Electromagnetismo

FMF-241

Electromagnetismo

Edición 2014

Luis Alvarez Thon

Universidad Andrés Bello

L U I S A LV A R E Z T H O N

ELECTROMAGNETISMO FMF-241 (2014)

D E PA R TA M E N T O D E C I E N C I A S F Í S I C A S UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

© 2014 Luis Alvarez Thon

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Contenido 1. Matemáticas del curso 1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . 1.3. Integrales especiales . . . . . . . . . . 1.4. Teoremas integrales importantes . . . 1.5. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . 1.6. Operadores en coordenadas curvilíneas 2. Electrostática 2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . 2.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . 2.3. Principio de Superposición . . . . 2.4. Campo eléctrico . . . . . . . . . . 2.5. Distribuciones continuas de carga 2.6. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . 2.7. La ley de Gauss . . . . . . . . . . 2.8. Aplicaciones de la ley de Gauss .

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9 9 22 29 32 33 38

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43 43 47 52 55 58 73 81 84

3. El potencial electrostático 3.1. Significado físico del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Potencial eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . 3.3. Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga . . 3.4. Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Cálculo del potencial por integración . . . . . . . . . . . . 3.7. Las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . 3.8. Conexión entre el campo eléctrico, el potencial eléctrico y la densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. El momento dipolar eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 110 112 119 123

4. Corriente eléctrica 4.1. Corriente eléctrica . . . 4.2. Densidad de corriente . 4.3. Ecuación de continuidad 4.4. La ley de Ohm . . . . . 4.5. Conexión de resistencias 4.6. Dieléctricos imperfectos 4.7. Densidad de corriente en 4.8. Leyes de Kirchhoff . . . 4.9. El método de las mallas

141 141 143 144 145 147 152 153 155 160

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . régimen . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . permanente . . . . . . . . . . . . . .

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93 93 95 96 97 98 101 104

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4.10. La ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5. Magnetismo 5.1. Campo magnéticos y fuerzas . . . . . . . . . . . . . 5.2. Fuerza magnética sobre un conductor con corriente . 5.3. Torque sobre una espira con corriente . . . . . . . . 5.4. La ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Propiedades del campo magnético en el espacio libre 5.6. La ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Propiedades magnéticas de la materia . . . . . . . . 5.8. Intensidad de campo magnético . . . . . . . . . . . 5.9. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Inductancia e inductancia mutua . . . . . . . . . . . 5.13. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice alfabético

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163 163 164 168 170 174 176 181 182 187 188 189 192 195 201

Introducción Estos son apuntes complementarios para el curso de “Electromagnetismo” (FMF241) y están basados en varios libros de texto y otras fuentes de información. Si bien existe una buena cantidad de excelentes libros de texto, a veces el alumno se ve sobrepasado por la gran cantidad de información y no sabe distinguir lo que es más relevante. Estos apuntes siguen, en estricto rigor, el orden de materias que aparecen en el “syllabus” del curso. Debo recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar los excelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienen como objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografía tentativa es la siguiente: Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería David K. Cheng Edit. Addison-Wesley Longman Fundamentos de la Teoría Electromagnética Reitz/Milford/Christy AddisonWesley Iberoamericana Teoría Electromagnética Hayt/Buck Edit. Mc Graw Hill Electromagnetismo M. Furman Electricidad y Magnetismo Berkeley Physics Course- Volumen 2 Edit. Reverté Física Universitaria Sears - Zemansky - Young Edit. Pearson El primer capitulo del curso es opcional y tiene como objetivo refrescar y reforzar los conocimientos de matemáticas que se necesitan en este curso.

1

CAPÍTULO

Matemáticas del curso En un curso de esta categoría se asume que el estudiante tiene la preparación adecuada en cálculo integral y diferencial, cálculo vectorial y en el manejo de sistemas de coordenadas curvilíneas. En el transcurso de las materias, nos encontraremos que las leyes del electromagnetismo serán expresadas mediante integrales de línea, integrales de superficie, ecuaciones y operadores diferenciales, y operadores vectoriales. Usted se puede preguntar porqué he incluido este capítulo de matemáticas si ya ustedes han pasado por cursos avanzados de álgebra y cálculo. El problema es que las matemáticas y la física se enseñan en forma independiente y a veces existe una desconexión entre ellas. Pero las matemáticas es el lenguaje natural de la física y fueron desarrolladas para describir y resolver problemas de la vida real. La experiencia de los profesores de física es que los prerrequisitos matemáticos no son suficientes y que los alumnos necesitan más experiencia en usar las matemáticas eficientemente y en poseer una intuición acerca de los procesos físicos. Este capítulo no pretende ser un curso de “Métodos Matemáticos de la Física” sino que tiene como objetivo cubrir, en forma específica, las técnicas y métodos justos y necesarios para resolver problemas avanzados de electromagnetismo.

1.1 Vectores Muchas cantidades en física e ingeniería son tratadas como vectores porque tienen asociadas un magnitud y una dirección; la velocidad, fuerza, momentum angular, campo eléctrico o magnético son algunos ejemplos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperatura o densidad sólo tienen magnitud y son llamadas escalares. ¿Esto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitud y dirección? Bueno, hay que reconocer que esta definición no es la más correcta pues usted podría preguntarse: ¿acaso un auto tiene magnitud y dirección?, ¿eso convierte a un auto en un vector?. Un matemático diría: un vector es un elemento de un espacio vectorial. En términos simples, un espacio vectorial en un conjunto de “cosas” para las cuales se ha definido la operación de adición y también la operación de multiplicación por un escalar. Un vector puede ser representado gráficamente mediante una flecha y un largo proporcional a su magnitud. Además los vectores pueden ser

Vector: magnitud y dirección Escalar: magnitud

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representados en dos o tres dimensiones.1 Si dos o más vectores tienen la misma dirección y magnitud entonces son iguales (ver figura 1.1). No hay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por conveniencia se prefiere localizarla en el origen de coordenadas. Simbólicamente un vector se representa por medio de una letra con ~ y el largo (magnitud) como A = A ~ . una flecha arriba, A

Por simplicidad vamos a dibujarlos en dos dimensiones por el momento. 1

~ se representa con En la mayoría de los libros de texto, un vector A el símbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, en los libros de texto, hay que tener cuidado de no confundir A con A. Figura 1.1: Todos los vectores de la figura son iguales porque tienen la misma dirección y largo.

1.1.1 Operaciones con vectores En esta representación gráfica, la adición de vectores2 ~ =A ~ +B ~ C ~ en la punta del vector A. ~ El consiste en colocar la cola del vector B ~ vector C es entonces representado por una flecha dibujada desde la cola ~ hasta la punta del vector B. ~ Esta forma de sumar vectores del vector A se llama regla del triángulo. (Fig. 1.2). La figura 1.2 también muestra la regla del paralelogramo que consiste en trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal manera que el vector resultante será aquel formado por la diagonal que parte de las dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Además, esto demuestra gráficamente que la adición de vectores es conmutativa, ~ +B ~ =B ~ + A. ~ es decir A La generalización de este procedimiento para la adición de tres o más vectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adición (ver figura 1.3), por ejemplo ~ + (B ~ +C ~ ) = (A ~ +B ~) +C ~ A La sustracción de dos vectores es muy similar a la adición (ver figura 1.4), es decir, ~ −B ~ =A ~ + ( −B ~) A ~ es un vector de igual magnitud pero en dirección exactamente donde −B ~ La sustracción de dos vectores iguales, A ~ + ( −A ~ ), opuesta al vector B. ~ da como resultado el vector nulo 0, el cual tiene magnitud cero y no tiene asociada ninguna dirección.

La adición de dos vectores solo tiene sentido físico si ellos son de la misma clase, por ejemplo si ambos son fuerzas actuando en dos o tres dimensiones. 2

Figura 1.2: Adición de dos vectores mostrando la relación de conmutación.

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Figura 1.3: Adición de tres vectores mostrando la propiedad de asociatividad.

Figura 1.4: Sustracción de dos vectores.

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La multiplicación de un vector por un escalar da como resultado un vector en la misma dirección que el original pero de una magnitud proporcional (ver figura 1.5). La multiplicación por un escalar es asociativa, conmutativa y distributiva con respecto a la adición. Para vectores arbi~yB ~ y escalares arbitrarios α y β se cumple trarios A

~ Figura 1.5: Multiplicación del vector A por un escalar (λ > 0).

~ = α (β A ~ ) = β ( αA ~) (αβ )A ~ +B ~ ) = αA ~ + αB ~ α (A ~ = αA ~ + βA ~ (α + β )A

1.1.2 Vectores base y componentes Los vectores en dos dimensiones pueden ser representados como pares ordenados de números reales (a, b) y que obedecen ciertas reglas que veremos más adelante.3 Los números a y b son llamados componentes ~ = (a, b) puede ser representado geométricamente del vector. El vector A mediante una flecha que va desde el origen hasta el punto (a, b). ~ puede ser La extensión a tres dimensiones es directa. Un vector A representado mediante tres números Ax , Ay y Az (ver figura 1.7)

3

Reglas de un espacio vectorial.

