Electrostatique 2021-2022 Ch1

 

 

In Inst stititut ut de Tec Techn hnol olog ogie ie du Ca Camb mbod odge ge Dépa Dé part rtem emen entt de Tronc Tronc Co Comm mmun un

7

Électromagnétisme 1

Références: [1]. Électromagnétisme Électromagnétisme 1re année MPSI-PCSI-PTSI MPSI-PCSI-PTSI,, J.-P. J.-P. DURANDEAU, DURANDEAU, [2]. Électro Électromagné magnétisme tisme,, tous les exercices exercices,, Raphaële Raphaële Lang Langet et Profe Professeur sseur en clsses clsses prép préparato aratoire ire au lycée lycée Jason-de-Sailly. Jason-de-Sa illy. Link: https://www.facebook.com/bibliotheque.el iotheque.electronique.d ectronique.des.classes.pre es.classes.prepa pa [3]. Électrostatique et magnétostatique, Michel Michel SAINT-JEAN, Janine BRUNEAUX BRUNEAUX et Jean MATRICON

 

PARTIE 1

Électrostatique 2

Chapitre1. CHARGE ET INTERACTION INTERACTIONSS ELECTROSTATIQUES

 

3

Rappel système de coordonnées Coordonnées cartésiennes Coordonnées :  x : abscisse ; y : ordonnée ; z : côte Représentation : Vecteur position : OM



xu x



yu y



zuz 

Déplacement élémentaire : d OM



dxu x



dyu y



dzu z 

Volume élémentaire : d    dxdydz  

Surface élémentaire :

ds



dx.dy



dx.dz



dy.dz  

 

4

Rappel système de coordonnées (suite) Coordonnées cylindriques Coordonnées :    : rayon polaire ; Représentation : Vecteur position : OM



OP  PM



  u    zu z 

Déplacement élémentaire : d OM



d  u 



 d u   dzu z 

Volume élémentaire : d



d  . d .d  z  

dSurface s  d  .élémentaire d   d  .dz :  d .dz  

: angle polaire ; z : côte

 

5

Rappel système de coordonnées (suite) Coordonnées sphériques Coordonnées : r : rayon rayon vec vecteu teur  r ( ≥ 0) ;  : colatitude(0 ≤  ≤   ); et  : azimuth (0 ≤ ϕ ≤ 2) )

Représentation : Vecteur position : OM



rur 

Déplacement élémentaire : d OM



drur   rd u



r sin  d u 

Volume élémentaire : d



dr.rd .r sin  d 

 

dSurface s  dr.rdélémentaire   dr.r sin :d



rd .r sin  d    

 

6

1. INTRODUCTION 

L'électrostatique est la branche de la physique qui étudie les phénomènes (champ et potentiel électrostatique) créés par des charges électriques statiques pour l'observateur. Les forces électrostatiques sont décrites par la loi de Coulomb qui présente une certaine analogie avec l’interaction gravitationnelle.

 

7

2. LA CHARGE ELECTRIQUE 

2.1 Déf Défini initi tion on La ch char arge ge él élec ectr triq ique ue d’une pa parrti ticu cule le es estt un une e gr gran ande deur  ur  scalaire (a (algé lgébri briqu que) e) qu quii ca carac ractér térise ise les ac actio tions ns éle élect ctrom romagn agnéti étiqu ques es subies ou exercée par la particule. La charge él élec ectr triq ique ue jo joue ue da dans ns l’interaction électrostatique le même rôle que joue la masse (scal (s calair aire e po posit sitive ive)) da dans ns l’interaction gra gravita vitationn tionnelle elle.. Les exp expérie ériences nces d’électrisation montrent qu’il existe deux classes de particules chargées : deux particules chargées d’une même classe se repoussent alors que deux particules chargées appartenant à des classe cla ssess dif diffé féren rentes tes s’attirent s’attirent.. Par  convention, l’une des cla lassses sera dite dit e ch charg argée ée pos positi itive vemen ment, t, l’autre ch char argé gée e né néga gati tive veme ment nt.. Ai Ains nsi, i, si le pro pr oto ton n es estt af affe fect cté é d’une ch char arge ge po posi siti tive ve et l’é l’élec lectro tron n d’u d’une ne charge nég né gati tive ve,, aucune con onsi sid dérati tion on physi siq que ne peut ju jussti tiffie ierr ce choi oixx qui n’a au aucu cune ne in inci cide denc nce e su surr la th théo éori rie e de l’électromagnétisme l’électromagnétisme..

