Elments de Mcanique Des Sols

Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique Centre Universitaire de Béchar Département de Génie Civil

Eléments de Mécanique des Sols

Berga Abdelmadjid

Année Universitaire 2003 - 2004

Présentation

Ce cours est destiné aux étudiants de 3ème année de génie civil et hydraulique. Il présente les éléments fondamentaux de mécanique des sols aux étudiants non initiés avec cette discipline. Le document ne représente pas un substitue aux multiples ouvrages généraux ou spécialisés du domaine, mais son auteur souhaite qu'il constitue une synthèse conduisant le lecteur à saisir les grandes lignes de la matière, à s'intéresser aux problèmes posés ainsi que sentir le besoin d'approfondir les connaissances par la voie noble de l'auto-apprentissage. L'ouvrage comporte le nécessaire pour faire le calcul pratique en terme de principes, méthodes, formules, tables et abaques. Dans ce contexte, il représente un aide mémoire couvrant les chapitres du programme officiel, et laissant à l'auditeur l'occasion de se concentrer sur les notions de base plutôt que copier à la hâte des formules et expressions peux significatives. L'enseignant, se trouvera libérer de la nécessité d'écrire au tableau la majorité de ce qu'il prononce, il aura alors l'occasion de se concentrer sur l'aspect physique et conceptuel. Malheureusement, ayant fixé comme objectif une synthèse dans la matière, beaucoup de concepts, théories et méthodes restent peux développées et nécessitent un espace plus large pour une mise en valeur correcte. L'intéressé est alors invité à approfondir les notions diverses à travers la consultation d'une liste bibliographique proposée à la fin de l'ouvrage. Le document est organisé en chapitres. Chaque chapitre expose le cours, accompagnés dans la mesure du possible par des exemples dont la résolution ce fait pendant les conférences. Une série d'exercices résolus et de problèmes supplémentaires est proposée à la fin du chapitre. Pour que le module soit un espace d'échange bilatéral, des travaux seront proposés aux étudiants pour couvrir à travers des recherches bibliographiques des thèmes particuliers et sont vivement encouragés à les présenter sous forme d'exposés publiques. Les intérêts pédagogiques, scientifiques et relationnels seront parmi les retombées immédiats de cet approche. Sans aller plus loin, notons que la disponibilité du document ne doit décourager l'étudiant à assister au cours orale, car jamais un écrit ne peut remplacer l'apprentissage de main de maître. Enfin, s'agissant de la première version du document, je serrai reconnaissant au lecteur ses corrections de l'écrit, ses remarques, ainsi que ses suggestions. A. Berga Béchar, le 22 Mai 2003

Table des matières Thème

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Notations Chapitre 1: Introduction générale

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1.1 Objet de la mécanique des sols. 1.2 Disciplines de la mécanique des sols. 1.3 Historique. 1.4 Quelques grands projets. 1.5 Plan du cours.

10 10 11 12 12

Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

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2.1 La formation des sols. 2.2 Principales caractéristiques du sol et de la roche. 2.3 Structure des sols. 2.4 Analyse granulométrique. 2.5 Caractéristiques physiques communes aux différents sols 2.5.1 Masses et poids volumiques 2.5.2 Porosité, indice des vides et densité relative 2.5.3 Teneur en eau et degré de saturation. 2.6 Propriétés des particules fines. 2.6.1 Propriétés colloïdales 2.6.2 Surface spécifique. 2.6.3 Limites d'Atterberg. 2.6.4 Famille minéralogique. 2.6.5 Activité. 2.6.6 Sensitivité. 2.7 Classification des sols. 2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS)

14 14 14 15 20 20 22 23 23 23 24 24 26 28 28 28 29

Exercices du chapitre

34

Chapitre 3: Compactage

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3.1 Introduction 3.2 Définitions 3.3 Théorie du compactage 3.4 Essais au laboratoire 3.5 Matériel de compactage 3.6 Procédés spéciaux de compactage 3.7 Spécifications et contrôle du compactage sur le terrain

38 38 39 39 40 40 41

Thème

page

Exercices du chapitre

43

Chapitre 4: L'eau dans les sols

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4.1 Introduction 4.2 Généralités 4.2.1 Capillarité 4.2.2 Retrait et gonflement des sols 4.2.3 Action du gel 4.3 Dynamique de l'écoulement 4.3.1 Hypothèses 4.3.2 Conservation de la masse 4.3.3 Charge hydraulique (Equation de Bernoulli) 4.3.3 Gradient hydraulique 4.3.4 Loi de Darcy pour l'écoulement à une dimension 4.3.5 Généralisation aux écoulements à 2 et 3D 4.4 La Perméabilité des sols 4.4.1 Mesure du coefficient de perméabilité au Laboratoire 4.4.1.1 Perméamètre à charge constante 4.4.1.2 Perméamètre à charge variable 4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site 4.4.3 Formules empiriques 4.4.3.1 Formule de Hazen 4.4.3.2 Formule de Taylor 4.4.4 Perméabilité moyenne fictive verticale et horizontale 4.5 Principe de la contrainte effective 4.5.1 Loi de Terzaghi 4.5.2 Loi de Skempton 4.5.3 Loi de Bishop 4.5.4 Cas d'écoulement linéaire 4.6 Effet Renard 4.7 Force d'écoulement 4.8 Réseaux d'écoulement 4.9 Contrôle des écoulements

44 44 44 45 45 45 45 45 45 46 46 47 47 48 48 48 48 49 49 49 50 50 50 51 51 51 52 52 53 54

Exercices du chapitre

56

Chapitre 5: Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures

60

5.1 Introduction 5.2 Charge concentrée verticale, problème 3D 5.3 Charge linéaire uniforme répartie sur une longueur infinie 5.4 Charge uniforme répartie sur une bande de longueur infinie 5.5 Charge uniformément répartie 5.5.1 Cas de surface circulaire

60 60 62 62 62 62

Thème 5.5.2 Cas de bande rectangulaire

page 62

5.6 Charge surfacique trapézoïdale de grande longueur 64 5.7 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur limitée 67 5.8 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie 5.9 Charge triangulaire symétrique répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie 5.10 Charge uniformément répartie sur une surface irrégulière 5.11 Charge quelconque répartie sur une bande de longueur infinie 5.12 Théorie de Westergaard

67 69 69 70 70

Exercices du chapitre

73

Chapitre 6: Tassement, Compressibilité et Consolidation

74

6.1 Introduction, le tassement 6.2 Composantes du tassement 6.3 Compressibilité 6.4 Consolidation 6.5 Détermination de la contrainte de préconsolidation 6.6 Prédiction de la courbe de consolidation pour le sol en place 6.7 Calcul des tassements primaires 6.7.1 Méthode globale 6.7.2 Calcul des tassements instantanés 6.7.3 Calcul des tassements de consolidation 6.8 Vitesse de consolidation 6.8.1 Introduction 6.8.2 Phénomène de la consolidation 6.8.3 Théorie de Terzaghi pour la consolidation unidimensionnelle 6.8.3.1 Les hypothèses 6.8.3.2 Mise en équations 6.8.3.3 Résolution 6.8.3.4 Degré de consolidation 6.8.3.5 Degré de consolidation moyen 6.9 Détermination expérimentale du coefficient de consolidation 6.9.1 Méthode de Casagrande 6.9.2 Méthode de Taylor 6.10 Détermination du coefficient de perméabilité 6.11 Evaluation de la compression secondaire 6.11.1 Définition 6.11.2 Hypothèses 6.11.3 Calcul du tassement secondaire 6.12 Tassements admissibles et précautions à adopter

74 74 75 77 78 79 80 80 81 82 84 84 84 85 85 86 86 87 88 91 91 92 93 93 93 93 93 94

Exercices du chapitre

96

Thème

page

Chapitre 7: Rappels de mécanique des milieux continus

100

7.1 Introduction: mécanique des milieux continus 7.2. Les forces 7.3 Champ de contrainte 7.3.1 Postulat d'Euler Cauchy 7.3.2 Vecteur de contrainte 7.3.3 Tenseur de contrainte 7.4 Propriétés du tenseur de contrainte 7.4.1 Equation d'équilibre 7.4.2 Conditions aux limites 7.4.3 Symétrie 7.4.4 Rotation des axes 7.4.5 Contraintes principales 7.4.6 Invariants 7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique 7.4.8 Convention de signe en mécanique des sols 7.4.9 Etat plan de contrainte 7.4.10 Equation d'équilibre en coordonnées sphériques 7.5 Cercle de Mohr 7.5.1 Construction directe 7.5.2 Construction inverse 7.5.3 Pôle des faces 7.5.4 Tricercle de Mohr 7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes 7.5.6 Ellipsoide de contrainte 7.6 Champ de déformation. 7.6.1 Mouvement, déplacement et déformation 7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale 7.7 Propriétés du tenseur de déformation 7.7.1 Conditions de compatibilité 7.7.2 Conditions aux limites 7.7.3 Dilatation volumique 7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques 7.8 Relation contrainte-déformation. 7.8.1 Position du problème de mécanique des solides 7.8.2 Bilan des équations et des inconnues 7.8.3 Résolution 7.8.4 Lois constitutives 7.8.5 Elasticité linéaire 7.8.6 Autres lois constitutives 7.9 Critères de plasticité 7.10 Aspects énergétiques et thermodynamiques

100 101 101 101 101 102 102 102 102 103 103 103 104 104 104 105 105 105 107 107 108 108 109 109 109 110 110 111 111 111 112 112 112 112 113 113 113 114 117 118

Exercices du chapitre

119

Thème Chapitre 8: Résistance des sols au cisaillement

page 124

8.1 Introduction. 124 8.2 Critère de rupture de Mohr-Coulomb. 124 8.3 Essais de résistance des sols au cisaillement. 125 8.3.1 Essai de cisaillement directe 125 8.3.2 Essai triaxial 126 8.3.3 Essais spéciaux 127 8.3.4 Essais sur site 128 8.4 Cheminement des contraintes. 128 8.5 Résistance des sables au cisaillement. 130 8.5.1 Sable saturé en cisaillement drainé. 130 8.5.2 Sable saturé en cisaillement non drainé. 131 8.5.3 Autres facteurs influençant la résistance des sables au cisaillement 133 8.5.4 Liquéfaction et mobilité des sables saturés soumis à des charges cycliques. 135 8.6 Résistance des sols cohérents saturés au cisaillement. 154 8.6.1 Comportement à l'essai triaxial consolidé drainé 154 8.6.2 Comportement à l'essai triaxial consolidé non drainé 155 8.6.3 Comportement à l'essai triaxial non consolidé non drainé. 160 8.6.4 Essai de compression simple 161 8.6.5 Variation de la pression interstitielle 161 8.6.6 Cheminement des contraintes durant un chargement non drainé sur les argiles normalement consolidées 166 8.6.7 Cheminement des contraintes pendant un chargement non drainé sur les argiles surconsolidées 168 8.6.8 Application des cheminements des contraintes sur certains problèmes 170 Exercices du chapitre

172

Chapitre 9: Pression latérale des terres

176

9.1 Introduction 9.2 Pression des terres au repos et relation pression latérale-déformation latérale 9.3 Essais sur la poussée des terres 9.4 Etats de l'équilibre limite 9.4.1 Définition 9.4.2 Equilibre de Rankine 9.4.2.1 Hypothèses 9.4.2.2 Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre 9.4.2.3 Equilibres inférieur et supérieur 9.4.2.4 Contrainte sur la facette verticale 9.4.2.5 Lignes de glissement 9.4.2.6 Distribution des contraintes

176 176 177 178 178 178 178 178 178 179 179 180

Thème

page

9.4.3 Equilibre de Boussinesq 9.4.3.1 Hypothèses 9.4.3.2 Poussée sur un écran 9.4.3.3 Calcul du coefficient de Poussée 9.4.3.4 Etude de la solution 9.4.4 Cas de milieu pulvérulents non pesant chargés 9.4.5 Cas des sols cohérents (théorème des états correspondants) 9.5 Calcul pratique de la poussée et de la butée 9.5.1 Théorie de Rankine 9.5.1.1 Introduction 9.5.1.2 Etat actif 9.5.1.3 Etat passif 9.5.1.4 Poussée due à une surcharge uniforme 9.5.1.5 Cas de surface libre inclinée 9.5.2 Théorie de Coulomb 9.5.2.1 Introduction 9.5.2.2 Etat actif 9.5.2.2.1 Sol pulvérulent 9.5.2.2.2 Sol cohérent 9.5.2.3 Etat passif 9.5.3 Théorie de Boussinesq (Tables de Caquot et Kérisel) 9.5.4 Construction de Culmann 9.5.4.1 sol pulvérulent non chargé 9.5.4.1.1 Etat actif 9.5.4.1.2 Etat passif

182 182 183 183 186 193 198 199 199 199 199 200 201 201 202 202 203 203 204 205 205 206 206 206 207

Exercices du chapitre

208

Chapitre 10: Reconnaissance des sols

210

10.1 Introduction. 10.2 Essais de laboratoire 10.2.1 Introduction 10.2.2 Essais physiques 10.2.3 Essais chimiques et minéralogiques 10.2.4 Essais hydrauliques 10.2.5 Essais mécaniques 10.3 Essais sur place 10.3.1 Introduction 10.3.2 Reconnaissance des sols 10.3.2.1 Introduction 10.3.2.2 Méthodes géophysiques 10.3.2.2.1 Prospection électrique 10.3.2.2.2 Prospection sismique 10.3.2.2.3 Prospection par micro-gravimétrie 10.3.2.3 Les sondages

210 210 210 211 211 211 211 211 211 212 212 212 212 212 212 212

Thème 10.3.2.3.1 Prospection géologique 10.3.2.3.2 Reconnaissance hydrologique 10.3.3 Essais sur les caractéristiques physiques 10.3.4 Essais mécaniques 10.3.4.1 Essais de chargement à la plaque ou à la table 10.3.4.2 Essais pour le sol sous action dynamique 10.3.4.3 Scissomètre 10.3.4.4 Rhéotest 10.3.4.5 Pressiomètre 10.3.4.6 Essai de pénétration au cône 10.3.4.7 Essais de battage 10.3.4.7.1 Essai de pénétration normalisé (S.P.T) 10.3.4.7.2 Pénétromètre statique 10.3.4.7.3 Pénétromètre dynamique Chapitre 11: Solutions de quelques exercices Références bibliographiques

page 212 212 213 213 213 213 213 213 213 214 214 214 214 214 216

Notations

Alphabet minuscule a av b c cw d det d' dd dh ds ds e ec ecrit emax emin ep f fv g h hc i k k0 kq kx, ky l m ms mt mv n ni pa pp ps pt pw q r rm rsc sm t tr ti tp u

Constante, dimension Coefficient de compressibilité Constante, dimension Compacité, cohésion Contrainte d'adhérence massif-écran Déformation volumique Déterminant d'une matrice densité déjaugée densité sèche densité humide densité de la phase solide Distance infinitésimale Indice des vides, vecteur unitaire Indice des vides en fin de consolidation Indice des vides critique Indice des vides dans l'état le plus lâche Indice des vides dans l'état le plus dense Indice des vides à la fin de consolidation primaire Fonction de charge, fonction Force de volume Accélération terrestre, fonction Hauteur, charge hydraulique, épaisseur Ascension capillaire Gradient hydraulique Coefficient de perméabilité, vecteur unitaire Coefficient de poussée des terres au repos Coefficient de la poussée latérale due à une surcharge Coefficients de perméabilité suivant x et y Longueur d'un chemin, vecteur unitaire Paramètres, vecteur unitaire Masse de la phase solide Masse totale Coefficient de changement de volume Porosité, paramètre, nombre de carreaux, vecteur unitaire normal Composante de vecteur unitaire normal Poussée active Poussée passive Poids de la phase solide Poids totale Poids de l'eau Débit, charge répartie Vecteur position, rayon d'un cercle Rayon du ménisque Taux de surconsolidation contrainte moyenne Temps, vecteur contrainte Trace d'un tenseur Composante de vecteur contrainte Temps de 100 % de consolidation Pression interstitielle, vecteur ou composante déplacement

ua uc v vs vt vv vw w x, x' z

Pression de l'air Pression capillaire Vitesse, vitesse de décharge, composante de déplacement Volume de la phase solide Volume total Volume des vides Volume de l'eau Masse, composante de déplacement Coefficient, distance Altitude, profondeur

Alphabet majuscule A B Ac C Cc Cce Cr Cre Cu Cv Cw Cα Cαe D Dx E Eij E' F Fa Fi Fp H Hdr I Ii Ic Id IL Ip K K0 Ka Kac Kaq Kaγ Kp Kpc Kpq Kpγ Kq Kγ L M Mt P

Activité, aire d'une section, paramètre de la pression interstitielle Dimension, paramètre de la pression interstitielle Aire de contact Coefficient, matrice de passage Coefficient de courbure, indice de compression Indice de compression modifié Indice de recompression Indice de recompression modifié Coefficient d'uniformité Coefficient de consolidation Résultante de l'adhérence massif-écran Indice de compression secondaire Indice de compression secondaire modifié Profondeur d'influence (consolidation dynamique) Diamètre du tamis correspondant à x % de tamisa cumulé Tenseur de déformation, module de Young Composante du tenseur de déformation Module oedométrique Force de volume Résultante de la poussée active Composante de force de volume Résultante de la poussée passive Hauteur, épaisseur Longueur de drainage Facteur d'influence Invariant d'un tenseur Indice de consistance Indice de densité Indice de liquidité Indice de plasticité Coefficient de pression des terres Coefficient de poussée des terres au repos Coefficient de la poussée active Coefficient de la poussée active due à la cohésion Coefficient de la poussée active due à une surcharge Coefficient de la poussée active due au poids des terres Coefficient de la poussée passive Coefficient de la poussée passive due à la cohésion Coefficient de la poussée passive due à une surcharge Coefficient de la poussée passive due au poids des terres Coefficient de la poussée latérale due à une surcharge Coefficient de la poussée due au poids des terres Dimension Masse Masse totale pression, force totale de contacte, force concentrée

P' Q R Re S Sc Sd Si Sij Sr Sp Ss St T Targ U, Uz Umoy V V0 Vs Vt W WL WP WR Wop Z

Force effective de contacte Débit Distance radiale, lecture micrométrique, Réaction Nombre de Reynolds Tenseur déviateur, tassement, fonction Tassement de consolidation Tassement différentiel Tassement instantané Composantes du tenseur déviateur Degré de saturation Tassement primaire Surface spécifique, tassement secondaire Sensitivité, tassement total Tension, tension capillaire, tenseur de contrainte, facteur temps Teneur en argile Degré de consolidation Degré de consolidation moyen Vitesse moyenne, volume Volume initial Volume de la phase solide Volume total Teneur en eau, poids propre Limite de liquidité Limite de plasticité Limite de retrait Teneur en eau optimale Profondeur

Symbole minuscule α α0 αr β γ' γd γh γs γsat γw δ δij λ µ ν ε ε, εij εm εp εv η θ ρ ρ' ρd ρh ρs ρw

Angle, scalaire, inclinaison d'un écran par rapport à l'horizontale inclinaison d'une surcharge inclinaison du plan de rupture Angle, inclinaison de la surface libre d'un massif Poids volumique déjaugé Poids volumique sec Poids volumique humide Poids volumique des grains solides Poids volumique du sol saturé Poids volumique de l'eau Angle, angle de frottement massif-écran Symbole de Kronecker Valeur propre, coefficient de Lamé, inclinaison d'un écran par rapport à la verticale Coefficient de Lamé Coefficient de Poisson Angle, déformation Tenseur ou composante de petite déformation Déformation moyenne Déformation plastique Déformation verticale Coefficient de viscosité Angle de position Masse volumique, distance radiale Masse volumique déjaugée Masse volumique sèche Masse volumique humide Masse volumique des grains solides Masse volumique de l'eau

σ σ1 σ2 σ3 σeq σh σm σn σr, σf σs σz σij σrr, σθθ σ' σ'3c σ'3crit σ'p σv σ'vc σ'v0 τ τij τm, τmax τr, τf τ' φ φ' ψ ωβ, ωδ, ωα0

Contrainte normale, contrainte normale totale, tenseur de contrainte Contrainte principales Contrainte équivalente Contrainte horizontale Contrainte moyenne Contrainte normale Contrainte normale à la rupture Contrainte seuil Contrainte verticale Composante de tenseur de contrainte Composante de contrainte dans un repère polaire ou cylindrique Contrainte normale effective, contrainte dans un nouveau repère Contrainte latérale effective de confinement Contrainte latérale effective critique Contrainte verticale de préconsolidation Contrainte verticale Contrainte verticale de consolidation Contrainte verticale due au poids des terres Résistance, contrainte tangentielle totale Composante tangentielle de tenseur de contrainte Contrainte tangentielle maximale Contrainte tangentielle à la rupture Contrainte tangentielle effective Potentiel de vitesse, angle de frottement interne Angle de frottement interne (analyse en contraintes effectives) Angle entre la direction de σ1 et un rayon polaire Angle

Symbole majuscule, opérateur ∆ ∇ ċ (point) ,

Variation, Laplacien Opérateur Nabla (différentiel) Vitesse de c Dérivée partielle

Autres enrichissements Gras

Vecteur, tenseur, matrice

Chapitre 1: Introduction générale

1.1 Objet de la mécanique des sols. 1.2 Disciplines de la mécanique des sols. 1.3 Historique. 1.4 Quelques grands projets. 1.5 Plan du cours.

Chapitre 1

Introduction générale

1.1 Objet de la mécanique des sols Les ouvrages utilisent le sol autant qu’un élément de l’infrastructure qui transmet la charge globale de l’ouvrage vers une couche du sol suffisamment stable et résistante. De ce fait, la réussite de l’ouvrage relève de la réussite du projet de fondation. Selon le type de l’ouvrage et son mode de conception, le sol peut constituer une base d’appuis pour l’ensemble de l’ouvrage tel que route, tunnel, barrage poids, mur de soutènement, aérodrome, ou un point d’appuis pour quelques éléments seulement tel que bâtiment, pont, barrage en arc ..etc. La mécanique des sols (et des roches) est la science qui regroupe l’ensemble des connaissances et des techniques qui permettent D’identifier les caractéristiques qui régissent le comportement mécanique du sol. L’analyse de l’interaction sol-structure La réalisation correcte des ouvrages enterrés. A titre indicatif, la mécanique des sols traite les problèmes relatifs aux fondations diverses, ouvrages de soutènement, remblais et structures en terre, stabilité des pentes et talus, route, piste d’atterrissage, tunnels, mines… 1.2 Disciplines de la mécanique des sols Afin de réaliser les objectifs citées ci-dessus, plusieurs disciplines seront nécessaires. 1.2.1 Géologie du terrain L’étude de la géologie du terrain est d’une grande importance. En effet, elle permet d’identifier les différentes couches du sol, leurs épaisseurs et leurs pendages ainsi que la présence éventuelle de nappe d’eau souterraine. D’autre part, l’étude géologique des couches présentes donne des descriptions qualitatives du sol, répond sur quelques questions relatives à l’histoire du dépôt et permet d’orienter les recherches préliminaires.

11 Eléments de Mécanique des Sols

1.2.2 Caractéristiques physico-chimiques L’étude des caractéristiques physiques et chimiques des sols a montré sa grande utilité pour la prédiction ou l’interprétation du comportement du sol. La majorité de ces propriétés sont déterminées par des essais au laboratoire ou sur site. 1.2.3 Etude hydraulique En présence d’eau, l’étude de la perméabilité des différentes couches s’impose pour estimer la résistance du sol dans les conditions les plus défavorables et le risque au glissement. La détermination du niveau de stabilisation et l’étude du régime d’écoulement permet de choisir le matériel de pompage et d’épuisement, comme il permet de parer aux phénomènes des sables boulants. La détermination de la nature chimique de l’eau souterraine permet de prévoir le mode d’étanchéité des structures enterrées. 1.2.4 Caractéristiques mécaniques L’analyse du comportement mécanique des sols repose sur les conclusions des disciplines précédentes ainsi que sur des essais de laboratoire ou sur site. Cette discipline permet de déterminer la résistance du sol et sa capacité portante, et par conséquent le choix du mode de fondation et les dimensions des éléments enterrés. Enfin, elle permet de prévoir de façon quantitative la déformation ou tassement du sol sous la charge de l’ouvrage. 1.2.5 Recherche théorique et modélisation numérique Dans le but de la compréhension des phénomènes physiques complexes, plusieurs théories ont été développées. Elles décrivent les problèmes posés par des modèles mathématiques rigoureux dont la résolution fait recours aux techniques informatiques et numériques de plus en plus avancées et occupe une large partie de la recherche actuelle dans ce domaine. 1.2.6 Conception et mise en œuvre Ce sont les techniques acquises pour la conception et la réalisation des ouvrages enterrés. Elle prend en compte l’étude des coûts des différentes solutions possibles. Autre que le savoir faire, la réglementation en vigueur doit être suivie pas à pas pour garantir les conditions de sécurité que ce soit pendant la réalisation ou au cours de l’exploitation de Siècle Auteur Théorie l’ouvrage. ème 18

1.3 Histoire de la mécanique des sols

19ème

Coulomb Collin Darcy Rankine

Résistance au cisaillement Rupture dans les talus d’argile Ecoulement de l’eau à l’intérieur du sable Pression des terres sur les murs de soutènement Drainage horizontal, remblai compacte avec contrefort pour stabiliser la pente des tranchées de voies ferrées Limites de consistance de l’argile Premier manuel moderne de mécanique des sols Essais sur la limite de liquidité

On peut Gregory suivre l’évolution de la mécanique des Atterberg sols à travers son 20ème Terzaghi apparition autant qu’une science à Casagrande part entière et le développement de ses grandes théories (voir le tableau ci-contre).

12 Chapitre 1: Introduction générale

1.4 Quelques grands projets de mécanique des sols à travers le monde Le sujet se prête à une recherche bibliographique intéressante. Il est constamment proposé aux étudiants de différentes promotions autant que travail à exposer. 1.5 Plan du cours Le chapitre deux est consacré à la description macroscopique, la composition minéralogique, structure et caractéristiques physiques des sols ce qui permet d’établir des systèmes de classification des sols. Le chapitre trois s’intéresse à l’amélioration des caractéristiques du sol par compactage, et présente les essais Proctor lié au problème. Dans le quatrième chapitre on étudie l’eau dans le sol, la perméabilité du sol, la loi de Darcy régissant l’écoulement de l’eau dans le sol, les réseaux d’écoulement, la contrainte verticale due au poids des terres et la notion de la contrainte effective. Le chapitre cinq donne les résultats pratiques pour l’étude de la distribution des contraintes dues aux charges extérieures. Le sixième chapitre expose de façon détaillée le calcul du tassement du sol sous charge extérieure, l’étude de la compressibilité et de la vitesse de consolidation du sol. Le chapitre sept est relatif à l’étude de la résistance des sols au cisaillement pour lequel les notions fondamentales de mécanique des milieux continus, et l’utilisation du cercle de Mohr seront rappelés. Le chapitre huit présente en détail les différentes théories associées à l’équilibre limite et abouti au calcul pratique de la pression latérale des terres.

13 Eléments de Mécanique des Sols

Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

2.1 La formation des sols. 2.2 Principales caractéristiques du sol et de la roche. 2.3 Structure des sols. 2.4 Analyse granulométrique. 2.5 Caractéristiques physiques communes aux différents sols 2.5.1 Masses et poids volumiques 2.5.2 Porosité, indice des vides et densité relative 2.5.3 Teneur en eau et degré de saturation. 2.6 Propriétés des particules fines. 2.6.1 Propriétés colloïdales 2.6.2 Surface spécifique. 2.6.3 Limites d'Atterberg. 2.6.4 Famille minéralogique. 2.6.5 Activité. 2.6.6 Sensitivité. 2.7 Classification des sols. 2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS)

Chapitre 2

Caractéristiques physiques des sols

2.1 Formation des sols La terre est recouverte d’une couche plus ou moins solide de roches basaltiques et granitiques d’une épaisseur de 10 à 40 km. Au dessus se trouve le sol. Il s’agit d’une mince couche d’épaisseur variable de matériaux non consolidés à cause des effets géologiques tels que les altérations qui provoquent la désintégration des roches en petites particules. L’altération physique comprend le gel et dégel, variation de température, et activité humaine, animale ou végétale. Comme altération chimique on site l’oxydoréduction et la carbonatation. On peut considérer l’érosion autant qu’une altération mécanique. 2.2 Principales caractéristiques du sol et de la roche Le sol est un matériau hétérogène et anisotrope comportant des minéraux et des matériaux organiques. La présence de l’air et de l’eau font du sol un matériau complexe à effet du temps. Son comportement est non linéaire et irréversible d’où la nécessité de combiner essais en laboratoire et en place, analyse théorique et modélisation, expérience cumulée et bon jugement pour la réussite d’une étude géotechnique. 2.3 Structure des sols Le sol est un matériau constitué de particules. Les dimensions de ces particules peuvent être uniformes ou variées allant des cailloux de 10 cm et s’étendant jusqu’aux particules fines de moins du micron. Autre que la grosseur des grains, les particules possèdent d’autres caractéristiques telles que forme, texture et structure élémentaire. 2.3.1 Grosseur des grains Lorsque le sol est constitué de grains de dimensions variables, l’analyse granulométrique (voir ci-dessous) permet d’étudier la répartition des particules selon leurs grosseurs. Toutefois, on peut commencer par une description grossière à l’œil nu (Tab. 2.1). 2.3.2 Forme Il s’agit de la description de la forme géométrique du grain (Fig. 2.1). 2.3.2.1 Particules cubiques ou sphériques. Elles prédominent dans les sols à gros grains. Pour une description plus précise, on utilise les adjectifs : arrondies, sous-arrondies, angulaires et sous-angulaires. 2.3.2.2 Particules en plaquettes Typique des sols à grains fins. 2.3.2.3 Particules en bâtonnets où aiguilles. Cette forme est moins répondue dans le sol.

15 Eléments de Mécanique des Sols

Propriété

Graviers, Sables

Silt

Argiles

Grosseur

Gros grains, visibles à l'œil nu

Grains fins invisibles à l'œil nu

Grains fins invisibles à l'œil nu

Caractéristiques

Granulaire Pulvérulents Non plastiques

Granulaire Pulvérulents Non plastiques

Cohérents Plastiques

Effet de l'eau

Peux d'importance

Important

Très important

Effet de la distribution granulométrique

Important

Sans grande importance

Sans grande importance

Tab. 2.1: Propriétés texturales des sols.

2.3.3 Texture Pour sa description on utilise les adjectifs polie, mate, douce, rugueuse, striée, givrée. 2.3.4 Structure élémentaire Les particules de toutes dimensions et toutes formes s’arrangent dans le sol pour former des structures variées. Les particules des sols à gros grains ont un arrangement élémentaire de sorte que chaque grain est solidement installé entre ses voisins telles les structures élémentaires extrêmes (la plus compacte et la plus lâche), structure dense, structure lâche et structure en nid d’abeille (Fig. 2.2). Dans les argiles, on peut trouver des structures en nid d’abeille et structure floconneuse qui sont moins résistantes (Fig. 2.3). Les sols relevant de ce dernier type posent des problèmes redoutables tels que gonflement et tassement. Les grains d’argile en forme de plaquettes, peuvent s’arranger de plusieurs façons (Fig. 2.4). Lorsque le sol comporte des grosseurs de grain variables (grosse ou fine), les arrangements se diversifient entre agrégats, amas et matrices (Fig. 2.5). 2.4 Analyse granulométrique C’est l’étude au laboratoire de la répartition des grains d’un sol selon leurs dimensions. L’essai se fait en suivant un mode opératoire bien précis. Pour les sols grossiers, on effectue un tamisage tandis que pour les particules très fines l’essai se fait par sédimentométrie. En général, l’interprétation des résultats se fait en dressant la courbe du tamisat cumulé en fonction du diamètre des grains (Fig. 2.6). Dans ce contexte, on introduit des coefficients permettant la description de la répartition granulométrique: le coefficient de courbure Cc et le coefficient d'uniformité Cu.

