Electrotecnia. Cap 3. Análisis de Circuitos

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Métodos de análisis de circuitos

vamos a conocer... 1. Necesidad de los métodos de análisis de circuitos 2. Leyes de Kirchhoff 3. Ecuaciones de las mallas o de Maxwell 4. Teorema de superposición 5. Teorema de Thévenin PRÁCTICA PROFESIONAL Kit para análisis de circuitos CC MUNDO TÉCNICO Conexión serie-paralelo en paneles fotovoltaicos de una central solar

y al finalizar esta unidad... Analizarás circuitos básicos de CC que no son simplificables mediante las transformaciones serie-paralelo y equivalencias estrella-triángulo. Calcularás, montarás y verificarás circuitos resistivos de CC mediante la aplicación de métodos básicos y universales como son las leyes de Kirchoff, las ecuaciones de Maxwell, el teorema de superposición y el teorema de Thévenin. Seleccionarás el método más adecuado de análisis de circuitos resistivos de CC.

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CASO PRÁCTICO INICIAL

situación de partida Luis López en la firma TV-Radio Electrónica como técnico de montaje y diseño de kits electrónicos para sistemas de enseñanza. Las aplicaciones de estos kits deben ser polivalentes para las distintas materias y módulos de electricida electricidad-electrónic d-electrónica, a, donde se deben aplicar los distintos métodos básicos del análisis de circuitos resistivos de CC. Se pretenden diseñar circuitos optimizados para 2-3 mallas, en las que todas las intensidades den positivas y en los que los generadores trabajen como tales aportando energía al circuito. De esta forma, el balance de energía resulta coherente y coinciden las energías aportadas por los generadores con las energías absorbidas por los receptores. También También se diseñarán ciertos circuitos en los que algún generador trabaja como receptor cuya energía se sume a la de los receptores.

En el departamento donde trabaja Luis se estudian las distintas alternativas de métodos de análisis, se monta y verifica cada prototipo. Junto a cada kit se deben adjuntar los resistores que los constituyen, la placa de conexiones, los cálculos previos, el esquema de montaje, las medidas efectuadas en un ensayo concreto y las conclusiones. La fuente de alimentación o fuentes de fem necesarias no se suministran con los kit y solo se indican las características de las mismas en cuanto a la tensión y la intensidad que deben suministrar. Asimismo se dan instrucciones acerca de los tipos de cables y conexiones más adecuados que se deben utilizar en cada caso.

estudio del caso Con el estudio de esta unidad encontrarás respuesta a las siguientes preguntas.

1. ¿Por qué necesitamos utilizar los métodos de análisis de circuitos? 2. ¿Qué métodos básicos existen para el análisis de circuitos resistivos de CC? 3. ¿Cómo se plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que sean linealmente independientes y que cumplan las leyes de Kirchoff? 4. ¿Cómo se predice el comportamiento de los elementos de un circuito?

5. ¿Se obtienen los mismos resultados si se aplica indistintamente un método u otro de análisis de circuitos? 6. ¿Estos métodos son generalizables en corriente alterna con circuitos resistivos, inductivos y capacitivos? 7. ¿Verificar el comportamiento de un circuito exige cálculos previos?

Kirchhoff y Maxwell Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) en 1845, siendo estudiante, amplió la teoría de Ohm y demostró las clásicas Leyes de las corrientes y de las tensiones que llevan su nombre. Por otro lado, James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1873 dio forma matemática a las ideas de Faraday y presentó las ecuaciones generales del electromagnetismo que en la actualidad permanecen inalterables, incluso después de la teoría de Einstein. Si a toda observación o descubrimiento del fenómeno eléctrico cualitativo le ha sucedido la cuantificación con sus correspondientes magnitudes y unidades; en este caso concreto de Kirchhoff y de Maxwell representan el máximo exponente de la expresión matemática y aplicación del análisis cuantitativo de circuitos eléctricos.

Unidad 3

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1. Necesidad de los métodos de análisis de circuitos caso práctico inicial Finalidad de los métodos de análisis de circuitos.

Ya hemos estudiado el comportamiento de la resistencia en CC y también la simplificación de circuitos mediante las tansformaciones serie-paralelo y las conversiones estrella-triángulo correspondientes. En esta unidad trataremos circuitos de naturaleza idéntica a los ya analizados, pero cuya complejidad requiere el desarrollo de determinadas técnicas de análisis como un gran procedimiento cuya finalidad es triple: • Calcular (predecir el comportamiento de los elementos del circuito). • Montar el circuito (realizar una actividad práctica con rigor en las conexiones). • Verificar el comportamiento de los componentes (realizar las lecturas y comprobaciones con los aparatos de medida).

R 1

R 2

a

A

A R 3

E 1

B

R 4

b

E 2

R 5

c

d R 7 E 3

A a

B

R 8 R 6

B

e

Figura 3.1. Nudos, ramas y ma-

llas de un circuito.

caso práctico inicial Métodos generalizables en CC y en CA.

Sea el circuito formado por las resistencias R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8 y las fuentes de fem E1, E2 y E3 todas ellas como se indica en la figura 3.1. Con los conocimientos que tenemos hasta ahora, podemos simplificar la conexión serie formada por R6 y R8 y transformar el triángulo resultante en su estrella equivalente. Ello nos permite asociar elementos y trabajar con circuitos más simples, pero no resolvemos el circuito. Esto nos demuestra que, con el cálculo de la resistencia equivalente de circuitos serie-paralelo o con la transformación de una conexión triángulo en su equivalente en estrella, es imposible encontrar la solución. Por ello, necesitamos recurrir a herramientas o estrategias más potentes, como son las leyes de Kirchhoff, las ecuaciones de Maxwell, el teorema de superposición y de Thévenin, como métodos de análisis de circuitos. Con el fin de facilitar su estudio, la aplicación de las distintas técnicas de análisis se realizarán en circuitos de CC solo con resistencias. Sin embargo, estos métodos son generalizables para la resolución de circuitos con impedancias y generadores de CA donde el fundamento y aplicación son idénticos, pero la dificultad matemática los pone fuera de nuestro alcance.