~ = ( Ax , Ay , Az ) A ~ podría representar cualquier cantidad vectorial (momenAunque A tum, campo eléctrico, etc.), existe un cantidad vectorial, el desplazamiento desde el origen de coordenadas al punto (x, y, z ), es denotado por el símbolo especial ~r. Entonces tenemos la elección de referirnos al desplazamiento ya sea como el vector ~r o las las coordenadas del punto final (x, y, z ):4 ~r ↔ (x, y, z )

Figura 1.6: Las componentes del vector ~ son la proyecciones en los ejes coorA denados. Este vector también se llama vector posición. 4

Figura 1.7: En tres dimensiones, las ~ componentes cartesianas del vector A son la proyecciones en los ejes coordenados.

En esta etapa es conveniente introducir vectores unitarios5 a lo largo de cada uno de los ejes coordenados. Estos vectores se denotan iˆ, jˆ y kˆ apuntando a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z respectivamente ~ = (Ax , Ay , Az ) entonces Ax iˆ es un vector con (ver figura 1.8). Sea A

5

Vectores de magnitud o largo 1.

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~ puede ser entonces magnitud igual a |Ax | en la dirección x. Un vector A escrito como una suma de tres vectores, cada uno paralelo a un eje de coordenadas diferente (ver figura 1.9): ~ = Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ A

Esto significa que estos vectores unitarios sirven como una base, o un conjunto completo de vectores en el espacio Euclidiano. Es decir cualquier vector puede ser expresado como una combinación lineal de ellos. Los vectores base se pueden escribir también como iˆ = (1, 0, 0)

jˆ = (0, 1, 0)

Figura 1.8: Los vectores unitarios, ˆ de un sistema de coordenadas iˆ, jˆ , k, cartesianas tridimensionales.

kˆ = (0, 0, 1)

Figura 1.9: Los vectores unitarios, ˆ de un sistema de coordenadas iˆ, jˆ , k, cartesianas tridimensionales. El vector ~ es la suma vectorial de los tres vecA tores a lo largo de los ejes coordenados.

Podemos considerar la adición y sustracción de vectores en términos ~ y B ~ se encuentra de sus componentes. La adición de dos vectores A simplemente sumando sus componentes, o sea ~ +B ~ A

= Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ + Bx iˆ + By jˆ + Bz kˆ = (Ax + Bx )iˆ + (Ay + By )jˆ + (Az + Bz )kˆ

y la sustracción: ~ −B ~ A

= Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ − (Bx iˆ + By jˆ + Bz kˆ ) = (Ax − Bx )iˆ + (Ay − By )jˆ + (Az − Bz )kˆ

¡cuidado!: No sumar magnitudes de vectores. Si un vector es la suma de dos vectores, la magnitud del vector suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores originales. Por ejemplo, la magnitud del vector 3 iˆ es 3 y la magnitud del vector −2 iˆ es 2, !pero la magnitud del vector (3 iˆ) + (−2 iˆ) = iˆ es 1, no 5!.

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1.1.3 Igualdad de vectores En la figura 1.1 describimos gráficamente la igualdad de vectores. Ahora que podemos definir un vector en forma analítica, podemos decir que un vector es igual a otro vector si y solo si todas las respectivas compo~ = Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ y nentes de los vectores son iguales. Es decir si A ~ = Bx iˆ + By jˆ + Bz k, ~=B ~ si ˆ entonces A B Ax = B x

y

Ay = By

y

Az = Bz

1.1.4 Magnitud de un vector en términos de sus componentes ~ ~ se puede inferir de la figura 1.9 La magnitud A de un vector A q ~ A = A = A2x + A2y + A2z ~ = 0 significa que todas sus componentes son nulas Un vector nulo A Ax = Ay = Az = 0, por lo tanto su magnitud es cero.

1.1.5 El vector unitario Como ya se explicó, los vectores iˆ, jˆ y kˆ tienen magnitud la unidad. Sin embargo, estos no son los únicos vectores unitarios. Es a veces útil encontrar un vector unitario que tenga una dirección especificada. Supongamos que queremos encontrar un vector unitario en la dirección del ~ Esto es muy simple, el vector unitario (A) ˆ se obtiene dividiendo vector A. el vector por su magnitud: ~ ~ A A Aˆ = q = ~ A2x + A2y + A2z A Por definición, un vector unitario tiene magnitud 1 y no tiene unidades. Supongamos que rˆ es un vector unitario con dirección de 36.0° (sentido antihorario, desde la dirección +x en el plano xy). El hecho de que un vector unitario tenga magnitud 1 y sin unidades, significa que si uno multiplica un vector unitario por un escalar, el vector resultante tiene una magnitud igual al valor del escalar y con las mismas unidades. Por ejemplo, si multiplicamos el vector rˆ por 5.0 m/s, obtenemos un vector velocidad (5.0 m/s) rˆ que tiene una magnitud de 5.0 m/s y apunta en la misma dirección que r. ˆ Entonces en este caso (5.0 m/s) rˆ significa (5.0 m/s) haciendo un ángulo de 36.0° con el eje x.

1.1.6 Un vector no tiene signo Consideremos el vector ~v = (8 × 106 iˆ + 0 jˆ , −2 × 107 kˆ ) m/s ¿Es este vector positivo, negativo o cero?. Ninguna de las descripciones es apropiada. La componente x de este vector en positiva, la componente

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y es cero y la componente z es negativa. Los vectores no son positivos, negativos o cero. Sus componentes pueden tener signo, pero esto no significa nada cuando consideramos el vector como un todo. Por otro lado, la magnitud de un vector |~v | es siempre positiva.

1.1.7 Cambio en una cantidad: la letra griega ∆ Frecuentemente necesitaremos calcular el cambio en una cantidad. Por ejemplo, podremos desear saber el cambio de la posición de un objeto en movimiento o el cambio de sus velocidad durante cierto intervalo de tiempo. la letra griega ∆ (la “d” por diferencia) es usada para denotar el cambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial. Por ejemplo cuando la altura de un niño cambia de 1.1 m hasta 1.2 m, el cambio es ∆h = +0.1 m, es un cambio positivo. Si el saldo de su cuenta bancaria pasa de $150000 a $130000, la variación es negativa ∆(saldo) = −$20000. Para el caso vectorial, ponemos como ejemplo los vectores de posición ~r1 = 3 iˆ − 2 jˆ

y

~r2 = 5 iˆ + 2 jˆ

el cambio de ~r1 a ~r2 se denota como ∆~r = ~r2 − ~r1 ∆~r = (5 iˆ + 2 jˆ ) − (3 iˆ − 2 jˆ ) = 2 iˆ + 4 jˆ es decir hay una variación de +2 m en la dirección x y una variación de +4 m en la dirección y. La cantidad ∆~r = ~r2 − ~r1 también representa el vector posición relativo, es decir la posición de un objeto relativo a otro. En la figura 1.10 el objeto 1 está en la posición ~r1 y el objeto 2 en la posición ~r2 . Queremos conocer las componentes del vector que apunta de desde el objeto 1 al objeto 2. Este es el vector ∆~r = ~r2 − ~r1 . Notar que la forma es siempre “final” menos “inicial”. Figura 1.10: Vector posición relativo, ~ r2 − ~ r1 .

1.1.8 Multiplicación de vectores Podemos definir el producto punto o producto escalar entre dos vec~yB ~ como tores A

Producto escalar

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~ ·B ~ =B ~ ·A ~ = AB cos θ A ~ y B, ~ y θ es el ángulo formado por donde A y B son las longitudes de A los dos vectores. De acuerdo a esta definición los productos punto de los vectores unitarios iˆ, jˆ y kˆ son iˆ · iˆ = jˆ · jˆ = kˆ · kˆ = 1 iˆ · jˆ = jˆ · iˆ = iˆ · kˆ = kˆ · iˆ = jˆ · kˆ = kˆ · jˆ = 0 así se puede demostrar fácilmente que ~ ·B ~ A

= (Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ ) · (Bx iˆ + By jˆ + Bz kˆ ) = Ax B x + Ay B y + Az B z

