elementarna matematika 2.pdf

Elementarna matematika 2

Siniˇsa Miliˇci´c [email protected]

24.6.2004.

Molim da se sve uoˇcene greˇske i primjedbe poˇsalju na mail. Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograniˇceno umnaˇzati, mijenjati i koristiti.

2

EM2

2

Sadrˇ zaj 1. Planimetrija 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Aksiomatska izgradnja planimetrije Klasiˇ cna geometrija trokuta Sliˇ cnost trokuta ˇ Cetverokut Poligoni i povrˇsina Izmjerivi skupovi toˇ caka i njihova povrˇsina

2. Trigonometrija 2.1. Trigonometrijske funkcije

3 3 9 11 12 13 16

18 18

3. Analitiˇ cka geometrija ravnine

21

3.1. Koordinate vektora u ravnini 3.2. Jednadˇ zbe pravca u ravnini 3.3. Kut izmedju 2 pravca

21 21 23

4. Krivulje 2. reda 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Kruˇ znica Elipsa Hiperbola Parabola

24 24 24 26 27

3

EM2

3

1. PLANIMETRIJA Euklid, 3. st. pr. n. e. otac euklidske geometrije , 1900. Hilbertov sustav aksioma

1.1. Aksiomatska izgradnja planimetrije Euklidska ravnina je skup ˇcije elemente nazivamo toˇ ckama, a neke istaknute podskupove pravcima. Oznaˇcavamo je sa E2 .

DEF 1-1

Toˇcke i pravce opisujemo aksiomima. 5 grupa aksioma:

1. Aksiomi incidencije (pripadanja) 1.1. Za svake dvije razliˇcite toˇcke A, B ∈ M postoji jedinstveni pravac iz M kojemu one pripadaju. Kaˇze se da pravac prolazi toˇckama A i B, a da su te toˇcke incidentne s tim pravcem. Oznaka za taj pravac: AB. 1.2. Na svakom pravcu leˇze barem tri razliˇcite toˇcke. 1.3. Postoje tri nekolinearne toˇcke. 2. Aksiomi uredjaja 2.1. Na svakom pravcu ravnine postoje 2 medjusobno suprotna linearna uredjaja. 2.2. (Paschov aksiom) ako pravac sijeˇce jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom tog trokuta na toj stranici, onda on sjeˇce joˇs barem jednu stranicu tog trokuta.

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

3. Aksiomi metrike Zadana je funkcija d : M × M → , koju zovemo metrika, koja ima sljede´ca svojstva. (∀A, B ∈ M)d(A, b) ≥ 0, d(A, B) = 0 ⇔ A = B d(A, B) = d(B, A) (Nejednakost trokuta) (∀A, B, C ∈ M)d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), pri ˇcemu jednakost stoji ako i samo ako je C ∈ AB. Za svaki polupravac s vrhom O ∈ M i za svaki broj x ∈ postoji jedinstvena toˇcka T ∈ M na polupravcu iz O takva da je d(O, T ) = x.

4. Aksiomi simetrije 4.1. Za svaki pravac p ⊂ M postoji jedinstvena izometrija sp : M → M, razliˇcita od identitete, takva da je sp (T ) = T za svaku toˇcku pravca p. Takva izometrija se zove osna simetrija s obzirom na pravac p, a pravac p se zove os simetrije. 4.2. Za svaki par (Ox , Oy ) polupravaca s vrhom u toˇcki O postoji bar jedan pravac p takav da je sp (Ox ) = Oy . 5. Aksiom o paralelama 5. Zadanom toˇckom T ∈ M\p ⊂ M prolazi najviˇse jedan pravac q paralelan sa p.

DEF 1-2

DEF 1-3

Toˇcke koje pripadaju istom pravcu zovemo kolinearnim. U suprotnom kaˇzemo da su nekolinearne. Kaˇzemo da su pravci p, q ∈ M paralelni (u oznaci p k q) ako je p = q ili p ∩ q = ∅. Oznaˇcimo suprotne uredjaje sa ≤ i ≥. Po aksiomu 1.1 slijedi da za svake dvije toˇcke A, B ∈ M postoji jedinstveni pravac na kojem one leˇze.

4

DEF 1-4

DEF 1-5

DEF 1-6

DEF 1-7

EM2

4

Za toˇcku T tog pravca kaˇzemo da leˇ zi izmedju toˇ caka A i B ako vrijedi A ≤ T ≤ B ili B ≤ T ≤ A. Skup svih toˇcaka pravca AB koje leˇze izmedju toˇcaka A i B zovemo duˇ zina i oznaˇcavamo AB. Polupravac kojemu je A poˇcetna toˇcka, a prolazi toˇckom B razliˇcitom od A je skup svih onih toˇcaka T pravca AB za koje vrijedi A ≤ T ≤ B ili A ≤ B ≤ T . Skup K ⊂ M je kovneksan ako vrijedi da A, B ∈ K ⇒ AB ⊂ K. Duˇzina je konveksna po definiciji. Pravac i polupravac su po tranzitivnosti uredjaja.

DEF 1-8

DEF 1-9

DEF 1-10

DEF 1-11

Neka S ⊂ M bilo koji skup. Konveksna ljuska od S, u oznaci conv(S) je presjek svih konveksnih skupova koji sadrˇze S, tj. najmanji konveksni skup koji sadrˇzi S. Ako su A, B, C ∈ M tri nekolinearne toˇcke, onda konveksnu ljusku skupa A, B, C zovemo trokut. Oznaka 4ABC. (M, d) gdje d ima svojstva (3.1.-3.3.) zove se metriˇ cki prostor. d(A, B) = |AB| zove se udaljenost toˇcaka A i B. Pravac ravnine M koji ne prolazi niti jednim vrhom trokuta ABC ne sijeˇce sve tri stranice tog trokuta.

PROP I

Dokaz Pretopstavimo suprotno, tj. da postoji pravac p koji sijeˇce sve tri stranice trokuta ABC. Pretpostavimo da taj pravac sijeˇce stranicu AB u toˇcki P , stranicu BC u toˇcki Q i stranicu AC u toˇcki R. P, Q, R 6∈ {A, B, C}. Bez smanjenja op´cenitosti moˇzemo pretpostaviti da je Q ≤ P ≤ R. Gledamo 4QCR. Znamo: P ∈ QR, P ∈ p, P ∈ AB, R, Q, C 6∈ AB, AB ∩ RC = AB ∩ QC = ∅. S druge strane AB sijeˇce stranicu QR trokuta QCR i ne prolazi niti jednim drugim vrhom tog trokuta (na toj stranici). Iz Paschovog aksioma slijedi da AB mora sijeˇci joˇs barem jednu toˇcku 4QCR, ˇsto je kontradiktorno proˇslom zakljuˇcku, te zakljuˇcujemo da takav pravac ne postoji. Na skupu M\p, gdje je p prizvoljni pracac u ravnini M, uvodimo sljede´cu relaciju ∼: A, B ∈ M\p, A ∼ PROP II B ⇔ AB ∩ p = ∅. Tvrdimo da je ta relacija relacija ekvivalencije. Dokaz 1. (∀A ∈ M\p)A ∼ A - refleksivnost oˇcita. 2. (∀A, B ∈ M\p)A ∼ B ⇒ B ∼ A - simetriˇcnost takodjer oˇcita jer je AB = BA. 3. (∀A, B, C ∈ M\p)A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C - Tranzitivnost: za kolinearne toˇcke A, B, C je oˇcito, a za nekolinearne toˇcke, po Pascheovom aksiomu znamo da ako pravac ne sijeˇce dvije stranice trokuta i ne sijeˇce vrhove, onda ne sijeˇce taj trokut uop´ce, ˇsto je toˇcno data situacija. DEF 1-12

DEF 1-13

Klase ekvivalencije relacije bivanja sa iste strane pravca zovu se poluravnine. Poloviˇ ste duˇ zine AB je toˇcka C ∈ M takva da je |AC| = |CB| = 1/2|AB|. Egzistencija poloviˇsta Poloviˇste duˇzine postoji. Dokaz Gledamo polupravac AB, kojemu je A vrh, a B mu pripada.

PROP III

5

EM2

5

Polupravac AB = {T ∈ M : (T ∈ AB) ∩ (A ≤ T ≤ B ∨ A ≤ B ≤ T }. Definiramo x = 21 |AB| > 0. Po aksiomu 4.4. znamo da postoji jedinstveni C ∈ ABp t.d. je |AC| = x. Pretpostavimo da je A ≤ B ≤ C. Tada, po nejednakosti trokuta znamo da je |AC| = |AB| + |BC|, tj. 21 |AB| = |AB| + |BC|, tj. |BC| = −1 2 |AB| < 0, ˇsto je kontradiktorno definiciji udaljenosti. To znaˇci da je C ∈ AB. Iz nejednakosti trokuta vrijedi da je |AB| = 21 |AB| + |CB|, tj. |CB| = 12 |AB| = |AC|. Time znamo da poloviˇste postoji. Jedinstvenost: Neka je C ∈ AB, t.d. |AC| = |CB|. Po nejednakosti trokuta znamo da je |AB| = |AC| + |CB|, tj. |AB| = |AC| + |AC| ⇒ |AC| = 12 |AB|, iz ˇcega, po aksiomu 4.4. imamo jedinstvenost. DEF

Praslikavanje f : M → M izometrija ravnine M ako vrijedi: d(f (A), f (B)) = d(A, B), ∀A, B ∈ M, tj. funkcija koja ˇcuva udaljenosti.

1-14

Neka je f : M → M izometrija. Tada je:

1. f je injekcija. PROP 2. Ako toˇcka C leˇzi izmedju toˇcaka A i B na pravcu AB, onda toˇcka f (C) leˇzi izmedju toˇcaka IV f (A) i f (B) na pravcu f (A)f (B).

Dokaz 1. A, B ∈ M t. d. f (A) = f (B). Tvrdimo da je A = B. f (A) = f (B) ⇒ |f (A)f (B)| = 0 ⇒ |AB| = 0 ⇒ A = B ⇒ f je injekcija. 2. Pretpostavimo da toˇcka C ∈ M leˇzi izmedju toˇcaka A i B na pravcu AB. ⇒ A ≤ C ≤ B ili A ≥ C ≥ B ⇒ |AB| = |AC| + |CB|. Iz ˇcinjenice da je f izometrija slijedi |f (A)f (B)| = |f (A)f (C)| + |f (C)f (B)|. Po aksiomu ˇ o nejednakosti trokuta, jednakost stoji samo za kolinearne tokcke, ˇsto znaˇci da je f (C) ∈ f (A)f (B) Kompozicija izometrija je izometrija.

PROP V

Dokaz f, g : M → M su izometrije. Tvrdimo da je f ◦ g izometrija. Za A, B ∈ M, |(f ◦ g)(A)(f ◦ g)(B)| = |f (g(A))f (g(B))| = |g(A)g(B)| = |AB|. DEF

Fiksna (ˇcvrsta) toˇcka preslikavanja f : M → M je svaka toˇcka T ∈ M takva da je f (T ) = T .

1-15

Primjeri: Osna simetrija ima fiksni pravac simetrije. Svaka toˇcka ravnine je fiksna za identitetu. Svaka izometrija ravnine M preslikava bijektivno pravac na pravac.

