Elementos Curvos

CAPÍTULO 5: ELEMENTOS CURVOS 5.1 Flexión en vigas curvas: método de Winkler El siguiente es el método de análisis presentado presentado por E. Winkler . Se supone un tramo de barra curva de sección constante sometida a flexión pura, producida por la aplicación del momento M en sus extremos, tal como muestra la fig. 5.1.

El análisis se basa en las siguientes suposiciones: Las secciones transversales tienen un eje de simetría centroide (por el centroide centroide de las mismas) en un plano a lo largo de la viga. Las secciones transversales transversales planas permanecen planas después de la flexión 2). Las fuerzas exteriores actúan en el plano de curvatura de la viga.

Se consideran dos secciones s ecciones AB y CD infinitamente próximas y que forman el ángulo dd antes de la flexión. Al aplicar el momento M la sección CD gira un ángulo 5d9. Para una determinada fibra a una distancia z de la fibra neutra, la deformación unitaria será

Según la ley de Hooke a dicha deformación unitaria corresponde el siguiente esfuerzo normal:

La fuerza que actúa en el pequeño elemento de sección dA será:

Por condición de equilibrio, la suma de estas fuerzas elementales distribuidas en la sección analizada debe ser igual a cero, luego:

Se consideran dos secciones s ecciones AB y CD infinitamente próximas y que forman el ángulo dd antes de la flexión. Al aplicar el momento M la sección CD gira un ángulo 5d9. Para una determinada fibra a una distancia z de la fibra neutra, la deformación unitaria será

Según la ley de Hooke a dicha deformación unitaria corresponde el siguiente esfuerzo normal:

La fuerza que actúa en el pequeño elemento de sección dA será:

Por condición de equilibrio, la suma de estas fuerzas elementales distribuidas en la sección analizada debe ser igual a cero, luego:

Otra condición de equilibrio es que la suma de los momentos generados por las fuerzas normales elementales dF en toda la sección en análisis debe igualarse con el momento exterior M:

En esta expresión se puede hacer el siguiente arreglo

En esta última expresión J z dA representa el momento estático o momento de primer  A • » orden de la sección con respecto al eje neutro, es decir, se puede escribir que z dA = A e,  A mientras que la segunda integral se reduce a cero de acuerdo al resultado obtenido en la expresión (5.3). Entonces, de (5.4) podemos afirmar:

Si reemplazamos (5.7) en (5.2) obtenemos la distribución de esfuerzos para la sección analizada en función de la distancia z:

Este resultado muestra que el esfuerzo en una fibra a una distancia z de la fibra neutra, no es proporcional a dicha distancia. En la fíg. 5.2 se muestra la distribución de esfuerzos en función de la distancia a la fibra neutra z.

Los esfuerzos máximos (se dan en las fibras más alejadas z = c. y z= c,) son :

Ubicación de la fibra neutra (determinación de /•„): si hacemos el cambio de variable M = r +z en la expresión (5.3):

Esta última ecuación nos permite calcular el radio de la fibra neutra para cualquier tipo de sección. Por ejemplo, para el caso de una sección rectangular

En la tabla 5.1 se pueden ver expresiones de r g y r n para diferentes secciones conocidas.

Tabla 5.1 Radio de curvatura de la capa neutra (r^) y de la capa baricéntrica o centroidal (r¿) para secciones típicas de vigas curvas.

La figura muestra el esquema de una prensa hidráulica capaz de proporcionar una fuerza de trabajo de F = 20 ton (el pistón se desplaza hacia abajo para comprimir algo en la mesa). La prensa es de un hierro fiíndido cuyas

Se pide dimensionar la sección transversal de la parte curva de la prensa para un factor de seguridad FS = 2. Las dimensiones de la sección típica  A-A son:

Solución: La sección A-A es la más crítica en la parte curva del bastidor (mayor momento flector y fuerza normal).

Un análisis sencillo de la distribución de esfuerzos en la sección crítica (ver siguiente figura) lleva a pensar que probablemente la fibra interna (punto N) está más cargada que la exterior (punto M).

Aún más, la fibra interna está fraccionada mientras que la externa está comprimida y se sabe que el esfuerzo límite para material frágil a compresión es aproximadamente 3 veces mayor que para tracción. Por lo tanto analizaremos la fibra interna (punto N):

Iterando para diversos valores de a:

a(mm)

A(mm 2)

rz(mm) rn(mm e(mm) )

Mf (kgfmm)

80

67200

662.88

637.2

25.69

70

51450

642.52

622.0

69

49990

640.48

620.5

n

ᴂN

≤Adm

232´576 37.0

3.0

40.0

\

20.50

222´504 52.9

3.9

56.8

\

20.00

228´097 55.0

4.0

59.0

OK!

i

Entonces tomamos a = 69 mm. Sin embargo falta comprobar el esfuerzo en la fibra externa:

5.2 Fórmula de Winkler - Bach A continuación se muestra el análisis con el que se llega a la fórmula de WinklerBach, la cual posibilita un cálculo rápido y bastante aproximado de los esfuerzos en vigas curvas. Las hipótesis del anterior análisis siguen siendo válidas y aquí también se parte del análisis de un elemento diferencial (Fig. 5.4), pero esta vez situado a una distancia z de la capa centroidal de la viga0 .

