Elementos de Calculo Numerico

Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem´atica Primer Cuatrimestre de 2004

´ lculo Nume ´rico Elementos de Ca Pr´ actica N◦ 2: Normas y condicionamiento de una matriz Eliminaci´ on de Gauss y descomposici´ on LU. µ 1. Calcular la norma 2 de la matriz A =

3 0 4 5

¶ .

2. Se quiere estimar la norma 2 de una matriz A ∈ R3×3 como el m´aximo del valor kAxk2 /kxk2 entre varios vectores x ∈ R3 no nulos generados al azar. Hacer un programa que pida el ingreso de una matriz A y luego • genere los primeros 100 t´erminos de la siguiente sucesi´on: s1 = 0,

n kAx k o k 2 sk+1 = max sk , kxk k2

donde los xk ∈ R3 son vectores no nulos generados al azar. • grafique la sucesi´on calculada, junto con el valor exacto de la norma de la matriz. Recordar que tanto la norma de un vector como de una matriz se calculan en Matlab con el comando norm. Tener en cuenta que se debe chequear correctamente que los vectores generados al azar (comando rand) resulten no nulos.   3 0 0 3. Sea A =  0 45 34 . Calcular cond2 (A) y cond∞ (A). 0 43 54 4. Probar que si A ∈ Rn×n es una matriz inversible y k k es una norma matricial, la condici´on de A verifica la desigualdad: ½ ¾ 1 kA − Bk ≤ inf : B es singular cond(A) kAk Nota: M´as a´ un, vale la igualdad, pero la otra desigualdad es un poco m´as complicada de probar. De dicha igualdad se puede concluir que cond(A) mide la distancia relativa de A a la matriz singular m´as pr´oxima. 5. (a) Mostrar que cond∞ (A) → ∞ cuando ε → 0 para     1 1 1 1 0 1+ε 3 4 . (i) A =  1 ε ε2  , (ii) B =  2 1 0 0 1−ε 0 1 (b) Concluir que la condici´on de las matrices A y B del ´ıtem anterior tienden a infinito, cualquiera sea la norma considerada.

6. Sea A la matriz del ejercicio 3. Se quiere resolver el sistema Ax = b para un valor de b 6= 0 que se conoce con una precisi´on mayor que 10−3 ; es decir, se conoce el k∆bk2 valor conjunto de b + ∆b y se sabe que el error relativo < 10−3 . kbk2 (a) Estimar el error relativo de la soluci´on hallada x˜ = x + ∆x. (b) Encuentre un ejemplo para b y ∆b 6= 0 de modo que 2 . cond2 (A) k∆bk kbk2

k∆xk2 kxk2

sea exactamente

7. Sea x la soluci´on exacta al sistema Ax = b y x˜ la soluci´on obtenida num´ericamente. Se llama “vector residual” a r := b − A˜ x. Si e = x − x˜ se tiene Ae = r. Mostrar que: 1 krk kek krk ≤ ≤ cond(A) . cond(A) kbk kxk kbk Concluir que para una matriz mal condicionada los m´etodos num´ericos no aseguran buena aproximaci´on. ¶ µ 1 2 , bn = (1, 2 − n12 ) y se quiere 8. Para cada n ∈ N, se definen An = 2 4 + n12 resolver el sistema An x = bn . Utilizando cierto m´etodo num´erico se obtiene como resultado el vector (1, 0). (a) Calcular el vector residual producido por esta soluci´on tentativa. ¿Puede decirse que para n grande la soluci´on es razonablemente confiable? (b) Resolver An x = bn en forma exacta, calcular cond∞ (An ) y verificar la cota de error del ejercicio 7. 9. Sea Dn la matriz diagonal de n×n con elementos diagonales iguales a 1/10. Calcular el determinante de Dn y ver que det(Dn ) → 0 si n → ∞. ¿Dn est´a mal condicionada? 10. (a) Escribir un programa en Matlab que resuelva un sistema Ax = b, A ∈ Rn×n usando eliminaci´on gaussiana sin pivoteo. (b) Adaptar el programa del ´ıtem anterior para que calcule la matriz A−1 . 11. Para cada n ∈ N, se quiere calcular la soluci´on del sistema lineal: 10−n x + 2y = 8 x+y = 2 utilizando eliminaci´on gaussiana sin pivoteo, con aritm´etica de punto flotante de 3 d´ıgitos y sistema de redondeo. (a) Para n = 2 y n = 3, analizar si el resultado difiere significativamente de la soluci´on real. (b) Para n = 3, repetir el m´etodo de eliminaci´on gaussiana eligiendo el pivote m´as conveniente.