TM VI

Dokaz Neka je f : M → M izometrija. Dokaz da je f bijekcija dajemo kasnije. Tvrdimo da f preslikava pravac na pravac, tj. slika pravca je opet pravac. Uzmimo proizvoljan pravac q kroz toˇcke A i B, bez smanjenja op´cenitosti moˇzemo pretpostaviti da je A ≤ B. Gledamo f (q) = f (AB) = {f (C) : C ∈ q}. Neka je C ∈ q proizvoljna toˇcka. Po 2.1. je C ≤ A ≤ B ili A ≤ C ≤ B ili A ≤ B ≤ C. Pretpostavimo da je A ≤ C ≤ B. Iz ranije dokazane propozicije slijedi da je f (A) ≤ f (C) ≤ f (B), te f (C) leˇzi na pravcu f (A)f (B), tj f (q) ⊂ f (A)f (B). N

PROP VII

eka je f : M → M izometrija. Tada vrijedi: 1. Slika duˇzine AB je duˇzina f (A)f (B). 2. Slika polupravca s vrhom O je polupravac s vrhom f (O). 3. Slika poluravnine odredjene pravcem p je poluravnina oderedjena pravcem f (p). Dokaz Trivijalno. N eka je f : M → M izometrija ravnine. Tada vrijedi:

PROP VIII

6

EM2

6

1. Ako su A i B fiksne toˇcke od f , onda je i svaka toˇcka pravca AB fiksna toˇcka od f . 2. Ako je f (A) = B i f (B) = A, onda je poloviˇste duˇzine AB fiksna toˇcka od f . 3. Ako su A, B, C ∈ M tri nekolinearne fiksne toˇcke, onda je f identiteta na M. 4. sp = s0p ⇒ p = p0 . Dokaz 1. Neka je T ∈ AB proizvoljna toˇcka. BSO A ≤ B. T ≤ A ≤ B ili A ≤ T ≤ B ili A ≤ B ≤ T . Ako je A ≤ B ≤ T ⇒ |AT | = |AB| + |BT |, po izometriji slijedi da je |f (A)f (T )| = |f (A)f (B)| + |f (B)f (T )|. Po pretpostavci propozicije |Af (T )| = |AB| + |Bf (T )|, pa po nejednakosti trokuta i svojstvu izometrije zakljuˇcujemo T = f (T ). 2. Neka je C ∈ AB poloviˇste AB. |AC| = |BC| ⇒ |f (A)f (C)| = |f (B)f (C)| ⇒ |Bf (C)| = |Af (C)|. Poˇsto je C ∈ AB, onda je f (C) ∈ f (A)f (B) = BA = AB. Stoga zakljuˇcujemo da je f (C) = C. 3. Neka su A, B, C ∈ M tri nekolinearne fiksne toˇcke iz f . Prema 1. slijedi da su i pravci AB, AC i BC fiksni. Uzmimo toˇcku T ∈ M\ (AB ∪ BC ∪ AC). Neka je D ∈ AB\{A, B}. Pravac T D sijeˇce stranicu AB trokuta ABC i ne prolaz niti jednim njenim vrhom uz tu stranicu. Po Paschovom aksiomu pravac T D sijeˇce joˇs jednu stranicu trokuta ABC, npr. stranicu BC u toˇcki E. Toˇcka T je element DE. Pravci AB i BC su fiksni za f , pa su i toˇcke f (E) = E i f (D) = D, tj E i D su fiksne za f . Zato je i DE fiksni pravac za f , stoga je T fiksna toˇcka za f . Prema pravilu generalizacije zakljuˇcujemo da je f (T ) = T, ∀T ∈ M, tj. da je f identiteta na M. 4. Pretpostavimo suprotno, tj. da je sp = s0p i da je p 6= p0 . Neka su A, B ∈ p i C ∈ p0 \p. A, B su fiksne toˇcke za sp = s0p . C je fiksna toˇcka za s0p = sp . Imamo tri nekolinearne fiksne toˇcke, te je sp identiteta, ˇsto je kontradikcija sa definicijom osne smimetrije. Svaka osna simetrija sp je involucija, tj. sp ◦ sp je identiteta na M. Nadalje, sp nema drugih fiksnih PROP toˇcaka osim onih na osi p, a poluravnine odredjene sa p preslikavaju se jedna na drugu. Posebno, s p je IX bijekcija ˇciji je inverz ona sama tj. s−1 p = sp . Dokaz sp je izometrija pa je i sp ◦ sp je izometrija. No, sp ◦ sp 6= sp , jer bi tada bilo sp = idM , no, iz jedinstvenosti osne simetrije po osi i ˇcinjenice da je pravac p fiksan i za kompoziciju slijedi da je s p ◦ sp = idM . Specijalno, to znaˇci da je sp involutorna i bijektivna. Toˇcke pravca p su jedine fiksne toˇcke od sp . Ako postoji toˇcka T ∈ M\p koja je fiksna, onda imamo tri nekolinearne fiksne toˇcke, tj. sp = idM , ˇsto je kontradikcija. Dvije poluravnine pravcem p se preslikavaju po sp jedna na drugu. Uz proizvoljnu toˇcku T ∈ M\p. Gledamo sp sp duˇzinu T sp (T ). Znamo T 7→sp (T ), sp (T )7→sp (sp (T )) = T . Prema ranijoj propoziciji, ako se duˇzina obr´ce u izometriji, onda njeno poloviˇste ostaje fiksno. Poˇsto su jedine fiksne toˇcke od s p na pravcu p, znaˇci da je poloviˇste te duˇzine presjek pravca p i duˇzine T sp (T ), ˇsto znaˇci da te toˇcke pripadaju razliˇcitim poluravninama.

koja pomaˇ ze pri uvodjenju pojma simetrale duˇ zine Neka su A, B ∈ M, A 6= B. Tada postoji jedinstveni pravac p takav da je sp (A). Ovo opravdava sljede´cu definciju.

PROP X

Dokaz Neka je O poloviˇste duˇzine AB, a Ox, Oy polupravci koji sadrˇze toˇcke A, odnosno B. Prema aksiomu 4.2. postoji pravac p takav da je sp (Ox) = Oy. Kako je |OA| = |OB|, slijedi da je sp (A) = B i sp (B) = A. Neka je p0 proizvoljni pravac sa traˇzenim svojstvom. Njegova pripadna osna simetrija je nuˇzno involutorna, pa je s0p ◦ s0p = idM , no sp (A) = sp0 (A) = B i sp (B) = sp0 (B) = A, pa je sp ◦ sp0 (A) = A i sp ◦ sp0 (B) = B, pa je AB fiksan za tu kompoziciju. No, p, p0 6= AB, pa postoje fiksne toˇcke od sp i sp0 izvan AB. No, iz toga slijedi da je p = p0 , jer ne mogu imati razliˇcite tre´ce fiksne toˇcke - to bi ih ˇcinilo identitetama. DEF

Pravac iz prethodne propozicije naziva se simetrala duˇ zine AB.

1-16

Simetrala duˇzine je skup svih toˇcaka jednako udaljenih od toˇcaka A i B. Dokaz Oˇcito.

PROP XI

7

EM2

Osnovni teorem o izometrijama Svaka izometrija f : M → M je ili osna simetrija ili kompozicija dviju osnih simetrija ili kompozicija tri osne simetrije.

7

TM XII

Dokaz Neka je f : M → M proizvoljna izometrija. Dokaz se raˇcva u dvije mogu´cnosti. 1. f = idM . Onda je f = sp ◦ sp , za proizvoljan pravac p ⊂ M. 2. f 6= idM . Postoji toˇcka A ∈ M takva da je f (A) 6= A = idM (A). Oznaˇcimo sa A0 := f (A) 6= A. Gledamo simetralu a duˇzine AA0 . Definiramo izometriju g : M → M, g = sa ◦ f . Znamo da je sa (A) = A0 . Znamo i da je sa (A0 ) = A. g(A) = (sa ◦ f )(A) = sa (f (A)) = sa (A0 ) = A. g je izometrija kojoj je A fiksna toˇcka. 2.1. g = idM sa ◦ sa ◦ f = sa ◦ idM ⇒ f = sa . 2.2. g 6= idM . Tada postoji B ∈ M takav da je g(B) 6= B. Oznaˇcimo B 0 := g(B). Vrijedi g(A) = A, g(B) 6= B ⇒ A 6= B. Gledamo simetralu duˇzine BB 0 . Vrijedi sb (B) = B 0 , sb (B 0 ) = B. Definiramo preslikavanje ˇ h : M → M, h = sb ◦ g. Vrijedi: h je izometrija. Zelimo odrediti odnos A, B, B 0 . |AB| = |g(A)g(B)| = |AB 0 | ⇒ |BA| = |AB 0 | ⇒ A ∈ b ⇒ sb (A) = A. h(A) = (sb ◦ g)(A) = sb (g(A)) = sb (A) = A. A je fiksna toˇcka za h. 2.2.1. h = idM idM = h = sb ◦ g = sb ◦ sa ◦ f ⇒ f = sa ◦ sb . 2.2.2. h 6= idM hM = (sb ◦ g)(B) = sb (g(B)) = sb (B 0 ) = B ∧ h(A) = A ⇒ h ima fiksni pravac c = AB. h nema drugih fiksnih toˇcaka, pa je h = sc (po aksiomu 4.1.). sc = sb ◦ g = sb ◦ sa ◦ f . f = sa ◦ sb ◦ sb . Svaka izometrija ravnine M je bijekcija. Ako je f : M → M izometrija, onda je i f −1 : M → M KOR XIII izometrija. Dokaz Znamo da je osna simetrija bijekcija i znamo osnovni teorem o izometrijama, te zakljuˇcujemo da je svaka izometrija f : M → M bijekcija. Neka je f : M → M proizvoljna izometrija. Tada vrijedi za f −1 : M → M |f −1 (A)f ( A)| = |f (f −1 (A))f (f −1 (A))| = |AB|, dakle f −1 je izometrija. Oznaˇcimo li sa I skup svih izometrija na M. Znamo da su zatvorene, da su asocijativne, imaju neutralni element = idM i inverz na kompozicije u I. Stoga je (I, ◦) grupa izometrija ravnine. DEF 1-17

Rotacija sa srediˇstem u O (ili oko O) je ili izometrija rO ravnine M ˇcija je jedina fiksna toˇcka O ili je idM . Neka su p, p0 ⊂ M dva pravca u ravnini M koji se sijeku u toˇcki O. Tada je kompozicija sp ◦ sp0 = rO .

TM XIV

Dokaz Neka je g = sp ◦ s0p izometrija sa fiksnom toˇckom O. Neka je A joˇs jedna fiksna toˇcka od g. Tada je s p0 = sp0 (g(A)) = sp0 (sp0 (sp (A))) = sp (A) =: B, no, slijedi da je sp (B) = A i sp (A) = B, dakle sp je simtrala od AB. Tada je ili p0 = p ili A = B. Ako je p0 = p, onda je kompozicija njihovih osinih simetrija identiteta. Ako je p 6= p0 , onda je A = B, no i A, B ∈ p ∩ p0 , pa je A = B = O. Iz toga zakljuˇcujemo da ako g nije identiteta, onda ima samo jednu fiksnu tok¸u. DEF 1-18

DEF 1-19

Neka je toˇcka O ∈ M toˇcka ravnine M. Centralna simetrija sO : M → M je definirana ovako: T ∈ M i T 0 = sO (T ), onda je O poloviˇste duˇzine T T 0 . Za pravce p, q ⊂ M, p 6= q kaˇzemo da su okomiti ako je sp (g) = g, gdje je sp (g) = {sp (T ), T ∈ g}. Relacija okomitosti je simetriˇcna.

LMA XV

Dokaz Neka su p, q ⊂ M, sq (p) = p, pravci i neka je A ∈ p, A 6∈ q. sq (p) = p ⇒ B = sq (A), B 6= A. Kako je sp (A)sp (B) = AB, slijedi da je sp (q) = q

8

EM2

8

Centralna simetrija sO sa srediˇstem O je kompozicija sp ◦ sq dviju osnih simetrija s bilo kojim okomitim TM XVI osima p i q koje prolaze toˇckom O. Centralna simetrija je rotacija.

Centralna simetrija je involutorno preslikavanje.

PROP XVII

PROP XVIII

Dokaz Iz ranijeg teorema slijedi da postoje pravci p, g ⊂ M takvi da je SO = sp ◦ sq = sq ◦ sp . Zato vrijedi: SO ◦ SO = (sp ◦ sq ) ◦ (sq ◦ sp ) = sp ◦ (sq ◦ sq ) ◦ sp = sp ◦ idM ◦ sp = sp ◦ sp = idM . Centralna simetrija je jedinstevna involutorna rotacija.

