Electrotecnia

Electrotecnia DEPARTAMENTO: Métodos Matemáticos y Teoría de Representación PROFESOR RESPONSABLE: Félix Sánchez-Tembleque Díaz-Pache OTROS PROFESORES: E-MAIL DE CONTACTO: [email protected] PÁGINA WEB: CURSO: TIPO DE ASIGNATURA: CARGA LECTIVA:

Segundo, 2010/2011 Obligatoria Cuatrimestral 4.5 créditos

Objetivos: Repasar y dominar las leyes generales del electromagnetismo como base fundamental del estudio de las máquinas y las instalaciones eléctricas. Conocer las divisiones del electromagnetismo, conceptos básicos de la teoría de circuitos eléctricos y sus tipologías. Análisis de redes, circuitos de corriente continua y circuitos de corriente alterna monofásica y trifásica. Funcionamiento del circuito magnético como nexo de unión entre la teoría de circuitos eléctricos y las maquinas eléctricas. Presentar principios generales de las máquinas eléctricas, profundizando en el conocimiento de las máquinas eléctricas estáticas (transformador) y dinámicas (máquinas síncronas, asíncronas y de corriente continua). Introducir conceptos fundamentales sobre el sistema eléctrico de potencia: generación de energía, red de transporte, reparto y distribución, así como sobre tipos de líneas y conductores. Calcular la sección de los conductores de las líneas eléctricas y valorar su importancia desde un punto de vista técnico y económico. Conocer la normativa sobre baja y alta tensión, así como una panorámica de la generación de energía eléctrica en España.

Organización Docente: Durante 3 horas a la semana se impartirán clases de teoría y práctica. Los conocimientos teóricos serán transmitidos en sesiones comunes con todos los alumnos, trabajando en la asimilación de los conceptos y ecuaciones fundamentales. Las clases prácticas serán realizadas de forma participativa por el profesor junto con los alumnos, realizando la resolución de problemas de forma conjunta. Se realizarán prácticas de laboratorio para desarrollar los conceptos adquiridos, y visitas de campo para conocer in situ el funcionamiento de instalaciones eléctricas, en función de la disponibilidad.

Bibliografía Básica, Apuntes y Material Pedagógico: “Electrotecnia” Apuntes de la asignatura y problemas resueltos. Félix Sánchez-Tembleque. Disponible en el servicio de reprografía de la Escuela y en formato pdf para descarga en ftp://ceres.udc.es/Asignaturas

Bibliografía básica: “Teoría de circuitos eléctricos”. Rafael Sanjurjo Navarro, Eduardo Lázaro Sánchez y Pablo de Miguel Rodríguez. Mc Graw Hill. Madrid, 1997. “Circuitos eléctricos”. Joseph A. Edminister. Mc Graw Hill. Madrid, 3ª edición, 1997. “Electromagnetismo y Circuitos eléctricos”. Jesús Fraile Mora. Servicio de Publicaciones, Universidad Politécnica de Madrid. Madrid, 3ª edición, 1995. “Introducción al análisis de circuitos”. Robert L. Boylestad. Pearson/Prentice Hall. Mexico, 2004. “Problemas resueltos de electromagnetismo y circuitos eléctricos”. Jesús Fraile Ardanuy, Pedro García Gutiérrez, Jesús Fraile Mora y Nieves Herrero. Servicio de Publicaciones, Colegio de Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Madrid, 2004. “Máquinas Eléctricas”, Jesús Fraile Mora. Mc Graw Hill. Madrid, 5ª edición, 2003. “Problemas de Máquinas Eléctricas”. Jesús Fraile Mora y Jesús Fraile Ardanuy. Mc Graw Hill, Colección Schaum. Madrid, 1ª edición, 2005. “Manual de ingeniería eléctrica. Vol. I y II”. Donald G. Fink y H. Wayne Beaty. Mc Graw Hill. México, 13ª edición, 1996. “Ingeniería eléctrica para todos los ingenieros”. William J. Roadstrum y Dan H. Welaver. Alfaomega. México, 2ª edición, 1999.

Otros textos (instalaciones, seguridad, legislación, etc.): “Instalaciones eléctricas para proyectos y obras”. Antonio López y J. Guerrero-Strachan. Thomson/Paraninfo. Madrid, 6ª edición, 2002. “Introducción a las Instalaciones Eléctricas”. Jesús Fraile Mora. Servicio de Publicaciones, Colegio de Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Madrid, 3ª edición, 2002. “Instalaciones eléctricas en media y baja tensión : adaptado al nuevo RBT (BOE 2002)”. José García Trasancos. Thomson/Paraninfo. Madrid, 4ª edición, 2003. “Instalaciones eléctricas de baja tensión”. José Roldán Viloria. Creaciones Copyright. 2004. “Seguridad en las instalaciones eléctricas”. José Roldán Viloria. Creaciones Copyright. 2000. “Puesta a tierra en edificios y en instalaciones eléctricas”. Juan J. Martínez Requena y José C. Toledano Gasca. Paraninfo/Thomson Learning. Madrid, 2001. “Legislación eléctrica actual comentada para instaladores y empresas”. Juan Carlos Martín Blanco. Creaciones Copyright. 2004. “Transformadores de Potencia, de Medida y de Protección”. E. Ras. Marcombo. Barcelona, 1994. “Electrotecnia: adaptado al nuevo RBT (BOE 2002)”. Pablo Alcalde de S. Miguel. Thomson/Paraninfo. 4ª edición, 2003. “Electrotecnia experimental”. Miguel Ángel Rodríguez Pozueta. Servicio de Publicaciones, E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Santander. 1989 “El Electrón es zurdo y otros ensayos científicos”. Isaac Asimov. Alianza. Madrid, 1986.

Sistema de Evaluación: El sistema de evaluación consta de un examen tipo test con un número de preguntas entre 20 y 40. El tiempo total para resolverlo es de 2 minutos por pregunta. Cada pregunta tiene cuatro posibles respuestas. Debe contestarse SOLO UNA de ellas. Cada respuesta acertada suma un punto, cada respuesta errónea descuenta 1/3 de punto, y las preguntas no contestadas ni suman ni restan. La calificación final sobre 10 vendrá dada por

nota

10 nº _ fallos nº _ aciertos nº _ preguntas 3

Horas de Consulta: En horas de trabajo, en el edificio anexo a la Escuela, el CITEEC.

Información Adicional: Se presupone que los estudiantes conocen principios básicos de electrostática y magnetostática. Recursos aportados durante el curso en la Plataforma de Teleformación (Facultad Virtual/Moodle) de la Universidade da Coruña.

Programa: 1.

Electromagnetismo. Conceptos básicos.

Introducción. Definiciones. Concepto de carga eléctrica. Ley de Coulomb. Principio de superposición. Campo electrostático. Potencial electrostático. Densidad e intensidad de corriente. Materiales conductores. Ley de Ohm. Materiales dieléctricos. Dipolos eléctricos y condensadores. Inducción magnética. La ley de Biot-Savart. Dipolos magnéticos. Propiedades magnéticas de la materia. El experimento de Faraday. Inducción eléctrica. 2.

Teoría de circuitos eléctricos.

Introducción. Modelos lineales de propiedades concentradas. Conductores lineales. Resistencia eléctrica. Conductores aislados en equilibrio. Condensadores eléctricos. Bobinas eléctricas. Autoinducción. Fuerza electromotriz. Fuentes de tensión e intensidad. Asociación de elementos. Circuitos eléctricos. Leyes de Kirchhoff. Asociación de elementos pasivos en serie y paralelo. Circuitos de corriente continua en régimen estacionario. Asociación y transformación de fuentes. Fuentes reales. Análisis de circuitos mediante el método de las corrientes de malla. Análisis de circuitos mediante el método de las tensiones en los nudos. Principio de superposición. Teoremas de Thèvenin y Norton. Asociación de elementos en estrella y triángulo. Potencia eléctrica. Ley de Joule. 3.

Circuitos de corriente alterna senoidal.

Introducción a la corriente alterna. Generación de tensión senoidal. Valores asociados a una magnitud senoidal. Representación compleja. Dominios del tiempo y de la frecuencia. Respuesta senoidal de los elementos pasivos. Impedancia y admitancia complejas. Leyes de Kirchhoff. Asociación de elementos pasivos en serie y paralelo. Fuentes de tensión e intensidad. Análisis de circuitos mediante los métodos de las mallas y los nudos. Teoremas de Thèvenin y Norton. Potencia en el dominio del tiempo. Triángulo de potencia. Potencia compleja. Potencia eléctrica de instalaciones en paralelo. Factor de potencia. Importancia práctica. Corrección. 4.

Circuitos trifásicos.

Introducción. Generación de tensiones trifásicas. Sistemas de generación en triángulo y en estrella. Representación fasorial. Tensiones e intensidades de línea y fase. Sistemas con carga equilibrada en estrella. Sistemas con carga equilibrada en triángulo. Circuito monofásico equivalente para cargas equilibradas. Sistemas con carga desequilibrada. Potencia en sistemas trifásicos. Transporte de energía. Líneas reales. Necesidad de una referencia de tensión. Conceptos de masa y tierra. 5.

Circuitos magnéticos. Transformadores.

Introducción. Materiales magnéticos. Ley de Ampère y fuerza magnetomotriz. Circuitos magnéticos. Analogía con circuitos eléctricos. Núcleos con espacios de aire. Electroimanes. Alinealidad de la relación B-H. Ciclo de histéresis. Inducción mutua de dos bobinas eléctricas. Transformadores ideales. Transformadores reales. Pérdidas en el hierro y en el cobre. Eficiencia de un transformador. Transformadores trifásicos. 6.

Máquinas eléctricas.

Definiciones, clasificación y principios básicos. Generadores síncronos. Campos magnéticos giratorios. Motores síncronos. Generadores de corriente continua. Motores de corriente continua y universales. Máquinas asíncronas o de inducción. Motores de inducción monofásicos. Características constructivas de las máquinas eléctricas. Tensiones inducidas en una máquina eléctrica. Pérdidas y rendimiento. Rectificación de corriente alterna. 7.

Líneas e instalaciones eléctricas.

Introducción al sistema eléctrico de potencia. Red de transporte. Materiales conductores y aislantes reales. Arcos eléctricos. Parámetros de una línea eléctrica. Caída de tensión en líneas de corriente continua, alterna y trifásica. Intensidad máxima admisible en un conductor eléctrico. Redes de reparto y distribución. Centros de Transformación e Instalaciones de enlace. Conductor de protección. Instalación de puesta a tierra. Dispositivos de mando y protección. Riesgo eléctrico. Medidas de seguridad. 8.

Normativa eléctrica.

Reglamentación eléctrica. Reglamento de Centrales Eléctricas, Subestaciones y Centros de Transformación. Reglamento de Líneas Aéreas de Alta Tensión. Reglamento Electrotécnico de Baja Tensión. Instrucciones Técnicas Complementarias. 9.

Generación de energía eléctrica.

Centrales hidroeléctricas. Turbinas hidráulicas. Centrales térmicas convencionales y nucleares. Energías alternativas. Ordenación del sistema eléctrico. Regímenes Ordinario y Especial de generación de energía eléctrica. Balance energético y potencia instalada.

INDICE 1. Electromagnetismo. Conceptos básicos. Introducción. Definiciones Concepto de carga eléctrica. Ley de Coulomb. Principio de superposición. Campo electrostático. Potencial electrostático. Densidad e intensidad de corriente. Materiales conductores. Ley de Ohm. Materiales dieléctricos. Dipolos eléctricos y condensadores. Inducción magnética. La ley de Biot-Savart. Dipolos magnéticos. Propiedades magnéticas de la materia. El experimento de Faraday. Inducción eléctrica.

