En Calor

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18. DILATACIÓN FORMULARIO

Termometría; Equivalencia entre las escalas Centígrada y Fahrenheit : Dilatación de sólidos : Lineal Superficial Cúbica

lt = l0 (1 + α ∆t ) S t = S 0 (1 + β ∆ t) Vt = V0 (1 + γ ∆t )

Variación de la masa específica con la temperatura : ρ t =

18. Dilatación

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β = 2α γ = 3α ρ0 1 + α ∆t

C F − 32 = 5 9

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18.1) Un recipiente de vidrio está lleno hasta el borde de mercurio a la temperatura de 0º y pesa 1 kgf. El recipiente vacío pesa 0,1 kgf. Calcular la cantidad de mercurio a 100 ºC que puede contener este recipiente. El coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 1,8x10-4 ºC-1 y el del vidrio 3x10-5 ºC-1. ρHg 0 ºC = 13,6 g/cm3. Sol. 887 g de Hg. 18.2) Un vástago de latón AB tiene una longitud de 200,1 mm y ha de encajarse exactamente en el hueco BC, de hierro que tiene la forma del esquema. Al intentarlo queda AB como se indica en la figura, siendo AC = 4 mm. Calcular el descenso de la temperatura para lograr el encaje. Los coeficientes de dilatación del latón y del hierro valen respectivamente, α = 19,9x10-6 ºC-1 y α' = 12,1x10-6 ºC-1. Sol. 25,6 ºC. A

C

B

18.3) Un anillo de latón de varios centímetros de diámetro se calienta hasta la temperatura t1 = 300 ºC y se encaja ajustadamente sobre un cilindro de acero cuya temperatura es t2 = 18 ºC. ¿Qué esfuerzo de rotura experimentará el anillo una vez enfriado hasta 18 ºC? El coeficiente de dilatación lineal del latón es α = 1,84x10-5 ºC-1 y su módulo de Young E = 6,47x1010 Nm-2. Las dimensiones de la sección del anillo son 2x5 mm. Sol. 3.364 N. 18.4) Con una regla métrica de latón cuyas dimensiones son exactas a 0 ºC, se ha medido la longitud de una barra de hierro, encontrándose l = 1,4996 m a 38 ºC. Siendo α = 12,1x10-6 ºC-1 el coeficiente de dilatación lineal del hierro y β= 19,9x10-6 ºC-1 el del latón, calcular la longitud a 0 ºC de la barra de hierro. Sol. 1,500 m. 18.5) Si la temperatura del ambiente en que se encuentra un reloj de péndulo que bate segundos se modifica en 20 ºC, ¿qué le pasará al reloj al cabo de 30 días si el coeficiente de dilatación lineal del péndulo es 20x10-6 ºC-1? Sol. 8 min. 38 s. se atrasa.

18. Dilatación

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18.6) Una bola de acero de 6 cm de diámetro tiene 0.010 milímetros más de diámetro que el correspondiente al orificio de una plancha de latón donde se debe alojar cuando tanto la bola como la plancha están a una temperatura de 30 ºC. A qué temperatura, tanto de la bola como de la plancha, podrá pasar la bola por el orificio. El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 12x10-6 ºC-1 y el del latón 19x10-6 ºC-1. Sol. 54 ºC. 18.7) Una vasija de vidrio está llena justamente con 1 l de terpentina a 50 ºF. Hallar el volumen de líquido que se derrama si se calienta hasta 86 ºF. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio vale 9x10-6 ºC-1 y el de dilatación cúbica de la terpentina 97x10-5 ºC-1. Sol. 18,86 cm3. 18.8) Se ha de introducir un remache de hierro en una placa también de hierro y para conseguir un ajuste lo más perfecto posible se introduce el remache, antes de meterlo en la placa, en aire líquido (-187 ºC). El diámetro del orificio es de 10 mm. ¿Que diámetro tendrá que tener el remache a la temperatura ambiente (20 ºC) para que después de meterlo en aire líquido entre justamente por el orificio de la placa? Coeficiente de dilatación lineal del hierro: α = 12x10-6 ºC-1. Sol. 10,025 mm. 18.9) Un recipiente a 0 ºC contiene la tercera parte de su volumen de mercurio. Se calienta a una cierta temperatura y entonces el mercurio ocupa el 34,37 por 100 del volumen del vaso. ¿Cuál es dicha temperatura? Coeficiente de dilatación del mercurio γ = 18x10-5 ºC-1. Coeficiente de dilatación del recipiente γ' = 25x10-6 ºC-1. Sol. 202 ºC. 18.10) ¿Que fuerzas hay que aplicar a los extremos de una barra de acero, cuya sección transversal tiene el área

S = 10 cm2, para impedir que se dilate cuando se calienta

desde t1= 0 ºC hasta t2 = 30 ºC? Sol. 68.688 N.

18. Dilatación

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18.11) De un alambre de 1 mm de radio cuelga una carga. Esta carga hace que el alambre se alargue en la misma magnitud que se alargaría sí se elevara 20 ºC su temperatura. Hallar la magnitud de la carga. Sol. 148 N. α = 1,2x10-5 ºC-1 E = 19,6x1010 N.m-2 18.12) Un alambre de hierro se tendió entre dos paredes fijas resistentes, estando la temperatura a 150 ºC ¿A qué temperatura se romperá el alambre al enfriarse? Suponer que la ley de Hooke se cumple hasta el momento en que se produce la rotura. Sol. 25 ºC. α = 1,2x10-5 grd-1 Resistencia a la rotura F/S = 2,94x108 N/m2 Módulo de Young E = 19,6x1010 N/m2 18.13) Unos carriles de acero de 18 m de longitud se colocan un día de invierno en que la temperatura es -6 ºC. ¿Qué espacio ha de dejarse entre ellos para que estén justamente en contacto un día de verano en que la temperatura es 40 ºC. Coeficiente de dilatación del acero α = 12x10-6 ºC-1? Sol. 9.936x10-6 m. 18.14) La varilla de un reloj de péndulo sin compensar, que bate segundos a 0 ºC es de latón. Averiguar cuanto se retrasa el reloj en un día si se introduce en un ambiente a 200 ºC. Coeficiente de dilatación del latón: 17x10-6 ºC-1 (Considerar el péndulo como simple. Sol. 7 m. 12 s. 18.15) Un herrero ha de colocar una llanta circular de hierro de 1 m de diámetro a una rueda de madera de igual diámetro. Con objeto de poder ajustarla, calienta la llanta hasta conseguir que su radio supere en 2 mm al de la rueda. Sabiendo que la temperatura ambiente es de 20 ºC y su coeficiente de dilatación lineal 12,2x10-6 ºC-1. Calcular: 1) Temperatura en grados centígrados a que debe calentarse la llanta para cumplir las condiciones expuestas. 2) Expresar esta temperatura en grados Fahrenheit y en grados absolutos. Sol. 1) 347 ºC; 2) 656,6 ºF, 620 ºK.

