Electromagnetismo

Cap´ıtulo 1 Electrost´ atica: cargas y campos. versi´ on final 3.0, 28 de Mayo del 2007

En este cap´ıtulo estudiaremos los conceptos esenciales de la F´ısica de las cargas el´ectricas estacionarias, es decir, la electrost´atica. Las secciones que veremos: Algo de historia. Carga el´ectrica; conservaci´on, invariancia y cuantizaci´on. Ley de Coulomb. Energ´ıa de un sistema de cargas. Campo el´ectrico. Flujo el´ectrico. Ley de Gauss. Ejemplo de evaluaci´on del campo el´ectrico. Fuerza sobre una carga superficial. Energ´ıa asociada a un campo el´ectrico.

1.1.

Algo de historia.

La electricidad a trav´es de los fen´omenos de la electrost´atica se conoce desde tiempos muy antiguos. Teofrato (321 AC) y probablemente Tales (600 AC) sab´ıan que el ´ambar al ser frotado con otras substancias secas adquir´ıan la habilidad de atraer cuerpos livianos como plumas o trozos de paja. Cerca de 2000 a˜ nos despu´es el m´edico de la Reina Isabel I de Inglaterra, William Gilbert (1544-1603) us´o la palabra griega para ´ambar, elektron, para describir estas fuerzas que llam´o vis electrica. Tambi´en se observ´o que existen dos tipos de electricidad. Por ejemplo, si una barra de vidrio se frota con seda, estos dos cuerpos quedan cargados con dos tipos distintos de electricidad. As´ı , dos barras frotadas con seda se repelen. Benjam´ın Franklin (1706-1790) le dio 1

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

2

el nombre de positiva a la electricidad con que queda la barra de vidrio y negativa a la de la seda. Ahora se sabe que en este experimento electrones son traspasados de la barra a la seda. As´ı decimos que los electrones tienen carga negativa.

1.2.

Carga el´ ectrica; conservaci´ on, invariancia y cuantizaci´ on.

Hechos experimentales que se conocen sobre la carga: Existen dos variedades: Positivas y Negativas. Las de igual signo se repelen. Las de distinto tipo se atraen.

1.2.1.

Propiedades de la carga.

Se conserva. La carga total de un sistema aislado, es decir, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas en cierto instante, no var´ıa nunca. Por un sistema aislado entendemos: aquel en el que no est´a permitido el flujo de materia a trav´es de sus paredes. Un ejemplo de la conservaci´on de la carga es la creaci´on de pares (electr´on-positr´on.) La carga es un invariante relativista. Est´a cuantizada. En 1909 Millikan demostr´o experimentalmente que la carga siempre se presenta como m´ ultiplo entero de una unidad fundamental de carga que llamaremos e. Se dice que la carga est´a cuantizada, es decir Q = Ne N ∈ Z . Se ha mostrado experimentalmente que la diferencia en el valor absoluto de las carga de un prot´on y de un electr´on si existiera ser´ıa menor que 10−20 e Existen los quark con carga +2e/3 (u), -e/3 (d), -e/3 (s), +2e/3 (c), -e/3 (b), +2e/3 (t). Pero no se detectan quark libres. p(uud) y n(ddu). La cuantizaci´on de la carga escapa del alcance del electromagnetismo cl´asico. Nosotros lo ignoraremos, usaremos distribuciones continuas de carga.

1.3. LA LEY DE COULOMB.

1.3.

3

La Ley de Coulomb. q1

q

r12

2

r2

r1

0 La fuerza de interacci´on entre dos cargas es la Ley de Coulomb kq1 q2 kq1 q2 F~12 = 2 rˆ12 = 3 ~r12 r12 r12

(1.1)

donde ~r12 = ~r1 − ~r2 , r12 = |~r12 |, rˆ12 = ~r12 /|~r12 |, F~12 , es la fuerza sobre q1 debido a q2 . Los qi , son escalares con sus signos respectivos y finalmente k, tiene en cuenta las unidades. El vector unitario rˆ12 indica que la fuerza es paralela a la recta que une a las dos cargas. Sabemos que por acci´on y reacci´on: F~12 = −F~21 . Las unidades: si r12 [cm], F [dinas], qi [ues] k = 1. Si por el contrario r12 [m], F [Newton], qi [Coulomb] entonces  2 1 9 Nm , (1.2) k= = 8.9875 × 10 4π0 C2 La constante 0 se conoce como constante diel´ectrica o permitividad del vac´ıo, y tiene un valor:  2  C −12 . (1.3) 0 = 8.8542 × 10 Nm2 El factor de conversi´on entre [Coulomb] y [ues] 1[C] = 2.998 × 109 [ues] ,

(1.4)

e = 4.803250(21) × 10−10 [ues]

(1.5)

y la carga del electr´on en [ues] es

Un hecho experimental es que la fuerza con la cual dos cargas interact´ uan no se modifica por la presencia de una tercera, es m´as, sea cual fuere el n´ umero de cargas presentes en nuestro sistema la ley de Coulomb puede utilizarse para calcular la interacci´on de cada par. Este hecho es conocido como el Principio de superposici´ on.

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

4

~ Una configuraci´on de cargas {qi }N ri }N i=1 con vectores {~ i=1 ejercen una fuerza F0 sobre una part´ıcula de carga q0 ubicada en ~r0 respecto a alg´ un origen com´ un. F~0 se puede escribir: F~0 =

N X q0 qi rˆ0i i=1

1.3.1.

(1.6)

2 r0i

Ejercicios.

1. Encuentre la fuerza resultante sobre q3 considerando que q1 = +e, q3 = +e y q2 = −e.

q2

a

q3

a q1 2. ¿En qu´e posici´on la fuerza resultante sobre q2 es cero? ¿Qu´e tipo de equilibrio es?

d q1

q2

q3

Teorema de Earnshaw: Ning´ un sistema puede estar en equilibrio estable bajo la u ´nica acci´on de fuerzas el´ectricas

1.4.

Energ´ıa de un sistema de cargas.

Consideremos el trabajo que hay que hacer sobre el sistema para llevar dos cuerpos cargados (inicialmente infinitamente distantes) a una distancia dada. Inicialmente

q1

muy grande

q2

1.4. ENERG´IA DE UN SISTEMA DE CARGAS.

5

Después q2 r 12 q1 Estamos omitiendo la energ´ıa necesaria para “crear” las part´ıculas cargadas.

1.4.1.

C´ alculo del trabajo. Z W =

~ = F~ · ds

Z

r12

+∞

q1 q2 rˆ · dr(−ˆ r) = +q1 q2 r2

Z

r12

− +∞

dr q1 q2 = . 2 r r12

El origen est´a en q1 y traemos q2 desde infinito.

F

ds q2

r

q1

W =

q1 q2 r12

(1.7)

debe ser mayor que cero si las cargas tienen el mismo signo. Sabemos que si la Fuerza es conservativa el trabajo es el mismo independiente del camino usado.

r+dr r ds q

ds cos θ = dr θ dr

F ds =−Fdr

Debido a que la fuerza es central los tramos de camino entre r y r + dr requieren el mismo trabajo, por lo tanto, la Fuerza es conservativa.

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

6

Si acercamos una tercer part´ıcula a r31 de q1 y a r32 de q2 el trabajo ser´a Z

~ = F~3 · ds

Z

~ + F~31 · ds

W3 = =

Z

~ (F~31 + F~32 ) · ds

Z

~ , F~32 · ds

por lo tanto, es la suma de los trabajos

1.4.2.

Energ´ıa de un sistema de cargas.

W3 =

q1 q3 q2 q3 + . r31 r32

El trabajo total efectuado U , para reunir las tres cargas en estas posiciones, ser´a por lo tanto,

U=

q1 q2 q1 q3 q2 q3 + + . r21 r31 r32

(1.8)

U corresponde a la energ´ıa potencial el´ectrica del sistema. El cero de U lo elegimos cuando las cargas est´an infinitamente separadas.

1.4.3.

Propiedades de U .

U es independiente del orden de colocaci´on. U es independiente del camino. U s´olo depende de la disposici´on final de las cargas.

En general para un sistema de N cargas {qi } N

1 X X qj qk U= 2 j=1 k6=j rk j

(1.9)

1.4. ENERG´IA DE UN SISTEMA DE CARGAS.

1.4.4.

7

Un ejemplo.

−e b

−e

−e b −e

−e +2e

−e

−e

−e

b

−2e2 12e2 12e2 4e2 4.32e2 U =8 √ + +√ +√ = . b b ( 3/2)b 2b 3b

1.4.5.

U de una red cristalina.

La energ´ıa de una configuraci´on de carga tiene importancia en F´ısica de S´olidos. Un cristal i´onico (NaCl) puede representarse, con gran aproximaci´on, por una distribuci´on de iones positivos (Na+ ) y negativo (Cl− ) alternados en una distribuci´on espacial peri´odica.

a

A pesar de que los iones NO son puntuales veremos que podemos tratarlos como si lo fueran. La energ´ıa electrost´atica juega un importante papel en la explicaci´on de la estabilidad y cohesi´on de un cristal i´onico. ¡La suma es enorme! un cristal macrosc´opico contiene del orden de 1023 ´atomos. ¿Converger´a la suma?

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

8

Lo que se desea hallar es la energ´ıa potencial por unidad de volumen o de masa, la cual deber´ıa ser independiente del tama˜ no del cristal. Obviamente 2 gramos de NaCl tiene el doble de energ´ıa que un gramo. Cualquier ion positivo est´a en una posici´on equivalente a cualquier otro. La distribuci´on de iones negativos en torno a uno positivo es la misma que la de iones positivos en torno a uno negativo. Tomemos un ion cualquiera, elijamoslo como centro y sumemos sus interacciones con todos los dem´as y multipliquemos por el n´ umero total de iones de ambas clases. N

N

1 X X qj qk 1 X q1 qk U= = N . 2 j=1 k6=j rk j 2 k=2 r1k Los t´erminos principales de la suma anterior son   1 −6e2 12e2 8e2 U= N + √ − √ + ... . 2 a 2a 3a La serie no converge absolutamente. Este c´alculo es “delicado” U =−

0.8738N e2 , a

donde N es el n´ umero de iones.

1.5.

El campo el´ ectrico.

Un conjunto de cargas {qi }N on (x, y, z), la i=1 fijas en el espacio y una carga q0 en la posici´ fuerza sobre q0 es N X q0 qj rˆ0j . F~0 = 2 r 0j j=1 Dividamos la ecuaci´on anterior por q0 obteniendo una magnitud vectorial que depende de la estructura del sistema de cargas y de la posici´on (x, y, z). A este vector, el cual es funci´on de (x, y, z), lo llamamos el campo el´ ectrico originado ~ por las cargas ({qi }) y lo denotamos por E. ~ E(x, y, z) =

N X qj rˆ0j j=1

2 r0j



dinas ues

 .

(1.10)

La condici´on de que las cargas sean fijas se puede reemplazar exigiendo que q0 sea infinitesimal para no alterar la distribuci´on de carga inicial, i.e. F~ ~ . E(x, y, z) = l´ım q0 →0 q0 No es tan riguroso como parece ya que q < e no se observan.

(1.11)

´ 1.5. EL CAMPO ELECTRICO.

1.5.1.

9

L´ıneas de Campo

~ sin referencia a una carga de Si tomamos la ecuaci´on (1.10) como la definici´on de E, prueba, no surgen problemas y no necesitamos que las cargas sean fijas. Una manera de visualizar un campo el´ectrico son las l´ıneas de campo. Su relaci´on con el campo el´ectrico es la siguiente

i)

La tangente de estas l´ıneas tiene la direcci´on del campo en ese punto.

ii)

Estas l´ıneas convergen cuando nos aproximamos a una regi´on de campo intenso y se separan en una regi´on de campo d´ebil.

1.5.2.

Dibujando l´ıneas de Campo.

+

−

Para el trazado de l´ıneas se debe tener en cuenta:

Las l´ıneas deben partir de las cargas positivas y terminar en las cargas negativas o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga. El n´ umero de l´ıneas que partan de las cargas positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga. Dos l´ıneas de campo no pueden cruzarse.

1.5.3.

Ejemplos.

L´ıneas de campo de una par de cargas con distinto signo.

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

10

L´ıneas de campo de una par de cargas con igual signo.

1.6.

Distribuciones de carga

Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribuci´on continua de carga. La distribuci´on de carga est´a caracterizada por una funci´on de la posici´on ρ(x, y, z) llamada densidad de carga volum´etrica y tiene dimensiones de [carga/volumen] Para evaluar el campo

1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA

11

ρ ( r )=ρ (x’,y’,z’) dx’dy’dz’=d 3r’ Punto de Observación

r−r’

r

r’

Origen

~ r) = E(~

Z

ρ(~r 0 )d3 r 0 r − ~r 0 ) 3 (~ 0 | ~r − ~r |

(1.12)

Habitualmente uno elige el origen en el punto de observaci´on, ρ(~r) es una constante o una funci´on anal´ıtica dentro del volumen de inter´es y se eval´ ua el m´odulo o una componente del campo

ρ = cte

dq

R R

~ = E

1.6.1.

Z

dq ˆ R=ρ R2

Z

dv ˆ R R2

(1.13)

Densidades.

Si una carga Q est´a uniformemente distribuida en un volumen V , la densidad volum´etrica de carga es Q . (1.14) ρ= V Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una superficie de ´area A, la densidad superficial de carga es Q σ= . (1.15) A

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

12

Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una l´ınea de longitud L, la densidad lineal de carga es Q λ= . (1.16) L

1.6.2.

Campo de una l´ınea infinita cargada dq= λ dz

z

O

z

r

R θ

θ

~ = dE Notemos que R=

√

dE

dq ˆ λdz λdz R = cos θˆ r + sen θˆ z R2 R2 R2

r2 + z 2

cos θ = √

r r2 + z 2

sen θ = √

z r2 + z 2

luego Z ∞ λdz λdz r z √ √ rˆ + zˆ 2 2 2 2 r2 + z 2 r2 + z 2 −∞ r + z −∞ r + z Z ∞ Z ∞ Z ∞ dz z dz = λrˆ r + λˆ z = λrˆ r , 2 2 3/2 2 2 3/2 2 2 3/2 −∞ (r + z ) −∞ (r + z ) −∞ (r + z )

~ = E

Z

∞

por paridad. Hacemos el cambio de variable z = r tan φ dz = r sec2 φ dφ , y reemplazamos en la integral Z π/2 Z π/2 2 r sec φ dφ r sec2 φ ~ = λrˆ = λrˆ r dφ E r 2 2 2 2 3/2 3 3/2 −π/2 r (1 + tan φ) −π/2 (r + r tan φ) Z π/2 Z π/2 λ sec2 φ λ dφ = rˆ = rˆ cos φ dφ r −π/2 sec3 φ r −π/2 +π/2 λ λ 2λ = rˆ sen φ = rˆ[1 − (−1)] = rˆ . r r r −π/2

1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA

13

Resumiendo ~ r) = 2λ rˆ E(~ r

1.6.3.

(1.17)

Campo de una distribuci´ on de carga plana e indefinida y dq= σ dxdy

θ

R

x

dE

Por simetr´ıa s´olo interesa la componente z (las otras se anulan) Z Z ∞Z ∞ σdxdy dq Ez = cos θ = cos θ , 2 2 2 2 R −∞ −∞ x + y + z z donde cos θ = 2 , luego la integral nos queda: 2 (x + y + z 2 )1/2 Z ∞Z ∞ dxdy . Ez = zσ 2 2 2 3/2 −∞ −∞ (x + y + z ) Usemos coordenadas polares planas sobre el plano r 2 = x2 + y 2 , rdrdφ = dxdy . La integral nos queda Z ∞ r dr r dr = 2πσz dφ Ez = zσ 2 2 3/2 2 (r + z ) (r + z 2 )3/2 0 0 ∞  0  −1 −1 z = 2πσz 0 − √ = 2πσz 2 = 2πσ . (r + z 2 )−1/2 |z| z2 Z

2π

Z

∞

0

Resumiendo ~ r) = 2πσ sgn(z)ˆ E(~ z

(1.18)

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

14

1.7.

Flujo El´ ectrico.

Consideremos cierto campo vectorial F~ (~r) en el espacio, y en ese espacio cierta superficie cerrada S arbitraria.

Podemos definir el flujo de F~ a trav´es de esa superficie como: Z Φ=

F~ · d~a

(1.19)

S

~ r) Donde la integral es sobre S, i.e. toda la superficie. Si se trata del campo el´ectrico E(~ entonces el el flujo el´ectrico a trav´es de esa superficie S es Z Φ=

~ · d~a E

(1.20)

S

1.7.1.

La normal

Definimos el vector normal n ˆ a la superficie es aquel que apunta hacia afuera del volumen definido por la superficie cerrada.

n da da = n da

´ 1.7. FLUJO ELECTRICO.

1.7.2.

15

Analog´ıa con un fluido.

Sea v el campo de velocidades del fluido

a

a

a

Flujo: va

Flujo: 0

60 o

Flujo: va cos 60

o

El flujo es el volumen del fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.

1.7.3.

Flujo de una carga puntual.

Evaluemos el flujo a trav´es de una superficie esf´erica SI centrada en una carga puntual q

SI Z ΦI = I

q rˆ · rˆ da = r2

Z 0

π

Z 0

2π

q 2 r sen θ dθdφ = 4πq r2

(1.21)

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

16

SI SIII

Como el resultado anterior (1.21) NO depende de r, el flujo a trav´es de la superficie SIII ser´a ΦIII = ΦI = 4πq .

(1.22)

SII

SI SIII

Si no hay m´as carga no se crea ni se destruye flujo, por lo tanto ΦII = 4πq .

(1.23)

Por superposici´on puede extenderse este resultado a cualquier n´ umero de cargas o a distribuciones continuas.

1.8.

Ley de Gauss.