2. Teoría de circuitos eléctricos. Introducción. Modelos lineales de propiedades concentradas. Conductores lineales. Resistencia eléctrica. Conductores aislados en equilibrio. Condensadores eléctricos. Bobinas eléctricas. Autoinducción. Fuerza electromotriz. Fuentes de tensión e intensidad. Asociación de elementos. Circuitos eléctricos. Leyes de Kirchhoff. Asociación de elementos pasivos en serie y paralelo. Circuitos de corriente continua en régimen estacionario. Asociación y transformación de fuentes. Fuentes reales. Análisis de circuitos mediante el método de las corrientes de malla. Análisis de circuitos mediante el método de las tensiones en los nudos. Principio de superposición. Teoremas de Thèvenin y Norton. Asociación de elementos en estrella y triángulo. Potencia eléctrica. Ley de Joule.

3. Circuitos de corriente alterna senoidal. Introducción a la corriente alterna. Generación de tensión senoidal. Valores asociados a una magnitud senoidal. Representación compleja. Dominios del tiempo y de la frecuencia. Respuesta senoidal de los elementos pasivos. Impedancia y admitancia complejas. Leyes de Kirchhoff. Asociación de elementos pasivos en serie y paralelo. Fuentes de tensión e intensidad. Análisis de circuitos mediante los métodos de las mallas y los nudos. Teoremas de Thèvenin y Norton. Potencia en el dominio del tiempo Triángulo de potencia. Potencia compleja. Potencia eléctrica de instalaciones en paralelo. Factor de potencia. Importancia práctica. Corrección.

4. Circuitos trifásicos. Introducción. Generación de tensiones trifásicas. Sistemas de generación en triángulo y en estrella. Representación fasorial. Tensiones e intensidades de línea y fase. Sistemas con carga equilibrada en estrella. Sistemas con carga equilibrada en triángulo. Circuito monofásico equivalente para cargas equilibradas. Sistemas con carga desequilibrada. Potencia en sistemas trifásicos. Transporte de energía. Líneas reales. Necesidad de una referencia de tensión. Conceptos de masa y tierra.

Electrotecnia. 2º ITOP. Curso 2010/11

5. Circuitos magnéticos. Transformadores. Introducción. Materiales magnéticos. Ley de Ampère y fuerza magnetomotriz. Circuitos magnéticos. Analogía con circuitos eléctricos. Núcleos con espacios de aire. Electroimanes Alinealidad de la relación B-H. Ciclo de histéresis. Inducción mutua de dos bobinas eléctricas. Transformadores ideales. Transformadores reales. Pérdidas en el hierro y en el cobre. Eficiencia de un transformador. Transformadores trifásicos.

6. Máquinas eléctricas. Definiciones, clasificación y principios básicos. Generadores síncronos. Campos magnéticos giratorios. Motores síncronos. Generadores de corriente continua. Motores de corriente continua y universales. Máquinas asíncronas o de inducción. Motores de inducción monofásicos. Características constructivas de las máquinas eléctricas. Tensiones inducidas en una máquina eléctrica. Pérdidas y rendimiento. Rectificación de corriente alterna.

7. Líneas e instalaciones eléctricas. Introducción al sistema eléctrico de potencia. Red de transporte. Materiales conductores y aislantes reales. Arcos eléctricos. Intensidad máxima admisible en un conductor eléctrico. Parámetros de una línea eléctrica. Caída de tensión en líneas de corriente continua, alterna y trifásica. Redes de reparto y distribución. Conductor de protección. Instalación de puesta a tierra. Dispositivos de mando y protección. Centros de Transformación e Instalaciones de enlace. Instalaciones Interiores o Receptoras. Riesgo eléctrico. Medidas de seguridad.

8. Normativa eléctrica. Reglamentación eléctrica. Reglamento de Centrales Eléctricas, Subestaciones y Centros de Transformación. Reglamento de Líneas Aéreas de Alta Tensión. Reglamento Electrotécnico de Baja Tensión. Instrucciones Técnicas Complementarias.

9. Generación de energía eléctrica. Centrales hidroeléctricas. Turbinas hidráulicas. Centrales térmicas convencionales y nucleares. Energías alternativas. Ordenación del sistema eléctrico. Regímenes Ordinario y Especial de generación de energía eléctrica. Balance energético y potencia instalada.

Indice

Magnitudes y Unidades Eléctricas en el Sistema Internacional Magnitud

Unidad

Símb.

f

Frecuencia

hercio

Hz

s-1

F

Fuerza

newton

N

m·kg·s-2

E

Energía, trabajo, calor

julio

J

N·m

m2·kg·s-2

P

Potencia

vatio

W

J/s

m2·kg·s-3

S

Potencia aparente

voltamperio

VA

V.A

m2·kg·s-3

Q

Potencia reactiva

voltamperio reactivo

VAR

V.A

m2·kg·s-3

q

Carga eléctrica

culombio

C

A·s

s·A

D

Desplazamiento eléctrico

C/m2

m-2·s·A

V, E I

Potencial eléctrico, fuerza electromotriz Intensidad de corriente eléctrica

Equiv.

Dimensiones SI

voltio

V

J/C

m2·kg·s-3·A-1

amperio

A

C/s

A

A/m2

m-2.A

J

Densidad de corriente

R

Resistencia eléctrica

ohmio

Ω

V/A

m2·kg·s-3·A-2

G

Conductancia eléctrica

siemens

S

A/V

m-2·kg-1·s3·A2

C

Capacitancia eléctrica

faradio

F

C/V

m-2·kg-1·s4·A2

B

Densidad de flujo magnético, inducción magnética

tesla

T

V·s/m2

kg·s-2·A-1

H

Campo magnético

A/m

m-1·A



Flujo magnético

weber

Wb

V·s

m2·kg·s-2·A-1

L

Inductancia

henrio

H

Wb/m2 V.s/A

m2·kg·s-2·A-2



Fuerza Magnetomotriz

Amperiovuelta

A.v



Reluctancia

Electrotecnia. 2º ITOP. Curso 2010/11

A A.v/Wb 1/H

m-2·kg-1·s2·A2

Magnitudes y Unidades

1. E Electro omagn netismo. Con ncepto os básiccos. oducción n. Definiciones. Intro Conccepto de carga elé éctrica. LLa ley de Coulomb b. Princcipio de superpos s sición. Ca ampo ele ectrostátiico. Pote encial ele ectrostátiico. Denssidad e in ntensidad de corrriente. Mate eriales co onductorres y aisla antes. Ley y de Ohm m. Conccepto de fuerza electromo otriz. Mate eriales diieléctrico os. Dipolo os eléctriicos y con ndensado ores. Iman nes y cam mpos mag gnéticos.. Indu ucción ma agnética. La ley d e Biot-Sa avart. Dipo olos magnéticos. Prop piedadess magnétiicas de la a materia a. El ex xperimen nto de Faraday. In nducción eléctrica a.

EElectrotecnia. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 1 - Pág. 1

1.1.

In ntroduccción. Defiinicioness.

La Electrricidad es un u fenóme eno físico ccuyo origen son las cargas c elécctricas y cu uya energíaa se manifiestta en fenó ómenos me ecánicos, ttérmicos, lu uminosos y químicoss, entre ottros. Se pu uede observarr de formaa natural en los rayyos, que son s descargas eléctrricas producidas po or el rozamien nto de las partículas de agua en n la atmósfera (electrricidad estáática) y es parte esen ncial del funciionamiento o del sistem ma nerviosso. Es la base del func cionamientto de muchas máquinas, desde pe equeños electrodomésticos hassta sistema as de gran potencia como los trenes de alta velocidad d, y asimismo de to odos los d dispositivos electrónicos. Adem más es ese encial paraa la producciión de susttancias quím micas com o el alumin nio y el clorro. También n se denom mina electricidad a la rama de la l física que estu udia las leye es que rige en el fenóm meno. Desd de que, en 1831, Faraday descubrie era la forrma de producir corriente es eléctricaas por inducción — —fenómen no que permite transform mar energ gía mecán nica en energía e eléctrica— — se ha convertido c o en una d de las form mas de energía más imporrtantes parra el desarrrollo tecno ológico debido a su facilidaad de gene eración y d distribución n y a su gran núm mero de ap plicaciones.

ncia que eestudia las aplicacion nes técnicaas de la electricidad e d, el Si la Electrotecnia es la cien Electrom magnetismo o es la ram ma de la Físsica que estudia los fe enómenoss eléctricos y magnétticos de mane era conjuntta. La teoríía que uniffica la electricidad co on el magn netismo como un missmo fenómen no fue form mulada por primera veez de forma a completa a por Jamess C. Maxwe ell en formaa de cuatro e ecuacioness diferenciales. El eelectromag gnetismo es una teeoría de campos, con magnitud des vectoriales que dependen d de la posición en el esspacio. La historia de la ele ectricidad empezó e co n observacciones aisla adas de fen nómenos fíísicos. Taless de ue el prime ero en doccumentar q que al frottar una barra de ám bar con un paño, po odía Mileto fu atraer ob bjetos ligerros. El nom mbre ‘electrricidad’ vie ene del grie ego ‘electró ón’, que significa ámbar. La expliccación de todos los fe enómenos puede derrivarse de la Mecánicaa Cuántica y la Teoríaa de la Relativvidad Espe ecial, pero o en este curso se dará la ex xplicación clásica prroveniente e de observacciones, tal cual c fue pla anteada po or Coulomb b o Biot y Sa avart. En el tran nscurso de este tema se definiráán las prop piedades eléctricas y m magnéticass de la matteria y se diviidirá el ele ectromagne etismo en diferentess partes según los feenómenos estudiadoss: la Electrosttática, la Maagnetostática y la Elecctrodinámiica. http://es.wikipedia..org/wiki/H Historia_de__la_electriccidad

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1.2.

C Concepto o de carga a eléctricca. La Ley y de Coulo omb.

La cargaa eléctrica es una propiedad p intrínseca de alguna as partícullas subató ómicas que e se manifiestta mediante fuerzas de atraccción y repu ulsión entrre distintoss cuerpos, que se dirán cargadoss eléctricam mente. Muchas de laas propieda ades físicass y químicaas de la materia pueden explicarsse como consecuenc c cia de fue rzas eléctrricas. La materia m carrgada elécctricamente e es influida p por campos de fuerza as que se lllamarán ele ectromagn néticos sien ndo, a su ve ez, generad dora de ellos. La interaccción entre carga c y cam mpo eléctriico es la fue erza electro omagnética. Las caraccterísticas experiment e tales de la ccarga elécttrica son -

Polaridad d o maniffestación d dual, con dos d varied dades de ccargas que e se llamaarán positivass y negativa as por convvención. Conservaación. La carga c totall de un sisstema aisla ado –aqueel en que la materiaa no atraviesaa sus límitess- no varía. Cuantización. La carga c elécttrica se manifiesta m siempre ccomo múlttiplos de una nitud es la carga del electrón. e cantidad. Esta magn

Se repressentará con la letra q y se mediirá en Culo ombios. 1C equivale a 6,24.1018 veces la caarga de un ele ectrón. Por razones hiistóricas la carga del electrón e es negativa, llo cual es únicamente ú e un convenio o. En 1785 el físico fraancés Charles Coulom mb publicó un tratado o donde cu uantificaba las fuerzass de atracción n y repulsió ón de carga as eléctricaas estáticass y describíía, por prim mera vez, cómo medirlas. La interaacción entre e dos cargas puntualles en el vacío y en rep poso se exp plica media ante la ley que lleva su n nombre. r q ⋅q r F = ke ⋅ 1 2 2 u r

r

La fuerzaa F que eje erce la carg ga 2 sobree la carga 1 es proporrcional al p producto de d las cargaas, e inversam mente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa.

r

Tiene la d dirección del d segmen nto que lass une. El sentido viene e dado porr el vector unitario u y el signo de el producto o q1 ⋅ q2 . Cu uando las ccargas tien nen el mism mo signo ees de repulsión y cuando tienen sig gnos distin ntos es de atracción. a Por el priincipio de acción a y reacción de N Newton, la a carga que e ejerce la ccarga 1 sob bre la 2 es ig gual y de sign no contrario o. Las cargas deben encontrarsse en repo oso. Si una de ellas se s mueve rrespecto a la otra no o se cumple la ley de Co oulomb. La a rama del electromagnetismo que q estudi a las carga as eléctricass en reposo e es la Electro ostática. Ad demás deb ben ser peq queñas en comparaciión a la disstancia que e las une, paraa poder haccer la abstrracción de que son pu untuales. En el Sisstema Interrnacional de d Unidadees, el valorr de la con nstante de proporcio onalidad ke (o constantte de Coulo omb) es

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2 Nm2 9 Nm ke = = 8,9877.10 ≈ 9.10 0 4πε0 C2 C2

1

1.3.