DEF 1-20

1-21

DEF 1-22

XIX

Za dva para (OX, OY ) i (O 0 X 0 , O0 Y 0 ) polupravaca kaˇzemo da su kongruentni ako postoji izometrija f takva da je f (OX) = O 0 X 0 i f (OY ) = O0 Y 0 , gdje je f (O) = O 0 . Kongruentnost kuteva ˇcini relaciju ekvivalencije.

DEF

PROP

PROP XX

Klasu ekvivalencije za relaciju kongruencije zovemo neorijetirani kut. K je kvocijentni skup svih klasa neorijentiranih skupova. Neki posebni kutovi: Nulkut Θ je klasa parova podudaraju´cih polupravaca Θ = XOX = [(OX, OX)]. Ispruˇ zeni kut ω je klasa polupravaca koji su komplementarni, tj. ˇcija je unija pravac. Pravi kut δ je klasa parova polupravaca ˇciji su pripadni pravci okomiti.

DEF 1-23

DEF 1-24

DEF 1-25

DEF 1-26

Kaˇzemo da je otvoreni kutni isjeˇ cak presjek poluravnine po pravcu OX koja sadrˇzi polupravac OY osiom vrha O i poluravnine po OY koja sadrˇzi polupravac OX osim vrha O ako XOY ne ˇcini ispruˇzeni kut. Zatvoreni kutni isjeˇ cak je unija polupravaca OX i OY sa pripadnim otvorenim kutnim isjeˇckom, u oznaci S(OX, OY ). Kaˇzemo da je γ zbroj kuteva α i β (u oznaci γ = α + β) kut odredjen polupravcima OX, OY i OZ takvim da je XOY = α, Y OZ = β i XOZ = γ, tj. S(OX, OZ) = S(OX, OY ) ∪ S(OY, OZ). Simetrala kuta XOY je pravac p takav da je Sp (OX) = OY . Presjek simetrale ispruˇzenog kuta i njemu pripadne poluravnine sa polupravcima ispruˇzenog kuta ˇcini PROP XXI prave kuteve.

DEF 1-27

DEF 1-28

Unutarnja simetrala nekomplmentarnih polupravaca OX i OY je polupravac OZ koji leˇzi na simetrali polupravaca OX i OY i sadrˇzan je u S(OX, OY ). Na kvocijentnom skupu K definiramo potpun uredjaj ≤ na sljede´ci naˇcin: kuteve α ≡ S(OX, OY ) i β ≡ S(OX, OZ) postavljamo u relaciju β ≤ α ako je OZ ⊂ S(OX, OY ) ili sOX (OZ) ⊂ S(OX, OY ).

9

EM2

9

Mjera neorijentiranih kuteva je svaka strogo rastu´ca funkcija (id est funkcija koja preslikava + uredjaj na kutevima na uredjaj na -u)F : K → 0 takva da vrijedi da je f (α + β) = f (α) + f (β) kad god je α + β definiran.

DEF 1-29

KOR

f (Θ) = 0.

XXII

Za svaki realni broj s > 0 postoji jedinstvena mjera φ iz K takva da je φ(ω) = s i φ je bijekcija sa K TM XXIII na segment [0, s] ⊂ . DEF

Za s = 180 φ je mjera kuta u stupnjevima. Za s = π φ je mjera kuta u radijanima.

1-30

Kut ˇcija je mjera u radijanima u skupu h0, π2 zovemo ˇ siljasti kut, a onaj ˇcija je mjera kuta u h π2 , πi zovemo Tupi kut.

DEF 1-31

Aksiomi 1. - 4. ˇcine apsolutnu geometriju. Uz 5. aksiom govorimo o Euklidskoj geometriji Aksiom o paralelama ekvivalentan je tvrdnji da je zbroj kuteva u trokutu ispruˇzeni kut.

PROP XXIV

Dokazi!

1.2. Klasiˇ cna geometrija trokuta Konvencija: 4ABC = trokut sa vrhovima A, B i C, te stranicama AB, BC, CA, te njihovim duljinama c = |AB|, a = |BC| i b = |CA|. Unutraˇsnji kutevi su α = CAB, β = ABC, γ = ACB. DEF 1-32

DEF 1-33

Neka su 4ABC i 4A0 B 0 C 0 dva trokuta u istoj ravnini M. Kaˇzemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A, B, C} → {A0 , B 0 , C 0 } takva da je f (A) = A0 , f (B) = B 0 , f (C) = C 0 , f (α) = α pri ˇcemu je a = a0 , b = b0 , c = c0 , α = α0 , β = β 0 i γ = γ 0 . Piˇsemo 4ABC ' 4A0 B 0 C. T je skup svih trokuta u ravinini M. ', relacija sukladnosti je relacija ekvivalencije na T.

PROP XXV

Po definiciji sukladnost je opisana s jednakosti 6 elemenata. Za dovoljnost postoji nekoliko teorema o sukladnosti trokuta. S-S-S TM Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. XXVI Dokaz Treba dokazati da postoji funkcija koja preslikava vrhove u vrhove i koja ˇcuva udaljenosti i kuteve. Iz pretpostavke da je |AB| = |A0 B 0 | znamo da postoji izometrija g : M → M takva da preslikava g : A 7→ A0 ∧ B 7→ B 0 . Oznaˇcimo sa g(C) = C 00 . Ako se C 0 i C 00 nalaze u istoj poluravnini po AB, onda pretpostavimo da je C 0 6= C 00 . |A0 C 0 | = b0 = b = |AC| = |A0 C 00 |, stoga znamo da je A0 na simetrali od C 0 C 00 . No, za a vrijedi |B 0 C 0 | = a0 = a = |BC| = |B 0 C 00 |. To znaˇci da je B 0 na istoj toj simetrali, ˇcime je ona u potpunosti odredjena kao pravac AB, no on ne moˇze biti simetrala C 0 C 00 jer su te toˇcke u istoj poluravnini po tom pravcu, stoga dolazimo do kontradikcije, pa zakljuˇcujemo da je C 0 = C 00 , pa g preslikava vrhove u vrhove, i kuteve u kuteve, pa zakljuˇcujemo da su trokuti onda sukladni. Ako su C 0 i C 00 u razliˇcitim poluravninama, onda je toˇcka simetriˇcna po A0 B 0 toˇcki C 00 jedanka C 0 , po prethodnom dijelu dokaza, a poˇsto je osna simetrija izometrija, ona ˇcuva udaljenosti i kuteve. Ova simetrija ima fiksne toˇcke u A0 i B 0 , a C 0 se nuˇzno preslikava u C 00 po prethodnom dijelu dokaza. S-K-S Dva trokuta su sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu medju njima.

TM XXVII

10

EM2

10

a Dokaz Neka su 4ABC i 4A0 B 0 C 0 trokuti takvi da vrijedi b = b0 , c = c0 i α = α0 . Po definiciji jednakosti kuteva, postoji izometrija g : M → M koja projicira XAY u X 0 A0 Y 0 , gdje je X ∈ AB, Y ∈ AC, X 0 ∈ A0 B 0 , Y 0 ∈ A0 C 0 . Izometrija g takodjer projicira po E3.4 B u B 0 i C u C 0 . Iz svojstva izometrije znamo da je |BC| = |g(B)g(C)| = |B 0 C 0 |, ˇsto po Teoremu S-S-S znaˇci da su ti trokuti sukladni. K-S-K Dva trokuta su sukladna ako se podudaraju u jednosj stranici i dva kuta uz tu stranicu.

TM XXVIII

Dokazi!

DEF 1-34

DEF 1-35

DEF 1-36

DEF 1-37

DEF 1-38

S> -S-K> Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot ve´coj od njih.

TM

Dva trokuta 4 i 40 su sukladni ako i samo ako postoji izometrija f : M → M takva eda je f (4) = 4 0 .

TM

XXIX

XXX

Sjeciˇste okomice oi na stranicu xi trokuta 4X1 X2 X3 oznaˇcavamo sa NXi i nazivamo noˇ ziˇ ste. U trokutu 4X1 X2 X3 sa noˇiˇstima okomica NXi duˇzine Xi NXi zovemo visinama trokuta, za i = 1, 2, 3. U trokutu 4X1 X2 X3 gdje je Pij poloviˇste duˇzine Xi Xj duˇzine Pij Xk za i, j, k ∈ {1, 2, 3}, i 6= j 6= k 6= i zovemo teˇ zisnicama trokuta. Duˇzine koje spajaju poloviˇsta stranica trokuta zovemo srednjicama. Simetrale unutraˇsnjih kuteva u trokutu zovemo simetrale kuteva trokuta. O srednjici trokuta Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom s kojom ima prazan presjek i njena je duljina jednaka polovici duljine te stranice.

TM XXXI

Dokaz Gledamo 4ABC i poloviˇsta P1 stranice AC, te P2 stranice BC. Na pravcu P1 P2 odredimo toˇcku D takvu da je D 6= P1 ∧ d(P2 , D) = d(P1 , P2 ). Toˇcka P2 raspolavlja duˇzine BC i P1 D, iz ˇcega zakljuˇcujemo da je BDCP1 paralelogram. To implicira da je BD k P1 C = AP1 i |BD| = |P1 C| = |AP1 |, pa moˇzemo zakljuˇciti da je ABDP1 paralelogram. To znaˇci da je AB k P1 P2 ∧ |AB| = |P1 D| = 2|P1 P2 |. DEF 1-39

Kruˇ znica opisana trokutu je kruˇznica na kojoj leˇze svi vrhovi trokuta. O sjeciˇstu simetrala stranica Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj toˇcki i ta je toˇcak srediˇste tom trokutu opisane kruˇznice.

TM XXXII

Dokaz Ako je sAB simetrala duˇzine AB, onda je za svaki S ∈ sAB |SA| = |SB|. Uzmimo 4ABC, proizvoljan trokut, te njegove simetrale sAB , sAC . Njihovo sjeciˇste je toˇcka S, i ona postoji po 5. aksiomu. S ∈ sAB ⇒ |AS| = |BS| S ∈ sAC ⇒ |AS| = |CS| ⇒ |AS| = |CS| = |BS| ⇒ |CS| = |BS| ⇒ S ∈ sBC R := |AS| = |BS| = |CS| A, B, C ∈ k(S, R)

11

EM2

11

O simetralama kutova Sve tri simertale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj toˇcki. Ta je toˇcka srediˇste tom trokutu upisane kruˇznice.

TM XXXIII

Dokaz Ako je sα simetrala kuta α = aV b, onda za T ∈ sα vrijedi da je d(T, a) = d(T, b). Uzmimo dvije simetrale, sα i sβ kuteva trokuta 4ABC. Gledajmo njihovo sjeciˇste U . T ∈ sα ⇒ d(AB, U ) = d(AC, U ) T ∈ sβ ⇒ d(AB, U ) = d(BC, U ) ⇒ d(AB, U ) = d(BC, U ) = d(AC, U ) ⇒ U ∈ sγ K := k(U, d(AB, U )) je kruˇznica koja dodiruje sve tri stranice, tj. koja je upisana trokutu. O visinama Pravci na kojima leˇze visine trokuta sijeku se u jednoj toˇcki.

TM XXXIV

Dokaz Uzmimo proizvoljni trokut 4ABC. Kroz svaki od vrhova povucimo paralelu sa nasuprotnom stranicom. Time dobivamo veliki trokut 4A0 B 0 C 0 kojemu su stranice malog trokuta 4ABC srednjice, pri ˇcemu je A0 sjeciˇste ˇ stranica koje ne sadrˇze toˇcku A itd. Cetverokuti ABCB 0 , ABA0 C, i ACBC 0 su oˇcito paralelogrami, a svaki par od njih ima po jednu stranicu na zajedniˇcku i po jedan par koji je u uniji stranica velikog trokuta a koje su u presjeku samo jedna toˇcka. Poˇsto su te stranice jednake po duljini (jer su suprotne zajedniˇckoj stranici), zakljuˇcujemo da je njihov presjek, tj. odgovaraju´ci vrh malog trokuta poloviˇste stranice velikog trokuta. Kako je visina okomita na toj stranici paralelan pravac i prolazi vrhom koji je poloviˇste iste, zakljuˇcujemo da je to simetrala stranice velikog trokuta. Teorem o simetrlama stranica kaˇze nam da se ti pravci sijeku u nekoj to ˇcki.

