Elektrik Enerji Sistemlerinin Analizi Ders Notu

EEM 579 ELEKTRĐK ENERJĐ SĐSTEMLERĐNĐN ANALĐZĐ 1.

GĐRĐŞ

2.

ĐLETĐM HATLARI

Seri ve Şönt Eleman Modelleri Nominal Devreler Devrelerin Seri Paralel Bağlantıları 3.

BARA EMPEDANS ve ADMĐTANS MATRĐSLERĐ

Çevre ve Düğüm Yöntemleri ZBARA ve YBARA Kavramları YBARA nın Doğrudan Kurulumu YBARA da Đndirgemeler 4.

BARA EMPEDANS MATRĐSĐNDE DEĞĐŞĐKLĐKLER

ELEMAN EKLEME ve ÇIKARMA – KUPLAJSIZ (BASĐT) HAL Yeni Bara (Dal) Ekleme Referans Barasına Dal Ekleme Mevcut Bir Baraya Dal Ekleme Yeni Hal (Kiriş) Ekleme Mevcut Bir Bara ile Referans Barası Arasına Kiriş Ekleme Mevcut Đki Bara Arasına Kiriş Ekleme 5.

BARA EMPEDANS MATRĐSĐNĐN DOĞRUDAN KURULUMU ve

DEĞĐŞĐKLĐKLER ELEMAN EKLEME/ÇIKARMA – KUPLAJSIZ (GENEL) HAL 5.1

Graf Teorisi 5.1.1 Primitif Empedans Matrisi 5.1.2 Temel Çevreler Matrisi, Kirchoff Gerilimler Kanunu 5.1.3 Temel Kesitlemeler Matrisi, Kirchoff Akımlar Kanunu 5.1.4

Đncidence Matris, Topolojik Bağlantılar

5.2

Çok Kapılı Gösterilimler

5.3

Devre Matrislerinin Analitik Olarak Türetilmesi

5.4

ZBARA nın Doğrudan Kurulumu

5.5

ZBARA da Yapılan Değişiklikler

5.6

Uç Graflar Yardımıyla ZBARA

6.

BARA MATRĐSLERĐNĐN KULLANILIMLARI

7.

YÜK MODELLERĐ

8.

YÜK AKIŞI

1

ENERJĐ ĐLETĐM SĐSTEMLERĐNDE ÖZEL KONULAR Giriş 1 =1 1 V2 V1 i5 i3

i4 1 = 0,1 10

I1

1 V1 + 1.(V1 – V2) 10 1 V2 - 1.(V1 – V2) I2 = i4 - i5 = 20

1 düğümü

I1 = i3 + i5 =

2 düğümü

 I 1  1,1 − 1   I  = − 1 1,05  2  

1 = 0,05 20

I2

I1 = 1,1V1 – 1V2

(4)

I1 = 1,1V1 – 1V2

(5)

V1  V   2

(6)

YBARA

ZBARA = YBARA-1 =

1 1,05 1  − 1 + (1,1)(1,05)  1 1,1

 1,05  0,155 =  1  0,155

1  0,155   1,1  0,155 

6,774 6,452 ZBARA =   6,452 7,097 

(3)

* YBARA Genelleştirme I1 = (Y11 + Y12).V1 – Y12.V2 I2 = -Y12.V2 + (Y22 + Y12).V2

y12

y1

y2

2

 y11 + y12 YBARA =   − y12

− y12  Y11 Y12  = y 22 + y12  Y21 Y22 

Y11 Y1n  [YBARA] =   Yn1 Ynn 

1

10

V1

20

I1

I3

V2 I2

V1 = 10I1 – 0I2 – 10I3 V2 = 0I1 + 20I2 + 20I3 0 = -10I1 + 20I2 + 31I3 I3 =

10 20 I1 I2 31 31

V1 = 10I1 – 10.[ V1 = 10I1 -

10 20 I1 I2] 31 31

100 200 I1 + I2 31 31

V1 = 6,774I1 + 6,452I2

V2 = 20I2 + 20.[

(1)

10 20 I1 I2] 31 31

V2 = 6,452I1 +20I2 -

400 I2 31

V2 = 6,452I1 + 7,097I2

V1  6,774 6,452 V  = 6,452 7,097   2  

(2)

 I1  Đ   2

[V] = [Z].[I]

(3)

(5)

[Z] : Bara Empedans Matrisi

[I] = [Y][V]

(6)

3

elimine edilecek kısmı ayırırsak;

I r  I  =  e

K M 

Vr  V   e

L N 

r: Elde kalacak olan, e: Elimine (yok) edilecek olan anlamında

Ie ≡ Q Ir = K.Vr + L.Ve Q = M.Vr + N.Ve

L  Vr  . N  Ve 

I r  K  Q  = M   

Ve = -N-1.MmVr

(7) (8)

(8) de yerine koy; -1

Ir = K.Vr + L.[-N .M].Vr Ir = [K – L.N-1.M].Vr [ Ir ] = [K – L.N-1.M].[ Vr] Örnek: I1

Z13

1

Z23

3

j2 j1

V1

2

I2

j2 j4

I3 ≡ 0

V2

K

L 0 − 0,5 V1   I 1   1,5 I  =  0 0,75 − 0,5 . V2   2   I 3  − 0,5 − 0,5 1  V3  M N 0

0  − 0,5 1,5 [YBARAYENĐ]2 × 2 =   –    0 0,75 − 0,5

1 1 [− 0,5 − 0,5] 

0  1,5 − 0,5 [YBARAYENĐ]2 × 2 = -j  – (-j)     0 0,75 − 0,5

1  1,25 − 0,25 1 [− 0,5 − 0,5] = -j − 0,25 0,50    

 − j1,25 + j 0,25 [YBARAYENĐ]2 × 2 =   + j 0,25 − j 0,5 

4

1

Y12

2

Y11

Y22

Y11 = -j1,25 = y11 + y12

y11 = -j1

z11 = +j1

Y12 = -y12 = +0,25

y12 = -j0,25

z12 =

Y22 = -j0,5 = y22 + y12

y22 = -j0,25

z22 = j4

 y11 .....  eski [YBARA] n × n =  y i1  .....  y n1 

..... ..... ..... ..... .....

 y11 ..... yeni [YBARA] n-1 × n-1 =   y1i  .....

y1 j ..... y ij ..... y nj

1 = j4 Ω − j 0,25

..... y1n  ..... .....  ..... y1n   ..... .....  ..... y nn 

..... y1 j   y1n   ..... .....  1 .....  [ y n1 ..... y nj ..... y ij  Ynn  y in     ..... .....  ..... 

