Elementos de la mecánica cuántica. Saxon

ELEMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA David S. Saxon Universidad de California, Los Angeles

SEGUNDA EDICIÓN

EDITORIAL EASO, S. A. MÉXICO

vi

PREFACIO

Se presentan ciento cincuenta problemas que son muy importantes pedagógicamente. Los problemas no son exclusivamente del tipo ilustrativo del material presentado en el texto; también sirven para ampliarlo. Un número importante sirve para ampliar el curso, señalando nuevos tópicos y nuevos puntos de vista. Muchos problemas son demasiado difíciles para que el estudiante los domine al primer intento. Se le aconseja que vuelva a intentarlos a medida que vaya entendiendo la teoría. Finalmente podrá resolver cualquiera de ellos. En el Apéndice III, se exponen respuestas y soluciones completas a cin:uenta problemas representativos. Alrededor de cuarenta ejercicios se sncuentran distribuidos en el libro. En general se refieren a ciertos Jetalles del texto, pero no todos son triviales. En UCLA, el material del texto se presenta en una secuencia de Jos trimestres, pero el curso también se puede usar en un curso de un ¡emestre; cualquiera de las secciones marcadas con asterisco en la talla del contenido pueden omitirse sin afectar el desarrollo lógico del •esto. Si se desea, también puede usarse el texto para un curso de un iflo, pero complementado con otro material. Las representaciones de íeisenberg y de interacción y, en general, la teoría de transformación, ion tópicos que surgen a la mente de inmediato. Respecto a las apli¡aciones, los efectos Zeeman y Stark, las ondas de Bloch, los métolos de Hartree-Fock y Fermi-Thomas, moléculas simples y espín isoópico, son temas adecuados para escoger. El autor se ha beneficiado de numerosas críticas y sugerencias de ;olegas y estudiantes. A todos ellos expresa su gratitud profunda y ¡specialmente al Dr. Ronald Blum por su cuidadosa lectura de la edi:ión preliminar y del manuscrito final. El autor también agradecerá ¡omentarios adicionales así como el señalar las erratas y los errores. David S. Saxon Noviembre, 1967

contenido I. LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

El fracaso de la física clásica Conceptos cuánticos El aspecto ondulatorio de las partículas Magnitudes numéricas y dominio cuántico El aspecto corpuscular de las ondas Complementareidad El principio de correspondencia

1 3 5 13 14 17 17

II. FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN

1. La idea de función de estado; superposición de estados 19 2. Valores de expectación 25 3. Comparación entre las descripciones cuántica y clásica de un estado; paquetes de onda 27 III. MOMENTO LINEAL

1. Funciones de estado que corresponden a un momento lineal definido 2. Construcción de paquetes de onda por superposición . 3. Transformadas de Fourier; la función delta de Dirac. . 4.» Espacios de configuración y de momento lineal 5. Operadores de posición y de momento lineal 6. Relaciones de conmutación 7. El principio de incertidumbre

30 32 36 39 40 47 49

„*,„••,„

VIH

CONTENIDO

CONTENIDO

IV. MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE 1. Movimiento de un paquete de ondas; velocidad de grupo 59 2. El requisito del principio de correspondencia 62 3. Popagación del paquete de ondas de una partícula libre en el espacio de configuración 64 4. Propagación del paquete de ondas de una partícula libre en el espacio de momentos; el operador de energía... 66 5. Evolución en el tiempo de un paquete de ondas gausiano 68 6. Ecuación de Schródinger para la partícula libre 70 7. Conservación de la probabilidad 72 8. Notación de Dirac 76 9. Estados estacionarios 78 10. Partícula en una caja 80 11. Resumen . 83 V. ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 8. *9. 10.

El requisito de la conservación de la probabilidad . . . . 90 Operadores hermitianos 91 El requisito del principio de correspondencia 98 Ecuación de Schródinger en el espacio de configuración y en el espacio de momentos 101 Estados estacionarios 104 Autofunciones y autovalores de operadores hermitianos 108 Observables simultáneos y conjuntos completos de operadores 111 El principio de incertidumbre 113 Movimiento de paquetes de onda 118 Resumen: los postulados de la mecánica cuántica.... 119

f l . ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN 1. Características generales 124 2. Clasificación por simetría: el operador de paridad. . . .127 3. Estados ligados en un pozo cuadrado 130 Para un curso de un semestre cualquiera de las secciones con asterisco puede omitirse sin erjudicar el desarrollo lógico (ver el prefacio).

ÍX

4. El oscilador armónico 135 *5. La representación del operador de creación 147 *6. Movimiento de un paquete de ondas en el potencial del oscilador armónico 154 7. Estados continuos en un pozo de potencial cuadrado 158 8. Estados del continuo; el flujo de probabilidad 163 *9. Paso de un paquete de ondas a través de un potencial 166 s 10. Solución numérica de la ecuación de Schródinger.... 169 VII. MÉTODOS APROXIMADOS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

La aproximación WKB La aproximación de Rayleigh-Ritz Teoría de perturbación para estados estacionarios. . . Matrices Estados vecinos o degenerados Teoría de perturbación dependiente del tiempo

186 196 .202 215 218 222

Vffl. SISTEMAS DE PARTÍCULAS EN UNA DIMENSIÓN 1. Formulación 242 2. Dos partículas: coordenadas del centro de masa 245 3. Interacción de partículas en presencia de fuerzas externas uniformes 249 *4. Osciladores armónicos acoplados 251 5. Interacción débil de partículas en presencia de fuerzas externas 254 6. Partículas idénticas y degeneración de intercambio. . .257 7. Sistema de dos partículas idénticas 259 8,. Sistemas de muchas partículas, sinietrización y el principio de exlusión de Pauli 261 *9. Sistemas de tres partículas idénticas 266 10. Partículas idénticas interaccionando débilmente en presencia de fuerzas externas 272 K. MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES 1. Formulación: movimiento de una partícula libre . . . .279

CONTENIDO

*2. 3. 4. 5.