2. Leyes de Kirchhoff 2.1. Primera ley: ley de las corrientes vocabulario Nudo Punto de un circuito o red donde concurren más de dos conductores. En la figura 3.1, son nudos los puntos a, b, c, d y e. No son nudos los puntos A y B de cada uno de los generadores.

Si observamos el tramo de circuito formado por los conductores que concurren en el nudo a de la figura 3.2, vemos que los electrones que entran por los conductores 1-2 salen por los conductores 3-4-5. 3 e– I3 I1

1

I2

2 a

a

– – – – –

e–

–

–

–

–

–

– – – –

I4

–

–

–

–

–

4 e– I3

I5

   –    –    –    –

– e–

5

I1

I4

a I5

I2

En este nudo no hay acumulación de cargas

Figura 3.2. Cinco intensidades que concurren en un nudo a.

I1

 + I2 = I3 + I4 + I5

Métodos de análisis de circuitos

73

Como los electrones no cambian de naturaleza, no se comprimen ni se acumulan en un punto. todos los electrones que entran en el nudo deben de salir en la misma cantidad.

vocabulario

Este fenómeno físico se conoce como la ley de las corrientes de Kirchhoff, cuyo enunciado dice así:

analysis.

La suma algebraica de todas las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma algebraica de todas la intensidades que se alejan del mismo nudo consideradas todas ellas en el mismo instante de tiempo. La expresión matemática general que corresponde a este enunciado es: [1]  I (entrantes) =  I (salientes) Si aplicamos la expresión general de la fórmula [1] al nudo a de la figura 3.2., tenemos:

Español-Inglés Análisis de circuitos: circuit  Nudo: node. Ley de las corrientes de Kirchhoff’s: Kirchhoff’s current  law (KCL).

Malla: mesh. Rama: branch. Ley de las tensiones de Kirchhoff’s: Kirchhoff’s voltage law (KVL).

I1 + I2 = I3 + I4 + I5 Pasando todas las intensidades al primer miembro, nos queda la expresión: I1 + I2 – I3 – I4 – I5 = 0 que corresponde al convenio de asignar el signo (+) a todas las intensidades que llegan y el signo (–) a todas las intensidades que se alejan del nudo.

2.2. Segunda ley: ley de las tensiones Su enunciado es el siguiente: En toda malla o circuito cerrado, la suma algebraica de todas las fem debe ser igual a la suma algebraica de la caída de tensión en todas las resistencias intercaladas a lo largo de aquella malla o circuito cerrado.

vocabulario Malla

Si pasamos todo al primer miembro, nos queda:

Conjunto de ramas que forman un camino cerrado en un circuito y que no puede subdividirse en otros ni pasar dos veces por la misma rama.

[3] E –   R · I = 0

Rama

La expresión matemática general que corresponde a este enunciado es: [2] E =   R · I

Expresión que nos permite enunciar la ley de las tensiones de Kirchhoff como: La suma algebraica de las fem y tensiones a lo largo de una malla o circuito cerrado es cero. Aplicando esta expresión general de la ley de las tensiones a la malla representada en la figura 3.3a, nos resulta una ecuación que coincide con el perfil de variación de la tensión dibujado en la figura 3.3b, es decir: [4] +E1 – R1I – E2 – R2I – R3I – R4I + E3 – R4I = 0 E 2 =

4V

D

C

R 2 =

R 1 =

20

7Ω R 3 =

4Ω I  =

B E 1 =

25

E

15

F

1A

10 R 4 =

20 V

2Ω

2Ω

5 G

A

a) a

R 5 =

7Ω

H

E 3 =

4V

0

b)

A

B

C

D

E

F

Figura 3.3. a) Malla ACEGA. b) Perfil de la caída de tensión en toda la malla.

G

H

A

Conjunto de todos los elementos de un circuito comprendido entre dos nudos consecutivos. En el circuito de la figura 3.1 son ramas los tramos de circuitos: ab, ad, ae, bd, bc, dc, de y ec.

Unidad 3

74

Esta ecuación [4] es la que resulta de recorrer la malla en sentido ABCDEFGHA y de aplicar el convenio de signos ya adoptado.

2.3. Planteamiento y resolución del problema saber más Convenio de signos (I) Un aumento de tensión va precedido del signo (+). Este aumento de tensión se puede obtener de una fem o de una resistencia recorrida por una intensidad. • Generador. Existe un aumento de potencial cuando recorremos el generador desde el borne negativo hasta el positivo. El aumento de tensión en un generador es independiente del sentido que lleve la corriente a través del generador. Solo depende de la polaridad del generador y del sentido del recorrido del borne negativo al borne positivo (véase figura 3.4).

E 

A B

• Primer paso. Dibujamos el esquema del circuito mediante simbología normalizada, con todos sus componentes designados por las letras y subíndices que les caracterizan, incluido el valor de la magnitud de cada elemento (figura 3.5). Se asigna una letra a cada nudo. A veces, es necesario poner letras en puntos que no son nudos, por ejemplo, los puntos c, e y d de de la figura 3.5. • Segundo paso. Representamos todas las intensidades de rama asignándoles un sentido cualquiera al azar (figura 3.5). Este sentido asignado al azar no debe cambiarse durante todas las operaciones que dure el proceso. R 2 =

I 3

a

E 1 =

6V

E 2 =

Polaridad

E 

– +

Figura 3.4. Tensión positiva

[+U AB] en función de la polaridad y del recorrido.

