Empirical Orthogonal Function_Fadhlil_G24140044

Empirical Orthogonal Function Fadhlil Rizki Muhammad Muhammad Departemen Geofisika dan Meteorologi Institut Pertanian Bogor 1 Pendahuluan Teknik eknik  Empirical Orthogonal Function (EOF (EOF)) atau atau  Principal Component Analysis (PCA) merupakan teknik yang penting bagi studi sains atmosfer. Teknik EOF dapat mereduksi data yang memi memilik likii varia variabe bell bany banyak ak sepe seperti rti data data time-series  time-series  menjadi menjadi bebera beberapa pa variab variabel el yang yang disebut disebut  Principal Component (PC) tanpa mengilan mengilangkan gkan variabilita variabilitass iklim data tersebut. tersebut. Teknik eknik EOF pertama kali dikenalkan ole !oren" (#$%&). 'eberapa onto kegunaan teknik EOF dalam sains atmosfer adala untuk mengemembangkan ndeks untuk memonitor *+O dan ',,O (-eeler dan endon /0012 !ee et al. /0#3)4 memvalidasi simulasi *+O pada model (-aliser 5 et al. /006) dan menduga dampak *+O teradap suu udara permukaan dan presipitasi (7ou et al. /0#/). #.# 5efinisi  EOF mereduksi data yang sebelumnya memiliki n 8 variabel (9#49/4:49n) menjadi data yang memiliki variabel yang (semoga) lebi sedikit (m;n) (y#4y/4..4ym). atir ka>atir akan multikolinearitas dan autokorelasi. EOF didefinisikan sebagai vektor eigen dari kombinasi linear tersebut. ,eara matematis ditulis (uruf tebal menandakan matriks) =

P! " EOF# P! adala matriks m 9 # 4 EOF adala vektor eigen m9n4 dan # adala variabel asli dengan matriks n9#. $ Mencari EOF /.# *atriks varian8kovarian dan matriks korelasi *atriks varian8kovarian atau matriks korelasi mutlak dibutukan untuk menari EOF. *atriks varian8kovarian dan matriks korelasi diari untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen (EOF) dari data asli. ?ilai eigen akan menunjukkan variansi yang dapat ter>akili ole data PC atau EOF. ,emaki ,emakin n tinggi tinggi nilai nilai eigen eigen atau atau varian variansi si yang yang dipero diperole le44 semak semakin in baik baik PC atau atau EOF dalam dalam merepresentasikan merepresentasikan variabilitas iklim yang ada pada data.

+ika diketaui ada variabel % dan # & *atriks varian8kovarian didefinisikan sebagai =

[

]

σ## σ #/ ... σ # n  N  # σ σ ... σ / n /# // ¯ki)( Y kj−Y ¯kj) , N aalah jumlaha Cov ( X ,Y )= 4 σij = ∑ ( X ki− X  hata ...

...

σn # σ n /

... ...

...

σ nn

 N  k =#

i@#4/434:4n  j@#4/434:.n

contoh $1 'modifikasi dari https())***essuciedu)+,u)class)ess$1-.)lecture/EOFallpdf0 = ,ebua data ,,T reanalisis >ilaya pasifik memiliki #0 grid pada ara latitudinal dan /0 grid pada ara longitudinal. ,eperti apa variabel keadaan yang mendeskripsikan keadaan ,,T di >ilaya tersebut  +ika data yang dimiliki adala data bulanan dari taun #$$#8/0004 Tuliskan variabel keadaan dan matriks kovariannya B +a>ab = aktu  jumla >aktu @ ((/0008#$$#)#) ((/0008#$$#)#) 9 #/ bulan @ #0 9 #/ ? @ /00 9 (#0 9 #/) @ /1000 data data  X mn = X m ( t n) ,

 m @ #4/434..4m 4

n =#4/434... , /1000

'%mn menunukkan menunukkan 2aria.el % di grid m pada *aktu n0 Ilustrasi ( t=1

Drid #4# 'm " 10

Drid #4/ 'm " $0

:.

Drid #4/0 'm " $-0

Drid /4# 'm " $10

Drid /4/ 'm"$$0

:.

Drid /4/0 'm" 3-0

:.

:.

:.

:.

Drid #04# 'm"1-10

Drid #04/ 'm"1-$0

:.

Drid #04/0 'm"$--0

t=2

Drid #4# '10

Drid #4/ '$0

:.

Drid #4/0 '$-0

Drid /4# '$10

Drid /4/ '$$0

:.

Drid /4/0 '3-0

:.

:.

:.

:.

Drid #04# '1-10

Drid #04/ '1-$0

:.

Drid #04/0 '$--0

t=3 …. t=n

*atriks kovariannya adala4

[

Cov ( X )=

σ ## σ#/ ... σ#  j σ /# σ// ... σ/  j ...

...

... ...

σi # σ i /

...

