Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICES D'
ELECTROSTATIQUE
Serveur d'exercices
1/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 1. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (07.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : champ électrique Enoncé : Une charge Q est placée au deux coins opposés d’un carré ; une charge q est placée aux deux autres coins. Si la résultante de la force électrique agissant sur Q est nulle, comment Q et q sont-ils liés ? Solution : Représentons le problème pour y voir plus clair :
La demi-droite Q1 ,Q2 a une longueur de a ⋅ 2 . Notons ce que nous savons déjà : Q1 et Q2 ont même charge ⇒ se repoussent (de même pour q1 et q 2 )
K K Eq1 = Eq 2
(
)
K K K Eqtot = Eq1 + Eq 2 ⋅ cos(45) Eqtot = − EQ2
(1)
(2)
Egalisons (1) et (2) :
(
)
− EQ2 = Eq1 + Eq 2 ⋅ cos(45)
(3)
Or, q1 = q 2
Serveur d'exercices
(4)
et
Q1 = Q2
(5)
2/23
Sciences.ch
Electrostatique
Et : K q Eq 2 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 a²
K q Eq1 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 1 a²
K Q EQ2 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 2a ²
Selon l’équation (3), nous obtenons : − 9 ⋅ 10 9 ⋅
Q2 ⎛ q q ⎞ = ⎜ 9 ⋅ 10 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⎟ ⋅ cos(45) 2a ² ⎝ a² a² ⎠
d'où :
Q = −q ⋅ 2
Serveur d'exercices
3/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 2. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (07.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : champ électrique Enoncé :
Le champ électrique entre les plaques d’u oscilloscope cathodique est de 1.2 ⋅ 10 4 [V/m]. Quelle déflection subira un électron s’il entre à angle droit par rapport au champ électrique avec une énergie cinétique de 2000 [eV] ? La longueur des plaques est de 1.5 [cm]. Solution :
K E = 1.2 ⋅ 10 4 [V/m]
Pour rappel : 1[eV ] = 1.6 ⋅ 10 −19 [ J ] K K F = q⋅E
Or, d’après la deuxième loi de Newton : F = m⋅a
Donc,
q ⋅ E 1.6 ⋅ 10 −19 ⋅ 1.2 ⋅ 10 4 = a= m 9.1 ⋅ 10 −31 a = 2.11 ⋅ 1015 [m ⋅ s −2 ]
Ecin = Ec ( eV ) ⋅ ch arg e = 2000 ⋅ 1.6 ⋅ 10−19 = 3.2 ⋅ 10−16 [ J ]
Serveur d'exercices
4/23
Sciences.ch
Electrostatique
Et donc, 2 ⋅ 3.2 ⋅ 10−16 = 2.6 ⋅ 107 [m ⋅ s −2 ] −31 9.1 ⋅ 10
v=
Suivant l’axe des x, nous avons un mouvement rectiligne uniforme (MRU) :
x = v ⋅t t=
x 1.5 ⋅ 10 −2 = = 5.7 ⋅ 10 −10 [s] 7 v 2.6 ⋅ 10
Suivant l’axe des y, nous avons un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) :
∆γ = ∆γ =
a ⋅ t² 2
2.11 ⋅ 1015 ⋅ (5.7 ⋅ 10 −10 )² 2 ∆γ = 34 ⋅ 10 −5 [m]
Pour information la trajectoire de l’électron avant son entrée dans l’oscilloscope à une trajectoire rectiligne. Puis il est accéléré par le champ électrique et donc sa trajectoire devient parabolique à l’intérieur de l’oscilloscope. A sortie, il ne sera plus accéléré et donc continuera en ligne droite (suivant la tangente à la parabole) si nous considérons l’accélération gravifique comme négligeable. La vitesse de la particule doit normalement subir une correction relativiste, en effet, la vitesse calculée est égale à 10 [%] de celle de la lumière.