20 Ω

c

E 3 =

e

10 Ω

8V d

R 5 =

–

B

R 3 =

12 V

+

Recorrido a

I 1

I 2

R 1 =

A

15 Ω

30 Ω

R 4 =

10 Ω

b

Figura 3.5. Enunciado del circuito completo con todos sus componentes y sentido previo, dado al azar, de las intensidades de rama I 1,  I 2 e  I 3. a

• Tercer paso. Aplicamos la ley de las corrientes a tantos nudos (n) como tenga el circuito menos uno. Número de ecuaciones: m = (n–1). En el caso de la figura 3.5: m = (n – 1) = (2 – 1) = 1, ecuación que aplicamos, por ejemplo, al nudo a. 1) Nudo a: I1 – I2 – I3 = 0 • Cuarto paso. Aplicamos la ley de las tensiones a tantas mallas como ramas (r) tenga el circuito menos (n – 1). Número de ecuaciones: q = r – (n – 1) = 2. Para plantear cada ecuación debemos establecer, previamente y al azar, el sentido en el que vamos a recorrer cada malla. En el caso de la figura 3.5. 2) Recorrido aebca: E1 – R2I1 – E2 – R5I2 – R1I1 = 0 3) Recorrido adbea: – R3I3 – E3 – R4I3 + R5I2 + E2 = 0 Se puede aplicar la primera ley al otro nudo o establecer recorridos contrarios siempre que se respete el convenio de signos. En este último caso, todos los términos de las ecuaciones cambian de signo. • Quinto paso. Una vez planteado el sistema de ecuaciones, 1), 2), 3) se resuelven, y se obtienen las intensidades pedidas en el enunciado.

Métodos de análisis de circuitos

75

La resolución del sistema de ecuaciones se puede hacer por los métodos de reducción, igualación o sustitución. En este caso lo resolvemos aplicando los elementos del álgebra lineal con notación matricial, resolviendo los determinantes por la regla de Sarrus y calculando las incógnitas por el sistema de Cramer. • Sexto paso. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, todas las intensidades que nos den positivas (+) tienen el sentido real igual al que hemos supuesto en el enunciado del circuito. Las intensidades que nos den negativas (–) son de sentido contrario del asignado al azar. • Séptimo paso. Conocidas las corrientes del circuito, podemos calcular las potencias en cada uno de los componentes y verificar que la potencia aportada por los generadores es igual a la consumida en el circuito (balance de potencias). Los generadores que aportan corriente por su borne (+) trabajan como tales generadores y si les entra la corriente por su borne (+), actúan como receptores. En este caso, la potencia se suma a la potencia consumida por los resistores.

saber más Convenio de signos (II) Resistencia. Se produce un aumento de potencial cuando recorremos la resistencia desde el borne (–) hacia el borne (+). El aumento de tensión en una resistencia es independiente de la polaridad de los generadores de fem. Solo depende del sentido de la corriente y del sentido en el que recorramos el circuito (figuras 3.6 y 3.8). A

A

+

IAB

– R Corriente y polaridad +

IAB

–

B

B

EJEMPLO Recorrido

Análisis de un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff

Figura 3.6. Tensión positiva [+ U AB] en función del recorrido y de la intensidad, I. a

En el circuito de la figura 3.5 se pide: a) Calcular el valor de las intensidades de rama. b) Determinar el sentido real de las intensidades y deducir el comportamiento de cada generador. c) Efectuar el balance de potencias.

Solución: a) Valor de las intensidades. Seguimos el proceso indicado en el epígrafe anterior y nos resulta el sistema, ya conocido, de tres ecuaciones 1), 2) y 3) con las tres incógnitas I1, I 2, I 3. 1. Nudo a: I1 – I2 – I3 = 0

Una caída de tensión va precedida del signo (–). Esta disminución de tensión también se puede obtener de una fem o de una resistencia recorrida por una intensidad: • Generador. Obtenemos una caída de tensión cuando la recorremos desde el borne positivo (+) hacia el negativo (–). –

A

E 

+

B

2. Recorrido aebca: E 1 – R2I1 – E 2 – R5I2 – R1I1 = 0 3. Recorrido adbea: – R3I3 – E 3 – R4I3 + R5I2 + E 2 = 0

Recorrido Figura 3.7. Tensión negativa

Si sustituimos cada E y cada R por su valor, simplificamos y ordenamos, nos queda: 1) I1 – I2 – I3 = 0

a

2)

–25 I1

– 30 I2

+0

=

6

3)

0

+ 30 I2

– 30 I3

=

–4

• Resistencia. Obtenemos una tensión negativa cuando recorremos la resistencia desde el borne positivo hacia el borne negativo.

Determinante del sistema:

∆ =

1

–1

–1

–25

–30

0

0

+30

–30

= 900 + 750 + 0 – 0 – 0 + 750 = 2.400

[– U AB] en función del recorrido y de la polaridad.

B

a

+

I

–

A

Recorrido Figura 3.8. Tensión negativa

[– U AB] en función del recorrido y de la intensidad.

Unidad 3

76

saber más La resolución de los sistemas de ecuaciones se puede hacer por los métodos de reducción, igualación o sustitución. No obstante, nosotros resolvemos y proponemos aplicar los elementos de álgebra lineal con notación matricial, resolviendo los determinantes por la regla de Sarrus y calculando las incógnitas por el sistema Cramer.

Determinantes de los términos independientes: ∆1 =

∆2 =

∆3 =

0

–1

–1

6

–30

0

–4

+30

–30

1

0

–1

–25

+6

0

0

–4

–30

1

–1

0

–25

–30

+6

0

+30

–4

= 0 – 180 + 0 + 120 + 0 – 180 = –240

= – 180 – 100 + 0 – 0 – 0 – 0 = –280

= 120 + 0 + 0 – 0 – 180 + 100 = 40

Aplicando la regla de Cramer, calculamos el valor de la incógnitas I1, I2 e I3. 240 1 I1 = =– = – 0,1000 A  2.400 I2 = I3 =