18. Dilatación

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18.16) Una vasija de cinc (coeficiente de dilatación lineal: 29x10-6 ºC-1), está llena de mercurio a 100 ºC; teniendo entonces una capacidad de 10 litros. Se enfría hasta 0 ºC. Calcular la masa de mercurio a 0 ºC que hay que añadir para que la vasija quede completamente llena (Coeficiente de dilatación cúbico del mercurio: 182x10-6 ºC-1). Densidad del mercurio a 0 ºC 13,6 g/cm3. Sol. 1.258 g.

18. Dilatación

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19. GASES

FORMULARIO

Ley de Boyle − Mariotte : Isotérmica

V1 P = V P1

Adiabática

P V γ = cte.

P V = P1V1

Ley de Gay Lussac : Dilatación a presión cons tan te :

Ley de Avogadro :

Vt = V0 (1 + α ∆t ) Vt T = V0 T0

Dilatación a volumen cons tan te : Pt = P0 (1 + β ∆t ) Pt T = P0 T0 1 α =β= 273 PV = n RT

R = 8,31 J . mol −1 º K −1 = 8,315 × 10 7 erg . mol −1 º K −1 = 0,082 l. atm. mol −1 º K −1 = = 1,986 cal.mol −1 º K −1 Re ducción de un gas a condiciones normales :

V0 = V m=

Trabajo al exp ansionarse un gas : W = p (V 2 − V1 )

19. Gases

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P T0 P0 T

V0 = V

Pmm 273 760 T

M Pmm 273 V 22.4 760 T W = n R T ln

V2 p = n R T ln 1 V1 p2

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19.1) Un tubo cilíndrico de medio metro de longitud se introduce en mercurio hasta su mitad; después se tapa el extremo superior y se retira. Calcular la longitud de mercurio que quedará en el tubo y la presión del aire encerrado sobre él. La presión atmosférica es de 76 cm de mercurio. Sol. 58,45 cm Hg. 19.2) El peso de un metro cúbico de cierto gas a la temperatura de t = 67 ºC y presión p = 100 mm de mercurio es m = 282,32 g. Calcular la pérdida de peso que experimentaría un cuerpo sumergido en este gas a una cierta presión y temperatura sabiendo que en estas condiciones pierde en el aire 4,839 g. ρ aire = 1,293 g/l Sol. 10,001 g. 19.3) Un depósito contiene 50 kg de oxígeno a la presión p1= 10 atm y a la temperatura t1= 27 ºC. Se produce una fuga por donde escapa oxígeno y al cabo de cierto tiempo, localizada y tapada la fuga, la presión y la temperatura del depósito resultan ser p2= 6 atm y t2= 20 ºC. ¿Que cantidad de oxígeno ha escapado? Sol. 19,3 kg. 19.4) Un frasco de 5 litros de volumen se tapa en un recinto cuya presión es de 762 mm de Hg y cuya temperatura es de 27 ºC. Luego se abre en un lugar donde la presión es de 690 mm y la temperatura 9 ºC. ¿Entra o sale aire? Calcular el peso de aire que entra o sale. Sol. 0,1905 salen; 0,2165 g. 19.5) Calcular en gramos el peso del hidrógeno H2 contenido en un recipiente de 5 galones que está a la presión de 14 psi y a la temperatura de 86 ºF. Sol. 1,462 g. 19.6) Un recipiente cuyo volumen es igual a 5 litros, contiene aire a 27 ºC de temperatura y a la presión de 20 atm. ¿Que masa de aire hay que liberar del recipiente, para que la presión de éste caiga a 10 atm? Sol. 59 g.

19. Gases

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19.7) Calcular el trabajo que realiza un gas cuando se calienta isobáricamente desde los 20 ºC hasta 100 ºC, si se encuentra dentro de un recipiente cerrado por medio de un émbolo móvil, cuya sección es igual a 20 cm2 y su peso 5 kgf. Analizar dos casos: 1) cuando el recipiente se encuentra en posición horizontal y 2) cuando el recipiente se encuentra en posición vertical. El volumen inicial del gas es igual a 5 litros, y la presión atmosférica es la normal. Sol. a) 138 J; b) 172 J. 19.8) Un tubo con su extremo superior cerrado es sumergido completamente en un recipiente que contiene mercurio, después de lo cual, dentro del tubo queda una columna de aire de 10 cm de longitud. ¿A que altura sobre el nivel del mercurio en el recipiente hay que levantar el extremo superior del tubo para que dentro de éste el nivel del mercurio quede igual al nivel del mercurio en el recipiente. La presión atmosférica es la normal. Calcular la masa de aire dentro del tubo, si su sección es igual a 1 cm2 y la temperatura igual a 27 ºC. Sol. 11,3 cm; 13,3 mg. x contiene un gas ideal a una presión de 1 19.9) Una esfera de 20 cm de diámetro atm y a 20 ºC. A medida que se calienta la esfera hasta 100 ºC se permite el escape de gas. Se cierra la válvula y se coloca la esfera en un baño de hielo a 0 ºC. a) ¿cuántos moles de gas se escapan de la esfera al calentarse? b) ¿Cuál es la presión en la esfera cuando está en el hielo? Constante de los gases R = 0,082 l atm/mol ºK Sol. a) 0,04 moles; b) 0,695 atm

19. Gases

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20. CALORIMETRÍA

FORMULARIO

Equivalente mecánico del calor :

1 caloría = 4,184 julios = 0,427 ki log rámetros 1 Kcal = 10 3 cal

Calor ganado o perdido por un cuerpo = masa × calor específico× var iación de temperatura Calor de fusión del hielo = 80 cal / g o kcal / kg (a 0 º C y 1 atm) Calor de vaporización del agua = 540 cal / g o kcal / kg (a 100 º C y 1 atm)