..... ]

eleman olarak; Yij(yeni) = Yij(eski) -

Yin .Ynj Ynn

5

1 20

10 V1

I1

I2

I3

V2

V1 = 10 I 1 − 0 I 2 − 10 I 3 V2 = 0 I 1 + 20 I 2 + 20 I 3 0 = −10 I 1 + 20 I 2 + 31I 3 10 20 I1 − I2 31 31 I3 değerini V1 ve V2’de yerine yazarsak; 20  100 200 10 V1 = 10 I 1 − 10  I 1 − I 2  ⇒ V1 = 10 I 1 − I1 + I2 31  31 31  31 ⇒ I3 =

V1 = 6,774 I 1 + 6,452 I 2

1

20  400 10 V2 = 20 I 2 + 20  I 1 − I 2  ⇒ V2 = 6,452 I 1 + 20 I 2 − I2 31  31  31 2

V2 = 6,452 I 1 + 7,097 I 2

V1  6,774 6,452  I 1  V  = 6,452 7,097  I   2   2 

3

[V ] = [Z ][I ] [Z] = Bara Empedans Matrisi

 Z 11 Z  21 [Z nxn ] =  ...   ...  Z n1

Z 12 Z 22 ... ... ...

... ... ... ... ...

... Z 1n  ... ...  ... ...   ... ...  ... Z nn 

6

1/1=1 I1

1/10=0,1

1/20=0,05

I2

1 4 V1 + 1(V1 − V2 ) ⇒ I 1 = 1,1V1 − 1V2 10 1 5 2. Düğüm I 2 = i4 − i5 = V2 − 1(V1 − V2 ) ⇒ I 2 = −V1 + 1,05V2 20  I 1  1,1 − 1  V1  6  I  = − 1 1,05 V   2   2  I 1 = i3 + i 5 =

1. Düğüm

Z bara

Z bara

 1,05  0,155 1 , 05 1   1 −1 = Ybara = =   − 1 + (1,1) * (1,05)  1 1,1  1  0,155 6,774 6,452 =   6,451 7,097 

1  0,155   1,1  0,155 

Ybara Genelleştirme

y12

y11

y22

I 1 = ( y11 + y12 )V1 − y12V2 I 2 = − y12V1 + ( y 22 + y12 )V2 Ybara

 y + y12 =  11  − y 21

Y11 − y12  Y11 Y12  = ⇒ [Ybara ]nxn =    y 22 + y 21  Y21 Y22  Yn1

Y1n    Ynn 

7

6

[I] = [Y][V]

I r   K  I  = M  e 

elemine edilecek kısmı ayırırsak;

L  Vr  N  Ve 

r: Elde kalacak olan e: Elemine edilecek (yok edilecek) olan Ie = 0

I r   K  0  = M   

I r = KVr + LVe

L  Vr  N  Ve 

Ve = − N −1 MVr

7

0 = MVr + NVe

8

8 de Kirschoff Akımlar Yasasını uygularsak;

[

]

I r = KVr + L − N −1 M Vr I r = [ K − LN −1 M ]Vr

[ I r ] = [ K − LN −1 M ][Vr ]

9

ÖRNEK: 1 V1

j2 j1

j2

3

2 j4

V2

Elemine edilecek nokta

y12

0 − 0,5 V1   I1   1,5 I  = − j  0 0,75 − 0,5 V2   2   I 3  − 0,5 − 0,5 1  V3  1,5 0  − 0,5 1 [Ybara ]2 x 2 =  −   [− 0,5 − 0,5]  0 0,75 − 0,5 1 0  0,25 0,25 1,5 = −   0 0,75 0,25 0,25

[Y

]

[

y11

y22

]

 1,25 − 0,25 − j1,25 j 0,25  = − j ⇒ Ybara yeni =   2 x 2 − 0,25 0,50   j 0,25 − j 0,5 Y11 = − j1,25 = y11 + y12 = y11 − j 0,25 ⇒ y11 = − j1 ⇒ Z 11 = + j1 bara yeni 2 x 2

Y12 = − y12 = j 0,25 ⇒ y12 = − j 0,25 ⇒ Z 12 = 1 Y22 = − j 0,5 = y 22 + y12 ⇒ y 22

− j 0,25 = − j 0,25 ⇒ Z 22 = j 4

⇒ Z 12 = j 4

8

[Y ]

eski bara nxn

Y11  ...  = Yi1   ... Yn1 

[Ybara ]nyeni −1 xn −1

... Y1n  ... ... ...  Yij ... Yin   ... ... ...  Ynj ... Y...  ... ... Y1 j  ... ... ...  1 − ... ... Yij  Ynn  ... ... ... 

... Y1 j ... ... ... ...

Y11  ... = Yi1   ...

Y1n   ...    Yn1 ... Ynj Yin     ... 

yij ( yeni ) = Yij ( eski ) −

Eleman olarak;

[

]

...

Yin Ynj Ynn

ÖDEV 1:

[Ybara ]4 x 4

−  =   

j 9,8 0 j4 j5

j5  − j8,3 j 2,5 j 5  j 2,5 − j14,5 j8   j5 j8 − j18 0

j4

3 ve 4 nolu düğümleri yok ederek; a) Yeni [Ybara]2x2 elde ediniz. b) y12

y11

y22

modelini kurunuz c) [Zbara]2x2 yi [Ybara]2x2 admintansının tersini kullanarak bulunuz. d) [Zbara]2x2yi b şıkkındaki model ile kurunuz

9

ZBARA ÜZERĐNDE DEĞĐŞĐKLĐKLER- KUPLAJSIZ BASĐT MODEL 1. Yeni Bara (Dal) Ekleme 1 2

Z orj = Z bara n

 Z 11 Z =  21  ...   Z n1

Z 12 Z 22 ... Z n2

... Z 1n  ... Z 2 n  ... ..   ... Z nn 

0

1.Durum) p Barası Đle Referans Bara Arasına Zb Hat (Dal) Ekleme Diğer baralarla her hangi bir bağıntı olmadığından diğer baraların gerilimi, Ip akımının akmasına bağlı olarak değişmez. 1

V1   V    2   Z bara  ...  =     Vn   V p  0 0  

p n Ip

0   I1    0   I 2  ...   ...    0  In  ... 0 Z b   I p 

[Z ]

baran n +1*n +1

2.Durum) Mevcut k Barası ile Yeni Bir p Barası Arasına Zb Eklemek Ik

Ip+Ik

k

Ip akımı Vk gerilimini Ip*Zkk kadar artırır. Vk ( yeni ) = Vk ( orj ) + I p Z kk

Ip

V p > Vk

p

(ek : Z b I p )

V p = Vk ( orj ) + I p Z kk + I p Z b

Zb

0

V p = I 1 Z k 1 + I 2 Z k 2 + ... + I nZ kn + I p ( Z kk + Z b ) 1444424444 3 Vk ( orj )