Esta es una expresión muy útil para encontrar el ángulo entre dos vectores: ~ ·B ~ A cos θ = AB Alternativamente, la magnitud de un vector también se puede definir como p ~ ·A ~ A= A Hemos definido el producto punto de dos vectores, el cual es una cantidad escalar. Hay otra definición muy útil del producto entre dos vectores cuyo resultado es un vector. Definimos el producto cruz o producto vec~yB ~ torial de A ~ ×B ~ = AB sin θ nˆ A ~ y B ~ y nˆ es un vector unitario donde θ es el ángulo (< 180°) entre A perpendicular al plano formado por los dos vectores. Como consecuencia ~ yaB ~ y es paralelo a A ~ × B. ~ La dirección de nˆ nˆ es perpendicular a A ~ es rotado es la misma que el avance de un tornillo de rosca derecha si A ~ En la figura 1.11 se muestran dos formas de usuales de ilustrar hacia B. el producto cruz: regla de la mano derecha y regla del tornillo de rosca derecha. ~ ×B ~ = Ya que sin θ = 0 si θ = 0, tenemos que para vectores paralelos A ~ ×A ~ = 0. También se cumple que 0 y en especial A ~ ×B ~ = −B ~ ×A ~ A Si nos referimos a la figura 1.8 podemos aplicar las dos propiedades anˆ teriores a los vectores unitarios iˆ, jˆ y k: iˆ × iˆ = jˆ × jˆ = kˆ × kˆ = 0 iˆ × jˆ = kˆ iˆ × kˆ = −jˆ jˆ × kˆ = iˆ

jˆ × iˆ = −kˆ kˆ × iˆ = jˆ kˆ × jˆ = −iˆ

También existe una ley distributiva ~ × (B ~ +C ~) = A ~ ×B ~ +A ~ ×C ~ A

Producto vectorial

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Figura 1.11: El producto cruz ilustrado de dos maneras: regla de la mano derecha y regla del tornillo de rosca derecha. El vector unitario nˆ es perpendicular a ~ yaB ~ y es paralelo a A ~ × B. ~ A

~yB ~ en términos de iˆ, jˆ y kˆ está dado por:6 El producto cruz de A ~ ×B ~ A

= (Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ ) × (Bx iˆ + By jˆ + Bz kˆ ) = (Ay Bz − Az By )iˆ + (Az Bx − Ax Bz )jˆ + (Ax By − Ay Bx )kˆ

Esto se puede escribir en forma más compacta mediante el determinante iˆ ~ ×B ~ = Ax A Bx

jˆ Ay By

kˆ Az Bz



errores comunes en multiplicación vectorial: 1. El producto punto de dos vectores es un escalar y no un vector 2. El producto cruz de dos vectores en un vector y no un escalar.

1.1.9 Operaciones ilegales con vectores Aunque el álgebra vectorial es similar a las operaciones ordinarias de los escalares, hay ciertas operaciones que no son legales (y carentes de significado) para vectores: Un vector no puede ser igual a un escalar. Un vector no puede ser sumado o restado de un escalar. Un vector no puede estar en el denominador de una expresión. Es decir no se puede dividir por un vector (sin embargo se puede dividir un vector por un escalar).

6

Este es un buen ejercicio.

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Figura 1.12: Operaciones vectoriales prohibidas.

1.1.10 Componentes de un vector en una dirección Hemos puesto este tópico en una sección aparte para enfatizar la importancia de encontrar la componente de un vector en una dirección de~ = Ax iˆ + Ay jˆ + Az k, ˆ terminada. Por ejemplo si tomamos el vector A ˆ entonces la componente escalar de este vector en la dirección i es obviamente Ax , lo que es equivalente a efectuar el producto punto
~  iˆ = Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ  iˆ = Ax A

(a)

~ sobre el Esta componente no es otra cosa que la proyección de vector A ~ en la eje x (ver figura 1.7). En el caso general, la proyección del vector A dirección de un vector unitario uˆ ~ |u| ~  uˆ = A ˆ cos θ A donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Puesto que uˆ es un vector unitario, |u| ˆ = 1, entonces

(b)

~  uˆ = A ~ cos θ A ~ Si nos referimos a la figura 1.13 vemos claramente que A cos θ es la ~ proyección del vector A en la dirección u. ˆ Podemos distinguir dos proyec~ ~  uˆ )u, ciones: la proyección escalar, A  uˆ y la proyección vectorial, (A ˆ en la dirección u. ˆ

Figura 1.13: (a) La componente escalar ~ en la dirección del vector unitario de A ~  u. uˆ es A ˆ (b) La componente vectorial ~ en la dirección del vector unitario de A ~  uˆ )u. uˆ es (A ˆ

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1.1.11 Campos vectoriales y escalares Durante el curso vamos a trabajar con conceptos tales como campo eléctrico, campo magnético, densidad de corriente, etc. Todos ellos son campos vectoriales. Un campo vectorial en el espacio de dos (o tres) dimensiones, es una función F~ que asigna a cada punto (x, y ) (o (x, y, z )) un vector en dos (o tres) dimensiones dado por F~ (x, y ) (o F~ (x, y, z )). Es posible que esto no parezca tener sentido, pero la mayoría de la gente ya ha visto, por ejemplo, un esquema de las líneas de campo magnético de la tierra (ver figura 1.14). La notación estándar para la función F~ es,

N

S

F~ (x, y ) = P (x, y )iˆ + Q(x, y )jˆ Figura 1.14: Las líneas del campo magnético terrestre.

F~ (x, y, z ) = P (x, y, z )iˆ + Q(x, y, z )jˆ + R(x, y, z )kˆ Por ejemplo, en la figura 1.15 se muestran los campos vectoriales: F~ (x, y ) = −y iˆ + xjˆ

y

F~ (x, y ) = cos(x2 + y )iˆ + (1 + x − y 2 )jˆ

Figura 1.15: Las líneas de campo para dos campos vectoriales en dos dimensiones.

2

3

2 1 1

0

0

- 1 - 1 - 2

- 3

- 2 - 3

- 2

- 1

0

F~ (x, y ) = −y iˆ + xjˆ

1

2

3

- 2

- 1

0

1

2

F~ (x, y ) = cos(x2 + y )iˆ + (1 + x − y 2 )jˆ

2 0 - 2

Por otro lado, la figura 1.16 ilustra un ejemplo en tres dimensiones correspondiente a un campo con simetría radial: 2

F~ (x, y, z ) = ~r = xiˆ + y jˆ + z kˆ Un campo escalar es un nombre elegante para una función del espacio, es decir, una función que asocia un número real con cada posición en un espacio. En otras palabras es una función que tiene diferente valor en cada punto de un espacio, por ejemplo, en tres dimensiones φ = φ(x, y, z ). Formalmente, escalar es una palabra usada para distinguir el campo de un campo vectorial. Ejemplos simples de campos escalares incluyen la presión, P (x, y, z ), en cada punto de un fluido o la distribución de temperatura, T (x, y, z ), a través de un material. La representación gráfica de P (x, y, z ) o T (x, y, z ) no es posible debido a que no podemos dibujar una función en cuatro dimensiones, pero sí podemos dibujar un campo escalar del tipo z = f (x, y ). Hay dos formas de representar un campo escalar del tipo z = f (x, y ). Una forma es dibujando en tres dimensiones (diagrama de contorno) y la otra en dos

0

- 2

- 2 0 2

Figura 1.16: Las líneas del campo vec~ (x, y ) = xiˆ + y jˆ + z k. ˆ torial radial F

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dimensiones mediante curvas de nivel, cuya forma algebraica es f (x, y ) = k para todos los valores posibles de k. La figura 1.17 ilustra un ejemplo donde se ha dibujado una montaña en tres dimensiones y las curvas de nivel en dos dimensiones. Representación en relieve

Figura 1.17: Representación de una campo escalar (altura de la superficie de la montaña) en 3D y curvas de nivel en 2D. Cada curva de nivel es del tipo f (x, y ) = k con k = 0, 20, 40, 60, 80.

Representación en curvas de nivel

Un ejemplo más matemático sería considerar la función paraboloide hiperbólico z = φ(x, y ) = x2 − y 2 cuyas gráficas en 3D y curvas de nivel, se muestran en la figura 1.18.

Figura 1.18: Representación del campo escalar φ(x, y ) = x2 − y 2 . A la izquierda la gráfica en 3D y a la derecha las curvas de nivel.

matemáticas del curso

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1.1.12 Funciones vectoriales en tres dimensiones Anteriormente definimos el vector posición, como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta un punto dado (x, y, z ) ~r = xiˆ + y jˆ + z kˆ Ahora, si el punto (x, y, z ) se mueve en el transcurso del tiempo, entonces ~r(t) = x(t)iˆ + y (t)jˆ + z (t)kˆ es una función vectorial del tiempo. La función ~r(t) traza una curva en el espacio cuando t varía. Podemos denotar un punto en el espacio como ~r(x, y, z ) = ~r(x(t), y (t), z (t)) = ~r(t). La velocidad del punto se obtiene por diferenciación vectorial ~v (t) = ~r0 (t) =

dx ˆ dy ˆ dz ˆ i+ j+ k dt dt dt

Una aplicación interesante es la segunda ley de Newton m

d2~r = F~ (x, y, z ) dt2

EJEMPLO 1.1 ~ La fuerza que actúa sobre una partícula de carga q moviéndose a una velocidad ~v en un campo magnético B ~ Determinar la ecuación de movimiento de la partícula si B ~ = B k, ˆ donde B es una constante. es F~ = q~v × B. Solución: No necesitamos saber lo que es una carga o un campo magnético para resolver este problema. La segunda ley de Newton dice d2~r d~v m 2 =m = F~ dt dt d~v ~ m = q~v × B dt ~ sabiendo que ~v = vx iˆ + vy jˆ + vz kˆ y B ~ = B kˆ ahora necesitamos calcular ~v × B ~ = ~v × B

iˆ vx 0

jˆ vy 0

kˆ vz B

= vy B iˆ − vx B jˆ + 0kˆ

así la ecuación de movimiento queda   dvx ˆ dvy ˆ dvz ˆ i+ j+ k = q (vy B iˆ − vx B jˆ ) m dt dt dt de esta manera obtenemos tres ecuaciones diferenciales acopladas dvy dvx dvz = qvy B m = −qvx B m = 0 (?) dt dt dt primero se resuelve para ~v (t) y luego para ~r(t). Usted puede comprobar que las expresiones siguientes son soluciones de (∗) qBt qBt x(t) = a cos x(t) = a sin z (t) = bt m m m

donde a y b son constantes que dependen de los valores iniciales de ~r(t) y ~v (t). Esta trayectoria corresponde a una hélice con velocidad uniforme en la dirección z.