~ a trav´es de una superficie cerrada cualesquiera, es decir, la El flujo del campo el´ectrico E ~ · d~a extendida a la superficie, es igual a 4π por la carga total encerrada por la integral de E superficie Z S

~ r) · d~a = 4π E(~

X

Z qi = 4π

i

Este resultado es equivalente a la ley de Coulomb.

ρdv ∂S

(1.24)

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

1.9. 1.9.1.

17

Ejemplos de evaluaci´ on del campo el´ ectrico. Cascar´ on esf´ erico.

r>

Q

r<

R SI

SII

La densidad superficial σ es Q . 4πR2 Existen dos regiones de inter´es, r > R y r < R. σ=

(1.25)

regi´ on r > R ~ en la primera regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4πQ Z E(r) da = 4πQ SII

E(r)4πr2 = 4πQ Q E(r) = 2 . r Luego para r > R ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.26)

regi´ on r < R ~ en la segunda regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

18

Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 0 Z E(r) da = 0 SI

E(r)4πr2 = 0 E(r) = 0 . Luego para r < R ~ r) = ~0 E(~

(1.27)

Grafiquemos ambos resultados Ancho del cascarón E(r)

Q r2

R

1.9.2.

r

Esfera cargada con ρ constante.

Q

r> r<

b SI

SII

La densidad volum´etrica ρ es   Q = cte. 4π 3 b ρ=  3 0 Obviamente

R

si r < b

.

(1.28)

si r > b

ρdv = Q. Existen nuevamente dos regiones de inter´es, r > b y r < b.

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

19

regi´ on r > b ~ en la primera regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sII

E(r)4πr2 = 4πρ

4π 3 Q b = 2 . 3 r

Luego para r > b ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.29)

regi´ on r < b ~ en la segunda regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sI

E(r)4πr2 = 4πρ

4π 3 Q r = 3r . 3 b

Luego para r < b ~ r) = Q rˆ E(~ r b3

(1.30)

Grafiquemos ambos resultados

E(r)

Q r a3

Q r2

a

r

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

20

1.9.3.

Cascar´ on esf´ erico grueso. SI SII SIII

Q ri

r>

R2

r< R 1

La densidad ρ es ρ=

4π 3 R2 3

Q −

4π 3 R1 3

.

(1.31)

Existen tres regiones de inter´es, r > R2 , R1 < r < R2 y r < R1 . Evaluaci´ on en la regi´ on r > R2 . ~ en la primera regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r

Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4πQ Z E(r) da = 4πQ SI

E(r)4πr2 = 4πQ =

Q . r2

Luego para r > R ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.32)

Evaluaci´ on en la regi´ o n R 1 < r < R2 . ~ en la segunda regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r y para la superficie d~a = daˆ r

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

Z

~ · d~a = E

Z

21

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4πρ dv SII


Q 4π 3 r − R13 = 2 E(r)4πr = 4πρ 3 r 2



r3 − R13 R23 − R13

 .

Luego para R1 < r < R2 

~ r) = Q E(~ r2

r3 − R13 R23 − R13

 rˆ

(1.33)

regi´ on r < R1 . ~ en la segunda regi´on. Dada la simetr´ıa Consideremos la superficie SIII para evaluar E ~ postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r

Z

~ · d~a = E

Z E(r)ˆ r · rˆda = 0 Z E(r) da = 0 SIII

E(r)4πr2 = 0 E(r) = 0 . Luego para r < R1 ~ r) = ~0 E(~

(1.34)

Q r 3 _ R13 r2

E(r)

R23 _ R13 Q r2

R1

R2

r

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

22 Caso l´ımite, R1 → 0.

 Q     r2 rˆ ~ r) = E(~  Q   r  3 rˆ R2

r > R2 (1.35) r < R2

Caso l´ımite, R1 → R2 .  Q   2 rˆ ~ r) = r E(~  ~ 0

1.9.4.

r > R2 (1.36) r < R2

Esfera cargada con ρ(r) variable.

Q

r> r<

b SII

SI

La densidad volum´etrica ρ es   5Q r(b − r) ρ(r) = πb5 0

si r < b

.

(1.37)

si r > b

R Debemos probar que ρdv = Q y luego encontrar el campo el´ectrico en las dos regiones de inter´es, r > b y r < b. Integramos la densidad en todo el espacio Z b Z Z ∞ Z π Z 2π 5Q 2 ρ(~r)dv = ρ(r)r sen θdrdθdφ = 4π r(b − r)r2 dr 5 πb 0 0 0 0 Z b    Z b 20Q b5 b5 20Q 20Q b5 3 4 r b dr − r dr = 5 = 5 = 5 − b b 4 5 b 20 0 0 =Q.

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

23

regi´ on r > b. ~ en la primera regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)ˆ r, claramente para la superficie d~a = daˆ r Z

~ · d~a = E

Z

Z E(r)ˆ r · rˆda = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sI

E(r)4πr2 = 4πQ Q = 2 . r Luego para r > b ~ r) = Q rˆ E(~ r2

(1.38)

regi´ on r < b. ~ en la segunda regi´on. Dada la simetr´ıa del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆ r, para la superficie d~a = daˆ r Z Z Z ~ · d~a = E(r)ˆ E r · rˆda = 4π ρ dv Z

Z

E(r)

da = 4π

ρ dv

sII

Z rZ

2

π

Z

2π

E(r)4πr = 4π 0

4π r2

Z

0

ρ(u)u2 sen θdudθdφ

0

r

5Q u(b − u)u2 du 5 0 πb  Z r Z r 20Q 3 4 bu du − u du E(r) = 5 2 br 0 0   20Q br4 r5 E(r) = 5 2 − br 4 5

E(r) =

=

 Q 2 5br − 4r3 5 b

Luego para r < R   ~ r) = Q 5br2 − 4r3 rˆ E(~ b5

(1.39)

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS.

24

1.9.5.

L´ınea cargada infinita.

z L

λ

da= da z

R

da= da R

da=−da z La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.

C´ alculo del campo el´ ectrico. ~ r) = E(R)R ˆ con R el radio de Suponemos el campo el´ectrico con la siguiente forma E(~ las coordenadas cil´ındricas. La Ley de Gauss nos dice Z

~ · d~a = 4πQencerrada E

La carga encerrada corresponde a λL, luego

Z 2 tapas

ˆ · (±ˆ E(R)R z ) da +

Z

ˆ·R ˆ da = 4πλL E(R)R

manto

E(R)2πRL = 4πλL 2λ E(R) = . R Luego ˆ ~ r) = 2λ R E(~ R

(1.40)

´ DEL CAMPO ELECTRICO. ´ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACION

1.9.6.

25

Plano infinito cargado.

σ A z

La figura muestra la secci´on del plano que define el cilindro al atravesarlo. C´ alculo del campo el´ ectrico. Suponemos el campo el´ectrico con la siguiente forma ( z z>0 ~ r) = +E(z)ˆ E(~ −E(z)ˆ z z r0 ~ = r2 E (1.51)  0 r < r0 La energ´ıa es 1 U= 8π

Z

1 E dv = 8π 2

Z

∞

r0

Q2 Q2 2 4πr dr = r4 2

Z

∞

r0

∞ Q2 1 dr = − , r2 2r r0

finalmente U=

1.11.3.

Q2 2r0

(1.52)

Energ´ıa de la esfera calculando el trabajo.

A partir de la ecuaci´on (1.49) considerando una esfera de radio arbitrario r y que la disminuiremos desde un radio ∞ a un radio r0 dado. (Recordemos que la fuerza y el desplazamiento son antiparalelos luego debe haber un signo (-)), ∞ Z r0 Z ∞ 2 Q2 dr Q2 Q Q2 U= − 2 = dr = − = . (1.53) 2 2r 2r r0 2r0 ∞ r0 2r Nuevamente obtenemos el resultado (1.52) U=

Q2 2r0

(1.54)

Una imagen usual es que la energ´ıa est´a almacenada en el campo. Siendo el sistema conservativo, esta cantidad de energ´ıa puede ser recuperada permitiendo a las cargas “separarse”.

30

´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA: CARGAS Y CAMPOS. La energ´ıa estaba en alguna parte. Nuestra consideraci´on aparece correcta si imaginamos que la energ´ıa est´a almacenada ~ 2 /8π en [erg/cm3 ]. en el espacio con una densidad |E| Sin embargo, s´olo es f´ısicamente medible la energ´ıa total

Cap´ıtulo 2 Potencial el´ ectrico. En este cap´ıtulo veremos: Integral de l´ınea del campo el´ectrico. Diferencia de potencial y funci´on potencial. Gradiente de una funci´on escalar. Deducci´on del campo a partir del potencial. Potencial de una distribuci´on de cargas. Disco cargado uniformemente. Divergencia de una funci´on vectorial. Teorema de Gauss y forma diferencial de la Ley de Gauss. La divergencia en coordenadas cartesianas. El Laplaciano. La ecuaci´on de Laplace. Rotacional de una funci´on vectorial. Teorema de Stokes. Rotacional en coordenadas cartesianas. Significado f´ısico del rotacional. 31

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

32

2.1.

Integral de l´ınea del campo el´ ectrico.

~ Supongamos que una cierta distribuci´on estacionaria de carga produce un campo E, entonces Z P2 ~ · d~s , E (2.1) P1

a trav´es de cierto camino. Significa: Dividir el camino en peque˜ nos segmentos. Representar cada segmento por un vector que una sus extremos. Efectuar el producto escalar del vector asociado al segmento del camino por el campo ~ en ese lugar. E Sumar estos productos para todo el camino. La integral corresponde al l´ımite de esta suma al hacer los segmentos cada vez m´as peque˜ nos y numerosos. P2

P2

P2

E

ca m

ino

ds

2.1.1.

P1

P1

P1

Un ejemplo.

~ = Kyˆ Consideremos el campo vectorial E x + Kxˆ y . Queremos evaluar la integral de l´ınea a trav´es del camino de la figura y 2

B

C

1

2 x

1

A

´ 2.1. INTEGRAL DE L´INEA DEL CAMPO ELECTRICO.

33

La integral es separable Z

C

~ · d~s = E

A

Z

B

~ · d~s + E

Z

A

C

~ · d~s . E

(2.2)

B

~ = Kyˆ El elemento de camino d~s = dxˆ x + dy yˆ y el campo por componentes E x + Kxˆ y luego ~ · d~s = Kydx + Kxdy . E (2.3) En la primera parte del camino (de A a B) y = 2x (una recta) lo que implica dy = 2dx, por lo tanto, Z B Z B ~ E · d~s = K (ydx + xdy) A A Z 1 =K 2xdx + 2xdx 0 Z 1 x dx = 2K . (2.4) = 4K 0

A lo largo del camino de B a C, y = 2 y dy = 0 Z C Z C ~ · d~s = K E (ydx + xdy) B

ZB2 =K

2dx = 2K .

(2.5)

1

La suma de ambos tramos Z

C

~ · d~s = 2K + 2K = 4K E

(2.6)

A

2.1.2.

Otro camino.

Consideremos ahora el camino de la figura y

C

2

1

A

1

B 2 x

Sobre el camino A → B y = 0 luego dy = 0 Z B ~ · d~s = 0 , ya que E ~ ⊥ d~s. E A

(2.7)

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

34

Sobre el camino B → C x = 2 luego dx = 0 Z

C

~ · d~s = E

B

2.1.3.

2

Z 0

2 K2 dy = 2Ky = 4K .

(2.8)

0

Independencia del camino.

El campo el´ectrico de una carga puntual es radial y depende solamente de r. Si P1 y P2 son dos puntos cualesquiera en el campo de una carga puntual es directo que la integral de ~ es la misma para todas las trayectorias que unen P1 y P2 . l´ınea de E Lo anterior puede verificarse usando una argumentaci´on equivalente a la usada cuando evaluamos el trabajo. ~ (debido a todos los manantiales) debe ser Por superposici´on, la integral de l´ınea de E independiente del camino. Es decir, la integral Z

P2

~ · d~s E

(2.9)

P1

Tiene el mismo valor para todos los caminos que unen a P1 y P2 en un campo electrost´atico.

2.2.

Diferencia de potencial y funci´ on potencial.

Debido a que la integral de l´ınea en el campo electrost´atico es independiente del camino, podemos usarla para definir una magnitud escalar ϕ21 como sigue Z P2 ~ · d~s ϕ21 = − E (2.10) P1

Donde ϕ21 es el trabajo por unidad de carga efectuado al mover una carga positiva desde ~ P1 a P2 en el campo E. Adem´as, ϕ21 es una funci´on escalar un´ıvoca de las dos posiciones P1 y P2 que llamaremos diferencia de potencial entre los dos puntos. En sistema CGS las unidades de diferencia de potencial son [erg/ues]=[statvolt]. En sistema MKS las unidades de diferencia de potencial son [Joule/Coulomb]=[Volt]. 1 [Volt] =

2.2.1.

1 [statvolt] 299.79

(2.11)

Funci´ on potencial.

Supongamos que mantenemos P1 fijo en cierta posici´on de referencia. Entonces ϕ21 es funci´on s´olo de P2 . Podemos escribir

ϕ (x,y,z) Campo escalar

Potencial asociado a E(x,y,z) Campo vectorial

´ POTENCIAL. 2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCION

35

~ se determina ϕ salvo por una constante aditiva debido a la arbitrariedad en la Dado E elecci´on de P1 . Supongamos que tenemos dos definiciones para la funci´on potencial, ϕA y ϕB , que s´olo difieren en el punto P1 , es decir ~ r

Z

Z

~ · d~s , E

ϕA = −

~ r

~ · d~s . E

ϕB = −

A

(2.12)

B

A ϕA lo podemos escribir como Z

~ r

~ · d~s E

ϕA = − A B

Z

~ · d~s − E

=− A

Z

~ r

~ · d~s E

B

= cte. + ϕB ϕA = ϕB + cte.

2.2.2.

La carga puntual.

El campo de una carga puntual q es

q rˆ. r2

ds

dr A

r

B

ds r = dr

rA

rB q

Evaluemos la diferencia de potencial Z

B

ϕAB = − A

q rˆ · d~s = − r2

Z

B

A

B   q 1 q 1 dr = = q − r2 r rB rA A

Si rA → ∞ ϕ(~r) =

q r

(2.13)

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

36

2.2.3.

Dos cargas en el plano.

Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano de la configuraci´on de dos cargas puntuales de la figura

y

(x,y) r1

q1

r2

0

b

x

q2

a

El potencial es la suma de los potenciales individuales ϕ(x, y) =

2.2.4.

q1 q2 q1 q2 +p + =p 2 2 r1 r2 (x + b) + y (x − a)2 + y 2

Otro ejemplo.

~ Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano del campo E(x, y) = Kyˆ x + Kxˆ y eligiendo nuestro punto de referencia P1 = (0, 0). Usaremos el camino de integraci´on mostrado en la figura.

y

(x,y)

x

(0,0) Z

(x,y)

~ · d~s E

ϕ(x, y) = − (0,0)

Z

(x,0)

Z

(x,y)

=−

Ex dx − Ey dy (x,0) Z x Z y = K(y = 0) dx − Kx dy = 0 − Kxy (0,0)

0

= −Kxy

0

´ ESCALAR. 2.3. GRADIENTE DE UNA FUNCION

37

A todos los resultados anteriores le podemos sumar una constante. Esto solamente indicar´ıa que el punto de referencia al cual se asigna ϕ = 0 se puso en otra parte. No hay que confundir Potencial con energ´ıa potencial de un sistema.

La energ´ıa potencial de un sistema de cargas es el trabajo total requerido para reunirlas.

El potencial asociado al campo ser´ıa el trabajo por unidad de carga requerido para ~ del traer una carga de prueba positiva desde el infinito al punto (x, y, z) en el campo E sistema de cargas.

2.3.

Gradiente de una funci´ on escalar.

Sabemos que dado el campo el´ectrico podemos hallar la funci´on potencial el´ectrico, que resulta ser una funci´on escalar. Si quisi´eramos proceder en sentido contrario, es decir, a partir del potencial deducir el campo el´ectrico de la ecuaci´on Z P2 ~ · d~s , ϕ21 = − E (2.14) P1

Parecer´ıa que el campo es en alg´ un sentido una derivada de la funci´on potencial. Para precisar esto presentamos el gradiente de una funci´ on escalar:1

~ (x, y, z) = grad f = ∇f

∂f ∂f ∂f xˆ + yˆ + zˆ . ∂x ∂y ∂z

(2.15)

El gradiente de una funci´on escalar es un vector en la direcci´on de la m´axima pendiente en sentido ascendente y su m´odulo es la pendiente medida en aquella direcci´on 1

La derivada parcial respecto a la variable x de una funci´on f (x, y, z), escrita simplemente ∂f /∂x, significa la raz´ on de variaci´ on de la funci´ on respecto a x manteniendo constante las otras variable (y, z), i.e. ∂f f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) = l´ım , ∆x→0 ∂x ∆x

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

38 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

exp(−x*x−y*y) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

(x,y)

1 0.5

Dirección de la máximo crecimiento

0 −0.5 −1 1

2.4.

−0.5

0

0.5

y

−1

x

Deducci´ on del campo a partir del potencial.

Consideremos la diferencial de la funci´on escalar de tres variables ϕ(x, y, z) dϕ =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z

adem´as de Z

P2

ϕ21 = −

~ · d~s → dϕ = −E ~ · d~s , E

(2.16)

(2.17)

P1

y como ~ · d~s = −E ~ · d~s . dϕ = ∇ϕ

(2.18)

~ = −∇ϕ ~ E

(2.19)

Identificamos El signo menos da cuenta de que el campo el´ectrico est´a dirigido de una regi´on de mayor ~ se define de manera potencial hacia una regi´on de menor potencial, mientras que el vector ∇ϕ que se dirija en el sentido creciente de ϕ.