Serveur d'exercices
5/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 3. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (07.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : théorème de Gauss Enoncé :
Les composantes du champ électrique dans la figure ci-dessous sont : E x = b ⋅ x ; E y = 0 ; E Z = 0 avec b = 800 [N/ Cb ⋅ m² ]
Calculez la valeur du flux ϕ E à travers le cube ainsi que la valeur de la charge à l’intérieur du cube, a vaut 10 cm.
Solution : Il n’existe qu’un champ électrique parallèle à l’axe des X, travaillons désormais avec celui-là.
Numérotons les différentes faces pour faciliter l’écriture des équations : 1. La face de gauche 2. La face du bas 3. La face de droite 4. La face de derrière 5. La face du haut 6. La face de devant K
K
ϕ E = ∫ E D dS
ϕ E = ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 + ϕ 5 + ϕ 6
Serveur d'exercices
6/23
Sciences.ch
Electrostatique
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
ϕ E = ∫ E1 D dS1 + ∫ E 2 D dS 2 + ∫ E3 D dS 3 + ∫ E 4 D dS 4 + ∫ E5 D dS 5 + ∫ E 6 D dS 6 Or comme cos(90) = 0 :
K K K K K K K K E 2 D dS 2 = E 4 D dS 4 = E5 D dS 5 = E 6 D dS 6 = 0 Il nous reste alors : K K ⎡ Nm 2 ⎤ E1 D dS1 = 800 ⋅ 0.1 ⋅ (0.1)² ⋅ cos(180) = −2.53 ⎢ ⎥ ⎣ Cb ⎦ K K ⎡ Nm 2 ⎤ E3 D dS3 = 800 ⋅ 0.2 ⋅ (0.1)² = 3.58 ⎢ ⎥ ⎣ Cb ⎦
Et donc, ⎡ Nm 2 ⎤ ⎥ ⎣ Cb ⎦
ϕ E = 1.05 ⎢ Nous savons, par la théorème de Gauss, que :
qint = ϕ E ⋅ ε 0 qint = 1.05 ⋅ 8.85 ⋅ 10 −12 qint = 9.3 ⋅ 10−12 [Cb ]
Serveur d'exercices
7/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 4. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (07.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : champ électrique Enoncé :
Une sphère de masse égale à 0.1 [g] et portant une charge 3 ⋅ 10 −10 [Cb] est attachée à l’extrémité d’un fil de soie de 5 [cm] de long. L’autre extrémité du fil est attachée à une grande plaque non conductrice verticale dont la densité surfacique de charge vaut 25 ⋅ 10 −6 [Cb/m²]. Déterminez l’angle que fait le fil avec la verticale. Solution :
Réalisons un petit dessin, et voyons comment tout devient plus facile :
α
K T K Fc K P
Par les lois de Newtons, nous savons que (l’accélération est nulle, vu que la boule est en équilibre) : T ⋅ sin(α ) = Fc T ⋅ cos(α ) = P Nous en déduisons que : P ⋅ tan(α ) = Fc Or : Fc = q ⋅ E = q ⋅
ρ 2⋅ε0
Et donc : tan(α ) = 3 ⋅ 10
Serveur d'exercices
−10
25 ⋅ 10−6 ⋅ ⇒ α = 23° 2 ⋅ ε0
8/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 5. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (07.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : théorème de Gauss Enoncé :
Deux surfaces cylindriques métalliques infinies et coaxiales de rayon a et b portent respectivement une charge − λ et + λ par unité de longueur. Calculer le champ créé en un point quelconque M. Solution :
Pour que le point soit vraiment quelconque, nous devons le considéré à trois endroits différents (les trois cas possibles où le champs est différent). Schématisons la situation :