V1   V    2   ...  =     Vn   V p   Z k 1   

  I1    Z 2 k   I 2  ...   ..    Z nk   I n  Z kk + Z b   I p  Z 1k

Z orj

Zk2

.. Z kn

10

3.Durum) Mevcut k Barası ile r Referans Barası Arasına Hat (Zb) Eklemek 1. Adım: Mevcut k barasına Zb üzerinden yeni bir p barası bağlanır. 2. Adım: p barası ile r barası kısa devre edilir. (Vp=0) 2. durumdaki Zbara(n+1)(n+1) elde edilir. Tek fark Vp=0’dır. Yani 2. durumdaki işlemler aynen uygulanır ve daha sonra (n+1). satır ve (n+1). sütun elemine edilir. Elementer olarak Z ij ( yeni ) = Z ij ( orj ) −

Z i ( n+1) Z ( n +1) j Z kk + Z b

4. DURUM Mevcut j ve k Baraları Arasına Bir Hat (Kiriş –Zb) Eklemek Ij

Ij+Ib Ib

Zorj Zb

Ik

Ik-Ib

V1 = Z 11 I 1 + ... + Z 1 j ( I j + I b ) + Z 1k ( I k − I b ) + .... Yeniden düzenlenirse; V1 = Z 11 I 1 + ... + Z 1 j I j + Z 1k I k + ... + I b ( Z 1 j − Z 1k ) Benzer olarak; V j = Z j1 I 1 + ... + Z jj I j + Z jk I k + ... + I b ( Z jj − Z jk )

Vk = Z k 1 I 1 + ... + Z kj I j + Z kk I k + ... + I b ( Z kj − Z kk ) Ib’nin çözümü için ek denklemler kullanılmalıdır. Bu denklemler; V k −V j = I b Z b ⇒ I b Z b −V k +V j = 0 Vj ve Vk değerleri bu denklemde yerine yazılırsa; 0 = I b Z b + ( Z j1 − Z k 1 ) I 1 + ... + ( Z jj − Z kj ) I j + ... + ( Z jk − Z kk ) I k + ... + ( Z jj + Z kk − 2 Z jk ) I b Ib’nin katsayılarını toplayıp Zbb dersek; Zbb=Zb+Zjj+Zkk-2Zjk Düzenlemeler ile;

11

V1    ...      V j      Z orj Vk  =   ...      Vn    0  ( Z j1 − Z k 1 ) ... ( Z jj − Z kj )   

( Z jk − Z kk ) ... ( Z jn

( Z 1 j − Z 1k )   I 1    ...   ...  ( Z jj − Z jk )   I j    ( Z kj − Z kk )   I k    ...  ...   ( Z nj − Z nk )  I n  I  − Z kn ) Z bb  b 

(n+1). Satır ve (n+1). Sütun elemine edilerek; Z i ( n +1) * Z ( n +1) j Z ij ( yeni ) = Z ij ( orj ) − Z b + Z jj + Z kk − 2 Z jk

Zbara’nın Doğrudan Kurulumu Ybara nın yersi alınarak Zbaranın bulunması, daha az işlem yapılmasını sağlar. 1.Adım r barasına Za üzerinden 1. barayı eklemek V1 =I1 * Za Ve diğer adımlar 1-4 durumları yardımıyla yapılır.

ÖRNEK: j0,3 1

3

j0,2

j0,15 2

j1,2

j1,5

r

Çözüm: * Önce r. ve 1. bara arasına j1,2 ekleyelim. V1 = j1,2 I 1 Z bara[1x1] = [ j1,2] * Mevcut 1 barasına j0,2 üzerinden 2 barası eklenir.

12

 j1,2 j1,2 Z bara[ 2 x 2] =  Z 11 + Z b = j1,2 + j 0,2 = j1,4  1 , 2 1 , 4 j j   * Mevcut 1 barasına Zb = j0,3 üzerinden 3 barasını ekleyelim.

 j1,2 j1,2 j1,2 Z bara[3 x 3] =  j1,2 j1,4 j1,2 Z 11 + Z b = j1,2 + j 0,3 = j1,5  j1,2 j1,2 j1,5 *Mevcut 3 barasının Zb = j1,5 üzerinden r barasına bağlanması  j1,2  j1,2   j1,2   j1,2

j1,2

j1,2

j1,4

j1,2

j1,2

j1,5

j1,2

j1,2

j1,2 j1,2 j1,2  j3 

Z 33 + Z b = j1,5 + j1,5 = j 3

4x4 eleman elemine edilirse (matris indirgemesi yapılırsa;  j 0,72 j 0,72 j 0,60 Z bara[3 x 3] yeni =  j 0,72 j 0,92 j 0,60  j 0,60 j 0,60 j 0,75 * Son olarak mevcut 2 ve 3 baraları arasına Zb=j0,15 eklenir. 4. satır 4. sütun elemanları Z 14 = Z 41 = Z 12 − Z 13 = j 0,72 − j 0,60 = j 0,12

Z 24 = Z 42 = Z 22 − Z 23 = j 0,92 − j 0,60 = j 0,32 Z 34 = Z 43 = Z 32 − Z 33 = j 0,60 − j 0,75 = − j 0,15 Z 44 = Z b + Z 22 + Z 33 − 2 Z 23 ⇒ Z 44 = j 0,15 + j 0,92 + j 0,75 − 2 * j 0,60 = j 0,62  j 0,72  j 0,72   j 0,60   j 0,12

j 0,72 j 0,60 j 0,12  j 0,92 j 0,60 j 0,32  j 0,60 j 0,75 − j 0,15  j 0,32 − j 0,15 j 0,62 

Đndirgeme yapılırsa  j 0,6968 Z bara ( yeni ) =  j 0,6581  j 0,6290

j 0,6581 j 0,7548 j 0,6774

j 0,6290 j 0,6774 j 0,7137

olarak bulunur.