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 2 4 −1 0  4 10 −1 −1   12. Obtener la descomposici´on LU de la matriz   6 10 −7 1  de las siguientes 0 2 1 −2 dos maneras: 

(a) mediante el algoritmo de eliminaci´on gaussiana, (b) despejando los coeficientes de L y U ordenadamente. 13. Sea A ∈ Rn×n una matriz que admite descomposici´on LU . (a) Estimar cu´antas operaciones se necesitan para calcular esta descomposici´on de A, despejando los coeficientes de L y U . (b) Se quiere calcular el determinante de A. Para n ≥ 2, mostrar que si esto se hace mediante el desarrollo sucesivo por alguna fila o columna, entonces se requieren m´as de n! operaciones. Estimar cu´antas operaciones se necesitan para calcularlo si se utiliza la descomposici´on LU . 14. Demostrar que si todos los menores principales de una matriz A ∈ Rn×n son no singulares, entonces ´esta admite descomposici´on LU . 15. Probar que la matriz no singular: 

 0 0 1  1 0 0  0 1 0 no tiene una descomposici´on LU , mientras que la matriz singular A − I s´ı la tiene. Dar la matriz de permutaciones P tal que P A tenga una factorizaci´on LU . 16. Considerar el algoritmo de eliminaci´on gaussiana sin pivoteo aplicado a un sistema Ax = b donde A ∈ Rn×n es una matriz tridiagonal. Demostrar que si A es adem´as estrictamente diagonal dominante, entonces durante la ejecuci´on del algoritmo no se encuentra ning´ un pivote nulo. (Ayuda: demostrar que si A es estrictamente diagonal dominante, entonces luego de hacer cada etapa de la eliminaci´on la matriz resultante tambi´en lo es.) 17. Sea A ∈ Rn×n una matriz tridiagonal tal que en el proceso de eliminaci´on gaussiana no se encuentra ning´ un pivote nulo. Demostrar que A admite descomposici´on LU con L y U tambi´en tridiagonales. 18. Adaptar el programa del ejercicio 10 para que resuelva un sistema de ecuaciones Ax = b, donde A ∈ Rn×n es una matriz tridiagonal. Utilizar el comando flops de Matlab para conocer la cantidad de operaciones efectuadas y comparar con las que se requieren al resolver el mismo sistema utilizando los comandos inv y \, que no est´an especialmente pensados para matrices tridiagonales.

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19. La n-´esima matriz de Hilbert Hn ∈ Rn×n , se define de la siguiente manera 1 (Hn )i,j = . i+j−1 Estas matrices son un ejemplo de matrices mal condicionadas y por tal motivo se las utiliza habitualmente para testear rutinas num´ericas. (a) Demostrar que cond∞ (Hn ) ≥ n2 . (b) Utilizar su programa del ejercicio 10 para calcular la inversa de la matriz de Hilbert H9 . Verificar su resultado calculando los productos H9 H9−1 y H9−1 H9 . Comparar con el resultado obtenido mediante el comando inv. Nota: En realidad, cond∞ (Hn ) es mucho mayor que n2 . Estas matrices pueden obtenerse en Matlab mediante el comando hilb(n) y su condici´on infinito puede calcularse con el comando cond. 20. Considerar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b,  1 2 3 4 5 6 7 8  2 1 0 0 0 0 0 0   3 0 1 0 0 0 0 0   4 0 0 1 0 0 0 0   5 0 0 0 1 0 0 0 A=  6 0 0 0 0 1 0 0   7 0 0 0 0 0 1 0   8 0 0 0 0 0 0 1   9 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

con

 9 10 0 0   0 0   0 0   0 0  . 0 0   0 0   0 0   1 0  0 1

Utilizando el comando lu de Matlab, verificar que la eliminaci´on gaussiana puede crear elementos no nulos en lugares donde inicialmente hab´ıa ceros (es decir, se produce una matriz densa a pesar de partir de una matriz rala). En muchas aplicaciones, uno debe resolver un sistema de ecuaciones lineales del orden de 104 × 104 donde hay a lo sumo 5 elementos no nulos por fila. Es decir, hay a lo sumo 5 × 104 elementos no nulos en la matriz, cifra bastante inferior a la cantidad total de elementos. Calcular qu´e cantidad de bytes (2 bytes por elemento) ocupar´ıa una matriz densa de esas dimensiones. Este tipo de situaci´on motiva el estudio de m´etodos de resoluci´on de sistemas con matrices ralas que no involucren un llenado excesivo. 21. Utilizar el Teorema de Cholesky para demostrar que las siguientes propiedades de una matriz son equivalentes: • A es sim´etrica y definida positiva • hay un conjunto de vectores linealmente independientes x1 , x2 , · · · , xn de Rn , tales que aij = (xi )t xj .   4 2 −2 22. Considerar la matriz  2 5 5  . −2 5 11 Mostrar que es definida positiva y calcular su descomposici´on de Cholesky. 23. Estimar cu´antas operaciones se requieren para hallar la descomposici´on de Cholesky de una matriz sim´etrica y definida positiva A ∈ Rn×n . 4