2  3 

=–

280 = – 0,1166 A 2.400

=+

40 = + 0,0166 A 2.400

Las intensidades I1, I2, por dar resultado negativo, son de sentido contrario al que hemos indicado en la figura 3.5. b) Comportamiento de los generadores. E 1 y E 3 se comportan como receptores, pues absorben corriente en vez de suministrarla; E 2 se comporta como generador por suministrar al circuito exterior la corriente de valor I2. c) Balance de potencias. En el balance de potencias se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía, es decir, toda la potencia suministrada por los generadores E 2 tiene que ser igual a la potencia que se consume en todas las resistencias más la que se consume en las fuentes de fem E 1 y E 3 que actúan como receptores. Potencia total generada: P TG = E 2 · I2 = 12 · 0,1166 = 1,399 W = 1,399 mW Potencia total consumida: P TR = (R1 + R2) I12 + R5I22 + (R3 + R4) I32 + E 1I1 + E 3I3 = 1,399 W = 1.399 mW

Métodos de análisis de circuitos

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3. Ecuaciones de las mallas o de Maxwell 3.1. Fundamento Las ecuaciones que estableció Maxwell están basadas en la segunda ley de Kirchhoff. En la aplicación de esta teoría de análisis, las incógnitas del circuito son las intensidades de malla, lo que se traduce en una simplificación en cuanto al número de incógnitas del circuito.

vocabulario

La ley de las tensiones de Kirchhoff se transforma en ecuaciones de Maxwell mediante la expresión general:

Ecuaciones de las mallas: mesh

[5] E (malla) – R · I (malla) + R · I (contracorriente) = 0

Intensidad de malla: mesh

Los criterios de convenio de signos son los mismos que los aplicados en las leyes de Kirchhoff, pero aplicados para cada ecuación a una malla y a las ramas contiguas (contracorrientes) a dicha malla.

Español-Inglés Intensidad de rama: branch current. equations. current.

Por ejemplo, para el circuito de la figura 3.9: 1) Malla y recorrido aebca: E1 – E2 – I’ (R2 + R5 + R1) + I’’ R5 = 0 2) Malla y recorrido adbea: E2 – E3 – I’’ (R5 + R3 + R4) + I’ R5 = 0 Se puede aplicar a esas mismas mallas recorridos opuestos, siempre que se respete el convenio de signos, pero, en ese caso, todos los términos de las ecuaciones cambian de signo.

3.2. Planteamiento y proceso El planteamiento del problema y aplicación del método de las ecuaciones de Maxwell requiere los mismos pasos establecidos en las ecuaciones de Kirchhoff (excepto la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a n – 1 nudos), teniendo en cuenta que aquí trabajamos con intensidades de malla (nos ahorramos n – 1 ecuaciones) y en función de las cuales calculamos las intensidades de rama. R 2 =

15 Ω

I 1

I 3

a

R 3 =

20 Ω

I 2

E 1 =

6V

E 2 =

c

12 V

E 3 =

e

Corriente ficiticia que suponemos recorre dicha malla y cumple dos condiciones: a) Es idéntica a la corriente real de las ramas no comunes con otra malla. En la figura 3.10 las corrientes de malla I’ e I’’ son idénticas a las corrientes de rama I1 e I3, respectivamente; b) Se compone algebraicamente (vectorialmente en CA) con las corrientes de las ramas comunes con otras mallas (contracorrientes) para formar la corriente real de dichas ramas. Así, en la figura 3.9, la corriente de rama I2, se expresa en función de las corrientes de malla I’ e I’’ mediante la ecuación: I2 = I’ – I’’.

8V

R 1

30 Ω

R 4 =

10 Ω

I'

R 3

R 2

Figura 3.9. Circuito de aplicación de las ecuaciones de Maxwell.

I 3

I ''

  E 2

R 5

b

Figura 3.10. Intensidades de rama I1, I2 e I3 y de malla I’ e I’’. a

a

I 2

E 1

b

R 4

a

I 1

I '' 

R 5 =

10 Ω

Intensidades de malla

d

I ' 

R 1 =

vocabulario

Unidad 3

78

En el caso de la figura 3.9, una vez calculadas las intensidades de malla I’ e I’’, las intensidades de rama I1, I2 e I3 valen: • I1 = I’ Por coincidir la intensidad de malla con la de rama no común con otra malla. • I2 = I’ – I’’ Las intensidades de malla I’ e I’’ son opuestas e I2 del mismo sentido que I’. • I3 = I’’ Por coincidir, también, estas intensidades de rama y de malla.

caso práctico inicial Aplicando las ecuaciones de Maxwell, optimizamos el número de ecuaciones.

EJEMPLO Análisis de un circuito aplicando las ecuaciones de Maxwell Aplicando las ecuaciones de Maxwell, resolver el problema planteado en la figura 3.5 y comprobar que obtenemos los mismos resultados que en el análisis de Kirchhoff.

Solución: Lo primero que hacemos es identificar las incógnitas del circuito y después plantear y resolver, r  – ( n – 1) = 2, ecuaciones. Usando la figura 3.9: 1. Malla y recorrido aebca: E 1 – E 2 – I’ (R 2 + R5 + R1) + I’’R5 = 0 2. Malla y recorrido adbea: E 2 – E 3 – I’’ (R5 + R3 + R4) + I’R 5 = 0 Sustituyendo los valores de las R y de las E, operando y ordenando: 1) – 55 I’  + 30 I’’ = 6 2) + 30 I’  – 60 I’’ = – 4 Determinante del sistema: ∆ =

–55

+30

+30

–60

= 3.300 – 900 = 2.400

Determinante de los términos independientes: ∆1 =

∆2 =

+6

+30

–4

–60

–55

+6

+30

–4

= – 360 + 120 = –240

= + 220 – 180 = 40

Valor de las intensidades de malla: –240 1 I’ = = = – 0,100 A I’’ =  2.400

2 

=

+ 40 = + 0,0166 A 2.400

Valor de las intensidades de rama: I1 = I’  = – 0,1000 A I2 = I’ – I’’ = – 0,1000 – (+ 0,0166) = –0,1166 A I3 = I’’ = + 0,0166 A

Como vemos, obtenemos los mismos resultados que resolviendo por Kirchhoff. A partir de aquí procederíamos exactamente igual para hacer el balance de potencias.

