Electromagnetismo

February 11, 2017 | Author: maxiiit0 | Category: N/A

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Cap´ıtulo 1 Electrost´ atica: cargas y campos. versi´ on final 3.0, 28 de Mayo del 2007

En este cap´ıtulo estudiaremos los conceptos esenciales de la F´ısica de las cargas eléctricas estacionarias, es decir, la electrostática. Las secciones que veremos: Algo de historia. Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuantización. Ley de Coulomb. Energ´ıa de un sistema de cargas. Campo eléctrico. Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Ejemplo de evaluación del campo eléctrico. Fuerza sobre una carga superficial. Energ´ıa asociada a un campo eléctrico.

1.1.

Algo de historia.

La electricidad a través de los fenómenos de la electrostática se conoce desde tiempos muy antiguos. Teofrato (321 AC) y probablemente Tales (600 AC) sab´ıan que el ámbar al ser frotado con otras substancias secas adquir´ıan la habilidad de atraer cuerpos livianos como plumas o trozos de paja. Cerca de 2000 a˜ nos después el médico de la Reina Isabel I de Inglaterra, William Gilbert (1544-1603) usó la palabra griega para ámbar, elektron, para describir estas fuerzas que llamó vis electrica. También se observó que existen dos tipos de electricidad. Por ejemplo, si una barra de vidrio se frota con seda, estos dos cuerpos quedan cargados con dos tipos distintos de electricidad. As´ı , dos barras frotadas con seda se repelen. Benjam´ın Franklin (1706-1790) le dio 1

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

2

el nombre de positiva a la electricidad con que queda la barra de vidrio y negativa a la de la seda. Ahora se sabe que en este experimento electrones son traspasados de la barra a la seda. As´ı decimos que los electrones tienen carga negativa.

1.2.

Carga el´ ectrica; conservaci´ on, invariancia y cuantizaci´ on.

Hechos experimentales que se conocen sobre la carga: Existen dos variedades: Positivas y Negativas. Las de igual signo se repelen. Las de distinto tipo se atraen.

1.2.1.

Propiedades de la carga.

Se conserva. La carga total de un sistema aislado, es decir, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas en cierto instante, no var´ıa nunca. Por un sistema aislado entendemos: aquel en el que no está permitido el flujo de materia a través de sus paredes. Un ejemplo de la conservación de la carga es la creación de pares (electrón-positrón.) La carga es un invariante relativista. Está cuantizada. En 1909 Millikan demostró experimentalmente que la carga siempre se presenta como m´ ultiplo entero de una unidad fundamental de carga que llamaremos e. Se dice que la carga está cuantizada, es decir Q = Ne N ∈ Z . Se ha mostrado experimentalmente que la diferencia en el valor absoluto de las carga de un protón y de un electrón si existiera ser´ıa menor que 10−20 e Existen los quark con carga +2e/3 (u), -e/3 (d), -e/3 (s), +2e/3 (c), -e/3 (b), +2e/3 (t). Pero no se detectan quark libres. p(uud) y n(ddu). La cuantización de la carga escapa del alcance del electromagnetismo clásico. Nosotros lo ignoraremos, usaremos distribuciones continuas de carga.

1.3. LA LEY DE COULOMB.

1.3.

3

La Ley de Coulomb. q1

q

r12

2

r2

r1

0 La fuerza de interacción entre dos cargas es la Ley de Coulomb kq1 q2 kq1 q2 F~12 = 2 rˆ12 = 3 ~r12 r12 r12

(1.1)

donde ~r12 = ~r1 − ~r2 , r12 = |~r12 |, rˆ12 = ~r12 /|~r12 |, F~12 , es la fuerza sobre q1 debido a q2 . Los qi , son escalares con sus signos respectivos y finalmente k, tiene en cuenta las unidades. El vector unitario rˆ12 indica que la fuerza es paralela a la recta que une a las dos cargas. Sabemos que por acción y reacción: F~12 = −F~21 . Las unidades: si r12 [cm], F [dinas], qi [ues] k = 1. Si por el contrario r12 [m], F [Newton], qi [Coulomb] entonces 2 1 9 Nm , (1.2) k= = 8.9875 × 10 4π0 C2 La constante 0 se conoce como constante dieléctrica o permitividad del vac´ıo, y tiene un valor: 2 C −12 . (1.3) 0 = 8.8542 × 10 Nm2 El factor de conversión entre [Coulomb] y [ues] 1[C] = 2.998 × 109 [ues] ,

(1.4)

e = 4.803250(21) × 10−10 [ues]

(1.5)

y la carga del electrón en [ues] es

Un hecho experimental es que la fuerza con la cual dos cargas interact´ uan no se modifica por la presencia de una tercera, es más, sea cual fuere el n´ umero de cargas presentes en nuestro sistema la ley de Coulomb puede utilizarse para calcular la interacción de cada par. Este hecho es conocido como el Principio de superposici´ on.

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

4

~ Una configuración de cargas {qi }N ri }N i=1 con vectores {~ i=1 ejercen una fuerza F0 sobre una part´ıcula de carga q0 ubicada en ~r0 respecto a alg´ un origen com´ un. F~0 se puede escribir: F~0 =

N X q0 qi rˆ0i i=1

1.3.1.

(1.6)

2 r0i

Ejercicios.

1. Encuentre la fuerza resultante sobre q3 considerando que q1 = +e, q3 = +e y q2 = −e.

q2

a

q3

a q1 2. ¿En qué posición la fuerza resultante sobre q2 es cero? ¿Qué tipo de equilibrio es?

d q1

q2

q3

Teorema de Earnshaw: Ning´ un sistema puede estar en equilibrio estable bajo la u ńica acción de fuerzas eléctricas

1.4.

Energ´ıa de un sistema de cargas.

Consideremos el trabajo que hay que hacer sobre el sistema para llevar dos cuerpos cargados (inicialmente infinitamente distantes) a una distancia dada. Inicialmente

q1

muy grande

q2

1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CARGAS.

5

Después q2 r 12 q1 Estamos omitiendo la energ´ıa necesaria para “crear” las part´ıculas cargadas.

1.4.1.

C´ alculo del trabajo. Z W =

~ = F~ · ds

Z

r12

+∞

q1 q2 rˆ · dr(−ˆ r) = +q1 q2 r2

Z

r12

− +∞

dr q1 q2 = . 2 r r12

El origen está en q1 y traemos q2 desde infinito.

F

ds q2

r

q1

W =

q1 q2 r12

(1.7)

debe ser mayor que cero si las cargas tienen el mismo signo. Sabemos que si la Fuerza es conservativa el trabajo es el mismo independiente del camino usado.

r+dr r ds q

ds cos θ = dr θ dr

F ds =−Fdr

Debido a que la fuerza es central los tramos de camino entre r y r + dr requieren el mismo trabajo, por lo tanto, la Fuerza es conservativa.

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

6

Si acercamos una tercer part´ıcula a r31 de q1 y a r32 de q2 el trabajo será Z

~ = F~3 · ds

Z

~ + F~31 · ds

W3 = =

Z

~ (F~31 + F~32 ) · ds

Z

~ , F~32 · ds

por lo tanto, es la suma de los trabajos

1.4.2.

Energ´ıa de un sistema de cargas.

W3 =

q1 q3 q2 q3 + . r31 r32

El trabajo total efectuado U , para reunir las tres cargas en estas posiciones, será por lo tanto,

U=

q1 q2 q1 q3 q2 q3 + + . r21 r31 r32

(1.8)

U corresponde a la energ´ıa potencial eléctrica del sistema. El cero de U lo elegimos cuando las cargas están infinitamente separadas.

1.4.3.

Propiedades de U .

U es independiente del orden de colocación. U es independiente del camino. U sólo depende de la disposición final de las cargas.

En general para un sistema de N cargas {qi } N

1 X X qj qk U= 2 j=1 k6=j rk j

(1.9)

1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CARGAS.

1.4.4.

7

Un ejemplo.

−e b

−e

−e b −e

−e +2e

−e

−e

−e

b

−2e2 12e2 12e2 4e2 4.32e2 U =8 √ + +√ +√ = . b b ( 3/2)b 2b 3b

1.4.5.

U de una red cristalina.

La energ´ıa de una configuración de carga tiene importancia en F´ısica de Sólidos. Un cristal iónico (NaCl) puede representarse, con gran aproximación, por una distribución de iones positivos (Na+ ) y negativo (Cl− ) alternados en una distribución espacial periódica.

a

A pesar de que los iones NO son puntuales veremos que podemos tratarlos como si lo fueran. La energ´ıa electrostática juega un importante papel en la explicación de la estabilidad y cohesión de un cristal iónico. ¡La suma es enorme! un cristal macroscópico contiene del orden de 1023 átomos. ¿Convergerá la suma?

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

8

Lo que se desea hallar es la energ´ıa potencial por unidad de volumen o de masa, la cual deber´ıa ser independiente del tama˜ no del cristal. Obviamente 2 gramos de NaCl tiene el doble de energ´ıa que un gramo. Cualquier ion positivo está en una posición equivalente a cualquier otro. La distribución de iones negativos en torno a uno positivo es la misma que la de iones positivos en torno a uno negativo. Tomemos un ion cualquiera, elijamoslo como centro y sumemos sus interacciones con todos los demás y multipliquemos por el n´ umero total de iones de ambas clases. N

N

1 X X qj qk 1 X q1 qk U= = N . 2 j=1 k6=j rk j 2 k=2 r1k Los términos principales de la suma anterior son 1 −6e2 12e2 8e2 U= N + √ − √ + ... . 2 a 2a 3a La serie no converge absolutamente. Este cálculo es “delicado” U =−

0.8738N e2 , a

donde N es el n´ umero de iones.

1.5.

El campo el´ ectrico.

Un conjunto de cargas {qi }N on (x, y, z), la i=1 fijas en el espacio y una carga q0 en la posici´ fuerza sobre q0 es N X q0 qj rˆ0j . F~0 = 2 r 0j j=1 Dividamos la ecuación anterior por q0 obteniendo una magnitud vectorial que depende de la estructura del sistema de cargas y de la posición (x, y, z). A este vector, el cual es función de (x, y, z), lo llamamos el campo el´ ectrico originado ~ por las cargas ({qi }) y lo denotamos por E. ~ E(x, y, z) =

N X qj rˆ0j j=1

2 r0j

dinas ues

.

(1.10)

La condición de que las cargas sean fijas se puede reemplazar exigiendo que q0 sea infinitesimal para no alterar la distribución de carga inicial, i.e. F~ ~ . E(x, y, z) = l´ım q0 →0 q0 No es tan riguroso como parece ya que q < e no se observan.

(1.11)

´ 1.5. EL CAMPO ELECTRICO.

1.5.1.

9

L´ıneas de Campo

~ sin referencia a una carga de Si tomamos la ecuación (1.10) como la definición de E, prueba, no surgen problemas y no necesitamos que las cargas sean fijas. Una manera de visualizar un campo eléctrico son las l´ıneas de campo. Su relación con el campo eléctrico es la siguiente

i)

La tangente de estas l´ıneas tiene la dirección del campo en ese punto.

ii)

Estas l´ıneas convergen cuando nos aproximamos a una región de campo intenso y se separan en una región de campo débil.

1.5.2.

Dibujando l´ıneas de Campo.

+

−

Para el trazado de l´ıneas se debe tener en cuenta:

Las l´ıneas deben partir de las cargas positivas y terminar en las cargas negativas o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga. El n´ umero de l´ıneas que partan de las cargas positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga. Dos l´ıneas de campo no pueden cruzarse.

1.5.3.

Ejemplos.

L´ıneas de campo de una par de cargas con distinto signo.

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

10

L´ıneas de campo de una par de cargas con igual signo.

1.6.

Distribuciones de carga

Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribución continua de carga. La distribución de carga está caracterizada por una función de la posición ρ(x, y, z) llamada densidad de carga volumétrica y tiene dimensiones de [carga/volumen] Para evaluar el campo

1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA

11

ρ ( r )=ρ (x’,y’,z’) dx’dy’dz’=d 3r’ Punto de Observación

r−r’

r

r’

Origen

~ r) = E(~

Z

ρ(~r 0 )d3 r 0 r − ~r 0 ) 3 (~ 0 | ~r − ~r |

(1.12)

Habitualmente uno elige el origen en el punto de observación, ρ(~r) es una constante o una función anal´ıtica dentro del volumen de interés y se eval´ ua el módulo o una componente del campo

ρ = cte

dq

R R

~ = E

1.6.1.

Z

dq ˆ R=ρ R2

Z

dv ˆ R R2

(1.13)

Densidades.

Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V , la densidad volumétrica de carga es Q . (1.14) ρ= V Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la densidad superficial de carga es Q σ= . (1.15) A

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

12

Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una l´ınea de longitud L, la densidad lineal de carga es Q λ= . (1.16) L

1.6.2.

Campo de una l´ınea infinita cargada dq= λ dz

z

O

z

r

R θ

θ

~ = dE Notemos que R=

√

dE

dq ˆ λdz λdz R = cos θˆ r + sen θˆ z R2 R2 R2

r2 + z 2

cos θ = √

r r2 + z 2

sen θ = √

z r2 + z 2

luego Z ∞ λdz λdz r z √ √ rˆ + zˆ 2 2 2 2 r2 + z 2 r2 + z 2 −∞ r + z −∞ r + z Z ∞ Z ∞ Z ∞ dz z dz = λrˆ r + λˆ z = λrˆ r , 2 2 3/2 2 2 3/2 2 2 3/2 −∞ (r + z ) −∞ (r + z ) −∞ (r + z )

~ = E

Z

∞

por paridad. Hacemos el cambio de variable z = r tan φ dz = r sec2 φ dφ , y reemplazamos en la integral Z π/2 Z π/2 2 r sec φ dφ r sec2 φ ~ = λrˆ = λrˆ r dφ E r 2 2 2 2 3/2 3 3/2 −π/2 r (1 + tan φ) −π/2 (r + r tan φ) Z π/2 Z π/2 λ sec2 φ λ dφ = rˆ = rˆ cos φ dφ r −π/2 sec3 φ r −π/2 +π/2 λ λ 2λ = rˆ sen φ = rˆ[1 − (−1)] = rˆ . r r r −π/2

1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA

13

Resumiendo ~ r) = 2λ rˆ E(~ r

1.6.3.

(1.17)

Campo de una distribuci´ on de carga plana e indefinida y dq= σ dxdy

θ

R

x

dE

Por simetr´ıa sólo interesa la componente z (las otras se anulan) Z Z ∞Z ∞ σdxdy dq Ez = cos θ = cos θ , 2 2 2 2 R −∞ −∞ x + y + z z donde cos θ = 2 , luego la integral nos queda: 2 (x + y + z 2 )1/2 Z ∞Z ∞ dxdy . Ez = zσ 2 2 2 3/2 −∞ −∞ (x + y + z ) Usemos coordenadas polares planas sobre el plano r 2 = x2 + y 2 , rdrdφ = dxdy . La integral nos queda Z ∞ r dr r dr = 2πσz dφ Ez = zσ 2 2 3/2 2 (r + z ) (r + z 2 )3/2 0 0 ∞ 0 −1 −1 z = 2πσz 0 − √ = 2πσz 2 = 2πσ . (r + z 2 )−1/2 |z| z2 Z

2π

Z

∞

0

Resumiendo ~ r) = 2πσ sgn(z)ˆ E(~ z

(1.18)

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

14

1.7.

Flujo El´ ectrico.

Consideremos cierto campo vectorial F~ (~r) en el espacio, y en ese espacio cierta superficie cerrada S arbitraria.

Podemos definir el flujo de F~ a través de esa superficie como: Z Φ=

F~ · d~a

(1.19)

S

~ r) Donde la integral es sobre S, i.e. toda la superficie. Si se trata del campo eléctrico E(~ entonces el el flujo eléctrico a través de esa superficie S es Z Φ=

~ · d~a E

(1.20)

S

1.7.1.

La normal

Definimos el vector normal n ˆ a la superficie es aquel que apunta hacia afuera del volumen definido por la superficie cerrada.

n da da = n da

´ 1.7. FLUJO ELECTRICO.

1.7.2.

15

Analog´ıa con un fluido.

Sea v el campo de velocidades del fluido

a

a

a

Flujo: va

Flujo: 0

60 o

Flujo: va cos 60

o

El flujo es el volumen del fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.

1.7.3.

Flujo de una carga puntual.

Evaluemos el flujo a través de una superficie esférica SI centrada en una carga puntual q

SI Z ΦI = I

q rˆ · rˆ da = r2

Z 0

π

Z 0

2π

q 2 r sen θ dθdφ = 4πq r2

(1.21)

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

16

SI SIII

Como el resultado anterior (1.21) NO depende de r, el flujo a través de la superficie SIII será ΦIII = ΦI = 4πq .

(1.22)

SII

SI SIII

Si no hay más carga no se crea ni se destruye flujo, por lo tanto ΦII = 4πq .