2.4.1.

Ejemplos.

Carga puntual. q  ∂ q  q ~ ~ ~ E = −∇ϕ = −∇ =− rˆ = 2 rˆ . r ∂r r r Dos cargas. q1 q2 ϕ= p +p =⇒ 2 2 (x + b) + y (x − a)2 + y 2 x + y yˆ] q2 [(x − a)ˆ x + y yˆ] ~ = q1 [(x + b)ˆ + . E ((x + b)2 + y 2 )3/2 ((x − a)2 + y 2 )3/2

´ DE CARGA. 2.5. POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCION

39

Otro ejemplo. ϕ = −Kxy =⇒ ∂ ~ = − ∂ (−Kxy)ˆ E x+ (−Kxy)ˆ y ∂x ∂y = Kyˆ x + Kxˆ y.

2.5.

Potencial de una distribuci´ on de carga.

Para calcular el potencial debido a una distribuci´on de carga ρ ( r )=ρ (x’,y’,z’) dx’dy’dz’=d 3r’ Punto de Observación

r−r’

r

Distribución de carga contenida en una región finita

r’

Origen

Z ϕ(~r) =

ρ(~r 0 )d3 r 0 | ~r − ~r 0 |

(2.20)

Debe tenerse que el potencial sea nulo en infinito. La distribuci´on de carga debe estar acotada a una regi´on finita. En el caso de una distribuci´on constante escribimos el potencial como la suma de los potenciales debido a los distintos dq de la distribuci´on. La distribuci´on debe ser finita.

ρ = cte

dq

R

Z ϕ=

dq =ρ R

Z

dv R

(2.21)

En caso que la distribuci´on NO sea constante, la primera expresi´on sigue siendo v´alida.

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

40

2.5.1.

Las l´ıneas equipotenciales.

El lugar geom´etrico de los puntos con un valor particular de ϕ es una superficie, llamada equipotencial la cual se representa en dos dimensiones por una curva y en tres por una superficie.

q

La familia de curvas equipotenciales son ortogonales a las l´ıneas de fuerzas.

2.5.2.

Potencial de un hilo largo cargado.

Calculemos el potencial de un hilo infinito cargado con densidad uniforme λ mediante integraci´on directa.

dq= λ dz

z

R

O

z

r

dq λdz =√ R z 2 + r2 Z Z ∞ ∞ λdz λ dz √ r  ϕ= = r z 2 + r2 z 2 −∞ −∞ +1 r

dϕ =

z Usando la paridad del integrando y haciendo el cambio de variable u = , tenemos r Z ∞ du √ ϕ = 2λ , u2 + 1 0

2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. haciendo u = tan θ con du = sec2 θ dθ Z ϕ = 2λ

π/2

0

41

sec2 θ dθ (tan2 θ + 1)1/2

π/2

Z = 2λ

sec θ dθ 0

π/2 = 2λ log(sec θ + tan θ) → ∞ . 0

La divergencia de la integral se debe a que la distribuci´on de carga no est´a contenida en un regi´on finita (hay carga en ∞). Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera usando la expresi´on para el campo el´ectrico de una l´ınea infinita uniformemente cargada Z P2 Z r2 2λ ~ ϕ21 = − E · d~s = − dr r P1 r1 = 2λ log(r1 ) − 2λ log(r2 ) . Fijamos arbitrariamente el punto P1 para obtener la funci´on potencial ϕ = −2λ log(r) + cte. Claramente ~ = −ˆ −∇ϕ r

2.6.

(2.22)

∂ϕ 2λ = rˆ . ∂r r

Disco cargado uniformemente.

Consideremos un disco no conductor cargado con una distribuci´on uniforme σ [ues/cm2 ] de espesor infinitesimal. La carga total corresponde a Q = πa2 σ. No hay dos capas. Si el disco fuera conductor habr´ıa redistribuci´on de carga acumul´andose hacia los bordes.

z a dq P2 x

R

P1 (0,y,0) y

σ

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

42

Evaluemos el potencial en el punto P1 = (0, y, 0) Z 2π Z a σrdθdr dq p ϕ(0, y, 0) = = R y 2 + r2 0 0 a Z a p r p = 2πσ dr = 2πσ y 2 + r2 y 2 + r2 0 0 p 2 2 ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y + a − y] , si y > 0. Z

p Por simetr´ıa debemos tener ± y 2 p ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y 2 + a2 + y] ,

si y < 0.

El valor en el centro ϕ(0, 0, 0) = 2πσa ϕ

−a

singularidad en la derivada

0

a

y

Estudiemos el comportamiento de ϕ(0, y, 0) para valores grandes de y. Para y  a tenemos  s 2 p a y 2 + a2 − y = y  1 − 2 − 1 y   1 a2 =y 1+ ... − 1 2 y2

≈

a2 . 2y

De aqu´ı tenemos ϕ(0, y, 0) =

πa2 σ Q = , y y

para y  a.

(2.23)

Donde πa2 σ = Q es la carga total, luego este ser´ıa el potencial de una carga puntual de ese valor. Desde muy lejos el disco se ve puntual. El potencial para puntos fuera del eje de simetr´ıa no es f´acil, las integrales resultan ser p R el´ıpticas ( dφ/ 1 − k 2 sen2 φ)

2.6.1.

Potencial en el borde del disco.

Evaluemos el potencial en el punto P2 = (a, 0, 0)

2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE.

43

σ

r dr P2

θ 2a a

Z Z σ2rθdr dq = = 2σθdr . ϕ(a, 0, 0) = r r De la figura r = 2a cos θ luego dr = −2a sen θdθ. Reemplazando en la integral Z 0 ϕ(a, 0, 0) = 2σθ(−2a sen θ) dθ Z

π/2

Z

π/2

=

4σaθ sen θ dθ 0

π/2 = 4σa [sen θ − θ cos θ] 0

= 4σa . Comparando este valor con el del centro del disco (2πσa) el potencial disminuye. Esto implica que el campo el´ectrico tiene componente en el plano del disco y hacia afuera. Por lo anterior, si la carga pudiese moverse se distribuir´ıa hacia los bordes. Podemos calcular el campo el´ectrico en el eje de simetr´ıa directamente del potencial ∂ϕ ∂y i hp d = − 2πσ y 2 + a2 − y dy " # y = 2πσ 1 − p y>0. y 2 + a2

Ey = −

Tomemos el l´ımite y → 0 por la derecha y por la izquierda. ~ → 2πσ yˆ. Si y tiende a cero+ entonces E ~ → −2πσ yˆ. Si y tiende a cero− entonces E Este es el campo que corresponde a un l´amina indefinida (infinita) con densidad superficial homog´enea σ. Podemos encontrar el campo cerca del disco usando Gauss. Como superficie de Gauss usamos la “cajita” de la figura.

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

44

A

El campo no al plano es Φ = AEy+ − AEy− + (flujo lateral) El primer t´ermino corresponde al campo inmediatamente por delante, el segundo al campo por detr´as en un caso la normal apunta hacia adelante y en el otro apunta hacia atr´as. El flujo lateral se puede hacer tan peque˜ no como se quiera aplanando la caja. (Mientras el campo paralelo sea finito.) La carga encerrada es σA luego la ley de Gauss AEy+ − AEy− = 4πσA , o bien lo podemos reescribir como Ey+ − Ey− = 4πσ

(2.24)

Esto vale para cualquier distribuci´on superficial de carga uniforme o no. Si σ es la densidad local de una capa superficial cargada, existe un cambio brusco o discontinuidad en la componente perpendicular del campo el´ectrico.

2.6.2.

La energ´ıa del sistema.

~ Recordemos la expresi´on para la energ´ıa total asociada a un campo E Z 2 1 ~ U= E dv . 8π Todo el espacio

(2.25)

~ = −∇ϕ, ~ Escribamos la energ´ıa ahora en t´erminos del potencial. Utilizamos que E luego tenemos Z 1 ~ 2 U= (2.26) ∇ϕ dv . 8π Todo el espacio Hay otra forma de calcular la energ´ıa almacenada N

1 X X qj qk U= . 2 j=1 k6=j rjk

(2.27)

´ VECTORIAL. 2.7. DIVERGENCIA DE UNA FUNCION

45

Si reescribimos la ecuaci´on anterior de la forma # " N X qk 1X . U= qj 2 j=1 r jk k6=j El t´ermino entre par´entesis corresponde a la contribuci´on de todas las cargas al potencial en la posici´on de qj . Podemos sumarlas y llamarles ϕj (potencial en la posici´on de qj debido a todas las otras cargas) luego N 1X U= qj ϕ j . (2.28) 2 j=1 Si tenemos una distribuci´on continua 1 U= 2

2.7.

Z ρϕ dv

(2.29)

Divergencia de una funci´ on vectorial.

Sea F~ (x, y, z) una funci´on vectorial. Consideremos el flujo total a trav´es de la superficie S Z Φ= F~ · d~a . S

S 1 incluye D S V1

da F





















































































































































































D

V2

V

S 2 incluye D

Si dividimos V en dos partes, diagrama de la derecha, el flujo es el mismo Z Z Φ= F~ · d~a + F~ · d~a , S1

S2

ya que los flujos sobre D se anulan. Podemos dividir V sucesivamente hasta tener V1 , V2 , . . . , VN con superficies S1 , S2 , . . . , SN , podemos afirmar Z N Z X ~ Φ= F · d~a = F~ · d~ai . S

i=1

Si

´ CAP´ITULO 2. POTENCIAL ELECTRICO.

46

R Si consideramos el l´ımite N → ∞ las integrales Si F~ · d~ai → 0. Es decir, se hacen cada vez m´as peque˜ nas, al igual que cada Vi , a medida que N crece. Pero si consideramos la raz´on entre ambas magnitudes R F~ · d~ai Si , Vi encontramos que tiene un l´ımite cuando N → ∞. Este l´ımite es una propiedad caracter´ıstica de la funci´on vectorial (campo vectorial) F~ en esa regi´on. Llamaremos divergencia de F~ a esta propiedad: ~ · F~ ≡ l´ım 1 div F~ (x, y, z) = ∇ V →0 V

Z

F~ · d~a

(2.30)

S

donde V es un volumen que incluye al punto (x, y, z) y S es la superficie donde se extiende la integral, adem´as es la superficie de V . La condici´on de que el l´ımite exista y sea independiente del m´etodo de subdivisi´on, lo estamos dando por supuesto. La div F~ corresponde al flujo saliente de V por unidad de volumen en el l´ımite en que V es infinitesimal. Es una magnitud escalar, que depende de la posici´on y puede variar de un lugar a otro.

2.8.

Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de Gauss.

Consideremos un volumen V cuya superficie es S. Hagamos una partici´on en N subvolumenes Vi cuya superficie es Si escribamos el flujo total a trav´es de S en funci´on de la partici´on. "R # Z N Z N X X F~ · d~ai S i Φ= F~ · d~a = F~ · d~ai = Vi . Vi S S i i=1 i=1 En el l´ımite que N → ∞ y Vi → 0, tenemos Z S

F~ · d~a =

Z

div F~ dv

(2.31)

V

Este resultado es conocido como teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Se cumple para todo campo vectorial para el cual existan los l´ımites involucrados. Apliquemos el teorema de la divergencia al campo el´ectrico Z Z ~ ~ dv . div E (2.32) E · d~a = S

V

Recordemos la Ley de Gauss que satisfac´ıa el campo el´ectrico sobre el mismo volumen y superficie Z Z ~ E · d~a = 4π ρ dv . (2.33) S

V

2.9. LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS.

47

Como ambas ecuaciones se cumplen para cualquier volumen ~ =∇ ~ ·E ~ = 4πρ div E

(2.34)

Esta u ´ltima ecuaci´on es conocida como la forma diferencial de la ley de Gauss y corresponde a la primera ecuaci´ on de Maxwell.

2.9.

La divergencia en coordenadas cartesianas.

Veamos la forma que tiene el operador divergencia en coordenadas cartesianas ~ · F~ = ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz div F~ = ∇ ∂x ∂y ∂z

(2.35)

La divergencia es un escalar y en coordenadas cartesianas corresponde al producto escalar ~ y el campo vectorial. Si div F~ > 0 el flujo es saliente. Si div F~ < 0 entre el operador vectorial ∇ el flujo es entrante. Consideremos un cilindro infinito de radio a, cargado con densidad uniforme ρ. z x

y a

ρ

Usando la ley de Gauss podemos encontrar el campo en todo el espacio,   2πρa2 r>a E(r) = r 2πρr ra r x + y2 = 2πρx ra Ey (r) = E = 2 r x + y2 = 2πρy r

t

A 4π t

Figura 10.1: Condensador con y sin aislante. ~ yB ~ existen en No solamente en los condensadores, sino casi en todas partes los campos E presencia de materia m´as que en le vac´ıo. Ahora nos preocupar´a conocer las interacciones de ~ yB ~ con la materia Se nos presentan dos caminos distintos: uno macrosc´opico los campos E y otro microsc´opico. En forma macrosc´opica la ecuaci´on (10.1) necesita solamente la inclusi´on de un factor  (que depende del material) para dar correctamente la capacidad del condensador lleno con ese material. A  se le llama constante diel´ectrica de una determinado material y al material se le conoce como diel´ectrico. vacio = 1 aire = 1.00059 materiales > 1.0

´ DE CARGA. 10.2. MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCION

10.1.1.

181

Visi´ on macrosc´ opica.

Una vez determinada  somos capaces de predecir el comportamiento de todo el sistema electrost´atico constituido por los dos conductores y la pieza de diel´ectrico entre ellos. Esta teor´ıa fue lograda sin una representaci´on de la materia, es decir, sin una teor´ıa at´omica. Desde este punto de vista, el interior del diel´ectrico es un espacio sin rasgos caracter´ısticos, uniforme y cuya u ´nica propiedad el´ectrica distinta del vac´ıo es una constante diel´ectrica distinta de la unidad. Si s´olo usamos una descripci´on macrosc´opica de un campo en la materia tendremos problemas para contestar ciertas preguntas: ¿Cu´al es el campo en el interior del diel´ectrico, cuando hay carga en las placas? No podemos poner una carga de prueba. . .

10.1.2.

Visi´ on microsc´ opica.

Afortunadamente podemos optar por una acercamiento microsc´opico al problema. Sabemos que la materia est´a constituida por ´atomos y mol´eculas. Nuestro diel´ectrico ser´a descrito como una agrupaci´on de mol´eculas en el vac´ıo en vez de un volumen lleno de materia continua y sin estructura. Si hallamos c´omo act´ uan las cargas en una mol´ecula cuando esta est´a en presencia de un ~ ser´ıamos capaces de establecer el comportamiento de un par de mol´eculas campo el´ectrico E separadas en el vac´ıo una en el campo de la otra. Este es un problema en el vac´ıo. Luego hay que extenderlo a 1020 mol´eculas por cent´ımetro c´ ubico. ¿Seremos capaces de decir algo sobre el campo el´ectrico y sobre el campo magn´etico en la materia? Para intentar decir algo sobre estos campos haremos un estudio separado de los efectos de los campos el´ectricos y de los efectos de los campos magn´eticos. En este cap´ıtulo estudiaremos los efectos de los campos el´ectricos en la materia y en el pr´oximo estudiaremos los efectos de los campos magn´eticos.

10.2.

Momentos de una distribuci´ on de carga.

Un ´atomo o mol´ecula consta de ciertas cargas el´ectricas distribuidas en un peque˜ no volu−24 3 men del orden de 10 [cm ]. Nos interesa el campo el´ectrico en el exterior de este volumen, debido a esta distribuci´on m´as bien complicada de carga. Nos interesa el campo lejos de las fuente, con lo que indicamos distancias grandes comparadas con el tama˜ no de la propia fuente. ¿Qu´e aspectos de la estructura de la distribuci´on de carga determinan principalmente el campo en puntos remotos? Para contestar lo anterior centremos nuestra atenci´on en cierta distribuci´on arbitraria de carga y veamos c´omo podemos emprender el c´alculo del campo en un punto exterior a ella. Sea ϕA el potencial en el punto A debido a la distribuci´on de carga ρ Z ρ(x0 , y 0 , z 0 ) 0 ϕA = dv (10.3) R  1/2 R = r2 + r02 − 2rr0 cos θ (10.4)

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

182

z A R

r θ

x

r’

dv’ y

ρ (x,y,z)

Figura 10.2: Densidad de carga de una mol´ecula es negativa en los electrones y positiva en los n´ ucleos. Sustituyendo en la integral Z ϕA =

 −1/2 0 dv ρ(x0 , y 0 , z 0 ) r2 + r02 − 2rr0 cos θ

Como A es lejano r0  r para todo punto de la distribuci´on de carga luego  −1/2 −1/2 1  2 r0 r02 02 0 r + r − 2rr cos θ = 1 + 2 − 2 cos θ r r r

(10.5)

(10.6)

Usando la expansi´on en serie 3 1 (1 + δ)−1/2 ≈ 1 − δ + δ 2 + . . . 2 8 y reagrupando tenemos   2 −1/2 1 r0 02 0 1 + cos θ r + r − 2rr cos θ = r r  0 2  0 3 # r r + (3 cos2 θ − 1) + O r r

(10.7)

Ahora bien, r es constante en la integraci´on, as´ı que escribimos el potencial obtenido en el punto A como sigue Z Z 1 1 0 3 0 ϕA = ρ(r )d r + 2 r0 cos θρ(r0 )d3 r0 r r Z (10.8) 1 02 2 0 3 0 + 3 r (3 cos θ − 1)ρ(r )d r + . . . r

´ DE CARGA. 10.2. MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCION

183

Cada una de las integrales anteriores, Ko , K1 y K2 , y las sucesivas tienen un valor que depende solamente de la estructura de la distribuci´on de carga. De aqu´ı el potencial puede escribirse ϕA =

Ko K1 K2 + 2 + 3 + ... r r r

(10.9)

Para acabar el problema deber´ıamos obtener el potencial en todos los otros puntos para ~ poder calcular el campo el´ectrico v´ıa −∇ϕ. El comportamiento del potencial a grandes distancias de la fuente R estar´a determinado por el primer t´ermino de esta serie cuyo coeficiente no sea nulo. K0 es ρdv 0 es decir la carga total. Si tenemos la misma cantidad de carga positiva que negativa, como en las mol´eculas neutras, K0 es nulo. Para una mol´ecula simplemente ionizada K0 = +e. K0 Si K0 6= 0 K1 y K2 no interesan. El t´ermino prevalecer´a. r R Si tenemos una mol´ecula neutra, i.e. K0 = 0, interesa K1 = r0 cos θρdv 0 . Ya que r0 cos θ = z 0 este t´ermino mide el desplazamiento relativo en la direcci´on de A de la carga positiva y negativa. +e

+e +e

+2e

−2e

+e

+e

−3e

−2e

Figura 10.3: En todos los casos mostrados K1 6= 0 Si la distribuci´on es el valor de K1 es independiente de la posici´on del origen. Es decir, si reemplazamos z 0 → z 0 + zo , desplazando el origen el valor de la integral no var´ıa. Z Z Z Z 0 0 0 0 0 0 0 (z + z0 )ρdv = z ρdv + z0 ρdv = z 0 ρdv 0 Si K0 = 0 y K1 6= 0, el potencial a lo largo del eje z variar´a asint´oticamente como 1/r2 luego el campo E ∝ 1/r3 . Si K0 y K1 son nulos y K2 6= 0 el potencial se comportar´a como 1/r3 a grandes distancias y E ∝ 1/r4 . Las cantidades K0 , K1 , K2 , . . . est´an relacionadas con lo que se conocen como momentos de la distribuci´on de carga. K0 corresponde a la carga y se conoce como momento monopolar. K1 es una de las componentes del momento dipolar. Tiene unidades de carga por desplazamiento y es un vector K1 corresponde a la componente z. K2 es una de las componentes del momento cuadrupolar (tensor). K3 es una de las componentes del momento octopolar.