Potenciales separables en coordenadas rectangulares. .283 Potenciales centrales; estados de momento angular. . .286 Algunos ejemplos 297 El átomo de hidrógeno 304

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN 1. Operadores del momento angular orbital y relaciones de conmutación 2. Autofunciones y autovalores del momento angular.. *3. Operadores de rotación y de translación 4. Espín; los operadores de Pauli *5. Adición del momento angular

318 .322 334 337 348

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES * 1. El átomo de helio; la tabla periódica *2. Teoría de la dispersión *3. Funciones de Green para la dispersión; la aproximación de Born *4. Movimiento en un campo electromagnético * 5. Teoría del electrón de Dirac *6. Estados mixtos y matriz de densidad

366 374 383 396 401 411

APÉNDICES I. Cálculo de integrales de funciones gausianas 423 II. Referencias seleccionadas 426 III. Respuestas y soluciones a problemas seleccionados. . .429

"Y ahora lector, afánate, porque siempre te ayudaremos en las dificultades, ya que no esperamos, como otros, que uses al arte de la adivinanza para descubrir nuestro significado, pero no seremos indulgentes con tu holgazanería cuando lo único que se te exija sea tu atención; estarías muy equivocado al imaginar que empezamos esta gran tarea para no dejar nada a tu sagacidad o al ejercicio de tu talento recorriendo estas páginas sin beneficio ni placer. Henry Fielding

I La naturaleza dual de la materia y la radiación 1.- EL FRACASO DE LA FÍSICA CLASICA * A finales del siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban que se había completado la descripción de la naturaleza y que solamente faltaba por desarrollar algunos detalles. Esta creencia se basaba en los logros espectaculares de la mecánica de Newton que, junto con la ley de gravitación y la electrodinámica de Maxwell, describían y predecían las propiedades de sistemas macroscópicos cuyas dimensiones variaban desde el tamaño de un laboratorio al tamaño del cosmos. Sin embargo, al desarrollarse las técnicas experimentales para estudiar sistemas atómicos, surgieron dificultades que no podían explicarse con las leyes de la física clásica ni con sus conceptos. Las nuevas leyes y los nuevos conceptos que fueron necesarios desarrollar durante la primera cuarta parte del siglo XX fueron los de la mecánica cuántica. Las dificultades que se encontraron fueron de diferentes tipos. En primer lugar se encontraron contradicciones con algunas de las predicciones del teorema de equipartición de la energía. La aplicación directa de este teorema conduce a resultados absurdos para el espectro de radiación del cuerpo negro y a conclusiones erróneas para los calores específicos de sistemas materiales. En ambos casos, el resultado empírico predice que sólo algunos de los grados de libertad del sistema participan en los intercambios de energía que llevan al equilibrio estadístico. En segundo lugar, se encontraron dificultades para explicar la es* Una discusión detallada de las bases históricas y experimentales de la mecánica cuántica, se encuentran en las referencias del [ 1] al [5], en el apéndice II.

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LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

tructura y la existencia misma de los átomos, tomados como sistemas de partículas cargadas. Para tales sistemas, el equilibrio estático es imposible bajo fuerzas exclusivamente electromagnéticas, siendo también imposible el equilibrio dinámico, por ejemplo en forma de un sistema solar en miniatura. Partículas en equilibrio dinámico están aceleradas y, clásicamente, cargas aceleradas radian energía, lo cual provoca el colapso de las órbitas independientemente de su naturaleza. Pero, aunque se acepte la existencia de los átomos, subsiste el problema de explicar el espectro atómico, es decir, determinar las características de la radiación causada por la aceleración de las cargas de un átomo al perturbar su configuración de equilibrio. Clásicamente se esperaría que dicho espectro consistiera de los armónicos correspondientes a ciertas frecuencias fundamentales. Pero el espectro observado satisface la ley de combinación de Ritz, la cual establece que las frecuencias del espectro se obtienen como diferencias de ciertas frecuencias fundamentales y no como múltiplos. Una tercera clase de dificultades proviene del efecto fotoeléctrico. La fotoemisión de electrones de superficies iluminadas no puede explicarse clásicamente. La dificultad esencial es la siguiente: el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz incidente y por lo tanto a la energía electromagnética que incide sobre la superficie, pero la energía transferida a los fotoelectrones no depende de la intensidad de la iluminación. Esta energía depende de la frecuencia de la luz, creciendo linealmente con ella a partir de cierto valor de umbral, característico de la superficie del material. Para frecuencias menores que la del umbral no se emite ningún fotoelectrón aunque sea grande la energía electromagnética transmitida a la superficie metálica. Por otra parte, para frecuencias mayores que la del umbral, aunque la fuente de luz sea débil, siempre se emiten fotoelectrones y siempre con la energía total apropiada a la frecuencia. Las explicaciones a estas dificultades comenzaron en 1901 cuando Planck supuso la existencia del cuanto de energía para poder obtener la modificación necesaria del teorema de equipartición. La consecuencia de que la radiación electromagnética es de naturaleza corpuscular fue afirmada por Einstein en 1905 al explicar en forma directa y simple las características de la emisión fotoeléctrica. También fue Einstein, dos años más tarde, el primero en explicar el comportamiento del calor específico de los sólidos a bajas temperaturas, cuan tizando los modos de vibración del sólido de acuerdo con las reglas de Planck. La primera explicación del espectro y estructura atómicos se dio en 1913 cuando Bohr introdujo la idea revolucionaria de estado estacionario y estableció las condiciones cuánticas para su determinación. Más tarde, estas condiciones fueron generalizadas por Sommer-

