Elio Giangreco - Teoria E Tecnica Delle Costruzioni - Stati Limite E Cemento Armato - Parte III

Parte terza Il calcolo agli "stati limite" delle sezioniin cementoarmato

Capitolo nono La sicurezzastrutturale

9.1. Cenni storici e presentazione del problema Il concettodi sicurezzae quindi i codici e le norme sulla sicurezzadelle costruzionirimontano probabilmenteai primordi dell'attività stessadel costruire,associandosi automaticamentealla responsabilità,in casodi crolli e l'idea della danni, stessa sictrezza. Sembraaccertatoche tale problema fosse molto sentito dagli antichi babilonesiai quali è attribuito quello che si può ritenereil primo codicein materia,il codice Hammurabi degli anni 2100 a.C. il quale prevedevala condannaa morte del costruttorenel casodi decessodegli abitanti a causa del crollo del manufatto. È inoltre ben noto che i Romani avevanodelle normemolto preciseper le costruzionimilitari. I primi studi a caratterescientificosulla resistenzadei materiali e delle strutturesono dovuti a Galileo (1638), che esaminòsperimentalmentee teoricamente la resistenzaa rottura di travi in casodi trazione o flessione. Nel secolodiciottesimofurono sviluppatericerchesulla resistenzaa rottura di archiin muratura (Coulomb 1773),ma solo nel diciannovesimosecolofu studiatoa fondo il problema base della sicurezzadelle strutture, e cioè quellodellaresistenzadel materiale.Venneroinfatti formulati i piir importanti criteri, a tutt'oggi usati, intesi a caratterizzarelo statodi crisi puntuale delmateriale.Vanno ricordati anzitutto i criteri cheimpongonodellelimitazioni solo allo stato di tensione,quali ad esempio: -

-

criterio delle massimetensioni principali: la crisi del materiale,intesa come snervamentoo rottura, è attribuita al massimovalore assoluto delletensioniprincipali(Lamé, 1833;Rankine,1875); criteriodell'attrito interno: la crisi è dovutaal superamentodi un valore limite, funzione del rapporto fra tensionetangenzialee normale(Coulomb, 1776;Mohr, 1882);

258

Teoria e fecnica delle costruzton!

-

I

criterio dera massimatensionetangenziale: la crisi è attribuita ar varore massimodella tensionetangenziale ff..r.", flij;ì. Venanr,lg72). Con lo studio deì comportamento elasticodei materiali il concetto di resÌsrenza punruale*.r. a quello Ji ,r*rr.l*" del materiale, dando luogo ad esempioai :.^r^l^:g1r:. seguentiben noti crite;i ;;-s;curezzapuntuale: -

-

criterio della massima, dilatazione:la crisi è dovuta all,allungamento puntuate massimosubito dat _"r*i"i" ìpo;;;;;i, ,rrr, Grashof, criterio dell,energiadi -deformazione;la crisi è dovuta ad eccessodi energiaetasticaassorbita. dat.m^ateriaie te.rii"Àill's85); crireriodelt'energia elastica.dif".rn",:;bi:;ji;;;,0, energiadi de_ rormazione dovutaa u1,,_u:i:l:

di f;;;;;;";iiih" e ..rpon.uul. dellacrisi(Huber,1904; V. Mises, ìSjl, ù"".k" iilq.

Dai criteri di crisi richiamati e dallo sviluppo della teoria dell,elasticità ebbe origine il concetrodi

,".".*, lnl'.l"lJií:L*lf ,:,#:il: l:iilffiliJiJ',::a 3:il**j,1fifi

Al successivo approfondimento.d€llo studio del comportamentodei ma_ teriali ortreil rimite elastico.e,cioè del;;;;;;ìt":iico del materiale fino alla rottura, è dovuta la ,

za,cheviene"Jil;til;;;:ffiil::TiJ:l:,'i$,""T:i:H:,,.;1f TT; mareriare, maneiriiuardid.ii;;il;-; pTrte

l,:ilnT.."

o ael,tntera

Le prime formulazionisul vensonofatterisatirea Kirsr(19t7).e ^calcoloa rottura di struttureiperstatiche " i";;;;; ù;ó;" sotodopora seconda guerramondialesi ebbeil pi.n" ,;i;;;; ;ì;';íirilr,"r" der: il primo restoorsanicosull,argom#o i l"r"riio" ,^"no l94g

prima ra= "s.r;;;;;;;; ÍTí"*1"ÌlTllirnentre

;;J"1u'n"re4e(Bri-

La successiva evoluzionedel concetto_ di sicurezzaè dovuta all,affermar_ si di una visionepiù realisricaeprecisa del -;0";;;;;;delra struttura, chesi basasuun'analisi

sratisric;o"i *.i.rri Jà'.'rrr;;#;; delmareriare, ""u valu.tazione probabitistica d.l s.ud;;-;ì; ;;;;;, ;;"struuura: :,,:l grungecosialla visionepiù moderna si a.l _*"tt. aì'ri"".i,iiru "n"viene ad essere direttamente colegato"on tap.ooauiiiia;iÀìla;; a1,,"struttura,o quantomenodellasualuoriuscita diservizio. i.,.*. ràrfii statistiche sui

La sícurezzaslruttufale

259

carichiagenti sulle strutture e sulla resistenzadei materiali sono dovute a Levi (1950)e Freudenthal(1956).L'approccio semi-probabilisticofu introdotto da Vr'ierzbicki(1946),mentrei primi studi di tipo probabilistico,intesi a valutare la probabilità di collassodella struttura, sono dovuti a Levi (1953),Torroya (1959),Freudenthal(1960). i Da quanto detto si può asserirecheallo stato attualedelleconoscenze, principidellasicurezzastrutturalepossanofondarsisutre diverseconcezioni: - il criterio delle tensioni ammissibili; - il metodo della verifica a rottura; - il procedimentosemiprobabilisticoagli stati-limite. Il primo criterio prestail fianco a numerosecritiche fra le quali la più importanteè quelladi limitare la verifica a puntetensionalicheinsorgonoin determinatefibre di determinatesezionimaggiormentesollecitate,restando al di sotto dei valori ammissibiliconvenlargamenteed antieconomicamente zionalila maggiorparte delle sezionidella struttura. Inoltre non può venir chiaramenteevidenziataI'influenza di coazioni impresse,soprattutto al di fuori del campoelastico.Per quanto riguarda poi I'esamedel solo comportamentoin serviziodelle strutture, non semprepuramenteelastico,è chiaro cheil metodonon garantiscenemmenoil proporzionamentopiù conveniente nei riguardi della sicurezzaa rottura. Questeconsiderazionicontribuisconoa ribadire cheil metodo delletensioni ammissibilinon può costituire I'unico fondamento di una moderna normativa,pur dovendosiriconoscereche, per taluni aspettidel comportasenon altro per la mentodellestrutture,essosi presentaancorainteressante, metodi di verifica mediante la teoria degli stati limite. mancanzadi adeguati Per quanto riguarda la verifica a roîtura il procedimentodisponibileè quello del che corrispondead una situazionestatica ben definita, e che consenteeffettivamentedi conseguireun dimensionamento efficaceai fini della resistenza.Anche a tale metodo possonoperaltro muoversialcunecritiche fra le quali la piir importante è che, preoccupandosi a rottura, non si è automaticamentegarantiti per un della sola siclurezza soddisfacente comportamentoin condizioni di esercizio. Ad ambeduegli anzidettiprocedimentiva poi addebitatodi non tenere in alcunconto il caratterealeatoriodellediversegrandezzein gioco, quali le azioniesternee le caratteristichedei materialida cui dipendeessenzialmente il comportamentodella struttura. Inoltre, operandosiin ambeduei casi con ampi fattori di sicurezza,si

260 Teorío e tecnico delle costruzíotu

lascia ai vari responsabilidel processocostruttivo la sensazionedi poter disporreciascunoa proprio vantaggiodi un largo margine. Sulla basedelle considerazionifatte va riconosciutoche una corretta impostazionedel problemadellasicurezzadevetenerpresentetutti gli aspetti del comportamentodella costruzionee per ciascunodi essiprevedereun metodo di verifica che prenda in conto tutti gli elementidi incerfezza. La prima esigenzapuò veniresoddisfattaattraversouna opportunadefinizione e classificazionedegli stati limite, ovvero di quelle situazioni che corrispondono a soglie di funzionalità della costruzione;e su questo si ritornerà nel paragrafo che segue. questione può venirrisoltaimpostandola verifica,per quanLa seconda to possibile,su metodi probabilistici, e cioè attraversoil controllo della probabilità che vengaraggiuntouno stato limite in relazione,ad esempio, alle effettive resistenzedei materiali impiegati rispetto ai valori assuntiin sededi progetto ed all'intensità dei carichi e delle deformazioni impresse prevedibili.Nella pratica tecnicatale criterio risulta inapplistatisticamente cabile per la mancanzadi dati statistici ad es. sulle variabili menzionatee quindiper I'impossibilità di esprimere tuttele incertezze in valoridi probabi, lità. Si adottaperciòuna soluzionedi compromesso con la qualesi rinunzia a calcolareuna probabilità di raggiungimentodi uno stato limite, ma si opera ricoprendo una parte delle incertezzecon dei coefficienti forfettari, ovvero, praticamente,introducendodelle grandezze significativedal punto di vista probabilisticoche sono ed sui ouali si torneràal nar. 9.3. 9.2. Definizione e classificazionedegli "stati limite" Gli stati limite sonodellesituazionia partire dalle quali la costruzioneo una delle sueparti cessadi assolverela funzione alla quale era destinata,e per la quale era stataprogettatae costruita.Pertantola sicurezzadovrebbe caratterizzarela probabilità che questi stati non siano superati. Il modo di ragionare in presenzadegli stati limite ed in funzione del probabilismoè il seguente: -

definire i fenomeni che si vogliono evitare, cioè gli stati limite; stimarela gravità dei rischi legati a questi fenomeni; dedurre delle regole da seguireaffinché la probabilità di ognuno di questi fenomeni sia dportata ad un valore molto basso, per essere accettatain funzione della stima del rischio.

