Energía de deformación

Energía de deformación La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interi interior or de un sólido deformable deformable como resultado resultado del trabajo trabajo realizado realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Energía de deformación reversible e irreversible Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía energía puede puede ocasiona ocasionarr cambio cambios s termodin termodinámic ámicos os reversibles y/o cambi cambios os termodinámicos irreversibles . Por Por tanto tanto la energ energía ía de defo deform rmaci ación ón admi admite te la siguiente descomposición:

Donde el prim rimer sumando es la energ ergía inv invert ertida ida en pro provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. elástica . El segu segund ndo o suma sumand ndo o repr repres esen enta ta la ener energí gía a inve invert rtid ida a en dive divers rsos os proc proces esos os irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido. En el caso caso gene genera rall de un sóli sólido do isót isótro ropo po elás elásti tico co,, dura durant nte e un proc proces eso o de deforma deformación ción reversib reversible le a temper temperatur atura a constan constante, te, los increme incrementos ntos de energía energía potencial potencial elástica w , de energía interna u  y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

De hecho la energía libre de Helmholtz f  por unidad de volumen está relacionada con las componentes ε ij  del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la cone conexi xión ón entr entre e tens tensio iore res s y defo deform rmac acio ione nes s vien viene e dada dada por por rela relaci cion ones es termodinámicas, termodinámicas, en concreto, si derivamos derivamos la energía libre de Helmholtz Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé: Lamé :

Energía potencial elástica La energ energía ía de defor deforma maci ción ón E def  energía potencia potenciall elástica elástica para para un sólido def  o energía deformable viene viene dada dada por el producto producto las compon componente entes s del tensor tensión y

tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

Donde: , son las componentes del tensor  tensión.

, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal. [editar ] Descomposición de la energía elástica

La energía de deformación se puede descomponer además en una energía de deformación volumétrica o trabajo invertido en comprimir o expandir una determinada porción del sólido y energía de distorsión o trabajo invertido en cambiar la forma del cuerpo (sin alterar el volumen):

Donde cada uno de los sumandos viene dado por:

Donde hemos hecho intervernir el módulo de compresibilidad K , que es la constante elástica que da cuenta de los cambios del volumen de un cuerpo bajo presión uniforme. Y hemos reexpresado la energía de distorsión en términos de las tres tensiones principales.

Energía de deformación elástica en vigas y pilares Cuando un prisma mecánico como una viga o un pilar se encuentra sometido a un esfuerzo normal, de torsión, de flexión se producen tensiones y deformaciones relacionadas por la ley de Hooke. Existen métodos de cálculo de estructuras, en que al ocurrir una deformación, se efectúa un trabajo (similar a un resorte), por lo que es posible realizar el cálculo de deformaciones, con base al trabajo realizado por la deformación. A este método se le conoce como método energético. Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje baricéntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unidad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometida a extensión, torsión, flexión y cortante, viene dada por:

Donde

son las energías debidas únicamente a la extensión, la

flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:

Donde: es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de la pieza. θ x ,θy ,θz ;φ son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los tres ejes y el giro de alabeo.

son las características geométricas de la sección: el área transversal, el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y el momento de alabeo, además es un parámetro adimensional relacionado co n los anteriores (ver  prisma mecánico).

, son las coordenadas del centro de cortante.

Como puede verse para piezas con dos planos de simetría el término de acoplamiento flexión-torsión se anula y la energía de deformación es simplemente la suma de las energías de deformación asociadas a la extensión, flexión y torsión. A continuación desarrollamos los casos particulares de esta fórmula substituyendo las derivadas de los desplazamientos en función de los esfuerzos internos. [editar ] Energía de deformación bajo esfuerzo axial

Si una barra o prisma mecánico de longitud L, área transversal  A y compuesto de un material con módulo de Young E , se encuentra sujeto a una carga axial siendo el esfuerzo normal o axial N  y se tienen en cuenta las relaciones entre tensión normal σ = N / A se obtiene:

Si el elemento tiene un área transversal y una carga axial constantes:

[editar ] Energía de deformación bajo esfuerzo cortante

De forma semejante se obtiene la energía de deformación por  esfuerzo cortante:

[editar ] Energía de deformación bajo flexión pura

Si el elemento se encuentra bajo un momento flector , el esfuerzo normal viene dado por:

Tomando el elemento diferencial de volumen como

cuenta que

y teniendo en

, entonces la energía viene dada por la expresión:

Para evaluarla primeramente es necesario calcular el momento flector a lo largo del eje de la pieza. Cuando actúan dos momentos en lugar de uno en direcciones perpendiculares, situación que se llama flexión esvida se tiene análogamente:

Energía potencial elástica  Artículo principal: Energía de deformación

Esta catapulta hace uso de la energía potencial elástica.

La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación. •

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Potencial armónico (caso unidimensional), dada una partícula en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke (F= -k|r |) siendo k la constante de dicho campo, su energía potencial será V = 1/2 K | r |². Energía de deformación (caso lineal general), en este caso la función escalar  que da el campo de tensiones es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen f que representa la energía de deformación. Para un sólido elástico lineal e isótropo, la energía potencial elástica en función de las deformaciones ε ij  y la temperatura la energía libre de un cuerpo deformado viene dada por:

(1)

Donde son constantes elásticas llamadas coeficientes de Lamé, que pueden depedender de la temperatura, y están relacionadas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante las relaciones algebraicas:

A partir de esta expresión ( 1) del potencial termodinámico de energía libre pueden obtenerse las tensiones a partir de las siguientes relaciones termodinámicas:

Estas últimas ecuaciones se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke y escritas más explícitamente en forma matricial tienen la forma:

Donde

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Energía de deformación (caso no-lineal general), en el caso de materiales elásticos no-lineales la energía de deformación puede definirse sólo en el caso de materiales hiperelásticos. Y en ese caso la energía elástica está estrechamente relacionada con el potencial hiperplástico a partir de la cual se deduce la ecuación constitutiva.