Neka su A, B, T ∈ M tri kolinearne toˇcke takve da je A 6= B. Kaˇzemo da toˇcka T dijeli AB u −→ −→ ako vrijedi AT = λBT . omjeru λ ∈

DEF 1-40

Zakljuˇcak: U terminima radijvektora imamo izraz ~rT =

~ rA −λ~ rB 1−λ .

Za poloviˇste, λ = −1.

O teˇ ziˇsnicama trokuta Teˇzisnice trokuta sijeku se u jednoj toˇcki, teˇ ziˇ stu trokuta. Teˇziˇste dijeli teˇziˇsnice u omjeru 2:1 gledaju´ci od vrha.

TM XXXV

Dokaz Uzmimo proizvoljan 4ABC. Oznaˇcimo sa P1 , P2 , P3 poloviˇsta stranica 4ABC. Na teˇziˇsnici AP2 odaberimo −→ −−→ ~ r +2~ r toˇcku T koja je dijeli u omjeru λ2 = −2. AT = −2P2 T ⇒ ~rT = A 3 P2 Znamo da je rP2 = 21 (~rB + ~rC ) ⇒ ~rT = 1 1 1 rA + ~rB + ~rC ). Kada pregrupiramo, dobijemo izraz ~rT = 3 (2 2 (~rA + ~rB ) + ~rC ) = 13 (2~rP1 + rc ) ⇒ λ1 = −2. 3 (~ Analogno ide i za λ3 . Zakljuˇcak je da T leˇzi na sve tri teˇziˇsnice i dijeli ih u omjeru λ = −2 gledaju´ci od vrhova. Toˇcke S, U , O i T su karakteristiˇ cne toˇ cke trokuta.

1.3. Sliˇ cnost trokuta Dva trokuta 4ABC i 4A0 B 0 C 0 su sliˇ cni (u oznaci 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 ) ako postoji bijekcija 0 0 0 f : {A, B, C} → {A , B , C } takva da je f (A) = A0 , f (B) = B 0 i f (C) = C 0 i da je α = α0 , β = β 0 i γ = γ 0 , te aa0 = bb0 = cc0 .

DEF 1-41

Relacija “biti sliˇcan” je relacija ekvivalencije na T.

PROP XXXVI

Talesov teorem o proporcionalnosti u pramenu pravaca Ako se dva pravca a i b sijeku u toˇcki O i ako su presjeˇceni sa dva paralelna pravca p i p 0 takva da je TM |OA| |OA0 | |OA| |OB| p ∩ a = {A} i p ∩ b = {B}, te p0 ∩ a = {A0 } i p0 ∩ b = {B 0 }, tada vrijedi: |OB| = |OB 0 | = |AB| = |BA| = XXXVII |OB 0 | |B 0 A0 | .

12

EM2

12

S-S-S sliˇ cnost Dva su trokuta sliˇcna ako su im sve tri stranice proporcionalne.

TM

S-K-S sliˇ cnost Dva su trokuta sliˇcna ako su im 2 stranice proporcionalne i kutevi izmedju njih jednaki.

TM

O simetrali unutarnjeg kuta trokuta Simatrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli tom kutu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica.

TM

XXXVIII

XXXIX

XL

Dokaz Gledamo proizvoljan trokut 4ABC i simetralu sγ kuta ACB. Presjek sγ ∩ b oznaˇcimo sa D. Znamo da je ACD = BCD = γ2 Na pravcu AC definiramo toˇcku E kao presjek AC i paralele sa CD kroz toˇcku B. AEB = ACD = γ2 zbog kuteva sa paralelnim pravcima. CBE = CDB = γ2 zbog kuteva uz zajedniˇcku transverzalu. ⇒ 4BEC je jednakostraniˇcan, tj. |CE| = |CB|. |AC| |AD| = |CE| , a |CE| = Prema Talesovom teoremu o proporcionalnosti pramena pravaca zalkljuˇcujemo da je |DB| |BC|, pa znaˇci da je

|AD| |DB|

=

|AC| |BC| .

1. Kateta pravokutnog trokuta je geometrijska sredina hipotenuze i svoje ortogognalne projekcije na PROP hipotenuzu. XLI 2. (Euklidov teorem) Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta je geometrijska sredina svih ortogonalnih projekcija na hipotenuzu, tj. geometrijska sredina svojih odsjeˇcaka na hipotenuzi. Dokaz Neka je N noˇziˇste visine iz vrha uz pravi kut. Oznaˇcimo c1 := |AN |, c2 := |BN |. Trokuti 4ABC ∼ 4ACN ∼ √ √ 4CBN , po k-k-k teoremu. Iz toga slijedi da je cb1 = cb ⇒ b = cc1 , ca2 = ac ⇒ a = cc2 . Iz tranizitivnosti √ c1 vc relacije sliˇcnosti dobivamo i da je c1 = vc ⇒ vc = c1 c2 . Pitagorin pouˇ cak U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.

TM XLII

Dokaz Iz prethodnog teorema slijedi da je a2 + b2 = cc1 + cc2 = c(c1 + c2 ) = c2 Obrat pitagorinog pouˇ cka Ako za stranice a, b, c trokuta 4ABC vrijedi da je a2 + b2 = c2 , onda je 4ABC pravokutan trokut sa pravim kutem u vrhu C.

TM XLIII

Dokaz a2 + b2 = c2 ⇒ c > a, b Neka je 4A0 B 0 C 0 pravokutan trokut takav da je |B 0 C 0 | = a i |A0 C 0 | = b i A0 C 0 B 0 pravi kut. Iz pitagorinog pouˇcka slijedi da je |A0 B 0 | = c, a po teoremu S-S-S jednakost parova odgovaraju´cih stranica je dovoljan uvjet za sukladnost trokuta, pa je 4A0 B 0 C 0 ' 4ABC ⇒ 4ABC je pravokutan sa pravim kutem u vrhu C.

ˇ 1.4. Cetverokut DEF 1-42

N eka su A, B, C i D ˇcetiri zadane toˇcke u ravnini M. Gledamo uniju duˇzina AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA takvu da se niti jedan par duˇzina ne sjeˇce u svojim unutraˇsnjim toˇckama. Takvu liniju zovemo zatvorena poligonalna linija, a dio ravnine omedjen tom linijom zovemo ˇ cetverokut i oznaˇcavamo ABCD.

13

EM2

DEF 1-43

DEF 1-44

DEF 1-45

DEF 1-46

DEF 1-47

DEF 1-48

DEF 1-49

13

Duˇzine zatvorene poligonalne linije ˇcetverokuta zovemo stranicama ˇ cetverokuta. Duˇzine koje su odredjene vrhovima ˇcetverokuta a nisu u poligonalnoj liniji zovemo dijagonale. Trapez je ˇcetverokut kojem barem jedan par nasuprotnih stranica leˇzi na paralelnim pravcima. Paralelogram je ˇcetverokut kojemu dva para nasuprotnih stranica leˇze na paralelnim pravcima. Pravokutnik je paralelogram kojemu je jedan kut pravi. Romb je paralelogram kojemu su sve ˇcetiri stranice jednake duljine. Kvadrat je romb koji je pravokutnik.

Svojstva paralelograma: 1 Nasuprotne stranice i nasuprotni kutevi paralelograma su jednaki. ˇ 2 Cetverokut je paralelogram ako i samo ako u se dijagonale raspolavljaju. 3 Ako za ˇcetverokut ABCD vrijedi da je |AD| = |BC| i AD k BC, onda je ABCD parelelogram.

1.5. Poligoni i povrˇsina DEF 1-50

DEF 1-51

DEF 1-52

DEF 1-53

DEF 1-54

Neka je A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , . . . , An niz od konaˇcno mnogo toˇcaka u ravnini. Uniju duˇzina A0 A1 ∪ A1 A2 ∪ A2 A3 ∪ . . . ∪ An−1 An zovemo izlomljena duˇ zina. A0 zovemo poˇ cetkom izlomljene duˇ zine, a An kraj izlomljene duˇ zine. Izlomljenu duˇzinu kojoj se svaka toˇcka nalazi na toˇcno jednoj duˇzini ili je zajedniˇcki vrh toˇcno dvije ˇciji je to zajedniˇcki kraj zovemo jednostavna izlomljena duˇ zina. Oznaˇcavamo A 1 A2 A3 . . . An . Samopresjeˇ cna izlomljena linija je izlomljena linija koja nije jednostavna. Zatvorena izlomljena linija je izlomljena linija A0 A1 . . . An , gdje je An = A0 , tj. takva da je njen poˇcetak jedanak njenom kraju. Poligon u uˇzem smislu je jednostavna zatvorena izlomljena linija. Jordanov teorem Poligon dijeli ravninu na dva dijela, unutraˇsnjost i vanjˇstinu.

DEF 1-55

TM XLIV

Pologon je dio ravnine omedjen jednostavnom zatvorenom izlomljenom linijom. Svaki se polinom moˇze trijangularizirati, tj. rastaviti na uniju konaˇcno mnogo trokuta koji nemaju TM XLV zajedniˇckih unutraˇsnjih toˇcaka.

DEF 1-56

Kaˇzemo da je poligon π zbroj poligona π1 i π2 i piˇsemo π = π1 + π2 ako je π1 ∪ π2 = π i π1 i π2 nemaju zajedniˇcke unutarnje toˇcke.

14

EM2

14

Za poligone π1 i π2 kaˇzemo da su sukladni i piˇsemo π1 ' π2 ako postoji izometrija g : M → M takva da je g(π1 ) = π2 .

DEF 1-57

DEF

P je skup svih poligona u ravnini, ukljuˇcuju´ci i prazan skup.

1-58

Povrˇ sina (ploˇstina) p na skupu P je funkcija p : P → P1 P2 P3 P4

DEF 1-59

DEF

sa ovim svojstvima:

p(π) ≥ 0, ∀π ∈ P (nenegativnost) p(π1 + π2 ) = p(π1 ) + p(π2 ) (aditivnost) π1 ' π2 ⇒ p(π1 ) = p(π2 ) (invarijantnost na izometriju) Postoji barem jedan kvadrat κ ∈ P sa stranicom duljine 1 takav da je p(κ) = 1 (normiranost)

Broj p(π) zovemo povrˇ sina poligona.

1-60

Povrˇsina pravokutnika Ako je ABCD pravokutnik takav da je duljina stranice |AB| = a i duljina stranice |BC| = b, onda je povrˇsina p(ABCD) = ab.

TM XLVI

Dokaz

FIXME

!!! Povrˇsina paralelograma i trokuta

Neka je P QRS paralelogram sa stranicom a i pripadnom visinom v, a 4ABC trokut sa stranicom a i pripadnom visinom va . Tada je: TM XLVII

1. p(P QRS) = av 2. p(ABC) = 12 ava . Dokaz

FIXME

!!!

Heronova forumla Povrˇsina trokuta ˇcije su stranice duljina a, b, c iznosi P = poluopseg trokuta.

p

s(s − a)(s − b)(s − c), gdje je s =

a+b+c 2

PROP XLVIII

Dokaz

Talesov teorem o proporcionalnosti u pramenu pravaca Nake su a i b dva razliˇcita pravca koji se sijeku u toˇcki O i neka su p k q paralelni pravci koji sijeku pravce a i b u toˇckama A i A0 , odnosno B i B 0 . Tada vrijedi |OA0 | |OA| |OA0 | |OB| |OB 0 | |OA| = , = , = |OB| |OB 0 | |AB| |A0 B 0 | |BA| |B 0 A0 | . Dokaz

Dokaz Pitagorinog pouˇcka preko povrˇsina:

FIXME

-slika

TM XLIX

15

EM2

15

Kruˇ znica k(O, r) ⊂ M sa srediˇ stem u toˇcki O ∈ M radijusa r je skup svih toˇcaka T ∈ M takvih da je |OT | = r.