CONCEPTOS CUÁNTICOS

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feld y Wilson, y la teoría resultante explicó casi perfectamente el espectro y estructura atómicos del hidrógeno. Sin embargo, la teoría de Bohr tropezó con dificultades muy serias al intentar estudiar problemas más complejos. Por ejemplo, el átomo de helio fue imposible tratarlo con esta teoría. La primera indicación para resolver estos problemas fue dada en 1924 cuando de Broglie sugirió que las partículas podrían exhibir un comportamiento ondulatorio, así como las ondas exhibían un comportamiento corpuscular. Siguiendo estas sugerencias, Schródinger estableció su famosa ecuación de onda en 1926. Heisenberg, poco antes, partiendo de un punto de vista diferente había llegado a establecer resultados matemáticos equivalentes. Aproximadamente al mismo tiempo, Uhlenbeck y Goudsmit introdujeron la idea de espín o giro del electrón, Pauli enunció su principio de exclusión, y así, esencialmente, se había completado la formulación de la mecánica cuántica no relativista.

2. CONCEPTOS CUÁNTICOS Las leyes de la mecánica cuántica no pueden demostrarse, análogamente a lo que sucede con las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, se espera que estas leyes puedan deducirse, más o menos directamente, como consecuencias lógicas de ciertos experimentos seleccionados. Pero la descripción cuántica de la naturaleza es demasiado abstracta para que esto sea posible: los conceptos básicos de la teoría cuántica están fuera del alcance de la experiencia diaria. Estos conceptos son los siguientes: Funciones de Estado. La descripción de un sistema se hace mediante la especificación de una función especial, llamada función de estado del sistema, la cual no puede observarse directamente. La información contenida en la función de estado es esencialmente estadística o probabilística. Observables. La especificación o determinación de una función de estado es consecuencia de un conjunto de observaciones y mediciones de las propiedades físicas o atributos del sistema estudiado. Propiedades que pueden medirse, tales como energía, momento lineal, momento angular y otras variables dinámicas, se llaman observables. Observaciones u observables se representan por objetos matemáticos abstractos llamados operadores. El proceso de observación exige que haya cierta interacción entre el instrumento de medida y el sistema observado. Clásicamente pueden suponerse estas interacciones tan pequeñas como se quiera. Ge-

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

eralmente se toman como infinitesimales, en cuyo caso el sistema 0 se perturba por la observación. Pero, a escala cuántica, la interación tiene características discretas y no puede disminuir indefinidamente sino hasta cierto límite. El acto de observar provoca en el sissma ciertas perturbaciones incontrolables e irreducibles. La observalón de la propiedad A provocará cambios incontrolables en otro obsrvable B relacionado con A. La existencia de un límite absoluto paa una interacción o perturbación, permite dar a la idea de tamaño un [gnificado absoluto. Un sistema puede considerarse grande o pequeo, y tratarlo clásica o cuánticamente, dependiendo de que la interación dada pueda considerarse pequeña o no. La noción de que la observación precisa de una propiedad provoca ue una segunda propiedad (llamada complementaria de la primera) sa inobservable, es un concepto exclusivamente cuántico sin analoía en la física clásica. Las características de ser onda o partícula nos roporciona un ejemplo de un par de propiedades complementarias. ,a dualidad partícula-onda de sistemas cuánticos, es una afirmación el hecho de que tales sistemas pueden exhibir cualquiera de las dos aracterísticas dependiendo de las observaciones realizadas sobre el ístema. Las variables dinámicas, posición y momento lineal, son un jemplo más cuantitativo de una pareja de observables compleméntalos. Al observar la posición de una partícula, por ejemplo iluminánola, necesariamente se provocará una perturbación en su momento neal. Este resultado es consecuencia de la naturaleza corpuscular de 1 luz; la medida de la posición de una partícula exige que, por lo meos, un fotón choque con la partícula, siendo esta colisión la que rovoca la perturbación. Consecuencia inmediata de esta relación enre medición y perturbación es que trayectorias precisas de partículas 0 pueden definirse cuánticamente. La existencia de una trayectoria ,efinida implica el conocimiento de la posición y del momento lineal e la partícula en el mismo instante. Pero el conocimiento simultáeo de ambas propiedades no es posible, si la medición de una de lias provoca una perturbación incontrolable y apreciable en la otra, orno es el caso de sistemas cuánticos. Estas perturbaciones mutuas 1 incertidumbres no son debidas a la técnica experimental; son conscuencias inevitables de la medición u observación. La existencia levitable de estos efectos para una pareja de variables compleméntalas fue enunciada por Heisenberg en su famoso principio de incerti'umbre. Más adelante se estudiarán estos hechos, pero ahora es conveniente mpezar el desarrollo de las leyes de la mecánica cuántica. El enfoque [ue se va a seguir no es el histórico y se llevará a cabo en la forma siuiente. En el resto del capítulo se intentará hacer plausible algunas