13

GRAF TEORĐSĐ VE ĐLETĐM HATLARININ ÇOK KAPILI GÖSTERĐMLERĐ Yönlendirilmiş Graf-Referans Yön i1

1

Düğüm Sayısı nd = 4 Eleman Sayısı Ne=6

i2 1

2

2

i3

A

i

B

i4 i5

3

2 uçlu eleman

4

V(t)=Ri(t)

5

i6

3

6

4

4 Düğümlü Eleman

Primitif Eleman/Devre 3

Bir Đletim Hattı

2 kapılı Eleman

2 3

jpq

4

+-

5

p

epq

zpq

q

6 p A

R

ipq , vpq

q

B

Yönlendirilmiş Graf

p

k vpq = vk ipq = ik

q

- Empedans Form Vpq – epq = zpq (ipq - jpq)

- Admitans Form ipq – jpq = Ypq (Vpq - epq)

- Pasif Eleman (jpq = 0, epq = 0) kaynak yok Vpq = Zpq = ipq *

14

ipq = Ypq.Vpq

*

[V] = [Z][i] – [Z][j] + e [i] = [Y][V] –[Y][e] + j

(e,j) = 0

(Devre pasif)

V = [Z][i]

,

Z ve Y primitif empedans ve matrisleridir. Bara empedans ve matrisleri değildirler.

i = [Y][V]

admitans admitans

Đletim Sisteminde Sistem Grafı

endüktif kuplaj

J-Baralı Sistem (Tek Hat Şeması) 1-2 ve 1-3 kısa hat 2-3 uzun hat (1-2) ve (1-3) kuplajlı

Primitif Gösterilim 1

1 2 2

1

1 3 3

2

2

3

3

6

7 4 4

5

8

9

5 0

1,2 hatlarının şöntleri ihmal

0

4,5,6,7,8,9 şönt eleman 2

Z23 Y13/2

3

Y23/2 1

15

Primitif Empedans Matrisi 1 1 2

Z=

3 4 5

1

2

3

4

 Z 11 Z  21  0   0  0

Z 12

0

0

Z 22

0

0

0

Z 33

0

0

0

Z 44

0

0

0

5

0  0  0   0  Z 55 

Y = Z −1

2

 Z 22  ∆ − Z 21   ∆  0   0  0

− Z 12

3

4

0

0

Z 11 ∆ 0

0

0

Z 33−1

0

0

0

Z 44−1

0

0

0

5

 0   0   0   0  Z 55−1 

Z12: Endüktif kuplaj

Eleman, Ağaç, Dal, Kiriş 2

3

1

2 3 2

2 1

5

4

3

1 1

5

ref

4

4

a) Yönlendirilmiş Graf ne=5 nd=4

3 2

2

b)

4

ref

T (2-4-5) Ağaç L (1-3) Kiriş (link) Dal: (2,4,5) (Branch)

Bütün düğümlere değen fakat çevre oluşturmayan alt grafı ağaç olarak adlandırılır. Ağacın dışındaki elemanların oluşturduğu grafa tümleyeni (co-tree) denir. Dal Sayısı: Kiriş Sayısı: Ayrık graf sayısı:

nd-1 ne- nd+1 d=nd-p k= ne- nd+p

Temel Çevreler Matrisi Temel Çevre Sayısı: ne- nd+1 (Kiriş sayısı) Temel Çevre Yönü: Kiriş yönü Örnek: 1

3 2

2 II 1

I

5

4

4

ne=5 nd=4 nd-1= 3 dal ne-nd+1=2 kiriş

ref

16

1. Kiriş tarafından tanımlı çevre V1- V5- V2=0 3. Kiriş tarafından tanımlı çevre V3+ V4- V5=0 Dal Kiris 647 48 } 2 4 5 1 3

V2  V  4 − 1 0 − 1 1 0    0 1 − 1 0 1  V5  = 0    V1  V3  V  ne − nd + 1, [C b U ]  b  = 0 ⇒ [C ][V ] = 0 Vl 

ÖRNEK: 3

4

1,2,3,4,5 iletim hatları elemanları ne=5 nd=4

1

2

4 3

4

3

4 5

3

II 1

1

2

1

2 I 2

Yönlendirilmiş Graf

T (1-3-5) L(2,4)

17

V1    V   − 1 0 0 1 0  3    V5  = 0 − 1 − 1 1 0 1  14243 {  V  U   Cb  2 V4  1

I II

3

5

2

4

Temel Kesitlemeler Matrisi Dallar tarafından tanımlanmıştır. Her bir kesitleme bir dal içerir. Dal sayısı kadar kesit vardır. I 1

3 2

2 1

4

T (2-4-5) L (1,3) Nd-1 = 3 Dal (3 Temel kesitleme)

5 II III

4

ref

Kirschoff Akımlar Yasası (KCL) 2. dal tarafından kesitleme: i1+i2=0 4. dal tarafından kesitleme: -i3+i4=0 5. dal tarafından kesitleme: i1+i3+i5=0

i 2    1 0 0 1 0  i 4  0 1 0 0 − 1 i  = 0   5 0 0 1 1 1   i1  i3  2

2 4 5

4

5

Dal

1

3

Kiriş

NOT: Temel çevreler matrisi: C Temel kesitlemeler matrisi: B Düğüm matrisi: A

[U

i  Bl ]  b  = 0  il 

Bi = 0

18

4 3

4 5

3 1 1

2 2

 i1    1 0 0 1 0  i3  0 1 0 0 − 1 i  = 0   5 0 0 1 1 1  i 2  i 4  1

1 3 5

3

5

2

U

4

Bl

Düğüm Matrisi A (Düğüm (Vertex-Incidence Matris) 1

3 2

2 1

5

4

1

2

4

i1+i2=0 -i2+i3+i5=0 -i3+i4=0 -i1-i5-i4=0

ref

Elemanlar 3 4

5

 i1   1 0 0 1 0   − 1 0 1 0 1  i2  2    i3  = 0 3  0 1 0 0 − 1     i4 4  0 −1 −1 −1 0    i5  Đncidence Matrisinin Özellikleri

Düğüm

1.düğüm için 2. düğüm için 3. düğüm için 4. düğüm için

1

Aa i = 0

1. Bu matrisin sütunları keyfi olarak düzenlenebilir. 2. Belli bir ağaç için bunu [Dallar | Kirişler] şekline getirmek mümkündür. ÖRNEK: 1 2 3 4 5  i1  1  1 0 0 1 0   − 1 0 1 0 1  i 2  2  i 3  = 0  3  0 1 0 0 − 1     i4 −1 −1 −1 0    4  0 i5 

19

3. Her sütunda +1/-1 vardır. Bu elemanın hangi düğümler arasında olduğunu ve yönünü gösterir. 4. Aa’nın satırları lineer bağımlıdır. Rank(Aa) = nd-1 herhangi bir satır atılabilir. [A] indirgenmiş düğüm matrisi

TOPOLOJĐK BAĞINTILAR A,B,C Matrislerinin Bağıntıları 1.Özellik BC T = 0

CB = 0 2.Özellik B = [U ; Bl ] T

[U

Ortagonal Ortagonal C = [C b ;U ]

C bT  Bl ]  = 0 ⇒ C bT + Bl = 0 ⇒ C bT = − Bl veya C b = − BlT U 

Verilen bir ağaç için temel kesitlemeler bilinirse, temel çevreler de bilinir. 3.Özellik A = [ Ab ; Al ]

