Elementi Vise Matematike - Takaci
February 9, 2017 | Author: Dejan C | Category: N/A
Short Description
Elementi Vise Matematike - Takaci PMF...
Description
u
f I ''
I:
f! I: [:
••
Đurđica Takači
Arpad Takači
••’• '
-
V- ••
Aleksandar Takači
ELEM ENTI V IŠ E M A T E M A T IK E
>
SYMBOL
N ovi Sad, 2010.
E L E M E N T IV IŠ E M A T E M A T IK E Autori: Đurđica Takači, Ai-pad Takači, Aleksandar Takači Recenzenti: Dr Mirjana Stojanović, redovni profesor Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu Dr Stojan Radenović, redovni profesor Mašinskog fakulteta u Beogradu Izdavač: SYMBOL, Novi Sad, Narodnog fronta 32 Štam pa: SP PRINT, Novi Sad Tiraž: 200 Nastavno-naučno veće Departmana za matematiku i informatiku Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu je na sednici održanoj dana 20.8.2008. godine donelo odluku da se ova knjiga štampa kao univerzitetski udžbenik. Sva prava zadržana. Nije dozvoljeno da pojedini delovi, ili knjiga u celini, budu reprodukovani fotokopiranjem, snimanjem ili korišćenjem bilo kog drugog načina presnimavanja bez prethodne pismene dozvole svih autora i izdavača. CIP - KaTajiorH3aiiHja y ny6jiHKauHjH BHSnHOTeKa MaTime cpncKe, H obh Caa 510.22(075.8) 517.5(075.8) 512.6(075.8) 517.2/3(075.8) TAKAHH, T»ypfjHna Elementi više matematike / Đurđica Takači, Arpad Takači, Aleksandar Takači. - Novi S a d : Symbol, 2010 (Novi Sad: SP print). VTII, 250 str.; grafički prikazi; 25_cin Tiraž: 200. - Bibliografija. - Registar. ISBN 978-86-85251-36-8 1. TaKaHH, Apnafl [ayrop] 2. TaKann, AjieiccaH^ap [ayrop] a) Teopnja CKynoBa b) Teopnja (})yHKHHja c) JlHHeapHa anre6pa d) /jH(})epeHniija^HH panyH e) HHTerpanHH panyH COBISS SR-ID 256625415
Predgovor Knjiga ’Elementi više matematike” objavjuje se kao udžbenik za predmete Opšta matemadka i Matematika 2 za studente hemije na Prirodno-matematičkom fakultetu u Novom Sadu. Naravno, nadamo se da će knjiga biti pristupačna i studentim a prve godine naših univerziteta, lcoji treba da savladaju osnovne elemente tzv. više matematike, i to nezavisno od njihovog predznanja. Način pisanja ove knjige predstavlja, pre svega, rezultat iskustva autora u tome kakva i kako prezentirana nastava omogućuje studentima prve godine kvalitetno i brzo ovladavanje novim oblastima matematike i navikavanje na univerzitetsld nivo izlaganja. Rukovodeći se time, odabrana je i takva koncepcija izlaganja da se sa što više primera objasne uvedeni pojmovi i argumentuje sadržaj teorema. Knjiga se sastoji od sedam glava, dodatka i priloženog kompakt diska. Svaka glava, odnosno odeljak počinje sa pregledom osnovnih pojmova i tvrdjenja i njihovih dokaza. Posle toga, dati su primeri i zadaci koji su, u principu, poredjani po srodnosti i težini. Njihov najveći broj je detaljno rešen; naravno, preporučujemo čitaocima da data rešenja koriste tek posle pokušaja rešavanja. Iskustvo pokazuje da se bez pažljivog rešavanja zadataka ne mogu savladati relativno složeni pojmovi više matematike. Izvestan broj zadataka je bio dat na pismenim ispitima iz matematike na Prirodnomatematičkom, Tehnološkom i Poljoprivrednom ili Fakultetu tehničkih nauka u Novom Sadu, kao i na Mašinskom fakultetu u Beogradu. U Dodatku na CD-u je dat kratak opis programskog paketa Scientific WorkPlace, američke kompanije MacKichan Software, kao i uputstvo za korišćenje njegovih glavnih mogućnosti sa tipičnim primerima. Primeri su dati i na priloženom kompakt disku, kao vizuelizacija sadržaja knjige. Dodajmo da je delom, kako u tekstu, tako i kod izrade slika, korišćen spomenuti programski paket Scientific WorkPlace. Na CD-u su prikazani i uradjeni zadaci u programski paket Scientific WorkP1ace i GeoGebri Prijatna nam je dužnost da se zahvalimo recenzentima: dr Mirjani.Stojanović, re-
Predgovor
dovnom profesoru Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu i dr Stojanu Radenoviću, redovnom profesoru Mašinskog fakulteta u Beogradu, koji su svojim savetima i primedbama bitno poboljšali kvalitet ove knjige. Unapred smo zahvalni svima koji nam pošalju svoje primedbe, odnosno ukažu na greške ili propuste u ovoj knjizi. Konačno, zahvaljujemo se Departmanu za matematiku i informatiku Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu koji nam je pomogao pri tehničkoj obradi ove knjige. Novi Sad, septembra 2010.
Autori
Sadržaj Predgovor
iii
Sadržaj
v
1
Uvod 1.1 S k u p o v i.......................... ....................................................................... 1.2 Grupa, prsten, p o l j e ............................................................................... 1.3 Polje realnih brojeva ........................................................................... 1.4 Apsolutna v r e d n o s t............................................................................... 1.5 Princip matematičke in d u k c ije ........................................................... 1.6 Binomnaformula ................................................................. 1.7 Polje kompleksnih b r o j e v a ..................................................................
1 1 4 5 6 .7 9 10
2
Funkcije 2.1 Osnovni p o jm o v i................................................................................... 2.2 Elementame f u n k c ije ............................................................................ 2.2.1 P o lin o m i.................................................................................. 2.2.2 Racionalne funkcije ............................................................... 2.2.3 Eksponencijalne i logaritamske fu n k c ije ............................... 2.2.4 Trigonometrijske f u n k c i j e ..................................................... 2.2.5 Inverzne trigonometrijske fu n k c ije ........................................ 2.2.6 Razni zadaci . ..................................................................... 2.2.7 Parametarsko zadavanje k r iv ih ............................................... 2.2.8 Krive date u polamim ko ordinatam a.....................................
15 15 21 21 28 30 31 32 34 35 36
3
Elementi linearne algebre 3.1 M a t r i c e ................................................................................................... 3.1.1 Sabiranje m a tric a ...................................................................... 3.1.2 Množenje m atrica..................................................................... 3.2 D e te rm in a n te ..........................................................................................
38 38 39 41 45
v
vi
Sadržaj
3.2.1 Osobine determ inanti............................................................... 3.2.2 Determinante višeg r e d a ........................................................ 3.2.3 Inverzna m a t r i c a ..................................................................... 3.2.4 Rang m a tr ic e .................... ....................................................... Sistemi lineamih je d n a č in a ................................................................. 3.3.1 Gausov metod eliminacije . . .^........................................... 3.3.2 Kramerovo p r a v ilo .................................................................. 3.3.3 Diskusija sistema linearnih’je d n a č in a ................................. 3.3.4 Rešavanje sistema jednačina pomoču m a tr ic a .................... Vektorska a lg e b ra ................................................................................. 3.4.1 Vektori u Dekartovom koordinatnom s is te m u .................... 3.4.2 Skalami proizvod v e k t o r a ..................................................... 3.4.3 Vektorski proizvod v e k to ra ..................................................... 3.4.4 Mešoviti proizvod v e k t o r a ..................................................... Analitička g e o m e trija .......................................................................... 3.5.1 Translacija i rotacija sistema.......................... .......................... 3.5.2 Krive drugog reda ................................................................... 3.5.3 Opšta jednačina krive drugog r e d a ........................................
47 48 50 55 56 58 62 64 71 73 74 75 77 81 85 85 87 89
4
G ranična vrednost i neprekidnost 4.1 N iz o v i.................................................................................................... 4.1.1 Osnovni p o jm o v i..................................................................... 4.1.2 Osobine granične vrednosti n i z a ........................................... 4.1.3 Košijevi n i z o v i ......................................................................... 4.1.4 Monotoni n i z o v i ...................................................................... 4.2 Granična vrednost f u n k c ije ................................................................. 4.2.1 Osnovni p o jm o v i..................................................................... 4.2.2 Osobine granične vrednosti fu n k c ije ..................................... 4.2.3 Neke granične vrednosti funkcija ......................................... 4.2.4 A sim ptote.................................................................................... 4.3 Neprekidnost funkcije . . .." T T " ........................................................ 4.3.1 Osnovni pojmovi i o s o b in e ..................................................... 4.3.2 Prekidi fu n k cija..........................................................................
90 90 90 95 100 101 104 104 106 110 116 118 118 120
' 5
Izvo d fu nk cije 5.1 Osnovni p o jm o v i.................................................................................. 5.2 Definicija prvog izvoda f u n k c ije ....................................................... 5.3 Tablica prvih izv o d a............................................................................... 5.3.1 Pravila za prvi izvod funkcije ................................................ 5.4 Diferencijal funkcije ...........................................................................
123 123 123 125 128 131
3.3
3.4
3.5
Sadržaj
_____________________________________ _____________
vii
5.5 Geometrijsko tumačenje izvoda i priraštaja fu n k c ije ........................ 133 5.6 Razni iz v o d i............................................................................................. 137 5.7 Izvod složene funkcije ......................................................................... 137 5.8 Izvod implicitne f u n k c ije ...................................................................... 140 5.9 Izvod inverzne fu n k c ije ......................................................................... 142 5.10 Prvi izvod funkcije date u parametarskom obliku .......................... 142 5.11 Izvodi višeg r e d a .................................................................................. 143 5.12 Primena izvoda funkcije ..................................................................... 146 5.12.1 Monotonost i ekstremne vrednostif u n k c ije ........................ 146 5.12.2 Teoreme srednje v r e d n o s ti.................................................... 150 5.12.3 Konkavnost grafika f u n k c ije ................................................ 156 5.12.4 Lopitalovo p r a v i l o ................................................................. 160 5.12.5 Fizički smisao izv o d a............................................................. 163 5.12.6 Razni zadaci sa primenom i z v o d a ...................................... 164 5.13 G ra fic i..................................................................................................... 166 6
Neodređeni integral 179 6.1 Osnovni pojmovi i metodi ................................................................. 179 6.2 Definicija neodređenog in te g r a la ........................................................ 179 6.2.1 Tablica osnovnih neodređenih in te g r a la ............................. 180 6.3 Osnovne osobine neodređenog in te g r a la .......................................... 180 6.4 Smena u neodređenom in te g r a lu ....................................................... 181 6.5 Parcijalno in te g ra lje n je ....................................................................... 185 6.6 Razni tipovi neodređenih in te g ra la .................................................... 188 6.6.1 Integrali racionalnih fu n k c ija .................................................. 188 6.6.2 Integrali trigonometrijskih f u n k c i j a ..................................... 190 6.6.3 Integrali racionalne funkcije po sin.t i c o s j c ........................ 191 6.6.4 Integrali iracionalnih f u n k c i j a ............................................... 192 6.6.5 Metod O strogradskog.............................................................. 193 6.6.6 Integral binomnog d ife re n c ija la .......................................... 195 6.7 Razni in teg rali........................................................................................ 196
7
Određeni integral 198 7.1 Površina krivolinijskog tr a p e z a ............................................................ 198 7.2 Osnovni p o j m o v i................................................................................... 200 7.3 Definicija određenog i n t e g r a l a ........................................................... 200 7.4 Osobine određenog in te g r a la ............................................................... 202 7.5 Teoreme srednje vrednosti za određeni integral .............................. 204 7.6 Osnovna teorema integralnog r a č u n a .................................................. 204 7.7 Metode izračunavanja određenog in te g ra la ....................................... 207
viii
"
7.8
7.9
Sadržaj
7.7.1 Smena promenljivih kod određenog in te g r a la ..................... 207 7.7.2 Parcijalno integraljenje ........................... ............................. 208 Primene određenog in te g r a la .............................................................. 210 7.8.1 Površina ravnih likova ........................................................... 210 7.8.2 Površina između k r iv ih ............................................................ 211 7.8.3 Kriva u polamim koordinatama ............................................ 213 7.8.4 Parametarski zadata kriva ...................................................... 214 7.8.5 Zapremina obrtnih t e l a .............................................................215 7.8.6 Dužina luka k r iv e ...................................................................... 217 7.8.7 Površina obrtnih t e l a ................................................................219 Nesvojstveni in te g ra li........................................................................... 220 7.9.1 Nesvojstveni integrali prve v r s t e ............................................ 220 7.9.2 Nesvojstveni integrali druge v r s t e ............................... ... 222
Literatura
247
Indeks
248
Glava 1
Uvod 1.1
Skupovi
Skup je osnovni pojam u matematici. Skupovi se obeležavaju velikim slovima latinice, na primer A ,B ,C , Skup je poznat ako je poznato pravilo, ograničenje ili osobina na osnovu koje možemo ođrediti sve njegove elemente. Elemente skupa obeležavamo malim slovima latinice, na primer a ,b ,c ,... ,x ,y , . . . . Ako element * pripada (resp. ne pripada) skupu X , to pišemo x £ X (resp. x ^ X). Ako element x ima osobinu P, tada to označavamo sa P (x). Skup elemenata x sa osobinom P pišemo {x | P (x) }. Često ćemo koristiti kvantifikatore "V"i "3", koje čitamo ”svaki” i ”postoji”. Skup X je podskup skupa Y, što pišemo X C Y, ako svaki element skupa X pripada skupu7, tj. (X c Y ) (x = y); tranzitivnost: ( Vx , y , z £ A) (xpy/ \ xpz)=>(xpz). Relacija p na skupu A je relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna. U svim skupovima brojeva, jednakost (= ) je relacija ekvivalencije. Kongruencija po modulu m, za m £ N, je takođe relacija ekvivalencije na N.