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

184

+e −e

−e

+e Figura 10.4: Configuraci´on con K0 = K1 = 0 y K2 6= 0.

10.3.

Potencial y campo de un dipolo.

Podemos escribir el potencial en el punto A como Z Z 1 rˆ 0 0 ϕA = 2 rˆ · ~r ρdv = 2 ~r 0 ρdv 0 r r

(10.10)

Sin referencia a ning´ un eje. Hemos usado que r0 cos θ = rˆ · ~r0 . la integral es el momento dipolar. Designamos al vector momento dipolar por p~ Z p~ = ~r 0 ρ(~r 0 )d3 r0 (10.11) Podemos reescribir (10.10) como ϕ(~r) =

rˆ · p~ r2

(10.12)

z

p θ

r

E

Figura 10.5: Campo de un dipolo. Partamos del potencial ϕ(~r) =

p cos θ r2

(10.13)

10.4. TORQUE Y FUERZA SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO EXTERNO.

Trabajemos en el plano xz, es decir, cos θ = √ ϕ(~r) =

185

z + z2

x2

pz (x2 + z 2 )3/2

(10.14)

Las componentes del campo ∂ϕ 3pxz 3p sen θ cos θ = = 2 2 5/2 ∂x (x + z ) r3 ∂ϕ 3z 2 1 − 2 Ey = − = 2 2 5/2 ∂z (x + z ) (x + z 2 )3/2 p(3 cos2 θ − 1) = r3

Ex = −

(10.15)

La intensidad del campo decrece como 1/r3 en el eje z que es paralelo a p~ con modulo 2p/r3 . En el plano ecuatorial el campo est´a dirigido en forma antiparalela a p~ y tiene un valor −~p/r3 . La distribuci´on m´as simple con momento dipolar son dos cargas ±q separadas una distancia s lo que implica que p = qs. Calculemos ahora el campo del dipolo en coordenadas polares. Para ello partamos nuevamente del potencial p cos θ ϕ(~r) = r2 Derivemos para obtener el campo

10.4.

Er = −

∂ϕ 2p cos θ = ∂r r3

Eθ = −

p sen θ 1 ∂ϕ = r ∂θ r3

(10.16)

Torque y fuerza sobre un dipolo en un campo externo.

Supongamos dos cargas q y −q conectadas mec´anicamente, s es la distancia entre ellas. ~ es decir en el El momento dipolar p = qs. Coloquemos el dipolo en un campo externo E, campo de otra fuente. El dipolo experimenta un torque ~ = ~τ = ~r × F~ N

r=

s 2

~ = ~r × F~+ + (−~r) × F~− N

(10.17)

186

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

E F−=−qE

F+=+qE

s

+q

−q p

Figura 10.6: La fuerza es nula sobre el dipolo. θ r

F+

+q s/2

−q

F+ θ

p

F−

E

Figura 10.7: Torque sobre el dipolo. El vector vecN es un vector perpendicular a la figura. s s N = Eq sen θ + Eq sen θ = sqE sen θ = pE sen θ 2 2

(10.18)

~ = p~ × E ~ N

(10.19)

Luego

En presencia de un campo la orientaci´on del dipolo que tiene la energ´ıa m´as baja es cuando est´a paralelo al campo. Tiene que efectuase trabajo para girar el dipolo a cualquier otra posici´on. El trabajo total realizado Z θ0 Z θ0 W = N dθ = pE sen θdθ = pE(1 − cos θ0 ) (10.20) 0

0

Para invertir el dipolo, θ0 = π se requiere W = 2pE.

10.4.1.

Fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme.

La fuerza resultante sobre el dipolo en un campo uniforme es nula. En un campo no uniforme las dos fuerzas no se cancelan. Ejemplo simple F =q

Q Q + (−q) 2 r (r + s)2

(10.21)

´ 10.5. DIPOLO ATOMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.187 s

r Q

F

Figura 10.8: Un dipolo en un campo no uniforme. Para s  r   Qq 1 F = 2 1− r (1 + s/r)2   Qq 1 2sQq ≈ 2 1− ≈ r 1 + 2s/r r3

(10.22)

La fuerza F =

2pQ r3

(10.23)

No es f´acil deducir una f´ormula general para la fuerza sobre un dipolo en un campo el´ectrico no uniforme. La fuerza depende esencialmente de los gradientes de las distintas componentes del campo. En general la fuerza en x sobre un dipolo p~ es ~ x Fx = p~ · ∇E

10.5.

(10.24)

Dipolo at´ omico y moleculares; momentos dipolares inducidos.

Al describir la distribuci´on de carga en un ´atomo o mol´ecula tendremos que usar t´ermino cl´asicos para representar un sistema mec´anico cu´antico. Tambi´en trataremos como est´atico una estructura en la que las part´ıculas, en cierto sentido, est´an continuamente en movimiento. Se ver´a, en los cursos m´as avanzados, que la Mec´anica Cu´antica ratifica este enfoque simplificado. Consideremos el ´atomo m´as simple, el ´atomo de Hidr´ogeno, que consta del n´ ucleo y un electr´on. Si imaginamos el electr´on cargado negativamente, girando en torno del n´ ucleo positivo como un planeta alrededor del Sol – Modelo at´omico original de Bohr – Concluiremos que el ´atomo, en un instante dado posee un momento dipolar el´ectrico. El vector p~ se dirige paralelo al radio vector electr´on-prot´on y su m´odulo es e veces la distancia electr´on prot´on. La direcci´on de este var´ıa continua y r´apidamente cuando el electr´on “recorre su ´orbita”. Sin duda, el valor medio en el tiempo de p~ ser´a nulo para una ´orbita circular. Esperar´ıamos que la variaci´on peri´odica de las componentes de p~ originen un campo el´ectrico r´apidamente oscilante y por ende radiaci´on electromagn´etica. La ausencia de tal radiaci´on en el ´atomo de Hidr´ogeno fue una de las m´as grandes paradojas de la primitiva f´ısica cu´antica. La Mec´anica Cu´antica moderna nos dice que es mejor imaginar el ´atomo de Hidr´ogeno en su estado de m´as baja energ´ıa como una estructura con simetr´ıa esf´ericas con la carga distribuida, en promedio temporal sobre una nube que rodea al n´ ucleo. Nada est´a girando ni

188

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

oscilado. Si pudi´eramos tomar una instant´anea con un tiempo de exposici´on inferior a 10-16 [s], podr´ıamos un e- situado a cierta distancia del n´ ucleo. Para procesos en los que intervienen tiempos muchos mayores, tenemos, en efecto, una distribuci´on continua de carga negativa que rodea al n´ ucleo y se extiende en todas direcciones con densidad constante decreciente La carga total en la distribuci´on es e- . Aproximadamente la mitad de la carga est´a en una esfera de 0.05 [˚ A]. La densidad decrece exponencialmente hacia el exterior, una esfera de radio 2.2 [˚ A] contiene el 99 % de la carga. Una representaci´on similar es la mejor para adoptar en otros ´atomos y mol´eculas. Podemos tratar a los n´ ucleos en las mol´eculas como cargas puntuales, para nuestros prop´ositos su tama˜ no es demasiado peque˜ no para tenerlo en cuenta. La estructura electr´onica entera de la mol´ecula puede representarse como una sola nube de carga de densidad variable. La forma de la distribuci´on depender´a de la mol´ecula en cuesti´on, pero en los bordes de la nube la densidad siempre disminuir´a exponencialmente, as´ı que tienen “cierto” sentido hablar de forma de la distribuci´on.

E

Figura 10.9: A la izquierda ´atomo de Hidr´ogeno, con p~ = 0 para cualquier estado fundamental de cualquier ´atomo. A la derecha el ´atomo inmerso en un campo el´ectrico. ~ distorsiona el ´atomo. El ´atomo perturbado tendr´a un momento dipolar a El campo E causa de que “el centro de gravedad” de las cargas positivas y negativas no coinciden Usemos un modelo provisional del ´atomo de Hidr´ogeno para determinar el orden de magnitud de la distorsi´on esperada. Supongamos que en ausencia del campo el´ectrico la carga e- est´a distribuida con densidad constante en toda una esfera de radio a y que es nula es el exterior.

a

´ Figura 10.10: Atomo de Hidr´ogeno, con densidad en una bola de radio “a”.

´ 10.5. DIPOLO ATOMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.189 ~ la bola de carga e- mantiene su Supongamos que cuando se aplica un campo el´ectrico E forma y densidad y s´olo se desplaza relativamente el n´ ucleo.

b E

´ Figura 10.11: Atomo de Hidr´ogeno, bajo un campo “a”. ~ El n´ ucleo queda a cierta distancia b del centro de la esfera. En el equilibrio, la f~ = eE ~ que act´ sobre el n´ ucleo debida al campo E ua hacia arriba, debe estar equilibrada por la atracci´on hacia abajo ejercida sobre el n´ ucleo por la nube de carga negativa, que empuja al n´ ucleo hacia su centro. Para hallar la fuerza el campo s´olo depende de la carga interior a b, i.e. Q e 4 eb 1 E = 2 = 4 3 πb3 2 = 3 b b a πa 3 3 Igualando al campo externo eb a3 Eext =⇒ b = a3 e Si tomamos a = 1 [˚ A] y E = 100 [statvolt/cm] (intenso) entonces b = 2 × 10−13 [cm]. Una distorsi´on muy ligera. El p~ es ~ ext p = eb = a3 Eext , p~ k E (10.25) ~ podemos esperar que esto se mantenga, al menos El p~ es directamente proporcional al E, para peque˜ nas distorsiones Eext =

10.5.1.

Polarizaci´ on at´ omica.

Cualquier ´atomo puede polarizarse de esta manera. Decimos que el momento dipolar es ~ En cada caso hallamos que p~ es proporcional a E ~ inducido por el campo el´ectrico E. ~ p~ = αE

(10.26)

α es la polarizabilidad at´omica en [cm3 ] En nuestro modelo del Hidr´ogeno, α = a3 y tiene dimensiones de volumen. Un c´alculo exacto, usando Mec´anica Cu´antica, da αH = 9a30 /2, con a0 el radio de Bohr, a0 = 0.52 × 10−8 [cm]. Los valores experimentales de α para diferentes elementos en unidades de 10−24 [cm3 ] H He Li Be C Ne Na Ar K α 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34 Los alcalinos se deforman f´acilmente, valores grandes. Los gases nobles son muy r´ıgidos, valores peque˜ nos.

190

10.5.2.

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

Polarizaci´ on en mol´ eculas.

~ a una mol´ecula tambi´en se produce un momento Cuando se aplica un campo el´ectrico E dipolar inducido.

Figura 10.12: Mol´ecula de metano, CH4 . la mol´ecula de metano α = 2.6 × 10−24 [cm3 ] Si sumamos las polarizabilidades de los ´atomos individuales, el de carbono y de los cuatro hidr´ogenos tenemos 4.1 × 10−24 [cm3 ]. Evidentemente, los enlaces de los ´atomos en la mol´ecula ha alterado la estructura electr´onica. Las mol´eculas son, en general menos sim´etricas que los ´atomos. Esto origina la posibilidad de que un momento dipolar inducido no sea paralelo al campo que lo induce. Consideremos una mol´ecula de di´oxido de carbono.

z y O

C

O x

Figura 10.13: Mol´ecula de di´oxido de carbono, CO2 . Es diferente la “rigidez” longitudinal y transversal. En general un campo el´ectrico paralelo al eje molecular inducir´a un valor distinto que el inducido por un campo el´ectrico perpendicular al eje molecular. En realidad, el α del CO2 es 4.05×10−24 [cm3 ], para un campo aplicando paralelo al eje y un poco menos que la mitad para un campo transversal. Este tipo de mol´eculas tiene dos α los cuales podemos designar por α⊥ y αk . Si el campo est´a en otra direcci´on, se aplica superposici´on. El ejemplo anterior, demuestra que la polarizabilidad de una mol´ecula no es un simple escalar, sino un conjunto de coeficientes que expresan una dependencia lineal de

´ 10.5. DIPOLO ATOMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.191

E

E p E

Figura 10.14: Campo y momento dipolar no paralelos. ~ Al conjunto de coeficientes se llama tensor, los componentes de un vector p~, de las de otro E. la relaci´on m´as general ser´ıa con 9 coeficientes px = αxx Ex + αxy Ey + αxz Ez py = αyx Ex + αyy Ey + αyz Ez pz = αzx Ex + αzy Ey + αzz Ez Las nueve α definidas de esta manera constituyen el llamado tensor de polarizabilidad. En el ejemplo del CO2 tenemos αxx = αk y adem´as αyy = αzz = α⊥ y los otros seis coeficientes nulos. Si elegimos otra direcci´on para los ejes, por ejemplo, 30◦ con el eje molecular, ~ en x originar´ıa p~ en z, es decir, αzx 6= 0. As´ı que los elementos del tensor de un campo E polarizabilidad depender´an de la orientaci´on de los ejes coordenados. Bajo una rotaci´on de los ejes los elementos del tensor deben transformar de tal manera que conserven invariante ~ con p~. Esta relaci´on s´olo puede depender de la direcci´on de E ~ con respecto a la relaci´on de E los ejes f´ısicos de la mol´ecula y no de como se nos ocurra trazar el eje x. Podemos encontrar las reglas de transformaci´on de los coeficientes del tensor como ejercicio. Se puede demostrar que αxy = αyx αxz = αzx αyz = αzy Es decir, el tensor (o matriz) es sim´etrico. La simetr´ıa del tensor expresa uno de los hechos ~ aplicado en f´ısicos m´as notables que merece considerarse. Significa que un campo el´ectrico E x origina siempre una componente z de p~ igual a la componente x de p~ que originar´ıa un campo igual aplicado en la direcci´on z. Si lo anterior se cumple incluso para una mol´ecula sin simetr´ıa, debe estar respaldado por un teorema tipo reciprocidad y no ser consecuencia de la mera simetr´ıa geom´etrica. Un corolario importante de la simetr´ıa de α es el hecho de que siempre es posible orientar los ejes, relativos al sistema de referencias molecular, de manera tal que el tensor sea diagonal. Lo anterior es cierto incluso para mol´eculas sin simetr´ıa.

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

192

10.6.

Momento dipolar permanentes.

Algunas mol´eculas est´an constituidas da tal forma que poseen un momento dipolar el´ectrico, incluso en ausencia de campo el´ectrico. Un ejemplo simple lo proporciona una mol´ecula diat´omica constituida por dos ´atomos distintos, tal como el ´acido clorh´ıdrico HCl.

H Cl p=1.03 10

−18

[ues cm]

Figura 10.15: Momento dipolar permanente del HCl. El electr´on del Hidr´ogeno se desplaza parcialmente hacia el Cloro. Los momentos dipolares permanentes, cuando existen, por lo general son mucho mayores que los que pueden inducirse por un campo el´ectrico ordinario en el laboratorio. Mol´eculas polares: las que tienen momento dipolar permanente. Mol´eculas no polares: las que no tienen momento dipolar permanente. El resto. Las mol´eculas no est´an “quietas” sino m´as bien hay dos escalas de tiempos la de los n´ ucleos y la de los electrones. El comportamiento de una sustancia polar, como diel´ectrico, es sorprendentemente distinto de las no polares. El  del agua es 80, el del alcohol met´ılico es de 33, mientras que para un l´ıquido no polar es ∼ 2. En una sustancia no polar la aplicaci´on de un campo el´ectrico induce un ligero momento dipolar en cada mol´ecula. En una sustancia polar ya hay un momento dipolar p~, pero en ausencia de un campo externo est´an orientados al azar, as´ı que no tiene efecto macrosc´opico. Cuando un campo externo es aplicado, alinea los momentos dipolares.

10.7.

Campo el´ ectrico debido a materia polarizada.

