Elektromagnetika - Jovan Surutka

Jovan V. Surutka

ELEKTROMAGNETIKA OSMO IZDANJE

AKADEMSKA MISAO Beograd, 2006

EJIEKTl·'OHCi\.ii (. -l..bYJITET

5

5

~

1::. H fl ~

HHB. 6Doi· __

,qaTy~•

·~1

0 T E K A

~O~o-1.~·...!:-b"---­

L(:0

(1.9.2)

v- .

v-+o

(1.9.3)

Prema tome, diferencijalni oblik Gausove teoreme se moze pisati u obliku divE=R.

co

(1.9.4)

Divergencija nekog vektora je skalarna velicina i predstavlja vaZnu karakteristiku vektorskih polja uopste. Fizicko znaeenje pojma divergencije se moze najlakSe razumeti na primeru brzinskog polja tecnosti koja struji. Ako je v brzina cestica tecnosti, onda povrsinski integral

i

vdS,

uzet po nekoj zatvorenoj povrsini S, predstavlja koliCinu tecnosti (merenu jedinicama zapremine) koja u jedinici vremena napusti domen ogranicen posmatranom povrsinom. Ako u domenu ne postoji nijedan izvor ili ponor, kroz granicnu povrsinu domena ce isticati upravo onoliko tecnosti koliko i ude, pa ce i vrednost integrala (1.9.5) biti jednaka nuli. U opstem slucaju, kada domen sadrzi izvore i ponore, izlazni fluks vektora brzine je razliCit od nule i upravo jednak razlici kolicina tecnosti koje u jedinici vremena odaju svi izvori i prime svi ponori unutar domena. Vrednost integrala (1.9.5), kada se izracuna za domen konacne zapremine, daje samo sumaran podatak o koliCini tecnosti koja nastaje ili nestaje u posmatranom domenu, ali se na osnovu ovog podatka ne moze nista poblize zakljuCiti o raspodeli i izda8nosti izvora i ponora. Medutim, ako se integral (1.9.5) izraeuna za elementarni domen cija zapremina tezi nuli i dobijeni rezultat podeli sa ovom zapreminom, dobije se mera izda8nosti izvora u posmatranoj taeki, tj. koliCina tecnosti, svedena na jedinicu zapremine, koju ovi izvori odaju u jedinici vremena. Prema tome, divergencija vektora brzine nije nista drugo do mera izda8nosti izvora, odnosno ponora, u posmatranoj taeki brzinskog polja. U onim taekama polja u kojima nema izvora ili ponora divergencija mora biti jednaka nuli. Po analogiji sa hidromehanickim pojavama, pozitivna elektricna opterecenja mozemo smatrati "izvorima" linija elektricnog polja, a negativna njihovim "ponorima". Linije elektricnog polja u vakuumu vazda poCinju na pozitivnim a zavrsavaju na negativnim elektricnim opterecenjima. U onim domenima gde ne postoje nikakva elektricna opterecenja linije elektricnog polja su neprekinute, sto se matematicki iskazuje relacijom divE= 0.

Izraz na levoj strani predstavlja kolicnik iz izlaznog fluksa vektora E kroz zatvorenu povrsinu i zapremine koju ta povrsina obuhvata ili, krace receno, izlazni fluks po jedinici zapremine. Kada zapremina tezi nuli, ovaj kolicnik tezi odredenoj vrednosti i naziva se divergencija vektora E ili, skraceno, divE: divE = lim fs EdS

55

(1.9.5)

Ovaj zakljucak o neprekidnosti linija elektricnog polja VaZi samo za polja u vakuumu. 0 odnosima koji vladaju u dielektricnoj materiji, narocito kada postoje diskontinuiteti sredine, bice reCi u poglavlju "Elektricno polje u prisustvu dielektricne materije". Pre nego sto pristupimo odredivanju izraza za divergenciju u Dekartovom sistemu (odredivanje izraza za divergenciju u nekim drugim sistemima bice prikazano u Cl. 6.2) treba naglasiti da je divergencija vektora velicina koja ne zavisi od izbora koordinatnog sistema, sto znaei da je invarijantna u odnosu na transformacije koordinata. Zamislimo da se tacka u kojoj se zeli odrediti divergencija vektora E nalazi unutar beskonacno malog paralelopipeda, cije su stranice paralelne koordinatnim ravnima (sl. 1.25). Ukupni izlazni fluks vektora E kroz omotac paralelopipeda se sastoji iz delimicnih fluksova kroz njegove stranice. Ako je Ex normalna komponenta vektora jacine polja na elementarnu povrsinu abed, onda je fiuks kroz ovu povrsinu, racunat u odnosu na spoljnu normalu

-Exdydz.

56

1. Elektrostaticko polje u vakuumu

BE.

z

Hamiltonovog operator a 'V ("nabla") i vektora E:

E.+--dz

az

(1.9. 7)

divE='V·E, d

Ex

h

n

gdeje

BEy -dy

Ey

8y

8Ex Ex+-·dx

///l--;-f;;;" -

ax

'V = ix -

0

ox

. 0

. 0

+ ly -;::;--+ lz-;::;---. uy uz

Prema tome, difercncijalni oblik Gausove teoreme se moze pisati i u obliku

b

I

'V ·E=

E. y

(1.9.8)

!}____

eo

U vezi sa divergencijom izve8cemo vaZnu teoremu vektorske analize, poznatu pod imenom teoreme Gaus-Ostrogradskog. Uzmimo neki proizvoljan domen V, ogranicen zatvorenom povrsinom S, i izdelimo ga, kao sto je to pokazano na sl. 1.26, na veliki broj elementarnih paialelopipeda.

X

n

Sl. 1.25.

s

Fluks kroz naspramnu povrsinu efgh, gde normalna komponenta vektora E

oExd

ima vre dnost E x + ox

57

1.9. Divergencija vektora i diferencijalni oblik Gausove teoreme

. . x, 1znosi oEx ) ( Ex+ ox dx dydz.

Prema tome, ukupni izlazni fluks za par stranica paralelopipeda, koje su upravne na osu x, iznosi

Sl. 1.27.

Sl. 1.26.

oEx ox dxdydz.

Prema definiciji divergencije za svaki od ovih paralelopipeda se moze pisati

Na potpuno analogan naein mogu se odrediti fluksovi za preostala dva para stranica, pa je ukupni izlazni fluks kroz omotac paralelopipeda

j EdS = div E.6. V, J~:,s

j

Js EdS =

(oEx OX

+

oEy oy

+

oEz) oz dx dy dz.

Da bi se dobila divergencija, prema definicionom obrascu (1.9.3), gornji izraz treba podeliti sa zapreminom paralelopipeda dV = dx dy dz: . E _ oEx dJV - OX

+

oEy oy

+

oEz oz .

(1.9.6)

U simbolicnom nacinu obelezavanja, koji jc odomaecn u vcktorskoj analizi, divcrgcncija nckog vektora E sc moze predstaviti kao skalarni proizvod

gde se povrsinski integral na levoj strani odnosi na povrsinu elementarnog paralelopipeda. Ako ovakve izraze formiramo za sve elemente domena V i saberemo ih, dobije se:

L J~:,s J EdS = _LdivE.6.V. Kada elementarne zapremine teze nuli, izraz na desnoj strani prelazi u zapreminski integral od divE po celom domenu V. ImajuCi u vidu da se fluksovi kro7. prilc~ece strane susednih elementarnih paralelopipeda potiru, posto su

58

jednaki i suprotnog znaka, nije te5ko uvideti da leva strana predstavlja izlazni fl.uks vektora E kroz granicnu povrsinu domena S. Prema tome, mozemo pisati

t

EdS =

fv

59

1.11. Grinova teorema

1. Elektrostaticko polje u vakuumu

koji se naziva Laplasovom (Laplace) jednaeinom. Cesto se, radi skraeenja pisanja, operacija "div grad" obelezava simbolom 6 ili \7 2. Operator 6 se zove Laplasov operator ili "laplasijan" a ekvivalentan je skalarnom proizvodu dvaju Hamiltonovih operatora:

(1.9.9)

div EdV.

[)2 a2 82 2 6 = \7 = \7 . \7 = Bx 2 + By 2 + Bz 2 .

(1.9.9) predstavlja teoremu Gaus-Ostrogradskog koja omogucava da se po-

vrsinski integral bilo kojeg vektora pretvori u zapreminski integral njegove divergencije. Teorema ostaje u vaznosti i u slucaju kada je domen ogranicen sa vise zatvorenih povrsina koje se medusobno ne seku (sl. 1.27).

Prema tome, Poasonova i Laplasova jednaeina se mogu pisati u obliku (2

6l = cf>2 + cf>3.

10.6. Magnetsko kolo permanentnih magneta

s1 l 1,,-----------1'-----------,( A l3

:

I N

343

10.6. Magnetsko kola permanentnih magneta

10. Magnetsko polje u prisustvu materije

342

~r H,~ t r-f]z2

:'

'

'

:' s2

:

s

' '------ ------0------------' '' ''

B

Posmatra.Cemo magnetsko kolo na sl. 10.22, koje obrazuje permanentni magnet u vidu prstena sa uskim vazdu§nim procepom (medugvoZdem). Magnet je naeinjen od tvrdog feromagnetika, cija je petlja histerezisa, i to njen deo u prvom i drugom kvadrantu, prikazana na sl. 10.23. Petlja je snimljena pri jakom polju zasicenja i odnosi se na uzorak u vidu zatvorenog prstena, bez vazdu§nog procepa. lo

B

(10.5.25)

Sl. 10.20. Posta zatvorena kontura A - b - B - c- A ne obuhvata nikakvu struju, na osnovu (10.5.21) mozemo pisati

H2l2 - H3l3 = F2 - F3 = 0, odnosno (10.5.26)

F2 = F3 = F23·

Magnetopobudne sile dliZ grana kola A - b - B i A - c - B moraju imati istu vrednost,F23· Za zatvorenu konturu B-a-A- b- B vaZi relacija F1

+ F2 =

F1

+ F23 =

N I.

(10.5.27)

Sada se, na osnovu krivih magnecenja, za pojedine grane kola nacrtaju dijagrami cf> = f(F)[cf>l = h(Fl)- kriva 1 na sl. 10.21, cf>2 = h(F2)kriva 2, i cf>3 = !3(F3)- kriva 3]. Krive cf> = f(F) se dobiju na taj naein sto se ordinate krive magnecenja pomnoze sa povrsinom preseka, a apscise sa duzinom odgovarajuCih grana. Sabiranjem odgovarajucih ordinata krivih 2 i 3 dobije se kriva 4 koja predstavlja zavisnost ukupnog ftuksa 4 cf>' = cf>2 + cf>3 od zajednicke magneto5 pobudne sile F23 : cf>' = !4(F23). Posta ~" '¥ ; prema (10.5.25), mora biti cf>1 = cf>', ukupna magnetopobudna sila ek = ed+eg (10.5.28) F1=F23=NJ ad= ab+ac se dobije sabiranjem odgovarajuCih apF scisa na dijagramima cf>1 = h(FI) i cf>' = !4(F23) pri istim vrednostima orSl. 10.21. dinata, cf> 1 = cf>'. Na taj nacin se konstruise traZeni dijagram cf> 1 = f 5 (N I) (kriva 5). 4

----=-1

e•

4

Lit. 29 str. 194.

He

Sl. 10.22.

0

H

Sl. 10.23.

Ako se kolo na sl. 10.22 prethodno podvrgne jakom magnecenju do zasicenja, na primer pomocu privremeno postavljenog namotaja sa strujom, a zatim se spolja§nje magnetizaciono polje ukloni, kolo ce zahvaljujuCi pojavi remanentnog magnetizma, ostati namagneceno i u njemu ce zaostati neki ftuks cf>. Kada ne bi bilo vazdu§nog procepa, indukcija u kolu hi, ocigledno, imala vrednost remanentne indukcije Br. Medutim, zbog postojanja procepa, indukcija u magnetu ima ne§to manju vrednost koja odgovara taeki P na grani Br- P- He krive histerezisa. Ova grana se zove kriva razmagnecivanja. Pokaza.Cemo sada kako se odreduje polozaj taeke P na krivoj razmagneCivanja, a preko toga i vrednosti indukcije i jaeine polja u magnetu i vazdu§nom procepu. Pretpostavicemo, zbog jednostavnosti raeuna, da je duzina medugvozda, lo, dovoljno mala, tako da se rasipanje u okolini procepa moze zanemariti. Ako sve veliCine koje se odnose na vazdu§ni procep obelezimo indeksom "0", a one koje se odnose na magnet ostavimo bez indeksa, mozemo, zbog gore uCinjene pretpostavke, pisati relaciju cf> = BS = BoSo.

(10.6.1)

Posta je rasipanje zanemareno, fluksovi u magnetu i medugvozdu su isti a indukcije su obrnuto srazmerne povrsinama poprecnih preseka gvozda, odnosno vazdu§nog procepa. DajuCi zavrsecima magneta formu zarubljenog konusa (sl. 10.22) smanjuje se povrsina preseka magnetskog kola u vazdusnom

344

10. Magnetsko polje u prisustvu materije

10.6. Magnetsko kola permanentnih magneta

procepu, sto ima za posledicu pojaeanje korisne magnetske indukcije u medugvozdu. Primenimo sada Amperov zakon na kruznu konturu koja se podudara sa osom magnetskog kola. Posto u slucaju permanentnog magneta ne postoje nikakve makroskopske struje, cirkulacija vektora H mora biti jednaka null, paje

f Hdl = HZ+ Holo = 0.

(10.6.2)

postici samo na racun beskonaene duiine magneta, tj. uz utrosak beskonaene koliCine feromagnetskog materijala. Posto su dimenzije medugvoZda, lo i So, obicno uslovljene konstrukcionim razlozima, problem dimenzioniranja magneta se sastoji u tome, da se odredena indukcija u medugvozdu ostvari sa minimumom utroska feromagnetnog materijala, tj. sa minimumom zapremine V = ZS, ili pak da se sa odredenom kolicinom feromagnetika dobije sto veca vrednost indukcije u medugvozdu. Stavivsi da je Ho = Eo/ p,o, iz jednaeine (10.6.3) nalazimo

Odavde je

Eo= H

lo

= -yHo.

(10.6.3)

Eo= p,oHo =So E,

2

zs

I I

Eo= loSop,oE H.

(10.6.4)

(10.6.7)

(10.6.8)

Stavimo li V = ZS i Vo = loBo, relacija (10.6.8) se moze pisati u jednom od oblika:

relacija (10.6.3) se moze pisati u obliku

H =_loSE. lSo 11-o

= -p,0 -ZSo

loS

v

(10.6.5)

Polje H u magnetu je posledica postojanja vazdu8nog procepa i ono iscezava kada je l 0 = 0. Znak "minus" u izrazu (10.6.5) ukazuje da jaeina polja H i magnetska indukcija u magnetu imaju suprotne smerove. U medugvozdu njihovi smerovi su isti, sto je lako zakljuCiti iz (10.6.3) i cinjenice da su linije magnetske indukcije u celom kolu neprekidne. Pored relacije meduzavisnosti (10.6.5), jaeina polja H i indukcija E u magnetu moraju zadovoljiti i funkciju E = f(H), izraZenu krivom magnecenja, odnosno ciklusom histerezisa. Posto jednaCina (10.6.5) predstavlja pravu koja prolazi kroz pocetak koordinatnog sistema H-E i ima koeficijent pravca tga

l

MoiHITc;·

Ako se (10.6.7) pomnozi odgovarajuCim stranama jednaeine (10.6.4), dobije se daje

Posto je, na osnovu (10.6.1).

s

345

(10.6.6)

presek ove prave (prava OP na sl. 10.23) i krive histerezisa odreduje polozaj traZene tacke P, odnosno vrednosti indukcije E i jacine polja H u magnetu, kada postoji medugvozde. Tacka P se naziva radna tacka magneta. Polozaj tacke P, pa prema tome i magnetska indukcija E u magnetu zavise od odnosa (10.6.6) koji odreduje nagib prave OP. Teorijska maksimalna vrednost indukcije u magnetu je Er i ona odgovara beskonacno ve!ikoj vrednosti kolicnika (10.6.6). Ako pretpostavimo da su povrsine S i 8 0 istog reda veliCine i da je l0 malo, ali konacno, vrednost indukcije Er bi se mogla

-

1 E2 0

Vo

p,oEIHI'

Eo=

/~p,oEIHI.

(10.6.9)

ili (10.6.10)

Kada je unapred zadata zapremina medugvoZda Vo i inB dukcija u medugvozdu Eo, relacija (10.6.9) pokazuje da je koliCina potrebne feromagnetske materije utoliko manja ukoliko je veCi proizvod EIHI u magnetu. Druga relacija, (10.6.10), kazuje da je, pri zadatim zapreminama magneta i medugvozda, magnetHopt 0 H ska indukcija u medugvozdu utoliko veca ukoliko je veci proizvod Sl. 10.24. EIHI. I jedan i drugi zakljucak upucuju na to da radnu taeku magneta treba birati tako da proizvod

~-~~~---~~~:-----7-r-r-1-. .=----B-H~• ......

BIHI ima maksimalnu mogucu vrednost (BIHI)max (sl. 10.24). Proizvod (BIHI)max predstavlja vaZnu karakteristiku tvrdih feromagnetskih materijala i naziva se "faktor dobrote".

346

10. Magnetsko polje u prisustvu materije

10.6. Magnetsko kolo permanentnih magneta

U veCini slucajeva polozaj optimalne racine taeke, Po, u kojoj proizvod BIHI ima maksimalnu vrednost, veoma priblizno odgovara preseku krive razmagneCivanja i dijagonale pravougaonika konstruisanog nad OHe i OBr. Ova se lako moze dokazati ako se kriva razmagnecivanja aproksimira krivom 5

Izjednacivsi (10.6.6) i (10.6.13), nalazimo relaciju

B= H+He He H' +Bs Br

S druge strane, na osnovu (10.6.8), mozemo pisati

(10.6.11)

gde su: Bs - indukcija zasicenja, Br - remanentna indukcija i He - koercitivno polje. Ako se formira proizvod BH i njegov prvi izvod izjednaCi sa nulom, dobije se kvadratna jednaeina po H

BrH 2 + 2BsHeH + BsH; = 0,

(n.r )

1- - - 1 . Bs

= -Bs

(

v1- !: -1) ·

Deobom dva poslednja izraza nalazimo odnos

Bopt Br Hopt =-He'

(10.6.12)

cime je tvrdnja dokazana. Izve8cemo sada formule za odredivanje optimalnih dimenzija magneta kada su zadate dimenzije medugvozda lo i So, i kada su poznate karakteristike feromagnetika Br, He i (BJHI)max· Kada proizvod (BJHI)max ima maksimalnu vrednost, koeficijent pravca prave OP,

lSo tga=-J.LoloS'

(10.6.6)

Br tga =-He.

(10.6.13)

mora imati vrednost

5

(10.6.14)

(10.6.15)

Kombinacijom (10.6.14) i (10.6.15) nalazimo formule

BoJ Br J.Lo He(BJHI)max'

(10.6.16)

s- B He Soo Br(BJHI)max'

(10.6.17)

iz kojih se odreduju dimenzije l i S magneta, kada su poznate dimenzije medugvozda i magnetske karakteristike materijala.

Unevsi ovli vrednost u (10.6.11), nalazimo

B = Bopt

lS B2 J.Lo-=--o loBo (BJHI)max ·

lo

Ciji je negativni koren

H = Hopt = HeBs Br

lSo Br J.LoloS =He.

347

E. Durand: Electrostatique et magnetostatique. Masson et C;", Paris, 1953.

11.1. Ekvivalentnost elementarne strujne konture i magnetskog dipola

349

ture i elektricnog dipola moze se, bar sa formalne strane, polje konture pripisati magnetskom dipolu, tj. dvema jednakim magnetskim masama (opterecenjima) suprotnog znaka, koje se nalaze na vrlo malom rastojanju (sl. 11.1). Analogno definiciji momenta elektricnog dipola,

11. SKALARNI POTENCIJAL MAGNETSKOG POLJA. MAGNETSKI POLOVI I MAGNETSKE PSEUDOMASE

11.1. Ekvivalentnost elementarne strujne konture i magnetskog dipola Vee u cl. 10.1 je ukazano da je struktura magnetskog polja elementarne strujne konture identicna sa strukturom elektricnog polja elektricnog dipola, cija se osa poklapa sa normalom na strujnu konturu. Izrazi za polje (1.7.6) i (10.1.10) imaju potpuno istu matematicku formu i razlikuju se samo po fizickim velicinama koje predstavljaju. Sta vise, pokazano je da se magnetska indukcija elementarne strujne konture moze izraziti kao gradijent jedne skalarne funkcije potencijala:

B = -J.Logradcpm,

(10.1.11)

gdeje 'Pm

=

1 m·R 47r

--w.

(10.1.12)

Treba podvuCi da izrazi (10.1.11-10.1.12) vaZe za odstojanja R znatno veca od dimenzija konture.

'\\ tmr;, §

I

~ ~ Sl. 11.1.

Iako je pravi i jedini uzrocnik magnetskog polja elektricna struja (makroskopska ili mikroskopska), zbog pomenutih analogija izmedu strujne kon-

p=qd, moment magnetskog dipola, koji je ekvivalentan strujnoj konturi, definise se proizvodom

m=qmd,

(11.1.1)

gde je qm pozitivna ili severna magnetska masa, koja se nalazi sa pozitivne strane povrsine konture, a, d odstojanje pozitivne u odnosu na negativnu (juznu) magnetsku masu. Dve formalno uvedene velicine qm i d su u slucaju elementarne strujne konture pojedinacno neodredive, ali je odreden njihov proizvod, koji je jednak magnetskom momentu strujne konture:

qmd=IS=m.

(11.1.2)

Magnetska masa qm, definisana relacijom (11.1.2), cesto se naziva amperska magnetska masa, za razliku od tzv. kulonske magnetske mase, o kojoj ce docnije biti reCi i koja se definise kao qm = J.Loqm. Magnetska masa qm ima prirodu proizvoda jaeine struje i dliZine,

IS qm(=)d(=)Il,

(11.1.3)

i jedinica joj je u MKSA sistemu

qm, =Am. Pojam o magnetskoj masi mi smo uveli preko analogije izmedu elementarne strujne konture i elektricnog dipola, mada je, istorijski gledano, ovaj pojam dospeo u teorijsku elektromagnetiku sasvim drugim putem. U stvari, ovaj pojam potice jos iz najranije ere proucavanja elektromagnetskih pojava, iz doba kada su elektricne i magnetske pojave posmatrane i proucavane kao nezavisni fenomeni, a magnetske pojave pripisivane posebnoj vrsti fiuida. Danas, medutim, kao sto je to nagla8eno i na pocetku 9. glave, pojam magnetske mase se mora smatrati fiktivnim i liSenim svakog fizickog smisla. Zbog toga cemo magnetske mase nazivati magnetskim pseudomasama, za razliku od elektricne supstance koja stvarno postoji u prirodi i to u vidu pozitivnih i negativnih elektricnih opterecenja. Ne treba, medutim, smatrati

da je uvodenje pojma magnetske mase u modernu teoriju elektromagnetskih polja samo Cist istoricizam i most koji citaocu omogucuje pracenje starih dela. Pojam magnetske mase lezi i u osnovi nekih modernih postupaka kojima

350

11. Skalarni potencijal magnetskog polja

11.2. Skalarni potencijal magnetskog polja struja u vakuumu

se na jednostavan naein - istina, samo kvantitativno i formalno - re8avaju mnogi problemi magnetskih polja i elektromagnetskog zraeenja. Magnetske mase, iako fiktivne, uvek se javljaju u parovima suprotnih algebarskih znakova, sto se najbolje vidi na primeru magnetskog dipola, gde je pojam magnetske mase i uveden.

11.2. Skalarni potencijal magnetskog polja struja u vakuumu Kao sto smo videli u 9. glavi, opsti zadatak odredivanja magnetskog polja u vakuumu na osnovu zadate raspodele struje re8ava se uz pomoc magnetskog vektor-potencijala A, a magnetska indukcija se odreduje preko relacije

B =rotA. Ovaj metod je potpuno opsteg karaktera, jer omogucava izracunavanje magnetskog polja kako van provodnika, tako i u samim provodnicima gde teku kondukcione struje. Sta viSe, mi smo ga koristili i u analizi magnetskih polja u magneticima, s tim sto je prilikom odredivanja vektor-potencijala uziman u obzir i udeo Amperovih molekularnih struja. Medutim, kada se radi o magnetskim poljima u vakuumu iznad strujnih provodnika, tj. o delu prostora gde je gustina struje jednaka null, postoji mogucnost koriScenja i drugog, jednostavnijeg metoda, zasnovanog na upotrebi funkcije skalarnog potencijala. Primer za ovo smo imali u cl. 10.1 i 11.1, gde je funkcija magnetskog skalar-potencijala elementarne strujne konture uvedena na osnovu poredenja polja konture i polja elektricnog dipola. Na ovom mestu cemo pojam magnetskog skalar-potencijala uvesti na jedan opstiji nacin i definisati ogranicenja o kojima semora voditi raeuna prilikom upotrebe ove veliCine. Prema (10.2.17), rotor vektora H je razlicit od nule samo unutar prostora koji zauzima elektricna struja i koji se zbog toga cesto naziva vrtloznim prostorom. Van vrtloznog prostora rotH= 0,

(11.2.1)

Magnetski skalar-potencijal i potencijalna razlika definiSu se na naCin analogan onome u elektrostatici. Ako taeku P izaberemo za referentnu taeku nultog potencijala, onda se potencijal taeke M definiSe linijskim integralom 'Pm =

'PmM - 'PmN

Hx = - Oe predstavlja fluks kroz unutra8nju konturu navojka, ciji je poluprecnik R-a (sl. 13.17). Kadaje a malo, linije polja neposredno uz povrsinu provodnika su vrlo priblizno koncentricni krugovi sa centrom u osi provodnika (isti je slucaj i sa poljem u unutra8njosti provodnika), pa se pri izraeunavanju spolja8njeg polja i fluksa maze aproksimativno uzeti da je celokupna struja I lokalizovana u osi navojka (srednja linija, poluprecnika

Sl. 13.17.

R). Struja I, koja teee srednjom linijom, stvara u taekama unutra8nje konture (poluprecnika R- a) vektor-potencijal

A_J.Loifdl1 - 4?T

r '

(13.8.46)

gde dl1 predstavlja element srednje linije, a r odstojanje elemenata dl2 unutra8nje konture. Na osnovu (9.4.3), il>e = f Adl2

=~;Iff dl~dl2,

pa je

Le = J-Lo

4?T

13.8.6. Koeficijent samoindukcije kruznog zicanog navojka. Neka je R srednji poluprecnik navojka, a a poluprecnik provodnika kruznog preseka. Pretpostavicemo da je a « R, pa se pri izraeunavanju koeficijenta samoindukcije moze koristiti aproksimativni metod, opisan u cl. 13.7.

J.L 4 R.

?T l =

Spolja8nji koeficijent samoindukcije je najzgodnije raeunati preko obrasca (13.7.17), tj. kao kolicnik

(13.8.42)

d~

7r/2

455

ff

dl1dl2 r ,

(13.8.47)

(13.8.48)

Uporedivsi (13.8.48) sa Nojmanovom formulom (13.7.6), dolazimo do zakljucka da je Le jednako koeficijentu medusobne indukcije dveju krliZnih koncentricnih kontura, poluprecnika R iR-a, koje leze u istoj ravni (d = 0).

