Elipse e Hipérbola

 

MATEMÁTICA I

 

U N E X P O

UNIDAD II: GEOMETRÍA ANALÍTICA (CLASE (CLASE 10)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” 

 VICE-RECTORADO  VICE-RECT ORADO PUERTO PUERTO ORDAZ ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA  CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I

GEOMETRÍA  ANALÍTICA 

Morales, E., Ríos, I. y Vargas, E. (2014)

 

UNIDAD

2 TEMAS 1. LA EL ELIP IPSE SE 2. LA HI HIPÉ PÉRB RBOL OLA  A 

GEOMETRÍA ANALÍTICA

 

U N E X P

CLASE 10 Morales, E., Ríos, Ríos, I. y Vargas E. (2014)

O  

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UNIDAD II: GEOMETR GEOMETRÍA ÍA ANALÍTICA (CLASE 10)

INTRODUCCIÓN AL TEMA 

En esta esta secc secció ión n se co com mpl plem emen enta ta el est estud udio io de las las có cóni nica cass como como luga lu gare ress geom geomét étri rico cos. s. Se de descr scrib ibee prin princi cipa palm lmen ente te có cómo mo hall hallar ar los los elemen ele mentos tos pri princi ncipal pales es de una elipse elipse y de una hipé hipérbo rbola la a par partir tir de sus ecuaciones ordinarias, y cómo se pasa de la ecuación canónica (ordinaria) a la ecuación general y viceversa.

Morales, E., Ríos, Ríos, I. y Vargas E. (2014)

 

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COMP CO MPET ETEN ENCI CIAS AS A LO LOGR GRAR AR:: •   Determina la ecuación de una elipse conociendo sus elem elementos. entos. •  Pasa

de la ecuación canónica (ordinaria) de una elipse a la ecuación general y viceversa.

hipérbola la conociendo sus elementos. •   Determina la ecuación de una hipérbo •   Pasa

de la ecuación canónica ((ordinaria) ordinaria) de una hipérbo hipérbola la a la ecuación general y viceversa.

principales rincipales de un unaa elipse y una hipérbola a partir de •   Halla los elementos p sus ecuaciones ordinarias. PREREQUISITOS: • 

Conoce las propiedades y operaciones básicas definidas en el cconjunto onjunto de los los NÚMERO NÚM EROSS REALES REALES..

• 

Conoce los conceptos fundamentales fundamentales de la geometría geometría plana ( ilustrados ilustrados en la clase Nº 7 y 8). Morales, E., Ríos, Ríos, I. y Vargas E. (2014)

 

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MATERIALES: •   Guías recomendadas por el profesor •  Lápiz

y papel

•  Juego •  Hojas

de Geometría milimetradas

•  Apuntes

personales

•   Textos

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ÍNDICE: 1. LA ELIPSE 2. LA HIPÉRBOLA 

NOTA: Selecciona el tema que deseas repasar o continua adel ad elan ante te si quie quiere ress re revi visa sarr toda toda la pr pres esen enta taci ción ón.. Morales, E., Ríos, Ríos, I. y Vargas E. (2014)

 

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    A     M     E     T

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LA ELIPSE

1

Una  elipse  es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos

  focos, esentre puntos fijos del plano, llamados siempre igual a una cantidad constante, mayor que la distancia los focos.

Figura 1 Morales, E., Ríos, Ríos, I. y Vargas E. (2014)

 

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En la figura 1  se ha dibujado una elipse. Los  focos  están designados por  F’   y   F .   La recta   L1  que pasa por los focos se llama   eje  focal . El eje focal corta a la elipse en dos puntos   A’   y  A  y  A , llamados  vértices. La porción del eje focal comprendido entre los dos  vértices, el segmento segme nto   A’A , se llama  eje mayor. El punto medio C  del  del eje mayor se lama  y es perpendicular al eje focal, se llama  eje normal . centro. La recta  L 2 que pasa por  C  y El eje normal corta a la elipse en dos puntos,   B’   y  B, el segmento   B’B  se llama   eje menor. El segmento D1D2 D1D2 que  que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por un foco, tal como D1D2 D1D2 se  se llama  cuerda  focal . Una cuerda focal, tal como   E 1 E 2, 2, perpendicular al eje focal se llama   lado lado rec recto to; evidentemente, por tener dos focos, la elipse tiene dos lados rectos. Si M es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos  F’ M y  F   F M que unen los focos con el punto M se llaman  radios vectores de M.

Figura 1

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Consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X. Tal como se indica en la siguiente figura.

Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen 0 ’ coincida con el centro (h,k) de la elipse, la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes x’ y y ’ está dada por:

′)   + (′)   = 1

(

Las sustituciones x’ = x – h y y ’ = y – k conducen a:

 ℎ)   + ( )  = 1

(

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La ecuación de la elipse cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X, tiene por ecuación:

 ℎ)  + ( ( )  = 1  

(

 Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la dis isttan anci cia a del centro a cada foco foco

B

 A ’

F’

 b   F     C(h,k) c a

A 

a, b y c están ligadas por  la relación:

 =  + 

B’ Morales, E., Ríos, Ríos, I. y Vargas E. (2014)

 

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Excentricidad de la Elipse.

Dada unafocal elipse, seentre definela como su excentricidad el número resultante de se dividir su distancia (2c) longitud de su eje mayor (2a). La excentricidad denota por e. Luego

−           =  =  =    < 



 A

 

F’

 b

c

F a

A ’ ’ 

′ El aspecto de una elipse depende del valor de su excentricidad. Si eun= círculo. 0, entonces c = 0 y a = b. Entonces los los dos focos coinciden coinciden en el centr centroo y la elipse es Conforme e crece, los focos se separan, alejándose del centro y  b decrece.  b decrece. Conforme e se acerca a 1, c se acerca a a  y   b se b se acerca a 0. Por esta razón, la elipse que comenzó como círculo se vuelve más y más angosta. Si e  = 1, la definición de elipse requiere que la representación gráfica sea el segmento de recta que conecta a los focos.

Resumiendo se tiene una elipse real si

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