(1.23)

Por superposición puede extenderse este resultado a cualquier n´ umero de cargas o a distribuciones continuas.

1.8.

Ley de Gauss.

~ a través de una superficie cerrada cualesquiera, es decir, la El flujo del campo eléctrico E ~ · d~a extendida a la superficie, es igual a 4π por la carga total encerrada por la integral de E superficie Z S

~ r) · d~a = 4π E(~

X

Z qi = 4π

i

Este resultado es equivalente a la ley de Coulomb.

ρdv ∂S

(1.24)

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

1.9. 1.9.1.

17

Ejemplos de evaluaci´ on del campo el´ ectrico. Cascar´ on esf´ erico.

r>

Q

r<

R SI

SII

La densidad superficial σ es Q . 4πR2 Existen dos regiones de interés, r > R y r < R. σ=

(1.25)

regi´ on r > R ~ en la primera región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4πQ Z E(r) da = 4πQ SII

E(r)4πr2 = 4πQ Q E(r) = 2 . r Luego para r > R ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.26)

regi´ on r < R ~ en la segunda región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

18

Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 0 Z E(r) da = 0 SI

E(r)4πr2 = 0 E(r) = 0 . Luego para r < R ~ r) = ~0 E(~

(1.27)

Grafiquemos ambos resultados Ancho del cascarón E(r)

Q r2

R

1.9.2.

r

Esfera cargada con ρ constante.

Q

r> r<

b SI

SII

La densidad volumétrica ρ es   Q = cte. 4π 3 b ρ=  3 0 Obviamente

R

si r < b

.

(1.28)

si r > b

ρdv = Q. Existen nuevamente dos regiones de interés, r > b y r < b.

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

19

regi´ on r > b ~ en la primera región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sII

E(r)4πr2 = 4πρ

4π 3 Q b = 2 . 3 r

Luego para r > b ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.29)

regi´ on r < b ~ en la segunda región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sI

E(r)4πr2 = 4πρ

4π 3 Q r = 3r . 3 b

Luego para r < b ~ r) = Q rˆ E(~ r b3

(1.30)

Grafiquemos ambos resultados

E(r)

Q r a3

Q r2

a

r

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

20

1.9.3.

Cascar´ on esf´ erico grueso. SI SII SIII

Q ri

r>

R2

r< R 1

La densidad ρ es ρ=

4π 3 R2 3

Q −

4π 3 R1 3

.

(1.31)

Existen tres regiones de interés, r > R2 , R1 < r < R2 y r < R1 . Evaluaci´ on en la regi´ on r > R2 . ~ en la primera región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r

Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4πQ Z E(r) da = 4πQ SI

E(r)4πr2 = 4πQ =

Q . r2

Luego para r > R ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.32)

Evaluaci´ on en la regi´ o n R 1 < r < R2 . ~ en la segunda región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r y para la superficie d~a = daˆ r

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

Z

~ · d~a = E

Z

21

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4πρ dv SII

Q 4π 3 r − R13 = 2 E(r)4πr = 4πρ 3 r 2

r3 − R13 R23 − R13

.

Luego para R1 < r < R2

~ r) = Q E(~ r2

r3 − R13 R23 − R13

rˆ

(1.33)

regi´ on r < R1 . ~ en la segunda región. Dada la simetr´ıa Consideremos la superficie SIII para evaluar E ~ postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r

Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 0 Z E(r) da = 0 SIII

E(r)4πr2 = 0 E(r) = 0 . Luego para r < R1 ~ r) = ~0 E(~

(1.34)

Q r 3 _ R13 r2

E(r)

R23 _ R13 Q r2

R1

R2

r

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

22 Caso l´ımite, R1 → 0.

 Q     r2 rˆ ~ r) = E(~  Q   r  3 rˆ R2

r > R2 (1.35) r < R2

Caso l´ımite, R1 → R2 .  Q   2 rˆ ~ r) = r E(~  ~ 0

1.9.4.

r > R2 (1.36) r < R2

Esfera cargada con ρ(r) variable.

Q

r> r<

b SII

SI

La densidad volumétrica ρ es   5Q r(b − r) ρ(r) = πb5 0

si r < b

.

(1.37)

si r > b

R Debemos probar que ρdv = Q y luego encontrar el campo eléctrico en las dos regiones de interés, r > b y r < b. Integramos la densidad en todo el espacio Z b Z Z ∞ Z π Z 2π 5Q 2 ρ(~r)dv = ρ(r)r sen θdrdθdφ = 4π r(b − r)r2 dr 5 πb 0 0 0 0 Z b Z b 20Q b5 b5 20Q 20Q b5 3 4 r b dr − r dr = 5 = 5 = 5 − b b 4 5 b 20 0 0 =Q.

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

23

regi´ on r > b. ~ en la primera región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sI

E(r)4πr2 = 4πQ Q = 2 . r Luego para r > b ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.38)

regi´ on r < b. ~ en la segunda región. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r Z Z Z ~ · d~a = E(r)ˆ E r · rˆda = 4π ρ dv Z

Z

E(r)

da = 4π

ρ dv

sII

Z rZ

2

π

Z

2π

E(r)4πr = 4π 0

4π r2

Z

0

ρ(u)u2 sen θdudθdφ

0

r

5Q u(b − u)u2 du 5 0 πb Z r Z r 20Q 3 4 bu du − u du E(r) = 5 2 br 0 0 20Q br4 r5 E(r) = 5 2 − br 4 5

E(r) =

=

Q 2 5br − 4r3 5 b

Luego para r < R ~ r) = Q 5br2 − 4r3 rˆ E(~ b5

(1.39)

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

24

1.9.5.

L´ınea cargada infinita.

z L

λ

da= da z

R

da= da R

da=−da z La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.

C´ alculo del campo el´ ectrico. ~ r) = E(R)R ˆ con R el radio de Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma E(~ las coordenadas cil´ındricas. La Ley de Gauss nos dice Z

~ · d~a = 4πQencerrada E

La carga encerrada corresponde a λL, luego

Z 2 tapas

ˆ · (±ˆ E(R)R z ) da +

Z

ˆ·R ˆ da = 4πλL E(R)R

manto

E(R)2πRL = 4πλL 2λ E(R) = . R Luego ˆ ~ r) = 2λ R E(~ R

(1.40)

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

1.9.6.

25

Plano infinito cargado.

σ A z

La figura muestra la sección del plano que define el cilindro al atravesarlo. C´ alculo del campo el´ ectrico. Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma ( z z>0 ~ r) = +E(z)ˆ E(~ −E(z)ˆ z z r0 ~ = r2 E (1.51)  0 r < r0 La energ´ıa es 1 U= 8π

Z

1 E dv = 8π 2

Z

∞

r0

Q2 Q2 2 4πr dr = r4 2

Z

∞

r0

∞ Q2 1 dr = − , r2 2r r0

finalmente U=

1.11.3.

Q2 2r0

(1.52)

Energ´ıa de la esfera calculando el trabajo.

A partir de la ecuación (1.49) considerando una esfera de radio arbitrario r y que la disminuiremos desde un radio ∞ a un radio r0 dado. (Recordemos que la fuerza y el desplazamiento son antiparalelos luego debe haber un signo (-)), ∞ Z r0 Z ∞ 2 Q2 dr Q2 Q Q2 U= − 2 = dr = − = . (1.53) 2 2r 2r r0 2r0 ∞ r0 2r Nuevamente obtenemos el resultado (1.52) U=

Q2 2r0

(1.54)

Una imagen usual es que la energ´ıa está almacenada en el campo. Siendo el sistema conservativo, esta cantidad de energ´ıa puede ser recuperada permitiendo a las cargas “separarse”.

30

´ CAPÍTULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS. La energ´ıa estaba en alguna parte. Nuestra consideración aparece correcta si imaginamos que la energ´ıa está almacenada ~ 2 /8π en [erg/cm3 ]. en el espacio con una densidad |E| Sin embargo, sólo es f´ısicamente medible la energ´ıa total

Cap´ıtulo 2 Potencial el´ ectrico. En este cap´ıtulo veremos: Integral de l´ınea del campo eléctrico. Diferencia de potencial y función potencial. Gradiente de una función escalar. Deducción del campo a partir del potencial. Potencial de una distribución de cargas. Disco cargado uniformemente. Divergencia de una función vectorial. Teorema de Gauss y forma diferencial de la Ley de Gauss. La divergencia en coordenadas cartesianas. El Laplaciano. La ecuación de Laplace. Rotacional de una función vectorial. Teorema de Stokes. Rotacional en coordenadas cartesianas. Significado f´ısico del rotacional. 31

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

32

2.1.

Integral de l´ınea del campo el´ ectrico.

~ Supongamos que una cierta distribución estacionaria de carga produce un campo E, entonces Z P2 ~ · d~s , E (2.1) P1

a través de cierto camino. Significa: Dividir el camino en peque˜ nos segmentos. Representar cada segmento por un vector que una sus extremos. Efectuar el producto escalar del vector asociado al segmento del camino por el campo ~ en ese lugar. E Sumar estos productos para todo el camino. La integral corresponde al l´ımite de esta suma al hacer los segmentos cada vez más peque˜ nos y numerosos. P2

P2

P2

E

ca m

ino

ds

2.1.1.

P1

P1

P1

Un ejemplo.

~ = Kyˆ Consideremos el campo vectorial E x + Kxˆ y . Queremos evaluar la integral de l´ınea a través del camino de la figura y 2

B

C

1

2 x

1

A

´ 2.1. INTEGRAL DE LÍNEA DEL CAMPO ELECTRICO.

33

La integral es separable Z

C

~ · d~s = E

A

Z

B

~ · d~s + E

Z

A

C

~ · d~s . E

(2.2)

B

~ = Kyˆ El elemento de camino d~s = dxˆ x + dy yˆ y el campo por componentes E x + Kxˆ y luego ~ · d~s = Kydx + Kxdy . E (2.3) En la primera parte del camino (de A a B) y = 2x (una recta) lo que implica dy = 2dx, por lo tanto, Z B Z B ~ E · d~s = K (ydx + xdy) A A Z 1 =K 2xdx + 2xdx 0 Z 1 x dx = 2K . (2.4) = 4K 0

A lo largo del camino de B a C, y = 2 y dy = 0 Z C Z C ~ · d~s = K E (ydx + xdy) B

ZB2 =K

2dx = 2K .

(2.5)

1

La suma de ambos tramos Z

C

~ · d~s = 2K + 2K = 4K E

(2.6)

A

2.1.2.

Otro camino.

Consideremos ahora el camino de la figura y

C

2

1

A

1

B 2 x

Sobre el camino A → B y = 0 luego dy = 0 Z B ~ · d~s = 0 , ya que E ~ ⊥ d~s. E A

(2.7)

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

34

Sobre el camino B → C x = 2 luego dx = 0 Z

C

~ · d~s = E

B

2.1.3.

2

Z 0

2 K2 dy = 2Ky = 4K .

(2.8)

0

Independencia del camino.

El campo eléctrico de una carga puntual es radial y depende solamente de r. Si P1 y P2 son dos puntos cualesquiera en el campo de una carga puntual es directo que la integral de ~ es la misma para todas las trayectorias que unen P1 y P2 . l´ınea de E Lo anterior puede verificarse usando una argumentación equivalente a la usada cuando evaluamos el trabajo. ~ (debido a todos los manantiales) debe ser Por superposición, la integral de l´ınea de E independiente del camino. Es decir, la integral Z

P2

~ · d~s E

(2.9)

P1

Tiene el mismo valor para todos los caminos que unen a P1 y P2 en un campo electrostático.

2.2.

Diferencia de potencial y funci´ on potencial.

Debido a que la integral de l´ınea en el campo electrostático es independiente del camino, podemos usarla para definir una magnitud escalar ϕ21 como sigue Z P2 ~ · d~s ϕ21 = − E (2.10) P1

Donde ϕ21 es el trabajo por unidad de carga efectuado al mover una carga positiva desde ~ P1 a P2 en el campo E. Además, ϕ21 es una función escalar un´ıvoca de las dos posiciones P1 y P2 que llamaremos diferencia de potencial entre los dos puntos. En sistema CGS las unidades de diferencia de potencial son [erg/ues]=[statvolt]. En sistema MKS las unidades de diferencia de potencial son [Joule/Coulomb]=[Volt]. 1 [Volt] =

2.2.1.

1 [statvolt] 299.79

(2.11)

Funci´ on potencial.

Supongamos que mantenemos P1 fijo en cierta posición de referencia. Entonces ϕ21 es función sólo de P2 . Podemos escribir

ϕ (x,y,z) Campo escalar

Potencial asociado a E(x,y,z) Campo vectorial

´ POTENCIAL. 2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCION

35

~ se determina ϕ salvo por una constante aditiva debido a la arbitrariedad en la Dado E elección de P1 . Supongamos que tenemos dos definiciones para la función potencial, ϕA y ϕB , que sólo difieren en el punto P1 , es decir ~ r

Z

Z

~ · d~s , E

ϕA = −

~ r

~ · d~s . E

ϕB = −

A

(2.12)

B

A ϕA lo podemos escribir como Z

~ r

~ · d~s E

ϕA = − A B

Z

~ · d~s − E

=− A

Z

~ r

~ · d~s E

B

= cte. + ϕB ϕA = ϕB + cte.

2.2.2.

La carga puntual.

El campo de una carga puntual q es

q rˆ. r2

ds

dr A

r

B

ds r = dr

rA

rB q

Evaluemos la diferencia de potencial Z

B

ϕAB = − A

q rˆ · d~s = − r2

Z

B

A

B q 1 q 1 dr = = q − r2 r rB rA A

Si rA → ∞ ϕ(~r) =

q r

(2.13)

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

36

2.2.3.

Dos cargas en el plano.

Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano de la configuración de dos cargas puntuales de la figura

y

(x,y) r1

q1

r2

0

b

x

q2

a

El potencial es la suma de los potenciales individuales ϕ(x, y) =

2.2.4.

q1 q2 q1 q2 +p + =p 2 2 r1 r2 (x + b) + y (x − a)2 + y 2

Otro ejemplo.

~ Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano del campo E(x, y) = Kyˆ x + Kxˆ y eligiendo nuestro punto de referencia P1 = (0, 0). Usaremos el camino de integración mostrado en la figura.

y

(x,y)

x

(0,0) Z

(x,y)

~ · d~s E

ϕ(x, y) = − (0,0)

Z

(x,0)

Z

(x,y)

=−

Ex dx − Ey dy (x,0) Z x Z y = K(y = 0) dx − Kx dy = 0 − Kxy (0,0)

0

= −Kxy

0

´ ESCALAR. 2.3. GRADIENTE DE UNA FUNCION

37

A todos los resultados anteriores le podemos sumar una constante. Esto solamente indicar´ıa que el punto de referencia al cual se asigna ϕ = 0 se puso en otra parte. No hay que confundir Potencial con energ´ıa potencial de un sistema.

La energ´ıa potencial de un sistema de cargas es el trabajo total requerido para reunirlas.

El potencial asociado al campo ser´ıa el trabajo por unidad de carga requerido para ~ del traer una carga de prueba positiva desde el infinito al punto (x, y, z) en el campo E sistema de cargas.

2.3.

Gradiente de una funci´ on escalar.

Sabemos que dado el campo eléctrico podemos hallar la función potencial eléctrico, que resulta ser una función escalar. Si quisiéramos proceder en sentido contrario, es decir, a partir del potencial deducir el campo eléctrico de la ecuación Z P2 ~ · d~s , ϕ21 = − E (2.14) P1

Parecer´ıa que el campo es en alg´ un sentido una derivada de la función potencial. Para precisar esto presentamos el gradiente de una funci´ on escalar:1

~ (x, y, z) = grad f = ∇f

∂f ∂f ∂f xˆ + yˆ + zˆ . ∂x ∂y ∂z

(2.15)

El gradiente de una función escalar es un vector en la dirección de la máxima pendiente en sentido ascendente y su módulo es la pendiente medida en aquella dirección 1

La derivada parcial respecto a la variable x de una función f (x, y, z), escrita simplemente ∂f /∂x, significa la raz´ on de variaci´ on de la funci´ on respecto a x manteniendo constante las otras variable (y, z), i.e. ∂f f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) = l´ım , ∆x→0 ∂x ∆x

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

38 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

exp(−x*x−y*y) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

(x,y)

1 0.5

Dirección de la máximo crecimiento

0 −0.5 −1 1

2.4.

−0.5

0

0.5

y

−1

x

Deducci´ on del campo a partir del potencial.

Consideremos la diferencial de la función escalar de tres variables ϕ(x, y, z) dϕ =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z

además de Z

P2

ϕ21 = −

~ · d~s → dϕ = −E ~ · d~s , E

(2.16)

(2.17)

P1

y como ~ · d~s = −E ~ · d~s . dϕ = ∇ϕ

(2.18)

~ = −∇ϕ ~ E

(2.19)

Identificamos El signo menos da cuenta de que el campo eléctrico está dirigido de una región de mayor ~ se define de manera potencial hacia una región de menor potencial, mientras que el vector ∇ϕ que se dirija en el sentido creciente de ϕ.