La deformación unitaria del elemento diferencial será:

El esfuerzo correspondiente será:

En la capa centroidal (z=0) la deformación unitaria será:

Puesto que las fuerzas elementales dF distribuidas en la sección analizada deben estar en

La otra condición de equilibrio exige que la suma de los momentos originados por las fuerzas elementales sea igual al momento exterior M aplicado. Entonces:

Esta última expresión se puede hacer arreglar convenientemente:

expresión en la cual la primera integral, de acuerdo a (5.16), es igual a cero, mientras que la segunda integral es, de acuerdo a la definición de centroide de un área, también cero. Por consiguiente la expresión (5.17) queda transformada en:

Si se hace

entonces, de

Para hallar el valor de e en función de  Z y r^ se puede modificar convenientemente la expresión (5.16):

Para la determinación de los coeficientes K 0 y K¡ se procede de la siguiente manera:

Esta expresión permite calcular el valor de Z para cualquier tipo de sección. Si la sección analizada está sometida, además de flexión, a una carga normal F (tracción o compresión), se puede superponer efectos de tal manera que en forma general se tendrá para las fibras más externas (críticas):

A continuación y a manera de ejemplo se muestra la determinación de Z y de los factores K. v K: oara una sección rectangular.

Análogamente se pueden calcular K D y K¡ para otros valores de la relación r /c=2. Estos valores se pueden presentar en tablas. Así por ejemplo en la tabla 5.2 se pueden ver valores de K 0 y K¡ así como la distancia e para secciones conocidas. Estos valores de K 0 y K¡ se pueden también granear y a manera de referencia se presentan algunas curvas en la Fig. 5.6.

En todo caso se deberá tener en cuenta que los valores de la tabla 5.2 son más exactos que los que proporciona la anterior gráfica.

Tabla 5.2 Factores de Winkler-Bach para diferentes secciones y radios de curvatura.

Tabla 5.2 (continuación...)

Tabla 5.2 (continuación...)

Ejemplo 5.2 Aquí resolveremos nuevamente el problema anterior, aunque esta vez utilizando la fórmula de Winkler-Bach.

Solución: Por las razones expuestas en la primera solución, la sección  A-A es la más crítica en la parte curva del bastidor (mayor momento flector y fuerza normal).

Como en el anterior problema, empezaremos con el análisis de la fibra interna (punto N): a(mm)

Mf Ci/I

rg/Ci

Ki

i

n

ᴂN

≤Adm

(kgf/mm2)

(kgf/mm2)

(kgf/mm2)

70

42.7

4.51

1.26

53.8

3.9

57.7

\

69

44.5

4.55

1.26

56.0

4.0

60.0

OK!

De aquí: a = 69 mm. Comprobación del esfuerzo en la fibra extrema:

Se debe cumplir que:

Respuesta:



epM

→→→→→

≤ Adm = Rc/FS = 180 N/mm2 (OK!)

a = 69mm

•

Ejemplo 5.3 de elementos curvos

a) Determinar el valor de la fuerza “P” b) El esfuerzo máximo que proporciona y su ubicación c) El desplazamiento del extremo libre con una sección de 1 ½ * ¼

•

Hallando la fuerza “P”

Sumatoria de momentos en “O” +

  30°)) P4 sen° - ∫  df 4 (sen( α+ df = q ds f = qRd α  df = 25(4.125)d α  P4 sen ° - ∫25(4.125)(4) sen( α +30°)d α  50 

P4sen60° - ∫  0   412.5 sen( α +30°)d α  50 

P4sen60° - 412.5 (-cos( α +30))| 0 

P4sen60° - 412.5(-(cos(50+30) – cos(0+30))=0 P = 82.44 lb

•

Ecuacion de momento

   M θ  = -P(4sen(60°) –  4 sen θ) + ∫  0 80- θ4.125(25)(4) sen α dα    - ∫  0 30- θ  4.125(25)(4) sen α dα   

M θ   = -P4(sen60 - sen θ) + 412.5∫  0 80- θ  sen αd    α – 412.5∫  0 30- θ  412.5 senαdα 

  0 80- θ  –  412.5(-cos α )    0 30- θ   M θ   = -4P(0.866-sen θ    ) + 412.5(-cos α )  M θ  = -4P(0.866-sen θ    ) + 412.5(-(cos(80 – θ    ) –  cos(0))) – 412.5(-cos(30- θ )-     cos(0)) M θ   = -4P(0.866-sen θ )   + 412.5(1-cos(80- θ    )) – 412.5(1-cos(30- θ    )) •

