Elipse e Hiperbola Teoria y Ejercicios Estudiantes
November 14, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN
MATEMATICA I MATEMATICA ELIPSE E HIPERBOLA
ESQUEMA DE LAS CUATRO SECCIONES CÓNICAS. cartesianas,, las cónicas se expresan en forma ale!raica ale!raica mediante En coordenadas coordenadas cartesianas c"adr#ticas de de dos $aria!les %x,&' de la forma( ec"aciones c"adr#ticas en la )"e, en f"nción de los $alores de los par#metros, se tendr#( a! ( elipsepar#!ola*+ . a ! & h / ( circ"nferencia*+ 0 a! ( *ip1r!olaa 2 ! /, la ec"ación represe representar# ntar# "na *ip1r!ola rectan"lar Propiedades Las c"r$as cónicas son siempre s"a$es- M#s precisamente, no tienen p"ntos de inflexión en s" desarrollo- Esto es m"& importante so!re todo en las aplicacione aplicacionessAplicación Las c"r$as cónicas son importantes en astronom3a( dos c"erpos masi$os )"e interact4an se4n la le& "ni$ersal de la ra$itación descri!en secciones cónicas si s" centro de masa se considera en reposo- Si est#n m"& 5"ntas descri!ir#n elipses, si se ale5an demasiado descri!ir#n *ip1r!olas o par#!olas- Tam!i1n Tam!i1n son importantes en en aerodin#mica aerodin#mica & en s" ind"strial,, &a )"e permiten ser repetidas por medios mec#nicos con ran aplica!ilidad ind"strial formas & & c"r$as perfectasexactit"d, lorando s"perficies, formas
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Elipse
Existen al menos tres maneras e)"i$alentes de definir las elipses(
Definición (6n elipse es "na c"r$a cerrada, sim1trica respecto a dos e5es perpendic"laress entre s3, )"e res" perpendic"lare res"lta lta de cortar la s"perf3c s"perf3cie ie de "n cono de re$ol"ción por "n plano o!lic"o & )"e corta todas s"s eneratriceseom1trico de los p"ntos del plano tales )"e la s"ma Definición !( "na elipse es el l"ar eom1trico focos es es constante- Sea F && F' dos dos p"ntos de las distancias a dos p"ntos fi5os llamados focos del plano & sea d "na "na constante ma&or )"e la distancia 778- 6n p"nto M pertenece pertenece a la elipse de focos 7 & 78 si( donde
es el el semie5e ma&or de de la elipse-
Definición "( en "n sistema de coordenadas ortonormales, "na elipse es el con5"nto de p"ntos definidos por la ec"ación ec"ación((
a!scisas,, b donde a 0 / & b 0 / son los semie5es de la elipse % a corresponde al e5e de las a!scisas al e5e de las ordenadas'ordenadas'- El orien O es la mitad del semento 9778:- La distancia entre los focos 778 se llama distancia focal & $ale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad & excentricidad & a el semie5e ma&or -
Ec#ación de #na elipse La ec#ación de #na elipse cen$rada en en coordenadas car$esianas es si%ple%en$e&
En coordenadas coordenadas polares polares "na "na elipse $iene definida por la ec"ación(
; finalmente, en ec"aciones param1tricas las expresiones son(
con
, & donde el #n"lo < se p"ede interpretar como el #n"lo polar-
Propiedades Tangente a la elipse
La recta tanente a la elipse centrada en %*, =' en el p"nto M % X X >,Y >' tiene como ec"ación( Otras propiedades
excentricidad de "na elipse es ' ( c)a- ?E ME@OR 6E > La excentricidad El #rea interior a de la elipse es a! La circ"nferencia circ"nferencia es "na elipse en la )"e a !En mec#nica celeste, celeste, "n c"erpo sometido a la atracción ra$itatoria ra$itatoria de otro & )"e ira a ór!ita el3ptica el3ptica- 6no de los focos de la elipse coincide con el s" alrededor, descri!e "na ór!ita c"erpo atractor- La excentricidad de la tra&ectoria depende de las condiciones inicialesla form"la para el lado recto es D!DFa