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

1.1.13 Diferencial de un vector En la sección anterior vimos que para obtener la velocidad a partir de vector posición tenemos que tomar las derivadas de cada componente. Al igual que en el caso de funciones escalares, también podemos definir ~ depende de una el diferencial de un vector. Supongamos que el vector A ~ respecto a u es variable u, entonces la derivada de A ~ dA dAx ˆ dAy ˆ dAz ˆ k = i+ j+ du du du du ~ en el vector A ~ (u) En esto usamos la noción de que un pequeño cambio ∆A es el resultado de un pequeño cambio ∆u. De aquí definimos el diferencial ~ como7 de A ~ ~ = dA du dA du Un ejemplo es el cambio infinitesimal del vector posición de una partícula en un tiempo infinitesimal dt d~r =

d~r dt = ~v dt dt

~ depende de más de una variable, digamos u, v , escribiSi el vector A ~=A ~ (u, v ). Entonces mos A ~= dA

~ ~ ∂A ∂A du + dv ∂u ∂v

1.2 Operadores vectoriales Más adelante nos encontraremos campos vectoriales y escalares continuos y nos veremos en la necesidad de considerar sus derivadas y también la integración de cantidades (campos) a lo largo de lineas, sobre superficies y a través de volúmenes en el campo. En esta sección nos concentraremos en la definición de operadores diferenciales vectoriales y sus propiedades.

1.2.1 Gradiente de un campo escalar Consideremos una sala donde la temperatura puede variar de un lugar a otro (por ejemplo a lado de una ventana la temperatura puede ser menor). Es decir, la temperatura en la sala dependerá de las coordenadas (x, y, z ). Como la temperatura es un escalar, la expresamos como: T = T (x, y, z ) Ahora si deseamos saber como varía la temperatura ante un cambio infinitesimal de la posición (x, y, z) escribimos el diferencial de T dT =

∂T ∂T ∂T dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

y notemos que esta expresión se puede escribir como el producto punto de vectores

7

~ es también un vector. Notar que dA

matemáticas del curso

 dT =

 ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ k · (dxiˆ + dy jˆ + dz kˆ ) i+ j+ ∂x ∂y ∂z

23

(?)

El término dxiˆ + dy jˆ + dz kˆ no es otra cosa que d~r, el vector que representa un incremento o desplazamiento desde (x, y, z ) a (x + dx, y + dy, z + dz ). El otro término del segundo miembro de (?) es el gradiente de la temperatura y es representado por el símbolo ∇T . Entonces podemos escribir (?) como dT = ∇T · d~r Usando la definición de producto punto, lo anterior también se puede escribir como dT = |∇T | · |d~r| cos θ Ahora, si fijamos la magnitud de d~r en algún valor específico (por ejemplo, en uno) entonces el mayor valor que puede tomar dT es cuando ∇T y d~r son paralelos (cos θ = 1). Esto nos dice que la dirección del vector gradiente representa la dirección del incremento más rápido (máxima pendiente) de la temperatura. Adicionalmente, la magnitud del gradiente, |∇T |, es el incremento más rápido en la dirección de máxima pendiente. El gradiente aparece frecuentemente en aplicaciones físicas. En mecánica clásica, si V (x, y, z ) representa la energía potencial, entonces el campo de fuerza correspondiente está dado por F~ (x, y, z ) = −∇V (x, y, z ) En electricidad y magnetismo (este curso) veremos que si V (x, y, z ) representa el potencial electrostático, entonces la intensidad del campo eléctrico correspondiente está dado por ~ (x, y, z ) = −∇V (x, y, z ) E En el caso general de una función f (x, y, z ) el gradiente en coordenadas cartesianas es ∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ i+ j+ k ∇f (x, y, z ) = ∂x ∂y ∂z ∇f es un vector que expresa como varía la función f en la proximidad de un punto. Por supuesto que debemos asumir que f (x, y, z ) es diferenciable, de lo contrario ∇f no existiría. Si omitimos la función f , podemos definir el operador nabla ∇=

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

que aplicado a una función f no da ∇f . El vector gradiente tiene dos interpretaciones geométricas importantes: C A S O 1 : Consideremos dos puntos P y Q sobre una superficie f (x, y, z ) = C, con C constante tal como muestra la figura 1.19. Los dos puntos están a una distancia d~r uno del otro. Al movernos del punto P al Q no hay cambios en f (df = 0), pues f (P ) = P (Q) = C. Entonces tenemos que df = ∇f · d~r = 0

El gradiente es un vector, es por eso que algunos libros de texto se escribe ~ para enfatizar su naturaleza. ∇f

Gradiente como el operador nabla ∇.

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

Para que esto ocurra debe tenerse que ∇f debe ser perpendicular a d~r. En otras palabras, ∇f es un vector normal a la superficie f (x, y, z ) = C en cada punto. Figura 1.19: El vector gradiente es perpendicular a la superficie f (x, y, z ) = C cuando el vector d~ r está sobre la superficie.

C A S O 2 : Si ahora permitimos que d~r nos lleve desde la superficie C1 hasta la superficie adyacente C2 (ver figura 1.20), tenemos que la variación de f es df = C1 − C2 = ∆C = ∇f · d~r

Figura 1.20: El vector gradiente.

Si mantenemos fijo el valor de df |d~r| =

df |∇f | cos θ

y entonces se ve que |d~r| toma un valor mínimo (camino más corto) cuando nos movemos en forma paralela a ∇f (cos θ = 1). Por otro lado, para un valor fijo de |d~r| df = |∇f | · |d~r| cos θ

matemáticas del curso

25

el cambio en la función escalar f es maximizado al elegir d~r paralelo a ∇f (ver el caso anterior de la temperatura T ). Es decir ∇f es el máximo valor que podría tomar df . Esto identifica a ∇f como un vector que tiene la dirección del máximo incremento de f .

Finalmente, para reforzar el caso 2 con otro ejemplo, podemos fijarnos en la figura 1.21a donde se ha representado, en 3D, una función de dos variables f (x, y ). El sentido del vector ∇f en un punto es el sentido en que debemos movernos a partir del punto para hallar el incremento más rápido de la función f . Si colocáramos una bolita en el punto donde calculamos el gradiente, entonces la bolita tendría máxima velocidad en la dirección negativa de ∇f . En la figura 1.21b representa mediante vectores en el plano xy el gradiente de f . En especial, en el punto (x1 , y1 ), la superficie se eleva bruscamente. Figura 1.21: La función escalar f (x, y ) está representada por la superficie en 3D en (a). En (b) se representa la función vectorial ∇f .

Dirección de la máxima pendiente

(a)

(b)

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

1.2.2 Divergencia de un campo vectorial ~ (x, y, z ), la divergencia (∇  A) ~ está definida Para un campo vectorial A por8 ~= ∇A

∂Ay ∂Ax ∂Az + + ∂x ∂y ∂z

~ Claramente ∇  A, ~ es un donde Ax , Ay y Az son las componentes de A. ~ campo escalar. Cualquier campo vectorial para lo cual ∇  A = 0 se dice que es solenoidal. Por el momento pospondremos la interpretación física rigurosa de la divergencia. Solo diremos que la divergencia puede ser considerada como una medida cuantitativa de cuanto un campo vectorial “diverge” (se difunde o desparrama) o “converge” en un punto dado. Por ejemplo la figura 1.22 ilustra el signo de la divergencia dependiendo de la forma ~ Cuando ∇ · E ~ > 0 en algún punto, estamos en del campo vectorial E. 9 presencia de una fuente o manantial desde donde el campo vectorial ra~ < 0 estamos en presencia de un sumidero dia hacia el exterior. Si ∇ · E ~ = 0 en campo no pues el campo “converge” hacia dicho punto. Si ∇ · E converge ni diverge (no hay manantiales ni sumideros).