2.4.1.

Ejemplos.

Carga puntual. q ∂ q q ~ ~ ~ E = −∇ϕ = −∇ =− rˆ = 2 rˆ . r ∂r r r Dos cargas. q1 q2 ϕ= p +p =⇒ 2 2 (x + b) + y (x − a)2 + y 2 x + y yˆ] q2 [(x − a)ˆ x + y yˆ] ~ = q1 [(x + b)ˆ + . E ((x + b)2 + y 2 )3/2 ((x − a)2 + y 2 )3/2

´ DE CARGA. 2.5. POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCION

39

Otro ejemplo. ϕ = −Kxy =⇒ ∂ ~ = − ∂ (−Kxy)ˆ E x+ (−Kxy)ˆ y ∂x ∂y = Kyˆ x + Kxˆ y.

2.5.

Potencial de una distribuci´ on de carga.

Para calcular el potencial debido a una distribución de carga ρ ( r )=ρ (x’,y’,z’) dx’dy’dz’=d 3r’ Punto de Observación

r−r’

r

Distribución de carga contenida en una región finita

r’

Origen

Z ϕ(~r) =

ρ(~r 0 )d3 r 0 | ~r − ~r 0 |

(2.20)

Debe tenerse que el potencial sea nulo en infinito. La distribución de carga debe estar acotada a una región finita. En el caso de una distribución constante escribimos el potencial como la suma de los potenciales debido a los distintos dq de la distribución. La distribución debe ser finita.

ρ = cte

dq

R

Z ϕ=

dq =ρ R

Z

dv R

(2.21)

En caso que la distribución NO sea constante, la primera expresión sigue siendo válida.

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

40

2.5.1.

Las l´ıneas equipotenciales.

El lugar geométrico de los puntos con un valor particular de ϕ es una superficie, llamada equipotencial la cual se representa en dos dimensiones por una curva y en tres por una superficie.

q

La familia de curvas equipotenciales son ortogonales a las l´ıneas de fuerzas.

2.5.2.

Potencial de un hilo largo cargado.

Calculemos el potencial de un hilo infinito cargado con densidad uniforme λ mediante integración directa.

dq= λ dz

z

R

O

z

r

dq λdz =√ R z 2 + r2 Z Z ∞ ∞ λdz λ dz √ r ϕ= = r z 2 + r2 z 2 −∞ −∞ +1 r

dϕ =

z Usando la paridad del integrando y haciendo el cambio de variable u = , tenemos r Z ∞ du √ ϕ = 2λ , u2 + 1 0

2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. haciendo u = tan θ con du = sec2 θ dθ Z ϕ = 2λ

π/2

0

41

sec2 θ dθ (tan2 θ + 1)1/2

π/2

Z = 2λ

sec θ dθ 0

π/2 = 2λ log(sec θ + tan θ) → ∞ . 0

La divergencia de la integral se debe a que la distribución de carga no está contenida en un región finita (hay carga en ∞). Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera usando la expresión para el campo eléctrico de una l´ınea infinita uniformemente cargada Z P2 Z r2 2λ ~ ϕ21 = − E · d~s = − dr r P1 r1 = 2λ log(r1 ) − 2λ log(r2 ) . Fijamos arbitrariamente el punto P1 para obtener la función potencial ϕ = −2λ log(r) + cte. Claramente ~ = −ˆ −∇ϕ r

2.6.

(2.22)

∂ϕ 2λ = rˆ . ∂r r

Disco cargado uniformemente.

Consideremos un disco no conductor cargado con una distribución uniforme σ [ues/cm2 ] de espesor infinitesimal. La carga total corresponde a Q = πa2 σ. No hay dos capas. Si el disco fuera conductor habr´ıa redistribución de carga acumulándose hacia los bordes.

z a dq P2 x

R

P1 (0,y,0) y

σ

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

42

Evaluemos el potencial en el punto P1 = (0, y, 0) Z 2π Z a σrdθdr dq p ϕ(0, y, 0) = = R y 2 + r2 0 0 a Z a p r p = 2πσ dr = 2πσ y 2 + r2 y 2 + r2 0 0 p 2 2 ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y + a − y] , si y > 0. Z

p Por simetr´ıa debemos tener ± y 2 p ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y 2 + a2 + y] ,

si y < 0.

El valor en el centro ϕ(0, 0, 0) = 2πσa ϕ

−a

singularidad en la derivada

0

a

y

Estudiemos el comportamiento de ϕ(0, y, 0) para valores grandes de y. Para y a tenemos  s 2 p a y 2 + a2 − y = y  1 − 2 − 1 y 1 a2 =y 1+ ... − 1 2 y2

≈

a2 . 2y

De aqu´ı tenemos ϕ(0, y, 0) =

πa2 σ Q = , y y

para y a.

(2.23)

Donde πa2 σ = Q es la carga total, luego este ser´ıa el potencial de una carga puntual de ese valor. Desde muy lejos el disco se ve puntual. El potencial para puntos fuera del eje de simetr´ıa no es fácil, las integrales resultan ser p R el´ıpticas ( dφ/ 1 − k 2 sen2 φ)

2.6.1.

Potencial en el borde del disco.

Evaluemos el potencial en el punto P2 = (a, 0, 0)

2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE.

43

σ

r dr P2

θ 2a a

Z Z σ2rθdr dq = = 2σθdr . ϕ(a, 0, 0) = r r De la figura r = 2a cos θ luego dr = −2a sen θdθ. Reemplazando en la integral Z 0 ϕ(a, 0, 0) = 2σθ(−2a sen θ) dθ Z

π/2

Z

π/2

=

4σaθ sen θ dθ 0

π/2 = 4σa [sen θ − θ cos θ] 0

= 4σa . Comparando este valor con el del centro del disco (2πσa) el potencial disminuye. Esto implica que el campo eléctrico tiene componente en el plano del disco y hacia afuera. Por lo anterior, si la carga pudiese moverse se distribuir´ıa hacia los bordes. Podemos calcular el campo eléctrico en el eje de simetr´ıa directamente del potencial ∂ϕ ∂y i hp d = − 2πσ y 2 + a2 − y dy " # y = 2πσ 1 − p y>0. y 2 + a2

Ey = −

Tomemos el l´ımite y → 0 por la derecha y por la izquierda. ~ → 2πσ yˆ. Si y tiende a cero+ entonces E ~ → −2πσ yˆ. Si y tiende a cero− entonces E Este es el campo que corresponde a un lámina indefinida (infinita) con densidad superficial homogénea σ. Podemos encontrar el campo cerca del disco usando Gauss. Como superficie de Gauss usamos la “cajita” de la figura.

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

44

A

El campo no al plano es Φ = AEy+ − AEy− + (flujo lateral) El primer término corresponde al campo inmediatamente por delante, el segundo al campo por detrás en un caso la normal apunta hacia adelante y en el otro apunta hacia atrás. El flujo lateral se puede hacer tan peque˜ no como se quiera aplanando la caja. (Mientras el campo paralelo sea finito.) La carga encerrada es σA luego la ley de Gauss AEy+ − AEy− = 4πσA , o bien lo podemos reescribir como Ey+ − Ey− = 4πσ

(2.24)

Esto vale para cualquier distribución superficial de carga uniforme o no. Si σ es la densidad local de una capa superficial cargada, existe un cambio brusco o discontinuidad en la componente perpendicular del campo eléctrico.

2.6.2.

La energ´ıa del sistema.

~ Recordemos la expresión para la energ´ıa total asociada a un campo E Z 2 1 ~ U= E dv . 8π Todo el espacio

(2.25)

~ = −∇ϕ, ~ Escribamos la energ´ıa ahora en términos del potencial. Utilizamos que E luego tenemos Z 1 ~ 2 U= (2.26) ∇ϕ dv . 8π Todo el espacio Hay otra forma de calcular la energ´ıa almacenada N

1 X X qj qk U= . 2 j=1 k6=j rjk

(2.27)

´ VECTORIAL. 2.7. DIVERGENCIA DE UNA FUNCION

45

Si reescribimos la ecuación anterior de la forma # " N X qk 1X . U= qj 2 j=1 r jk k6=j El término entre paréntesis corresponde a la contribución de todas las cargas al potencial en la posición de qj . Podemos sumarlas y llamarles ϕj (potencial en la posición de qj debido a todas las otras cargas) luego N 1X U= qj ϕ j . (2.28) 2 j=1 Si tenemos una distribución continua 1 U= 2

2.7.

Z ρϕ dv

(2.29)

Divergencia de una funci´ on vectorial.

Sea F~ (x, y, z) una función vectorial. Consideremos el flujo total a través de la superficie S Z Φ= F~ · d~a . S

S 1 incluye D S V1

da F

D

V2

V

S 2 incluye D

Si dividimos V en dos partes, diagrama de la derecha, el flujo es el mismo Z Z Φ= F~ · d~a + F~ · d~a , S1

S2

ya que los flujos sobre D se anulan. Podemos dividir V sucesivamente hasta tener V1 , V2 , . . . , VN con superficies S1 , S2 , . . . , SN , podemos afirmar Z N Z X ~ Φ= F · d~a = F~ · d~ai . S

i=1

Si

´ CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

46

R Si consideramos el l´ımite N → ∞ las integrales Si F~ · d~ai → 0. Es decir, se hacen cada vez más peque˜ nas, al igual que cada Vi , a medida que N crece. Pero si consideramos la razón entre ambas magnitudes R F~ · d~ai Si , Vi encontramos que tiene un l´ımite cuando N → ∞. Este l´ımite es una propiedad caracter´ıstica de la función vectorial (campo vectorial) F~ en esa región. Llamaremos divergencia de F~ a esta propiedad: ~ · F~ ≡ l´ım 1 div F~ (x, y, z) = ∇ V →0 V

Z

F~ · d~a

(2.30)

S

donde V es un volumen que incluye al punto (x, y, z) y S es la superficie donde se extiende la integral, además es la superficie de V . La condición de que el l´ımite exista y sea independiente del método de subdivisión, lo estamos dando por supuesto. La div F~ corresponde al flujo saliente de V por unidad de volumen en el l´ımite en que V es infinitesimal. Es una magnitud escalar, que depende de la posición y puede variar de un lugar a otro.

2.8.

Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de Gauss.

Consideremos un volumen V cuya superficie es S. Hagamos una partición en N subvolumenes Vi cuya superficie es Si escribamos el flujo total a través de S en función de la partición. "R # Z N Z N X X F~ · d~ai S i Φ= F~ · d~a = F~ · d~ai = Vi . Vi S S i i=1 i=1 En el l´ımite que N → ∞ y Vi → 0, tenemos Z S

F~ · d~a =

Z

div F~ dv

(2.31)

V

Este resultado es conocido como teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Se cumple para todo campo vectorial para el cual existan los l´ımites involucrados. Apliquemos el teorema de la divergencia al campo eléctrico Z Z ~ ~ dv . div E (2.32) E · d~a = S

V

Recordemos la Ley de Gauss que satisfac´ıa el campo eléctrico sobre el mismo volumen y superficie Z Z ~ E · d~a = 4π ρ dv . (2.33) S

V

2.9. LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS.

47

Como ambas ecuaciones se cumplen para cualquier volumen ~ =∇ ~ ·E ~ = 4πρ div E

(2.34)

Esta u ´ltima ecuación es conocida como la forma diferencial de la ley de Gauss y corresponde a la primera ecuaci´ on de Maxwell.

2.9.

La divergencia en coordenadas cartesianas.

Veamos la forma que tiene el operador divergencia en coordenadas cartesianas ~ · F~ = ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz div F~ = ∇ ∂x ∂y ∂z

(2.35)

La divergencia es un escalar y en coordenadas cartesianas corresponde al producto escalar ~ y el campo vectorial. Si div F~ > 0 el flujo es saliente. Si div F~ < 0 entre el operador vectorial ∇ el flujo es entrante. Consideremos un cilindro infinito de radio a, cargado con densidad uniforme ρ. z x

y a

ρ

Usando la ley de Gauss podemos encontrar el campo en todo el espacio,   2πρa2 r>a E(r) = r 2πρr ra r x + y2 = 2πρx ra Ey (r) = E = 2 r x + y2 = 2πρy r

t

A 4π t

Figura 10.1: Condensador con y sin aislante. ~ yB ~ existen en No solamente en los condensadores, sino casi en todas partes los campos E presencia de materia más que en le vac´ıo. Ahora nos preocupará conocer las interacciones de ~ yB ~ con la materia Se nos presentan dos caminos distintos: uno macroscópico los campos E y otro microscópico. En forma macroscópica la ecuación (10.1) necesita solamente la inclusión de un factor (que depende del material) para dar correctamente la capacidad del condensador lleno con ese material. A se le llama constante dieléctrica de una determinado material y al material se le conoce como dieléctrico. vacio = 1 aire = 1.00059 materiales > 1.0

´ DE CARGA. 10.2. MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCION

10.1.1.

181

Visi´ on macrosc´ opica.

Una vez determinada somos capaces de predecir el comportamiento de todo el sistema electrostático constituido por los dos conductores y la pieza de dieléctrico entre ellos. Esta teor´ıa fue lograda sin una representación de la materia, es decir, sin una teor´ıa atómica. Desde este punto de vista, el interior del dieléctrico es un espacio sin rasgos caracter´ısticos, uniforme y cuya u ńica propiedad eléctrica distinta del vac´ıo es una constante dieléctrica distinta de la unidad. Si sólo usamos una descripción macroscópica de un campo en la materia tendremos problemas para contestar ciertas preguntas: ¿Cuál es el campo en el interior del dieléctrico, cuando hay carga en las placas? No podemos poner una carga de prueba. . .

10.1.2.

Visi´ on microsc´ opica.

Afortunadamente podemos optar por una acercamiento microscópico al problema. Sabemos que la materia está constituida por átomos y moléculas. Nuestro dieléctrico será descrito como una agrupación de moléculas en el vac´ıo en vez de un volumen lleno de materia continua y sin estructura. Si hallamos cómo act´ uan las cargas en una molécula cuando esta está en presencia de un ~ ser´ıamos capaces de establecer el comportamiento de un par de moléculas campo eléctrico E separadas en el vac´ıo una en el campo de la otra. Este es un problema en el vac´ıo. Luego hay que extenderlo a 1020 moléculas por cent´ımetro c´ ubico. ¿Seremos capaces de decir algo sobre el campo eléctrico y sobre el campo magnético en la materia? Para intentar decir algo sobre estos campos haremos un estudio separado de los efectos de los campos eléctricos y de los efectos de los campos magnéticos. En este cap´ıtulo estudiaremos los efectos de los campos eléctricos en la materia y en el próximo estudiaremos los efectos de los campos magnéticos.

10.2.

Momentos de una distribuci´ on de carga.