 

8

2. LA CHARGE ELECTRIQUE (suite) 

2.2 Quantification de la charge A l’échelle microscopique, l‘expérience montre (Millikan, 1913), montre que la charge électrique varie de façon discontinue et se présente par unité sous forme de quantité bien déterminée. On dit qu’elle est quantifiée. Sa valeur est un multiple entier d’une charge qu’on peut prendre comme charge élémentaire, notée e. C’est la valeur absolue de la charge de l’électron e = 1,60219 10 -19 C. Les particules élémentaires, constituants de la matière, ont pour  charges: - électron : qe = -e = - l,60 10-19 C, me = 0, 9 · 10 1 0−30 kg - proton : qp = + e = l,60 10-19 C,

mp = 1 , 6 7 · 1 0−27 kg

L’unité de la charge est le coulomb C dans le SI.

 

9

2. LA CHARGE ELECTRIQUE (suite) 

2.3 Co Corp rpss él élec ectri triqu quem emen entt ch char argé géss

Tout pr Tout proc oces essu suss d’électrification doit être compris comme le transfert d’un certain nombre de ces charges élémentaires. Un atome de nombre nom bre ato atomiq mique ue   Z est formé de   Z électrons « gravitant » autour  r d’un d’un noyau co noyau conte ntenan nantt  Z pr prot oton onss et et   N neutr tron onss de cha harg rge e nu nulllle e. L’ensemble estt éle es électr ctriq iquem uemen entt neu neutr tre. e. Lorsqu’on ar arra rach che e un ou plu lusi sieu eurs rs él élec ectr tron onss à cet atome neutre, il devient un ion chargé positivement ; à l’inverse, si on ajoute un ou plusieurs électrons à cet atome, on crée un ion chargé néga né gativ tiveme ement. nt. Plu Pluss gén génér érale aleme ment, nt, à l’échelle mac macros roscop copiqu ique, e, un co corp rpss déficitaire en électrons sera considéré comme chargé positi tiv vement tandis qu’un corps excéd éde enta taiire en él élec ectr tro ons ser era a con onsi sid dér éré é com omm me chargé négati tiv vement. Notons que cette charge macroscopique ne pour po urra ra êt être re qu’un mu mult ltip iple le en enti tier er de la ch char arg ge él élec ectr tron oniq ique ue e  e.. (Dans la plupart des cas, ce sont les électrons qui sont échangés, les protons étan ét antt tr trop op so solilide deme ment nt liliés és au no noya yau. u.))

 

10

2. LA CHARGE ELECTRIQUE (suite) 

2.44 Co 2. Cons nser erva vatition on de la ch char arge ge

La ch char arge ge él élec ectr triq ique ue es estt un une e gr gran ande deur ur fo fond ndam amen enta tale le qu quii in inte terv rvie ient nt da dans ns les expressions des champs électromagnétiques créés par des distr di stribu ibutio tions ns de ch charg arges es sta statiq tique uess ou mob mobile iless (c (cour ourant ants). s). Toutes Tout es le less in inte tera rac cti tion onss co conn nnue uess à ce jo jour ur (co collllis isio ions ns de pa part rtic icul ules es da dans ns le less accé ac célé léra rate teu urs rs,, ré réac acti tion onss ch chim imiq ique ues, s, et etc. c.)) on ontt la pr prop opri riét été é de co cons nser erve ver  r  la cha charg rge e éle électr ctriqu ique. e. En ou outr tre, e, ce cett tte e gr gran ande deur ur es estt indépendante du réf référe érenti ntiel el d’observation d’observation..