1.1. Skupovi
3
Relacija p na skupu A je relacija p o retk a ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. U skupu realnih brojeva R, relacije manje ili jednako (< ) i veće ili jednako (> ) su relacije poretka. Ako je istovremeno x < y i x ^ y, tada pišemo x < y ili, ekvivalentno, y > x. Važni podskupovi skupa realnih brojeva, E , su intervali sa krajnjim tačkama a i b, gde je a < b. O tvoren interval je (a ,b ) := {x G E | a < x < b). Z atvoren interval je [a,b\ := {x € M| a < x < b}. Intervali su i skupovi (a,b\ := {.t e R| a < x < b} i [a,b) := {x G R| a < x < b}. Primetimo da su svi ovi intervali ograničeni. N eograničeni intervali su sledeći skupovi: (a, +°°) := {x g M| x > a} ( —■ °°,b) := {x G M| x < b}
• • • • •
i i
[a,+°°) := {x £ R| x > a}; (—°°,b\ := {x € M| x < b}\
( —°°, +°°) := {x £ M} = K. Ako je U univerzalni skup, tada važe sledeće osobine operacija sa skupovima: zakon idempotencije: X U X = X , X f i X = X: zakonkomutacije: X \ J Y = Y U X , X f ] Y = Y nX; zakon asocijacije: ( XU F )U Z = X L l( yu Z) , (X nY) n Z = X n (Y nZ); zakonidistribucije: XU(7HZ) = (XUF)n(XUZ), Z n ( F U Z ) = ( XnF )U(Xn Z); zakonapsorpcije: X n ( X U 7 ) = X , f u ( X n Y) =X- ,
• •
x u 0 = x, x u u = u, x n 0 = 0, XUC(X) = U, x n C(X) = 0;
• DeM organovi zakoni: 1.2.
x n u = x-,
C(XUF) = C(X)nC(F),
C ( Xn F ) =C(X) UC(7).
Odrediti skupove AUS, A n S , A \ B i B \ A , akoje: a) A = jx | 0 < x < 3}; B = {.r| 2 < x < 4 j ; b) A = |x | x2 —4x < 0}; B = {x| x2 —5x + 4 > o | .
R ezultati. a) A US = {x| 0 < x < 4}; A n S = {x| 2 < x < 3}; A \B = {x| 0 < x < 2}; B \A = {x| 3 < x < 4}. b) Kako je A = { x |0 < x < 4 } i B = CL)D, gde je C = {x | - < x < 1} i D = {x \ 4 < x < “ }, to je AUB = AU(CUD) = {x|—°° < x < + 00} = K, A nS = A H (C U £)) = (AnC) U{AUD) = {x| 0 < x < 1}, A \S = A \(C U Đ ) = {x| 1 < x < 4 } . ►
4
1.2
Glava 1. Uvod
Grupa, prsten, polje
1.3. Definicija. Binarna operacija * na skupu A je preslikavanje * : A x A —►A. 1.4. Definicija. Uređen p ar (A, *), gde je * binarna operacija na A, je grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi: a) (Vx, y, z G A) (x * y) * z = x * (y * z ) , tj. operacija * je asocijativna, b) (3e e A )(Vx € A) e * x = x * e = x, tj. postoji neutralni element e u skupu A w odnosu na operaciju *, c) (Vx 6 A )(3 y £ A ) j/ = = tj. za svaki element x iz skupa A postoji njegov inverzni element x' takođe iz A u odnosu na operaciju *. Grupa (A, *) u kojoj važi komutativni zakon, (Vx,y € A) x * y = y * x s naziva se komutativna grupa ili Abelova grupa. Prsten i polje su uređene trojke koje se sastoje od skupa A i dve operacije: 1.5. Uređena trojka (A, *, o) je prsten ako važi sledeće: a) (A, *) je Abelova grupa, b) (Va,fc GA) a o b e A (\/a,b,c GA) ( a o b ) o c = a o ( b o c ) (asocijadvni zakonj, c)
(Va,b,c e A) a o ( b * c) = (aob) * ( aoc) flevi distributivni zakon operacije o u odnosu na *), (Va, b , c e A ) ( a * b ) o c = ( a o c ) * ( b o c ) (desni distributivni zakon operacije o m odnosu na *j.
1.6. Uređena trojka (A, *, o) je polje ako važi sledeće: a) (A, *) je Abelova grupa, b) (A \ {0}, o), gde je 0 neutralni element u A u oclnosu na operaciju *, je Abelova grupa, c)
(Va,b,c E A) ao (b * c) = (aob) * (ao c) flevi distributivni zakon operacije o u odnosu na *), (Va, b,c e A) (a * b) o c = (a o c) * (b o c) (desni distributivni zakon operacije o u odnosu na *).
1.3. Polje realnih brojeva
5
1.3 Polje realnih brojeva I Najvažniji skup na kome se razvija viša matematika, jeste skup realnih brojeva R. U toku školovanja prvo se upozniygmo sa skupovima prirodnih (N), pa zatim celih (Z), racionalnih (Q) realnih (K) i, na kraju, kompleksnih (C), brojeva. Prirodni brojevi Skup prirodnih brojeva N je najmanji podskup skupa R koji sadrži 1 i koji ima osobinu da ako n € N, tada i n 4-1 e N. Na osnovu ove definicije važi princip matematičke indukcije, koji se često koristi kada treba pokazati tačnost neke formule za sve prirodne brojeve. Princip matematičke indukcije. Ako podskup E skupa prirodnih brojeva N zadovoljava sledeća dva uslova: 1) 1 e E ; 2) ako b £ E, tada i n + 1 G E, tadaje E = N, tj. skup E se poklapa sa skupom prirodnih brojeva N. Često se koristi i skup No := NU{0}. Celi brojevi Skup celih brojeva, Z, sadrži sve prirodne brojeve, 0, kao i brojeve oblika —n, n e N, koji su inverzni (ili; suprotni) prirodnim brojevima u odnosu na operaciju sabiranja. Primetimo da operacija “ —”, oduzimanje, definisana sa b — a : = b + (—a), izvodi iz skupa prirodnih brojeva, ali je dobro definisana u Z (tj., razlika dva cela broja je ceo broj). Skup Z je komutativna grupa u odnosu na sabiranje. Racionalni brojevi Skup racionalnih brojeva, Q, sadrži sve elemente oblika p- q ~l , gde p e Z i q e N, i njegove elemente obično nazivamo razlomcima. Operacija deljenje, definisana s&a/b := a ■b~l , b + 0, izvodi iz skupa celih brojeva, ali je dobro definisana u Q. Skup Q je komutativna grupa u odnosu na sabiranje, skup Q \ {0} komutativna grapa u odnosu na množenje i važi distributivni zakon množenja u odnosu na sabiranje, pa je skup O polje u odnosu na operacije sabiranja (+ ) i množenja (•)• Važno je znati da racionalan broj napisan u decimalnom obliku ima ili samo konačno decimala različitih od nule, ili se, počev od nekog decimalnog mesta, pojavljuje grapa cifara koja se beskonačno ponavlja. Realni brojevi Postupkom kompletiranja skupa racionalnih brojeva Q (koji ovde nećemo objašnjavati), dolazimo od skupa realnih brojeva R.. Novi elementi koji se dodaju
6
Glava 1. Uvod
skupu Q su iracionalni brojevi, i ako njihov skup obeležimo sa I, onda je
Primeri iracionalnih brojeva su \/2 , V3, v^Š,'
3,1416), e(w 2,718).
Realan broj napisan u decimalnom obliku je iracionalan ako i samo ako ima beskonačno mnogo decimala različitih od nule, koje se ne ponavljaju periodično. Važno je znati da postoji obostrano jednoznačna korespodencija između elemenata skupa R i skupa tačaka proizvoljne prave linije. Skup realnih brojeva R je, kao i skup Q, polje u odnosu na operacije sabiranja (+ ) i množenja (•). Obzirom da je relacija poretka < totalna, tj. za svaka dva različita realna broja x i y važi ili x < y ili y < x, to je skup R totalno uređeno polje. U skupu realnih brojeva važne su sledeće dve teoreme: 1.7. Arhimedova teorema. Za bilo koja dva realna broja x > 0 ; y postoji prirodan broj n takav da vazi nx > y. 1.8. Kantorova teorema. Neka.je dat zatvoren interval [an,bn] za svako n e N i neka za m > n važi [am, bm] C [an ,b„], tj. a„ < am < bm < bn. Tada je Q [an, b„] / 0. neN
1.4 Apsolutna vrednost
{
.x ,
x > 0;
0,
x = 0;
-x,
x < 0.
Neposredna posledica ove definicije je da za svaki realan broj x važi jxj = | —x\ i — \ x \ < x < \ x \ . Apsolutna vrednost realnog broja je uvek nenegativan broj i predstavlja rastojanje između datog broja x i 0. Rastojanje između dva realna broja x i y definiše se kao \x —y |. Ako je e pozitivan realan broj, tada važi |x| < e ako i samo ako je - e < * < e; |*| > e ako i samo ako je * > e ili x < —e; |,vj = e ako i samo ako je x = e ili x 1.10. Primer. Pokazati da zaproizvoljne realne brojeve x i y važe sledeće osobine:
1.5. Piincip matematičke indukcije
7
Rešenja. a) Sabiranjem nejednakosti —|x |< a - < |x | i —|y| < y < |.v|, dobijamo - ( |x | + [y|) < x + y < |jc| + |y|
ili
|x + y| < |x| + \y\.
b) Na osnovu osobine dokazane pod a) imamo M = | x - y + y | < | x - y | + |y|
i
|y| = |y - x + x | < | - ( x - y ) | + |x|.
Odatle je - | x - y | < \x\ - |y| < |x - y | => |x| - |y| < | x - y | . Relacije c) i d) slede neposredno iz definicije apsolutne vrednosti. ► Radi kraćeg pisanja koristi se oznaka n
'Z xk := XI + x2 -l------ hx„, k=1 gde su x\ ,x-2 ,... ,x„ proizvoljni realni brojevi. Ostavljamo čitaocu da pokaže da za s v e X\,X2 ,-.. ,xn & M važi sledećanejednakost:
1.5
£ xk < 2 \x-k\. k=1 k=1
Princip matematičke indukcije
1.11. Primer. Korišćenjem principa matematičke indukcije pokazati da za svako n £ vaze sledeće formule. . . „ „ n(n + 1) a) 1 + 2 + 3 + •■■+« — — - — ; b) 1 + 3 + 5 + H------ (-(2 n —1) = «2; , , , n (n + l)(2 n + l) c) 1 + 22 + 32 H----- h w2 = —-------- 9 6 d) 1 + 23 + 33 + ... + „ 3 = ( ^ f c t I ) ' , 1
1
1
1
n
e) r 2 + ^ 3 + 3 ^ + " ' + ^ T T ^ 1 1 1 f) -z + - ^ + -^-z + 3 3-5 5 -7
1 (2 n -l)(2 n + l)
2 n + l'
Rešenja. a) Za 1 imamo tačnu fprmulu 1 = Pod pretpostavkom da je fon-nula tačna za n : n(n +1) 1 + 2 + 3H-1- n = —-—------------, dobijamo
Glava 1: Uvod
x ^ = i f c + ( » + i ) = ^ f ^ + ( » + i ) = (w+1)2(ra+2), k=1 z z što znači da je formula tačna i za n + 1. Na osnovu principa matematičke indukcije sada možemo tvrditi da je formula tačna za sve prirodne brojeve. *=1
b) Za 1 imamo tačnu formulu 1 = 1. Pod pretpostavkom da je formula tačna za n : 1 + 3 + 5 -\------1- (2/i - 1) = n2, dobijamo » .+ 1
n
^ (2k — 1) = ^ ( 2 k—1 ) + (2 m + 1 ) = n2 + 2 n + 1 = (n+ l)2, k=l k=1 što daje tačnost i za n + 1 . c) Za 1 imamo tačnu formulu 1 = Pod pretpostavkom da je formula tačna za n : , ■> n(n+ \){2n + \) 1 + 2 + 3 H----- 1~rr = --------- ^-------- , dobijamo 6 " \k 2 = t=l
£ E2 + (" + 1 ) 2 = — + k=\ 6 (n + l)(/z + 2) (2n + 3)
+ 1}- + (^ + 1 ) 2 = -(" + --)P w 2 + ” + 6n + 6) 6
6 tj. tačnosti za n+ 1 . d) Za 1 imamo tačnu formulu 1 = ( ^ ) 2 • Pod pretpostavkom da je formula tačna za n : 1 + 23 + 33 H------ 1- n3 = ^ w(w+ ^ ^ , dobijamo "fV
=
X fe3 + (» + l ) 3 = f
i=l
t=l
V
+ (n + l ) 3 = {n + 2
/
+ 4W+ 4) 4
(71+ l)2(n + 2 ) 2 4 odnosno, formula je tačna i za n + 1 . e) Za 1 imamo i + ^ 'li 1 1 j~ \k ( k + 1 ) f) Za 1 imamo
= 1. Pod pretpostavkom da je formula tačna za n :
+ 3^ + '''+ ^ T T ) = _
n rc + 1
’ dobij amo _
1
(n + l)(n + 2 )
n(n + 2 ) + n _ n2 + 2 n + \ n (n + l)(n + 2 ) n ( n + l) ( n + 2 )
= 2./+1 ■Pod pretpostavkom da je formula tačna za n
^ + 3 1 + 51? + • •' + (2n^ \ )(2n + \) = 2 ^ \ ’ _ 1 £ x( l k - \ ) ( 2 k + \ )
n
2n+ 1
1 _ n(2n + 3) +1 (2n + l)(2n + 3) (2 n + l)(2 n + 3)
( n + l) ( 2 n + l) ' n + 1 (2n+ l)(2n + 3) = 2n + 3 ‘ ^
n+1 n+ 2 ’
1.6. Binomna formula
1.12. Primer. Pokazati da je zbir p rv ih n članova geometrijske progresije sa prvirn elementom a i količnikom q=£ 1 jedmak 1 —q" a + aq + aq2 -\------ b aqn~ l = a - ------ . 1- q Rešenje. Za 1 je a = a -— - . Pod pretpostavkom da je fonnula tačna za n : l-q 1 —q” a + aq + aq2 ------ 1- aqn~ 1 = a —------ važi a + aq + aq2 H------ \-aqn~ l +aq"
= =
1 —Cfn i —CfU QU—Qn^~^ a - -------- \-a.qn = a -----------------------1 —q 1 —q 1 - q n+] a — --------, 1- q
tj. formula je tačna i za n + 1. ►
1.13. Bernulijeva nejednakost. Primenom matematičke indukcije pokazati Bernulijevu nejednakost (\+h)n >\+nh,
za n > 2, h > —1, h j ^ 0.