20. Calorimetría

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20.1) Un proyectil de plomo choca contra un obstáculo. ¿Cuál es la velocidad en el momento del choque sí su temperatura inicial era de 65 ºC y se funde la tercera parte? Se supone el obstáculo inamovible e inalterable. Calor específico del plomo 0,031 cal/g ºC. Temperatura de fusión: 327,4 ºC; calor de fusión: 5,74 cal/g. Sol. 289,93 m/s. 20.2) Se lanza una esfera de plomo cuya temperatura inicial es de 36 ºC, verticalmente y hacia abajo con una velocidad v0; 100 metros más abajo encuentra un plano absolutamente resistente de conductividad calorífica nula. Calcular el valor de v0 necesario para que la esfera se funda totalmente en el choque. Calor específico del plomo c = 0,031 cal/g ºC. Temperatura de fusión del plomo t = 327,4 ºC. Calor de fusión del plomo l = 5,74 cal/g. J = 4,185 J/cal; g = 9,8 m/s2. Sol. 348,7 m/s. 20.3) Una masa de plomo igual a 10 g llega horizontalmente, con una velocidad de 250 m/s sobre una esfera de plomo de 450 g, en la cual se incrusta. 1) Estando, al principio, la esfera de plomo inmovilizada, calcular el calentamiento que resultará del choque. 2) Pudiéndose separar la esfera de plomo de la vertical como un péndulo, se comprueba en una segunda experiencia que se eleva 2 metros después del choque. Calcular el calentamiento resultante. CPb= 0.03 cal/g. Sol. 1) 5,4 ºC; 2) 5,2 ºC. 20.4) En un calorímetro sin pérdidas cuyo equivalente en agua es de 101 g y cuya temperatura inicial es de 20 ºC, se añaden 250 cm3 de agua a 40 ºC, 100 g de hierro a 98 ºC (calor específico = 0,109 cal/g ºC) y 80 g de hielo fundente. Calcular la temperatura de equilibrio. Sol. 15,1 ºC. 20.5) Una caldera tubular construida con chapa de acero de 5 mm de espesor, tiene unas dimensiones interiores de 2 m de longitud y 60 cm de diámetro, contiene 300 kg de agua a la temperatura de 18 ºC. Calcular los kg de carbón, de un poder calorífico de 7.000 kcal/kg, que son precisos para que todo el agua pase al estado de vapor a 100 ºC, si solamente se aprovecha el 60% de las calorías que produce el carbón. Calor específico del acero: 0,113 cal/g ºC Densidad relativa del acero: 7,8 Calor de vaporización del agua: 539 cal/g Sol. 45 kg.

20. Calorimetría

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20.6) Dentro de un calorímetro que contiene 1.000 g de agua a 20 ºC se introducen 500 g de hielo a -16 ºC. El vaso calorimétrico es de cobre y tiene una masa de 278 g. Calcular la temperatura final del sistema, suponiendo que no haya pérdidas. Calor específico del hielo: 0,55 cal/g ºC Calor específico del cobre: 0,093 cal/g ºC Calor de fusión del hielo: 80 cal/g Calor de vaporización del agua: 539 cal/g Sol. 0 ºC no se funde todo el hielo; 201 g. 20.7) En un calorímetro de latón sin pérdidas, de 240 g, que contiene 750 cm3 de agua a 20,6 ºC se echa una moneda de oro de 100 g a 98 ºC y la temperatura sube a 21 ºC. Determinar la cantidad de oro y cobre que integra la moneda. Calor específico del latón: 0,09 cal/g ºC; calor específico del cobre: 0,0922 cal/g ºC; calor específico del oro: 0,031 cal/g ºC. Sol. 85,16 g de oro; 14,84 g de cobre. 20.8) En un calorímetro de cobre se queman exactamente, 3 g de carbón produciéndose CO2. La masa del calorímetro es de 1,5 kg y la masa de agua del aparato es 2 kg. La temperatura inicial de la experiencia fue de 20 ºC y la final de 31 ºC. Hallar el poder calorífico del carbón expresándolo en cal/g. El calor específico del cobre vale 0,093 cal/g ºC. Sol. 7,8x103 cal/gr. 20.9) En un calorímetro cuyo equivalente en agua es despreciable, hay 1 kg de hielo a -10 ºC. ¿Cuantos gramos de agua a 80 ºC hay que introducir en él para que la temperatura final sea de 10 ºC? Sí en lugar de agua a 80 ºC, se introduce vapor de agua a 100 ºC, ¿Cuantos gramos de éste habría que introducir para que la temperatura final sea de 40 ºC? ¿Que volumen ocupa el vapor de agua introducido, si la presión a que se mide es de 700 mm de mercurio? Peso molecular del agua 18. 1) Calor específico del hielo (de -20 a 0 ºC):

0,5 cal/g ºC

2) Calor de vaporización del agua: 540 cal/g Sol. 1.357 g; 208 g; 384 l. 20.10) Mezclamos 1 kg de agua a 95 ºC con un kg de hielo a -5 ºC. ¿Dispondremos de suficiente calor para fundir todo el hielo? Sí es así, ¿a qué temperatura queda la mezcla? Calor específico del hielo: 0,5 cal/g ºC Calor de fusión del hielo: 80 cal/g Sol. Se funde todo el hielo, 6,25 ºC.

20. Calorimetría

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20.11) Una cantimplora de aluminio cuya masa es 500 g contiene 750 g de agua y 100 g de hielo. Se deja caer la cantimplora desde un avión a tierra. Después de la caída, se encuentra que la temperatura de la cantimplora es 25 ºC. Suponiendo que durante el impacto no se comunica energía al suelo, ¿cual era la velocidad de la cantimplora un instante antes de su aterrizaje? Calor específico del aluminio: 0,217 cal/g ºC 1 kcal = 4.186 Julios. Sol. 445 m/s; 10.103 m. 20.12) Una bola de plomo (calor específico: 0,03 cal/g ºC) de 100 g está a una temperatura de 20 ºC. Se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 420 m/s y al regresar al punto de partida choca con un trozo de hielo a 0 ºC. ¿Cuanto hielo se funde? Se supone que toda la energía del choque se convierte íntegramente en calor. Sol. 27 g. 20.13) Un vaso cuya capacidad calorífica es despreciable contiene 500 g de agua a temperatura de 80 ºC. ¿Cuantos gramos de hielo a la temperatura de -25 ºC han de dejarse caer dentro del agua para que la temperatura final sea de 50 ºC? Sol. 105 gramos de hielo. 20.14) Una bola, a una velocidad de 200 m/s, choca contra un obstáculo. Suponiendo que toda la energía cinética se transforma en calor y que éste calienta tan solo la bola, calcular su elevación de temperatura. Sol. 47,8 ºC. Calor específico del metal 0,1 cal/g ºC. 20.15) Un calorímetro de latón de M1= 125 g contiene un bloque de hielo de M2= 250 g todo ello a t1= -15 ºC. Calcular la cantidad de vapor de agua a 100 ºC y a la presión normal que es necesario para que todo el sistema llegue a la temperatura de t = 15 ºC. Sol. 41,54 g. Calor específico del latón: 0,09 cal/g ºC "