Pour un système fermé, c’est -à-dire n’échangeant pas de matière avec l’extérieur, la charge électrique est constante et elle est la même pour

tous les observateurs La charge électrique est une   grandeur grandeur indé indépend pendante ante du réf référen érentiel tiel d’observation

 

11

3. DISTRIBUTION DE CHARGE 

3.1 Ch Char arge gess po ponc nctu tuel elle less

Comme nous venons de le voir, si la distance entre les charges électriques est du même ordre de grandeur que les dimensions caractéristiques du problème posé, il convient de considérer les corps chargés comme des objets individualisés. Si de plus, le volume de chaque corps chargé est petit devant toutes les autres dimensions du problème, une bonne approximation consiste à identifier chacun de ces corps à un point, sans volume propre, auquel on associe une charge électrique correspondant à la charge totale du corps considéré. Cette abstraction mathématique mathématique est connue sous le nom d’« approximation des charges ponctuelles ». Dans cette approximation, une répartition des charges électriques pourra être modélisée par une distribution de charges ponctuelles

 

12

3. DISTRIBUTION DE CHARGE (suite) 

3.2 Ch Char arge gess vo volu lumi miqu ques es

La présence de charges dans un milieu est en général modélisée par  une un e ch char arge ge dé délo loca calilisé sée, e, ni nive velé lée, e, dé décr crit ite e pa parr la ch char arge ge vo volu lumi miqu que e  . Pour un milieu chargé de volume V, la distribution de charges   D   est défi fini nie e par la donn nnée ée de   à l’intérieur  l’intérieur d de la sur urffac ace e S con onte tena nant nt V

La charge contenue dans un volume élémentaire  est :  =  La densité volumique  est mesurée en C . m-3 .

 

13

3. DISTRIBUTION DE CHARGE (suite) 

3.3 Ch Char arge gess su surfa rfaci ciqu ques es

La charge portée par une surface une surface élémentaire dS  s’écrit alors  =  . La densité surfacique de charges  est mesurée en C . m-2.

 

14

3. DISTRIBUTION DE CHARGE (suite) 

3.4 Ch Char arge gess liliné néiq ique uess

Lorsque la distr triibution de charges   D   est filiforme, nous définirons de façon analogue une distribution linéique de charges le long de la cour co urbe be (C (C)) en in intr trod odui uisa sant nt un une e de dens nsité ité liliné néiq ique ue 

 

15

4. SYMETRIES DES DISTRIBUTIONS DE CHARGES 

4.1. Symétri Symétries es usue usuelles lles

Les distributions de charges peuvent posséder des symétries. Nous allons examiner quelques propriétés aux symétries élémentaires usuelles. des densités de charges   liées 

4.1.1 Symétr Symétrie ie plane Une distribution est

symétrique par rapport à un plan  si, P et étant deux points symétriques par rapport à  , sa densité de charge vérifie : () = (’). P’

 

16

4. SYMETRIES DES DISTRIBUTIONS DE CHARGES (suite) 

4.1.2. 4.1. 2. Ant Antisy isymét métrie rie pla plane ne Un Une e dis distri tribu butio tion n est ant antisy isymé métri triqu que e pa par  r 

rappor rap ortt à un pla lan n  Π ∗ si, si, P  P et et P  P’ét étan antt de deux ux po poin ints ts sy symé métr triq ique uess pa parr ra rapp ppor ortt à   ∗ , sa densité de charge vérifie :    = − −( (’’). 

4.1.3 4.1 .3.. In Inva vari rian ance ce pa parr tr tran ansl slat atio ion n Un Une e di dist stri ribu buti tion on,, ilillilimi mité tée e da dans ns la

direction direct ion de l’axe D, es estt in inva vari rian ante te pa parr tr tran ansl slat atio ion n su suiv ivan antt D   si si,, pou ourr to tout ut (’ ’)) point P point  P et so son n tr tran ansl sla até P’, sa densité de charge vérifie :    = (

 

17

4. SYMETRIES DES DISTRIBUTIONS DE CHARGES (suite) 

4.1. 4. 1.4. 4. In Inva vari rian ance ce pa parr ro rota tatition on La ch charg arge e d’une dis distr tribu ibutio tion n inv invari ariant ante e par  rotati rot ation on aut autour  our d’un d’un axe (Oz) est telle que   ,,  = (, )

*de Remarquons tout plan contenant (Oz)) est un plan symétrie deque la distribution de chargesl’axe de révolution (Oz

 

18

4. SYMETRIES DES DISTRIBUTIONS DE CHARGES (suite) 

4.2 Di Dist stri ribu butition onss à sy symé métr trie iess mu multltip iple less

Nous No us re renc ncon ontr trer eron onss fr fréq éque uemm mmen entt de dess di dist stri ribu buti tion onss in inva vari rian ante tess vi viss-àà-vi viss de pl plus usie ieur urss sy symé métr trie iess él élém émen enta tair ires es.. No Nous us av avon onss dé déjà jà re rema marq rqué ué qu que e le less dist di stri rib but utio ions ns in inva vari rian ante tess pa parr tr tran ansl slat atio ion, n, ou pa parr ro rota tati tion on,, po poss ssèd èden entt un une e infini inf inité té de pla plansns-mir miroir oirs. s. Nous citerons encore deux types de distributions de charges remarquables par leur degré de symétrie élevé. L’utilisation des propriétés précédentes permet de démontrer les propositions suivantes.