Rešenje. Za 2 važi (1 + h ) 2 = 1 + 2h + h2 > 1 + 2 h , jer je h2 pozitivan broj. Pod pretpostavkom da je nejednakost tačna za n > 2, (1 + h)n > 1 + nh, tada iz prethodne nejednakosti sledi (zbog 1 + h > 0) : (1 + h )n+{ = (1 +h ) n • (1 +h) > (1 + n h ) ( \ + h ) = 1 +n h + h + nh2 > 1 + ( n+ 1)h, tj. formula je tačna i za n + 1, jer je nh2 > 0. Primetimo da za n = 1 data nejednakost nije tačna, jer tada važi 1 + h. = 1 + h. Zapravo je ( \ + h ) n > \ + nh, za « G N, h > —1.
►
1.6 Binomna formuia Ako je n prirodan broj, sa nl (čita se: n faktorijel) se označava proizvod svih prirodnih brojeva od n do 1, tj. n! = n(n — 1) • • •2 • 1. Po definiciji uzimamo 0! = 1. Po definiciji binomni koeficijent je
\kj
k \ ' ( n — k)\
« e N , fceN o, 0 < k < n .
10
Glava 1. Uvod
Važe sledeće jednakosti (proveriti!): ( ” ) = [ ” ) = 1, ( ” ) = ( n ) i \0 J \n j \k j \n -k j
G)+C-+i)=(t+D’
1.14. Primer. Na osnovu (1.2) pokazati binomnu formulu. (a + b)n = £ ( l ) a n~kbk, a , b e R , n e N. k=o v*/
(1.3)
Rešenje. Za 1 fonnula (1.3) postaje tačna jednakost (a + b) 1 = Q ^ t f 1_0Z>1_1 + Q ^ f l 1_1fe1_0. Pod pretpostavkom da je formula (1.3) tačna za n, iz a) dobijamo (a
+Z.r‘=
( t Q o " - v j ( « + 6) = | ; Q
i." - , + ll.‘ + | ; Q < / ' - * 6 * + 1
; W i(C K " ^ « + l \ n - t- n .t- , »n - t - 1 fn+ 1 a'I+l + X 7 k ' t + I * * + & " +1 = X 7 k ' * + v '’ *=i v * / *=o v * što daje tačnost za n + 1. ► =
1.7 Polje kompleksnih brojeva Skup kompleksnih brojeva C je skup svih uređenih parova (a, fc) realnih brojeva, l x R . Dva kompleksna broja data sa (a\,b\), (0 2 ,^ 2) £ l x R s u jednaka ako i samo je a\ = a2 i b\ = Z ab ilo k o jad v ak o m p lek sn ab ro jad atasa (a,b), (c,d) £ t x i d e f i n i š i m o operaciju sabiranja (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d); operaciju množenja (a,b) ■(c,d) = (a ■c — b ■d , a ■d + b ■c ) . Može se pokazati da je skup kompleksnih brojeva C polje u odnosu na gore uvedene operacije sabiranja i množenja. Međutim, za razliku od skupa realnih brojeva J$, u skupu kompleksnih brojeva C ne može se uvesti relacija poretka < . Podskup skupa kompleksnih brojeva čiji su elementi uređeni parovi (a,0),a E K, identifikujemo sa skupom realnih brojeva, odnosno par (a, 0) identifikujemo sa a. Kompleksan broj (0,1) nazivamo imaginarna jedinica i označavamo ga sa i.
1.7. Polje kompleksnih brojeva
11
Znači, i = (0,1). Primetimo d a je i2 = —1, jer je i2 = (0 , 1 ) - ( 0 , 1 ) = (0 - 0 - 1 - 1 , 0 - 1 + 1 - 0 ) = ( - 1 , 0 ). Jednačina x 2 + 1 = 0 nema rešenja u skupu realnih brojeva. Naime, kvadrat bilo kog realnog broja je nenegativan broj, pa je i x 2 + 1 > 0, za svako x & K. Rešenja jednačine x2 + 1 = 0 su kompleksni brojevi x\ = (0,1) = ; i x2 = ( 0 ,- 1 ) = —i. Kompleksni broj (a,b) možemo zapisati i kao a + ib. Tada broj a nazivamo realni deo, a broj b im aginarni deo kompleksnog broja a + ib. Ako su z\ = a\ + ib\ i z\ = a2 + ib2 dva kompleksna broja, onda je z b ir z\ + z i jednak (*i + iy\) + (x2 + iy2) = (*i + .v2) + /(yi + ^ 2 ); razlik a zi —z2 jednaka (.ti + /y i) - (x2 + iyi) = (-vi - * 2 ) + /(yi “ >'2 ); proizvod z\Z 2 jednak (.yj + iy\)(x 2 + iy2) = (* 1*2 —viy2) + i(x\y2 +.V2.V1 ); količnik z\ : z2 = — = z \z ? 1jednak Z2 x\ + iy\ _ ( x \+ iy \) ( x 2 - i y 2) = xia~2 - y\y2 X2+ iyi
(X2 + iyi) (*2 - 0 ’2)
x \ + y\
,x 2y\ ~ x \ y 2 x \ + >>?
ako x2 ± 0 ili y2 ^ 0. Na primer, za z\ = 1 + 2i, z2 = 1 —2i, 23 = 3 + 5/ i 24 = 3 —5i, imamo Z\ + z2 — 1 + 2 + (1 —2 i) — 2,
Z3 + Z4 — 3 + 5i + (3 —5 i) — 6 ,
Z3 — Z4 = 3 + 5i —(3 —5i) = 10/, z\ —z2 = 1 + 2 ■(1 —2;') = 4 i, z2 z4 " , 1 -2 / _ _ 3 -5 / 85 5zi + y - 6 2 3 - ~2 — 5(1 + 2 /) H------------ 6(3 + 5 r)--------— — Z\Z3 = (1 + 2 i) (3 + Z3 Z4 =
5/) = - 7 + 11/, (3 + 5/) (3 - 5/) = 34,
zi 1 + 2 / 13 1 . q “ 3 + 5/ “ 3 4 “ 3 4 1’ Z3 3 + 5/ 8 15. - = , --- " = - T = + — I, Z4 3 —5 1 17 17 Primetimo da je i2 = - 1 , i4*
= l,
Z2Z4 =
(1 - 2i)(3 - 5i) = - 7 - 11/,
z\ 1+/ & ~ T ^ i ~ 1' Z3 3 + 5/ 22 ~ Z2 = „ ------ ( 1 ~ 2 l) = J - + Z4 3 —51 17 /3 = - / ,
109. — 1,
31. 17
— .1.
i4 = 1, Z5 = 1 ,..., ođnosno
i4k+l= i, i4k+2 = - i ,
,-4*+3=
keZ.
Kompleksan broj a —bi se naziva konjugovano kompleksan broj kompleksnog broja z = a + bi i označava se sa z = a — bi. Zbir i proizvod dva konjugovano kompleksna broja je realan broj, jer je Z + Ž = (a + bi) + (a — bi) = 2a,
z ■ž = (a + bi) (a — bi) = a1 + b2.
Glava 1. Uvod
12
Kompleksan broj z = x + iy određen je uređenim parom (.v,y) realnih brojeva, pa se tako svakom kompleksnom broju x + iy može jednoznačno pridružiti tačka A(x,y) u x y -ra v n i, i obmuto, svakoj tački u xv—ravni odgovara samo jedan kompleksan broj. Posmatračemo u Dekartovom koordinatnom sistemu proizvoljnu tačku A, A ^ O, sa koordinatama (x , y ) / (0,0). Označićemo sa p dužinu duži OA, a sa (|) ugao koji poluprava određena tačkama O i A zaklapa sa pozitivnim smerom A'—ose (slika 1.1). Veza između p i (() preko * i y data je sa y = psinc]).
(1.4)
Dužina p naziva se moduo kompleksnog broja x + i y , a ugao i))'' = p"(cos(n(j)i) + z'sin(rc2)
p2
cos2 (j)2 + sin2 (j)2
= — (cos(|)icos(j)2 + sin(j)i sin(j)2 + /(sin(j)i cos(j)2 — cos(j)i sin (f>2))
P2
= — (cos((j)i —(j>2) + i‘sin((j)i -(j)2))-
P2
►
1.16. Primer. Odrediti: a) (l
+ O3;
b) (1 + ; ' v / 3 ) 5;
c) ( l + co s ( f ) + i'sin ( f ) ) 7 .
Rešenja. Koristićemo Moavrovu formulu c) iz teoreme 1.15. ( n- +1 sin ■ - J je ■ a) Na osnovu 1 + i = Vr2 (cos (1
+ i) 3 = (^/2 ) 3 ^ c o s ^ + i s i n ^ = ( \ / 2 ) 3
b) ( l + / \ / 3 ) 5 = ( 2 ( c o s | + i s i n | ) )
= 2^ ^ c o s ~
+
= -2
+ 2/
+ i ' s i n y j = 25
= 24( - l + i\/3 ). I cos2 ^- + 22isin c) Kako je 1 +cos - + is in - = 2cos is in ^-ccos 6 o0s y-6 to je 3 3 66 0 / Jt . tc\ ' /„ n / n . . n\ \ 1 .V\/3J / n ( l + c o s- + is in - J = ( 2 c o s - ( c o s - + is i n - J J = I 2— (c o s -+ is in
-(/3)’ ( ~ | + -i„^ ) =3,,2( - f - 4 ) — T ^ + 0- 1.17. Primer. Odrediti:
a) \ f \ i \
b) \ / l —i;
c) \ / \/3 + 3i.
Rešenja. Koristićemo Moavrovu formulu d) iz teoreme 1.15. / / :% iV ,^ ( f + 2 kn ' f + 2 a) \/4i = ^ 4 (cos - + / s i n - J = \/4 ( cos-^— ^----- 1- isin— -— J , z&k = 0,1,2, Zak = 0 je ^4 i = \/4 (cos ^ + isin - ^ ) . Z a fc = l je v/4i = -^4 ^cos ^ + i s i n ^ ^ = >^4/.
14
Glava 1. Uvod
Z ak = 2 je v^4i = \/4 ^cos ^ + / sin
.
Zak = 3 je v^i7 = v^4 ^cos
+ ;s in ^ ^ ^ .
Za k = 4 je \/4i = v^4 ^cos
+ i sin
^ .
4/ 1— = 4I / * { 77t Tn\ 4 / ~nž { ir + 2kn . 2n + 2 to t\ b) \/l - i = 4 V2 I cos— +*sin — j = y V2 I c o s^ —j------------- h fs in -i-^ ---------- I
za/r = 0,l,2,3. Zak = 0 je ^ Za * = 1 je Zafc = 2 j e
= ^2 f cos ~ + i s m ‘ ~l)) . ’V 16 16 / = ^ 2 fcos ^ + isin — V \ 16 16 J
^ T r ? = ^ f c o s ^ + isin — V \ 16 16 /
Za &= 3 je ^ = ^ ( c o s ^ + isin — V V 16 16 / ^cos_39ti + Ako stavimo dalje k = 4, dobijamo v''! —i = v7! (< %r ( In . ln \ == V 2 I cos — + ; sin — ) , sto je isto kao i za k = 0.
za k = 0,1,2,3,4. Za //3 + 3i = v'TŽ Tcos — + i sin — 15 V 15 Za* = 2je \/V 3 + 3 i= l^ l 2 ^ c o s - ^ + i s i n - ^ ^ . Za /c = 3 je \/\/3 + 3i = v T I ^cos Zak = 4 je { A j 3 + 3i = ^
+ isin
•
^ c o s ^ + is in ^ j .