13. Elektromagnetska indukcija

456

13.9. Diferencijalne jednaeine sistema kvazilineicnih kola X=

Prema tome, i rezultati dobijeni u cl. 13.8.5 mogli bi se direktno koristiti za odredivanje Le. S obzirom da je razlika poluprecnika dveju kontura relativno vrlo mala (a« R), moze se na.Ci priblizno re8enje integrala (13.8.48) koje ne sadrzi elipticke funkcije. Podimo, zbog toga, od fc..rnule (13.8.38), koja sa novim oznakama glasi:

{21r

Le

= ~0 R(R- a) Jo

co; ada,

(13.8.49)

2R(R- a) cos a.

(13.8.50)

RO

x=

r--

457

-Ro

-r·t·-·-·-·-·~:PJ·-·-·-·-·-·-·-·-·-·1·-· .

d

1

T

+o

1

-o

gde je

+ (R- a) 2 -

r = y'R2

Podelimo kru:lni navojak na dv dela, tako dajedan deo sadrzi vrednosti od a koje leze izmedu -o i +8, i drugi gde je o k je linearna funkcija jaeina struja, pa mozemo staviti n

if>k

=L

Lkrir,

k

= l, 2, ... 'n.

(13.9.6)

r=1

U nepokretnim strujnim kolima koeficijenti Lkr su konstante, pa jednaeina (13.9.6) dobija oblik n

Rkik

dir

+ L Lkr(jj = O"k·

(13.9.7)

13.10. Kondenzator u kolu kvazistacionarne struje. Elektricne oscilacije u kolu L-C-R Najpre cemo razmotriti slucaj prostog ql=q q2=q kola koje ne sadrzi generatore, a sastoji se iz kondenzatora, kapacitivnosti C, i kvazilineicnog provodnika koji povezuje obloge kondenzatora (sl. 13.19). Provodnik, cija je otpornost R i koeficijent samoindukcije L, moze imati i formu kalema od vise navojaka. Pretpostavlja se da je sopstvena kapacitivnost provodnika (kalema) vrlo mala u odnosu na kapacitivnost kondenzatora, sto je osnovni preduslov da se Sl. 13.19. kolo moze tretirati kao kvazistacionarno. Ako je kondenzator prvobitno bio opterecen, u provodniku koji povezuje njegove obloge uspostavlja se promenljiva kondukciona struja, tzv. struja rasterecenja. Ako su q1 = q i q2 = -q trenutne vrednosti opterecenja obloga, onda je, na osnovu jednaeine kontinuiteta i prema usvojenom pozitivnom smeru struje na sl. 13.19, struja rasterecenja dq i = - dt"

Slicne jednaeine se mogu napisati i za ostale konture, pa se dobije sistem od n diferencijalnih jednaeina, sledeeeg oblika:

+ Ln dt + L12(jj + · · · + L1ndt = 0"1,

di1

di2

din

. R222

+ £21 dt + L22(jj + · · · + L2ndt

di1

di2

din

= 0"2,

(13.9.8)

Kada je poznata vremenska zavisnost stranih e. m. s., O"k(t), i pocetne vrednosti struja ik(O), pomocu sistema (13.9.8) se mogu odrediti struje ik u proizvoljnom trenutku t.

(13.10.1)

Da bismo odredili diferencijalnu jednaeinu struje rasterecenja, poCi cemo, ovoga puta, od izraza, za elektromagnetsku energiju sistema. Ako polje zadovoljava uslove kvazistacionarnosti, elektricna i magnetska energija se mogu izraziti kao veliCine zavisne od trenutnih vrednosti elektricnih opterecenja, odnosno struje pa je

1 q2 2C

1 2

·2

W=--+-Lz.

r=1

. R121

459

13.10. Kondenzator u kolu kvazistacionarne struje

(13.10.2)

Posto je proces rastereCivanja kondenzatora praeen toplotvornim gubicima u provodniku, snaga Dzulovog efekta u provodniku mora biti jednaka brzini smanjenja elektromagnetske energije sistema (negativni kolicnik iz prira8taja elektromagnetske energije i prira8taja vremena): Ri2 = _ dW = _ !l_ dq _ Li di. dt dt dt

c

Ako se gornja jednaeina pod eli sa i jednaCina:

=

-dq/ dt, dobije se traiena diferencijalna q

Ri = -

(13.10.3)

0

di -Ldt'

(13.10.4)

odnosno, posle diferenciranja po t i sredivanja, d2 i

L dt 2

i

di

(13.10.5)

+ R dt + C = O.

periodicnih oscilacija, ugaone ucestanosti wa. Perioda oscilacija, koju definiSemo kao interval vremena izmedu dva uzastopna prolaska kroz nulu u istom smeru, iznosi

=

T Jednaeina (13.10.5) je homogena diferencijalna jednaeina drugog reda i opste resenje joj je oblika i

= Aekrt + Bek2t,

1

Lk + Rk + C

21r

(13.10.12)

wa Kada je

(13.10.6)

gde su A i B integracione konstante, koje se odreduju iz pocetnih uslova, a k 1 i k2 koreni karakteristicne jednaeine 2

461

13.10. Kondenzator u kolu kvazista.cionarne struje

13. Elektromagnetska indukcija

460

R«

2{g

drugi clan u (13.10.8) se maze zanemariti, pa je

= 0,

wa ~

1 vrc

i

T ~ 21rVLC.

(13.10.13)

tj. kl 2 = '

_!!:_ ± !(!!:_) 2£ Y 2£

2

1 . LC

-

-

(13.10. 7)

Aka je potkorena velicina pozitivna, oba korena k 1 i k2 su realna i negativna, jer je apsolutna vrednost korena manja od apsolutne vrednosti clana Rj2L. U tom slucaju je rasterecenje kondenzatora aperiodicno. Kada je potkorena velicina negativna, koreni k1 i k2 su kompleksni. Aka stavimo

w~ = LC- (R )

2

1

2£

'

(13.10.8)

mozemo pisati k1,2 =

R 2

.

(13.10.9)

£ ± JWo

paje i

=

Rt

e-2£

.

(Adwo

t

·

+ Be-Jwot).

(13.10.10)

Ako se preko Ojlerovih obrazaca eksponencijalne funkcije izraze pomocu trigonometrijskih, jednacinu (13.10.10) je lako dovesti na oblik R

i =Ie-2Lt sin(wat +

(14.3.10)

480

14. Neki primeri kvazistacionarnog polja u provodnim sredinama

14.3. Neravnomerna raspodela struje u provodnicima u zljebu elektricne ma.Sine

gde je !_1 struja u jednom provodniku (prema uslovu a struja !_1 , je ista u svim provodnicima jednog zljeba), a (p- 1) · !_1 ukupna struja koja prolazi kroz posmatranu konturu. Za gornju ivicu preseka p-tog provodnika (x =h)

J= J

-

VaZi

H(h) · b = Pl1·

(14.3.11)

+ 02)b = (p- 1)[1, (01e"~h + 02e-"~h) · b = p[~.

(14.3.12)

Prema tome, mozemo pisati (01

""-Br

h1 --ch1x sh 'Y h

481

(14.3.19)

Na osnovu izraza (14.1.27) lako nalazimo module amplituda magnetskog polja i gustine struje: ch 2k'x- cos 2k'x ch2k'h- cos2k'h

H-h

b

(14.3.13)

(14.3.20)

Iz sistema (14.3.12-14.3.13) lako nalazimo konstante 01 i 02: I 01 = 2b;~,h [p- (p -1)e-"'h]

02

=

-I 1

2bshrh

[(p- 1)e"~h- p].

(14.3.14)

J

=

J,rhJ~Wj-tQO" ·

(14.3.15)

ch 2k'x +cos 2k'x ch 2k'h- cos 2k'h ·

(14.3.21)

X

X

Ako se vrednost konstanata unese u (14.3.7), dobije se I H = b -h1

s 1h

[psh /X- (p- 1) sh 1(x- h)].

(14.3.16)

Gustina struje u p-tom provodniku se moze lako izraeunati preko relacije (14.3.2), koja u kompleksnom obliku glasi

I..=

0

J

Sl. 14.9.

Dakle, h1 l..sr sh rh [p ch /X - (p- 1) ch 'Y(x - h)],

H

0

J= ~dH. a dx

(14.3.17)

gdeje

I1 I..sr = ah srednja vrednost gustine struje. U slucaju kada u zljebu postoji samo jedan provodnik, ili za prvi provodnik kada ih je vise u zljebu, izrazi (14.3.16) i (14.3.17) dobijaju jednostavan oblik: I (14.3.18) H = -=.L_ sh /X bsh1h

Na sl. 14.9 je prikazano kako se menjaju jaeina magnetskog polja i gustina struje po visini zljeba za slucaj jednog provodnika, kada je 2k'h = 10. Krive su konstruisane na osnovu izraza (14.3.20) i (14.3.21). Kao sto vidimo, gustina struje u datom primeru vrlo brzo raste iduCi ka otvoru zljeba. Kada u zljebu ima vise provodnika, raspodela gustine struje u drugom i svim visim X provodnicima je znatno slozenija, jer na ovu raspodelu ne utice samo magnetsko polje posmatranog provodnika, vee i magnetska polja svih provodnika koji se nalaze nize u zljebu. Primera radi na sl. 14.10 je prikazana raspodela modula gustine. struje, kada se u zljebu J nalaze tri provodnika jedan iznad drugog, i Sl. 14.10. kada je 2k' h = 6. Zanimljivo je da gustine

1~-

14.4. Povrsinski efekt u cilindricnim provodnicima· krllZnog preseka

14. Neki primeri kvazistacionarnog polja u provodnim sredinama

482

struje u granicnim povrsinama susednih stapova nisu u opstem slucaju jednake ni po amplitudi ni po fazi. Ovo je lako razumeti ako se ima u vidu da se faza gustine struje kontinualno menja sa visinom i u jednom jedinom stapu. Kao sto je vee na pocetku receno, zbog neravnomerne raspodele struje po preseku provodnika povecavaju se gubici energije na Dzulov efekt. Snaga Dzulovog efekta u poduznom isecku provodnika debljine dx, sirine a i duzine l iznosi

1IJI2 --=-aldx,

dP =

gde je IJI modul amplitude gustine struje. Ukupna snaga gubitaka up-tom provodniku je data integralom

IJI 2 dx.

(14.3.22)

Ako se efektivna otpornost p-tog provodnika definise relacijom 1 2

p = 2J1Rp,

(14.3.23)

gde je h amplituda struje, i ako sa

Ro = _l_ aah

obelezimo otpornost provodnika pri jednosmernoj struji, onda se posle elementarnih izraeunavanja dobija sledeca relacija

~

= --.---J-. --- )

is

rotHdS

=is (J +a~)

Ako se na levu stranu jednaeine primeni Stoksova teorema, dobije se integralni oblik prve Maksvelove jednaeine:

fs Hdl Is (J + a~) dS. =

,,}----'\ 7 .

dS.

/s

Sl. 16.2.

(16.3.10)

Cirkulacija vektora jaeine magnetskog polja po zatvorenoj konturi jednaka je totalnoj struji kroz povrsinu koja se oslanja na konturu. U specijalnom slucaju, kada kroz povrsinu S ne protice kondukciona struja, jednaeina (16.3.10) ima oblik

j Hdl

Is

=

{aDdS, at

ls

(16.3.11)

koji je simetrican Faradejevom zakonu indukcije.

16.4. Potpuni sistem Maksvelovih jednacina elektromagnetskog polja u nepokretnim sredinama Maksvelove jednaeine predstavljaju matematicku formulaciju osnovnih postulata teorije makroskopskog elektromagnetskog polja koji u elektromagnetici igraju istu ulogu kao Njutnovi postulati u klasicnoj mehanici. Kompletan sistem Maksvelovih jednaeina sadr:Zi cetiri parcijalne diferencijalne

515

jednaeine, koje medusobno povezuju cetiri vektora polja E, D, B i H, vektor gustine struje J i gustinu elektricnih opterecenja fl. Pored prve Maksvelove jednaeine, koja je formulisana u prethodnom clanu i koja odreduje zavisnost vrtloga magnetskog polja od gustine kondukcione struje i struje pomeraja, u sistem jos ulaze zakon indukcije u lokalnoj formi (druga Maksvelova jednaeina, 13.4.4), kao i dve jednaeine (3.2.16) i (8.5.4) koje odreduju divergenciju vektora D i B. Prema tome, kompletan sistem Maksvelovih jednacina glasi:

an

rotH= J + 8t

aB

rotE=--

at'

divD =

I

II

(2,

III

divB = 0.

IV

Kao sto je pokazano u cl. 16.3, jednaeine I i III implicitno sadr:Ze i jednaeinu kontinuiteta. U izotropnim i linearnim sredinama jednaeinama I-IV treba pridru:Ziti i tri relacije

J = cr(E + Ee),

v

D=c-E

VI

B=pH

VII

koje povezuju vektore D, B i J sa jaeinama polja E i H. Jednaeine I-IV, koje su plod smelih Maksvelovih hipoteza i uopstavanja Faradejevih eksperimentalnih rezultata, predstavljaju jezgro teorije elektromagnetskog polja, objavljene u epohalnom Maksvelovom radu "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field" iz 1864. g (Royal Society Transactions, 155, 1864.) U istom radu, bazirajuci se na svojim jednaeinama, Maksvel je formulisao i elektromagnetsku teoriju svetlosti i predvideo egzistenciju elektromagnetskih talasa citavih cetvrt veka pre nego sto je ove eksperimentalno otkrio H. Here (Heinrich Hertz) - 1888. g. Hercovo otkrice je predstavljalo prvu i najbriljantniju potvrdu ispravnosti Maksvelove teorije, koja i danas predstavlja opste prihvaeenu teoriju makroskopskih elektromagnetskih polja. Mada obja8njava vrlo sirok krug pojava koje su od posebnog interesa za elektrotehniku i radio-tehniku, Maksvelova teorija, kao ni druge teorije u fizici, nije sveobuhvatna. Postoji citav nizpojava elektromagnetske prirode u oblasti mikrostrukture materije (na primer: zraeenje atoma, raspodela energije toplotnog zraeenja, fotoefekt itd.) koje Maksvelova teorija nije u stanju da objasni. Da bi se razre8ile protivurecnosti u koje je zapala Maksvelova teorija na ovim pitanjima, bilo je potrebno uvesti nove hipoteze, koje su najzad dovele do stvaranja savremene kvantne teorije.

516

16.5. Skalarni oblik Maksvelovih jednacina Sistem Maksvelovih jednacina I-IV se sastoji iz dve vektorske (I iII) i dve skalarne parcijalne diferencijalne jednaeine. Posto se svaka od vektorskih jednaeina raspada na po tri skalarne, potpuni sistem Maksvelovih jednaeina se sastoji iz osam skalarnih, parcijalnih diferencijalnih jednaeina. U Dekartovom sistemu Maksvelove jednaCine imaju sledeCi oblik:

8Hz 8y

8Hy _ J

8Dx

----a;-- x+Bt

8Hx _ 8Hz = J + 8Dy 8z ax y 8t 8Hy _ 8Hx = Jz + 8Dz ax 8y 8t 8Ez 8Ey 8Bx 8y - 8z = -Bt 8Ex _ 8Ez = 8z ax 8Ey 8Ex ax - 8y = 8Dx 8x 8Bx

8Dy 8y 8By

Ia

~

+

_ 8By

Ila

8t 8Bz

-Tt

8Dz 8z 8Bz _ & -0.

III

a

8

8

ax (eiHI)- Bxi (e3H3)

=

e3ei

8

8

(

a ax2

a ax:l

IVb

U homogenim i izotropnim sredinama mogu se pomocu jednaeina V, VI i VII eliminisati obe indukcije i vektor gustine kondukcione struje, tako da u sistemu ostaju samo jaeine polja.

Problem granicnih uslova u specijalnim slucajevima elektrostatickog i stacionarnog magnetskog polja vee je ranije tretiran u cl. 3.4 i 10.3, a sada cemo ga ponovo razmotriti u opstem slucaju dinamickog elektromagnetskog polja. S obzirom da se lokalni oblik Maksvelovih jednaeina ne moze koristiti na povrsinama diskontinuiteta, zbog skokovite promene konstanata sredine i prekidnosti komponenata polja, granicne uslove na razdvojnoj povrsini dveju sredina cemo odrediti uz pomoe integralnih oblika Maksvelovih jednaeina.

16.6.1. Granicni uslov za normalne komponentne elektricne induk-

8D2)

h + 8t

3

Bxi (e2H2)- Bx (eiHI) = eie2 h 2

Illb

va

8D3) + 8t

aBI at

-(e3E3)- -(e2E2) = -e2e3-

cije. Ovaj granicni uslov se odreduje uz pomoc treee Maksvelove jednacine u integralnom obliku, kada se ova primeni na elementarni cilindar Cije su osnovice paralelne razdvojnoj povrsini i leZe joj sa suprotnih strana. Posto je integralni oblik Maksvelovog postulata u slucaju dinamickih polja isti kao i u elektrostatici, ocigledno je da ce i granicni uslov za normalne komponente vektora D biti isti u oba slucaja. Ako na razdvojnoj povrsini postoje slobodna opterecenjagustine 'rJ, tra.Zeni granicni uslov ima oblik

Dni- Dn2

8DI) = e2e3 ( h + Bt (

lib

r~ r

Posto se re8avanje mnogih problema teorijske i primenjene elektromagnetike svodi na iznala.Zenje resenja Maksvelovih jednaCina koja zadovoljavaju odredene granicne uslove, jednaeine treba pisati u onom koordinatnom sistemu koji najbolje odgovara geometriji problema. Napisa.Cemo, zbog toga, Maksvelove jednaeine u opstim ortogonalnim krivolinijskim koordinatama, sa napomenom da su Lameovi koeficijenti za sferni i cilindricni sistem dati u cl. 6.2. S obzirom na (9.3.12) i (6.2.12), jednaeine imaju oblik:

8 8 Bx (e3H3)- Bx (e2H2) 3 2

8 8 8B2 -(eiEI)- -(e3E3) = -e3ei8x3 8xi 8t 8 8 8B3 -(e2E2)- -(eiEl) = -eie28xi 8x2 8t 8 8 8 - (e2e3D1) + - (e3eiD2) + - (eie2D3) = {! 8 X2 8 X3 8 XI 8 8 8 -a (e2e3BI) + - (e3eiB2) + - (eie2B3) = 0. 8 X2 XI . 8 X3

16.6. Granicni uslovi

--+--+--={!

& +

517

16.6. Granicni uslovi

16. Opste jedna.Cine makroskopskog elektromagnetskog polja...

Ib

= 'r],

(3.4.3=16.6.1)

gde su Dni i Dn 2 normalne komponente indukcije u dvema sredinama, raeunate u odnosu na normalu koja je orijentisana od sredine 2 ka sredini 1. Kada na granicnoj povrsini nema slobodnih optereeenja,

Dnl

= Dn2·

(3.4.2=16.6.2)

16.6.2. Granicni uslov za normalne komponente magnetske indukcije. Ovaj granicni uslov se odreduje na potpuno isti naein kao i u slucaju

stacionarnih magnetskih polja, uz pomoc zakona o konzervaciji fl.uksa magnetske indukcije, koji je, u stvari, integralni oblik cetvrte Maksvelove jednacine. Prema tome, i granicni uslov za normalne komponente vektora B mora biti isti u oba slucaja: (10.3.1=16.6.3) Bnl = Bn2·

Htangl

8t

1

J 8 = lim J · 6.z Sl. 16.3.

6-z

gde je f6.z udeo bocnih stranica AD i BC u cirkulaciji. Pustimo li da visina 6.z konture teii nuli, teiice nuli i clan na desnoj strani jednaeine. Prema tome,

Eyz

is ( + a~) J

dS,

primeni na elementarnu konturu sa sl. 16.3, dobije se

Hyz6.y - Hy16.y +

Lz = (

Jx

gde

+ 8~x) 6.y6.z.

6.z

--->

0 i

J

--->

oo.

+ Hxl = Jsy·

(16.6.8)

Dveskalarne relacije, (16.6.7) i (16.6.8), mogu se zameniti jednom vektorskom:

(16.6.9)

nxH1-nxH2=Js,

gde je n normala orijentisana od sredine 2 ka sredini 1. Prema tome, ako na razdvojnoj povrsini tece povrsinska struja, tangencijalna komponenta jaeine polja H se skokovito menja za iznos koji je po apsolutnoj vrednosti jednak gustini struje J8 • Zbog preglednosti grupisaeemo zajedno sva cetiri granicna uslova i napisati ih u vektorskoj formi:

n · D1 (16.6.5)

(16.6.7)

Ako se integralni oblik prve Maksvelove jednaeine primeni na elementarnu pravougaonu konturu u ravni x - o - z, dobije se i?;ranicni uslov

-Hxz

16.6.4. Granicni uslov za tangencijalne komponente jacine magnetskog polja. Ako se integralni oblik prve Maksvelove jednaeine,

=

(16.6.6)

Hy2 - Hyl = Jsx·

= Eyl·

Na slican naein se moze pokazati daje i Exz = Ex1, sto znaei da su tangencijalne komponente vektora E s jedne is druge strane povrsine diskontinuiteta jednake: (16.6.4) Etangl = Etang2 ·

Hdl

= Htang2·

Prema tome, ako na razdvojnoj povrsini postoji povrsinska struja gustine J 8 , prvi clan na desnoj strani jednaeine (16.6.5) ostaee konaean kada 6.z tezi nuli, pa je

8Bx

= -7Jt6.y6.z,

i

= Hyl,

Granicni uslov (16.6.6) vaZi pod uslovom da na razdvojnoj povrSim nema povrsinskih struja, koje su lokalizovane u beskonaeno tankom sloju. Kao sto cemo kasnije videti, u vrlo dobrim provodnicima, koji se nalaze u promenljivom elektromagnetskom polju, struja je lokalizovana u tako tankom sloju da se, u vrlo dobroj aproksimaciji, moze zameniti povrsinskom strujom Cija je podliZna gustina

na elementarnu pravougaonu konturu, predstavljenu na sl. 16.3. Prerna obeleiavanjima na slici, moze se pisati

Eyz6.y- Ey16.Y +

Hyz

z

j Edl = - { aB dS

ls

Ako pustimo da 6.z teZi nuli, i pretpostavimo da su komponente gustina struje Jx i 8Dxf8t konaene, tezice nuli u clan f6.z' kao i cela desna strana prethodne jednaeine. U tom slucaju ima se da je

sto znaei da su tangencijalne komponente jaeine magnetskog polja sa suprotnih strana razdvojne povrsine jednake:

16.6.3. Granicni uslov za tangencijalne komponente jacine elektricnog polja. Primenimo integralni oblik druge Maksvelove jednaeine

lc

519

16.6. Granicni uslovi

16. Opste jedna.Cine makroskopskog elektromagnetskog polja...

518

n · D2 = 'fJ

(16.6.10)

n · B1 - n · B2 = 0

(16.6.11)

-

n x E2 = 0

(16.6.12)

n x E1 - n x E2 = Js

(16.6.9)

n x E1

-

li ~

II

520

16. Opste jednaCine makroskopskog elektromagnetskog polja...

16. 7. Pointingova teorema

16. 7. Pointingova teorema

Napisimo prvu i drugu Maksvelovu jednaeinu u obliku

8D =rotH-J

U cl. 4.2 i 13.5 odvojeno su tretirane energije elektrostatickog i stacionarnog magnetskog polja, pa je nadeno da su gustine ovih energija

We_ ~E-D

(4.2.2) i

dV- 2

dWm __:_~H. B dV -2

=

fv (~E ·D+ ~H ·B)

(16.7.1)

dV

8t 8B Eft= -rotE.

(13.5.4)

Gornji izrazi vaZe pod pretpostavkom da elektricne i magnetske osobine sredine ne zavise od ja.Cine elektricnog i magnetskog polja. Razmotricemo sada energetske odnose u dinamickom elektromagnetskom polju, koje predstavlja'neraskidivi kompleks elektricnog i magnetskog polja. Prema Maskvelovoj teoriji, ukupna energija elektromagnetskog polja je jednaka zbiru energija elektricnog i magnetskog polja, pri cemu se gustine energije jednog i drugog polja ra.Cunaju po obrascima (4.2.2) i (13.5.14).0vaj stav treba shvatiti kao jedan od postulata Maksvelove teorije koji se ne moze direktno dokazati, vee se njegova ispravnost proverava posredno. Prema tome, elektromagnetsko polje u domenu V, koji je ogranicen zatvorenom povrsinom S, sadrzi energiju W

Ako se prva jedna.Cina pomnozi sa E, a druga sa H, a zatim se jedna.Cine saberu, dobije se izraz

8D 8B E. +H. = E. rotH-H. rotE- J . E.

8t

1a (1 v8t

1 )

-E·D+-H·B dV. 2

2

(16.7.2)

8t

Na osnovu identiteta E ·rotH- HrotE =- div(E x H) poslednji izraz se moze preurediti na oblik

8D 8B E ·+ H · - = - div(E x H) - J ·E. 8t 8t Prema tome, izraz (16. 7.3) se moze napisati u obliku

a:

Kada se menja polje, menja se i energija, pa je brzina promene energije -aw = 8t

=

fv-

8t2

n) =~(~E. 8t2

~ (~H·B) 8t2

=

E) =E.

~ (t:H·H) 8t2

H)dV -

fv

J EdV. 0

(16.7.4)

(7.6.1)

odnosno

oD

8t'

J E=- -Ee. a

pa se poslednji clan jedna.Cine (16.7.4) raspada na dva clana:

=H· BB_

-J

8t

(E .8D8t + H.8B) dV. 8t

X

J = a(E+Ee),

(16. 7.3)

Pogodnom transformacijom, uz pomoc Maksvelovih jedna.Cina, desna strana izraza (16.7.3) se moze dovesti na oblik koji na vrlo pregledan na.Cin prikazuje transformacije energije u samom domenu, kao i proces izmene energijc izmedu domena V i okolne sredine.

J~ + J 2

J · EdV = -

Prema tome, izraz za brzinu promene energije se moze napisati u obliku

8W = { 8t lv

div(E

Ako u domenu postoje izvori koji druge forme energije pretvaraju u elektricni rad, onda je

Ako je sredina izotropna, onda je D = c-E i B = J.LH, pa se ima

~(~E.

521

dV

J · EedV.

(16. 7.5)

Ako se prvi zapreminski integral na desnoj strani (16.7.4) na osnovuteoreme Gaus-Ostrogradskog pretvori u povrsinski i ako se vodi raeuna o (16. 7.5), jedna.Cina (16. 7.4), posle pregrupisavanja clanova, dobija definitivan oblik

1 V

aw J · EedV = -;:;--ut

+

1J2 + i -dV

V a

S

(E

X

.

H) · dS.