En algunos libros de texto también se ~ usa div A 8

Por ejemplo una fuente de fluido en el interior de un volumen. 9

Figura 1.22: Interpretación geométrica del signo de la divergencia.

Un campo vectorial con divergencia nula (solenoidal) significa que las líneas de campo no convergen ni divergen en ningún punto; no pueden tener extremos localizados. Gráficamente las lineas solo pueden ser cerradas, o ir del infinito al infinito (ver figura 1.22), o dar vueltas sobre sí mismas, sin llegar a cerrarse. Por ejemplo el campo F~ (x, y ) = −y iˆ + xjˆ (ver figura 1.15) es solenoidal pues ∇  F~ = 0 y además las líneas de campo describen circunferencias en torno al eje z. En la sección anterior definimos el operador gradiente ∇ como ∇=

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

entonces la divergencia se puede definir en forma alternativa como el

matemáticas del curso

27

~ y el vector A ~ producto punto entre ∇   ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ~ k  (Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ ) ∇A = i+ j+ ∂x ∂y ∂z ∂Ay ∂Ax ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z Hay dos ejemplos interesantes a considerar. El primero es la divergencia del vector posición   ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ k  (xiˆ + y jˆ + z kˆ ) ∇ · ~r = i+ j+ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z = + + =3 ∂x ∂y ∂z Otro ejemplo es la divergencia de un campo central ~rf (r ) donde r = p x2 + y 2 + z 2 ∇  (~rf (r ))

= = =

∂ ∂ ∂ [xf (r )] + [yf (r )] + [zf (r )] ∂x ∂y ∂z x2 df y 2 df z 2 df 3f (r ) + + + r dr r dr r dr df 3f (r ) + r dr

1.2.3 Rotor de un campo vectorial Siguiendo con la misma lógica de operadores, podemos efectuar el pro~ Así definimos otra ducto cruz entre el operador ∇ y un campo escalar A. 10 operación llamada rotor (o rotacional)   ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ~ = k × (Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ ) i+ j+ ∇×A ∂x ∂y ∂z       ∂Ay ∂Ax ˆ ∂Ax ∂Az ˆ ∂Az ∂Ay ˆ k − i+ − j+ − = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y lo cual se puede colocar en forma de determinante iˆ ~ = ∂ ∇×A ∂x Ax

jˆ ∂ ∂y

Ay

kˆ ∂ ∂z Az

~ es otro campo vectorial, y por El rotor asociado a un campo vectorial A lo tanto el rotor calculado en un punto da como resultado un vector. El rotor es un operador vectorial (∇×) que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Si el rotor de un campo vectorial (por ejemplo un fluido) es cero en un punto significa que el campo vectorial (fluido) no tiene rotaciones en ese punto (campo irrotacional), es decir no tiene circulación, turbulencia o remolinos. En cambio si el rotor es distinto de cero significa que el campo tiene circulación o remolinos. La figura 1.23 ilustra los dos casos para un campo vectorial representado por un fluido.

En algunos libros de texto también ~ se usa rot A 10

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

Figura 1.23: A la izquierda el fluido (campo vectorial) es un campo irrotacional pues no tiene remolinos, por lo tanto la pelota no rota y solo se traslada. A la derecha el fluido tiene circulación (rotor distinto de cero) que hace que la pelota rote.

Más adelante veremos que el campo eléctrico radiado por una carga puntual q positiva es radial (ver figura 1.24) y se expresa como ~ = ke q rˆ E r2 donde rˆ es un vector unitario que apunta en forma radial. Claramente las lineas de campo no tienen circulación por lo tanto el campo eléctrico ~ = 0. En efecto debe ser irrotacional, ∇ × E    q  ~r q q q ~ ∇ × E = ∇ × ke 2 rˆ = ke 2 ∇ × rˆ = ke 2 ∇ × = ke 2 ∇ × ~r r r r r r ~ =0 recordemos que el rotor actúa solo sobre el vector ~r, entonces ∇ × E pues iˆ jˆ kˆ ∂ ∂ ∂ ∇ × ~r = ∂x ∂y ∂z = 0 x y z

1.2.4 El Laplaciano ¿Que pasa si hacemos el producto punto entre dos operadores ∇? ∇  ∇ = ∇2

   ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ k  k i+ j+ i+ j+ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z             ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i  i + j  j + k  k ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z



= = =

Figura 1.24: Lineas de campo eléctrico de una carga puntual positiva. Las lineas no tienen circulación, por lo tanto este campo es irrotacional.

∂2 ∂2 ∂2 + + = ∇2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

De aquí surge la definición de Laplaciano de un campo escalar ϕ(x, y, z )11 ∇2 ϕ =

∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z

Este operador será de gran importancia en este curso, donde necesitaremos encontrar el potencial electrostático, V (una función escalar) por medio de una ecuación diferencial. Por ejemplo la ecuación diferencial siguiente se llama ecuación de Poisson ∇2 V = −

ρ 0

Es la divergencia del gradiente, ∇2 ϕ = ∇  (∇ϕ) 11

matemáticas del curso

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donde ρ es la densidad de carga (una función escalar). Por otro lado, la ecuación siguiente se llama ecuación de Laplace ∇2 V = 0 aparece en muchas ramas de la física.

1.3 Integrales especiales En los próximos capítulos nos vamos a encontrar con campos escalares que varían en el espacio. también necesitaremos con frecuencia considerar la integración de estos campos a lo largo de líneas , sobre superficies y a través de volúmenes. En general, el integrando puede tener naturaleza escalar o vectorial, pero la evaluación de esas integrales se verá reducida a una o más integrales escalares. En el caso de integrales de superficie y volumen, la evaluación implica integrales dobles o triples.

1.3.1 Integrales de línea Las integrales de línea pueden tener la siguiente forma ˆ ˆ ˆ ~ ~ × d~r φd~r, A  d~r, A C

C

C

~ es un campo vectorial y d~r un vector donde φ es un campo escalar, A de desplazamiento infinitesimal. Las tres integrales tienen carácter vectorial, escalar y vectorial respectivamente. Como veremos más adelante, ´ ~  d~r son las de mayor uso en electromagnelas integrales del tipo C A 12 tismo. La evaluación de la integral se hace a lo largo de una trayec~ = Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ y toria o curva C. En coordenadas cartesianas A ˆ entonces13 d~r = dxiˆ + dy jˆ + dz k, ˆ ˆ
~ A  d~r = Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ  (dxiˆ + dy jˆ + dz kˆ ) C

Cuando la curva de integración es ce¸ ~  d~ rrada escribimos el símbolo C A r 12

También acostumbra a usar el símbolo d~l en vez de d~ r. 13

C

ˆ

=

(Ax dx + Ay dy + Az dz ) C

ˆ

=

ˆ Ax dx +

C

ˆ Ay dy +

C

Az dz C

Es decir, tenemos la evaluación de tres integrales “normales”. Un procedimiento similar se aplica para los otros tipos de integrales. ~ se dice que es conservativo si existe un campo Un campo vectorial A escalar ϕ tal que ~ = ∇ϕ A De aquí se deriva el teorema fundamental para gradientes, el cual expresa que14 ˆb ~  d~r = ϕ(b) − ϕ(a) A aC

Campo conservativo.

14

Otra forma de escribir esto es ˆb

(∇ϕ)  d~r = ϕ(b) − ϕ(a) aC

30

electromagnetismo fmf-241 (2014)

~ entonces es decir, dado que existe un potencial escalar ϕ que genera A, el valor de la integral de línea es dado por el valor de la función escalar en los puntos a y b. Esto implica dos cosas ´b ~  d~r es independiente del camino C tomado desde a hasta b, 1. a C A pues su valor depende de la diferencia ϕ(b) − ϕ(a). 2.

b

~  d~r = 0 para una trayectoria cerrada,15 en otras palabras A ϕ(b) − ϕ(a) = 0 pues el punto a y el punto b son coincidentes.

La “circulación” es la integral alrededor de una curva cerrada. 15

aC

EJEMPLO 1.2: Trabajo efectuado por una fuerza La fuerza ejercida sobre un cuerpo está dada por F~ = −y iˆ + x~j. Calcular el trabajo efectuado al ir desde el origen hasta el punto (1, 1). Solución: Aquí necesitamos calcular la integral (ˆ1,1)

(ˆ1,1)

F~  d~r =

W = (0,0)

(ˆ1,1)

(−y iˆ + x~j )  (dxiˆ + dy jˆ ) = (0,0)

(−ydx + xdy ) (0,0)

Separando las dos integrales, obtenemos ˆ1 W =−

ˆ1 ydx +

xdy

0

0

La primera integral no puede ser evaluada hasta que especifiquemos como varía y en función de x. Lo mismo para la otra integral. Entonces elegimos un camino de integración (0, 0) → (1, 0) → (1, 1) ˆ1 W =−

0dx +

0

ˆ1

1dy = 1

0

puesto que y = 0 a lo largo del primer segmento del camino y x = 1 a lo largo del segundo segmento. Si ahora elegimos otro camino, (1, 0) → (0, 1) → (1, 1), entonces ˆ1 W =− 0

1dx +

ˆ1

0dy = −1

0

y comprobamos que en este caso el trabajo depende de la trayectoria (F~ es no conservativo).