. 39ti
I s i n _
Glava 2
Funkcije 2.1
Osnovni pojmovi
2.1. Definicija. Neka su A i B dva neprazna skupa. Pridruzivanje (korespondencija, pravilo) f koje svakom elementu skupa A dodeljuje tačno jedan elemenat skupa B naziva se funkcija. Ekvivalentna prethodnoj definiciji je 2.2. Definicija. Neka s u A i B dva neprazna skupa. Relacija f c A x B j e funkcija ako važe sledeća dva uslova i) (Vx G A) (3y e B) (x,y) £ / ; ii) ((x,y\) € / A (x,y2) e f ) = > y \ = y 2U oba slučaja pišemo / : A —>B. Skup A naziva se domen ili definicioni skup, a skup B se naziva kodomen funkcije / . Ako (x,y) E f , pisaćemo y = f (x) . Za veličinu x £ A kažemo da je nezavisno promenljiva (ili: original), a za veličinu j; = f ( x ) e S d a j e zavisno promenljiva (ili: slika). Skup vrednosti funkcije / je skup f ( A ) = {>’ £ B| 3x £ A , y = f ( x ) } , što znači f ( A ) C B. Mi ćemo posmatrati samo one funkcije čiji su i domen i kodomen neki podskupovi skupa realnih brojeva R. Takve funkcije se nazivaju realne funkcije jedne realne promenljive, a u ovoj knjizi ćemo ih zvati funkcijama. Posledica definicije 2.2 jeste da su dve funkcije f \ : A| —» B\ i f 2 : A 2 —» B2 jednake ako i samo ako imaju jednake domene, tj. A\ = A 2, jednake kodomene, tj. B\ = B 2, i, naravno, ako važi f\( x ) = f 2(x) za sve x £ A \ = A 2. 15
Glava2. Funkcije
16
Na primer, funkcije f ( x ) = > /? , x € (0, +°°) i g(x) = x, x £ (0, +°o); su jednake, a funkcije f ( x ) = 'Ji? , x e R i g(x) = x, x e ffi imaju različite skupove vrednosti, pa zato nisu jednake ( /(R ) = [0, +» 0 i a ^ 1; logaritam ska funkcija: f ( x ) = \ogax, x e (0 , + “ ) a > 0 i a
1;
trigonometrijske funkcije: f ( x ) = sinjc, a' € IR; f ( x ) = cosx, x € R; f(x)= tgx,xeR \^~ ^\keZ y,
f ( x ) = ctgx, x e R \ { k K \ k e Z } - ,
inverzne trigonometrijske funkcije (sa eventualnom restrikcijom domena). Elementarne funkcije se dobijaju primenom konačnog broja algebarskih operacija: sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, kao i (konačno mnogo) operacija kompozicije, na osnovne elementame funkcije.
2.2.1
P o lin om i
Funkcija P„(x) — anx" + a„-ixll~ l -\------ \-aix + ao,
(2.1)
gde su koeficijenti aj, j = 0 , 1 , . . . , « , realni brojevi, naziva se polinom stepena n € N, ako je koeficijent an / 0. Po definiciji uzimamo da je konstanta polinom, nultog stepena. Dva polinoma su jednaka ako su istog stepena i ako su koeficijenti uz iste stepene jednaki. Broj xq je nula polinoma Pn(x) iz (2.1), ako je Pn(xo) = 0. Ako je broj xq> nula polinoma Pn(x), koji je racionalan, realan odn. kompleksan broj, tu nulu ćemo zvati racionalnom, realnom odn. kompleksnom nulom tog polinoma. 2.8. Osnovni stav algebre. Za svaki polinom stepena n e N postoji tačno n (realnih i/ili kompleksnih) nula, među kojima moze biti i jednakih. Ako je xq realna nula polinoma P„(x), tada postoji polinom sa realnim koeficijentima Q„-\(x), gde je Qn- \ ( x) = \x"~' + b n- 2xJ ' ~ 2 -1------ [-b\x + b0, stepena n — 1 , tako da važi P„(x) = ( x - x 0)Qn- \(x).
( 2 .2 )
22
Giava 2. Funkcije
Broj a'o 6 K je realnan u lam - t o g reda polinoinaP„(x) iz(2.1), akopostojipolinom sa realnim koeficijentima R„-m(x), stepena n —m, takav da je Rn-,„(x0) ^ 0 i važi P„(x) = ( x - x0)"'Rn- m(x). Uopšte, svaki se polinom Pn(x) sa realnim koeficijentima, oblika (2.1), stepena n, može na jedinstven način napisati kao proizvod Pn(x) = a „ ( x - x i ) mi ■■■(x-xr)"h ■ (x2 + b\x + c i) h ■■■(x2 + bsx + cs)h ,
(2.3)
gde za prirodne brojeve nij, j = \, . .. ,r,\ prirodne brojeve h , k = 1 , . . . , s, važi n = m\ H------ h/w,. + 2 (/i H------ \-ls). U relaciji (2.3) x- su međusobno različite realne nule polinoma P„(x), reda my, j = 1 , . . . , r, dok su nule kvadratnih trinoma x2 + bi:x + ck, k = 1 ........ s. konjugovano-kompleksne nule polinoma P„ (x). Nači realne nule polinoma iz (2.1) je, u opštem slučaju, složen zadatak. Što se tiče racionalnih nula tog polinoma, uz dodatni uslov da su svi koeficijenti cij, j = 0 , 1 , . . . ,n, celi brojevi, važi sledeće jednostavno tvrđenje. 2.9. Teorema. N eka je dat polinorn Pn(x) iz (2.1) sa celim koeficijentima. Ako je razlomak p / q nula polinoma P„(x), gde su p £ Z i q € N relativno prosti brojevi (tj. razlomak p / q se ne moze uprostiti), tada vaii: imenilac p je činilac slobodnog člana a0\ brojilac q je činilac koeficijenta a„. Teorema 2.9 daje potencijalne racionalne nule datog polinoma sa celim koeficijentima. Postupak koji omogućava da se odrede koeficijenti b0,b i , . . . , bn- \ polinoma Qn~\(x) iz (2.2) i proveri da li su potencijalne vrednosti zaista nule datog polinoma, naziva se Hornerova shema. Objasnićemo u opštem slučaju primenu Homerove sheme. Neka je x = x 0 moguća racionalna nula datog polinoma, određena na osnovu teoreme (2.9). Stavimo (jedan od faktora izraza a0/ a„) b„~\ = a„,
b n—2 = x0bn- \ + a„—\ , . . . ,
b0 = x0b\ + a \ ,
odnosno, u opštem slučaju, bk = x 0bk+i+ a k+\, fc = 0 , 1 ,. . . , n — 1 . Osim toga, neka je r = x0b0 + a 0. Sada postoje dve mogućnosti:
2.2. Elementame funkcije
23
(i) ako je r = 0 , tada je * = *o nula posmatranog polinoma; (ii) ako je, medutim, r ^ 0 , tada pretpostavljena vrednost x = x0 nije nula posmatranog polinoma. U praksi, to se proverava na sledeći način: Prvo se ispišu svi koeficijenti datog polinoma, tj. uključujući i one koji su jednaki nuli. Na osnovu gornjih jednakosti za koeficijente bk, k = 0 ,1 ,...,n — 1, i broj r pravi se sledeća shema: ®n
&n —I
fl-n—2
••■ @k
•■•
b„ - 1
bn- 2
••■ bk
...
|X = X0
b0
|
r
i primeni gomja analiza o odnosu brojeva r i 0 . 2.10. Prim er. Odrediti mcionalne nule sledećih polinoma: a)
P2 (x ) = 2x2 + 4x —6;
b)
P 3 (jt)= x3 + 3 * 2 - 4 ; t - 1 2 ;
c)
P4 (*) = 2*4 — 13*3 + 28*2 —23* + 6 ;
d)
P5 (*) = * 5 —* 3 + r 2 — 1;
e)
P7 (*) = *7 + 6*5 —5*4 + 9* 3 — lO* 2 _|_4 ^ _ 5 _
Rešenje. a) Dati polinom je drugog stepena, pa se nule mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine po formuli —4 ± i/4 2 —4-2■ ( _ 6 ) _ - 4 + 8 Xl'2 ~ 2-2 4 Racionalne nule polinoma P2(x) su *1 = —3, x2 = 1. Osnovni stav algebre (teorema 2.8) kaže da su to i jedine nule tog polinoma. Prema tome, možemo pisati 2*2 + 4* —6 = 2(x —1) (* + 3). b) Za dati polinom posmatrajmo delitelje broja 12, jer je a0 = 12. To su brojevi + 1,+2, ±3, ±4, ± 6 , ±12. Kako je a „ = 03 = 1, to su Ispitaćemo da li je * = 1
ovi celi brojevi i jedine moguće racionalne nule datog polinoma. nula posmatranog polinoma: 1
3 -4 1 4
-1 2 | x= 0 | -1 2 .
1
(Drugi red u ovoj shemi je dobijen u skladu sa prethodno objašnjenom Hornerovom shemom:
Glava2. Funkcije
24
Prvi broj u drugom redu, 1, se prepiše iz prvog reda i upiše u drugu kolonu. Zatim se nalaze brojevi 4 = 1 ■1 + 3, 1-4 + (—4) = 0 i konačno se dobija ostatak 1 -0 + (—12) = —12.) Kako
je zadnja cifra u drugom redu —12 (tj. r = —12), tox = 1 nije nula datog polinoma.
Ispitaćemo da li je x = 2 nula posmatranog polinoma: 1 3
1 5
-4
-1 2
|
x= 2
6 j 0.
Kako je zadnja cifra u drugom redu 0, (tj. r = 0), to je x = 2 nula datog polinoma. Prema tome možemo pisati x 3 +3x 2 —\ x — 12 = (x —^^(jc2 +5x + 6 ). Postupak se dalje nastavlja, tako što je sada dovoljno tražiti nule novog polinoma dmgog stepena. To se sada može uraditi ili rešavanjem kvadratne jednačine Q 2 ( x ) : = x 2 + 5 x + 6 = 0, ili, kao štoćemo mi touraditi, ponovopomoću Hornerove sheme. Ako proverimo d a l i j e x = - 2 nulapolinomag 2 (*),tada imamo
,1 5
6
|
1 3
|
x=
—2
0,
što znači daje druga nula polinoma P3 (x). broj x = —2. Tablica takođe pokazuje daje treća nula —3. Prema tome, možemo pisati x3 + 3x2 —4x —12 = (x —2) (x + 2)(x + 3). c) Za ovaj polinom posmatramo delitelje broja 6 . To su ± 1 ,± 2 ,± 3 ,± 6 . Delitelji broja 2 su 1 3 brojevi ±1,±2, pa sumoguće racionalne nule datog polinom a±l, ±2, ±3, ± 6 , ± - , ± - , Ispitaćemo da li su x = 1, x = 2 i x = 3 nule posmatranog polinoma: 2
-1 3 2
28 -1 1 2
-2 3 17 -7
6 -6
2
-1
3
| j
0 | 0 |
x=l x= 2 x= 3
0.
Primetimo da je u ovom slučaju Homerova shema bila primenjena tri puta: prvi put na dati polinom P4 (x) za x = 1, pa za polinom 2x3 —1lx 2 + 1 7x —6 za x = 2, i konačno na polinom 2x2 - 7 * + 3 zax = 3. Kako je zadnja cifra u dragom, trećem i četvrtom redu 0, (tj. odgovarajuće r = 0), to znači da su ova tri pretpostavljena broja zaista nule posmatranog polinoma. Dalje, poslednja vrsta gornje sheme pokazuje da je četvrta nula posmatranog polinoma broj x = 1/2. Znači, važi
2.2. Elementame funkcije
25
2 x 4 - 1 3 x 3 + 2 8 x 2 - 2 3 x + 6 = (x -
1)(jc-2)(jc-3)(2x-
1 ).
d) U ovom slučaju nioguće racionalne nule polinoma su 1 i —1, pa je 1
- 1
0 1
1
0 1
- 1 1
| j 0
0
1
|
0
1 -1
1
|
0
1 0
1 0
x=l x = -l x = - l .
Prema tome je P5 (.*) = x 5 —x 3 + x 2 —1 = ( x + 1)2 ( x — 1 ) ( x 2 —x + 1) . Posmatrani polinom nema drugih racionalnih nula. U stvari, ostale dve nule su konjugovano - kompleksni brojevi, pa je dobijena faktorizacija polinoma P $ ( x ) oblika (2.2). e) Moguće racionalne nule polinoma P y ( x ) su ±1 i ±5, pa je 1
0
-5
6
1
1
7
1
9 2
2
9
-10
4
-5
11
1
5
11
22
23
|
x = l
j 0
jc =
1
| 28.
Znači x = 1 je samo jednostruka nula (nije dvostruka), jer je u trećem redu poslednje tablice zadnji broj 28. Ostavljamo čitaocu da pokaže da vrednosti x = —1, x = 5 i x = —5 nisu nule datog polinoma, što znači da drugih racionalnih nula ovaj polinom nema. U stvari, polinom P i ( x ) drugih realnih nula i nema, i važi sledeća faktorizacija oblika (2.2): p 7 (x ) = x t + 6x5 - 5jc4 + 9a -3 -
10x2 +
4x - 5 =
(jc
1) ( x2 +
-
x + 5) ( x2 +
1) 2 .