Supongamos que construimos un bloque de materia reuniendo un gran n´ umero de mol´eculas en una regi´on del espacio previamente vac´ıa. Supongamos, adem´as, que cada una de estas mol´eculas est´a polarizada en la misma direcci´on. No necesitamos tener en cuenta la naturaleza de las mol´eculas ni los medios con que la polarizaci´on se mantiene. Todo lo que necesitamos especificar es el n´ umero N de dipolos por cm3 y el momento p~ de cada dipolo. Supongamos que N es tan grande que en cualquier dv macrosc´opico contiene un gran n´ umero de dipolos. La intensidad total del momento dipolar en tal volumen es p~N dv .

´ 10.7. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A MATERIA POLARIZADA.

193

Figura 10.16: Algunas mol´eculas polares bien conocidas. La magnitud del momento dipolar permanente p est´a dada en unidades de 10−18 [esu-cm]. ~ de estos En cualquier punto alejado de este dv, en comparaci´on al tama˜ no del mismo, el E dipolos particulares ser´a pr´acticamente el mismo que si se reemplazasen por un s´olo dipolo de momento p~N dv. Llamaremos a p~N densidad de polarizaci´on y la designaremos por P~ h carga i

P~ = p~N

cm2

.

Entonces P~ dv es el momento dipolar el´ectrico asociado a este peque˜ no elemento de volumen dv. Supongamos P~ es constante en el interior. Un cilindro de altura dz tiene un momento dipolar, P dv = P dadz = p. Su contribuci´on al potencial en el punto A puede escribirse teniendo en cuenta el potencial de un dipolo ϕ=

p cos θ r2

luego dϕA =

P dadz cos θ R2

Potencial de una columna Z

z2

ϕA = P da z1

cos θ dz R2

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

194

z zA A R2 z2

θ R

p

da

ρc x

z1

R1

y

ρA

ρ2= x2+y 2

Figura 10.17: Columna de materia polarizada. carga +Pda

+Pda dz −Pda

carga −Pda

Figura 10.18: Esquema de la columna polarizada. Donde zA − z = R cos θ y [(zA − z)2 + (ρA − ρC )2 ]1/2 = R por lo tanto Z z2 (z − zA )dz ϕA = P da 2 2 3/2 z1 [(zA − z) + (ρA − ρC ) ] z2 P da = 2 2 1/2 [(zA − z) + (ρA − ρC ) ] z1 Finalmente 

1 1 ϕA = P da − R2 R1

 (10.27)

La ecuaci´on (10.27) precisamente es la misma expresi´on para el potencial en A debido a dos cargas puntiformes; una positiva de valor P da situada en la parte superior de la columna a una distancia R2 de A y una negativa del mismo valor en la base de la columna. La fuente consistente en una columna de materia uniformemente polarizada es equivalente, al menos en

´ 10.7. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A MATERIA POLARIZADA.

195

lo que concierne al campo el´ectrico, en todos los puntos exteriores, a dos cargas concentradas.

σ =+P

P σ =−P Figura 10.19: Placa polarizada. Sin nuevos c´alculos, esto puede extenderse a una placa, o cilindro recto, de proporciones cualesquiera, uniformemente polarizada en una direcci´on perpendicular a sus caras paralelas (fig 10.19). La l´amina puede subdividirse en un conjunto de columnas y el potencial exterior ser´a la suma de las contribuciones de las columnas, cada una de las cuales puede sustituirse por una carga en cada extremo. Las cargas en la parte superior P da en el extremo de cada columna de ´area da, constituir´an una l´amina uniforme de densidad de carga superficial σ = P . Concluimos que ϕ en todos los puntos exteriores a una placa o cilindro uniformemente polarizado es precisamente el que resultar´ıa de dos l´aminas con carga superficial situadas en la posici´on de la parte superior e inferior de la placa conteniendo una densidad superficial σ = +P y σ = −P . No estamos preparados completamente para decir algo acerca del campo al interior de la placa.

σ =+P

A p B

t

A’

E=4 πσ σ =−P

t B’

Figura 10.20: Ambos sistemas tiene el mismo campo exterior. RB

~ · d~s est´a completamente determinada por E ~ exterior . Debe ser la misma que a lo largo E de A B = 4πσt = 4πP t. El R campo en el interior no es 4πσ, hay fuertes campos debido a las − + ~ · d~s = 4πσt independiente del camino. A trav´es de todos los mol´eculas e y p . Pero E caminos da 4πσt. El promedio espacial del campo dentro de la muestra Z 1 ~vi = ~ = −4π P~ . Edv (10.28) hE V V A 0 0

El campo promedio es una cantidad macrosc´opica (el volumen considerado debe incluir ~ es el u “muchas mol´eculas”). El campo hEi ´nico tipo de campo el´ectrico macrosc´opico en el interior de un diel´ectrico del cual podemos hablar. Da adem´as, la u ´nica respuesta satisfactoria,

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

196

A ∫ E .ds es el campo total

B Figura 10.21: Integral de camino por dos caminos distintos. en el contexto de un descripci´on macrosc´opica de la materia, a la pregunta ¿Cu´al es el campo el´ectrico dentro de un material diel´ectrico? ~ en la ecuaci´on (10.28) lo podemos llamar microsc´opico tiene sentido ya que las El campo E leyes del electromagnetismo trabaja a escala de distancia menores que la at´omica. Revisemos las propiedades del campo promedio Z

B

~ · d~s hEi

A

Para dos puntos A y B razonablemente distanciados es independiente del camino. ~ = 0 y hEi ~ = −∇hϕi ~ rothEi

Donde

1 hϕi = V

Z ϕdv

Adem´as, Z

~ · d~a = 4πhρi =⇒ divhEi ~ = 4πhρi hEi

~ dentro de un pedazo de materia De ahora en adelante, cuando hablemos del campo el´ectrico E mayor que una mol´ecula hablamos del campo macrosc´opico o promedio (ec.10.28) y omitimos h. . .i.

10.8.

Otra mirada al condensador. Q= ∈ Q 0

Q0

Q’ ϕ12

E

s

ϕ12

p E

Figura 10.22: Condensador.

s

10.8. OTRA MIRADA AL CONDENSADOR.

197

E = ϕ21 /s en ambos casos, ϕ12 lo da la bater´ıa. Como el campo es el mismo, debe ser la misma carga Q0 = Q0 + Q =⇒ Q0 = Q0 − Q = Q0 − Q0 Luego Q0 = Q0 (1 − )

(10.29)

Podemos pensar el campo como la superposici´on de dos campos: el primer campo de un condensador vac´ıo con carga Q y el otro producido por una capa de diel´ectrico con densidad de polarizaci´on P~ . ~ =E ~1 + E ~2 y E ~ 1 = E ~ E ~ 2 = −4π P~ E Luego ~ = E ~ − 4π P~ E

∈Q0 E1= ∈E

(10.30)

Q’= (1−∈) Q 0 P

E=−4π P

Dieléctrico solo

Placas solas

Figura 10.23: Condensador con y sin diel´ectrico.

10.8.1.

Susceptibilidad el´ ectrica. P −1 = = χe E 4π

(10.31)

La constante χe se conoce como la susceptibilidad el´ectrica y s´olo depende del material. Adem´as, podemos reescribir la constante diel´ectrica en funci´on de ella  = 1 + 4πχe

(10.32)

Si C es la capacidad de un condensador en el vac´ıo C es la capacidad del mismo condensador en un medio con constante diel´ectrica . ~ medio = 1 E ~ vacio E 

(10.33)

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

198

Q1

ε

Q1

Q2

Evacio

Q2

Emedio

Q3

Q3

Figura 10.24: Sistema de conductores en el vac´ıo e inmersos en un diel´ectrico homog´eneo

10.9.

El campo de una esfera polarizada.

Una densidad de polarizaci´on constante en magnitud y direcci´on en todo el volumen de la esfera. z

P

x

θr

da cos θ 0

y

da θ da

a

Figura 10.25: Sistema de conductores en el vac´ıo e inmersos en un diel´ectrico homog´eneo La esfera puede ser dividida en columnas paralelas a P~ con carga P ∆a en la parte superior e inferior de la columna da ∆a = cos θ El problema se puede reemplazar por dos esferas de densidad ρ y −ρ respectivamente.

Figura 10.26: Sistema de conductores en el vac´ıo e inmersos en un diel´ectrico homog´eneo En la parte superior e inferior la carga var´ıa como cos θ. En el interior se cancelan las distribuciones de cargas. Es f´acil calcular el campo afuera: cualquier distribuci´on de carga

10.9. EL CAMPO DE UNA ESFERA POLARIZADA.

199

tiene un campo externo como la carga completa estuviera concentrada en su centro. As´ı la superposici´on de dos esferas de carga total Q y −Q respectivamente, con sus centros separados por un peque˜ no desplazamiento s, produce un campo externo igual al de dos cargas puntuales Q y −Q separadas por una distancia s, es decir, p0 = Qs. El campo no es para grandes distancias sino desde la superficie en adelante. p0 = Qs =

4π 3 r P . 3 0

El campo exterior de la esfera polarizada es el de un dipolo central p0 . El campo en el interior: consideremos el potencial el´ectrico ϕ(x, y, z) lo conocemos en el contorno esf´erico (es el de un dipolo) y como r0 cos θ = z 4π ϕb = Pz 3 El problema de hallar el campo interior se reduce a un problema de Laplace con ϕb sobre la esfera =⇒ ϕint = 4πP z/3, que es soluci´on de la ecuaci´on de Laplace y satisface las condiciones de contorno. El campo   ∂ 4π 4π ∂ Pz = − P . (10.34) Ez = − ϕint = − ∂z ∂z 3 3

r0

P0 P0

Campo interior

Campo externo

Figura 10.27: Campo exterior e interior. Como lo u ´nico que determina el eje z es la direcci´on de P~ , podemos reescribir el resultado ~ in = − 4π P~ . E 3 En el polo “norte” el campo externo Ez =

8πP 2p0 2(4πr03 P/3) = = 3 3 r r0 3

La diferencia entre el campo externo y el interno Eext − Eint =

8πP 4πP 12πP + = = 4πP . 3 3 3

(10.35)

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

200

~ es discontinuo en la frontera de un medio polarizado exactamente como lo El campo E ser´ıa en una superficie en el vac´ıo que contuviese una carga superficial σ = Pn , esto es P~ normal hacia afuera ~ ⊥ cambia en 4πPn en el contorno. E ~ k no cambia, es continua. E

10.10.

Esfera diel´ ectrica en un campo uniforme.

Como ejemplo, coloquemos una esfera de material diel´ectrico caracterizado por una constante diel´ectrica , en un campo homog´eneo. ~ 0 no se ven perturbadas por la esfera i.e. a grandes distancias el Las fuentes del campo E ~ 0. campo ser´a E

P

E=?

E0 Figura 10.28: Esfera diel´ectrica en campo externo. Esto es lo que se da a entender al colocar una esfera en un campo uniforme. El campo ~ no es uniforme en las proximidades de la esfera total E ~ =E ~0 + E ~0 . E

(10.36)

El primer t´ermino corresponde a las fuentes distantes y el segundo al campo debido a la ~ 0 depende de la polarizaci´on P~ del diel´ectrico que a su vez materia polarizada. El campo E ~ en el interior de la esfera depende del campo E ~ . ~ =  − 1E P~ = χe E 4π

(10.37)

Si la esfera se polariza uniformemente, (suposici´on que necesita justificaci´on) sabemos que 4π P~ 0 ~ int E =− . 3

´ 10.11. CAMPO DE UNA CARGA EN UN MEDIO DIELECTRICO Y LEY DE GAUSS.201

El cual es el campo interior debido a la materia polarizada. Luego, en el interior total ~ 0 ~0 −  − 1E ~ . ~ =E ~0 + E ~ int ~ 0 − 4π P = E E =E 3 3 ~ Despejando E ~ = E



3 2+



~0 E

(10.38)

~ 0 . La polariComo  > 1 implica que el campo dentro del diel´ectrico es m´as d´ebil que E zaci´on es   3 −1 ~ −1~ ~ E= E0 (10.39) P = 4π 4π  − 2 La suposici´on de la polarizaci´on uniforme se ve ahora que es autoconsistente. De hecho s´olo los diel´ectricos de forma elipsoidales, entre los cuales la esfera es un caso especial, adquirir´an ~ fuera de la esfera polarizaci´on uniforme en un campo uniforme. Para calcular el campo total E ~ 0 y el campo de un dipolo central central de momento debemos sumar vectorialmente a E dipolar igual a P ×volumen de la esfera.

Figura 10.29: Campo de una esfera diel´ectrica en campo externo.

10.11.

Campo de una carga en un medio diel´ ectrico y Ley de Gauss.

Supongamos un gran volumen de diel´ectrico homog´eneo y en alguna parte una carga concentrada Q. Podemos imaginar una peque˜ na esfera de metal cargada que cae dentro de un tanque de aceite. Como se estableci´o anteriormente el campo en el aceite ser´a E=

Q , r2

1 el campo en el vacio 

202

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

Es interesante ver como act´ ua la Ley de Gauss Z ~ · d~a = 4π Q . E  ¿y por qu´e no 4πQ?, porque no es la u ´nica carga en el interior de la “esfera de Gauss”. El aceite est´a polarizado, a pesar de ser neutro. Su carga negativa es atra´ıda hacia Q y su carga positiva es repelida. Se polariza radialmente La carga neta incluyendo Q es menor que Q, es Q/. La carga “extra˜ na” (Q) se le conoce como carga libre. La carga integrante del diel´ectrico se le conoce como carga ligada. No son m´oviles. Puede idearse una magnitud vectorial que este relacionada solamente con la carga libre por algo parecido a la ley de Gauss. Z Z ~ E · d~a = 4π ρlibre dv S

V

~ = 4πρlibre div(E) Para el campo el´ectrico ~ = 4π(ρlibre + ρligada ) div E ~ = div(E) ~ + 4π(ρligada ) div E ~ = 4πρligada div(1 − )E

(10.40)

~ = −4πρligada div( − 1)E

~ P~ = χe E ( − 1) ~ P~ = E 4π ~ 4π P~ = ( − 1)E div P~ = −ρligada

(10.41)

(10.42)

Se cumple siempre, la ecuaci´on (10.42) son promedios sobre vol´ umenes suficientemente grandes para que P~ y ρligada sean continuas ~ = 4πρlibre + 4πρligada div E ~ = 4πρlibre − 4π div P~ div E ~ + 4π P~ ) = 4πρlibre div(E

(10.43)

~ y P~ . No se limita a Lo anterior es completamente independiente de toda relaci´on entre E ~ Definamos el vector desplazalos materiales diel´ectricos, en los que P~ es proporcional a E. ~ por miento el´ectrico D ~ =E ~ + 4π P~ D (10.44)

´ ´ 10.12. UNA MIRADA MICROSCOPICA DEL DIELECTRICO.

203

~ = E ~ pues la relaci´on En un diel´ectrico isotr´opico, D ~ = 4πρlibre div D

(10.45)

~ y ρ. Se cumple en cada caso en que puedan definirse las magnitudes macr´oscopicas P~ , E ~ como un vector campo cuya La ecuaci´on (10.45) puede sugerir que podemos considerar a D fuente es la distribuci´on de carga libre ρlibre , en el mismo sentido que la distribuci´on de carga ~ Esto ser´ıa incorrecto. El campo E ~ esta determinado un´ıvocamente total ρ es la fuente de E. (excepto por la adici´on de un campo constante) por la distribuci´on de carga ρ debido a que, ~ = 4πρ existe rot E ~ = 0. En general no es cierto que rotD ~ = 0. As´ı que ρlibre en adici´on a div E ~ no es suficiente para determinar D. Se necesitan las condiciones de contorno en las superficies ~ es un artificio que, en general, no es muy de los distintos diel´ectricos. La introducci´on de D u ´til. A continuaci´on reunimos las conclusiones esenciales acerca de los campos el´ectricos en la materia. La materia puede polarizarse, esta circunstancia se explica completamente, en lo que respecta al campo macrosc´opico por una densidad de polarizaci´on P~ , que es el momento ~ es la misma que si dipolar por unidad de volumen. La contribuci´on de dicha materia a E ~ ρligada existiese en el vac´ıo con densidad ρligada = − div P . En la superficie de una sustancia polarizada, donde hay una discontinuidad de P~ , est´a se reduce a una carga superficial de densidad σ = −Pn . A˜ nadamos una ρlibre y el campo el´ectrico es el que producir´ıa en el vac´ıo esta distribuci´on total de carga. ~ dentro y fuera de la materia, entendiendo que dentro Este es el campo macrosc´opico E de la materia es el promedio espacial del campo microsc´opico verdadero. Si en un material ~ lo llamamos diel´ectrico. P~ es proporcional a E Definimos la susceptibilidad el´ectrica y la constante diel´ectrica caracter´ıstica de este material ~ P χe =  = 1 + 4πχe . ~ E Las cargas libres sumergidas en un diel´ectrico dan lugar a un campo el´ectrico que es 1/ del que las mismas cargas producir´ıan en el vac´ıo.

10.12.

Una mirada microsc´ opica del diel´ ectrico.

La polarizaci´on P~ en el diel´ectrico es simplemente una manifestaci´on, a gran escala, de los momentos dipolares el´ectricos de los ´atomos y mol´eculas de las cuales el material est´a compuesto. Donde P~ es la densidad de momento dipolar medio, que es igual al vector momento dipolar total por unidad de volumen promediado sobre una regi´on suficientemente ~ = 0 no hay direcci´on privilegiada, grande como para contener un gran n´ umero de ´atomos. Si E implica P~ = 0. ~ 6= 0 la polarizaci´on puede llevarse a cabo de dos maneras: Si E

204

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

1. Cada ´atomo o mol´ecula adquiere un momento dipolar proporcional y en la direcci´on de ~ E. 2. Si hay mol´eculas polares los dipolos se reorientan paralelos al campo. ~ es decir P/E = χe > 0. Ambos efectos contribuyen a la polarizaci´on en la direcci´on de E,

10.12.1.