16 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

arrondie

sous-arrondie

angulaire

sous-angulaire

Fig. 2.1 : Quelques formes typiques de grains grossiers

Structure élémentaire lâche n = 0,48

structure dense

Structure élémentaire dense n = 0,26

structure lâche

structure en nid d'abeille

Fig. 2.2 : Arrangement de sols à grains grossiers

17 Eléments de Mécanique des Sols

structure en nid d'abeille

structure floconneuse

Fig. 2.3: Arrangement de sols à grains fins

arrangement de plaquettes d'argile

arrangement de groupement de plaquettes d'argile

Enchevêtrement d'amas d'argile

Fig. 2.4: Différents arrangements de plaquettes d'argile (d'après introduction à la géotechnique)

18 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

matrice de particules argileuses

grains de silt et de sable

matrice de particules granulaires

enchevêtrement d'amas d'argile avec inclusions de silt

plaquettes de silt et grains de sable

matrice partiellement discernable entre particules

Fig. 2.5: Arrangement de particules solides de différentes grosseurs (d'après introduction à la géotechnique)

19 Eléments de Mécanique des Sols

arrangement de sable ou silt avec un liant

arrangement d'agrégat régulier avec des grains de sable ou silt

agrégats irréguliers retenus par un liant

arrangement d'agrégat régulier avec une matrice de particules fines

agrégats irréguliers formant un nid d'abeille

Fig. 2.5 : (suite) Arrangement de particules solides de différentes grosseurs (d'après introduction à la géotechnique)

20

P o u rc e n ta g e d e p a s s a n t e n m a s s e

Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

100

80

60

40

20

0 1 E -3

0 ,0 1

0 ,1

1

10

100

D ia m è tre d e s g ra in s [ m m ]

Fig. 2.6: Exemple de courbes granulométriques

Coefficient d’uniformité Cu. Il est défini par : Cu = D60 D10

(2.1)

Il sert à la description de la granulométrie (Tab. 2.2). Dx est par définition le diamètre du tamis dont le tamisat cumulé est égal à x %.

Cu 1 1–2 2–5 5 – 20 > 20

Granulométrie A une seule grosseur Très uniforme Uniforme Peu uniforme Très étalée

Tab. 2.2: Echelle de granulométrie selon Cu

Coefficient de courbure Cc Il est défini par : Cc =

2 D30 D10.D60

(2.2)

On considère que lorsque Cu est supérieur à 4 pour les graviers, et supérieur à 6 pour les sables, alors 1 < Cc < 3 donne une granulométrie bien étalée. Exemple 2.1 A l’aide des courbes granulométriques ci-dessous (Fig. 2.6), déterminer les valeurs respectives du coefficient d’uniformité et du coefficient de courbure. 2.5 Caractéristiques physiques communes aux différents sols 2.5.1 Masses et poids volumiques Un sol en place est un complexe constitué en général de trois phases : solide, liquide et gaz (Fig. 2.7).

air va eau vw

air ma ≈ 0 eau mw

grains vs

grains ms

Fig. 2.7 : volume élémentaire d’un sol

21 Eléments de Mécanique des Sols

. On appelle masse volumique apparente ou tout simplement masse volumique, la masse par unité de volume du sol considéré : ρh = m t vt

(2.3)

. La masse volumique sèche est la masse de la matière sèche contenue dans l’unité de volume : ρd = ms vt

(2.4)

Dans la majorité des questions, c’est le poids volumique qui intervient, notons donc pi le poids associé à la masse mi, d'où les définitions: γh le poids volumique (apparent) γh =

pt vt

(2.5)

γd le poids volumique sec γd =

ps vt

(2.6)

γw le poids volumique de l’eau γw =

pw vw

(2.7)

γs le poids volumique des grains solides γs =

ps vs

(2.8)

γ' le poids volumique déjaugé. C'est le poids apparent des grains solides baignant dans l’eau. On montre qu’il est donné par : γ' = γsat - γw

(2.9)

où γsat est le poids volumique apparent du sol saturé. Parfois on utilise les densités par rapport à l’eau : dh la densité humide dh =

γh γw

dd la densité sèche

(2.10)

22 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

dd =

γd γw

(2.11)

ds la densité des grains solides ds =

γs γw

(2.12)

d’ la densité déjaugée d' =

γ' γw

(2.13)

Remarque 2.1 La densité des gains solides varie peu. Cette conclusion est le fait que l’Aluminium et le Silicium sont les éléments dominant dans les sols. Ces deux éléments simples ont des poids atomiques voisins (26,98 et 28,09 respectivement). Ainsi la plupart des minéraux constitutifs des sols ont une densité des grains solides située entre 2,4 et 2,9. 2.5.2 Porosité, indice des vides et densité relative (indice de densité) 2.5.2.1 Porosité et compacité La porosité est le rapport du volume des vides (eau et air) au volume total du sol. n = vv vt

(2.14)

Dans un volume égale à l’unité, les grains solides occupent le volume 1-n dit compacité. c=1–n 2.5.2.2 Indice des vides C’est le rapport du volume des vides au volume des grains solides e = vv vs

(2.15)

cette définition aboutit aux relations e=

n 1− n

et

n=

e 1+e

(2.16)

2.5.2.3 Densité relative ou indice de densité Elle est définie par l’expression Id = emax − e emax −emin

où

emin est l’indice des vides correspondant à l’état le plus compact. emax est l’indice des vides correspondant à l’état le plus lâche.

(2.17)

23 Eléments de Mécanique des Sols

e est l’indice des vides du sol en place. L’indication de l’indice de densité permet d’avoir une idée sur l’état de tassement d’un sol donné : Id = 0 pour l’état le plus lâche (e=emax) et Id=1 pour l’état le plus compact (e=emin). 2.5.3 Teneur en eau et degré de saturation 2.5.3.1 Teneur en eau C’est le rapport du poids de l’eau au poids de la matière sèche w=

pw ps

(2.18)

W 0 - WR WR – WP WP – WL ≥ WL

Etat du sol Solide sans retrait Solide avec retrait Plastique Liquide

Tab. 2.3: Echelle de teneur en eau.

Selon la teneur en eau du sol naturel on le classe comme résumé ci-contre (Tab. 2.3). 2.5.3.2 Degré de saturation C’est le rapport du volume occupé par l’eau au volume total des vides Sr = v w vv

(2.19)

Le degré de saturation permet de classer le sol comme indiqué sur (Tab. 2.4).

Sr 0 1 – 25 25 – 50 50 – 75 100

Etat du sol Sec Peu humide Humide Très humide saturé

Tab. 2.4: Echelle de saturation.

Exemple 2.2 Considérons un sol caractérisé par : La masse volumique totale est égale à 1,76 g/cm3, la masse volumique des grains solides est égale à 2,7 g/cm3 et la teneur en eau est de 10 %. Calculer les valeurs de : La masse volumique du sol sec, l’indice des vides, la porosité, le degré de saturation et la masse volumique du sol saturé. La masse volumique de l’eau est prise égale à 103 kg/m3 = 1 g/cm3. 2.6 Propriétés des particules fines Dans le sol, les particules fines et particulièrement les argiles possèdent des caractéristiques spécifiques par rapport aux grosses particules. Ces propriétés jouent de grands rôles dans le comportement mécanique des sols.

grain solide eau interstitielle

2.6.1 Propriétés colloïdales eau De nombreuses propriétés des argiles peuvent adsorbée s’expliquer sur la base des phénomènes physico-chimiques qui se produisent à la surface des grains. En effet, chaque particule Fig. 2.8 : Eau interstitielle d’argile est chargée d’électricité négative sur sa surface et eau adsorbée extérieure. L’eau contenue dans le sol est alors soumise à un champ électrique près de la surface des grains. Les molécules de l’eau au voisinage des grains n’ont plus les propriétés physiques de l’eau normale : c’est de l’eau liée ou solide. Alors chaque grain est enveloppé dans un film d’eau de nature spéciale dite eau adsorbée dont l’épaisseur est de l’ordre de cinq millimicrons (Fig. 2.8). Cette eau a des effets négligeables sur les sables et les limons, mais elle a un rôle essentiel dans le comportement des argiles. On conclut que le comportement du sol fin peut être sensiblement modifié par la présence d’ions

24 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

de divers types dans l’eau interstitielle. C’est pourquoi on précise souvent la nature du cation qui prédomine dans les couches adsorbées. D’autre part, cela montre que la surface extérieure du grain joue un rôle principal dans le comportement de l’argile. Ce rôle est accentué par l’énorme développement de la surface du grain par rapport à sa masse. On est donc amené tout naturellement à définir la surface spécifique ou surface du grain contenu dans l’unité de volume ou de masse. 2.6.2 Surface spécifique Elle est définie par le rapport entre la surface d’un solide et sa masse ou son volume. Dans ce cours on retiendra : S S = surface volume

(2.20)

Exemple 2.3 Calculer les surfaces spécifiques de cubes de côtés égales respectivement à 1cm, 1mm et 1 µm. On constate que lorsqu’on tente de mouiller la surface extérieure des cubes ci-dessus, il faudrait dix fois plus d’eau pour mouiller la surface d’un grain cubique de 1 mm de côté occupant le même volume solide qu’un grain cubique de 1 cm de côté. De ce fait, les grosses particules ont des surfaces spécifiques plus faibles que les petites particules. En partant de ce principe, on peut s’attendre à ce que les teneurs en eau des sols à grains fins soient plus élevées que celles des sols à grains grossiers, lorsque touts les autres facteurs, tels l’indice des vides et la structure sont identiques. 2.6.3 Limites d’Atterberg Les argiles forment des pâtes dans lesquelles chaque grain est relié aux grains voisins par des forces de cohésion dues à la présence des couches adsorbées. La consistance qui en résulte dépend en grande partie de la teneur en eau du matériau. On distingue alors trois états de la consistance des argiles : états liquide, plastique et solide (Fig. 2.9). A l’état liquide, les grains sont indépendants les uns des autres, le mouvement relatif entre les particules est aisé. A l’état plastique, les grains sont plus rapprochées et ont mis en commun leurs couches d’eau adsorbées. Lorsqu’il y a mouvement, les grains restent attachés les uns aux autres sans s’éloigner. A l’état solide, les distances inter-granulaires sont encore plus petites. Les grains arrivent même au contact en quelques points chassant ainsi l’eau adsorbée. Les frottements internes sont alors importants. La transition d’un état à l’autre est très progressive. Néanmoins, on utilise de façon pratique les limites d’Atterberg : Limite de liquidité WL Elle sépare l’état liquide de l’état plastique. Limite de plasticité WP Elle sépare l’état plastique de l’état solide. Limite de retrait WR Elle caractérise l’apparition du phénomène de retrait.

25 Eléments de Mécanique des Sols

Etat plastique

Etat liquide

Etat solide

Fig. 2.9 : Etats de consistance d’un sol

Ces limites sont mesurées sur le mortier, c.à.d. la fraction de sol qui passe le tamis d’ouverture égale à 0,40 mm. En comparant la teneur en eau d’un sol donné aux limites d’Atterberg déterminées précédemment sur un échantillon du même sol, on obtient des indications fondamentales sur son comportement mécanique. Autrement dit, ces limites décrivent certains comportements critiques (Fig. 2.10). Sur la base de ces limites, on défini les indices suivant : Indice de plasticité IP Il mesure l’étendu du domaine de plasticité du sol. Il s’exprime par : IP = WL – WP

(2.21)

Cet indice occupe une grande place en géotechnique (Fig. 2.11). Casagrande a montré que l’indice de plasticité est une fonction linéaire de la limite de liquidité : IP = a WL – b

(2.22)

Où a et b sont des constantes. Deux autres indices caractérisent la structure d’une argile de teneur en eau égale à W. Ils sont l’indice de consistance et l’indice de liquidité. Indice de consistance Ic Il est défini par Ic = WL − W IP

(2.23)

Indice de liquidité IL Il est défini par I L = W − WP = 1 − Ic IP

(2.24)

26 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

Etat Fragile Mi-solide Teneur en eau WR Indice de liquidité IL < 0

Plastique

Liquide

Wp IL = 0

WL IL = 1

w

IL > 1

déformation

w ≈ wL

déformation

résistance

w < wp

résistance

résistance

w ≈ wp w > wL

déformation

Fig. 2.10 : Relation entre limites d’Atterberg et comportement mécanique

2.6.4 Famille minéralogique 2.6.4.1 Classification Les propriétés physiques des couches adsorbées dépendent aussi de la nature du minéral qui constitue le grain. L’étude des couches adsorbées et des minéraux argileux est importante pour bien comprendre le comportement des argiles que la granulométrie seule ne saurait expliquer. C’est ainsi que nous classons les minéraux argileux en différents groupes : famille, espèce et variété. Les trois familles les plus connues sont la kaolinite, la montmorillonite et l’illite. 2.6.4.1.2 La kaolinite Les argiles de la famille de la kaolinite sont les constituants essentiels de la plus part des argiles utilisées en céramique. Leur surface spécifique ne dépasse pas 20 à 30 m2/mg. Les phénomènes de surface sont donc peu intenses. Autrement dit, ces minéraux sont relativement inactifs. La formule chimique de cette famille est du type Si2Al2O5(OH)4 pour une demimaille, elle est donc assez riche en alumine. 2.6.4.1.3 La montmorillonite Les sols de la famille de la montmorillonite peuvent absorber de l’eau dans des proportions considérables, donnant lieu à des gonflements caractéristiques. Ceci est dû au fait que les liaisons d’un feuillet à l’autre sont faibles à cause de la structure floconneuse, et l’eau pénètre facilement entre les feuillets. D’autre part, la surface spécifique de cette famille est élevée, elle peut dépasser 150 m2/g, ce qui donne une grande importance aux phénomènes de surface. La montmorillonite est alors une famille de minéraux argileux actifs. La formule chimique des montmorillonites est du type Si4Al(2-x)MgxO10(OH)2x(cations échangeables)nH2O. 2.6.4.1.4 L’illite Les argiles de la famille de l’illite sont parmi les minéraux les plus répondus à la surface de la terre. La structure de l’illite est analogue à celle des micas, mais la matière est beaucoup plus finement divisée. La formule chimique pour une demi-maille de l’illite est de la forme Si(4x)AlxAl2O10(OH)2xK.

27 Eléments de Mécanique des Sols

2.6.4.2 Identification des minéraux argileux dans un sol 2.6.4.2.1 Diffraction des rayons x C’est une méthode de comparaison des spectres de diffraction de l’échantillon avec les spectres des minéraux connus. Cette méthode ne donne qu’une idée très approximative de la nature et la quantité des minéraux présents dans le sol. 2.6.4.2.2 Analyse différentielle thermique Elle se fait par chauffage continu d’un échantillon dans un four électrique en présence d’une substance inerte de référence. La structure particulière des minéraux argileux déterminera des variations thermiques à des températures bien définies pour des minéraux donnés. Les variations enregistrées peuvent ensuite être comparées avec celles de minéraux connus. 2.6.4.2.3 Microscopie électronique Ce procédé présente des difficultés d’interprétation et ne permet pas d’obtenir des données quantitatives. 2.6.4.2.4 Méthode de Casagrande C’est une démarche simplifiée basée sur les limites d’Atterberg. Il s’agit de placer sur l’abaque de plasticité de Casagrande (Fig. 2.11) les points correspondant à l’échantillon et de comparer sa position avec celle des minéraux connus. Cette méthode peut donner autant de renseignements pertinents que n’importe quelle analyse de haute précision.

Fig. 2.11: Abaque de plasticité de Casagrande et position des minéraux argileux les plus connus

28 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

2.6.5 Activité Les valeurs des limites de liquidité et de plasticité dépendent en tout premier lieu de l’importance relative des grains les plus fins au sein du mortier (l’ensemble des grains de dimension inférieure à 0,4 mm). Par définition, l’activité est le rapport de l’indice de plasticité exprimé en % à la teneur en argile exprimée en % : A=

IP fraction arg ileuse

(2.25)

La teneur en argile dite aussi fraction argileuse est le rapport du poids des grains secs de dimension inférieure à deux micromètre au poids total du mortier : Targ =

M(Φ < 2 µm) Mt

(2.26)

L’activité est caractéristique du minéral constituant Activité Nature de l’argile les particules fines. Lorsque la teneur en argile est < 0,75 Inactive [0,75 – 1,25] Normale assez forte, les grains de dimensions supérieures à > 1,25 active deux micromètres sont noyés dans l’argile et ne se touchent pratiquement pas. Les limites d’Atterberg Tab. 2.5: Echelle d'activité du sol considéré sont donc celles des particules d’argiles, on peut admettre donc que les grains de dimensions supérieures à deux micromètre ne retiennent pratiquement plus d’eau. L’échelle d’activité généralement utilisée est la suivante (Tab. 2.5). 2.6.6 Sensitivité Une argile naturelle qui est manipulée à teneur en eau constante s’amollit en général au cours de l’opération. On appelle sensitivité de l’argile le rapport de ses résistances à la compression simple avant et après remaniement. St =

résistance à la compression simple avant remaniement τ r (intacte) = résistance à la compression simple après remaniement τ r (remaniée)

(2.27)

Une échelle de sensitivité est proposée dans (Tab. 2.6), mais en général, les argiles dont la teneur en eau naturelle est voisine de la limite de Sensitivité Nature de l’argile liquidité sont assez sensibles. La perte de [2 – 4] Normale résistance peut avoir deux causes : la destruction ]4 - 8] Sensible de la structure acquise par l’argile au cours de la >8 Très sensible sédimentation ou la perturbation des couches Tab. 2.6: Echelle de sensitivité adsorbées. La première cause est irrécupérable, par contre la seconde peut être restituée dès que la manipulation cesse car l’argile retrouve en partie sa cohésion initiale. 2.7 Classification des sols La classification des sols est un moyen de créer des catégories de sol permettant de prédire leurs comportements. En général, le simple examen visuel permet de donner un nom au matériau : marne bleu, argile jaune, sable fin,…Il faut toutefois compléter cette indication par : . Une analyse granulométrique.

29 Eléments de Mécanique des Sols

. Détermination des limites d’Atterberg. . Teneur en eau, masse volumique. . Indice de densité pour les sols pulvérulents. . Résistance à la compression simple pour les sols cohérents. Ces renseignements permettent à l’ingénieur d’identifier les sols et par conséquent de se faire une idée sur leurs comportements. Il existe plusieurs systèmes de classification des sols. Leur inconvénient est qu’ils ne sont pas applicables dans touts les cas des applications. Parmi les causes de leur limite d’usage c’est qu’ils ne considèrent comme critères de classification que quelques paramètres si ce n’est pas un seulement tel que classification selon: . l’analyse granulométrique. . l’analyse granulométrique et les limites d’Atterberg. Nous allons examiner comme exemple de système de classification, le système USCS. 2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS) Il a été conçu en 1952 par le professeur Casagrande, le bureau de réclamation (U.S) et le corps des ingénieurs (armée U.S). Il est applicable : aux projets de fondation, aux barrages ainsi qu’aux pistes d’atterrissage et autres types d’ouvrages. Le principe de base de l’USCS consiste à (Tab. 2.7-9, Fig. 2.12): . classer les sols à gros grains (sables et graviers) d’après leurs granulométries. . classer les sols à grains fins (silts et argiles) d’après leurs comportements plastiques. Exemple 2.4 A partir des résultats de l’analyse granulométrique et d’essais de limites de consistance suivant, classer le sol étudié selon le système USCS. WL = 20 %, WP = 15 %, IP = 5

n° de tamis 4 10 40 100 200

Passant [%] 99 92 86 78 60

Exemple 2.4

30 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

Composante de sol

Symbole

Grosseur [mm]

Blocs

aucun

> 300

Cailloux

aucun

[300 – 75]

Grossier Gravier

[75 – 19] G

Sols à grains grossiers Sables

Fin

[19 – 4,75]

Grossier

[4,75 – 2,0]

Moyen

S

Fin

[2,0 – 0,425] [0,425 – 0,075]

Silts

M

< 0,075

Argiles

C

< 0,075

Sols organiques

O

sans

Tourbes

Pt

sans

Sols à grains fins

Tab. 2.7: Classification USCS des sols d'après la grosseur des grains

31 Eléments de Mécanique des Sols

Graviers (+ 50 % de la fraction grossière est retenue sur tamis 4)

Sables

(+ 50 % de la fraction grossière passe le tamis 4)

Sols à grains grossiers (+ 50 % est retenue sur tamis 200)

Catégorie gravier propre avec peu ou pas de particules fines

gravier contenant beaucoup de particules fines

sable propre avec peu ou pas de particules fines

sable contenant beaucoup de particules fines

Symbole

Identification sur terrain (fraction à grosseur < 75 mm)

Description

GW

Gravier bien étalés, mélange Gamme granulométrique étendue, nombre graviers-sables, peu ou pas de élevé de grains de grosseurs intermédiaires particules fines

GP

Grosseur prédominante ou gamme Graviers uniformes, mélange granulométrique étendue mais faible graviers-sables, peu ou pas de représentation de certaines grosseurs particules fines intermédiaires

GM

Graviers silteux, gravier-sable-silt

mélange Particules fines non plastiques ou de faible plasticité

GC

Graviers argileux, gravier-sable-argile

mélange

SW

Sables bien étalés, sables Gamme granulométrique étendue, nombre graveuleux, peu ou pas de élevé de grains de grosseurs intermédiaires particules fines

SP

Grosseur prédominante ou gamme Sables uniformes, peu ou pas de granulométrique étendue mais faible particules fines représentation de certaines grosseurs intermédiaires

SM

Sables silteux, mélange sable-silt

SC

Sables argileux, mélange sableParticules fines plastiques argile

Particules fines plastiques

Particules fines non plastiques ou de faible plasticité

Sols à grains fins (+ 50 % passe le tamis 200)

Identification de la fraction passant le tamis n° 40

ML Silts et Argiles (WL < 50 %)

CL OL

Silts et Argiles (WL > 50 %)

Sols fortement organiques

Silts inorganiques et sables très fins, poussière de roche, sables fins silteux ou argileux, siltes argileux peu plastiques Argiles inorganiques de plasticité faible à moyenne, argile graveleuse, argiles sableuses, argiles silteuses Silts organiques et argiles silteuses organiques de faible plasticité

Résistance au broyage à sec

Résistance aux vibrations

Ténacité

Aucune à légère

Rapide à lente

Aucune

Moyenne à élevée

Aucune à très lente

Moyenne

Légère à moyenne

Lente

Légère

MH

Silts inorganiques, sables fins micasés ou diatomés

Légère à moyenne

Lente à aucune

Légère à moyenne

CH

Argiles inorganiques de plasticité élevée, argiles grasses

Elevée à très élevée

Aucune

Elevée

OH

Argiles organiques de plasticité moyenne à élevée, silts organiques

Moyenne à élevée

Aucune à très lente

Légère à moyenne

Pt

Tourbes et autres sols fortement organiques

D'après couleur, odeur, contenance spongieuse, structure fibreuse

Tab. 2.8: Classification USCS des sols (d'après Robert D.H., William D.K.: Introduction à la géotechnique)

32 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

Cu > 4 et Cc dans [1 – 3]

Utiliser la courbe granulométrique pour vérifier les fractions estimées lors de l'identification sur le terrain

Déterminer les pourcentages de sable et de gravier à partir de la courbe granulométrique. Suivant le pourcentage de particules fines (les passants du tamis 200) on classe les sols grossiers de la façon suivante

- 5 % de fines: GW, GP, SW, SP

+ 12 % de fines: GM, GC, SM, SC

fines entre [5 – 12]%: Cas limite, double symbole

Sol ne répondant pas à tous les critères de GW Au dessous de la Sol au dessus de la ligne A ou Ip < 4 ligne A et 4 < Ip < 7 Au dessus de la utiliser le double symbole ligne A et Ip > 7 Cu > 6 et Cc dans [1 – 3] Sol ne répondant pas à tous les critères de SW Au dessous de la ligne A ou Ip < 4 Sol dans la zone CLML, 4 < Ip < 7, Au dessus de la utiliser le double symbole ligne A et Ip > 7

Tab. 2.9: Critères de classification au laboratoire (système USCS)

33 Eléments de Mécanique des Sols

Fig. 2.12: Abaque de plasticité de Casagrande et position de différents types de sols

34 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

Exercices du chapitre 2 Analyse granulométrique

Exercice 1 On pratique une analyse granulométrique sur un échantillon de sol sec. A la fin de l'opération de tamisage, on effectue les opérations de pesées des refus dans chaque passoire. Les résultats sont résumés sur le tableau 1 ci-contre. 1. Compléter le tableau. 2. Tracer la courbe granulométrique du sol en question. 3. Calculer le coefficient d'uniformité et le coefficient de courbure. 4. Classer le sol sous étude.

Exercice 2 Refaire le même exercice précédent pour une analyse granulométrique dont les résultats sont résumés sur le tableau 2 ci-contre.

module 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

passoire [mm] 100 80 63 50 40 31,5 25 20 16 12,5 10 8 5 4 3,15 2,5 2 1,6 1,25

refus [g] 78 43 89,6 115,3 423,5 72 438,9 702,1 1,7 3,1 5,8 8,0 10,4 2,0 0,3 2,5 1,1 2,7 0,0

module 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

passoire [mm] 12,5 10 8 5 4 3,15 2,5 2,0 1,6 1,25 1,0 0,8 0,63 0,5 0,4 0,315 0,25 0,2 0,16 0,125 0,1 0,08 fond

refus [g] 0 14 9,2 29,3 35,2 47,2 63,3 126,8 155,6 167,2 236,0 273,2 240,4 219,2 180,8 120,0 55,2 16,4 5,2 1,2 0,8 0,6 3,2

35 Chapitre 2 : Caractéristiques physiques des sols

Caractéristiques physiques des sols Exercice 3: Justifier les relations suivantes: 1.

a) e = n / (1- n )

b) n = e / (1+ e )

2.

a) w = e Sr γw / γs

b) esr = w γs / γw

c) nsr = w / ( γw / γs + w )

3.

γh = γs (1 - n ) + γw Sr n

4. γd = γs (1 - n ) = γs / ( 1 + e )

5.

Sr = w / ( γw / γd - γw / γs )

6. γh = γs ( 1 + w ) / ( 1 + e )

7.

γhsr = γd + γw n

8. γd = γh / ( 1 + w )

9.

e = Vt γs / Ps - 1

10. γ' = ( γs - γw ) (1 - n )

Exercice 4: Un échantillon d'argile saturée a une masse de 1230 g. Après passage à l'étuve, sa masse n'est plus que 983 g. Le constituant solide des grains a une densité de 2,7. Calculer: La teneur en eau, l'indice des vides, la porosité, la densité humide ainsi que le poids volumique. Exercice 5: Un échantillon de sol a une masse de 128 g et un volume de 58,4 cm3. La masse des grains est de 120,5 g. Le constituant solide des grains a une densité de 2,6. Calculer: La teneur en eau, l'indice des vides et le degré de saturation. Exercice 6: Un sable quartzeux pèse à l'état sec 15 kN/m3. La densité du quartz est 2,66. Calculer à la saturation, le poids volumique humide et la densité humide. Exercice 7: Un échantillon d'argile est placé dans un récipient en verre. La masse totale de l'échantillon humide et du récipient est de 72,49 g. Cette masse est ramenée à 61,28 g après passage à l'étuve. La masse du récipient est de 32,54 g. La densité du constituant solide est 2,69. a) On suppose que l'échantillon est saturé. Calculer: La teneur en eau, la porosité, l'indice des vides, la densité humide et la densité déjaugée. b) Le volume initiale de l'échantillon est de 22,31 cm3. On demande: Le degré de saturation réel et les nouvelles valeurs des densités.

36 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols

Classification des sols Exercice 8 : Classer les sols suivants selon le système USCS: passant [%] Diamètre du Tamis [mm] 4,75 2,0 0,425 0,15 0,075 D60 [mm] D30 [mm] D10 WL [%] WP [%]

sol 1

sol 2

sol 3

sol 4

97 90 40 8 5

100 100 100 99 97

100 97 90 81 70

24 18 10 5 3

0,71 0,34 0,18 n.p.

28 9 5 124 47

49 24

n.p.

Exercice 9 : Selon le système USCS, classer le sol caractérisé par: 100 % des particules passe le tamis n° 4 et 25 % sont recueillis sur le tamis n° 200. Les particules fines ont une plasticité moyenne à faible, une dilatance nulle à très lente et une résistance du matériau sec moyenne à élevée. Exercice 10 : Classer le sol dont 65 % des particules sont retenues par le tamis n° 4 et 32 % sont retenues par le tamis n° 200. On donne Cu=3 et Cc=1. Exercice 11 : Classer le sol dont la totalité des particules passe par le tamis n° 4 et 90 % passent le tamis n° 200. Les particules fines ont le comportement suivant: résistance du matériau sec: faible à moyenne. dilatance : modérée à rapide. WL = 23 % et WP = 17 % Exercice 12 : Classer le sol dont 5 % des particules sont retenues par le tamis n° 4 et 70 % passent le tamis n° 4 mais sont retenues par le tamis n° 200. Les particules fines ont une faible plasticité et une dilatation élevée.

37 Chapitre 2 : Caractéristiques physiques des sols

Chapitre 3: Compactage

3.1 Introduction 3.2 Définitions 3.3 Théorie du compactage 3.4 Essais au laboratoire 3.5 Matériel de compactage 3.6 Procédés spéciaux de compactage 3.7 Spécifications et contrôle du compactage sur le terrain

Chapitre 3

Compactage

3.1 Introduction Le sol en place est probablement très compressible, très perméable et de faible consistance. Dans le cas où le choix d’un autre site pour l’ouvrage est impossible, la solution possible reste la stabilisation du sol : c.à.d, l’amélioration des propriétés du sol en question. Ceci peut se faire par plusieurs méthodes : Procédé chimique Par malaxage ou injection de produits chimiques dans le sol tels que ciment Portland, Chaux, Asphalte, Chlorure de Calcium ou de Sodium, résidus de pâtes et papiers. Traitement thermique Par chauffage du sol. Procédé électrique En appliquant un courant électrique au sol. Procédé mécanique Se résolu principalement au compactage et densification. Autres procédés Par rabattement de nappe pour réduire les pressions interstitielles, ou pré charge et chargement temporaire pour réduire les tassements. Les procédés et le matériel de compactage constituent un thème descriptif favorisant des travaux bibliographiques très utiles pour l'étudiant. Pour cette raison, beaucoup de détailles dans ce chapitre n'ont pas étés exposés laissant cette possibilité à l'étudiant à travers des recherches dirigées. 3.2 Définitions Le compactage est l’ensemble des opérations mécaniques (apport d’énergie mécanique), qui conduisent à accroître la densité d’un sol. En faisant, la texture du sol est resserrée ce qui réduit les déformations et tassements et augmente la compacité du sol et améliore sa capacité portante. Les ouvrages couramment concernés par le compactage sont les remblais routiers, les barrages en terre et les aérodromes. La densification mécanique du sol peut entraîner : Modification de la granulométrie. Modification de la teneur en eau.