(16.7.6)

522

'iii! !n: ·\iii

JJ!!.. ,

!l!fi 1:1' !; ~

,;:,..: ,,j :il

ii

16. Opste jedna.Cine makroskopskog elektromagnetskog polja...

koji iskazuje Pointingovu (Poynting) teoremu. Svi clanovi jednaeine (16.7.6) dimenziono predstavljaju snagu. Clan na levoj strani predstavlja snagu koju izvori predaju domenu, dok clanovi na desnoj strani pokazuju kako se ta snaga raspodeljuje. Prvi clan predstavlja snagu koja ide na povecanje energije elektromagnetskog polja u domenu, a drugi prikazuje snagu Dzulovih gubitaka u provodnim delovima posmatranog domena. Poslednji clan, koji je po formi fluks vektora E X H kroz granicnu povrsinu domena, predstavlja snagu kojom se energija prenosi iz domena V u okolnu sredinu. Razume se, ukoliko je ovaj clan negativan energija struji spolja u domen. Vektor

r=ExH

1i1

Ill [!i 1•1 I~

I

Iii

i,,l il II

:il

16.8. Teorema jednozna.Cnosti re8enja Maksvelovih jedna.Cina

(16.7.7)

se zove Pointingov vektor. On je upravan na ravan koju obrazuju vektori E i H, i ima prirodu kolicnika iz snage i povrsine (snaga po jedinici povrsine). Prema Pointingu, ovaj vektor karakterise tok elektromagnetske energije, kao sto, na primer, vektor gustine struje karakterise strujanje elektriciteta. Energija se prenosi kroz elektromagnetsko polje u pravcu i smeru Pointingovog vektora, a kolicina prenesene energije po jedinici vremena i jedinici povrsine upravne na vektor jednaka je njegovom intenzitetu. Pointingov vektor je od vrlo velike koristi u analizi strujanja energije kod elektromagnetskih talasa i elektromagnetskog zraeenja, gde je on jedina velicina pomocu koje je moguce vrsiti energetsku analizu. Razume se da upotreba Pointingovog vektora dovodi do korektnog rezultata i pri sasvim niskim frekvencijama, pa cak i kod jednosmerne struje, samo se ta metoda retko koristi, jer je izraeunavanje snage pomocu struja i napona daleko jednostavnije. U cilju ilustracije po.------------------smatraeemo prenos energije od generatora jednosmerne struje ka prijemniku otpornosti R, posredstvom koaksijalnog kabla (sl. 16.4). '.. _------ -----------Pretpostavicemo da je otpornost provodnika kabla Sl. 16.4. zanemarljivo mala, tako da je elektricno polje u provodnicimajednako nuli. Linije magnetskog polja u kablu su koncentricni krugovi, a linije elektricnog polja radijalni zraci u ravni transverzalnog preseka kabla. Vektori elektricnog i magnetskog polja su medusobno upravni u svakoj taeki transverzalnog preseka, a intenziteti su im dati poznatim izrazima I u

::::-::fti=~:~~]J.

E

, = ------ri2 H=-2 7rT rln R

1

523

gde je U potencijalna razlika izmedu provodnika, a I struja u vodu. Pointingov vektor je paralelan osi kabla i upravljen od generatora ka prijemniku, sto je lako proveriti na osnovu smerova elektricnog i magnetskog polja. S obzirom da su vektori polja medusobno upravni, intenzitet Pointingovog vektora iznosi:

u _!____ r = EH = ------ri2 2wr rln-

Rl

Prema Pointingovoj teoremi, snaga koja se prenosi ka prijemniku jednaka je fluksu Pointingovog vektora kroz bilo koju zatvorenu povrsinu koja obuhvata prijemnik. Posto je Pointingov vektor razlicit od nule samo u prostoru izmedu provodnika koaksijalnog kabla, izraeunavanje fluksaje ograniceno na povrsinu transverzalnog preseka kabla izmedu kontura provodnika. Prema tome, P=

R2

h R1

U

I

---·-2wrdr=UI. R2 2wr r1n -

Rl

Ovaj rezultat, tj. da je snaga jednaka proizvodu iz napona i struje, dobro je poznat i u skladu je sa teorijom elektricnih kola. Cinjenica, da je Pointingov vektor razlicit od nule samo u prostoru izmedu provodnika, ukazuje na to da je i tok energije lokalizovan u ovom prostoru. N a primere primene Pointingovog vektora nailazicemo u viSe navrata, narocito u poglavljima 0 elektromagnetskim talasima, i tek tu ce biti moguce uoeiti sve prednosti koje on pruia.

16.8. Teorema jednoznacnosti resenja Maksvelovih jednacina Teorema jednoznaenosti formuliSe potrebne i dovoljne uslove da bi re8enje Maksvelovih jednaeina, koje predstavljaju sistem parcijalnih diferencijalnih jednaeina, bilo jednoznaeno odredeno. Formulacija teoreme glasi: Elektromagnetsko polje u rna kom trenutku t > t 0 i u rna kojoj taeki domena V, ogranicenog proizvoljnom zatvorenom povrsinom S (ili sistemom zatvorenih povrsina koje sene seku), jednoznaeno je odredeno Maksvelovim jednaeinama, ako su zadati sledeCi poeetni i granicni uslovi: a) Vektori polja E i H su poznati u svakoj taeki domena u pocetnom trenutku

t =to: E =Eo

H=Ho;

524

16.8. Teorema jednoznaenosti re8enja Maksvelovih jednaeina

16. Opste jednacine makroskopskog elektromagnetskog polja...

b) Tangencijalna komponenta jednog od vektora polja na granicnoj povrsini domena poznata je u svakom trenutku t >to. Teorema va.Zi za sredine cije elektricne i magnetske osobine ne zavise od jaeine polja E i H. Prilikom dokazivanja teoreme, radi opstosti, pretpostavicemo da domen sadrzi i izvore predstavljene stranim poljem Ee· Vektori polja E i H moraju zadovoljiti sistem Maksvelovih jednaCina rotH= J

+ 10 8E

divcE =

at

rotE=_ 8H

1-Lfit

Primenimo sada na polje E', H' Pointingovu teoremu, vodeci raeuna da je snaga izvora jednaka nuli. Posto je, prema (16.8.4), jedna od tangencijalnih komponenata polja na granicnoj povrsini domena jednaka null, komponenta Pointingovog vektora koja je upravna na granicnu povrsinu takode je jednaka nuli. Prema tome, i fl.uks Pointingovog vektora kroz granicnu povrsinu domena mora biti jednak nuli. Zbog svega napred reeenog, jednaeina (16.7.6), koja iskazuje Pointingovu teoremu, sadrzi svega dva clana i glasi: oW=_

ot

{!

(16.8.1)

divf-LH = 0,

f erE' 2dV. lv

aw

at : : ; o,

J = er(E + Ee)· Da bismo dokazali teoremu, pretpostavicemo, suprotno onome sto teorema tvrdi, da postoje dva sistema re8enja Maksvelovih jednaeina, E 1, H1 i E 2, H 2, koja zadovoljavaju iste pocetne i granicne uslove, formulisane u taekama a i b. Ocigledno je da i razlika ovih re8enja, tj. vektori E' = E1 - E2 i H' = H 1 - H2 moraju zadovoljavati Maksvelove jednaeine (16.8.1), s tim sto peta jednaeina ima oblik

Ovo je lako pokazati, jer je =erE'.

Jednaeina (16.8.2) iskazuje da su u sistemu polja E', H' izvori iskljuceni. S obzirom na uCinjenu pretpostavku da dva sistema polja E1, H 1 i E2, H 2 imaju iste pocetne i granicne uslove, za sistem E', H' ce vaziti sledeCi pocetni i granicni uslo vi: H~ = Hw - H2o = 0,

E~ = Ew - E2o = 0

(16.8.3)

W =

= Etgl

- Etg2

oW

at

=0

ili H~g = Htgl - Htg2 = 0

za t > to.

(16.8.4)

! { (cE' 2 + f-LH' 2 )dV, 2 lv

uslov W = 0 ce biti zadovoljen ako je E' = 0 i H' = 0. Prema tome, dva sistema re8enja. E 1, H 1 i E 2 , H 2 koji zadovoljavaju iste pocetne i granicne uslove, moraju biti identicna. Time je teorema jednoznaenosti re8enja Maksvelovih jednaeina dokazana. Kada se radi o prostoperiodicnim poljima u ustaljenom stanju, jednoznaenost re8enja obezbeduju vee sami granicni uslovi, formulisani pod tackom b dok pocetni uslovi iz taeke a postaju suviSni. Da bismo ovo dokazali, pretpostavicemo da dva sistema re8enja E 1 , H 1 i E2, H 2 imaju jednake tangencijalne komponente elektricnog iii magnetskog polja na granici domena. Istim postupkom kao i u prethodnom, opstem slucaju, dokazuje se da energija polja E', H' mora zadovoljiti uslov,

a na granicnoj povrsini domena E~g

(16.8.6)

sto znaei da energija elektromagnetskog polja stalno opada sa vremenom, ili je jednaka nuli, ako je E' = 0. Posto je na osnovu pocetnog uslova (16.8.3) E 0= 0 i H 0= 0, energija koju sadrzi polje E', H' u trenutku t = to je jednaka null. S obzirom da energija polja ne moze biti negativna, onda, vodeci raeuna o (16.8.6), ona mora ostati jednaka nuli i za svako t > t 0 . Kako je, s druge strane,

(16.8.2)

J' =erE'.

+ Ee)- er(E2 + Ee)

(16.8.5)

Posto je integral na desnoj strani (bez znaka minus) uvek pozitivan,

gde je, zbog prisustva izvora

J' = J1- J2 = er(E1

525

=

_!2 /(cE'2 + f-LH' 2 )dW ::::; 0,

tj. da mora stalno opadati iii da je jednaka nuli. Posto polje ima ustaljen prostoperiodican karakter, gornji uslov ce biti zadovoljen samo ako je E' = 0 i H'=O.

16. Opste jednacine makroskopskog elektromagnetskog polja ...

526

16.9. Teorema reciprociteta Pretpostavimo da u domenu V, ogranicenom zatvorenom povrsinom S, dejstvuju dva prostorno odvojena izvora-generatora, predstavljena stranim poljima Ee i E~, koja se menjaju po prostoperiodicnom zakonu vremena. Po principu superpozicije, rezultantno polje se moze razloziti na dva parcijalna polja, E, E' i H, H', koja bi pobudivao prvi, odnosno drugi generator, kada bi delovao usamljeno. I jedno i drugo polje, ponaosob, mora zadovoljiti sistem Maksvelovih jednaeina:

aE

rotH= J +c:at rotE= -J.L aH

(16.9.1)

8t

Posta smo pretpostavili da se polja menjaju po prostoperiodicnom zakonu vremena, lako je pokazati da su prva dva clana na desnoj strani (16.9.5) jednaka nuli. Ako jos stavimo da je

J

E=-- Ee 0"

aE'

rotH'= J' + c: 8t

aH'

(16.9.2)

J' = cr(E' + E~), Pomn0Zimo prvu jednaeinu sistema (16.9.1) skalarno sa E', a drugu jednaeinu sistema (16.9.2) sa H, a zatim oduzmimo prvu od druge. VodeCi raeuna 0 vektorskom identitetu

E'= J' -E'e> 0"

jednacina (16.9.5) dobija oblik div(E x H'- E' x H)= J' · Ee- J · E~.

(16.9.6)

Izvrsimo sada integraljenje izraza (16.9.6) po zapremini domena V. Ako se na levu stranu jednaeine primeni teorema Gaus-Ostrogradskog i zapreminski integral transformise u povrsinski, dobije se definitivno jednaeina

i

J = cr(E + Ee),

rot E' = - J.L ---ai

527

16.9. Teorema reciprociteta

(Ex H'- E' x H)· dS = [ (J' · Ee- J · E~)dV

(16.9.7)

koja predstavlja uopstenu formulaciju teoreme reciprociteta. U izvesnim specijalnim slucajevima, koji su za praksu od najveceg znaeaja, formulacija teoreme reciprociteta se mose znatno uprostiti. Posmatraeemo prvo slucaj kada je domen ogranicen savrseno provodnim zidovima (na primer, slucaj rezonantnih supljina i talasovoda). Kao sto cemo videti u cl. 17.7, granicni uslovi na povrsini savrsenog provodnika zahtevaju da vektor E bude upravan na povrsinu provodnika, sto znaei da su u posmatranom slucaju vektori E x H' i E' x H, paralelni granicnoj povrsini domena. Prema tome, fluks na levoj strani jednaeine (16.9.7) je jednak nuli, pa teorema reciprociteta ima oblik

H ·rotE- E' ·rotH= div(E' x H), [ (J'Ee-

rezultat navedenih operacija se moze pisati u obliku . ( I aH' H -c:-·E aE I -J·EI d1vE xH ) =-J.L-·

at

at

·

(16.9.3)

Ako analogne operacije izvedemo sa drugomjednaeinom sistema (16.9.1) i prvom jednaeinom sistema (16.9.2), dobije se jednaeina

. (

d1v Ex H

') = -wfit aH · H

I

- c:

aE' at · E- J

I

·E.

(16.9.4)

Oduzmimo sada (16.9.3) od (16.9.4), pa je div(E x H'- E' x H) = =-J.L

aH ( -at· H

1

aH' -· H ) -c: at

(16.9.5)

(aE'· E - -aE· E') (JE-J·E) , at at 1

JE~)dV =

0.

(16.9.8)

Na identicnu formulaciju teoreme se dolazi kada se domen protegne na ceo prostor, sto je od narocitog interesa za teoriju antena i mnoge druge probleme, gde se bar priblizno moze smatrati da se elektromagnetski procesi odigravaju u neogranicenoj sredini. Kao sto ce biti pokazano u cl. 20.3, elektromagnetsko polje na vrlo velikim udaljenostima ima karakter tzv. polja zraeenja: elektricno i magnetsko polje su medusobno upravni, a oba su upravna na poteg, koji odreduje polozaj taeke posmatranja u odnosu na izvor zraeenja. Sem toga, izmedu intenziteta elektricnog i magnetskog polja postoji stalan odnos, dat relacijom E / H = yfiifi. Ako sa n obelezimo ort vektora polozaja daleke taeke u odnosu na izvor (vektor polozaja vrlo daleke taeke u odnosu na dva izvora, koji se nalaze na konaenom medusobnom rastojanju, prakticno su paralelni)

528

16. Opste jednacine makroskopskog elektromagnetskog polja...

16.9. Kompleksni vektori. Maksvelove jednaeine i Pointingov vektor ...

onda se, na osnovu napred recenog, veza izmedu elektricnog i magnetskog polja na velikoj udaljenosti od izvora da iskazati relacijom

H'=/f;,nxE'.

H=/f;,nxE Prema tome, mozemo pisati

Ex H'- Ex H = /f;,[E x (n x E')- E 1

X

(n

X

E)].

EeJ' dV

=

JE~J

(16.9.9)

dV.

Posto su podintegralne velicine razlicite od nule samo u domenima gde istovremeno postoje strana polja, i struja, integraljenje treba protegnuti samo na tzv. zone pobude. U mnogim slucajevima, koji su od (2) posebnog interesa za praksu, zona pobude se moze, bar teorijski, tretirati kao vrlo mali cilindricni domen, unutar koga je vektor gustine struje homogen i a paralelan izvodnicama cilindra. Ovakvi uslovi su vrlo priblizno ispunjeni kada se sistem pobuduje pomocu "kvazipunktualnog" generatora, ukljucenog u uski poprecni procep u tankom cilindricnom provodniku. U tom slucaju teorema reci(2) (1) prociteta se moze pisati u obliku

~\'

ai 1 = a'i,

(16.9.10)

prikljucaka za napajanje a - b prve antene prikljucimo generator niStavne unutra8nje impedanse i elektromotorne sile a, a prikljucke c- d druge antene kratko spojimo, zbog elektromagnetske sprege u drugoj anteni ce se indukovati struja, ciju cemo vrednost na kratko spojenim prikljuccima c- d obeleziti sa i. Ako sada obrnemo postupak i izmedu prikljucaka c- d druge antene ukljucimo generator e.m.s. a' i nistavne unutra8nje impedanse, kroz kratko spojene prikljucke a - b prve antene teci ce struja i'. Prema teoremi reciprociteta mora biti

ai1 = a 1i.

KoristeCi pravilo o dvostrukom vektorskom proizvodu, i vodeci racuna da je E · n = E' · n = 0, lako je pokazati da je vrednost prethodnog izraza jednaka nuli, pa je i povrsinski integral na levoj strani (16.9. 7) jednak nuli. Prema tome, teorema reciprociteta primenjena na neogranicen domen ili domen ogranicen savrseno provodnim zidovima, ima oblik

J

529

~v

koji je odomacen u teoriji elektricnih kola. a i a' predstavljaju elektromotorne sile dvaju generatora, a i i i' struje na njihovim prikljuccima. U cilju ilustracije, primenicemo teSl. 16.5. oremu (16.9.10) na dve antene, koje su spregnute posredstvom elektromagnetskog polja (sl. 16.5). Ako izmedu

Ako su u oba slucaja elektromotorne sile bile iste, a struje:

= a'

moraju biti iste i

i 1 = i.

Teorema reciprociteta vaZi samo u sredinama u kojima c-, f.l i a ne zavise od jaeine elektricnog i magnetskog polja. U feromagnetskim sredinama i u plazmi teorema ne vaZi. Isto tako, teorema se ne moze primenjivati na anizotropne sredine, kao sto je, na primer, jonizovana sredina u prisustvu stalnog magnetskog polja (jonosfera).

16.10. Kompleksni vektori. Maksvelove jednacine i Pointingov vektor u kompleksnom obliku Promenljiva elektromagnetska polja koja se sa vremenom menjaju po prostoperiodicnom zakonu imaju i u teoriji i u primeni najveei prakticni znaeaj. Analogno praksi koja je odomaeena u teoriji elektricnih kola, uobicajeno je da se i u analizi prostoperiodicnih elektromagnetskih polja koristi kompleksni simbolicni raeun, s tim sto se u ovom slucaju, pored kompleksnih skalara, koriste i kompleksni vektori. Pri tome treba imati u vidu jos jednu specificnost koja se javlja u elektromagnetici, a to je, da su veliCine koje karakterisu promenljivo polje funkcija i vremena i prostornih koordinata. Posto pretpostavljamo daje citalac u osnovnim crtama vee upoznat sa primenom kompleksnog raeuna u teoriji elektricnih kola, nece biti nikakvih pote8koca da se ovaj izvanredno korisni metod raeuna prosiri i na teoriju polja, a posebno na re8avanje parcijalnih diferencijalnih jednaeina. Sustina simbolicno-kompleksnog metoda sastoji se u tome, da se linearne matematicke operacije nad prostoperiodicnim funkcijama, oblika a =;= A cos(wt+cp ), zamenjuju istim operacijama nad eksponencijalnom funkcijom Ae1Cwt+cp), ciji realni deo predstavlja pomenutu prostoperiodicnu funkciju. Zahvaljujuci cinjenici da se linearne matematicke operacije, kao sto su sabiranjc, difercnciranje i integriranjc, u stvari izvode odvojeno nad realnim i

530

16. OpSte jednacine makroskopskog elektromagnetskog polja...

imaginarnim delom kompleksne veliCine (mada se to ne vidi eksplicitno kod eksponencijalne forme), zamena realne prostoperiodicne funkcije eksponencijalno-kompleksnom dovodi do tacnog resultata, ako se na kraju matematickih operacija izdvoji realni deo rezultata. Prednost upotrebe eksponencijalno-kompleksne funkcije pro istice iz osobine ove funkcije da se diferenciranje i integriranje svodi na mnozenje, odnosno deljenje faktorom jw, pri cemu sama funkcija ostaje nepromenjena. Ako se prilikom traZenja partikularnog prostopetiodicnog re8enja neke obicne linearne diferencijalne ili integrodiferencijalne jednacine nezavisne promenljive t (na primer, jednacina prostog elektricnog kola R- L- C), jednacina zadovolji re8enjem oblika Aei(wt+'P) = A.eiwt, gde je A= Aei'P, eksponencij alni faktor eiwt, koji sadrze svi clanovi, moze se skratiti, pa se na taj nacin iz jednacine elimini.Se vreme. ZahvaljujuCi ovom, obicne linearne diferencijalne i integrodiferencijalne jednacine postaju algebarske jednacine sa kompleksnim clanovima, tipa A.. Slicne prednosti simbolicno-kompleksnog metoda se ispoljavaju i pri resavanju linearnih parcijalnih diferencijalnih jednaeina, koje, pored vremena, kao nezavisne promenljive sadrze i prostorne koordinate. Ako se ovakva jednacina zadovolji re8enjem oblika Aei(wt+~P) = A_eiwt, zbog napred navedene osobine eksponencijalne funkcije parcijalna diferencijalna jednacina se pojednostavljuje i postaje parcijalna diferencijalna jednacina samo od prostornih koordinata. Kada se re8i algebarska, odnosno parcijalna diferencijalna jednacina prostornih koordinata, i nade vrednost kompleksnog skalara A. = Aei'P, trenutna vrednost prostoperiodicne velicine a se dobije kao realni deo izraza A.eiwt = Aei'Peiwt. Dakle,

a= Re[A.Jwt]

= Acos(wt + cp).

(16.10.1)

Kada se radi o re8enju parcijalne jednacine, kompleksna velicina A., odnosno njen modul A i argument cp, su funkcije prostornih koordinata. Napred izlozeni metod se moze bez daljnjeg primenjivati i na vektorske velicine, a posebno na re8avanje vektorskih parcijalnih diferencijalnih jednacina kada se traZi njihovo partikularno prostoperiodicno resenje, pod uslovom da su jednacine linearne. Da bismo uveli pojam kompleksnog vektora, posmatraeemo vektor polja E Cije se projekcije menjaju po prostoperiodicnom zakonu

Ex

=

Eox cos(wt + cpx)

Ey = Eoy cos(wt + cpy)

(16.10.2)

Ez = Eoz cos(wt + cpz), gde su Eox, Eoy i Eoz amplitude projekcija, a cpx, cpy i cpz njihove faze u trenutku t = 0. U opstem slucaju amplitude i faze su funkcije koordinata x, y i z.

16.10. Kompleksni vektori. Maksvelove jedna.Cine i Pointingov vektor ...

531

~'

definisanog tako da su

+ jEix E_y = E0yein = Ery + jEiy E_z = EozJ'Pz = Erz + jEiz,

(16.10.3)

Ako se uvede pojam kompleksnog vektora mu projekcije kompleksne kolicine

lfl.x = Eoxd'Px = Erx

trenutne vrednosti projekcija stvarnog vektora E se mogu pisati u obliku

Ex = Re[lfl.xJwt] Ey

=

Re[E -Y Jwt]

(16.10.4)

E Z = Re[E Jwt] -Z

a trenutne vrednosti samog vektora kao

E=

Re[~Jwt].

(16.10.5)

Kompleksni vektor E je funkcija samo od prostornih koordinata, i, s obzirom na (16.10.3), moze se predstaviti u obliku ~=

(16.10.6)

Er+JEi,

gde su Er i Ei, dva realna vektora, Cije su projekcije Erx, Ery, Erz i Eix, Eiy, Eiz respektivno. S obzirom da promenljive vektorske velicine, pored intenziteta, mogu menjati i pravac, ispita.Cemo kako se u opstem slucaju menja vektor E, cije su projekcije date izrazima (16.10.2). Prema (16.10.5) i (16.10.6), trenutna vrednost vektora E se moze napisati u obliku:

E = Re[!;ei"'t]

+ Re[(Er + jE;)e;"'t] =

Re[(Er coswt + E; sinwt) + j(Er sinwt + E; coswt)], dakle.

E = Er coswt- E; sinwt.

(16.10.7)

Jedna.Cina (16.10.7) predstavlja vektorski oblik jedna.Cine elipse, kojoj su Er i E; konjugovani poluprecnici. U opstem slucaju vektor E se obrce ugaonom brzinom w oko svog pocetka, a vrh mu opisuje elipticnu trajektoriju (sl. 16.6). U takvom slucaju se kaZe da je polje elipticki polarizovano. Sarno u specijalnom slucaju, kada su sve tri komponente (16.10.2) u fazi polarizacija je linijska, sto zna.Ci da polje tokom vremena menja samo intenzitet, a ne i pravac. Zaista, ako se u (16.10.2) stavi da je

E = (ixEox

+ iyEoy + izEoz) cos wt =

pri cemu vektor Eo ne zavisi od vremena.

Eo cos wt,

(16.10.8)

532

16. Opste jednacine makroskopskog elektromagnetskog polja...

Analogno onome sto je cinjeno sa prostoperiodicnim skalarima, maze se i vektorska prostoperiodicna funkcija u svim linearnim jednaCinama (algebarskim i diferencijalnim) zamenjivati vektorskom eksponencijalno-kompleksnom funkcijom, Ciji je ona realni cleo. Prema tome, umesto stvarne prostoperiodicne funkcije E, u linearne jednaeine se moze unositi njena kompleksna zamena £ejwt i uslovno pisati E = £elwt,

(16.10.9)

16.10. Kompleksni vektori. Maksvelove jednaeine i Pointingov vektor ...

H = Re[Helwt] = Hrcoswt- Hisinwt,

E,

pa je trenutna vrednost Pointingovog vektora

r

=EX H = Er X Hrcos 2 wt + Ei X Hisin 2 wt

E;,

81. 16.6.

Posto nas kod ustaljenih prostoperiodicnih stanja obicno ne interesuju trenutne vrednosti toka energije, vee srednje, potraZicemo srednju vrednost Pointingovog vektora

rsr =

BE

1

{T

T Jo

1 2 cos wtdt = 2 ,

rotE= rot(£elwt) = elwtrot£,

1

posle skraCivanja sa zajednickim faktorom &wt, Maksvelove jednaeine dobijaju oblik rot£= -jwB

divD =

e

divB = 0.

U 2 = UU = Re[Qelwt]Re[Qelwt]-:/:- Re[Qelwt.Qelwt].

Zbog toga se, prilikom formiranja kompleksnih izraza za nelinearne veliCine, mora poci od odgovarajucih realnih izraza za trenutne vrednosti. Pokazacemo kako se to radi na primeru Pointingovog vektora. Prema (16.10.7), trenutne vrednosti jaeine elektricnog i magnetskog polja mogu se predstaviti izrazima E = Re[~ejwt] = Er cos u.:t - Ei sin wt,

{T

T Jo

1

{T

T Jo

sinwtcoswtdt

2

sin wtdt =

=

1 2

0,

srednja vrednost Pointingovog vektora iznosi 1

(16.10.10)

S obzirom da su kompleksne velicine ~' H, ... funkcije samo od prostornih koordinata, Maksvelove jednaeine u kompleksnom obliku ne sadrze promenljivu vreme. Direktna zamena prostoperiodicnih velicina njihovim kompleksnim predstavnicima moguca je i dozvoljena samo u linearnim jednaeinama. Medutim, u nelinearnim jednaeinama i izrazima gde se javljaju proizvodi veliCina (na primer, Pointingov vektor, snaga, gustina energije itd.), direktno unosenje kompleksnih velicina umesto stvarnih dovodi do pogre8nih rezultata. Ova vaZi i za vektore i za skalare i moze se lako proveriti na sledecem jednostavnom primeru:

r1 lo{T rdt.

S obzirom da su vektori Er, Ei, Hr i Hi nezavisni od vremena, ada je

7ft= jw£elwt

J. + jwD

(16.10.11)

-(Er x Hi+ Ei x Hr) · sinwt · coswt.

s tim da se na kraju matematickih operacija izdvoji realni cleo re8enja. Ako se sve vektorske velicine koje se javljaju u Maksvelovim jednaCinama napisu u eksponencijalnoj formi, koja je analogna sa (16.10.9), i vodi racuna da je

rotH =

533

rsr = 2(Er X Hr + Ei X Hi)·

(16.10.12)

Ako se uvede pojam konjugovano kompleksnog vektora, izrazu (16.10.12) se moze dati oblik koji je analogan poznatom kompleksnom izrazu za srednju vrednost aktivne snage kod naizmenicne struje. Konjugovano kompleksni vektor ~· se definiSe kao vektor cije su projekcije konjugovane projekcijama vektora £. S obzirom na (16.10.3), projekcije konjugovanog vektora su

f!; = Erx- }Eix .fl.~=

.fl.;

Ery- jEiy

= Erz- }Biz,

pa je, ocigledno,

£

= Er- kEi.