Modelo para un gas.

Consideremos el momento at´omico inducido en un medio en el cual los ´atomos est´an muy separados. Un gas ∼ 3 × 1019 [molec/cm3 ]. Suponemos que el campo que act´ ua sobre una mol´ecula individual es el campo promedio. Despreciando el campo producido por el dipolo inducido en una mol´ecula cercana. Sean α la polarizabilidad de cada mol´ecula y N el n´ umero 3 medio de mol´eculas por cm . El momento dipolar inducido en cada mol´ecula es αE y la polarizaci´on resultante ~ P ~ =⇒ χe = = N α P~ = N αE ~ E La constante diel´ectrica   = 1 + 4πχe = 1 + 4πN α Ejemplo: el metano (CH4 ) tiene un α = 2.6 × 10−24 [cm3 ] y N ≈ 2.8 × 1018 [molec/cm3 ] a 0◦ C y 1 [atm]. Evaluando  = 1 + 4πN α = 1.00088 el mismo valor de las tablas. No es tan sorprendente, α probablemente fue encontrado en base a un modelo similar. La constante α tiene unidades de volumen y son del orden de magnitud del volumen at´omico, entonces N α = χe es igual a la fracci´on del volumen del medio ocupado por los ´atomos. La densidad del gas comparada con la densidad de la misma sustancia en estado s´olido o l´ıquido es aprox 1/1000. Luego, en un gas el 99.9 % es espacio vac´ıo. Por otra parte, en un s´olido o l´ıquido las mol´eculas est´an pr´acticamente toc´andose. La fracci´on que ocupan es no mucho menor que 1. Para s´olidos y l´ıquidos no polares el encontramos valor de ( − 1)/4π ∈ [0.1, 1]. La teor´ıa exacta de la susceptibilidad de un s´olido o un l´ıquido no es f´acil de desarrollar. Cuando los ´atomos est´an tan juntos hasta que casi se tocan, los efectos del ´atomo vecino no pueden ser despreciados.

10.12.2.

Las mol´ eculas polares.

Las mol´eculas con momento dipolar el´ectrico permanente, i.e. mol´eculas polares, responden a un campo el´ectrico tratando de alinearse paralelas a ´el. Si el dipolo no apunta en la ~ hay un torque p~ × E ~ tendiente a alinear p~ en la direcci´on de E. ~ El direcci´on del campo E, ~ pero el equilibrio es inestable. El torque sobre el torque es nulo si p~ es antiparalelo al campo E dipolo es el torque sobre la mol´ecula. Un estado de menor energ´ıa habr´ıa sido logrado si todas las mol´eculas hubieran rotado sus momentos dipolares en la direcci´on del campo. Mientras alcanzan el estado de alineamiento entregaran a trav´es de “fricci´on” rotacional, energ´ıa a su entorno.

´ EN CAMPOS VARIABLES. 10.13. POLARIZACION

205

Pero esto no sucede. Ninguna aproximaci´on a la alineaci´on completa es intentada para “ning´ un” campo aplicado. ¿Por qu´e no? La raz´on es esencialmente la misma de por qu´e las mol´eculas de aire en la habitaci´on no las encontramos todas sobre el piso, la cual es la configuraci´on de menor energ´ıa. Debemos pensar sobre la temperatura y la energ´ıa t´ermica kB T |ambiente ≈ 4 × 10−14 [erg]. La energ´ıa de elevar 5 × 10−23 [g] unos metros ∼ 10−17 [erg], es decir, 1/1000 de kB T , por eso no todas las mol´eculas est´an en el suelo. El orden de magnitud de la fracci´on alineada con el campo a una temperatura T dada es:   pE pE N p2 =⇒ P ≈ N p = E kB T kB T kB T P N p2 =⇒ χe = = E kB T Esta estimaci´on produce para el agua un valor para la susceptibilidad de 3.0 siendo que el valor correcto es 6.3, a temperatura ambiente. Las interacciones con los vecinos complican la derivaci´on te´orica.

10.13.

Polarizaci´ on en campos variables.

Hasta ahora nosotros hemos considerado s´olo campos electrost´aticos. Debemos ver que pasa con campos variables en el tiempo, un condensador usando corriente alterna por ejemplo. ~ ¿La raz´on P/E ser´a la misma, en un ¿Los cambios en P~ marcharan con los cambios en E? instante, que en el caso est´atico? Para variaciones “lentas” no esperamos cambios, que son “lentas” depende del particular proceso f´ısico. La polarizaci´on inducida y la orientaci´on de dipolos permanentes son dos procesos con respuestas de tiempo muy diferentes. Para la polarizaci´on inducida, distorsi´on en la estructura electr´onica que involucran peque˜ nas masas y estructuras muy r´ıgidas, la frecuencias naturales son muy altas lo que implica per´ıodos del orden de 10−16 [s]. Por lo tanto, 10−14 [s] en un ´atomo es un tiempo largo. Por estas razones para sustancias no polares el comportamiento es pr´acticamente el mismo con corriente continua o alterna, con frecuencias del orden de la de la luz visible. La polarizaci´on sigue al campo y χe es independiente de ω. La orientaci´on de una mol´ecula es un proceso muy diferente de la mera distorsi´on de la nube electr´onica. La mol´ecula entera debe rotar y eso involucra escalas de tiempo mayores (10−11 [s] en agua). Los dipolos simplemente no pueden seguir alteraciones r´apidas del campo. Para s´olidos los tiempos son ∼ 10−5 [s]. En este caso la constante diel´ectrica cae a valores t´ıpicos de sustancias no polares.

10.14.

Corriente de carga ligada.

Si la polarizaci´on cambia en el tiempo hay una corriente el´ectrica, un genuino movimiento de carga. Supongamos N dipolos en un cm3 de diel´ectrico, y que en un dt cambia de p~ a p~ +d~p lo que implica que la densidad de polarizaci´on P~ cambia de P~ = N p~ a P~ + dP~ = N (~p + d~p). Supongamos que el cambio d~p fue consecuencia de mover una carga q un d~s en cada ´atomo, Lo que implica que d~p = qd~s. Durante el dt tendremos una nube de carga de densidad N q

206

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

movi´endose con velocidad ~v = d~s/dt luego J~ ser´a d~p dP~ d~s = J~ = ρ~v = N q = N dt dt dt La conexi´on entre la raz´on de cambio de la polarizaci´on y la densidad de corriente, J~ = dP~ /dt es independiente del modelo. Un cambio en la polarizaci´on es una corriente de conducci´on. Naturalmente, tal como cualquier corriente, es fuente de un campo magn´etico. Si no hay otras corrientes, podr´ıamos escribir el rotor del campo magn´etico como ~ 1 ∂E 4π ∂ P~ + c ∂t c ∂t La u ´nica diferencia con una densidad de corriente “ordinaria” de conducci´on y la densidad de corriente ∂ P~ /∂t es que la primera involucra carga libre en movimiento y la otra carga ligada en movimiento. Hay razones para hacer la distinci´on: No podemos tener una corriente de carga ligada estacionaria, es decir, que una vez que se establezca no cambie. Usualmente se prefiere considerar por separado ambas corrientes, manteniendo el s´ımbolo J~ para las densidades de corrientes de carga libre solamente. As´ı la ecuaci´on de Maxwell queda ! ~ ~ 1 ∂ P ∂ E ~ = rot B + 4π + 4π J~ c ∂t ∂t rot B =

El pen´ ultimo t´ermino corresponde a la densidad de corriente ligada y el u ´ltimo a la ~ ~ ~ densidad de corriente libre. En un medio diel´ectrico E +4π P = E, luego podemos compactar la ecuaci´on ! ~ ∂ E 1 ~ =  + 4π J~ rot B c ∂t ~ =E ~ + 4π P~ , el vector desplazamiento Usualmente se introduce D ! ~ ∂ D 1 ~ = + 4π J~ rot B c ∂t ~ El t´ermino ∂ D/∂t se refiere como corrientes de desplazamiento. La parte que involucra ~ ∂ P /∂t representa una “honesta” corriente de conducci´on, con movimiento real de carga. La u ´nica parte de la densidad de corriente total que no es simplemente carga en movimiento, es ~ la parte ∂ E/∂t, la corriente de desplazamiento en el vac´ıo. ! ~ ~ 1 ∂ E ∂ P ~ = rot B + 4π + 4π J~ c ∂t ∂t El primer t´ermino corresponde a una densidad de corriente de desplazamiento en el vac´ıo. El segundo a una densidad de corriente de carga ligada. El tercero a una densidad de corriente de carga libre. La distinci´on entre carga libre y carga ligada puede no ser una tarea f´acil. Este ejemplo muestra en el mundo at´omico la distinci´on entre carga libre y carga ligada es m´as o menos arbitraria, as´ı tambi´en la densidad de polarizaci´on. El momento dipolar molecular est´a bien definido s´olo cuando las mol´eculas son identificables y uno puede decir este ´atomo pertenece a esta mol´ecula o no, en muchos cristales esta distinci´on no es clara.

´ ´ 10.15. UNA ONDA ELECTROMAGNETICA EN UN DIELECTRICO. carga negativa libre

carga positiva libre

P

carga positiva libre

207

P

carga negativa libre

Figura 10.30: Diel´ectrico, identificaci´on de la carga libre y ligada.

10.15.

Una onda electromagn´ etica en un diel´ ectrico.

Consideremos campos el´ectricos y magn´eticos en un medio diel´ectrico ilimitado. El diel´ectrico es un aislador perfecto, es decir, no hay corriente libre, J~ = 0. Si no hay carga libre pero hay carga ligada implicar´ıa que la divergencia del campo el´ectrico es distinta de cero. Si acordamos considerar la divergencia nula entonces las densidades de carga tanto libre como ligada ser´an cero. Las ecuaciones de Maxwell quedan ~ ~ = − 1 ∂B rot E c ∂t ~ ~ = +  ∂E rot B c ∂t

~ =0 div E

(10.46)

~ =0 div B

(10.47)

Probamos soluciones de la forma ~ = zˆE0 sen(ky − ωt) E ~ = xˆB0 sen(ky − ωt) B El ´angulo (ky − ωt) es llamado la fase de la onda. La raz´on ω/k es la velocidad de fase, en este caso la velocidad de la onda. Si derivamos ~ = +ˆ rot E xE0 k cos(ky − ωt) ~ = −ˆ rot B z B0 k cos(ky − ωt)

∂E = −ˆ z E0 ω cos(ky − ωt) ∂t ∂B = −ˆ xB0 ω cos(ky − ωt) ∂t

Sustituyendo encontramos ω c =√ k 

y B0 =

√

E0

208

´ CAP´ITULO 10. CAMPOS ELECTRICOS EN LA MATERIA.

√ La velocidad de la onda difiere de la velocidad de la luz en el vac´ıo por un factor 1/ . Las amplitudes de los campos el´ectrico y magn´etico, que son iguales en el vac´ıo, difieren en √ ~ ⊥B ~ se mantiene y viajan en direcci´on E ~ × B, ~ esto un factor , siendo menor el el´ectrico. E se mantiene. νvacio = νmedio lo que implica que λmedio < λvacio , ya que λν = v. La luz viajando en un vidrio, es un ejemplo√de lo anteriormente descrito. Definimos el ´ındice de refracci´on n como n=c/v, es decir, n = .

Cap´ıtulo 11 Campo magn´ eticos en la materia. 11.1.

Introducci´ on.

Los contenidos del cap´ıtulo de Campos magn´eticos en la materia son: ¿C´omo diferentes sustancias responden a un campo magn´etico? La ausencia de “carga” magn´etica. El campo de un loop de corriente. La fuerza sobre un dipolo en un campo externo. Corrientes el´ectricas en los ´atomos. Esp´ın electr´onico y momento magn´etico. Susceptibilidad magn´etica. Campo magn´etico causado por materia magnetizada. Campo de un magneto permanente. ~ Corrientes libres y el campo H. Ferromagnetismo.

11.2.

¿C´ omo diferentes sustancias responden a un campo magn´ etico?

Supongamos que construimos un solenoide de 10 [cm] de di´ametro interior y 40 [cm] de largo. Su di´ametro externo es de 40 [cm], la mayor parte del espacio est´a ocupado por las vueltas del alambre de Cobre. Veamos un esquema... 209

210

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

z

40 cm

Bz 10 kG

20 kG

Bz

10 cm

Esta bobina provee un campo de ∼30000 [G] o 3.0 [T]. La potencia de ∼400 [kW] necesita unos 30 [galones] de agua por minuto para disipar el calor. Equivalencia 1 [gal´on]≈3.8 [lt]. Este es un respetable im´an de laboratorio. En el centro el campo es 105 veces m´as intenso que el campo terrestre y probablemente de 5 a 10 veces m´as intenso que el campo cercano a un im´an de hierro en U. El campo ser´a pr´acticamente uniforme cerca del centro del solenoide cayendo sobre el eje z a aproximadamente la mitad del valor central en los extremos, 18000 [G]. Pongamos distintas substancias dentro del campo y veamos si act´ ua fuerza sobre ellas. Generalmente detectamos una fuerza la cual desaparece cuando se desconecta la corriente ~ (B = 0). Descubrimos que la mayor fuerza ocurre no cuando nuestra muestra esta en el ~ es m´as intenso) sino que se localiza cerca del final de la bobina (donde el centro (donde B ~ gradiente ∂ B/∂z es grande). Debido a lo anterior, s´olo se pondr´an las muestras en el borde de la bobina. Se encontr´o que la fuerza sobre una substancia particular –aluminio met´alico– es proporcional a la masa e independiente de la forma, mientras la muestra no sea demasiado grande. (1 a 2 [cm3 ] en volumen en nuestro caso). Para un gran n´ umero de substancias puras la fuerza observada es muy peque˜ na. 10 a 20 [dinas/g], t´ıpicamente. La fuerza es hacia arriba para algunas muestras y hacia abajo para otras, esto no tiene nada que ver con la direcci´on del campo, esto se comprob´o invirtiendo la corriente. Algunas substancias son siempre tiradas en la direcci´on de incremento del campo y otras en la direcci´on de decremento, independiente de la direcci´on del campo.

´ ´ 11.2. ¿COMO DIFERENTES SUSTANCIAS RESPONDEN A UN CAMPO MAGNETICO?211 Substancia Agua Cobre Cloruro de Sodio Azufre Diamante Grafito Nitr´ogeno l´ıquido

Substancia Sodio Aluminio Cloruro de Cobre Sulfato de Niquel Ox´ıgeno l´ıquido

F´ormula H2 O Cu NaCl S C C N2

Substancia F´ormula Hierro Magnetita

-22.0 -2.6 -15.0 -16.0 -16.0 -110.0 (78 K) -10.0

F´ormula Na Al CuCl2 NiSO2 O2

Fe Fe3 O4

Fuerza [dinas]

Fuerza [dinas] +20.0 +17.0 +280.0 +830.0 (90 K) +7500.0

Fuerza [dinas] +400000 +120000

El signo positivo en la fuerza indica una fuerza hacia adentro y el negativo una hacia afuera. Sobre 1 [g] a T = 20 ◦ C, salvo que se indique. Hay diferencias esenciales entre el comportamiento de las diferentes substancias, por ejemplo entre el Hierro y la Magnetita. Si variamos el campo a 1/2 del original, para muestras no-ferro la fuerza se reduce a 1/4 por lo tanto F ∝ B 2 , sin embargo, para las substancias ferromagn´eticas se reduce s´olo a 1/2 o menos, F ∝ B. La mayor´ıa de los compuestos inorg´anicos y pr´acticamente todos los compuestos org´anicos son diamagn´eticos (H2 O, Cu, NaCl, S, C, N2 ). De hecho el diamagnetismo es una propiedad de cada ´atomo y mol´ecula. Cuando se observa un comportamiento contrario es porque el diamagnetismo ha sido superado por un efecto m´as fuerte. La substancias que son atra´ıdas hacia la regi´on de campo m´as fuerte son llamadas paramagn´eticas. Para algunos metales como el Al, Na y muchos otros, el paramagnetismo es un poco mayor que el diamagnetismo com´ un. En otros materiales, NiSO4 y CuCl2 el paramagnetismo es mucho mayor que el diamagnetismo. Las cosas no son del todo simples: El Cu es diamagn´etico, el CuCl2 es paramagn´etico, el Na es paramagn´etico y el NaCl es diamagn´etico. Finalmente, substancias como el hierro y la magnetita son llamadas ferromagn´eticas. Algunas aleaciones de Fe y metales como el Co y el Ni tambi´en presentan ferromagnetismo.

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

212

Las tareas que se nos presentan para este cap´ıtulo: Desarrollar un tratamiento a gran escala de los fen´omenos que involucran materia magnetizada, en la cual la materia misma es caracterizada por unos pocos par´ametros y la relaci´on entre ellos es determinada experimentalmente. Una teor´ıa fenomenol´ogica, m´as descriptiva que explicativa. Tratar de entender, al menos en forma general el origen at´omico de varios efectos magn´eticos. Los fen´omenos magn´eticos, m´as que los diel´ectricos, una vez entendidos revelan hechos b´asicos de la estructura at´omica.

11.3.

La ausencia de “carga” magn´ etica.