Un átomo o molécula consta de ciertas cargas eléctricas distribuidas en un peque˜ no volu−24 3 men del orden de 10 [cm ]. Nos interesa el campo eléctrico en el exterior de este volumen, debido a esta distribución más bien complicada de carga. Nos interesa el campo lejos de las fuente, con lo que indicamos distancias grandes comparadas con el tama˜ no de la propia fuente. ¿Qué aspectos de la estructura de la distribución de carga determinan principalmente el campo en puntos remotos? Para contestar lo anterior centremos nuestra atención en cierta distribución arbitraria de carga y veamos cómo podemos emprender el cálculo del campo en un punto exterior a ella. Sea ϕA el potencial en el punto A debido a la distribución de carga ρ Z ρ(x0 , y 0 , z 0 ) 0 ϕA = dv (10.3) R 1/2 R = r2 + r02 − 2rr0 cos θ (10.4)

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

182

z A R

r θ

x

r’

dv’ y

ρ (x,y,z)

Figura 10.2: Densidad de carga de una molécula es negativa en los electrones y positiva en los n´ ucleos. Sustituyendo en la integral Z ϕA =

−1/2 0 dv ρ(x0 , y 0 , z 0 ) r2 + r02 − 2rr0 cos θ

Como A es lejano r0 r para todo punto de la distribución de carga luego −1/2 −1/2 1 2 r0 r02 02 0 r + r − 2rr cos θ = 1 + 2 − 2 cos θ r r r

(10.5)

(10.6)

Usando la expansión en serie 3 1 (1 + δ)−1/2 ≈ 1 − δ + δ 2 + . . . 2 8 y reagrupando tenemos 2 −1/2 1 r0 02 0 1 + cos θ r + r − 2rr cos θ = r r 0 2 0 3 # r r + (3 cos2 θ − 1) + O r r

(10.7)

Ahora bien, r es constante en la integración, as´ı que escribimos el potencial obtenido en el punto A como sigue Z Z 1 1 0 3 0 ϕA = ρ(r )d r + 2 r0 cos θρ(r0 )d3 r0 r r Z (10.8) 1 02 2 0 3 0 + 3 r (3 cos θ − 1)ρ(r )d r + . . . r

´ DE CARGA. 10.2. MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCION

183

Cada una de las integrales anteriores, Ko , K1 y K2 , y las sucesivas tienen un valor que depende solamente de la estructura de la distribución de carga. De aqu´ı el potencial puede escribirse ϕA =

Ko K1 K2 + 2 + 3 + ... r r r

(10.9)

Para acabar el problema deber´ıamos obtener el potencial en todos los otros puntos para ~ poder calcular el campo eléctrico v´ıa −∇ϕ. El comportamiento del potencial a grandes distancias de la fuente R estará determinado por el primer término de esta serie cuyo coeficiente no sea nulo. K0 es ρdv 0 es decir la carga total. Si tenemos la misma cantidad de carga positiva que negativa, como en las moléculas neutras, K0 es nulo. Para una molécula simplemente ionizada K0 = +e. K0 Si K0 6= 0 K1 y K2 no interesan. El término prevalecerá. r R Si tenemos una molécula neutra, i.e. K0 = 0, interesa K1 = r0 cos θρdv 0 . Ya que r0 cos θ = z 0 este término mide el desplazamiento relativo en la dirección de A de la carga positiva y negativa. +e

+e +e

+2e

−2e

+e

+e

−3e

−2e

Figura 10.3: En todos los casos mostrados K1 6= 0 Si la distribución es el valor de K1 es independiente de la posición del origen. Es decir, si reemplazamos z 0 → z 0 + zo , desplazando el origen el valor de la integral no var´ıa. Z Z Z Z 0 0 0 0 0 0 0 (z + z0 )ρdv = z ρdv + z0 ρdv = z 0 ρdv 0 Si K0 = 0 y K1 6= 0, el potencial a lo largo del eje z variará asintóticamente como 1/r2 luego el campo E ∝ 1/r3 . Si K0 y K1 son nulos y K2 6= 0 el potencial se comportará como 1/r3 a grandes distancias y E ∝ 1/r4 . Las cantidades K0 , K1 , K2 , . . . están relacionadas con lo que se conocen como momentos de la distribución de carga. K0 corresponde a la carga y se conoce como momento monopolar. K1 es una de las componentes del momento dipolar. Tiene unidades de carga por desplazamiento y es un vector K1 corresponde a la componente z. K2 es una de las componentes del momento cuadrupolar (tensor). K3 es una de las componentes del momento octopolar.

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

184

+e −e

−e

+e Figura 10.4: Configuración con K0 = K1 = 0 y K2 6= 0.

10.3.

Potencial y campo de un dipolo.

Podemos escribir el potencial en el punto A como Z Z 1 rˆ 0 0 ϕA = 2 rˆ · ~r ρdv = 2 ~r 0 ρdv 0 r r

(10.10)

Sin referencia a ning´ un eje. Hemos usado que r0 cos θ = rˆ · ~r0 . la integral es el momento dipolar. Designamos al vector momento dipolar por p~ Z p~ = ~r 0 ρ(~r 0 )d3 r0 (10.11) Podemos reescribir (10.10) como ϕ(~r) =

rˆ · p~ r2

(10.12)

z

p θ

r

E

Figura 10.5: Campo de un dipolo. Partamos del potencial ϕ(~r) =

p cos θ r2

(10.13)

10.4. TORQUE Y FUERZA SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO EXTERNO.

Trabajemos en el plano xz, es decir, cos θ = √ ϕ(~r) =

185

z + z2

x2

pz (x2 + z 2 )3/2

(10.14)

Las componentes del campo ∂ϕ 3pxz 3p sen θ cos θ = = 2 2 5/2 ∂x (x + z ) r3 ∂ϕ 3z 2 1 − 2 Ey = − = 2 2 5/2 ∂z (x + z ) (x + z 2 )3/2 p(3 cos2 θ − 1) = r3

Ex = −

(10.15)

La intensidad del campo decrece como 1/r3 en el eje z que es paralelo a p~ con modulo 2p/r3 . En el plano ecuatorial el campo está dirigido en forma antiparalela a p~ y tiene un valor −~p/r3 . La distribución más simple con momento dipolar son dos cargas ±q separadas una distancia s lo que implica que p = qs. Calculemos ahora el campo del dipolo en coordenadas polares. Para ello partamos nuevamente del potencial p cos θ ϕ(~r) = r2 Derivemos para obtener el campo

10.4.

Er = −

∂ϕ 2p cos θ = ∂r r3

Eθ = −

p sen θ 1 ∂ϕ = r ∂θ r3

(10.16)

Torque y fuerza sobre un dipolo en un campo externo.

Supongamos dos cargas q y −q conectadas mecánicamente, s es la distancia entre ellas. ~ es decir en el El momento dipolar p = qs. Coloquemos el dipolo en un campo externo E, campo de otra fuente. El dipolo experimenta un torque ~ = ~τ = ~r × F~ N

r=

s 2

~ = ~r × F~+ + (−~r) × F~− N

(10.17)

186

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

E F−=−qE

F+=+qE

s

+q

−q p

Figura 10.6: La fuerza es nula sobre el dipolo. θ r

F+

+q s/2

−q

F+ θ

p

F−

E

Figura 10.7: Torque sobre el dipolo. El vector vecN es un vector perpendicular a la figura. s s N = Eq sen θ + Eq sen θ = sqE sen θ = pE sen θ 2 2

(10.18)

~ = p~ × E ~ N

(10.19)

Luego

En presencia de un campo la orientación del dipolo que tiene la energ´ıa más baja es cuando está paralelo al campo. Tiene que efectuase trabajo para girar el dipolo a cualquier otra posición. El trabajo total realizado Z θ0 Z θ0 W = N dθ = pE sen θdθ = pE(1 − cos θ0 ) (10.20) 0

0

Para invertir el dipolo, θ0 = π se requiere W = 2pE.

10.4.1.

Fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme.

La fuerza resultante sobre el dipolo en un campo uniforme es nula. En un campo no uniforme las dos fuerzas no se cancelan. Ejemplo simple F =q

Q Q + (−q) 2 r (r + s)2

(10.21)

´ 10.5. DIPOLO ATOMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.187 s

r Q

F

Figura 10.8: Un dipolo en un campo no uniforme. Para s r Qq 1 F = 2 1− r (1 + s/r)2 Qq 1 2sQq ≈ 2 1− ≈ r 1 + 2s/r r3

(10.22)

La fuerza F =

2pQ r3

(10.23)

No es fácil deducir una fórmula general para la fuerza sobre un dipolo en un campo eléctrico no uniforme. La fuerza depende esencialmente de los gradientes de las distintas componentes del campo. En general la fuerza en x sobre un dipolo p~ es ~ x Fx = p~ · ∇E

10.5.

(10.24)

Dipolo at´ omico y moleculares; momentos dipolares inducidos.

Al describir la distribución de carga en un átomo o molécula tendremos que usar término clásicos para representar un sistema mecánico cuántico. También trataremos como estático una estructura en la que las part´ıculas, en cierto sentido, están continuamente en movimiento. Se verá, en los cursos más avanzados, que la Mecánica Cuántica ratifica este enfoque simplificado. Consideremos el átomo más simple, el átomo de Hidrógeno, que consta del n´ ucleo y un electrón. Si imaginamos el electrón cargado negativamente, girando en torno del n´ ucleo positivo como un planeta alrededor del Sol – Modelo atómico original de Bohr – Concluiremos que el átomo, en un instante dado posee un momento dipolar eléctrico. El vector p~ se dirige paralelo al radio vector electrón-protón y su módulo es e veces la distancia electrón protón. La dirección de este var´ıa continua y rápidamente cuando el electrón “recorre su órbita”. Sin duda, el valor medio en el tiempo de p~ será nulo para una órbita circular. Esperar´ıamos que la variación periódica de las componentes de p~ originen un campo eléctrico rápidamente oscilante y por ende radiación electromagnética. La ausencia de tal radiación en el átomo de Hidrógeno fue una de las más grandes paradojas de la primitiva f´ısica cuántica. La Mecánica Cuántica moderna nos dice que es mejor imaginar el átomo de Hidrógeno en su estado de más baja energ´ıa como una estructura con simetr´ıa esféricas con la carga distribuida, en promedio temporal sobre una nube que rodea al n´ ucleo. Nada está girando ni

188

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

oscilado. Si pudiéramos tomar una instantánea con un tiempo de exposición inferior a 10-16 [s], podr´ıamos un e- situado a cierta distancia del n´ ucleo. Para procesos en los que intervienen tiempos muchos mayores, tenemos, en efecto, una distribución continua de carga negativa que rodea al n´ ucleo y se extiende en todas direcciones con densidad constante decreciente La carga total en la distribución es e- . Aproximadamente la mitad de la carga está en una esfera de 0.05 [˚ A]. La densidad decrece exponencialmente hacia el exterior, una esfera de radio 2.2 [˚ A] contiene el 99 % de la carga. Una representación similar es la mejor para adoptar en otros átomos y moléculas. Podemos tratar a los n´ ucleos en las moléculas como cargas puntuales, para nuestros propósitos su tama˜ no es demasiado peque˜ no para tenerlo en cuenta. La estructura electrónica entera de la molécula puede representarse como una sola nube de carga de densidad variable. La forma de la distribución dependerá de la molécula en cuestión, pero en los bordes de la nube la densidad siempre disminuirá exponencialmente, as´ı que tienen “cierto” sentido hablar de forma de la distribución.

E

Figura 10.9: A la izquierda átomo de Hidrógeno, con p~ = 0 para cualquier estado fundamental de cualquier átomo. A la derecha el átomo inmerso en un campo eléctrico. ~ distorsiona el átomo. El átomo perturbado tendrá un momento dipolar a El campo E causa de que “el centro de gravedad” de las cargas positivas y negativas no coinciden Usemos un modelo provisional del átomo de Hidrógeno para determinar el orden de magnitud de la distorsión esperada. Supongamos que en ausencia del campo eléctrico la carga e- está distribuida con densidad constante en toda una esfera de radio a y que es nula es el exterior.

a

´ Figura 10.10: Atomo de Hidrógeno, con densidad en una bola de radio “a”.

´ 10.5. DIPOLO ATOMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.189 ~ la bola de carga e- mantiene su Supongamos que cuando se aplica un campo eléctrico E forma y densidad y sólo se desplaza relativamente el n´ ucleo.

b E

´ Figura 10.11: Atomo de Hidrógeno, bajo un campo “a”. ~ El n´ ucleo queda a cierta distancia b del centro de la esfera. En el equilibrio, la f~ = eE ~ que act´ sobre el n´ ucleo debida al campo E ua hacia arriba, debe estar equilibrada por la atracción hacia abajo ejercida sobre el n´ ucleo por la nube de carga negativa, que empuja al n´ ucleo hacia su centro. Para hallar la fuerza el campo sólo depende de la carga interior a b, i.e. Q e 4 eb 1 E = 2 = 4 3 πb3 2 = 3 b b a πa 3 3 Igualando al campo externo eb a3 Eext =⇒ b = a3 e Si tomamos a = 1 [˚ A] y E = 100 [statvolt/cm] (intenso) entonces b = 2 × 10−13 [cm]. Una distorsión muy ligera. El p~ es ~ ext p = eb = a3 Eext , p~ k E (10.25) ~ podemos esperar que esto se mantenga, al menos El p~ es directamente proporcional al E, para peque˜ nas distorsiones Eext =

10.5.1.

Polarizaci´ on at´ omica.

Cualquier átomo puede polarizarse de esta manera. Decimos que el momento dipolar es ~ En cada caso hallamos que p~ es proporcional a E ~ inducido por el campo eléctrico E. ~ p~ = αE

(10.26)

α es la polarizabilidad atómica en [cm3 ] En nuestro modelo del Hidrógeno, α = a3 y tiene dimensiones de volumen. Un cálculo exacto, usando Mecánica Cuántica, da αH = 9a30 /2, con a0 el radio de Bohr, a0 = 0.52 × 10−8 [cm]. Los valores experimentales de α para diferentes elementos en unidades de 10−24 [cm3 ] H He Li Be C Ne Na Ar K α 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34 Los alcalinos se deforman fácilmente, valores grandes. Los gases nobles son muy r´ıgidos, valores peque˜ nos.

190

10.5.2.

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

Polarizaci´ on en mol´ eculas.

~ a una molécula también se produce un momento Cuando se aplica un campo eléctrico E dipolar inducido.

Figura 10.12: Molécula de metano, CH4 . la molécula de metano α = 2.6 × 10−24 [cm3 ] Si sumamos las polarizabilidades de los átomos individuales, el de carbono y de los cuatro hidrógenos tenemos 4.1 × 10−24 [cm3 ]. Evidentemente, los enlaces de los átomos en la molécula ha alterado la estructura electrónica. Las moléculas son, en general menos simétricas que los átomos. Esto origina la posibilidad de que un momento dipolar inducido no sea paralelo al campo que lo induce. Consideremos una molécula de dióxido de carbono.

z y O

C

O x

Figura 10.13: Molécula de dióxido de carbono, CO2 . Es diferente la “rigidez” longitudinal y transversal. En general un campo eléctrico paralelo al eje molecular inducirá un valor distinto que el inducido por un campo eléctrico perpendicular al eje molecular. En realidad, el α del CO2 es 4.05×10−24 [cm3 ], para un campo aplicando paralelo al eje y un poco menos que la mitad para un campo transversal. Este tipo de moléculas tiene dos α los cuales podemos designar por α⊥ y αk . Si el campo está en otra dirección, se aplica superposición. El ejemplo anterior, demuestra que la polarizabilidad de una molécula no es un simple escalar, sino un conjunto de coeficientes que expresan una dependencia lineal de

´ 10.5. DIPOLO ATOMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.191

E

E p E

Figura 10.14: Campo y momento dipolar no paralelos. ~ Al conjunto de coeficientes se llama tensor, los componentes de un vector p~, de las de otro E. la relación más general ser´ıa con 9 coeficientes px = αxx Ex + αxy Ey + αxz Ez py = αyx Ex + αyy Ey + αyz Ez pz = αzx Ex + αzy Ey + αzz Ez Las nueve α definidas de esta manera constituyen el llamado tensor de polarizabilidad. En el ejemplo del CO2 tenemos αxx = αk y además αyy = αzz = α⊥ y los otros seis coeficientes nulos. Si elegimos otra dirección para los ejes, por ejemplo, 30◦ con el eje molecular, ~ en x originar´ıa p~ en z, es decir, αzx 6= 0. As´ı que los elementos del tensor de un campo E polarizabilidad dependerán de la orientación de los ejes coordenados. Bajo una rotación de los ejes los elementos del tensor deben transformar de tal manera que conserven invariante ~ con p~. Esta relación sólo puede depender de la dirección de E ~ con respecto a la relación de E los ejes f´ısicos de la molécula y no de como se nos ocurra trazar el eje x. Podemos encontrar las reglas de transformación de los coeficientes del tensor como ejercicio. Se puede demostrar que αxy = αyx αxz = αzx αyz = αzy Es decir, el tensor (o matriz) es simétrico. La simetr´ıa del tensor expresa uno de los hechos ~ aplicado en f´ısicos más notables que merece considerarse. Significa que un campo eléctrico E x origina siempre una componente z de p~ igual a la componente x de p~ que originar´ıa un campo igual aplicado en la dirección z. Si lo anterior se cumple incluso para una molécula sin simetr´ıa, debe estar respaldado por un teorema tipo reciprocidad y no ser consecuencia de la mera simetr´ıa geométrica. Un corolario importante de la simetr´ıa de α es el hecho de que siempre es posible orientar los ejes, relativos al sistema de referencias molecular, de manera tal que el tensor sea diagonal. Lo anterior es cierto incluso para moléculas sin simetr´ıa.

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

192

10.6.

Momento dipolar permanentes.

Algunas moléculas están constituidas da tal forma que poseen un momento dipolar eléctrico, incluso en ausencia de campo eléctrico. Un ejemplo simple lo proporciona una molécula diatómica constituida por dos átomos distintos, tal como el ácido clorh´ıdrico HCl.

H Cl p=1.03 10

−18

[ues cm]

Figura 10.15: Momento dipolar permanente del HCl. El electrón del Hidrógeno se desplaza parcialmente hacia el Cloro. Los momentos dipolares permanentes, cuando existen, por lo general son mucho mayores que los que pueden inducirse por un campo eléctrico ordinario en el laboratorio. Moléculas polares: las que tienen momento dipolar permanente. Moléculas no polares: las que no tienen momento dipolar permanente. El resto. Las moléculas no están “quietas” sino más bien hay dos escalas de tiempos la de los n´ ucleos y la de los electrones. El comportamiento de una sustancia polar, como dieléctrico, es sorprendentemente distinto de las no polares. El del agua es 80, el del alcohol met´ılico es de 33, mientras que para un l´ıquido no polar es ∼ 2. En una sustancia no polar la aplicación de un campo eléctrico induce un ligero momento dipolar en cada molécula. En una sustancia polar ya hay un momento dipolar p~, pero en ausencia de un campo externo están orientados al azar, as´ı que no tiene efecto macroscópico. Cuando un campo externo es aplicado, alinea los momentos dipolares.