39 Eléments de Mécanique des Sols

Réduction ou élimination des risques de tassement. Augmentation de la résistance du sol et la stabilité du talus. Amélioration de la capacité portante. Limitation des variations de volume causées par gel, gonflement et retrait. 3.3 Théorie du compactage (théorie de Proctor) Proctor a montré que le γd / γw compactage est fonction de quatre paramètres : la masse volumique du sol sec, la teneur en eau, énergie de dd max compactage et type de sol (granulométrie, minéralogie,…). Lorsque la teneur en eau est élevée, l’eau absorbe une importante Versant sec Versant humide partie de l’énergie de compactage sans W [%] aucun profit, par contre lorsque la teneur en eau est faible, l’eau a un rôle wop lubrifiant important, et la densité sèche Fig. 3.1 : courbe de compactage augmente avec la teneur en eau (Fig. 3.1). Les courbes de compactage γd / γw Argile plastique varient avec la nature du sol (Fig. Sable argileux 3.2). Elles sont très aplaties pour les Argile sableuse sables qui leur compactage est donc peu influencé par la teneur en eau. sable Les matériaux de ce genre constituent les meilleurs remblais. Lorsque l’énergie de compactage augmente, le poids W [%] volumique optimal s’accroît et la teneur en eau optimale diminue (Fig. 3.3). Fig. 3.2 : influence du type de sol 3.4 Essais en laboratoire On utilise dans ces essais deux moules différents : Moule Proctor : pour les matériaux suffisamment fins pour lesquels ( Φ ≤ 5 mm). Moule CBR : pour les matériaux à éléments plus gros pour lesquels ( 5 ≤ Φ ≤ 20 mm). Avec chaque moule on peut effectuer deux essais différents :

γd / γw d3 d2 d1

Sr = 1

e1 < e2 < e3 e3

e2

e1 W [%]

Fig. 3.3 : influence de l’énergie de compactage

40 Chapitre 3 : Compactage

Essai Proctor normal : Dans lequel, l’énergie de compactage est relativement faible et correspond à un compactage modéré. Il est utilisé pour l’étude des remblais en terre. Essai Proctor modifié : Dans ce cas, l’énergie de compactage est plus importante. Il est utilisé pour l’étude des sols de fondation (routes, pistes d’aérodromes,…). 3.5 Matériel de compactage Dans les procédés courants de compactage, on utilise Vibration : Pour les sols pulvérulents et granulaires, le compactage efficace se fait par vibration en utilisant : plaque vibrante manuelle, rouleau vibrant autopropulsé, rouleau à pneus et grosse masse en chute libre. Pilons à air comprimé : Pour le compactage des couches de faibles épaisseurs. Dames à explosion (grenouille) pour les terrains cohérents ou non de faible surface. Pilons de 2 à 3 tonnes montés sur grue roulante, est utilisé pour tous les terrains mais ne sont intéressants que pour les faibles surfaces. Rouleaux lisses : sont utilisés pour les terrains cohérents non argileux. Rouleaux à pneus : pour le compactage des terrains non cohérents. Rouleaux à pieds de mouton : pour les terrains cohérents. En particulier il est indispensable pour les terrains argileux. Engins vibrant (rouleaux, sabots,…) : pour les sols à gros grains (sables et graviers). 3.6 Procédés spéciaux de compactage Dans le cas de couches à grandes épaisseurs, on utilise des procédés de compactage dynamique tels que : 3.6.1 Compactage par explosifs Explosifs ponctuels :

41 Eléments de Mécanique des Sols

pour les sols pulvérulents le compactage se fait par création d’une onde de choc de compression. Explosifs linéaires : pour les sols cohérents le compactage se fait par mise en place de pieux sableux. 3.6.2 Compactage par vibroflottation Le procédé consiste à la génération de contraintes et déformations alternées d’ou réarrangement des grains. Tubes en vibration : se pratique pour les matériaux très perméables. Colonnes ballastées : les colonnes sont formées de matériaux pulvérulents compactés. Elles sont pratiquées dans les sols cohérents. 3.6.3 Consolidation dynamique Elle est valable pour tout type de sol. Il s’agit de transmettre des chocs de forte énergie à la surface du sol à traiter (chute libre d’une masse de 10 à 30 tonnes exceptionnellement 140 tonnes d’une hauteur de 15 à 30 m). La profondeur d’influence est définie par Léonard et coll. (1980) grâce à l’expression : (3.1) D = 1 w h [m] 2 où w est la masse tombante exprimée en tonne métrique, h est la hauteur de chute en mètre. 3.7 Spécification et contrôle du compactage sur le terrain Les paramètres déterminant la qualité du compactage dépendent en général du type de l’ouvrage à édifier. On peut trouver des conditions sur : La masse volumique du matériau sec Sa teneur en eau Propriétés géotechniques (mécaniques, perméabilité, retrait et gonflement). Il y a deux catégories de spécifications pour les travaux de terrassement : spécifications du produit fini (cas de routes et bâtiments) et spécifications de la méthode employée. Spécification du produit fini On impose la compacité relative définie par : ρd site C.R. = (3.2) ρd max où ρd site représente la masse volumique du matériau sec obtenue sur site, ρd max est la masse volumique du matériau sec obtenue en laboratoire.

42 Chapitre 3 : Compactage

Spécification des méthodes de compactage On précise le type et le poids du rouleau qui sera utilisé, le nombre de passages nécessaire et épaisseur des couches de sol, grosseur maximale des granulats.

43 Eléments de Mécanique des Sols

Exercices du chapitre 3 Le compactage Exercice 1 Deux échantillons 1 et 2 du même sol ont été compactés au même poids volumique sec γd=19,6 kN/m3 mais à des teneurs en eau respectives w1=4% et w2=12%. Le poids volumique des particules solides est γs=27 kN/m3. a. Porter sur un graphique (γd, w) la courbe de compactage du sol b. Déterminer pour chaque échantillon, le degré de saturation et le poids volumique. c. L'échantillon 1 est amené à saturation sans changement de son volume qui est de 243 cm3. Déterminer le volume d'eau nécessaire. Exercice 2 Dans le but de définir les conditions de compactage d'une argile sableuse pour un chantier de remblai routier, des essais Proctor normal ont été réalisés et ont permis de dresser le tableau ci-dessous. a. Quelle serait la teneur en eau optimale de compactage à adopter. b. Le matériau a un poids volumique γ=18,7 kN/m3 et un poids volumique sec γd = 17 kN/m3. Déterminer le volume d'eau à ajouter par mètre cube de matériau pour être à l'optimum Proctor normal. w (%) γd [kN/m3]

10,7 16,2

12,1 17,7

13,8 18,8

15,4 18,8

16,7 18,1

17,7 17,0

Exercice 3 L'essai Proctor modifié a donné pour une grave argileuse les résultats suivants: w (%) γd /γw

3,00 1,94

4,45 2,01

5,85 2,06

6,95 2,09

8,05 2,08

9,46 2,06

9,9 2,05

a. Construire la courbe de compactage Proctor et déterminer les caractéristiques de l'optimum. Calculer le degré de saturation correspondant à l'optimum Proctor. On prendra γs/γw =2,65. b. Calculer le pourcentage d'air a que contient un sol de porosité n et de degré de saturation Sr. Dans le plan de Proctor, trouver l'équation des courbes lieu des points représentatifs des états du sol ayant le même pourcentage d'air. En déduire l'équation de la courbe de saturation. Caractériser cette courbe.

Chapitre 4: L'eau dans les sols

4.1 Introduction 4.2 Généralités 4.2.1 Capillarité 4.2.2 Retrait et gonflement des sols 4.2.3 Action du gel 4.3 Dynamique de l'écoulement 4.3.1 Hypothèses 4.3.2 Conservation de la masse 4.3.3 Charge hydraulique (Equation de Bernoulli) 4.3.3 Gradient hydraulique 4.3.4 Loi de Darcy pour l'écoulement à une dimension 4.3.5 Généralisation aux écoulements à 2 et 3D 4.4 La Perméabilité des sols 4.4.1 Mesure du coefficient de perméabilité au Laboratoire 4.4.1.1 Perméamètre à charge constante 4.4.1.2 Perméamètre à charge variable 4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site 4.4.3 Formules empiriques 4.4.3.1 Formule de Hazen 4.4.3.2 Formule de Taylor 4.4.4 Perméabilité moyenne fictive verticale et horizontale 4.5 Principe de la contrainte effective 4.5.1 Loi de Terzaghi 4.5.2 Loi de Skempton 4.5.3 Loi de Bishop 4.5.4 Cas d'écoulement linéaire 4.6 Effet Renard 4.7 Force d'écoulement 4.8 Réseaux d'écoulement 4.9 Contrôle des écoulements

Chapitre 4

L’eau dans les sols

4.1 Introduction L’eau, de part qu’il entre dans la constitution des sols, sa présence est l’origine de plusieurs phénomènes caractérisant le sol tels que capillarité et pression interstitielle. D’autre part, l’eau a un effet directe sur le comportement des sols fins (voir limites d’Atterberg). Elle est un facteur important dans la plupart des problèmes géotechniques telles que gonflement, gel, percolation, tassement, glissement…A titre statistique, les pertes de vies humaines causées par la rupture de barrages et digues (par érosion interne) sont plus importantes de toute perte causée par les autres types de rupture α rm d’ouvrages de génie civil. Les pertes matérielles et le T coût d’entretient des structures sous sols gonflants sont les plus importantes que les dommages causés hc par inondations, ouragans, tornades et tremblements de terres. d

4.2 Généralités 4.2.1 Capillarité C’est un phénomène qui découle de la tension superficielle des fluides. Cette tension se développe à l’interface de matériaux différents (Fig. 4.1). Elle est la cause des phénomènes de retrait des sols fins. Dans les sols, les ménisques capillaires retiennent les particules liées entre elles, le phénomène est appelé cohésion apparente. La capillarité contribue ainsi à augmenter les forces de contact et améliore la résistance par frottement entre les particules. En géotechnique, on suppose que le diamètre effectif des pores est à près égal à 20 % du diamètre effectif (D10) des grains. La capillarité permet aussi de pratiquer des fouilles et excavations dans les sables fins et les sols très fins humides (par capillarité), mais l’équilibre qui y règne est très instable.

- hc π d2 ρw g /4 = π d T cosα uc = hc ρw g Fig. 4.1: Ménisque et relation entre tension capillaire T et pression capillaire uc

rm σ' σ' rm

Fig. 4.2 : Cohésion apparente

45 Eléments de Mécanique des Sols

4.2.2 Retrait et gonflement des sols Retrait et gonflement ont une grande importance sur les caractéristiques des sols à grains fins. Lorsque les tensions capillaires sont plus fortes que la cohésion ou la résistance à la traction du sol, les fissures dues au retrait apparaissent. Les endroits fissurés représentent des zones faibles susceptibles de réduire de façon importante la résistance, la stabilité et la capacité portante. Le gonflement est un phénomène complexe. Son importance dépend des minéraux argileux présents, de la texture et de la structure du sol. Dans la pratique, les trois facteurs responsables des dommages dus au gonflement sont : la présence de Montmorillonite, une teneur en eau voisine de la limite de plasticité Wp et la présence d’une source d’eau à proximité. 4.2.3 Action du gel La formation du gel dans le sol peut avoir des conséquences importantes. Le volume du sol peut augmenter de 10 %. Les lentilles et plaquettes de glaces peut provoquer un soulèvement du sol et endommager ainsi les structures superficielles légères, activation des tassements différentiels, enfin elle peut augmenter la teneur en eau du sol. Les actions antigel peuvent se résumer dans : l’utilisation des membranes imperméables, assainissement et drainage de l’eau, l’ajout d’additifs chimiques, et l’utilisation d’isolants thermiques telles que mousse. 4.3 Dynamique de l’écoulement 4.3.1 Hypothèses En géotechnique, l’eau se présente dans des conditions permettant de formuler les hypothèses suivantes : . Vitesse d’écoulement très faible. A2, v2, . Régime permanent et laminaire. A1, v1, P2, z2 . L’écoulement est à une ou deux P1, z1 dimensions. . Le fluide est considérée parfait c.à.d non visqueux et incompressible. z=0 4.3.2 Conservation de la masse La loi de conservation de la masse fluide pour un écoulement laminaire (Fig. 4.3) se réduit à l’équation de débit: Q = Ai vi = constante

Fig. 4.3 : Ecoulement d’un fluide

(4.1)

4.3.3 Charge hydraulique (équation de Bernoulli) Tous les sols sont plus ou moins perméables. Ce phénomène se manifeste avec des intensités très différentes. A titre d’exemple, la vitesse d’écoulement de l’eau dans le sable pour un gradient hydraulique égal à l’unité, descend rarement au-dessous de quelques centimètres par heure alors que pour les argiles, cette vitesse ne dépasse pas quelques centimètres par an. Nous nous intéressons aux régimes permanents c.à.d dans le cas où les particules fluides suivent des trajectoires invariables au cours du

46 Chapitre 4 : L’eau dans les sols

temps appelés lignes de courant. Le long d’une ligne de courant (Fig. 4.3), la pression et la vitesse du fluide suivent une certaine loi. Dans le cas des fluides parfaits (incompressibles et non visqueux) en mouvement sous la seule action de la pesanteur, on utilise le théorème de Bernoulli pour les fluides réels qui exprime que la charge hydraulique décroît car le mouvement dissipe de l’énergie par frottement fluide-fluide ou fluide-sol : 2 2 1 v1 + p1 + z = 1 v 2 + p2 + z + ∆h 1 2 2 g g ρw 2 g g ρw

(4.2)

Où v est la vitesse d’écoulement, p pression, z altitude, g accélération terrestre, ∆h représente la perte de charge hydraulique entre les deux sections d’étude. Dans le cas particulier de l’infiltration de l’eau dans le sol, les vitesses d’écoulement sont si faibles que l’on peut négliger dans l’expression de la charge hydraulique le terme v2/2g. Dans la pratique, on mesure la pression au delà de la pression atmosphérique qui est prise comme origine des pressions. Alors la charge hydraulique est mesurée par l’altitude du niveau atteint par le liquide dans un tube piézométrique placé au point considéré. 4.3.4 Gradient hydraulique C’est un paramètre définissant la variation de la charge par unité de longueur parcourue (Fig. 4.4). Il joue un grand rôle dans l’écoulement de l’eau dans le sol : i=−

variation de charge = − ∆h longueur parcourue ∆l

dq

(4.3)

4.3.5 Loi de Darcy pour l’écoulement à une dimension La loi de Darcy est une relation de proportionnalité entre la vitesse de décharge v dite aussi vitesse fictive et le gradient hydraulique i. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient de perméabilité k. A une dimension elle s’écrit : v=ki

dh

u — γw dl z1

dA

z=0

Fig. 4.4 : Définition du gradient hydraulique

(4.4)

Cette relation est la base de tous les calculs de l’hydraulique souterraine. La vitesse de décharge v est par définition le débit par unité d’aire, c.à.d c’est le rapport du débit observé q à la surface totale A : v =

dq dA

⇔

v =

q A

(4.5)

47 Eléments de Mécanique des Sols

La vitesse de décharge v est reliée à la vitesse moyenne V par la relation approximative : i v=nV (4.6) n étant la porosité. La loi de Darcy est valable dans la majorité des sols, car l’écoulement est à faible vitesse et en régime laminaire (Fig. 4.5). Elle donne d’excellents résultats pour les faibles nombre de Reynolds Re défini par vd Re = η / ρ

Zone de transition laminaire

(4.7)

mais elle devient de moins en moins précise lorsque le nombre de Reynolds dépasse la valeur de 2.

turbulent

v Fig. 4.5 : Validité de la loi de Darcy

4.3.6 Généralisation de la loi de Darcy aux écoulements à 2 et 3D La généralisation de la loi de Darcy en milieu homogène et isotrope est relativement facile : il suffit de considérer que le gradient hydraulique et la vitesse de décharge sont des vecteurs colinéaires : r r r v = − k grad h = grad (− k h)

(4.8)

on postule alors l’existence d’un potentiel de vitesse φ tel que φ=-kh ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ v x = ∂x , v y = ∂y , v z = ∂z

(4.9) (4.10)

Lorsque le liquide est incompressible, la conditions de continuité donne : ∂ vx ∂ v y ∂ vz =0 + + ∂z ∂x ∂y

(4.11)

∆φ=0

(4.12)

soit qui est une équation de Laplace. Ainsi la fonction ou h est harmonique. 4.4 La perméabilité des sols La perméabilité du sol à l’eau est affectée par la forme des grains, leur grosseur, la structure du sol, sa constitution pétrographique, la porosité ou l’indice des vides, le degré de saturation, le gradient hydraulique, le diamètre effectif des pores qui influence la hauteur d’ascension capillaire, le cheminement des vides à travers le sol, la température et les caractéristiques propres au fluide telles que densité et viscosité.

48 Chapitre 4 : L’eau dans les sols

Dans le cas de massif homogène et isotrope, la perméabilité est la même dans toute les directions. On définit alors un seul paramètre dit coefficient de perméabilité mesurable par différents essais. 4.4.1 Mesure du coefficient de perméabilité au laboratoire Il existe deux essais propres à la mesure du coefficient de perméabilité : perméamètre à charge constante et perméamètre à charge variable. On peut aussi mesurer ce coefficient par essai oedométrique ou triaxial dans l’étude fera l’objet de chapitres ultérieures.

∆h

4.4.1.1 Perméamètre à charge constante La quantité d’eau recueillie (Fig. 4.6) pendant l’intervalle de temps t est Q=Avt

l A

Q

Fig. 4.6 : Perméamètre à charge constante

où v = k i = k ∆h/l ce qui donne k=

dh

Ql ∆h A t

(4.13)

où [Q] = m3, [A] = m2, [∆h] = m et [k] = ms-1 4.4.1.2 Perméamètre à charge variable Le coefficient de perméabilité est donné par la relation (Fig. 4.7): k=

al ln ( h1 ) A ∆t h2

h1

h2

Q l A

(4.14)

où ln désigne le logarithme naturel à base e. ∆t est la durée de mesure c.à.d Fig. 4.7 : Perméamètre à charge variable

∆ t = t 2 – t1

4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site (formule de Dupuit) la mesure se fait au cours d’un essai de pompage (Fig. 4.8). La formule se base sur la loi de Darcy et le débit recueilli à travers la surface latérale du puit de pompage Q = v t Al

==> v = Q / ( t Al)

a

49 Eléments de Mécanique des Sols

avec la définition du gradient hydraulique et de la surface latérale

Q r0

r1

r2

r

i = dh / dr et Al = 2 π r h il vient Q = k dh t Al dr

h1

par intégration entre les rayons r1 et r2, on obtient la formule de Dupuit 2

2

− Q = π k h2 h1 t log r 2

(4.15)

h2

h0 massif imperméable Fig. 4.8 : Essai de pompage

r1

Exemple 4.1 Un échantillon cylindrique de sol de 73 mm de diamètre et de 168 mm de hauteur est soumis à un essai de perméabilité à charge constante égale à 750 mm. Après une minute, on recueilli 945,7 g d’eau (de température égale à 20 °C et d’indice de vides de 0,43). Calculer le coefficient de perméabilité k. Exemple 4.2 Pendant l’essai de perméabilité à charge variable, on obtenait les mesures suivantes : a = 625 mm2, A = 1073 mm2, l = 162,8 mm h1 = 1602 mm, h2 = 801 mm, t = 90 s. Calculer le coefficient de perméabilité. 4.4.3 Formules empiriques Il existe des formules empiriques permettant le calcul du coefficient de perméabilité en fonction de caractéristiques diverses. 4.4.3.1 Formule de Hazen Elle est valable pour les sables propres (sable contenant moins de 5 % de particules passant le tamis n° 200) dont le diamètre effectif D10 est compris entre 0,1 et 3,0 mm. De plus, cette formule n’est utile que pour les valeurs de K ≥ 10-5 ms-1 : k = C D102 où [k] = ms-1,

(4.16) [D10] = mm,

0,004 ≤ C ≤ 0,012

4.4.3.2 Formule de Taylor Elle sert au calcul de la valeur du coefficient de perméabilité pour des indices de vides différents de ceux aux quels les essais ont été faits : k1 ÷ k2 =

C2 e32 C1 e13 ÷ 1 + e1 1 + e2

(4.17)

50 Chapitre 4 : L’eau dans les sols

Les coefficients empiriques C1 et C2 dépendent de la structure du sol. Pour les sables on prendra C1 ≈ C2. La relation suivante est aussi très utile dans le cas des sables (avec C’1 ≈ C’2) : k1 ÷ k2 = C'1 e12 ÷ C'2 e22

(4.18)

4.4.4 Perméabilité moyenne fictive verticale et horizontale des terrains stratifiés Lorsque le terrain est composé de plusieurs couches de perméabilités différentes, il est possible de calculer un coefficient de perméabilité équivalente pour un massif fictif supposé homogène. Mais il faut distinguer le cas d’un écoulement horizontal d’un écoulement vertical. 4.4.4.1 perméabilité équivalente horizontale Le débit total est la somme des débits dans chaque couche (Fig. 4.9) : v =

v1 H1 + .... + v n H n = kh i H

(4.19)

H1

v1

H2

v2

H3

v3

H

d’où kh H = Σ ( khi Hi )

(4.20)

4.4.4.2 perméabilité équivalente verticale La continuité de la vitesse de décharge (Fig. 4.10) implique v = v1 =….= vn = kv1 i1 =…= kvn in = kv i

(4.21)

Fig. 4.9 : Perméabilité moyenne horizontale

H1 H2

v

H

H3

d’où H = ∑ Hi

kv

i

(4.22)

k vi

Fig. 4.10 : Perméabilité moyenne verticale

4.5 Principe de la contrainte effective Les différentes phases qui forment un sol saturé ou non ne sont pas régies par les mêmes lois. L’étude des phases gazeuse ou liquide relève de la mécanique des fluides ou de l’hydraulique. Pour l’étude de résistance et de déformation de la phase solide, nous utilisons la pression effective c.à.d la pression réellement appliquée sur le squelette solide. On considère ainsi que le comportement mécanique du sol ne dépend que des contraintes effectives. Cette notion fut introduite par Terzaghi et est connue sous le nom de postulat de Terzaghi ou principe des contraintes effectives qui est un principe très important en géotechnique. 4.5.1 Loi de Terzaghi Dans le cas de sols à deux phases solide-gaz ou solide-liquide, on défini la contrainte effective par : σ = σ' + u

τ = τ'

(4.23)

51 Eléments de Mécanique des Sols

où σ (respectivement τ) est la contrainte totale normale (respectivement tangentielle). σ’ (respectivement τ’) est la contrainte effective normale (respectivement tangentielle). u est la pression interstitielle du fluide. σ’ ne peut être mesurée mais seulement calculée. 4.5.2 Loi de Skempton Elle analyse les forces de contact entre deux grains solides (Fig. 4.11) :

P u

u

d’où

P = P' + (A – Ac) u σ = σ' + (1 – a) u ,

P'

a = Ac / A

(4.24) Fig. 4.11 : Formule de Skempton

On remarque de cette formule que la loi de Terzaghi est le cas limite de la loi de Skempton.

4.5.3 Loi de Bishop Dans le cas de sol à trois phases solide, liquide et gaz, la formule de Bishop est la plus valable : σ = σ' + ua – x (ua – uw)

(4.25)

dans laquelle ua (uw) représente la pression du gaz (respectivement du liquide). x est un coefficient empirique qui dépend du degré de saturation : x est nul pour les sols secs et est égal à l’unité pour les sols saturés. Entre ces deux extrémités x est déterminé par expérimentation. Exemple 4.3 Calculer la contrainte effective au point M (Fig. 4.12) 4.5.4 Cas d’écoulement linéaire descendant ou ascendant En présence d’écoulement linéaire il faut tenir compte de la force de volume fv due au gradient hydraulique :

H d M

Fig. 4.12 : Exemple 4.3

fv = i γw Ainsi la contrainte effective pour un écoulement descendant devient : σ' = (γ' + i γw) d

(4.26)

et pour un écoulement ascendant elle s’écrit σ' = (γ' - i γw) d

(4.27)

52 Chapitre 4 : L’eau dans les sols

Exemple 4.4 Soit un échantillon de sol dans les deux configurations 1 et 2 (Fig. 4.13). Calculer pour chaque cas : σ, σ' et u. On donne ρsat = 2,0.103 kg/m3. 4.6 Effet Renard (ou des sables boulant) Lorsqu’il y a écoulement ascendant, il y a diminution graduelle des forces gravitationnelles. A l’état critique de ce phénomène, le sol entre dans un état de boulance dans lequel la contrainte effective est égale à zéro. Le gradient hydraulique associé à l’apparition de ce phénomène est dit gradient hydraulique critique ic. Il est défini par : ρ' γ' ic = ρ = γ w w

(4.28)

ρs − ρw 1+ e

z=2m

H=5m M

M niveau A

1

2 Fig. 4.13 : Exemple 4.4

avec (voir formulaire) ρ' =

niveau B

(4.29)

ρs étant la masse volumique des grains solides, il vient ρs ic = 1 +1 e ( ρw − 1)

h

(4.30)

hw = 2 m niveau A

Exemple 4.5 Trouver la charge h qui produira un état de boulance (Fig. 4.14), et le gradient hydraulique critique. On donne ρsat = 2. 103 kg/m3.

l=5m

M A = 1 m2

Fig. 4.14 : Exemple 4.5

4.7 Forces d’écoulement Les forces d’écoulement sont présentes dans toute asse de sol soumise à un gradient hydraulique. La force d’écoulement est une force volumique d’intensité fv telle que : fv = i γw

(4.31)

elle agit dans la direction de l’écoulement. Exemple 4.6 Considérons les données et les résultats de l’exemple 4.5. Calculer la force volumique d’écoulement lorsqu’il y a boulance. Calculer la force d’écoulement au niveau A.

53 Eléments de Mécanique des Sols

4.8 Réseaux d’écoulement Il s’agit de l’étude de l’infiltration de l’eau dans le sol. Lorsque l’écoulement permanent se fait dans un milieu isotrope (la perméabilité est même dans toutes les directions), le problème est régi par l’équation : ∆φ=0

(4.32)

ou φ est dit potentiel d’écoulement et représente la charge hydraulique. Ce problème peut être résolu graphiquement par l’établissement d’un réseau d’écoulement composé de lignes de courant et de lignes équipotentielles (Fig. 4.15). Le procédé est relativement simple. Il suffit de suivre les règles suivantes : - Une frontière imperméable est une ligne de courant. - Les lignes équipotentielles partent de la frontière imperméable suivant un angle droit. - L’intersection entre une ligne de courant et une ligne équipotentielle se fait sous un angle droit.

x

canal d'écoulement

∆q

30 m

∆q ∆q

a ∆l

∆q

2m

12 m

L = 40 m

lignes d'écoulement lignes équipotentiel

couche imperméable Fig. 4.15 : Réseau d’écoulement sous un barrage

Le réseau se dessine de façon à obtenir des mailles de tailles différentes mais de forme carrée. Dans un réseau d’écoulement, le gradient hydraulique peut être calculé par différence finie : i = (φ2 - φ1) / dl

(4.33)

54 Chapitre 4 : L’eau dans les sols

Le débit par canal d’écoulement est donné par : ∆q = v a = k i a = k ∆h a / ∆l = k h a / (b Nd)

(4.34)

où ∆q est le débit par canal d’écoulement par unité de temps et par unité de longueur transversale, h est la différence de potentiel dans le système totale (chute de charge), (a,b) sont les dimensions de la maille où a est la largeur du canal d’écoulement et b est la longueur du chemin d’écoulement. Nd est le nombre de chutes de potentiel. Ainsi, le débit total par unité de longueur transversale est q = Nf ∆q = k h (a/b) (Nf / Nd)

(4.35)

où Nf est le nombre de canaux d’écoulement. Exemple 4.7 Soit le réseau d’écoulement ci-contre (Fig. 4.15). La longueur transversale du barrage est de 120 m. Calculer le débit de fuite lorsque le coefficient de perméabilité est égal à 20.10-6 ms-1. Calculer le gradient hydraulique de sortie au point x. Trouver la distribution des pressions d’eau sous le radier du barrage. Remarque 4.1 Dans le cas de massif anisotrope, le problème est régi par l’équation : 2 2 ϕ ϕ kx ∂ 2 + ky ∂ 2 = 0 ∂x ∂y

(4.36)

où kx et ky sont les coefficients de perméabilité dans les directions x et y respectivement. 4.9 Contrôle des écoulements Pour prévenir l’érosion interne sous les structures, il faut veuillez à ce que le gradient hydraulique soit strictement inférieur au gradient hydraulique critique, notamment pour les sols pulvérulents et particulièrement les silts. Pour y parvenir, on peut : . Vue l’impossibilité d’interdire l’infiltration de l’eau sous la structure, il faut allonger les chemins d’écoulement pour augmenter les pertes de charge ce qui se traduit par une baisse du gradient hydraulique dans les zones critiques. . Soulager la pression de soulèvement sous la structure, à l’aide de puits de décharge ou drains convenablement mis en place. . Utiliser les filtres de protection. Ils sont constitués par des couches de matériaux granulaires placées sur des sols moins perméables Ces filtres permettent l’écoulement de l’eau sans subir de pertes importantes de charge. Les caractéristiques de ces filtres sont précisées grâce à des études expérimentales. Les quatre principaux critères pour les filtres de protection sont les suivants (USACE, 1986) : Critère de perméabilité Critère d’épaisseur

Critère de rétention Critère pour les fentes et écrans

55 Eléments de Mécanique des Sols

Critère de perméabilité Le matériau composant le filtre doit être plus perméable que le matériau à protéger dit base. Critère de rétention Les vides du filtre devront être suffisamment petits pour empêcher les particules de la base d’y pénétrer. Critère d’épaisseur La couche filtrante doit être suffisamment épaisse pour assurer la répartition uniforme de toutes les dimensions de particules à travers tout le filtre. Critères pour les fentes et écrans Les filtres et trous doivent être suffisamment petits (même en interposant une couche filtrante supplémentaire) pour que les particules du filtre ne puissent pénétrer dans les tuyaux de drainage.

56 Chapitre 4 : L’eau dans les sols

Exercices du Chapitre 4 L’eau dans les sols Exercice 1 Un échantillon de sol a une hauteur de 15 cm et un diamètre de 5,5 cm. Soumis à la pression d’une hauteur d’eau de 40 cm, évacue 40 g d’eau en 6 secondes. Calculer le coefficient de perméabilité du sol en question. Exercice 2 Un massif de sol est constitué de trois couches horizontales de même épaisseur. Les coefficients de perméabilité sont 10-3 cm/s, 10-2 cm/s et 10-3 cm/s. Calculer les coefficients de perméabilité horizontale et verticale. Exercice 3 Calculer la contrainte effective au point M de profondeur D. Le niveau de la nappe est situé à la profondeur d (> t1 doit indiquer u0+∆σ. Lorsque la soupape est ouverte, l’eau s’évacue lentement, en même Fig. 6.6 :Modèle de consolidation temps, la pression interstitielle diminue. La diminution de la pression interstitielle est B reprise par le ressort qui se comprime au fur et t à mesure. A l’équilibre, l’eau ne s’écoule plus tassement primaire du cylindre, la pression de l’eau redevient hydrostatique, le ressort est soumis à la charge A C D σv+∆σ. Ce modèle permet de représenter ce que se produit dans les sols cohérents chargés. tassement secondaire Au début, la sollicitation est transmise à l’eau ∆h sans qu’il y est changement dans la contrainte effective. Graduellement, l’eau est expulsée, le Fig. 6.7: Tassement primaire et tassement secondaire squelette de sol reprend la variation de contrainte, tandis que la contrainte effective augmente. Au bout d’un certain temps fonction de la perméabilité du sol, la pression hydrostatique en excès devient nulle et la pression interstitielle reprend la valeur qu’elle avait avant l’incrémentation du chargement. L’étude de la consolidation peut se faire à l’oedomètre sous charge constante. Sur la courbe représentative de cet essai (Fig. 6.7) on distingue deux branches sensiblement rectilignes. La branche BC représente la zone de consolidation primaire qui est due à la résistance offerte à l’évacuation de l’eau en excès. La branche CD caractérise la consolidation secondaire

78 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

qui est le résultat du réarrangement progressif de la structure du sol. L’intersection des prolongements de BC et DC se fait au point A. Par définition, ce point détermine la fin du tassement primaire. Dans les problèmes pratiques, l’étude de la consolidation revient à déterminer la courbe de variation du degré de consolidation en fonction du temps U(z, t) défini par : U(z, t)

=

S(z, t) S(z)

(6.3)

où S(z, t) est le tassement à la profondeur z et au temps t, S(z) est le tassement final à la profondeur z. 6.5 Détermination de la contrainte de préconsolidation La contrainte de préconsolidation σ'p est déterminée d’après un essai de compressibilité par la construction graphique de Casagrande sur la courbe e(logσ'v) (Fig. 6.8): . Soit A le point où le rayon de courbure est minimal. . On trace la droite horizontale AH à partir de A. . A partir de A, on trace la tangente AT au début de la courbe de compression vierge. . On trace la bissectrice AB' de l’angle HÂT. . On prolonge la portion rectiligne de la zone de compression vierge jusqu’à son intersection en B avec la bissectrice AB'. . Le point B correspond à la contrainte de préconsolidation σ'p.

e A

B

H B' T

log σ'vc σ'p Fig. 6.8 : Détermination de la contrainte de préconsolidation

On peut avoir plusieurs cas selon les valeurs relatives de σ'p et la contrainte effective actuelle due au poids des terres σ'v0 : Sol normalement consolidé La contrainte de préconsolidation est égale à la contrainte due au poids des terres : σ'p = σ'v0 Sol surconsolidé Lorsque les deux contraintes sont telles que σ'p > σ'v0

79 Eléments de Mécanique des Sols

on définit alors le taux de suconsolidation par :

rsc

=

σ'p σ'v0

(6.4)

Sol sous-consolidé lorsque σ'p < σ'v0 Ce cas est généralement rare et n’est pas permanent. En effet, on ne peut le trouver que dans les sols déposés récemment par un processus géologique ou par intervention humaine. Le sol en question n’a pas encore atteint son équilibre avec le poids des terres. La pression interstitielle est alors supérieure à la pression hydrostatique. 6.6 Prédiction de la courbe de consolidation pour le sol en place La valeur de la contrainte de préconsolidation est influencée par plusieurs facteurs liés à l’expérimentation tels que le degré de remaniement de l’échantillon, le rapport d’augmentation de la charge (qui doit être inférieur à 1 pour les argiles molles et sensibles), et la durée de chaque chargement (qui est de l’ordre de 24 heures). C’est pourquoi au laboratoire, on obtient des courbes de recompression dont la pente est légèrement inférieure à la pente de la courbe de compression vierge sur le terrain. Schmertmann a mis au point une méthode graphique pour évaluer la pente de la courbe de compression vierge pour le sol en place. Pour corriger la courbe de compression vierge au laboratoire on procède de la façon suivante : 6.6.1 Pour une argile normalement consolidée . On évalue la contrainte de préconsolidation e σ'p par la construction de Casagrande. P1 e0 . On calcule l’indice des vides initiale e0. On trace la ligne horizontale passant par e0 et s'arrêtant au niveau de σ'p. On obtient alors le point P1 (Fig. 6.9). F . On trace une horizontale à partir du point correspondant à 0,42 e0. Au point d’intersection de cette droite et du prolongement de la courbe de compression 0,42 e0 P2 vierge en laboratoire. Ainsi on définit le point P2. σ'p log σ'vc . On relie les deux points caractéristiques P1 Fig. 6.9 : Construction de Schmertmann et P2 par une droite F. pour un sol n.c. . La pente de cette droite définie l'indice de compression Cc du sol sur site. De même, la droite F représente la courbe de compression vierge sur le terrain.

