  L 2  /       

2

  dx  

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA CARGA  P

  enla direcciónde la carga P

 

 M 

M    giro enla dirección del momento

 

 

T    ángulode giro enla direccióndelT 

 P  P

   d  

 

 dW   Pd  

 

W  

 P  2

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA CARGA  M 

T 

W  

 

 M  

W  

2

 

 

T   2

 

W ext  U 

En el problema anteriorU   6.67 N  * m   P   2

Donde P ya no es F deformación12 KN 

1

o en las barras, sino la carga externa que produce

 F2

6.67 N  * m



     1.11  x

 N  *    12000 2

3

10

 m  1.11 mm

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA CARGA También se tiene que:

 P 2 L3  W ext U   96 EI   P 2 L3  P *      96 EI  2

 PL3     48 EI 

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS CARGAS 

Las cargas se aplican lentamente  P1

 P

 P2

 

 X 1 1

 X 2 1

Si luego aplica la carga 2  P1

 P2

 X 1 1  X 1 2

 X 2 1  X 2 2

entoen1 debido a P1  X 1 1  desplazami entoen2  debido a P1  X 21  desplazami entoen1 debido a P2  X 1 2  desplazami entoen2  debido a P2  X 22  desplazami

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS CARGAS  P1

 P2

 X 1 1   1 1 P1  X 2 1   2 1 P1  X 1 2   1 2 P2  X 2 2   2 2 P2

 X 11

 

 X 12

 X 21

W ext  W ext 

 P1 X 1 1 2

 P1 X 1 2

 P2 X 2 2

W ext total  

2

W ext total  

 P12

 1 1

2

 P1 X 1 1

  1 2 P1 P2 

2

 P1 X 1 2 

 P22

 2 2

2

.........

 P2 X 2 2 2

1

 X 22

 

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS CARGAS  P2 Si cambiamos la secuencia de aplicación de carga ( es decir primero  P luego )  P

y P1

1

1

 X 12

 

 X 11

 X 22

 X 21

 

Reemplazando los  s queda:  P X   P  X  W ext total   1 11  2 2 2  P2 X 2 1 2

W ext total   

 P12

 1 1

2

2



 P22

 2 2

2

  21 P1 P2 .........

2 

El trabajo total es independiente del orden de secuencia de aplicación de las cargas. Entonces:   12   21 Las dos expresiones son iguales (1) =(2)

TEOREMAS ENERGÉTICOS 

Teorema Betti  P1 “El trabajo externo realizado por un conjunto de cargas

a lo largo

de los desplazamientos producidos por un segundo conjunto Pde 2 cargas es igual al trabajo producido por el segundo Pgrupo de 2 cargas

 P1 a lo largo de los desplazamientos producidos por

 P1

 P2

 X 1 2

 X 2 2



 P1

 P2

 X 1 1

 X 2 1

”.