10.7.

Campo el´ ectrico debido a materia polarizada.

Supongamos que construimos un bloque de materia reuniendo un gran n´ umero de moléculas en una región del espacio previamente vac´ıa. Supongamos, además, que cada una de estas moléculas está polarizada en la misma dirección. No necesitamos tener en cuenta la naturaleza de las moléculas ni los medios con que la polarización se mantiene. Todo lo que necesitamos especificar es el n´ umero N de dipolos por cm3 y el momento p~ de cada dipolo. Supongamos que N es tan grande que en cualquier dv macroscópico contiene un gran n´ umero de dipolos. La intensidad total del momento dipolar en tal volumen es p~N dv .

´ 10.7. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A MATERIA POLARIZADA.

193

Figura 10.16: Algunas moléculas polares bien conocidas. La magnitud del momento dipolar permanente p está dada en unidades de 10−18 [esu-cm]. ~ de estos En cualquier punto alejado de este dv, en comparación al tama˜ no del mismo, el E dipolos particulares será prácticamente el mismo que si se reemplazasen por un sólo dipolo de momento p~N dv. Llamaremos a p~N densidad de polarización y la designaremos por P~ h carga i

P~ = p~N

cm2

.

Entonces P~ dv es el momento dipolar eléctrico asociado a este peque˜ no elemento de volumen dv. Supongamos P~ es constante en el interior. Un cilindro de altura dz tiene un momento dipolar, P dv = P dadz = p. Su contribución al potencial en el punto A puede escribirse teniendo en cuenta el potencial de un dipolo ϕ=

p cos θ r2

luego dϕA =

P dadz cos θ R2

Potencial de una columna Z

z2

ϕA = P da z1

cos θ dz R2

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

194

z zA A R2 z2

θ R

p

da

ρc x

z1

R1

y

ρA

ρ2= x2+y 2

Figura 10.17: Columna de materia polarizada. carga +Pda

+Pda dz −Pda

carga −Pda

Figura 10.18: Esquema de la columna polarizada. Donde zA − z = R cos θ y [(zA − z)2 + (ρA − ρC )2 ]1/2 = R por lo tanto Z z2 (z − zA )dz ϕA = P da 2 2 3/2 z1 [(zA − z) + (ρA − ρC ) ] z2 P da = 2 2 1/2 [(zA − z) + (ρA − ρC ) ] z1 Finalmente

1 1 ϕA = P da − R2 R1

(10.27)

La ecuación (10.27) precisamente es la misma expresión para el potencial en A debido a dos cargas puntiformes; una positiva de valor P da situada en la parte superior de la columna a una distancia R2 de A y una negativa del mismo valor en la base de la columna. La fuente consistente en una columna de materia uniformemente polarizada es equivalente, al menos en

´ 10.7. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A MATERIA POLARIZADA.

195

lo que concierne al campo eléctrico, en todos los puntos exteriores, a dos cargas concentradas.

σ =+P

P σ =−P Figura 10.19: Placa polarizada. Sin nuevos cálculos, esto puede extenderse a una placa, o cilindro recto, de proporciones cualesquiera, uniformemente polarizada en una dirección perpendicular a sus caras paralelas (fig 10.19). La lámina puede subdividirse en un conjunto de columnas y el potencial exterior será la suma de las contribuciones de las columnas, cada una de las cuales puede sustituirse por una carga en cada extremo. Las cargas en la parte superior P da en el extremo de cada columna de área da, constituirán una lámina uniforme de densidad de carga superficial σ = P . Concluimos que ϕ en todos los puntos exteriores a una placa o cilindro uniformemente polarizado es precisamente el que resultar´ıa de dos láminas con carga superficial situadas en la posición de la parte superior e inferior de la placa conteniendo una densidad superficial σ = +P y σ = −P . No estamos preparados completamente para decir algo acerca del campo al interior de la placa.

σ =+P

A p B

t

A’

E=4 πσ σ =−P

t B’

Figura 10.20: Ambos sistemas tiene el mismo campo exterior. RB

~ · d~s está completamente determinada por E ~ exterior . Debe ser la misma que a lo largo E de A B = 4πσt = 4πP t. El R campo en el interior no es 4πσ, hay fuertes campos debido a las − + ~ · d~s = 4πσt independiente del camino. A través de todos los moléculas e y p . Pero E caminos da 4πσt. El promedio espacial del campo dentro de la muestra Z 1 ~vi = ~ = −4π P~ . Edv (10.28) hE V V A 0 0

El campo promedio es una cantidad macroscópica (el volumen considerado debe incluir ~ es el u “muchas moléculas”). El campo hEi ńico tipo de campo eléctrico macroscópico en el interior de un dieléctrico del cual podemos hablar. Da además, la u ńica respuesta satisfactoria,

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

196

A ∫ E .ds es el campo total

B Figura 10.21: Integral de camino por dos caminos distintos. en el contexto de un descripción macroscópica de la materia, a la pregunta ¿Cuál es el campo eléctrico dentro de un material dieléctrico? ~ en la ecuación (10.28) lo podemos llamar microscópico tiene sentido ya que las El campo E leyes del electromagnetismo trabaja a escala de distancia menores que la atómica. Revisemos las propiedades del campo promedio Z

B

~ · d~s hEi

A

Para dos puntos A y B razonablemente distanciados es independiente del camino. ~ = 0 y hEi ~ = −∇hϕi ~ rothEi

Donde

1 hϕi = V

Z ϕdv

Además, Z

~ · d~a = 4πhρi =⇒ divhEi ~ = 4πhρi hEi

~ dentro de un pedazo de materia De ahora en adelante, cuando hablemos del campo eléctrico E mayor que una molécula hablamos del campo macroscópico o promedio (ec.10.28) y omitimos h. . .i.

10.8.

Otra mirada al condensador. Q= ∈ Q 0

Q0

Q’ ϕ12

E

s

ϕ12

p E

Figura 10.22: Condensador.

s

10.8. OTRA MIRADA AL CONDENSADOR.

197

E = ϕ21 /s en ambos casos, ϕ12 lo da la bater´ıa. Como el campo es el mismo, debe ser la misma carga Q0 = Q0 + Q =⇒ Q0 = Q0 − Q = Q0 − Q0 Luego Q0 = Q0 (1 − )

(10.29)

Podemos pensar el campo como la superposición de dos campos: el primer campo de un condensador vac´ıo con carga Q y el otro producido por una capa de dieléctrico con densidad de polarización P~ . ~ =E ~1 + E ~2 y E ~ 1 = E ~ E ~ 2 = −4π P~ E Luego ~ = E ~ − 4π P~ E

∈Q0 E1= ∈E

(10.30)

Q’= (1−∈) Q 0 P

E=−4π P

Dieléctrico solo

Placas solas

Figura 10.23: Condensador con y sin dieléctrico.

10.8.1.

Susceptibilidad el´ ectrica. P −1 = = χe E 4π

(10.31)

La constante χe se conoce como la susceptibilidad eléctrica y sólo depende del material. Además, podemos reescribir la constante dieléctrica en función de ella = 1 + 4πχe

(10.32)

Si C es la capacidad de un condensador en el vac´ıo C es la capacidad del mismo condensador en un medio con constante dieléctrica . ~ medio = 1 E ~ vacio E

(10.33)

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

198

Q1

ε

Q1

Q2

Evacio

Q2

Emedio

Q3

Q3

Figura 10.24: Sistema de conductores en el vac´ıo e inmersos en un dieléctrico homogéneo

10.9.

El campo de una esfera polarizada.

Una densidad de polarización constante en magnitud y dirección en todo el volumen de la esfera. z

P

x

θr

da cos θ 0

y

da θ da

a

Figura 10.25: Sistema de conductores en el vac´ıo e inmersos en un dieléctrico homogéneo La esfera puede ser dividida en columnas paralelas a P~ con carga P ∆a en la parte superior e inferior de la columna da ∆a = cos θ El problema se puede reemplazar por dos esferas de densidad ρ y −ρ respectivamente.

Figura 10.26: Sistema de conductores en el vac´ıo e inmersos en un dieléctrico homogéneo En la parte superior e inferior la carga var´ıa como cos θ. En el interior se cancelan las distribuciones de cargas. Es fácil calcular el campo afuera: cualquier distribución de carga

10.9. EL CAMPO DE UNA ESFERA POLARIZADA.

199

tiene un campo externo como la carga completa estuviera concentrada en su centro. As´ı la superposición de dos esferas de carga total Q y −Q respectivamente, con sus centros separados por un peque˜ no desplazamiento s, produce un campo externo igual al de dos cargas puntuales Q y −Q separadas por una distancia s, es decir, p0 = Qs. El campo no es para grandes distancias sino desde la superficie en adelante. p0 = Qs =

4π 3 r P . 3 0

El campo exterior de la esfera polarizada es el de un dipolo central p0 . El campo en el interior: consideremos el potencial eléctrico ϕ(x, y, z) lo conocemos en el contorno esférico (es el de un dipolo) y como r0 cos θ = z 4π ϕb = Pz 3 El problema de hallar el campo interior se reduce a un problema de Laplace con ϕb sobre la esfera =⇒ ϕint = 4πP z/3, que es solución de la ecuación de Laplace y satisface las condiciones de contorno. El campo ∂ 4π 4π ∂ Pz = − P . (10.34) Ez = − ϕint = − ∂z ∂z 3 3

r0

P0 P0

Campo interior

Campo externo

Figura 10.27: Campo exterior e interior. Como lo u ńico que determina el eje z es la dirección de P~ , podemos reescribir el resultado ~ in = − 4π P~ . E 3 En el polo “norte” el campo externo Ez =

8πP 2p0 2(4πr03 P/3) = = 3 3 r r0 3

La diferencia entre el campo externo y el interno Eext − Eint =

8πP 4πP 12πP + = = 4πP . 3 3 3

(10.35)

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

200

~ es discontinuo en la frontera de un medio polarizado exactamente como lo El campo E ser´ıa en una superficie en el vac´ıo que contuviese una carga superficial σ = Pn , esto es P~ normal hacia afuera ~ ⊥ cambia en 4πPn en el contorno. E ~ k no cambia, es continua. E

10.10.

Esfera diel´ ectrica en un campo uniforme.

Como ejemplo, coloquemos una esfera de material dieléctrico caracterizado por una constante dieléctrica , en un campo homogéneo. ~ 0 no se ven perturbadas por la esfera i.e. a grandes distancias el Las fuentes del campo E ~ 0. campo será E

P

E=?

E0 Figura 10.28: Esfera dieléctrica en campo externo. Esto es lo que se da a entender al colocar una esfera en un campo uniforme. El campo ~ no es uniforme en las proximidades de la esfera total E ~ =E ~0 + E ~0 . E

(10.36)

El primer término corresponde a las fuentes distantes y el segundo al campo debido a la ~ 0 depende de la polarización P~ del dieléctrico que a su vez materia polarizada. El campo E ~ en el interior de la esfera depende del campo E ~ . ~ = − 1E P~ = χe E 4π

(10.37)

Si la esfera se polariza uniformemente, (suposición que necesita justificación) sabemos que 4π P~ 0 ~ int E =− . 3

´ 10.11. CAMPO DE UNA CARGA EN UN MEDIO DIELECTRICO Y LEY DE GAUSS.201

El cual es el campo interior debido a la materia polarizada. Luego, en el interior total ~ 0 ~0 − − 1E ~ . ~ =E ~0 + E ~ int ~ 0 − 4π P = E E =E 3 3 ~ Despejando E ~ = E

3 2+

~0 E

(10.38)

~ 0 . La polariComo > 1 implica que el campo dentro del dieléctrico es más débil que E zación es 3 −1 ~ −1~ ~ E= E0 (10.39) P = 4π 4π − 2 La suposición de la polarización uniforme se ve ahora que es autoconsistente. De hecho sólo los dieléctricos de forma elipsoidales, entre los cuales la esfera es un caso especial, adquirirán ~ fuera de la esfera polarización uniforme en un campo uniforme. Para calcular el campo total E ~ 0 y el campo de un dipolo central central de momento debemos sumar vectorialmente a E dipolar igual a P ×volumen de la esfera.

Figura 10.29: Campo de una esfera dieléctrica en campo externo.

10.11.

Campo de una carga en un medio diel´ ectrico y Ley de Gauss.

Supongamos un gran volumen de dieléctrico homogéneo y en alguna parte una carga concentrada Q. Podemos imaginar una peque˜ na esfera de metal cargada que cae dentro de un tanque de aceite. Como se estableció anteriormente el campo en el aceite será E=

Q , r2

1 el campo en el vacio

202

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

Es interesante ver como act´ ua la Ley de Gauss Z ~ · d~a = 4π Q . E ¿y por qué no 4πQ?, porque no es la u ńica carga en el interior de la “esfera de Gauss”. El aceite está polarizado, a pesar de ser neutro. Su carga negativa es atra´ıda hacia Q y su carga positiva es repelida. Se polariza radialmente La carga neta incluyendo Q es menor que Q, es Q/. La carga “extra˜ na” (Q) se le conoce como carga libre. La carga integrante del dieléctrico se le conoce como carga ligada. No son móviles. Puede idearse una magnitud vectorial que este relacionada solamente con la carga libre por algo parecido a la ley de Gauss. Z Z ~ E · d~a = 4π ρlibre dv S

V

~ = 4πρlibre div(E) Para el campo eléctrico ~ = 4π(ρlibre + ρligada ) div E ~ = div(E) ~ + 4π(ρligada ) div E ~ = 4πρligada div(1 − )E

(10.40)

~ = −4πρligada div( − 1)E

~ P~ = χe E ( − 1) ~ P~ = E 4π ~ 4π P~ = ( − 1)E div P~ = −ρligada

(10.41)

(10.42)

Se cumple siempre, la ecuación (10.42) son promedios sobre vol´ umenes suficientemente grandes para que P~ y ρligada sean continuas ~ = 4πρlibre + 4πρligada div E ~ = 4πρlibre − 4π div P~ div E ~ + 4π P~ ) = 4πρlibre div(E

(10.43)

~ y P~ . No se limita a Lo anterior es completamente independiente de toda relación entre E ~ Definamos el vector desplazalos materiales dieléctricos, en los que P~ es proporcional a E. ~ por miento eléctrico D ~ =E ~ + 4π P~ D (10.44)

´ ´ 10.12. UNA MIRADA MICROSCOPICA DEL DIELECTRICO.

203

~ = E ~ pues la relación En un dieléctrico isotrópico, D ~ = 4πρlibre div D

(10.45)

~ y ρ. Se cumple en cada caso en que puedan definirse las magnitudes macróscopicas P~ , E ~ como un vector campo cuya La ecuación (10.45) puede sugerir que podemos considerar a D fuente es la distribución de carga libre ρlibre , en el mismo sentido que la distribución de carga ~ Esto ser´ıa incorrecto. El campo E ~ esta determinado un´ıvocamente total ρ es la fuente de E. (excepto por la adición de un campo constante) por la distribución de carga ρ debido a que, ~ = 4πρ existe rot E ~ = 0. En general no es cierto que rotD ~ = 0. As´ı que ρlibre en adición a div E ~ no es suficiente para determinar D. Se necesitan las condiciones de contorno en las superficies ~ es un artificio que, en general, no es muy de los distintos dieléctricos. La introducción de D u ´til. A continuación reunimos las conclusiones esenciales acerca de los campos eléctricos en la materia. La materia puede polarizarse, esta circunstancia se explica completamente, en lo que respecta al campo macroscópico por una densidad de polarización P~ , que es el momento ~ es la misma que si dipolar por unidad de volumen. La contribución de dicha materia a E ~ ρligada existiese en el vac´ıo con densidad ρligada = − div P . En la superficie de una sustancia polarizada, donde hay una discontinuidad de P~ , está se reduce a una carga superficial de densidad σ = −Pn . A˜ nadamos una ρlibre y el campo eléctrico es el que producir´ıa en el vac´ıo esta distribución total de carga. ~ dentro y fuera de la materia, entendiendo que dentro Este es el campo macroscópico E de la materia es el promedio espacial del campo microscópico verdadero. Si en un material ~ lo llamamos dieléctrico. P~ es proporcional a E Definimos la susceptibilidad eléctrica y la constante dieléctrica caracter´ıstica de este material ~ P χe = = 1 + 4πχe . ~ E Las cargas libres sumergidas en un dieléctrico dan lugar a un campo eléctrico que es 1/ del que las mismas cargas producir´ıan en el vac´ıo.

10.12.

Una mirada microsc´ opica del diel´ ectrico.