80 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

6.6.2 Pour une argile surconsolidée . On trace la ligne horizontale passant par e0 et s’arrêtant au niveau de σ'p d’où le point P1. (Fig. 6.10). . A partir du point P1, on trace une droite parallèle à la courbe moyenne chargementdéchargement et s’arrêtant au niveau de la contrainte de préconsolidation σ'p, d’où le point P2. . L’intersection du prolongement de la courbe de compression vierge avec la droite horizontale passant par 0,42e0 donne le point P3. . La droite P1P2 donne l’indice de recompression, et la droite P2P3 donne l’indice de compression vierge, tout deux sur le terrain.

e e0

P1

P2

0,42 e0

P3 σ'v0 σ'p

Fig. 6.10 : Construction de Schmertmann pour un sol s. c.

6.7 Calcul des tassements primaires 6.7.1 Méthode globale On peut faire un calcul global du tassement en considérant la variation des caractéristiques mécaniques du sol en fonction de l’état de contrainte. Pour un élément de volume parallélépipédique, de hauteur dz, le tassement infinitésimal sous la contrainte verticale appliquée σz est donné par : dz ds = σz (6.5) E' où E' est une caractéristique mécanique du matériau dite le module oedométrique, dépendant à la fois de la profondeur z et de la contrainte σz. En un point donné de profondeur z0, le tassement est donc : ∞ (z)dz s(z0) = ∫ σz E'(z) z0

(6.6)

Pour un sol constitué d’une seule couche de faible épaisseur égale à 2h, on pourra admettre que le module oedométrique E' est constant et que la répartition de la contrainte verticale σz est linéaire. Dans ces conditions, le tassement de la couche est donné par : s=

h (σz1 − σz2) E'

(6.7)

où σz1 est la contrainte verticale due à la surcharge à la surface de la couche, σz2 est la contrainte verticale due à la surcharge à la base de la couche. Dans le cas général de massif constitué de multi-couches ou d’une seule couche de grande épaisseur, le

81 Eléments de Mécanique des Sols

calcul pratique des tassements se fait de telle sorte que l’on puisse admettre pour chaque couche une répartition linéaire de σz et un module oedométrique E' constant. Le tassement global est enfin la somme des tassements de l’ensemble des couches. Remarque 6.1 Le module oedométrique est aussi appelé le module tangent. On peut le déterminer d’après les essais oedométriques ou triaxiaux en traçant la relation effort-déformation. Pour un incrément de charge ∆σ à partir de l’état (σ, e), on peut utiliser l’expression : ∆σ E' = 1+e Cc log(1+ ∆σ) σ

(6.8)

Quelques fois, E' est remplacé par le module sécant. Les essais permettant le calcul de E' doivent se faire dans des conditions non drainées puisque le tassement immédiat se produit avant toute consolidation. On appelle alors le module oedométrique, le module en conditions non drainées Eu. Toutefois, il faut souligner que le calcul du module Eu est fortement influencé par le remaniement des échantillons. Lorsque nous voulons évaluer le tassement par composantes, les calculs relèvent de plusieurs théories étant donné que les composantes de tassement sont de natures différentes. 6.7.2 Calcul des tassements instantanés Dans les milieux saturés, on peut admettre que ce tassement se produit à volume constant. On peut le calculer on se basant sur les formules de Boussinesq. A titre d’exemple, au voisinage d'une semelle flexible uniformément chargée, le tassement est donné par : 2

1− ν Si = q B E I

(6.9)

Dans laquelle on prendra ν=0,5. B est la dimension caractéristique de la semelle. Le coefficient d’influence I dépend de la forme de la semelle et de la position du point de calcul (Tab. 6.1) Coefficient d’influence Centre Coin Carrée 1,12 0,56 L/B=2 1,53 0,77 L/B=3 1,78 0,89 Rectangulaire L/B=5 2,10 1,05 L/B=10 2,58 1,29 Circulaire 1,0 0,64 Tableau 6.1 : Coefficient d’influence I pour la formule (6.9)

Forme de la semelle

Dimensions

Moyenne 0,95 1,30 1,52 1,83 2,25 0,85

Lorsqu’il s’agit d’une semelle rigide, le coefficient d’influence est plus petit.

82 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

6.7.3 Calcul des tassements de consolidation Au cours de la consolidation du sol, l’élément de volume se déforme. Etant donné que les grains sont indéformables (par hypothèse), le volume solide reste inchangé (Fig. 6.11). En fonction de l’indice des vides, on écrit : V Vs = 1+et = Cons tan te

∆H

Vv0

Vv

Vs

Vs

H0

Fig. 6.11 : Principe de calcul du tassement

(6.10)

pour une surface transversale égale à l’unité, il vient : h h + ∆h Vs = 1 + 0 = 1 + 0 + ∆ e e0 e0

d'où

ε v = ∆h = ∆e 1 + e0 h0

ce qui nous permet de calculer le tassement S de l’échantillon : S = ∆h = ∆e h 0 1+e0

(6.11)

Exemple 6.1 Une couche de sol possédait les caractéristiques suivantes : épaisseur égale à 10m, indice des vides égal à 1,0. Après la construction d’un remblai, la couche s’est consolidée. L’indice des vides final n’était que de 0,8. Calculer le tassement de la couche de sol. L’utilisation pratique de l’expression (6.11) ci-dessus dépend de la plage de l’incrément de contrainte par rapport à la contrainte de préconsolidation. 6.7.3.1 Sol normalement consolidé Le tassement de consolidation Sc se calcule pour la zone de compression vierge. Selon la courbe effort-déformation utilisée, on exprime le tassement de consolidation par l’une des formules suivantes : σ' H Sc = Cc1+ 0 log( 2) e0 σ'1 σ' Sc = Cce H0 log( 2) σ'1 H Sc = a v1+ 0 (σ'2−σ'1) e0 Sc = m vH0 (σ'2−σ'1)

(6.11.a) (6.11.b) (6.11.c) (6.11.d)

où σ'2 = σ'1+∆σ, les indices Cc, Cce, av, mv sont relatives à la zone de compression vierge.

83 Eléments de Mécanique des Sols

Remarque 6.2 1. Avantages des courbes εv(log σ'v) ou ∆h(log σ'v): . Simplifier le calcul des tassements sans connaître e0. . Déterminer la contrainte de consolidation σ'vc pendant l’essai. . Pour deux échantillons, les courbes e(log σ'v) peuvent être très différentes à cause de e0, par contre les courbes ∆h(log σ'v) peuvent être similaires. 2. Lorsque le sol est un multicouches, le tassement de consolidation sera la somme des tassements de chaque couche : n

Sc = ∑ Sci

(6.12)

i =1

6.7.3.2 Le sol est surconsolidé On peut avoir deux cas : σ'v0 + ∆σ'v ≤ σ'p ou σ'v0 + ∆σ'v ≥ σ'p 6.7.3.2.1 La contrainte effective finale est inférieure à la contrainte de préconsolidation ( σ'v0 + ∆σ'v ≤ σ'p ) On peut utiliser les expressions (6.11) en prenant le soin de remplacer les coefficients de la zone de compression vierge par ceux de la zone de recompression Cr ou Cre : σ' H Sc = Cr1+ 0 log( 2) σ'1 e0 σ' Sc = Cre H0 log( 2) σ'1

(6.13.a) (6.13.b)

6.7.2.2.2 La contrainte effective finale est supérieure à la contrainte de préconsolidation ( σ'v0 + ∆σ'v ≥ σ'p ) Le tassement de consolidation sera la somme de deux parties : un tassement relatif à la zone de recompresssion, et un tassement relatif à la zone de compression vierge : H Sc = Cr 1 + 0 log[ e0

σ'p + (σ'v0 + ∆σv − σ'p) σ'v0 + (σ'p − σ'v0) ] + Cc H 0 log[ ] 1 + e0 σ'v0 σ'p

soit, σ'v0+ ∆σv σ'p H H ) Sc = Cr 1+ 0 log( ) + Cc 1+ 0 log( σ'v0 σ'p e0 e0

En terme d’indice de recompression modifié, il vient :

(6.14)

84 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

Sc = Cre H0 log

σ'v0+ ∆σv σ'p + Cce H0 log( ) σ'v0 σ'p

(6.15)

Exemple 6.2 Pendant un essai de consolidation, nous avons relevé les mesures (e, σ'vc) portées sur le tableau ci-contre. L’indice des vides initial est de 0,725. La contrainte due au poids des terres est de 130 kPa. 1. Construire la courbe de consolidation du type e (log σ'vc). 2. Estimer le rapport de surconsolidation. 3. Déterminer l'indice de compression et l'indice de recompression pour le sol en place.

e 0,708 0,691 0,670 0,632 0,635 0,650 0,642 0,623 0,574 0,510 0,445 0,460 0,492 0,530

σ'vc [kPa] 25 50 100 200 100 25 50 200 400 800 1600 400 100 25

4. Sachant que cet essai est représentatif d'une couche d'argile de 12m d'épaisseur, déterminer le tassement de consolidation pour une contrainte supplémentaire de 220 kPa. 5. Formuler les équations de la courbe de compression vièrge et de la courbe de rebondissement pour le déchargement commençant à 1600 kPa. 6.8 Vitesse de consolidation 6.8.1 Introduction La compression secondaire joue un rôle important dans le cas des tourbes et des sols fortement organiques, tandis que dans les argiles inorganiques, la consolidation primaire est la composante majeure du tassement. La compression secondaire se produit après la dissipation de toute pression interstitielle excédant les conditions hydrostatiques. Le processus se déroule donc à pression effective constante. Nous allons nous consacré à des théories servant à l’évaluation des taux de consolidation ou vitesse de tassement primaire et secondaire des sols à grains fins. 6.8.2 Le phénomène de la consolidation Nous pouvons simuler le phénomène par un modèle analogique comme le montre fig. 6.12. Lors du chargement d’une couche de sol saturé, la contrainte supplémentaire ∆σ due au chargement est immédiatement transmise à l’eau qui développe une pression interstitielle en excès ∆u = ∆σ. A mesure que le temps passe,

85 Eléments de Mécanique des Sols

l’eau est évacuée, et se produit un transfert graduel de la contrainte de l’eau vers le squelette de sol : la contrainte effective augmente et la surpression interstitielle diminue. Lorsque le temps tend vers l’infini, la surpression interstitielle ∆u est σ'v0+∆σ totalement dissipée, et la contrainte Pression effective correspond à σ'v0+∆σ. Dans le cas d’une couche de sol drainée sur ces ∆σ deux faces, la surpression interstitielle z σ'v0 ∆σ' ∆u n’est pas uniforme le long de l’épaisseur. Au voisinage des faces drainées, l’eau s’évacue plus rapidement qu’à l’intérieur ∞ t 0 de la couche, ce qui donne des Monôcouche répartitions non linéaires de la pression de l’eau et de la contrainte effective. En σ'v0+∆σ effet, la vitesse d’évacuation de l’eau est Pression liée physiquement au gradient hydraulique : z

i = ∆h = ∆u l γ w ∆z

(6.16)

∆σ

σ'v0 ∆σ'

∆u

Or l’écoulement qui se produit exactement au centre de la couche est nul car le gradient ∆u/∆z est nul. Près des extrémités, le gradient tend vers l’infini et c’est à cet endroit que l’écoulement est le plus rapide. Le phénomène décrit ci∞ t 0 dessus s’appelle consolidation. Le tassement global de la couche de sol est proportionnel au volume d’eau expulsée. Multi-couche Cette quantité d’eau évacuée ainsi que la variation de l’indice des vides sont Fig. 6.12: Modèle analogique de proportionnelles à la surpression consolidation d'un massif de sol interstitielle dissipée. La théorie de la consolidation est un modèle mathématique pour l’étude des tassements. En mécanique des sols, la théorie la plus adoptée repose sur l’hypothèse d’une consolidation unidimensionnelle, elle a était développée initialement par Terzaghi K. dans les années 20 du siècle dernier. 6.8.3 Théorie de Terzaghi pour la consolidation unidimensionnelle La théorie traite le cas d’une couche d’argile compressible comprise entre deux couches de matériaux poreux très perméables (Fig. 6.13). 6.8.3.1 Les hypothèses La théorie est basée sur les hypothèses suivantes :

86 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

. La couche de sol compressible est homogène. . La couche est complètement saturée. Sable . Les grains solides et l’eau interstitielle sont incompressibles. H = 2h Argile . La loi de Darcy est valable. . La compression de la couche et l’évacuation de Sable l’eau se font dans une seule direction. z . La couche de sol est drainée sur une ou deux Fig. 6.13: Couche de sol faces (haute et basse). compressible en consolidation . Les déformations sont petites dans le sol. . Le coefficient de compressibilité av et le coefficient de perméabilité k demeurent constants pendant la consolidation (loi linéaire d’où l’hypothèse suivante). . Absence de compression secondaire. 6.8.3.2 Mise en équation L’équation de Terzaghi représente la formulation de la continuité de l’écoulement de l’eau interstitielle. Tout calcul fait, elle est donnée par l’expression 2 u Cv ∂ 2 = ∂∂ut ∂z

(6.17)

où u est la pression interstitielle de l’eau, z la variable de profondeur, t la variable temps. Cv est dit coefficient de consolidation. Il est donné par : 1 + e0 Cv = γk av w

(6.18)

Quoi que cette équation n’a été formulée que pour la consolidation unidimensionnelle, on peut montrer qu’elle pourrait être dérivée pour les problèmes à consolidation tridimensionnelle. Les conditions aux limites sont les suivantes : . Au début du chargement, la pression interstitielle en excès est égale à l’augmentation de la contrainte totale ∆σ, ce que nous décrirons par : à t = 0 : ∆u = ∆ui = ∆σ = (σ'2 - σ'1) . La couche d’épaisseur H est drainée sur ces deux faces, soit : pour z = 0 et z = H nous avons ∆u = 0 6.8.3.3 Résolution La solution est exprimée sous forme de séries de Fourier :

87 Eléments de Mécanique des Sols

∆u = (σ'2 − σ'1)

∞

∑ f (Z)

n =0

1

(6.19)

f 2 (T )

où f1 et f2 sont deux fonctions. ∆u est la pression interstitielle en excès, le facteur de profondeur Z et le facteur temps T, sont des paramètres sans dimension : Z = z / Hdr

(6.20)

où Hdr est la longueur du chemin de drainage, on la prend égale à l'épaisseur de la couche H pour un drainage sur une seule face et est égale à H/2 lorsque la couche est drainée sur ces deux faces. H dr =  H / 2 pour une couche doublement drainée  H pour une couche drainée sur une seule face T = C v t2 H dr

(6.21)

Dans le calcul pratique à la place de (6.19), on utilise des abaques pour le calcul rapide. Ces abaques sont basés sur la notion du degré de consolidation. 6.8.3.4 Degré de consolidation

e

Nous avons vu dans la section 6.4 que pour l'ingénieur, l'étude de la vitesse de tassement se conclut par la définition du degré de consolidation, c.à.d le taux de la consolidation achevée au temps t et à la profondeur z, par rapport à la consolidation finale à la même profondeur z (formule 6.3). En fonction de l’indice des vides, le degré de consolidation est défini au temps t et à la profondeur z par la relation : e − e(t) Uz (t) = 1 − e1 e2

e1 ∆e

e

av

e2 σ' σ'2 σ'1 σ' ∆σ' = ∆ui Fig. 6.14: Courbe de compressibilité

(6.22)

où e1 (respectivement e2) représente l’indice des vides initial (final). En terme de contraintes et de pressions interstitielles, il vient (Fig. 6.14):

Uz =

σ'− σ'1 σ'− σ'1 ∆ ui − ∆u = = = 1 − ∆u ∆ui ∆ui σ'2 − σ'1 ∆σ'

∆u étant la variation de la pression interstitielle à t = 0. En effet, nous avons: σ' = σ'1 + ∆σ' = σ'1+ ∆σ - ∆u = σ'1 + ∆ui - ∆u

(6.23)

88 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

d'où σ' - σ'1 = ∆ui - ∆u Alors (6.23) donne: Uz = 1 −

∞

∑ f (Z) f n=0

1

2

(6.24)

(T )

dont la solution est donnée pour une couche doublement drainée par Taylor (Fig. 6.15) Exemple 6.3 Une couche d’argile a 12m d’épaisseur. Elle est drainée sur ces deux faces. Trouver le degré de consolidation et la pression interstitielle en excès après 5 ans de chargement, aux profondeurs de 3, 6, 9 et 12m. On donne Cv=8,0.10-8 m2s-1, ∆σ=100 kPa. 6.8.3.5 Degré de consolidation moyen Le degré de consolidation a un caractère local. Pour avoir une idée sur la consolidation de la couche entière, on introduit le degré de consolidation moyen défini par : H

U moy (t) =

∫ σ' (z, t) dz 0 H

∫ σ'

2

≈

(z) dz

H

1 σ' (z, t) dz H σ'2 ∫0

(6.25)

0

en fonction de la surpression interstitielle, il vient : H

U moy (t) = 1 −

∫ ∆u(z, t) dz 0 H

∫ σ'

2

(z) dz

≈1−

H

1 ∆u(z, t) dz H σ'2 ∫0

(6.26)

0

Dans ces expressions, l’approximation est due à la contrainte effective finale σ'2 : estelle constante ou variable sur toute la hauteur de la couche ?. Dans la pratique il existe des abaques donnant le degré de consolidation moyen en fonction du facteur temps. Dans (Fig. 6.16) on suppose une distribution linéaire des pressions interstitielles initiales en fonction de la profondeur. Ceci constitue la seule restriction lors de l’utilisation de ces abaques. Par ailleurs, il existe des relations approximatives de T(Umoy) comme celles proposées par Casagrande (1938) et Taylor (1948) :  π ( U moy )2  4 100 T= 1,781 − 0,933 log(100 − U moy) 

pour U moy < 60 % pour U moy > 60 %

(6.27)

89 Eléments de Mécanique des Sols

Fig. 6.15: Degré de consolidation pour un point dans une couche doublement drainée (d'après introduction à la géotechnique)

90 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

Fig. 6.16: Relation Umoy(T) dans différents échelles (d'après introduction à la géotechnique)

91 Eléments de Mécanique des Sols

dont les relations inverses sont :

U moy

 2 T  π =  −T 1 − 101,0781 ,933 

pour U moy < 60 % pour U moy > 60 %

(6.28)

Exemple 6.4 Soit une couche d’argile doublement drainée. Calculer le degré de consolidation à Z1=0,1 et Z2=1 pour T=0,05. Calculer le degré de consolidation moyen de la couche. Enfin, nous pouvons relier le degré de consolidation moyen au tassement par l’expression : U moy (t) =

S(t) Sc

(6.29)

où S(t) est le tassement au temps t, Sc est le tassement final de consolidation primaire. Exemple 6.5 Soit une couche d’argile molle doublement drainée et d’une épaisseur égale à 12m. On suppose que la couche est normalement consolidée. Calculer le temps nécessaire pour que le tassement de la couche soit égal à 0,25m. On donne : e0=0,62 ; σ'v0=110 kPa ; ∆σ'=100 kPa ; Cv=8.10-8 m2s-1 ; Cc=0,25. Exemple 6.6 Une couche d’argile a une épaisseur de 10m et est drainée sur une seule face. En 3,5 ans, elle présente un tassement de 90 mm. Calculer le tassement de consolidation finale et déterminer le temps nécessaire pour atteindre 90% de cette valeur. On donne : Cv=0,544.10-6 m2s-1. 6.9 Détermination expérimentale du coefficient de consolidation Cv Ce coefficient figure dans l’équation différentielle de consolidation (6.17-18), et dans la définition du facteur temps (6.19). En réalité, le coefficient de consolidation dépend du rapport d’augmentation de la charge, du niveau de la contrainte appliquée, qu’elle excède ou non la contrainte de préconsolidation. Expérimentalement, le calcul de Cv est basé sur l’expression (6.19). Il existe deux méthodes graphiques associées à un essai oedométrique classique. 6.9.1 Méthode de Casagrande On considère l’espace (R(t), log(t)), où R(t) représente la lecture micrométrique de la variation de la hauteur de l’échantillon en fonction du temps t. La méthode consiste à

92 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

déterminer R50 et t50 correspondant à 50 % de consolidation. Pour cela, on suit les étapes ci-dessous (Fig. 6.17): R

. On trace les tangentes aux deux branches linéaires de la courbe. R0 R1 . On détermine le point P1(tp, R100) R2 défini par l’intersection des deux tangentes. Il défini le temps de la fin de consolidation primaire tp correspondant à Umoy = 100 %. R100 . On choisi deux temps t1 et t2 quelconques mais dans un rapport de 1 à 4 (t2 = 4t1) et on prend leurs log t lectures micrométriques R1 et R2. tp t1 t2 = 4 t1 . On reporte au dessus de R1 la distance égale à R2 - R1. On définit Fig. 6.17: Méthode de Casagrande pour le ainsi la lecture initiale R0 = R1 - (R2 calcul de Cv R1). . On recommence le procédé pour plusieurs valeurs de t1 pour obtenir une valeur moyenne de R0 aussi exacte que possible : R0 = R2 - (R3 - R2). . On calcul alors R50 = (R0 + R100) / 2, d’où l’on détermine t50(R50). . On calcul Cv d’après (6.19) dans laquelle on prendra R

T = 0,197 et t = t50 (associés à Umoy = 50%). Hdr = (Hdr)moy = Hmoy/2, où Hmoy= (H0 + Hf) / 2 6.9.2 Méthode de Taylor On considère l’espace R( t ). La méthode consiste à déterminer R90 et t90 correspondant à 90 % de consolidation. Pour cela, on suit les étapes ci-dessous (Fig. 6.18): . On trace la droite d1 tangente à la partie initiale de la courbe R( t ). . L’intersection de la droite d1 avec l’axe R donne R0. . A partir de R0, on trace une deuxième droite d2 dont les abscisses sont égales à 1,15 fois les abscisses de d1. . L’intersection de la droite d2 avec la courbe correspond à P1(R90, t90). . On applique la formule (6.19) en utilisant t90 et T = 0,848 associés à Umoy = 90%, Hdr = (Hdr)moy.

R0

P1

R90 d

0,15 d (t90)1/2 d1

d2

(t)1/2

Fig. 6.18: Méthode de Taylor pour le calcul de Cv

Généralement, cette méthode donne des valeurs de Cv légèrement supérieures aux valeurs données par la méthode de Casagrande.

93 Eléments de Mécanique des Sols

6.10 Détermination du coefficient de perméabilité Lors d’un essai oedométrique, connaissant Cv, on calcule le coefficient de perméabilité k à partir de (6.18) soit : γ k = Cv w a v 1 + e0

(6.30)

6.11 Evaluation de la compression secondaire 6.11.1 Définitions La compression secondaire est le changement de volume qui se produit au delà de la consolidation primaire. Elle se produit sous une contrainte effective constante, c.à.d après que toutes les pressions interstitielles en excès soient dissipées. Il s’agit donc d’un phénomène de fluage. Sur le terrain, il est impossible de départager le tassement de consolidation primaire de la compression secondaire. Dans la zone de compression secondaire, on définit l’indice de compression secondaire Cα par : e Cα = ∆ ∆ log t

(6.31)

où ∆e est la variation de l’indice des vides pendant l’intervalle ∆t. et l’indice de compression secondaire modifié Cαe par : C Cαe = 1 + α ep

(6.32)

où ep est l’indice des vides au début de la portion linéaire de la courbe e(log(t)), c.à.d. l’indice des vides à la fin de la consolidation primaire. 6.11.2 Hypothèses On admet les hypothèses suivantes : . Cα est indépendant du temps. . Cα est indépendant de l’épaisseur de la couche de sol. . Cα est indépendant du rapport d’incrémentation de la charge. . le rapport Cα /Cc est à peu près constant pour un grand nombre d’argile normalement consolidées dans la gamme des contraintes que l’on rencontre dans les applications courantes. (la valeur moyenne de Cα /Cc est de l’ordre de 0,05). 6.11.3 Calcul du tassement secondaire On peut utiliser l’équation de base

94 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

e Ss = 1 ∆ + e0 H 0

(6.33)

dans laquelle on prendra ∆e = Cα ∆(logt). H0 = Hi - Si - Sc la hauteur de la couche à la fin de la consolidation primaire. Hi étant l’épaisseur initiale de la couche, Si est le tassement instantané, Sc est le tassement de consolidation. e0 = ep est relatif à la fin de la consolidation primaire Exemple 6.7 Soient les données relatives à la vitesse de déformation pour un incrément de charge de 40 à 80 kPa. On suppose que le tassement de consolidation est de 300 mm et qu’il se produit au terme d’une période de 25 ans. L’épaisseur de la couche compressible est de 10 m. L’indice des vides initial est de 2,855. La hauteur initiale de l’échantillon est égale à 25,4 mm. La lecture micrométrique initiale est de 12,7 mm. On suppose que la vitesse de déformation de l’échantillon de laboratoire est à t [min] R [mm] peu près la même que celle du dépôt initiale 12,7 compressible. Calculer le tassement secondaire 0 11,224 qui se produira entre 25 et 50 ans 0,1 11,151 6.12 Tassements admissibles et précautions à adopter Les tassements uniformes ne sont pas en général préjudiciables. Par contre, les tassements différentiels peuvent provoquer des désordres graves : dislocation de maçonnerie, fissures dans les bétons, rotation d’ensemble ..etc. Les tassements uniformes ou absolus sont considérés admissibles lorsqu’ils peuvent être absorbés sans inconvénient par la structure. Ceci peut être réalisé par des constructions très souples ou des constructions très rigides. Pour les constructions courantes, on limite les tassements différentiels Sd aux valeurs suivantes :  L  600 Sd ≤   L  1000

0,25 0,5 1,0 1,8 3,0 6 10 16 30 60 100 180 300 520 1350 1800 2850 4290

11,123 11,082 11,019 10,942 10,859 10,711 10,566 10,401 10,180 9,919 9,769 9,614 9,489 9,373 9,223 9,172 9,116 9,053 Exemple 6.7

pour la maçonnerie (plus adaptable que le béton armé) pour les structures en béton armé

L étant la portée séparant deux appuis pour lesquels on effectue le calcul.

(6.34)

95 Eléments de Mécanique des Sols

Les précautions à adopter visent à minimiser autant que possible les tassements tout en prenant garde des sols gonflants. De point de vue réglementaire, il existe des normes précisant les valeurs limites des tassements (Tab. 6.2). Type de mouvement Tassement total

Renversement

Tassement

Condition drainage correcte facilité d'accès Tas. uniforme sous mur en maçonnerie Tas. uniforme sous poutraison Tas. uniforme sous silos, cheminée, radier stabilité de cheminée et tour circulation d'engin stabilité d'empilage stabilité de machine à tisser stabilité de turbo-générateur Stabilité de grue sur rail Ecoulement de l'eau dans les étages parer à la fissuration de mur de brique parer à la fissuration de poutre en B.A. parer à la fissuration de voile en B.A. parer à la fissuration de poutre continue en acier parer à la fissuration de poutre simple en acier

Tassement maximal 15 à 30 cm 30 à 60 cm 2 à 5 cm 5 à 10 cm 8 à 30 cm 0,004 B 0,01 L 0,01 L 0,003 L 0,0002 L 0,003 L 0,01 à 0,02 L 0,0005 à 0,001 L 0,0025 à 0,004 L 0,003 L 0,002 L 0,005 L

Tab. 6.2: Tassements admissibles (d'après Costet et Sanglerat)

96 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

Exercices du chapitre 6 Tassement, compressibilité et consolidation Exercice 1 : Pendant un essai de consolidation sur une Pression [kPa] argile non remaniée, nous avons obtenu les 20 données ci-contre. 40 a. tracer le graphique de la pression en 80 160 fonction de l'indice des vides sur une échelle 320 semi-logarithmique et sur une échelle 640 arithmétique. 1280 b. Formuler les équations de la courbe de 320 compression vierge et de la courbe de 80 rebondissement pour un déchargement 20 commençant à 1280 kPa. 0 c. Quels sont les indices de compression modifié et de rebondissement de ce sol. d. Evaluer la contrainte à laquelle cette argile a été préconsolidée. Exercice 2 Pendant un essai de consolidation, nous avons relevé les mesures (e, σ'vc) portées sur le tableau ci-contre. L’indice des vides initial est de 0,725. La contrainte due au poids des terres est de 130 kPa. 1. Construire la courbe de compressibilité du type e (log σ'vc). 2. Estimer le rapport de surconsolidation. 3. Déterminer l'indice de compression et l'indice de recompression pour le sol en place.

e 0,708 0,691 0,670 0,632 0,635 0,650 0,642 0,623 0,574 0,510 0,445 0,460 0,492 0,530

Indice des vides 0,953 0,948 0,938 0,920 0,878 0,789 0,691 0,719 0,754 0,791 0,890

σ'vc [kPa] 25 50 100 200 100 25 50 200 400 800 1600 400 100 25

4. Sachant que cet essai est représentatif d'une couche d'argile de 12m d'épaisseur, déterminer le tassement de consolidation pour une contrainte supplémentaire de 220 kPa. Exercice 3 : On doit construire un édifice sur une couche de 6 m d'argile qui présente les caractéristiques suivantes: e0= 0,96; Cc=0,22. La contrainte moyenne actuelle due au poids des terres est de 120 kPa. La contrainte moyenne dans l'argile, après la construction de l'édifice, sera de 270 kPa. On suppose que le sol est normalement

97 Eléments de Mécanique des Sols

consolidé. On suppose que la contrainte moyenne due à l'édifice ne varie pas avec la profondeur. a. Evaluer le tassement instantané de la couche d'argile sous la charge de l'édifice pour une semelle carrée de côté b = 1m. Le module de Young est E = 200 kPa. b. Evaluer le tassement de consolidation de la couche d'argile produit par la charge de l'édifice. Exercice 4 : Le facteur temps pour une argile en voie de consolidation est de 0,2. a. Quel est le degré de consolidation à z/Hdr égale respectivement 0,25 0,5 et 0,75. b. Quel est le pourcentage de consolidation moyen de la couche drainée aux deux extrémités. Exercice 5 : Sachant qu'on prévoit un tassement total de consolidation de 1 m pour la couche du problème 3, évaluer le tassement qui s'est produit lorsque le facteur temps était de 0,2 et de 0,7. Exercice 6 : Si la couche d'argile de l'exercice 3 avait présenté un drainage simple, les valeurs calculées pour Uz auraient-elles été différentes. Dans l'affirmative, de quel ordre serait cette différence. Exercice 7 : Porter sur un graphique la pression interstitielle en excès en fonction de la profondeur, en considérant un drainage simple. Supposer que l'argile repose sur un schiste imperméable. Exercice 8 : A partir du sol et des conditions de chargement indiqués aux exercices 3 et 4, calculer le délai nécessaire pour obtenir un tassement de 0,1 0,25 et 0,4 m respectivement en tenant compte d'un drainage simple et d'un drainage double. Exercice 9 : En se servant de la solution de l'équation de consolidation donnée sous forme de séries, calculer au dixième près le pourcentage de consolidation moyen U correspondant à des facteurs temps égales à 0,2 0,5 et 0,9 respectivement, et pour un facteur temps tendant vers l'infini. Vérifier les calculs à l'aide des équations T(U) données par Casagrande et Taylor. Exercice 10 : Un dépôt d'argile a 12 m d'épaisseur moyenne et semble drainé à sa base. Le coefficient de consolidation de l'argile a été estimé à 10-8 m2/s. Le tassement final est estimé à 1,2 m sous les charges appliquées sur le terrain. a. Combien de temps serait nécessaire pour obtenir des tassements de 400 et 700 mm. b. Quel tassement pourrait-on prévoir après 5 10 et 50 ans.