El campo magn´etico de una barra magnetizada se parece mucho al campo externo de una barra el´ectricamente polarizada. Es decir, una barra que tiene un exceso de carga positiva en un extremo y un exceso de carga negativa en el otro. Se podr´ıa pensar que el campo magn´etico tiene fuentes las cuales se relacionan con ´el del mismo modo que la carga el´ectrica lo hace con el campo el´ectrico. Entonces un extremo de nuestra barra magnetizada tendr´ıa un exceso de carga de un tipo y el otro extremo del otro tipo. Podemos llamarla “cargas norte” (+) y “cargas sur” (-) con el campo magn´etico dirigi´endose de (+) a (-). La idea suena bien, incluso las ecuaciones de ~ y E. ~ Por ejemplo, ∇ ~ ·B ~ = 4πη, donde η ser´ıa la Maxwell quedar´ıan m´as sim´etricas entre B densidad de cargas magn´eticas. El problema es que las cosas no son as´ı. La naturaleza no uso esta posibilidad. El mundo es asim´etrico en el sentido que no hay carga magn´etica. No existen los monopolos magn´eticos. Y, por lo tanto, menos se ha observado un exceso de uno de estos tipos de carga magn´etica. Si tal monopolo magn´etico existiese, lo podr´ıamos detectar. Se acelerar´ıa en un campo uniforme. Uno de estos monopolos viajando producir´ıa una corriente magn´etica y esta deber´ıa estar rodeada por un campo el´ectrico de rotor no nulo, de la misma manera que un campo magn´etico rodea una corriente el´ectrica. Con estrategias basadas sobre esta propiedad se han buscado los monopolos en muchos experimentos. La b´ usqueda fue renovada cuando los desarrollos en F´ısica de part´ıculas sugirieron que el Universo deber´ıa contener al menos unos pocos monopolos remanentes del Big Bang. Los monopolos no han sido detectados y hay evidencia de que si existiesen ser´ıan excesivamente escasos. Si se prueba la existencia de un monopolo habr´ıan profundas consecuencias, pero no alterar´ıa el hecho que en la materia, como la conocemos, la u ´nica fuente del campo magn´etico son las corrientes el´ectricas, es decir ~ =0 div B

(En todas partes).

Una alternativa a la carga magn´etica son las ideas de Amp`ere. Tal ideas nos dices que todo el magnetismo en la materia ser´ıa consecuencia de m´ ultiples y peque˜ nos anillos de corrientes distribuidos a trav´es de la substancia. Comenzaremos estudiando el campo magn´etico de un loop en un punto lejano del loop.

11.4. EL CAMPO DE UN LOOP DE CORRIENTE.

11.4.

213

El campo de un loop de corriente.

Consideremos un loop de corriente no necesariamente circular que yace sobre el plano xy. Una corriente I fluye a trav´es de ´el. Nos interesa el campo creado por esa corriente, pero no cerca, sino el campo distante (en P1 ). De manera tal que r1  que cualquier distancia del sistema. Para simplificar ubicamos P1 en el plano yz pero luego levantaremos esta restricci´on.

z

P1 A

z1 θ

r1

r’12

r12

P’2

dl’2

y2

y1

P2 dl 2

dx 2

I

I

y

dx 2

x

I

~ en el punto P1 , es decir, A(0, ~ y, z) y luego tomamos el Calculemos el potencial vector A rotor. I d~`2 I ~ A(0, y, z) = c loop r12 Considerando la variaci´on de r12 a lo largo del loop r12 ≈ r1 − y2 sen θ a P1 z

a P1

θ r1 y2 sen θ

θ y2

r12

y

Veamos los dl2 , dl20 , los dy2 son iguales y opuestos, cancelando su contribuci´on a la integral sobre el loop completa.

214

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA. y2































































































d x2 positivo y2 positivo

x2

d x2 negativo y2 negativo

~ no tiene componente y en P1 , obviamente no tendr´a una Lo anterior implica que A componente zˆ, el camino no la tiene, luego ~ y1 , z1 ) = xˆ I A(0, c

Z

dx2 . r12

A primer orden 1 1 ≈ r12 r1



y2 sen θ 1+ r1

 ,

luego  Z  I y2 sen θ ~ A(0, y1 , z1 ) = xˆ dx2 , 1+ cr1 r1 R R r1 y θ son constantes. Obviamente dx2 a lo largo del loop desaparece, ahora y2 dx2 es justo el ´area del loop. ~ y1 , z1 ) = xˆ I sen θ × [´area del loop] , A(0, cr12 Aqu´ı un punto simple pero crucial, ya que la forma del loop no interesa, nuestra restricci´on ~ de un loop de corriente de P1 en yz no puede hacer una diferencia esencial. As´ı el vector A de cualquier forma a una distancia r del loop la cual es mucho mayor que el tama˜ no del loop, es un vector perpendicular al plano que contiene ~r y la n ˆ del plano del loop.Cuya magnitud es Ia sen θ A= cr2 donde a es el ´area de loop. ~ ser´a sim´etrico Este vector potencial es sim´etrico en torno al eje del loop esto implica que B tambi´en respecto al mismo eje. La raz´on de considerar la regi´on lejana es que el detalle de la forma del loop no tiene relevancia. Todos los loops con el mismo producto corriente por ´area producir´an el mismo campo lejano. Ia Nosotros llamamos al producto el momento dipolar magn´etico del loop de corriente y c lo denotamos por m ~

11.4. EL CAMPO DE UN LOOP DE CORRIENTE.

I

215

m = cI a

a I

La expresi´on para el momento dipolar magn´etico m ~ en t´erminos de la corriente que circula I y el ´area del loop a es: I m ~ = ~a c El sentido es con la regla de la mano derecha respecto al flujo de corriente. Podemos escribir ~ en t´erminos de m A ~ ~ × rˆ ~=m A r2 ~ tiene donde rˆ es el vector unitario en la direcci´on: desde el loop al punto P . Notemos que A la direcci´on de I. Veamos un esquema. . .

z A Ax

θ

r

φ

y

z

m I

φ

x

x2+y2

y

x

m m sen θ A= = 2 r

p

x2 + y 2 r3

Ay

216

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Por componentes

Ax = A Ay = A

−y

!

p

x2 + y 2 x

p

x2 + y 2

=

−my r3

=

mx r3

!

Az = 0 ~ para un punto en el plano xy Evaluemos B   ~ ×A ~ = ∂Az − ∂Ay Bx = ∇ ∂y ∂z x   ∂ 3mxz mx = =− 2 2 2 3/2 ∂z (x + y + z ) r5   ~ ×A ~ = ∂Ax − ∂Az By = ∇ ∂z ∂x y   3myz ∂ −my = = 2 2 2 3/2 ∂z (x + y + z ) r5 Finalmente la componente z  ∂Ay ∂Ax ~ ~ Bz = ∇ × A = − ∂x ∂y z   2 2 2 −2x + y + z x2 − 2y 2 + z 2 + =m (x2 + y 2 + z 2 )5/2 (x2 + y 2 + z 2 )5/2 3z 2 − r2 = r5 

En el plano xz, y = 0, adem´as, sen θ = x/r, cos θ = z/r. Las componentes del campo son: 3m sen θ cos θ r3 By = 0 m(3 cos2 θ − 1) Bz = r3

Bx =

~ xz de un dipolo p~. Este campo es id´entico al campo E

11.5. LA FUERZA SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO EXTERNO.

217

B m

Como en el caso del dipolo el´ectrico el campo es m´as simple en coordenadas polares esf´ericas 2m cos θ r3 m sin θ Bθ = r3 Bϕ = 0 Br =

~ “cerca” del loop de corriente es enteramente diferente del E ~ de un par de cargas +/El B separadas una cierta distancia.

Figura 11.1: El campo de un dipolo el´ectrico.

11.5.

La fuerza sobre un dipolo en un campo externo.

Consideremos un peque˜ no loop de corriente de radio r, localizado en un campo externo ~ (no uniforme) por simplicidad sim´etrico en torno al eje z. B

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

218

Figura 11.2: El campo de un dipolo magn´etico.

z

Bz

m

B Br

r I y x ~ ) La fuerza sobre el anillo ( Id~` × B/c 2πrIBr c ~ = 0) El flujo a trav´es de un peque˜ no cilindro (div B F =

z z+ ∆ z z r

El flujo πr2 [−Bz (z) + Bz (z + ∆z)] + 2πrBr ∆z = 0 ∂Bz r ∂Bz ∆z + 2πrBr ∆z = 0 =⇒ Br = − . ∂z 2 ∂z As´ı que la fuerza (hacia abajo) πr2

F =

2πrI r ∂Bz πr2 I ∂Bz ∂Bz = =m . c 2 ∂z c ∂z ∂z

´ ´ 11.6. CORRIENTES ELECTRICAS EN LOS ATOMOS.

219

Si el momento dipolar es paralelo al campo externo entonces la fuerza act´ ua en la direcci´on de incremento. Si el momento dipolar es antiparalelo al campo externo entonces la fuerza act´ ua en la direcci´on de decrecimiento. Si el campo externo es uniforme entonces no hay fuerza. La situaci´on m´as general es ~ B) ~ F~ = m ~ · ∇( Por componentes ~ x Fx = m ~ · ∇B ~ y Fy = m ~ · ∇B ~ z Fz = m ~ · ∇B A la luz de estos resultados podemos interpretar los datos obtenidos en el experimento inicial. ~ Para las muestras que eran atra´ıdas al solenoide m ~ es paralelo a B. ~ Para las muestras que eran repelidas del solenoide m ~ es antiparalelo a B. ~ tenemos B × ∂B/∂z para la fuerza Como el momento dipolar resulta proporcional a B tanto en el caso de los diamagn´eticos como para los paramagn´eticos. Los materiales ferro~ magn´eticos deben tener m ~ independiente de B.

11.6.

Corrientes el´ ectricas en los ´ atomos.

Usaremos un modelo de Bohr simplificado para el ´atomo que nos permita explicar el diamagnetismo.

+

e−

r v

En este caso el momento dipolar el´ectrico instant´aneo al promediarse sobre t se anula. Evaluemos la corriente cantidad de carga v =e tiempo 2πr ev = 2πr

I=

La corriente fluye opuesta a la direcci´on de ~v . El dipolo magn´etico m=

πr2 I evr = . c 2c

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

220

Usando el momento angular L = me vr tenemos m ~ =

−e ~ L 2me c

Si hacemos el cociente

momento magn´etico −e = . momento angular 2me c La anterior es conocida como raz´on orbital magnetomec´anica. ¿Por qu´e no notamos el campo magn´etico de todos los e− orbitando en todos los ´atomos de cada substancia? Debe haber cancelaci´on mutua. En un peque˜ no trozo de materia deben haber tantos electrones en un sentido como en el otro y no hay un u ´nico eje axial. Podemos visualizar un trozo de materia, en ausencia de campo externo, como conteniendo electrones girando con ~ ym diversos vectores L ~ (asociados), distribuidos en todas direcciones. Si consideramos las ´orbitas aproximadamente paralelas al plano xy, hay m ~ ↓= m ~ ↑. ~ en la direcci´on zˆ? ¿Qu´e le sucede a una de estas ´orbitas cuando activamos un campo B Analizaremos el sistema m´as que como un ´atomo como un sistema electromec´anico. La fuerza centr´ıpeta M v02 F0 = (B = 0) . r ~ en (ˆ Creamos un campo B z ) uniforme en el espacio y constante en el tiempo. Mientras ~ ~ a lo largo del camino. el campo crece a raz´on dB/dt se inducir´a un campo el´ectrico E

E

E v0

F0



















 



E

r


E



 





 





 





 



 

E

 



 








 








 








 









masa m carga q























E



 





 





 



E  

E

 



 





 





 





 





 





 








 








 








 






B=0

F0 =

mv 0 r

2



 



B=0

Para encontrar la magnitud dΦ dB = πr2 . dt dt Calculamos la integral cerrada del campo el´ectrico I 2 ~ = πr dB = 2πrE =⇒ E = r dB . ~ · ds E c dt 2c dt

´ ´ 11.6. CORRIENTES ELECTRICAS EN LOS ATOMOS.

221

~ acelerar´a a la carga, si q es una carga A pesar de haber ignorado el signo es f´acil ver que E positiva. Con el radio fijo qr/2M c es una cte. Denotemos por ∆v el cambio de velocidad en el proceso de conectar el campo de cero a B1 . Z B1 Z v0 +∆v qrB1 qr dB = ∆v = . (11.1) dv = 2M c o 2M c v0 Independiente de la rapidez del cambio. El incremento de la rapidez de la carga en el estado final significa un incremento (hacia arriba) del momento magn´etico m. ~ Una carga negativa ser´a desacelerada, bajo circunstancias similares, lo cual traer´ıa un decremento, hacia abajo, del momento magn´etico. En ambos casos ~ 1 origin´o un cambio en el momento magn´etico opuesto al campo. la aplicaci´on de un campo B El cambio en el momento magn´etico ∆m ~ =−

q 2 r2 ~ B1 . 4M c2

(11.2)

En el ejemplo anterior, hemos forzado a r a ser constante usando una cuerda de largo fijo. Veamos como ha cambiado la tensi´on en la cuerda. Supondremos que B1 es suficientemente peque˜ no para que ∆v  v0 . En el estado final F1 =

M (v0 + ∆v)2 M v02 2M v0 ∆v ≈ + , r r r

despreciando t´erminos proporcionales a (∆v)2 . Pero ahora el campo magn´etico provee una fuerza hacia el centro, q(v0 +∆v)B1 /c. Usando (11.1) para expresar B1 en t´erminos ∆v luego la fuerza ser´a (q(v0 + ∆v)/c)((2M c∆v)/r). Evaluando a primer orden en ∆v/v0 es 2M v0 ∆v/r que es justo lo que se necesitar´a para evitar cualquier demanda extra de la cuerda. La tensi´on en el cuerda no cambia, este resultado (11.2) es v´alido para cualquier fuerza no importa como var´ıe con el radio. Consideremos un e− en un ´atomo, donde M = me y q = −e con una ´orbita de radio r. ∆m e2 r2 =− B1 4me c2

[cm3 ] .

Es equivalente a la polarizabilidad el´ectrica α. La constante e2 /mc2 ≈ 2.8 × 10−13 es conocida como el radio cl´asico del electr´on. Para r usamos el radio de Bohr ∼ 0.53×10−8 [cm]. Luego ∆m = 2 × 10−30 [cm3 ] . B Es 5 a 6 ordenes de magnitud menor que una t´ıpica polarizabilidad el´ectrica. Calculemos el ∆m para nuestro caso con 3 × 1023 electrones por gramo y un campo 1.8 × 104 [gauss]. La variaci´on de momento magn´etico ∆m = (3 × 1023 )(2 × 10−30 )(1.8 × 104 ) = 8.4 × 10−3 [cm3 -gauss]

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

222

Considerando un gradiente de 1700 [gauss/cm], la fuerza F = ∆m

∂Bz = 8.4 × 10−3 × 1700 = 14 [dinas] . ∂z

Totalmente de acuerdo con nuestras observaciones para diamagn´eticos. El diamagnetismo es un fen´omeno universal tanto en mol´eculas como en ´atomos.

11.7.

Esp´ın electr´ onico y momento magn´ etico.

Los electrones poseen un momento angular intr´ınseco, como si rotaran en torno a su propio eje, esta propiedades es llamada esp´ın. Si medimos la magnitud del esp´ın obtenemos 1 h siempre el mismo resultado ~ = con h = 6.624 × 10−27 [gcm2 /s]. A este momento 2 4π angular intr´ınseco le podemos asociar un momento magn´etico. Sin embargo, es el doble de un momento angular orbital. No tiene sentido hacer un modelo cl´asico de este objeto, sus propiedades son esencialmente cu´anticas Momento angular −27 h = 0.05x10 g−cm2 /s 4π Carga Negativa

Momento magnético −20 eh = 0.93x10 erg/gauss 4π m e c

Este momento magn´etico asociado al esp´ın se comporta tal que Produce un campo magn´etico el cual a distancia es el campo de un dipolo magn´etico. ~ externo experimenta un torque igual al que experimentar´ıa un loop de corriente En un B con momento dipolar equivalente. ~ = 0 en todas partes, tal como una Dentro del espacio ocupado por el electr´on, div B fuente ordinaria de campo magn´etico. Ya que la magnitud del momento magn´etico asociado al esp´ın es siempre el mismo, la u ´nica cosa en que puede influir es en su direcci´on. Un momento dipolar magn´etico m ~ experimenta ~ en un campo externo B ~ tal que un torque N ~ =m ~ N ~ ×B Si los momentos asociados a los espines electr´onicos en una sustancia fueran libres de orientarse, lo har´ıan en la direcci´on de un campo aplicado, la orientaci´on de m´as baja energ´ıa. Supongamos que cada electr´on en un gramo de sustancia toma esta orientaci´on, con los ya estimados 3 × 1023 electrones en un gramo de cualquier cosa y con el momento magn´etico de un electr´on 0.93 × 10−20 [erg/gauss]. El momento magn´etico total ser´a del orden de

´ 11.8. SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA.