La polarización P~ en el dieléctrico es simplemente una manifestación, a gran escala, de los momentos dipolares eléctricos de los átomos y moléculas de las cuales el material está compuesto. Donde P~ es la densidad de momento dipolar medio, que es igual al vector momento dipolar total por unidad de volumen promediado sobre una región suficientemente ~ = 0 no hay dirección privilegiada, grande como para contener un gran n´ umero de átomos. Si E implica P~ = 0. ~ 6= 0 la polarización puede llevarse a cabo de dos maneras: Si E

204

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

1. Cada átomo o molécula adquiere un momento dipolar proporcional y en la dirección de ~ E. 2. Si hay moléculas polares los dipolos se reorientan paralelos al campo. ~ es decir P/E = χe > 0. Ambos efectos contribuyen a la polarización en la dirección de E,

10.12.1.

Modelo para un gas.

Consideremos el momento atómico inducido en un medio en el cual los átomos están muy separados. Un gas ∼ 3 × 1019 [molec/cm3 ]. Suponemos que el campo que act´ ua sobre una molécula individual es el campo promedio. Despreciando el campo producido por el dipolo inducido en una molécula cercana. Sean α la polarizabilidad de cada molécula y N el n´ umero 3 medio de moléculas por cm . El momento dipolar inducido en cada molécula es αE y la polarización resultante ~ P ~ =⇒ χe = = N α P~ = N αE ~ E La constante dieléctrica = 1 + 4πχe = 1 + 4πN α Ejemplo: el metano (CH4 ) tiene un α = 2.6 × 10−24 [cm3 ] y N ≈ 2.8 × 1018 [molec/cm3 ] a 0◦ C y 1 [atm]. Evaluando = 1 + 4πN α = 1.00088 el mismo valor de las tablas. No es tan sorprendente, α probablemente fue encontrado en base a un modelo similar. La constante α tiene unidades de volumen y son del orden de magnitud del volumen atómico, entonces N α = χe es igual a la fracción del volumen del medio ocupado por los átomos. La densidad del gas comparada con la densidad de la misma sustancia en estado sólido o l´ıquido es aprox 1/1000. Luego, en un gas el 99.9 % es espacio vac´ıo. Por otra parte, en un sólido o l´ıquido las moléculas están prácticamente tocándose. La fracción que ocupan es no mucho menor que 1. Para sólidos y l´ıquidos no polares el encontramos valor de ( − 1)/4π ∈ [0.1, 1]. La teor´ıa exacta de la susceptibilidad de un sólido o un l´ıquido no es fácil de desarrollar. Cuando los átomos están tan juntos hasta que casi se tocan, los efectos del átomo vecino no pueden ser despreciados.

10.12.2.

Las mol´ eculas polares.

Las moléculas con momento dipolar eléctrico permanente, i.e. moléculas polares, responden a un campo eléctrico tratando de alinearse paralelas a él. Si el dipolo no apunta en la ~ hay un torque p~ × E ~ tendiente a alinear p~ en la dirección de E. ~ El dirección del campo E, ~ pero el equilibrio es inestable. El torque sobre el torque es nulo si p~ es antiparalelo al campo E dipolo es el torque sobre la molécula. Un estado de menor energ´ıa habr´ıa sido logrado si todas las moléculas hubieran rotado sus momentos dipolares en la dirección del campo. Mientras alcanzan el estado de alineamiento entregaran a través de “fricción” rotacional, energ´ıa a su entorno.

´ EN CAMPOS VARIABLES. 10.13. POLARIZACION

205

Pero esto no sucede. Ninguna aproximación a la alineación completa es intentada para “ning´ un” campo aplicado. ¿Por qué no? La razón es esencialmente la misma de por qué las moléculas de aire en la habitación no las encontramos todas sobre el piso, la cual es la configuración de menor energ´ıa. Debemos pensar sobre la temperatura y la energ´ıa térmica kB T |ambiente ≈ 4 × 10−14 [erg]. La energ´ıa de elevar 5 × 10−23 [g] unos metros ∼ 10−17 [erg], es decir, 1/1000 de kB T , por eso no todas las moléculas están en el suelo. El orden de magnitud de la fracción alineada con el campo a una temperatura T dada es: pE pE N p2 =⇒ P ≈ N p = E kB T kB T kB T P N p2 =⇒ χe = = E kB T Esta estimación produce para el agua un valor para la susceptibilidad de 3.0 siendo que el valor correcto es 6.3, a temperatura ambiente. Las interacciones con los vecinos complican la derivación teórica.

10.13.

Polarizaci´ on en campos variables.

Hasta ahora nosotros hemos considerado sólo campos electrostáticos. Debemos ver que pasa con campos variables en el tiempo, un condensador usando corriente alterna por ejemplo. ~ ¿La razón P/E será la misma, en un ¿Los cambios en P~ marcharan con los cambios en E? instante, que en el caso estático? Para variaciones “lentas” no esperamos cambios, que son “lentas” depende del particular proceso f´ısico. La polarización inducida y la orientación de dipolos permanentes son dos procesos con respuestas de tiempo muy diferentes. Para la polarización inducida, distorsión en la estructura electrónica que involucran peque˜ nas masas y estructuras muy r´ıgidas, la frecuencias naturales son muy altas lo que implica per´ıodos del orden de 10−16 [s]. Por lo tanto, 10−14 [s] en un átomo es un tiempo largo. Por estas razones para sustancias no polares el comportamiento es prácticamente el mismo con corriente continua o alterna, con frecuencias del orden de la de la luz visible. La polarización sigue al campo y χe es independiente de ω. La orientación de una molécula es un proceso muy diferente de la mera distorsión de la nube electrónica. La molécula entera debe rotar y eso involucra escalas de tiempo mayores (10−11 [s] en agua). Los dipolos simplemente no pueden seguir alteraciones rápidas del campo. Para sólidos los tiempos son ∼ 10−5 [s]. En este caso la constante dieléctrica cae a valores t´ıpicos de sustancias no polares.

10.14.

Corriente de carga ligada.

Si la polarización cambia en el tiempo hay una corriente eléctrica, un genuino movimiento de carga. Supongamos N dipolos en un cm3 de dieléctrico, y que en un dt cambia de p~ a p~ +d~p lo que implica que la densidad de polarización P~ cambia de P~ = N p~ a P~ + dP~ = N (~p + d~p). Supongamos que el cambio d~p fue consecuencia de mover una carga q un d~s en cada átomo, Lo que implica que d~p = qd~s. Durante el dt tendremos una nube de carga de densidad N q

206

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

moviéndose con velocidad ~v = d~s/dt luego J~ será d~p dP~ d~s = J~ = ρ~v = N q = N dt dt dt La conexión entre la razón de cambio de la polarización y la densidad de corriente, J~ = dP~ /dt es independiente del modelo. Un cambio en la polarización es una corriente de conducción. Naturalmente, tal como cualquier corriente, es fuente de un campo magnético. Si no hay otras corrientes, podr´ıamos escribir el rotor del campo magnético como ~ 1 ∂E 4π ∂ P~ + c ∂t c ∂t La u ńica diferencia con una densidad de corriente “ordinaria” de conducción y la densidad de corriente ∂ P~ /∂t es que la primera involucra carga libre en movimiento y la otra carga ligada en movimiento. Hay razones para hacer la distinción: No podemos tener una corriente de carga ligada estacionaria, es decir, que una vez que se establezca no cambie. Usualmente se prefiere considerar por separado ambas corrientes, manteniendo el s´ımbolo J~ para las densidades de corrientes de carga libre solamente. As´ı la ecuación de Maxwell queda ! ~ ~ 1 ∂ P ∂ E ~ = rot B + 4π + 4π J~ c ∂t ∂t rot B =

El pen´ ultimo término corresponde a la densidad de corriente ligada y el u ´ltimo a la ~ ~ ~ densidad de corriente libre. En un medio dieléctrico E +4π P = E, luego podemos compactar la ecuación ! ~ ∂ E 1 ~ = + 4π J~ rot B c ∂t ~ =E ~ + 4π P~ , el vector desplazamiento Usualmente se introduce D ! ~ ∂ D 1 ~ = + 4π J~ rot B c ∂t ~ El término ∂ D/∂t se refiere como corrientes de desplazamiento. La parte que involucra ~ ∂ P /∂t representa una “honesta” corriente de conducción, con movimiento real de carga. La u ńica parte de la densidad de corriente total que no es simplemente carga en movimiento, es ~ la parte ∂ E/∂t, la corriente de desplazamiento en el vac´ıo. ! ~ ~ 1 ∂ E ∂ P ~ = rot B + 4π + 4π J~ c ∂t ∂t El primer término corresponde a una densidad de corriente de desplazamiento en el vac´ıo. El segundo a una densidad de corriente de carga ligada. El tercero a una densidad de corriente de carga libre. La distinción entre carga libre y carga ligada puede no ser una tarea fácil. Este ejemplo muestra en el mundo atómico la distinción entre carga libre y carga ligada es más o menos arbitraria, as´ı también la densidad de polarización. El momento dipolar molecular está bien definido sólo cuando las moléculas son identificables y uno puede decir este átomo pertenece a esta molécula o no, en muchos cristales esta distinción no es clara.

´ ´ 10.15. UNA ONDA ELECTROMAGNETICA EN UN DIELECTRICO. carga negativa libre

carga positiva libre

P

carga positiva libre

207

P

carga negativa libre

Figura 10.30: Dieléctrico, identificación de la carga libre y ligada.

10.15.

Una onda electromagn´ etica en un diel´ ectrico.

Consideremos campos eléctricos y magnéticos en un medio dieléctrico ilimitado. El dieléctrico es un aislador perfecto, es decir, no hay corriente libre, J~ = 0. Si no hay carga libre pero hay carga ligada implicar´ıa que la divergencia del campo eléctrico es distinta de cero. Si acordamos considerar la divergencia nula entonces las densidades de carga tanto libre como ligada serán cero. Las ecuaciones de Maxwell quedan ~ ~ = − 1 ∂B rot E c ∂t ~ ~ = + ∂E rot B c ∂t

~ =0 div E

(10.46)

~ =0 div B

(10.47)

Probamos soluciones de la forma ~ = zÊ0 sen(ky − ωt) E ~ = xˆB0 sen(ky − ωt) B El ángulo (ky − ωt) es llamado la fase de la onda. La razón ω/k es la velocidad de fase, en este caso la velocidad de la onda. Si derivamos ~ = +ˆ rot E xE0 k cos(ky − ωt) ~ = −ˆ rot B z B0 k cos(ky − ωt)

∂E = −ˆ z E0 ω cos(ky − ωt) ∂t ∂B = −ˆ xB0 ω cos(ky − ωt) ∂t

Sustituyendo encontramos ω c =√ k

y B0 =

√

E0

208

´ CAPÍTULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

√ La velocidad de la onda difiere de la velocidad de la luz en el vac´ıo por un factor 1/ . Las amplitudes de los campos eléctrico y magnético, que son iguales en el vac´ıo, difieren en √ ~ ⊥B ~ se mantiene y viajan en dirección E ~ × B, ~ esto un factor , siendo menor el eléctrico. E se mantiene. νvacio = νmedio lo que implica que λmedio < λvacio , ya que λν = v. La luz viajando en un vidrio, es un ejemplo√de lo anteriormente descrito. Definimos el ´ındice de refracción n como n=c/v, es decir, n = .

Cap´ıtulo 11 Campo magn´ eticos en la materia. 11.1.

Introducci´ on.

Los contenidos del cap´ıtulo de Campos magnéticos en la materia son: ¿Cómo diferentes sustancias responden a un campo magnético? La ausencia de “carga” magnética. El campo de un loop de corriente. La fuerza sobre un dipolo en un campo externo. Corrientes eléctricas en los átomos. Esp´ın electrónico y momento magnético. Susceptibilidad magnética. Campo magnético causado por materia magnetizada. Campo de un magneto permanente. ~ Corrientes libres y el campo H. Ferromagnetismo.

11.2.

¿C´ omo diferentes sustancias responden a un campo magn´ etico?

Supongamos que construimos un solenoide de 10 [cm] de diámetro interior y 40 [cm] de largo. Su diámetro externo es de 40 [cm], la mayor parte del espacio está ocupado por las vueltas del alambre de Cobre. Veamos un esquema... 209

210

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

z

40 cm

Bz 10 kG

20 kG

Bz

10 cm

Esta bobina provee un campo de ∼30000 [G] o 3.0 [T]. La potencia de ∼400 [kW] necesita unos 30 [galones] de agua por minuto para disipar el calor. Equivalencia 1 [galón]≈3.8 [lt]. Este es un respetable imán de laboratorio. En el centro el campo es 105 veces más intenso que el campo terrestre y probablemente de 5 a 10 veces más intenso que el campo cercano a un imán de hierro en U. El campo será prácticamente uniforme cerca del centro del solenoide cayendo sobre el eje z a aproximadamente la mitad del valor central en los extremos, 18000 [G]. Pongamos distintas substancias dentro del campo y veamos si act´ ua fuerza sobre ellas. Generalmente detectamos una fuerza la cual desaparece cuando se desconecta la corriente ~ (B = 0). Descubrimos que la mayor fuerza ocurre no cuando nuestra muestra esta en el ~ es más intenso) sino que se localiza cerca del final de la bobina (donde el centro (donde B ~ gradiente ∂ B/∂z es grande). Debido a lo anterior, sólo se pondrán las muestras en el borde de la bobina. Se encontró que la fuerza sobre una substancia particular –aluminio metálico– es proporcional a la masa e independiente de la forma, mientras la muestra no sea demasiado grande. (1 a 2 [cm3 ] en volumen en nuestro caso). Para un gran n´ umero de substancias puras la fuerza observada es muy peque˜ na. 10 a 20 [dinas/g], t´ıpicamente. La fuerza es hacia arriba para algunas muestras y hacia abajo para otras, esto no tiene nada que ver con la dirección del campo, esto se comprobó invirtiendo la corriente. Algunas substancias son siempre tiradas en la dirección de incremento del campo y otras en la dirección de decremento, independiente de la dirección del campo.

´ ´ 11.2. ¿COMO DIFERENTES SUSTANCIAS RESPONDEN A UN CAMPO MAGNETICO?211 Substancia Agua Cobre Cloruro de Sodio Azufre Diamante Grafito Nitrógeno l´ıquido

Substancia Sodio Aluminio Cloruro de Cobre Sulfato de Niquel Ox´ıgeno l´ıquido

Fórmula H2 O Cu NaCl S C C N2

Substancia Fórmula Hierro Magnetita

-22.0 -2.6 -15.0 -16.0 -16.0 -110.0 (78 K) -10.0

Fórmula Na Al CuCl2 NiSO2 O2

Fe Fe3 O4

Fuerza [dinas]

Fuerza [dinas] +20.0 +17.0 +280.0 +830.0 (90 K) +7500.0

Fuerza [dinas] +400000 +120000

El signo positivo en la fuerza indica una fuerza hacia adentro y el negativo una hacia afuera. Sobre 1 [g] a T = 20 ◦ C, salvo que se indique. Hay diferencias esenciales entre el comportamiento de las diferentes substancias, por ejemplo entre el Hierro y la Magnetita. Si variamos el campo a 1/2 del original, para muestras no-ferro la fuerza se reduce a 1/4 por lo tanto F ∝ B 2 , sin embargo, para las substancias ferromagnéticas se reduce sólo a 1/2 o menos, F ∝ B. La mayor´ıa de los compuestos inorgánicos y prácticamente todos los compuestos orgánicos son diamagnéticos (H2 O, Cu, NaCl, S, C, N2 ). De hecho el diamagnetismo es una propiedad de cada átomo y molécula. Cuando se observa un comportamiento contrario es porque el diamagnetismo ha sido superado por un efecto más fuerte. La substancias que son atra´ıdas hacia la región de campo más fuerte son llamadas paramagnéticas. Para algunos metales como el Al, Na y muchos otros, el paramagnetismo es un poco mayor que el diamagnetismo com´ un. En otros materiales, NiSO4 y CuCl2 el paramagnetismo es mucho mayor que el diamagnetismo. Las cosas no son del todo simples: El Cu es diamagnético, el CuCl2 es paramagnético, el Na es paramagnético y el NaCl es diamagnético. Finalmente, substancias como el hierro y la magnetita son llamadas ferromagnéticas. Algunas aleaciones de Fe y metales como el Co y el Ni también presentan ferromagnetismo.

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

212

Las tareas que se nos presentan para este cap´ıtulo: Desarrollar un tratamiento a gran escala de los fenómenos que involucran materia magnetizada, en la cual la materia misma es caracterizada por unos pocos parámetros y la relación entre ellos es determinada experimentalmente. Una teor´ıa fenomenológica, más descriptiva que explicativa. Tratar de entender, al menos en forma general el origen atómico de varios efectos magnéticos. Los fenómenos magnéticos, más que los dieléctricos, una vez entendidos revelan hechos básicos de la estructura atómica.

11.3.

La ausencia de “carga” magn´ etica.