Métodos de análisis de circuitos

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4. Teorema de superposición La aplicación práctica de este teorema consiste en analizar tantos circuitos como generadores existan, actuando en cada caso un solo generador, para lo cual es necesario cortocircuitar los restantes. En cada circuito sencillo se asigna el sentido real a todas las intensidades que produce la fem, para después superponer algebraicamente todas las intensidades. Este método exige conocer bien las transformaciones serie-paralelo y conversiones estrella-triángulo equivalentes y aplicarlo sistemáticamente con rigor y claridad.

EJEMPLO Análisis de un circuito aplicando el teorema de superposición

saber más Teorema de superposición Dado un circuito bilateral con elementos lineales únicamente y con más de un generador, la corriente o tensión en cualquier rama o elemento es igual a la suma algebraica de los efectos producidos por cada generador considerando individualmente, cuando el resto de los generadores se reemplazan por sus resistencias internas.

Aplicando el teorema de superposición, resolver el mismo problema planteado en la figura 3.9 y comprobar que obtenemos idénticos resultados con las aportaciones simultáneas de cada fuente de fem. Transformar la figura 3.5 que tiene tres fuentes de fem, en otros tres circuitos como los de las figuras 3.11, 3.12 y 3.13, en los que solo existe una fem.

Solución: Aportaciones de la fuente E 1 Rab =

(R3 + R4) · R5

=

R3 + R4 + R5

(20 + 10) · 30

= 15 

20 + 10 + 30

vocabulario Español-Inglés

RT = R1 + R2 + Rab = 10 + 15 + 15 = 40  E 1

= I’  1

RT

I’  = I’  2 1

I’  = I1 3

=

6 40

= 0,15 A

R3 + R4

= 0,15

R3 + R4 + R5 R5

= 0,15

R3 + R4 + R5

R 2 =

30

30

6V

= 0,075 A

20 + 10 + 30

R 3 =

a I2  ' 

E 2

20 Ω

I3  ' 

E 3

e

c R 1 =

R 5 =

10 Ω

vocabulario d

30 Ω

R 4 =

10 Ω

Circuito bilateral Aquel que tiene las mismas características en ambas direcciones.

Circuito lineal b

a

Cortocircuitar: short-circuited. Circuito lineal: linear circuit. Circuito bilateral: bilateral circuit.

= 0,075 A

20 + 10 + 30

15 Ω

I1' 

E 1 =

Teorema de superposición:  superposition theorem.

Figura 3.11. Superposición. Aportaciones de E 1.

Aquel cuyos parámetros son constantes.

Unidad 3

80

Aportaciones de la fuente E 2 (R3 + R4) · (R1 + R2) Rab = = R3 + R4 + R1 + R2

R 2 =

I’ ’ 2 =

=

RT

43,63

e

(R3 + R4) + (R1 + R2) R1 + R2

I’’  = I’’  · 3 2

(R3 + R4) + (R1 + R2)

=

R 1 =

Figura 3.12. Superposición. Aportaciones

0,275 · (20 +10) 20 + 10 + 15 + 10 0,275 · (15 + 10) 20 + 10 + 15 +10

Aportaciones de la fuente E 3

=

(R1 + R2) · R5 R1 + R2 + R5

10 Ω b

R 2 =

Rab =

= 0,15 A

= 0,125 A

15 Ω

I ''' 

1

=

10 + 15 + 30

R 3 =

a

I ''' 

E 1

(10 + 15) 30

d 30 Ω R 4 = 10 Ω

de  E 2.

= 0,275 A

=

E 3

12 V

R 5 =

a

R3 + R4

I’ ’ 1 = I’’  · 2

20 Ω

I3  '' 

E 2 =

c

=

= 13,63  RT = R5 + Rab = 30 + 13,63 = 43,63  12

I2  '' 

E 1

10 + 20 + 10 + 15

E 2

R 3 =

a

I1'' 

(10 + 20) · (10 + 15)

=

15 Ω

2 

E 2

20 Ω

I '''  3 

E 3 =

8V

e

c

R 5 =

= 13,63 

R 1 =

10 Ω

d 30 Ω R 4 = 10 Ω

b

RT = Rab + R3 + R4 = 13,63 + 20 + 10 =

= 43,63  I’’  ’ 3 =

E 3 RT

=

· I’’’ 2 = I’’’  3

I’’’  = I’’’  · 1 3

saber más Generador equivalente de Thévenin Entre dos puntos de un circuito lineal bilateral tiene por fem la tensión entre estos dos puntos y resistencia interna, la resistencia de todo el circuito entre esos dos puntos si cortocircuitamos todos los generadores.

8 43,63

a

Figura 3.13. Superposición. Aportaciones

de  E 3.

= 0,1834 A

R1 + R2 R1 + R2 + R5 R5 R1 + R2+ R5

= 0,1834 ·

= 0,1834 ·

10 + 15 10 + 15 + 30 30 10 + 15 + 30

= 0,0834 A

= 0,1000 A

Intensidades de rama I1 = I1 – I’’  – I’’’  = 0,15 – 0,15 – 0,1000 = – 0,1000 A 1 1 I2 = I2’  – I’’  + I’’’  = 0,075 – 0,275 + 0,0834 = – 0,1166 A 2 2 I3 = I3’  + I’’  – I’’’  = 0,075 + 0,125 – 0,1834 = + 0,01664 A 3 3

Estos valores coinciden exactamente con los calculados por Kirchhoff y por Maxwell. Conocidas las aportaciones en intensidad, podemos calcular las tensiones y comprobar que también se cumple el teorema de superposición.