B = Ab−1 A = [U ; Ab−1 Al ] Bl = Ab−1 Al 4

3

4

3 1

5 1 2

2

3 3 0 A = 1 + 1 4  0 1 [ Ab ]−1 = 1 0

1 +1 −1 0 1 0 0

5 0

2 0

4 + 1 0 + 1 0  = [ Ab ; Al ] + 1 0 − 1 0 0 1

1 1  Bl = A Al = 0 1  0 − 1 −1 b

20

ÇOK KAPILI GÖSTERĐM I1

1

I2

2

Uç Değişkenler I bara = [ I 1 , I 2 ,....., I n ]T

Vbara = [V1 , V2 ,..., Vn ]T

V1

VBara = Z bara I bara  U = Ybara Z bara I bara = YbaraVbara 

V2 I(n-1)

n-1

In Vn

n 0

Devre Matrislerinin Analitik Olarak Türetilmesi KVL’nin Uygulaması Ve Topolojisi I. Kiriş Dönüşümü V = [Vb ;Vl ] i = [ib ; il ] , Bi = 0 i  Bl ]  b  = 0  il  ib  C bT  i =   =  il ⇒ ib = − Bl il = C bT il  il   U  i = C T il Bütün Akımlar kiriş akımları cinsinden ifade edilebilir.

[U

II. Cv = 0

[Cb

Dal Dönüşümü

V  U ] b  = 0 Vb 

Vl = −C bT Vb = BlVb V   U  V =  b  =  Vb Vl   Bl  v = B T vb

III. Düğüm Dönüşümü  i1   I 1  i   I   2  2 [A]... =  ...  Ai = I bara Eleman akımlarını A matrisi ile çarparak bara akımı bulunur     ...  ...  in   I n  * Đletim Hatları Lineer zamanla değişmiyor.

21

IV. Güç Değişmezliği ∑Verilen Güçler = ∑ Alılın Güçler T * V T i * = Vbara I bara T V T i * = Vbara A* i * T V T = Vbara A

⇒

V = AT Vbara

Ybara’nın Türetilmesi V = AT Vbara , I bara = Ai Primitif devre için; i = yA Vbara

i=yV

T

Ai = AyAT Vbara I bara = AyAT Vbara Ybara = [ A][ y ][ A]T Algoritma: - Ağacı seç - [A] belirle - [Z] kurulacak - [Y] bul (Empedansın tersinden) - [Ybara ] = [ A][ y primitif ][ A]T

ÖRNEK 3

0,5

II 0,5

V 0,2

0,1

I 0,2

1

4

III

0,6

Ybara = Ay pri AT

IV 0,4

Devrede kuplaj olduğundan devreye bakılarak Ybara admintans matrisi kurulamaz. Bu yüzden graf oluşturulur.

2

22

4

3

4

3

5

1

1

2

2

I

II

III

1 − 1 − 1 Aa = 2  1 0  30 1  40 0

IV V

0 −1 0

1

0

0

1

0

1

2

1 0,6 0,1 2  0,1 0,5 [Z p ] = 3 0 0  4 0,2 0 5  0 0  2,083 − 0,417  [Y p ] = [ Z p ]T =  0   − 1,042  0  8,02 T Ybara = Ay p A = − 0,209  − 5

I II III IV V 0 2 1 0 0 1 − 1 A=  − 1 1 → → 3 0 1 − 1 0 0  0 ref 4 0 0 1 0 1   1 3

4

5

0 0 0 0  0,5 0 0  0 0,4 0  0 0 0,2 − 1,417 0 − 1,042 0 2,083 0 0,208 0 0 2 0 0  0,208 0 0,02 0 0 0 0 5 − 0,209 − 5  0,271 0,126 0,230  −1 4,063 − 2 ⇒ Ybara = [ Z bara ] =  0,126 0,344 0,89  0,230 0,189 0,362  −2 7  0

0,2

23

BARA EMPENDANS MATRĐSĐNĐN KURULMASI 1

I1*,I2*,…,In* V1*,V2*…Vn*

I1*

Uyarma(Akım Kaynağı) Uyarma Gerilimi

n kaynak n+1 Düğüm n+e Eleman sayısı

n

In* 0

Uyarma kaynaklarının hepsi kiriş alınacak.

CV = 0 n e Vb   Vb  n Vb   U 0     C b1 U 0      e :[C b U ]  Vl  e − n = 0 ⇒ C b Vl = Vl = 0 0 U   *  C b 2 0 U   *   Vk  U * n Vk   0   C b1 U  Vb  0  C b1 U  Vb  0  C b1 U  ib  0 ⇒ = − + = ⇒ = −   V *  C   V *  C  [Z ]   V *  C  k  b 2 0  Vl   k  b 2 0   il   k   b 2 0  Vl 

i = C T i p (kiriş dönüsümü )  ib   i  = CT  l   I bara  C1T  CT =  U  0 

[ ] I i

[ ]

I * = − I bara

   bara  l

C 2T  ib  C1T C 2T   il   0 ⇒ =   0   I bara   il   U U  ve V * = −Vbara

 0   C1 U 1  C1T V  = C  [Z ]   bara   2 0   U

I  0   Z 11 C 2T   il  ⇒  =   II Vbara   Z 21 0   I bara 

I ' den

il = − Z 11−1 Z 12 I bara

II ' den

Vbara = − Z 21 Z 11−1 Z 12 I bara + Z 22 I bara

Z 12   il  Z 22   I bara 

Vbara = ( Z 22 − Z 21 Z 11−1 Z 12) I bara 14442444 3 −1 Z bara = Z 22 Z11 Z12

24

NOT: Yıldız uç grafı için geçerlidir. (Yıldız uç grafında, her kaynak referans noktasına bağlanır).

ÖRNEK 3

4

III 0,5

II 0,5

V 0,2

0,1

I

0,6

IV

0,2

0,4

1

3

3

2

3

4

2

V3* I3*

5

1

1

3

1

V4* I4*

V1* I1*

Uç grafı

Dal

3

2

1

2

4

7

4

4

8

1 2 3 4 5

1 4 6

2

Kiriş

Kaynak

5

6 7 8

 1 1 0 0 1 − 1  2 0 1 0 0 1 3 0 0 1 0 1 424 3 123  1 U B1 B = [U | B1 | B2 ]

 1 0 0  0 1 1 0 0 1 1 424 3 B2  C1 = − B1T C 2 = − B2T

25

0 − 1 0 C 2 =  0 − 1 − 1  0 − 1 − 1

0 − 1 0 C1 =    1 − 1 − 1  Z1 Z  3  Z1     Z 3   Z1     Z 3 

Z 2   C1 U  C1T C 2T  = Z  p  Z 4  C 2 0  0  U 0 1  − 1 0   1 −1 −1 0 Z2    = − 1 0 0 0   Z4   0 −1 −1 0   0 − 1 − 1 0  0,6 − 0,3 0,4   0,3 1,6 − 0,5 Z2    = 0,4 − 0,5 0,6   Z4 0,1   0,1 0,4   0,1 0,9 0,1