1.3.2 Integrales de superficie Este es otro tipo de integrales que aparecen con mucha frecuencia. Las más comunes son ˆ ˆ ˆ ~ ~  dS, ~ ~ × dS ~ ϕdS, A A S

S

S

Todas estas integrales se toman sobre una superficie S, la cual puede ser abierta o cerrada, y son por lo general, integrales dobles. Siguiendo la

matemáticas del curso

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notación de integrales de línea, para superficies cerradas se usa el símbolo ¸ S. ~ representa un elemento de área vectorial de El diferencial vectorial dS la superficie S. El elemento se define perpendicular a la superficie y a veces ~ = ndS se escribe como dS ˆ donde nˆ es un vector unitario perpendicular a la superficie en la posición del elemento y dS es la magnitud (escalar) de ~ (ver figura 1.25). La superficie cerrada en 1.25-a encierra un volumen dS V mientras que la superficie abierta en 1.25-b genera un perímetro C.

Figura 1.25: (a) Una superficie cerrada y (b) una superficie abierta. En cada caso se muestra un vector normal a la ~ = ndS, superficie dS ˆ el cual forma un ~ en el ángulo θ con el campo vectorial A punto.

(a)

(b)

Nuevamente las integrales de superficie más comunes son las del tipo ´ ~  dS. ~ A este tipo de integrales se les llama integrales de flujo y φA = S A las encontraremos más adelante cuando veamos campo eléctrico y campo magnético. Una manera alternativa de definir la divergencia de un campo vectorial es usar las integrales de flujo. La divergencia de un campo vectorial ~ en un punto, se define como el flujo neto de salida de A ~ por unidad de A volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. Es decir en cualquier punto P ~ = l´ım ∇A



V →0

1 V

˛ ~  dS ~ A



(Forma integral de la divergencia)

S

Análogamente, puede demostrarse que los otro operadores vectoriales (rotor y gradiente) se pueden definir como ~ = l´ım ∇×A



V →0

∇ϕ = l´ım

V →0



1 V

˛

1 V

~ ×A ~ dS



(Forma integral del rotor)

S

˛ ~ ϕdS



(Forma integral del gradiente)

S

En cada caso, V es un pequeño volumen que encierra el punto P y S es la superficie que rodea a ese volumen.

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

1.3.3 Integrales de volumen Estas integrales son más simples de calcular, ya que el elemento de volumen dV es una cantidad escalar. En coordenadas cartesianas dv = dxdydz 16 ˆ ˆ ˆ ˆ ~ = iˆ Adv Ax dv + jˆ Ay dv + kˆ Az dv V

V

V

En algunos libros de texto nos encontraremos con las notaciones d3 r ó d3 x para el elemento de volumen. 16

V

La cual se ha reducido a calcular tres integrales de volumen escalares.

1.4 Teoremas integrales importantes 1.4.1 El teorema de la divergencia Supongamos que V representa un volumen en el espacio de tres dimen~ un campo vectorial. siones, S la superficie que encierra ese volumen, y A 17 El teorema de la divergencia establece que ˆ

˛ ~  dS ~ A

~ )dv = (∇  A V

También conocido como teorema de Gauss. 17

S

El teorema de la divergencia puede ser usado para relacionar integrales de volumen e integrales de superficie para cierto tipo de integrandos.

1.4.2 El teorema de Stokes Este es un teorema fundamental para rotores ˆ

˛ ~ )  dS ~= (∇ × A

S

~  d~r A C

Aquí el rotor es sobre una superficie abierta y C es la curva o perímetro que rodea la superficie. Este teorema puede ser usado para evaluar ´ ~ )  dS ~ como integrales de integrales de superficie de la forma S (∇ × A linea y vice versa. La curva C es recorrida en la dirección con respecto a la normal, nˆ de acuerdo a la regla de la mano derecha (o la regla del tornillo), ver figura 1.26.

Figura 1.26: La curva cerrada C es el contorno que rodea de la superficie S. La dirección del vector normal es determinada por la regla de la mano derecha (o tornillo), es decir los dedos apuntas en la dirección de circulación y el pulgar apunta en dirección del vector normal.

matemáticas del curso

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1.5 Coordenadas curvilíneas En problemas de electromagnetismo, nos encontraremos muy frecuentemente con geometrías que contengan cilindros o esferas. La geometría del sistema de coordenadas cartesianas no es el más adecuada para tratar geometrías esféricas y cilíndricas. En especial, si hay simetrías asociadas con el problema tal como una invariancia con un ángulo o distancia desde un punto dado, se pueden obtener simplificaciones considerables en los cálculo si se usan otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas curvilíneas son sistemas de coordenadas en el espacio Euclidiano donde las líneas pueden ser curvas. Estas coordenadas pueden ser obtenidas a partir del sistema de coordenadas Cartesiano mediante una transformación que es invertible (un mapeo 1-1) en cada punto. Estos significa que podemos convertir un punto dado en coordenadas Cartesianas a un sistema curvilíneo y vice versa.

1.5.1 Coordenadas cartesianas Más adelante nos encontraremos con problemas donde hay que calcular integrales expresadas en diferentes sistemas de coordenadas. Necesitaremos expresar cantidades infinitesimales tales como elementos de línea, área y volumen. En el sistema cartesiano esto es simple. Consideremos un pequeño desplazamiento entre los puntos P1 y P2 (ver figura 1.27). este vector puede ser descompuesto y obtener el elemento infinitesimal (o diferencial) de línea:

Figura 1.27: Vector de desplazamiento entre dos puntos.

d~s = dxiˆ + dy jˆ + dz kˆ El elemento infinitesimal de volumen es simple. En la figura 1.27 tenemos un cubo con aristas de longitud dx, dy y dz d3 r = dV = dxdydz Para el elemento infinitesimal de área (o superficie) tenemos tres opciones correspondientes a tres planos dA = dydz

dA = dxdy

Figura 1.28: Elemento de volumen en coordenadas Cartesianas.

dA = dxdz

Los elementos de área son en realidad vectores donde la dirección del ~ es perpendicular al plano definido por el área. El vector área vector dA es elegido apuntando hacia afuera desde una superficie cerrada. Entonces para los tres casos anteriores escribimos ~ = dydz iˆ dA

~ = dxdy kˆ dA

~ = dxdz jˆ dA

~ representa el área y a veces escribimos En general, la magnitud de dA ~ = dA nˆ dA donde nˆ es un vector perpendicular a la superficie de área dA.

Figura 1.29: Elemento de área en coor~ es denadas Cartesianas. El vector dA perpendicular a la cara y de magnitud dA = dxdx

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

1.5.2 Coordenadas esféricas En vez de localizar un punto en el espacio mediante coordenadas cartesianas, podemos usar coordenadas esféricas r, θ y φ. De la figura 1.30 se desprende que la relación entre los dos sistemas de coordenadas está dada por x

= r sin θ cos φ

y

= r sin θ sin φ

z

= r cos θ

Desafortunadamente, la convención de los símbolos θ y φ, usada aquí, es revertida en algunos libros de texto. Eso no significa que alguien esté equivocado, simplemente puede resultar confuso y conducir a errores. En algunos libros el ángulo (cenit) que forma r con eje z se denota por φ. También es frecuente encontrar que el símbolo r se cambia por ρ, y los símbolos ϕ y ψ se usan en vez de φ.

Figura 1.30: Una representación de un sistema de coordenadas esféricas. Un punto es especificado por las coordenadas esféricas r, θ y φ.

Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas esféricas porque la gráfica de la ecuación r = c = constante es una esfera de radio c centrada en el origen. Las restricciones para r, θ y φ son 0≤θ≤π

0 ≤ φ ≤ 2π

0≤r 0, existe otro dq en x0 < 0. Por lo tanto el campo resultante debe apuntar en la dirección de y. La magnitud de dE~y será ke λdx0 y ke λydx0 p dEy = dE cos ϕ = 02 = 02 2 x +y (x + y 2 )3/2 x02 + y 2 que queda expresada en términos de la única variable x0 . Integramos: L/2 L/2 ˆ ˆ dx0 dx0 Ey = ke λy = 2k λy e (x02 + y )3/2 (x02 + y 2 )3/2 0

−L/2

Esta no es una integral fácil; la podemos buscar en una tabla de integrales, o hacer el cambio de variables: x0 = y tan ϕ

⇒

dx0 = y sec2 ϕdϕ

y al sustituir: Ey = 2ke λy

sin θ sin θ λ L/2 = 2ke λ = 2ke p y2 y y y 2 + (L/2)2

alambre finito

Partiendo de este resultado podemos calcular el campo debido a un alambre infinito. Solo debemos hacer θ→π óL→∞ 2ke λ Ey = alambre infinito y

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electromagnetismo fmf-241 (2014)

Podemos hacer una variación de este problema y resolver mediante vectores de posición, usando ~ (~r) = ke dq dE

~r − ~r0 |~r − ~r0 |3

con ~r = y jˆ y r~0 = xiˆ de tal forma que ~r − ~r0 = y jˆ − xiˆ y |~r − ~r0 | = ~ (~r) = ke dq dE

p x2 + y 2

y jˆ − xiˆ (x2 + y 2 )3/2

Aquí vamos a integrar entre −∞ y +∞ para obtener el resultado del alambre infinito. Poniendo dq = λdx   +∞ ˆ ~ (~r) = ke λ E dx −∞

 ˆ +∞ ˆ   +∞ y jˆ dx y jˆ − xiˆ xdxiˆ   = k λ −   e  (x2 + y 2 )3/2 (x2 + y 2 )3/2 (x2 + y 2 )3/2   −∞ −∞ {z } | 0

La integral del lado derecho es cero, pues el argumento es una función impar. Así que el campo es +∞ ˆ

~ (~r) = ke λy jˆ E −∞

dx = 2ke λy jˆ (x2 + y 2 )3/2

+∞ ˆ 0

2ke λ ˆ dx j = y (x2 + y 2 )3/2

La integral anterior es la misma que resolvimos anteriormente, así que no es necesario repetirla. Así que nuevamente hemos obtenido el campo eléctrico. La diferencia es que con este método no tuvimos la necesidad de recurrir a argumentos de simetría y la componente x se anuló naturalmente. EJEMPLO 2.14: Plano infinito Imaginemos un plano infinito que coincide con el plano yz y que tiene una densidad superficial uniforme de carga σ y queremos calcular el campo en un punto P (x, 0, 0), es decir a una distancia x del plano (el plano coincide con la hoja).

Solución: En la figura de la izquierda las líneas de campo son perpendiculares al plano (Ey = Ez = 0) y además la magnitud del campo será independiente de las coordenadas y y z. Es por eso que hemos elegido en forma arbitraria, en la figura de la derecha, el punto P a lo largo del eje x. Elegimos convenientemente una p cinta de ancho dy 0 y largo infinito que llevará una carga dq. Esta cinta está a una distancia R = x2 + y 02 de P . Para todos los efectos, esta cinta es un “alambre” infinito con carga dq. En el ejemplo anterior vimos

electrostática

67

que el campo eléctrico a una distancia r de un alambre infinito con densidad de carga λ era: 2ke λ r aplicando esta fórmula a nuestro caso, la magnitud del campo eléctrico debido a la cinta (alambre) infinita es 2ke λ0 dEx = dEcos θ = cos θ R ~ total tiene solo componente x. ¿Porqué el cos θ? Porque el E Eal =

Debemos hacer notar que λ0 sería la densidad lineal de carga de la cinta, pero lamentablemente λ0 no se conoce. Podemos solucionar esto recordando que σ = Q0 /A y λ0 = Q0 /L. A es el área de un rectángulo de ancho dy 0 y largo L (A = Ldy 0 ). Por lo tanto podemos deducir que λ0 = σdy 0 dEx =

2ke σdy 0 x dy 0 2ke σdy 0 p = 2ke σx 2 cos θ = p R x + y 02 x2 + y 02 x2 + y 02

Ese es el campo de una cinta. Si sumamos el efecto de todas cintas (son infinitas), obtenemos +∞ +∞ ˆ ˆ dy 0 xdy 0 Ex = 2ke σx 2 = 2k σ e 02 2 x +y x + y 02 −∞

esta integral es “conocida”:

´

xdy 0 x2 +y 02

−∞

= arctan(y 0 /x). Finalmente

  π π y 0 +∞ = 2ke σ ( − (− )) = 2ke σπ Ex = 2ke σ arctan( ) x −∞ 2 2 sustituyendo ke =

1 4π0

obtenemos la conocida fórmula Ex =

σ 20

que es independiente de la distancia x al plano. EJEMPLO 2.15: Disco cargado Un disco cargado uniformemente de radio R con carga total Q yace en el plano xy. Encontrar el campo eléctrico en un punto P a lo largo de eje z cono se muestra en la figura.

Solución: En la figura de la izquierda, elegimos convenientemente un elemento de carga dq contenido en un anillo de ancho infinitesimal (dr0 ). Cualquier punto del anillo se encuentra a una distancia r del punto P . La simetría del problema nos dice que el campo eléctrico apunta en la dirección +z. El anillo lleva una carga dq = σ (2πr0 dr0 ).

68

electromagnetismo fmf-241 (2014)

Por otro lado, la figura de la derecha es un anillo de radio R y cargado uniformemente con carga total Q, y de acuerdo al problema 2.12 el campo eléctrico a una distancia z del centro es: Ez =

( R2

ke Qz + z 2 )3/2

Si aplicamos el resultado anterior a nuestro anillo de radio r0 y carga dq = σ (2πrdr0 ), obtenemos dEz : dEz =

ke σ (2πr0 dr0 )z (r02 + z 2 )3/2

para obtener el campo eléctrico total, integramos desde r0 = 0 hasta r0 = R R  ˆR 1 1 2r0 dr0 1 = −2ke σπz ( √ − Ez = ke σπz = ke σπz (−2) √ ) 02 2 3/2 02 2 2 2 |z| (r + z ) r +z 0 R +z 0

⇒

Ez =

z σ z ( −√ ) 2 20 |z| R + z2

Con los dos posibles valores de |z| existen dos soluciones:  i h σ  √ z  , z>0 1 −  2 2 2 R +z  0 Ez =  h i    σ −1 − √ z , z 0.

Q x0 ( x0 + L )

70

electromagnetismo fmf-241 (2014)

Aplicamos este resultado para resolver este problema. En la figura siguiente el elemento de longitud dx ~ es debido al segmento de la izquierda lleva una carga dq = λ2 dx y el campo E

y cuya magnitud es: E = ke

Q1 (d + x)(d + x + L1 )

entonces la magnitud de la fuerza sobre la carga dq es dqE dF = dqke

Q1 Q1 = ke λ2 dx (d + x)(d + x + L1 ) (d + x)(d + x + L1 )

así

ˆL2 F = ke λ2 Q1

La integral la podemos encontrar en una tabla F = ke λ2 Q1

´

0

dx (d + x)(d + x + L1 )

dx (d+x)(d+x+L1 )

=

1 L1

ln(d + x) − L11 ln(d + x + L1 ). Entonces

1 [ln(d + L2 ) − ln(d + L2 + L1 ) − ln(d) + ln(d + L1 )] L1

juntando términos F = ke λ2 Q1

     d + L2 + L1 1 d + L1 − ln ln L1 d d + L2

como λ2 = Q2 /L2 , la fuerza entre los dos segmentos es      d + L2 + L1 d + L1 1 − ln F = ke Q2 Q1 ln L1 L2 d d + L2

Es interesante analizar que pasa cuando los dos segmentos están muy alejados, es decir d es mucho mayor que los segmentos L1 y L2 . Para eso expresamos el resultado anterior como:      1 L1 L1 F = ke Q2 Q1 ln 1 + − ln 1 + L1 L2 d d + L2 L1 puesto que d  L1 , L2 , entonces Ld1 y d+ L2 son términos pequeños y usamos aproximación para el 1 2 1 3 logaritmo ln (1 + x) = x − 2 x + 3 x + · · · cuando |x|  1. Nosotros usaremos esta aproximación a primer orden:         L1 L1 L1 L1 1 1 d + L2 − d L1 L2 ln 1 + − ln 1 + ≈ − = L1 − =L = d d + L2 d d + L2 d d + L2 d(d + L2 ) d(d + L2 )

si nuevamente aproximamos d + L2 ≈ d, la expresión anterior se reduce a F ≈ ke Q2 Q1

L1 L2 d2

de tal manera que

1 L1 L2 Q2 Q1 = ke 2 L1 L2 d2 d

lo que corresponde a la fuerza Coulombiana entre dos cargas puntuales separadas por una distancia d.

electrostática

71

EJEMPLO 2.17 Un alambre infinito está compuesto por dos alambres semi-infinitos con densidades de carga lineal λ > 0 y −λ < 0, como se muestra en la figura. Calcule la fuerza que el alambre infinito ejerce sobre la barra vertical de largo L y que tiene una densidad lineal de carga λ > 0.

Solución: Vamos a resolver este problema, calculando primero, el campo eléctrico debido a la barra infinita en cualquier punto en un eje vertical que pase por el origen de coordenadas O. Notemos que el campo eléctrico a una altura y sobre el centro del alambre, producido por la sección derecha e izquierda son vectores con componentes verticales de igual magnitud pero de sentido opuesto. Estas componentes se anulan, por lo tanto el campo resultante tiene dirección −x y es el resultado de considerar dos veces la componente horizontal del campo producido por el lado derecho del alambre (ver figura de abajo).