(16.10.13)

Formirajmo vektorski proizvod kompleksnog vektora elektricnog polja, £ i konjugovane vrednosti kompleksnog vektora magnetskog polja, H*: £ X H* = (Er + jEi)

Er

X

Hr + Ei

X

Hi+ j(Ei

X

X

(Hr - jHi) =

Hr- Er X Hi)·

(16.10.14)

534

16. OpSte jedna.Cine makroskopskog elektromagnetskog polja ...

Uporedimo li (16.10.14) sa (16.10.12) videeemo da se srednja vrednost Pointingovog vektora moze predstaviti kao realni deo vektorskog proizvoda (16.10.14) pomnozenog sa 1/2. Dak.le,

rsr = Re

[~~ x H*],

(16.10.15)

17. RA VANSKI ELEKTROMAGNETSKI TALASI

gde su ~ i H kompleksne amplitude elektricnog i magnetskog polja. Izraz

r =~Ex H* 2- predstavlja kompleksni Pointingov vektor.

(16.10.16)

Kao sto ce biti pokazano u gl. 20, koja je posvecena elektromagnetskom zracenju, elektromagnetsko polje na velikoj udaljenosti od izvora (npr. antena) ima iskljucivo talasni karakter. U ovom poglavlju ce biti reCi o ravanskim talasima, koji i po svojoj strukturi i po naeinu tretiranja predstavljaju najjednostavniji tip talasa i promenljivog elektromagnetskog polja uopste. Osnovna odlika ravanskih talasa je u tome da su vektori polja E i H funkcije vremena i samo jedne prostorne Dekartove koordinate. Iako je u stvarnosti nemoguce realizovati izvor koji bi zraeio ciste ravanske talase, izucavanje osobina ovakvih talasa je od velikog teorijskog i prakticnog znaeaja. Slobodni elektromagnetski talasi koje zraee prirodni i . ve8taeki izvori imaju po pravilu sferican karakter, ali se na velikim udaljenostima i u manjem domenu mogu aproksimirati jednostavnijim ravanskim talasima. Osnov za ovakvu aproksimaciju lezi u Cinjenici da su odnosi iz.. medu elektricnog i magnetskog polja i brzina prostiranja sfericnih talasa na velikom odstojanju od izvora identicni sa onima kod ravanskih talasa.

17.1. Ravanski talasi u homogenom dielektriku U homogenom i izotropnom dielektriku, u kome nema slobodnih elektricnih opterecenja i struja, Maksvelove jednaeine imaju sledeCi oblik:

8E

rotH= cat

8H

rotE= -J.L-

8t

(17.1.1)

divE= 0

(17.1.3)

(17.1.2)

divH = 0.

(17.1.4)

Ako pretpostavimo da su vektori E i H funkcije samo od vremena i jedne Dekartove koordinate, na primer koordinate z, svi parcijalni izvodi komponenata pO

X

i

yce biti jednaki nuli (! = :y = Q)

1

pa se gornji

sistem Maksvelovih jednacina, napisan u skalarnom obliku, svodi na sledece

536

537

17.1. Ravanski talasi u homogenom dielektriku

17. Ravanski elektromagnetski talasi

8 2 Hy - 8z8t

cetiri grupe parcijalnih diferencijalnih jednaeina:

=e

8 2 Ex

8 2 Hy

8 2 Ex

(17.1.5)

()t2

8z 2 = -J.t 8t8z '

(17.1.6)

8Hy 8Ex --=E:az at

(17.l.la)

8Ey 8Hx az =j.tm

(17.1.2a)

8Hx 8Ey --=E:oz 8t

(17.1.1b)

8Ex 8Hy az =-J.tm

iz koga se lako eliminise Hy. Po izvrsenoj eliminaciji dobije se parcijalna diferencijalna jednaeina oblika

(17.1.2b)

(17.1.7)

(17.l.lc)

O=j.t8Hz

8 2Ex 8 2Ex 8z2 - E:J.l. 8t2 = 0,

(17.1.2c)

1 v=--,

(17.1.8)

O = E:8Ez

8t 8Ez = O 8z

8t

8Hz =O 8z

(17.1.2)

(17.1.4)

y4L

Iz jednaeina (17.1.1c) i (17.1.3) izlazi da komponenta Ez ne zavisi ni od vremena ni od bilo koje prostorne koordinate. Posto nas u ovom slucaju interesuju samo vremenski promenljiva polja, dolazimo do zakljucka da je Ez = 0. Isto tako, na osnovu (17.1.2c) i (17.1.4); nalazimo da je i Hz= 0. Prema tome, vektori elektricnog i magnetskog polja nemaju komponente u pravcu ose z, vee leze u ravni koja je normalna na ovu osu. Posto osa z, kao sto cemo videti, predstavlja pravac prostiranja talasa, kaZe se da elektromagnetsko polje ravanskog talasa ima transverzalan karakter. Opste karakteristike i uzajamnu vezu transverzalnih komponenata odredicemo iz prve cetiri jednaeine gornjeg sistema. Lako je uvideti da se ove cetiri jednaeine raspadaju na dva potpuno nezavisna sistema: sistem I

8Hy 8Ex ---=E:8z 8t

(17.l.la)

8Ex 8Hy 8z = -J.tm

(17.1.2b)

8Ey 8Hx 8z =J.tm

(17.1.2a)

sistem II

8Hx 8Ey --=E:8z 8t

(17.l.lb)

odnosno, ako stavimo

Jednacine prvog sistema povezuju medusobno upravne komponente elektricnog i magnetskog polja, Ex i Hy, dok drugi sistem povezuje druge dve, medusobno upravne komponente Ey i Hx. Iz ovoga izvodimo va:Zan zakljucak da su u ravanskih talasa uzajamno zavisne samo medusobno upravne komponente elektricnog i magnetskog polja. Da li ce neki ravanski talas imati samo jedan iii oba para komponenata, Ex, Hy i Ey, Hx, zavisi od uslova eksitacije i od orijentacije koordinatnog sistema. Zbog jednostavnosti u daljoj analizi cemo posmatrati samo sistem I, sto znaei da cemo posmatrati talas koji ima samo x-komponentu elektricnog polja, koja je nuzno praeena y-komponentom magnetskog polja. Ako se (17.1.1a) difercncira pot, a (17.1.2b) po z, dobije se sistem

1 8 2 Ex _ O

8 2 Ex

8z2 -

v2 ()t2

-

(17.1.9)

.

Jednaeina (17.1.9), koja rezira komponentu Ex, poznata je pod imenom talasne ili Dalamberove (d'Alambert) jednaeine. Ako uvedemo smenu

z u= -, v jednaeina dobija oblik

82Ex [)2Ex 8u2 - ()t2

(17.1.10)

= 0.

Lako je uvideti da jednaeinu (17.1.10) zadovoljavaju proizvoljne funkcije fi (t- u) i h(t + u), posto sui kod jedne i kod druge drugi parcijalni izvodi po t i u jednaki. Prema tome, opste re8enje talasne jednaeine (17.1.9) se moze pisati u obliku

Ex =

fi ( t - ; ) + h ( t + ;) ,

(17.1.11)

gde je v odredeno relacijom (17.1.8) i dimenziono predstavlja brzinu. Partikularni integrali fi i h su linearno nezavisni i nazivaju se talasnim funkcijama. Najpre cemo razmotriti partikularni integral

!I (t-

;) i njegovo fi-

zicko znaeenje. Za nepokretne posmatraee koji se nalaze u taekama z1 i z2 > z1 velicina koju predstavlja talasna funkcija fi(t- z/v) menja se u zavisnosti od

vremena po zakonu

fi(t- zJ/v)

h(t- z2fv).

538

17. Ravanski elektromagnetski talasi

f

h

(t- ~)

od oblika talasa njegove ucestanosti. U slobodnom prostoru, gde je

(t- ~)

h

--,

1 3671'

c =co = - -10- 9 F jm i J.L = f..Lo = 471'10- 7 Hjm,

'' ''

,,'r' ...

,' I

'

'' '' ''' ' ,/ : !

I

\ '

'

brzina prostiranja ravanskih talasa je jednaka brzini prostiranja svetlosti i, prema Maksvelovoj teorijskoj formuli (17.1.8), iznosi

''

'' \\ ...

vo = c = 3 · 108 m/s.

'

Z2- Zl

I

v

'

T=---

l

'

Sl. 17.1.

Grafici ovih dveju funkcija u sistemu koordinata !1, t su isti po obliku, samo je drugi pomeren u odnosu na prvi za interval (z2 -z1 )/v u pozitivnom smeru ose t (sl. 17.1). Drugim recima, trenutne vrednosti kroz koje posmatrana velicina prolazi u taeki z1 ponavljaju se u taeki z2 > z1 po istom redosledu, ali sa vremenskim zakaSnjenjem T = (z1- z1)jv. Za posmatraea koji se duz ose z krece po zakonu kretanja

z t- v

(17.1.13)

Ovako dobijena teorijska vrednost se izvanredno dobra sla:le sa rezultatima vrlo precizno izvedenih eksperimenata. Vratimo se sada na pitanja magnetskog polja, Cije su komponente Hy i Hx cvrsto povezane sa odgovarajuCim komponentama elektricnog polja, preko sistema jednaeina I i II. Apstrahujmo za trenutak drugo partikularno re8enje, koje predstavlja progresivan talas u negativnom smeru z-ose. i potra:limo komponentu Hy koja odgovara komponenti elektricnog polja (17.1.14)

Ex= ft(t- zjv).

Ako se sa (17.1.14) zadovolji jedna od jednaeina sistema I, na primer jednaeina (17.1.2b), i vodi raeuna da je

= canst.,

talasna funkcija fl(t- z/v) zadrzava stalno istu vrednost. Ako se gornji zakon kretanja diferencira i formira kolicnik dz/dt, dobije se brzina kojom se, zajedno sa posmatraeem, prostiru neizmenjene trenutne vrednosti talasne funkcije:

dz 1 -=v=-. dt #

539

17.1. Ravanski talasi u homogenom dielektriku

8Ex 8z

= 8ft(t- z/v) 8(t- z/v)

gde je f{(t- z/v) izvod funkcije

8Hy -

(17.1.12)

Posta je dz/dt pozitivno, partikularno re8enje ft(t- z/v) predstavlja progresivan talas koji se prostire u pozitivnom smeru ose z. Lako je pokazati da drugo partikularno re8enje h(t + z/v) predstavlja progresivan talas koji se prostire brzinom v u suprotnom smeru, tj. u negativnom smeru ose z. Prema tome, opste re8enje (17.1.11) sastoji se iz dva progresivna talasa, koji se duz ose z prostiru u suprotnim smerovima. Da li ce postojati oba ova talasa iii samo jedan od njih, zavisi iskljuCivo od fizickih uslova. U slobodnom prostoru, u kome nema nikakvih prepreka i diskontinuiteta, postojace samo talas koji se prostire od izvora, i tada se on zove direktni talas. Brzina prostiranja ravanskih talasa u savrsenom dielektriku zavisi iskljuCivo od dielektricne konstante E: i magnetske permeabilnosti f..L, a nikako

. 8(t- zjv) 8z

8t-

= -~ f'(t _ 1

zjv),

v

(17.1.15)

ft po promenljivoj (t- z/v), dobije se

18Ex = -J.L 8z

_!_f'(tzjv). 1 J.LV

Posta je

8!1 _ 8ft(t- z/v) . 8(t- z/v) = j{(t- zjv), 8(t- z/v) 8t

8t-

(17.1.16)

:v =if, ima se

Hy={f

J

J{

(t- ~) dt+ C={f!t (t- ~) + C={fEx +C. (17.1.17)

540

Posto konstanta C ne zavisi od vremena moze se odbaciti, pa se dobije jednostavan odnos

koji povezuje komponente Ex i Hy prvog partikularnog resenja (talas koji se prostire u pozitivnom smeru ose z). VeliCina

Ze

=I¥

=l¥o = = 0

1207!"

377ft

(17.1.20)

Istim postupkom moze se pokazati da izmedu drugih partikularnih re8enja komponenata Ex i Hy (talas koji se prostire u negativnom smeru z-ose) postoji veza (17.1.21)

Ex= -!i£Hy.

Znak minus ukazuje da pozitivnoj komponenti Ex odgovara negativno orijentisana komponenta Hy, sto je lako razumeti ako se ima u vidu da se pravac i smer Pointingovog vektora moraju podudarati sa pravcem i smerom prostiranja progresivnog talasa. U opstem slucaju ravanski talas sadrzi i drugi par komponenata, Ey i Hx, koje predstavljaju resenje sistema jednaeina IL Lako se pokazuje da kod prvog i drugog partikularnog resenja postoje sledeCi odnosi, respektivno,

Ey = -!i£Hx

Ey = !i£Hx.

(17.1.22)

Vektori elektricnog i magnetskog polja leze. u ravni koja je upravna na pravac prostiranja i vazda su upravni jedan na drugog. Ovo poslednje se lako dokazuje ako se formira skalarni proizvod vektora E i H i vodi racuna o relacijama (17.1.18), (17.1.21) i (17.1.22) Zaista, ima se

E · H = ExHx

~=I¥

(17.1.24)

intenzitet Pointingovog vektora moze pisati u jednom od oblika

r

2

E

2

= EH I£E = !i£H .

se

(17.1.25) transverzalna ravan

(17.1.19)

ima prirodu otpornosti i naziva se karakteristicna iii talasna impedansa. U slobodnom prostoru njena vrednost iznosi Zc

Posto izmedu apsolutnih vrednosti vektora E i H postoji odnos

(17.1.18)

Ex= !i£Hy,

+ EyHy =

0.

541

17 .2. Prostoperiodicni ravanski talasi u homogenom i idealnom dielektriku

17. Ravanski elektromagnetski talasi

(17.1.23)

Pri tome vektori E i H cine sa ortom pravca prostiranja n ortogonalni sistem desne orijentacije, i to redom kako su pobrojani (sl. 17.2), tako da Pointingov vektor r = E X H ima pravac i smer orta n.

Energija koju nosi ravanski talas lokalizovana je i u elektricnom i u magSl. 17.2. netskom polju, i to u podjednakoj kolicini. Ovo je lako pokazati ako se uporede izrazi za gustine energij e i vodi raeuna o (17 .1. 24):

~ H2 = ~ (

1£E) = ~ 2

E2.

(17.1.26)

17.2. Prostoperiodicni ravanski talasi u homogenom i idealnom dielektriku Elektromagnetski talasi kod kojih se polje menja po prostoperiodicnom zakonu vremena imaju i za teoriju i za praksu najveei znaeaj. Ovo tim pre sto se i talas, kod koga je polje slozena funkcija vremena, moze zahvaljujuci sredstvima Fllrjeove analize, razloziti na konaean iii beskonaean broj prostoperiodicnih komponentalnih talasa. Zbog jednostavnosti, ogranicicemo na§a razmatranja na slucaj talasa koji se prostire u pozitivnom smeru ose z i u koga elektricno polje ima samo Ex komponentu, koja se u koordinatnom pocetku (odnosno koordinatnoj ravni z = 0) menja po prostoperiodicnom zakonu

Ex= Eo cos(wt + cp). Ako se u prethodnom izrazu t zameni sa (t- z/v), dobije se talasna funkcija

Ex =Eo cos[w(t- zjv)

+ cp],

(17.2.1)

koja odreduje komponentu Ex u svakom trenutku i u svakoj ravni z. U analizi prostoperiodicnih talasa, umesto (17.2.1), mnogo ce8ce se koristi sledeCi oblik talasne funkcije:

Ex= Eocos(wt- f]z + cp),

(17.2.2)

17. Ravanski elektromagnetski talasi

542

17.2. Prostoperiodicni ravanski talasi u homogenom i idealnom dielektriku

gdeje

(J

= wjv = wftii

(17.2.3)

tzv. fazna konstanta. Ex komponenta elektricnog polja obavezno je pra.Cena Hy komponentom magnetskog polja, cija talasna funkcija, zbog (17.1.18), ima oblik

Hy =If;,Eo cos(wt- (Jz + cp) = Ho cos(wt- (Jz + cp).

(17.2.4)

PoredeCi izraze (17.2.2) i (17.2.4) nalazimo da su elektricno i magnetsko polje u fazi u svakom trenutku i u svakoj tacki. Raspodela intenziteta elektricnog i magnetskog polja dliZ z). ose u jednom trenutku t prikazana je dijagramom na sl. 17.3. Promene intenziteta duz z-ose u toku vremena najbolje se mogu predstaviti ako zamislimo da se dijagram intenziteta na sl. 17.3 krece brzinom v u pozitivnom smeru ose z. Argument kosinusne funkcije Sl. 17.3. u izrazima (17.2.2) i (17.2.4) definiSe fazu polja = wt - (Jz

+ cp,

(17.2.5)

koja je, kao sto vidimo, funkcija i vremena i koordinate z. Ako uoeimo na z-osi dve taeke z1 i z2 > z1 i u njima posmatramo fazne stavove polja u istom trenutku, konstatova.Cemo da polje u udaljenijoj taeki z2 zaostaje za poljem u tacki z 1 za fazni ugao L).

= {J(z2

- ZI)·

2;.

nalazimo prost odnos izmedu talasne duzine, brzine prostiranja i periode, odnosno ucestanosti talasa: v (17.2.8) A= vT = j" Posto brzina prostiranja zavisi od konstanata c i p,, od njih zavisi i talasna duzina. Talasna dliZina u slobodnom prostoru iznosi c (17.2.9) Ao = j" Za brza izracunavanja talasne duzine u slobodnom prostoru zgodno je zapamtiti prakticni obrazac

300 >.o(m) = f(MHz) Ako se podele izrazi (17.2.8) i (17.2.9), nalazimo da je odnos talasne duzine u dielektriku i talasne duzine u slobodnom prostoru (pri istoj frekvenciji) jednak odnosu odgovarajucih brzina prostiranja: A

Ao

v c

1

gde je cr relativna dielektricna konstanta dielektrika. Posto je kod normalnih dielektrika cr vece od jedinice, talasna duzina i brzina prostiranja U dielektriku su manje od onih u slobodnom prostoru. Ako se talas prostire u negativnom smeru z-ose i elektricno polje mu je orijentisano u pravcu x-ose, komponente polja ovakvog talasa su odredene izrazima

Ex =Eo cos(wt + (Jz Hy =

(17.2.7)

f - -:;,

(17.2.11)

17.2.1. Kompleksni oblik talasne funkcije prostoperiodicnog talasa. Thenutna vrednost komponente polja Ex jednog progresivnog talasa, koji se prostire u pozitivnom smeru z-ose, i koja je data talasnom funkcijom

Ex= Eo cos(wt- (Jz + cp), moze se predstaviti kao realni deo kompleksnog izraza

Eoej(wt-f3z+. = v /f. Karakteristicna impedansa poluprovodne sredine definise se kao i u idealnom dielektriku odnosom

J-L i (]". Unesimo (17.5.10) u (17.5.13), pa se ima

'l =

551

17.5. Ravanski talasi u poluprovodnoj sredini

17. Ravanski elektromagnetski talasi

550

Z =E= =c

H

f!i

v~·

(17.5.21)

552

17. Ravanski elektromagnetski talasi

17.6. Prodiranje talasa u provodnike. Povrsinski efekt pri visokim ucestanostima

ali je, zbog kompleksnog karaktera dielektricne konstante, i sama kompleksna. To znaei da elektricno i magnetsko polje progresivnog talasa nisu u fazi. S obzirom na (17.5.13), maze se pisati JWf.L

Wf.L

b=-=

2

'1

0'.

+

.

f32(f3+Ja).

Z-~

c - ~f32

cp

0'.

= arctg {30

- «

WE:

(1705023) (1705024)

1,

pa se izrazi za karakteristicne parametre prostiranja mogu znatno uprostiti. Posta je vrlo priblizno

g

a2 ~1+-222' WE:

WE:

na osnovu opstih obrazaca (17.5018-17.5022) nalazimo: f3

= wFJi ( 1 + 8::1':2 )

0'.=~1¥ v

z

1

= VEJi

=c

=

(

f3 = a=

l7o5ol. Karakteristicni parametri prostiranja u dielektriku male provodnosti. u kvalitetnih dielektrika cak i pri niskim ucestanostima ispunjen je uslov a

U tom slucaju izrazi (1705018) i (1705019) dobijaju oblik

(1705022)

Prema tome, modul i argument karakteristicne impedanse su

a2 ) 1 + 8w2c2

~(1+j~). V-; 2wE:

l7o6o Prodiranje talasa u provodnikeo Povrsinski efekt pri visokim ucestanostima Kod dobrih provodnika specificna provodnost je reda 10 7 S/m, pa je i pri najvisim ucestanostima koje dolaze u obzir u radio-tehnici (hiperfrekvencij e) zadovolj en uslov a/WE: » l.

553

y{WiUic=-; 2 = v 1fJ.La f

(170601)

Fo

(170602)

e=-; = V1fJ.Laf

0

Ucinjena aproksimacija je ekvivalentna zanemarenju dielektricne struje u odnosu na kondukcionuo Zanimljivo je da su fazna konstanta i konstanta slabljenja kod dobrih provodnika jednakeo Brzina prostiranja faze i talasna dilZina, koje su obrnuto srazmerne faznoj konstanti, iznose:

v=

~= ~

A=

~=

Jo

Aka se (170601) i (170602) unese u (1705023) i (1705024) dobiju se za modul i argument karakteristicne impedanse sledeci izlazi: Zc =

~ y-;:;

cp = arc tg 1 = 45° o

(170603)

Elektricno polje fazno prednjaei za 45° u odnosu na magnetsko polje, sto znaei da karakteristicna impedansa ima induktivan karaktero Da bismo dobili realnu predstavu o redu velicine parametara .prostiranja u metalima, uzecemo za primer bakar provodnosti a= 5, 8 ° 10 S/mo Posta je u bakru f.L = 47f 010- 7 H/m, f3cu O'.Cu

=

fr

6

0103 rad/m

Vl, o103 N/m = 66 1

Pri ucestanosti f = 106 Hz (sto odgovara talasnoj dilZini od 300 m u slobodnom prostoru) nalazimo sledece vrednosti karakteristicnih parametara: konstanta slabljenja fazna konstanta brzina prostiranja faze talasna duzina u metalu modul karakteristicne impedanse

a = f3 = v= A=

15150 Nepera/m 15150 rad/m 415, 1m/s 415, 1 ° 10-6 m Zc = 3, 68 ° 10-4 f2.

Iz gornjih numerickih podataka zakljucujemo da je slabljenje talasa u metalima izvanredno veliko, ada je brzina prostiranja neobicno mala. U istoj srazmeri smanjenaje i talasna duzina; talasnoj duzini od 300m u slobodnom prostoru u bakru odgovara talasna duzina od svega 415,1 f.LIDo

17. Ravanski elektrornagnetski talasi

554

Vrlo mala vrednost modula karakteristicne impedanse, koja je reda mn, ukazuje da u metalima preovladuje magnetsko polje, a da je elektricno polje svedeno na vrlo malu meru. Zakon o jednakoj raspodeli energije ne va.Zi u metalima. Odnos gustina magnetske i elektricne energije je J.tH 2 cE2

X

~

,....I n2/n1.

sin Or= n2/n1 = n21·

r--.... r- r--....

......... 2

-0,4

(17.9.31)

...........

...... 6 ...... 5 4 .......... :.--....

t- r- ,.....,

dakle,

n2 tgOs = - = n21· n1

1--

-0,2

fEi

9

1--

r-- 1--

0,4

Pri paralelnoj polarizaciji (elektricno polje paralelno incidentnoj ravni), kao sto to pokazuje formula (17.9.29), koeficijent refl.eksije Rp je jednak nuli kada je 81 + 82 = 90°. Ugao 81 pri kome dolazi do iscezavanja refiektovanog talasa naziva se Brewsterov ugao. Brewsterov ugao el = eB nalazi se iz jednaeine (17.9.26) kada se stavi 82 = (90° - Os):

--r- r--....

t- t--

(17.9.29)

sin 82 = nl2 sin el

!32

= f3l n21,

(17.9.35)

568

17. Ravanski elektromagnetski talasi

i unesemo imaginarni kosinus (17.9.33), talasna funkcija prelomljenog talasa dobija oblik If_ = !loepz e-Jf3y,

12 V1- sin2 82 = p + jq.

(17.9.38)

Ako se ovde unesu izrazi (17.9.37-17.9.38), talasna funkcija dobija oblik If_=

Talas predstavljen funkcijom (17.9.36) ima specijalne osobine, koje se bitno razlikuju od osobina ravanskog talasa konvencionalnog tipa. Eksponencijalni faktor e-Jf3y ukazuje da se talas prostire paralelno y-osi, tj. razdvojnoj povrsini. Brzina prostiranja faze duz y-ose je funkcija upadnog ugla 81 i iznosi

w w v------

- (3 - fJ1 sin81 ·

Intenzitet talasa je oslabljen po eksponencijalnom zakonu ePz u negativnom smeru ose z, tj. iduci od razdvojne povrsine u dubinu dielektrika 2. Ovo obja8njava za8to smo izabrali znak minus pred korenom u izrazu (17.9.33), jer da smo izabrali znak plus intenzitet talasa bi rastao beskonaeno kada z - t -oo. Karakteristicno je za ovaj talas da su mu ravni jednake amplitude paralelne razdvojnoj ravni z = 0, dok su ekvifazne ravni upravne na osu y. Talase u kojih ravni jednakih amplituda i ekvifazne ravni nisu paralelne nazivamo "netransverzalnim talasima". Na sl. 17.16 su predstavljeni moduli koeficijenata refleksije u funkciji od ugla 81 za I slucaj n2 1 < 1. Pri uglovima fh < ()T moduli IRI koeficijenata refleksije se pona8aju na potpuno isti naein kao i u slucaju n21 > 1. U interval u ()T ~ () 1 ~ 90° moduli su j ednaki jedinici.

::b sin 82 = j fJ1 sin fh .

=

If_= If_oe-:r_2 (ysin{i2-ZCOS02).

= fJ1 sin 81.

17.9.3. Odbijanje i prelamanje na granici dielektrik-poluprovodnik. Posmatracemo za praksu vaZan slucaj kada je sredina 1, iz koje dolazi upadni talas, dielektrik (npr. 81. 17.16. vazduh), a sredina 2 poluprovodnik ili provodnik (npr. zemlja iii metal). U ovom slucaju drugi Snelov zakon (17.9.7) ima oblik

1 2 cos82

Talasna funkcija za prelomljeni talas koji se prostire u poluprovodnoj sredini 2 ima oblik koji je analogan izrazu (17.9.35):

= f31 vsin 2 81 - n~1 (3

S obzirom da je sin 82 kompleksna kolicina, bice to i cos 82, pa mozemo pisati

(17.9.36)

gdeje p

569

17.9. Odbijanje i prelamanje ravanskih talasa

lit

u 0ePze-j(f3tsin0 1 -qz)_

Izraz (17.9.39) predstavlja "netransverzalni talas" cija amplituda slabi po eksponencijalnom zakonu ePz kada se z menja od nule ka -oo. Ravni jednake faze su definisane izrazom fJ1 sin 81 · y - qz

z

= const.