Métodos de análisis de circuitos

81

5. Teorema de Thévenin El teorema de Thévenin forma parte de los grandes teoremas para el estudio de circuitos y redes lineales de CC y CA. Su enunciado dice así: Si una resistencia (RTH) se conecta en dos puntos ( AB) de un circuito lineal bilateral, la intensidad que por ella circula (ITH) es igual al cociente de dividir el valor de la tensión (U 0) existente entre los dos puntos, antes de conectar (RTH), por la suma de la resistencia que presenta el circuito entre esos dos puntos ( AB) más la resistencia (RTH) conectada (figura 3.14). U0

[6] ITH =

R0

=

caso práctico inicial Teoremas para el estudio de circuitos y redes lineales en CC y en CA.

Circuito lineal bilateral con varias fem R 0

U0

B

RAB (antes) + RTH

B'

U 0

A A'

Carga externa

U0: tensión entre los dos puntos (AB) antes de conectar R TH

R TH

R0: resistencia del circuito entre los dos puntos (AB) + la resistencia R TH

EJEMPLO Resolución de un circuito aplicando Thévenin

R TH =

20 Ω B 

Calcular el valor de la intensidad ITH cuando conectemos la RTH a los bornes (AB) del esquema de la figura 3.15.

R 2 =

E 1 =

15 Ω

A

a

E 2 =

6V

R 3 =

20 Ω

12 V

E 3 =

B

R1 + R2 + R5 RAB · R3

RAB (antes) =

ITH =

U 0 R0

+ R4 =

RAB + R3

=

U 0 RAB (antes) + RTH

(10 + 15) · 30 10 + 15 + 30

23,63 + 20 =

I

A'  TH

8V

I '' 

d

Figura 3.14. Concepto del teorema de Thévenin. a

vocabulario Español-Inglés Teorema de Thévenin: Thévenin’s theorem.

+ 10 = 23,6363 

23,63 · 20

=

A

R TH

e

(R1 + R2) · R5

R 0

B' 

c Solución: R 4 = 10 Ω Valor de U 0. El circuito de la figuR 5 = 30 Ω R 1 = 10 Ω ra 3.15 antes de conectar RTH es b el ya conocido de los epígrafes a Figura 3.15. Ejercicio de aplicación del teoreanteriores. El valor de U 0 es la ma de Thévenin. tensión que existe en bornes de R3, es decir: U 0 = U R3 = R3 · I3 = 20 · 0,0166 = 0,332 V Valor de RAB(antes). El valor de la resistencia entre los punto s (AB) antes de conectar la RTH se calcula cortocircuitando todas las fuentes de fem.

RAB =

U 0

0,332 10,833 + 20

= 10,83 

saber más Circuito bilateral

= 0,0108 A

Podemos comprobar aplicando las ecuaciones de Maxwell, simplificando, previamente, la conexión en paralelo que forman RTH y R3 ( RTH / R3) y obteniendo el valor de la intensidad de malla I’’ = 0,0216 A. Después hacemos un reparto de corrientes inversamente proporcional a RTH y a R3 con lo que resulta el mismo valor de 0,0108 A para ITH.

Aquel que tiene las mismas características en ambas direcciones. La corriente es del mismo valor para polaridades opuestas de la fuente de tensión. Por ejemplo, una resistencia, una línea de transporte.

Circuito lineal Aquel cuyos parámetros son constantes.

 

Unidad 3

82

ACTIVIDADES FINALES 1. Calcular las intensidades de rama de cada uno de los siguientes circuitos. Puedes primero tratar de simplificar y después aplicar Maxwell y comprobar por superposición. Aplicar Thévenin para calcualr ITH en circuitos g y h. a)

R 1

E 1 =

I3

b

8V

E 2 =

b)

d

10 V

r 1 = R 5

I1

I2

R 2

a a

a

R 3

r 2 =

6V

Figura 3.17.

d)

R 1

f

R 2

a

a

c

E 1 =

R 3 E 2 =

E 3 =

R 2

6V

E 2 =

R 5 I'' 

e 6V

I ''' 

I3

I1

I4

I5

c d R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 100 Ω

4,7 Ω a

R 1

R 4

I ' 

e

Figura 3.18.

e)

24 V

b

R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = a

E 1 =

R 4

d

4V

R 3

b

I2

I3

2V

6V

c R 3 = 12 Ω

R 1

I2

R 3

I2

e a

I1

0,2 Ω

E 2 =

I1

Figura 3.16.

c)

0,5 Ω

E 1 =

R 4

c R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 10 Ω

I3

b

Figura 3.19.

f)

I1

R 1

a

R 3

b

a E 1 =

4V

R 3

R 1 =

E 1 =

10 Ω

E 2 =

R 3 =

I2

R 2 =

10 Ω

1Ω

E 3 =

I2

R 2 =

10 Ω

b

5V I3

   0    1   =

   5

      R

      Ω

   0    3   =

E 1 =

6V

I'' 

E 2 =

a

   H    T

R 1 =

e

10 Ω

a

Figura 3.23.

   0    2   =

20 Ω

R 3 =

c

      Ω

6V

R 4 =

      R

10 Ω

ITH

d

I'        Ω

10 Ω

10 V

Figura 3.21.

h)

ITH

d

10 V

R 4 =

c Figura 3.22.

I3

b

E 2 =

R 4

c R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 2 Ω a

8V

I1

15 V R 2

Figura 3.20.

g)

E 1 =

I3

b R 1 = R 2 = R 3 = R 4 =

a

R 4

I2

R 2

a

R 5

I1

   5

      R

10 Ω e

      Ω

   0    2   =

   H    T

      R

Métodos de análisis de circuitos

i)

R 1 =

3Ω

83

b

A

 j)

A R 1 =

B

120 Ω

R 2 =

30 Ω

a E 1 =

2V

R 3 =

36 Ω

a

R 4 =

E 1 =

36 Ω

R 1

I1

R 3

b

l)

I3

E 1 =  r 1 =

 = 2 A

I

Ig

R 4

I4

b

c E  =

I

12 V

Figura 3.26. ¿Cómo se simplifica?

a

R 1

d

120 Ω

d

8V 0,3 V

Iac

R 2 R 3

36 Ω

R 2 =

18 Ω

R 3 =

12 Ω

c

R ab

E  =

a

b R bc

Figura 3.28. Compara el número de ecuaciones por Maxwell y Kirchhoff. a

I1

c

I2

I3

R 2

Icb

I2 I3

Ibc

5,4 V 0,4 V

a R 1 =

R 4

30 V

 r 2 =

n)

a R ac

E 2 =

Figura 3.27. Calcula I1, I2 e I3.