98 Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation

c. Combien de temps sera nécessaire pour atteindre le tassement final de 1,2 m. Exercice 11 : Les données relatives à la vitesse de consolidation présentées ci-contre correspondent à l'incrément de charge de 20 à 40 kPa. La hauteur initiale de l'échantillon est de 25,4 mm et on a placé des pierres poreuses dans les parties supérieure et inférieure de l'appareil d'essai. Déterminer le coefficient de consolidation par les méthodes relatives aux courbes log(t) et (t)1/2 respectivement. Comparer les résultats obtenus par les deux méthodes. Exercice 12 : A l'aide des données de l'exercice 10, estimer l'indice de compression secondaire et l'indice de compression secondaire modifié, sachant que:

Temps [mn] 0 0,1 0,25 0,5 1 2 4 8 15 30 60 120 240 505 1485

Lecture micrométrique [mm] 4,041 3,927 3,879 3,830 3,757 3,650 3,495 3,282 3,035 2,766 2,550 2,423 2,276 2,184 2,040

e0 = 2,6 H0 = 25,4 mm ρs = 2750 Kg/m3 à t = 0, e = 1,74 H = 19,28 mm à t = 1485 mn, e = 1,455 H = 17,28 mm Exercice 13 : Une couche d'argile normalement consolidée de 20 m d'épaisseur supportera une charge de 100 kPa répartie sur une grande surface. La couche d'argile est recouverte d'un remblai granulaire (ρ = 2000 Kg/m3) de 3 m d'épaisseur. Sous l'argile, on trouve un gravier sableux dense. La nappe phréatique se situe à la limite supérieure de la couche d'argile dont la masse volumique déjaugée est de 900 Kg/m3. On a effectué des essais de consolidation sur des échantillons de 22 mm d'épaisseur, à double drainage et on a obtenu t50 = 9 mn pour un incrément de charge similaire à celui qui sera appliqué sur le terrain. Calculer la contrainte effective à une profondeur de 18 m sous la surface, 4 ans après la mise en place de la charge. Exercice 14 : A l'aide des données de l'exercice 12, déterminer le pourcentage de consolidation moyen de la couche d'argile après 4 ans. Exercice 15 : A l'aide des données de l'exercice 12, calculer la contrainte effective à une profondeur de 18 m sous la surface, 4 ans après la mise en place de la charge, en supposant cette fois que la couche est à drainage simple vers le haut. Commenter. Exercice 16 : Déterminer le coefficient de perméabilité moyen de l'argile, corrigé à 20 °C et mesuré pendant l'incrément suivant:

99 Eléments de Mécanique des Sols

σ1 = 150 kPa, e1 = 1,3 σ2 = 300 kPa, e2 = 1,18 hauteur de l'échantillon = 20 mm double drainage temps pour atteindre 50 % de consolidation = 20 mn température ambiante = 23 °C Exercice 17 Soient les données relatives à la vitesse de déformation pour un incrément de charge de 40 à 80 kPa. On suppose que le tassement de consolidation est de 300 mm et qu’il se produit au terme d’une période de 25 ans. L’épaisseur de la couche compressible est de 10 m. L’indice des vides initial est de 2,855. La hauteur initiale de l’échantillon est égale à 25,4 mm. La lecture micrométrique initiale est de 12,7 mm. On suppose que la vitesse de déformation de l’échantillon de laboratoire est à t [min] R [mm] peu près la même que celle du dépôt initiale 12,7 compressible. Calculer le tassement secondaire 0 11,224 qui se produira entre 25 et 50 ans 0,1 11,151 0,25 0,5 1,0 1,8 3,0 6 10 16 30 60 100 180 300 520 1350 1800 2850 4290

11,123 11,082 11,019 10,942 10,859 10,711 10,566 10,401 10,180 9,919 9,769 9,614 9,489 9,373 9,223 9,172 9,116 9,053

Chapitre 7 Rappels de mécanique des milieux continus 7.1 Introduction: mécanique des milieux continus 7.2. Les forces 7.3 Champ de contrainte 7.3.1 Postulat d'Euler Cauchy 7.3.2 Vecteur de contrainte 7.3.3 Tenseur de contrainte 7.4 Propriétés du tenseur de contrainte 7.4.1 Equation d'équilibre 7.4.2 Conditions aux limites 7.4.3 Symétrie 7.4.4 Rotation des axes 7.4.5 Contraintes principales 7.4.6 Invariants 7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique 7.4.8 Convention de signe en mécanique des sols 7.4.9 Etat plan de contrainte 7.4.10 Equation d'équilibre en coordonnées sphériques 7.5 Cercle de Mohr 7.5.1 Construction directe 7.5.2 Construction inverse 7.5.3 Pôle des faces 7.5.4 Tricercle de Mohr 7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes 7.5.6 Ellipsoide de contrainte 7.6 Champ de déformation. 7.6.1 Mouvement, déplacement et déformation 7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale 7.7 Propriétés du tenseur de déformation 7.7.1 Conditions de compatibilité 7.7.2 Conditions aux limites 7.7.3 Dilatation volumique 7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques 7.8 Relation contrainte-déformation. 7.8.1 Position du problème de mécanique des solides 7.8.2 Bilan des équations et des inconnues 7.8.3 Résolution 7.8.4 Lois constitutives 7.8.5 Elasticité linéaire 7.8.6 Autres lois constitutives 7.9 Critères de plasticité 7.10 Aspects énergétiques et thermodynamiques

Chapitre 7

Rappels de mécanique des milieux continus

7.1 Introduction: mécanique des milieux continus La mécanique des solides a pour objectif d’étudier de manière mathématique rigoureuse le comportement des solides, essentiellement le comportement mécanique, c.à.d : la réponse des solides aux sollicitations extérieures. Cette réponse est caractérisée par la transmission des efforts à l’intérieur du solide, les déplacements des points du solide et la déformation de la matière. Les solides sont donc déformables, ce qui différencie essentiellement cette science de la mécanique rationnelle qui étudie le mouvement des solides rigides. La mécanique des solides est une science très vaste. Une hypothèse usuelle est d’admettre que le solide est continu. On se limite alors au point de vue macroscopique et on parle de mécanique des milieux continus. Cette branche s’applique d’ailleurs aussi bien aux fluides qu’aux solides, la distinction étant souvent délicate. Donc cette science ignore le détail de la structure moléculaire ou atomique de la matière, qu’elle suppose uniformément répartie dans l’espace. On peut diviser en quatre catégories les disciplines de la mécanique des milieux continus permettant d’aboutir à un ensemble complet d’équations rendant en principe possible la résolution de tout problème : . Cinématique Elle étudie le mouvement du solide en terme de déplacement, vitesse, déformation,…et fournit des relations à caractère géométrique. . Mécanique C’est l’étude des forces (gravitationnelle, électromagnétique,…) où s’introduit le concept très important de la contrainte. . Lois de la physique Essentiellement mécanique et thermodynamique : équilibre, lois de Newton, conservation de l'énergie, conservation de la matière. . Lois constitutives Ce sont les lois caractérisant le comportement physique de la matière, et reliant les variables des trois disciplines précédentes Dans ce chapitre, nous présenterons les éléments de base de la mécanique des milieux continus en vue de l'appliquer en mécanique des sols. Nous établissons les équations de la théorie de l’élasticité qui caractérise le comportement le plus simple des milieux continus.

101 Eléments de Mécanique des Sols

7.2 Les forces v d pr = T dA

v T

En mécanique des milieux continus on distingue deux types de forces extérieures (Fig. 7.1):

dA

7.2.1 Les forces de volume Elles agissent sur les éléments de volume du corps, telles les forces gravitationnelles, électromagnétiques, d’inertie. On désignera par Fi (i=1,2,3) les composantes de ces forces par unité de volume.

dV

v F

r r d p = F dV

Fig. 7.1: : Types des forces extérieures

7.2.2 Les forces de surface (ou traction) Ce sont les forces de contact superficielles, agissant sur la surface libre limitant le corps, telle la pression atmosphérique. On désignera par Ti (i=1,2,3) les composantes de ces forces par unité de surface. 7.3 Champ de contrainte 7.3.1 Postulat d'Euler-Cauchy Sur toute surface de coupe dans un solide, il existe un champ de vecteurs contrainte t de nature semblable aux tractions de surface, tel que l’ensemble des forces élémentaires de contact tdA assure la transmission globale des forces s’exerçant entre les deux fragments (Fig. 7.2). Cette définition exprime le principe des contraintes d’Euler et Cauchy.

r n

r t σ

τ dA

Fig. 7.2 : vecteur contrainte

7.3.2 Vecteur de contrainte Si n est la normale unitaire extérieure à la facette élémentaire dA (Fig. 7.2), les composantes de t sur cette normale, et sur le plan de dA sont dites contrainte normale σ et contrainte tangentielle τ et constituent les composantes du vecteur contrainte dans le repère local propre à la facette. Comme tout autre vecteur, nous pouvons décomposer le vecteur contrainte dans un repère quelconque dans l'espace. 7.3.3 Tenseur de contrainte Le vecteur contrainte t varie certes d’un point à l’autre du corps, mais, en un point donné, il varie également avec l’orientation de dA. On dit que t est conjugué ou associé à dA ou à n. Par conséquent, l’état de contrainte en un point d’un corps n’est pas défini par un seul vecteur contrainte. Puisque cet état doit être invariant pour l’observateur, l’état de contrainte n’est pas donc une grandeur vectorielle, mais d’un niveau supérieur. Les formules fondamentales de Cauchy

102 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

ti = σij nj

(7.1)

montrent que l’état de contraintes en un point (c.à.d le vecteur contrainte t sur une facette d’orientation quelconque n) est entièrement défini par la connaissance des composantes de vecteurs contrainte agissant sur trois plans deux-à-deux orthogonaux en ce point. On groupe les neuf composantes des trois vecteurs dans une matrice notée σij ou σ:  σ 11  σ = (σij) = σ 21 σ 31

σ 12 σ 22 σ 32

σ 13  σ xx   σ 23  = τ yx σ 33   τ zx

τ xy τ xz   σ yy τ yz  τ zy σ zz 

(7.2)

7.4 Propriétés du tenseur de contrainte 7.4.1 Equation d'équilibre Il existe trois équations différentielles expriment l’équilibre d'un volume infinitésimal d'un solide. On peut les trouver sous l'écriture : σij,j + Fi = 0

dans V

soit,

(7.3) div(σ) + F = 0 dans V

où F représente les forces de volume. Exemple 7.1 En absence des forces de volume, vérifier si le champ de contrainte suivant satisfait les équations d'équilibre. σ11 = y2 + ν (x2 – y2); σ22 = x2 + ν (y2 – x2); σ33 = ν (x2 + y2)

σ12 = -2 ν xy; σ13 = 0 σ23 = 0

7.4.2 Conditions aux limites En chaque point de la surface limitant le milieu continu étudié (Fig. 7.1,2), les tractions de surface TidA doivent faire équilibre aux forces de contact tidA, ce qui donne : Ti = σij nj

sur dV

(7.4)

où n est le vecteur unitaire normal à la surface extérieure dV. Ces équations expriment les conditions à la surface ou conditions aux limites. On dit aussi qu’elles représentent les équations d’équilibre en surface. 7.4.3 Symétrie on démontre l’équation :

103 Eléments de Mécanique des Sols

σij = σji

(7.5)

Alors, le tenseur de contrainte σij est symétrique. Par suite, l’état de contrainte en un point d’un milieu continu ne dépend plus que de six composantes : σ11, σ12, σ13, σ22, σ23, σ33 7.4.4 Rotation des axes Lorsque les coordonnées (x,y,z) et (x',y',z') d’un point quelconque dans deux repères différents sont liées par : x' = C x

(7.6)

où Cij désigne le cosinus directeur de l’angle de l’axe x'i par rapport à l’axe xj, le tenseur de contrainte σ' dans le repère (X',Y',Z') s’obtient par la loi de transformation des tenseurs d'ordre 2 : σ' = C σ CT Exemple 7.2 L'état de contrainte en un point est donné par le tenseur cicontre. Pendant une rotation des axes, les vecteurs unitaires du nouveau repère sont donnés par:

(7.7)

2 4 3  σ = 4 0 0   3 0 −1

e'1 = (1/3) (2e1 + 2e2 + e3) e'2 = (1/√2) (e1 - e2) trouver le tenseur de contrainte dans le nouveau repère. 7.4.5 Contraintes principales Pour l'état de contrainte en un point donné, il existe certaines facettes sur lesquelles le vecteur contrainte t est purement normal , c.à.d que les contraintes tangentielles sont nulles. Le tenseur de contrainte devient une matrice diagonale. Ses composantes sont appelés contraintes principales. On les calcule par la résolution du problème aux valeurs propres λ, et des vecteurs propres n: (σij - λ δij ) nj = 0

(7.8)

δij étant le symbole de Kronecker. Exemple 7.3 Calculer les contraintes principales du tenseur de contrainte: 7.4.6 Invariants Ce sont les coefficients de l'équation caractéristique qui représente le développement du problème ci-dessus (7.8): − λ3 + I1σ λ2 − I σ2 λ + I 3σ = 0 Ils sont donnés par les relations suivantes

 7,65 4,75 0  σ =  4,75 0,3 0  0 0   0

(7.9)

104 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

I1σ = tr (σ) 1 [ tr(σ) ]2 − tr(σ 2 ) I σ2 = 2 I 3σ = det(σ)

{

}

(7.10)

En notation indicielle ils s’écrivent : I1σ = σii 1 I σ2 = [σii σjj – σij σij ] 2 σ I 3 = det(σij )

(7.11)

Exemple 7.4 Déterminer les invariants du tenseur de contrainte de l'exemple 7.3 7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique On appelle contrainte normale moyenne la quantité : σm =

1 σ 1 I 1 = (σxx + σyy + σzz ) 3 3

(7.12)

qui est un invariant. On peut alors écrire le tenseur de contrainte σ en la somme de deux tenseurs : σij = σm δij + Sij

(7.13)

δij étant le symbole de Kronecker. Le premier tenseur σm δij où toutes les contraintes normales sont égales et les contraintes tangentielles nulles caractérise un état de contrainte hydrostatique ou sphérique. Le second tenseur dit tenseur déviateur s’écrit : Sij = σij - σm δij

(7.14)

Exemple 7.5 Calculer le tenseur sphérique et le tenseur déviatorique de l'état de contrainte de l'exemple 7.3 7.4.8 Convention de signe En mécanique des sols et géotechnique, on considère positive les contraintes de compression. 7.4.9 Etat plan de contrainte Il y a un état plan de contrainte en un point, quand le vecteur contrainte est situé toujours dans un même plan, quelle que soit la facette considéré. Soit OXY ce plan, alors : σzz = 0 ;

σxz = σzx = 0 ;

σyz = σzy = 0

105 Eléments de Mécanique des Sols

d’où σ xx  σ = σ yx  0

σ xy σ yy 0

0  0 0

(7.15)

Toutes les équations établies précédemment restent valables pour l’état plan : il suffit de faire varier les indices de 1 à 2 ou de supprimer toute quantité où intervient l’indice 3 ou z. 7.4.10 Equation d'équilibre en coordonnées cylindriques Le système d’équations différentielles exprimant l’équilibre de l’élément de volume s'écrit sous la forme: ∂σ rr 1 ∂σ rθ ∂σ rz 1 + + + (σ rr − σ θθ ) + Fr = 0 ∂r ∂z r ∂θ r ∂σ θr 1 ∂σ θθ ∂σ θz 2 + + + σ θr + Fθ = 0 ∂r ∂z r ∂θ r

(7.16)

∂σ zr 1 ∂σ zθ ∂σ zz 1 + + + σ zr + Fz = 0 ∂r ∂z r ∂θ r

où Fr, Fθ et Fz sont les composantes de la force de volume. 7.5 Cercle de Mohr 7.5.1 Construction directe Supposons connues les contraintes et les directions principales d’un état plan de contrainte. On désire trouver les composantes σ et τ du vecteur contrainte t agissant sur une facette d’orientation quelconque. Considérons les axes principaux x1 et x2 comme des axes de référence (Fig. 7.3). La normale de la facette oblique fait un angle α avec les axes principaux. Soient x' et y' des axes locaux attachés à la facette obtenus par une rotation d’angle α à partir des axes principaux x1 et x2. Le tenseur de contrainte dans le repère x' y' s’obtient à partir du tenseur de contrainte dans le repère x1 x2 par la transformation : σ' = C σ CT où la matrice de passage vaut dans ce cas :

X2

y'

t

B

σ

α

σ1

x'

τ

α

n X1

O σ2

A

Fig. 7.3: Construction directe

106 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

 cos(α) sin(α)  c=  −sin(α) cos(α)

(7.17)

d’où ′ = σ 1 cos 2 (α) + σ 2 sin 2 (α) σ = σ 11 ′ = (σ 2 − σ 1 ) cos(α) sin(α) τ = σ 12 Eliminant α entre les deux équations, on trouve : σ1 + σ 2 σ1 − σ 2 + cos(2α) 2 2 σ − σ2 τ=− 1 sin( 2α ) 2

σ=

Posons a=

σ1 + σ 2 2

et

r=

σ1 − σ 2 2

(7.18)

Alors on écrit : σ − a = r cos(2α)

et

− τ = r sin(2α)

(7.19)

soit (σ - a)2 + τ2 = r2 Dans un système d’axes (σ, -τ) cette équation est celle d’un cercle de rayon r centré sur l’axe des σ à l’abscisse a (Fig. 7.4). Ce cercle dit cercle de Mohr, permet une représentation graphique de l’état de contrainte. Il a les propriétés suivantes : 1. Lorsqu’une facette tourne d’un angle α par rapport aux directions principales, elle tourne de 2α dans le cercle de Mohr. Il en découle que deux facettes perpendiculaires sont représentées par deux points diamétralement opposés. 2. La contrainte tangentielle maximale est donnée par :

-τ r σ2

2α σ

σ1

a

τ Fig. 7.4: Cercle de Mohr

σ

107 Eléments de Mécanique des Sols

τ max = ±

σ1 − σ 2 2

Elle se produit sur des facettes inclinées de ±

(7.20) π par rapport aux facettes principales. 4

Exemple 7.6 10 0  Soit l'état de contrainte représenté ci-contre (en kPa). Représenter les σ =   vecteurs contrainte agissant sur l'élément. Déterminer l'état de  0 − 2  contrainte sur le plan faisant un angle de 26° par rapport à l'horizontale. Calculer la contrainte tangentielle maximale et le plan sur lequel elle agit. 7.5.2 Construction inverse Supposons connu l’état plan de contrainte en un point O. Cet état est donné par les composantes σxx, σyy et σxy agissant sur deux facettes orthogonales (Fig. 7.5). On désire trouver graphiquement les contraintes et les directions principales : σ1, σ2 et α1, α2 ainsi que les contraintes σ et τ agissant sur une facette d’orientation quelconque α. Graphiquement on obtient ces informations par le cercle de Mohr (Fig. 7.6): 1. On construit un système d’axes (σ, -τ). 2. Sur l’axe des σ on porte d’abord les points a(σxx, 0) et b(σyy, 0). Le centre O du cercle sera le milieu de ab. 3. On porte τxy au droit de a ce qui donne le point x(σxx, τxy). Le rayon du cercle est la droite Ox. Le point x est représentatif de la facette origine x, de sorte que le rayon Ox sert d’origine pour mesurer les angles. 4. Le cercle coupe l’axe des σ aux points A et B qui donnent les contraintes et les directions principales σ1, α1 et σ2, α2. 5. En portant l’angle 2α, on obtient le point c(σ, τ) représentatif d’une facette d’orientation α.

Y

y'

B

x'

τ τ

α

σxx

τxy

σ

α

n X

O A σyy

Fig. 7.5: Problème inverse

y(σyy,-τxy) c(σ,τ) 2α 2

σ2

2α

σ

σ1

2α 1

τ

x(σxx,τxy)

Fig. 7.6: Construction inverse

Exemple 7.7 L'état de contrainte en un point est donné par le tenseur cicontre (en kPa). Trouver les contraintes principales et leurs directions par rapport à l'horizontale.

 7,65 σ =   4,75

4,75   0,3 

7.5.3 Pôle des faces Le processus analytique de calcul de l'état de contrainte pour une orientation donnée est souvent fastidieux à cause des angles doubles. On lui préfère une construction graphique basée sur un point unique sur le cercle de Mohr, appelé pôle

108 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

ou origine des plans. Toute droite passant par le pôle coupe le cercle de Mohr en un point qui définit l'état des contraintes sur un plan dont l'inclinaison est la même que celle de la droite. Cela permet de déterminer le pôle lorsque l'état de contrainte est connu et inversement, déterminer l'état de contrainte pour une orientation quelconque lorsque le pôle est connu. 10

Exemple 7.8 Trouver le pôle des facettes dans l'état de contrainte cicontre. Trouver 'état de contrainte sur la facette horizontale. 7.5.4 Tricercle de Mohr Les composantes σ et τ du vecteur contrainte agissant sur une facette d’inclinaison quelconque sont les coordonnées d’un point P situé dans l’aire hachuré de la représentation graphique ci-contre (Fig. 7.7), dite tricercle de Mohr. On déduit du tricercle que la contrainte tangentielle maximale est représentée par le rayon du plus grand des trois cercles : τ max = ±

σ1 − σ 2 2

2 2

[kPa] πh

20° Exemple 7.8

-τ

P(σ, τ) σ3 C

σ2 B

σ

σ1 A

(7.21) Fig. 7.7: Tricercle de Mohr

Elle agit sur les facettes contenant l’axe principal x2 et bissectrice des axes x1 et x3.

-τ

σ1

7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes

σ

7.5.5.1 Compression pure (Fig. 7.8)

σ1

σ1

Fig. 7.8: Compression pure

σ σ= 1 0

0  0

σ2

σ

σ2

7.5.5.2 Traction pure (Fig. 7.9) 0 0  σ=  0 σ 2 

Fig. 7.9: Traction pure

7.5.5.3 Etat hydrostatique compression (Fig. 7.10) σ 0  σ=   0 σ

-τ

σ2

de

-τ

σ σ

σ1= σ2 = σ

où σ > 0

σ

σ

Fig. 7.10: Etat hydrostatique de compression

σ

109 Eléments de Mécanique des Sols

7.5.5.4 Etat hydrostatique de traction (Fig. 7.11) − σ 0  σ=   0 − σ

σ

où σ > 0 σ

7.5.5.5 Cisaillement pure (Fig. 7.12) σ 0  σ=   0 − σ

-τ σ σ

σ1= σ2 =σ σ Fig. 7.11: Etat hydrostatique de traction

où σ > 0

-τ σ

7.5.6 Ellipsoïde de contrainte En un point P d’un solide, à chaque orientation de la facette correspond le vecteur contrainte :

σ σ2= - σ

σ

σ1= σ

σ Fig. 7.12: Cisaillement pure

t=σn où n est le vecteur unitaire normal à la facette. Soient tx, ty et tz les composantes du vecteur contrainte t et k, l, m les cosinus directeurs de n dans le repère des contraintes principales. Dans ce repère, l’expression ci-dessus donne : tx = σ1 k ;

t y = σ2 l ;

t z = σ3 m

(7.22)

avec k2 + l2 + m2 = 1

(7.23)

soit 2

t  tx    + y σ  σ  1  2

2

2

 t   + z  =1 σ    3 

(7.24)

C’est l’équation d’un ellipsoïde nommé ellipsoïde des contraintes au point P. Elle signifie que pour tout plan d’inclinaison quelconque passant par P, le lieu géométrique des extrémités de tous les vecteurs contraintes t obtenus lorsque l’orientation de la facette varie, est la surface de l’ellipsoïde représentée par l’équation (7.23). Les demi-axes de cette ellipsoïde sont les contraintes principales au point P. 7.6 Champ de déformation 7.6.1 Mouvement, déplacement, déformation On appelle mouvement d'un solide, son changement de configuration exprimé par la transformation:

110 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

x'(x) où x' sont les coordonnées d'un point quelconque dans la configuration finale, x étant les coordonnées du même point dans la configuration initiale. Alors le déplacement d'un point P du solide, est le vecteur u défini par (Fig. 7.13): u = pp' = op' – op = x' – x

(7.25) q' x3, x'3

u

ds p C

(7.26)

La déformation est une mesure du déplacement relatif entre les différents points du solide. Généralement, on l'associe à la variation du carré de la distance entre deux points infiniment voisin.

ds'

q

p' C'

x2, x'2 x1, x'1 Fig. 7.13: Mouvement, déplacement et déformation

7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale La définition ci-dessus des déformations, permet d'écrire: ds'2 – ds2 = 2 Eij dxi dxj

(7.27)

où ds est la distance infinitésimale entre deux points voisins, Eij est le tenseur de déformation. Il est donné par l'expression: ∂ uj ∂ u ∂ u ∂u ∂ x' ∂ x' Eij = 12 [ ∂ k ∂ k − δij ] = 12 [ ∂ i + ∂ + ∂ k ∂ k ] xi x j xj xi xi x j

(7.28)

pour les petites transformations, il se réduit au tenseur des déformations infinitésimales εij donné par: ∂ uj ∂u εij = 12 [ ∂ i + ∂ ] xj xi

(7.29)

ou sous la forme intrinsèque 2εij = {grad (u) + [grad (u)]T } grad (u) = ∇ uT

(7.30)

∇ = < ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z > Exemple 7.9 Calculer le champs de déformation associé au champ de déplacement: u = < u v w> avec u = x2+y2; v = yz; w = xz 7.7 Propriétés du tenseur de déformation Les propriétés de symétrie, rotation des axes, déformations principales, invariants, tenseur déviateur et tenseur sphérique, convention de signe, le cercle de

111 Eléments de Mécanique des Sols

Mohr, sont semblables à celles exposées pour le tenseur de contrainte. On se contentera dans cette section à discuter les propriétés propres au tenseur de déformation. 7.7.1 Conditions de compatibilité Les conditions d'existence du champ de déplacement duquel découle le champ de déformation sont dites équations de compatibilité ou équations de Saint-Venant. Ce sont les conditions d'intégrabilité du champ de déformation. Physiquement, elles signifient que le champ de déformation ne peut être arbitraire. Théoriquement, elles sont au nombre de trois, mais pour simplifier l'écriture, on utilise habituellement six équations: 2

2

2 2 ∂ εij ∂ ε jl + ∂ εkl − ∂ εik − =0 ∂x k ∂x l ∂x i ∂x j ∂x j ∂xl ∂x i ∂x k

(7.31)

soit, 2

2

2 ∂ εxx + ∂ εyy − 2 ∂ εxy = 0 ∂ x2 ∂x ∂y ∂ y2 2

2

∂ εyy ∂ 2 εzz ∂ εyz + =0 2 − 2 ∂ y ∂z ∂ z2 ∂y 2

2

2

∂ εzz + ∂ εxx − 2 ∂ εzx = 0 ∂ x2 ∂ z2 ∂z ∂x

(7.32)

2 ∂ ∂ ∂ − ∂ εxx + ∂ [ εxy − εyz + εzx ] = 0 ∂y∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

−

2 ∂ε ∂ε ∂ ∂ εyy + ∂ [ yz − εzx + xy ] = 0 ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x

2 ∂ε ∂ε ∂ − ∂ εzz + ∂ [ εzx − xy + yz ] = 0 ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y

Exemple 7.10 Vérifier les conditions de compatibilité du tenseur de déformation donné par: εxx = x2; εyy = 0;

εxy = y2 + z2; εyz = x;

εxz = xz εzz = y2

7.7.2 Conditions aux limites Ce sont les conditions de liaison d'appui. On les exprimes par: ui = ū où ū est le déplacement imposé. 7.7.3 Dilatation volumique C'est la variation de volume par unité de volume:

(7.33)

112 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

d = (v' – v ) / v = tr(ε) = 3 εm

(7.34)

Un milieu continu est dit incompressible quand sa déformation ne s'accompagne d'aucun changement de volume. 7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques Il s'exprime par εrr = ∂∂ur

εθθ = 1r (u + ∂∂vθ)

εθr = 12 [ ∂∂vr + 1r ( ∂∂uθ − v)]

εzz = ∂∂w z

+ ∂u ) εzr = 12 ( ∂∂w ∂z r

(7.35)

+ ∂v ) εθz = 12 ( 1r ∂∂w θ ∂z

7.8 Relation contrainte-déformation 7.8.1 Position du problème de mécanique des solides Soit un solide de volume V, de frontière Γ, soumis à un ensemble de forces surfaciques T et volumique Fv (Fig. 7.1). Sur la portion Γu de la surface extérieure, le champ de déplacement est imposé. Dans la configuration déformée du solide, il apparaît un champ de déplacement u et un champ de contrainte σ qu'il s'agit de déterminer en tout point du solide. 7.8.2 Bilan des équations et des inconnues Dans les sections précédentes, nous avons établi en chaque point : 3 équations d'équilibre (1) 6 équations déformations-déplacement (2) 3 équations de compatibilité (3) D'autre part, les inconnues du problème sont: 3 composantes de déplacement 6 composantes de déformation 6 composantes de contrainte Le bilan ci-dessus montre qu'au moins, trois équations supplémentaires sont nécessaires. Il existe en réalité des équations additionnelles dites lois constitutives ou lois de comportement qui sont 6 relations contraintes – déformations (4) Ces équations représentent la réponse du solide aux sollicitations. Une réponse qui dépend étroitement du matériau constituant le solide. Finalement, on dispose en chaque point du solide, 18 équations et 15 inconnues. Ainsi, théoriquement, le problème de mécanique des solides dispose d'une solution.

113 Eléments de Mécanique des Sols

7.8.3 Résolution Lorsqu'on adopte les contraintes σ et les déformations ε autant qu'inconnues (au nombre de 12), on utilise les équations (1), (3) et (4). Les déplacements u seront calculés à posteriori. Si on prend pour inconnue σ, ε et u, on utilise les équations (1), (2) et (4). Les équations (3) deviennent inutiles. Autrement, il existe une deuxième alternative à cette formulation mixte. Elle consiste à décrire le problème avec un seul type d'inconnues cinématiques ε et u ou statiques σ. Lorsque nous exprimons le problème en contraintes, nous obtenons les équations de Beltrami-Michel: (1 + ν) ∆σij + σll, ij + Fi, j + F j, i + ν 1 + ν Fl, l δij = 0 1− ν

(7.36)

Lorsque nous exprimons les équations en déplacement, on abouti aux équations de Navier ou équations de Lamé: (λ+µ) grad (div u) + µ ∆u + F = 0

(7.37)

7.8.4 Lois constitutives Comme il a été dit ci-dessus, ce sont les relations entre contrainte ( au sens généralisées : contrainte, taux de contrainte, incrément de contrainte,…) et déformations (au sens généralisées : déformation, taux de déformation, incrément,…). Elles sont de la forme: σij = f(εkl)

(7.38)

dont la loi inverse s'écrit εij = f(σkl)

(7.39)

Lorsque les fonctions f et g sont linéaires, il viendra: σij = Cijkl εkl

(7.40)

εij = Dijkl σkl

(7.41)

ou bien

7.8.5 Elasticité linéaire Dans ce cas les déplacements sont des mouvements relatifs entre les atomes. Les déformations sont alors réversibles. La plupart des matériaux sont élastiques aux températures ordinaires lorsque les sollicitations ne sont pas trop élevées. La relation de comportement est la célèbre loi de Hook. Il s'agit d'une dépendance linéaire entre les contraintes et les déformations. Lorsque la déformation est instantanément réversible, le solide est dit parfaitement élastique. 7.8.5.1 A une dimension Elle est donnée par la relation simple: σ=Eε

et

ε=σ/E

(7.42)

114 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

où E est le module de Young. 7.8.5.1 A trois dimensions La généralisation de la loi de Hook pour le problème à trois dimensions s'écrira: E εij = (1 + ν) σij – ν σll δij

(7.43)

σij = λ εll δij + 2µ εij

(7.44)

ou

dans lesquelles, E est le module de Young, ν est le coefficient de Poisson, λ et µ sont les coefficients de Lamé et sont donnés en fonction de E et ν par les relations: λ = ν E / [(1 + ν) (1 - 2ν)]

σ

et (7.45)

µ = E / [2 (1 + ν)] Les coefficients E, ν, λ et µ sont des caractéristiques du matériau, constantes et indépendantes de l'état d'évolution du matériau. Les relations (7.42-44) sont représentées par des courbes droites passant par l'origine (Fig. 7.14).

ε Fig. 7.14: Elasticité linéaire

7.8.6 Autres lois constitutives Plusieurs types de comportements ne peuvent être décrits par l'élasticité linéaire. Leurs relations sont plus ou moins complexes et font intervenir la vitesse de chargement, le temps ainsi que l'histoire de chargement. citons à titre d'illustration quelques types de comportement. 7.8.6.1 Elasticité non linéaire La relation contrainte-déformation n'est pas linéaire, mais les déformations sont réversibles (Fig. 7.15). Les matériaux hyperélastiques (caoutchouc) sont des exemples de cette famille de comportement. Un exemple de lois de comportement est la relation: T = α0 I + α1 B + α2 B2

σ

(7.46) ε

où T représente le tenseur de contrainte de Cauchy, B est le tenseur de déformation de Cauchy-Green. αi sont des scalaires.