 

19

4. SYMETRIES DES DISTRIBUTIONS DE CHARGES (suite) 

4.2.1 4.2 .1.. Di Dist stri ribu butition on à sy symé métr trie ie cy cylilind ndri riqu que e

La distribution à symétrie cylindrique est invariante par translation parallèlement à un axe noté (Oz) (tout plan perpendiculaire à l’axe (Oz) est plan de symétrie), et elle est de révolution autour de cet axe (tout plan contenant l’axe (Oz) est plan de symétrie). Utilisant les coordon coo rdonnées nées cyli cylindri ndriques ques d’axe (Oz)

 

20

4. SYMETRIES DES DISTRIBUTIONS DE CHARGES (suite) 

4.2.2 4.2 .2.. Di Dist stri ribu butition on à sy symé métr trie ie sp sphé héri riqu que e

La di distr strib ibut utio ion n à sy symé métr trie ie sp sphé héri riqu que e es estt in inva vari rian ante te par rota tati tion on auto tou ur de to tou us le less ax axe es pass ssan antt par  le ce cent ntre re de sy symé métr trie ie.. Rema Re marq rquo uons ns,, de pl plus us,, qu que e to tout ut pl plan an co cont nten enan antt l’origine es estt pl plan an de sy symé métr trie ie de la di dist stri ribu buti tion on.. Utilis Uti lisant ant les coo coord rdonn onnées ées sph sphéri ériqu ques es  ,  et  avec l’origine au po poin intt ce cent ntre re de sy symé métr trie ie

 

21

5. LOI DE COULOMB OU PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’ELECTROSTATIQUE 5.1 Enoncé de la loi de Coulomb Considérons dans le vide, deux charges ponctuelles q1 et q2, fixées en M1 et M2. Les deux charges stationnaires q1 et q2 exercent l’une sur 

l’autre une force proportionnelle à chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. La force électrostatique est dirigée suivant la droite qui joint les charges (figure I-1). Elle attractive si les charges sont de signes contraires (figure I-1-a), répulsive lorsque les charges sont de même signe (figure I-1-b).

 

22

5. LOI DE COULOMB OU PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’ELECTROSTATIQUE (suite) 

5.1 Enoncé de la loi de Coulomb

La force 1 exercée par q1 sur la charge q2 s’écrit :

  = .

          = .    

  

Conformément au principe de l’action et de la réaction, la force  exercée par q2 sur la charge q1 est égale et opposée à  :   = −

 

23

5. LOI DE COULOMB OU PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’ELECTROSTATIQUE (suite) 

5.2. Analogie avec  l’interaction de gra gravit vitati ation on

Deux points matériels de masse m1 et m2, pl plac acée éess res espe pect ctiv ivem emen entt en M1 et M2 exercent l’un sur  sur l’autre l’autre une force de gravitation ; la force F12g exer ex ercé cée e pa parr m1 sur m2 est :     = −    Où G es estt la co cons nsta tant nte e de gr grav avit itat atio ion n un univ iver erse selllle. e.  A titre d’exemple, comparons la force de gravitation qui s’exerce entre l’électron et le proton d’un atome d’hydrogène à la force électrostatique s’exerçant entre eux. La distance r qui sépare l’électron de masse me = 9,1 10-31 kg du proton de masse mp = 1,7 10-27 kg est environ 5 10-11 m.

 

24

6. PRINCIPE DE SUPERPOSITION 

La force F subie une charge q placée en M, en présence de n chargées q1, q2, ..., qi, ...,qn fixées en P1, P2, ..., Pi, ..., Pn est la somme vectorielle des forces dues à l’interaction de chacune des charges avec q, calculées séparément :