9

P Principio de superrposición n. Campo o electrostático.

Si suponemos un grupo g de cargas qi frrente a otra a carga Q, se compru ueba experrimentalme ente esultante de fuerza to otal es iguaal a la suma a de fuerza as. Este enu unciado se conoce co omo que la re principio de superpo osición.

r ⎧ Qq r q r⎫ F = ∑ k e 2 i ui = Q ⎨∑ k e 2i ui ⎬ ri ri i ⎩ i ⎭

El conten nido del paaréntesis no n dependee de la carga Q y únicamente ees función la distribucción en el esp pacio de lass cargas qi. Matemáticcamente es un campo o vectorial y se denominará cam mpo eléctrico,, o más corrrectamentte campo ellectrostáticco.

r q r E ( x, y, z ) = ∑ ke ⋅ 2i ui ri i

r r F =Q⋅E

Su signifficado físicco es la fuerza sobree la unidad d de carga a situada een ese punto. Como o en cualquier campo vectorial v pueden deffinirse las líneas de campo c com mo aquella as líneas cuya c tangente e es paralela al camp po eléctrico o en cada punto. p Disc curren dessde las carg gas positivas – fuentes- hacia las negativas –ssumideros--.

Cuando en lugar de cargas puntuales see trate de cargas disttribuidas a lo largo de e un volum men, una supe erficie o un na línea, se e definirán las densid dades de carga como o la carga por p unidad d de medida ((de volume en, superficcie o línea) y el sumato orio anterio or se transfformará en n una integral.

∑k

e

i

⋅

qi r dq r u → ∫ ke ⋅ 2 u 2 i ri r

d ρ S dS ρL dl la denssidad de ca siendo o dq = ρV dV arga

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1.4.

P Potencial electrosttático.

Si suponemos que en una reg gión del es pacio existte un camp po eléctrico o y deseam mos mover una cara q de esde un punto A a otro B, para elllo será neccesario realizar un tra bajo dado por

r r r r dW = −F ⋅ dl = −qE ⋅ dl

r r B W AB = ∫ − qE ⋅ d l A

En donde e el signo (-) ( significa que el trab bajo se realliza en conttra del cam mpo. Se define e ahora ell potencial eléctrico V en un pu unto el espacio com mo el camp po escalar que represen nta el trabaajo que deb be realizar una fuerza eléctrica (ley de Co oulomb) pa ara mover una carga un nitaria "q" desde d ese punto hastta el infinitto, donde el potenciaal es cero. Dicho de otra o forma ess el trabajo o que debe e realizar u una fuerza externa en n contra deel campo para p traer una carga un nitaria "q" desde d el infinito hastaa el punto considerad do en conttra de la fu uerza eléctrica. Matemátticamente este e trabajo se expressa por V (x , y , z ) = − ∫

( x, y, z )

∞

r r E ⋅ dl

Sus unidades son voltios. v 1V=1J/1C (trab bajo por un nidad de ca arga) mos esto para p el cam mpo cread do con una única ca arga q en coordenad das cilíndrricas Si hacem tendremos que

V = −∫

( x, y, z )

∞

ke

r r q q q r k e 2 dr u ⋅ d l = − d =k e r 2 ∫ ∞ r r r

mos el prin ncipio de su uperposició ón a un con njunto de cargas, c se teendrá Si aplicam

V = ∑ ke i

qi ri

Siendo ri la distancia desde la carga qi haasta el puntto donde se e mide el p potencial.

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1.5.

D Densidad d e intensidad de ccorriente e.

Se denom mina corrieente eléctricca al movi miento ord denado de e cargas elééctricas. Si pensamoss en un medio o con una carga c distriibuída en ssu volumen n con una densidad d dee carga ρV dq = ρV dV d

r y supone emos que éstas é se mu ueven con una velociidad dada por el cam mpo vectoriial v ( x, y, z ) , se r definirá la densidad d de corrientte J como r r J = ρV v

La densid dad de corrriente se definirá d co mo la carg ga que atraviesa porr unidad de d tiempo una unidad d de superficcie normal a vr . La caantidad de corriente que atravi esa una su uperficie S por unidad d de tiempo se s denomin nará intensiidad de corrriente Ι

r r I = ∫ J ⋅ dS S

Su unidaad de med dida es el Amperio. A EEs una mag gnitud esca alar que reepresenta la l cantidad d de carga que atraviesaa una superrficie dada por unidad d de tiemp po. En un tie empo dt, un na carga recorrerá un a distancia a dl=v.dt. La a carga quee atraviesa la superficcie S será la qu ue contiene e el cilindro o de la figu ura

dq d = ρV dV = ρV Sdl = ρV Svdt = JSd dt = Idt

De donde se tiene

I =

dq dt

dades de la a ecuación se tiene qu ue 1A=1C/1 1s. En realid dad en el SI S de Unidades, Analizando las unid d principal es el Ampe erio, y se deefinirá 1C= =1A.1s la unidad Las cargaas eléctricaas se despla azarán en fforma de co orrientes eléctricas po or materialles que les son favorable es para ello. Esto se aprovechaará como ventaja v tec cnológica p para transp portar ene ergía según nu uestra convveniencia, siendo s estaa la principal ventaja de d la electrricidad com mo energía.

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1.6.

M Materiale es conducctores. Le ey de Ohm m

Distintoss materiale es permitirá án con maayor o men nor facilida ad el flujo de cargass eléctricas. En función de ello se e clasifican en condu uctores –qu ue cuentan n con carg gas libres y permiten n su movimie ento- y dielééctricos (o aislantes) a ––cuyas carg gas no pued den desplaazarse libre emente-. Exxiste una terce era familia de propied dades interrmedias, los semicond ductores, p pero su estu udio se sale e de este capíítulo. La exxplicación a estas pro piedades en e los sólidos está en la estructu ura atómicaa de la materria. Los áto omos con electroness alejados del núcleo en sus o orbitales más m exterio ores permiten n su movilidad. En el e caso de los líquido os la cond ductividad está relacionada con la presenciaa de iones en disolución. Cuando se aplica un campo eléctrico e a un materia al con cargas libres, sii no hubierra nada qu ue lo impidiese, éstas se s acelerarían hastaa el infiniito. La ex xperiencia dice lo contrario. c Los entos demuestran qu ue en los c onductore es la densid dad de corrriente es proporciona p al al experime campo eléctrico r r J = σE El factor σ se denom mina condu uctividad elléctrica y su u unidad ess el Siemen ns por metrro, con valo ores típicos en n la tabla siguiente

El inversso de la conductivid c dad se deenomina reesistencia específica e L materiales ρ = 1 / σ . Los conducto ores se em mplearán ge eneralmen nte en form ma de hiloss, transporttando carg gas y con ellas e energía.

1.7.

C Concepto o de fuerzza electro omotriz.

Para que e a lo largo de un con nductor cerrrado se mantenga en el tiempo o una corriiente eléctrica, es necessario algún n dispositiv vo que com munique energía a lo os electron nes. Estos dispositivo d s se denomin narán gene eradores elé éctricos. See deberá in ntroducir el e concepto o de fuerza a electromo otriz y se defin nirá por la energía e que comunicca por unidad de carga.

f .e.m. =

dw dq

La fuerzaa electromo otriz se mid de en voltio os, al igual que el pottencial elecctrostático,, con el que e no debe con nfundirse. Se S verá más adelante que existe en diversas formas de comunicar esta energía. El ejemp plo más sencillo es de d las pilass electroga alvánicas, en e las que reacciones químicass de diferente es metaless en una solución cconductora a transform man energ gía químicca en ene ergía eléctrica que es com municada a los electro ones. EElectrotecnia. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 1 - Pág. 7

1.8.

M Materiale es dieléctricos. Dip polos eléctricos y condenssadores.

Cuando un materiaal dieléctricco, sin elecctrones libres, es som metido a un n campo eléctrico, e no o se produce ningún movimientto de carrgas. El átomo á sigu ue siendo o neutro, pero a nivel n microscó ópico, se de esplaza el centro c de g gravedad de la nube electrónica e a del átomo o, y se prod duce una asim metría. Este e hecho pe ermite alm acenar ene ergía en ellos, y al ceesar la cau usa –el cam mpo electrosttático- los átomos á vuelven a un na posición n neutra. Ta ambién exxisten molé éculas como el agua que e tienen esa asimetría a de manerra natural aunque a no existan cam mpos exterrnos. El conjun nto de dos cargas ig guales y seentido con ntrario sepa aradas unaa distancia a constante e se conoce ccomo dipolo eléctrico o. Se denom mina momento bipolar eléctrico o al produccto de la caarga q por la distancia d, expresada como eel vector que q va desde la carg ga negativa a a la posittiva. También n existen moléculas m como el aagua que forman dipolos aunq que no ex xistan cam mpos externoss.

r r p = q.d

El campo o electrosttático prov vocado po or un dipo olo eléctrico tiene la fo orma de la figura. A u una distanccia grande del missmo las líneas de camp po aparente emente naccen y muerren en el m mismo puntto, que es fu uente y sum midero a la vez.

A su vezz, cuando se s introducce un dipo olo en un campo c electrostático o uniforme tendremo os lo siguiente e: la acción n del campo eléctrico o sobre el dipolo d se debe d a la accción sobre cada unaa de sus cargaas, que no pueden p separarse. Laa resultante e de fuerzass será nula

r

r

r

∑ F = qE −qE = 0 omento de e las Pero no ocurre lo mismo con el mo fuerzzas, que puede obteneerse como r

∑τ

= qE

d d r r r r r senθu z + qE ssen θu z = qE Edsen θu z = p × E 2 2

El dip polo sufre por tanto o un par de fuerzas que tiend de a orientarlo en lla direcció ón del cam mpo eléctrrico. EElectrotecnia. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 1 - Pág. 8

Un condensador ess un dispossitivo que sse usará pa ara almacen nar energíaa eléctrica de este mo odo. de dos superficies conductora c as enfrenta adas entre e sí y sep paradas po or un mate erial Consta d dieléctricco. Cuando o entre las dos d placas existe un campo c elec ctrostático o, los dipolo os elementtales que se fforman en n el dielécctrico se aalinean con n el camp po. Si bien n las carga as no pueden desplazaarse, el resu ultado glob bal, tal y com mo puede verse en la a figura es lla aparición n de una caarga de signo contrario en e cada un na de las plaacas.