►
2.11. Primer. U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike sledećih funkcija: h(x) = x 6;
f(x) = - x \
8(■r'l - _v4 sM = -
c)
f ( x ) = x,
g(x) ■
h(x) =
d)
f{ x ) = ~x,
g(x) = - ' v3
h(x)
a)
f ( x ) = x 2,
b)
Sl ika 2.1.
h(x)
x6; jc5 ;
JC5.
Slika 2.2.
26
Glava2. Funkcije
Rešenja. Sve funkcije u ovom zadatku imaju za svoje prirodne definicione skupove isti skup, naime ceo skup realnih brojeva i imaju jednu nulu u tački x = 0 . a) Skup vrednosti funkcijaje interval [0,°°) i pam e su. Funkcije opadaju nad (—°°,0), a rastu nad (0 , =»), imaju (lokalni i globalni) minimum u tački x = 0 (sl. 2 . 1 ). b) Skup vrednosti ove tri funkcije je interval (—°°, 0] i pame su. Sve tri funkcije rastu nad (—oo,0 ), a opadaju nad (0 ,+«=), pa imaju (lokalni i globalni) maksimum u tački x = 0 (sl. 2 .2 ).
Slika 2.3.
Slika 2.4.
c) Skup vrednosti ovih funkcija je ceo skup M. Sve tri date funkcije su neparne, rastuće funkcije na R. (sl. 2.3).
Slika 2.5.
Slika 2.6.
d) Skup vrednosti ovih neparnih opadajućih funkcija je (—« , + » ) (sl. 2.4). ► 2.12. Primer. Rešiti sledeće nejednačine: s) x2 — 1 > 0;
b) 6*2 + 13.t —5 < 0;
d )x 2+ 4 < 0 ;
e) (x2 —4x)(—x2 + 2x + 3) < 0 ;
c^.r^ + ^^ O ; x l —4
f) -■
Rešenja. a) Data nejednačina se može rešiti na sledeća dva načina. I način: Pre svega važi x2 - 1 = ( x — l ) ( x + 1), a zadnji proizvod je nenegativan
—-
2.2. Elementame funkcije
27
ako i samo ako je ili (x — 1 > 0 A i + l > 0 ) • (x > 1 A x > —1) => x > 1, ili, ( x - 1 < 0 A x + 1 < 0)
(x < 1 A x < - 1 ) => x < - 1 .
Nejednakostx 2 — 1 > 0 važi ako i samo ako je x e (—»,•—1] U [!,+«>). II način: Ova nejednačina se može rešiti i pomoću grafika parabole i njenog znalca. Funkcija f ( x ) = x 2 — 1 d a ta je n a sl. 2.5 i nenegativnaje z a x € (—°°,—l]U [l,+ °°), • što i predstavlja skup rešenja date nejednačine. b) Funkcija f ( x ) = 6 x 2 + 13x —5 ( sl. 2.6), ima nule u tačkama xi = 5 i xo = —| , i ima negativnu vrednost zax G ( —| , 5 ) • Zadnji interval i jesterešenje datenejednačine. c) Iz x 2 + 4 > 0 za svako x € (—°°, +°°), sledi da je rešenje date nejednačine skup R. d) Nema rešenja. e) Na osnovu grafika funkcija f ( x ) = x 2 — 4x i g(x) = —x2 + 2x + 3, (sl. 2.7), je x 2 —4x < 0 za x e (0,4)
i
—x 2 + 2x + 3 > 0 za x € (—1,3). Ovo znači da važi
(Vx G (0,3)) (x2 —4x)(—x2 + 2 x + 3) < 0. Takođe je x 2 —4x > 0 za x € (—°°,0 )U (4 ,+ °°), (—°°, —l)U (3 ,+ ° ° ), štopovlači xG (—°°, —1 )U (4 ,+ °°)
i
—x 2 + 2 x + 3 < 0
za x g
(x2 —4x)(—x2 + 2 x + 3) < 0:
Skup rešenja date nejednačine je unija intervala (—°°, —1) U (0,3) U (4, + °°). f) Na osnovu grafika funkcija f ( x ) = x 2 + 2x —3 i g(x) = x 2 —4 (sl. 2.8), sledi x 2 + 2x —3 > 0 z a x € (—°°, —3] U [1,+°°) i x2 — 4 < 0 za x € (—2,2). Prema tome, x G [1,2) =>■ (.r2 —4x)(x 2 + 2x —3) < 0 . Dalje je x 2 + 2x —3 < 0 z a x € [—3,1] i x2 —4 > 0 z a x € (—°°, —2) U (2, +°»). x ^ 2x —3 Prema tome je — ^ ^ — —0 x € [—3, —2) U [1,2). ►
Glava2. Funkcije
28
Slika 2.7.
2.2.2
Slika2.8.
Racionalne funkcije
Funkcija R (x) =
>* e » \ {* e R| Qm(x) = 0},
(2.4)
gde su Pn(x) i Qm{x) polinomi stepena n odnosno m, naziva se racionalna funkcija. Posebno značajni primeri racionalnih funkcija su elementarne racionalne funkcije A , , Bx + C J ’ 1 (.x2 + bx + c)k’ ’(2'5) gde su nule polinoma X 1 + bx + c konjugovano-kompleksne. 2.13. Teorema. Racionalna funkcija oblika (2.4) se može na jedinstven način napisati kao zbir elementarnih racionalnihfunkcija oblika (2.5), i, ako je n > m ,jo š jednog polinoma stepena n — m. 2.14. Primer. U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike sledećihfunkcija: a) f ( x ) = ~,
g(x) = ^ ,
h(x) = ^ \
b) k(x) =
lW = ^ i ’
wW = ^ '
Rešenja. Svih šest funkcija su definisane na intervalu (-° ° ,0 ) U (0, +°°). i nemaju ekstremnih vrednosti. a) Funkcije f , g i h sunepam e i opadajućenaintervalim a (—°°,0) i (0, +°°). b) Funkcije k, l i m suparne, rastuće na ( - ° ° ,0 ) , a opadajuće na intervalu (0,+°°). ►
2.2. Elementarne funkcije
29
2.15. Primer. Rastavitina elementarne racionalne funkcije sledeće racionalne funkcije: . a)
2 x2 — 1 ’
*+ 3 ' .X ~A Č 7 i ~A’ 4 —5* 2 + 4 ’
b)
x3 — 2x —35 — ------ — ; x2 —2x — 15 ’
c)
x+ l x 3 —2x2 + x —2 ’
x2 + 1 7 x ( x - l ) 3> ’
2x2 - 4x + 3 0 x4 —6 x 3 + 13x2 —1 2 x + 4 '
Rešenja. a) Nule polinoma u imeniocu, x2 — 1, su x = 1 i x = —1, pa prema teoremi 2.13, datu racionalnu funkciju možemo rastaviti na zbir sledećih parcijalnih razlomaka: 2 _ _A _ _ S _ x 2 —
i
x—
i
x
+r
Iz ove jednakosti dobijamo konstante A i B tako što se prvo saberu poslednja dva razlomka _ A _ ^ __ B
x—1 x+1
_ A (x + l)+ S (x -l) _ (A+B)x+A-B
x2—1
x2—1
i brojilac dobijenog razlomka izjednači sa brojiocem početnog (datog) razlomka. Tako dobijamo 2 = (A + B)x + (A —B), odnosno sistem jednačina A + B = 0, A - B = 2, sa 2---------------------------------------------------------- 1 rešenjima A = 1, B = —1, što znači da je -----= . xz —1 x — 1 X+ 1 b) Stepen brojioca je veći od stepena imenioca, pa se prvo moraju izvršiti sledeće transformacije: x3 —2x —35 x3 —2x2 —15x + 2x2 + 13x —35 x(x2 —2x—15) + 2x2 + 13x —35 x2 —2x—15 x2 —2x—15 x2 —2x—15 2x2 + 13x —35 17x —5 x2 —2x—15 X^~ x 2 —2x—15' (Umesto ovihtransformacija, može se podeliti polinom x3 —2x —35 iz brojioca sa poli17x —5 nomom x~ —2x —15 iz imenioca, što daje polinom x + 2 i ostatak — —— —.) Dalje je 17x —5 A B _ A(x + 3 ) + 5 ( x - 5 ) x2 —2x—15 x —5 x + 3 x2 —2x —15 ’ odakle se dobija sistem jednačina A + B = 17, 3A —5B = —5, paje A = 10, 5 = 7. Prema . x3 —2x —35 „ 1 0 7 “ ” )e P - 2 , - l5 ~ J + 2 + I ^ 5 + r ? 3 c) Polinom u imeniocu se može napisati kao x3 —2x2 + x —2 = (x —2) (x2 + 1), postoje konstante A, B i C, takve da važi x+1 ABx + C Ax2 +A + Bx2 —2Bx + Cx —2C , “ 5— ^ ^ + —o— r = -------------- ;---- ----------------------- > odnosno x —2x + x —2 x —2 x2 + l (x —2 ) (x + 1 ) x+ 1 _ (A + B)x2 + (C - 2 B ) x + A - 2 C X3 —2x2 + x —2 x3 —2x2 + x —2 Izjednačavanjem brojilaca dobija se sistem jednačina A+B = 0, C —2B = 1, A —2C = 1, odakleje A = 3/5, B = —3/5 i C = - 1 /5 , paje konačno
1
Giava 2. Funkcije
30
x +1 3 3x 4“ 1 x3 —2x2 +x —2 = 5(x —2) “ 5(x2 + 1) ’ d) Vrednosti x — I, x = 2, x = —1 i x = —2 su nule polinoma koji se nalazi u imeniocu, pa je x+ 3 A B C D -i— z-z— t = ------------------------------------------------------------------------------------------ 1-1-----------X4 —5x2 + 4 x —1 x + l x —2 x + 2 F funkcija ima oblik
(A + B + C + D)x3 + ( A - B + 2 C- 2 D) x 2 - ( 4 A + 4 B + C + D ) x - 4 A + 4 B -2 C + 2D X4 - 5x2 + 4 Na osnovu toga se dobija sistem jednačina i4+'B + C + £> = 0, A —B + 2C —20 = 0, -(4 A + 4B + C + D) = 1, -4A + 4 B -2 C + 2Đ = 3, sarešenjimaA = - 2 /3 , B = 1/3, C = 5/12i£> = -1 /1 2 . . . x+3 -2 1 5 1 Prema tome, moze se pisati — - = —-— + —--v x4 —5x2 + 4 3(x—1) 3 (x + 1) 12(x —2) 12(x + 2) e) Broj 1 je trostruka nula imenioca. Zbog toga, data racionalna funkcija se može pisati kao x" + 1 A B ^ C Ax2 —2Ax + A + Bx —B + C (x —l ) 3 = + (x —l ) 2 + (X —l ) 3 = ( x - l )3 ’ odakle se posle sređivanja dobija sistem jednačina A = 1, —2A + B = 0, A —B + C = 1, čija su rešenja A = l,B = 2 iC = 2. Tako dobijamo jednakost X2 + 1 _ 1 22 (x —1 ) 3 _ x - l + ( x - l ) 2 + ( x - l ) 3' f) U ovom slučaju su vrednosti x = 1 i x = 2 dvostruke nule polinoma koji se nalazi u imeniocu, pa se može pisati 2x2 —4x+ 3
A B C D ' “^ 7----- TTo ----------« + ‘ x —l (.T—l) 2 x —2 (x —2)2
Ax3 - 5Ax2 + 8Ax - 4A + Bx2 - 4Bx + 4B Cx3 - 4Cx2 + 5Cx - 2C + Dx2 - 2Dx + D x4 —6x 3 + 13x2 —12x + 4 + X4 —6x3 + 13x2 —12x + 4 Odavde se dobija sistem jednačina A + C = 0, -5A +B —4C + D = 2, 8A —4B + 5C —2D = —4, —4A+4B —2C + D = 3. Rešenja ovog sistema su A = 2, B = 1, C = —2, i D = 3, pa imamo 2x2 —4x + 3 2 1- 2 3 . • 4* 7-----~rz ------ ~ + * 4 —6x3 + 13x2 —12x + 4 x —1 (x —1) 2 x —2 (x—2) 2
2.2.3
Eksponencijalne i logaritamske funkcije
Eksponencijalna funkcija f ( x ) = a ' , x £ M, raste za a > 1 (slika 2.9 za a = 2) i opada za 0 < a < 1 (slika 2.9 za a. = 1/2 - isprekidana linija). Funkcija je pozitivna *za sve x € K, pa nema nula. Eksponencijalna funkcija bijektivno preslikava 1R na (0 ,+°°). Logaritamska funkcija f ( x ) = lognx, x > 0, je inverzna za eksponencijalnu funkciju i' = ax. Funkcija raste za a > 1 (slika 2.10 za a = 2) i opada za 0 < a < 1 (slika
31
2.2. Elementarne fankcije
2.10 za a = 1/2 - isprekidana linija). Nula funkcije je x = 1.