DEF 1-61

DEF

Tetiva je duˇzina ˇciji su vrhovi toˇcke kruˇznice.

1-62

DEF

Tetivu koja prolazi srediˇstem kruˇznice zovemo dijametar ili promjer kruˇznice.

1-63

Svaka tetiva dijeli kruˇznicu na dva dijela.

TM L

d A, B ∈ Svaki od dijelova na koje tetiva dijeli kruˇznicu zove se luk kruˇznice. Oznaˇcava se sa AB, k(O, r), a obiˇcno se gleda onaj manji.

DEF 1-64

DEF

Kut AOB, gdje su A, B ∈ k(O, r) zovemo srediˇ snji kut kruˇznice.

1-65

Ako su AB i A0 B 0 dvije tetive iste kruˇznice, onda su i njihovi srediˇsnji kutevi jednaki. DEF

PROP LI

d je kut AT B gdje su A, T, B ∈ k(O, r). Obodni kut nad lukom AB

1-66

O obodnom i srediˇsnjem kutu Srediˇsnji kut nad kruˇznim lukom jednak je dvostrukom obodnom kutu nad istim lukom.

TM LII

Dokaz

Talesov teorem o kutu nad promjerom Ako je AB dijametar kruˇznice k(PAB , 21 |AB|), a T bilo koja toˇcka na toj kruˇznici razliˇcita od A i B, onda je 4AT B pravokutan, s pravim kutem u toˇcki T .

KOR LIII

Neka su a, b, c duljine stranica trokuta 4ABC, P povrˇsina istog, a R radijus njemu opisane kruˇzinice. PROP LIV Tada vrijedi P = abc 4R . DEF 1-67

DEF 1-68

Za ˇcetverokut kaˇzemo da je tangencijalan ako su mu pravci na kojemu leˇze sve ˇcetiri stranice tangente jedne kruˇznice, tj. ako mu se moˇze upisati kruˇznica. Za ˇcetverokut kaˇzemo da je tetivan ako su mu sve ˇcetiri stranice tetive iste kruˇznice, tj. ako mu se moˇze opisati kruˇznica. Karakterizacija tangencijalnog ˇ cetverokuta ˇ Cetverokut je tangencijalan ako i samo ako su mu zbrojevi duljina nasuprotnih stranica jednaki.

TM LV

Dokaz 1. Pretpostavimo da je ˇcetverokut ABCD tangencijalan. Tvrdimo da je |AB| + |CD| = |AD| + |BC|. Neka je O srediˇste ˇcetverokutu upisane kruˇznice. Nazovimo diraliˇsta E, F , G, H. Gledamo parove trokuta ˇcije su zajedniˇcke stranice spojnice vrhova ˇcetverokuta i srediˇsta kruˇznice, gdje su im druge stranice spojnice diraliˇsta i srediˇsta. Ti trokuti su medjusobno sukladni jer su im dva para stranica medjusobno jednaki i kut nasuprot najdulje stranice (pravi kut zbog tangente) jednak. To znaˇci da je |AE| = |AH|, |BE| = |BF |, |CF | = |CG|, |DG| = |DH|. To znaˇci da je |AB| + |CD| = |AE| + |EB| + |CG| + |GD| = |AH| + |DH| + |BF | + |F C| = |AD| + |BC|. Time je dokazana nuˇznost.

16

EM2

16

2. Pretpostavimo da ˇcetverokut ABCD ima svojstvo da je |AB| + |CD| = |AD| + |BC|. Tvrdimo da je ˇcetverokut ABCD tangencijalan. Postoji jedinstvena kruˇznica kojoj su tangente pravci AB, CD i CD. Sjeciˇste tangente kroz toˇcku D na tu kruˇznicu nazovimo sa E. Po definiciji, ˇcetverokut EBCD je tangencijalan, pa znamo da vrijedi da je |EB|+|DC| = |BC|+|DE|, no znamo da je |AB|+|BC| = |BC|+|AD|, pa je onda |EB|−|AB| = |ED|−|AD|, no ||EB| − |AB|| = |AE|, tj. ||ED| − |AD|| = |AE|, no to u metiˇckom prostoru vrijedi samo za A = E. DEF

Tetivni ˇ cetverokut je ˇcetverokut kojemu se moˇze opisati kruˇznica.

1-69

Karakterizacija tetivnog ˇ cetverokuta ˇ Cetverokut je tetivan ako i samo ako mu je zbroj nasuprotnih kuteva jednak ispruˇzenom kutu.

TM LVI

Dokaz Pretpostavimo da je ABCD tetivni ˇcetverokut. Kut δ := ADC je obodni kut kojemu pripada srediˇsnji kut AOC = 2δ. Isto tako, β = ABC je obodni kut kojem pripada srediˇsnji kut COA = 2β. 2π = COA + AOC = 2δ + 2β ⇒ δ + β = π. Analogno ide i za A i C. Pretpostavimo da je ABCD ˇcetverokut i da je α + γ = β + δ. Na pravcu AD odaberemo toˇcku D 0 tako da je ABCD0 tetivni ˇcetverokut, pa vrijedi da je δ 0 + β = π. No, po pretpostavci δ + β = π, pa je zato δ = δ 0 . Ako je D 6= D0 , onda postoji trokut triangleDCD 0 , pa taj trokut ima sumu kuteva jednaku π. No, u takvom trokutu jedan od kuteva mora biti unutarnji a drugi vanjski, pa onda je suma tih kuteva δ + π − δ = π, pa je tako kut DCD0 = 0, ˇsto znaˇci da toˇcke D, C i D 0 ne tvore trokut. Ptolomejev teorem Za A, B, C, D ∈ M vrijedi |AB||CD| + |BC||AD| ≥ |AC||BD|. Jednakost vrijedi ako i samo ako su TM LVII A, B, C i D ˇcetiri uzastopne toˇcke na nekoj kruˇznici ili pravcu. Inverzija - pogledati u udˇ zbeniku

1.6. Izmjerivi skupovi toˇ caka i njihova povrˇsina DEF

Kaˇzemo da je S ⊆ M izmjeriv ako ( > 0) (∃π ⊆ S ⊆ π 0 , π, π 0 poligoni) (p(π 0 ) − p(π) < ).

1-70

Za poligon π kaˇzemo da je upisan skupu S ⊆ M a za poligon π 0 da je opisan skupu S ako je π ⊆ S, tj.S ⊆ π 0 . Joˇs definiramo U (S) = {π ∈ P : π ⊆ S}, O(S) = {π ∈ P : S ⊆ π}.

DEF 1-71

pu (S) = sup(p(U (S))) po (S) = inf(p(O(S))) Taj infimum i supremum postoje u jer je S ograniˇcen u M. Uvijek vrijedi pu (S) ≤ po (S). Skup S je izmjeriv ⇔ pu (S) = po (S). Skup S = ([0, 1] ∩ ) × ([0, 1] ∩ Q). Taj skup nije izmjeriv. Krug K = K(O, r) je izmjeriv skup i njegova povrˇsina je jedanka r 2 π, gdje je π konstanta (Ludolfov TM LVIII broj) pribliˇzno jednaka 3.141592653589793238462643383279502884197169399 . . .. Dokaz Tvrdimo da je K izmjeriv. Neka je  > 0 proizvoljan. Upisujemo i opisujemo pravilne 3 · 2 n−1 -terokute. πn je 2 upisani 3 · 2n−1 -terokut, a πn0 je opisani 3 · 2n−1 -terokut. Vrijedi da je p(πn0 ) − p(πn ) < 72r ce biti 2n < . To ´ 2 72r manje od  za n > log2  . Po deifiniciji to znaˇci da je K izmjeriv. Odavde slijedi da je supremum jednak n) =: π. Iz toga infimumu, a to znai¸ da moˇzemo uzeti limes n → ∞. Odavde slijedi da je p(K)r 2 = lim p(π r2

slijedi da je p(K) = r 2 π.

Ako je P povrˇsina, s poluopseg i r radijus upisane kruˇznice, onda vrijedi P = rs. Dokaz

n→∞

PROP LIX

17

DEF 1-72

DEF 1-73

DEF 1-74

DEF 1-75

EM2

17

Kruˇ zni isjeˇ cak Kφ kruga K = K(O, r) je presjek srediˇsnjeg kuta φ i kruga K. Homeomorfizam je funkcija takva da su i f i f −1 neprekidne. Jednostavna krivulja je homeomorfna slika duˇzine. Dio krivulje izmedju dvije mjerne toˇcke zove se luk toˇ cke. Problem: izraˇcunati duljinu luka jednstavne krivulje. Za neki δ > 0, gledamo funkciju koja na krivulji k radi sljede´ce: za T ∈ k, T 7→ K(T, S δ). k(T, δ) Oko svake toˇcke T krivulje opisujemo kruˇznicu radijusa δ > 0 i neka je K δ (k) = T ∈k

p(kδ (k)) . 2δ δ→0

Duljina luka je onda l(k) = lim

Duljina kruˇ znice Opseg, tj. duljina kruˇznice polumjera r je dan je formulom O = 2rπ

TM LX

Dokaz Provodimo ideju od ranije, opisujemo kruˇznice radijusa δ oko svake toˇcke kruˇznice k sa srediˇstem u toˇcki (O, r) dobijemo kruˇzni vijenac ˇciji je unutraˇsnji radijus r − δ, r + δ. Kδ (k(O, r)) = KV (O, r − δ, r + δ), pa je = 2rπ. p(Kδ (k(O, r))) = (r + δ)π − (r − δ)2 π = 4rδπ ⇒ lim 2r2δπ 2δ δ→0

18

EM2

18

2. TRIGONOMETRIJA 2.1. Trigonometrijske funkcije U Kartezijevom koordinatnom sustavu prikazujemo jediniˇcnu kruˇznicu. Presjeke sa osima nazovimo A = (1, 0), B = (0, 1), C = (−1, 0) i D = (0, −1). Pravac p okomit na apscisu koji prolazi toˇckom A “namatamo” na → k(O, 1). To je tzv. eksponenkruˇznicu. Koristimo identifikaciju p sa , te definiramo preslikavanje E : cijalno preslikavanje ili namatanje. Znamo da je duljina ove kruˇznice jednaka 2π, te iz toga zakljuˇcujemo da je E(0) = A, E( π2 ) = B, E(π) = C, E( 3π ,k ∈ 2 ) = D, te da je E(t + 2kπ) = E(t), ∀t ∈ DEF

Apscisu od E(t) zovemo kosinus i piˇsemo cos t, a ordinatu zovemo sinus, te piˇsemo sin t.

2-1

2

PROP

2

cos t + sin t = 1

LXI

Dokaz Oˇcito, iz Pitagorinog teorema. DEF 2-2

DEF 2-3

Zbog prethodnog, k(O, 1) joˇs se naziva trigonometrijska kruˇ znica. Tangens je funkcija definirana na sljede´ci naˇcin tan t = csoins tt , za cos t 6= 0, a kotangens cot t = cos t , sin t 6= 0. sin t Formule komplementiranja Za svako x ∈

vrijedi: cos

Dokaz   Oˇcito za x − 2kπ ∈ 0, π2 , k ∈

π 2



− x = sin x,

sin

π 2

−x



LXII

, a u ostatku gledamo samo unutar kvadranta, tj. svodimo na ˇsiljasti kut. Adicijske formule

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α tan α ± tan β tan(α ± β) = 1 ∓ tan α tan β cot α cot β ∓ 1 cot(α ± β) = cot β ± cot α Dokaz Provodi se samo za kosinus za ˇsiljaste kuteve sa α > β i to samo za razliku: A = (cos α, sin α) B = (cos β, sin β) |AB|2 = (cosα − cos β)2 + (sin α − sin β)2 = 2(1 − cos α cos β − sin α sin β) Nakon rotiranja sistema za β u pozitivnom smjeru, A postaje (cos(α − β), sin(α − β)), a B postaje (1, 0). 2

TM

2

Tada je |AB|2 = cos(α − β) + 1 − 2 cos(α − β) + sin(α − β) 2(1 − cos(α − β)) = 2(1 − cos α cos β − sin α sin β) cos(α − β) = cos α cos β − sin α sin β

TM LXIII

19

EM2

19

Formule dvostrukog kuta 1 − cos x sin(x/2) = 2 2

KOR

1 + cos x cos(x/2) = 2 2

LXIV

Formule redukcije cos

cos 20◦ 6∈

π

 + x = − sin x

2

sin

π 2

KOR

 + x = cos x

LXV

PROP

.