Fig. 7.15: Elasticité non linéaire

7.8.6.2 Comportement Visqueux C'est le cas de fluides réels (Newtoniens) et des liants bitumineux aux hautes températures. A une dimension, la contrainte est donné par une relation de la forme σ = η ε&

(7.47)

115 Eléments de Mécanique des Sols

η est dit coefficient de viscosité. 7.8.6.2 Viscoélasticité Le déplacement est du à la perturbation de la liaison inter-moléculaire. Les déformations sont réversibles mais avec un retard (Fig. 7.16). Le domaine d'application couvre les polymères thermoplastiques au voisinage des températures de fusion, les polymères organiques, le caoutchouc, le béton frais sans vieillissement et les métaux proches de la température de fusion, le bois sous faible sollicitation. Dans la loi constitutive apparaît l'influence de la vitesse de déformation. A une dimension on écrira: corps de Maxwell

ε& = σ& + σ E η

corps de Kelvin

σ = E ε + η ε&

ε ε σ = cte

(7.48)

7.8.6.3 Plasticité La plasticité est liée au glissement relatif des cristaux ou dislocation. Une partie des déformations sont alors irréversibles et appelés déformations plastiques. La plasticité intervient pour les sols et les roches dans les conditions ambiantes, les métaux pour des sollicitations élevées ou pour des températures pas trop élevées tel qu'en mise en forme des métaux, aciers à faible teneur en carbone. La loi constitutive est une loi d'évolution impliquant les vitesses généralisées. En plasticité parfaite, le solide reste indéformable jusqu'à un seuil de contrainte. Au delà de cette limite, la contrainte reste constante quelque soit le niveau des déformations (Fig. 7.17). Un exemple d'une loi unidimensionnelle de cette famille s'écrit: | σ | < σs dε = dεe (dεe = 0 pour le solide rigide-plastique) | σ | = σs

σ

t σ ε = cte

t Fig. 7.16: Comportement visco-élastique σ σe

ε Fig. 7.17: Solide rigideparfaitement plastique

(7.49)

dε = dεe + dεp

où σs est un seuil de contrainte, dεe est la déformations élastique, dεp est la déformation plastique (irréversible). 7.8.6.4 Elastoplasticité Le solide a initialement un comportement élastique. Au delà d'un certain seuil, le comportement devient plastique. Dans la phase plastique la réponse dépend du matériau : plasticité parfaite, à écrouissage, avec assouplissement (Fig. 7.18-20). A titre d'illustration, la loi de comportement peut s'écrire:

σ σe

ε Fig. 7.18: Solide élastique parfaitement plastique

116 Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus

f R = OC1 sin ϕ sin β = C1E'' / OC1 ===> C1E'' = OC1 sin β d'où sin ωβ = sin β / sin ϕ

(9.7)

σ

180 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

ce qui permet de tracer le schéma ci-contre (Fig. 9.9). On conclut alors que les deux directions de glissement sont symétriques par rapport à la direction d'action de σ1: ψ = ± (π/4 - φ/2)

πv

πh

9.4.2.5.2 Equilibre supérieur On trouve des résultats analogues: le point E'2 représente l'état d'équilibre sur la facette verticale. L'angle entre la facette verticale et la facette sur laquelle agit σ1 est δ tel que: 2δ = ωβ + β

soit

α = π/4 + ϕ/2

πσ1

πr2 πσ3 π πr2 E'1

δ = (ωβ + β)/2

c.à.d que l'angle entre la direction d'action de σ3 et la facette verticale est δ. D'autre part, on a: (9.9)

Fig. 9.9 : Plans de glissement τ E'2 ωβ φ

Ainsi, les deux directions de glissement font un angle de π/4 + φ/2 avec la direction de σ3, c.à.d que là aussi, l'angle entre les directions de glissement et la direction d'action de σ1 sont

σ3 β

2α

2γ

σ

σ1

2δ

C2

Fig. 9.10 : Equilibre supérieur

± (π/4 - φ/2) Il en résulte que les lignes de glissement sont des droites d'orientation fixe dans tout le milieu. Le réseau des lignes de glissement est donc formé de deux familles de droites parallèles se coupant sous l'angle π/2 – φ (Fig. 9.11,12).

πσv

β

(9.8)

Expansion β

Compression σ1

β

π/4 – φ/2

π/4 – φ/2

σ1 Fig. 9.11 : Lignes de glissement pour l'équilibre inférieure

Fig. 9.12 : Lignes de glissement pour l'équilibre supérieure

9.4.2.6 Distribution des contraintes A titre d'illustration, on examinera le cas de l'équilibre inférieure. Nous voulons calculer la contrainte au point M(r, θ) sur la facette dont le plan est porté par OM (Fig. 9.13). Nous avons: σθθ (r, θ), σrθ (r, θ) et α (r, θ). La facette considérée fait avec la

181 Eléments de Mécanique des Sols

facette verticale l'angle θ. On dresse alors le cercle de Mohr correspondant (Fig. 9.14). L'obliquité α du vecteur contrainte t ne dépend que de θ. En effet:

β o θ β

- τrθ

tg α = P'P / OP' où P'P = R sin γ = τm sin (2θ + ωβ - β) OP' = σm - τm cos (2θ + ωβ - β)

n

t

r

α σθθ

M

et z

avec sin ϕ = τm / σm

Fig. 9.13 : Distribution des contraintes

ce qui donne:

tg α = [sin ϕ . sin (2θ + ωβ - β)] / [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] Ainsi, dans la théorie de Rankine, l'obliquité des contraintes sur un écran d'inclinaison quelconque ne dépend que de φ et β. . L'angle α est alors indépendante de r: les facettes portées par une ligne droite dans le massif subissent des contraintes de même obliquité (Fig. 9.15). Calculons à présent σθθ. Nous avons:

τ τm P

o

φ

β

ωβ

ωβ 2θ δ

γ

σ

c' ωβ + β

c E'' ω β

E σm

= σm – R cos γ il

E'

t

σθθ = OP' = OC – CP'

sin ϕ = R / σm

(9.10)

Fig. 9.14 : Cercle de Mohr en équilibre inférieur

vient

R = σm sin ϕ

β

d'où

θ

σθθ = σm [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)]

(9.11)

α

Calculons σm. Dans le triangle CC'E, on a: sin (ωβ + β) = τ / τm = t sin β / τm où et

sin ωβ = sin β / sin ϕ ==> sin β = sin ϕ sin ωβ

Fig. 9.15 : Contrainte le long d'un rayon polaire

182 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

τm = σm sin ϕ déplacement

ce qui donne sin (ωβ + β) = t sin ωβ / σm

σ1 σ3

===>

σm = t sin ωβ / sin (ωβ + β) remplaçant t par sa valeur, il vient: Fig. 9.16 : Equilibre limite inférieure : poussée

σm = γ z cos β . sin ωβ / sin (ωβ + β) et z cos β par r cos (θ - β) on obtient

déplacement

σm = γ r cos (θ - β) . sin ωβ / sin (ωβ + β)

σ3 σ1

et finalement σθθ = Kaγ γ r avec

(9.12) Fig. 9.17 : Equilibre limite supérieure : butée

Kaγ = sin β cos (θ - β) [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] / [sin ϕ sin (ωβ + β)] On conclue alors que la distribution des contraintes dépend de r et est triangulaire le long d'une droite tracée dans le massif. le coefficient Kaγ(β, φ, θ) est un coefficient de poussée (Fig. 9.16,17). Remarque 9.1 La théorie de Rankine est relativement simple mais ses applications sont limitées. En effet, les lignes de glissement observées sur site ne sont pas droites. De plus, dans le cas de massifs limités par des parois on constate que la rugosité de l'écran joue un rôle important. Finalement, l'obliquité des contraintes sur l'écran est une caractéristique du frottement du massif et de l'écran, alors que dans la théorie de Rankine, elle ne dépend que de l'obliquité de la surface libre et de l'angle de frottement interne. 9.4.3 Equilibre de Boussinesq 9.4.3.1 Hypothèses La théorie de Boussinesq est un schéma général permettant de prendre en compte le frottement sol-écran. Initialement, on suppose que le sol est un matériau pulvérulent en équilibre limite sous son propre poids (la prise en compte de la cohésion et des forces extérieures viendra par la suite). Le massif est limité par deux plans: la surface libre et un écran latéral. Sur l'écran, l'obliquité δ des contraintes est imposée. On

183 Eléments de Mécanique des Sols

admet une distribution triangulaire des contraintes sur chaque rayon polaire, c.à.d que l'obliquité est constante et que l'intensité de la contrainte est proportionnelle à la position radiale r (résultat de la théorie de Rankine). β+

9.4.3.2 Poussée sur un écran Sur la facette portée par le rayon polaire (Fig. 9.18), la contrainte normale σθθ est de la forme:

θ+ λ

σθθ = r f(θ)

δ+

σθθ

r

P

cependant, f peut dépendre des autres paramètres β, λ, δ, φ et γ. Par convention, on posera σθθ = Kγ γ r

+

Fig. 9.18 : Convention de signe

où Kγ ne dépend que de β, λ, δ et φ, il est appelé coefficient de poussée des terres. Il existe deux équilibres: un équilibre de poussée (état actif) et un équilibre de butée (état passif). Sur l'écran, le vecteur contrainte (Fig. 9.19) à une intensité donnée par:

β θ λ

t δ

n

h

t = σθθ / cos δ

σθθ

la poussée totale sur le mur a pour intensité: P=

h

Kγ

2

∫ t dr = cos δ γ h2

Fig. 9.19 : Poussée sur un écran

0

et a pour obliquité δ. Le point d'application de P se situe au tiers inférieur de h. 9.4.3.3 Calcul du coefficient de poussée Kγ 9.4.3.3.1 Système des équations différentielles Puisque l'équilibre est limite, d'après (9.11) il vient (Fig. 9.20):

β θ σrr

λ σrθ σθθ

σ1

σθθ = σm [1 - sin ϕ cos 2ψ] (2ψ est équivalent à γ dans Fig. 9.14, σrr est l'état de contrainte qui fait l'angle π/2 par rapport à l'état de contrainte σθθ) σrr = σm [1 + sin ϕ cos 2ψ] σrθ = σm sin ϕ sin 2ψ

ψ Fig. 9.20 : Calcul de Kγ

(9.13)

184 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

Comme le montre (Fig. 9.14), l'angle ψ est l'angle que fait σ1 avec le rayon polaire. ψ est ψ(θ) car l'obliquité de la contrainte sur le rayon polaire est constante. σθθ est proportionnelle à r quand θ est fixe. σm est aussi de la forme: σm = r g(θ)

(9.14)

D'après (9.13,14), nous avons les relations σrr,r = σrr / r

et

σrθ = σrθ / r

et les équations aux dérivées partielles d'équilibre σrr,r + σrθ,θ/r + (σrr - σθθ)/r = γ cos θ

(9.15)

σrθ,r + σθθ,θ/r + 2 σrθ/r = - γ sin θ B

donnent

β

A

σrθ,θ + (2σrr - σθθ) = γ r cos θ

θ

(9.16)

σθθ,θ + 3σrθ = - γ r sin θ La forme de ces équations montre que σrr, σθθ, σrθ et donc σm sont proportionnelles à γ. Posons σm = γ r S(θ)

λ

σ1

M ψ

C

r

(9.17)

Le problème consiste donc à rechercher les fonctions S(θ) et ψ(θ) qui définissent complètement le tenseur de contrainte. Tenant compte de (9.13,17), (9.16) donne:

Fig. 9.21 : Conditions aux limites

S,θ = [ S sin 2ψ - sin (2ψ+ θ)] / (cos 2ψ - sin ϕ)

(9.18) ψ,θ +1 = [ cos θ - sin ϕ cos (2ψ+ θ) – S cos ϕ] / [2S sin ϕ (cos 2ψ - sin ϕ)] 2

9.4.3.3.2 Conditions aux limites Pour pouvoir intégrer les équations différentielles précédentes, il faut éliminer les constantes d'intégration. Ceci à l'aide des conditions aux limites. Ainsi, on a (Fig. 9.21): Sur la surface libre (segment AB) σ = 0, σm = 0

d'où

S(θ = π/2 + β) = 0 dψ/dθ +1 doit vérifier (avec θ = π/2 + β)

185 Eléments de Mécanique des Sols

sin β - sin ϕ sin (2ψ + β) = 0 en effet, puisque le dénominateur de dψ/dθ +1 est nul, il faut que son numérateur le soit aussi, ce qui implique l'expression ci-dessus. Autrement: sin (2ψ+ θ) = sin β / sin ϕ = sin ωβ soit 2ψ = ωβ - β

ou

2ψ = π – (ωβ + β)

On vérifiera aisément que ces deux valeurs de ψ correspondent à celles trouvées dans l'étude de l'équilibre de Rankine. Rappelons que celle-ci est l'angle que fait le rayon polaire ( ou σrr ) avec σ1. Puisque les deux directions de glissement font l'angle ± (π/4 - φ/2) avec σ1 (Fig. 9.22), on se rond compte que le rayon polaire est situé à l'intérieur du petit angle entre les lignes de glissement lorsque ψ < π/4 - φ/2. C'est le cas où 2ψ = ωβ - β. En effet, on a:

(9.19) π r1

π/4 - φ/2 -(π/4 - φ/2)

ψ

σ1 π r2

r

Fig. 9.22 : Plans de rupture

- (π/2 - ϕ) ≤ ωβ - β ≤ π/2 - φ ∀ |β| < ϕ

(9.20)

Lorsque 2ψ = π - (ωβ + β), la surface libre est située hors de ce même petit angle. Sur l'écran (Segment AC) L'obliquité des contraintes sur l'écran est imposée: tg δ = - σrθ / σθθ = - sin ϕ sin 2ψ / (1 - sin ϕ cos 2ψ)

(9.21)

ce qui donne sin (2ψ - δ ) = - sin ωδ

(9.22)

où sin ωδ = sin δ / sin ϕ, - ϕ ≤ δ ≤ ϕ,

- π/2 ≤ δ ≤ π/2,

on a alors les deux valeurs possibles de ψ: 2ψ = - (ωδ - δ)

ou bien

2ψ = ωδ + δ - π

(9.23)

Comme précédemment, on peut montrer que l'écran est situé dans le petit angle des lignes de glissement lorsque 2ψ = - (ωδ - δ) et il est situé hors de ce même petit angle lorsque 2ψ = ωδ+δ-π . Quant à S, elle est inconnue sur l'écran. On a donc quatre couples de valeurs de ψ sur la surface libre et sur l'écran, mais elles ne sont pas tous mécaniquement possibles. en définitive, on ne peut poser que deux problèmes distincts:

186 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

Problème de poussée . Sur la surface libre: θ = π/2 + β

S=0

2ψ = π - (ωβ + β)

. Sur l'écran θ=λ

2ψ = - (ωδ - δ)

Problème de butée .Sur la surface libre θ = π/2 + β

S=0

2ψ = ωβ - β

.Sur l'écran θ=λ

2ψ = ωδ + δ - π

9.4.3.3.3 Résolution Le problème est mathématiquement bien posé. Il reste à calculer S sur l'écran, ψ et S sur les différents rayons polaires. Ceci relève du calcul numérique dont les résultats sont présentés sous forme de tables telles que celles de Caquot et Kérisel (Tab. 9.1,2). Remarque 9.2 Seul un équilibre de Rankine peut régner entre la surface libre et la première ligne de glissement de cet équilibre. On peut donc distinguer deux zones dans le massif: une zone en équilibre de Rankine (δ = 0) commandée par la surface libre, et une zone en équilibre de Boussinesq commandée par l'écran. Ces deux zones se raccordent le long de la première ligne de glissement de l'équilibre de Rankine. 9.4.3.4 Etude de la solution 9.4.3.4.1 Variation de Kγ . Kaγ décroît lorsque δ augmente. . La poussée minimale (équilibre le plus défavorable) correspond à δ = φ. . Dans le cas de l'équilibre le plus défavorable de Boussinesq, l'obliquité δ est toujours voisine de φ. Dans l'équilibre de Rankine, δ décroît rapidement et s'annule sur l'écran. . Pour la butée, l'équilibre le plus défavorable (butée maximale) correspond à δ = - φ. Kpγ décroît quand δ diminue en valeur absolue. . Dans le cas de l'écran vertical, β influe fortement la poussée et notamment la butée. . La poussée diminue lorsque φ augmente. . La butée varie proportionnellement à φ.

187 Eléments de Mécanique des Sols

φ [°] 10

δ [°] 0 5 10

15

0 5 10 15

20

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

30

0

β [°]

α [°] 50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20

1.11 1.41 1.09 1.45 1.07 1.53 1.02 1.27 1.00 1.28 1.00 1.32 1.02 1.38 0.937 1.15 1.44 0.921 1.14 1.47 0.924 1.17 1.51 0.942 1.21 1.59 0.970 1.29 1.72 0.859 1.03 1.25 0.848 1.03 1.27 0.851 1.05 1.31 0.866 1.09 1.37 0.896 1.14 1.45 0.925 1.22 1.56 0.787 0.929 1.12

0.943 1.20 0.917 1.23 0.911 1.29 0.850 1.04 0.828 1.04 0.821 1.07 0.826 1.11 0.767 0.920 1.17 0.748 0.915 1.19 0.742 0.926 1.23 0.745 0.949 1.29 0.759 0.984 1.39 0.688 0.814 1.00 0.674 0.810 1.00 0.671 0.814 1.03 0.672 0.828 0.107 0.685 0.856 1.12 0.725 0.920 1.20 0.617 0.717 0.861

0.832 1.06 0.801 1.08 0.787 1.13 0.735 0.893 0.709 0.885 0.695 0.889 0.691 0.903 0.647 0.765 1.01 0.626 0.754 1.03 0.614 0.751 1.06 0.610 0.756 1.11 0.614 0.771 1.18 0.568 0.661 0.818 0.552 0.648 0.824 0.542 0.645 0.830 0.540 0.647 0.853 0.542 0.658 0.886 0.552 0.676 0.929 0.497 0.569 0.683

0.756 0.982 0.720 1.00 0.702 1.05 0.651 0.782 0.622 0.764 0.603 0.758 0.596 0.760 0.559 0.653 0.901 0.536 0.634 0.907 0.520 0.626 0.937 0.512 0.622 0.982 0.511 0.626 1.04 0.478 0.549 0.681 0.459 0.532 0.673 0.448 0.523 0.673 0.441 0.520 0.678 0.439 0.521 0.688 0.443 0.528 0.708 0.406 0.460 0.546

0.704 0.937 0.664 0.951 0.642 0.991 0.589 0.701 0.557 0.679 0.536 0.663 0.525 0.657 0.490 0.568 0.822 0.465 0.546 0.840 0.448 0.531 0.855 0.438 0.523 0.895 0.434 0.521 0.951 0.406 0.462 0.569 0.387 0.443 0.557 0.374 0.431 0.548 0.365 0.423 0.545 0.361 0.420 0.545 0.361 0.423 0.554 0.333 0.373 0.438

0.669 0.922 0.626 0.936 0.600 0.966 0.541 0.643 0.507 0.612 0.484 0.591 0.470 0.581 0.434 0.500 0.781 0.409 0.474 0.786 0.391 0.457 0.812 0.379 0.446 0.837 0.372 0.441 0.888 0.346 0.389 0.480 0.327 0.370 0.462 0.313 0.356 0.449 0.304 0.347 0.441 0.298 0.342 0.438 0.296 0.341 0.439 0.272 0.301 0.353

0.650 0.900 0.601 0.920 0.570 0.950 0.504 0.595 0.467 0.560 0.442 0.536 0.425 0.522 0.387 0.441 0.759 0.361 0.414 0.763 0.342 0.396 0.776 0.328 0.383 0.813 0.319 0.375 0.848 0.293 0.327 0.401 0.275 0.308 0.381 0.261 0.294 0.367 0.251 0.284 0.357 0.244 0.277 0.351 0.240 0.273 0.349 0.218 0.239 0.276

0.641 0.895 0.586 0.900 0.549 0.940 0.472 0.555 0.433 0.516 0.405 0.489 0.385 0.471 0.341 0.387 0.749 0.314 0.360 0.741 0.295 0.340 0.767 0.280 0.325 0.789 0.270 0.315 0.821 0.241 0.267 0.326 0.223 0.249 0.307 0.210 0.235 0.292 0.200 0.225 0.282 0.193 0.217 0.274 0.187 0.212 0.270 0.165 0.180 0.207

30

1.38

0.107

0.899

0.765

0.684

0.610

0.561

0.500

0.641 0.890 0.577 0.890 0.533 0.935 0.438 0.516 0.395 0.442 0.365 0.473 0.342 0.420 0.290 0.329 0.732 0.263 0.301 0.736 0.243 0.280 0.748 0.229 0.265 0.769 0.217 0.253 0.800 0.184 0.203 0.249 0.168 0.186 0.230 0.156 0.173 0.216 0.146 0.164 0.206 0.139 0.156 0.198 0.134 0.151 0.192 0.108 0.116 0.135 0.434

Table 9.1 : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des terres Kaγ (D'après Chen)

188 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

φ [°] 30

δ [°] 5

10

15

20

25

30

35

0

5

10

15

20

25

30

35

β [°]

α [°] 50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20

0.778 0.932 1.12 1.39 0.781 0.946 1.16 1.43 0.798 0.972 1.19 1.51 0.821 1.01 1.25 1.59 0.862 1.08 1.35 1.74 0.900 1.17 1.47 1.88 0.717 0.837 0.986 1.18 0.711 0.843 1.01 1.20 0.717 0.849 1.02 1.22 0.731 0.876 1.05 1.27 0.755 0.915 1.11 1.36 0.791 0.968 1.17 1.44 0.846 1.04 1.27 1.60 0.928 1.12 1.41

0.606 0.715 0.861 1.09 0.604 0.720 0.881 1.14 0.607 0.728 0.900 1.18 0.618 0.750 0.943 1.24 0.638 0.785 1.00 1.35 0.770 0.829 1.08 1.46 0.551 0.634 0.741 0.895 0.542 0.629 0.741 0.904 0.543 0.635 0.759 0.923 0.546 0.643 0.775 0.975 0.557 0.664 0.800 1.02 0.575 0.692 0.847 1.08 0.601 0.730 0.908 1.15 0.634 0.783 0.989

0.484 0.559 0.678 0.912 0.477 0.557 0.681 0.934 0.475 0.558 0.695 0.968 0.479 0.566 0.712 1.01 0.487 0.581 0.739 1.11 0.501 0.602 0.776 1.19 0.433 0.491 0.572 0.703 0.424 0.483 0.568 0.708 0.418 0.480 0.569 0.720 0.417 0.481 0.575 0.753 0.420 0.488 0.592 0.781 0.430 0.501 0.610 0.819 0.442 0.519 0.637 0.870 0.460 0.545 0.676

0.392 0.446 0.536 0.776 0.383 0.439 0.532 0.795 0.378 0.437 0.532 0.823 0.377 0.437 0.539 0.885 0.380 0.442 0.550 0.940 0.387 0.453 0.568 1.01 0.343 0.383 0.443 0.558 0.333 0.372 0.435 0.557 0.326 0.368 0.430 0.560 0.322 0.365 0.430 0.567 0.322 0.367 0.434 0.580 0.325 0.371 0.443 0.598 0.331 0.379 0.455 0.623 0.341 0.392 0.473

0.319 0.359 0.426 6.694 0.309 0.349 0.419 0.712 0.302 0.343 0.414 0.738 0.299 0.341 0.414 0.773 0.299 0.342 0.418 0.820 0.302 0.347 0.425 0.882 0.271 0.299 0.342 0.434 0.260 0.289 0.333 0.426 0.253 0.282 0.326 0.422 0.248 0.277 0.322 0.421 0.246 0.275 0.322 0.424 0.246 0.276 0.323 0.429 0.249 0.280 0.329 0.438 0.254 0.287 0.337

0.258 0.287 0.338 0.619 0.248 0.277 0.328 0.634 0.242 0.270 0.321 0.657 0.237 0.266 0.318 0.688 0.235 0.265 0.318 0.729 0.236 0.266 0.321 0.783 0.211 0.230 0.261 0.331 0.201 0.220 0.250 0.320 0.194 0.213 0.243 0.312 0.189 0.208 0.238 0.308 0.186 0.205 0.235 0.306 0.185 0.204 0.235 0.307 0.185 0.205 0.237 0.310 0.187 0.208 0.241

0.205 0.226 0.263 0.570 0.196 0.216 0.252 0.570 0.189 0.209 0.245 0.590 0.184 0.204 0.240 0.618 0.180 0.201 0.238 0.654 0.179 0.200 0.238 0.701 0.158 0.171 0.191 0.240 0.149 0.162 0.182 0.230 0.143 0.155 0.175 0.222 0.138 0.150 0.170 0.216 0.135 0.147 0.166 0.214 0.133 0.145 0.165 0.213 0.132 0.144 0.164 0.213 0.132 0.145 0.166

0.154 0.168 0.194 0.507 0.145 0.159 0.184 0.506 0.138 0.152 0.177 0.524 0.134 0.147 0.172 0.549 0.130 0.143 0.169 0.564 1.27 0.141 0.167 0.604 0.107 0.115 0.128 0.160 0.101 0.108 0.120 0.151 0.095 0.103 0.115 0.145 0.091 0.098 0.110 0.140 0.088 0.095 0.107 0.137 0.086 0.093 0.105 0.134 0.085 0.092 0.103 0.133 0.084 0.091 0.103

0.099 0.108 0.125 0.428 0.093 0.100 0.117 0.426 0.087 0.095 0.111 0.442 0.083 0.091 0.106 0.448 0.080 0.087 0.103 0.473 0.078 0.085 0.100 0.489 0.057 0.060 0.066 0.084 0.052 0.056 0.060 0.078 0.049 0.052 0.057 0.074 0.046 0.049 0.054 0.070 0.044 0.047 0.052 0.068 0.043 0.046 0.050 0.066 0.042 0.044 0.049 0.064 0.041 0.044 0.048

30

1.75

1.29

0.951

0.656

0.457

0.318

0.216

0.134

0.064

Table 9.1 (suite): Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des terres Kaγ

189 Eléments de Mécanique des Sols

φ [°] 40

δ [°] 0

5

10

15

20

25

30

35

40

β [°] 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

α [°] 50

60

70

80

90

0.649 0.760 0.874 1,38 1.22 0.645 0.759 0.879 1.03 1.25 0.654 0.767 0.894 1.05 1.29 0.664 0.783 0.937 1.07 1.35 0.690 0:822 0.975 1.11 1.43 0.717 0.860 1.03 1.17 1.53 0.765 0.927 1.10 1.24 1.67 0.840 1.02 1.22 1.33 1.84 0.946 1.09 1.38 1.50 2.07

0.491 0.556 0.643 0.762 0.920 0.486 0.553 0.644 0.770 0.941 0.485 0.562 0.651 0.786 0.973 0.490 0.571 0.666 0.811 1.02 0.503 0.585 0.688 0.846 1.08 0.518 0.607 0.729 0.892 1.15 0.543 0.643 0.772 0.953 1.25 0.576 0.690 0.840 1.03 1.38 0.598 0.738 0.931 1.17 1.55

0.374 0.421 0.482 0.577 0.751 0.368 0.415 0.479 0.579 0.769 0.364 0.413 0.480 0.586 0.769 0.365 0.415 0.486 0.590 0.804 0.367 0.421 0.496 0.610 0.849 0.376 0.431 0.511 0.637 0.908 0.388 0.447 0.532 0.681 0.984 0.405 0.470 0.562 0.727 1.08 0.428 0.500 0.604 0.792 1.21

0.287 0.316 0.358 0.429 0.614 0.279 0.310 0.352 0.426 0.628 0.275 0.305 0.349 0.425 0.650 0.272 0.304 0.349 0.426 0.657 0.273 0.306 0.352 0.434 0.693 0.276 0.310 0.359 0.445 0.741 0.281 0.317 0.369 0.463 0.802 0.289 0.327 0.383 0.480 0.881 0.302 0.342 0.402 0.512 0.985

0.217 0.237 0.266 0.316 0.511 0.210 0.230 0.259 0.309 0.524 0.205 0.225 0.254 0.305 0.542 0.201 0.221 0.251 0.304 0.567 0.200 0.220 0.250 0.305 0.578 0.200 0.221 0.252 0.309 0.617 0.203 0.224 0.256 0.314 0.668 0.207 0.230 0.263 0.324 0.733 0.214 0.238 0.273 0.338 0.817

100

110

120

130

0.160 0.172 0.191 0.226 .0.443 0.153 0.166 0.183 0.218 0.439 0.149 0.160 0.178 0.212 0.455 0.145 0.157 0.175 0.209 0.459 0.143 0.155 0.173 0.208 0.485 0.143 0.155 0.173 0.208 0.518 0.143 0.156 0.174 0.210 0.559 0.145 0.158 0.177 0.214 0.589 0.148 0.162 0.182 0.221 0.654

0.111 0.118 0.129 0.150 0.364 0.105 0.112 0.123 0.143 0.361 0.101 0.108 0.118 0.139 0.374 0.098 0.105 0.115 0.135 0.377 0.096 0.103 0.113 0.133 0.399 0.095 0.1.01 0.112 0.132 0.409 0.094 0.101 0.112 0.133 0.442 0.094 0.102 0.113 0.134 0.463 0.096 0.103 0.114 0.136 0.513

0.065 0.069 0.075 0.086 0.277 0.061 0.064 0.070 0.081 0.274 0.058 0.061 0.067 0.078 0.273 0.056 0.059 0.065 0.075 0.286 0.054 0.057 0.063 0.073 0.290 0.053 0.056 0.061 0.072 0.297 0.052 0.055 0.061 0.071 0.321 0.052 0.055 0.060 0.071 0.335 0.052 0.055 0.061 0.072 0.353

0.024 0.025 0.026 0.029 0.160 0.022 0.023 0.024 0.027 0.157 0.021 0.022 0.023 0.026 0.155 0.020 0.021 0.022 0.024 0.154 0.019 0.020 0.021 0.023 0.155 0.018 0.019 0.020 0.023 0.156 0.018 0.019 0.020 0.022 0.160 0.017 0.018 0.020 0.023 0.164 0.017 0.018 0.019 0.023 0.171

Table 9.1 (suite): Table de Caquet et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des terres Kaγ

190 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

φ [°]

δ [°]

β [°]

10

0 5 10

15

0 5 10 15

20

0

5

10

20

15

20

25

0

5

10

15

20

25

α [°] 50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10 20 0 10

1.58 1.87 1.61 2.05 1.66 2.19 1.75 2.08 1.78 2.27 1.84 2.46 1.91 2.63 1.92 2.29 2.78 1.98 2.52 3.14 2.05 2.75 3.52 2.14 2.99 3.90 2.26 3.22 4.26 2.14 2.54 3.15 2.21 2.81 3.58 2.30 3.08 4.04 2.41 3.39 4.54 2.56 3.72 5.07 2.74 4.05

1.44 1.69 1.50 1.87 1.56 2.01 1.62 1.92 1.68 2.13 1.77 2.32 1.87 2.50 1.81 2.17 2.62 1.90 2.41 2.99 2.01 2.67 3.37 2.14 2.93 3.77 2.29 3.19 4.15 2.05 2.46 3.04 2.15 2.75 3.50 2.29 3.07 4.00 2.46 3.43 4.55 2.67 3.80 5.12 2.89 4.18

1.38 1.62 1.45 1.80 1.54 1.95 1.57 1.88 1.67 2.10 1.79 2.32 1.91 2.52 1.79 2.18 2.62 1.92 2.45 3.02 2.08 2.75 3.45 2,26 3.05 3.89 2.44 3.34 4.32 2.06 2.53 3.14 2.22 2.88 3.66 2.42 3.27 4.24 2.67 3.69 4.87 2.94 4.13 5.55 3.21 4.59

1.37 1.61 1.48 1.81 1.58 1.98 1.59 1.93 1.74 2.18 1.89 2.43 2.04 2.66 1.86 2.30 2.77 2.04 2.63 3.24 2.26 2.98 3.73 2.49 3.34 4.25 2.71 3.70 4.77 2.18 2.76 3.44 2.42 3.19 4.07 2.72 3.76 4.78 3.05 4.20 5.55 3.40 4.76 6.38 3.76 5.34

1.42 1.68 1.56 1.90 1.68 2.10 1.70 2.07 1.89 2.36 2.08 2.66 2:27 2.95 2.04 2.56 3.09 2.30 2.96 3.65 2.58 3.39 4.26 2.88 3.85 4.90 3.17. 4.30 5.55 2.46 3.18 4.00 2.82 3.74 4.80 3.22 4.36 5.70 3.66 5.05 6.70 4.13 5.80 7.79 4.62 6.57