"

" hielo: 0,5 "

" fusión del hielo: 80 cal/g " vaporización del agua: 540 cal/g

20. Calorimetría

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20.16) En una vasija de latón que pesa 50,2 g se colocan 200,2 g de una cierta sustancia; calentando el conjunto a 98 ºC, se introduce en un calorímetro de latón que pesa 98,98 g y que contiene 810 g de agua, estando el calorímetro y el agua a 14,1 ºC. La temperatura de equilibrio es 16,7 ºC. Calcular el calor específico de aquella sustancia suponiendo nulas las pérdidas de calor. Calor específico del latón: 0,1 cal/g ºC. Sol. 0,106 cal/g ºC 20.17) Se mezclan 1 kg de hielo a -10 ºC con 7,1 kg de agua a 50 ºC y con una mezcla de 3 kg de agua y vapor a 100 ºC en la proporción, en peso, de 2 de agua y 1 de vapor, bajo presión normal. ¿Cuál es el estado final? Sol. 100 ºC agua. Calor específico del hielo: 0,5 cal/g ºC Calor de fusión del hielo: 80 cal/g Calor de vaporización del agua: 540 cal/g 20.18) En un recipiente de aluminio de 256 g que contiene 206 g de nieve a -11 ºC se introducen 100 g de vapor de agua a 100 ºC. Calcular la temperatura final de la mezcla. Calor específico del aluminio: 0,219 cal/g ºC Calor específico del hielo: 0,5 cal/g ºC Calor de fusión del hielo: 80 cal/g Calor de vaporización del agua: 539 cal/g Sol. Solo se condensa parte del vapor y la temperatura final será de 100 ºC. Vapor condensado 82,4 gramos. 20.19) Una bala de plomo atraviesa una pared de madera. Antes de chocar con la pared la velocidad de la bala era v0= 400 m/s y después de atravesarla v = 250 m/s. La temperatura de la bala antes del choque era t0= 50 ºC. ¿Qué parte de la bala se fundirá? Sol. 0,53. Calor de fusión del plomo: 5,74 cal/g Temperatura de fusión del plomo: 327 ºC Calor específico del plomo: 0,031 cal/g ºC Suponer que todo el calor que se desprende lo recibe la bala. 20.20) Desde una altura de 10 metros y sin velocidad inicial se deja caer un cuerpo que pesa 20 kg. Calcular la temperatura de un calorímetro de platino de 606 g de masa que contiene una mezcla de 60 g de agua y 2 g de hielo, si se le comunica una energía equivalente a la energía cinética que el cuerpo adquiere al llegar al suelo. Sol. 3,8 ºC. Calor específico del platino: 0,0321 cal/g ºC. 20. Calorimetría

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20.21) Una aleación está formada por plata y cobre de calores específicos 0,057 y 0,095 cal/g ºC, respectivamente. Se calienta a 100 ºC y se colocan 250 g en un calorímetro que tiene por equivalente en agua 300 g; la temperatura de éste se eleva de 10 ºC a 14,6 ºC. ¿Cual es la ley de la aleación? Sol. 80% Ag y 20% Cu. 20.22) En un calorímetro sin pérdidas cuyo equivalente en agua es de 500 g, hay 4.500 g de agua a 50 ºC. Se añaden 2 kg de hielo fundente y se introduce 1 kg de vapor de agua a 100 ºC. El calor de fusión vale 80 cal/g y el de vaporización 540 cal/g. Calcular la temperatura de equilibrio. Sol. 91,25 ºC. 20.23) Se agitan 5 kg de agua con un agitador de paletas que consume 5 C.V. Suponiendo que no haya pérdidas, calcular el tiempo que tardará la temperatura en subir 5 ºC. Sol. 28,5 s. 20.24) Se tienen 100 g de agua a 50 ºC que se congelan y se enfrían hasta -50 ºC. ¿Qué cantidad de agua a 50 ºC puede vaporizarse a 100 ºC con la cantidad de calor que se desprende en el anterior proceso? Sol. 26,3 g. Calor específico del hielo: 0,5 cal/g ºC Calor de fusión del hielo: 80 cal/g Calor de vaporización del agua 539 cal/g 20.25) Una tetera eléctrica con 600 cm3 de agua a 9 ºC y cuyo arrollamiento tiene una resistencia de 16 Ω, se ha dejado, por olvido sin desconectar. ¿Cuánto tiempo tardará en evaporarse toda el agua de la tetera a partir del momento de su conexión? La tensión en la red es de 120 V y el rendimiento del hornillo de la tetera, 60%. Calor de vaporización del agua 540 cal/g. Sol. 49 minutos.

20.26) Un cubo de hielo de 20 g a 0 ºC se calienta hasta que 15 g se han convertido en agua a 100 ºC y 5 g se han convertido en vapor. ¿Cuanto calor se necesitó para lograr esto? Sol. 6.300 cal.