LQ sicurczzo slrutlLtrule 261

Ladefinizionedeitènomenidaevitarecompoltaunasuddivisionefra comportala rovinaimmediatacon un statilimiteultimi, il cui superamento limite di esercizio'il cui ,ir.t io .f.uu,o di perditedi vite umane,e gli stati la fuoriuscitadi serviziodi elementidellacostruzio;;;;;;;;.".iorta con possibilità pubblica'e spesso ".?tr^ ."*o-Àissione dell'incolumità di -' ^riutilizzodi certeparti della struttura' la strutturafornisca eiuiproporito è ài notevoleimportanzail fatto che imminente'comepure che o menoindicazioniclrcaun suo st;to di crollo god"t" di una certa ridistribuzionedelle sollecitazioni ;;;t;;;;;;o nel grado di rischioaccettabile' interne. '--'-p.i,uito Questocomporlauna differenza sr possono usualmente gli stati limite chedevonoconsiderarsi alle due categorle: ascrivere al valoreestremodellacapacitàporl) statilimite ultìmi, corrispondenti tante; di impiegonormalee di z) sluJìl-ite di esercizio,legati alle esigenze durata. ìe sonoad esernpio Le causechepossonoprodurregli statilimite ultimi seguenti: dellastrutturaconsideraperdìtadi stabilitàdi una parteo dell'insieme ta comecorPorigido; - io,,utu locaiiztaia della struttura per azioni statiche; una sua parte ln un collassoper trasformazionedella strutturao di meccanlsmo; instabilitàPer deformazione; ...... rottura localizzaladella struttl'ua per Iatlca; o scorrimentodi giuntí plastlcao di fluage,lessurazione deformazione checonducanoadunamodificadellageometria,taledarendereneces. ,u.iutusortiturionedellastrutturaodisuepartifondamentalil della la sostituzione o corrosionecherendanonecessaria aagruJutione struttura o di sueparti fondamentali; per effetto di azioni ripetute; collassoincrementale collassoper effetto del fuoco o di esplosionietc'

-

dai seGli stati limite di eserciziopossonoessereinvececaratlerizzati guenti fenomenl: -

normaledella struttura; per una utilizzazione deformazionieccessive

262 Teoia e tecnica delle costtuzioni

tessurazrone prematurao eccessiva; degradazioneo corrosione; spostamentieccessivisenzaperdita dell'equilibrio: vibrazioni eccessive etc. Il raggiungimentodi uno statorimite può essereprovocatodall'intervento concomitantedi vari fattori di caratterealeatorio quali quelli anzidetti, relativi alla valutazionede|a resistenzadei materiari;delle azioni esterne. L'obiettivo delle verifiche di sicurezzaè di mantenerela probabilità di raggiungimentodello stato limiter consideratoentro il valore prestabilitoin relazione al tipo di costruziole preso in esame,alla sua influenza sulla incolumità delle personeed alla previstadurata ài esercizio 9.3. Le verifiche di sicurezza: i valori caratteristici ed i valori di calcolo Per poter effettuare,sulla basedi quanto esposto,le verifiche agli stati limite ultimi ed agli stati limite di esercizio,occorrepartire dalle ipotesi di carico, e cioè conoscerepreventivamentele azioni'-F-da considerarenene

'

I pdncipali criteri in baseai quali si può sceglieretareprobabilitàsono di diversanatura: cÍiteri economici,essenziali quandosi rratta ad es.di valutareI'impossibilitàdi riutiliz_ zo dellacostruzioneper un certoperiodo,ma non esclusiviquandoia sceltadel livello di sicurezzapuò metterein giocodellevite u-ane. Da essiscaiuiiscelinozone rmportan_ te.di di progetto di una costruzione; criteri -analogici,chepossonoconsentirela sceltadel grado di sicurezzaparagonandolo ai.riqultatiosservati.e alle regoleammesse in altri cimpi a.ifìi"g.e;.riu; cnrtn gtundtct.chectevono cercare di adeguarsi semprepiù allaconcezione probabilisti_ ca, svincolandosidalla forte carica deterministicadi iui oggi risentono ie leggi e le sentenze,e tenendopresenteche il limite tra erroreed approis-imazione non puó ess"re netto e I'efiore ed il casointervengonospessosimultaneàmente in quasitutti gìi inciden_ criteri morali, il cui apportoè ess€nziale in quelledecisionichepossonomettereln gioco vlte umane.

Sonoquestii principisui quali si inseriscono tuLtii tentalivipiit moderntdi normarivaa ,.vrllo lnternaztonale e.suiquali si ritienelogicobasareancheil regolamenro italiano. iqt ogni causadi insiemedi cause(carichipermanenri, carichi ..^_,Ìl,ilo',.u":or..,.aaone vanaorl' oerormazlonr rmpresse, etc.)capacidi indurfestati limite in una srruttura.

Lq sícurezzastrutturale 263

verifiche,al fine di determinarele sollecitazioni'S nei vari stati limite' Tali azionipossonocosìclassificarsi: -

azioni dirette (forze), suddivisein carichi permanenti(pesoproprio ed altri carichi fissi) e carichi variabili (carichi di esercizio,vento, sisma,

-

azioni indirette (deformazioniimpresse)quali ad es' variazioni termi che, ritiro, presollecitazioni,etc.; azioni di caratterechimico-fisicodovule ad agentiatmosferici,fenomeni aggressivi,etc.

-

L'adozione del metodo semiprobabilisticoprevede,tanto per le azioni quanto per le resistenze,che: -

-

venganointrodotti i cosiddettivalori caratteristici,owero le resistenze caratteristicheRo e le azioni caratteristiche-Fr; venganotrasformati tali valori caratteristicimedianteopportuni coeffiRe in le resistenze cienti "r- e "y,in valori di calcolo, e più precisamente R" resistenzedi calcolo no: - , e le azioni F* in azioni di calcolo Fo=y.Fp| venganoconfrontati fra di loro i ,verificandochele sollecitazionidi calcolo non superinoquelle compatibili con lo stato limite considerato.

Per quanto riguardale dimensionigeometriche,i moduli elastici(E e G) dei mateiiali ed i coefficienti di dilatazione,essipossonoessereconsiderati su basedeterminicomeparametri da valutare, in prima approssimazione, stica. Vieneinoltre definito t,,^ e quindi F ) llti, I'armatura tesa si momentospecifico1.t1,^. trova, nellecondizionidi rottura, ancorain campoelastico;per tale motivo risultageneralmenteconveniente,a partire da tale valore del momentospecifico, aggiungerearmaturain compressionesì da potereutilizzareintegralrnente,l'aimatura tesa disposta.Nella tabella 10.9 sono quindi riportati i valori delleresistenzedi calcolodell'acciaioper le quali si verifica I'ingresso nellaregióne4. È immediatoosservareal riguardo cheal diminuire delleresistenzedi calcolo i corrispondentivalori limiti di {,. e di p/,. aumentano' Si riportano, qui appresso,alcuneindicazionicircaI'impiegodellatabella nelle diversesituazioni: A) Progetto Flessionesemplice con p { p1i^ Noto il momentoesternoe fissatiÓ,ft e o,cpossonodedursidalla tabella 10.9le Dercentualimeccaniche0'259

La rottura avvienedunquenella regione3 per cui, ponendoú = 0,8095, si ottiene:

12,70x 3304 = 18,85cm 0,8095x25x110 cui corrisponde:

302 Teoria e tecnica delle costruzíoni

t = 9) 9/ , J: 0 . 3 2 8 Il momento ultimo si calcolaimponendoÀ = 0,416: M, = 12,70x 3304 x (57,5 - 18,85x 0,416) = 2083706 k* cm Il rapporto fra momento ultimo valutato agli stati limire e momento resistenteè dunque: 20,8 12J:l'64=1'09x1'5 Comesi può facilmenteosservarein questocaso,la verifica a rottura ha determinato,rispettoalla verifica elastica,un incrementodel 9 per centodel momento di esercizio.Questo risultato era certamenteprevedibile:infatti con I'armatura dispostala verifica elasticaè risultata condizionatadalla tensionenel calcestruzzocompressoessendoI'armatura esuberante.La veri_ fica a rottura invece,consentendoun maggioresfruttamentodel calcestruzzo dompresso,ha permessouna migliore tfilizzazionedellaarmaturatesaed in definitiva un maggioreincrementodel momento di esercizio. Si consideri ora la sezionedi fig. 10.14 dotata di armatura anche in compressione. a) La verifica elasticafornisce: x = 20,71cm I' = 333511cmo W" :

t6fiq cm3 - Mn = 85 x 16104= 136884kscm

wr = 604 cm3 - Mt = 2200 x 604 = 1329572rgcm Il momento di esercizioè pertanto: 13,30tm. b) La verifica a rottura va questavolta eseguitatenendoconto dell,armatura in compressione.Una ulteriore incognita è pertanto la tensione dell'atmatura compressa,valore che può comunquedesumersidalle equa_ zioni di compatibilità. Ci si pone nella regione2.

Stqto limite ultimo per tensioni normali 303 t

2'5

2

5

l

t

-T_

î e ' r = l ó 1 6 = 3 x 2 , 0 1 = 5 , O 3c m 2

A ' = 5 6 1 8 = 5 1 2 , 5 4 = 1 2 , 7 Oc m z

2,5

I

I

I Figura 10.14

l" tentativo. Posto g : 0,20 dalla (10.20)si ottiene:

0,20 - 0,043 = l - 0,20

ti = u'ut

o,oo1e6 , #fr=

o,oo157

e quindi or' = o,, Dalla (10.21) si ottiene

''t "

= -

(12,70-6,03)x3304 = 10,93cm 0,7333x 25 x 110

cuicorrisponde: ,93:n,o ', : 1 0s 7 { Poichési può riteneredi aver ottenuto una sufficienteapprossimazione si calcolail momento di rottura con ì, = 0,39091. Si ha così: M, = 1O,93x0,7333 x 25 x 110 x (57,5 - 0,39091x 10,19)+ + 3304 x 6,03 x (57,5 - 2,5) : 2275340ks cm

304 Teoria e tecnicq delle costruzíoni

Il rapportofta M, ed,M, è dunque: .

22,75

=r,5oxr'r4 ",3o=L'71

Si ha dunque un guadagno del 140/orispetto alla verifica alle tensioni ammissibili.

Capitolo undicesimo Stato limite per taglio

11.1.Generalità Lo studio del taglio negli elementiin cementoarmato è ancor oggi ben lontano dal potersi considerareconcluso,nonostanteil fervore di indagini siateorichechesperimentalicondotteal riguardo. Pur essendoinfatti disponibili, allo stato, dati sufficienti a far luce sui meccanismiresistentia taglio, non si è ancora arrivati alla formulazione di metodologiedi progetto in gradodi tenereconto di tutti quei parametrichel'esperienzaha evidenziato. È importanteosservareinfatti chela rottura per taglio è in realtàuna rottura per l'azi.onecombinata di flessionee taglio, e, spesso,sforzo normale e torsione,la cui esattavalutazioneè particolarmentecomplessa.Tale tipo di rottura risulta purtroppo particolarmenteinsidiosa,sia perchéabbassala resistenza degli elementistrutturali al di sotto dellaresistenzaa flessione,sia perchériduce considerevolmente la duttilità degli elementistessi,provocando a volte rotture repentinecon spiccatecaratteristichedi fragilità. A tale riguardo va sottolineato il ruolo determinantedelle armature trasversali(ed in particolare delle staffe) che, opponendosial progredire dellelesioniinclinate, accresconola duttilità degli elementie permettonodi avereun segnopremonitoredi fenomenidi crollo che risulterebbero,altrimenti, repentini e catastrofici. I 1.2. Meccanismi resistenti Il taglio, fin quando l'elementoin cementoarmato non è fessurato,è equilibrato attraversoil sistemadi tensioniprincipali che si sviluppanonel calcestruzzo,e le armature non partecipanopraticamentealla resistenza. Nel momentoin cui la tensioneprincipaledi trazioneraggiungein un punto la resistenzaa trazione del calcestruzzo,si ha la formazione di fessure

306 Teoúa e fecnico delle costruzioni

Corrente comoresso

Correnteteso

Armatura trasversale com0ressa Figuru I1.1

(dispostepressochéortogonalmentealle isostatichedi trazione) con una radicaleridistribuzionedegli sforzi interni, ed il taglio viene trasmesso da una sezioneall'altra attraversovari e complessifenomeni. In presenzadi armature trasversali,per lungo tempo si è accettatoil classicomodelloteoricopropostodel 1902da Riìter-Mcirsch, costituitoda un trallccto ad aste incernieratenei nodi, con correnti paralleli e bielle di conglomeratodi pareteinclinatedi 45"(fig. I I .l). Secondotale metodosi ha per..tuttala trave un unico tipo di lesioni,inclinatea 45. rispetto all,asse dell'elemento,e la forza di taglio esternaviene interamentefronteggiata dall'armatura trasversale: T:

T(A,)

( r1. 1 )

In assenzadi armaturetrasversali,di conseguenza, secondolo schema del traliccio, l'elementonon potrebbesopportarJalcun incrementodi carico al di là di quello di fessurazione. Moltissimericerchesperimentali,nell'esamecritico di tale schematizzazione, hanno invece dimostrato che il reale comportamentodi una trave sottopostaa taglio si discostasensibilmente dal modelloteoricodel traliccio, risultando inoltre le sollecitazioninelle armature trasversalialquanto piìr cont_enute di quelle previstedalla teoria di Ritter-Mórsch. E stato infatti sufficientementeprovato che il taglio esterno ?" viene fronteggiatooltre chedalle armaturetrasversalifunzionanti comeastetese, anchedal rilevanteinterventodi altri meccanismiresistenti.ln particolare:

Ststo limite per taglìo 307

Í

r. l'-'-l

V

Figura 1l.2

a)

un'aliquota 7",del taglio esternovieneportata dalle tensionitangenziali r che si sviluppanonella zona di conglomeratocompresso. Il valore delle r è funzione sia della variazione della lntensità di C (risultantedegli sforzi di compressione),sia della sua inclinazionep rispettoall'assedellatrave(fig. 11.2).Si ha alloraper f una espressione del tipo: T":x"'b'a(o,z)'sen,P

(11.2)

ln cul:

x" = altezzadella zona compressa,funzionedella percentualedi armatura tesa: b : laryhezza della sezione; a(o, 'r) : tensioneideale di rottura del conglomeratoin uno stato tensionalebiassiale; p = angolo formato dalla risultantedi compressione C con I'assedella trave. Questocontributo a taglio offerto dal correntecompressoè statooggetto, di recente,di molti studi sperimentali,che hanno permessodi formulare alcune proposte per la qtantizzazionedelle incognitepresenti nella(11.2).Di essenon si dirà in questasede,volendosilimitarea una descrizionequalitativa del fenomeno. b) Un'altra aliquota 4 del taglio esternovieneportata dalle stessebielledi conglomeratocompressoche si evidenzianotra due lesioni successive. Esseinfatti, risultando in realtà incastratenel correntesuperiorenon

308 Teoriq e tecnica delle costruzionr

/--

Figura 11.3

già incernierate comenell'ipotesidi Ritter-Mórsch,assorbono una parte della forza verticaleche sollecitale armature d'anima. È stato inoltre sperimentalmentedimostrato che I'inclinazione delle bielle è generalmenteinferiore a 45", dipendendodalla percentualedi armaturatrasversalee dal rapporto tra le rigidezzedel correntesuperiore e dell'anima. Poiché alla diminuzione dell'inclinazionedelle bielle corrispondeuna diminuzionedello sforzo di trazionenellestaffe (compensatoperò da un aumento di quello nei ferri longitudinali), resta chiarito come la tensioneeffettiva nell'armatura risulti più bassadel valoreteoricorelativoal traliccio. Un'altra aliquota f del taglio esternoè portata per B'o'cosB

L ó

senB (l 1.3)

N:XB

o.senB 'B

cosÉ

in cui.B rappresental'area di conlatto di ogni dente, che dipende essenzialmente dall'ampiezzadella lesione,dalle dimensioni,forma e resistenzadegli inerti, nonchédalla eventualepresenzadi forze normali alla suoerficiedella lesione.