1.54 1.81 1.71 2.08 1.87 2.32 1.91 2.32 2,15 2.69 2.40 3.07 2.64 3.44 2.37 2.98 3.63 2.72 3.51 4.35 3.09 4.08 5.13 3.49 4.68 5.97 3.89 5.29 6.83 2.98 3.88 4.91 3.47 4.63 5.99 4.02 5.49 7.23 4.64 6.44 8.59 5.31 7.47 10.1 6.00 8.54

1.74 .2.05 1.96 2.39 2.16 2.70 2.24 2.74 2.57 3.22 2.90 3.72 3.23 4.22 2.91 3.68 4.50 3.39 4.40 5.49 3.91 5.19 6.57 4.47 6.02 7.73 5.04 6.95 8.94 3.81 5.02 6.43 4.53 6.11 7.98 5.34 7.35 9.75 6.25 8.74 11.7 7.23 10.4 14.5 8.26 12.0

2.06 2.45 2.36 2.89 2.64 3.31 2.78 3.43 3.24 4.10 3.72 4.81 4.20 5.52 3.78 4.85 5.98 4.49 5.90 7.42 5.27 7.05 9.01 6.11 8.29 10.7 6.95 9.65 12.5 5.23 6.99 9.06 6.33 8.66 11.4 7.60 10.6 14.1 9.02 12.7 17.2 10.6 15.3 21.4 12.2 17.8

2.60 3.11 3.03 3.74 3.45 4.35 3.70 4.61 4.40 5.62 5.13 6.69 5.87 7.79 5.32 6.91 8.63 6.45 8.57 10.9 7.69 10.4 13.4 9.P4 12.4 16.4 10.4 14.0 18.9 7.80 10.6 13.9 9.64 13.4 17.8 11.8 16.6 22.4 14.2 20.2 27.4 16.8 24.5 34.5 19.5 29.7

20

5.60

5.71

6.23

7.24

8.90

11.6

16.8

25.0

40.4

Table 9.2: Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des terres Kpγ (d'après Chen)

191 Eléments de Mécanique des Sols

φ [°]

δ [°]

β [°]

30

0

0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30

5

10

5

20

25

30

35

0

5

10

15

20

25

30

α [°] 50

60

70

80

90

2.37 2.82 3.57 4.41 2.46 3.13 4.07 5.19 2.57 3.47 4.66 6.07 2.72 3.85 5.31 7.05 2.91 4.29 6.03 8.14 3.15 4.77 6.81 9.32 3.42 5.26 7.62 10.5 2.67 3.14 4.06 5.17 2.78 3.50 4.66 6.14 2.92 3.92 5.39 7.29 3.10 4.40 6.25 8.63 3.33 4.97 7.23 10.2 3.63 5.63 8.35 11.9 4.01 6.36 9.59 13.9

2.31 2.79 3.54 4.42 2.44 3.15 4.12 5.26 2.61 3.55 4.78 6.23 2.83 4.02 5.52 7.32 3.11 4.54 6.35 8.54 .3.44 5.11 7.25 9.87 3.77 5.70 8.18 11.2 2.64 3.19 4,14 5.37 2.81 3.63 4.88 6.49 3.02 4.14 5.75 7.82 3.29 4.76 6.77 9.41 3.64 5.48 7.96 11.2 4.10 6.30 9.32 13.3 4.61 7.21 10.8 15.7

2.37 2.95 3.79 4.76 2.57 3.40 4.48 5.76 2.82 3.91 5.27 6.90 3.16 4.50 6.17 8.21 3.55 5.15 7.18 9.68 3.97 5.86 8.29 11.3 4.41 6.60 9.44 13.0 2.76 3.47 4.60 6.10 3.01 4.05 5.53 7.50 3.34 4.74 6.64 9.00 3.77 5.55 7.94 11.0 4.32 6.49 9.48 13.4 4.94 7.58 11.2 16.2 5.64 8.79 13.2 19.0

2.57 3.34 4.32 5.68 2.88 3.92 5.19 6.79 3.29 4.58 6.21 8.02 3.75 5.34 7.37 10J 4.27 6.20 8.68 12.3 4.85 7.14 10.1 14.4 5.45 8.13 11.6 16.7 3.07 4.07 5.56 7.40 3.47 4.86 6.60 9.20 4.01 5.81 8.20 11.2 4.67 6.93 10.0 13.8 5.44 8.24 12.0 17.0 6.33 9.75 14.2 20.8 7.33 11.4 16.8 24.5

3.00 4.01 5.25 6.74 3.49 4.79 6.42 8.39 4.06 5.70 7.79 10.3 4.71 6.75 9.37 12.6 5.44 7.94 11.2 15.1 6.25 9.24 13.1 17.9 7.10 10.6 15.2 20.8 3.69 5.20 7.03 9.50 4.37 6.25 8.79 12.2 5.19 7.61 10.9 14.7 6.16 9.24 13.5 18.5 7.31 11.2 16.5 23.2 8.63 13.4 20.0 29.0 10.1 15.8 23.2 34.8

100 3.78 5.12 6.79 8.82 4.49 6.24 8.46 11.2 5.32 7.56 10.4 14.0 6.27 9.08 12.7 17.2 7.36 10.8 15.3 20.8 8.55 12.7 18.1 25.0 9.80 15.1 21.4 29.0 4.87 6.90 9.66 13.3 5.91 8.61 12.3 17.2 7.17 10.7 15.6 21.2 8.68 13.2 19.5 27.0 10.5 16.1 24.1 34.5 12.5 19.5 29.4 43.0 14.8 24.2 35.0 52.5

110 5.08 7.00 9.43 12.4 6.16 8.70 11.9 16.0 7.44 10.7 14.9 20.1 8.92 13.0 18.4 25.0 10.6 16.1 23.0 30.5 12.5 19.1 27.5 37.6 14.4 22.2 32.8 44.0 6.92 10.0 14.3 20.0 8.60 12.8 18.6 26.4 10.7 16.1 23.8 34.1 13.1 20.2 30.1 43.5 16.1 26.0 38.7 55.0 19.4 31.7 46.8 70.0 23.2 38.0 57.5 86.0

120 7.37 10.3 14.2 18.8 9.13 13.1 18.2 24.5 11.2 16.4 23.0 31.3 13.7 20.2 28.7 39.2 16.4 25.2 37.0 49.0 19.5 30.1 44.0 60.0 22.7 35.1 54.0 72.4 10.7 15.9 23.0 32.7 13.6 20.6 30.4 43.6 17.2 26.4 39.4 56.9 21.5 33.5 50.3 73.0 26.6 43.5 66.0 96.0 32.5 53.4 81.0 122. 39.0 64.3 98.0 150.

130 11.7 16.8 23.3 31.3 14.8 21.6 30.4 41.3 18.5 27.4 38.9 53.2 22.9 34.1 48.7 66.0 27.8 42.9 63.0 82.0 33.2 51.4 78.5 100. 38.8 60.3 94.0 122. 18.3 27.7 40.9 56.0 23.7 36.5 54.5 78.4 30.4 47.4 71.3 110. 38.6 60.6 91.6 138. 48.2 79.2 118. 175. 59.2 97.7 148. 225. 71.4 118. 188. 285.

Table 9.2 (suite) : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des terres Kpγ

192 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

φ [°]

δ [°]

β [°]

35

35

40

0

0 10 20 30 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

5

10

15

20

25

30

35

40

α [°] 50

60

70

80

90

4.42 7.14 10.9 16.0 2.98 3.51 4.65 6.11 7.97 3.12 3.94 5.38 7.35 9.89 3.30 4.46 6.29 8.87 12.3 3.53 5.06 7.42 10.7 15.2 3.82 5.80 8.77 12.9 18.7 4.21 6.70 10.4 15.6 22.8 4.71 7.75 12.2 18.7 27.7 5.33 8.95 14.4 22.2 32.0 6.01 10.2 16.6 26.0 36.5

5.15 8.18 12.4 18.1 3.01 3.66 4.88 6.59 8.30 3.22 4.20 5.84 8.12 10.5 3.49 4.87 7.01 10.0 13.5 3.84 5.68 8.44 12.3 17.0 4.30 6.68 10.2 15.2 21.4 4.92 7.87 12.2 18.5 27.0 5.67 9.26 14.6 22.5 36.5 6.52 10.8 17.4 26.9 38.5 7.45 12.6 20.3 31.7 44.0

6.38 10.1 15.2 22.0 3.22 4.13 5.66 7.70 9.80 3.54 4.87 6.94 9.60 12.6 3.96 5.81 8.53 12.0 15.3 4.55 6.95 10.5 15.7 21.0 5.31 8.35 12.8 19.5 27.0 6.23 10.0 15.7 23.8 35.0 7.31 12.0 19.0 29.0 43:0 8.54 14.2 22.8 34.5 51.0 9.88 16.6 26.8 40.5 59.5

8.39 13.2 19.7 28.5 3.67 5.04 7.20 10.0 12.8 4.21 6.14 9.0 12.5 16.5 4.96 7.50 11.2 16.2 21.8 5.91 9.19 14.0 20.8 29.0 7.06 11.2 17.3 26.4 37.9 8.45 13.7 21.5 33.0 49.0 10.1 16.6 26.5 44.0 60.0 11.9 19.9 32.5 48.5 72.0 13.9 23.4 38.5 56.8 82.0

11.7 19.2 28.3 40.0 4.60 6.68 9.68 14.0 19.2 5.56 8.35 12.4 18.2 25.0 6.76 10.4 15.9 23.6 33.0 8.25 13.1 20.3 31.0 47.0 10.1 16.3 25.6 41.0 60.0 12.3 20.1 32.0 49.0 74.0 14.8 24.6 39.5 62.0 93.0 17.8 30.0 50.0 75.0 108. 20.9 36.0 59.5 91.0 125.

100 17.2 28.4 43.0 22.6 6.41 9.58 14.3 21.0 30.3 7.97 12.3 18.7 28.1 41.1 9.94 15.7 24.4 37.0 52.5 12.4 20.0 31.5 48.5 70.0 15.4 25.3 40.2 63.0 94.5 19.1 31.6 50.6 78.0 120. 23.3 40.0 64.0 100. 150. 28.2 50.0 82.0 120. 177. 33.3 59.4 100. 150. 215.

110 27.1 44.8 69.0 102. 9.70 14.9 22.8 34.2 52.0 12.4 19.6 30.5 46.4 68.0 15.8 25.6 40.3 61.8 90.0 20.2 33.0 52.6 81.1 120. 25.5 43.0 70.0 106. 164. 31.8 56.0 88.5 132. 210. 39.3 69.7 114. 170. 260. 47.7 88.0 150. 210. 310. 56.6 101. 184. 265. 375.

120 45.8 75.8 122. 180. 16.1 25.5 39.8 60.5 91.0 21.1 34.2 53.9 82.9 132. 27.6 45.2 72.0 111. 165. 35.6 59.0 94.7 147. 225. 45.5 80.0 127. 190. 295. 57.3 102. 165. 248. 375. 71.1 127. 220. 315. 475. 86.6 160. 290. 388. 565. 103. 190. 360. 485. 700.

130 84.1 139. 225. 350. 29.8 48.3 70.0 110. 162. 39.9 65.6 102. 150. 230. 52.8 87.8 135. 210. 315. 69.0 115. 185. 280. 430. 88.9 155. 250. 350. 550. 113. 201. 300. 450. 700. 140. 251. 400. 600. 920. 171. 320: 600. 760. 1120. 204. 365. 780. 950. 1330.

Table 9.2 (suite) : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des terres Kpγ

193 Eléments de Mécanique des Sols

9.4.3.4.2 Obliquité δ L'écran doit avoir un fruit inférieur au fruit du rayon polaire sur lequel les contraintes atteignent l'obliquité δ dans l'équilibre de Rankine.

Pôle

9.4.3.4.3 Lignes de glissement Les lignes de glissement diffèrent des lignes droites. Sans commettre une grande erreur, on Fig. 9.23 : Lignes de peut dire qu'elles glissement en poussée correspondent à des arcs de spirales logarithmiques (Fig. 9.23,24)

Pôle

Fig. 9.24 : Lignes de glissement en butée

9.4.4 Cas de milieu pulvérulent non pesant chargé 9.4.4.1 Définition L'hypothèse d'un milieu non pesant est admise lorsque l'effet de la surcharge est prépondérant par rapport au poids propre. Aussi, nous allons voir que pour les milieux cohérents, cette hypothèse est nécessaire pour pouvoir appliquer le théorème de superposition des états d'équilibre. 9.4.4.2 Equilibre de Rankine On considère donc un milieu pulvérulent indéfini non pesant soumis à sa surface libre à l'action d'une surcharge d'intensité constante q et d'obliquité α0. On constate que l'état de contrainte est le même pour tous les points du milieu. Par conséquent, le long d'une droite tracée dans le massif, on trouve que le vecteur contrainte sur une facette portée par cette droite a une obliquité et une intensité constantes. Pour la détermination des directions principales et des directions de glissement on retrouve des résultats identiques à ceux de l'équilibre des milieux pesants à condition que la direction de la surcharge joue le rôle de la direction du poids (la verticale). Les lignes de glissement sont des droites. 9.4.4.3 Généralisation de l'équilibre de Rankine On considère un massif pulvérulent non pesant, limité par une surface libre rectiligne inclinée de β par rapport à l'horizontale et par un écran rectiligne faisant un angle λ avec la verticale. La surface libre supporte une surcharge d'intensité q et d'obliquité α0. On admettra que le long d'un rayon plaire, les contraintes agissant sur ce rayon polaire ont une obliquité et une intensité constante, d'autre part, le vecteur contrainte sur l'écran doit avoir une obliquité δ. On montre que σm et ψ ne dépendent que de θ, et les équations d'équilibre donnent:

194 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

σrθ,θ + σrr - σθθ = 0

(9.24)

σθθ,θ + 2 σrθ = 0 Vu ces équations ainsi que les conditions aux limites, sur l'écran on a: σθθ = Kq q

(9.25)

Kq est un coefficient de pression latérale (poussée ou butée) qui dépend de β, λ, δ, φ et α0. L'intensité t de la contrainte sur l'écran est: t = kq q

(9.26)

kq = Kq / cos δ Les tables de l'Herminier et Absi permettent d'éviter les calculs lourds et fournissent les coefficients Kq et kq (Tab. 9.3). 9.4.4.4 Calcul des coefficients de pression latérale Kq et kq On posera σm = q S(θ)

(9.27)

d'autre part, on a: σrr = σm [1 + sin ϕ cos 2ψ] σθθ = σm [1 - sin ϕ cos 2ψ] σrθ = σm sin ϕ sin 2ψ remplaçons ces expressions dans les équations d'équilibre: σrθ,θ + σrr - σθθ = 0 σθθ,θ + 2 σrθ = 0 on obtient alors sin ϕ sin 2ψ S,θ + 2 S sin ϕ cos 2ψ (1+ ψ,θ) = 0

(9.28)

(1 - sin ϕ cos 2ψ) S,θ + 2 S sin ϕ sin 2ψ (1+ ψ,θ) = 0 Puisque le système linéaire est homogène, il y a deux possibilités. Soit la solution est triviale: S,θ = 1+ ψ,θ = 0 ce qui implique

(9.29)

195 Eléments de Mécanique des Sols

196 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

α0 q

S = constante et ψ + θ = constante (cette solution correspond à l'équilibre de Rankine), soit le déterminent est nul. Ceci donne:

1

cos 2ψ = sin ϕ

π/2-φ ε

soit

θ2

ψ = ± (π/4 - ϕ/2)

(9.30)

Le système se réduisant à une seule équation, la première équation différentielle s'écrit alors sous la forme: S,θ + 2S ctg 2ψ = 0

(9.31)

S,θ ± 2S tg ϕ = 0

v

2

α0 ≠ φ et δ ≠ φ

Zone 1: en équilibre inférieure de Rankine Zone 2: en équilibre de Prandtl

Fig. 9.25: Lignes de glissement sous charge uniforme τ

dont l'intégration donne: S = S0 exp[± 2 tg ϕ (θ - θ0)]

θ1

1

q

(9.32)

ωα0

φ α0

2ψ

σ

c

Les lignes de glissement se classent en deux familles. La première est formée des faisceaux de rayons polaires. La deuxième est formée de q S1 spirales logarithmiques homothétiques qui coupent les différents rayons polaires sous Fig. 9. 26: Zone voisine de la surface libre l'angle π/2 - φ: on donne le nom de l'équilibre de Brandtl à cette cinématique (Fig. 9.25). La solution générale s'obtient par la juxtaposition de τ zones en équilibre de Rankine avec des zones en équilibre de Brandtl. kaq q

9.4.4.4.1 Poussée Le calcul du coefficient de poussée active des terres du à la charge q kaq s'opère de la façon suivante: l'état de contrainte dans les zones (1) de l'équilibre de Rankine est comme montrer cicontre (Fig. 9.26,27). On montrera (voir § 9.4.2.6) que: σm1 = q S1 = q sin ωα0 / sin (α0 + ωα0) σm2 = q S2 = kaq q sin ωδ / sin (ωδ - δ) d'où

δ

ωδ

c

q S2

Fig. 9. 27: Zone voisine de l'écran

σ

197 Eléments de Mécanique des Sols

S1 = sin ωα0 / sin (α0 + ωα0)

(9.33)

S2 = kaq sin ωδ / sin (ωδ - δ) On vérifiera aussi que θ1 = π/4 - ϕ/2 + (ωα0 + α0)/2 + β

(9.34)

θ2 = π/4 - ϕ/2 - (ωα0 - δ)/2 + λ d'autre part, (9.31) avec ψ = - (π/4 - φ/2) dans la zone de Brandtl donne: dS / S = 2 tg ϕ dθ soit où

S2 / S1 = e2 tg ϕ (θ2 – θ1) = S2 = S1 e-2 tg ϕ ε

(9.35)

ε = θ1 – θ2 = (ωα0 + α0)/2 + (ωδ - δ)/2 + β - λ A partir de (9.33,35) et les relations sin ωα0 = sin α0 / sin ϕ

et

sin ωδ = sin δ / sin ϕ

(9.36)

on en tire l'expression de kaq kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (cos α0 + sin ϕ sin ωα0)] e-2 tg ϕ ε

(9.37)

Quelques cas particuliers peuvent être cités . Surcharge verticale (α0 = β) où

kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (cos β + sin ϕ sin ωβ)] e-2 tg ϕ ε

(9.38)

2ε = (ωδ - δ) - (ωβ - β) - 2λ . Surcharge normale à la surface libre (α0 = 0) avec

kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (1 + sin ϕ)] e-2 tg ϕ ε

(9.39)

2ε = (ωδ - δ) + 2 (β - λ) 9.4.4.4.2 Butée La butée se traite de la même façon, sauf que cette fois ψ = π/4 - φ/2. Dans le cas particulier d'une surcharge verticale et une surface libre horizontale, on trouve:

198 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

avec

kpq = [(cos δ + sin ϕ cos ωδ) / (1 - sin ϕ )] e2 tg ϕ ε

(9.40)

2ε = - (ωδ + δ) - 2λ

9.4.5 Théorème des états correspondants Les sols cohérents ne relèvent ni du schéma de Rankine ou de Boussinesq ni du schéma de Brandtl. On peut montrer que l'étude d'un milieu cohérent peut se ramener à l'étude d'un milieu pulvérulent correspondant. Ceci apporte une grande simplification lors de l'étude des milieux complexes. Soit le schéma ci-contre (Fig. 9.28) représentant l'état de contrainte dans un milieu cohérent (1). Alors, l'étude de ce milieu peut se faire par l'étude d'un milieu équivalent pulvérulent (2) de même angle de frottement interne obtenu par une translation égale à H = c ctg φ le long de l'axe des σ, d'où le théorème des états correspondants:

τ (1)

(2)

τ' c

σ

σ

σ'

σ' = σ + H τ' = τ

H= c ctg φ

H

Fig. 9.28 : Etats correspondants

Théorème 1. Pour calculer le tenseur des contraintes au sein d'un milieu cohérent homogène en équilibre plastique, on calculera d'abord le tenseur des contraintes au sein d'un milieu fictif de même forme géométrique, pulvérulent, homogène, en équilibre plastique et de même angle de frottement interne. Sur la frontière règnerons des conditions déduites des conditions réelles. 2. Pour calculer les contraintes normales agissant en un point donné et sur une facette donnée du milieu cohérent, on retranchera de la contrainte fictive calculée en 1 agissant au même point sur la même facette une contrainte normale constante d'intensité H = c ctg φ. A titre d'exemple, Tab. 9.4 donne quelques cas d'applications

Milieu cohérent

Milieu pulvérulent fictif q

q + c ctgφ

q + c ctgφ

q q

α0 α0

Tab. 9.4: Exemples d'application du théorème des états correspondants

199 Eléments de Mécanique des Sols

9.5 Calcul pratique de la poussée et de la butée 9.5.1 Théorie de Rankine (1857) 9.5.1.1 Introduction Rankine considère l’état de l’équilibre plastique limite (tout juste avant la rupture). Cette théorie satisfait la solution de la borne inférieure de l’analyse limite. L’état de contrainte est alors représenté par le cercle de Mohr à la rupture (Fig. 9.29). Les plans de rupture sont inclinés de θ = ± (45°+ϕ/2)

τ τr

φ

C

φ

σ3

2θ

θ = 45° + φ/2

Fig. 9.29 : Cercle de Mohr à l’équilibre limite

(9.41)

par rapport au plan principal majeure (Fig. 9.30). Lorsqu’une masse de sol est caractérisée par une contrainte principale qui agit dans la même direction en tout point, il se forme un réseau de plans d’écoulement dit lignes de glissement, également inclinés par rapport aux plans principaux.

σ1

σ3

9.4.1.2 Etat actif La contrainte σ3 dite pression active est calculée comme suit :

σ3

θ

σ1 Fig. 9.30 : Lignes de glissement

D’après le cercle de Mohr précédent, il vient : σ1 − σ3 2 r = sin ϕ = 1 (σ1 + σ3 + 2c ctgϕ) c ctgϕ + σ1 + σ3 2 2 σ1 - σ3 = (σ1 + σ3 + 2c ctg ϕ) sin ϕ σ3 = σ1

σ

σ1

1 − sin ϕ − 2c 1 + sin ϕ

1 − sin ϕ 1 + sin ϕ

(9.42)

(9.43) (9.44)

posons

1 − sin ϕ ϕ = tg2 (45° − ) (9.45) 1 + sin ϕ 2 dit coefficient de la pression active. Et puisque σ1 est due au poids des terres à la profondeur z Ka =

σ1 = γ z

θ Fig. 9.31 : Etat actif de Rankine lignes de glissement

(9.46)

Il vient alors σ3 = pa = Ka γ z – 2c (Ka)1/2

(9.47)

200 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

Pour un sol submergé, on utilise ka(ϕ') et la cohésion effective c' au lieu de la cohésion totale c. Les lignes de glissement (Fig. 9.31) font un angle

z0 = 2c / (γ ka )

θ = 45° + ϕ/2 H

avec l’horizontale. La distribution de pa le long de la profondeur est comme schématisé ci-contre (Fig. 9.32). Le diagramme de la zone [0 – z0] est souvent négligé dans le calcul. La résultante de la pression active par mètre linéaire de largeur est : H

Fa = ∫ pa(z) dz = 1 Ka γ (H − z 0 )2 2 z0

Fa

z0 + 2 (H – z0) /3

2c ka

ka γ H - 2c ka Fig. 9.32 : Diagramme de la pression active

Elle agit au deux tiers de (H-z0) au dessous de la profondeur z0.

9.4.1.3 Etat passif La contrainte horizontale dite pression passive sera calculée d’après l’expression (9.43) par: σ1 = σ3 Posons Kp =

1 + sin ϕ + 2c 1 − sin ϕ

1 + sin ϕ 1 − sin ϕ

1 + sin ϕ ϕ = tg2 (45° + ) 1 − sin ϕ 2

θ

Exemple 9.1 Calculer la résultante de la poussée active sur un mur vertical de 5 m de hauteur retenant un massif horizontal de sable caractérisé par un poids volumique de 17 kN/m3 et un angle de frottement interne de 35°.

Fig. 9.33 : Etat passif de Rankine lignes de glissement

2c k p

(9.48)

(9.49) H

F''p F'p

dit coefficient de la pression passive. Et on écrit (9.48) sous la forme σ1 = pp = Kp γ z + 2c (Kp)1/2

(9.50)

dans laquelle on utilise k(ϕ') et la cohésion effective c' pour le sol submergé. Les lignes de glissement (Fig. 9.33) font un angle

H/2 H/3

kp γ H Fig. 9.34 : Diagramme de la pression passive

θ = 45° + ϕ/2 avec la verticale. La distribution de la pression passive le long de la profondeur est comme montrer ci-contre (Fig. 9.34). La résultante par mètre linéaire de largeur est

201 Eléments de Mécanique des Sols

Fp = F'p + F'p' 2 ' Fp = 12 Kp γ H '' Fp = 2 c Kp H

q

F' agit à la profondeur 2H/3, F'' agit à la profondeur H/2. 9.5.1.4 Poussée due à une surcharge uniforme On suppose que le massif est non pesant (Fig. 9.35). La contrainte σz augmente de q quelque soit la profondeur z. Alors, la pression latérale augmente de : Ka q dans le cas actif Kp q dans le cas passif quelque soit la profondeur. La distribution correspondante est comme montré ci-dessous (Fig. 9.36). Remarque 9.3 . La théorie de Rankine ne tient pas compte de la rugosité de l’écran qui est supposé lisse. . En présence d’eau, il faut tenir compte de la poussée hydrostatique de l’eau. Exemple 9.2 Calculer la résultante de la poussée active sur un mur vertical de 5 m de hauteur retenant un massif horizontal de sable caractérisé par un poids volumique de 17 kN/m3 et un angle de frottement interne de 35°. Le niveau de la nappe phréatique est à –2 m de la surface libre. Le poids volumique du sol saturé est de 20 kN/m3. 9.5.1.5 Cas de massif à surface libre inclinée avec un angle β On admet que les poussées active et passive agissent parallèlement à la surface libre (Fig. 9.37). La contrainte normale à la facette latérale est σz = σv cos β = γ z cos β

x

H

z

Fig. 9.35 : Massif chargé uniformément

Faq

Fpq

H/2

H/2

ka q

kp q

Etat actif

Etat passif

Fig. 9.36 : Poussée du à une surcharge uniforme

β

z

σz

σl

(9.51)

Le coefficient de poussée active est donné par :

Fig. 9.37 : Massif à surface libre inclinée

202 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

2

Ka =

cos β − cos β − cos2 ϕ cos β +

(9.52)

2

cos β − cos2 ϕ

Pour un sol purement cohérent (c=0), la pression active sera pa = Ka σz = Ka γ z cos β

(9.53)

et agit parallèlement à la surface libre inclinée. De même, le coefficient de poussée passive est 2

Kp =

cos β + cos β − cos2 ϕ 2

cos β − cos β − cos2 ϕ

(9.54)

σz β σv

β Etat de contrainte

et la poussée passive s’écrit pp = Kp γ z cos β Elle agit parallèlement à la surface libre du massif incliné. Lorsque la cohésion est non nulle, on peut faire recours au procédé graphique basé sur le cercle de Mohr pour calculer les poussées active et passive (ceci peut constituer un exercice intéressant). Remarque 9.4 Lorsque β = ϕ le raisonnement précédent abouti à des résultats incompatibles avec la réalité. 9.5.2 Théorie de Coulomb (1776) 9.5.2.1 Introduction La théorie de Coulomb est basée sur l’équilibre d’un coin de sol situé entre l’écran et une surface écran quelconque de glissement (Fig. 9.38). Les forces massif agissant sur le sol sont évaluées à l’état de l’équilibre limite. Dans cette théorie, le frottement entre l’écran et surface de coin le sol est pris en compte. L’angle de frottement écranglissement sol est noté δ. Dans le cas d’un sol cohérent, une caractéristique d’adhésion écran-sol cw peut être aussi prise en compte. Vu le phénomène de frottement, la ligne de glissement est courbe au voisinage de la base du mur, mais la théorie de Coulomb suppose des droites de glissement. Dans le cas de la poussée active, Fig. 9.38 : Coin de Coulomb la courbure est faible ce qui fait que l’erreur de l’approximation est minime. Ceci est aussi vrai dans le cas de la poussée passive lorsque δ < ϕ/3. Lorsque δ > ϕ/3, l’erreur devient plus grande. Lorsque δ = 0, le sol est horizontal et l’écran est vertical les théories de Rankine et de Coulomb coïncident.

203 Eléments de Mécanique des Sols

9.5.2.2 Etat actif 9.5.2.2.1 Sol pulvérulent (c=0) Soit le coin de sol caractérisé par (Fig. 9.39) : . Une surface extérieure inclinée de β par rapport à l’horizontale. . L’écran fait l’angle α avec l’horizontale. . Le plan de glissement BC fait l’angle θ avec l’horizontale. . La rugosité du mur est l’angle de frottement mursol notée δ.

C A

β W

H δ

R

P

φ

α

θ B Tout au début du glissement, le coin du sol était H sous l’équilibre des forces suivantes : W : poids propre du massif de sol. Fig. 9.39 : Théorie de Coulomb. Etat actif P : résultante de la réaction de la poussée sur le mur. R : résultante de la réaction sur le plan de glissement.

Connaissant le poids propre W et les directions d’action des forces, on dresse le diagramme de l’équilibre limite (Fig. 9.40), d'où on montre que:

P α1 δ

l'angle (W,P) = π – α – δ l'angle (W,R) = θ – φ

γ

R

α1

γ γ1

W π/2 - θ

α

φ

ce qui permet de calculer la poussée P. La poussée active Pa est la valeur maximum de

θ

P(W, θ)

γ1 = π – [ (π/2 - θ) + (π/2 + φ) ] = θ – φ α 1 = π/2 – [ π - α ] = α - π/2 γ = π/2 – (δ+ α 1) = π – α - δ

Elle correspond donc à ( car W=W(θ)) ∂P = 0 ∂θ

γ1

écran

Fig. 9.40 : Diagramme de l’équilibre des forces

(9.55)

Ceci est équivalent à essayer plusieurs plans de glissement, d’évaluer à chaque fois P et ne garder pour Pa que la valeur maximale. Tout calcul fait on abouti à Pa = 1 Ka γ H 2 2

(9.56)

avec

    sin(α − ϕ) sin α Ka =  sin(ϕ + δ) sin(ϕ − β)  sin( ) α + δ +   sin(α − β)

2

(9.57)

204 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

Dans la théorie de Coulomb, on suppose que la résultante Pa agit à deux tiers de la profondeur de l’écran. Il existe des tableaux donnant Ka pour différentes valeurs de ϕ et δ, et des valeurs particulières de α et β. 9.5.2.2.2 Sol cohérent 9.5.2.2.2.1 Cas général Dans ce cas, il faut tenir compte de la D cohésion c et de l’adhérence sol-mur notée cw (Fig. 9.41). On admet l’existence d’une β z0 zone fissurée de profondeur z0. Le long de A C cette zone, on néglige l’effet des cohésions c E et cw. Les forces agissantes sont : W W : le poids propre du coin de sol. Cw C P : la résultante de la réaction du mur sur le H sol Cw : résultante due à l’adhérence mur-sol : δ R φ P Cw = cw . EB α R : la réaction sur le plan de glissement. B θ C : la résultante d’adhésion sue le plan de glissement : C = c . BC Fig. 9.41 : Théorie de Coulomb. Les directions d’action de ces forces sont Etat actif. Sol cohérent tous connues, on construit comme précédemment le diagramme des forces. La poussée active correspond à la satisfaction de (9.55). 9.5.2.2.2.2 Cas d’un mur vertical et un sol horizontal Dans le cas général d’un sol (c, ϕ), la pression latérale à la profondeur z est donnée par : pa = Ka γ z – Kac c

(9.58)

avec Ka donné par (1.18) et Kac = 2

K a (1 + c w ) c

(9.59)

la cohésion c est remplacée par c' pour un drainage complet et cu dans le cas non drainé. La profondeur des fissures z0 correspond à pa = 0, d’où z0 =

2c

1 + cw c ≤ H2 γ ka

(9.60)

205 Eléments de Mécanique des Sols

9.5.2.3 Etat passif On suivra le même raisonnement précédent tout en tenant compte des remarques suivantes (Fig. 9.42): . P fait un angle δ au dessus de la normale à l’écran. . R fait un angle ϕ au dessus de la normale au plan de glissement. . On montre que l’angle entre W et P est : π - α + δ l’angle entre W et R est : θ + ϕ La résultante des pressions passives est le minimum de P(θ) (eq. 9.55). Elle est donnée par : 2 Pp = 12 Kp γ H

(9.61)

β W P δ

H

R φ α

θ

Fig. 9.42: Théorie de Coulomb. Etat passif

où

    sin(α + ϕ) sin α Kp =  sin(ϕ + δ) sin(ϕ + β)   sin(α − δ) −  sin(α − β)  

2

(9.62)

Pour des valeurs particulières de α et β, il existe des tableaux donnant Kp pour différentes valeurs de ϕ et δ. Dans le cas général d’un sol (c, ϕ), la pression latérale passive à la profondeur z est donnée par l’expression : pp = Kp γ z + Kpc c

(9.63)

où Kp est donné par (1.23) et K Pc = 2

K P (1 + c w ) c

(9.64)

9.5.3 Théorie de Boussinesq (Tables de Caquot et Kérisel) Rappelons que les théories précédentes introduisent une approximation sur la forme de la surface de glissement qui est prise plane. Dans l’état passif, cette simplification surestime la résistance du sol notamment pour les grandes valeurs de l’angle de frottement interne. Dans ce cas on recommande l’utilisation des tables de Caquot et Kérisel basées sur la théorie de Boussinesq. Les auteurs admettent des surfaces de glissement en forme de spirale logarithmique et dérivent la pression latérale active ou passive par intégration des équations différentielles de l’équilibre. Les résultats sont présentés sous forme de tables numériques.