20. Calorimetría

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20.27) En un recipiente se almacenan 2 litros de agua a 20 ºC. Inmersas en el agua se encuentran dos barras: una de latón de 5 cm de largo y 200 g y otra de hierro de idénticas dimensiones y 250 g. Hallar la cantidad de calor necesaria para calentar todo el conjunto (agua y barras) justo hasta que todo el agua se convierta en vapor a 100 ºC (calor específico del latón y hierro: 0,09 cal/gºC y 0,11 cal/gºC respectivamente). Determinar las longitudes de ambas barras en esas condiciones (coeficiente lineal de dilatación de latón y hierro: 1,9x10-5 ºC-1 y 1,2x10-5 ºC-1 respectivamente). ¿Cuál es más denso a 20 ºC, el latón o el acero? ¿Y a 100 ºC? Sol. Q = 5,2x106 J; Llatón = 0,050076 m, Lhierro = 0,050048 m; A 20 ºC y 100 ºC es más denso el hierro. 20.28) En un recipiente se mezclan 4,5 litros de agua a 20 ºC y 500 g de hielo a 0 ºC. Se introduce en el recipiente una barra de metal, de capacidad calorífica despreciable. ¿Cuál es la temperatura en el equilibrio? El conjunto se calienta en un hornillo que proporciona 5.000 cal/s, ¿cuál es la temperatura a los 100 s? La longitud de la barra a 0 ºC es de 10 cm y su coeficiente de dilatación lineal es de 2x10-5 ºC-1. Obtener una expresión de la longitud de la barra en función del tiempo hasta t = 100 s. Sol. a) t = 10 ºC, b) tfinal = 100 ºC.

20. Calorimetría

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21. PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA

FORMULARIO

Ecuación fundamental :

dU = d Q − dW

Valor de la energía int erna : Re lación de Mayer :

d U = n Cv d T

C p = Cv + W

C p − Cv = R

∆ U = n Cv ∆ T

Ley de Joule : Transformación :

V2 P = n R T ln 1 V1 P2

Isoterma : T = cte

Q = W = n R T ln

Isobara : P = cte

W = n R (T2 − T1 ) ∆U = n Cv ∆ T = Q=

Cp R

Cv P ∆V R

P ∆V = n C p ∆ T

Isócora : V = cte

Q = ∆U = n Cv ∆ T =

Adiabática : Q = cte.

P V γ = cte

21. Primer principio de termodinámica

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Cv V ∆P R

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21.1) Un trozo de hielo de 583 cm3 a 0 ºC se funde y calienta hasta t = 4 ºC. Calcular el incremento de su energía interna. Densidad del hielo 0,917 g/cm3. Presión exterior; p = 1 kp/cm2. Calor de fusión: L = 80 cal/g. Sol. 44.907,5 cal. 21.2) El calor molar del hidrógeno a volumen constante es: Cv= 4,51 + 0,9x10-3T cal/ºK mol, según se ha determinado experimentalmente. Calcular el aumento de energía interna, en calorías, que experimenta un litro de hidrógeno que se calienta a volumen constante, desde las condiciones normales hasta 1.500 ºC. Calcular la presión final. Sol.1.520 J por litro; 6,494 atm. 21.3) ¿Que cantidad de calor se desprenderá al comprimir por vía reversible e isoterma 100 litros de un gas ideal a 27 ºC que se encuentran a 71 cm de mercurio de presión, hasta reducir su volumen a la centésima parte? Sol. 10.418 cal. 21.4) Cien litros de oxígeno a 20 ºC y 69 cm de mercurio de presión se calientan a volumen constante comunicando 2.555 calorías. Calcular el incremento de la presión en cm de mercurio. Sol. 31,87 cm Hg. 21.5) Un tanque contiene 2,73 m3 de aire a una presión de 24,6 kg/cm2. El aire se enfría hasta ser su presión de 14 kg/cm2. ¿Cuál será la disminución de su energía interna? Considérese el aire como gas perfecto biatómico de índice adiabático γ = 1,4. Sol. 1,420x106 cal. 21.6) Dentro de un recinto de 6.240 l de volumen, que contiene un gas perfecto biatómico a 8 atmósferas de presión y a 39 ºC hay un calentador eléctrico, que se supone sin pérdidas y que funciona durante un cierto tiempo, consumiendo 2.712 kw.h. El volumen no varía. Calcular la presión final en atmósferas. Sol. 14,1 atm. 21.7) Un litro de nitrógeno a 51 ºC se calienta bajo presión constante de 1,6 atmósferas hasta triplicar su volumen. Calcular el incremento de su energía interna y el calor consumido. Sol. 194 cal; 273 cal.

21. Primer principio de termodinámica

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21.8) Calcular la cantidad de calor necesario para duplicar un volumen de 3 m3 de hidrógeno que está a 21 ºC a la presión constante de 2 atmósferas. Calcular la temperatura final. Cp= 7 cal/mol. M 2,016. Sol. 588 ºK = 315 ºC; 511.870 cal. 21.9) Cinco moles de un gas perfecto biatómico a 27 ºC se calientan isobáricamente con el calor que se desprende de un mol de otro gas perfecto que se comprime isotérmicamente a 27 ºC hasta triplicar su presión. Calcular la temperatura final del primer gas. Sol. 318,8 ºK = 45,8 ºC. 21.10) Diez gramos de oxígeno a 200 ºC sufre una expansión adiabática en la que su volumen se quintuplica. Calcular el incremento de su energía interna. Sol. -350,8 cal. 21.11) Dos moles de un gas perfecto, biatómico se expanden isotérmicamente a 127 ºC hasta que su volumen se duplica. Luego se expanden adiabáticamente hasta llegar a una temperatura de 27 ºC. Calcular en calorías el calor absorbido y el trabajo total producido. Sol. 1.103 cal; 2.103 cal. 21.12) Se comprime adiabáticamente un mol de cierto gas perfecto (índice adiabático γ = 1,15) que se encuentra a p1= 1 atm, t1= 127 ºC hasta alcanzar una presión p2. Después se deja enfriar a volumen constante hasta alcanzar las condiciones p3= 10 atm y t3= 27 ºC. Calcular: 1º) La presión p2 en atmósferas. 2º) El trabajo en la compresión adiabática en kgm. 3º) La cantidad de calor en calorías cedidas durante el enfriamiento. Sol. 1º) 48,7 atm; 2º) 1,8x108 kgm; 3º) 4.621 cal. 21.13) Supóngase que 1 litro de gasolina propulsa un automóvil una distancia de 10 km. La densidad de la gasolina es aproximadamente 0,7 g/cm3, y su calor de combustión es aproximadamente 4,6x104 J/g. a) Si el motor tiene un rendimiento del 25%, ¿qué trabajo total realiza el motor durante los 10 km del recorrido? b) Si se supone que este trabajo se realiza contra una fuerza resistente constante F, hállese la magnitud de F. Sol. a) 8,05x106 J; 805 N.