I

E  =

R 5 =

Figura 3.25. Calcular Thévenin entre A y B.

d

R 2

I2

e a

R g

m)

120 Ω

30 V

10 Ω

a

a

E 2 = R 4 =

Figura 3.24. Calcular Thévenin entre A y B.

k)

c

100 V

B a

120 Ω

b

c R 2 =

R 3 =

a

12 V I1

I2

E 3 =

I3

E 4 =

8V R 3

E 3 =

R 5

I4

10 V

d I5

b

15 V

Figura 3.29. Compara el número de ecuaciones por Maxwell y Kirchhoff. a

entra en internet 2. Entra en internet e investiga sobre la biografía de Gustav Robert Kirchhoff y de James Clark Maxwell así como programas para la resolución de circuitos.

Unidad 3

84

PRÁCTICA PROFESIONAL HERRAMIENTAS • Alicates y destornilladores

Kit para análisis de circuitos CC

MATERIAL

OBJETIVO

• Los indicados en el apartado 4 de esta práctica.

Establecer procedimientos para diseño de circuitos CC. Diseñar un kit para análisis de circuitos de CC con dos mallas, dos fuentes de fem de tensión no superior a 20 V y resistores profesionales con valores normalizados de 100, 120, 180, 220 y 330. Adjuntar cálculos, esquema, lecturas, recursos y conclusiones.

PRECAUCIONES • Ajustar las fuentes de alimentación para la tensión e intensidad previstas. • Cuidar la conexión correcta de polaridades y elección correcta del alcance de escala de aparatos. R 1 =

PROCEDIMIENTO 1. Cálculos previos

120 Ω I1

d E 1 =

1) Recorrido cabc: + E 1 – I’ (R1 + R2 + R3) + R3I’’ = 0

∆1 =

∆2 =

Ií  =

–880

–15

220

20

–880

–440

–15

220

20

∆1 ∆

=

   0    2    2   =

I'' 

R 2 =

100 Ω

R 5 =

c a

Figura 3.30. Esquema de partida.

= + 387.200 – 48.400 = 338.800

= 13.200 – 4.400 = 8.800

= – 8.800 + 3.300 = – 5.500

8.800 = 25,97 mA 338.800

I1 = I’ = 25,97 mA I2 = I’ – I’’ = 25,97 – (– 16,23) = 42,2 mA I3 = I’’ = – 16,23 mA. Sentido real contrario

E 2 =

      R

a

2) 220 I’ – 880 I’’ = +20

220

15 V

   3

1) – 440 I’’ + 220 I’’ = –15

∆ =

      Ω

I ' 

2) Recorrido bdcb: – E 2 + I’R3 – I’’ (R3 + R4 + R5) = 0

220

330 Ω I3

I2

• Aplicamos ecuaciones de Maxwell.

–440

R 4 =

b

I

 =

∆2

’ ’ 

∆

=

–5.500 = –16,23 mA 338.800

330 Ω

20 V

Métodos de análisis de circuitos

85

• Comprobamos por superposición. RT = R1 + R2 + Rab RT = 385 

R 1 =

120 Ω

330 Ω

I2' 

I1' 

E 1 =

R 4 =

a

I'  3

      Ω

15 V

   0    2    2   =

   3

      R

c R 2 =

100 Ω

R 5 =

330 Ω

b a

Figura 3.31. Aportaciones de E 1.

I1’  =

E 1

= 15 = 38,96 mA RT 385

I3’  = I1’  ·

I2’  = I1’  ·

R 1 =

R3

= 38,96 220 = 9,74 mA 880

R3 + R4 + R5 R4 + R5

= 38,96 660 = 29,22 mA R3 + R4 + R5 880 120 Ω

R 4 =

a

I1'' 

330 Ω

I2'' 

I''  3

      Ω

E 2 =

   0    2    2   =

   3

      R

R 2 =

100 Ω

R 5 =

330 Ω

b a

Figura 3.32. Aportaciones de E 2.

RT = Rab + R4 + R5 RT = 110 + 330 + 330 = 770 

20 V

Unidad 3

86

PRÁCTICA PROFESIONAL (cont.) E 2

· 20 = 25,97 mA RT 770

I’’  = 3

= I’’  · I’’  1 3 I’’  = I’’  · 2 3

R3

= 25,97 220 = 13 mA 440

R1 + R2 + R3 R1 + R2

= 25,97 220 = 13 mA 440

R1 + R2 + R3

I1 = I1’ – I’ 1’ = 38,96 – 13 = 25,96 mA I2 = I2’ – I’ 2’ = 29,22 +13 = 42,22 mA I3 = I3’ – I’ 3’ = 9,74 – 25,97 = –16,23 mA

Valores que coinciden con los calculados por Maxwell. Balance de potencias: P 1 = R1 · I21 = 120 · 0,02592 = 80,49 mW P 2 = R2 · I21 = 100 · 0,02592 = 67,08 mW P 3 = R3 · I22 = 220 · 0,03222 = 391,78 mW P 4 = R4 · I23 = 330 · 0,016232 = 86,69 mW P 5 = R5 · I23 = 330 · 0,016232 = 86,69 mW P TR = n1 · P n = 67,08 + 80,49 + 391,78 + 86,69 = + 86,69 = 712,7 mW P TR = P TS = E 1I1 + E 2 (–I3) = 15 · 25,96 + 20 · 16,23 = 714 mW

2. Esquema de montaje R 1 =

120 Ω

I 1

A

E 1 =

+

A1

– a +

R 4 =

330 Ω I 3

+

15 V +

A2

I 2

+

–       Ω

V 1

   0    2    2   =

–

B

A3

–

V 2

E 2 =

20 V

–

D

   3

R 2 =

      R

100 Ω

R 5 =

330 Ω

b a

C

Figura 3.33. Sentidos y polaridades reales.