Esta enerrgía almace enada es proporciona p al, tal y com mo se verá más adelaante, a la diferencia entre el potenccial eléctricco de amba as placas y a la respue esta del ma aterial dielééctrico, que se expresará como el vector dessplazamien nto eléctricco D. El campo D rep presenta paara la gene eralización del campo E a un mediio dieléctricco, sin emb bargo su in nterpretació ón física no o es tan inttuitiva com mo la erzas. Mate emáticameente de un campo de fue

r r r D = εE = ε rε 0 E eabilidad eléctrica e deel medio, que q con fre ecuencia s e expresa en una escala Siendo ε la perme relativa ε r en relaciión con la permeabili p dad del vacío ε 0 . Esta a permeab ilidad relattiva será la que modifiqu ue la capacidad de un n condensa dor para almacenar energía. e

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Tema 1 - Pág. 9

1.9.

Im manes y campos c magnétic m cos.

Los fenó ómenos maagnéticos eran e conoccidos por lo os antiguos griegos. Se dice qu ue por prim mera vez se ob bservaron fue en la ciudad c de ""Magnesia", de ahí el término m magnetism mo. Sabían que ciertas piedras atraaían el hierrro -se deno ominaron imanes i natturales- y q que los troccitos de hie erro atraídos, atraían a su s vez a otrros. La definición más sencilla s de un imán ees la de un material co on la propiiedad de atraer el hie erro. Existe un n único material m na atural con esta prop piedad, la magnetitaa, pero pu uede darse e la propiedaad de mane era temporal o definiitiva a otro os como el hierro. Exisste una explicación en e la ón de los fenómenoss. Mecánicaa Cuántica,, pero de nuevo se ussará la que viene v de la a observació Los iman nes generaan camposs de fuerzaas que se llamarán magnético m c ente s (o más correctame magneto ostáticos) y a su vez son s influid os por ello os. Estos ca ampos de ffuerzas se representaarán por líneaas. Los efe ectos magn néticos son n más inte ensos dond de las líneeas de fuerza están más juntas. Se definirá la intensidad del cam mpo de fue erzas magn netostáticaas mediante la magnitud vectorial inducción magnética a (B), que see definirá de d manera más m precis a más adellante. La Tierra genera u un campo magnético m que permaanece aún sin s una exp plicación deefinitiva.

La propie edad de attraer el hie erro se preesenta de forma f más intensa en n los extremos del im mán, que llamaremos po olos. Se llam mará polo n norte a aqu uel que, si el e imán pueede moverrse libreme ente, N geog gráfico, y lo o mismo pa ara el sur. Cada C imán tiene un polo p norte y un se orientta hacia el Norte polo sur.. Al contrario que en n el campo electrostá ático, no ha ay fuentes y sumidero os. No existte la ‘carga magnética’. Todas T las lííneas de fueerza son ce erradas. No fue hasta el año de 182 20, cuando o Hans Ch hristian Ørrsted descu ubrió que el fenómeno magnéticco estaba ligado l al eléctrico. Laa presencia a de una co orriente elééctrica, o se ea, de un flujo f de carga debido a una diferen ncia de pottencial, genera una fu uerza mag nética que e no varía en e el tiempo. Además de por la atracción a del d hierro, l a existenciia de un ca ampo magn nético en una u región n del espacio sse manifiesta por que las cargaas eléctrica as en moviimiento su fren los effectos de unas u fuerzas q que no pu ueden ser explicadass por la Le ey de Cou ulomb, y d debe ser in ntroducido o un concepto o nuevo, la l inducció ón magnétiica B. Las cargas elé éctricas en n movimiento produ ucen campos m magnético os, y son a su vez influeenciados por p ellos.

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Tema 1 - Pág. 10

r

Si una caarga q se mueve m a una velocid ad v en un u campo magnético m o, aparece sobre s ella una r fuerza p proporcionaal a q y a v , y perp pendicularr a ésta, que puede obtenerse e mediante la n ecuación

r r r F = q(v × B )

La fuerzaa es por tan nto normal al campo y normal a la velocida ad de la caarga, por lo o que desvíía su trayectorria. Una manera m sen ncilla de saaber la dirección en la que see desviará una cargaa en presenciaa de un caampo mag gnético es la regla de la mano o izquierdaa que pued de verse en la figura.

Cuando una carga es a la vez influida po or un camp po electrosstático y un no magnético, las fuerzas sobre ellaa se superp ponen. La fuerza f electtromagnéttica total se e denominaa fuerza de e Lorentz

r r r r r r r F = q ⋅ E + q(v × B ) = q(E + v × B ) Un ejemplo de la desviación d de cargas por un ca ampo magn nético es eel que se produce p en n los tubos de e rayos cattódicos de e los televi sores antig guos, en donde d los eelectrones son lanzaados contra la pantalla y desviadoss para que iimpacten en e una dete erminada zzona que al ir cambiando forma la imagen.

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Tema 1 - Pág. 11

1.10. In nducción magnétiica. Ley d de Biot-Sa avart. El ejemp plo más com mún de carrgas en mo ovimiento es e el de la circulación c n de una co orriente por un hilo cond ductor. Es un u hecho experimenttal que cuando se sitú úan próxim os dos hilo os conducto ores por los q que circulaa una corriiente elécttrica apare ece entre ellos e una fu uerza de atracción a o de repulsión n que pued de expresarrse, para do os tramos de d longitud d diferenciaal como

(

r r r r I1dl1 × I 2 dl2 × u dF = k m ⋅ r2

)

Esta ley, que tiene una forma muy simil ar a la de Cou ulomb, es la ley fund damental d e la magneto ostática, la Ley de Bio ot-Savart. E n el Sistema Internacion nal de Unid dades, el vaalor de la con nstante de proporcion nalidad valee km =

µ0 N = 10 − 7 2 4π A

ndo término os, se pued de escribir Agrupan

(

)

r r r r r ⎧ r I1dl1 × I 2 dl2 × u I 2 dl 2 r ⎫ dF = k m ⋅ = I1dl1 × ⎨k m ⋅ 2 × u ⎬ r2 r ⎩ ⎭

or del paréntesis es un campo vvectorial, que q hemos llamado in nducción magnética m B, y El interio depende e únicamen nte de la po osición del espacio do onde se mid de

r r I 2 dl2 r B(x, y, z ) = k m ⋅ 2 × u r esión ante erior es la a de un campo qu ue La expre llamarem mos soleno oidal, en el que las lín neas forma an círculos en planos normales al diferen ncial de hillo. Tal y com mo se dijo, no hay fue entes ni sum mideros y las líneas son cerradas. La unidad de induccción es el Tesla T 1T=1V V.s/m2 Para un h hilo recto y un campo o constantee se tendrá

(

r r r F = I L×B

)

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Tema 1 - Pág. 12

1.11. D Dipolos magnético m os. Y si inte egrásemos la ecuación para u una peque eña espira circular p por la que discurre una intensidaad I, obtend dríamos un n campo co omo el de la figura.

r r µ0 Idl × urr B= 4π ∫ r 2 e es mucho Cuando la distanccia a la espira mayor a las dimenssiones de la a misma el campo generado o es similarr en la form ma al de un n dipolo eléctrico y por ese e motivo se s llamará dipolo magnéticco a la espiira. Para disttancias grandes de una espira p plana, la in nfluencia só ólo depend derá de la intensidad d de corriente e y la superficie de la espira con su ve ector norm mal, llamán ndose mom mento bip polar magnéticco al vecto or m

r r r m = I .S .n = I .S Al igual que suced de con un dipolo elééctrico, cuando se sitúa una bob bina –un dipolo magnéticco- en el e interior de un campo constantte, aparece erá un parr de fuerzzas que obligará a la bobin na a orienta arse en el ssentido del cam mpo. Estaa circunsttancia ess muy importan nte, porq que es la basee del funcionaamiento de e los motorres eléctrico os y de cualquier transform mación de energía e léctrica en mecánica. mentar el campo magnético m y las fuerrzas que produce p see doblará el conductor Para aum formando varias espiras sucessivas, lo qu e constituyye una bob bina. Cuand do su longitud sea maayor que el radio de la bobina b lo lla amaremos solenoide. En su inte erior el cam mpo será pe erpendiculaar al e las bobinaas. Si coloccamos en ssu interior un u núcleo de hierro, éste tendrá propiedaades plano de magnéticcas, habrem mos constrruido un eleectroimán.

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Tema 1 - Pág. 13

1.12. Prropiedad des magn néticas de e la mate eria. En la expresión de e Biot-Sava art se pressentó una constante µ que llam maremos permeabili p dad magnéticca. La fuerrzas magn néticas seráán proporccionales a ella tal y como se deduce de la expresión. Su signifficado físico represen nta la facilid dad, o no, que tienen n los campo os magnéticos para circcular por el e interior de los differentes materiales. m Al igual q que las carrgas eléctrricas tenderán n a fluir po or los matteriales qu ue son favo orables a ello, los co onductores, los cam mpos magnéticcos tenderán a fluir por los mateeriales de permeabilid p dad más altta. Llamarem mos intenssidad de campo c mag gnético o excitación n magnéticca a la rela ación entre la inducción magnéticca y la perm meabilidad d del material en el qu ue se ha esttablecido el e campo

r r B H=

µ

La perme eabilidad magnética m µ suele exp presarse en n términos relativos a la del vacío o µ0 como

µ = µ 0 µ r = µ 0 (1 + χ m ) En donde e µ0 se llam mará perme eabilidad reelativa y χ m susceptib bilidad mag gnética. Los materiales pue eden clasificarse en función de d su com mportamien nto frente a un cam mpo magnéticco en: -

Diamagnéticcos: χ m es muy pequeeña y nega ativa. Se magnetizan débilmentte en direccción op puesta al caampo. Rep pelen los caampos mag gnéticos en n cualquier polo. Paaramagnétticos: χ m es e muy peequeña y positiva. Se S magnettizan débiilmente en n la diirección de el campo. Fe erromagné éticos: χ m es e muy gran nde. Sin em mbargo ya no se trataa de materiiales lineale es, y

r

r

la relación entre H y B vendrá d definida po or una curva.

La teoríaa que exp plica el fe enómeno aadmite qu ue las susstancias ferromag gnéticas están constituidas por pe equeños imanes moleculaares. Antess de la aplicación dee ningún campo los imanes están orrientados aleatoriam a ente y su resultado o global es nulo. Mediante e la acción n de un cam mpo exteriior tenderá án a orientarse de manera ccreciente hasta h que todos elloss lo están en el sentido del campo (e estado de saturación s magnéticaa). Al cesar la acción exterior e los iman nes elemen ntales pued den volverr a su esta ado inicial (hierro dulce) o bien que edarse orie entados maanteniendo o el material sus ono). propiedaades magnéticas (acero al carbo EElectrotecnia. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 1 - Pág. 14

1.13. Ell experim mento de Faraday y. Inducción eléctrrica Se ha vissto que unaa corriente e eléctrica p puede generar un cam mpo magn nético. Se verá v ahora que un camp po magnético variable puede g generar una a fuerza electromotriiz y comun nicar energ gía a los electrrones paraa que circulen por un n conducto or. Se estud diarán ahorra los fenómenos que e se presentaan cuando los campo os varían en n el tiempo o. El más sencillo y e l primero en e descubrrirse fué el de la inducció ón magnéttica de Faraaday. Si se desplaza un conductorr rectilíneo o de forma a perpendicular a un n campo magnético o, se induce en él una fuerza electromotriz f .e.m. = BLv B

o magnéticco, L la lo ongitud del conducto or y v la vvelocidad con la que e se Siendo B el campo desplazaa.