Pour ce qui est de M 1 : Il se trouve sous la surface fermée a ⇒ suivant le théorème de Gauss : K K qint E ∫ D dS = = E ⋅ dS ⋅ (±1)
ε0
Choisissons un cylindre d’axe O et de rayon M 1 , de hauteur h . Il n’y a aucune charge à l’intérieur et donc : E ( M 1) = 0
Serveur d'exercices
9/23
Sciences.ch
Electrostatique
Pour ce qui est de M 2 : Il se trouve entre les deux cylindres dont les rayons sont respectivement a et b . Choisissons un cylindre d’axe O et de rayon M 2 , de hauteur h . Dans ce cas, nous avons : K
K
∫ E D dS =
qint
ε0
E ( M 2) =
⇔ E ( M 2) ⋅ 2π ⋅ r ⋅ h =
−λ ⋅h
ε0
−λ avec r = d (0, M 2) 2π ⋅ ε 0 ⋅ r
Pour ce qui est de M 3 : Choisissons un cylindre d’axe O et de rayon M 3 , de hauteur h : K K qint (−λ + λ ) =0 E ∫ D dS = =
ε0
ε0
E ( M 3) = 0
Serveur d'exercices
10/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 6. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (08.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : potentiel et moment dipolaire Enoncé :
Aux sommets d’un carré ABCD de 2 [m] de côté, sont placées les charges suivantes : A = + 2 ⋅ 10 −8 [Cb] ; B = − 8 ⋅ 10 −8 [Cb] ; C = + 2 ⋅ 10 −8 [Cb] ; D = + 4 ⋅ 10 −8 [Cb] 1. Calculez le champ électrique et le potentiel en 0 , centre du carré 2. Calculez le potentiel en E point milieu de AB 3. Calculez le moment dipolaire de la distribution Solution :
1. Représentons tout d’abord le tout sur un dessin :
Considérons le point 0 comme étant négatif (c’est pour tracer les vecteurs du champ électrique). Notons que le prendre positif n’aurait en rien changer la réponse sauf que la direction du vecteur résultant aurait été opposée. Etant donné que les charges sont égales en A et C et que leur distance au point 0 sont égales, le champ électrique résultant de ces deux charges en 0 est nul. (les deux vecteurs étant dans des directions opposées. Il nous reste donc les champs électriques de B et D qui sont dans la même direction car une charge étant positive et l’autre négative (un repousse et l’autre attire dans la même direction). Serveur d'exercices
11/23
Sciences.ch
Electrostatique
Il suffit alors de faire la somme de ces deux vecteurs pour obtenir le vecteurs champ électrique totale agissant sur le point 0. Et de plus, comme la charge en B est égale à deux fois celle de B, nous pouvons dire que la somme des deux champs électriques est égale au triple de celui créé par la charge située en D. K K K K E0 = E B + E D = 3 ⋅ E D
G E0 = 3 ⋅
1 4 ⋅ 10 −8 ⋅ 4π ⋅ ε 0 ( 2 )²
G E 0 = 540 [V/m] Concernant le potentiel, nous savons que : V0 = ∑ i
V0 =
q 1 ⋅ i 4π ⋅ ε 0 ri
10 −8 ⎛ 2 8 2 4 ⎞ ⋅⎜ − + + ⎟ 4π ⋅ ε 0 ⎝ 2 2 2 2⎠ V0 = 0 [V]
2. Nous allons faire de même qu’au point précédent : VE =
10 −8 4π ⋅ ε 0
⎛2 8 2 4 ⎞ ⋅ ⎜⎜ − + + ⎟⎟ 5 5⎠ ⎝1 1
V E = −298.5 [V]
K K 3. Considérons les axes e x et e y étant dirigé respectivement de 0 à B et de 0 à D. De plus nous savons que : K K P = ∑ qi ⋅ Ri i
[ (
)
(
) ]
K G K K K P = 10−8 ⋅ 2 ⋅ − 2 ⋅ ex − 8 ⋅ 2 ⋅ ey + 2 ⋅ 2 ⋅ ex + 4 ⋅ − 2 ⋅ ey
(
K K P = 10 −8 ⋅ − 12 ⋅ 2 ⋅ e y )
)
G K P = −16.97 ⋅ 10 −8 ⋅ e y [Cbm]
Serveur d'exercices