de las ideas de la mecánica cuántica, en particular las ideas de incertidumbre y complementareidad. Se hará considerando algunos experimentos y observaciones, que resaltan la naturaleza dual de la materia y de la cual se concluye inmediatamente que las trayectorias precisas de partículas, como en la mecánica de Newton, no existen. Como consecuencia se presenta el problema de cómo caracterizar el estado de movimiento de un sistema cuántico y de cómo describirlo. En el Capítulo II se resolverá este problema introduciendo la función de estado de un sistema, discutiendo su interpretación probabilística. En el Capítulo III se considerarán las propiedades generales de observables y de variables dinámicas en mecánica cuántica y se obtendrán reglas para encontrar sus representaciones abstractas como operadores. En los Capítulos IV y V se completará la primera etapa de esta formulación al introducir la ecuación de Schródinger, que gobierna el desenvolvimiento en el tiempo de sistemas cuánticos. Métodos para resolver la ecuación de Schródinger para el sistema más simple, el movimiento de una partícula en una dimensión, se discutirán en los Capítulos VI y VIL Únicamente hasta los cuatro capítulos finales se podrá tratar el problema general de sistemas de partículas interaccionando en tres dimensiones, y así, encontrar la relación con el mundo real. En todo el desarrollo, siempre se usará el principio de que las predicciones cuánticas deben de corresponder a las predicciones de la física clásica en el límite adecuado. Este principio de correspondencia jugará un papel muy importante al determinar la forma de las ecuaciones en la mecánica cuántica. Se recalcarán las propiedades cuánticas de sistemas materiales. Debido a su complejidad, no se presentará ningún desarrollo sistemático de las propiedades cuánticas de campos electromagnéticos, aunque se harán plausibles algunas de sus propiedades cuánticas. '

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3. EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS El experimento que mejor revela los elementos básicos de la descripción cuántica de la naturaleza es la dispersión de un haz de electrones por un cristal metálico, realizado por primera vez por Davisson y Germer en 1927. Este experimento fue diseñado principalmente para comprobar la predicción de de Broglie, según la cual, en analo1 En la Sección 5 de este capítulo se recurre a la naturaleza corpuscular de la luz para explicar la radiación del cuerpo negro y la dispersión de Cpmpton. No será sino hasta la Sección 6, Capítulo VII, en que se discutirá otra vez la radiación, cuando su emisión y absorción se presenten en forma eurística y semiclásica. Finalmente, en la Sección 4, Capitulo XI, se discutirá brevemente el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético clásico.

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LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

gía a las propiedades corpusculares de la luz, perfectamente establecidas, también puede asociarse a una partícula de momento lineal p una onda X que se llama longitud de onda de de Broglie expresada como,

Reuniendo dichas relaciones en una sola expresión, finalmente, se tiene que,

X = h/p.

La hipótesis de de Broglie y el experimento de Davisson y Germer están en conflicto con la física clásica, porque se asignan a la misma entidad ambas propiedades, la de partícula y la de onda. La naturaleza y las implicaciones de este conflicto pueden aclararse imaginando que el experimento se realiza con un haz de electrones tan débil que un solo electrón se dispersa por el cristal y se registra en cierto instante de tiempo. En este evento, no se obtiene inicialmente un patrón de difracción; el electrón será dispersado en cierta dirección, aparentemente al azar. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, el número de electrones dispersados aumenta a miles y a millones, observándose que mayor número de electrones se dispersan en ciertas direcciones preferentes, y así, se va formando el patrón de difracción. De los resultados experimentales de Davisson y Germer pueden obtenerse las conclusiones siguientes: (a) Los electrones poseen propiedades de partícula y de onda. La relación cuantitativa entre ellas está expresada por la relación de de Broglie; ecuación (1). (b) No puede predecirse exactamente el comportamiento de un electrón sino únicamente su comportamiento probable. (c) En mecánica cuántica no existen trayectorias definidas. (d) La probabilidad de observar a un electrón en una región dada, es proporcional a la intensidad de su campo ondulatorio asociado. (e) El principio de superposición se aplica a las ondas de de Broglie, tal como se aplica a las ondas electromagnéticas. Las conclusiones (a) y (b) no necesitan comentarios. La conclusión (c) se sigue de (b), debido a que, clásicamente, para condiciones iniciales dadas, una partícula se mueve en una trayectoria única bajo la influencia de fuerzas especificadas. La conclusión (d) se obtiene del paralelismo entre los patrones de difracción para rayos-X y para electrones, producidos por un determinado cristal. Por último, la conclusión (e) se obtiene de que el patrón de difracción se produce por interferencia de ondas secundarias, generadas en cada átomo del cristal, o sea, por combinación lineal o superposición de estas ondas. Estas, conclusiones forman el punto de partida de todo el desarrollo de la mecánica cuántica. Se ha llegado a ellas sin hacer referencia al tipo de interacción entre los electrones (o rayos-X) y los átomos del cristal, y sin estudiar las particularidades del patrón de difracción formado como resultado de esta interacción. Este argumento se basa

La constante h es la constante universal de Planck o el cuanto de acción. La hipótesis anterior fue consecuencia de que de Broglie tratara de acomodar un número entero de semilongitudes de onda en una órbita de Bohr para entender la condición de cuantización de Bohr, aparentemente arbitraria. Pero Davisson y Germer observaron que electrones de momento lineal p, dispersados por un cristal, se distribuían en un patrón de difracción, exactamente como lo harían rayos-X de la misma longitud de onda dispersados por el mismo cristal. Por lo tanto, se verificó cuantitativamente y directamente la hipótesis de de Broglie. El cuanto de acción tiene dimensiones de momento lineal por longitud o lo que es lo mismo, de energía por tiempo, siendo su valor numérico. h = 6.625 X 10-" erg-sec.