Propiedades Propiedad es no$a*les
Las propiedades de la elipse como *erramienta para la anamorfosis
Las propiedades de la elipse como *erramienta para la anamorfosis Se4n se explicó precedentemente, la elipse posee "n Ge5e ma&or trao AB & "n Ge5e menor trao CJK la mitad de cada "no de esos e5es reci!e el nom!re de Gsemie5e, de tal manera )"e se los denomina Gsemie5e ma&or & Gsemie5e menor, respecti$amenteSo!re el Ge5e ma&or existen dos p"ntos & )"e se llaman GfocosEl p"nto
p"ede estar "!icado en c"al)"ier l"ar del per3metro de la Gelipse-
La lonit"d desde al p"nto s"mada a la lonit"d desde a ese mismo p"nto , es "na cantidad constante )"e siempre ser# i"al a la lonit"d del Ge5e ma&or trao ABA las rectas correspondiente correspondientess a los traos Los dos Gfocos e)"idistan del centro -
&
, se las llama Gradios $ectores-
El #rea de #rea de la elipse es(
El c#lc"lo del per3metro del per3metro de de "na elipse por el contrario no tiene "na expresión sencilla & re)"iere del c#lc"lo de interales el3pticas de se"nda especieespecie-
Elipse( Es el l"ar eom1trico de los p"ntos del plano c"&a s"ma de distancias a dos p"ntos fi5os es constanteconstante- Estos dos p"ntos fi5os se llaman focos de la elipse-
Ec#ación anal+$ica de la elipse ( para simplificar la explicación explicación "!i)"emos "!i)"emos a los focos so!re el e5e de las x, sit"ados en los p"ntos 7 %c,/' & 78 % c,/'- To Tomemos memos "n p"nto c"al)"iera P de la elipse c"&as coordenadas son % xx, y'- En el caso de la elipse la s"ma de las distancias entre P7 & P78 es i"al al do!le del radio r adio so!re el e5e x- Entonces( P7 2 P78 Da- Aplicando Aplicando Pit# Pit#oras oras tenemos )"e( Ele$amos al c"adrado am!os miem!ros para sacar las ra3ces & desarrollamos los c"adrados %$er %$er operación operación'' )"eda finalmente(
Si la elipse est"$iese centrada en "n p"nto c"al)"iera %p, )' la ec"ación de!er3a de ser(
Si desarrollamos los c"adrados o!tendremos )"e( !D xD 2 aD yD D x p!D D y)aD 2 pD !D 2 )DaD aD !D / Si *acemos( A !D B aD C Dp!D D
J D E pD !D)a 2 )DaD aD !D /, donde podemos compro!ar )"e es tendremos la ec"ación( A xD 2 B yD 2 C x 2 J y 2 E /, i"al )"e la de la circ"nferencia excepto )"e los t1rminos A & B no tienen por)"1 ser i"alesE5emplo( Si tenemos la ec"ación xD 2 N yD 2 D x y 2 > / Entonces tenemos )"e( A ⇒ !D ⇒ ! DK B N ⇒ N aD ⇒ a Los radios de la elipse son( so!re el e5e x a K so!re el e5e y ! D- Hallemos en centro %p, )'C D ⇒ D Dp!D ⇒ p
J Q ⇒ Q D)aD ⇒ ) El centro es, entonces, %p, )' % , '- Para $erificar )"e se trate de "na elipse calc"lemos E )"e de!e tener el $alor de >- E p D !D 2 )DaD aD !D >
La ec"ación de la elipse )"eda(
LA ELIPSE2 LA ELIPSE Definiciones: i. i. Se Sean an F y F’ do doss pun punto toss d dee u un np pla lano no (F .S See d def efin inee llaa E ELI LIPS PSE Ed dee ffoc ocos os F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > !. ii. Las ii. Las rectas" La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatri# del segmento se llaman E$ES %E SI&E')* %E L* ELIPSE. iii. El iii. El punto de intersecci+n , de los dos ee-es -es de simetra/ se llama 0E1', %E L* ELIPSE. Los puntos *’/ */ y ’ se llaman 3E'I0ES %E L* ELIPSE. Si el segmento es mayor que el segmento / am4os segmentos se llaman respecti5amente E$E &*6, &*6, y E$E &E1, de la elipse.
fig. 6.2.1.