Srdlo limírc per nglio

309

Figura I1.4

Il taglio portato per ingranamentodegliinerti è un fenomenodi notevole rilevanza,speciein assenzadi armaturetrasversali:sarebbequestoil meccanismoattraversocui si realizzala trasmissionedel taglio nel conglomeratofessuratoper ritiro, per effetto di variazionitermiche,owero nelle zone di ripresa di getto. d) Un'altra aliquota I, del taglio esternovieneportato per (effetto spinotto>, ossiamediantela resistenzaa taglio offerta dalle barre che attraversanouna fessura,quando si verifica uno scorrimentorelativo tra le faccedi quest'ultima(fig. 11.4). La capacitàportante per è funzione di un elevato numero di fattori e, principalmente,della tigidezzadel conglomerato direttamenteal di sotto della barra (dimensionie resistenzaa frazione del conglomerato),nonchédella distanza4 tra la sezioneinteressatae la prima staffa chelegale barre (fig. 11.5).Solitamentel'effetto spinotto isplica un contributo, relativamenteagli altri meccanismi,di piccola entità ed anzi, innescandolesionidi distaccolungo l'armatura longÍtu-

Figura ll.5

310 Teorìae lecnicadelle costruziont

6) Ltrcor..!

.t ti.sc.{Eao

Figura I1.6

e)

dinale, può incrementarel'apertura delle lesioniinclinatee conseguentementeridurre I'effetto portante per ingranamentodegli inerti. Da questopunto di vista, l'armatura longitudinalenon sostenutada staffe ha l'effetto di innescareprematuramentela rottura del correntecompressodi conglomerato. Un'altra aliquota Z" del taglio esternopuò pensarsitrasmessa,in alcuni casi, per (effetto arco> (fig. 11.6a),mediantela formazione,nella trave, di un arco-tirante.Perchétale comportamentosi possasviluppare, sononecessarie sia cospicuealfezzedi travi cheforti armaturelongitudinali, in grado di assorbirela componenteorizzontaledella sollecitazionenell'arco. In realtàquestodell'effetto arco non è un vero e proprio meccanismodi taglio, nel sensoche non trasmetteazioni taglianti dall'una all'altra sezione.La suapresenzariduceperòil contributo deglialtri meccanismi resistenti.L'esistenzadi questo meccanismoè sperimentalmenteevid.eîziafadalla circostanzache, una volta iniziata la fessurazionedell'anima, le tensioni al lembo superioredella trave diventanodi trazione (fig. 11.6b);ciò dipendedalla circostanza chele sezioniprossimeagli appoggirisultano sollecitatea pressionefortementeeccentrica,con zona compressa sul lemboinferioredellatrave.

Alla luce di quanto espostoinnanzi si potrebbeconcludereche il taglio esterno Z risulta assorbito,oltre che dall'armatura trasversale,anchedai meccanismi resistentiprima descritti,per cui alla (11.1)andrebbesostituita una espressione del tipo:

Stato limite per tqglio 3ll

T = T(A,) + (7, + Tb + T" + Td)

(11.4)

in In realtà la (11,4) rappresentasoltanto una utile schematizzazione, somquantoi contributi dei vari termini non sono a rigore semplicemente mabili, essendoessifortementeinfluenzati da numerosiparametri (tipo di carico,forma della sezione,tipo di fessurazioneche si instauranella trave, etc.)checondizionanodirettamentela resistenzaa flessionee taglio dell'elemento strutturale. I I .3. Meccanismi di rotfura I meccanismicon cui si pervienealla crisi dell'elementostrutturalepossonodistinguersiin due tipi fondamentaliin relazionealle diversemodalità di formazionedei quadri fessurativi.Il primo, per taglio, interessageneralmentel'anima e le fessuresi presentanoinclinatesecondola direzioneortogonalealle isostatichedi trazionee creatensioninellearmaturetrasversali.Il dal raggiungisecondo,per flessione-taglio,è determinatoessenzialmente mento al lembo teso della tensionedi rottura a trazione del conglomerato, con form-azionequindi di fessureverticali che possonogradualmenteinclinarsi, per effetto delle tensioni tangenziali. La presenzadell'uno o dell'altro tipo di lesionedipendeevidentemente dalla geometriae dalle caratteristichedella sollecitazionedella sezioneM e L lnfatti il problemadella formazionedellelesioniinclinateè retto dalla z. nell'anima,mentrequello dellefessureverticalidalla tensionedi trazionenel calcestruzzoú",i lali $aîdezze possonoesprimersinel seguentemodo:

î" =

T

b&. xt M

od = -)'x) bn'

( 11 . s ) (11.6)

dove 1, e 1, sono funzione della forma della sezione,della percentuale,di armatura e delle caratteristichedei materiali. PonendoXt = Xz/Xrdalle(11.5),(11.6)si otiiene: o"t

_

Mbo

xtrhb

(11.7)

312 Teoriqe tecnicadelle costruzio t

H

rbol +1---t.F Ítgura I t. /

ier ridotti valori di tale rapporto vi è da attendersila fbrmazione di lesioni inclinate, in quanto è predominanteI'effetto del taglio; per elevati valori è inveceda attendersila formazionedi meccanismicon lesioniverticali. Si evincedunque che il tipo di rottura dipende sia dalla forma della sezione(attraversoarbo/b), che dal valore assuntodal rapporto M/Th, iI qualecommisural'importanza del momentoflettenteall,entità dello sforzo di taglio. Nel caso della sezionerettangolare,in cú bo/b : l, stantela debole dipendenzadi 1, dai materiali e dal quantitativo di armatura, il parametro che reggeil problema è evidentemente M/Th. Tale rapporto è solitamenteintrodotto in presenzadi carichiconcentrati (fig. I1.7) simmetrici rispetto alla mezzeia, che è la disposizioneclassica adottata per le prove di laboratorio, ma può esserein effetti estensibilea condizioni di carico generichecon riferimento ai valori massimidi M e ?' Seppurediscussae criticata da molti Autori, l,import anza del parametro M/Th sultipo di rottura risulta confermataampiamentein sedesperimentale, potendosiindividuare i seguenticampi di funzionamento:

Stqto limíte per taglio 313

M

a)* T,

328 Teoria e tecnìco delle costruzioní

Il diagrammadi f,, è ripottato ancora nella stessafig. l1.l2c. La verifica a taglio-compressione comportainveceil calcolodi 2,,, che _ vale: Ta = 0,30 x 166 x 30 x 67 = 100090fg Poiché risulta 7,, ) To, anchetale verifica risulta infine soddisfatta.

Capitolo dodicesimo Statolimite di torsione

12.1. Generalità L'analisi di elementistrutturali in cementoarmato soggettia torsione, nei due metodi alle tensioni ammissibili ed agli stati limite, non risulta diverso. Infatti nella metodologiaillustrata nel capitolo 6, sostanzialmente qualoravengasuperatoun valoreconvenzionaledella r, si fa riferimentoad un meccanismoresistentea traliccio che è lo stessoadottato anchenella metodologiaagli stati limite. In particolareil modo ricorrentedi studiareil comportamentoa torsione in fasepost-fessurataè quello, già introdotto in precedenza,di riferirsi ad un modello spazialedi struttura a traliccio (fig. 12.1)costituito da elementi longitudinalitesi (ferri longitudinali), da elementitrasversalitesi (staffe)' e da elementicompressidi parete(bielle di calcestruzzo). La differenza sostanzialefra il calcolo alle tensioni ammissibili ed il t.rto

Figuru I2.1

lone'trdrn.L

330 Teoria e Íecnica delle costruzrcnt

I

calcolo agli stati limite è che nel primo caso si ammettono sollecitazioni torcenti senzaprowedere ad un appositocalcolodelle armature; si fa cioè affidamentosullaresistenzaa trazionedel calcestruzzofino a cheIa tensione tangenzialemassima7h4rnon superaun valore ammissibile7"". Nel metodo agli stati rimite si valuta invecedirettamente momentotorcente che l,elemento puÒsopportarein condizioniultime, chedeverisultare maggloredel momento torcentedovuto alle azioni esterne. Deve esserecomunqueosservatoche lo studio della torsione negli ele_ m€nti in cementoarmato presentaancora notevoli zone d,ombra, dovute alla circostanzachela caratteristicatorsionalesi accompagnaquasl semprea fle.ssionee taglio. Il comportamentoa torsione è pirtànto condizionato dall'azioneconcomitantedi flessionee taglio, con nót.uot" complessitàdel problemae con necessitàdi tenereconto ài vari parametri evidenziatidalle prove sperimentali. Per questomotivo alcuneistruzioniconsentonodi trascurareil contribu_ to torsionaledelle membratureresistentinel calcolo dello stato limite ulti_ mo, quando_latorsionerappresenta una sollecitazione secondariae non necessaria all'equilibriodellasrrunura. Nel_seguito,comunque,si farà riferimento al modelrodi traliccio per lo studio di elementifessuratisoggettia sola torsione(torsionepura), in linea con le att.ari indicazionioffertedal c.E.B e recepiteda istruzroni e norme lrairanepru recenti. 12.2. II modello di traliccio Con riferimento al modello di traliccio di tig. 12.1 tutte le esperienze condottehanno dimostratochele fessurenel calce-struzzo rìsultanoinclinate di un angoloa pari all'incircaa 45",e cheessesi sviluppano con andamento a spiralelungola superficiedersolido.E statopuredimostrato chesolouno strato di calcestruzzovicino alle superfici estèrne,e di spessore modesto, contribuiscealfa resistenza,formandosi quasi un distaccà tra tale sezione cava esternacompressaed il nucleo interno di calcestruzzo. In del solidostrutturalepuò essere ._ talefase,dunque,il comportamento utilmenteschematizzatocon il modello di traliccio sparlategia richiamato, postulandoI'ipotesi di armaturalongitudinale.on..ntrutu negli spigoli e di armatura trasversaledistribuita con continuità lungo I,asse dell,elemento. Considerandofessureinclinate, nel caso geneiale, di un angolo a e riprendendoquanto già visto nel capitolo 6 ta'forra ai iìu)ion" T, ug"nt" nell'armaturalongitudinaledi areaA, risulta(fig. 12.2a):