En la mayoría de las aplicaciones cuánticas resulta más conveniente usar la cantidad h/2tr, que se abreviará h y será denominada "/z barra". Su valor numérico es, h = h¡lTT = 1.054 x 10~27 erg-sec. En términos de t í , la relación de de Broglie puede escribirse como X = X/27T = hlp,

donde se ha introducido la longitud de onda reducida X (lambda barra), que, físicamente, caracteriza mejor a la onda que la propia longitud de onda. También es conveniente definir el número de onda k (más bien el número de onda reducido), como el recíproco de X . Entonces, se puede escribir la relación de de Broglie como,

p = h¡\ = 277-fc/X = ft/X = hk.

7

(1)

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LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

totalmente en el comportamiento de un cristal como una red de difracción tridimensional, calibrada por la observación de sus efectos sobre rayos -X de propiedades conocidas. Sin embargo, es poco satisfactorio, al menos pedagógicamente, llegar a dichas conclusiones sin explorar todos los detalles. Pero el entender estos detalles requiere conocer la interacción de un electrón con los átomos de un sólido cristalino, cuya interacción no puede comprenderse sin antes haber entendido la mecánica cuántica. Por esta razón, se considerará a continuación dos experimentos "cruciales", aunque idealizados, de los cuales se obtienen los mismos resultados en forma más o menos inmediata. Estos experimentos son versiones en una dimensión de la difracción y de la dispersión, interviniendo en ellos los sistemas más simples. Sin embargo, los experimentos se realizan sólo en principio y no en la práctica. El primer experimento se muestra en la Figura l(a). Una partícula de carga positiva e y masa m se lanza con momento lineal p a lo largo del eje de un tubo, cuyas paredes se encuentran a potencial cero. Separado infinitesimalmente y alineado con él, se encuentra un segundo tubo a un potencial mayor VQ .

Se supone que la energía de la partícula es EI = pi?/2m y es menos que eVo, como se muestra en la Fig. 1 (b). Clásicamente, la partícula se reflejará en la interfase regresando a lo largo del eje del primer tubo sin cambiar la magnitud de su momento lineal. Si se incrementa la energía hasta alcanzar el valor E2 , mayor que eVo, como también se muestra en la Fig. l(b), clásicamente se predice que el electrón se desacelera en la interfase y pasa al segundo tubo con momento lineal p tal que,

I

Para el caso en que la energía es E± , los resultados de este experimento concuerdan con la predicción clásica, pero no en el caso en que la energía es EI . Para EI mayor que eV$ , la partícula no siempre se transmite sino que algunas veces se refleja. Sin embargo, cuando EI crece, la reflexión decrece, hasta que, prácticamente, la partícula nunca se refleja coincidiendo con la predicción clásica. Si se define el coeficiente de transmisión T como el número relativo de veces que la i.o

Primer tubo

Segundo tubo

y=o

v=va (a)

E...

(b)

Figura 1. (a) El sistema de tubos, (b) la energía potencial U como función de la distancia a lo largo del eje del sistema de tubos. Por facilidad se ha supuesto que U varía discontinuamente. Una partícula clásica se refleja si su energía es E± y se transmite si su energía es EI .

R

E

eVa

E

Figura 2. Coeficientes de transmisión y reflexión como funciones de la energía en el sistema de tubos. Las líneas punteadas se refieren a las predicciones clásicas.

partícula se transmite y el coeficiente de reflexioné como el número relativo de veces que la partícula se refleja, entonces, R + T = 1 y los resultados se muestran en la Figura 2. La predicción clásica está representada por la línea punteada y el resultado experimental por la curva continua, la cual no puede explicarse clásicamente. Hay que recalcar que, en el intervalo de energía donde puede ocurrir la transmisión o la reflexión, no hay forma de predecir el comportamiento preciso de la partícula o asociarle una trayectoria bien definida. Lo único que se puede decir es que la partícula se refleja con probabilidad R, o bien, que se transmite con probabilidades T = 1 — R. Otro experimento ideal pero más revelador de las conclusiones anteriores se logra al alinear, con el segundo tubo, un tercer tubo a potencial cero. El potencial U se muestra en la Figura 3. La longitud del tubo intermedio es 2a y el origen se ha colocado a la mitad de este

H^tek, j^^ÉP^**' DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN U^^^ LA LANATURALEZA NATURAL

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

11

U

T

1 O -•

Resultado experimental Predicción clásica

eVH

y=o

2a Figura 3. Barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

tubo. Un potencial como el de la Figura 3 se llama potencial cuadrado repulsivo; si VQ fuera negativo, sería atractivo. La teoría clásica predice que la partícula se refleja si su energía E\ es menor que eVq y se transmite por encima de la barrera si su energía es EI excede a eVo, como se muestra en la Figura 3. En ambos casos la Interpretación es errónea si la barrera es lo suficientemente estrecha. Sin importar el signo de E — e V0, siempre que esta diferencia no sea muy grande, una fracción de las partículas se transmite y una fracción se refleja. Definiendo los coeficientes de reflexión y transmisión como antes, el coeficiente de transmisión experimental como función de la energía se muestra en la Figura 4. La predicción clásica también se muestra en la figura. Estos resultados son sorprendentes. Particularmente notable es el hecho de que la partícula pueda transmitirse a través de la barrera cuando su energía no es suficiente para que la sobrepase, o sea, que la energía cinética sería negativa al encontrarse la partícula en el interior de la barrera. Clásicamente no se puede asociar un significado físico a una energía cinética negativa, y el movimiento en tal región resulta imposible. Por lo tanto, se tiene la paradoja de que la partícula atraviesa dicha región prohibida y aparece del otro lado de la barrera. Este resultado se conoce como efecto túnel ya que la partícula tiene que atravesar la barrera de potencial. Por el momento sólo se recalcará que la idea de trayectoria clásica pierde su significado cuando los efectos cuánticos son importantes.