σ ij

]

 N 

 ¯kj ) , N =/1000 σij = # ( X ki− X ¯ki)( X kj − X   N  k =#

∑

, i , j =/00

diman dimanaa i dan j dala dala letak letak grid grid dan k adala adala >aktu. >aktu. (onto (onto = grid(# grid(#4#) 4#) maka maka i @ #4 j @#4 m@#. grid(#04/0) maka i @ #04 j@ /04 m @ /00) *atriks korelasi juga dapat digunakan untuk menari PC dan EOF. *atriks korelasi memiliki keungg keunggula ulan n dalam dalam "eighting jika dibandin dibandingkan gkan dengan dengan matriks matriks varian8kov varian8kovarian arian dalam menari menari EOF dan PC. #eighting yang dimaksud dimaksud adala 4dalam persamaan persamaan linear linear ( @ a#  b/) nilai a dan b yang diasilkan ole matriks varian8kovarian dan korelasi akan berbeda. ?ilai a dan b pada matriks varian8kovarian dapat saling berbeda jau (aGGb atau a;;b) jika dibandingkan dengan nilai a dan b yang diasilkan ole matriks korelasi. ?ilai aGGb dan a;;b yang diasilkan ole matriks varian kovarian disebabkan apabila variansi dari variabel keadaan sangan berbeda dari titik ke titik seingga merusak pola dari data. *atriks korelasi lebi baik digunakan apabila matriks variabel keadaan adala kombinasi dari beberapa variabel dengan satuan yang berbeda. Hntuk menari matriks korelasi4 data arus distandardisasi terlebi daulu. !iat kembali contoh $1& matriks korelasi pada contoh $1 didefinisikan sebagai = 1 $ −#

=(V  )

1 $

V 

1

=

Cov   X 

[

/ σ

# √ 

##

1 $ −#

( V  ) =Cov   Z  

0

/ σ

. ..

0

. ..

0 ...

0

# √ 

...

...

. ..

0

0

. ..

//

.....(#)4 4 adala variabel % yang tela distandardisasi.

/ σ mm

# √ 

]

, m =/00

 ¯ #) ( X #− X  √ σ ##  ¯ /) ( X /− X  $ /= √ σ // $ #=

( $ m =

 ¯m ) ( X m − X  √ σ mm

/./ ?ilai Eigen4 a PC @ a9#b9/ mengasilkan nilai bGGa atau aGGb. al ini terjadi karena pada matriks varian8kovarian terdapat data yang jau melebii nilai # 1 lain. Cov ( X )= Hntuk mengatasi al tersebut4 ada baiknya sebelum mengitung PC4 kita 1 #00 menormalisasi data atau menggunakan matriks korelasi untuk menentukan EOF dan PC.

[

]

Dengan menggunakan matriks korelasi Persamaan (#) akan memberikan matriks korelasi sebagai berikut =

[

=

# .1

.1 #

]

dimana setiap elemen matriks korelasi didefinisikan sebagai =

[ ]

=# ρ ρ #

kemudian dengan menggunakan persamaan

|( − λ  I )|=0 |

#

.1

.1

#

−λ

#

0

0

#

|=| #− λ .1

.1 #

−λ

 |=0

*aka didapatkan persamaan sebagai berikut4 J/8/J0.61 @ 0 dengan akar8akar = J# @ #.1 J/ @ 0.& 5engan menggunakan persamaan persamaan (/) dan mengganti !o2'%0 menjadi ;& ( − λ  I ) ! E=Y  untuk J# @ #.14 didapatkan vektor eigen atau EOF sebagai berikut4

= EOF =[ 0.L0 0.L0L L

T 

v 1

1

0.L0 0.L0L L

]

dan untuk J / @ 0.& T  v $ = EOF $=[ 0.L0L − 0.L0L ] seingga nilai PC # dan PC / adala=  PC #=0.L0L $ #+ 0.L0L $ /

¯) ( X i− X  $ i = , √ σ ii

i =#4/

 PC /=0.L0L $ #−0.L0L $ / PC# dapat me>akili (#.1M(#.10.&)) @ L0N variansi data asli PC/ dapat me>akili (0.&M(#.10.&)) @ 30N variansi data asli 'erdasarkan asil tersebut dapat disimpulkan ba>a4 dengan menggunakan matriks korelasi kedua PC dapat me>akili data lebi setimbang daripada dengan menggunakan matriks varian8kovarian.

akili kumulatif G $%N

Referensi +onson +onson IA4 -iern -iern 5-. 5-. #$6/. #$6/.  Apllie &ultivariate 'tatistical Analysis. Analysis. ?e> +erse +ersey y (H,) = Prentie8all. !ee +4 -ang '4 -eeler *4 Fu 4 -aliser 54 ang . /0#3. Ieal8time multivariate indies for te boreal boreal summer summer intraseas intraseasonal onal osillation osillation over te Asian summer summer monsoon monsoon region. Climat Climatee  (ynamics(10)  (ynamics(10) = 1$38%0$. !oren" !oren" EE-.. #$%&. #$%&. Empirial Empirial ortogona ortogonall funtions funtions and statistia statistiall >eater >eater predition predition.. 'tatistical 'tatistical  )eport No!*, 'tatistical 'tatistical Forecasting Forecasting Project  Project .. -aliser 54 et al! /006. *+O simulation diagnostis. +ournal o Climate(//)=300&83030. Climate (//)=300&83030. -eeler *4 endon . /001. An all8season real8time multivariate *+O inde9 = development of an inde9 for monitoring and predition. +ournal o Climate(#3/)=#$#L8#$3/. Climate (#3/)=#$#L8#$3/. -ilks 5,. /00%. 'tatistical ðos in the Atmospheric 'ciences! ,an 5iego(H,) = Elsevier. 7ou ,4 !eureu9 *4 -eaver ,4 umar A. /0#/. A omposite study of te *+O influene on te surfa surfaee air temper temperatu ature re and preip preipita itatio tion n over over te Contin Continent ental al Hnited Hnited ,tates ,tates.. Clim Clima ate  (ynamics(36)=#1%$8#1L#.  (ynamics(36)=#1%$8#1L#.