Ststo timite di torsione 331

M,p T,=S"/tg"=

S, = tsp =

M,P +

1 2.4 tc,

0z.r)

= scorrimentocomplessivoin direzioneverticale;

s = spessoredella sezionecava;

DJ

Figura 12.2

p z4 = perimetro ed area del poligono aventeper vertici i baricentri delle armaturelongitudinali. Lo sforzo di trazione nella staffa di arcaA, risulta invece (fie' 12'2b): M'P" T"=Sntgd=-fgd.

Sr=r.s.p"=

U

tale; p = passodelle staffe.

(r2.2)

= scordmento nel tratto p" in direzione orizzon-

332 Teoris e tecnica delle costruzioni

Fìgura 12.3

Si osservichenellavalutazionedi 4 e 4 non intervienelo spessore s; tale spessoreintervieneinvecenel calcolo dello sforzo C nella diagonalecom_ pressa;infatti, con riferimento alla fig. 12.3,sesi indica con dpla distanza, misurata in verticale,fra due successive lesioni che delimitano la generica diagonalecompressa,si ha: C=o"sdpsenacosa=rsdp

(12.3)

essendos dp coso l'area della sezionetrasversaledella diagonale,e o. senc la componenteverticaledella tensionenormale, In definiiiva si ha: "

M,

r

1 2,4s sen a cos q

sen a cos d

(r2.4)

Per quanto concernec[, a meno di valutazioni sperimentaliaccutate, generalmentepuò porsi pari a 45", per cui le (12.1), (12.2),(12.4)forniscono: M,p

"- u '

2

M. o. A

(12.5) (r2.6)

M

"

2As

(12.7)

Stqto limíte di torsione 333

Anche la valutazionedi s devebasarsi,poi, su considerazionisperimentali, essendodimostratochela presenzadi tensionidi trazionenel calcestruzzo oltre una certa profondità dipendedalla geometriadella sezionee dalla percentuale di armatura presenti.Ciò vale ancheper elementistrutturali a arbitrario, in generale,far coincicava,per cui risulta assolutamente sezione quello della sezioneeffettiva. derelo spessoredel tubo resistentecon si può assumereuno spessore In ogni caso,in prima approssimazione, pari ad l/6 del diametro del cerchiomassimoinscritto nel poligono avente pervertici i baricentri dellearmaturelongitudinali. Talvolta, in modo ancora piÌr semplice,si considerail doppio del copriferro dei ferri longitudinali. 12.3. Gli stati limite a torsione: le formule di calcolo Le formule di calcoloattualmenteproposteda varie istruzioni e normative derivanodall'ipotesi di comportamentoa traliccio dell'elementostrutturale,così come definito in precedenza. Nella logica degli stati limite, e in analogia a quanto già visto per il ricontaglio, la verifica della sicrrezzastrutturaleviene conseguentemente dotta alla verifica di quattro stati ultimi, e precisamente: 1) 2) 3) 4)

rottura per trazione delle armaturelongitudinali; rottura per trazione delle staffe; rottura per compressionedelle bielle di conglomerato; cedimentidi ancoraggio di nodi dell'elementostrutturale.

Al solito, la verifica dei primi tre stati limite coprei rischi inerentiai tipi mentrealtri tipi di evidenziatidall'esperienza, di rottura piir frequentemente particolari di I'adozione ed idoneedisposirotturavengonoscongiuraticon zioni costruttive. La misura della sicurezzava effettuata, inoltre, attraversola relazione M,a 1 M,u

(12.8)

doveM,o è la sollecitazionetorsionale di progetto prodotta dalle azioni applicate,e M,, la corrispondenteresistenzaultima a torsioneofferta dalla trave. In praticasi distinguonotre valori del momentotorcenteultimo M,,, con dferimentoalle tre diversemodalità di crisi 1), 2) e 3). Il valore effettivo di il più piccolo dei tre. M, è evidentemente

334 Teoúo e tecnico delle costruzioni

Più precisamente: l) crisi della armatura longitudinale La crisi dell,armaturalongitu.tinale-siraggiungeevidentemente quando lo sforzo di trazione ?i raggiinge il valore liiritei 7,,, = A ,o.7

(r2.e)

9ove.o:/ è, al solito, il valore della tensionedi snervamentodi calcolo per I'acciaio. Dalla (12.5)si ha dunque: M,P -6- 4 Ato,

(12.10)

e quindi: M,u,t =

2A,o*L ' p

(r2.rr)

2) crisi delle staffe Analogamente,la crisi per trazionedelrestaffe si ha quando ro sîorzoT. raggiungeil valore: 7,,, = A "O,

(12.r2)

per cui dalla (12.6) si ottiene: M, -24-P, { A "o'

(12.13)

M'''' = '2A"o"L

(r2.14)

e quindi:

3) crisi degli elementicompressi La crisidellediagonalicompresse si ràggiungequandola tensionedi com_

Stato limíte di torsione 335

pressioneo" raggiungeil valore di progetto o,"; il momentotorcenteultimo può dunquevalutarsimediantela (12.7),doveperò si introcorrispondente duce,sulla basedi prove sperimentali,un opportuno coefficienteriduttivo. Deveinfatti osservarsichele bielledi calcestruzzo, a causadel deformarsi dellesuperficilaterali del solido soggettoa torsione,risultano soggettea per cui le sollecitaziosforzonormalee momentoflettente(pressoflessione), ni unitarie risultano alquanto piìr elevatedi quelle fornite dalla (12.7). Si ottiene dunoue: M,,,, :

(12.1s)

\' s oo, A

doveil coefficienteÀ è generalmenteassuntopari a 0,5. Circa le modalità costruttive,l'esperienzaha dimostrato che I'armatura longitudinale può essereripartita lungo il contorno ovvero, indifferentemente,concentrata neglispigoli;è inveceimportanteaverecomunqueridotti valori nel passofra le staffe (( l0 cm) affinché le spinte lungo gli spigoli, dovute alle bielle possanoessereconvenientemente compresse, assorbitesenzadanno per i ferri longitudinali. L'adozione di forti diametri per questi ultimi consente inoltredi meglioassorbiretali spinte,e di aumentarela distanzatra le staffe. 12.4. Esercizi Si voglia verificarela sezionerettangolaredi fig. 12.4,sottopostaad un momentotorcentedi progetto M,o : 3500kem. Per i materiali si abbia:

3fi,: Ée*sr,*, o,,= 0,83 o.r :

4400 t)5:

3 8 2 6k g l c m "

Utilizzandoferri d'angolo {16, stoffe g8/10 cm e ponendo il ricoprimentodella staffa pari ad 1 cm, si ottiene:

30-2(l+0,8+0,8)

= 4,1 cm

336 Teoria e tecnica delle costruzioni

= I 3 0- 2 ( 1 + 0 , 8+ 0 , 8 ) lt 5 0- 2 ( 1 + 0 , 8+ 0 , 8 ) l= l r r r c m ' p = 2130+ 50 - 4(1 + 0,8 + 0,8)l = 139,2 r^ +J-l- r :'1

Ercm

îìt

I

I |

30ch

I

r

Figuru 12.4

Si ha quindi: l) crisi dell'armatura longitudinale:

M,,.,= 2' 8,04' 3826 #

= 4910 x ro2ks cm

2) crisi delle staffe:

M , " .=2 2 ' 0 . s ' 3 8 2 6 # : o r t ox t Ù k gc m (À : 0.5): 3) crisi dellediagonalicompresse M,,3 = 0.5 ' 4,1 ' 156' 1111= 3553x 102ks cm Si ottiene in definitiva: Mr,=3553k9m>M,o