Figura 4. Coeficiente de transmisión para la barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

Es importante estudiar las oscilaciones del coeficiente de transmisión. Si el primer máximo ocurre a una energía e por encima de la altura de la barrera, el segundo máximo se observará a 4 e, el tercero a 9 e, etc. Al repetir el experimento variando la anchura de la barrera, se encuentra que el valor de e es inversamente proporcional al cuadrado de la anchura de la barrera. Entonces, se concluye que la energía En del máximo n-ésimo es tal que,"^,,- eVo es proporcional a nja. Si llamamos p al momento lineal de la partícula al pasar por encima de la barrera, el momento lineal pn del máximo n-ésimo satisface la relación n h 2a = = • — 2 pn

donde la constante de proporcionalidad resulta ser la constante de Planck. Dicho de otra manera, cuando la anchura de la barrera, 2a, es un múltiplo semientero de h/p, la transmisión alcanza su valor máximo de uno y el coeficiente de reflexión es cero resultando que la barra es perfectamente transparente únicamente para estos valores particulares. Este comportamiento es exactamente análogo al de la transmisión de la luz a través de una placa delgada de dieléctrico o de una película, cuando el coeficiente de reflexión se anula porque el espesor de la película es igual a un número entero de semilongitudes de onda. Por consiguiente lo que se observa es un fenómeno ondulatorio y explí-

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MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

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4. MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO

citamente, existe una onda de longitud de onda X asociada a una partícula de momento lineal p, lo cual concuerda con la predicción de de Broglie y los resultados experimentales de Davisson y Germer. La explicación de las observaciones anteriores sería como sigue. A la partícula incidente en el primer tubo se le asocia una onda que se llamará onda de de Broglie y expresada como, (2)

Cuando esta onda choca con la primera cara de la barrera de potencial, parte se transmite al interior de la barrera y parte se refleja. La onda transmitida al interior de la barrera tiene la forma

Es ilustrativo examinar las magnitudes de las ondas de de Broglie para algunos casos representativos: (a) Un electrón de energía E (en electrón voltios) P

VlmE

10-" E-"2 cm

(b) Un protón de energía E (en electrón voltios) X - 5 x 10-10 E~112 cm

(c) Una masa de un gramo moviéndose a una velocidad de un centímetro por segundo

i/, = eifxlh.

X = 10-27 cm.

Parte de esta onda se transmite fuera de la barrera y parte se refleja en la segunda interfase. La onda reflejada llega a la primera interfase donde parte se transmite y parte se refleja, volviéndose a repetir el mismo proceso con la onda reflejada en la segunda interfase y así sucesivamente. Por lo tanto, la onda transmitida hacia la derecha será una superposición de ondas múltiplemente reflejadas. La condición para que estas ondas interfieran constructivamente para dar un máximo en la transmisión es que la anchura de la barrera sea un múltiplo entero de semilongitudes de ondas. En esta explicación se encuentra implícita la idea de que las intensidades de las ondas transmitidas y reflejadas deben de asociarse con las probabilidades de transmisión y reflexión de la partícula. En esta interpretación no es esencial que la energía cinética sea negativa o que el momento lineal sea imaginario. Para un momento lineal imaginario la longitud de onda de de Broglie también es imaginaria, y por lo tanto, las ondas correspondientes son ondas atenuadas y no ondas que se propagan. Estas ondas existen y pueden explicarse satisfactoriamente. El efecto túnel podría explicarse cualitativamente con estos argumentos. La onda que se transmite hacia el interior de la barrera resulta ser una onda atenuada. Llega a la segunda interfase con menor amplitud, pero después de transmitirse se convierte de nuevo en una onda que se propaga. Si la barrera es ancha, la atenuación es grande y la transmisión cae exponencialmente a cero, lo cual concuerda con la observación, *

Estos números nos revelan por qué los efectos cuánticos sólo se manifiestan a nivel atómico. A nivel macroscópico todas las dimensiones son enormes comparadas con las longitudes de onda de de Broglie, por lo cual, las características ondulatorias no son détectables. En el dominio atómico y subatómico las dimensiones son comparables con las longitudes de onda de de Broglie y, por lo tanto, las características ondulatorias predominan. Estos números también aclaran las dificultades para realizar en el laboratorio el experimento ideal con los tubos antes mencionados. Para simplificar se supuso que los potenciales cambiaban discontinuamente, aunque, en realidad cambian a lo largo de una distancia, por ejemplo b, lo cual complica el análisis pero no cambian las características cualitativas de los resultados. Sin embargo, la magnitud de los efectos cuánticos dependen crucialmente del tamaño de b. Los efectos serán apreciables solamente si b es menor que la longitud de onda o comparable con ella. Considerando el caso más favorable, el del electrón, se concluye que el espacio entre los tubos debe ser de unos cuantos anstroms, es decir, de unos cuantos diámetros atómicos. A escala atómica existen experimentos análogos a los mencionados anteriormente. La emisión de electrones de un metal correspondería al primer experimento y el decaimiento nuclear de partículas, considerado como efecto túnel, correspondería al segundo. El paso de un electrón externo a través de un átomo correspondería al segundo experimento. Se observan resonancias en la transmisión, las cuales se conocen como efecto Ramsauer. En todos estos experimentos intervienen sistemas físicos muy complejos cuyas propiedades no

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Un tratamiento detallado se presenta en la Sección 7 del Capítulo VI.