Z bara = Z 4 − Z 3 Z

[ ]

−1 1

0 0,6 0,1 0 0,2 0  − 1 1 − 1 0 0 1  0,1 0,5 0 0 0   0 − 1 0 − 1 − 1 0  0 0 0,5 0 0   0 −1 0 0 − 1    0 0,2 0 0 0,4 0   1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0,2  0 1 0 0 0  0,1 0,1 0,4 0,9 0,1 0,1  0,5 0,5 0,5 0,1

 0,271 0,126 0,630 Z 2 =  0,126 0,344 0,198  0,230 0,188 0,361

26

4. BARA EMPEDANS ALGORĐTMALARI Topolojik olarak, mevcut bir sisteme eklenen (veya çıkarılan) hatların/baraların Zbara’ya yansıtılması.

-

Kısmi Devre

1

n

2

Zo Zo

Zα

j n

j 1 0

Kısmi devre, iletim devresinin bazı (veya tüm) baralarını ve bazı (veya tüm) hatlarını içeren devredir.

Z 0 = Pr imitif Empedans Matrisi   A0 = Dugum Matrisi  Kismi Devreye Ait Z bara( 0 ) = Bara Empedans Matrisi  Sisteme hat/bara ekleme/çıkarma işlemleri yapılarak Z bara ( 0 ) ’dan Zbara (değiştirilmiş-yeni) elde edilir. Kısmi devrede;

Z bara ( 0) = [Ybara ( 0 ) ]−1 = [ A0 Z 0−1 A0T ]−1

[1]

yazılabilir.

Öz empedansı Zαα ve kısmi devre elemanlarıyla karşılıklı empedansı Zoα ola nir α elemanını kısmi devreye ilave edelim. Yeni devrenin gerilim ve akım elemanları:

V  V =  0 Vα  Vo, Io = Vα, Iα =

ve

i  i =  0 iα 

olur.

Kısmi devrenin değişkenleri Đlave elemanın değişkenleri

27

Empedans ve Admintans Formunda Primitif Denklemler V0   Z 0 Z 0α   i0   i0   Y0 Y0α  V0  [ 2] ve V  =  Z    i  = Y    α   α 0 Zαα  iα   α   α 0 Yαα  Vα 

[3]

Y ≠ Z 0−1 (Y0α = Yα 0 = 0 değeğil!) 2 ve 3 denklemlerinden hibrit formda; Y0α Yαα−1  V0   i0   Z 0−1 = [4]   V   −1 Yαα−1   iα   α  − Yαα Yα 0 Vbara ve Ibara, yeni devrenin bara gerilim ve akım vektörleridir. Bilinen ifadeyle; V  V =  0  = AT Vbara [5] Vα  i  I bara = A i = A 0  iα 

[ 6]

A: Yeni devrenin düğüm admintans matrisidir. Özel durumlara göre bu bilgiyi şöyle kullanabiliriz.

4.3 Hatların Đlave Edilmesi 4.3.1 Hat Đlavesi 1 2

Kısmi Devre p

α

Kısmi devrenin p ve q baraları arasına yönü pq olan α elemanı ekleyelim. Eleman; kapalı bir yol oluşturduğundan dolayı bir kiriş (link)tir. (Ama klasik link kavramından biraz faklıdır). Ve yeni bir bara oluşturmamaktadır. Yeni devreye ilişkin düğüm matrisi A şöyle bölünebilir:

q 0

0    ...    Ip    0   A ...  A= 0  = [A0 K1 ] [7] K1=Đlave edilen elemana ilişkin, düğüm matrisinin alt matrisi 0    − Iq    0    ...     0  K1, elemanın kısmi devreyle bağıntısını gösterir.

28

Yeni devre için [7] denklemi [5] ve [6]’da kullanılacak bara ve primitif değişkenleri

V0 = A0T Vbara [8]

Vα = K1T Vbara [9]

A0i0 + K1iα = I bara

[10]

Yeni devre için karma formda, primitif denklemler [4]te gösteilmiştir. Vbara ve Ibaraya ait açık ifadeler ise Vo, Io ve Vα, Iα değişkenlerinin [4], [8], [9] ve 810] denklemlerinden eleminasyon sonucu elde edilebilir. Öncelikle;  A0 Z 0−1 A0T K1 + A0Y0α Yαα−1  Vbara   I bara    =  T −1 T Yαα−1 − ( K1 + Yαα Yα 0 A0 )   iα   0  Bu ifade sembolik olarak ;  B11 B  21

B12  Vbara   I bara  = B22   iα   0 

[11]

[12]

Son olarak [12]de iα’nın eleminasyonu:

[B

11

]

− B12 B22−1B21 [Vbara ] = I bara [13]

[

Z bara = B11 − B12 B22−1B21

]

−1

[14]

[14]teki ters alma işlemi yapılırken aşağıdaki özel ters alma formülü (house holder) uygulanır:

[F + GHK ]−1 = − F −1G [ H −1 + KF −1G ]−1 KF −1 + F −1

[15]

buradan; Z bara = B11−1 + B11−1B12 [− B21B11−1B12 + B22 ]−1 B21B11−1

[16]

B11 = A0 Z 0−1 A0T oldugundan B11−1 = [ A0 Z 0−1 A0T ]−1 = Z bara ( 0)

[17]

Z bara = Z bara ( 0 ) − Z bara ( 0)C12 D −1C21Z bara ( 0)

[18]

burada AY C12 = K1 + 0 0α Yαα

[19]

Yα 0 A0T C21 = K + Yαα T 1

[20]

D = C21Z bara ( 0)C12 +

1 [21] Yαα

Eğer ilave edilen eleman ile kısmi devre arasında kuplaj yoksa Yoα ve Yαo sıfır vektörler haline gelir. Yeni empedans matrisi Z bara ( 0 ) K1K1T Z bara ( 0 ) Z bara = Z bara ( 0 ) − T [22] K1 Z bara ( 0 ) K1 + Zαα

Zαα: Đlave edilen elemanın primitif empedansı.

29

T NOT: [19] ve [20]deki C12 ≠ C21 dir. Dolayısıyla her türlü asimetrik kuplajlı ( Z 0α ≠ Zα 0 ) devre çözülebilir.

