Elementos de Matematica UNLU

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJÁN- Dto. de Ciencias Básicas – División Matemática ELEMENTOS DE MATEMÁTICA (10300)-PRIMER PARCIAL- 25 de abril 2015 Tema 1 Apellido y nombre……………………………………………………………………legajo………… Comisión Nº……….Horario ………………..docentes …………………………………………. 

Se deberá escribir con tinta. Sólo lo así escrito será tenido en cuenta al corregir la evaluación

  

Dejar la resolución y los cálculos auxiliares en las hojas que se entreguen. La comprensión de los enunciados forma parte de la prueba. No se aceptarán preguntas ni aclaraciones de ningún tipo Los datos del recuadro deben figurar en las hojas que se entreguen al igual que el número del tema.

1. Despejar y en la siguiente relación; 3  y  2 x  1 2 x 3 y  1  2 x; 2 x

3  y  1  2 x 2  x ;

 y  (1  2 x)2  x   3;



y   2  x  4x  2x

2

y

  3;

1  2 x 2  x   3 ;

1 y  2  5 x  2 x 2  3;

y  1  5x  2 x2

2. Escribir utilizando puntos suspensivos (sin usar el símbolo sumatoria) la siguiente n

suma: n

S n   (1) k .k  1 !; k 0

 (1)k .k  1!   1 .0  1! 1 .1  1! 1 .2  1! 0

1

2

k 0

  1 .3  1!........   1 .n  1! 3

n

 1.1   1.2!1.3! 14!........   1 .n  1! n

 1  2  6  24  ....   1 .n  1! n

n 4

3. Determinar para que valores de n ( siendo n natural) , el número: (3 )  (3) resulta positivo. Justificar Una forma: (-3n) resulta menor que cero para todo n natural, es decir siempre es negativo ya que la base es 3. (-3)n+4, para n par con base negativa la expresión será positiva Para n impar será negativa la expresión. Luego para que el producto sea positivo deberá ser solamente n impar, ya que producto de negativos resulta positivo. Otra forma: n

Utilizando propiedad de potencias

(3n )  (3) n4  (1).(3) n .(1.3) n4  (1).(3) n .(1) n4 .(3) n4  (1) n5 .(3) 2n4 Notando que en este producto el factor 3n4 es positivo para cualquier valor de n natural (pues la base es positiva), solo queda por determinar el signo del factor (1) n5 en función del valor de n. Resulta que éste será positivo para cualquier n número natural impar. Luego para que el producto sea positivo deberá ser solamente n impar 4. Sacar factor común xn en (xn+3 + xn+2 + xn+1 )





 x n  3 x n  2 x n 1  x . n  n  n   x x   x  x n . x3  x 2  x

1  x . n . x n  3  x n  2  x n 1   x  n



 x n . x n  3 n  x n  2  n  x n 1 n



n



5. Demostrar por inducción que,

n  2 resulta que

2n 2  2n  4

Primera parte Para n=3 2.32 > 2.3+4, Segunda parte

2. 9 >10,

18 > 10, verdadera



P(k )  P(k  1) k  2 ; tesis

2k 2  2k  4  2k  1  2k  1  4 2

equivalent es : 2(k 2  2k  1)  2k  2  4 2k 2  4k  2  2k  2  4

Demostración : 2k 2  2k  4 4k  2  2

sumando miembro a miembro

2k 2  4k  2  2k  2  4 Siendo k>2, la desigualdad sumada siempre será verdadera. 6. Elegir en cada caso un valor de k, siendo k un número entero, para que se cumplan las siguientes desigualdades.

a)

5 k  7 3

b)

3 4  3

3 4 k

a) 5.3o, resulta que: k=1 ó k=2. Tomo por ejemplo K=1. 7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? Justifica a) El cuadrado de todo número par es par. Verdadera b) (a - b)2 = a2 - b2 Una forma: Falsa pues:

(a  Q, b  Q)

Tomando como contraejemplo a=4 y b=1 se tiene que el primer miembro de la igualdad resulta 9 mientras que el segundo miembro de la igualdad da 15. Otra forma: Falsa pues: (a  Q, b  Q) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2