LXVI

Dokaz LMA

sin (α + β + γ) =?

LXVII

sin (α + β + γ) = sin(α + β) cos γ + cos(α + β) sin γ . = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ − cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ Za α = β = γ dobivamo: 3

2

2

2

sin 3α = 3 sin α cos α − sin α = sin α(3 cos α − sin α) = 3 sin α − 4 sin α. 3

U terminima kosinusa, cos 3α = 4 cos α − 3 cos α 3

cos 60◦ = 4 cos 20◦ − 3 cos 20◦ ∼ 8x3 − 6x − 1 = 0, D = 36 + 32 = 68, sin x cos y =

1 2

√ D 6∈

⇒ x1,2 6∈ PROP

(sin(α + β) − sin(α − β)).

LXVIII

Dokaz Oˇcito iz adicionih formula. PROP

cos nx =?, sin nx =?.

LXIX

Dokaz n Iskoristimo Moivreovu formulu koja kaˇze da je (cos x + i sin x) = cos nx + i sin nx i Newtonov binomni teorem. n k P n−k n (cos x + i sin x) = ik sin x cos x k=1

Rastavimo na realni i imaginarni dio:
n−2 2
n−4 4 n cos nx = cos x − n2 cos x sin x + n4 cos x sin x · · ·
n−3 3
n−1 sin nx = n1 cos x sin x − n3 cos x sin x · · · n P

PROP

sin kx =?

LXX

k=0

Dokaz n P Krenimo od parcijalne sume geometrijskog reda kompleksnih brojeva, zk = 1 − To znaˇci da je 1 +

n P

k=1

cos kx + i

n P

k=1

k=0

sin kx =

1−cos(n+1)x−i sin(n+1)x 1−cos x−i sin x

z n+1 1−z .

20

EM2

20

2

1 − cos(n + 1)x = 2 sin (n+1)x 2 (n+1)x sin(n + 1)x = 2 sin (n+1)x c o s 2 2 n n sin (n+1)x sin (n+1)x −i cos n+1x
P P sin (n+1)x nx 2 2 sin kx = sin2 x · cos kx + i 1+ = sin x2 · cos nx x x 2 + i sin 2 s i n −i c o s 2 2 2 2 k=1 k=1 n P sin nx sin (n+1)x 2 2 Zakljuˇcujemo da je sin kx = . sin x2 k=1 O sinusima kuteva u trokutu Stranice u trokutu odnose se kao sinusi tim stranicama nasuprotnih kuteva b c a = = = 2R, sin α sin β sin γ

TM LXXI

gdje je R polumjer kruˇznice opisna trokutu. Dokaz U trokutu 4ABC gledajmo trokute 4ANC C i 4BNC C, gdje je NC noˇziˇste visine iz vrha C. vc = b sin α = a sin β ⇒ sinbβ = sinaα ⇒ sinbβ = sinaα = sincγ . sin α 1 a P = cv2c = cb s2in α = abc 4R ⇒ a = 2R ⇒ sin α = 2R. O kosinusima kuteva u trokutu Ako su a, b i c duljine stranica u trokutu 4ABC, a α, β i γ kutevi istog, onda je a2 = b2 + c2 − 2bc sin α

b2 = a2 + c2 − 2ac sin β c2 = a2 + b2 − 2ab sin γ

TM LXXII

Dokaz Sa x oznaˇcimo duljinu duˇzine ANC , gdje je NC noˇziˇste visine iz C. ˇ Siljasti kut u A: vc2 = b2 − x2 = a− (c − x)2 ⇒ a2 = b2 + c2 − 2cx, x = b sin α ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc cos α Pravi kut u A: vc2 = a2 − c2 ⇒ a2 = b2 + c2 = b2 + c2 − 2bc cos π2 = b2 + c2 − 2bc cos α Tupi kut u A: vc2 = b2 −x2 = a2 −(c+x)2 ⇒ a2 = b2 +c2 −2cx, x = b cos π − α = −b cos α ⇒ a2 = b2 +c2 −2bc cos α

Ako realni brojeve a, b, c, α, β, γ ∈ zadovoljavaju α + β + γ = π, te teorem o sinusima ili teorem TM o kosinusima, onda oni odredjuju trokut jedinstven do na suklandnost. U sluˇcaju kosinusovog teorema LXXIII uvjet sume kuteva nije nuˇzan. Dokaz Oˇcito.

21

EM2

21

ˇ 3. ANALITICKA GEOMETRIJA RAVNINE 3.1. Koordinate vektora u ravnini DEF 3-1

DEF 3-2

DEF 3-3

DEF 3-4

Kartezijev koordinatni n o sustav u ravnini, tj. pravokutni koordinatni sustav u ravnini je uredjeni par O, ~i, ~j , gdje je O ∈ M, a ~i, ~j ortonormirana baza od V2 .  n o Afini koordinatni sustav u ravnini, je uredjeni par O, ~i, ~j , gdje je O ∈ M, a ~i, ~j neka baza

od V2 .

 n o κ:M→ Koordinatizacija je funkcija koja po koordinatnom sustavu O, ~i, ~j 2 −→ M 7→ (x, y) ∈ : OT = ~rT = x~i + y~j.

2

koja T ∈

−−−→ Za vektor ~a reprezenitran usmjerenom duˇzinom A1 A2 , A1 (x1 , y1 ), A2 (x2 , y2 ) ∈ Mn kaˇzo emo da su mu ~ ~ ako vrijedi x, y ∈ pravokutne koodrinate u pravokutnom koordinatnom sustavu O, i, j da je x~i + y~i = (x2 − x1)~i + (y2 − y1 )~j.

DEF 3-5

DEF 3-6

DEF 3-7

Norma vektora je funkcija d : V2 →

, koja vektoru ~a ∈ V 2 pridruˇzuje njegov modul, tj. duljinu.

Orijentirani trokut je uredjeni par trokuta i jedne relacije uredjaja na skupu njegovih vrhova.  ~ Za orijentaciju trokuta 4ABC kaˇzemo da je pozitivna ako ako je baza AB, AC desna. Ako je ta baza lijeva, kaˇzemo da je trokut negativno orijentiran. ~ Povrˇsina orijentiranog trokuta 4ABC, pri ˇcemu forumulom x 1 1 P = x2 2 x3

je κA = (x1 , y1 ), κB = (x2 , y2 ), κC = (x3 , y3 ) dana je y1 1 PROP y2 1 . LXXIV y3 1

Posebno, ako je trokut pozitivno orijentiran, onda je P > 0, a ako je negativno orijentiran, onda je P < 0.

Dokaz ~ Oznaˇcimo ortongonalne projekcije na os x toˇcaka A, B, C sa A0 , B 0 , C 0 . Povrˇsina trokuta 4ABC je onda suma 0 0 0 0 0 0 povrˇsina trapeza A C CA i C B BC umanjena za povrˇsinu trapeza A B BA. P = 12 ((y3 + y1 )(x3 − x1 ) + (y2 + y3 )(x2 − x3 ) − (y1 + y2 )(x2 − x1 )) x1 y 1 1 P = 12 (y3 x2 − y3 x1 + y1 x3 − y1 x2 + x1 y2 − x3 y2 ) = 12 x2 y2 1 x3 y 3 1 Koristimo sada svojstva determinanti, tj. nepromjenjivost na linearnu kombinaciju, pa oduzmimo prvi red od drugog i tre´ceg: x1 y1 1 x − x1 y2 − y 1 P = 12 x2 − x1 y2 − y1 0 = 21 2 x3 − x 1 y 2 − y 1 x3 − x 1 y 2 − y 1 0 Poˇsto iz algebre znamo da je pozitivnost dobivene determinante uvjet desnosti baze, a povrˇsina ima isti predznak, dokazan je i ostatak tvrdnje.

3.2. Jednadˇ zbe pravca u ravnini

22

EM2

DEF 3-8

22

Jedandˇ zba je nuˇzan i dovoljan uvjet na koordinate toˇcke da ona pripada nekom skupu. Jednadˇzba ima smisla samo ako je prethodno definiran koordinatni sustav. Objekt opisan jednadˇzbom egzistira i bez koordinatnog sustava.

DEF 3-9

i h − − → Neka su A, B ∈ M proizvoljne toˇcje pravca p ⊂ M, takve da je A 6= B. Vektor ~s = AB zove se vektor smjera. Svaki pravac je jednoznaˇcno odredjen svojom toˇckom i vektorom smjera.

1. Jednadˇzba pravca p odredjenog toˇckom T0 ∈ p i vektora smjera ~s. −−→ T ∈ p ⇔ T0 T = t~s, za neko t ∈ ⇔ ~rT − ~tT0 = t~s, za neko t ∈ jednadˇ zba pravca. t zovemo parametar. Pravac je jednoparametarska krivulja.

KOR LXXV

~r = ~r0 + t~s. Ovo zadjne je vektorska

2. Jednadˇzba pravca p u koordinatnom susatvu. Koordinatno gledano: p . . . T0 (x0 , y0 ), ~s = (a, b) = a~i + b~j, a2 + b2 > 0, T (x, y).  x = x0 + at ,t ∈ y = y0 + bt Ovo su tzv. parametarske jednadˇzbe pravca. 3. Jednadˇzba pravca p u kanonskoj formi Eliminiranjem t-a iz parametarskih jednadˇzbi dobivamo kanonski oblik jednadˇzbe pravca: y − y0 x − x0 = a b Za a = 0 dobivamo pravac paralelan sa ordinatom x = x0 , a za b = 0 dobivamo pravac paralelan sa apscisom, y = y0 . 4. Jednadˇzba pravca odredjenog toˇckama T1 (x1 , y1 ), T2 (x2 , y2 ). −−→ Tada vrijedi da je T1 T2 vektor smjera od p, ˇsto znaˇci da je ~s = (x2 − x1 , y2 − y1 ). Iz toga slijedi: 1 1 = yy−y T ∈ p ⇔ xx−x 2 −x1 2 −y1 y2 −y1 ⇔ y − y1 = x2 −x1 (x − x1 ), kanonski oblik pravca odredjenog toˇckama sa koordinatama (x 1 , y1 ), (x2 , y2 ). x y 1 ⇔ x1 y1 1 = 0 x2 y 2 1 5. Jednadˇzba pravca koja intepretira kut sa apscisom.

DEF 3-10

φ je kut kojeg pravac p zatvara sa pozitivnim dijelom x-osi, tj. najmanji kut za koji treba u pozitivnom smislu (smjeru) zakrenuti pozitivni dio x osi oko njezinog sjeciˇsta sa p tako da se rotirani poloˇzaj osi x i pravac p podudaraju. Taj kut zovemo kut pravca p prema osi Ox. φ ∈ [0, πi. Za p k x definiramo da je φ = 0. k=

DEF 3-11

y2 − y 1 = tan φ x2 − x 1

Broj k zovemo koeficijent smjera.

y − y1 = k(x − x1 ) Ovo je jednadˇzba pravca preko koeficijenta smjera i jedne toˇcke.