223

2700 [ergs/gauss]. La fuerza sobre nuestra muestra, en nuestra bobina con un gradiente de campo de 1700 [gauss/cm] deber´ıa ser 4.6 × 106 [dinas]. Obviamente esto es mucho mayor que las fuerzas registradas para cualquiera de las muestras paramagn´eticas. Nuestras suposiciones fallan en dos aspectos: Los momentos de los espines no son todos libres de orientarse. La agitaci´on t´ermica previene el alineamiento perfecto de los momentos de los espines que son libres de alinearse. En la mayor´ıa de los ´atomos y mol´eculas los electrones est´an asociados en pares, con los espines apuntados en direcciones opuestas. Lo cual cancela el momento magn´etico. La gran mayor´ıa de las mol´eculas es puramente diamagn´etica. Una pocas mol´eculas contienen un n´ umero impar de electrones, tal que el momento no se cancela. (oxido n´ıtrico NO, 15 e− es paramagn´etico) La mol´ecula de ox´ıgeno contiene 16 electrones, pero su estructura electr´onica es tal que no permite la cancelaci´on de los momentos magn´eticos. En un ´atomo los electrones m´as internos est´an generalmente apareados y si hay electrones externos desapareados a menudos se aparean con los electrones de los ´atomos vecinos cuando forman un compuesto o cristal. Ciertos ´atomos contienen electrones con espines desapareados los cuales se mantienen relativamente libres para orientarse con un campo a pesar de estar empaquetados con otros ´atomos. Un importante ejemplo de este tipo de ´atomos son el hierro, cobalto y el n´ıquel. Otro grupo de elementos con esta propiedad son las tierras raras en torno al gadolinio. Compuestos y aleaciones de estos elementos son generalmente paramagn´eticos y en algunos casos ferromagn´eticos. El n´ umero de espines electr´onicos involucrados en el paramagnetismo es t´ıpicamente uno o dos por ´atomo. La agitaci´on t´ermica tiende siempre a crear una distribuci´on al azar en las direcciones de los espines. La situaci´on es similar a la que estudiamos con dipolos el´ectricos a una cierta temperatura. La fracci´on alineada mB/kB T , luego el momento magn´etico total resultante de aplicar un campo B es (N m2 /kB T )B donde N es el n´ umero de dipolos. Evaluando esto para nuestras condiciones encontramos que la fracci´on alineada es muy peque˜ na, lo que explica las diferencias con lo calculado anteriormente. S´olo a baja temperatura (1 K) la fracci´on alineada ser´a significativa (cercana a la unidad). Realmente el paramagnetismo es m´as impresionante e interesante a muy baja temperatura, en contraste con la polarizaci´on el´ectrica. Los dipolos el´ectricos a baja temperatura est´an completamente congelados en sus posiciones incapaces de cualquier reorientaci´on. Los momentos de esp´ın electr´onico est´an a´ un notablemente libres.

11.8.

Susceptibilidad magn´ etica.

Hemos visto que tanto las sustancias diamagn´eticas como paramagn´eticas desarrollan un momento magn´etico proporcional al campo aplicado. Al menos esto es verdadero para la mayor´ıa de las condiciones. A muy baja temperatura y con campos fuertes el momento paramagn´etico inducido se aproxima a un valor l´ımite cuando el campo es incrementado. Dejando de lado este efecto de saturaci´on, la relaci´on entre momento y campo aplicado es lineal. Tal que podemos caracterizar las propiedades magn´eticas de una sustancia por la raz´on de momento inducido y de campo aplicado. Esta raz´on es llamada susceptibilidad magn´etica.

224

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Dependiendo de si nosotros elegimos 1 [g] de material o 1 [cm3 ] de material o 1 [mol], nosotros definimos la susceptibilidad espec´ıfica, de volumen o molar. El momento magn´etico por unidad de volumen es llamado polarizaci´on magn´etica o magnetizaci´on. Usaremos el ~ . Ambos campos, M ~ y B, ~ tienen iguales dimensiones. Si definimos la susceptibilidad s´ımbolo M magn´etica de volumen, denotada por χm a trav´es de la relaci´on ~ = χm B ~ M La susceptibilidad es un n´ umero adimensional, negativo para las sustancias diamagn´eticas y positivo para las paramagn´eticas. Para la contribuci´on paramagn´etica, si hay alguna, a la susceptibilidad, denotemosla χpm , tenemos una expresi´on an´aloga a la del cap´ıtulo pasado χpm

N m2 = kB T

Por su puesto la susceptibilidad completa χm incluye la siempre presente contribuci´on paramagn´etica, la cual es negativa.

11.9.

Campo magn´ etico causado por materia magnetizada.

Un bloque de material que contiene, uniformemente distribuida a trav´es del volumen, un gran n´ umero de momentos dipolares at´omicos todos apuntado en la misma direcci´on, es ~ es simplemente el producto decir, uniformemente magnetizada. El vector magnetizaci´on M del n´ umero de dipolos orientados por unidad de volumen y el momento magn´etico m ~ de cada dipolo. No nos interesa como estos dipolos se mantienen orientados. Lo que nos interesa es el campo que producen. Consideremos primero una tajada de material con espesor dz rebanada perpendicular a la direcci´on de magnetizaci´on. La tajada puede ser dividida en peque˜ na baldosas. Cada una de las baldosas con ´area superficial da conteniendo un momento dipolar total M dadz. El campo magn´etico que produce esta baldosa en todos los puntos distantes (distantes comparados con el tama˜ no de la baldosa) es exactamente el mismo que producir´ıa cualquier dipolo con el mismo momento magn´etico. Podr´ıamos construir un un dipolo esa fuerza doblando una cinta conductora de ancho dz en la forma de la baldosa y haciendo circular a trav´es de este loop una corriente I = M cdz. Tal que el momento dipolar del loop es: I M c dz m = × ´area = da = M dadz , c c con la misma forma de la baldosa. Substituyamos por estos loops de corriente cada baldosa en el tajada. La corriente es la misma en todos ellos y por tanto en los contornos interiores se cancela. Todos los loops son equivalentes a una simple cinta por el borde exterior conduciendo una corriente M cdz.

´ 11.9. CAMPO MAGNETICO CAUSADO POR MATERIA MAGNETIZADA.

M

dz

m

área da

225

I=Mc dz dz I

I I

I I

I

S´olo queda reconstruir el bloque completo a partir de las tajadas. El bloque completo equivale a una cinta ancha por la cual fluye una corriente M cdz en cada l´amina-en forma m´as simple la densidad superficial de corriente J viene dada por J = Mc

B M

B’

J=Mc

~ en cualquier punto fuera del block magnetizado es el mismo que El campo magn´etico B 0 ~ correspondiente a puntos en la cercan´ıa de la cinta ancha con corriente el campo prima B (figura anterior). ¿Qu´e hay del campo dentro de la materia magnetizada? Nuevamente nos encontramos con dos campos magn´eticos: uno microsc´opico y otro macrosc´opico. El campo magn´etico microsc´opico var´ıa en direcci´on y magnitud en unos pocos ˚ angstroms, siendo un

226

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

campo magn´etico en el vac´ıo desde el punto de vista microsc´opico. Adem´as, tenemos un campo magn´etico a gran escala dentro de la materia que es un promedio espacial del campo ~ = 0. De lo anterior, se sigue, magn´etico microsc´opico. El campo microsc´opico satisface div B que el promedio espacial del campo microsc´opico interno en nuestro bloque es igual al campo ~ 0 dentro del hoyo equivalente del cilindro de corriente. Lo anterior es f´acilmente externo B demostrable. ~ dentro del volumen del material no es uniforme sino que var´ıa con Si la magnetizaci´on M ~ (x, y, z) la distribuci´on de corriente equivalente viene dada por la posici´on M ~ J~ = c rot M

11.10.

(11.3)

Campo de un magneto permanente.

Los materiales con magnetizaci´on permanente nos son familiares y u ´tiles. Los magnetos permanentes se pueden ser hechos a partir de muchos compuestos y aleaciones ferromagn´eticas.

E P

B M

11.11.

~ Corrientes libres y el campo H.

A menudo es u ´til distinguir entre corriente ligada y corriente libre. Las corrientes ligadas son aquellas asociadas con momentos magn´eticos at´omicos o moleculares, incluyendo momento intr´ınseco de las part´ıculas con esp´ın. Las corrientes libres son corrientes de conducci´on ordinarias fluyendo a trav´es de un camino macrosc´opico La densidad de corriente en la ecuaci´on (11.3) es el promedio macrosc´opico de las corrientes ligadas, denotemosla J~ligada ~ J~ligada = c rot M

~ 11.11. CORRIENTES LIBRES Y EL CAMPO H.

227

~ es discontinuo tal como en el lado del block magnetizado, En la superficie donde M tenemos una densidad superficial de corriente J la cual representa tambi´en corriente ligada. ~ afuera y en promedio adentro de la materia est´a relacionado con J~ligada , Encontramos que B pero esto es en ausencia de carga libre. Con carga libre   ~ = 4π J~ligada + J~libre = 4π J~total . rot B c c Si expresamos J~ligada en t´erminos de la magnetizaci´on ~ = rot B

4π ~ ) + 4π J~libre (c rot M c c

Reordenando

~ − 4π M ~ ) = 4π J~libre . rot(B c ~ ~ ~ Si definimos un vector H(x, y, z) = B −4π M en cada punto del espacio, entonces podemos escribir ~ = 4π J~libre rot H c ~ est´a relacionada con la corriente libre como el campo B ~ En otras palabras el campo H ~ ~ lo est´a con la corriente total. Si bien div B = 0 siempre, no siempre div H es nula. El campo ~ es mucho m´as u ~ y tiene las dimensiones de B ~ [gauss] vectorial H ´til que su an´alogo el´ectrico D ~ satisface pero se suele usar otro nombre [oersted]. El campo H I Z 4π ~ · d~s = 4π H J~libre · d~a = Ilibre c S c ~ como el campo magn´etico y luego B ~ =H ~ + 4π M ~ con En texto antiguos se introduce H ~ ~ el nombre de inducci´on magn´etica. Nosotros proponemos B como campo magn´etico y H ~ o el campo magn´etico H. ~ En CGS en el vac´ıo no hay distinci´on entre B ~ como el campo H ~ ~ ~ y H y a menudo las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo se escriben en funci´on de E y H ~ y B. ~ En MKS rot H ~ = J~libre luego en el espacio vac´ıo H ~ = B/µ ~ 0 . Si M ~ es m´as que en E ~ entonces tambi´en ser´a proporcional a H. ~ De hecho, la definici´on tradicional proporcional a B de la susceptibilidad magn´etica de volumen χm no es la que hubi´eramos elegido l´ogicamente sino ~ = χm H ~ M (11.4) ~ en alg´ Para obtener H un punto dentro de la materia magnetizada, nosotros debemos ~ en ese punto al vector −4π M ~ . En un magneto permanente sumar vectorial-mente el campo B ~ debe ser cero en torno a un camino no hay corrientes libres, luego la integral de l´ınea de H ~ ~ cerrado. Por lo anterior, La l´ıneas del campo H se ver´an similares a las del campo E. ~ es proporcional a H, ~ ecuaci´on (11.4) y se cumpla Para cualquier material en el cual M ~ =B ~ − 4π M ~ H ~ =H ~ + 4π M ~ = (1 + 4πχm )H ~ , B ~ es proporcional al campo H. ~ El factor de proporcionalidad es (1 + 4πχm ), el El campo B cual es llamado permeabilidad magn´etica y es denotado usualmente por µ: ~ = µH ~ B

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11.12.

´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Ferromagnetismo.

El ferromagnetismo a servido e intrigado al hombre por largo tiempo. La piedra im´an fue conocida desde la antig¨ uedad (br´ ujula). S´olo en los u ´ltimos a˜ nos hemos alcanzado un entendimiento fundamental del fen´omeno del ferromagnetismo. Ya hemos descrito algunas propiedades de los ferromagnetos, revisemoslas nuevamente. En un campo magn´etico fuerte la fuerza sobre una sustancia ferromagn´etica es la direcci´on que tira hacia el campo m´as fuerte, como en las substancia paramagn´eticas. M´as que al producto del campo por el gradiente, la fuerza es proporcional al gradiente mismo. Si el campo es suficientemente fuerte el momento magn´etico adquirido por el ferromagneto alcanza una magnitud l´ımite. La direcci´on del vector momento magn´etico debe a´ un estar controlada por el campo. De otra manera la fuerza no podr´ıa actuar siempre en la direcci´on de incremento de la intensidad del campo. En magnetos permanentes se observa un momento magn´etico a´ un en ausencia de cualquier campo aplicado externo, adem´as, mantienen su magnitud y direcci´on a´ un cuando se le aplican campo externos mientras ellos no sean muy intensos. El campo de un magneto permanente est´a siempre presente y podr´ıamos pensar que ´el mantiene ~ no es generalmente paralela a B ~ o H. ~ Esto sugiere que el alineamiento. Notaremos que M los momentos dipolares deben estar sujetos en su direcci´on por algo m´as que puras fuerzas magn´eticas.

−4πM H

B H = B − 4π M

Las magnetizaciones observadas en materiales ferromagn´eticos son mucho mayores que las de las sustancias paramagn´eticas. Los magnetos permanentes tienen campos dentro de unos pocos miles de gauss. Una de las cantidades m´as caracter´ıstica es el valor l´ımite de la magnetizaci´on, el momento magn´etico por unidad de volumen, el cual el material adquiere en un campo muy fuerte. Es llamada saturaci´on de magnetizaci´on. Una sustancia ferromagn´etica dada pierde sus propiedades ferromagn´eticas abruptamente si es calentado sobre una cierta temperatura. Si estamos hablando de hierro puro sobre 770 ◦ C act´ ua como una sustancia paramagn´etica. En el caso del N´ıquel son 358 ◦ C. Si es enfriado inmediatamente recobra las caracter´ısticas ferromagn´eticas. Esta temperatura es llamada de temperatura o punto de Curie y es caracter´ıstica del material. ¿Qu´e es este comportamiento ferromagn´etico, que bruscamente distingue al hierro bajo 770 ◦ C y hierro sobre 770 ◦ C?. Es un alineamiento sin campo externo en una direcci´on de los momentos magn´eticos at´omicos, lo cual implica el alineamiento de los ejes del esp´ın de ciertos electrones en cada ´atomo de hierro. En una regi´on suficientemente grande en el hierro que contiene millones de ´atomos, los espines y momento magn´eticos de aproximadamente todos los ´atomos est´an apuntando en la misma direcci´on. Bajo el punto de Curie – a temperatura ambiente en el caso del hierro – el alineamiento es cercano al perfecto. Si pudi´eramos ver en el interior de un

11.12. FERROMAGNETISMO.

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cristal de hierro met´alico y ver los momentos magn´eticos elementales como peque˜ nas flechas ver´ıamos algo como. . .

No es muy sorprendente que la alta temperatura destruya este arreglo. La energ´ıa t´ermica es enemiga del orden. Un cristal, un arreglo ordenado de ´atomos, cambia a un l´ıquido, un arreglo mucho menos ordenado, bruscamente a una temperatura definida, el punto de fusi´on. El punto de fusi´on tal como el punto de Curie son diferentes para diferentes sustancias. Algunas preguntas que me surgen: ¿Qu´e hace a los espines alinearse y mantener la alineaci´on? ¿C´omo, si no hay campo externo presente, pueden los espines elegir una direcci´on m´as que otra? Si los momentos magn´eticos est´an todos alineados ¿por qu´e no todas las piezas de hierro a temperatura ambiente no son un im´an fuerte? Respuesta 1: Por alguna raz´on conectada con la M.C. de la estructura del ´atomo de hierro, es energ´eticamente favorable a los espines de ´atomos adyacentes de hierro estar paralelos. Esto no es debido a interacci´on magn´etica. Es un efecto fuerte que favorece los espines paralelos tanto ↑↑ como →→. La interacci´on dipolar no trabaja as´ı. Como los ´atomos en la vecindad tienen una fuerte tendencia a tener la direcci´on de sus vecinos, esta se har´a un´anime r´apidamente. Respuesta 2: En forma accidental se determina cual de las varias direcciones equivalente en el cristal es elegida, si comenzamos de un estado desordenado. El hierro tiene estructura cristalina bcc, es decir, con 8 primeros vecinos. Si enfriamos hierro a trav´es de su punto de Curie sin campo externo. Hay direcciones m´as favorables de magnetizarse y otras no tanto. z

Direcciones de fácil magnetización Mediana Dura x

y

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´ CAP´ITULO 11. CAMPO MAGNETICOS EN LA MATERIA.

Respuesta 3: Un pedazo de hierro aparentemente desmagnetizado est´a realmente compuesto por muchos dominios. En los cuales los espines est´an todos alineados de una sola manera pero en una direcci´on diferente al dominio vecino. Al promediar sobre la pieza, todas las direcciones est´an presentes y a gran escala no hay campo. Los dominios son usualmente microsc´opicos, incluyendo ∼ 1012 momentos magn´eticos y est´an presentes incluso en cristales puros.

Si enrollamos una espira de alambre sobre una barra de hierro, aplicamos un campo magn´etico al material al hacer pasar corriente por el alambre. Los momentos paralelos al campo tendr´an menor energ´ıa que los orientados en otra direcci´on, esto favorecer´a unos dominios respecto de otros, los favorecidos comenzaran a crecer por sus contornos a expensas de los vecinos. Esto sucede m´as f´acilmente en un cristal puro que un un policristal (bordes de grano). Si el campo aplicado no est´a en la direcciones de f´acil magnetizaci´on habr´a dominios que no apuntan exactamente en la direcci´on del campo. De ser necesario un campo muy intenso para alinearlos todos en la direcci´on del campo y tener finalmente tener magnetizaci´on m´axima. Busquemos consecuencias macrosc´opicas de lo anterior. Como aparecen los comportamientos magn´eticos de una pieza de hierro bajo diferentes campos aplicados. Un arreglo experimental posible es un toro de hierro con dos bobinas, veamos el diagrama

I

H

N vueltas

Al galvanometro

~ dentro del Midiendo el voltaje inducido determinamos el flujo y por ende el campo B ~ = 4πN I/c×circunferencia. Conocido B ~ y H ~ hierro. La corriente establece un campo H ~ podemos determinar M ,

B, en gauss

11.12. FERROMAGNETISMO.

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Fierro

H, en oersteds La curva B − H est´a gobernada por el movimiento de los dominios. Al volver lentamente hacia atr´as con el campo la curva no vuelve sobre s´ı misma. Esta irreversibilidad es conocida como hist´ eresis y es debida principalmente a la irreversibilidad parcial del movimiento de los dominios. Si apagamos la bobina cuando est´a en el m´aximo nos quedamos con un ~ y magnetizaci´on. Las aleaciones que adquieren magnetizaci´on permanente y s´olo son campo B expuestas a campos d´ebiles esta magnetizaci´on persiste indefinidamente. Toda la informaci´on almacenada en cintas magn´eticas y discos duros obedece a este fen´omeno.