Observaciones: i. i. %e %e 7ec7o/ cualquier par de puntos del plano pueden ser5ir como focos de una elipse. Por simplicidad/ solo se considerar8n inicialmente aquellos casos en los cuales los focos est8n en el mismo e-e (e-e 9/ e-e y! y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. :.2.2.!. ii. ii. 1+tese tam4ién que como / se sigue que (teorema de Pit8goras!.
fig. 6.2.2. 6.2.1. Ecuaciones Analíticas de la Elise !aso 1. Elises con focos. "#$%c& '( ) "$c& '( * c + ' E-e mayor" Longitud 2a (2a > ! E-e menor" Longitud 24 (24 > ! ,EO-EA: La ecuaci+n de la elipse con focos en los puntos F’(;c/ ! y F(c/ !/ e-e mayor 2a/ y e-e menor 24/ (fig. :.2. ! ,EO-EA: La ecuaci+n de la elipse con focos en los puntos F’(/ ;c! y F(/ c!/ e-e mayor 2a/ y/ e-e menor 24 (fig. :.2.?.!/ 5iene dada por" (2!
Deostracin: Es similar a la anterior anterior// se de-a por lo tanto como e-ercicio. 3O,A: 1+tese que si en las ecuaciones e cuaciones (=! y (2! de la elipse/ se 7ace a @ 4/ las ecuaciones se transforman en la ecuaci+n de una circunferencia de centro en el origen y radio a. !aso /. $!aso 4eneral(. Si en 5e# de considerar el centro de la elipse en el punto (/ !/ como se 7i#o en los dos casos anteriores/ se considera el las punto 0 (7/ A!/ de la ecuaci ecuaci+n +n de la elipse correspondiente/ se transforma utili#ando e cuaciones ecuaciones traslaci+n (secci+n :.=.2.! en" ( 4/ el e-e focal es paralelo al e-e 9. (so4re la recta y @ A! Si 4 > a/ el e-e focal es paralelo al e-e y. (so4re la recta 9 @ 7!
fig. 6.2.5. 2
2
2
%a' %x*' %&=' a2 B 42
(4) %x*' 2
!
2
B %&=' a2
Observaciones: i. i. La La ecuaci+n ( 4/ la ecuaci+n ( a/ la ecuaci+n ( /-/> /-//D /-//>
.:::: .?:2 .2M' W1rtice en %N,' & focos en %,' & %,' W1rtices en %D,' & %,', & medida del e5e menor( "nidades7ocos en %,/' & %,/' & e5e menor de >/ "nidades de lonit"d /. En /. En cada uno de los e-ercicios siguientes encuentre el centro/ los focos y los 5értices de cada elipse. 'r 'race ace la gr8fica correspondiente.
>' D' '
'
Q'
'
'
'
N' >>' x %Qx >/' 2 & %N& Q' >-
>/'
0. La 0. La e9centricidad e de una elipse se define" e @ cVa donde c y a son los nmeros dados en las ecuaciones de la elipse. Escri4a un p8rrafo 4re5e acerca de la forma general de cada una de las siguientes elipses. $ustifique sus conclusiones. a. e cercana a . 4. @ =.C c. ee @
Q- Jetermina el centro, los semie5es, semie5es, los $1rtices, los focos, los Lados Lados Rectos & las excentricidadess de las elipses si"ientes( excentricidade a' xD 2 &D x D / !' DQxD 2 N&D >/x >D& DD/ / c' xD 2 &D >Dx 2 D& / - Enc"entra la ec"ación de la elipse c"&o centro est# en %/,/' & )"e pasa por los p"ntos %Q,>' & %>,D'- Xraficar las si"ientes elipses a' DxD 2 &D !' N%x 2 D'D 2 %& >'D /-
73I=E-SIDAD AL;E-, EI3S,EI3 A,EA,I!A I EE-!I!IOS SO;-E IPE-;OLA $2'12( 1. Para 1. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan repre sentan 7ipér4oles/ se pide di4u-arlas/ determinando adem8s los 5értices/ los focos y las ecuaciones de las asntotas. a. =:92 J 2Cy2 @ = 4. 