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

edén entenderse sin antes haber comprendido perfectamente la tánica cuántica. EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS Anteriormente se ha demostrado que las partículas clásicas tienen turaleza dual por exhibir propiedades ondulatorias. A continua>n, se describirán algunos experimentos que demuestran cómo las das electromagnéticas exhiben propiedades corpusculares. Laprimeindicación de este hecho provino de las propiedades espectrales de radiación de un absorbedor perfecto o cuerpo negro. Una buena roximación de él se puede obtener en la forma siguiente. Se toma recipiente construido de paredes opacas a la radiación electromagtica y que tenga un agujero infinitesimal en la superficie. La radiain que entra por el agujero tiene una probabilidad grande de no say así, el agujero se comporta como un cuerpo negro. El campo de Ilación en el interior del recipiente en equilibrio térmico con éste a nperatura T, se puede considerar como la radiación de cuerpo ne>. Puede estudiarse experimentalmente examinando la radiación e escapa por el agujero infinitesimal. Su distribución espectral y isidad de volumen dependen solamente de la temperatura y no de propiedades particulares de las paredes o de alguna otra causa. Deio a esta independencia, resulta que la radiación del cuerpo negro un fenómeno muy importante para entender el intercambio de ;rgía entre la materia y la radiación cuando se encuentran en equino térmico. La física clásica no explica satisfactoriamente el especde esta radiación. El argumento es como sigue. El campo electromagnético en el interior de una cavidad puede scribirse completamente como una superposición de modos caracisticos de vibraciones armónicas del campo en la cavidad. La amtud de cada modo es independiente y, en principio, puede ser asigda arbitrariamente. Cada modo representa un grado de libertad del upo de radiación y estos grados de libertad son de tipo vibracional. i acuerdo al teorema de equipartición de la mecánica estadística .sica, cada grado de libertad vibracional tiene la misma energía proídio kT en el equilibrio térmico. No es difícil demostrar que el nú¡ro de modos en el intervalo de frecuencia entre v y (v + dv) es rr/c 3 )Kv2c?v, donde V es el volumen de la cavidad. Entonces, se tiene el resultado paradójico de que el espectro de la densidad de srgía para el cuerpo negro es (Sir/c^^kTv^dv, lo cual significa e la densidad de radiación con frecuencia entre v y v + dv crece infinidamente con el cuadrado de la frecuencia y que, por lo tanto, ínergía electromagnética total en la cavidad es infinita.

EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS

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Ejercicio 1. Considerar una caja cúbica de volumen V con paredes perfectamente conductoras. (a) Demostrar que el número de modos de vibración con frecuencias entre v y v + dv está dado por (Sw/c3) Vv2 dv (referencia [3]). (b) ¿Se comportará esta caja como cuerpo negro a todas las frecuencias si tiene una partícula de polvo en su interior? ¿Cuales serán sus propiedades a frecuencias muy bajas? Este resultado clásico, conocido como la ley de Rayleigh-Jeans, no es totalmente incorrecto; esta ley predice exactamente la parte del espectro correspondiente a bajas frecuencias. Para altas frecuencias el espectro observado es menos intenso que el predicho clásicamente y eventualmente tiende a cero exponencialmente. Se podría expresarlo de otra manera diciendo que no todos los grados de libertad asociados con las frecuencias altas participan en el reparto de energía y que los correspondientes a las más altas no participan. El misterio de que algunos grados de libertad no participen fue explicado por primera vez por Planck cuando propuso que la energía de un modo vibracional de frecuencia v podía tomar únicamente valores discretos y no podía variar continuamente como en mecánica clásica.3 Supuso que la energía, partiendo de cero, podía crecer sólo por saltos iguales de magnitud proporcional a la frecuencia. La constante de proporcionalidad es precisamente la constante de Plank y la energía de un cuanto de frecuencia v, o frecuencia angular

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y entonces, la energía de un oscilador tendrá solamente los valores permitidos O, ^w, 2ftw, . . . . Es fácil ver que, por lo menos cualitativamente, la idea de Planck es correcta. Para modos de frecuencia suficientemente baja, los saltos de energía son muy pequeños comparados con las energías térmicas y, por lo tanto, el teorema de equipartición clásico no se modifica. Para modos cuyas frecuencias son suficientemente altas, los saltos de energía son grandes comparados con las energías térmicas, por lo cual estos modos no participan en el reparto de energía. Entonces, resulta que la energía promedio de un grado de libertad vibracional de frecuencia v a temperatura T es, 3 Se está presentando el argumento desde un punto de vista moderno. Planck asoció características cuánticas únicamente a osciladores materiales, los cuales introdujo para representar las propiedades de las paredes de la caja, y no a los modos de vibración del campo electromagnético. Einstein fue el primero que se dio cuenta de que el campo de radiación también debía de estar cuantizado.

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COMPLEMENTAREIDAD - EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

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que recobra el valor clásico kT cuando fua/kT y momento lineal ñu/c y aplicando, a la coliión, las leyes usuales de conservación de energía y momento lineal. Ejercicio 3. Demostrar que en la dispersión de Compton

onde A.c = h/mc es la llamada longitud de onda de Compton, m es la nasa del electrón, A es la longitud de onda de los rayos-X inciden tes y E. U. Condón, en Physlcs Today. Vol. 15, No. 10, p. 37, Oct. 1962.