Métodos de análisis de circuitos

87

3. Lecturas efectuadas. V 1

V 2

15 V

20 V

 A1

 A2

26 mA

42 mA

 A3

16 mA

4. Recursos Marca en esquema

Aparato

E 1

Fuente alimentación regulable 30 V-2 A

E 2

Fuente alimentación regulable 30 V-2 A

V 1

Voltímetro CLU 0-15-30 V, clase I

V 2

Voltímetro CLU 0-15-30 V, clase I

 A1

Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA

 A2

Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA

 A3

Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA

• Placa Board, conexional 4 mm • Resistores de valores indicados, tolerancia 5% y potencia 1/8 W menos la R3 que es de 0,5 W • Papel e instrumentos de dibujo

5. Conclusiones Los cálculos previos nos predicen un idéntico comportamiento del circuito, tanto si lo calculamos por Maxwell como por superposición. Cálculos previos que se corresponden con la verificación de lecturas efectuadas. Los dos generadores trabajan como generadores.

Unidad 3

88

MUNDO TÉCNICO Conexión serie-paralelo en paneles fotovoltaicos de una central solar Partimos del supuesto de una central solar, con paneles fotovoltaicos, con una potencia inst alada de 44,625 MW mediante 2.500 seguidores con 6 × 17 paneles cada uno del tipo BP 4175 como el que se indica en la siguiente figura, vamos a contestar a las siguientes preguntas para hacer las previsiones del anteproyecto de la citada central solar. a) Dimensiones mínimas de cada seguidor y disposición de los paneles solares. b) Superficie rectangular mínima del terreno llano en el supuesto de que cada seguidor lo instalamos en un cuadrado de 20 × 20 m para que pueda girar libremente. c) Conexión serie-paralelo a efectuar en los paneles de cada seguidor para una tensión nominal de 24 V en CC. Diagrama del módulo

Curva I-V del BP 4175N

60

Cara frontal

6.0 5.0    )    A    (   e    t   n   e    i   r   r   o    C

   3    9    5    1

Vista lateral

790 a

Figura 3.34. Panel BP4175.

4.0 3.0 2.0 1.0 0.0

t= 0 °C t= 25 °C t= 50 °C t= 75 °C

0 10 20 30 40 50 60

Características Potencia nominal Tolerancia Eficiencia Voltaje nominal Potencia máxima (P máx) Tensión a la máxima potencia (V mpp) Corriente a la máxima potencia (Impp) Corriente de cortocircuito (Isc) Tensión de circuito abierto (V oc)

175 W –3/+5% 13,9% 24 V 175 W 35,4 V 4,8 A 5,45 A 43,6 V

Tensión (V) a

Figura 3.35. Curvas características.

Como para cada seguidor disponemos de un cuadrado de 20 × 20 m, la superficie mínimo del terreno son 100 hectáreas, es decir:   m   m    8    5    5    9   =    3    9    5    1   x    6

17 x 790 = 13430 mm

50 x 20 = 1000 m

6 5 Seguidor con 4 6 x 17 = 102 paneles (módulos 3 fotovoltaicos del 175 W) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 a) Dimensiones de cada seguidor (9,558 x 13,430 = 128,36 m 2) Imáx= 102 x 4,8 = 489,6 A    l   s   e   n E i   o    t   a   n   /   p   e   e I    i 1   m   r   e   e    l   e   s    2   n E 72    7   e

 = 4,8 A 102 ramas en paralelo

BATERÍA U máx= 24 V cc + CONVERTIDOR (nominal) 35,4 V +REGULADOR

50 FILAS X 50 COLUMNAS DE 20 X 20 m cada una (Un seguidor/  cuadro)

b) Superficie del terreno (1000 x 1000 = 10 6 m2 = 100 Ha) CA

c) Conexión serie-paralelo en cada seguidor. a

  m    0    0    0    1   =    0    2   x    0    5

Figura 3.36. Superficie del terreno para 2.500 seguidores y esquema eléctrico de cada seguidor.

Métodos de análisis de circuitos

89

EN RESUMEN RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

Circuitos que admiten simplificación

Circuitos que no admiten simplificación

Conexiones serie-paralelo-estrella-triángulo

Estudiar el mejor método de resolución

Se reduce a la resistencia equivalente

Aplicar la Ley de Ohm

Kirchhoff

Maxwell

Superposición

Thévenin

Intensidades de rama y balance de potencias

EVALÚA TUS CONOCIMIENTOS 1. La intensidad que circula entre dos nudos consecutivos se llama intensidad de:

a) Rama. b) Malla. c) Nudo.

5. En el convenio de signos adoptado, un aumento de potencial va precedido del signo:

a) Más. b) Menos. c) Ambos.

2. La primera ley de Kirchhoff se aplica tantas veces como: a) n – 1 b) r – (n – 1) c) r – n

6. En el convenio de signos adoptado, una disminución de potencial va precedido del signo:

3. La segunda ley de Kirchhoff se aplica tantas veces como: a) n – 1 b) r – (n – 1) c) r – n 4. Al aplicar las ecuaciones de Maxwell nos ahorra en comparación con Kirchhoff: a) r – (n – 1) ecuaciones.

7. El teorema de superposición se cumple porque se basa en sumar los efectos que aportan al circuito:

b) Ninguna ecuación. c) (n – 1) ecuaciones.

a) Más. b) Menos. c) Ambos.

a) Todos los receptores. b) Todas las ramas superpuestas. c) Todos los generadores. 8. Por potencia generada se entiende la que aportan los generadores cuando la corriente :

a) Sale por el borne positivo. b) Sale por el borne negativo. c) Ambos.