2.2.4
Trigonometrijske funkcije
Funkcija f ( x ) = sin* je definisana z a i € l , i njen skup vrednosti je interval [—1,1]. N eparnaje i periodična sa osnovnom periodom 2n. Nule su u tačkama-r = kn. Naintervalu (—n / 2 + 2 k n ,n /2 + 2kn) raste, aopadanaintervalu ( n/ 2 + 2 kn ,3 n /2 + 2h Funkcija ima maksimume u tačkama x = (4k + \ ) n/ 2, a minimume u tačkama x = (Ak + 3) n/ 2 (slika 2.11). U ovom potpoglavlju k uvek označava ceo broj, tj. k € Z. y
Slika 2.11. f ( x ) = sinx
4 v
Slika2.12. f ( x ) = cosx
Funkcija f ( x ) = cos* je definisana za sve * € R, i njen skup vrednosti je interval [—1,1], F u n k cijajep am aip erio d ičn asa osnovnomperiodom 27t. Nule funkcije su u tačkama x = n / 2 + kn. Na intervalu oblika (2kn, (2k + 1)n) opada, a na intervalu oblika ((2k + l)n, (2k + 2)rc) raste. Funkcija ima maksimume u tačkama x = 2kn, a minimume u tačkam a* = ( 2 k + \ )n (slika 2 . 1 2 ). sin jc Funkcija tgx = ------je definisana za sve ^ e E z a koje je cosx / 0, tj. na skupu K \ { ( 2 k + \ ) n / 2 \ k e Z}. Skup vrednosti je E . Funkcija je nepama i periodična sa osnovnom periodom n. Nule funkcije su u tačkama x = kn. Nema ekstremnih vrednosti, i na intervalu oblika (—n / 2 + k n ,n /2 + kn) raste. Vertikalne asimptote grafika su prave x = (2k + 1 )ti / 2 (slika 2.13). cosx Funkcija ctgx = je definisana za sve x £ E za koje je sinx / 0, tj. na skupu R \ {kn | k € Z } . Skup vrednosti je K. Funkcija je parna i periodična sa osnovnom
Glava 2. Funkcije
32
Slika2.13. f ( x ) = tgx
Slika2.14. f ( x ) = ctgx
periodom n. Nule funkcije su u tačkama . t = (2k + \ )n/2. Funkcija nema ekstremnih vrednosti, i na intervalu oblika (2 k n ,(2 k + l)rc) opada. Vertikalne asimptote grafika su prave x = kn (slika 2.14). 2.16. Primer. Nacrtati grafike sledećih funkcija: a) f ( x ) =
**) s ( x ) = e~(-x~m'1' , m
e M (Gausova kriv a).
Slika 2.15.
Slika2.16.
a) Funkcija je definisana na K nenegativna je, parna ima (lokalni i globalni) maksimum u x = 0 , čija je v re d n o st/( 0 ) = 1 (sl. 2.16).
b) Funkcijaje definisana na intervalu ( - ° ° ,+ ° ° ,) , skup vrednosti interval (0,1), ima maksimum u tački x = m i ograničena je na svom definicionom skupu, jer je 0 < k ( x ) < 1, x G R (sl 2.15).
2.2.5
Inverzne trigonometrijske funkcije
Osnovne trigonometrijske funkcije nisu monotone na svojim definicionim skupovima. Zbog toga, da bi se uopšte mogla definisati inverzna funkcija bilo koje od njih, potrebno je prvo izvršiti restrikciju polazne osnovne trigonometrijske funkcije na interval (po mogućstvu što veći!) na kome ona jeste monotona. Inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija dobijaju prefiks "arc", tj. arcsin, arccos, arctg i arcctg. Funkcija f ( x ) = arcsinx je, po definiciji, inverzna funkcija za funkciju F\ (x) =
2.2. Elementarne funkcije
33
sinx, x € [—n / 2 , n / 2 ], koja je restrikcija funkcije F(x) = sinx, x e t , sa 1 na interval [—tt/2 ,rt/2 ]. Važnojeprim etiti danaintervalu [—7t / 2 , n / 2 ] funkcijaFi raste, a da je njen skup vrednosti interval [—1,1]. Zbog toga je definicioni skup funkcije / interval [—1,1], a njen skup vrednosti interval [—tt/2 ,tt/2 ]. Dalje, funkcija /*je neparna, rastuća i ima nulu u x = 0 (slika 2.17).
Slika2.17. f ( x ) = arcsinx
Slika2.18. f ( x ) = arccosx
Funkcija f ( x ) = arccos.r je, po definiciji, inverzna za monotonu funkciju F\ : [0,it] —> [—1,1] datu sa F\(x) = cosx, k o ja je bijekcija. (Proveriti!) Definicioni skup funkcije g jeste interval [—1 , 1 ], skup vrednosti je interval [0 , j i ] , i opada (slika 2.18). Funkcija f ( x ) = arctgA'je, po definiciji, inverzna za monotonu funkciju F\ : (—Jt/2, ji/2 ) —»R , datu sa F\ (x) = tgx. Funkcija / je definisana na celom skupu R, njen skup vrednosti je (—jt/ 2, Jt/2), rastuća je i nepama (slika 2.19).
y= n
ky V=
y = TC/2
.V
-
y __
■' / /
TC/z'
/
.V
0 1
/
y = -n l2 /
/
\
/
Slika2.19. f ( x ) = arctg*
O 1 TC/2
/ V = ,Y
Slika 2.20. f ( x ) = ai-cctgx
Funkcija /(.r) — arcctg.r je, po definiciji inverzna za monotonu funkciju F\ : ( 0 ,J t ) —> R, datu sa F\ (x) = ctgx. Funkcija / je definisana na celom skupu R, njen skup vrednosti je ( 0 , J t ) , i opadajuća je. Ova funkcija nije ni parna ni neparna (slika 2 .20 ).
34
GJava 2. Funkcije
2.2.6 2.17.
Razni zadaci
Prim er. Nacrtati grafike sledećih funkcija:
a) f ( x ) = x+ V * ž-,
b)f(x
c ) f ( x) = c o sx + |cos.r|.
x+VxJ
2x, 0,
U putstva. a) Data funkcija se može izraziti kao f ( x )
x > 0, x 0, i važi f ( x ) = l/(2x). c) Funkcija / je jednaka f ( x ) = \ 2C° SA’ c o s x ^ ’ Znači, f ( x ) = 2cosx ako I U) COSJf \ u* je x e \ J[ - Ti / 2 + 2k% ,n/2 + 2k'K}, odnosno f ( x ) = 0 ako je x e U (rc/2 + keZ keZ 2 kn ,3 n /2 + 2kn). ► 2.18. Prim er. Konstruisati grafike sledećih. funkcija: a)
/(x )= x + s in x ;
d)
f(x):
1 sinx
sinx
b)
/( x ) = x s in x ;
c)
f(x) =
e)
f ( x ) = sin I ' ' ' \x
f)
f ( x ) = xsin
x
Rešenja. Grafici ovih funkcija su dati na slikama 2.21-2.26
Slika 2.21. f ( x ) = x + sinx
Slika 2.22. f ( x ) = x s in x
2.19. Prim er. Konstruisati grafike hiperboličnih funkcija: *. a)
f ( x ) = shx =
c)
f {x) = thx =
2 ' ex — e~x ex + e~x ’
b)
f ( x ) = chx =
d) f ( x ) = cthx ■
ć +e x 2 ’ e* + e~x
Rešenja. Traženi grafici su dati na slikama 2.27-2.30. ►
2.2. Elementame funkcije
2.2.7
35
Parametarsko zadavanje krivih
N ek asu n ain tervalu I = [a,P] datedvefunkcijex = (/) i y = \j/(/), t £ l . Skup svih tačaka ravni koje su određene koordinatama (§(t);\\i(t)), t G 7 (uz dodatne uslove o diferencijabilnosti funkcija (|) i \|/), predstavlja krivu datu parametarski. 2.20. Primer. Nacrtati krive date parametarski, ako je a > 0, t £ . x = a(t — sinr);
»)
x = acos^t', b)
y = a( 1 —cos t),
j x = a t / ( l + f 3);
1
y = a sin 3 f,
y = at2/ ( l + f 3).
Prva kriva se naziva cikloiđa, druga astroida, a treća Dekartov list. Rešenje. a) Funkcija je y = f ( x ) definisana na skupu R, i po t periodična sa periodom 2n. Na osnovu sledeće tabele, možemo nacrtati cikloidu (slika 2.31 za a=l):______ 7t/4 3 n /4 37i/2 2n %/2 n t 0 X
0
a ( n / 4 -n /2 /2 )
a (k /2 — 1)
a [3 n /4 -\f2 /2 }
an
o (3 7 t/2 + l)
2an
y
0
a ( I - n/ 2 / 2 )
a
a {l+ j2 /2 )
2a
a
0
36
Glava 2. Funkcije
Slika 2.21. f ( x) = shx
Slika 2.28. f ( x ) = chx
Slika 2.29. f { x ) = t h x
b) Ako je 0 < t < n /2 , tadaje 0 < x < a (t = 0 ,.t = a, y = 0, t = Ji/2, x = 0 ,y = a). Ako je n /2 < t < n , tada je —a < x < 0 (f = n, x = —a , y = 0) (slika 2.32 za a=l). c) Slika 2.33 za a = 3. ►
2.2.8
Krive date u polarnim koordinatama
Za svaku tačku A(x, y) ravni, izuzev koordinatnog početka O (0 ,0 ), postoje jednoznačno određeni polarni ugao cp e [0 , 2 ti[ i p o lam i rad jju s ili poteg p e [0 ,+«>[ takvi d a je x = pcos(p,>> = psin(p. Za par (p, (p) se kaže da su polame koordinate tačke A. Skup svih tačaka ravni koje
37
2.2. Elementame funkcije
Slika 2.33. Dekartov list.
Slika 2.34. Arhimedova spirala.
su određene sa (p (cp), (p), (p € (a , (3) predstavlja krivu zadatu u polarnim koordinatama. 2.21.
Primer. Nacrtati sledeće krive zadate u polarnim koordinatama (a > 0) : a)
p = a([) (Arhimedova spirala);
b) p = e° (logaritamska spirala);
c)p = a(l+cos) (kardioida);
d) p = a 2 cos( 2 (j)),
gde se kriva d) zove Bernulijeva lemniskata. Rešenje. a) Na slici 2.34. predstavljena je Arhimedova spirala za a = 1. Primetimo da ako polami ugao (|>raste od 0 do +°°, tada i polami radijus p raste od 0 do +«>. c) Na osnovu sledeće tabele možemo nacrtati krivu (slika 2.35 za a = 1):
0
Jt/4
Jt/2
3ji /4
7t
p
2a
a ( 1 + V2/ 2 )
a
a ( l —V 2 / 2 )
0
3jt/2 | a
2 ji
2a
d) Funkcijap = p((|)) jedefinisanazacos2(t)> 0, tj. za
Slika 2.35. Kardioida.
e Slika 2.36. Bemulijeva lemniskata.
Glava 3
Elementi linearne algebre 3.1
Matrice
Matrice se pojavljuju u mnogobrojnim primerima iz fizike i tehnike. Matrica tipa m x n je pravougaona šema brojeva koja ima m vrsta i n kolona i zapisuje se u obliku a n a \2 ■•• a\„ Cl2l «22 ■• • Cl2„ (3-1) @mi
■• • am„
Matrice se označavaju velikim slovima A , B , C , .... Na primer, matrica: A =
'2 2
S ' -1
je tipa 2 x 2 ,
B= .
3 COSJt 3x3,
C=
2 1
je tipa 3 x 2, a D =
5
^
7
-1
1
0 -1
3 ‘ 2
je tipa
2
' - 1 ,2 ' ln3 je tipa 3 x 1 . -1
Brojevi a,j, i, j = 1 ,2 ,...,« , suelem entim atrice (3.1). Element a,j je u z'-toj vrsti i /'—toj koloni matrice. Kvadratne matrice su one matrice kod kojih je broj vrsta jednak broju kolona. Red kvadratne matrice je broj njenih vrsta odnosno kolona. U prethodnom primeru matrice A i B su kvadratne matrice. Matrica A je reda 2, a m atricaB je reda 3. Dve matrice A i B su jednake ako su istog tipa i ako su elementi jedne matrice jednaki odgovarajućim elementima druge matrice.
38
3.1. Matrice
39
3.1. Prim er. Odrediti koje su od sledećih matrica jednake:
-1 0 1 2
s/2/2
D=
5' ln 12 1 , B= ' 1 0 5 , c = 1 2 -1 _ tg(n/4) -2Iog22 _ 1
3
_
sin(3Jt/2) cos(jt/ 2) eIn5 tg(jt/4) 2sin(jt/2) —1 , H = ‘ 01 -21 ' sin (Jt/4) -61n(VS) 22'"2 _
F=
Rešenje. Matrica B ima dve vrste i tri kolone, te je tipa 2 x 3 i nije istog tipa ni sa jednom od matrica A ,C ,D ,H i F, pa nije ni jednaka ni sa jednom od tih matrica. Preostale matrice su kvadratne i to A i D su reda 3, dok su C ,H i F reda 2. Matrice A i D su jednake, jer je svaki element matrice A jednak odgovarajućem elementu matrice D i obrnuto. Na primer, element —1 u prvoj vrsti i prvoj koloni matrice A jednak je elementu sin(3jt/2) iz prve vrste i prve kolone matrice D\ element 0 u prvoj vrsti i drugoj koloni matrice A jednak je elementu c o s ( t i / 2 ) iz prve vrste i druge kolone matrice D i tako dalje. Matrice C i H su jednake, a nisu jednake sa matricom F, jer je, na primer, element tg (n /4 ) u drugoj vrsti i prvoj koloni matrice C jednak je elementu 1 u drugoj vrsti i prvoj koloni matrice H, a element - 2 1 ^ 2 u drugoj vrsti i drugoj koloni matrice C jednak je elementu —2 iz druge vrste i druge kolone matrice H. Matrica F nije jednaka sa matricom C, a takođe ni sa matricom H (elementi u prvoj vrsti razmenili su mesta). ►
3.1.1
Sabiranje matrica
Neka su A i B dve matrice istog tipa m x n. Tada je zbir m atrica A i B matrica C tipa m x n , čiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica A i B. Veoma je važno naglasiti da se m ogu sab irati sam o m atrice istog tipa. 3.2. Prim er. Date su matrice 3 12 2
D=
2 - 1 2
1 1
-0.3
' , B
12
7
6
2
1 -1
-15
9
' -1 1°
5 ' 55
, H=
2 - 2
-3 0
, c=
A H —^J , F = 1 2
Utvrditi koje se od datih matrica mogu sabrati.