Pravac prostiranja ravni jednake faze zaklapa sa negativnom zosom ugao 8~ (v. sl. 17.17), odreden relacijama

ravni konstantne amplitude

(31 sin 81

J Jf3r

sin()~ = f3r sin2 81 + q2 ()

' -

cos 2 -

q

sin2 81

SI. 17.17. 2

+q

Ako je sredina 2 dobar provodnik, onda je fJ2 » fJ1, pa je i q » f31· U tom slucaju iz prethodnih relacija nalazimo da je sin 8~ ::::::: 0 i cos 8~ ::::::: 1, odnosno ()~ ::::::: 0, sto znaci da su ravni jednakih faza paralelne granicnoj povrsini. PotraZicemo sada izraze za koeficijente refleksije kada je sredina 1 savrsen dielektrik a sredina 2 poluprovodnik. Stavimo c1 =

(17.9.37)

(17.9.39)

~2

/-L1 = /-LO

C'Q

.a

= c2- JW

/-L2

= J-Lo,·

17. Ravanski elektromagnetski talasi

570 1,0

i

0,8

o!

0,6 0,4

oo

10°

zoo

30°

40°

50°

60°

goo

70°

goo

IIll I I I l,~t::~

...,; -Z00°

t -195°

Na sl. 17.18 i 17.19 su prikazani moduli i argumenti koeficijenata refl.eksije Bn i l!p u funkciji od ugla upadanja 'ljJ = 90° -fh, merenog prema povrsini zemlje. Krive su ra.Cunate za teren specificne provodnosti a= 12 -10- 3 S/m i relativne dielektricne konstante cr2 = 15, a odnose se na ucestanosti f = 1; 4; 12; 100 MHz. 1 Pri vrlo malim uglovima upadanja 'ljJ modul oba koeficijenta refl.eksije je blizak jedinici. Karakteristicno je da sa porastom ugla 'ljJ Rp vrlo brzo opada najednu minimalnu vrednost, da bi zatim opet rastao. Ugao koji odgovara minimalnoj vrednosti od Rp se zove pseudo-Brewsterov ugao. Pri vrlo malim uglovima 'ljJ §n --+ 180° i §n --+ -180° (argumenti koeficijenata refl.eksije), sto zna.Ci da su upadni i refl.ektovani talas prakticno u protivfazi . 1,0

-1goo -185°

-180°

oo

10°

30°

20°

40°

50°

60°

70°

80°

--+7/J

/./""

/

0,6

81. 17.18.

i

paje . 81 = == 11 =- sm

22

cos 82

=

0

•

1

~2

VI-

oo

:g=

{!;

--

R c2-

~""

i

(]"'

j-

W

~2 = (§=U ~1

v

~2

-160° -180°

_,

I

20°

30°

l

40°

2

:gcos 81

-n

l!p

=

Rpd[JP =

+ .j1-

2

r;,

I

80°

70°

- - - --

goo

-·

I I

~- ,.,."

oo

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

goo

--+7/J 81. 17.19.

(17.9.40)

U slucaju idealnog provodnika :g = 0, pa se na osnovu (17.9.40)

2

81- :gJl- :g Sin 81 • cos el + :gJl - :g2 sin 2 el

COS

60°

1/

2

:g2 sin 2 el'

50°

t-4MHz

izrazi za koeficijente refl.eksije (17.9.15) i (17.9.22) postaju

R = Rnd 8" = :gcosfh- J1- :g sin 81

100 MHz

1--1--

1 1/- H2MHz

-1000 -140°

10°

rr

-80° -120°

Ako jos stavimo

)....-

t< If,.-- -:;;:. ~ r'-100 MHz 1/ ,__,I !r 1 MHz

-60°

o

v

-~o..---+--1---

-40°

gde je

v

---

1\. ~~1ooq~

oo -zoo

2

:g2 sin 8 1 ,

v ...

12MHz ~~--

~

1

0

v

......

v / v v / rt ~ v /

0,4

o,z

{!;- sm 8 = :gsm. 8

... v

J

- - ---

1 MHz 4MHz

,_.

0,8

go

et!'"

· 82 s1n

571

17.9. Odbijanje i prelamanje ravanskih talasa

(17.9.41) 1

Lit. 17. str. 61Z-613.

17. Ravanski elektromagnetski talasi

572

17.10. Prostiranje talasa u kontinualno nehomogenom dielektriku

573

gornja jednaeina postaje

(17.9.41) dobije: B.n=-1

(17.9.42)

B.p=l.

6E - ep.o

C:~

-

(17.10.7)

grad divE = 0.

Iz (17.10.5) sledi da je div(eE)- grade· E

17.10. Prostiranje talasa u kontinualno nehomogenom dielektriku. Metod geometrijske optike

+ edivE =

0,

odnosno

divE=-~ grade· E, e

Proucavanje prostiranja elektromagnetskih talasa u dielektricnim sredinama, Cija je dielektricna konstanta kontinualna i sporo promenljiva funkcija koordinata, moze se znatno uprostiti koriscenjem jednog aproksimativnog metoda poznatog pod imenom metod geometrijske optike. Ovaj metod, koji je siroko odomaeen u optici, dakle u podrucju elektromagnetskih talasa ekstremno kratkih talasnih duzina, moze se uspeilno koristiti i za makroelektromagnetske talase, pod uslovom da su promene dielektricne konstante sredine vrlo male na odstojanjima reda talasne duzine. Pokazuje se (vidi tekst stampan petitom) da i u slucaju nehomogenog dielektrika, koji ispunjava gore pomenuti uslov, komponente elektricnog i magnetskog polja moraju da zadovolje talasnu jednaeinu oblika LU-

n2 {)2U

pa se jednacina (17.10.7) maze napisati u obliku 2

(1e

grade· E

)

= 0.

(17.10.8)

Kada je e(x, y, z) sporo promenljiva funkcija grade je malo, pa se poslednji clan jednacine (17.10.8) maze zanemariti i ova dobija oblik

a2-E =0. 6E- ep.o at2

(17.10.9)

Jednacina (17.10.9) je po obliku identicna sa talasnom jednaeinom za homogeni dielektrik, s tim sto je sada dielektricna konstanta funkcija koordinata. Slicnim postupkom, eliminisuci E iz Maksvelovih jednacina, dobila bi se jednaeina istog oblika za magnetsko polje. Prema tome, svaka ad projekcija vektora elektricnog iii magnetskog polja mora da zadovolji skalarnu talasnu jednacinu oblika

(17.10.1)

~=0, 2 c ut

E

6E- ep.o a at 2 -grad

6U - ep.o

gdeje

a2 u

at 2 = 0.

Kada se traZe prostoperiodicna reilenja, moze se staviti

n=

c -v

= c..;eiiQ

indeks prelamanja sredine. Jednaeina (17.10.1) se razlikuje od one za homogeni dielektrik samo po tome sto je indeks prelamanja funkcija prostornih koordinata, n = n(x, v, z). U dielektriku cija je dielektricna konstanta funkcija koordinata e - e(x, y, z), a magnetska permeabilnost p. = p.o, Maksvelove jednacine imaju oblik rotH= eaE

at

rotEaH - -p.o--

at

U

(17.10.2)

(17.10.3)

div(eE) = 0

(17.10.5)

(17.10.4)

divH = 0.

(17.10.6)

Izvrsimo operaciju "rot" nad jednacinom (17.10.4) i pomocu (17.10.3) eliminisimo magnetsko poljc:

a a2 E rot rotE= -p.o at (rot H) = -eP.Ofii2·

= U(x, y, z)d·wt ,

pa jednaeina (17.10.1) postaje w2

L!l_

+ 2c

n 2!l_ = 0

(17.10.10)

U homogenom dielektriku (n = const.) jedno od reilenja jednacine (17.10.10) je eksponencijalna funkcija U = Ae-j~n(xcoso+ycos.B+zcos 1 ) '

(17.10.11)

koja, u kompleksnom naeinu pisanja predstavlja ravanski talas ciji pravac prostiranja sa koordinatnim osama x, y, z zaklapa uglove a, (3 i /, respektivno, a kome je brzina prostiranja faze cjn. Kada je indeks prela.manja funkcija koordinata, funkcija (17.10.11) ne zadovoljava diferencijalnu jednacinu (17.10.10). PotraZicemo stoga reilenje u

oblikn Posta je rot rotE = grad divE - 6E,

!l_

=

A(x, y, z)e-j.BoS(x,y,z),

(17.10.12)

17. Ravanski elektromagnetski talasi

574

17.10. Prostiranje talasa u kontinualno nehomogenom dielektriku

gde je (30 = wjc, a A(x, y, z) i S(x, y, z) realne, funkcije koordinata, od kojih prva odreduje amplitudu, a druga fazu talasa. Posta je

8U _ (8A ox OX

--

·a A8S) e -if3oS OX

575

povrsina S = So + dS se dobije ako se u svim taekama povrsine So u pravcu normale nanesu dl!Zi dl = dSjn, gde je n vrednost indeksa prelamanja u podnozju normale (sl. 17.20). Skup krajeva duzi dl predstavlja novu ekvifaznu povrsinu. Ponavljanjem opisanog postupka dobije se familija povrsina na kojima skalar S ima konstantne vrednosti.

-JJJO

2 2 2 2 8 U = [8 A _ 2 ·a 8A8S _ .(30 A8 S _ a2A (8S) ] -if3oS 8x2 8x2 JJJO ox ox J 8x 2 JJO ox e ' lako je pokazati da je laplasijan od U sledeceg oblika:

6!1_ = [D.A- 2j(30 grad A· gradS- jf3oAD.S -f35A(grad S) 2]e-if3oS.

(17.10.13)

Ako zadovoljimo diferencijalnu jednaeinu (17.10.10), unevsi u nju (17.10.13) i (17.10.12), dobije se

8A _ 2j gradA ·gradS_ j_D.S _ ( adS)2 f35A f3o A f3o gr

+n

2= O.

(17.10.14)

Kada je (30 vrlo veliko i pod uslovom da je D.A/A konaeno, prva tri clana jednaeine (17.10.14) se mogu zanemariti, pa jednaeina prelazi u oblik (grad S) 2 = n2,

(17.10.15)

odnosno 2

2 8S) ( ox

+

(8S) oy

+

2 (8S) = 2 8z n'

Sl. 17.21.

Sl. 17.20.

U procesu prostiranja talasa svaki element ekvifazne povrsine se pomera u pravcu sopstvene normale i obrazuje trajektoriju, koju nazivamo "zrak". Prema tome, karakter prostiranja ekvifaznih povrsina potpuno je odreden sistemom ortogonalnih trajektorija na familiju povrsina S(x, y, z) = canst. (sl. 17.21). Polazeci od jednaeine (17.10.15) maze se izvesti ¥aZan princip geometrijske optike, poznat kao Fermatov princip. Prema (17.10.15), lgradSI = n,

(17.10.16)

koji je poznat pod imenom jednacine ajkonala. Kada f3o = wjc raste, jednacina (17.10.16) predstavlja sve bolju aproksimacijujednaeine (17.10.14). U granicnom slucaju w ----> oo jednaeina ajkonala zamenjuje talasnu jednaCinu i predstavlja osnovnu jednaeinu geometrijske optike. Re8enj a diferencij alne jednaeine (17.10.16) predstavlj aj u j ednaeine ekvifaznih povrsina

S(x, y, z) =canst. Problem odredivanja sistema ekvifaznih povrsina S pomocu jednaeina (17.10.15-17.10.16) je resiv samo ako je poznata jedna ekvifazna povrsina So(x, y, z), koja predstavlja neku vrstu pocetnog uslova. Kada je zadata povrsina So onda se pomocu (17.10.15) lako konstruisu sve ostale. Ekvifazna

/

A

m

B

paje gradS=

nr,

(17.10.17)

gde je 7 vektor normale na ekvifaznu Sl. 17.22. povrsinu. Posta je linijski integral gradijenta po zatvorenoj konturi uvek jednak nuli, bice jednak nuli i linijski integral od grad S po zatvorenoj konturi AmBnA (sl. 17.22) ciji se deo AmB poklapa sa delom zraka koji prolazi kroz tacke A i B, a deo BnA ima proizvoljan oblik. Prema tome,

f

grad Sdl = {

grad Sdl

lAmB

{ lAmB

+ {

grad Sdl = 0,

lsnA

grad Sdl = { lAnE

grad Sdl.

17. Ravanski elektromagnetski talasi

576

Posta se deo putanje AmB poklapa sa zrakom, levu stranu gornjeg izraza mozemo pisati u obliku grad Sdl =

(

( lAmB

lAmB

ndl.

S druge strane, vodeCi racuna o (17.10.17), grad Sdl

(

= (

lAnB

n-Tdl::::; (

lAnE

ndl.

lAnB

Otuda

r

r

ndl::::;

lAmB

ndl.

(17.10.18)

lAnB

(17.10.18) predstavlja matematicku formulaciju Fermatovog principa. Linijski integral indeksa prelamanja, uzet izmedu dveju taeaka, ima najmanju vrednost aka se racuna duz putanje koja se poklapa sa trajektorijom talasa, odnosno svetlosnim zrakom. Po svakom drugom putu integral bi imao vecu vrednost. Dakle,

r

ddl

577

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

= minimum.

umnogome menja uslove prostiranja talasa koji dospeju u ave predele. Zbog interakcije izmedu jona i elektromagnetskog talasa, koja je naroeito znaeajna za talase ispod 30 MHz, dolazi do povijanja trajektorije talasa i ovaj, pod odredenim okolnostima, maze biti "reflektovan" prema zemlji. Termin "reflektovan" u ovom slucaju nije adekvatan samoj pojavi, jer se u stvari radi o postepenom prelamanju talasa koji prodiru u dubinu jonosfere, koja se formalno maze tretirati kao dielektrik cija se dielektricna konstanta postepeno menja sa visinom. ZahvaljujuCi osobini jonosfere da talase iz dekametarskog podrucja refiektuje uz relativno malo slabljenje, moguce je sa predajnicima snage reda nekoliko kilovata ostvariti radio-veze i na udaljenostima od vise hiljada kilometara. Da bi smo dobili sto jasniju i uprosceniju sliku o osnovnom mehanizmu delovanja jonosfere na radio-talase, apstrahovaeemo u prvi mah postojanje zemljinog magnetskog polja i uticaj sudara jona sa molekulima vazduha. Ova poslednja pretpostavka je prilicno bliska stvarnosti u najvisim, vrlo razredenim slojevima jonosfere. Posmatraeemo vrlo homogen i jednorodan jonski gas, koji sadrzi N slobodnih jona po jedinici zapremine. Neka su q i m elektricno opterecenje i masa jednog jona. Aka se gas podvrgne dejstvu prostoperiodicnog elektricnog polja

lAmB

E = Eocoswt,

Posta je c

na pojedinacne jane ce delovati sila

v

F = qE

n=-,

gde je c brzina prostiranja u vakuumu a v brzina prostiranja u posmatranom nehomogenom dielektriku, mozemo Fermatov princip pisati i u obliku C

1

-dl

=

AmB V

C

1

dt =

i ani ce vrsiti prinudno prostoperiodicno kretanje. Integrirajuci jednaeinu kretanja

.. ll1lll!InUm,

dv _ F dt- m

AmB

odnosno, ispustajuCi c,

= qEocoswt,

= J...Eocoswt m

nalazimo brzinu jona

r

dt

= minimum.

(17.10.19)

lAmB

Izmedu dve tacke elektromagnetski talas, odnosno svetlost, se prostire po trajektoriji po kojoj je vreme prostiranja najkraee.

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini Proucavanje prostiranja elektromagnetskih talasa u jonizovanoj sredini ima veliki znacaj za prakticnu radio-tehniku. Prisustvo slobodnih jona, a naroCito elektrona, u gornjim slojevima zemljine atmosfere (jonosfera)

v = _!!__Eo sin wt + vo, wm

gde je v0 pocetna brzina. U ovom slucaju v 0 predstavlja projekciju brzine termickog kretanja na pravac polja. Po8to nas interesuje kretanje velikog mnostva jona, mozemo staviti vo = 0, pa je

v

= _!!__Eo sin wt. wm

(17.11.1)

Joni koji se krecu obrazuju konvekcionu struju, cija je gustina Nq2 J = Nqv = --Eosinwt. wm

(17.11.2)

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

17. Ravanski elektromagnetski talasi

578

Ova struja, je, kao i polje, prostoperiodicna i fazno kasni za poljem za goo, sto znaei da je induktivnog karaktera. Pored konvekcione struje (17.11.2), koja je uslovljena prisustvom jona, u prostoru gde vlada promenljivo elektricno polje uvek postoji i Maksvelova struja pomeraja, cija je gustina dE . (17.11.3) c:o dt = -wc:oEo sm wt. Ova struja prednjaei pred poljem za goo i u protivfazi je sa jonskom, konvekcionom strujom. Ukupna gustina struje u prisustvu jonskog gasa data je zbirom gustine struje pomeraja i konvekcione struje:

Jtot

dE

= c:o dt +

(

2

• Nq ) J = -w c:o - w2 m Eo sm wt.

(17.11.4)

Ako se (17.11.4) uporedi sa izrazom za gustinu struje pomeraja (17.11.3), uocicemo da se uticaj prisustvajona ogleda u prividnom smanjenju 2 2 dielektricne konstante slobodnog prostora za iznos N q / w m. To znaei da se jonizovana sredina (zanemarivsi uticaj sudara jona i zemljino magnetsko polje) moze tretirati kao dielektrik cija je prividna dielektricna konstanta

(1 - c:owN ; m

i f = w j21f frekvencija talasa. VeliCina fc ima prirodnu frekvenciju i naziva se kriticna frekvencija jonizovane sredine. Posto slobodni elektroni u jonosferi imaju daleko najpretezniji uticaj na prostiranje, to se prilikom izraeunavanja dielektricne konstante i kriticne frekvencije jedino o njima i vodi raeuna. Ako se u formulu (17.11.7) unesu vrednosti za masu i elektricno opterecenje elektrona, dobije se prost izraz za kriticnu frekvenciju:

!c = Jso,5N

.

( f'1)

c =co 1- j2

'

(17.11.6)

gdeje Nq2 2 __ - 47f2com

fc

(17.11.7)

(17.n.g)

= -co = 1 - J2' .

dobija se da je brzina prostiranja faze

(17.11.5)

Ovu zaista jednostavnu teoriju o uticaju jonizovane sredine na radio-talase dali su Ekls (Eccles) i Larmor (Larmor), pa se po njima i naziva Ekls-Larmorova teorija. Pooto se u formuli (17.11.5) elektricno optereeenje jona javlja pod znakom kvadrata, izlazi da pozitivni i negativni joni na isti naein uticu na prividnu dielektricnu konstantu. Medutim, posto je ovaj uticaj obrnuto srazmeran masi jona, ocigledno je da ce u jonosferi pretezan uticaj na prostiranje radio-talasa imati slobodni elektroni. Uticaj slobodnog jona vodonika, koji je najlakSi pozitivni jon, bice za 1830 puta manji od uticaja elektrona, posto mu je masa 1830 puta veca od mase elektrona. Jasno je dace uticaj jona sa vecom tezinom biti jos manji. Izraz za prividnu dielektricnu konstantu jonizovane sredine moze se napisati u saZetijem obliku

J'1

c:

C:r

1 )

(17.11.8)

gde je N broj slobodnih elektrona u kubnom metru, a fc kriticna frekvencija u Hz. Kao sto vidimo, kriticna frekvencija zavisi samo od gustine slobodnih elektrona na posmatranom mestu u jonosferi. lspitajmo sada kakve su posledice prividne promene dielektricne konstante na prostiranje. TretirajuCi jonizovanu sredinu kao dielektrik relativne dielektricne konstante

2

c: = c:o

57g

c

V= ..j€ii0=

R;' r:

y~c;=

(17.11.10)

1--

p

a indeks prelamanja

n=

~=

yC:r

n2 1-

_E_

J2

(17.11.11)

Pada odmah u oCi da su sve tri gornje velicine zavisne od frekvencije, sto nije slucaj kod obicnih idealnih dielektrika. Relativna dielektricna konstanta jonizovane sredine je uvek manja od jedinice a moze biti cak i negativna kada je f < fc· Tek pri vrlo visokim frekvencijama, upravo kada je f » fc, njena vrednost je vrlo priblizno jednaka jedinici, sto znaei da jonizovana sredina prakticno nema nikakvog uticaja na prostiranje ovakvih talasa. Time se obja3njava cinjenica da ultrakratki i mikrotalasi prolaze kroz jonosferu sasvim neometano. Sa smanjenjem frekvencije smanjuje se i dielektricna konstanta, da bi pri frekvenciji koja je jednaka kriticnoj postala jednaka nuli. Sa daljim smanjenjem frekvencije, ispod kriticne, dielektricna konstanta postaje negativna. Slicne osobenosti pokazuje brzina prostiranja faze u zavisnosti od frekvencije talasa. Pri svim frekvencijama f > fc brzina prostiranja faze je veca

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

580

581

17. Ravanski elektromagnetski talasi

od brzine svetlosti c i ovoj se asimptotski pribliZava kada f --4 oo. Pri f = fc brzina prostiranja faze je beskonaena, a pri frekvencijama koje su nize od kriticne ona je imaginarna, sto znaei da je propagacija talasa nemoguca. Na sl. 17.23 je prikazan dijagram zavisnosti fazne brzine od frekvencije. Okolnost, da je pri frekvencijama visim od kriticne brzina prostiranja faze veca od brzine svetlosti c, nije nimalo u protivurecnosti sa principom savremene fizike da je brzina svetlosti apsolutno najveca brzina u prirodi. Nairne, kao sto je vee napomenuto u cl. 17.5, a sto ce biti i pokazano u sledecem clanu, brzina prostiranja faze ne predstavlja realnu brzinu kojom se prostiru signali i elektromagnetska energija kroz disperzivne sredine, u koje spada i jonizovana sredina. Brzina prostiranja faze je cisto kinematska veliCina vezana za idealan Sl. 17.23. prostoperiodicni talas, bez pocetka i kraja, i zbog toga je nemoguce zamisliti fizicki eksperiment kojim bi se ona mogla direktno izmeriti. Ostaje jedino da se fazna brzina shvati kao odnos talasne duzine, merene u disperzivnoj sredini, i periode talasa:

>.

v=

r·

Jedina brzina koju je moguce meriti direktnim fizickim metodama je tzv. grupna brzina v 9 , a to je brzina kojom se prostiru signali (na primer talasni impulsi ili celo emitovanog talasa) kroz disperzivnu sredinu. Kao sto ce biti pokazano u cl. 17.12, izmedu fazne i grupne brzine u jonizovanoj sredini postoji prosta veza VVg

= C2 ,

(17.11.12)

pa je

v9 =

cy[ I[iI 1-

(17.11.13)

Na sl. 17.23, uporedo sa faznom brzinom, prikazana je zavisnost grupne brzine od frekvencije. Pri kriticnoj frekvenciji grupna brzina je jednaka nuli i sa porastom frekvencije asimptotski se priblizava brzini svetlosti. 17.11.1. Prelarnanje talasa u jonosferi. Posle prethodne analize koja se odnosi na homogeno jonizovanu sredinu, razmotricemo ponailanje talasa u

jonosferi, kod koje se gustina elektrona menja kontinualno sa visinom, pocev od nulte vrednosti na donjoj granici jonosfere. Pod dejstvom ultraljubicaste sunceve svetlosti, a i pod uticajem nekih drugih agensa, kao sto su X i gama sraci, meteori i neke korpuskularne radijacije poreklom sa sunca, spoljni slojevi zemljine atmosfere se jonizuju i obrazuju jonizovani omotae oko zemljine lopte, koji nazivamo jonosferom. Vee na visinama od oko 50 km koncentracija slobodnih elektrona je tolika da se pocinje osecati njihov uticaj na prostiranje radio-talasa. Pocev od ove visine gustina elektrona nepravilno raste i opada, prikazujuCi pri tome nekoliko izrazitih maksimuma, da bi najzad na visinama preko 50D-600 km postala beznaeajna. Nivoi na kojima se javljaju maksimumi jonizovanosti nazivaju se slojevima. U stvari, ovde se ne bi mogao upotrebiti naziv sloj u pravom smislu te reci, jer se ne radi o podvojenim slojevirna vee o jedinstvenoj jonosferi. Pojava slojeva je uslovljena razliCitim sastavom i gustinom atmosfere na razlicitim visinama, kao i raznolikoscu agensa koji ucestvuju u procesu jonizacije. Gustina jona (elektrona) i visina pojedinih slojeva, pa cak i njihov broj, posmatrani izmid jedne taeke na zemljinoj povrsini, menjaju se u zavisnosti od lokalnog vremena (doba dana), godisnjeg doba, a iz godine u godinu. No, ipak treba naglasiti da postoji izvesna zakonitost u formiranju ovih slojeva i periodicnost u zavisnosti od jedanaestogodiSnjeg perioda aktivnosti suncevih pega. 2 U dnevnim casovima normalno se zapa:laju cetiri glavna sloja, koja obelezavamo simbolima D, E, F 1 i F 2 koji leze jedan iznad drugog redom kako su pobrojani. U toku noci sloj D potpuno iScezava, sloj E ostaje samo u rudimentima, a slojevi F 1 i F2 se stapaju u jedinstveni noeni sloj F. Na sl. 17.24 i 17.25 je prikazana tipicna zavisnost gustine elektrona od visine za jonosferu na srednjim, geografskim sirinama sl. 17.24a i b prikazuju stanje u podne jednog letnjeg i jednog zimskog dana, dok sl. 17.25a i b prikazuju ponocnu raspodelu. Na apcisama dijagrama su pored gustine elektrona nanesene i odgovarajuce kriticne frekvencije, obraeunate po obrascu (17.11.8). U cilju ilustracija dnevnih varijacija stanja jonosfere, na sl. 17.26 su prikazane promene kriticnih frekvencija u maksimumima pojedinih slojeva u zavisnosti od lokalnog vremena. Posle ovih sasvim sumiranih informacija o regularnim jonosferskim slojevima razmotricemo neke osnovne aspekte prostiranja u jonosferi, tretirajuCi je kao nehomogen dieiektrik cija se dielektricna konstanta, obnosno indeks prelamanja, kontinualno menja sa visinom. Zbog jednostavnijeg razmatranja pretpostavicemo da jonosfera predstavlja jedinstven sloj, kod koga gustina elektrona monotono raste iduci od donje granice sloja ka maksimumu jonizovanosti, a da zatim monotono opada do nule na gornjoj granici sloja. Imajuci u vidu stvarnu raspodelu gustine elektrona, prikazanu dijagramima 2 Detaljnija obavestenja o strukturi jonosfere i o njenom uticaju na prostiranju radio-talasa citalac mozc naei u knjizi J. Surutka: Jonosfera, Vojno delo, Beograd, 1960.

17.11. Prastiranje talasa u janizavanaj sredini

17. Ravanski elektromagnetski talasi

582

kriticna ucestanost u MHz 400

01234

5

6

300

VH

"' 200

"'o:l

"iil ·;; 100

0

8

400

5

6

7

I

"'

F1

~

o:l

"iil

·;: 100

4·10 11

6·10 11

elektrana pa m3

0

8·10 11

0

6

5 4

padnej zima

3 2

D

2·10 11

8 7

_;;F2

"'200 padne -leta

8

I

]

~·r 0

01234

300

)F2

]

9

kriticna ucestanost u MHz

7

583

I 2·10 11

4·10 11

6·1011

elektrana pa m3

1

8·1011

0

0

I I

4

8

16

12

20

24

b)

a)

81. 17.26.

81. 17.27.

81. 17.24.

..>:

"' .!3

\

'IF

] 300

I/

"'~

"' 200

·~

panac -leta I

100 0

.