23

EM2

23

6. Eksplicitna jednadˇzba pravca Gledamo sjeciˇste pravca p i osi Oy, toˇcku L(0, l). l zovemo odsjeˇ cak pravca p nna osi Oy. y = kx + l Ta jednadˇzba se zove eksplicitna jednadˇ zba pravca. 7. Pravac zadan odsjeˇccima na koordinatne osi. Sjeciˇsta sa koordinatnim osima M (m, 0) i N (0, n), m, n 6= 0. n (x − m) y = −m y x m + n =1 segmentni oblik jednadˇzbe pravca. 8. Implicitni oblik jednadˇzbe pravca Ax + By + C = 0, A2 + B 2 > 0 9. ~n = A~i + B~j je vektor normale pravca p. −−→ −−→ Tada je T ∈ p ⇔ T0 T ⊥ ~n ⇔ T0 T · ~n = 0 ⇔ (x − x0 )A + (y − y0 )B = 0 Ax + By − Ax0 − By0 = 0 jednadˇzba pravca zadanog toˇckom i vektorom normale 10. Karakterizacija pravca kao geometrijsko mjesto toˇcaka ravnine ˇcija je udaljenost od tog pravca jednaka 0. Pravac p sijeˇce os Ox u toˇcki P i os Oy u toˇcki Q. Gledamo toˇcku T 0 = (x0 , y0 ) koja ima radijvektor ~rT0 , te jediniˇcni vektor normale na pravac p, ~n0 . Neka je δ = d(O, p), a d duljina duˇzine na pravcu odredjenom vektorom ~n0 sa krajevima u ortogonalnoj projekciji T0 na taj pravac, N i u sjeciˇstu sa pravcem p, M . d ima pozitivan predznak ako je sa razliˇcite strane pravca, a negativan ako je sa iste strane. φ := P OM Iz pravokutnih trokuta 4OP M i 4OM Q dobivamo segmentni oblik, te iz toga dolazimo do jednakosti: x cos φ + y sin φ − δ = 0, tzv. normalni ili Hesseov oblik jednadˇzbe pravca. Poˇsto implicitna i normalna jednadˇzba opisuju isti objekt u istom koordinatnom sustavu, onda postoji λ ∈ takav da je λAx + λBy + λC = x cos φ + y sin φ − δ = 0, ˇsto daje λA = cos φ i λB = sin φ. To je kvadrirano i 1 zbrojeno λ2 (A2 + B 2 ) = 1 ⇒ λ = ± √A21+B 2 . Takodjer vrijedi da je sig λ = −sig C, pa je λ = −sig C √ . A2 +B 2 Uvrstimo li to u jednadˇzbu, dobivamo: Ax + By + C √ =0 −sig C A2 + B 2 Sada gledamo udaljenost do T0 . Gledajmo skalarni produkt ~n0 · ~rT0 |~rT0 | cos(~n0 , ~rT0 ) = δ + d (zbog pravokutnog trokuta i ranijih definicija). ~n0 = (cos φ, sin φ), ~rT0 = (x0 , y0 ) ⇒ ~n0 · ~tT0 = x0 cos φ + y0 sin φ = δ + d Zakljuˇcujemo: Ax0 + By0 + C √ d= −sig C A2 + B 2

=

|n0 ||rT0 | cos(~n0 , ~rT0 )

=

3.3. Kut izmedju 2 pravca DEF 3-12

Pod kutom φ uredjenog para pravaca φ := (p1 , p2 ) pravaca koji se sijeku podrazumijevamo najmanji kut za kojeg treba zarotirati u pozitivnom smislu pravac p1 oko njihovog sejciˇsta tako da on padne na p2 . φin [0, πi tan φ = tan(α1 − α2 ) k2 −k1 . Ako je za p1 x = k1 x + l, a za p2 x = k2 x + l, tj. tan φ = 1+k 1 k2 Karakterizacija paralelnosti i okomitosti: p1 k p2 ⇔ k1 = k2 , p1 ⊥ p2 ⇔ k1 k2 = −1

24

EM2

24

4. KRIVULJE 2. REDA 4.1. Kruˇ znica +

. Gledamo kruˇznicu k(S, r) = {T ∈ M : d(T, S) = r}. Ako toˇcka S u nekom Neka je S ∈ M, a r ∈ pravokutnom koordinatnom sustavu ima koordinate (p, q), a toˇcka T koordinate (x, y), tada vrijedi da je T ∈ k(S, r) ⇔

p (x − p)2 + (y − q)2 = r ⇔ r2 = (x − p)2 + (y − q)2

. Ovo je jednadˇ zba kruˇ znice. Posebno, ako je S = O, onda je jednadˇzba te kruˇznice x2 + y 2 = r2 . Tu kruˇznicu zovemo srediˇ snja kruˇ znica. Izrazimo jednadˇzbu kruˇznice na drugaˇciji naˇcin: x2 + y 2 − 2px − 2qy + p2 + q 2 − r2 = 0. Oˇcito je da za bilo koji faktor A 6= 0, ova jednadˇzba pomnoˇzena sa A opisuje isti skup, znaˇci, op´cenitiji izraz jednadˇzbe kruˇznice je Ax2 + Ay 2 − 2pAx − 2qAy + Ap2 + Aq 2 − Ar2 = 0. Name´ce se pitanje je li op´cenita jednadˇzba oblika A(x2 +y 2 )+Bx+Cy+D = 0 jednadˇzba kruˇznice za proizvoljne C D A, B, C, D ∈ . Oˇcito je da mora biti A 6= 0. Podijelimo li jednadˇzbu sa A, dobivamo (x2 +y 2 )− B A x+ A y+ A =


2 2 2 2 2 C D B 2 C 2 B B 2 . Iz ovoga zakljuˇcujemo da + y + 2A = 4A + (y + ) = B +C4A−4AD 0 ⇒ x + 2A 2 + 4A2 − A ⇔ x + 2A 2 √ 1 2 2 + 2 je to jednadˇzba kruˇznice ako i samo ako je B + C − 4AD > 0, a r = 2 B C − 4AD. Znamo da se svaka kruˇznica moˇze jedinstveno zadati sa tri svoje razliˇ
cite toˇcke, T i (xi , yi ), i = 1, 2, 3. Poˇsto su to toˇcke kruˇ nice, za njih vrijedi jednadˇzba kruˇznice, tj. A x2i + yi2 + Bxi + Cyi + D = 0, i = 1, 2, 3. Takodjer, op´cenita toˇcka kruˇznice odgovara toj jednadˇzbi, pa je A(x2 + y 2 ) + Bx + Cy + D = 0. Dobivamo homogeni sustav koji ima netrivijalna rjeˇsenja ako i samo ako je determinanta sustava jednaka 0, pa iz toga dobivamo jednadˇzbu kruˇznice zadane sa tri toˇcke: 2 x1 + y12 2 x2 + y22 2 x3 + y32 2 x + y2

x1 x2 x3 x

y1 y2 y3 y

1 1 =0 1 1

Odnos pravca p . . . y = kx + l i kruˇznice k(S, r) . . . (x − p)2 + (y − q)2 = r2 , S(p, q). Imamo tri mogu´cnosti, da je udaljenost pravca od srediˇsta ve´ca od r, manja od r ili jednaka r. < (kp−q+l)2 √ , kvadrirano to je = r2 . Iz toga dobivamo Gledamo udaljenost pravca od srediˇsta d(S, p) = −sigkp−q+l 2 k +1 (l) k2 +1 > uvjet dodira pravca i kruˇ znice (kp − q + l)2 = r2 (k 2 + 1). Jednadˇzba tangente u toˇcki dodira je (x0 − p)(x − x0 ) + (y0 − q)(y − y0 ) = 0, osim u rubovima, gdje je PROP LXXVI x = p ± r. Dokaz Situacija u rubovima je trivijalna. Tangenta je okomita na radijus, a koeficijent smjera pravca kroz srediˇste kruˇznice i toˇcku (x 0 , y0 ) na njoj je x0 −p −p k 0 = xy00 −q zba tangente y − y0 = − xy00−p (x − x0 ), ˇsto −p , pa je koeficijent smjera jednak k = − y0 −q . Tada je jednadˇ je ekvivalentno jednadˇzbi (x0 − p)(x − x0 ) + (y0 − q)(y − y0 ) = 0.

4.2. Elipsa DEF 4-1

Neka su F1 i F2 dvije razliˇcite ˇcvrste toˇcke ravnine M i neka je udaljenost |F1 F2 | = 2e, te neka je a > e realni broj. Elipsa je skup svih toˇcka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od toˇcaka F 1 i F2 konstantan i jednak 2a. E = {T ∈ M : |T F1 | + |T F2 | = 2a} Toˇcke F1 i F2 zovemo fokusi ili ˇ zarista elipse.

25

EM2

25

Neka nam je dana elipsa i njezini fokusi F1 i F2 . Odredimo koordinatni sustav tako da je pravac F1 F2 x os, a y os okomica kroz poloviˇste duˇzine F1 F2 . Tada fokusi imaju koordinate κF1 = (−e, 0), κF2 = (e, 0). Toˇcke iz presjeka x osi i elipse nazovimo A i B. One imaju koordinate κA = (−a, 0), κB = (a, 0). Duˇzina AB naziva se cki ekscentricitet elipse. velika os elipse. e nazivamo linearni ekscentricitet.  := ae je numeriˇ Traˇzimo jednadˇzbu elipse: PROP

Jednadˇzba elipse je T ∈ E ⇒ |T F1 | + |T F2 | = 2a.

LXXVII

p r1 := |T F1 | = p(x + e)2 + y 2 r2 := |T F2 | = (x − e)2 + y 2 Iz definicije elipse vrijedi r1 + r2 = 2a. Pomnoˇzimo ovu jednakost sa (r1 − r2 ). r12 − r22 = 2a(r1 − r2 ) ⇒ (x + e)2 + y 2 − (x − e)2 − y 2 = 2a(r1 − r2 ) ⇒ 4ex = 2a(r1 − r2 ) ⇒ r1 − r2 = 2ex a . p 2ex 2 2 (x + e) + y = a + Zbrojimo zadnju jednadˇzbu i definicijsku jednakost, pa dobivamo 2r1 = 2a + a ⇒   Kvadrirano dobivamo (x + e)2 + y 2 = a2 + 2ex +

2

e x a2

2

⇒ 1−

2

e 2 a2 x

+ y 2 = a2 − e2 ⇒

Definiramo b2 := a2 − e2 2> 0 y x2 b2 2 2 2 a 2 x + y = b ⇒ a 2 + b2 = 1 Pretpostavimo da toˇcka zadovoljava ovu na elipsi. q jednakost. Dokaˇzimo da je ona q p a2 −e2 2 2 2 2 2 2 (x + e) + y = (x + e) + a − e − a2 x = 2ex + a2 + r1 := |T F1 | = e x + a . a

2

2

a −e a2

e2 2 a2 x

2

ex a . 2

x2 + y 2 = a 2 − e .

=

q

e ax

+a


2

=

2

y 2 = a2 − e2 − a a−e x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ 0 < a − e ≤ ae x + a ≤ e + a 2 r2 := |T F2 | = . . . = a − ae x r1 + r2 = 2a. Time je zadovoljena ekvivalencija. Uvjet dodira elipse i pravca y = kx + l je

PROP 2 2

2

a k +b =l

2

LXXVIII

Za rubne sluˇcajeve vrijedi da je tangenta pravac x = ±a. Dokaz b2 x2 + a2 (kx + l)2 = a2 b2 ⇒ (b2 + a2 k 2 )x2 + 2kla2 x + a2 (l2 − b2 ) = 0. Ova jedndaˇzba ima jedinstveno rjeˇsenje kada joj je diskriminanta jednaka 0. (2kla)2 − 4(b2 + a2 k 2 )a2 (l2 − b2 ) = 0 ⇔ 4(b2 a2 l2 − a2 b4 − a4 k 2 b2 ) = 0 ⇔ a2 k 2 + b2 = l2 x0 x a2

+

y0 y b2

= 1 je tangenta na elipsu kroz diraliˇste (x0 , y0 ).