El campo magnético de una barra magnetizada se parece mucho al campo externo de una barra eléctricamente polarizada. Es decir, una barra que tiene un exceso de carga positiva en un extremo y un exceso de carga negativa en el otro. Se podr´ıa pensar que el campo magnético tiene fuentes las cuales se relacionan con él del mismo modo que la carga eléctrica lo hace con el campo eléctrico. Entonces un extremo de nuestra barra magnetizada tendr´ıa un exceso de carga de un tipo y el otro extremo del otro tipo. Podemos llamarla “cargas norte” (+) y “cargas sur” (-) con el campo magnético dirigiéndose de (+) a (-). La idea suena bien, incluso las ecuaciones de ~ y E. ~ Por ejemplo, ∇ ~ ·B ~ = 4πη, donde η ser´ıa la Maxwell quedar´ıan más simétricas entre B densidad de cargas magnéticas. El problema es que las cosas no son as´ı. La naturaleza no uso esta posibilidad. El mundo es asimétrico en el sentido que no hay carga magnética. No existen los monopolos magnéticos. Y, por lo tanto, menos se ha observado un exceso de uno de estos tipos de carga magnética. Si tal monopolo magnético existiese, lo podr´ıamos detectar. Se acelerar´ıa en un campo uniforme. Uno de estos monopolos viajando producir´ıa una corriente magnética y esta deber´ıa estar rodeada por un campo eléctrico de rotor no nulo, de la misma manera que un campo magnético rodea una corriente eléctrica. Con estrategias basadas sobre esta propiedad se han buscado los monopolos en muchos experimentos. La b´ usqueda fue renovada cuando los desarrollos en F´ısica de part´ıculas sugirieron que el Universo deber´ıa contener al menos unos pocos monopolos remanentes del Big Bang. Los monopolos no han sido detectados y hay evidencia de que si existiesen ser´ıan excesivamente escasos. Si se prueba la existencia de un monopolo habr´ıan profundas consecuencias, pero no alterar´ıa el hecho que en la materia, como la conocemos, la u ńica fuente del campo magnético son las corrientes eléctricas, es decir ~ =0 div B

(En todas partes).

Una alternativa a la carga magnética son las ideas de Ampère. Tal ideas nos dices que todo el magnetismo en la materia ser´ıa consecuencia de m´ ultiples y peque˜ nos anillos de corrientes distribuidos a través de la substancia. Comenzaremos estudiando el campo magnético de un loop en un punto lejano del loop.

11.4. EL CAMPO DE UN LOOP DE CORRIENTE.

11.4.

213

El campo de un loop de corriente.

Consideremos un loop de corriente no necesariamente circular que yace sobre el plano xy. Una corriente I fluye a través de él. Nos interesa el campo creado por esa corriente, pero no cerca, sino el campo distante (en P1 ). De manera tal que r1 que cualquier distancia del sistema. Para simplificar ubicamos P1 en el plano yz pero luego levantaremos esta restricción.

z

P1 A

z1 θ

r1

r’12

r12

P’2

dl’2

y2

y1

P2 dl 2

dx 2

I

I

y

dx 2

x

I

~ en el punto P1 , es decir, A(0, ~ y, z) y luego tomamos el Calculemos el potencial vector A rotor. I d~`2 I ~ A(0, y, z) = c loop r12 Considerando la variación de r12 a lo largo del loop r12 ≈ r1 − y2 sen θ a P1 z

a P1

θ r1 y2 sen θ

θ y2

r12

y

Veamos los dl2 , dl20 , los dy2 son iguales y opuestos, cancelando su contribución a la integral sobre el loop completa.

214

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA. y2

d x2 positivo y2 positivo

x2

d x2 negativo y2 negativo

~ no tiene componente y en P1 , obviamente no tendrá una Lo anterior implica que A componente zˆ, el camino no la tiene, luego ~ y1 , z1 ) = xˆ I A(0, c

Z

dx2 . r12

A primer orden 1 1 ≈ r12 r1

y2 sen θ 1+ r1

,

luego Z I y2 sen θ ~ A(0, y1 , z1 ) = xˆ dx2 , 1+ cr1 r1 R R r1 y θ son constantes. Obviamente dx2 a lo largo del loop desaparece, ahora y2 dx2 es justo el área del loop. ~ y1 , z1 ) = xˆ I sen θ × [área del loop] , A(0, cr12 Aqu´ı un punto simple pero crucial, ya que la forma del loop no interesa, nuestra restricción ~ de un loop de corriente de P1 en yz no puede hacer una diferencia esencial. As´ı el vector A de cualquier forma a una distancia r del loop la cual es mucho mayor que el tama˜ no del loop, es un vector perpendicular al plano que contiene ~r y la n ˆ del plano del loop.Cuya magnitud es Ia sen θ A= cr2 donde a es el área de loop. ~ será simétrico Este vector potencial es simétrico en torno al eje del loop esto implica que B también respecto al mismo eje. La razón de considerar la región lejana es que el detalle de la forma del loop no tiene relevancia. Todos los loops con el mismo producto corriente por área producirán el mismo campo lejano. Ia Nosotros llamamos al producto el momento dipolar magnético del loop de corriente y c lo denotamos por m ~

11.4. EL CAMPO DE UN LOOP DE CORRIENTE.

I

215

m = cI a

a I

La expresión para el momento dipolar magnético m ~ en términos de la corriente que circula I y el área del loop a es: I m ~ = ~a c El sentido es con la regla de la mano derecha respecto al flujo de corriente. Podemos escribir ~ en términos de m A ~ ~ × rˆ ~=m A r2 ~ tiene donde rˆ es el vector unitario en la dirección: desde el loop al punto P . Notemos que A la dirección de I. Veamos un esquema. . .

z A Ax

θ

r

φ

y

z

m I

φ

x

x2+y2

y

x

m m sen θ A= = 2 r

p

x2 + y 2 r3

Ay

216

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Por componentes

Ax = A Ay = A

−y

!

p

x2 + y 2 x

p

x2 + y 2

=

−my r3

=

mx r3

!

Az = 0 ~ para un punto en el plano xy Evaluemos B ~ ×A ~ = ∂Az − ∂Ay Bx = ∇ ∂y ∂z x ∂ 3mxz mx = =− 2 2 2 3/2 ∂z (x + y + z ) r5 ~ ×A ~ = ∂Ax − ∂Az By = ∇ ∂z ∂x y 3myz ∂ −my = = 2 2 2 3/2 ∂z (x + y + z ) r5 Finalmente la componente z ∂Ay ∂Ax ~ ~ Bz = ∇ × A = − ∂x ∂y z 2 2 2 −2x + y + z x2 − 2y 2 + z 2 + =m (x2 + y 2 + z 2 )5/2 (x2 + y 2 + z 2 )5/2 3z 2 − r2 = r5

En el plano xz, y = 0, además, sen θ = x/r, cos θ = z/r. Las componentes del campo son: 3m sen θ cos θ r3 By = 0 m(3 cos2 θ − 1) Bz = r3

Bx =

~ xz de un dipolo p~. Este campo es idéntico al campo E

11.5. LA FUERZA SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO EXTERNO.

217

B m

Como en el caso del dipolo eléctrico el campo es más simple en coordenadas polares esféricas 2m cos θ r3 m sin θ Bθ = r3 Bϕ = 0 Br =

~ “cerca” del loop de corriente es enteramente diferente del E ~ de un par de cargas +/El B separadas una cierta distancia.

Figura 11.1: El campo de un dipolo eléctrico.

11.5.

La fuerza sobre un dipolo en un campo externo.

Consideremos un peque˜ no loop de corriente de radio r, localizado en un campo externo ~ (no uniforme) por simplicidad simétrico en torno al eje z. B

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

218

Figura 11.2: El campo de un dipolo magnético.

z

Bz

m

B Br

r I y x ~ ) La fuerza sobre el anillo ( Id~` × B/c 2πrIBr c ~ = 0) El flujo a través de un peque˜ no cilindro (div B F =

z z+ ∆ z z r

El flujo πr2 [−Bz (z) + Bz (z + ∆z)] + 2πrBr ∆z = 0 ∂Bz r ∂Bz ∆z + 2πrBr ∆z = 0 =⇒ Br = − . ∂z 2 ∂z As´ı que la fuerza (hacia abajo) πr2

F =

2πrI r ∂Bz πr2 I ∂Bz ∂Bz = =m . c 2 ∂z c ∂z ∂z

´ ´ 11.6. CORRIENTES ELECTRICAS EN LOS ATOMOS.

219

Si el momento dipolar es paralelo al campo externo entonces la fuerza act´ ua en la dirección de incremento. Si el momento dipolar es antiparalelo al campo externo entonces la fuerza act´ ua en la dirección de decrecimiento. Si el campo externo es uniforme entonces no hay fuerza. La situación más general es ~ B) ~ F~ = m ~ · ∇( Por componentes ~ x Fx = m ~ · ∇B ~ y Fy = m ~ · ∇B ~ z Fz = m ~ · ∇B A la luz de estos resultados podemos interpretar los datos obtenidos en el experimento inicial. ~ Para las muestras que eran atra´ıdas al solenoide m ~ es paralelo a B. ~ Para las muestras que eran repelidas del solenoide m ~ es antiparalelo a B. ~ tenemos B × ∂B/∂z para la fuerza Como el momento dipolar resulta proporcional a B tanto en el caso de los diamagnéticos como para los paramagnéticos. Los materiales ferro~ magnéticos deben tener m ~ independiente de B.

11.6.

Corrientes el´ ectricas en los ´ atomos.

Usaremos un modelo de Bohr simplificado para el átomo que nos permita explicar el diamagnetismo.

+

e−

r v

En este caso el momento dipolar eléctrico instantáneo al promediarse sobre t se anula. Evaluemos la corriente cantidad de carga v =e tiempo 2πr ev = 2πr

I=

La corriente fluye opuesta a la dirección de ~v . El dipolo magnético m=

πr2 I evr = . c 2c

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

220

Usando el momento angular L = me vr tenemos m ~ =

−e ~ L 2me c

Si hacemos el cociente

momento magnético −e = . momento angular 2me c La anterior es conocida como razón orbital magnetomecánica. ¿Por qué no notamos el campo magnético de todos los e− orbitando en todos los átomos de cada substancia? Debe haber cancelación mutua. En un peque˜ no trozo de materia deben haber tantos electrones en un sentido como en el otro y no hay un u ńico eje axial. Podemos visualizar un trozo de materia, en ausencia de campo externo, como conteniendo electrones girando con ~ ym diversos vectores L ~ (asociados), distribuidos en todas direcciones. Si consideramos las órbitas aproximadamente paralelas al plano xy, hay m ~ ↓= m ~ ↑. ~ en la dirección zˆ? ¿Qué le sucede a una de estas órbitas cuando activamos un campo B Analizaremos el sistema más que como un átomo como un sistema electromecánico. La fuerza centr´ıpeta M v02 F0 = (B = 0) . r ~ en (ˆ Creamos un campo B z ) uniforme en el espacio y constante en el tiempo. Mientras ~ ~ a lo largo del camino. el campo crece a razón dB/dt se inducirá un campo eléctrico E

E

E v0

F0

E

r

E

E

masa m carga q

E

E

E

B=0

F0 =

mv 0 r

2

B=0

Para encontrar la magnitud dΦ dB = πr2 . dt dt Calculamos la integral cerrada del campo eléctrico I 2 ~ = πr dB = 2πrE =⇒ E = r dB . ~ · ds E c dt 2c dt

´ ´ 11.6. CORRIENTES ELECTRICAS EN LOS ATOMOS.

221

~ acelerará a la carga, si q es una carga A pesar de haber ignorado el signo es fácil ver que E positiva. Con el radio fijo qr/2M c es una cte. Denotemos por ∆v el cambio de velocidad en el proceso de conectar el campo de cero a B1 . Z B1 Z v0 +∆v qrB1 qr dB = ∆v = . (11.1) dv = 2M c o 2M c v0 Independiente de la rapidez del cambio. El incremento de la rapidez de la carga en el estado final significa un incremento (hacia arriba) del momento magnético m. ~ Una carga negativa será desacelerada, bajo circunstancias similares, lo cual traer´ıa un decremento, hacia abajo, del momento magnético. En ambos casos ~ 1 originó un cambio en el momento magnético opuesto al campo. la aplicación de un campo B El cambio en el momento magnético ∆m ~ =−

q 2 r2 ~ B1 . 4M c2

(11.2)

En el ejemplo anterior, hemos forzado a r a ser constante usando una cuerda de largo fijo. Veamos como ha cambiado la tensión en la cuerda. Supondremos que B1 es suficientemente peque˜ no para que ∆v v0 . En el estado final F1 =

M (v0 + ∆v)2 M v02 2M v0 ∆v ≈ + , r r r

despreciando términos proporcionales a (∆v)2 . Pero ahora el campo magnético provee una fuerza hacia el centro, q(v0 +∆v)B1 /c. Usando (11.1) para expresar B1 en términos ∆v luego la fuerza será (q(v0 + ∆v)/c)((2M c∆v)/r). Evaluando a primer orden en ∆v/v0 es 2M v0 ∆v/r que es justo lo que se necesitará para evitar cualquier demanda extra de la cuerda. La tensión en el cuerda no cambia, este resultado (11.2) es válido para cualquier fuerza no importa como var´ıe con el radio. Consideremos un e− en un átomo, donde M = me y q = −e con una órbita de radio r. ∆m e2 r2 =− B1 4me c2

[cm3 ] .

Es equivalente a la polarizabilidad eléctrica α. La constante e2 /mc2 ≈ 2.8 × 10−13 es conocida como el radio clásico del electrón. Para r usamos el radio de Bohr ∼ 0.53×10−8 [cm]. Luego ∆m = 2 × 10−30 [cm3 ] . B Es 5 a 6 ordenes de magnitud menor que una t´ıpica polarizabilidad eléctrica. Calculemos el ∆m para nuestro caso con 3 × 1023 electrones por gramo y un campo 1.8 × 104 [gauss]. La variación de momento magnético ∆m = (3 × 1023 )(2 × 10−30 )(1.8 × 104 ) = 8.4 × 10−3 [cm3 -gauss]

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

222

Considerando un gradiente de 1700 [gauss/cm], la fuerza F = ∆m

∂Bz = 8.4 × 10−3 × 1700 = 14 [dinas] . ∂z

Totalmente de acuerdo con nuestras observaciones para diamagnéticos. El diamagnetismo es un fenómeno universal tanto en moléculas como en átomos.

11.7.

Esp´ın electr´ onico y momento magn´ etico.

Los electrones poseen un momento angular intr´ınseco, como si rotaran en torno a su propio eje, esta propiedades es llamada esp´ın. Si medimos la magnitud del esp´ın obtenemos 1 h siempre el mismo resultado ~ = con h = 6.624 × 10−27 [gcm2 /s]. A este momento 2 4π angular intr´ınseco le podemos asociar un momento magnético. Sin embargo, es el doble de un momento angular orbital. No tiene sentido hacer un modelo clásico de este objeto, sus propiedades son esencialmente cuánticas Momento angular −27 h = 0.05x10 g−cm2 /s 4π Carga Negativa

Momento magnético −20 eh = 0.93x10 erg/gauss 4π m e c

Este momento magnético asociado al esp´ın se comporta tal que Produce un campo magnético el cual a distancia es el campo de un dipolo magnético. ~ externo experimenta un torque igual al que experimentar´ıa un loop de corriente En un B con momento dipolar equivalente. ~ = 0 en todas partes, tal como una Dentro del espacio ocupado por el electrón, div B fuente ordinaria de campo magnético. Ya que la magnitud del momento magnético asociado al esp´ın es siempre el mismo, la u ńica cosa en que puede influir es en su dirección. Un momento dipolar magnético m ~ experimenta ~ en un campo externo B ~ tal que un torque N ~ =m ~ N ~ ×B Si los momentos asociados a los espines electrónicos en una sustancia fueran libres de orientarse, lo har´ıan en la dirección de un campo aplicado, la orientación de más baja energ´ıa. Supongamos que cada electrón en un gramo de sustancia toma esta orientación, con los ya estimados 3 × 1023 electrones en un gramo de cualquier cosa y con el momento magnético de un electrón 0.93 × 10−20 [erg/gauss]. El momento magnético total será del orden de

´ 11.8. SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA.