NOT: Bundan sonraki kısımlarda aksi söylenmedikçe, ilave edilen eleman simetrik kuplajlı olacaktır. ( Y0α = YαT0 ) Kuplajlı Hat Đlavesi ( Y0α = YαT0 ) Z bara = Z bara ( 0 ) −

Z bara ( 0)C1C1T Z bara ( 0) C Z bara ( 0)C1 +  1   Yαα 

[23]

T 1

C1 = K1 +

A0Y0α Yαα

[24]

Kuplajsız Hat Đlavesi Z bara = Z bara ( 0 ) −

Z bara ( 0) K1K1T Z bara ( 0) K Z bara ( 0) K1 +  1   Yαα 

[25]

T 1

Özel bir durum olarak; şayet hat referans bara ile q arasına eklenirse  0   ...     0    K1 = − I q   0     ...   0   

[26] haline döner.

Özel bir durum olarak, ilave edilen hat r barası ile q barası arasında ise;  0   ...     0    K1 = − I q   0     ...   0   

[26]

Kuplajlı Hatların Eklenmesi Birden fazla kuplajlı hat ilave edilirse, kuplajlı tek hat için yapılana benzer bir süreçte:

30

Z bara = Z bara ( 0 ) − Z bara ( 0)C1Zˆ −1C1T Z bara ( 0)

[27]

Burada Zˆ = C T Z

[28]

1

ara ( 0 )

C1 + Yαα−1

C1 = K1 + A0Y0α Yαα−1

[29]

K1: Đlave edilen hatlara ilişkin incidence matris Yoα ve Yαα [3] denklemindeki matrisler.

Kuplajsız Hatların Eklenmesi Bu durumda [27] denklemi Z bara = Z bara ( 0) − Z bara ( 0) K 1 Zˆ −1 K 1T Z bara ( 0 )

[30]

Zˆ = K 1T Z bara ( 0) K 1 + Z αα

[31]

Zαα: Đlave edilen elemanların primitif empedans matrisi.

Bara (Dal) Eklenmesi Yeni Bir Bara Eklenmesi

1 2

Kısmi Devre p

α

q

0

Burada yeni hat ilavesiyle yeni bir bara eklemesi de yapıldığından hat bir daldır. Yeni devrenin düğüm matrisi:

31

       A=       0 ...

A0

...

0  ...     ...    0 Tanıa : K 2 =  I p  (33)   0  ..     ..  0  

0  ..  ..   0  Ip  0 (32) 0  ..   ..  0   0 − 1 

A A= 0 0

K2  (34) − 1

Yeni devre için, çok kapılı gösterimdeki Vbara ve Ibara vektörlerini şöyle parçalara ayıralım: Vbara’ ve Ibara’ yeni ilave edilen q barasının dışındaki tüm baralara ilişkin değerler olsun. q içinde Vq ve Iq tanımlanırsa; ' Vbara  Vbara =   ;  Vq 

'  I bara  I bara =   (35)  I q 

(34) ve (35) numaralı denklemleri (5) ve (6) denklemlerinde yerine koyalım: ' V0 = A0T Vbara

(36)

' Vα = T2 Vbara − Vq

(37)

' A0 i0 + K 2 iα = I bara

(38)

iα = − I q

(39)

Yeni devre için primitif denklemler (4) ile verilmiştir. Vbara ve Ibara arasındaki bağıntıyı elde etmek için diğer değişkenler (V0,i0,Vα,iα) (4), (36) ve (39) denklemlerinden yok edilirler. Bu eleminasyonla; ' '  A0 Z 0−1 A0T − ( K 2 + A0Y0α Yαα−1  Vbara   I bara  =  (40)   T −1 T − Yαα−1 − ( K 2 + Yαα Yα 0 A0 )   I q  − Vq 

32

(40) denklemindeki 1. denklemden Vbara, Ibara’ya ve Iq’ya göre ifade edilebilir. Burada −1 A0 Z 0−1 A0T = Z bara ( 0 ) olduğu hatırda tutulup 2. denklemde kullanılırsa; ' Z bara ( 0) D12   I bara  Vbara   Z bara ( 0) =   (41)  V  1 D21 Z bara ( 0 ) D21 Z bara ( 0) D12 ( )  I q  q  Yαα       T AY Y A D12 = K 2 + 0 0α (42) D21 = K 2T + α 0 0 (43) Yαα Yαα

Z bara

 Z bara ( 0) =  D21 Z bara ( 0 ) 

Z bara ( 0) D12   (44) D21 Z bara D12 +  1   Yαα 

Đlave edilen elemanla kısmi devre arasında kuplaj yoksa;

 Z bara ( 0 ) Z bara =  T  K 2 Z bara ( 0)

Z bara ( 0) K 2  (45) K Z bara ( 0) K 2 + Z αα  T 2

Zαα: Đlave edilen elemanın primitif empedansı D12 ve D21 ters kuplaj olmasını da içeren genel ifadelerdir. Ters kuplaj yoksa Y0α = YαT0 daha basit olarak kullanılır.

Kuplajlı Bir Bara Đlavesi Y0α = YαT0  Z bara ( 0) Z bara =  T C 2 Z bara ( 0) AY C 2 = K 2 + 0 0α Yαα

Z bara ( 0) C 2 C Z bara ( 0) C 2 + ( 1 T 2

  (46) ) Yαα 

(47)

Kuplajsız Bir Bara Đlavesi Z bara ( 0) K 2  Z bara ( 0)  Z bara =  T  T  K 2 Z bara ( 0 ) K 2 Z bara ( 0) K 2 + Z αα 

(48)

Zαα = Đlave edilen elemanın primitif empedansı. -

Özel bir durum olarak yeni bara referansa bağlanırsa K2 sıfır vektördür. Ancak bu vektör ilgili denklemlerde kullanılmalıdır.

33

Kuplajlı Hatların Eklenmesi Z bara ( 0) C 2  Z bara ( 0)  Z bara =  T −1  T C 2 Z bara ( 0) C 2 Z bara ( 0) C 2 + (Yαα ) C 2 = K 2 + A0Y0α Yαα−1 K2 : Y0α,Y αα:

(49)

Đlgili ilave hattına ait bara indirgeme matrisinin bir alt matrisi Matris

Kuplajsız Hatların Eklenmesi

 Z bara ( 0 ) Z bara =  T  K 2 Z bara ( 0)

Z bara ( 0) K 2  (50) T K 2 Z bara ( 0) K 2 + Z αα 

Zαα : Primitif empedans matrisi

ÖRNEK: 2

5

4

e 0,2 0,1

f

b 0,4

0,3

5

e

2

0,2

f 4

b 3 3

a a

0,1

c

0,5

1

c d 0,5

d

1

Yönlendirilmiş Graf

5 Baralı Sistem

1 barası referans bara ve şönt kapasite yok. Zbarayı kurun.