92 J ?y2 @ m- & c"&o e5e menor mide >D m !' Encontrar el #rea )"e encierra "na elipse c"& c"&aa ec"ación eneral eneral es D D x 2 Q& 2 Dx /& 2 / - 6na pista de atletismo tiene forma de elipse de >// m de laro & Q/ m, de anc*oY"1 anc*o tiene a D/ metros del extremo en el semie5e ma&orZ - 6na persona se sit4a en "n foco de "na aler3a de s"s"rros a m- de la pared m#s cercana & otra persona est# en el otro foco a >// m- de distancia- YC"#l es la lonit"d [l\ de la aler3aZ Y"1 alt"ra tiene el tec*o en el centroZ Q- En al4n l"ar se prod"5o "na explosión- La explosión se reistró r eistró mediante dos micrófonos M & @ separados "n =ilómetro entre si- C"ando el micrófono @ reci!ió el sonido, el micrófono M &a lo *a!3a reci!ido dos se"ndos antes- YEn dónde se prod"5o la explosiónZ Considerar la $elocidad del sonido en el aire como / mFs - Hallar el #rea del c3rc"lo encerrado por la circ"nferencia c"&o centro coincide con el centro de la *ip1r!ola determinada por la ec"ación eneral NxD &D >x 2 >& >> / & s" radio e)"i$ale a la lonit"d del e5e trans$erso de esa *ip1r!olaEn el SIS'E&* %E 1*3EQ*0IT1 %E L*Q, *L0*10E (L,*1/ por sus siglas en inglés!/ una estaci+n principal de radio y una estaci+n secundaria emiten seales que pueden ser reci4idas por un 4arco en el mar (5e (5err fig.=! *unque un 4arco reci4e siempre laslodos seales/ por lodiferencia regular seen7alla m8s cerca que de una de laslas dos estaciones y/ por tanto/ 7ay cierta las distancias recorren dos seales/ lo cual se traduce en una pequea diferencia de tiempo entre las seales registradas. &ientras la diferencia de tiempo permane#ca constante/ la diferencia de las dos distancias tam4ién ser8 constante. Si el 4arco sigue una ruta que mantenga fi-a la diferencia de tiempo/ seguir8 la trayectoria de una 7ipér4ola cuyos focos est8n locali#ados en las posiciones de las dos estaciones de radio.
fig.= *s que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria 7iper4+lica diferente/ cada una lle5ando al 4arco a una posici+n distinta en la costa. Las cartas de na5egaci+n muestran las diferentes rutas 7iper4+licas correspondientes a diferencias de tiempo distintas. %os estaciones L,*1 est8n separadas 2C millas a lo largo de una costa recta. a( a( Nn Nn 4arco registra una diferencia de tiempo de .M: seg. entre las seales L,*1. Esta4le#ca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el 4arco alcan#ar8 la costa si contina so4re la trayectoria de la 7ipér4ola correspondiente a esta diferencia de tiempo.
de!eprincipal, entrar a Y)"1 "n p"erto localiado entre de!e las dos estaciones a DQ millas *4 Si ella!arco desde estación diferencia de tiempo o!ser$arZ-
c4 Si el !arco est# a / millas de la costa c"ando se o!tiene la diferencia de tiempo deseada, Yc"#l es s" "!icación exactaZ %@ota( la $elocidad de cada se]al de radio es de >-/// millasFse-'a. Se p"ede esta!lecer "n sistema de coordenadas coordenadas rectan"lares de tal fforma orma )"e las dos estaciones est1n so!re el e5e x & el orien de coordenadas en la mitad del camino entre ellas %Wer fi-D'-
fi- D 0omo la diferencia de tiempo constante de las seales desde cada estaci+n implica una diferencia constante en la distancia del 4arco a cada una de las estaciones/ se deduce entonces que el 4arco est8 locali#ado so4re una 7ipér4ola cuyos focos son las estaciones e radio. *7ora/ '$ '*$ = V."$ ('$ ' m!.*)= 1/6$000 x 0$000/6 = 160 ma*$ Esto indique que 2a = 160 (recordar la definici+n de la 7ipér4ola! y de aqu a = /0/ V 1(/0, 0). lo que indica defocos los 5értices 7ipér4ola est8 en deduce el puntoentonces *7ora/ como que uno uno de los est8 ende el la punto que el F(125, 0) se 4arco siguiendo la trayectoria 7iper4+lica alcan#ar8 la costa a 125 – /0 = 45 millas millas
de la estaci+n principal. b. Si b. Si el 4arco desea entrar e ntrar so4re la costa a 2C millas de la estaci+n principal/ esto indica que de4e seguir una trayectoria 7iper4+lica cuyo 5értice es el punto V(100, 0). *si que 2a = 200 (diferencia constante entre las distancias del 4arco a cada estaci+n!. %e esta forma"
.