Capítolo tredicesimo Statolimite di fessurazione

13.1.Generalità Le verifiche di resistenzadelle sezioniin c.a. si conducono,come si è visto,ipotizzandoil calcestruzzocompletamenteinerte a trazione,e quindi chele sezionirisuitino completamentefessurateal di sotto della ammettendo fibraneutra.Si trascuracosì,a vantaggiodi sicurezza,la possibilitàcheha il di reagirea trazioneper valori delletensioniinferiori al limite di calcestruzzo del materiale. fessurazione L'esamedi elementistrutturali in c.a. soggettia flessionemostrainvece, comenel caso della trave semplicementeappoggiatadi fig. 13.1, che la presenza di fessureintervienesolo nelle zonein cui il momento flettenteM iisulta maggiore(o eguale)del momento di fessurazioneMr della sezione' reagiscea trazione. PerM < Mole sezionirisultanointegreed il calcestruzzo PerM >- Mr, invece,si riscontranosia sezionifessurate(sez.B-B di fig. all'acciaio,sia 13,1)in cui lo sforzo di trazionerestaaffidato esclusivamente in cui il fessure consecutive, due (sez. tra C-C) comprese sezioniintegre di trazione. dello sforzo riescea collaborareall'assorbimento calcestruzzo D'altra parte è da osservareche in corrispondenzadelle sezioniintegre ridotti, per cui la l'acciaiotesolavoracon valori delletensioniassolutamente fortemente antieconomica. risulterebbe fessure delle completaeliminazione pertanto considerata piir deve essere o meno capillari La presenzadi lesioni delle condizioni di lavoro dei due materiali comeuna owia conseguenza (acciaioe calcestruzzo)che coesistononella struttura, e non deveautomaticamentedar luogo a valutazioninegativecirca la qualità dei getti o I'esecuzionedelleopere.Un quadro fessurativochenon sia indicedi una situazione patologicadi dissestoè dunqueda ritenersiindicatoredel livello di collaborazionestrutturale tra calcestruzzoed acciaio. È owio, d'altra parte, che quadri fessurativieccessivie diffusi sono di agentiesterni certamenteda evitarsi,in quanto favorisconoI'aggressione

338 Teoria e tecnico delle costruzioní

\è A+Ay A# +l t - tI +b Sez AA .

Sez BB

Sez CC

Figuro I3.I

nei confronti delle armature, la cui ossidazionerisulta tanto più rapida ed intensaquanto più I'ambiente è chimicamenteacido. Nascecosìil problema,attesala impossibilitàdi eliminarle,di limitare le ampiezzedellelesioniin funzionedellecondizionidi eserciziodellastruttura (ambientecircostante,esigenzedi estetica),delle condizionidi carico (natura, frequenzae durata di applicazione),nonchédella sensibilitàdegli acciai alla corrosione. Nell'ambito del metodo di calcolo agli statilimite il problema della fessurazionesi risolve, in particolare, nella definizione di tre stati limite diversi,la cui verifica dipendedai parametriinnanzi descritti,e precisamente: l)

2)

statolimite di decompressione, il qualescartain praticala possibilitàdi formazione delle fessurein quanto richiede alla sezionedi rimanere ovunquecompressao al limite scarica(a livello della fibra considerata nella verifica); stato limite di formazionedellefessure(o di prima fessurazione), con il quale si accettanosollecitazionidi trazione nel conglomeratopurché inferiori a quelle di rottura;

Stato límíte dì Íessurazione 339

3) statolimite di aperturacontrollatadellefessure,con il quale,risultando scontatala presenzadi un quadro fessurativo,si controllainveceI'apertura massimadelle lesioniconfrontandolacon i valori ammissibilisuggeriti dalle norme. di laboTali valori derivano,generalmente,sia da prove ed esperienze quali per le si è correlato ratorio che dall'esamedi costruzioniesistenti, il grado di corrosionedelle armature all'ampiezzadelle lesioni riscontrate. Poiché la verifica dello stato limite di decompressionenon richiede particolarichiarimenti,nel seguitosi analizzerannole verificherelativeagli ultimi due stati-limite considerati. 13.2. Lo stato limite di formazione delle fessure La verifica di tale stato limite si effettua confrontando il valore del che momentodi eserciziocon quello del momentoMo di prima fessurazione, è il valore del momento cui corrisponde,al lembo teso della sezione,la rottura per trazione del calcestrtzzo.Il calcolo di Mo deveesserepertanto condottocon la ipotesi di sezioneinteramentereagente,ossiaportando in conto anchela resistenzaa trazione del calcestruzzo:le formule classiche comesi vedràqui dellastaticadel cementoarmatorisultanodi conseguenza, appresso,leggermentemodificate. Con riferimento alla sezionedi fig. 13.2,Ia posizionedell'asseneutro si determinaimponendo,al solito, I'annullamentorispetlo ad essodel momento staticototale della zona reagente,nella qualedeveesserecompresaanche I'areadi calcestruzzoteso debitamenteomogeneizzata. Indicando con d, il modulo di elasticitàall'origine del calcestruzzoa trazione,e fatte le posizioni:

(13.1)

n = EtlE" A'

_

F

(r3.2\

II]

I'annullamentodel momento statico della sezionereagentesi scriveallora:

br?

T

+ n A | ( x . - $ ) - n A y Q- x , ) - n ' b

( H - x- ) ' =0 t

(13.3)

t-340 Teoria e tecnìca delle costruziont

l

J

t

11 i I

a"*/n, At

F----l

Fìgura 13.2

la cui radice oositiva è:

(13.4)

Ponendo r'= 0 (ipotesi di calcestruzzonon reagentea trazione), la (13.4) riacquistala forma nota per sezioneparzializzata. Il momento d'inerzia della sezioneomoseneizzatarisulta: b . , _ 1",= alrl + n'(H - r.)']+

n A1 ( h - x , ) z + n A ' r ( x " - ó ) ' ( 1 3 . 5 )

e la tensioneo, al lembo teso della sezionevale (fig. 13.2):

',:n'y@-x,). tcí

(r3.6)

Il momentoflettenteMF di prima fessurazionesi ricavaallora immediatamentedalla (13.6), ponendo út: o*t (tensionedi rottura a trazione del conglomerato):

Stato limite di fessurazione 341

,^,. ' F --

Iri

oo", nt

(H

(13.7)

_ x"\

Il valoredellaresistenzaa trazioneè spessodeterminatoattraversoprove di flessionesu prismi in calcestruzzonon armato; si ottienecosìla (resistenza a trazioneper flessione>della formula: - ocq

Fl/4

(13.8)

bH2 /6

alla rottura del prisma(fig. 13.3).In tal F la forza corrispondente essendo caso,per comeè stataricavataoo",/owero senzadistinguerecls. tesoe com'= 1; inoltre,nel valutareI' l'armatura presso, si deveporre nella(13,7)n generalmente ha scarsopeso, per cui si può porre: (13.9)

Uo = o.*( avendo sostituito ad 1",I'inerzia geometrica della sezione'

!" e /____ì 2 e/z I tr "y * : v ' z t

oÍ

(13.34)

kg/cm' risultadunquep.,. Assumendoú-t = 30 kg/cm'e o, = 40OO = 0,15î/o . 13.4. Esercizi A) Calcolo del momento di fessurazione. di fig. 13.9a,per la qualesi abbia: Si considerila sezionerettangolare

352 Teoria e tecnica delle cosîruzioni

A , = 4,62cmz

,--A 't {

tt - ll l_l

I

--T--

a)

I

A1 =9,42cm2

l

z

s

l

m

ffii '

2

l.--*l

5

t

b)

Figura 13.9

Ar=3ó20=9,42cmz A' r = Z 0 L4 = 4,62cm2 E" = 210000Kglcm2 En = 1O5N0Kglcmz

Stato limile di fessurazíone 353

= 21OOO00 K8/cm2

4

Ú*, = 20 K8/cm2 6=3cm Si intende calcolareil momento di fessurazioneM, della sezionein esame. a) Si determinainizialmentela posizionedell'asseneutro x. per sezione imponendola condizioneespressa dalla (13.3);risulta totalmente reagente, owiamente: -i:

nt:

-

-

t7 tE

-

-

105000 - "'" 210000

= 10 2100000/210000

Si ha così: 6,25xl + 765,4x" - 2ol9l : o da cui la radice positiva: x" = 22'3 cm Il momento d'inerzia della sezionepuò essereallora calcolato con la (13.5), e vale:

,",:'1:# 2 5 x ( 5 0- 2 2 3 ) 3

+ 0,5

- 3 ) 2+ + 1 0x 4 , 6 2x ( 2 2 , 3

+ f0 x g 4n x (41 - ?2.1f : 255000 cm"

risulta quindi (fig. 13.9b): Il momentoflettenteMF di prima fessurazione MF

n'

(H - x"\

20 0,5

255000 (50 - 22,3)

3682,31x 102Kg cm

354 Teoúo e tecnics delle costruzioni

Per valori del momentoflettenteM ( M, la sezionerisulta interamente reagente,e le tensionidi lavoro nei materialisonovalutabili rispettivamente con (M in Kg cm):

,"=f,," ="*#!