1 -3
-5 - 1 2
22
6
-9
4
-18
3
‘
40
Glava 3. Elemend lineame algebre
Rešenje. Matrice H i F ne mogu se sabrati ni sa jednom od datih matrica, ni među sobom. Mogu se sabrati matrice A i D kao i matrice B i C na sledeći način: 3 A+D
=
12 2
2 -12
-0 .3
2 + ( —15) -1 10
=
-3 '
2 -2
-1 + 7 1 0 -3
0
1
-1
-1 5
9
55
1+ 5 "
14 -1 3
12 + 55 -5 - -12
8 -11
6 0
8.7
67
'
8
3
-3 + 8 ' 0+ 3
2- 5 - 2 -12
10
=
1-1
7 -3
+
5 '
2
+
2+6 - 12+1 -0 .3 + 9
3+ 7 12 + 2
B+C
7 6
'
1 1 12
‘6 7
-3 -1 4
5 ' 3
Za sabiranje matrica istog tipa važi zakonkomutativnosti, tj. A + B = S + A. zakon asocijativnosti,
tj. (A + B) + C = A + (B + C) . ' 1 2
Na primer, ako su date matrice A
'
-1
7
, B—
‘5
-10
, c =
3
1
' 0 3 ' -1 4
Tada je (.A + B) + C = '
( ' 1
-1
(
' 6 3
+
7
2 -11
'
' 5
-10
1 0
0 -1
+
3 4
0 -1
+
\
3
1
' 6
'
-8
14
2
2
-1 7
,
1
1
A + {B + C)
( 1
n
+
' 5
o
odnosno 3
+
-7 ' ' 6 7 + 2
0
' 0 3 ' -1 4 -8
"
14
Nula matrica tipa m x n je matrica čiji su svi elementi nule. Nula matrica je neutralni element za operaciju sabiranja u skupu matrica istog tipa. Na primer, neutralni elementi za operaciju sabiranja matrica tipa 0
3 x 3 je
0
0 0 0 0
0
0 ,2x3je 0
0 0
0 0
2
x 2 je
0 0
0 0
Skup matrica istog tipa u odnosu na operaciju sabiranja matrica čini komutativnu grupu.
3.1. Matrice
41
Množenje matrica brojem Matrica se množi nekim brojem tako što se svaki element te matrice množi tim brojem. Za proizvoljne realne brojeve A i p i proizvoljnu matricu A važi da ja (V )A = A(juA),
(X + /j )A = XA+/ jA.
Na primer,
2-
-1 1 '
■ 3
0u - —3
1
' 6
-2
2 '
0
-6
2
12
1 ’
2
18
Matrica - 1 •A označava se sa —A i važi A matrica istog tipa kao i matrica A.
-6 8
10
-6
4 ' 2
' 6 =
-3
5
0
9
4 -3
2 1 2
+ (—A) = —A + A = O, gde je Onula
Oduzimanje matrica deflniše se na sledeći način: A —B = A + ( - B) .
3.1.2
Množenje matrica
Neka su date dve matrice, matrica A tipa 2 x 2 i matrica B tipa 2 x 3
A■
an _ a2l
a \2 a22
B=
b\\ b2\
b 12
b 13
^22
^23
Proizvod matrica A i B je matrica C čiji se elementi dobijaju na sledeći način: C11
C.
C21
C\2 C22
Cl3 C23
«11
a ]2
a^i
6*22
b 11 b^\
a n - ž > n + a j 2 -^21
a n - ž > i2 +
a2\ ' b\ 1 + 022 ' ^21
&2\ -bi2+&22'b22
012-^22
a n
b\2 b22
b\3 bn
' ^ 1 3 + a i 2 - £>23
a2\ ' ^13 + a22 ’ ^23
Svaki element matrice C se može izraziti kao Cij = a n b \j + ai2b2j,
i = 1,2, j = 1,2,3.
U opštem slučaju množenje matrica definiše se na sledeći način. Neka je matrica A tipa m x n i matrica B tipa n x p. Proizvod A ■B matrica A i 5 je matrica C tipa m x p takva da je Cij = Qi\b\ j + a/2^2 j + • • • + ainbnj,
i = \ ,2.,.. . ,111,
j = 1 , 2 ,.. . , p.
Primetimo da se mogu množiti samo one matrice lcod kojih je broj kolona prve matrice A u proizvodu A •B jednak broju vrsta druge matrice B u proizvodu A B. Kvadratne matrice istog reda se uvek mogu množiti. Na primer, imamo
AB
=
1 3
2 '
' 2 -7
-5
-16
18
41
-43
4 ' 11
— 1 • 2 + 2 ■( —7)
- 1 - 4 + 2 ' 11 '
_ 3 -2 + (-5 ). (-7)
3 - 4 + ( — 5 ) ■ 1! _
Glava 3. Elementi Jineame algebre
42
1 C D=
1 6
3 4
-9
0 -1
2 - 1 0
7 -5 8 0 2 -3
3 0
6
3+ 8+ 0+ 0 1+12 + 9 + 0 7 - 3 0 - 7 2 + 18 21 - 2 0 + 0 - 3 0+ 8+ 0+ 0 0 + 1 2 + 27 + 0
5 2 0 -2
5+4 + 0+ 0 3 5 - 10 + 0 - 6 0 + 4+.0 + 0
22
=
-7 7 39
9 ' 19 4
11 -2 8
Matrice A i B su tipa 2 x 2, pa je i matrica A ■B istog tipa. Matrica C je tipa 3 x 4 , dok je matrica D tipa 4 x 3, i one se mogu množiti.Naime, matrica C ima tri vrste i četiri koione i ona, kao prvi faktor u proizvodu, može se množiti sa svakom matricom koja ima četiri vrste, a takva je matrica D (ima četiri vrste i tri kolone). Dobijena matrica C ■D ima tri vrste i tri kolone, znači onoliko vrsta koliko ima matrica C (tri) i onoliko kolona koliko ima matrica D (tri). Zakon komutativnosti za množenje matrica ne važi. Ako matrice nisu kvadratne, tada je očigledno, a na sledećem primeru ćemo pokazati da komutativnost ne važi ni za kvadratne matrice. -7
-1 -2
0
-4
2
AB
BA
=
=
1 0 2
'
5 ‘
0
1
-7
-4
1
0
0
-4
-
0
1
5
-7
-4
1
-7
-1 -2
0
0
-4
0
-4
2
1 0 2
7 14
= .
28
5 ‘ 1 -3 7 16 - 1 2 6
’
‘ -7 -2 2 = 14 11 u 0 16
10
-5 -8
3.3. Primer. Odrediti koje se matrice mogu množiti i izmnožiti ih. a)A =
-1
6
3
-3
4
-6 '
b)B =
^ , = r 10 e)/ 3
d)£> =
g)G =
0 -9 3
;
h) H =
’8 1 0
2 0 1 -12 -1 5 -4 0
-3 5 4
c)C =
-2 1 4 J; 0 —2 4
0 -1
-2 4
t)F =
1 3 -2
Rešenje. MatricaA ima dve kolone, pa se može množiti samo sa matricama koje imaju dve vrste a to su matrice C i J. Imamo da je
3.1. Mafrice
43
Dobijene matrice imaju dve vrste kao i matrica A i tri kolone kao matrice C i J . Matrica B ima tri kolone i množi se sa matricama koje imaju tri vrste, a to su matrice D ,F i H. B D =
■B- F =
B H =
0 -9 .3
2 0 1
-3 ' 5 4 _
0 -9 L 3
2 0 1
-3 ' 5 4 _
0 -9 3
2 0 1
-3 5 4
1 -2 1 29
= .
-
-15 ' 79 2
1 50 -9
= _
8 5 0 1 - 4 - 2 0 0 4
1 3 -2
2 -72 25
=
-8 -45 11
-16 20 14
12 ' -19 -2
Dobijene matrice imaju tri vrste kao i matrica B. Prva matrica ima dve kolone, druga jednu a treća četiri kolone kao i matrice D, F i H u proizvodima B D ,B F i B ■H , respektivno. Dalje je C B =
1 3
C D-
0 -1
0
-2
-1
4
2 0 1
1 5 5
-6 0 5
-6 21
' 5 2 _1
C- F =
CH =
0
-2
-1
4
_2
-16
19
2
4 5 3
-6 0 5
' -1 3
D- C =
4 5 3
-6 0 5
1 3
10 3
6 -3
0 -1
-12
-1
0 10
-1 1 2
8 23
5 19
-7 — 13
8 5 1 - 4 - 2 0 0
DA =
DJ-
0 -9 3
01 3 4- 2
' -2 2 -5 12
-8 18
5 ' -8
42 ' 30 3
14 5 18
6 -32 0 -10 -5 14
~ 22 50 45
-42 -60 -41
-32 -10 14
Ako su A, B i C takve matrice da su proizvodi A B i B C definisani, tada su definisani i proizvodi (A ■B) C i A ■(B ■C) i važi asocijativnost: (A ■B) ■C = A ■(B ■C).
Glava 3. Elementi linearne algebre
44
Neka su date matrice A, B i C 1
0
1
1
1 2
0 A
=
6
4
,
B
=
- 5
i
1
- 2
C
4
- 2
3
1
'
= .
2
”
5
Pokazaćemo acocijativnost:
5
— 2
3
1
) '
O Z.
A ‘- t
O — l,
'
-
17
- 5
3
1
18
0
-2
6
4 2
-2
1
' -1 5
-9
Q
—y
C
—D
'2 -5 -3 ' _ C
D
4 3
'
- 1 0
2
25
-2 ' 1 18 54 -9 3
10
-7 4 35
O +
+
+ . . . + «i„-v„ ■• ■+
tl2 n X ,i
--
b
=
/? 2
: ć lm 1 * 1
+
C ll n 2 . \ 2 +
■■■+
L lj i i n X n
i
:"
(3'7)
—
Ako su sve jednačine u (3.7) homogene. odnosno ako je tada je sistem (3.7) homogen.
b n t.
b \
=
b \
=
. . .
=
b :,
— 0,
Rešenje sistema (3,7) je uređena n —torka realnih brojeva (* i, __ _ *„), takva da njene komponente x \ ,* 2 , ■• ■,*„ zadovoljavaju sve jednačine sistema (3.7). Rešenje (a \, a2, . ■■, an) sistema (3.7) ćemo zapisivati 11 obliku x\ = a \,
*2 — a 2 ,
........= a„ .
Sistem linearnih jednačina je saglasan (moguć, rešiv, konzistentan) ako ima bar jedno rešenje, nesaglasan (nemoguć, nerešiv, kontradiktoran, protivrečan) ako nema nijedno rešenje. Ako sistem ima taćno jedno rešenje tj. jedinstveno rešenje, tada se kaže da je određen. Naprimer, sistem Srstem
3* —2y = 2 ^ 4 —5
Sistem Sistem
x —v = 1 — 1
.
j e °dređen,jerim a jedinstveno rešenje ,v = 2, v = 1.
. „ . Protlvrecan- Jer nema resenja.
je homogen i ima samo trivijalno rešenje .v = 0. v = 0.
v'"*”i ^ . je saslasan, jer ima rešenje .v = 1. v = - 3 . : = 2. 2y + 2 z= —4 J ’J J Lako se proverava da sistem nije određen, jer je * = /. v = 5 —8 /. = 5 - 3f, za 0* +
Glava 3. Elementi lineame algebre
58
svako t G K, takođe rešenje datog sistema. .V+ 2;v + 3z = 0 4.x + 5v + 6 z = 0 ima trivijalno rešenje x = 0, y = 0, z = 0, a 7.v + 8 v + 9 ; = 0 takođe i netrivijalna rešenja .v = t, v = —2/, z = t,z a svako t € R. Dva sistema lineamih jednačina su ekvivalentna ako je svako rešenje prvog sistema i rešenje drugog sistema i svako rešenje drugog sistema je i rešenje prvog sistema.
Homogen sistem
+v = 7 ( . x —2;v = -4 isto rešenje .v = 2, y = 3. .