Validando la ecuacion de momento

M θ  =0 = -4(82.4412)(0.806-sen0)+ (412.5(1-cos(80-0)) –  412.5 (1-cos(30-0)) M θ  =0 = 0.000012708 ≈ 0 

•

Hallamos la fuerza de cortadura

V = 0 → obtenemos el momento máximo  M θ   = -4P(0.866-sen θ )   + 412.5(1-(cos80cos θ  +sen80sen θ    )) – 412.5(1-(cos30cos  ) θ  +sen30sen θ   M θ   = -RP(0.866-sen θ    ) + 412.5(-(cos80cos θ  +sen80sen θ    )) –  412.5(-  (cos30cos80+sen30sen θ    )) dm/d θ   = -RP(-cos θ    ) + 412.5(-(cos80(-sen θ    )+sen30(cos θ    )) – 412.5(-(cos30(sen θ    )+sen30(cos θ    )) dm/d θ   = RPcos θ   + 412.5(cos80sen θ  -sen80cos θ    ) – 412.5(cos40sen θ  -sen30cos θ    ) V = (-1/R) dm/d θ  

•

Reemplazando en V

V = -1/R(RPcos θ  -R(103.125)(sen80cos θ  -cos80sen θ    ) + R(103.125)(sen30cos θ  -  cos30sen θ    ) V = -Pcos θ   + 102.125(sen80cos θ  -cos8sen θ    ) – 103.125(sen30cos θ  -cos30sen θ    ) •

Hallamos Mmax cuando V = 0

-Pcos θ  +103.125(sen80cos θ  -cos80sen θ    ) – 103.125(sen30cos θ  -cos30sen θ    ) = 0

θ   = 24.44°

•

Hallamos Mmax θ = 24.44°

M θ   = -4(82.44)(0.866-sen24.44) + 412.5(1-cos(80-24.44)) – 412.5(1-cos(30-  24.44)) M θ   = 28.1226 lb/plg → momento máximo

•

Hallando la normal en el punto critico

N = Psen24.44 + ∫  0 80-24.44  4.125(25)sen αd  α    –  4.125(25)∫  0 30-24.44  sen αd    α  55.56  α   N = Psen24.44 + 103.125(-cos   )| 0   103.125(-cos α )|    0 5.56 N = Psen24.44 + 103.125(-(cos55.56-cos0)) –  103.125(-(cos5.56-cos0)) N = 82.44sen24.44 –   103.125(cos55.56-cos0) + 103.125(cos5.56-cos0) N=78.429

•

Hallamos el esfuerzo máximo M max  = 28.126 cuando θ  =24.44 N = 78.42 lb A = πd 4  /4 = π(0.25) 2  /4 = 0.0490859

  max = ±N/A ± K I MC  /I I 

 plg 2 K I  = K O  = R/C = 4/0.125 → 32 > 10 → elemento delgado  I = πd 4  /64 = π(0.25) 4  /64 = 1.917429*10^-4 C I  = C O  = d/2 = 0.125 78.4299/0.04908 – (1)(28.1226)(0.125)/1.917429*10^-4   max  = -16735.724 lb/plg 2  → la fibra interna esta a compresión    max  =

•

Calculo del desplazamiento

  = ∫((m/EI) (dm/ dp))

ds

Reemplazamos en “   ”    =

∫(( Rm/EI)(dm/dp)) d θ  

ds = Rd θ  

M θ  = -RP(0.866-sen θ    ) + R103.125(1-cos(80- θ    ) – R103.105(1-cos(30- θ    )) M θ  real  = -M θ   = 180- θ   M θ  real = RP(0.866-sen θ    ) – R103.125(1-cos(80- θ    )) + R103.125(1-cos(30- θ    )) M θ  real = RP(0.866-sen(180- θ    )) – R103.125(1-cos( θ  -100)) + R103.125(1-cos( θ  -  150)) dm/dp = R((0.866-sen(180- θ    ))   =(R 2 m/EI)(dm/dp)

R 2  /EI∫((4(82.44)(sen60 -sen(180- θ ))    –  412.5(1-cos( θ  -100)) + 412.5(1-cos( θ  -  150)))((sen60-sen(180- θ    ))d θ  

   = •

Resolviendo la integral

S = I 1 +I 2 +I 3 I 1 =∫  60 180 4(84.44)(sen60-sen(180- θ    ))2d θ   = 77.957 180  I 2  = ∫  100  -412.5(1-cos( θ  -100))(sen60-sen(180- θ    ))d θ   = -89.726390 180  I 3  = ∫  150  412.5(1-cos( θ  -150))(sen60-sen(180- θ    ))d θ    = 7.1616 S = -4.5977