21. Primer principio de termodinámica

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21.14) Una barra de cobre de 1 kg se calienta a presión atmosférica. Si su temperatura aumenta de 20 ºC a 50 ºC a) Encuentre el trabajo realizado por el cobre b) ¿Cuál es el incremento de la energía interna del cobre? Coeficiente de dilatación lineal del cobre: 17x10-6 ºC-1 Densidad del cobre: 8,92x103 kg/m3 Calor específico del cobre: 0,0924 cal/gºC Sol. a) 1,9x10-2 J; b) 2.772 cal; c) 2.772 cal 21.15) Un trozo de hielo de forma cúbica, cuyo lado es 8 cm, se encuentra a – 5 ºC. Calentándolo se funde estando al cabo de cierto tiempo a la temperatura de 4 ºC. Calcular: a) El calor aportado para que se efectúe el proceso antes descrito. b) El incremento de su energía interna. Densidad del hielo 0,917 g/cm3 Sol. a) 169.758 J; b) 169.753,75 J 21.16) En el ciclo que se muestra en la figura, 1 mol de un gas diatómico ideal (γ = 1,4) se encuentra inicialmente a 1 atm y 0 ºC. El gas se calienta a volumen constante hasta t2 = 150 ºC y luego se expansiona adiabáticamente hasta que su presión vuelve a ser 1 atm. Luego se comprime a presión constante hasta su estado original. Calcular: a) La temperatura t3 después de la expansión adiabática. b) El calor absorbido o cedido por el sistema durante cada proceso. c) El rendimiento de este ciclo. d) El rendimiento de un ciclo de Carnot que operara entre las temperaturas extremas del ciclo. CV = 5 cal.mol-1.grad-1; CP= 7 cal.mol-1.grad-1 Sol. a) 373 ºK ; b) -2,93 kJ; c) 6,69 %; d) 35 % P 2 P2 Q1 2

Q3 1

P1 1

3 V1

21. Primer principio de termodinámica

V3

V

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21.17) Un mol de gas N2 (Cv=5/2R; γ=1,4) se mantiene a la temperatura ambiente (20 ºC) y a una presión de 5 atm. Se deja expansionar adiabáticamente hasta que su presión iguala a la ambiente de 1 atm. Entonces se calienta a presión constante hasta que su temperatura es de nuevo de 20 ºC. Durante este calentamiento el gas se expansiona. Una vez que ha alcanzado la temperatura ambiente, se calienta a volumen constante hasta que su presión es de 5 atm. Se comprime entonces a presión constante hasta volver a su estado original. a) Construir un diagrama PV exacto, mostrando cada etapa del ciclo. b) A partir de este gráfico determinar el trabajo realizado por el gas en todo el ciclo. c) ¿Cuánto calor fue absorbido o cedido por el gas en el ciclo completo? R=0,082 l.atm/molºK = 1,98 cal/molºK Sol. b) -65,1 l.atm; c) -1.572,5 cal

21. Primer principio de termodinámica

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22. SEGUNDO PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA

FORMULARIO

Re n dim iento de una máquina térmica : Re n dim iento en un ciclo de Carnot : Ecuación de la entropía :

dS =

dQ T

Eficiencia de una máquina frigorífica :

22. Segundo principio de termodinámica

W Q + Q' = Q Q Q + Q' T − T ' η= = Q T η=

K=

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Q1 Q1 T1 = = W Q2 − Q1 T2 − T1

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22.1) Un motor térmico funciona mediante un ciclo de Carnot reversible entre las temperaturas t1= 200 ºC (hogar) y

t2= 20 ºC (refrigerante). El hogar comunica al sistema 60 kcal

por minuto. Calcúlese la potencia del motor en caballos de vapor. Sol. 2,16 C.V. 22.2) Una placa actínica recoge 600 kcal de energía solar por hora y por metro cuadrado cuando se encuentra a 90 ºC. La placa cede calor al fluido contenido en una máquina térmica relacionada con el ambiente atmosférico a 20 ºC. ¿Qué superficie mínima deberá tener la placa si deseamos obtener una potencia útil de 1 kw? Sol. 134,57 W/m2; 7,43 m2. 22.3) El ciclo de una máquina térmica equivale a uno de Carnot reversible en el que la temperatura del refrigerante es 27 ºC, el rendimiento 0,6 y el calor que se cede al foco frío 10 kcal por minuto. Calcular la temperatura de la caldera y la potencia en caballos de vapor. Sol. 1,42 C.V. 22.4) Una máquina de vapor cuya potencia es de 14,7 kw consume cada hora 8,1 kg de carbón de valor calorífico igual a 3,3x107 J/kg. La temperatura de la caldera es de 200 ºC y la del condensador de 58 ºC. Hallar el rendimiento real de la máquina η1 y compararlo con el rendimiento η2 de la máquina térmica ideal que funcione según el ciclo de Carnot entre las mismas temperaturas. Sol. 0,20; 0,30. 22.5) En una nevera de compresión se trata de fabricar 5 kg de hielo cada hora, partiendo de agua a 0 ºC. El ambiente exterior está a 27 ºC. Calcular: 1) La eficacia de la nevera. 2) La potencia teórica del motor. 3) La potencia real si el rendimiento de la operación es el 75%. 4) El costo de la energía eléctrica necesaria para fabricar 100 kg de hielo a 5 pts el kw.h. Sol. 1) 10; 2) 46 w; 3) 61 w; 4) 6,10 ptas.

22. Segundo principio de termodinámica

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22.6) Una máquina frigorífica ideal que funciona según el ciclo de Carnot inverso realiza en cada ciclo un trabajo igual a 3,7x104 J. La máquina durante su funcionamiento toma calor de un cuerpo cuya temperatura es de -10 ºC y lo cede a otro cuerpo que tiene una temperatura igual a 17 ºC. Hallar: 1) El rendimiento del ciclo, 2) La cantidad de calor que se toma del cuerpo frío cada ciclo y 3) La cantidad de calor que se cede al cuerpo caliente cada ciclo. Sol. 1)9,74; 2) 360.380 J ; 3) 95.067 cal. 22.7) Una máquina frigorífica ideal funciona según el ciclo de Carnot inverso transmite el calor de un refrigerador con agua a 0 ºC a un hervidor con agua a 100 ºC. ¿Qué cantidad de agua habrá que helar en el refrigerador para convertir en vapor 1 kg de agua del hervidor? Sol. 4,94 kg. 22.8) Una cierta máquina térmica ideal en la que se realiza un ciclo de Carnot reversible en cada segundo, tiene el refrigerante a 27 ºC, una potencia de 4,18 kw y en cada ciclo se toman 3 kcal de la caldera. Calcular la temperatura de ésta, el calor que se cede al refrigerante y el rendimiento. Sol. 2.000 cal; 177 ºC; 1/3. 22.9) Una máquina refrigeradora destinada a congelar agua a 0 ºC, se supone que trabaja según un ciclo reversible; tiene un motor de una potencia útil de 15,84 kw y su factor de eficacia Ef= 10. ¿Cuantos kilogramos de hielo producirá en una hora? ¿Cuál es la temperatura del foco térmico más alto y cuantas kcal se ceden a él por minuto? Sol. 1.703 kg; 2.497 kcal; 27,3 ºC.