206 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

9.5.4 Construction de Culmann 9.5.4.1 Introduction Elle a été développée par Karl Culmann (1875). Son but est la détermination du plan de glissement ainsi que l’intensité de la poussée active ou passive. Le massif peut être stratifié ou homogène mais l’angle de frottement interne doit être le même pour tout le massif. Nous présentons la construction pour le cas d’un sol pulvérulent, la méthode peut être étendue au cas général d’un sol cohérent chargé…. 9.5.4.2 Sol pulvérulent non chargé 9.5.4.2.1 Poussée active 1. On choisira une échelle appropriée pour schématiser le massif de sol et l’écran AB (Fig. 9.43). 2. A partir du point A, tracer la droite AC faisant l’angle ϕ au dessus de l’horizontale. 3. Tracer la droite de référence AD faisant l’angle ψ avec la droite AC. ψ est l’angle que fait la poussée active Pa avec la verticale. 4. Tracer plusieurs plans hypothétiques de glissement : AB1, AB2,…. 5. Déterminer le poids Wi de chaque tranche tenant compte des différents sols si le massif n’est pas homogène. 6. Choisir une échelle de forces, et reporter les poids sur la droite AC : W1 correspond à AW1, W2 correspond à W1W2 et ainsi de suite. 7. A partir des points Wi sur AC, tracer les droites WiEi parallèles à la droite de référence AD. La droite WiEi coupe la ligne de glissement Abi au point Ei. 8. Joindre les points Ei par une courbe lisse dite courbe de Culmann. 9. Tracer la droite parallèle à la ligne AC et tangente à la courbe de Culmann. Le point de tangence sera noté E. (si la courbe de Culmann n’est pas régulière, il peut exister plusieurs droites tangentes à la courbe et parallèles à AC). 10. Tracer la droite EF parallèle à AD. Le plan de rupture sera AE, et coupe la surface libre en R. La longueur de EF donne l’intensité de la poussée active Pa selon l’échelle de forces choisie. (si plusieurs points Ei existent, celui qui sera retenu correspond au maximum de EiFi). Plan de rupture

B4

B1

B

W2

W1

E

E2

B5

B3

B2

W5 W4

W3

E5

E4

E3

E1

C

δ Pa

Courbe de Culmann

W5 W4

ψ v

W2

φ A

F

W3

H

W1

Pa = EF

ψ D

Fig. 9.43 : Construction de Culmann pour le calcul de la poussée active

207 Eléments de Mécanique des Sols

9.5.4.2.2 Poussée passive Le procédé reste le même, toutefois il faut que (Fig. 9.44) . La droite AC fait l’angle ϕ au dessous de l’horizontale. . L’angle ψ est mesuré comme indiquer sur la figure.

B

Pp δ ψ v A

H φ ψ

C

D Fig. 9.44 : Construction de Culmann pour le calcul de la poussée passive

208 Chapitre 9 : Pression latérale des terres

Exercices du chapitre 9 Pression latérale des terres Exercice 1: Considérons un massif de sol à surface libre horizontale (voir figure) caractérisé par: H = 9,5 m, c = 0, ϕ = 25°, γ =18,64 kN/m3. Calculer la poussée active due au poids des terres. Exercice 2: 1. Calculer le diagramme des pressions des terres sur l'écran vertical schématisé sur la figure. La surface libre du massif fait l'angle β avec l'horizontale. 2. Calculer la résultante des pressions et son point d'application. On donne: H = 9,5 m, β = 15°, ρ = 1,9. 103 Kg/m3, ϕ = 25° Exercice 3 : Considérons le massif de sol caractérisé par (voir schéma): surcharge: q = 50 kN/m2 sol1: un sable. h1 = 6 m, h3 = 4,5 m, c'1 = 0, ϕ'1= 38°, γ1 = 18 kN/m3 sol2: une argile saturée. h2 = 3 m, c'2 = 10 kN/m2, ϕ'2 = 28°, γsat2 = 20 kN/m3 1. Tracer le diagramme des pressions actives et passives selon la théorie de Rankine. 2. Calculer les résultantes des poussées et leurs points d'application. Exercice 4 : 1. Déterminer la distribution de la pression des terres sur l'écran vertical (voir figure). 2. Calculer la résultante des poussées et son point d'application. On donne: H = 8 m, h = 4 m, γ = 20 kN/m3, c' = 8 kN/m2, ϕ' = 27° cw/c' = 0,5; δ/ϕ' = 2/3 Exercice 5: 1. Calculer la résultante des pression des terres sur l'écran schématisé sur la figure. 2. Préciser le plan de rupture le plus probable. On donne: H = 12 m, L = 2 m, γ = 20 kN/m3, λ = 15°, β1 = 22°, ϕ = 30°, δ = ϕ/3 Exercice 6: 1. Calculer le diagramme des poussées horizontales totales sur l'écran vertical schématisé sur la figure. 2. Calculer les résultantes et leurs points d'application. On donne: L1 = 3 m; L2 = 4,5 m; L3 = 4 m; L4 = 1,5 m; q = 10 kPa. ϕ1 = 33°, γ1 = 18 kN/m3, ϕ2 = 14°, γ2 = 21 kN/m3, c2 = 24 kPa δ = 0 pour la poussée et -2ϕ/3 pour la butée.

209 Eléments de Mécanique des Sols

β H H

Exercice 1 Exercice 2 q

h

h3

h1 H

Sol 1 Sol 2

h2

Exercice 3

Exercice 4

q β1

L1

β1

λ H

Sable

L2

L4 L

L

L

Exercice 5

L

Argile

Exercice 6

L3

Chapitre 10 Reconnaissance des sols 10.1 Introduction. 10.2 Essais de laboratoire 10.2.1 Introduction 10.2.2 Essais physiques 10.2.3 Essais chimiques et minéralogiques 10.2.4 Essais hydrauliques 10.2.5 Essais mécaniques 10.3 Essais sur place 10.3.1 Introduction 10.3.2 Reconnaissance des sols 10.3.2.1 Introduction 10.3.2.2 Méthodes géophysiques 10.3.2.2.1 Prospection électrique 10.3.2.2.2 Prospection sismique 10.3.2.2.3 Prospection par micro-gravimétrie 10.3.2.3 Les sondages 10.3.2.3.1 Prospection géologique 10.3.2.3.2 Reconnaissance hydrologique 10.3.3 Essais sur les caractéristiques physiques 10.3.4 Essais mécaniques 10.3.4.1 Essais de chargement à la plaque ou à la table 10.3.4.2 Essais pour le sol sous action dynamique 10.3.4.3 Scissomètre 10.3.4.4 Rhéotest 10.3.4.5 Pressiomètre 10.3.4.6 Essai de pénétration au cône 10.3.4.7 Essais de battage 10.3.4.7.1 Essai de pénétration normalisé (S.P.T) 10.3.4.7.2 Pénétromètre statique 10.3.4.7.3 Pénétromètre dynamique

Chapitre 10

Reconnaissance des sols

10.1 Introduction La reconnaissance des sols est une phase fondamentale dans la réussite d'un projet de construction. La détermination des caractéristiques du sol avant les travaux de constructions conduit à la planification des taches de façon ordonnée et complètement organisée. Le coût de cette reconnaissance sera récupéré par la réalisation du projet dans les meilleurs délais, au coût minimum et dans les meilleurs conditions de sécurité que ce soit pendant la construction ou durant l'exploitation de l'ouvrage. Inversement, une construction de projet important sans étude de sol peut se solder par des surprises désagréables ou fatales. A titre d'exemple, un sol peux résistant supporte mal les engins de chantier, ce qui retarde les travaux et nécessite des aménagements supplémentaires du chantier. Un sol très compressible peut nécessiter dans le futur une reprise sous œuvre ou stabilisation et renforcement du sol. Le sol gonflant peut se solder par une catastrophe notamment pour les logements individuelles c.à.d au propriétaire généralement incapable de supporter le coût de réhabilitation. La présence inattendue de d'eau conduit à la remontée de l'humidité, à la réduction de la capacité portante, ainsi que le risque de l'agressivité de l'eau au béton armé. En définitif, les problèmes qui risquent de surgir pendant la réalisation de l'ouvrage, à court terme ou à long terme ne peuvent être énumérés dans cette introduction. Des références plus spécialisées peuvent être consultées pour des détails approfondies des pathologies de construction. Le chapitre n'a pour bute que la présentation d'une synthèse très brève des procédés généraux de reconnaissance et d'identification des sols. Dans ce contexte aussi, les références spécialisées sont indispensables pour examiner plus profondément les principes, les modes opératoires le matériel et les interprétations. D'autre part, des recherches bibliographiques sont vivement conseillées au lecteur afin d'approfondir les différents aspects et notamment le côté pratique du sujet. 10.2 Essais de laboratoire 10.2.1 Introduction Il s'agit d'essais effectués au laboratoire sur des échantillons remaniés ou intactes convenablement conservés. Généralement on classe ces essais dans trois grands groupes: essais physiques, essais chimiques et essais mécaniques.

211 Eléments de Mécanique des Sols

10.2.2 Essais physiques Les essais physiques ont pour but la détermination des caractéristiques physiques des sols telles que: répartition granulométrique des grains, poids volumiques, densités, teneurs en eau, degré de saturation, teneur en eau optimale, limites d'Atterberg, indices de plasticité, de consistance et de liquidité, porosité, indice des vides et indice de densité, teneur en argile, activité et surface spécifiques. Les essais permettant la détermination des propriétés ci-dessus sont normalisés. A titre d'exemple ont peut citer l'analyse granulométrique par tamisage ou par sédimentométrie, pesée hydrostatique, mesures de volumes, détermination de la teneur en eau et des limites de consistance, essai Proctor, essai au bleu de méthylène. La documentation spécialisée dans ce domaine doit être consultée pour les détails des procédures et des interprétations. 10.2.3 Essais chimiques et minéralogiques Ils ont pour but la détermination de la composition chimique et minéralogique du sol, la présence d'impuretés, de substance agressives, et nature chimique de l'eau adsorbée. La détermination de la famille minéralogique du sol est d'une grande importance, car elle peut déceler des comportements spécifiques tel que les sols gonflants, les sols organiques et les sols nuisibles. Ces caractéristiques peuvent être déterminés par les méthodes d'analyse chimique conventionnelles ou récentes donc plus ou moins coûteuses telles que diffraction des rayons x, analyse spectroscopique, microscopie électronique, analyse thermique différentielle, ou par des méthodes indirectes telles que abaque de Casagrande et surface spécifique. 10.2.4 Essais hydrauliques Les caractéristiques hydrauliques en géotechnique concernent principalement la détermination de la perméabilité des sols, mesure de la succion, présence de la nappe phréatique et sont débit dans le cas d'un écoulement d'eau. Les essais associés sont le perméamètre à charge constante ou à charge variable, méthode du papier filtre. Quelques essais sont exécutés sur place. Comme nous le savons, la vitesse de tassement est étroitement liée à la perméabilité du sol, donc elle nous renseigne sur la durée nécessaire à la consolidation du sol sous l'ouvrage. 10.2.5 Essais mécaniques Ils ont pour but la détermination des caractéristiques mécaniques principalement la cohésion, l'angle de frottement interne, contrainte de préconsolidation, indices de compression et de gonflement et capacité portante. Les essais associés sont à titre d'exemple, essai de cisaillement directe à la boite de Casagrande, essai triaxial et essai œdométrique. 10.3 Essais sur place 10.3.1 Introduction Les essais sur place permettent la détermination des caractéristiques du sol dans les conditions naturelles, c.à.d dans les conditions réelles de résistance.

212 Chapitre 10 : Reconnaissance des sols

10.3.2 Reconnaissance des sols 10.3.2.1 Introduction Elle permet de localiser les différentes couches du sol, leurs stratification et leurs pendages, la présence de galerie souterraines ou de l'eau. 10.3.2.2 Méthodes géophysiques Elles fournissent des informations globales sur l'assiette de construction. 10.3.2.2.1 Prospection électrique Elle est basée sur l'envoi dans le terrain d'un courant électrique et la mesure de la différence de potentiel dans le sol entre deux points. La prospection peut être profonde (verticale) ou superficielle (horizontale ou en couverture). Le calcul de la résistivité du sol permet d'avoir des informations globales sur l'épaisseur et la nature de chaque couche grâce à des tables existantes. D'autre part, la technique permet la mesure de la teneur en eau. 10.3.2.2.2 Prospection sismique Elle repose sur le principe de propagation des ondes sismiques dans le sol. La vitesse de propagation dépend de la nature (principalement la compacité) de la couche traversée. L'onde sismique est générée par des chocs mécaniques (par dame ou marteau) communiqués au sol. Ainsi l'appareillage consiste à la mesure de la célérité de l'onde sismique grâce à la quelle on peut établir une identification de la nature du sol. 10.3.2.2.3 Prospection par micro-gravimétrie On connaît que le champ de la pesanteur en un point est directement lié à la répartition des masses au voisinage du point. La méthode repose sur ce principe et consiste à mesurer avec une grande précision, la variation de l'accélération terrestre. L'interprétation des résultats permet la découverte des anomalies telles que cavités souterraines, tranchées, galeries ..etc. 10.3.2.3 Les sondages Les sondages sont des opération de forage dans le sol avec ou sans carottage (prélèvement d'échantillon). Dans le cas sans carottage, l'opération est accompagnée par un programme de mesure et enregistrement de différents paramètres tels que vitesse d'avancement, poussée de la sondeuse, pression du fluide de perforation, vibration du train de tige ..etc. 10.3.2.3.1 Prospection géologique Souvent, le sondage carotté donne lieu à des observations directes par les géologues du profil du sol. Ceci permet d'étudier de plus près la stratification des couches, leurs histoire de dépôt, et leurs compositions chimiques. 10.3.2.3.2 Reconnaissance hydrologique Dans ce cas, le sondage permet le forage de puit atteignant la nappe phréatique. La reconnaissance hydrologique comprenne l'utilisation de piézomètre pour la détermination de la surface piézométrique, la pression interstitielle et la courbe de rabattement. L'essai Lefranc (par pompage ou injection) permet la mesure de la

213 Eléments de Mécanique des Sols

perméabilité locale d'un sol en place. Dans l'essai Lugeon, on peut obtenir des informations sur la circulation de l'eau dans les roches, sur l'état de fissuration de ces roches, la possibilité de colmatage ou de décolmatage de ces fissures. L'essai de pompage permet la mesure de la perméabilité globale du sol par pompage ou d'injection de l'eau. D'autres méthodes existent pour la détermination de la perméabilité sur place. A titre d'information on peut citer les perméamètres Ménard, et les essais de perméabilité à l'air. 10.3.3 Essais sur les caractéristiques physiques Dans beaucoup de situations, par crainte de l'altération des échantillons prélevés, ou par le besoins immédiat à des informations, on souhaite effectuer des essais sur place pour la détermination de quelques caractéristiques physiques du sol. A titre d'exemple, le pénétro-gamma densimètre permet la mesure de la masse volumique par diffusion Gamma. Cependant la majorité des essais effectués sur place sont relatifs à l'aspect mécanique c.à.d la résistance du sol. 10.3.4 Essais mécaniques 10.3.4.1 Essais de chargement à la plaque ou à la table Ils donnent des informations très intéressantes mais généralement lents et coûteux. Dans la pratique ils sont réservés aux pieux uniquement. L'essai à la table n'est indicatif que pour les massifs homogènes. 10.3.4.2 Essais pour le sol sous action dynamique Ils permettent la détermination des caractéristiques dynamiques des sols telles que module d'élasticité dynamique, le module de cisaillement dynamique, le taux d'amortissement dynamique ainsi que la variation de la pression interstitielle. Les essais in situ se basent sur la mesure de la célérité des ondes de volume et de cisaillement dans des forages spéciaux. 10.3.4.3 Scissomètre C'est un essai de cisaillement par torsion visant le calcul de la cohésion des argiles molles saturées. 10.3.4.4 Rhéotest C'est un essai permettant de déterminer les caractéristiques mécaniques du sol en place. Pendant le cisaillement du sol par torsion, on mesure la contrainte tangente et la contrainte normale ce qui permet de tracer la courbe intrinsèque par une série de mesures. Alors, on peut dire que c'est un essai comparable à l'essai de cisaillement directe mais effectué sur place. 10.3.4.5 Pressiomètre Il consiste à l'application d'une pression latérale sur le sol. Les mesures permettent de tracer la variation de volume du sol en fonction de la pression appliquée. On arrive ainsi à déterminer le module pressiométrique, la pression de fluage et la pression limite qui caractérisent la nature du sol. Les résultats pressiométriques permettent le calcul de portance des fondations de tout type ainsi que les tassements immédiats.

214 Chapitre 10 : Reconnaissance des sols

10.3.4.6 Essai de pénétration au cône Il permet de mesurer la résistance au cisaillement en fonction de la profondeur d'enfoncement d'un cône dans le sol sous son propre poids. 10.3.4.7 Essais de battage 10.3.4.7.1 Essai de pénétration normalisé (S.P.T) Un carottier est enfoncé dans le sol sous étude. Pendant l'essai on compte le nombre de coups nécessaire pour l'avancement du carottier sur une certaine profondeur. Ces indications permettent la détermination des facteurs de la capacité portante ou même donner directement la pression admissible d'une semelle. D'autres interprétations peuvent s'offrir selon la nature du terrain. 10.3.4.7.2 Pénétromètre statique Ce sont des appareils qui consistent à enfoncer, à vitesse lente et constante, de tiges à l'aide d'un vérin. Ils permettent de mesurer séparément la résistance de la pointe, le frottement latéral ainsi que la cohésion. Ces essais s'appliquent pour le calcul des fondations superficielles ou profondes, et pour le contrôle du compactage à grande profondeur. 10.3.4.7.3 Pénétromètre dynamique Sur le principe du S.P.T., un train de tiges est enfoncé dans le sol par la chute libre d'une masse (mouton). Dans cet essai le matériel est plus simple mais plus robuste. Les résultats des essais donnent le nombre de coups pour un enfoncement donné, soit la résistance de la pointe déduite de la formule des Hollandais. Il existe variétés de pénétromètres dynamiques, les détails peuvent êtres consultées dans des références spécialisées.

215 Eléments de Mécanique des Sols

Chapitre 11 Solutions de quelques exercices

Chapitre 11

Solutions de quelques exercices

Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols Exercice 2 La courbe granulométrique est tracée comme ci-contre. D'où on tire: d10 = 0,4 mm d30 = 0,61 mm d60 = 1,1 mm

Cu = 2,75 et Cc = 0,85 Il s'agit donc d'un sable propre moyen et grossier noté SP.

80

Pourcentage de passant en masse

ce qui donne

100

60

40

20

0 0,01

Exercice 4 Utilisant les définitions des caractéristiques demandées on trouve: w = 25%; e = 0,675; n = 0,403; dh = 2,01; γh = 19,72 kN/m3 0,1

1

10

Diamètre des grains [mm]

Exercice 8 Pour le sol 1 la classification se fait comme suit: Le sol est à grains grossiers, un sable. Mais il s'agit d'un cas limite (voir Tab. 2.10). On utilise alors le double symbole (SM ou SC) avec (SW ou SP). D'après la courbe granulométrique, on obtient: D60=0,71 mm; D30=0,34 mm; D10=0,18 mm, Cu = 3,9 et Cc = 0,91 d'où: une granulométrie peu étalée. Il s'agit donc d'un sol SP-SM: un sable silteux à granulométrie peu étalée.

217 Eléments de Mécanique des Sols

Chapitre 3: Le compactage Exercice 1 a. La courbe a la forme ci-contre, elle possède notamment un maximum.

γd [kN/m3]

b. Nous utilisons les expressions Sr = w / ( γw / γd - γw / γs ) γh = γd ( 1 + w )

19,6

ce qui donne

w [%]

Sr1 = 295 % et Sr2 = 87,5 % γh = 20,38 kN/m3 et γh = 21,95 kN/m3

4

12

c. Le volume d'eau à ajouter est ∆Vw = Vwf – Vwi

avec

Vw = Sr Vv

le volume des vides est donné par Vv = Vt – Vs

où

Vs = Ps / γs

Appliquant ces formules sur l'état initial et l'état final, on obtient comme application numérique ∆Vw = 47,37 cm3

218 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

Chapitre 4: L'eau dans le sol Exercice 1 Il s'agit d'un essai à charge constante. Utilisant la formule directe associée à l'essai, il vient: k= 0,11 cm/s. Exercice 2 Le but de l'exercice est de calculer la perméabilité moyenne horizontale et verticale. L'application numérique est directe et donne: kh = 0,4 10-2 cm/s, kv = 1,43 10-2 cm/s. Exercice 3 La contrainte totale au point M est donnée par: σM = γsr D La pression interstitielle est donnée par σuM = (D-d) γw Alors, la contrainte effective au point M est σ'M = σM - σuM = (γsr – γw) D + dγw L'application numérique donne σ'M = 49,5 kPa.

219 Eléments de Mécanique des Sols

Chapitre 5: Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Exercice 1 La solution élémentaire est donnée par la solution de Boussinesq: avec

dσzM = 3qdA cos5θ/ 2πz2 dA = α r dr et r = ztg θ

Tout calcul fait, on trouve σzM = q α (cos3θi – cos3θe) /2π formule dans laquelle, θi (respectivement θe) correspond à Ri (respectivement Re). Exercice 5 La charge totale uniforme q appliquée au sol est égale à la surcharge appliquée augmentée de la charge due à la semelle. Le calcul rapide se fait par abaque. Le calcul de la contrainte au droit du point A est directe car il s'agit d'un calcul sous un coin de la semelle. Sous le point C, il faut superposer la solution correspondant à quatre surfaces dont chacune a le point C comme coin. Sous les autres points, le raisonnement est pareil. L'application numérique donne: q = 83 kPa,

σzA = 7 kPa,

σzC = 9 kPa

Exercice 6 Maintenant la charge totale de l'exercice 5 est concentrée au centre de la semelle. On utilise la solution de Boussinesq. Le calcul est directe. A titre d'exemple, l'application numérique donne: σzE = 2,9 kPa,

σzF = 1,5 kPa

220 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

Chapitre 6: Tassement, compressibilité et consolidation Exercice 2 1. La courbe de compressibilité est tracée sur la page suivante. 2. La construction de Casagrande donne une contrainte de préconsolidation égale à 170 kPa. Le sol est donc sur-consolidé. Le taux de surconsolidation est rsc = 1,3. Pour le tracé de la courbe de compressibilité pour le sol en place on utilise la construction de Schmertmann à trois points. 3. Dans la zone de compression vierge on obtient Cc = 0,261. Dans la zone de recompression on obtient Cr = 0,025 4. Dans les conditions de l'exercice, le tassement de consolidation est composé de deux parties. Une partie calculée dans la zone de recompression, la deuxième étant calculée dans la zone de compression vierge. Tout calcul fait, on obtient Sc = 0,6 m. Exercice 3 1. Dans la formue du tassement instantané, on prendra q = 150 kPa correspondant à la charge de l'édifice, le coefficient de Poisson est égale à 0,5 car le tassement instantané se fait sans changement de volume (pas d'évacuation de l'eau). Le facteur d'influence est tiré du tableau donné dans le cours I=1,12. Tout calcul fait on trouve Si = 0,63m. 2. Le calcul du tassement de consolidation est directe et est égal à Sc = 0,24m. Exercice 10 a. La relation entre le tassement et le temps est établie grâce à la notion du degré de consolidation moyen. Le tassement de consolidation Sc étant connu, la solution se fait dans le sens S(t), Umoy, T et finalement le temps t, d'où pour s(t) = 0,4 m on trouve la durée nécessaire t = 39,26 ans. b. Dans cette question on fait le chemin inverse au précédant : temps t, facteur temps T, Umoy et finalement s(t). Ainsi pour t = 5 ans, on trouve s(t) = 14,4 cm. Exercice 17 Le calcul du tassement secondaire nécessite le détermination de cα. dans la zone correspondant à la période 25 à 50 ans. A partir des données expérimentales on trace la courbe e(log t) comme montrer sur la page suivante. D'où les valeurs ep = 2,373 et cα = 0,053. Ainsi, le tassement secondaire relatif à la période 25 à 50 ans est d'intensité Ss = 0,047 m.

221 Eléments de Mécanique des Sols

Solution de l'exercice 2

222 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

Solution de l'exercice 17

223 Eléments de Mécanique des Sols

Chapitre 7: Rappels de mécanique des milieux continus Exercice 2 a. Le vecteur contrainte sur une facette est donné par la relation vectorielle t = σ n, où n est le vecteur unitaire normale à la facette. Appliquant cette relation pour le cas proposé, on trouve: n = < 2/3 2/3 1/3 > t = < 5/3 2 5/3 > [MPa] b. La contrainte normale à la facette σ est donnée par le produit scalaire entre le vecteur contrainte conjugué à la facette t et la normale n: σ = tT. n. Connaissant σ, on peut calculer la contrainte tangentielle τ à la facette d'après l'équation || t ||2 = σ2 + τ2. où || t || représente la norme euclidienne de t. L'application numérique donne: σ = 3 MPa

τ = (5)1/2 / 3 Mpa

et

Exercice 3 La résolution du problème de valeurs et vecteurs propres donne: a. contraintes principales: σ1 = c (5)1/2 σ2 = 0 et σ3 = - c (5)1/2 b. directions principales: n1 = < 2/(10)1/2 n2 = < 2/(5)1/2 n3 = < 2/(10)1/2

1/(10)1/2 - 1/(10)1/2 > 1/(5)1/2 0 > - 1/(10)1/2 1/(2)1/2 >

c. Puisque la contrainte moyenne σm est nulle, le tenseur déviateur est égal au tenseur total: S = σ. Ainsi, les valeurs principales de S sont égales aux valeurs principales de σ. Exercice 6 On trouve le tenseur de déformation

le tenseur déviateur de déformation

ε=c

D

ε =c

x2

(x1+ x2)/ 2

x3

(x1+ x2)/ 2

x1

x3

x3

x3

2(x1+ x2)

-x1

(x1+ x2)/ 2

x3

(x1+ x2)/ 2

-x2

x3

x3

x3

x1+ x2

224 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

La dilatation volumique d est le changement de volume par unité de volume, il est donné par l'expression d = tr(ε) = 3c (x1 + x2) Exercice 10 Les exercices relatifs au cercle de Mohr ont l'avantage de se résoudre rapidement grâce à la construction graphique. C'est ce que nous allons considérer dans cet exercice et les exercices suivants. Connaissant les contraintes principales, on procède dans le présent exercice à la construction directe du cercle de Mohr, par suite on répond à la question.

τ

σ

225 Eléments de Mécanique des Sols

Exercice 11 Dans cet exercice le même problème précédent se pose. Sauf que dans cet exercice apparaît l'intérêt de la notion du pôle de cercle de Mohr.

226 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

Exercice 12

1 cm 1 MPa

227 Eléments de Mécanique des Sols

Chapitre 8: Résistance des sols au cisaillement Exercice 1 a. Le point de coordonnées (σn, τr) appartient à la courbe intrinsèque et au cercle limite à la fois. D'autre part, puisque le sol est un sable pulvérulent, la cohésion est nulle. L'ensemble de ces information permet de tracer la droite intrinsèque et le cercle de Mohr à la rupture. Graphiquement on trouve: Les contraintes principales σ1 = 680 kPa , σ3 = 200 kPa Les directions principales α1 = 28 °, α3 = 107,5 ° par rapport à l'horizontale Angle de frottement interne φ = 34 ° b. Lorsque la contrainte de cisaillement est inférieure à la contrainte de rupture, le cercle de Mohr correspondant n'est pas unique car il n'est pas tangent à la droite intrinsèque. L'information fournie par l'essai de cisaillement directe ne permet pas de tracer le cercle de Mohr de l'état de contrainte. Exercice 2 a1. Cercles de Mohr aux débuts des essais: l'état de contrainte est isotrope donc nous avons σh = σv = σcell . Les cercles de Mohr se réduisent aux points σh1 = σ31 pour l'essai A et σh2 = σ32 pour l'essai B. a2. Cercles de Mohr à la rupture: Dans l'essai triaxial, on suppose que les contraintes σh et σv appliquées sur l'échantillon sont des contraintes principales, d'où la construction directe des cercles de Mohr. Ainsi on a: pour l'essai A : σ3r1 = σh1 pour l'essai B : σ3r2 = σh2

et

σ1r1 = σdr1+ σ3r1

ce qui donne σ1r1 = 500 kPa

et

σ1r2 = σdr2+ σ3r2

ce qui donne σ1r2 = 2100 kPa

d'où la construction graphique des cercles de Mohr à la rupture. b. Graphiquement, on trouve φ = 43 ° c. Toujours graphiquement, on obtient: τr1 = 150 kPa, σr1 = 165 kPa τr2 = 630 kPa, σr1 = 690 kPa d. Puisqu'il s'agit du même sol, la courbe intrinsèque est la même pour les deux essais, le plan de rupture est orienté de même dans les deux essais. Par rapport au plan horizontal l'inclinaison du plan de rupture est β = 66 °. e. On trouve (τr/σr)max = 0,91 pour les deux essais

228 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

229 Eléments de Mécanique des Sols

Exercice 3 Pour σ'3c = 1,5 MPa on obtient ec = 0,62 Exercice 4 Pour ei = 0,75 on obtient σ'3crit = 0,7 MPa Exercice 6 a) Pour σ'3c = 1,5 MPa et ei = 0,6 Comportement drainé Le point sur la courbe ei = 0,6 et correspondant à σ'3c = 1,5 MPa affiche une augmentation de volume (∆V/V0 > 0). L'échantillon augmente de volume. Puisque l'essai est drainé, la pression interstitielle ne diminue pas. Comportement non drainé L'échantillon à tendance a tendance à augmenter de volume mais il sera empêché. La pression interstitielle chute car l'essai est non drainé. Ceci n'est possible qu'avec une augmentation de la pression de confinement σ'3c. b) Pour ei = 0,6 et σ'3c = 1,7 MPa Comportement drainé L'échantillon diminue de volume, la pression interstitielle ne varie pas car l'essai est drainé. Comportement non drainé L'échantillon a tendance à diminuer de volume mais il sera empêché du fait que l'essai est non drainé. Ceci n'est possible qu'avec une diminution de la pression de confinement σ'3c, c.à.d une augmentation de la pression interstitielle.

230 Chapitre 11 : Solutions de quelques exercices

Chapitre 9: Pression latérale des terres Exercice 1 La pression latérale est donnée par σa(z) = Ka γ z dans laquelle on peut utiliser la solution de Rankine (δ = 0), d'où H

Ka = (1 – sin φ) / (1 + sin φ) = 0,406

Fa

L'application numérique donne:

H/3

σa(H) = 71,9 kPa

σa(H)

La distribution de la pression est triangulaire et a pour résultante la poussée

Exercice 1

Fa = 0,5 σa(H) H = 341,5 kN/mètre de largeur Son point d'application agit à la profondeur ZF = 2H/3 = 6,3 m Exercice 2 On peut toujours utiliser le schéma de Rankine. Lorsque la surface libre du massif est inclinée, on calcul la pression latérale par l'expression:

β

σa(z) = Ka γ z cos β Cette pression agit parallèlement à la surface libre. Ka est le coefficient de poussée active due au poids des terres, il est fonction de φ et β. La résultante de cette pression est

Fa H/3

β σa(H)

2

Fa = 0,5 σa(H) H = 0,5 Ka γ H cos β qui agit à H/3 de la base du massif. L'application numérique donne: Ka = 0,49 γ = 18,64 kN/m3 Fa = 398 kN/ml

H

σa(H) = 83,81 kPa

Exercice 2

231 Eléments de Mécanique des Sols

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