Del mism mo modo, cuando se desplaza un imán permanente p e sobre un n anillo metálico cerraado, aparece e en él una corriente c eléctrica con n el sentido o de la figurra. Las corrrientes elécctricas indu ucen a su vez un campo magnético o, y son dee tal sentido que este e campo see opone al principal. Este hecho se e denominaa ley de Len nz. mos flujo de d un camp po magnétiico a travéss de una su uperficie a lla cantidad d de líneas que Llamarem la atravie esan, que se e puede ex xpresar com mo

r r

φ = ∫ B.dS S

En el caso o de un cam mpo uniforme y una ssuperficie plana p podrríamos escrribir φ = BS coos θ

Si en las espiras an nteriores abriésemos una pequeña ranura a, entre su s bordes aparecería a una diferenciia de potencial, o tensión e léctrica. La ley de inducción n de Farad day, obten nida experime entalmente e, dice que esta tensió ón inducida o fuerza electromottriz es igua al a la variacción del flujo magnético o. dφ ε =− dt d e Faraday es válida independieentemente e de la causa que pro oduce la variación v de e φ. La ley de Estas pue eden ser que la corrie ente que g enera B varíe en el tie empo, o bi en que se desplace en e el espacio. EElectrotecnia. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 1 - Pág. 15

2. T Teoría de circcuitos eléctricos. Intro oducción n. Modelo os lineale es de prop piedadess concenttradas. Cond ductoress lineales. Resisten ncia elécttrica. Cond ductoress aisladoss en equillibrio. Co ondensad dores elééctricos. Bobiinas eléctricas. Au utoinduccción. Fuerrza electrromotriz.. Fuentess de tensiión e inte ensidad. Asocciación de elemen ntos. Circcuitos elé éctricos. Leye es de Kircchhoff. Asocciación de elemen ntos pasiv vos en se erie y parralelo. Circu uitos de corriente c e continu ua en régiimen esta acionario o. Asocciación y transformación d de fuente es. Fuentes realess. Anállisis de ciircuitos mediante m e el método de lass corrienttes de ma alla. Anállisis de ciircuitos mediante m e el método de lass tensionees en los nudos. Princcipio de superpos s sición. Teorremas de e Thèveniin y Norto on. Asocciación de elemen ntos en e strella y triángulo t o. Pote encia elécctrica. Ley de Joulle.

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Tema 2 - Pág g. 1

2.1. Mo odelos lin neales de e propied dades con ncentrad das. En el tem ma 1 se han estudia ado los cam mpos elécctricos y magnéticos, m , y cómo responden r los diferente es materiale es a su accción. En el ccaso más general g la carga eléctrrica está distribuida en e el espacio y el cálculo de las diferentes d m magnitude es electrom magnéticas implica eccuaciones con integrale es de línea, superficie y volumen n. plificar esto en un caso o concreto o, los circuittos eléctricos, Se estudiará ahora cómo se puede simp dos -se dirá conectaddos eléctriccamente- que que constarán de una serie de elemeentos unid permitiráán la circu ulación de carga a ttravés de ellos, e con el propóssito de generar enerrgía, transporttarla y utilizzarla en otro punto. Para ello o se simpliificarán –se e dirá quee se ‘conce entran’ suss propiedaades- las ecuaciones e del electrom magnetismo o aplicándo olas a unaa serie de elementos e que repreesentarán un dispositivo eléctrico con una serie de propiedade p es. Entre esstos eleme entos habráá unos se suministraarán ortarán, dissiparán o aalmacenará án –elemen ntos energía ––elementos activos- y otros quee la transpo pasivos-. En el casso más gen neral, los dispositivos tendrán do os terminales (o bornnes), y su esstado elécttrico vendrá d definido po or dos magn nitudes: -

La a diferenciia de pote encial entre e los term minales, con magnitu ud y po olaridad (siigno). La a intensidaad de corriente qu ue lo atravviesa, con n magnitud y diirección dee circulación (signo).

El diferrente comp portamientto eléctrico o de los eleementos simplificado os se definirá á entoncees por una a relación conocida entre la diferencia de potenccial V y la in ntensidad I.

2.2. Con nductore es lineale es. Resiste encia elé éctrica. Si tom mamos un n materiaal conducttor con una dimenssión longitudinal m mucho mayor m que e la transve ersal, con forma de hiilo, podrem mos estable ecer para él lo siguientte.

La difere encia de po otencial entre los extrremos corrresponde, por definicción, al trab bajo necessario para desplazar de uno u a otro una u carga p puntual, y viene v dado o por dV = − Edl E

En donde se ha prrescindido de la notaación vecto orial por tratarse de u un elemen nto lineal. Si S la sección y las propie edades de un tramo de longitud L no varían, se pod drá integrar esa ecuacción como VB − VA = − E.L

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Tema 2 - Pág g. 2

Si por otro lado consideram c mos que laa densidad de corriente que aatraviesa una sección n es constantte y de nu uevo prescindimos d e la notacción vectorrial, la defifinición de intensidad d de corriente nos dará laa ecuación I = J ⋅S

do ahora laa Ley de Ohm O al con nductor J = σE y po odemos reo organizar las ecuacio ones Aplicand para tene er que

VA − VB = E .L =

J

σ

L=

I ⎛ 1 L⎞ L=⎜ ⎟⋅I σS ⎝σ S ⎠

El términ no en el intterior del paréntesis p se denominará resistencia elééctrica del conductorr. Su símbolo es R y su un nidad el oh hmio Ω. Parra un conductor linea al, se calculaa como

R=

1 L L =ρ σ S S

En otros casos en lo os que el conductor c n no sea line eal o no ten nga sección n constante, se obten ndrá una exprresión diferrente. Sin embargo e see definirá igualmente e una resisttencia, que e relacionarrá la tensión e entre sus extremos e y la intensid dad que circula por ella e median nte la nuev va forma de d la ley de Ohm VA − VB = R ⋅ I O en forrma comp pacta V = R ⋅ I . Es im mportante considerar el signo de los ele ementos de la ecuación n. La corrien nte circula de los pun ntos de mayyor potencial a los de menor potencial. En los cirrcuitos se re epresentarrá por la sig guiente figu ura

2.3. Con nductore es aislado os en equ uilibrio. Condensa C adores elléctricos.. onductor aislado a y en n equilibrio o eléctrico. Estas doss condicion nes supond drán Supongaamos un co que tiene una dete erminada carga c Qyq que ésta se ha distrib buido por el conductor y ya no o se desplazaa. Las fuerzzas de repulsión sob bre las carg gas individuales que suman la carga netta Q harán qu ue ésta se distribuya d por p la supeerficie del conductor c de d forma h homogénea a. Aplicand do la ley de O Ohm, en el interior el campo eeléctrico E es nulo por tanto. A Al ser nulo o el campo o, el potenciaal V es constante. Por tanto si la geometría y las propieedades del material no cambi an, las pro opiedades del conducto or se podrrán definir por dos vvalores, la carga total Q y el po otencial co onstante V. V La relación e entre las do os se podrá á extraer d e la ecuación del pote encial

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Tema 2 - Pág g. 3

V = Ke ∫ S

ρS r

⎧ dS ⎫ Q dS S = Q ⋅ ⎨K e ∫ ⎬ = Q. p rST S ⎩ S rST ⎭

dS = K e ∫

El interio or del paré éntesis no depende de la carg ga total y se de den nominará coeficiente c e de potenciaal eléctrico. Su inversso se llamaará coeficiiente de capacidad eeléctrica o simpleme ente capacida ad, designándose con la letra C. SSu unidad es el Faradio (F). Paraa un conducctor aislado o

Q = C ⋅V en lugar de e un condu uctor apareezcan una serie s de con nductores, el potencia al en cada uno Cuando e de ellos, por el principio de su uperposició ón será deb bido a la carga en los d demás V1 = p1 1Q1 + p12Q2 + ... + p1N QN

Pudiendo o escribirse e ecuacione es similaress para cada a uno, o en forma mattricial ⎧ V1 ⎫ ⎛ p11 ⎪V ⎪ ⎜ p ⎪ 2 ⎪ ⎜ 21 ⎨ ⎬=⎜ ⎪ ... ⎪ ⎜ .... ⎪⎩VN ⎪⎭ ⎜⎝ p N 1

p12 p22

... ...

...

...

p N 2 ...

p1N ⎞ ⎧ Q1 ⎫ ⎟ p2 N ⎟ ⎪⎪ Q2 ⎪⎪ ⋅⎨ ⎬ ... ⎟ ⎪ ... ⎪ ⎟ pNN ⎟⎠ ⎩⎪QN ⎪⎭

O invirtie endo la ecu uación y la matriz ⎧ Q1 ⎫ ⎛ C11 C12 ⎪Q ⎪ ⎜ C ⎪ 2 ⎪ ⎜ 21 C22 ⎨ ⎬=⎜ ... ⎪ ... ⎪ ⎜ ... ⎜ ⎪⎩QN ⎪⎭ ⎝ C N 1 C N 2

... C1N ⎞ ⎧ V1 ⎫ ⎟ ... C2 N ⎟ ⎪⎪V2 ⎪⎪ ⋅⎨ ⎬ ... ... ⎟ ⎪ ... ⎪ ⎟ ... C NN ⎟⎠ ⎩⎪VN ⎪⎭

oeficientes de capacidad. Por el principiio de acció ón y reaccción Donde C es la maatriz de co aplicado a la ley de Coulomb, las matricees son simé étricas. e para la te eoría de cirrcuitos es el e de dos conductorees iguales y cargados con Un caso interesante la mismaa carga de distinto d signo. ⎧ Q ⎫ ⎛ C11 C12 ⎞ ⎧VA ⎫ ⎟⎟ ⋅ ⎨ ⎬ ⎬ = ⎜⎜ ⎨ ⎩− Q ⎭ ⎝ C21 C22 ⎠ ⎩VB ⎭ Por sime etría C12 = C21 y como o hemos di cho que lo os conductores son ig guales, deb berá cumplirse que C11 = C22 . Sumaando las eccuaciones

(C11 + C221 ) ⋅ VA + (C122 + C22 ) ⋅ VB = 0 Y como o deberá cumplirse para ccualquier par de valores C11 = C22 = −C12 = −C21 = C .

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de V, se e tiene que

Tema 2 - Pág g. 4

El conjun nto se denominará co ondensado or, se representará con el icono de la figura y para él é se puede esscribir Q = C ⋅ (V A − VB )

El ejemp plo más se encillo es el de doss placas planas, para alelas y seeparadas por p un me edio dieléctricco. El valor de C en ese caso se p puede dem mostrar que vale

C =ε

S d

Siendo ε la permeabilidad eléctrica del m medio que aísla una placa p de la o otra. Puesto q que en un condensad c or los elem mentos está án separad dos por un dieléctrico o, se convertirá de hecho o en un aisllante que no n permite el paso de e las cargas eléctricas.