22.10) En un ciclo de Carnot reversible, descrito por un mol de un gas perfecto biatómico, la temperatura más elevada es de 500 ºK y el trabajo en la expansión adiabática 4.157 J. Calcular el rendimiento del ciclo. Sol. 0,4. 22.11) Un refrigerador está impulsado por un pequeño motor cuya potencia útil es de 150 w. Si suponemos que este refrigerador trabaja como un refrigerador ideal de Carnot, y que las temperaturas caliente y fría de los recipientes térmicos son 20 y -5 ºC, ¿cuanto hielo fabricará este refrigerador en 1 h si en el interior se coloca agua a 10 ºC? Sol. 15,4 kg.

22. Segundo principio de termodinámica

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22.12) Calcular en Btu la cantidad de calor que se desprenderá al comprimir por vía reversible e isoterma 12 litros de un gas ideal a 50 ºF y 14,7 psi hasta reducir su volumen a la novena parte. Sol. 2,534 Btu. 22.13) Una masa de aire seco a 71 cm de mercurio de presión se expansiona adiabáticamente hasta un volumen triple del inicial. Su temperatura inicial es de 12 ºC. Calcular la presión y temperatura finales. Sol. 15,25 cm Hg; 183,65 ºK = -89,35 ºC. 22.14) Tres kilogramos de agua a 18 ºC, se mezclan con 9 kg a 72 ºC. Una vez establecido el equilibrio, se restituyen las dos cantidades de agua a su estado inicial colocando 3 kg en contacto con una fuente térmica siempre a 18 ºC, y los 9 kg restantes en otra siempre a 72 ºC. Calcular: 1º) El incremento de la entropía del agua como consecuencia del primer proceso y el incremento de entropía del universo. 2º) El incremento de entropía del agua producido por todas las operaciones y el del universo. 3º) El incremento de entropía del agua debido al segundo proceso y el del universo. Sol. 1º) 0,0315 kcal/ºK que también es la del universo; 2º) 0,0653 kcal/ºK, la del agua 0; 3º) -0,0315 kcal/ºK del agua, 0,0338 kcal/ºK universo. 22.15) Una máquina productora de hielo se supone que trabaja realizando ciclos de Carnot reversibles y produce 30 barras de hielo de 51 kg de peso cada una en cada hora, trabajando entre 21 ºC y 0 ºC. Suponiendo que el calor de fusión del hielo es 80 kcal/kg, calcular el factor de eficacia de la máquina frigorífica y la potencia útil en C.V. del motor que la acciona. Sol. 14,76 C.V; 13. 22.16) Un ciclista realiza un trabajo durante una carrera a razón de 10 C.V. en 10 s. ¿Cuanto azúcar debe tomar para compensar la energía gastada? El poder calorífico del azúcar es de 4 kcal/g y el cuerpo humano tiene un rendimiento del 30% en la transformación de energía química en mecánica. Sol.14,67 g

22. Segundo principio de termodinámica

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22.17) Se mezclan 200 g de agua a 60 ºC con 400 g a 20 ºC. Calcular la variación de entropía que ha experimentado el sistema cuando llega al estado de equilibrio. Se supone que el calor específico del agua es igual a la unidad. Sol. 1,04 cal/ºK. 22.18) Estudiar la variación de entropía del sistema formado por 100 g de hielo fundente, con 200 g de agua a 10 ºC, cuando se les pone en contacto, estando el sistema térmicamente aislado. Sol. 0,128 cal/ºK 22.19) Calcular el incremento de entropía específica del agua cuando se la calienta a la presión atmosférica constante desde 18ºC donde se encuentra en forma de hielo hasta 150 ºC, donde de encuentra en forma de vapor sobrecalentado. Sol. 2,146 cal/ºC.g. Cp hielo : 0,5 cal/grºC Cp agua : 1

"

Cp vapor : 0,47 " Calor de fusión : 80 cal/gr Calor de vaporización : 540 cal/gr 22.20) Un motor diesel tiene su cilindro de r= 4 cm de radio y de V = 5.000 cm3 de volumen. La mezcla se inyecta en el cilindro a 37 ºC, que es la temperatura ambiente, siendo la de ignición 657ºC. Calcular la relación de presiones en el cilindro al fin y al principio de la carrera del émbolo y el recorrido de éste. γ= 1,4. Sol. 46,765 22.21) Un motor de explosión funciona según un ciclo teórico de Otto. La temperatura al comenzar la compresión es de 20ºC y al terminar de 313ºC. El motor tiene un rendimiento en su parte mecánica de 0,6 y consume por hora 9 kg de combustible siendo 9.000 Kcal/kg la potencia calorífica de éste. γ=1,4. Calcular la razón de compresión, el rendimiento térmico y la potencia del motor en caballos de vapor. Sol. r= 5,66; η=0,5; P=38.4 C.V