c. Para encontrar la u4icaci+n e9acta del 4arco/ se necesita determinar la ecuaci+n de la 7ipér4ola cuyo 5értice es V(100, 0) y uno de sus focos es F(125, 0). *si que a = 100/ " = 125 . 0on lo cual/ b2 = " 2 – a2 = 5625$ %e esta forma/ la ecuaci+n de la 7ipér4ola 5iene dada por" 0omo el 4arco est8 a M millas so4re la costa/ quiere decir que est8 en el punto
(x, /0) so4re
la 7ipér4ola. En consecuencia/
anto/ x = 146. Por lo ttanto/ punto P(146, /0).
/ de donde
la u u4icaci+n 4icaci+n e9acta del 4arco es sso4re o4re la 7ipér4ola en el
>.% %os estaciones L,*1 est8n separadas 2 millas a lo largo de una costa >.% %os recta" a. Nn 4arco registra una diferencia de tiempo de . &DF> > c' Q&D &D >/ D- Enc"entra el centro, los $1rtices, la excentricidad & el lat"s rect"m de las si"ientes *ip1r!olas( a' xD N/&D / !' >D&D >QxD >/ D
D
c' x & - Enc"entra la ec"ación de la *ip1r!ola de focos %Q,/'K %Q,/' & de $1rtices %,/'K %,/'- Enc"entra la ec"ación de la *ip1r!ola de e5e real & focos %,/', %,/'Q- Enc"entra la ec"ación de la *ip1r!ola de e5e imainario > & focos %/,' & %/,'- Enc"entra la ec"ación de la *ip1r!ola de centro en el orien, "n foco en %,/' & "n $1rtice en %,/'- Jetermina la ec"ación de la *ip1r!ola con5"ada de xD N&D - Jeterminar la ec"ación de la *ip1r!ola de centro en el orien, e5e real so!re el e5e de coordenadas &, &, lonit"d del lat"s rect"m & distancia entre los focos i"al a D-
N- Jeterminar la ec"ación de la *ip1r!ola de centro en el orien, "n $1rtice en %Q,/' & ec"ación de "na as3ntota x Q& />/- Enc"entra las coordenadas del centro, los focos, los $1rtices & las ec"aciones de las as3ntotas de la *ip1r!ola xD &D 2 x 2 >& > />>- i' Y"1 l"ar eom1trico en el plano representan las si"ientes ec"acionesZ a' !' ii' Y"1 l"ar eom1trico en el plano representa la si"iente ec"aciónZ
Xraf3)"ela Y"1 sentido tienen los n4meros N & en s" r#ficaZ >D- YC"#les son las ec"aciones de las elipses del si"iente di!"5oZ
>- Analia las si"ientes par#!olas & extrae al"na concl"sión-
LAS SECCIO@ES C_@ICAS >- Jetermina el tipo de cónicas representado por las si"ientes ec"aciones & escri!e la forma ordinaria de cada "na( a' &%& 2 ' x > !' xD 2 x 2 %& ' / c' NxD 2 DQ&D Qx >//& d' >xD 2 N&D x 2 >& > / D- Enc"entra el $alor de la excentricidad & la clase de cónica representada por cada "na de las si"ientes ec"aciones( a' xD &D 2 Dx > / D
D
!' DxD 2 && D& 2D2> / / d' Nx D&
D
D
c' x 2 N& x >& D
73I=E-SIDAD AL;E-, EI3S,EI3 A,EA,I!A I EE-!I!IOS SO;-E ELIPSE $2'12( Elipse:: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cua suma de Elipse distancias a dos puntos !i"os es constante# Estos dos puntos !i"os se llaman !ocos de la elipse#
Ecuaciones Analíticas de la Elise !aso 1. Elises con focos. "#$%c& '( ) "$c& '( * c + ' E-e mayor" Longitud 2a (2a > ! E-e menor" Longitud 24 (24 > ! ,EO-EA: La ecuaci+n de la elipse con focos en los puntos F’(;c/ ! y F(c/ !/ e-e mayor 2a/ y e-e menor 24/ (fig. :.2.
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