400

400 e 3oo

0

rna izmedu slojeva primeniti Snelov zakon prelamanja. Ako sa no, n~, n 2, . . . obelezimo indekse prelamanja paralelnih homogenih slojeva, a sa eo, e~, e2 . . . uglove koje odgovarajuCi delovi izlomljene trajektorije zaklapaju sa vertikalom, za pojedine granicne povrsine mozemo pisati

krititna utestanast u MHz

krititna utestanast u MHz

2·1011

4·10 11

6·1011

LF

1___.....-

no sin eo = n1 sin e1 n1 sin e1 = n2 sin e2 itd.,

200

:~

panac -·zima I

100

8·1011

elektrana po m3

0

0

2·1011

4·1011

6·1011

no sin eo = n1 sin e1 = n2 sin e2 = ... = const. 8·10 11

elektrana pa m 3

b)

a)

paje

81. 17.25.

na sl. 17.24-17.25, Cini se da je ovakva pretpostavka potpuno opravdana. Sem toga, za jedan talas koji se reflektuje u sloju F2, nizi slojevi E i F 1, cije su kriticne frekvencije znatno nize, imaju malog uticaja na povijanje trajektorije. Posto se indeks prelamanja u jonosferi vrlo sporo menja sa visinom (merenom u talasnim du:Zinama), mozemo u analizi koristiti metod geometrijske optike i posmatrati trajektorije (zrakove) duz kojih se prostiru elementi ekvifaznih povrsina. Posmatrajmo zrak koji, emitovan sa zemlje, upada u jonosferu pod uglom eo prema vertikali (sl. 17.27). Da bismo odredili njegovo dalje ponai"ianje zamislicemo da je jonosfera saCinjena iz velikog broja homogenih, horizontalnih slojeva vrlo male debljine, pa cemo na granicnim povrsina-

PrelazeCi sa slojevitog modela na stvarnu jonosferu, kod koje se indeks prelamanja menja kontinualno sa visinom, trajektorija postaje kontinualna kriva (sl. 17.28) kod koje u svakoj taeki vaii zakon

n sine = const.

(17.11.14)

Posto je indeks prelamanja na donjoj granici jonosfere jednak jedinici, n 0 = 1, (17.11.14) se moze pisati u obliku

81. 17.28.

nsine =sin eo,

(17.11.15)

gde je eo ugao pod kojim talas upada u jonosferu. Posta indeks prelamanja,

n-

v1- /l v1j2 =

80,5N j2 )

584

17. Ravanski elektromagnetski talasi

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

postepeno opada sa visinom sve dok gustina elektrona raste, ugao fJ mora rasti, sto zna.Ci da je trajektorija, bar u pocetnom delu, konkavna prema zemlji. Pod odredenim uslovima koji zavise od ugla upadanja talasa, frekvencije i gustine elektrona u maksimumu jonizacije sloja, ugao f) ce se povecavati sve dok tangenta na trajektoriju ne postane paralelna zemljinoj povrsini (fJ = 90°). Ovo mesto predstavlja teme trajektorije, tj. najviSu ta.Cku do koje je talas dopro u jonosferi. Od ove ta.Cke, nadalje, trajektorija se simetricno povija nadole i talas biva "reflektovan" prema zemlji. U temenu trajektorije indeks prelamanja ima vrednost nT =sin fJo.

(17.11.16)

Posto je n funkcija od frekvencije i visine, maksimalni nivo do koga dopre talas u jonosferi zavisi samo od ugla upadanja, fJ 0 , i frekvencije, a uopste ne zavisi od toga po kakvom se zakonu menja gustina elektrona od donje granice jonosfere do temena trajektorije. Kada je talas emitovan vertikalno, tj. pod uglom fJo = 0, once, shodno obrascu (17.11.16), prodreti do nivoa na kome je indeks prelamanja za datu frekvenciju jednak nuli. Do istog zakljucka smo mogli doCi i direktno, bez pozivanja na Snelov zakon, jer talas ne moze proCi preko nivoa na kome je fc =f. U prethodnim razmatranjima precutno je pretpostavljeno da je najviSa ta.Cka do koje prodire talas niZa od nivoa gde koncentracija elektrona Sl. 17.29. u sloju ima maksimum. Ovaj uslov ce utoliko pre biti zadovoljen ukoliko je frekvencija talasa niza. Medutim, pri visim frekvencijama moze se desiti da uslov (17.11.16), odnosno uslov n = 0 pri vertikalnom upadanju, ne bude ostvaren pre nego sto talas dopre do nivoa maksimalne koncentracije elektrona. U tom slucaju talas probija sloj. Posto iznad maksimuma gustina elektrona opada, indeks prelamanja raste sa visinom, pa se trajektorija povija na suprotnu stranu (sl. 17.29). Po izlasku iz jonosfere trajektorija postaje paralelna samoj sebi na delu pre ulaska u jonosferu. lzve8cemo sada jednostavnu ali vaZnu teoremu koja daje vezu izmedu frekvencija vertikalno emitovanog i koso emitovanog talasa, koji prodiru do istog nivoa u jonosferi. Neka je f frekvencija vertikalno emitovanog talasa, a f' frekvencija talasa koji upada u jonosferu pod uglom fJo. Vertikalno emitovani talas prodire u unutra8njost jonosfere sve dok ne naide na nivo na komc je indeks prelamanja jednak nuli, iii, sto je isto, dok ne naide na nivo

585

na kome je kriticna frekvencija jednaka frekvenciji talasa: f=f~.

(17.11.17)

Talas frekvencije f~, koji u jonosferu upada pod uglom fJo, prodrece do nivoa na kome je indeks prelamanja jednak sinusu upadnog ugla: nT

=

v[ if2f = . 1 -

f)

Sill O·

Posle jednostavnog preuredenja jedna.Cina se moze dovesti na oblik

f' cos fJo =

fc·

(17.11.18)

Ako postavimo uslov da oba talasa prodiru do istog nivoa u jonosferi, onda desne strane jedna.Cina (17.11.17) i (17.11.18) moraju biti jednake (kriticna frekvencija fc = J80, 5N zavisi iskljucivo od gustine elektrona na posmatranom nivou). Eliminacijom fc se dobije odnos

!'= cos_!fJo

=

f

sec fJo

(17.11.19)

koji treba da zadovolji dve frekvencije. Relacija (17.11.19) iskazuje tzv. zakon sekansa ili Martinov (Martyn) zakon. Posto je maksimalna frekvencija koju sloj m0Ze reflektovati pri vertikalnoj incidenciji (fJ0 = 0) jednaka kriticnoj frekvenciji u maksimumu jonizovanosti sloja, fcma.x, onda, prema zakonu sekansa, taj isti sloj pri kosoj incidencij i moze reflektovati. frekvencij u

!' =

fcma:xsecfJo,

(17.1l.20)

koja je veca od kriticne za faktor sec fJ0. Posto ugao fJo zavisi od rastojanja izmedu ta.Cke emisije i ta.Cke prijema, lako je zakljuciti da ce maksimalna frekvencija na kojoj, se moze ostvariti radio-veza biti utoliko veca ukoliko je rastojanje izmedu korespondenata vece. Maksimalna frekvencija sa kojom je moguce ostvariti radio-vezu na odredenom rastojanju naziva se MU F (prerna inicijalima engleskog izraza "maximum usable frequency"). MUF zavisi iskljucivo od stanja jonosfere u okolini ta.Cke refleksije i rastojanja korespondenata. Ako se ne vodi ra.Cuna o slabljenju talasa, veza je, bar u principu, moguca pri svakoj frekvenciji koja je niza od MUF-a. Medutim, kao sto ce biti pokazano u cl. 17.11.2, slabljenje talasa u jonosferi opada sa frekvencijom, pa se zbog toga tezi da frekvencija bude sto viSa,upravo sto pribliznija MU F-u. Prakticni postupak za odredivanje MU F-a na osnovu podataka o stanju jonosfere detaljno je izlozen u ranije citiranoj knjizi od istog autora. Na sl. 17.30 prikazane su trajektorije talasa zra.Cenih pod razliCitim uglovima prema vertikali i to za slucaj kada je frekvencija talasa visa od kriticne frekvencije sloja u maksimumu jonizovanosti, fcma:x· Trajektorije su racunate pod pretpostavkom da se gustina elektrona menja po parabolicnom

17. R.avanski elektromagnetski talasi

586

1

2

.. ,...

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

587

poluprecnika drnin· Sa poveeanjem ugla emitovanja preko vrednosti Omin domet se postepeno poveeava (trajektorije 6 i 7). Uz pretpostavku da je zemlja ravna i jonosfera horizontalno poslojena sa poveeanjem ugla e domet neprestano raste i pri = 90° postaje beskonaean. u stvarnosti, medutim, veliCina dometa u jednom skoku je ogranicena zakrivljenoscu zemljine povrsine i jonosfere. Zanimljivo je da pri odstojanjima veCim od dmin na jedno mesto prijema mogu stiCi dva zraka, na primer, 4 i 6, koji su zraeeni pod razliCitim uglovima. Talas zracen pod manjim uglom (trajektorija 4) prodire dublje u jonosferu. Poluprecnik mrtve zone zavisi od frekvencije i stanja jonosfere u posmatranom trenutku. On je utoliko veCi ukoliko je frekvencija emitovanog talasa visa. Ocigledno je da za rastojanje izmedu taeke emisije i tacke prijema koje je jednako poluprecniku mrtve zone frekvencija f predstavlja MU F. Na sl. 17.31 su prikazane trajektorije talasa za tri karakteristicna slucaja:

e

~

:~ N

mrtva zona - dmin

b)

a)

Sl. 17.30.

zakonu u zavisnosti od visine. Takode je pretpostavljeno da je zemlja ravna i da je jonosfera horizontalno poslojena. Vertikalno zraceni talas, predstavljen trajektorijom 1, kao i svi talasi zraeeni pod uglovima e manjim od ekrit> probijaju jonosferu. Talas zraeen pod kriticnim uglom, O~ait, tzv. Pedersenov talas, koji je predstavljen trajektorijom 3, ostvaruje uslov refieksije bail na nivou maksimalne koncentracije elektrona i nastavlja da se prostire u horizontalnom pravcu kroz sredinu sloja, sve mrtva zona dok ne naide na neku nehomogenost f >!em•• u jonosferi i skrene ili prema zemlji ili u slobodan prostor. Pri uglovima veCim od kriticnog sve trajektorije se pojavljuju prema zemlji (trajektorije 4,5,6). Sa poveeanjem ugla preko kriticne vrednosti, daljina dometa vrlo brzo opadne na minimalnu vrednost (trajektorija 5) koja odgovara poluprecniku mrtve zone pri datoj frekvenciji. Talas cija je frekvencija F visa od kriticne frekvencije sloja Sl. 17.31. fcmax ne maze ni pod kakvim uslovima dosegnuti neku tacku na povrsini zemlje koja se nalazi unutar mrtve zone. Aka je jonosfera homogeno jonizovana u horizontalnoj ravni, mrtva zona je kruzna povrsina odredenog

:.~·~~7:~;::-\(4!~(-\tl'~··>:~.

e

J<

fcmax,

J>

fcma.x,

J»

fcma.x,

vodeCi raeuna o zakrivljenosti zemlje i jonosfere. Zbog zakrivljenosti zemljine povrsine i jonosfere domet radio-veze u jednom skoku je ogranicen na oko 4000 km. Kod vecih rastojanja radio-veza se ostvaruje u vise skokova, pri cemu talas, pre nego sto dospe do mesta prijema, izvrsi viSe uzastopnih refieksija izmedu jonosfere i zemljine povrsine. 17.11.2. Slabljenje talasa u jonizovanoj sredini. Prilikom izvodenja izraza za indeks prelamanja bio je zanemaren uticaj sudara elektrona sa molekulima neutralnog gasa, mada u stvarnim uslovima ova pojava igra znaeajnu ulogu, jer prouzrokuje slabljenje talasa koji se prostiru kroz jonizovanu sredinu. Elektromagnetski talas, kada prodre u jonizovanu sredinu, dovodi elektrone u stanje prinudnog oscilovanja i posredstvom elektricnog polja ovima predaje deo svoje energije. Ova energija prelazi u kineticku energiju elektrona i, kada nema sudara elektrona sa neutralnim molekulima gasa, u potpunosti se vraea talasu u poluperiodama kada se elektroni usporavaju. Medutim, u realnim uslovima koji vladaju u jonosferi, i pored velike razredenosti gasa, sudari elektrona sa neutralnim molekulima su neizbezni. Prilikom ovih sudara elektroni gube deo energije koju su dobili od talasa i predaju je neutralnim molekulima. Za talas je ovaj deo energije izgubljen, jer izmedu neutralnih molekula i polja ne postoji nikakav mehanizam interakcije, Cijim bi se posredstvom ova energija mogla vratiti talasu. Posledica ovog gubitka energije je slabljenje talasa. I bez neke detaljnije analize maze se ocekivati da ce slabljenje talasa biti utoliko vece ukoliko je veCi srednji broj sudara koje pretrpi jedan elektron u jedinici vremena i ukoliko je broj elektrona u jedinici zapremine veci.

17. Ravanski elektromagnetski talasi

588

589

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

Pre nego sto pristupimo izvodenju izraza za slabljenje podseticemo se na jedan dobro poznati stav kineticke teorije gasova. Neka je n(r) broj cestica u jedinici zapremine koje u intervalu r putuju bez sudara. Ukoliko je interval r duii broj n ce biti manji, sto znaei da je n(r) opadajuca funkcija duzine intervala. Diferencijal dn ce, ocigledno, biti negativan i srazmeran sa dr in;

Ovih dn jona, krecuCi se brzinom v, obrazuju konvekcionu struju, kojoj je diferencijal gustine

dJ

T

gde je a konstanta srazmernosti. Integraljenjem nalazimo

J

n = Ae-ar.

(17.11.21)

Posto je za r = 0 broj cestica koje su putovale bez sudara jednak ukupnom broju cestica u jedinici zapremine N, nalazimo da je A= N. Diferencijal dn predstavlja broj cestica kod kojih trajanje slobodnog kretanja bez sudara iznosi izmedu r i r + dr. Ako jeT srednje trajanje kretanja bez sudara, onda je T =-

1

. -rdn = -

r=O

N

1= 0

I

= 0

Nq2v . -.--E0 e1wt JWm

do

T

= 00:

1oo (1- e- .w )e-vr dr + Nqv 1

7

0.

0

Posto je srednja vrednost brzina posle sudara, vo, jednaka nuli, ima se, posle integracije,

J = Nq2_1__-Eoefwt_ m v+Jw

(17.11.23)

Ako se izrazu (17.11.23) doda gustina struje pomeraja

dD . E _iwt dt = JWC:o Ot:"' , dobija se gustina totalne struje 2

T

Jtot

(17.11.22)

Predimo sada na odredivanje ekvivalentne dielektricne konstante jonizovane sredine, vodeCi racuna o sudarima jona (elektrona) sa neutralnim molekulima gasa. Kada se polje menja po prostoperiodicnom zakonu mozemo primeniti metod kompleksnog raeuna, pa je ubrzanje jona

dv - q E efwt dt- m 0 · Ako je v 0 projekcija brzine na pravac polja posle poslednjeg sudara, koji se desio u trenutku t- r, brzina jona u trenutku t je

i

t q ·wt q 'wt - "wt -Eoel dt+vo=-.-Eoel (1-e 1 )+vo. t-r m JWm

Broj jona koji imaju gornju brzinu identican je sa brojem jona kod kojih trajanje kretanja bez sudara iznosi izmedu r i r + dr, dakle,

dn = -Nve-v7 dr.

dr.

00

Odavde nalazimo da je a = 1/T. Posto se srednji broj sudara jedne cestice u jedinici vremena v = 1/T, izlazi da je a= v, pa je

v=

=

e-ar) rd(e-a 7 ) = - re-ar+-a 0

n = Ne-vr.

7

Ukupna gustina struje se dobije integraljenjem gornjeg izraza u granicama

dn = -andr,

00

= qvldnl = qvNve-v

Nq 1 . ) E 01':"' _iwt • = ( -----.+ JWC:o m v+Jw

Ako se jw izvuce kao zajednicki faktor i stavi Nq 2 jmc:0 = w~, preostali deo u zagradi predstavja ekvivalentnu dielektricnu konstantu jonizovane sredine u kompleksnom obliku:

w~

s.=c:o ( 1- 2 v+w 2

)

. c:ow~v -J ( 2 ). wv+w 2

(17.11.24)

Ako se (17.11.24) uporedi sa kompleksnom dielektricnom konstantom poluprovodne sredine .a §_=C:-J-, w

vidimo da se jonizovana sredina, u kojoj sudari nisu zanemareni, pona8a kao poluprovodnik dielektricne konstante

c: = t:o

(1 - 2w~ 2) v +w

(17.11.25)

i provodnosti

a-

EOW~V v2

+ w2·

(17.11.26)

590

17. Ravanski elektromagnetski talasi

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

Za v = 0 provodnost je jednaka nuli, a izraz za dielektricnu konstantu prelazi u (17.11.6). Po8to je za dielektrike male provodnosti (v. cl. 17.5.1) konstanta slabljenja

a=~ {f

2V€'

na osnovu (17.11.26) lako se dobije 1 vw 2 a=----c 2 2 2c (v + w )n'

(17.11.27)

Posto je w~ srazmerno broju slobodnih elektrona N, konstanta slabljenja je srazmerna proizvodu vN, sto znaei dace biti najveca u onom sloju jonosfere gde je taj proizvod najveei. Da bismo dobili jasnu predstavu o uticaju pojedinih slojeva na slabljenje talasa, izraeunaeemo reciprocnu vrednost slabljenja 1/a (duzina puta na kome intenzitet polja opadne za 1 Neper) za dva sloja, E i F 2 , za koje raspola:lemo prilicno taenim podacima, i to za frekvenciju f = 20 MHz. Stavimo li za sloj E, u podnevnim casovima, da je N = 2 · 1011 elektrona po kubnom metru i v = 3, 5 · 105 sudara u sekundi, dobije se pomocu obrasca (17.11.27) 1 - = 40000 m a

Za sloj F 2 , gde je N

= 10 12

= 40 km.

elektrona/m3 i v

= 350 s- 1 ,

dobije se

1 - = 8000km. a

lz prethodnog primera se jasno vidi da odlucujucu ulogu u pogledu slabljenja imaju nizi slojevi atmosfere gde je, zbog vece gustine vazduha, broj sudara neuporedivo veci nego u visim slojevima. Istina, u donjim slojevima opada broj slobodnih elektrona, ali je ovo opadanje nesrazmerno manje od porasta broja sudara. Narocito znaeajnu ulogu u pogledu slabljenja ima sloj D, koji se proteze izmedu 50 i 90 km visine i javlja se samo izmedu izlaska i zalaska sunca. Zbog male gustine elektrona Uc = 0, 5 MHz) indeks prelamanja za dekametarske talase vrlo je blizak jedinici, te ovi talasi prolaze kroz sloj D skoro pravolinijski. Zavisnost konstante slabljenja od frekvencije talasa dosta je slozena u opstem slucaju, jer i indeks prelamanja n, koji se javlja u obrascu (17.11.27), zavisi od frekvencije. Kada je v 2 + w 2 = w~, diclektricna konstanta (v. 17.11.25) i indeks prelamanja su jednaki nuli, pa konstanta slabljenja tezi bezkonacno velikoj vrednosti. Medutim, u velikom broju slucajcva koji su za praksu od narocitog in teresa, frekvcncija talasa jc

591

znatno viSa od kriticne frekvencije jonizovanih slojeva (daleke radio-veze se po pravilu ostvaruju na visokim frekvencijama) tako da se indeks prelaman ja dliZ cele putanje ne razlikuje mnogo od jedinice. Ovo naroeito va:li za sloj D u kome je slabljenje najjaee. U tom slucaju (f » fc) konstanta slabljenja je vrlo pribliZno obrnuto srazmerna kvadratu frekvencije. Ova Cinjenica ima prvorazredan znaeaj za projektovanje i eksploataciju radio-veza na kratkim talasima i obja§njava za§to se u radio-vezama preko jonosfere koriste sto je moguce vise frekvencije. Naravno, radna frekvencija ne sme biti viSa od MUF-a., jer se u protivnom slucaju radio-veza ne moze ostvariti. Posto se MUF neprestano menja u toku dana i ima maksimalnu vrednost u podnevnim casovima, ba§ kada je i slabljenje, najvece radne frekvencije se menjaju viSe puta u toku dana, pri cemu se one najvise biraju u podnevnim casovima. Slabljenje koje prouzrokuje sloj D naroCito je veliko za frekvencije koje su bliske kriticnoj frekvenciji sloja, a to znaei za hektometarske talase koji se upotrebljavaju u srednjetalasnoj radio-difuziji. Zbog toga se po danu, kada postoji sloj D, moze primati samo talas koji se prostire po povrsini zemlje (povrsinski talas). Posto je slabljenje povrsinskog talasa dosta intenzivno, domet srednjetalasnih stanica je po danu ogranicen na relativno malo podrucje oko stanice. Nocu, odmah po zalasku sunca, sloj D iscezava i na udaljena mesta stizu talasi koji se malo oslabjeni odbijaju od jonosfere. 17.11.3. Uticaj stalnog magnetskog polja na prostiranje u jonizovanoj sredini. Prisustvo stalnog magnetskog polja, na primer, zemljinog, cini da jonizovana sredina dobija anizotropna svojstva, slicna anizotropnim svojstvima dvostruko prelamajuCih kristala. Analiza poka.zuje da se talas u ovakvoj sredini moze prostirati dvema razlicitim brzinama prostiranja faze. Ovo prakticno znaei da se linijski polarizovan talas cepa na dva u opstem slucaju elipticki polarizovane komponente sa suprotnim smerovima rotacije, od kojih se svaka prostire sopstvenom brzinom prostiranja faze. Brzina prostiranja i indeks prelamanja zavise od orijentacije stalnog magnetskog polja Ho u odnosu na pravac prostiranja i vektor elektricnog polja talasa. Za razliku od postupka koji smo primenili u cl. 17.11, ovoga puta cemo iCi na direktno tra:lenje re8enja Maksvelovih jednaeina, 3 rotH =jwc:oE+J rotE= -jwp,oH. Pri tome cemo voditi raeuna da veza izmedu gustine struje i jaeine elektricnog polja vise nije data lokalnim oblikom Omovog zakona, vee slozenim zakonom koji cemo postaviti na temelju jednaeina kretanja jona u polju Ho pod dejstvom promenljivog elektricnog polja. Ako zanemarimo sudare, na jon dejstvuju sledece sile: 3

Zbog jcdnostavnijcg pisanja komplcksnc vclicinc necc se poscbno obclczavati.

17.11. Prostiranje talasa u jonizovanoj sredini

17. Ravanski elektromagnetski talasi

592

qE - sila kojom dejstvuje promenljivo elektricno polje talasa, p, 0 qv x Ho - elektromagnetska sila usled kretanja jona u stalnom magnetskom polju, i p, 0 qv x H - elektromagnetska sila koja protice od promenljivog magnetskog polja talasa.

Posto je u slucaju jonizovane sredine

H < {[riE,

VMo

tromagnetske sile je manji od

intenzitet druge elek-

odnosno, uvodeCi kompleksne velicini,

= qE + p,oqv x Ho.

(17.11.28)

Da bismo pojednostavili analizu i ucinili je sto preglednijom, posmatracemo specijalan slucaj tzv. longitudinalne propagacije, kada je stalno magnetsko polje orijentisano u pravcu ose prostiranja. Ako za osu prostiranja usvojimo x-osu, onda je Hox = Ho, Hoy = 0 i Hoz = 0, pa se vektorska jednacina (17.11.28) raspada na tri sledece skalarne jednacine: jwmvx = qEx

Ako se prethodne jednacine rese po komponentama elektricnog polja, a zatim se desne strane pomnoze i podele sa N · q, dobice se sistem jednacina koje daju vezu izmedu komponenata elektricnog polja i komponenata gustine struje:

E yEzY=

m jw Nq2Jx MoHo Jz Nq m +jw-2Jz. Nq -

fz(Ey,Ez)

= !J(Ez,Ey),

Jz

koje zamenjuju lokalni oblik Omovog zakona. Cinjenica da komponenta gustine struje u pravcu jedne ose zavisi i od jacine polja u pravcu druge ose jasno ukazuje na anizotropan karakter sredine. Napisimo sada Maksvelove jednacine u skalarnom obliku, vodeCi racuna da komponente polja ne zavise od koordinata y i z:

z

ox

8Hy ox

. 8Eo- -JWp,oH

+ Jx -

. = JWcoEy + Jy

z

X

8x = -jwp,oH 8E y _y_-

= jwcoEz + Jz

(17.11.30)

.

8x - -JWP,oHz.

Ako se orijentisemo na traZenje, reilenja u vidu progesivnog talasa koji se prostire u pozitivnom smeru x-ose, zavisnost komponenata od koordinate x se moze predstaviti eksponencijalnom funkcijom e-jf3xe-jw~x.

U tom slucaju izvodi komponenata po x se mogu pisati u obliku

8 . n -···=-JW-···' ox c

Ex=-~ jwco

E y-- -

Jy jwc0 (1- n2)

=_

Jz jwc0 (1 - n2)

Ez m +jw N 2JY p,ofto + ----·.ly Nq

=

Jy

pa sistem jednacina (17.11.30) prelazi u sistem algebarskih jednacina. Ako se iz sistema eliminisu komponente magnetskog polja dobije se novi sistem jednacina koje povezuju komponente elektricnog polja i komponente gustine struje:

+ P,oqvzHo

jwmvz = qEz - P,oqvyHo.

Ex=

= h(Ex)

Prva jednacina na desnoj strani pokazuje da je magnetsko polje strogo transverzalno na pravac prostiranja (Hx = 0), sto nije slucaj sa elektricnim poljem.

dv m dt = qE+p,oqv x Ho.

jwmvy = qEy

Jx

-

S obzirom da je v « c, elektromagnetska sila usled magnetskog polja talasa se moze zanemariti u odnosu na silu usled elektricnog polja. Prema tome, jednacina kretanja jona ima oblik:

jwmv

Ako bi se prethodni sistem reilio po Jx, Jy i .Jz dobile bi se relacije oblika

8HO = jwcoEx

v -qE. c

593

(17.11.29)

(17.11.31)

Ako sc iz jednacina (17.11.29) i (17.11.31) eliminisu komponente elektricnog polja, dobije sc sistem homogenih jednacina iz kojih se odreduje

17.12. Brzina prostiranja grupe

indeks prelamanja n:

(1- X)Jx

595

17.12. Brzina prostiranja grupe

17. Ravanski elektromagnetski talasi

594

= (l - 1

=0

~n2) Jy -jY Jy

+jY Jz = 0

+

(1- ~) 1-n

Jz =

(17.11.32)

0

gde je zbog skra.Cenja pisanja stavljeno 2

X=

We

Y=

WH

Nq2 c:om' = J.LoqH0 m

2 We=

w2

WH

w

Da bi sistem (17.11.32) imao re8enje potrebno je da determinanta obrazovana od koeficijenata uz Jx, Jy i Jz budejednaka nuli. Determinanta predstavlja kvadratnu jedna.Cinu po n 2 , pa se njenim re8avanjem dobije

n

2

X Y' = 1- ±

(17.11.33)

1

odnosno

n=

1-

(wefw)2 l±wHfw·

(17.11.34)

f(t) = a(t)e:il1ot.