22. Segundo principio de termodinámica

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22.22) Un motor de explosión que funciona según el ciclo teórico de Otto, tiene una potencia útil de 32 C.V, el rendimiento de su parte mecánica es de 0,6 y 5,66 la razón de compresión; γ=1,4. Calcular la potencia calorífica del combustible empleado, sabiendo que se gastan de él 8 kg por hora. Sol. P= 8451 kcal/kg 22.23) Una máquina térmica ideal que funciona según el ciclo de Carnot realiza cada ciclo un trabajo igual a 7,35x104 J. La temperatura del foco caliente es de 100ºC y la del foco frío de 0ºC. Hallar: 1) El rendimiento de la máquina. 2) La cantidad de calor que la máquina recibe del foco caliente cada ciclo y 3) La cantidad de calor que cede al foco frío cada ciclo. Sol. 1) η=0,268 2) Q1=27,4x104 J 3) Q2=20,0x104 J 22.24) Hallar la variación de entropía específica del agua cuando se calienta reversiblemente a la presión atmosférica constante desde 10ºC, donde se encuentra en forma de hielo, hasta 100 ºC donde se encuentra en forma de vapor. Sol. ∆S=2,07 kcal/ºk 22.25) Un automóvil que pesa 1.000 kg tiene una velocidad de 3 m/s. ¿Cuantas kcal se producen en los frenos cuando se detiene? Sol. 1,08 kcal. 22.26) Un congelador fabrica cubos de hielo a razón de 5 gramos por segundo, comenzando con agua en el punto de congelación. Cede calor a una habitación a 30 ºC. Si el sistema utiliza un frigorífico de Carnot ideal, a) ¿Qué potencia expresada en watios requiere el motor?; b) ¿Cuanto calor por unidad de tiempo cede a la habitación?; c) ¿Cual es la variación de entropía del agua? Sol. a) 184 w; b) 444 cal/s; c) 6,15 J/ºK.s. 22.27) La relación de compresión de determinado motor Diesel es 15. Esto indica que el aire en el cilindro se comprime a 1/15 de su volumen inicial. a) Si la presión inicial es 1,0x105 Pa y la temperatura inicial es 27 ºC, hállese la presión final y la temperatura después de la compresión; b) Si el volumen inicial es 1,0 litro cuanto trabajo realiza el gas durante la compresión? Tómese γ = 1,4 y R = 8,314 J/mol.K Cv= 20,8 J/mol.K Sol. a) 44,3x105 Pa = 44 atm; b) -488 J.

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22.28) Una máquina frigorífica produce 5 kg de hielo cada minuto y trabaja entre 0 ºC y 25 ºC según un ciclo reversible. Calcular el trabajo que consume la máquina por cada kilo de hielo, su factor de eficacia y su potencia. Calor de fusión del hielo: 80 cal/g. Sol. 2,56 kw; Factor de eficacia = 10,92. 22.29) Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 610 ºC y tiene un rendimiento del 27 %, cuando funciona según un ciclo de Carnot. Para incrementar su rendimiento hasta el 35 %, ¿cuál será la temperatura de la fuente de calor? Sol. 719 ºC 22.30) Un herrero sumerge una herradura de acero caliente con una masa de 2 kg en una cubeta que contiene 20 kg de agua.

La herradura al principio está a una

temperatura de 600 ºC y el agua está inicialmente a una temperatura de 20 ºC. Suponiendo que no se evapora el agua, encuentre: a) la temperatura final del agua, b) el cambio de entropía de la herradura, c) el cambio de entropía del agua y d) el cambio global en la entropía del agua y la herradura. e) Después de cierto tiempo, que es bastante comparado con el tiempo que tarda la herradura en enfriarse, la herradura y el agua se enfrían hasta la temperatura de los alrededores: 20 ºC. Durante este proceso, encuentre los cambios en la entropía del agua, la herradura y sus alrededores. f) Usando los resultados del inciso d y e, encuentre el cambio en la entropía del universo como resultado de toda la consecuencia de eventos. Calor específico del acero 0,107 cal/gºC Sol. a) 26,14 ºC; b) –959 J/ºK; c) 1.736 J/ºK; d) 777 J/ºK; e) –1.736 J/ºK; -18,6 J/ºK f) 1.754 J/ºK

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22.31) Una máquina térmica trabaja con un gas perfecto (γ = 1,4) según el ciclo Otto, motores de explosión. ¿Cuánto vale el rendimiento térmico de este ciclo, para un estado inicial de p1 = 1 atm. T1 = 20 ºC y un grado de compresión V2:V1 = 1:4, si la combustión aporta Q1 = 20 kcal/ciclo? ¿Cuánto vale el calor evacuado Q2? ¿Cuánto valdrá la potencia de la máquina si realiza 300 ciclos por minuto? P

3 Q1

4 Q2

2 1

V 22.32) Se mezclan 500 g de hielo a -10 ºC con 200 g de agua a 75 ºC y 50 g de vapor de agua a 100 ºC. A) Hallar la temperatura final de la mezcla. B) ¿Ha aumentado o disminuido en el proceso la energía interna de los 200 g de agua? ¿y la de los 500 g de hielo? C) ¿Ha aumentado o disminuido la energía del Universo en el proceso? D) ¿Ha aumentado o disminuido la entropía del sistema total (que se considera aislado) en el proceso? ¿y la del Universo? (ce hielo = 0,5 cal/ºCg, ce agua = 1 cal/ºCg, cfusión hielo = 80 cal/g, cvaporización agua = 540 cal/g) Sol. A) t = 6 ºC; B) El hielo gana energía, el agua la pierde; C) La energía del Universo siempre se conserva; D) La entropía de un sistema aislado y la del Universo siempre aumentan.

22.33) Se dispone de botellas de 1,5 l de agua a temperatura ambiente (20 ºC); a) calcular la temperatura final del conjunto si se mezcla una botella con 100 g de hielo a -5 ºC; b) calcular el calor necesario para evaporar todo el agua de una botella; hallar el tiempo que requiere este proceso si se usa un microondas de 100 W; c) hallar el rendimiento de una máquina de Carnot que utiliza el vapor a 100 ºC como foco caliente y agua a 20 ºC como foco frío; dibujar un esquema de una máquina de vapor en el que se explique cómo se obtiene el trabajo mecánico. Sol. a) t = 13,6 ºC; b) 930.000 cal = 3887.400 J, tiempo = 3.887,4 s; c) Rto. = 21 %.

22. Segundo principio de termodinámica

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INDICE

TOMO II

Página 12. ELECTROSTÁTICA.................................................... 1 13. CONDENSADORES................................................... 6 14. ELECTRODINÁMICA ............................................... 13 15. ELECTROMAGNETISMO ......................................... 29 16. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA ........................ 39 17. CORRIENTES ALTERNAS ....................................... 43 18. DILATACIÓN ........................................................... 54 19. GASES .................................................................... 59 20. CALORIMETRÍA....................................................... 62 21. PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA.............. 69 22. SEGUNDO PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA .......... 74

Índice

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