I=

dQ Q dtt

2.4. Bob binas elé éctricas. Autoindu A ucción. Cuando por un con nductor cirrcula una in ntensidad de d corrientte, se geneera un cam mpo magné ético dado porr la ley de Biot-Savart B r r ⎛ Idl r ⎞ B( x, y, z ) = km ⋅ ∫ ⎜ 2 × u r ⎟ r ⎠ L⎝

Si el cond ductor form ma una esp pira cerradaa, el flujo a través de su s superficiie será

r r ⎧⎪ ⎛ ⎛ r r ⎛ Iddl r ⎞ ⎞ r ⎛ dl r ⎞ ⎞ r ⎫⎪ φ = ∫ BdS = ∫ ⎜⎜ km ⋅ ∫ ⎜ 2 × ur ⎟ ⎟⎟dS = I ⋅ ⎨∫ ⎜⎜ km ⋅ ∫ ⎜ 2 × urr ⎟ ⎟⎟dS ⎬ r r ⎪⎩ S ⎝ ⎠⎠ ⎠ ⎠ ⎪⎭ S S⎝ L⎝ L⎝ El conten nido del paaréntesis depende só ólo de la ge eometría de e la espira,, no varía en e el tiemp po, y puede ob btenerse exxperimenta almente.

φ = I .L Si la intensidad varía en el tiempo, con eella lo hará el flujo, y de acuerdo o con la ley y de induccción de Faraday, en los extremos e de d la bobinaa aparecerá á una tensión dada po or

VA − VB =

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dφ d dI = (I .L ) = L dt dtt dt d Tema 2 - Pág g. 5

Es decir, la presenccia de una corriente c vvariable ind duce una te ensión elécctrica en lo os extremoss de la espiraa. El coeficciente L se e denomin ará autoin nducción, y su unidad d es el He enrio (H). Una configuraación interresante de e un condu uctor es aq quella en la que un número importante e de espiras sse ‘apilan’ formando o un conju unto con forma f de muelle m –dee ahí su representacción gráfica- alrededor de un nú úcleo, y q ue se den nominará bobina elééctrica. En este caso o el coeficien nte L se obttendrá med diante otraas ecuacion nes, pero el resultado o final será el mismo, una constantte que defin ne las prop piedades deel elemento o como

VA − VB = L

dI ddt

Se puede demostrrar que el coeficientee de autoiinducción de una bo obina se obtiene o con la siguiente e expresión n L = 4πµ

N 2S l

Siendo l su longitu ud, S su superficie traansversal, N el número de espirras y µ la permeabili p dad magnéticca del mate erial del nú úcleo. Cuando en lugar de una bobina b apaarezcan va arias en un u entorno o próximo o, los cam mpos magnéticcos se influ uirán mutua amente. Essto se verá más adelan nte.

2.5. Fue erza electtromotriz. Fuente es de tensión e inttensidad d. En el tem ma anteriorr se introdu ujo el conccepto de fu uerza electtromotriz ––fem-, dicie endo que para p que las ccargas se desplacen por p un cond ductor es necesario n comunicarl c les una cierta energíaa. La energía por unidaad de carg ga definía la fuerza electromo otriz, y los elemento os capacess de proporcionar esta energía e –qu ue se deno ominarán activosa ven ndrán defin nidos única amente por un valor de ttensión o intensidad. ntes de ten nsión estarán definidaas por el valor de ten nsión entree sus extrem mos, igual a la Las fuen ectromotriz. fuerza ele dw ε f .e . m . = = VA − VB dq Definiénd dose para ellos e una polaridad p e n el sentido en el que e comunicaan la energ gía a las cargas. La intenssidad que circule po or ella depeenderá dell resto de elementoss del circuiito, y no de la propia fu uente de te ensión. La letra elegi da para de esignar la fem f –E o ε según loss textos- no o es muy aforrtunada al poderse p co onfundir co on el campo o eléctrico o la permeeabilidad eléctrica. Las fuen ntes de inte ensidad ve endrán deffinidas úniccamente por el valor de la inten nsidad que e las á del resto del circuito o. atraviesaa. La tensión entre suss extremos dependerá

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Las prime eras vendrán definida as por un vvalor de ten nsión y un signo, s y las segun ndas por un n valor de intensidad y un sentido de circu ulación, de ahí ssu represe entación gráfica.El co omportamiento que se ha descrito es el que e correspon nde a fuen ntes eléctrricas ideale es. Más adelante e se verá cómo se comporta una fuen nte de ten nsión o intensidaad real. Tam mbién se ve erá cuáles son las dife erentes formas de comuniccar esa enerrgía en form ma de fuerzza electrom motriz. Una de las más sencillas s es e la que tiene lugar en las llamadas pilas elécctricas o más m correctam mente galvvánicas. Esttos disposiitivos conttienen en su s interior materiales en los cuaales se produ ucen reacciiones quím micas que cceden o acceptan elec ctrones. Esstas reaccio ones químiicas pueden ser o no re eversibles, y son lim itadas en el e tiempo. Cuando see establezcca un circu uito eléctrico cerrado, lo os electrones viajarán n desde los materialess que los ceeden hacia los materiaales que los ccaptan. esentación Su repre n es la de d la figu ura y su comportamiento el e de una fuente ideal de tensión.

2.6. Aso ociación de eleme entos. Cirrcuitos elléctricos.. mina circuiito eléctrico a una se rie de elem mentos o co omponenttes eléctricos, tales co omo Se denom resistenccias, inducttancias, con ndensadorres y fuente es, conecta ados eléctrricamente entre sí co on el propósito o de generrar, transpo ortar o tran sformar en nergía elécttrica. A la horaa de analizaar un circuiito es convveniente co onocer la te erminologíía de cada elemento que lo forma.. A continu uación se in ndican los ccomúnmen nte más ace eptados to omando como ejempllo el circuito m mostrado en e la figura. • • • • • •

Co onector: hilo h condu uctor de rresistencia desprecia able (ideaalmente ce ero) que une eléctricamen nte dos o más m elemen ntos. Ge enerador o fuente: elemento e q que producce electricidad, o máás correcta amente, fue erza electromotriiz. Re ed: conjuntto de elementos unid dos median nte conecto ores. Nudo o nod do: punto de d un circu uito donde e concurre en varios co onductores distintos. Su vaalor caracte erístico se definirá d po r un potencial. Raama: conju unto de tod dos los eleementos de e un circuito compreendidos entre dos nu udos co onsecutivo os. Su valor característtico será po or una inten nsidad. M Malla: conjunto de ram mas que forman un cirrcuito cerra ado.

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2.7. Ley yes de Kirrchhoff Las leyess (o lemass) de Kirch hhoff fuero on formula adas por Gustav G Ro obert Kirchhoff en 18 845, mientrass aún era esstudiante, y son la Leyy de los no odos (o ley de corrienttes) y la Ley y de las maallas (o ley de e tensiones). Son mu uy utilizad as en inge eniería eléc ctrica paraa obtener los valoress de intensidaad de corrriente y potencial e n cada pu unto de un circuito eléctrico. Surgen de e la aplicació ón de la ley de conserv vación de l a carga y de d la energíía. Primera Ley o ley de d los nodos “en todo nodo la sum ma algebra aica de corriientes debe ser nula”

∑I

k

=0

La suma de corrien ntes entran ntes debe ser igual a la suma de corrientes salie entes. Es consecuen ncia directta de la conservaación de la carga. Segunda a Ley o ley y de las mallas “en toda a malla la suma algebraica dee las difereencias de potenciall eléctrico debe d ser nula”

∑V

k

=0

La diferencia de po otencial enttre dos nud dos no dep pende del camino e elegido de e uno a otrro. Es una cconsecuen ncia de la conservaación de la energía po otencial elééctrica.

ociación de eleme entos passivos en serie s y pa aralelo. 2.8. Aso Se han definido varrios tipos de elemento os pasivos –resistenciias, conden nsadores y bobinas- y e tensión e intensidad d- que se associan form mando circu uitos eléctrricos. Para los activos ––fuentes de primeross las ecuaciones que los definen vienen dadas por dI d VA − VB = R ⋅ I Q = C ⋅ (VA − VB ) VAA − VB = L dt d

Veremoss ahora lo que q sucede cuando see asocian de dos formas diferenttes: -

En n paralelo: uniendo su us dos term minales En n serie: unie endo un te erminal parra disponerrse uno a co ontinuació ón del otro

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Resisten ncias en pa aralelo

VA − VB = R1 ⋅ I1 = R2 ⋅ I 2 = R3 ⋅ I3 = Req ⋅ I VA − VB VA − VB VA − VB ⎛ 1 1 1 ⎞ = ⎜⎜ + + ⎟⎟(VA − VB ) + + R1 R2 R3 ⎝ R1 R2 R3 ⎠ 1 1 1 1 = + + Req R1 R2 R3

I = I1 + I 2 + I 3 =

Resisten ncias en serrie

VA − VD = (VA − VB ) + (VB − VC ) + (VC − VD ) = R1 ⋅ I + R2 ⋅ I + R3 ⋅ I = Req ⋅ I

Req = R1 + R2 + R3 n paralelo Condenssadores en

Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1 ⋅ (VA − VB ) + C2 ⋅ (VA − VB ) + C3 ⋅ (VA − VB ) = Ceq ⋅ (VA − VBB ) Ceq = C1 + C2 + C3 Condenssadores en n serie

Q = C1 ⋅ (VA − VB ) = C2 ⋅ (VB − VC ) = C3 ⋅ (VC − VD ) = Ceq ⋅ (VA − VD ) 1 1 1 1 = + + Ceq C1 C2 C3

Bobinas en paralelo

dI1 ddI dI dI = L2 ⋅ 2 = L3 ⋅ 3 = Leq dt ddt dt dt V − VB VA − VB VA − VB ⎛ 1 1 1⎞ = ⎜⎜ + + ⎟⎟(VA − VB ) I ' = I1 '+ I 2 '+ I 3 ' = A + + L1 L2 L3 ⎝ L1 L2 L3 ⎠ 1 1 1 1 = + + Leq L1 L2 L3

VA − VB = L1 ⋅

Bobinas en serie VA − VD = (VA − VB ) + (VB − VC ) + (VC − VD ) = dI dI dI dI + L2 ⋅ + L3 ⋅ = Leq ⋅ dt dt dt dt Leq = L1 + L2 + L3

= L1 ⋅

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Tema 2 - Pág g. 9

2.9. Circuitos de e corrientte contin nua en rég gimen esstacionarrio. La corrie ente contin nua (CC en n español, en inglés DC, D de Dire ect Currentt) es el flujo continuo o de electrone es a través de un con nductor en ntre dos pu untos de diistinto poteencial. A diferencia de d la corriente e alterna (C CA en espa añol, AC e n inglés), en e la corrie ente contin nua las cargas eléctrricas circulan ssiempre en n la misma dirección d desde el pu unto de ma ayor potenccial al de menor. m Aunque comúnm mente se id dentifica la a corrientee continua con la co orriente co nstante (p por ejemplo o la suministrada por una u batería a), es conttinua toda corriente que manttenga siem mpre la missma polaridad d. Se llamaará ademáss régimen e estacionarrio de un circuito c elééctrico a aq quel en que e las propiedaades (V e I) no varían en e el tiemp po. Se definirá un corto ocircuito co omo la acci ón de cone ectar dos puntos p de u un circuito con un hilo oo esistencia nula. n Cuand do se hace esto, la conectorr en paralello, que tal y como se vvio tiene re intensidaad que circula por el conector c see llamará in ntensidad de d cortocirccuito, ICC. Se definirá un circuito abierto como la accción de se eparar dos puntos de un circuito o de los elemento os que los conectan. c Cuando C se hace esto, la diferenc cia de poteencial que aparece a entre sus extre emos se llam mará tensió ón de circu uito abierto o, VCA. v de la corriente c ccontinua en n régimen estacionari e io, un cond densador ess un Desde el punto de vista na es un ccortocircuiito. En el resto de eeste tema se estudiaarán circuito abierto, y una bobin circuitos de corrien nte continu ua en régim men estacionario, y en ellos só ólo tienen sentido co omo elemento os pasivos las resisten ncias.

n y transfformació ón de fuen ntes. Fue entes rea les. 2.10. Associación Cuando dos o más m fuente es ideales de tensión se conecctan en serie, s la ffem resultantte es igual a la suma algebraicaa de las femss de cadaa una de las fuen ntes. Cuando la conexió ón se realizza en paral elo, las fems de las fue entes han de d ser iguaales, ya que e en caso co ontrario se estaría en n un caso im mposible de acuerdo con la simplificaación que se s ha hecho. Cuando dos o más m fuente es ideales de intensidaad se con nectan en n paralelo,, la corriente e resultantte es igua al a la su uma algebraicca de las co orrientes de cada unaa de las fuenttes. Cuando la conex xión se reaaliza en serie, las corrientes de las fuentes han de ser ig guales, ya que q en caso contrario o se estaría de e nuevo en n un caso im mposible. Las fuenttes de tenssión idealess no ofrece n resistenccia al paso de d la corrieente, y las fuentes de intensidaad ideales no n presentan una difeerencia de potencial entre e sus exxtremos.