= 8,745 x r,-sx M Kslcm2 ; - 3)

x 10 x (27,7 ' r = " T ( h - x "M) = 255000

= 9,686 x lO4 x M Kglcm2 ;

,5x27,7 = '",=''f (H- x")= M x O255000

5,431 x l}'s x M K,S/cm2.

Per valori di M > M. vieneinvecea mancareil contdbuto del calcestruzzo teso,per cui il calcolodelletensionideveessereeffettuato sotto le ipotesi di sezioneparzializzata e di calcestruzzonon reagentea trazione. La condizionedi annullamentodel momento statico si scriveallora:

25xx1 -; + 10 x 4,a x (rc - 3) - 10 x 9,42x (47 - x") = 0 da cui: )cc= l4'3 cm Il momento d'inerzia della sezionepanializzata vale quindi: 'r< w l4a3 ":'""

- 1 "= , -'

J

+ 1 0 x 4 , 6 2 x ( 1 4 , 3- 3 ) ' + l 0 x 9 , 4 2 x x (47 -

e conseguenlemenle:

143)2 = 131000crna

Ststo limite di fessurazíone 355

Figura 13.10

"" =H#!

= 10,e16 x M K8/cm2 x 1o-5 ;

Mxl0x(47-14,3)= 24,962 x 10-4x M Kg/cm2. 131000 B) Calcolo ampiezzadelle fessure. Con riferimento alla sezionedi fig. 13.10si valuta in primo luogo il momentodi fessurazioneMo. Risulta: Ar=4Ó16=l},l8cm2

E

F

" =-/ = ts ; n' =l=

3 slcm2 o . s : o n: 1 9 , K

La condizionedi annullamentodel momento statico fornisce: l,

30x(70-x")2 r 3 0 x x' ?_ - 15 x 10,i8 x (67 - x") = 0 o " ' '5 2

356 Teo a e tecnica delle costruzíont

da cui: 7,5 x2"+ 1202,"Ìx" - 46981= 0 con la radice positiva che risulta: x' = 32'48 cm Il momento d'inerzia della sezionetutta reagentevale: 1",

30 x 32,483

0.5

3 0 x ( 7 0 - 3 2 , 4 8 ) 3 _r

15 x 10,18 x (67 - 32,48)2: 788704cma Il momentodi fessurazione risultadunque: M ^ :

o*, " Ia

n'(H - x")

19,3 x 788704 0 , 5 ( 7 0- 3 2 , 4 8 )

Si vuole ora valu tare l'ampiezzamediaw. dellelesioni,supponendoche agiscaun momentoM pari a 11375Kg m. Per tale momento la sezionerisulta evidentementeparzialízzata;in tali condizioni si ha: x" = 21,52cm I"t = 4l55l} cma

ot : 1868K?/cm' Per valutare I'ampiezzadelle lesioni è necessarioconoscerela tensione o/, chesi ha nell'armaturaalla formazionedella prima fessura;si ha quindi: ., 811406 (zo - 21,51) = 1420Kg/cm2 oi, = l5 415rrr Poichéi ferri sono ad aderenzamigliorata, e si supponedi effettuareun calcoloper carichidi brevedurata,nella(13.31)si poneB,B, = 1; si ha in definitiva una deformazionemedia nell'acciaiofra due fessureoari a:

Stato limite dí fessuruzíone 351

1868 |

( 14201'-l

+ ^ = r I - ; t oL ,t - [ " * J l : = 8,89 x lO'4 x 0,422 = 3,75 x l}'a Per calcolarela distanzamedia fra le lesioni si deve in primo luogo valutarel'area efficacedi calcestruzzo;secondole indicazioni dell'EC2 si ha: A,,* = 30 x (2,5 ' 3) = 225cmz da cui:

u:\l] =o'o+s Poichénel casoin esamesi ha: k'k'=1'6x0'5=0'8 risultadalla (13.30):

= et mm al = 50+ 0,2sx 0,8l2 U,U4) In definitiva si ottiene: w^ = enLl = 3,75 x 104 x 121 = 0 '045mm e quindi: wt = 1,7 w. = 1,7 x 0,045 = 0,078mm

l--l

Copitolo quattordicesimo Stato limite di deformazione

14.1. Generalità una situazione Per stato limite di deformazionesi intendegeneralmente interviene pur il collasso, non avendosi in cui, di comportamentostrutturale per di deformaeccesso comunquela perdita di funzionalità della struttura zione. Come esempiopuò indicarsiil casodi una centinadi sostegnoper il getto di un arco, in cui si raggiungonodeformazioni incompatibili con la configurazionedi progetto dell'arco stesso;si è allora in presenzadi uno stato di funzionamentoin corrispondenzadel qualela centina,pur conservando la sua capacitàportante, è in effetti da considerarsiinservibile. Inconvenientitipici nel campodellecostruzionicivili originati da eccessive deformazionisono ancorale fessurazionidi tramezzie tompagni, i ristagni d'acqua sui solai di copertura, il distaccodi intonaci e i dissestinelle 'pavimentazioni degli ambienti. Nasce quindi spontaneoil problema del controllo delle deformazionidegli elementistrutturali, soprattuttoquando, come nel calcolo agli stati limite, le pitr elevatesollecitazioniraggiungibili nei materiali e la presenzadi quadri fessurativiestesipossonocomportare livelli di deformazionenotevolmenteelevati. La verifica dello stato limite di deformazioneconsisteràallora nel riscontrarecheper le combinazionidi caricorelativeagli stati limite di esercilivello deformativo sia minore del massimolivello deforzio il conseguente mativo accettabile,quale consigliatodall'esperienzao fissato dalle norme' Prima di esporre il procedimentodi calcolo della freccia su schemi semplici, si rammenta che in condizioni di eserciziole travi in cemento armato presentanoin generequadri fessurativiestesi;in altri termini le zone dellatrave in cui il momentoMdovuto ai carichiesternirisulta maggioredel momentodi fessurazioneMo costituisconospessola maggiorparte dell'elemento. può farsi affidaNei tratti di trave in cui ristlta M < MF evidentemente

€

360 Teoriq e rccnico delle coslruzioni

mento sulla inerzia della sezioneinteramentereagente,con l'acciaio opportunamenteomogeneizzato,e che nel seguitoindicheremocon f; in termini di curvatural/R, si ha ouindi; 1 R-

M < M'\ EJ,(M

(14.1)

Nei tratti di trave fessurata,che come si è detto sono notevolmente estesi,la curvatura non si presentadi immediatavalutazione.Infatti nelle sezioniin cui si sono formate le lesionipuò evidentemente farsi affidamento sull'inerziadella sezioneparzializzata,sempreopportunamenteomogeneizzata, chenel seguitoindichiamo con 1r; la curvaturapuò dunquevalutarsi nel seguentemodo: I

M

.P . 2 " .F T 2

(14.2)

Nelle sezionifra due successive fessuresi ha però il trasferimentodi sforzi di trazionedall'acciaioteso al calcestruzzoteso, con un conseguente effetto irrigidentechenella letteraturatecnicaanglosassone è indicato come (tension stiffening>. Coerentemente dunque con quanto fatto nella valutazionedella deformazionemediadell'acciaioe7,(cfr. par. 13.3.2),risulta necessario introdurre il concettodi 1/R.. 14.2. La valutazione della curvatura media Nei tratti di travi in cui si ha M > Mo è necessario valutarela curvatura media che si ha fra due successive lesioni. Si osserviche:

1 ) per M = Mo deverisultare l/R^ = 11Pr' per M * M, la c.urvat.ural/R^ devetendere al valore limite l/-R, corrispondentealla completafessurazione; 3) I'espressione della curvaturamediadeveesserecoerentecon il risultato sperimentalegià introdotto per valutare €y-,espressodalla (13.31). In accordo con tali osservazioni,la formula di origine sperimentale

Stalo limile di defornazione 361

Figuru 14.1

fornita dal CEB può porsi nella seguenteforma: I D

=ulr'u,l M )

( Mo)'

* d1

f,-u,u,(T)'l

(14.3)

doveB, e B, hanno il significato già evidenziatonel par. 13.3.2. La (14.3)fornisceevidentemente un valore della curvaturamedia che è semprecompresofra | / R, e l/Rr, e chetendeasintoticamente alla curvatura 1/R, per , , ,ot l'andamento del legamemomento-curvaturamedia, ponendoF, B, = 1, è schematicamente indicatonella fie. 14.1. 14.3. Il calcolo delle frecce Gli abbassamenti nelle travi in cementoarmato, avendodefinito le cur_ vaturein funzionedel momentoattraversola (14.1)nellezonenon fessurate e Ia (14.3) nelle zone fessurate,possonoimmediatamenteottenersicon sli ysuali metodi di calcolo.