223

2700 [ergs/gauss]. La fuerza sobre nuestra muestra, en nuestra bobina con un gradiente de campo de 1700 [gauss/cm] deber´ıa ser 4.6 × 106 [dinas]. Obviamente esto es mucho mayor que las fuerzas registradas para cualquiera de las muestras paramagnéticas. Nuestras suposiciones fallan en dos aspectos: Los momentos de los espines no son todos libres de orientarse. La agitación térmica previene el alineamiento perfecto de los momentos de los espines que son libres de alinearse. En la mayor´ıa de los átomos y moléculas los electrones están asociados en pares, con los espines apuntados en direcciones opuestas. Lo cual cancela el momento magnético. La gran mayor´ıa de las moléculas es puramente diamagnética. Una pocas moléculas contienen un n´ umero impar de electrones, tal que el momento no se cancela. (oxido n´ıtrico NO, 15 e− es paramagnético) La molécula de ox´ıgeno contiene 16 electrones, pero su estructura electrónica es tal que no permite la cancelación de los momentos magnéticos. En un átomo los electrones más internos están generalmente apareados y si hay electrones externos desapareados a menudos se aparean con los electrones de los átomos vecinos cuando forman un compuesto o cristal. Ciertos átomos contienen electrones con espines desapareados los cuales se mantienen relativamente libres para orientarse con un campo a pesar de estar empaquetados con otros átomos. Un importante ejemplo de este tipo de átomos son el hierro, cobalto y el n´ıquel. Otro grupo de elementos con esta propiedad son las tierras raras en torno al gadolinio. Compuestos y aleaciones de estos elementos son generalmente paramagnéticos y en algunos casos ferromagnéticos. El n´ umero de espines electrónicos involucrados en el paramagnetismo es t´ıpicamente uno o dos por átomo. La agitación térmica tiende siempre a crear una distribución al azar en las direcciones de los espines. La situación es similar a la que estudiamos con dipolos eléctricos a una cierta temperatura. La fracción alineada mB/kB T , luego el momento magnético total resultante de aplicar un campo B es (N m2 /kB T )B donde N es el n´ umero de dipolos. Evaluando esto para nuestras condiciones encontramos que la fracción alineada es muy peque˜ na, lo que explica las diferencias con lo calculado anteriormente. Sólo a baja temperatura (1 K) la fracción alineada será significativa (cercana a la unidad). Realmente el paramagnetismo es más impresionante e interesante a muy baja temperatura, en contraste con la polarización eléctrica. Los dipolos eléctricos a baja temperatura están completamente congelados en sus posiciones incapaces de cualquier reorientación. Los momentos de esp´ın electrónico están a´ un notablemente libres.

11.8.

Susceptibilidad magn´ etica.

Hemos visto que tanto las sustancias diamagnéticas como paramagnéticas desarrollan un momento magnético proporcional al campo aplicado. Al menos esto es verdadero para la mayor´ıa de las condiciones. A muy baja temperatura y con campos fuertes el momento paramagnético inducido se aproxima a un valor l´ımite cuando el campo es incrementado. Dejando de lado este efecto de saturación, la relación entre momento y campo aplicado es lineal. Tal que podemos caracterizar las propiedades magnéticas de una sustancia por la razón de momento inducido y de campo aplicado. Esta razón es llamada susceptibilidad magnética.

224

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Dependiendo de si nosotros elegimos 1 [g] de material o 1 [cm3 ] de material o 1 [mol], nosotros definimos la susceptibilidad espec´ıfica, de volumen o molar. El momento magnético por unidad de volumen es llamado polarización magnética o magnetización. Usaremos el ~ . Ambos campos, M ~ y B, ~ tienen iguales dimensiones. Si definimos la susceptibilidad s´ımbolo M magnética de volumen, denotada por χm a través de la relación ~ = χm B ~ M La susceptibilidad es un n´ umero adimensional, negativo para las sustancias diamagnéticas y positivo para las paramagnéticas. Para la contribución paramagnética, si hay alguna, a la susceptibilidad, denotemosla χpm , tenemos una expresión análoga a la del cap´ıtulo pasado χpm

N m2 = kB T

Por su puesto la susceptibilidad completa χm incluye la siempre presente contribución paramagnética, la cual es negativa.

11.9.

Campo magn´ etico causado por materia magnetizada.

Un bloque de material que contiene, uniformemente distribuida a través del volumen, un gran n´ umero de momentos dipolares atómicos todos apuntado en la misma dirección, es ~ es simplemente el producto decir, uniformemente magnetizada. El vector magnetización M del n´ umero de dipolos orientados por unidad de volumen y el momento magnético m ~ de cada dipolo. No nos interesa como estos dipolos se mantienen orientados. Lo que nos interesa es el campo que producen. Consideremos primero una tajada de material con espesor dz rebanada perpendicular a la dirección de magnetización. La tajada puede ser dividida en peque˜ na baldosas. Cada una de las baldosas con área superficial da conteniendo un momento dipolar total M dadz. El campo magnético que produce esta baldosa en todos los puntos distantes (distantes comparados con el tama˜ no de la baldosa) es exactamente el mismo que producir´ıa cualquier dipolo con el mismo momento magnético. Podr´ıamos construir un un dipolo esa fuerza doblando una cinta conductora de ancho dz en la forma de la baldosa y haciendo circular a través de este loop una corriente I = M cdz. Tal que el momento dipolar del loop es: I M c dz m = × área = da = M dadz , c c con la misma forma de la baldosa. Substituyamos por estos loops de corriente cada baldosa en el tajada. La corriente es la misma en todos ellos y por tanto en los contornos interiores se cancela. Todos los loops son equivalentes a una simple cinta por el borde exterior conduciendo una corriente M cdz.

´ 11.9. CAMPO MAGNETICO CAUSADO POR MATERIA MAGNETIZADA.

M

dz

m

área da

225

I=Mc dz dz I

I I

I I

I

Sólo queda reconstruir el bloque completo a partir de las tajadas. El bloque completo equivale a una cinta ancha por la cual fluye una corriente M cdz en cada lámina-en forma más simple la densidad superficial de corriente J viene dada por J = Mc

B M

B’

J=Mc

~ en cualquier punto fuera del block magnetizado es el mismo que El campo magnético B 0 ~ correspondiente a puntos en la cercan´ıa de la cinta ancha con corriente el campo prima B (figura anterior). ¿Qué hay del campo dentro de la materia magnetizada? Nuevamente nos encontramos con dos campos magnéticos: uno microscópico y otro macroscópico. El campo magnético microscópico var´ıa en dirección y magnitud en unos pocos ˚ angstroms, siendo un

226

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

campo magnético en el vac´ıo desde el punto de vista microscópico. Además, tenemos un campo magnético a gran escala dentro de la materia que es un promedio espacial del campo ~ = 0. De lo anterior, se sigue, magnético microscópico. El campo microscópico satisface div B que el promedio espacial del campo microscópico interno en nuestro bloque es igual al campo ~ 0 dentro del hoyo equivalente del cilindro de corriente. Lo anterior es fácilmente externo B demostrable. ~ dentro del volumen del material no es uniforme sino que var´ıa con Si la magnetización M ~ (x, y, z) la distribución de corriente equivalente viene dada por la posición M ~ J~ = c rot M

11.10.

(11.3)

Campo de un magneto permanente.

Los materiales con magnetización permanente nos son familiares y u ´tiles. Los magnetos permanentes se pueden ser hechos a partir de muchos compuestos y aleaciones ferromagnéticas.

E P

B M

11.11.

~ Corrientes libres y el campo H.

A menudo es u ´til distinguir entre corriente ligada y corriente libre. Las corrientes ligadas son aquellas asociadas con momentos magnéticos atómicos o moleculares, incluyendo momento intr´ınseco de las part´ıculas con esp´ın. Las corrientes libres son corrientes de conducción ordinarias fluyendo a través de un camino macroscópico La densidad de corriente en la ecuación (11.3) es el promedio macroscópico de las corrientes ligadas, denotemosla J~ligada ~ J~ligada = c rot M

~ 11.11. CORRIENTES LIBRES Y EL CAMPO H.

227

~ es discontinuo tal como en el lado del block magnetizado, En la superficie donde M tenemos una densidad superficial de corriente J la cual representa también corriente ligada. ~ afuera y en promedio adentro de la materia está relacionado con J~ligada , Encontramos que B pero esto es en ausencia de carga libre. Con carga libre ~ = 4π J~ligada + J~libre = 4π J~total . rot B c c Si expresamos J~ligada en términos de la magnetización ~ = rot B

4π ~ ) + 4π J~libre (c rot M c c

Reordenando

~ − 4π M ~ ) = 4π J~libre . rot(B c ~ ~ ~ Si definimos un vector H(x, y, z) = B −4π M en cada punto del espacio, entonces podemos escribir ~ = 4π J~libre rot H c ~ está relacionada con la corriente libre como el campo B ~ En otras palabras el campo H ~ ~ lo está con la corriente total. Si bien div B = 0 siempre, no siempre div H es nula. El campo ~ es mucho más u ~ y tiene las dimensiones de B ~ [gauss] vectorial H ´til que su análogo eléctrico D ~ satisface pero se suele usar otro nombre [oersted]. El campo H I Z 4π ~ · d~s = 4π H J~libre · d~a = Ilibre c S c ~ como el campo magnético y luego B ~ =H ~ + 4π M ~ con En texto antiguos se introduce H ~ ~ el nombre de inducción magnética. Nosotros proponemos B como campo magnético y H ~ o el campo magnético H. ~ En CGS en el vac´ıo no hay distinción entre B ~ como el campo H ~ ~ ~ y H y a menudo las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo se escriben en función de E y H ~ y B. ~ En MKS rot H ~ = J~libre luego en el espacio vac´ıo H ~ = B/µ ~ 0 . Si M ~ es más que en E ~ entonces también será proporcional a H. ~ De hecho, la definición tradicional proporcional a B de la susceptibilidad magnética de volumen χm no es la que hubiéramos elegido lógicamente sino ~ = χm H ~ M (11.4) ~ en alg´ Para obtener H un punto dentro de la materia magnetizada, nosotros debemos ~ en ese punto al vector −4π M ~ . En un magneto permanente sumar vectorial-mente el campo B ~ debe ser cero en torno a un camino no hay corrientes libres, luego la integral de l´ınea de H ~ ~ cerrado. Por lo anterior, La l´ıneas del campo H se verán similares a las del campo E. ~ es proporcional a H, ~ ecuación (11.4) y se cumpla Para cualquier material en el cual M ~ =B ~ − 4π M ~ H ~ =H ~ + 4π M ~ = (1 + 4πχm )H ~ , B ~ es proporcional al campo H. ~ El factor de proporcionalidad es (1 + 4πχm ), el El campo B cual es llamado permeabilidad magnética y es denotado usualmente por µ: ~ = µH ~ B

228

11.12.

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Ferromagnetismo.

El ferromagnetismo a servido e intrigado al hombre por largo tiempo. La piedra imán fue conocida desde la antig¨ uedad (br´ ujula). Sólo en los u ´ltimos a˜ nos hemos alcanzado un entendimiento fundamental del fenómeno del ferromagnetismo. Ya hemos descrito algunas propiedades de los ferromagnetos, revisemoslas nuevamente. En un campo magnético fuerte la fuerza sobre una sustancia ferromagnética es la dirección que tira hacia el campo más fuerte, como en las substancia paramagnéticas. Más que al producto del campo por el gradiente, la fuerza es proporcional al gradiente mismo. Si el campo es suficientemente fuerte el momento magnético adquirido por el ferromagneto alcanza una magnitud l´ımite. La dirección del vector momento magnético debe a´ un estar controlada por el campo. De otra manera la fuerza no podr´ıa actuar siempre en la dirección de incremento de la intensidad del campo. En magnetos permanentes se observa un momento magnético a´ un en ausencia de cualquier campo aplicado externo, además, mantienen su magnitud y dirección a´ un cuando se le aplican campo externos mientras ellos no sean muy intensos. El campo de un magneto permanente está siempre presente y podr´ıamos pensar que él mantiene ~ no es generalmente paralela a B ~ o H. ~ Esto sugiere que el alineamiento. Notaremos que M los momentos dipolares deben estar sujetos en su dirección por algo más que puras fuerzas magnéticas.

−4πM H

B H = B − 4π M

Las magnetizaciones observadas en materiales ferromagnéticos son mucho mayores que las de las sustancias paramagnéticas. Los magnetos permanentes tienen campos dentro de unos pocos miles de gauss. Una de las cantidades más caracter´ıstica es el valor l´ımite de la magnetización, el momento magnético por unidad de volumen, el cual el material adquiere en un campo muy fuerte. Es llamada saturación de magnetización. Una sustancia ferromagnética dada pierde sus propiedades ferromagnéticas abruptamente si es calentado sobre una cierta temperatura. Si estamos hablando de hierro puro sobre 770 ◦ C act´ ua como una sustancia paramagnética. En el caso del N´ıquel son 358 ◦ C. Si es enfriado inmediatamente recobra las caracter´ısticas ferromagnéticas. Esta temperatura es llamada de temperatura o punto de Curie y es caracter´ıstica del material. ¿Qué es este comportamiento ferromagnético, que bruscamente distingue al hierro bajo 770 ◦ C y hierro sobre 770 ◦ C?. Es un alineamiento sin campo externo en una dirección de los momentos magnéticos atómicos, lo cual implica el alineamiento de los ejes del esp´ın de ciertos electrones en cada átomo de hierro. En una región suficientemente grande en el hierro que contiene millones de átomos, los espines y momento magnéticos de aproximadamente todos los átomos están apuntando en la misma dirección. Bajo el punto de Curie – a temperatura ambiente en el caso del hierro – el alineamiento es cercano al perfecto. Si pudiéramos ver en el interior de un

11.12. FERROMAGNETISMO.

229

cristal de hierro metálico y ver los momentos magnéticos elementales como peque˜ nas flechas ver´ıamos algo como. . .

No es muy sorprendente que la alta temperatura destruya este arreglo. La energ´ıa térmica es enemiga del orden. Un cristal, un arreglo ordenado de átomos, cambia a un l´ıquido, un arreglo mucho menos ordenado, bruscamente a una temperatura definida, el punto de fusión. El punto de fusión tal como el punto de Curie son diferentes para diferentes sustancias. Algunas preguntas que me surgen: ¿Qué hace a los espines alinearse y mantener la alineación? ¿Cómo, si no hay campo externo presente, pueden los espines elegir una dirección más que otra? Si los momentos magnéticos están todos alineados ¿por qué no todas las piezas de hierro a temperatura ambiente no son un imán fuerte? Respuesta 1: Por alguna razón conectada con la M.C. de la estructura del átomo de hierro, es energéticamente favorable a los espines de átomos adyacentes de hierro estar paralelos. Esto no es debido a interacción magnética. Es un efecto fuerte que favorece los espines paralelos tanto ↑↑ como →→. La interacción dipolar no trabaja as´ı. Como los átomos en la vecindad tienen una fuerte tendencia a tener la dirección de sus vecinos, esta se hará unánime rápidamente. Respuesta 2: En forma accidental se determina cual de las varias direcciones equivalente en el cristal es elegida, si comenzamos de un estado desordenado. El hierro tiene estructura cristalina bcc, es decir, con 8 primeros vecinos. Si enfriamos hierro a través de su punto de Curie sin campo externo. Hay direcciones más favorables de magnetizarse y otras no tanto. z

Direcciones de fácil magnetización Mediana Dura x

y

230

´ CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Respuesta 3: Un pedazo de hierro aparentemente desmagnetizado está realmente compuesto por muchos dominios. En los cuales los espines están todos alineados de una sola manera pero en una dirección diferente al dominio vecino. Al promediar sobre la pieza, todas las direcciones están presentes y a gran escala no hay campo. Los dominios son usualmente microscópicos, incluyendo ∼ 1012 momentos magnéticos y están presentes incluso en cristales puros.

Si enrollamos una espira de alambre sobre una barra de hierro, aplicamos un campo magnético al material al hacer pasar corriente por el alambre. Los momentos paralelos al campo tendrán menor energ´ıa que los orientados en otra dirección, esto favorecerá unos dominios respecto de otros, los favorecidos comenzaran a crecer por sus contornos a expensas de los vecinos. Esto sucede más fácilmente en un cristal puro que un un policristal (bordes de grano). Si el campo aplicado no está en la direcciones de fácil magnetización habrá dominios que no apuntan exactamente en la dirección del campo. De ser necesario un campo muy intenso para alinearlos todos en la dirección del campo y tener finalmente tener magnetización máxima. Busquemos consecuencias macroscópicas de lo anterior. Como aparecen los comportamientos magnéticos de una pieza de hierro bajo diferentes campos aplicados. Un arreglo experimental posible es un toro de hierro con dos bobinas, veamos el diagrama

I

H

N vueltas

Al galvanometro

~ dentro del Midiendo el voltaje inducido determinamos el flujo y por ende el campo B ~ = 4πN I/c×circunferencia. Conocido B ~ y H ~ hierro. La corriente establece un campo H ~ podemos determinar M ,

B, en gauss

11.12. FERROMAGNETISMO.

231

Fierro

H, en oersteds La curva B − H está gobernada por el movimiento de los dominios. Al volver lentamente hacia atrás con el campo la curva no vuelve sobre s´ı misma. Esta irreversibilidad es conocida como hist´ eresis y es debida principalmente a la irreversibilidad parcial del movimiento de los dominios. Si apagamos la bobina cuando está en el máximo nos quedamos con un ~ y magnetización. Las aleaciones que adquieren magnetización permanente y sólo son campo B expuestas a campos débiles esta magnetización persiste indefinidamente. Toda la información almacenada en cintas magnéticas y discos duros obedece a este fenómeno.

Electromagnetismo

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