Kao sto vidimo, indeks prelamanja ima dva re8enja (ostala dva koja odgovaraju negativnom znaku pred korenom nemaju fizickog smisla), sto zna.Ci da postoje i dve razliCite brzine prostiranja faze. U specijalnom slucaju kada je Ho = 0, Y = 0 i WH = 0, pa izraz (17.11.34) prelazi u (17.11.11). Pokaza.Cemo sada da razlicitim indeksima prelamanja odgovaraju dva kruzno polarizovana talasa, ciji vektori polja rotiraju u razlicitim smerovima oko ose x. Iz jedna.Cina (17.11.31) sledi da je odnos transverzalnih komponenata elektricnog polja Ey/Ez = Jy/Jz, pa se iz trece jedna.Cine (17.11.32) dobije X l--Jy Ey . 1- n 2 - = - = -J Ez Jz Y 2

Ako se u prethodnu relaciju unese vrednost za n iz (17.11.33), dobije se Ey

.

E=±J, z

cime je prethodna tvrdnja dokazana.

Kao sto je vee nagla8eno u cl. 17.5 i 17.11, u disperzivnim sredinama i transmisionim sistemima, gde brzina prostiranja faze zavisi od frekvencije, signali i elektromagnetska energija se prostiru grupnom brzinom, koja je razlicita od brzine prostiranja faze. Brzina prostiranja faze je cisto kinematski pojam vezan za prosto-periodicne talase, koji nemaju ni pocetka ni kraja u vremenu kada se posmatraju, pa ju je zato i nemoguce meriti direktnim metodima za merenje brzine. Da bi se pomocu prostoperiodicnog talasa na daljinu saopstila neka razumljiva informacija ili proizvoljan signal, talas semora na neki nacin modulisati (impulsno, amplitudno, fazno ili frekvencijski) ali vee samim tim on prestaje da bude prostoperiodican. Postupkom modulisanja stvara se Citava grupa frekvencija, obicno zbijenih oko nosece frekvencije. Ako je brzina prostiranja faze funkcija frekvencije, kao sto je to slucaj u disperzivnim sredinama, svaka od prostoperiodicnih komponenata iz grupe ce se prostirati ne8to razlicitom faznom brzinom. Slaganjem prostoperiodicnih komponenata formira se modulaciona anvelopa, koja u sebi sadrzi informaciju, ali se ona u disperzivnoj sredini prostire posebnom brzinom, koju nazivamo brzina prostiranja grupe ili grupna brzina. Posmatrajmo amplitudno modulisani signal f(t), Cija je noseea ucestanost wo, a amplituda mu /]f- a(t) se menja po proizvoljnom zakonu a (t): .n II ~', (17.12.1)

Anvelopa amplituda a(t) (sl. 17.32) moze se predstaviti u vidu Furjeovog integrala

a(t) =

+oo -oo

l

A(w)jwtdw,

(17.12.2)

..

/

Sl. 17.32.

pa se modulisani signal moze napisati u obliku:

J(t) =

[L~ A(w)ejwtdw] e:il1ot =

L:

A(w)e:i(l1o+w)tdw.

(17.12.3)

lzraz (17.12.3) pokazuje da se signal f(t) moze ra8claniti na beskonacno mnogo elementarnih, prostoperiodicnih komponenata

A(w)e:i(l1o+w)tdw, (17.11.35)

cije su amplitude A(w)dw, a ucestanosti im cine kontinualan spektar oko nosece ucestanosti no. u disperzivnoj sredini svaka ·od ovih komponenata se

17. Ravanski elektromagnetski talasi

596

17.12. Brzina prostiranja grupe

prostire sopstvenom faznom brzinom v = w / (3, a odgovarajuCi prostoperiodicni talas duz ose z ima oblik

ucestanost Do prostire brzinom prostiranja faze v = Do/ f3o, a anvelopa amplituda brzinom

A(w)eJ"[(!"!o+w)t-.Bzldw, Vg

Prema tome, signal f(t), posmatran kao talas koji se prostire duz z-ose, maze se predstaviti Furjeovim integralom

f(t, z) =

+oo -oo

l

A(w)eJ"[(!"!o+w)t-.Bzldw,

(17.12.4)

Ako se frekventni spektar signala relativno uzak, i ako se fazna konstanta (3 ne menja mnogo sa ucestanoscu, funkcija (3(w) se maze razviti u red u okolini D0 . ZadrzavajuCi samo prva dva clana reda,

(3 = f3o

d(3) o w + ( dw

(17.12.5)

gde je f3o vrednost fazne konstante pri nosecoj ucestanosti, a (df3 1r1w )o vrednost njenog prvog izvoda pri istoj ucestanosti. Uz napred uCinjene ograde, signal (17.12.4) se maze napisati u obliku

f(t,z) =

{l

+oo -oo

A(w)e

j[wt-(d.B)w·z] dw

dw

}

eJ"(!"!ot-.Boz),

[1..:

dw = d(3'

(17.12.8)

koju nazivamo grupnom brzinom. Ako je frekventni spektar signala uzak i ako se brzina prostiranja faze sporo menja u podrucju frekventnog spektra signala, anvelopa signala ostaje neizoblicena. Ako ovi uslovi nisu ispunjeni, tj. ako (17.12.5) ne predstavlja dobru aproksimaciju, signal se prilikom prostiranja izoblicava, a pojam grupne brzine postaje neodreden. Posta je (3 = wjv, iz (17.12.8) nalazimo direktnu vezu izmedu grupne i fazne brzine: 1 1 v (17.12.9) Vg = d(3 1- ~ dv · vdw dw

! (;)

Kada fazna brzina ne zavisi od ucestanosti, dvjdw = 0, pa je v 9 = v, sto znaei da su u nedisperzivnim sredinarna obe brzine identicne. U jonizovanoj sredini kada su sudari zanemareni, c (17.12.10) v = )1- J£!J2' pa se pomocu (17.12.9) dobije

v9

odnosno,

= c)1- f'tff2.

(17.12.11)

Proizvod fazne i grupne brzine iznosi:

00

f(t, z) =

597

A(w )ejw(t-zjv9 )

dw] eifl.o(t-zjv),

=

(~)

Do

0

v = f3o.

Uporedimo li izraz u uglatoj zagradi (17.12.6) sa izrazom u uglatoj zagradi (17.12.3), videcemo da oba predstavljaju funkcije istog oblika, samo sto je ova u (17.12.6) vremenski pomerena za interval zjv9 . Prema tome, (17.12.6) se maze napisati u obliku f(t, z) = a(t- zjv9 )ei!1o(t-zjv).

(17.12.12)

Relacija (17.12.12) VaZi uvek kada je zavisnost fazne brzine od frekvencije data zakonom oblika (17.12.10) (na primer, u talasovodima). Do izraza za grupnu brzinu (17.12.8) maze se doCi i elementarnijim putem, bez pozivanja na Furjeove integrale. Posmatrajmo jednostavan signal koji se sastoji iz dveju prostoperiodicnih komponenata

gde je Vg

- C. 2 VVg-

(17.12.6)

(17.12.7)

Tumaceci (17.12.7) mozemo zakljuciti sledece: modulisani signal, oblika (17.12.1), prostire se kroz disperzivnu sredinu taka da mu se noseca

a·cosw 1 t

i

a-cosw2t,

w2

= w+D.w

cije se ucestanosti WI

=w

vrlo malo razlikuju. Ovakav signal (sl. 17.33), poznat pod imenom "izbijanje", maze se predstaviti u obliku

f(t) = acosw 1 t

+ acosw2t = 2acos D.w t, coswt, 2

(17.12.13)

17. Ravanski elektromagnetski talasi

598 ako se stavi

w1 +wz::::; w

wz -w1

6w

2

2

2

Anvelopa signala je predstavljena funkcijom 2a cos /:::,.w t.

18. PROSTIRANJE ELEKTROMAGNETSKIH TALASA PO VODOVIMA

2

~·7\ vvv[\v~

Sl. 17.33.

Ako se ovakav signal emituje kao talas u disperzivnoj sredini, svaka od njegovih komponenata se prostire kao prostoperiodican talas sopstvenom faznom brzinom:

acos(w1t- fJ1z)

i

acos(wzt- fJzz).

RezultujuCi talas se dobije superpozicijom komponentalnih. Ako se stavi

fJ1

+ f3z

::::; (3 i

f3z - fJ1

2

= 6(3

2

2 )

Vodovima nazivamo sisteme za vodenje elektromagnetskih talasa i kanalisanje elektromagnetske energije po zeljenom putu. Kor::.vencionalni vodovi se sastoje iz najmanje dva ili viSe paralelnih cilindricnih provodnika i izvode se u dve osnovne varijante: kao otvoreni (na primer, dvozicni vazdusni vod) ili kao oklopljeni vodovi (npr. koaksijalni kabl). Drugi tip ima tu prednost da ni pri najvisim frekvencijama ne zraei niti prima elektromagnetsku energiju sa strane, iz nezeljenog pravca, sire gledano, kroz samu funkciju, u vodove bi se mogli ubrojiti i tzv. talasovodi, transmisioni sistemi za mikrotalase koji se sastoje iz jednog jedinog provodnika u vidu cevi proizvoljnog preseka, u cijoj se unutr8Snjosti prostiru elektromagnetski talasi. No, s obzirom na specificnu strukturu i druge osobenosti talasa u talasovodovima, ovu vrstu transmisionih sistema cemo prouCiti posebno u sledecoj glavi. Iako se pri vrlo visokim frekvencijama (hiperfrekvencije) ina konvencionalnim vodovima mogu javiti tipovi talasa koji su karakteristicni za talasovode, osnovni tip talasa na obicnim vodovima su tzv. transverzalni elektromagnetski talasi, iii skraeeno, TEM talasi, kod kojih su vektori elektricnog i magnetskog polja upravni na osu voda, odnosno pravac prostiranja. Za razliku od transverzalnih elektricnih (TE) i transverzalnih magnetskih talasa (TM), koji su moguCi samo kada je rastojanje izmedu provodnika reda talasne dliZine, TEM talasi su moguCi pri svim frekvencijama, pod uslovom da vod ima najmanje dva provodnika.

nalazimo

f(t,z)

= 2acos

[~(6wt- 6(3z)]

· cos(wt- (Jz),

18.1. TEM talasi na vodu bez gubitaka

odnosno

f(t, z) = 2acos

[~!:::,.w(t- zjv9)]

· cos[w(t- z/v)],

(17.12.14)

gde je /:::,.w Vg

= /:::,.(3

w

v = {j"

PoredeCi izraze (17.12.14) i (17.12.13) nalazimo da se anvelopa signala prostire brzinom grupe v 9 .

Pretpostavicemo da je vod sacinjen od n paralelnih, beskonacno dugih cilindricnih provodnika, cija je provodnost beskonaeno velika, a sredina koja opkoljava provodnike savrsen i homogen dielektrik. Elektromagnetsko polje u prostoru izmedu provodnika mora da zadovolji Maksvelove jednaeine, a na povrsinama provodnika granicne uslove za idealne provodnike (Etang = 0 i Hnorm = 0). PotraZicemo sada rei§enja Maksvelovih jednaeina kod kojih su komponente elektricnog i magnetskog polja u pravcu ose voda jednake nuli. Ako usvojimo da se osa voda poklopi sa zosom koordinatnog sistema, mozemo staviti Ez =·Hz= 0, pa se Maksvelove

600

18. Prostiranje elektromagnetskih talasa po vodovima

18.1. TEM talasi na vodu bez gubitaka

preko (18.1.1) u (18.1.4), dobiju se diferencijalne jednaeine

jednaCine za homogen dielektrik mogu napisati u obliku:

8Hy 8Ez --=E8z 8t 8H, 8Ey -=E8z 8t 8Hy = 8Hx = O 8x 8y 8Ex + 8Ey = O 8x 8y

8Ey 8Hx - 8z = -J.L8t 8Ey 8Hy -=-J.L8z 8t 8Ey 8Ex -=-=0 8x 8y 8Hx 8Hy -+-=0 8x 8y

I.1

1.2 1.3 III

ILl

82 fc·

635

7l'

(19.1.32)

a

Pored longitudinalne, talas ima samo dve transverzalne komponente Ey i Hx, koje su u fazi, a fazno su pomerene za 7l' /2 u odnosu na longitudinalnu komponentu. Nijedna od komponenata ne zavisi od koordinate y, sto znaei da polje u pravcu ove ose ima homogen karakter. Zavisnost intenziteta triju komponenata od koordinate x predstavljena je na sl. 19.2a i b. Na istoj slici, pod c i d predstavljeni su spektri linija elektricnog i magnetskog polja u jednom trenutku. Posmatran u toku vremena, spektar se krece u pravcu z-ose brzinom prostiranja faze v'P. Linije elektricnog polja su prave paralelne y-osi; gustina linija, koja je srazmerna intenzitetu, najveca je na sredini stranice a i opada iduci ka bocnim zidovima, gde intenzitet tangencijalne komponente elektricnog polja mora biti jednak nuli. Linije magnetskog polja, koje

A

povrsinama zidova talasovoda. Posto je magnetsko polje za pojedine tipove talasa poznato, odgovarajuca raspodela gustine struje u zidovima nalazi se pomocu granicnog uslova J s = n x H.

X

r-

X

637

19.1. Talasovodi pravougaonog preseka

19. Talasovodi

636

presek A- A

1

.g/4 a)

fx

;;;;;;)})))2222722d2???22?£

--

uzuuz

2U??Z2?22

z

::::::-,~,:'\ (/-~:---=:~:;-=~'~ (.::--=-:==-=~~ ~ r ! t ~ t+ + ~ H-polje ' t H ~ : __!;_ I

I

I

I

I

I I

I

(

V

Sl. 19.3.

___ .....' : 1:: \---~--)·: ·:: ~-

=--=--=--=--::) ,\.·~~:: =-:-_-_-_--.:_) \,~-~:_=_~-::_ I 1-->.g/2

I

y

z

I

I

c)

t_ .. _ A

d)

Sl. 19.2.

ima dve komponente Hx i Hz, predstavljaju zatvorene ravne krive koje su paralelne ravni x- o- y. Kriticna frekvencija i kriticna talasna duzina talasa TE10, odnosno TE 01 , zavise samo od poprecne dimenzije talasovoda koja je upravna na pravac elektricnog polja. Dimenzija koja je paralelna elektricnom polju nema nikakvog uticaja ni na strukturu polja ni na karakteristicne parametre prostiranja. U talasovodu date sirine a mogu se prostirati kao TE10 talasi svi oni talasi cija je talasna dliZina u slobodnom dielektriku kra.Ca od 2a. Sa prakticne taeke gledista tip TE10 (odnosno TEo 1 ) ima dve su8tinske prednosti nad svim ostalim tipovima: prvo, sto pri datoj frekvenciji zahteva najmanje poprecne dimenzije talasovoda, i drugo, sto ga je pogodnim izborom dimenzija talasovoda moguce izolovati od ostalih tipova. Nairne, ako se dimenzije talasovoda izaberu tako, da je kriticna frekvencija za tip TE10 niza od frekvencije f, ada su kriticne frekvencije ostalih tipova vise od j, u talasovodu se moze prostirati samo tip talasa TE 10 . Zbog toga se ovaj tip talasa naziva dominantni. Za resavanje mnogih prakticnih problema iz oblasti primene talasovoda potrebno je poznavati raspodelu kondukcione struje na unutra8njim

Strujnice povrsinske struje su upravne na linije magnetskog polja u odgovarajuCim ravnima. Na sl. 19.3 je prikazan izgled strujnica u jednom trenutku za tip talasa TE10 . Posmatrana u vremenu, slika raspodele strujnica se prostire brzinom prostiranja faze zajedno sa talasom. Na bocnim stranicama talasovoda, koje su paralelne elektricnom polju, struja ima transverzalan karakter. U zidovima koji su upravni na elektricno polje struja ima i transverzalan i longitudinalan karakter, izuzev na samoj sredini stranice a, gde je karakter struje longitudinalan. ZahvaljujuCi ovome moze se duz sredine stranice a napraviti prorez na zidu talasovoda, a da se pri tome raspored strujnica i struktura polja u talasovodu ni malo ne poremete. 19.1.2. Transverzalni magnetski talasi. U transverzalnih magnetskih talasa Hz = 0, pa se na osnovu opstih izraza (19.1.3-19.1.7) dobiju sledeCi izrazi za transverzalne komponente:

H X- - jwt:aE _ k2 ---Z

Ex= _2._ aEz k2 ax Ey = _2._ aEz k2 ay -

ay

Hy = _ jwt: aEz k2 -

(19.1.33)

ax

Komponenta Ez predstavlja re8enje diferencijalne jednaeine (19.1.8) koje, zajedno sa ostalim komponentama, treba da zadovolji granicne uslove (19.1.1-19.1.2). Posto su jednacine (19.1.8) i (19.1.9) iste po obliku, moraju

im i opsta resenja biti ista. Prema tome, Ez = (AI cos kxx + Az sin kxx)(BI cos kyy +'Bz sin kyy)e-·rz,

gdeje

k; + k; = k

2

Tablica 19.1.

= ,.? + w2E:J..L.

TE1o .:•, •

·~.~

n1l"

ky=b'

.,

I

,,-~- . . ,

= V/(m1r)2 --;;: + (n1r)2 b - w2E:J..L,

k

(19.1.35)

-. ---

a

b

I

I

.,+o+oto•o

·~•y•

.•o,

,'.1• ,'•

o~ \o\

1

0

'---·"

.. .:I· :.

' ... __ ... '

-- .......

..f:...

"l~l ~~·

0

0

0

0

0

I~ I~

I 0

2

3 7r

Ac = 2a

a

fc

•/.· - =-

TE2o

~--

e

Transverzalne komponente se odreduju na osnovu (19.1.33):

1 m1rE m1r . n1r -"tz E = - - - o·cos-x·sm-y·e x k2a a b 1 m1r . m1r n1r _ z E =---Eo ·sm-x·cos-y·e "~ Y k2 b a b jwE: n1r . m1r n1r _ z H =----Eo· sm-x ·cos-y· e "1 "' k2 b a b jwE: m1r m1r . n1r z H =---Eo· cos - x · sm - y · e-"t

\• ,•le

I

I

...

-

(19.1.34)

gdeje

k2b

I

X

. m1r . n1r -"tz E z= E osln-x·sm-y·e , a b

Y

, .... --.....-- ..... , .

\Oto•o,

I

•f•t•

pa izraz za longitudinalnu komponentu Ez ima oblik:

I

0

./ /,,.- .... , \a/

B1 =0

m7r kx=a

,----~ ... ,

•

Lako je pokazati da ce svi granicni uslovi biti zadovoljeni kada je

A1 = 0

639

19.1. Talasovodi pravougaonog preseka

19. Talasovodi

638

,. 2

n

=6

l

= 3>.

Sl. 20.23.

7f

cp=O

1 lEI=-

271"

2 2

r sine dB dcp.

9=0

/¥!,

--F (e, cp), cr

(20.7.1)

gde je I referentna struja, u odnosu na koju je raeunata karakteristicna funkcija zraeenja. 2 Prema tome,

7l"

l = 3>.

/r1 1" IEI 2

J.L

Kao sto je receno u cl. 20.6.1, a to se potvrdilo u svim dosada8njim primerima, polje zraeenja proizvoljne antene se maze predstaviti u obliku

p = -8 12

~

699

1¥1!.! 121f 1" 2

c

cp=O

F 2 (e, ' =

f3d' cos '1/J' + o',

a 'lj;' ugao koji pravac zracenja zaklapa sa osom novog niza. Ispitacemo sada oblik i neke osnovne osobine karakteristicne funkcije niza (20.8.6). Kada je korak niza d < A (sto je u praksi redovan slucaj) niz ima jedan glavni maksimum; za ci> = 0, cija je vrednost Fn(O) = n. Ako se stavi ci> = 0, iz (20.8.4) se moze odrediti ugao 'lj; koji pravac maksimuma karakteristike zaklapa sa osom niza:

0 cos'lj; =(3d.

(20.8.9)

0,

Posta je funkcija Fm(ci>) rotaciono simetricna u odnosu na osu niza, pravci glavnog maksimuma karakteristike obrazuju konicnu povrsinu oko ose niza. Kada su elementi niza napajani u fazi, = 0, pa je 'lj; = 90°. Nizovi kod kojih je pravac glavnog maksimuma zraeenja upravan na osu nazivaju se nizovima sa transverzalnim zracenjem. Da bi se dobio niz sa longitudinalnim zraeenjem, kod koga se pravac glavnog maksimuma podudara sa osom niza ('lj; = 0), sukcesivni fazni pomeraj izmedu elemenata treba da bude 0 = -(3d. Na sl. 20.28 su prikazane redukovane karakteristicne funkcije niza

..........

"" ""'

)

0 I

I

I

"'!'-. 1.--- ~ t:>,;< ~ 5 \ A\ rv~v -~~"-~-t ~t< ~ \ 11 \1/ \. V I I1"\.V .,XIV" IV I I I " IV I \11 V I \A"

x "/

I

0° 10° 20° 30° 40°

. nci>

fn(ci>)

=

Fn(ci>) Fn(O)

= -_-cp nsm

2

= ±kn:

k

= 1, 2,

(20.8.11)

Broj nula u intervalu 0 ~ ci> ~ n: jednak je najvecem celom broju koji je sadrzan u n/2. Sirina glavnog lista karakteristike, merena izmedu prvih nula, jednaka je dvostrukom uglu ci> 01 izmedu glavnog maksimuma i prve nule; s obzirom na (20.8.11),

nci>o1 = n: ili 2

,..-..

'*'01

2n: =-

n

ip

Kod niza sa transverzalnim zraeenjem

cp cos'lj; =(3d' paje cos '1/Jo1

cl>o1 A = (3d = nd'

odnosno

za razlicite brojeve elemenata n. Pored glavnog maksimuma funkcija niza ima i sekundarne maksimume Ciji broj raste sa porastom broja elemenata. Izmedu maksimuma nalaze se nule karakteristicne funkcije, ciji se polozaj odreduje iz uslova

nci>

"

Sl. 20.28.

(20.8.10)

2

~

50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130°140° 150° 160° 170° 180°

o

sm2

709

20.8. SlZeni antenski sistemi za usmereno zraeenje

20. Elektrornagnetsko zraeenje

sin(~'1/J01) 2 Kada je A/nd

«

= ~nd

1

n:

A

2

nd

--'1/JOl~-.

Posta kod niza sa transverzalnim zraeenjem pravac glavnog maksimuma zaklapa sa osom niza ugao 'lj; = n: /2, 7r

6'1/J=- -'1/Joi 2

predstavlja tra:Zeni ugao izmedu prve nule i glavnog maksimuma karakteristike. Prema tome, kada je nd «A, sirina glavnog lista karakteristike (merena

711

20.9. Metod odredivanja polja zraeenja mikrotalasnih antena

20. Elektromagnetsko zraeenje

710

maksimuma. Prema tome, uglovna sirina glavnog lista karakteristike iznosi

u radijanima) iznosi vrlo priblizno

26.'1/J ~ 2.A.

[iS

(20.8.12)

nd

Kod nizova sa velikim brojem elemenata nd je priblizno jednako duzini niza 1 ~ (n- 1)d.

26.'1/J = 2'1/JOl ~ 2y -;;;:d,"

(20.8.13)

Kao sto vidimo, pri istoj duzini niza i istom broju elemenata ona je veca nego kod niza sa transverzalnim zracenjem. Na sl. 20.29 su nacrtane karakteristike zraeenja niza naeinjenog od polutalasnih dipola, Cije su ose upravne na osu niza i na ravan crteza. Slika 20.30 prikazuje karakteristike zraeenja niza polutalasnih dipola koji su kolinearni sa osom niza .

..,.. n=l o•

n=2

n=7 0000000

n=3 n=S 00000000

n=4 n=5

o•

.•.

n=6

..

--..--....: ..... !!~~Z- ....

SJ. 20.29.

o-

_..,....._.n_.~.. §~ .. ,..~,..

Kod niza sa longitudinalnim zraeenjem Sl. 20.30.

= f3d(cos'ljJ -1),

paje cos 'I/Jo1 Kada je >.jnd

«

=

o1

/3d

+1 = -

1

nd

+ 1.

1 ugao 'lj;01 je mali, pa se moze priblizno pisati

'I/J61 ~ .A

T~nd·

Posto se kod niza sa longitudinalnim zracenjem pravac glavnog maksimuma poklapa sa osom niza, 'lj; 01 predstavlja ugao izmedu prve nule i glavnog

20.9. Metod odredivanja polja zracenja mikrotalasnih antena Pomeranje gornje granice spektra radiofrekvencije navise, ka hiperfrekvencijama, imalo je snaznog uticaja za razvoj tehnike antena i dovelo do uvodenja novih resenja, koja se i po obliku i po koncepciji razlikuju od antena za nize frekvencije. Ovo je narocito uocljivo kod antene za mikrotalase, Cije najcesce forme, parabolicna i levkasta antena, nemaju gotovo niceg zajcdnickog sa klasicnim antenama naCinjenim od kvazilineicnih zracecih elemenata. Da bismo ovo ilustrovali, uzecemo kao primer levkastu antenu, prikazanu

712

20. Elektromagnetsko zracenje

na sl. 20.31, koja je u stvari prosireni zavrsetak otvorenog talasovoda. Iako bi se, bar u nacelu, proracun polja zracenja ovakvih antena mogao izvoditi po metodu izlozenom u cl. 20.1, odnosno Cl. 20.3, prakticne te§koce su toliko velike da primena metoda ne dolazi u obzir. Nairne, zasnivajuCi proracun polja na recenom metodu, trebalo bi uzeti u obzir sve struje po zidovima levka i talasovoda, kako sa unutra§nje tako i spolja§nje strane, ukljucujuCi i struju u antenici za pobudu. OCigledno je da bi ovakav racunski postupak bio vrlo komplikovan, a da i ne govorimo o te§kocama oko odredivanja tacne raspodele struje u celom sistemu. Zbog svega toga, u teoriji mikrotalasnih antena se koristi jedan daleko jednostavniji, aproksimativan metod, koji je inspirisan Hajgensovim principom a za osnovu proraeuna uzima poznatu (ili procenjenu) raspodelu polja na povrsini otvora antene (levka, parabole itd.) Teorijsku osnovu metoda cini teoSl. 20.31. rema jednoznaenosti re§enja Maksvelovih jednaeina, kombinovana sa upotrebom fiktivnih elektricnih i magnetskih izvora, o kojima je bilo reCi u Cl. 20.5. Posmatrajmo sasvim opsti slucaj polja sto ga stvara proizvoljan sistem izvora, sme§tenih unutar zamisljene zatvorene povrsine S, koja ceo prostor deli na dva domena: unutra§nji (i) i spolja8nji domen (e) (sl. 20.32). Posto na zamisljenoj povrsini S nema nikakvih realnih struja ni opterecenja, tangencijalne komponente unutra§njeg i spolja§njeg polja moraju, silom granicnih uslova, biti jednake: (20.9.1) H;tg = Hetg· E;tg = Eetg Posto je, na osnovu teoreme jeds noznacnosti (v. cl. 16.8), polje u spoljasnjem domenu (koji ne sadrzi nikakve izEe.fle vore) potpuno odredeno tangencijalnim komponentama Eetg i Hetg na granicnoj povrsini domena, to se, prilikom razmatranja spolja8njeg polja, unutra§nje polje i stvarni izvori mogu iskljuCiti a spolja§nje polje se moze pripisati sisteSl. 20.32. mu fiktivnih izvora rasporedenih po granicnoj povrsini domena. Da bi spolja§nje polje fiktivnih izvora u potpunosti bilo jednako spolja8njem polju stvarnih izvora, i da bi im unutra§nje polje bilo jednako nuli, dovoljno je da tangencijalne komponente polja fiktivnog sistema zadovolje sledece uslove na

20.9. Metod odredivanja polja zraeenja mikrotalasnih antena

713

povrsini S: E~tg =

Eetg

E:tg = 0

H~tg =

Hetg,

Hitg = 0,

(20.9.2)

(20.9.3)

Posto se tangencijalne komponente i elektricnog i magnetskog polja skokovito menjaju pri prolasku kroz povrsinu S, sistem fiktivnih izvora mora sadrzavati i elektricne i magnetske povrsinske struje, Cija se gustina odreduje iz granicnih uslova (20.5.14) i (20.5.15). Ako normalu orijentiSemo od unutra§njeg ka spolja§njem domenu, na osnovu (20.5.14-20.5.15) i (20.9.220.9.3) ima se: n X E~- n X E~ = n X Ee = -Jm 8 , n X H~- n X H~ = n X He= J 8 ,

odnosno, vodeci raeuna o (20.9.1),

Jms

= -n X

E;

Js=nXH;.