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X' es la longitud de onda de los rayos-X dispersados a un ángulo 0. La longitud de onda de Compton puede tomarse como una longitud fundamental asociada con una partícula de masa m. ¿Cuál es su valor numérico aproximado para un electrón, para un protón, para un mesón ir y para una bola de billar? (Ver la referencia [3]). 6. COMPLEMENTAREIDAD Como resultado de las consideraciones anteriores se ha establecido que, en la naturaleza, existe cierta simetría entre partículas y ondas, de la cual carece totalmente la física clásica, en donde cierta entidad tiene exclusivamente una de estas características. Estas conclusiones llevan a grandes dificultades conceptuales. De alguna manera se tienen que reconciliar los conceptos clásicos de partícula y onda. En esta reconciliación interviene un principio que se conoce como principio de complementareidad, enunciado por primera vez por Bohr. La dualidad partícula-onda es uno de los muchos ejemplos de la complementareidad. La idea es la siguiente; los objetos en la naturaleza no son partículas ni son ondas; un experimento o medición que resalte una de estas propiedades, lo hace necesariamente a expensas de la otra. Un experimento diseñado para aislar o describir las propiedades de partícula, tales como la dispersión Compton o la observación de trayectorias, no proporciona información sobre los aspectos ondulatorios. Por otra parte, un experimento diseñado para aislar las propiedades ondulatorias, por ejemplo la difracción, no proporciona información acerca de las propiedades corpusculares. Este conflicto se resuelve estableciendo que estos aspectos irreconciliables no pueden, en principio, observarse simultáneamente. Otros ejemplos de complementareidad pueden ser, la posición y el momento lineal de una partícula, la energía de un estado y el tiempo que dura dicho estado, la orientación angular de un sistema y su momento angular, etc. Ahora se puede establecer en forma general el principio de complementareidad. La descripción cuántica de las propiedades de un sistema físico se expresa en términos de parejas de variables mutuamente complementarias. La precisión en la determinación de una de estas variables, necesariamente implica una imprecisión en la determinación de la otra. 7. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Hasta aquí la atención se ha concentrado en experimentos que no pueden explicarse mediante la mecánica clásica y que al mismo tiempo ponen de manifiesto ciertos aspectos de la mecánica cuántica. Sin

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embargo, no hay que olvidar que existe un dominio enorme, el dominio macroscópico, para el cual es válida la mecánica clásica. Entonces, se tiene un requisito obvio que la mecánica cuántica debe satisfacer; en el límite clásico apropiado la mecánica cuántica debe llegar a las mismas conclusiones a que llega la mecánica clásica. Matemáticamente, este límite es aquél para el cual h puede considerarse pequeña. Por ejemplo, para el campo electromagnético significa que el número de cuantos en el campo es muy grande. Para partículas, significa que la longitud de onda de de Broglie es muy pequeña comparada con todas las otras dimensiones importantes del problema. Naturalmente que los resultados de la mecánica cuántica son probabilísticos por naturaleza, mientras que los resultados de la mecánica clásica son completamente determinísticos. Por ello, en el límite clásico, las probabilidades cuánticas deben de convertirse en certidumbres; las fluctuaciones resultan despreciables. Este principio, o sea que en el límite clásico las predicciones de las leyes cuánticas deben de estar en correspondencia de uno a uno con las predicciones clásicas, se llama el principio de correspondencia. Sus requisitos son suficientemente rigurosos para que, partiendo de la idea de ondas de de Broglie y su interpretación probabilística, las leyes de la mecánica cuántica puedan determinarse del principio de correspondencia, como se demostrará más adelante. Problema 1. Calcular, con dos cifras significativas, las longitudes de onda de de Broglie siguientes: (a) Un electrón moviéndose a 107 cm/seg. (b) Un neutrón térmico a temperatura ambiente, es decir, un neutrón en equilibrio térmico a 300°K moviéndose con la energía térmica promedio. (c) Un protón de SQMeV. (d) Una pelota de golf de lOOgm. moviéndose a 30 metros/seg. Problema 2. Considerar un electrón y un protón con la misma energía cinética T. Calcular la longitud de onda de de Broglie para cada uno, con una cifra significativa en los casos siguientes: (a) T=30í?F. (b) T=3 (c) T=3 (d) T= 30 GeV= 30,000MeV. Nota: Con bastante exactitud, la energía en reposo de un electrón es 0.5 MeV, y la de un protón es de 1 GeV. La relación entre energía cinética, momento lineal y masa en reposo puede expresarse como E = T + me2 = V(mc 2 ) 2 + (pe)2.

II

Funciones de estado y su interpretación

1. LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

Las consideraciones que se han hecho en el capítulo anterior han conducido a la idea de que la descripción de cierto tipo de comportamiento de las partículas, requiere la introducción de las ondas de de Broglie. Estas ondas exhiben propiedades de interferencia y la intensidad en una región dada está asociada con la probabilidad de encontrar a la partícula en esa región. A continuación se intentarán generalizar estas ideas y al mismo tiempo definirlas mejor. Para simplificar las características matemáticas, se considerará el caso del movimiento de una partícula en una sola dimensión bajo la influencia de una fuerza externa determinada. Como primer paso se describirá el estado de movimiento en un instante de tiempo. En mecánica clásica, dicha descripción se establece especificando la posición y el momento lineal de la partícula en el instante de tiempo considerado. Las leyes de Newton suministran la receta para determinar la evolución del tiempo. Pero se ha recalcado que tal descripción no es válida en la mecánica cuántica, ya que las trayectorias de las partículas no están definidas con exactitud. Para poder empezar el estudio de la mecánica cuántica se hará la hipótesis mínima de que el estado de una partícula al tiempo t se describe completamente, o por lo menos tan completamente como sea posible, mediante una función i|» que se llamará la función de estado de la partícula o del sistema.

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FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN

LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

Entonces, se deben de contestar las preguntas siguientes: (1 ) ¿Cómo se especifica «/» ? ¿O sea, cuáles son las variables de las que depende? (2) ¿Cómo se interpreta