Sistemi
2a-
A'
8x
+5y -4 v
= 13 . . . . . . . , su ekvivalentm, ler imaiu = 4
Za svaka dva protivrečna sistema kažemo da su ekvivalentni. Ako se u datom sistemu izvrše sledeće transformacije sistema: međusobna zamena bilo koje dve jednačine sistema; množenje bilo koje od jednačina sistema brojem različitim od nule; jedna jednačina sistema se pomnoži nekim brojem i doda nekoj drugoj jednačini sistema. dobija se ekvivalentan sistem jednačina. 3.3.1
G ausov m etod elim inacije
Gausov metod eliminacije sastoji se u tome da se pomoću gore pomenutih transformacija izvrši eliminacija jedne po jedne nepoznate iz jednačina sistema. Pokazaćemo to prvo na sistemu od tri jednačine sa tri nepoznate. Sistem jednačina x —2 x 4x
-y +y -y
+2z +z -3 z
8 -5 7
(3.8)
transformišimo na sledeći način. Prvu jednačinu sistema ne transformišemo, ali je pomnožimo sa 2 i dodamo drugoj jednačini ( tako eliminišemo nepoznatu .v iz druge jednačine). Ako prvu jednačinu pomnožimo sa —4 i dodamo trećoj jednačini tada ćemo eliminisati x iz treće jednačine. Posle toga ekvivalentan sistem je oblika x
—v + 2 č —,v +5: 3y -1 lz
8 11
-2 5
3.3. Sistemi lineamih jednačina
59
Sada drugu jednačinu pomnožimo sa 3, a zatim je dodamo trećoj, koja sada ima samo nepoznatu z. Tada imamo sistem x —y + 2 a2 1 -- a 0
Znači D = (a + 2) ■(a—l ) 2, Dx = - ( a + 1) • (a - 1)2, Dy = ( a - l ) 2, D z = (v ^ 0, Z)z ^ 0. Sistem je protivrečan. Zaista, za a = 3 imamo 3 x - y - 2 z = l,
4a' —9y + 5z = —3,
2x + >’- 3 j = - l .
Sabiranjem prve i treće jednačine dobijamo 5x - 5z = 0, tj. x = z, a množeći treću jednačinu sa 9 i dodajući je drugoj jednačini dobijamo 22x - 22z = - 1 2 , što je u suprotnosti sa x = z. ► 3.13. Primer. Odrediti konstantu k tako da sistemi x + y ~k = 0 a) —2.r —3v + 3 = 0 ; b) 3x +2 y = 4k+ \
c)
x’ +y +2 k —3 -2 x -3 y 3x +2y biidu rešivi.
= 0 = \-3 k -k =4^_2
2
.v - y 2x - 3 y —x —y
+2
k
= = =
2
_2 ; _3
,
Rešenja. Imamo tri jednačine sa dve nepoznate .v i y, pa da bi sistem bio rešiv bar jedna jednačina mora biti linearna kombinacija ostalih dveju jednačina.Tada jedna od jednačina sistema može da se izostavi i determinanta sistema je jednaka nuli 1 1 -k 1 1 k = 2 3 3 0 1 a) Iz 3 - 2 k _ 4 —k = 0, sledi da je k = 4 3 2 —4k —1 0 -1 -k - 1
+ a )(a
3.3. Sistemi linearnih jednačina
69
Zaista, ako u dati sistem jednačina zamenimo dobijenu vrednost k dobijamo x + y = 4, —2 x —3y = —3, 3x + 2 y = \ l . Ako prvu jednačinu pomnožimo sa 5 i dodamo drugoj dobijamo treću jednačijiu. Znači, imamo dve jednačine ,v + y = 4 i 2x + 3y = 3, sa dve nepoznate. Rešenje sistem aje x = 9, >’ = —5. b) K akoje
2k - 2
1
-1
2
-3
2
-1
k+3
-1
=
1
-1
0
-1
0
-2
2k - 2 -A k + 6 3k+ \
= —l U + 1 1 = 0 ,
za k = 1 , zamenom k = 1 u dati sistem dobija se x —>’ = 0, 2x — 3 y = —2,
—x —y = -4.
Ako se druga jednačina pomnoži sa 6 , a treća sa —3 dobijaju se jednačine \2 x — 18> = —12, 3x + 3y = 12. Njihov zbir je 15x — 15>' = 0, što je prva jednačina pomnožena sa 5, pa je ona nepotrebna. Rešenje sistema je x = 2, y = 2. 1
c) Sledidaje
-2
3 0 za k = —18 i k
2k — 3 1 -1 k2 + 3 k — \ = 0 - 1 2 -A k + 2 0 -1 1. Ako je k = —18 imamo 1
-3
2k — 3 k2 + l k - l
= k2 + 17A: —18 =
-iok+n
x + y = 39, 2x + 3y = 269, 3x + 2y = -74. Sabiranjem druge i treće jednačine dobijamo prvu jednačinu pomnoženu sa 5. Rešenje sistema je x = —152, y = 191. Ako je k = 1, tada dobijamo sistem x + y = 1, 2x + 3y = 3, 3x + 2y = 2. Sabiranjem druge i treće jednačine dobijamo prvu jednačinu pomnoženu sa 5. Rešenje sistema je x = 0 , > = 1 . ► 3.14. Prim er. Da li se može odrediti konstanta a tako da sistemi
a)
c)
2x
+y
x ax
~y
+CIZ
-y
+z
x —x ax —x
+ay
-2
az
= = =
0 0
;
0
b)
—3x x ax
-y + 2y —v
+ 3 az —az +z
0 0 0
-t = +at = +z +y = +z -y 4-t = +y +az imaju i netrivijalna rešenja.
+z
R ešenja. U ovom primeru sistemi su homogeni, jer su svi slobodni članovi jednaki nuli. Prema tome u a) i b) x = y = z = 0, i u c) x = y = z = t = 0 su sigurno rešenja,
Glava 3. Elementi lineame algebre
70
ali trivijalna. Međutim, ako je još i determinanta sistema jednaka nuli, tada sistem može da ima i beskonačno mnogo rešenja.
-1
-2 a a
-1
1
1
a) Determinanta sistema je
= (1 —a )(a —3),teje ona jednaka nuli
za a = 1, a = 3. Ako je a = 1 imamo sistem 2x + y — 2z = 0, x —y + z = 0, x —y + j = 0. Druga i treča jednačina su iste pa imamo dve jednačine 2x + y = 2z, x —y = —z, sa tri nepoznate, čija je determinanta sistema —3 / 0. Birajući z proizvoljno i rešavajući sistem po x i y dobijamo x = z/3, j = 4z/3. Ako je a = 3 imamo sistem 2x + y - 6 z = 0, x —y + 3z = 0, 3x - y + z = 0. Sabiranjem prve i druge jednačine dobijamo 3x - 3z = 0, tj. x = z, što zamenom u prvu daje y = 4z. 3a —a
b) Iz
-5 —5a 2 -/ 0. a £ M, sledi je da sistem protivrečan.
1
c) Determinanta sistema je 1 -1
a -1
a
1
1
1
a
1
1
a
1
-1 1
—( a + 1) ■
-1 —
(a + 1) •
a
1
0
1
1
a
1
1
a
1
—a
a
1
1
1
1 1
0 0
1 1
-1 1
-1 1
-1
a
1
1
a
1
-1
( a + 1)(1 - a ) ■
a
1
1
1
a
1
1
-1
-1
= (a + 1 )(1 —a) • (a 2 + 3). Za a = —1 imamo sistem x - y + z - t = 0 , - x + y + z — t = 0 , - x - y + z + t = 0 , -x + y - z + t = 0 . Četvrta jednačina je ista kao i prva pa se izostavlja. Sabiranjem prve i druge jed. načine dobija se z = t, a sabiranjem prve i treće dobija se x = t, odakle sledi da ’ sistem ima rešenje i = }’ = z g R . Ako je a = 1 dobijamo sistem .v + y + z —t = 0 , —x + y + z + ? = 0 , x —y + z + t = 0 , čija su rešenja y = t = x = —z £ R. ►
-jc + y + z + / = 0 ,
3.3. Sistemi hnearnih jednnčina
3.3.4
71
Rešavanje sistema jednačina pomoću matrica
Neka je dat sistem od n linearnih jednačina sa a n x i + a i 2 X2 + --'+ a i„ x n a 2 \X \+ 0-22X2 + • • • + a 2nXn
n nepoznatih = =
b\ b2 (3.22)
a n \ X \ + a n2-X2 + ■■• + a ljnx ,i
b„.
—
Sistem (3.22) možemo zapisati kao matričnu jednačinu AX=B,
gde je A =
a ii ć?21
a \2
ćl\n
#22
&2n
(3.23) b\
' a'i ’ X2 ,
&2
, B=
X =
xu Oji 1 &]\2 &nn Matrica A naziva se matrica sistema, a matrica
A=
a\\
a \2
...
&21
022
■■■
ani
a,i2
b„
a \n b\ ’ b2 0 2n O-nn bn
se naziva proširena matrica sistema. Ako matrica A ima inverznu matricu A_1, tad aje rešenje matrične jednačine (3.23) dato sa X = A - l B. (3.24) Zbog nekomutativnosti množenja mora se paziti sa koje strane se matrica B množi matricom A ~ x. 3.15. Primer. Rešiti sisteme jednačina
a)
X -y + 2 z —2 x +>’ +z 4x -3 z
= = =
8 -5 7,
b)
—X + 2 y - 3 z 2x -4 y +6 z x —y +2 z
= = =
-1 2
3
pomoću matrica. Rešenje. a) Umesto datog sistema jednačina posmatraćemo ekvivalentnu matričnu jednačinu AX=B,
Glava 3. Elementi lineame algebre
72
gde je matrica sistema A =
1 -2
-1 1
4
2 1
-1
'
8
, a B=
-3
'
-5 7
Determinanta
3 1 sistemaje —4 i inverzna matrica A - l je A 1 =
. Prema tome rešenje 43 4
matrične jednačine AX = B je 5 4 11
x=
3 4 5 4 1 4 J
4,3 4
2
1
12 L 1
Odatle sledi d a j e x = 3, y = - l , z — 2. b)
Matrica sistemaje singularna, pa ne možemo primeniti prethodno opisani postupak rešavanja. ► Važi sledeća teorema.
3.16. Kroneker-Kapelijeva teorema. Sistem linearnih jednačina (3.22) je saglasan (rešiv) ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema. U primeru 3.15 pod a) matrica sistema ima rang 3, a takođe i proširena matrica sistema
1 - 1 -2 4
2
8
1 1 -5 —1 —3 7
ima rang 3. U prethodnom primeru pod b) matrica sistema kao i proširena matrica sistema imaju rang 2. Sistem je rešiv i ima beskonačno mnogo rešenja x = 5 — z, y = 2 + z, z = z, gde je z proizvoljan realan broj. Sistem x +y +z = 1 2x +2y +2 z = 3 x —y +2 z = 3
ima matricu sistema ranga 2, međutim, proširena matrica sistema A = 1 1 1 2 2 4 = 2 /0 . 1 2 3 Pri rešavanju sistema lineamih jednačina pomoću inverzne matrice broj potrebnih operacija je velik i stoga je Gausova metoda podesnija za primenu.
je ranga 3, jer je
3.4. Vektorska algebra
3.4
73
Vektorska algebra
Veličine koje često srećemo u matematici, fizici i hemiji karakteriše samo jedan broj. Na primer, dužina, površina, zapremina i temperatura potpuno su određene jednim brojem. Takve veličine nazivaju se skalarima. Za razliku od njih, veličine koje zovemo vektorima, određuju tri faktora: pravac, smer i intenzitet. To su na primer, brzina kretanja čestice, ubrzanje i sila koja deluje u nekoj tački. Radi reprezentacije vektora, pođimo od dve tačke A i B koje određuju duž AB. Dužina duži je skalar i to pozitivan, ako se tačke A i B razlikuju. Međutim, ako odredimo da je tačka A prva a tačka B druga tačka, onda smo u stvari uveli orijentaciju na pravoj A B ,\ to od tačkeA ka tački B . U tomslučaju možemo govoriti 0 uređenom paru (A ,B ), u oznaci AB. lcoji ćemo zvati vektor AB. Dakle, vektor A Š je određen pravcem ("nosačem" vektora ~AB), smerom na pravoj AB (od A ka B) i dužinom duži AB tj. intenzitetom vektora A Š , koji ćemo obeležavati sa \AŠ\. Vektori A Š i Čf) su istog smera (suprotnog smera) istog pravca tj. ako su prave AB 1 CD paralelne i tačke B i D nalaze se sa iste (respektivno suprotne) strane prave AC. Vektori AB i ČD su jednaki ako imaju isti pravac, imaju isti smer i isti intenzitet tj. \AŠ\ = \ct)\ {AB i CD su podudarne duži). Geometrijski, vektori AB i ČD su jednaki ako postoji translacija koja prevodi vektor AB u vektor C/3.
D
Slika
3 .1 .
Slika
3 .2 .
Ako se tačke A i B poklapaju tada A Š obrazuje nula vektor i označava se sa 0 . Nula vektor nema ni pravac ni smer. Vektori A Š l BC sabiraju se na sledeći način (sl. 3 . 1 .): AB + BČ = AČ. Razlika dva vektora AB — BČ se posmatra kao zbir vektora AB i —BC.
74
Glava 3. Elementi lineame algebre
Osobine operacije sabiranja vektora Zbir dva vektora je vektor tj. 7f 4- ~ 6 = ~cr. Za sabiranje vektora važi zakon asocijacije, tj. (■
View more...
Comments