(20.9.4) (20.9.5)

Sistem fiktivnih magnetskih i elektricnih povrsinskih struja (20.9.420.9.5), koje su raspodeljene po zatvorenoj povrsini S, moze u potpunosti zameniti realne elektricne izvore kada se polje raeuna u domenu van zatvorene povrsine. Polje fiktivnih elektricnih i magnetskih izvora se raeuna po metodu izlozenom u cl. 20.5. Sasvim je oCigledno da u jednom egzaktnom postupku raeunanja izlozen metod ne donosi nikakve olakSice, jer se zbog odredivanja fiktivnih povrsinskih struja i inaee mora raeunati polje primarnih izvora. No, kao sto je vee na pocetku ukazano, metod se baS i koristi u slucajevima kada je tesko doci do strogog resenja, dakle u aproksimativnim raeunima, a tu on i pokazuje sve svoje prednosti. Da bismo ovo objasnili na konkretnom primeru, vratimo se na slucaj levkaste antene, prikazane na sl. 20.31. Zamislimo oko antene zatvorenu povrsinu ciji jedan deo, sl' zatvara otvor levka, a drugi s2, naleze na spolja§nje zidove levka i talasovoda. Ako se zanemare struje na spolja§njim povrsinama levka i talasovoda, sto je vrlo blisko stvarnosti, onda su sve tangencijalne (i normalne) komponente polja i njima ekvivalentne struje na povrsini S 2 jednake nuli. Prema tome, spolja§nje polje koje zraei levak odreduje se samo

na osnovu fiktivnih izvora raspodeljenih na povrsini S1 . Kada su poprecne dimenzije otvora levka reda nekoliko talasnih duzina, karakteristicna impedansa talasa koji se prostiru kroz levak postaje vrlo bliska karakteristicnoj

714

20. Elektromagnetsko zracenje

20.9. Metod odredivanja polja zraeenja mikrotalasnih antena

impedansi slobodnog prostora i talasi prakticno bez refieksije napustaju levak. Pod ovakvim okolnostima polje na otvoru levka se vrlo lako odreduje, jer odgovara polju koje bi se imalo na tom istom mestu kada bi levak bio neogranicen.

20.9.1. Difrakcija u pravougaonom otvoru na savrseno apsorbujucem ekranu. Kao vrlo jednostavan primer za primenu izlozenog metoda, proucicemo difrakciju ravanskog talasa u pravougaonom otvoru na savrseno apsorbujucem ekranu, problem koji je u osnovi vrlo slican sa problemom levkaste, pa i parabolicne antene. U poredenju sa levkastom antenom, koja ima soCivo za izravnanje faze, razlika je samo u raspodeli polja u ravni otvora. !

,---~M

z;

,/

.,'

'

Element povrsine dx dy, kojim protice elektricna struja povrsinske gustine lsx obrazuje elektricni strujni element (Jsxdy)dx,

koji je paralelan x-osi. Posta ovaj isti element nosi i magnetsku povrsinsku struju, gustine lmsy, on istovremeno predstavlja i magnetski strujni element (Jmsydx)dy,

koji je paralelan y-osi. Kao sto vidimo, fiktivni izvor koji je ekvivalentan elementu talasnog fronta ravanskog, ili nekog drugog TEM talasa, sastoji se iz elektricnog i magnetskog strujnog elementa, koji su ukrsteni pod pravim uglom, a odnos im je jednak karakteristicnoj impedansi sredine. Ovakva sprega se naziva Hajgensov (Huvgens) izvor. Polje Hajgensovog izvora se racuna prema metodu izlozenom u cl. 20.5. Ako se ogranicimo na proraeunu polja u dalekoj zoni, onda je, prema (20.5.11), dEo = dE0+ dE(f' dH'P

dAx

+ ..ffdF'P) (20.9.7)

i

H0y = Jf;,Eox·

Kada se racuna polje u prostoru iza ekrana (z > 0), svaki element talasnog fronta u ravni otvora se moze tretirati kao sekundarni izvor zracenja i kao takav se moze zameniti fiktivnim izvorom koji obrazuju elementi elektricne i magnetske povrsinske struje. Prema (20.9.4-20.9.5), gustine ekvivalentnih povrsinskih struja u ovom slucaju iznose: lsx =-Hoy=-

=..!!... (Jsxdy)dx e _ J.{3r 47r

Pretpostavicemo da se ravanski talas prostire u pozitivnom smeru zose i da nailazi na savrseno apsorbujuCi ekran, koji je postavljen u ravni z = 0 i ima pravougaoni otvor cije SU stranice a i b paralelne X i y-osi (sl. 20.33). Uzecemo da je talas polarizovan paralelno x-osi, i da su mu kompleksne amplitude polja

y

-jw ( dAo

=dE~+ dE;= -jw ( dA'P + ..ffdFo).

Sl. 20.33.

lms = -Eox,

=

U posmatranom slucaju magnetski vektor-potencijal ima samo x-komponentu

X,:

Eox

715

~Eox· JJ

v

(20.9.6)

r

'

paje dA'P = -dAx sin r.p. Elektricni vektor-potencijal ima samo komponentu dAo = dAx cos r.p · cos ()

_ c (Jmsydx)dy -j{3r e , dFy- 47T r pa su mu transverzalne sferne komponente dF'P

= dFy cos r.p

dFo = dFy sin r.p · cos ().

Aka se izrazi za komponente potencijala unesu u (20.9.7) i gustine struja izraze u funkciji od Eox, dobije se . Eoxdx dy .{3 dEo =J >. (cosr.pcosO+cosr.p)e-J r 2 r Eoxdxdy ·{3 dE'P=-j "' (sinr.p+sinr.p·cosO)e-1 r.

(20.9.8)

716

20. Elektromagnetsko zracenje

20.9. Metod odredivanja polja zraeenja mikrotalasnih antena

U ravni polarizacije (cp = 0), koja se cesto naziva elektricna ravan, elektricno polje ima samo komponentu Ee, cija je apsolutna vrednost Eoxdx dy (1 +cos 8). ldEel = 2Ar

U tzv. magnetskoj ravni, cp = n: /2, polje ima samo apsolutne vrednosti:

izrazi za komponente se mogu pisati u konaenom obliku: . Eoxab sin u sin v _ "(3r Ee = J - - · (1 +cos 8) ·cos cp · - - · - - . e J 0 2>.ro u v . Eoxab . sin u sin v _ "{3r E =-J--·(1+cos8)·smcp·--·--·e J 0 • 'P 2>.ro u v

(20.9.9) E'P

717

komponentu, iste

(20.9.12)

U ravni cp = 0 Ecp = 0, a apsolutna vrednost komponente Ee iznosi

Eoxdx dy (1 +cos 8). ldEcpl = 2>.r

(20.9.10)

U elektricnoj i magnetskoj ravni karakteristika zraeenja Hajgensovog izvora ima oblik kardioide, sa maksimumom u pozitivnom smeru ose z. U negativnom smeru z-ose, dakle u smeru odakle dolazi ravanski talas, zraeenj a nema. Potra.Zimo sada rezultantno polje koje potice od svih Hajgensovih izvora, homogeno rasporedenih po povrsini otvora na ekranu. Kada je odstojanje tacke M, u kojoj se raeuna polje, vrlo veliko u odnosu na dimenzije otvora (slucaj tzv. Fraunhoferove difrakcije), onda se kao i u teoriji zraeenja kvazilineicnih antena, moze smatrati da su svi potezi r koji spajaju pojedine elemente povrsine i tacku M paralelni. Ako sa ro obelezimo odstojanje taeke M od koordinatnog pocetka a sax i y koordinate elementarnog Hajgensovog izvora (sl. 20.33) ima se

I

Eoxab sin u lEe I = 2 >.ro (1 +cos 8) 7

{Ja .

U

Ako jos stavimo 1/r u obliku:

~

=2

IE'P I =

1a/21b/2 -a/2

. ({Ja 2 .

r

JJ

Sill

=ab

Slll

n

u · COS cp

)

.

Slll

2

sin 8 · cos cp

sinxl l

~---

I7 I, ko-

. " . " . ) x sm ~coscp+ysm ~sm 'P dx dy.

.. fu n k CIJe . . sin u d IJagram

0,217 I

u=

{Ja

2

sin 8 cos cp

v=

{Jb

2

I

I

-

sin 8 · sin cp

Isti intergal se javlja i u izrazu za Ecp komponentu. Ako zbog kratkoce pisanja stavimo 8 . sin smcp,

(20.9.11)

(20.9.16) Kao sto vidimo, oblik karakteristike zraeenja u ravnima cp = 0 i cp = n: /2 zavisi samo od odnosa aj).. i bj>., respektivno. Na sl. 20.34 je prikazan

X

({Jb . un · Slll . 2 Slll cp )

2

(20.9.15)

n:b v = ~sin8.

I 1..

·-~{J~b------~~

{Ja

(20.9.14)

I vI ,

Prethodni integral je elementaran i vrednost mu je r

ll

gdeje

0,707 "{3(

eJ -b/2

n:a .

=}: S!nu.

Eoxab (1 + cos 8) sin 2)..r0 v

1/ro, 8-komponenta rezultujuceg polja se moze pisati

Eo (cos cp cos 8 +cos cp )e-J.!3ro Ee = j--x 2Aro

ll

Slnu

U ravni cp = n:/2 Ee = 0, i

pa se eksponencijalni faktor u izrazima (20.9.8) moze pisati u obliku

= e-jf3ro. ejf3(xsin9coscp+ysin9sincp).

(20.9.13)

gdeje

r = ro - (x sin 8 cos cp + y sin 8 sin cp),

e-j{3r

I,

0

1

,

r

;

v

. --

Sl. 20.34.

y

V

37r

471"

ja ima glavni maksimum za u = 0, a nule za u = kn: (k = 1, 2, ... ). Posto funkcija ima prvu nulu za u = n:, iz (20.9.14) lako nalazimo sinus ugla 80 sto ga sa osom z zaklapa pravac prve nule ka'\. x.,. rakteristike zraeenja u ravni 571" cp = 0: )..

· sin8o = -. a

(20.9.17)

718

20. Elektromagnetsko zracenje

20.10. Prijemna antena

Kada a = .A Bo = 90°, a za a < .A karakteristika zra.Cenja u ravni cp = 0 uopste nema nulu zra.Cenja. Kada je dimenzija a velika u odnosu na talasnu duzinu (a» .A), moze se priblizno pisati

Bo

~ ~a

2~. a

OE'=-IZ,

(20.9.18)

Prema tome, otvor (uglovna sirina) glavnog lista karakteristike u ravni cp (ravan x- o- z) iznosi 2Bo =

z

cfz~~z,

ij a)

=0

(20.9.19)

Na primer, kada je a = 20.A, 200 = 0,1 rad = 5, 7°. Pored glavnog maksimuma, ciji se pravac poklapa sa z-osom, karakteristika u opstem slucaju ima i niz sporednih maksimuma Cije vrednosti postepeno opadaju sa rednim brojem maksimuma. Od posebnog je interesa prvi bocni maksimum, cija vrednost pri veCim odnosima a/ .A iznosi oko 21,7 % glavnog maksimuma. Oblik karakteristike zra.Cenja u ravni cp = 1r /2 (ravan y-o- z) zavisi iskljucivo od odnosa b/ .A, pa ce i svi zakljucci iz prethodne diskusije vaiiti i za karakteristiku u ovoj ravni.

b)

Kao organ radio-prijemnika, prijemna antena ima zadatak da "crpe" energiju iz elektromagnetskog polja talasa sto ih emituje neki udaljeni predajnik i da ovu energiju predaje prijemniku. Iako su pojave u prijemnoj anteni ne8to slozenije od onih u emisionoj, najvainije pogonske karakteristike prijemne antene se daju dosta lako izvesti iz karakteristika iste antene kada ona radi kao emisiona. Kada se antena, na koju je prikljucen prijemnik, nalazi u stranom pobudnom polju E, u njoj se indukuje struja, koja preko prikljucnih krajeva prolazi i kroz ulazno kolo prijemnika i u njemu vrsi odredeni elektricni rad. Posmatrana sa strane prijemnika, koji se moze tretirati kao pasivan dvopol impedanse Zp prijemna antena igra ulogu neke vrste generatora, pa se, kao i svaki drugi generator moze okarakterisati nekom ekvivalentnom elektromotornom silom E i unutrai§njom impedansom Z. Prema tome, sistem antena-prijemnik (sl. 20.35a), kada se nalazi u stranom polju, moze se predstaviti ekvivalentnom semom prikazanom na sl. 20.35b. VeliCine E i Z, koje cemo sada odrediti, predstavljaju osnovne pogonske karakteristike prijemne antene, Ako sa I obelezimo struju na prikljuccima antene (raspodela struje duz antenskog provodnika je uopste slozenija nego kod identicne emisione

c)

Sl. 20.35.

antene, ali, na srecu, problem raspodele struje nije od zna.Caja za predstojeeu analizu), onda je, prema ekvivalentnoj semi I=-EZ+Zp

(20.10.1)

Ucinicemo sada jednu korisnu transformaciju ekvivalentne seme. Lako je pokazati da ce struja u ekvivalentnom kolu ostati ista, ako se ukloni prijemnik Zp i umesto njega u kolo postavi fiktivni generator niStavne unutrai§nje impedanse i elektromotorne sile E' = -IZp (sl. 20.35c). Zaista, ako se postavi jedna.Cina za struju prema novoj ekvivalentnoj semi · I = E

20.10. Prijemna antena

719

+ E' z

= E - I Zp

z

pa se re8i poI, dobije se jedna.Cina (20.10.1). Prema novoj ekvivalentnoj semi (sl. 20.35c), struja u anteni je posledica simultanog dejstva ekvivalentne e.m.s. E, a to zna.Ci pobudnog polja E, i elektromotorne sile E' = -IZp, koja dejstvuje izmedu prikljucaka antene. Ako se primeni princip superpozicije, struja I se moze predstaviti kao zbir I=

hs +I'.

(20.10.2)

gdeje

hs - struja na prikljuccima kratko spojene antene (Zp = 0 i E' = 0), i I' - struja koja bi se imala pod dejstvom e.m.s. E' u odsustvu stranog polja E. Posto e.m.s. E' deluje izmedu prikljucnih krajeva antene, raspodela struje I' duz antenskog provodnika je identicna sa raspodelom struje u emisionoj anteni, pa je i odnos

E' p = Za jednak ulaznoj impedansi antene kada ova radi kao emisiona. Prema tome, I'

= E' = _I Zp. Za

Za

(20.10.3)

720

20. Elektromagnetsko zracenje

20.10. Prije=a antena

Ako se (20.10.3) unese u (20.10.2), a zatim se jednaCina re8i poI, dobije·se

I= IksZa . Za+Zp

(20.10.4)

Uporedivsi jednaeine (20.10.4) i (20.10.1) nalazimo:

E = hsZa

(20.10.5)

Z= Za

(20.10.6)

Unutra.§nja impedansa ekvivalentnog generatora je jednaka ulaznoj impedansi antene kada ova radi kao emisiona, a elektromotorna sila generatora je jednaka proizvodu iz ulazne impedanse antene i struje kratko spojene antene kada je ova pobudivana stranim poljem E. Odredicemo sada ekvivalentnu elektromotornu silu, odnosno struju kratko spojene antene. Zamislimo za trenutak da antena radi kao emisiona i da na njenim prikljuccima dejstvuje napon U (sl. 20.36). Ako ulaznu impedansu antene obelezimo sa zl, onda je struja na njenim prikljuccima

(I)J

ul

Obrnimo sada uloge anten'a,i pustj.mo da dipol radi kao emisiona antena, pod dejstvom istog napona U, a da ispitivana antena (1) radi kao prijemna antena u kratkom spoju. Posta je osa dipola upravna na poteg r, polje dipola na mestu gde se nalazi antena (1) bice paralelno ortu r, pa se moze pisati

U e-j(Jr (3l E21 =J60----r. z2 r 2

z1

f3l/2 predstavlja vrednost karakteristicne funkcije zraeenja dipola u pravcu upravnom na njegovu osu. Polje E2 1 indukuje u anteni (1) struju kratkog spoja, ciju cemo vrednost na prikljuccima obeleziti sa hsl· Posta je napon U, koji sada dejstvuje na prikljuccima dipola, jedna.k naponu koji je pre izmene uloga antena dejstvovao na prikljuccima antene (1), prema teoremi reciprociteta, struje hs 1 i Iks 2 moraju biti iste. Dakle, Iksl

(20.10.7)

F(n) je karakteristicna funkcija zraeenja, svedena na struju na prikljuccima, i predstavljena kao vektor koji je kolinearan sa vektorom elektricnog polja, · koje antena zraei u pravcu n. Postavimo sada u tacki (2) Hercov dipol, duzine l, i orijentisimo ga tako da mu je osa upravna na poteg r. Pod dejstvom polja E 12 u dipolu ce se ind ukovati elektromotorna sila E2 = lE12 · r,

(20.10.8)

gde je 7' ort pravca ose dipola. Ako pustimo da. dipol radi kao prijemna anterra u kratkom spoju i ulaznu impedansu dipola obelezimo sa z2, struja kratkog spoja dipola ce biti data izrazom Iks~

E2

= -z = 2

l . U e-j(Jr _ -Z J60-Z --F(n)T. 2 1 r

= IkS2!

(20.10.11)

odnosno, vodeCi raeuna o (20.10.9), l

U

e-j(Jr

hs 1 = -z j60-z --F(n) · r. 2 1 r

pa je polje u dalekoj taeki (2), koja se nalazi na pravcu definisanom ortom ii, U e-j(Jr E12 = j 6 0 - - - · F(n). Zt r

(20.10.10)

(20.10.12)

Ako se pomocu (20.10.10) iz poslednje jednaeine eliminisu napon U i ulazna impedansa dipola z2, dobije se

u It=-, Sl. 20.36.

721

(20.10.9)

hs 1 Zt

2

= 13E21 · F(n).

(20.10.13)

i~:

1;

.'~-i 1~~

'\

~

Izvodeci relaciju (20.10.1'3) koristili smo Hercov dipol kao pomocnu antenu, jer je kod njega vrlo lako odrediti struju kratkog spoja. Medutim, u izrazu (20.10.13) nema nijedne velicine koja bi izvedeni rezultat vezivala za dipol. Polje E2 1 moze poticati od bilo koje antene. Prema tome, ako se izostave indeksi uz E21 i stavi 2/f3 = >.jrr, moze se definitivno pisati )...

E = -E ·F(n),

n

'.!!l'; ·~~~ ~\

(20.10.14)

1f

iii, skalarno, )...

E = -EF(B, rp) · cos'I/J,

(20.10.15)

1f

gde je '1/J ugao izmedu vektora primanog polja i vektora polja koje bi antena zraeila u pravcu n(B, rp) kada bi radila kao emisiona antena. Ocigledno, indukovana e.m.s. u anteni je najveca kada su vektori E i F(n) paralelni, tj. kada

-~1

.~

~-f

n .,.

'<

t

~.'

i;•· ~;

722

,\.;•

20. Elektromagnetsko. zracenje

723

20.10. Prijemna antena

~:r

ttnJ

~ ~~ ·-~ ~I

je polarizacija primanog talasa ista kao po1arizacija talasa koga hi antena emitovala u pravcu iz kojeg dolazi primani talas. Maksimalna indukovana e. m. s. direktno je srazmerna karakteristicnoj funkciji zraeenja:

}r

'j''.:~ ...

;

Ema.x(O,tp)-= -EF(O, cp).

•,'

7r

'J' · • h

·--· .._.

Eeff =

(20.10.16)

-;:y Ra'

gde je r rastojanje izmedu emisione i prijemne antene, aPe emitovana snaga. Ako se iz prethodnih jednaeina eliminise Eeff i unese brojna vrednost za Ra, dobije se jednostavna relacija ·

20.10.1. Snaga koju antena predaje prijemniku. Ako su Za i Zp ulazne impedanse antene i prijemnika, aktivna snaga koju uzima prijemnik iznosi

~=

. l.

E:ff

Pp

(F;

60

A

: !,

Posta je kod polutalasnog dipola ulazna otpornost jednaka otpornosti zraeenja, Ra = Rz = 73!1, mozemo pisati

= Rpl;ff = RpiZv + Zal 2 '

( 0,

13~)

2

(20.10.21)

Dekadni logaritam reciprocne, vrednosti ovog odnosa, pomnozen sa 10, naziva se slabljenje radio-veze u slobodnom prostoru:

gde je

A

Eeff = -EefJF(O, cp) cos 1/J.

'li

7r

(20.10.17)

P.

r'

Ao = 10log P.e = 18 + 20log >:(db).

(20.10.22)

p

Karla su impedanse antene i prijemnika konjugovane Zv =

20.10.2. Efektivna povrsina antene. Iako se pojam efektivne povrsine najcesce koristi kod mikrotalasnih antena, on se moze definisati za svaku antenu, pa i kvazilineicnu. Efektivna povrsina antene se definiSe kao kolicnik iz snage koju antena predaje prijemniku i intenziteta Pointingovog vektora, pod uslovom da je antena prilagodena na prijemnik i da je vektor polja primanog talasa paralelan vektoru karakteristicne funkcije zracenja:

z;,

tj.

lip; = Ra i

Xp = -Xa,

snaga u prijemniku ima maksimalnu vrednost Eeff = E;ff Ppma.x

= 4Ra '

(20.10.18)

odnosno, vodeei raeuna o (20.10.17), - A2 F2((), cp). cos21/J E2 pma.x 47r2 Ra eff•

P.

(20.10.19)

Uz pomoc formula (20.10.19) i (20.7.8) moze se lako izraeunati odnos emitovane i primljene snage u nekoj radio-vezi u slobodnom prostoru. Kao primer uzecemo vezu koja se odrzava pomocu dva polutalasna dipola, cije se ekvatorijalne ravni podudaraju. Posta je pravac emitovanja i prijema normalan na ose dipola, karakteristicne funkcije zracenja emisione i prijemne antene su jednake jedinici, a vektor emitOvanog polja je paralelan osi prijemnog dipola. Ako se pretpostavi da je prijemnik prilagoden na prijemnu antenu, onda je snaga koju dobija prijemnik A2E:ff

Pv =

47r 2 Ra.

~,

PotraZicemo sada vezu izmedu efektivne povrsine i pojaeanja antene. Posta je, prema (20.10.19). Pp

r

=

=

A2 F2(0, cp) E;ff 47r2Ra

ffE2

VJ-L

_ E;ff ef f - 1201!' '

ima se, na osnovu definicije,

s eff

= A2 120F2(e, cp)

Ra

47r

'

pa je, s obzirom na (20.7.8), A2

(20.10.20)

(20.10.23)

S eff --G. - 41!'

(20.10.24)

Literatura

LITERATURA 1. Abraham, M. - R. Becker: "Theorie der Elektrizitat", Band I u. II, 10. bzw. 6. Aufi., Teubner, Leipzig, 1933. 2. BpoH, O.B.: "8JieKTPOMariD!THOe IIOJie KaK BR.ZJ; MaTepRR"' rocemepro113.ZJ;aT, MocKBa-JieHRHrpa.n;, 1992. 3. Bucholz, H.: "Elektrische und magnetische Potentialfelder", Springer, BerlinGiittingen-Heidelberg, 1957. 4. Dekker, J. A.: "Electrical Engineering Materials", Prentice-Hall, N. York, 1959. 5. Durand, E.: "Electrostatique et magnetostatique", Masson, Paris, 1953. 6. Frank, N. H.: "Introduction to Electricity and Optics", McGraw-Hill, N. York, 1950. 7. Fano, R. - L.J. Chu- R. Adler: "Electromagnetic Fields, Energy and Forces", John Wiley & Sons, New York - London, 1960. 8. Frenkel, J.: "Lehrbuch der Elektrodynamik" I u. II, Springer, Berlin, 1926. u. 1928. 9. roJib.ZJ;illTeMH JI.li.- X.B. 3epHoB: "8JieKTpRMarHRTHbie IIOJIJI 11: BOJIHb"' Cone[(Koe pa.n;11:o MocKna, 1956. 10. Hallen, E.: "Electromagnetic Theory", Chapman & Hall, London, 1962. 11. Harnwell, G. P.: "Principles of Electricity and Electromagnetism", McGrawHill, New York, 1949. 12. Hippe!, A. R. v.: "Dielectrics and Waves", John Wiley, New York, 1954. 13. Ivanovic, D. M.: "Vektorske analize", Naucna knjiga, Beograd, 1960. 14. Ivanovic, D. M. - V. M. Vucic: "Fizika II", Naucna krijiga, Beograd, 1960. 15. Jackson, J.D.: "Classical Electrodynamics", John Wiley, New York- London, 1962. 16. Jeans, J. H.: "The Mathematical Theory of Electricity and.Magnetism", Cambridge, 1925. 17. Jordan, E. C.: "Electromagnetic Waves and Radiating Systems", Prentice-Hall, New York, 1950. 18. King, R. W. P.: "Electromagnetic Engineering", McGraw-Hill, New York, 1945. 19. King, R. W. P.:- H. R. Mimno- A. H. Wing: "Transmission Lines, Antennas and Wave Guides", McGraw-Hill, New York, 1945. 20. Kpyr, K:A,: "OcHOBb BJieKTpOTexHmrn:", 06he.n;RHeHHoe Hay'tffio-TeXHHqecKoe R3.n;aTeJibCTBO, MocKBa-JieHRHrpa.n;, 1936. 21. Kiipfmiiller, K.: "Einfiirung in die theoretische Elektrotechnik", Springer, BerlinGiittingen-Heidelberg, 1957. 22. Landau L.- E. M. LifSic: "Teorija polja", Naucna knjiga, Beograd, 1952. (prevod s ruskog). 23. Landau 1.-E. M. LifSic: "Elektrodinamika kontinualnih sredina", Zavod za izdavanje udzbenika N. R. S., Beograd, 1961. (prevod s ruskog). 24. Lorentz, H. A. "Theory of Electrons", Teubner, Leipzig, 1916.

725

25. Lang!fiuir, R. V.: "Electromagnetic Fields and Waves", McGraw-Hill, New York, 1961. 26. Macke, W.: "Elektromagnetische Felder", Geest & Portig, Leipzig, 1960. 27. Maxwell, J. C: "A 'Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon Press, Oxford, 1892. 28. Mihailovic, D.: "Elementi vektorske analize, diferencijalne geometrije i teorije polja", Zavod za izdavanje udZbenika N. R. S., Beograd, 1960. 29. Nojman, L. R. - P. L. Kalantarov: "Teorijski osnovi elektrotehnike" I i III, Naucna knjiga,Beograd, 1951-1952. (prevod s ruskog). 30. Oberdorfer, G.: "Lehrbuch der Elektrotechnik", VerlagR. Oldenburg, Miiij .. 1961. . 31. Panofsky, W. - M. Phillips: "Classical Electricity and Magnetism", Ad