Elipse

ELIPSE

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría – simetría –con con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de 1 revolución. revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por  Menecmo, investigada por Euclides, por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol .

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Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: 

El semieje mayor (el mayor (el segmento C-a de la figura), y



el semieje menor (el menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F 1 y F 2  2  en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF  (PF 1 + PF 2  2a). 2  = 2a Si F 1 y F 2  2  son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F 1F 2  2 , un punto P pertenecerá P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde

es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

Excentricidad de una elipse La excentricidad

ε  (épsilon)

de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento

que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra

c ,

y su semieje

mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con Dado que

, también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada 3

cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega

ε  llamada

épsilon.

(No se debe usar la letra

e 

para designarla, porque se reserva para la base de los

logaritmos naturales o neperianos. Véase:número e).

Excentricidad angular de una elipse La excentricidad angular 

es el ángulo para el cual el valor de la función

trigonométrica seno concuerda con la excentricidad

, esto es:

Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F 1 y F 2 a P . Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF 1 (color azul) y PF 2  (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2 a del eje mayor: PF 1 + PF 2  = 2a En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad

de la elipse. Esta

propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos d e un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco – y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.

 Además de la bien conocida relación que

, también es útil la fórmula

, también es cierto .

 Aunque en la figura solo se dibujó la dir ectriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d , la cual además es paralela a la directriz anterior.

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas Forma cartesiana centrada en el origen La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale siendo

ε la

2c = 2εa,

excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

En coordenadas polares Forma polar centrada en origen En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1) Una ecuación más elegante que la anterior ( pero que obliga a pre-calcular la excentricidad 

), es:

(epc 2) Para ambas ecuaciones elipse,

θ  es

a 

es el semieje mayor,

el ángulo polar y para la (epc 2)

b 

ε  es

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad

es el semieje menor de la

la excentricidad. convendrá utilizar la

ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:

(501) Para el foco F1:

(502)

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular

(503) El ángulo

, la forma polar es:

} de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía

verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamadosemi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semilatus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en semieje mayor y

y siendo

el

el menor, es:

no es el ángulo θ del sistema de coordenadas

con

polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre

y θ es

. La ecuación paramétrica de una elipse con centro en parámetro desplazado

con

en la que el

sea concordante con el ángulo polar respecto al centro es:

. El parámetro

es el ángulo de un sistema polar 

cuyo origen está centrado en

.

Área interior de una elipse El área de la superficie interior de una elipse es:

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Siendo a y b los semiejes.

Perímetro de una elipse El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

La elipse como cónica La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser  una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.