12/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 7. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (08.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : champ électrique et potentiel Enoncé :
Deux sphères métalliques de 4 [cm] de rayon distantes de 1 [m] portent respectivement une charge de 6 ⋅ 10 −6 [Cb] et − 3 ⋅ 10 −6 [Cb]. En quel point de la droite joignant ces deux charges le potentiel est-il nul ? Quelles sont la valeur et la direction du champ électrique en ce point ? Solution :
Faisons un schéma représentant le problème :
V (0) =
10 −6 ⎛ 6 3 ⎞ 3 ⎞ ⎛6 ⋅⎜ − ⎟=0⇔⎜ − ⎟=0 4π ⋅ ε 0 ⎝ x 1 − x ⎠ ⎝ x 1− x ⎠ 9 x = 6 d'où x =
2 [m] 3
Le potentiel est donc nul à 66 [cm] de la première sphère. En sachant cela, nous pouvons calculer alors le champ électrique en ce point : K E =
Serveur d'exercices
1 4π ⋅ ε 0
⎛ 6 ⋅ 10 −6 3 ⋅ 10 −6 ⎞ ⎟⎟ = 3.7 ⋅ 10 5 [V/m] ⋅ ⎜⎜ + ( ) 0 . 66 ² ( 0 . 33 )² ⎝ ⎠
13/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 8. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (08.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : énergie électrostatique Enoncé :
Calculez l’énergie électrostatique W d’une sphère uniformément chargée en volume : charge totale Q, rayon R. On peut imaginer par exemple qu’on amasse la charge Q par couche sphérique successives (comme un oignon, en quelque sorte). Un noyau peut-être considéré grossièrement comme une distribution sphérique uniforme de charges positives. On suppose qu’un noyau d’uranium (Z=92, rayon : 9 ⋅ 10 −13 [cm]) subit une fission symétrique en deux noyaux identiques. Quelle est l’énergie qu’on peut espérer récupérer dans cette opération du fait de la variation de l’énergie électrostatique ? Solution :
V =
q² 4π ⋅ ε 0 ⋅ r
Or : 4 dq ' = ρ ⋅ 4π ⋅ r ² ⋅ dr ⇒ q ' = ρ ⋅ π ⋅ r ³ 3 Nous savons aussi que :
ρ² 4 Ep = ∫ V '⋅dq ' = ∫ π ⋅ ⋅ r 4 ⋅ dr 3 ε0 0 0 q
R
Ep =
4π ⋅ ρ ² R 5 ⋅ 3⋅ε0 5
Or :
Serveur d'exercices
14/23
Sciences.ch
Electrostatique
ρ=
q 4 ⋅ π ⋅ R³ 3
Et donc, finalement, nous obtenons : Ep =
3 q² ⋅ 5 4π ⋅ ε 0 ⋅ R
Lors de la fission, nous avons un atome « mère » qui se désintègre en deux atomes « filles » :
Vol 1 2
= noyau _ mère
1 3 ⋅ π ⋅ R ³ = 1.53 ⋅ 10 − 42 [m³] 2 4
Déterminons le rayon de chaque noyau fille par rapport à celui de la mère : 1 4 4 R² ⋅ π ⋅ R ³ = π ⋅ r ³ d'où r = 3 2 3 3 2 Calculons la différence d’énergie libérée : ∆Ep = Epi − Ep f ∆Ep =
⎛ 3 (Q / 2)² 3 ⎞ 3 Q² ⋅ − 2 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⋅ 2 ⎟⎟ [J] ⋅ ⋅ 5 4π ⋅ ε 0 ⋅ R 5 4 R π ε 0 ⎝ ⎠
Pour connaître ce résultat en [eV], il suffit de diviser le tout par 1.6 ⋅ 10 −19 Et dons, en remplaçant chaque variable par sa valeur, c.à.d : Q = 92 ⋅ 1.6 ⋅ 10 −19
R = 9 ⋅ 10 −15
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
Nous obtenons alors : ∆Ep = 301 [MeV]
Serveur d'exercices
15/23
Sciences.ch
Electrostatique
EXERCICE 9. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (10.09.04,
[email protected] ) Mots-clés : condensateur Enoncé :
Un condensateur sphérique est constitué de deux sphères concentriques de rayon R1 et R2 (R1