PROP LXXIX

Dokaz Ova jednadˇzba pravca opisuje tangentu ako i samo ako zadovoljava uvjet dodira. Preformulirana u eksplicitni 2 x0 b2 −b2 x0 b2 oblik, ona glasi y = −b a2 y0 x + y0 . Tada je k = a2 y0 , a l = y0 .
4 2 4 x2 Raˇcunamo vrijednost a2 k 2 + b2 − l2 = a2 ab 4 y20 + b2 − yb 2 = a2by2 b2 x20 + a2 y02 − a2 b2 = 0 0 0 0 Uvjet dodira je zadovoljen, pa je taj pravac tangenta. DEF 4-2

Za toˇcku T kaˇzemo da je unutraˇ snja toˇ cka elipse E ako svaki pravac kroz T sijeˇce E u dvije razliˇcite toˇcke. Zrcalno svojstvo elipse Simetrala vanjskog kuta radijvektora iz fokusa na toˇcku elipse koja nije kolinearna sa F 1 F2 je tangenta na elipsu.

TM LXXX

Dokaz ˇ Neka je D ∈ E proizvooljna toˇcka, D 6∈ F1 F2 i neka je t simetrala vanjskog kuta radijvektora F1 D, F2 D. Zelimo dokazati da je t tangenta na elipsu. Poˇsto je D ∈ E i D ∈ t, treba pokazati da ∀D 0 ∈ t, D0 6= D ⇒ D0 6∈ E. Oznaˇcimo sa F10 toˇcku na polupravcu F2 D takvu da je |F1 D| = |F10 D|. Iz definicije elipse slijedi da je |F10 F2 | = 2a.

26

EM2

26

Uzmimo sada proizvoljnu toˇcku D 0 ∈ t, D0 6= D. |F1 D0 | + |F2 D0 | = |F10 D0 | + |F2 D0 | > 2a zbog nejednakosti trokuta. Time D0 6∈ E. Normala na tangentu kroz diraliˇste D je simetrala unutraˇsnjeg kuta trokuta 4F 1 DF2 .

KOR LXXXI

4.3. Hiperbola Neka su F1 i F2 dvije razliˇcite toˇcke u ravnini takve da je |F1 F2 | = 2e ∈ h0, +∞i, te neka je a ∈ takav da je 0 < a < e. Hiperbola je skup svih toˇcaka ravnine kojima je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od tih toˇcaka konstantna i jednaka 2a. Dakle, H = {T ∈ M : ||F1 T | − |F2 T || = 2a}. Toˇcke F1 , F2 zovu se ˇ zarista ili fokusi hiperbole.

DEF 4-3

Slaˇzemo koordinatni sustav da jednadˇzba bude najjendnostavnija. Os x postavimo kao pravac F 1 F2 , te ishodiˇste stavimo na poloˇiˇste duˇzine F1 F2 , tako da toˇcke F1 i F2 imaju kordinate (−e, 0), odnosno (e, 0). Sjeciˇsta hiperbole sa x osi oznaˇcimo sa A(−a, 0),B(a, 0). T (x, y) ∈ H ⇔ b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2 ,

PROP LXXXII

gdje je b2 = e2 − a2 . Dokaz p p Nazovimo udaljenosti |F1 T | = r1 , |F2 T | = r2 . Znamo da je onda r1 = (x + e)2 + y 2 , a r2 = (x + e)2 + y 2 , te, iz definicije hiperbole, znamo da je |r1 − r2 | = 2a, tj. r1 − r2 = ±2a. (r1 − r2 )(r1 + r2 ) = (±2a)(r1 + r2 ) ± 2xe a = r1 + r2
r1 + r2 + r1 − r2 = ±2 xe a +a
r1 = ± xe a +a 2 2 Kvadriramo li taj izraz i uvrstimo r1 , dobivamo: (x + e)2 + y 2 = xa2e + a2 + 2xe 2 x2  + e2 + y2 = ae 2 x2 + a2 x2 1 − 2

e2 a2

+ y 2 = a2 − e2

−x2 ab 2 + y 2 = −b2 x2 b 2 − y 2 a 2 = a 2 b 2

Kanonski oblik jednadˇzbe hiperbole:

x2 y2 − =1 a2 b2

Traˇzimo nuˇzne i dovoljne uvjete da pravac bude tangenta hiperbola. 2 2 Gledmo hiperbolu H . . . xa2 − yb2 = 1 i pravac p . . . y = kx + l ili x = c. Uvjet na pravac y = kx + l da sa hiperbolom ima zajedniˇcku samo jednu toˇcku je a 2 k 2 − b2 = l2 .

PROP LXXXIII

Dokaz y = kx + l, b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2 y 2 = k 2 x2 + l2 + 2klx 2 b2 x2 − a2 k
2 x2 − a2 l2 − 2klxa − a 2 b2 = 0

b2 − a2 k 2 x2 + −2kla2 x + (−1) a2 b2 + a2 l2 = 0

D = 0 = 4k 2 l2 a4 + 4 b2 − a2 k 2 a2 b2 + a2 l2 4k 2 l2 a4 + 4a2 b4 + 4a
2 b2 l2 − 4a4 k 2 b2 − 4k 2 l2 a4 = 0 4a2 b2 b2 + l2 − a2 k 2 = 0 b2 + l 2 = a 2 k 2 ⇔ a 2 k 2 − b 2 = l 2 Jednadˇzba tangente kroz diraliˇste (x0 , y0 ) je b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 . Dokaz

PROP LXXXIV

27

EM2

27

Pravac je tangenta ako i samo ako zadovoljava uvjet dodira, pa provjerimo zadovvoljava li gornja jednadˇzba pravca uvjet dodira. 2 2 b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 ⇒ y = ab 2xy00 x − yb 0 b2 x 0 a 2 y0 , l 2 2 2

k=

2

= − yb0


4 2 b4 x 2 a k − b − l2 = a2 y02 − b2 − yb 2 = a2by2 b2 x20 − a2 y02 − 1 = 0 0 0 0 Zakljuˇcujemo da pravac zadovoljava uvjet dodira, pa je tangenta. TM

Tangenta hiperbole je simetrala unutarnjeg kuta izmedju radijvektora diraliˇsta iz fokusa.

LXXXV

Dokaz Na hiperboli H uzmimo toˇcku T , te oko udaljenijeg fokusa (BSO moˇzemo pretpostaviti da je to F 1 ) promatramo kruˇznicu K := k(F1 , 2a). Oznaˇcimo joˇs i toˇcke S, sjeciˇste pravca F1 T sa kruˇznicom K koje se nalazi izmedju tih toˇcaka. Iz definicije hiperbole slijedi da je trokut 4SF2 T jednakokraˇcan. Promatrajmo pravac p na kojemu leˇzi visina tog trokuta. Taj je pravac ujedno i simetrala tog trokuta, a time i kuta F 1 T F2 . Ono ˇsto ˇzelimo dokazati jest da je taj pravac tangenta na hiperbolu. Iz definicije p znamo da ima barem jednu toˇcku zajedniˇcku sa H, toˇcku T . Tvrdimo da je p ∩ H\ {T } = ∅. Uzmimo proizvoljnu toˇcku T 0 ∈ p, T 6= T 0 . Iz definicije hiperbole znamo da je trokut ˇciji su vrhovi toˇcka hiperbole, bliˇzi fokus i sjeciˇste spojnice sa daljim fokusom i kruˇznicom oko njega radijusa 2a jednakokraˇcan, jer kada se udaljenost do daljeg fokusa umanji za udaljenost do bliˇzeg, dobijemo 2a, ˇsto je definicija hiperbole. Oznaˇcimo sa S 0 sjeciˇste spojnice F1 T sa K. Oˇcito je S 0 6= S, a trivijalno je i da je |S 0 T 0 | < |ST 0 |, pa je zato |S 0 T 0 | 6= |F2 T |, tj. T nije na hiperboli. DEF

Asimptotom hiperbole zovemo graniˇcni poloˇzaj tangente kada se njezino diraliˇste po beskonaˇcnoj grani hiperbole “giba” prema neizmjernost.

4-4

BSO gledamo samo 1. kvadrant koordinatnog sustava. 2 2 Tangenta u eksplicitnom obliku je y = ab 2xy11 x − yb 1 , ˇsto znaˇci da je k = lim

x1 →+∞

2

= ab . Za l = − yb 1 = − √

ab . x21 −a2

U limesu

lim

x1 →+∞

b2 x 1 a 2 y1

=

2

a2 ab

b x1 √ 2

x1 −a2

= a

qb

2

1− a2 x

.

1

l = 0. Jednadˇzba asimptote u 1. (i 3., jer se predznaci

pokrate ) kvadrantu je y = ab x. U 2. i 4. kvadrantu jednadˇzba asimptote je y = − ab x. DEF 4-5

Drugi naˇ cin defniranja asmiptote Asimptota hiperbole je pravac kojemu se hiperbola pribliˇzava kada se toˇcka po njezinoj beskonaˇcnoj grani “giba” prema neizmjernosti. Oˇcito je da su te definicije ekvivalentne.

4.4. Parabola Neka je d ⊂ M pravac, i F ∈ M, f 6∈ d. Skup svih toˇcaka te ravnine M ˇcija je udaljenost od pravca d jednaka udaljensti od toˇcke F zovemo parabola. Dakle: DEF P = {T ∈ M : d(T, d) = d(T, F )} .

4-6

Pravac d zovemo direktrisa ili ravnalica, a F fokus ili zariˇ ste parabole. Oznaˇcimo noˇizˇste okomice na d kroz F sa N . Koordinatni sustav gradimo tako da za x os uzmemo pravac N F , a ishodiˇste postavimo u sjeciˇstu x osi sa parabolom, u toˇcki O, tjemenu parabole. Udaljenost p := |N F | zovemo poluparametar parabole. Jednadˇzba parabole je izraz: y 2 = 2px

PROP LXXXVI

28

EM2

28

Dokaz |T F | = |T N |, N ∈ d, ∀X ∈ d|T X| ≥ |T N | κF = ( p2 , 0) κT = (xT , yT ), κN = (− p2 , yT ) q (x − p2 )2 + yT2 = xT + p2 2

2

x2T + p4 − px + yT2 = x2T + p4 + px yT2 = 2pxT Sada provjerimo je li taj izraz dovoljan uvjet na toˇcku da bude na paraboli. yT2 = 2px qT q q
2 2 2 xT − p2 + yT2 = x2T + p4 − pxT + 2pxT = x2T + p4 + px = x + |T F | = d(T, d) = x + p2 = |T F |

p 2

Uvjet dodira pravca i parabole je izraz p = 2kl.

PROP LXXXVII

Dokaz y = kx + l, y 2 = k 2 x2 + l2 + 2klx y 2 = 2px k 2 x2 + l2 + 2klx − 2px = 0 k 2 x2 + (2kl − 2p)x + l2 = 0 √ 2p−2kl± D x1,2 = 2k2 Ako ˇzelimo jedinstveno rjeˇsenje, onda je D = 4k 2 l2 + 4p2 − 8klp − 4k 2 l2 = 0. 4k 2 l2 − 4k 2 l2 + 4p2 − 8kl = 4p(p − 2kl) = 0 p 6= 0 ⇒ p − 2kl = 0 ⇒ p = 2kl Jednadˇzba tangente na parabolu kroz diraliˇste (x0 , y0 ) jest izraz yy1 = p(x + x1 ).

PROP LXXXVIII

Dokaz Iz prethodne propozicije iskoristimo rjeˇsenje kvadratne jednadˇzbe za x0 = p−kl zbu k2 , te ga uvrstimo u jednadˇ pravca y = kx + l. Dobivamo da je y0 = kp , tj k = yp0 , a iz uvjeta dodira dobivamo p = 2 yp0 l, tj l = y20 = yy20 = x0 p y0 .

y=

0 px0

p y0 x

+

x0 p y0

⇒ y0 y = p(x + x0 )