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Tema 2 - Pág g. 10

Sin embaargo estas dos d suposiciones no sse correspo onden con los resultaados experiimentales, y la simplificaación es exxcesiva. Se definirá d ah hora otro modelo m men nos simplifiicado Una fuen nte de tenssión real se puede con nsiderar co omo una fuen nte de ten nsión idea al, E, en sserie con una resistenccia Ri, a la que se deno omina resisstencia inte erna de la fue ente. En cirrcuito abie erto, la ten nsión entre e los extremoss A y B ess igual a E (V=E), perro si entre los mencion nados born nes se con necta una carga, RL, la tensión p pasa a ser

VA − VB = E

RL RL + RI

De modo o similar al anterior, una fuentee de corrie ente real se puede co onsiderar como un na fuente de intensidaad ideal, I, en paralelo o con una resistencia a, Ri, a la que se denomiina resisten ncia internaa de la fuente. En cortoccircuito, la corriente que q proporrciona es ig gual a I, pero o si se conecta una a carga, RL , la corrie ente proporcionada a la misma, IL, pasa a ser

IL = I

RL RL + RI

nálisis de e circuito os median nte el mé étodo de las corrieentes de malla. 2.11. An Tenemoss el circuito o de la figura con fuen ntes de ten nsión

Se definirán para caada malla in ndependieente las inte ensidades de malla ((i minúsculla) como un nas intensidaades ficticiaas que cum mplen que: -

su u sentido es arbitrario o pero paraa todas las mallas m el mismo, m en esse caso se ha elegido se entido horaario. en n las ramass que pertenecen a un na única malla, la intensidad de rama es igu ual a la de m malla I=i en n las ramass que son comunes a d dos mallas, la intensid dad real es igual a la diferencia d d de do os intensid dades de malla. En R2 p por ejempllo I=i1-i2 EElectrotecnia.. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 2 - Pág g. 11

Si aplicam mos ahora la segunda a ley de Kircchhoff a las tres malla as, tendrem mos que Para la primera VB − VE = (i1 − i2 )R2

VA − VE = E1

VA − VB = i1R1

Sumándo olas

E1 − i1R1 − (i1 − i2 )R2 = 0

Para la se egunda VB − VE = (i1 − i2 )R2

Sumándo olas

VC − VE = (i2 − i3 )R4

VB − VC = i2 R3

− (i1 − i2 )R2 + i3 R3 + (i2 − i3 )R4 = 0

Para la te ercera VC − VE = (i2 − i3 )R4

Sumándo olas

VD − VE = E2

VC − VD = i3 R5 E2 + i1R5 − (i2 − i3 )R4 = 0

Juntándo olas y reord denándolass i1 (R1 + R2 ) − i2 R2 = E1 − i1R2 + i2 (R2 + R3 + R4 ) − i3 R4 = 0 − i2 R4 + i3 (R4 + R5 ) = − E2

Escribién ndolas com mo matricess ⎛ R1 + R2 ⎜ ⎜ − R2 ⎜ 0 ⎝

− R2 R2 + R3 + R4 − R4

⎞⎧ i1 ⎫ ⎧ E1 ⎫ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − R4 ⎟⎨i2 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ R4 + R5 ⎟⎠⎪⎩i3 ⎪⎭ ⎪⎩− E2 ⎪⎭ 0

Para cuallquier otro circuito, se e podrá esccribir una ecuación e sim milar, hacieendo que -

Lo os elementtos de la dia agonal de lla matriz re epresentan la suma dee resistencias de cadaa m malla Lo os elementtos de fuera a de la diag gonal son la as resistenc cias que tieenen en común dos m mallas, camb biadas de signo. s El término in ndependien nte son las fuentes de e cada malla, con sign no positivo si coincide en co on el de lass intensidad des de mal la y negativ vo en caso contrario. ⎛ R11 ⎜ ⎜ − R12 ⎜ 0 ⎝ EElectrotecnia.. 2º ITOP. Currso 2010/11

− R12 R22 − R34

0 ⎞⎧i1 ⎫ ⎧ E1 ⎫ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − R13 1 ⎟ ⎨i2 ⎬ = ⎨E2 ⎬ R333 ⎟⎠⎪⎩i3 ⎪⎭ ⎪⎩E3 ⎪⎭ Tema 2 - Pág g. 12

2.12. An nálisis de e circuito os median nte el mé étodo de las tensio ones de nudo. n Si planteamos el mismo circuiito anteriorr sustituyen ndo las fuentes por fu uentes de in ntensidad

En el méttodo de lass tensioness de nodo sse asignará arbitrariam mente valo or cero a un n nodo. En este e caso se h hará con el nodo C. Si aplicamos la primera a ley de Kirc chhoff a loss nudos A y B, tendrem mos Para el no odo A

I1 +

VC − VA VB − VA + =0 R3 R2

Para el no odo B

I2 +

VC − VB VA − VB + =0 R3 R4

Reordenaando, y hacciendo VC = 0 se tien e ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎜⎜ + ⎟⎟VA − VB = I1 R3 ⎝ R2 R3 ⎠ ⎛ 1 1 1 ⎞ − VA + ⎜⎜ + VB = I 2 R3 ⎝ R3 R4 ⎠

ndo el sistema como matrices m Escribien 1 ⎛ 1 ⎜ + ⎜ R2 R3 1 ⎜ ⎜ −R 3 ⎝

1 ⎞ ⎟ R3 ⎟⎧VA ⎫ ⎧ I1 ⎫ = 1 1 ⎟⎨⎩VB ⎬⎭ ⎨⎩I 2 ⎬⎭ + R3 R4 ⎟⎠ −

ema podríaa generaliza arse a cualq quier circuiito. Este siste -

De entre lo os nodos en e los quee converge en varias ramas, r se elige uno, se le asigna po otencial nu ulo y se exccluye del sisstema. Lo os elementtos de la diiagonal de la matriz son s la suma de las invversas de las resisten ncias de e las ramas que convergen en n un nudo, exceptuan ndo las qu ue tienen una u fuente e de in ntensidad. EElectrotecnia.. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 2 - Pág g. 13

-

Lo os elementtos fuera de d la diago onal son las inversas de las resiistencias de la rama que un nen los nud dos corresp pondientess con signo o negativo. El término independie ente son laas fuentes de intensiidad que l legan a ca ada nudo, con sig gno positivvo si entran n y negativvo si salen. ⎛ 1 ⎜ ⎜ RA ⎜ 1 ⎜− R AB ⎝

−

1 ⎞ ⎟ RAB ⎟⎧VA ⎫ ⎧ I A ⎫ = 1 ⎟⎨⎩VB ⎬⎭ ⎨⎩ I B ⎬⎭ RB ⎟⎠

2.13. Prrincipio de d superp posición Cuando e el sistema tenga t fuen ntes de tenssión e inten nsidad, se dividirá d en dos partess

-

Un sistema con c las fuen ntes de ten nsión, y en el que las fuentes f de intensidad d se han ab bierto. Se re esolverá co on el métod do de las mallas. m

-

Un sistema con c las fuen ntes de inteensidad, y en el que las fuentes de tensión n se han ortocircuitaado. co

ncipio de su uperposició ón, y la solu ución del sistema Los efecttos se sumaarán aplicando el prin completo o será la co orrespondie ente a la su uma de las dos solucio ones parciaales.

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Tema 2 - Pág g. 14

2.14. Te eoremas de Thève enin y No orton. Una red lineal activva que con ntenga res istencias y una o má ás fuentes d de tensión n o intensid dad, puede su ustituirse por p un circuito equivvalente que e esté consstituido ún nicamente por una ún nica fuente de e tensión en e serie con n una resisttencia (teorema de Th hèvenin), o por una única fuente e de intensidaad en paralelo con un na resistenccia (teorem ma de Norton). En el p primer caso o la tensión n se llamará ‘equivalentte de Thève enin’ y en el segundo o, intensida ad ‘equiva lente de Norton’. Am mbas resistenccias serán ig guales.

La tensió ón de Thèvvenin es la que se pueede medir entre A y B en circuitto abierto.. La intensidad de Norto on es la qu ue se pued de medir eentre A y B en cortoc circuito. La resistencia es la que e se puede m medir entre A y B abrie endo las fueentes de in ntensidad y cortocircu uitando lass de tensión n de la red que estamos estudiando.

2.15. Associación n de elem mentos en n estrella a y triángulo. Se llamaarán estrellla y triángulo a un na configuraación partticular de resistenciaas conectad das tal y co omo se pue ede ver en la figura

El teorem ma de Kenn nelly, llamado así en h homenaje a Arthur Edwin Kenneelly, permite e determin nar la carga e equivalente e en estrellla a una daada en trián ngulo y vice eversa. El teeorema tam mbién se le e suele llam mar de tran nsformación estrella-ttriángulo (e escrito Y-∆)) o transforrmación te-delta (escrrito T-∆). Lass ecuacione es de transfformación son las siguientes De triáng gulo a estre ella

RA =

RAB

RABB RAC + RAC + RBC

RB =

R AB

RAB RBCC + RAC + RBC

RC =

RAB

RBC RAC + RAC + RBCC

Y de estrella a triángulo

RAB = RA + RB +

RA RB RC

RAC = RA + RC +

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RA RC RB

RBC = RB + RC +

RB RC RA Tema 2 - Pág g. 15

2.16. Po otencia eléctrica. e Ley de Jo oule. De acuerrdo con la definición, d el potenci al VAB es la energía ne ecesaria paara traslada ar la unidad d de carga desde el puntto A al pun nto B. La en nergía total para trasla adar una caarga Q será á W = Q.(VA − VB )

encia –energ gía por unid dad de tiem mpo- será Y la pote

P=

dQ dW W d Q = {Q.(V A − VB )} = (VA − VB ) = (VA − VB ) I dt dtt dt

O escrito o en forma compacta P =V ⋅I

Si por un n conducto or circula co orriente elééctrica, parte de la en nergía cinéética de loss electrone es se transform ma en calo or debido al a choque q que sufren n con las moléculas m d del conductor por el que circulan, elevando la temperatura del m mismo. Estte efecto es e conocid o como effecto Joule e en honor a su descubrridor el físico británicco James Prescott P Jou ule, que lo estudió en n la décadaa de 1860. Y puesto o que de accuerdo con n la ley de O Ohm, para una resiste encia V = I .R se tend drá la poten ncia eléctrica como el caalor disipad do por unid dad de tiem mpo. P = V ⋅ I = I 2R =