Çözüm 1. Adım a elemanını ekleyelim. (r-2): referans baraya dal ekleme 2

Z bara =

2

[0,1]

2. Adım b elemanı eklenir. (2-3): dal ekleme, kuplajsız.. 2 2

b

K2 =

2

[1];

Z αα = 0,4

(48)den Z bara =

3

3

0,1 0,1 0,1 0,5  

34

3. Adım c elemanı eklenir. (1-3): kiriş eklenir, kuplajsız. c

K1 =

2 3

0,1 0,1  0   − 0,1 Z bara ( 0) K 1 =     =  0,1 0,5 − 1 − 0,5  − 0,1 K 1T Z bara ( 0 ) K 1 = [0 − 1]   = [0,5] − 0,5

0 − 1 ;  

Z αα = 0,5;

(25) ve (26)dan

Z bara

 0 , 01 0 , 05       644  0 , 05 0 , 025  474448      − 0,1[− 0,1 − 0,5]  − 0,5      0,1 0,1  = = −  0,5 + 0,5 0,1 0,5

2 2 3

3

0,09 0,05  0,05 0,025  

4. Adım d elemanı eklenir. 1-4 kuplajsız dal ekleme. 2 d

K2 =

2 3

2

0  0; Z αα = 0,5  

(48)den

Z bara =

3 4

3

4

0,09 0,05 0,0 0,05 0,25 0,0    0,0 0,0 0,5

5. Adım e elemanı eklenir. 2-5: b ile kuplajlı. e 2 e

5

K2 =

2 b

3 4

3 b

Kuplajlı kısmın primitif empedansı: Z c = b b

Yc = Z c−1 =

e

1 0    0 e

0,1   0,1 0,2 e  b 0,4

e

 2,857 − 1,429 − 1,429 5,714 ;  

Burada

Y0α = [− 1,429]; Yαα = [5,714]

35

Sadece b elemanı ile e elemanı kuplajlı olduğundan;

1 1  1  0,75 1       (46) ve (47)den C 2 = 0 + − 1[− 1,429] = 0,25 A0 = − 1 5,714   0  0  0  0,00 0,09 0,05 0,0 0,75 0,08 Z bara ( 0) C 2 = 0,05 0,25 0,0 0,25 =  0,10   0,0 0,0 0,5  0,0  0,00 0,08 T C 2 Z bara ( 0) C 2 = [0,75 0,25 0,0]  0,10  = 0,085  0,0   = 0,085 +  C 2T Z bara ( 0) C 2 +  1  Y   αα  2 0,09 0,05 0,00 0,05 0,25 0,00 3  Z bara = 4 0,00 0,00 0,50  5 0,08 0,10 0,00

1

 = 0,26 5,714 

0,08 0,10  0,00  0,26

6. Adım f elemanı eklenir. (4-5): Kiriş ve 6 ile kuplajlı f

f 5

4

2

e 3

K1 =

2 b 3

b b

Zc =

e f

b

Yc =

e f

(24)ten

5

f

e

2

 0,4 0,1 − 0,2  0,1 0,2 0,0    − 0,2 0,0 0,3  b

4

0 0   1   − 1

e

;

A0 =

3 4 5

1 1 − 1 0    0 0    0 − 1

f

 4,615 − 2,308 3,077  − 2,308 6,154 − 1,539    3,077 − 1,539 5,385   0,286    A0 Y0α  − 0,576 = C1 = K 1 +  1,0  Yαα   − 0,714

 3,077  Y0α =   − 1,539

Yαα = 5,385

36

(23)te yerine yazılırsa: 2

Z bara =

3 4 5

0,0862 0,0372  0,0319   0,066

0,066  0,2074 0,1064 0,0532 0,1064 0,2340 0,1170   0,0532 0,1170 0,2085 0,0372 0,0319

37

Yıldız Uç Grafı III I

II

III

Jıı* I

Jı*

0 0,1 0  Z p =  0 0,2 0  III  0 0,3 0

a II

I

c

II

b

I

II

III

Jı* Jıı*

1 − 1 1 0 0 − 1 0 0 1 0 b  c  0 − 1 0 0 1  a

B=

B1 =

 1 − 1 1  − 1 0 0    0 − 1 0

 0,6 − 0,1 0,2 Z = B1 Z p B = − 0,1 0,1 0   0,2 0 0,2 T 1

0,0833 0,0333 0,1 0  − 0,1 1 Z bara1 = Z 4 − Z 3 Z 1−1 Z 2 =  [− 0,1 0,2] ⇒ Z bara1 =  −    0,0333 0,1333   0 0,1  0,2  0,6

Kapı Uç Grafı J2* c

I

II

III

III I

a II

I

J1*

0 0,1 0 Z p = II  0 0,2 0  III  0 0,3 0

b

I a

II

III

J1* J2*

 1 − 1 1 0 0 − 1 0 0 1 0 B= B2 =   c  1 − 1 0 0 1   0,6 − 0,1 0,3  T Z = B2 Z p B2 = − 0,1 0,1 − 0,1  0,3 − 0,1 0,3  b

 1 − 1 1  − 1 0 0    1 − 1 0

0,0833 − 0,050  0,1 − 0,1 − 0,1 1 Z bara 2 = Z 4 − Z 3 Z 1−1 Z 2 =  − [− 0,1 0,3] ⇒ Z bara 2 =     − 0,1 0,3   0,3  0,6 − 0,050 0,150 

38

AĞAÇ DÖNÜŞÜMÜ Primitif Empedans Matrisi (Her iki devre için) 0 0,1 0  Z p =  0 0,2 0   0 0 0,3 1.UYARMA GRAFI ĐÇĐN (Kaynak: Jı*,Jıı*) III

 1 − 1 1 B1 = − 1 0 0  0 − 1 0

0,0833 0,0333 Z bara1 =   0,0333 0,1333

Jı* Jıı* II

I

c

b

2. UYARMA GRAFI ĐÇĐN (Kaynak J1*, J2*) J2*

 1 − 1 1 B2 = − 1 0 0  1 − 1 0

III

 0,0833 − 0,050 Z bara 2 =   − 0,050 0,150  II

I

J1*

A.) Jı Jıı Uyarma Kaynaklarının Dal Seçilmesi Durumu Đçin J2

Jıı

J1

Jı

J1

Bu1 =

J2

− 1 0   1 − 1   Jı

Z bara 2 = Bu1 Z bara1 BuT1

Jıı

 0,0833 − 0,050 Z bara 2 =   − 0,050 0,150 

B.) J1 J2 Uyarma Kaynaklarının Dal Seçilmesi Durumu Đçin

39

J2

Jıı

Jı

J1

Bu 2 =

− 1 0  − 1 − 1   J1

Z bara1 = Bu 2 Z bara 2 BuT2

J2

0,0833 0,0333 Z bara1 =   0,0333 0,1333 

40