**:f:r^il,l

cípío deítavorí vírtuari, to s pos ran enrc/ 74.4)

362 Teo a e tecnico delle costruzioni

avendoindicato con s l'intera strultùra e conM' il diagrammadel momento corrispondentealla forza unitaria applicatanella sezionein cui si sta valutando lo spostamento/. Dividendola struttura nella partenon fessuratasr e nella parte fessurata s, si può dunque scrivere: f|

.

l

c |

iYr 'rr -r I p ,", ,.,

./:

l p u rr-

l

rI4'ds l

(14.5)

dovela curvatural/R, è fornita dalla (14.1)e la curvanral/R^dalla(14'3)' Il calcolodegli integrali presentinella (14'5), effettuati in forma chiusa qualorapossibileo numericamentenegli altri casi,forniscedunqueil valore di l. 14.4. Una metodologia semplificata Un metodo semplificatoconsistenel valutare la curvatura rnediaassulesioni mendo chela deformazionemedia dell'acciaioe7,fra due successive sia data dalla (13.31),owero

o,

e r ^ = fú l-t u ' uf ,o [r ,;l J' l ]

.

(14.6)

Poichéil rapporto o1,/o1èpari a Mo/ M, in quanto entrambele tensioni sono valutate còn riferimento alla sezionefessurata,può anchescriversi: of -JN

F

or - p r p( ,M ) ' f ln) ):-,", Lr

|

(t4.7)

avendoposto:

| - p$2(MF/M)2

(14.8)

Il calcolo della curvaturamedia, sezioneper sezione,può dunquecondursi valutando la posizionedell'asseneutro e le deformazionimedie nel-

Stato limìte di deformazione 363

l'acciaio e nel calcestruzzoconsiderandoun coefficientedi omogeneizzazione neÍi

n-* ,JJ

F = lL

(14,9)

F

Valgonodunquetutte le formule della flessionesemplicedatenel cap. 3, semplicemente sostituendon* ad n. La curvatura media può dunque valutarsi nel seguentemodo: I R.

(14.10)

h

essendoe". la deformazionemedia nel calcestruzzo;poiché risulta: M Dc

EJ^'"

"^=#,="*#(h- x')=h" -'"'

(14.11)

(14.12)

dove 1. è il momento d'inerzia della sezionereagentecon l,acciaio omoge_ neizzatoattraverson"rr, dalla (14.10)si ottiene:

1 R-

M EJ^

(14.13)

Vale dunquela solitarelazionefra momentoe curvatura,a patto però di valutare il momento d'inerziaI_. La (14.13)sostituisce dunquela piìrcomplessa (14.3).Si osserviperòche tale metodointroduceun errorenellezonedi trave con momentoptossimoa quello di fessurazione;supponendoinfafti BrB, = | e Mr = M la (14.g) fornisce.Er",pari ad infinito. Tranneperò questaincoerenzaper le zonecon momento prossimo ad M, il risultato che si ottiene è molto prossimoa quellofornito dalla (14.3).

364 Teoriq e tecníca delle costruziont

14.5. Gli effetti del fluage contemporaneaIl metodo espostonel paragrafo precedente'utilizzato del fluage effetti de€li ,n"rrt" ul ..todo del modulo ef-fettiv; per tenerconto degli spostamentia lunn.i .a..rrro"ro, consenteI'immediatavalutazione eo termine. "" gli effetti del ìi'*ut ir ."rodo del modulo effettivo consentedi valuiare introducendo un modulo di elasticita ridotto E"'* nuug. ,..pfi"..ente

(r4.r4) normativa o.valutato speri essendo,piI coefficientedi fluage, dato dalla suffiPer valutare gli sp-ostamentia lungo termine è dunque .""i"f.L". consideransemplicemente .i.nt. oru.. il metodo del paralrafo precedente do il seguentecoefficientedi omogeneizzazione: ..etJ

"nf,"fî

(14.1s)

E,,"tt

la si ottiene un nuovo valore di 1' che consente Conseguentemente (14'13)' attraversola valutàzionedella curvatura media a tempo infinito 14.6. Esercizi Siconsiderilatravedoppiamenteappoggiatadifig.l4.2,diluce6mcon momento.diPrima fessuracaricounitorrnementedistribuito paria4t/m' Il Kgm ed il modulo di elasticitàdal calcestruz;;dlù.*ì;fuepatia6l29 zo E" pari a 285000Kg/cm'' prossimitàdell'appoggiosi L'estensioned del tîatto non fessuratoin genericaascissaz: ottiene imponendoche il momento alla

M (z)

aI

- : - r

qz' - : -

sia proprio pari a Mo; si ottiene dunque:

2

Ststo limite di deÍormazíone 365

q = 4Vn

Figura 14.2

Yo

-o\e = e,,s

da cui: :l = 56.38cm L'integrazionenumericadella (14.5) si perseguesuddividendoil tratto non fessuratoin due intervalli ed il tratto fessuratoin quattro intervalli, secondole ascissedefinite nella tabella 14.1.Nella stessatabellasono anche forniti i valori d\ M ed,i valorì di M' ; quest'ultimo, ricercandosilo spostarnento in mezzeria, è dato da:

M'(z)

I 2-

(z 4 t/2)

Si assumenel calcoloPrp, = 1.0 (ferri ad aderenzamigliorata, carico di brevedurata); il valore di E, risulta dunquepari a2.l x lÚ Kg/cm' perM < Mr, mentre è dato dalla (14.8) per M ) M,. Per ottenerela tabella l4.l i valori dell'asseneutro sono stati valutati con le seguenti formule:

bH212 + nerr{. f, p e rM {M, bH + nu74,

;.r

366 Teoria e tecnica delle costruzioni

_ , . .,:u# [

,bh I '"t/t l

perM>M, ^

I valori di e".ed er.sonovalutatiattraverso le (14.11)eQa.n), mentrela curvaturamediamediantela (14.l0). Tabella14.l

z lcml

Mxl05 Íkgcml

M' Ikgcml

0

0

0

28,19

3,224

56,38

6,129

F

l/R^ x 105 Icm'tl

x 103

i^3

0

0

0

r4,09

0,056

0,046

0,160

28,t9

0,107 0,088

0,304

0,533

|,244

tke7i.'l

lks/cm"l

285.0002 , 1 X

100

'7,9'7

|r'7,28 11,323 58,64

t970466

t78,19 15,032 89,09

2518'161 8 , 8 4

0 , 3 7 1 0,82'7

1,873

239,09 t'7,258 I 1 9 , 5 5

2403t2'1 8,43

0,433 0,994

2,229

300,00 18,000 150,00

2375443

t0,42

î ì1

0,264

0,454

r,048

2,346

Risultandoi passidi integrazionerispettivamentepari a 18,19cm nella zona 4on fessurataa 60,91cm nella zona fessuratasi ottienein definitiva: + Ío = 2128,19(2' 0,160. 14,09+ 0,304. 28,19) x 10-5 2 8 , 1 9 + 2 . r , 2 4 4 . s 8 , 6 4+ 2 . 1 , 8 7 3 . 8 9 , 0 9+ + 6 0 , 9 1 ( 0 , 3 0. 4 : 0,84cm 2 .0,229. 119,55+ 2,346. l50,OO)x 10'51 dove si è lutilizzaloil metodo di integrazionedei trapezi. Per valutare la freccia a tempo infinito si assumeBrB?:0,5 (carico di lunga durata) e I : 3. Il modulo E"."r,rist]Jtadunquepari aE"/4 = 71250 Kg/cm2. I nuovi valori di n"rr,e"^, er, ed 1/R. sono forniti d,allatabella 14.2. L'integrazionenumerica,sempreutilizzandoil metododei trapezi,fornisce:

Stoto límite di deformszione 36'1

owero:

fÍo

I ìR

ffi: r,uo

Tabella 14.2

z Lcml

Mxl05 lkgcnl

M' lkgcml

0

0

0

ll

fkeTí.'tIke/cm"l 11.250

) 1

x 103

X l0Ó 29,47

'l0l x

l / R, x.105 Ic^'' l

0

0

0

28,t9

3,224

14,09

0,194

0,t24

0,498

56,38

6,129

23,19

0,369

0,236

0,94'7

tt7,28

tt l?1

58,64

u605t4

34,53

0,279

0,690

2,218

89,09

2290397

3 2 , 1 5 0,986

0,980

3,0'12

239,09 17,258 1 1 9 , 5 5

2241360

3t46

|,239

1,148

1 S?1

300,00 r8,000 150,00

2229246 31,29

1,190

1,203

3,'739

1 7 8 , 1 9 t5,032