V2 R

esiones an nteriores co onstituyen la ley de Joule. J La energía e con nsumida en un tiemp po t Las expre será W = I 2 Rt R En este e efecto se basa el funccionamientto de difere entes electtrodomésti cos como los hornoss, las tostadoraas y las calefaccioness eléctricass, y alguno os aparatos empleado os industria almente co omo soldadorras, etc., en n los que el e efecto úttil buscado o es, precisamente, ell calor que e desprend de el conducto or por el paaso de la co orriente. Sin embaargo, en la mayoría de las aplicaaciones es un efecto indeseado o y la razón por la que e los aparatos eléctricos y electrónicos necesiitan un ven ntilador que disipe el calor gene erado y evitte el miento exce esivo de loss diferentess dispositiv vos. calentam La poten ncia eléctrrica se me edirá en vvatios (W) y la enerrgía eléctr ica en julios (J) o más comúnm mente en killovatios po or hora 1kW.h = 1000W .360 00 s = 3,6.10 06 J

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Tema 2 - Pág g. 16

2. Teoría de circuitos eléctricos

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Problemas

3. Cirrcuitoss de co orriente alterrna sen noidal . Introdu ucción a la l corrien nte altern na. Genera ación de tensión t senoidal. Valoress asociad dos a una magnitu ud senoid dal. Represe entación n complejja. Domin nios del tiempo t y de la freccuencia. Respue esta seno oidal de lo os eleme ntos pasivos. Impeda ancia y ad dmitancia comple ejas. Leyes d de Kirchh hoff. Asociacción de elemento e s pasivoss en serie e y parale elo. Fuentes de tenssión e intensidad.. uitos med diante loss método os de las mallas y los nudo os. Análisiss de circu Teorem mas de Th hèvenin y Norton.. Potencia en el dominio d del d tiemp po ulo de po otencia. Potencia P compleja a. Triángu Potencia eléctrica de insstalacione es en parralelo. de poten ncia. Impo ortancia práctica.. Corrección. Factor d EElectrotecnia.. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 3 - Pág g. 1

3.1. Intrroducció ón a la corrriente allterna. Se denom mina corrie ente alterna (abreviad da CA en español e y AC A en ingléés) a la corrriente elécttrica en la que e la magniitud y dirección varíaan cíclicam mente. La distribución n de energía eléctricaa en forma de e corriente alterna fue e ideada po or Nikola Tesla T y Geo orge Westin nghouse pa ara superar las limitaciones de la distribución d n de corrieente continua propue esta por Th omas A. Ed dison. El 14 4 de noviemb bre de 2007 cerró la última plaanta de disstribución de corrien nte continu ua del mun ndo, acabando una bataalla comerccial a favor d de la corrie ente alterna a. La princiipal ventaja a de la CA es e la facilidad para gene erar tension nes muy ellevadas, reduciendo las pérdidaas en los co onductoress de distribucción

P =V V.I

I=

P V

A iguald dad de pottencia elécctrica transsportada, cuanto c ma ayor sea laa tensión, menor serrá la intensidaad por los conductore c es de distrib bución, y menor m la po otencia perrdida en elllos.

3.2. Gen neración n de tensiión senoiidal. La variacción en ell tiempo –que – llamaaremos fo orma de onda- de laa corriente e alterna más m comúnm mente utilizzada es la de d una ond da senoidall. Esto es assí por la seencillez parra generarlaa. Si disponem mos una esspira en un campo maagnético B y la hacem mos girar, teendremos que el flujo o de campo m magnético, y la fem ge enerada cu uando varía a éste, son

φ = BS coos θ

E (t ) = −

dφ d (cos θ ) = − BS ddt dt

Si cerram mos el circcuito, por la espira ciirculará un na intensid dad de corrriente, y sobre la espira aparecerrá una fue erza magnética que tenderá a orientarla a en el seentido del campo. Será S necesario o por tanto o emplear una ciertaa energía –mecánica– en hacer g girar la esp pira. Éste es e el principio o básico de e funciona amiento deel generad dor de ten nsión altern na o altern nador, que e se estudiaráá en detalle e más adela ante. Si haccemos gira ar la espira con velocid dad angula ar constantte ω podremo os escribir E (t ) = −

d (cos ωt ) dφ = − BS = BSω sin ωt = Emax .sin ω t dt dt

El producto BSω ess constantte y corres ponde al valor v máximo (cuanddo el seno valga 1) de la E. tensión E

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Tema 3 - Pág g. 2

3.3. Vallores aso ociados a una mag gnitud se enoidal. Se definirá una mag gnitud senoidal como o aquella que varía en n el tiempo o siguiendo o una ley co omo nte. la siguien

A(t ) = Amax .sin(ωt + ϕ )

En donde A(t) será el valor in nstantáneo,, Amax es el valor máx ximo, ω ess la velocidad angular de variación n y φ se denominará ángulo de fase. La ve elocidad an ngular se exxpresará en radianes por segundo o, o bien en n función de d los giro os complettos por la frecuencia f ((su unidad d es el Herttzio, -1 1Hz=1s ), y su inverso, el perio odo (unidad des segund dos) f =

1 ω = T 2π

Se definiirá el valor medio de una magn nitud senoidal como el e promediio estadístiico de su valor v instantán neo a lo largo de un período p T, y que puede calcularse como T

1 A = ∫ Amax sin(ωt + ϕ )dt = 0 T 0 mo su valor eficaz com mo el definid do por la ex xpresión Se definirá asimism T

Ae =

1 ( Amax sin(ωt + ϕ ) )2 dt = Amax ∫ T0 2

ones apare ece también n como val or medio cuadrático c o RMS (roo ot mean square). En ocasio

3.4. Rep presentación por vectoress rotatoriios. Dominios del tiempo y de la frecuen ncia. Una funcción senoiidal puede e ser repreesentada por p un vec ctor girato rio (figura 3), al que e se denomin na fasor, qu ue girará co on una velo ocidad angular ω y cuy yo módulo o será el vallor máximo o.

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Tema 3 - Pág g. 3

La razón n de utilizzar la reprresentación n fasorial está en la a simplificaación que e ello supo one. Matemátticamente, un fasor puede p ser d definido fáccilmente po or un númeero comple ejo, por lo que puede em mplearse laa teoría de cálculo dee estos núm meros para el análisis de sistema as de corrie ente alterna. Un valor de tensión n dado por la expresió ón E (tt ) = Emax . sin n(ωt + ϕ ) módulo-argu umento) ccomo E∠ϕ . Diferen ntes Puede representarrse de forrma simpl ificada (m de ω podrán sumarse como núm meros comp plejos. Cuando vectores rotatorios con el mismo valor d usemos la primeraa notación n diremos que estamos en el dominio del tiempo, y cuando utilicemo os la segun nda, estare emos en el dominio de d la frecuencia. El m módulo del vector puede represen ntar el valorr de pico o el valor efficaz de la magnitud, pero en laas operacio ones no deben mezclarsse. Se empleará en adelante el vaalor eficaz de la magn nitud. E (t ) = 4. sin(ω t + 45º ) = 2 2∠45º = 2 + 2i

Ejemplo::

3.5. Resspuesta senoidal s de eleme entos passivos. Si recupe eramos las ecuaciones que defin nían los ele ementos pa asivos en ell tema ante erior Resistenccia

V = R⋅I

Condenssador

Q = C ⋅ V = ∫ Idt

Bobina

V =L

dI dt

omportamie ento bajo u una tensión n senoidal V (t ) = Vmax . sin(ωt + ϕ ) tendremo os, Y estudiaamos su co para unaa resistenciaa IR =

V 1 = Vmax sin(ωt + ϕ ) R R

Para un ccondensador IC = C

dV V d = CVmax sin(ωt + ϕ ) = ωCVmaxx cos(ωt + ϕ ) = ωCVmax sin(ωt + ϕ + 90º ) ddt ddt

Y para un na bobina IL =

1 1 1 1 V Vdt = Vmmax ∫ sin(ωt + ϕ )dt = Vmax (− cos(ωt + ϕ ) ) = V sin(ω t + ϕ − 90º ) ∫ L ωL ωL ωL max EElectrotecnia.. 2º ITOP. Currso 2010/11

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Si lo reprresentamoss ahora com mo vectorees rotatorio os Resisten ncia

IR =

1 1 Vmax siin(ωt + ϕ ) = V∠ϕ R R

Es decir, en las resisstencias el valor de la intensidad d expresado como fassor tendrá como mód dulo V / R y laa misma fasse que la te ensión. Condenssador

IC = ωCVmax ssin(ωt + ϕ + 90º ) = ωCV∠ϕ + 90º

Para los ccondensad dores, la inttensidad teendrá como o módulo ωC.V y su fase será la a de la tenssión más 90º, es decir, laa intensidad d se adelan nta a la tenssión. Bobina

IL =

1 1 Vmax ssin(ωt + ϕ − 90º ) = V∠ϕ − 90º ωL ωL

V / ωL y su fase Para las bobinas, el e módulo será s e será la de e la tensión n menos 90º, es deciir, la intensidaad se retrassa respecto o de a la ten nsión. EElectrotecnia.. 2º ITOP. Currso 2010/11

Tema 3 - Pág g. 5

3.6. Imp pedancia a y admitancia com mplejas. Si los rep presentamo os como magnitudes m s complejas, un modo o sencillo d de girar un n vector 90 0º es multipliccarlo por laa unidad im maginaria jj= 1∠90º , y un modo sencillo dee girar un vector -90 0º es dividirlo por la unid dad imagin naria 1/j= 1∠ − 90º . Se e denotará con la letrra j en luga ar de i paraa no confundiirla con la intensidad.. Podemoss escribir laas ecuacion nes de los eelementos en forma compleja c co omo IR =

1 V∠ϕ R

I C = ωCV∠ϕ + 90 9 = ωCV∠ϕ .1∠90º = jωC ⋅V∠ϕ IL =

1 1 1 V∠ϕ − 90 9 º= V∠ ϕ .1∠ − 90º = V∠ϕ ωL ωL jωL

Las tres e ecuacioness tienen la misma m form ma, y se pue eden invertir como

V∠ ∠ϕ = I R ⋅ R

V∠ ∠ϕ = I C ⋅

1 jωC

V∠ϕ = I L ⋅ jωL

La constaante que multiplica m en e todas a la intensid dad se den nominará im mpedancia a, se design nará con la le etra Z, y su us unidade es serán o ohmios (Ω). Su inverssa se llamaará admita ancia (Y) y sus unidadess son Sieme ens (S= Ω-1).

ZR = R

ZC =

1 −j = jω C ω C

Z L = jωL

Operand do de este e modo se s simplifiican las operacione o s, aparecieendo una ley de Ohm O generalizzada como V = I .Z La imped dancia elécctrica mide la oposició ón de un circuito c o de un comp ponente elé éctrico al paso p de una ccorriente eléctrica e altterna sinussoidal. El concepto c de d impedan ncia generraliza la leyy de Ohm en el estudio de d circuitos en corrien nte alterna a (AC). En gene eral una caarga de cualquier tiipo podrá expresarsse, y operrarse, como un núm mero complejo o con parte e real R y pa arte imagin naria X, inductiva si X> >0 y capaciitiva si X