Sabiendo que ~r = y jˆ y r~0 = x0 iˆ , el campo generado por un elemento de longitud de la sección derecha es ~d = dE

1 ~r − ~r0 1 y jˆ − x0 iˆ dq dq = 4π0 |~r − ~r0 |3 4π0 (x02 + y 2 )3/2

~ d. con dq = +λdx0 integramos para obtener E ~d = 1 E 4π0

+∞ ˆ 0

y jˆ − x0 iˆ

(x02 + y 2 )3/2

λdx0

~ está dado por dos veces la componente horizontal de E ~d Pero el campo total, E,

72

electromagnetismo fmf-241 (2014)

~ = 2× E

1 4π0

+∞ ˆ 0

−x0 iˆ

(x02

+ y 2 )3/2

λdx0

Después de integrar el resultado final es: ~ (y ) = − E

λ ˆ i 2π0 y

El signo es compatible con la dirección del campo. Con este campo en cualquier posición del eje y estamos en condiciones de calcular la fuerza sobre la barra vertical de largo L. ~ (y ) dF~ (y ) = dq E donde dq = λdy es un elemento de carga de la barra vertical. Entonces dF~ (y ) = −

λ λdy iˆ 2π0 y

La barra vertical se extiende entre L y 2L. Por lo tanto la fuerza total sobre la barra es λ2 F~ = − 2π0

ˆ2L L

dy ˆ i= y



 λ2 − ln 2 iˆ 2π0

electrostática

73

2.6 Flujo eléctrico Ya hemos visto que los campos eléctricos pueden ser representados geométricamente mediante las líneas de campo eléctrico. Ya vimos que las líneas indican la dirección del campo eléctrico y las densidad de las líneas indican la magnitud del campo. Vamos a introducir una nueva cantidad matemática llamada flujo de campo eléctrico, la cual medirá el número de líneas que pasan a través de una superficie. Para ilustrar el concepto, consideremos un campo eléctrico uniforme ~ E y que es perpendicular a una superficie de área A tal como muestra la figura anterior. Queremos definir una cantidad que de cuenta del número de líneas de campo que atraviesan esa superficie. Usamos la letra Φ para definir el flujo eléctrico (un escalar)

Figura 2.24: Líneas de campo eléctrico uniforme atravesando en forma perpendicular a una superficie de área A.

Φ ≡ EA es decir, Φ es simplemente la magnitud del campo uniforme multiplicado por el área. Esta es la definición más sencilla de flujo eléctrico. Las unidad h i N 2 se desprende fácilmente de la definición: [Φ] = C .m . Normal

~ y supongaAhora consideremos el mismo campo eléctrico uniforme E mos que la superficie está inclinada en un ángulo θ como se muestra en la figura 2.25. Claramente el número de líneas atravesando el área A será menor (el flujo será menor). El área efectiva que “verá” el campo será A0 = A cos θ, entonces el flujo es Φ = EA0 = EA cos θ De esta expresión, vemos que el flujo será máximo cuando θ = 0 y sera mínimo (cero) cuando θ = π/2. Pero la expresión anterior se puede escribir como un producto punto

Figura 2.25: Las líneas de campo que atraviesan la superficie disminuye debido a la inclinación del plano.

~ A ~ Φ=E ~ es un vector perpendicular a la superficie y de magnitud A. A donde A veces también es conveniente escribir lo anterior como ~ nˆ Φ = AE donde nˆ es un vector unitario perpendicular a la superficie, de tal manera ~ = An. que A ˆ Una manera de ilustrar lo anterior es mediante una analogía con paneles solares. En la figura 2.26 los dos paneles tienen exactamente la misma área y el brillo del sol es exactamente el mismo en ambos paneles. Lo que hace la diferencia es el ángulo de incidencia. En el panel de la derecha los rayos del sol son perpendiculares a la superficie y por lo tanto el flujo es mayor. La definición de flujo puede aplicarse a cualquier campo vectorial. Por ejemplo, supongamos que tenemos un campo vectorial que represente

Poco flujo

Mucho flujo

Figura 2.26: Analogía para ilustrar la disminución de “flujo solar” debido a la inclinación de los paneles solares.

74

electromagnetismo fmf-241 (2014)

el movimiento de un fluido. Este campo vectorial lo denotamos por ~v ~ es el área orientada, en sea y se mide en centímetros por segundo. Si A centímetros cuadrados, de una superficie sumergida en el agua (ver figura ~ son 2.27), entonces las unidades de ~v  A cm cm3 × cm2 = s s es decir, volumen por unidad de tiempo.

Fluido

°

Figura 2.27: El flujo a través de la figu~ es ~v  A.Si ~ ~v es la velocidad ra de área A de un fluido, el flujo es el volumen de fluido que atraviesa la figura, por unidad de tiempo.

~ no es uniforme y atraConsideremos el caso general, donde E viesa una superficie sin simetría como se muestra en la figura: ~ perpendicular a un elemento de Aquí hemos dibujado un vector dA ~ atraviesa la superficie inárea infinitesimal dA. El campo eléctrico dE finitesimal formando un ángulo θ con ella. El “flujito” a través de esta superficie es: ~  dA ~ dΦ = E para obtener el flujo total integramos a través de la superficie ˆ Φ=

~  dA ~ E S

Figura 2.28: Un elemento de superficie ~ atravesado por el campo eléctrico. dA ~ es dΦ = E ~  dA ~ El flujo a través de dA

Esta es una integral de superficie, que puede ser complicada si la superficie es irregular. Hay que notar que la superficie puede ser abierta o cerrada. En el caso de una superficie cerrada el flujo se anota: ˛ Φ=

~  dA ~ E S

En una superficie cerrada, el flujo puede ser positivo, negativo o cero. El flujo puede definirse de manera alternativa, recordando el teorema de la divergencia4 para campos vectoriales, donde podemos re¸ ~  dA ~ por una integral de volumen: emplazar la integral de superficie S E ˛ Φ=

~ )dv (∇  E V

Ver sección 1.4, donde para un campo ~ se cumple: vectorial G ˆ ˛ ~ )dv = ~  dA ~ (∇  G G 4

V

S

Forma alternativa de flujo.

electrostática

75

Un caso especial es cuando dentro de la superficie cerrada no hay ninguna carga. Si tenemos un campo eléctrico cualquiera, que atraviesa esa superficie, entonces el número de líneas que entran en esa superficie es igual al número de líneas que salen de ella. De ese modo, el flujo neto (número de lineas neto) será cero, no importando la naturaleza del campo que atraviesa la superficie.

EJEMPLO 2.18 Ejemplo para ilustrar la idea anterior: dado un campo eléctrico uniforme calcular el flujo a través de la superficie de un cubo. Solución: Como se puede ver en la figura el campo eléctrico es uniforme. El flujo total a través del cubo es la suma del flujo a través de cada cara: Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 + Φ6 ˆ ˆ ˆ ~  dA ~+ ~  dA ~ +···+ ~  dA ~ Φ= E E E S1

S2

S6

Notar que en las caras 1, 2, 5 y 6 el campo eléctrico es, en todas partes, perpendicular a la superficie, en otras ~ es perpendicular al vector normal dA, ~ por lo tanto E ~  dA ~ = 0. Eso significa que el flujo a través palabras E de estas caras es cero. Solo nos queda analizar las caras 3 y 4. En la cara 4 el campo eléctrico es paralelo a ~ 4 , por lo tanto E ~  dA~4 = E cos 0A4 = EdA4 . Por otro lado en la cara 3 el campo y dA ~ 3 están opuestos y dA ~ ~ forman un ángulo de 180° entre si. En este caso E  dA3 = E cos 180°dA3 = −EdA3 . El flujo total es entonces: ˆ ˆ ˆ ˆ Φ = 0+0+ −EdA3 + EdA4 + 0 + 0 = −E dA3 + E dA4 = −EA + EA = 0 S3

S4

S3

S4

76

electromagnetismo fmf-241 (2014)

EJEMPLO 2.19: Flujo a través de una semi-esfera Ahora tenemos un hemisferio de radio R que es atravesado por un campo eléctrico uniforme como se muestra en la figura. Encontrar el flujo eléctrico. ´ ~  dA ~ donde Solución: Queremos encontrar S E ~ ~ ˆ E = E k y dA = dAr, ˆ donde rˆ es un vector unitario radial. En coordenadas esféricas el elemento de área es dA = R2 sin θdφdθ ˆ ˆ Φ= kˆ  rR ˆ 2 E sin θdφdθ = ER2 kˆ  rˆ sin θdφdθ

entrando

Vista desde abajo

S

S

además el ángulo entre kˆ y rˆ es θ, así que kˆ  rˆ =

cos θ Φ = ER

2

ˆ

cos θ sin θdφdθ

S π/2 π/2 ˆ ˆ2π ˆ 2 Φ = ER cos θ sin θdθ dφ = 2πER cos θ sin θdθ 2

0

0

finalmente: Φ = 2πER2



sin2 θ 2

0

π/2

= EπR2

0

El flujo resultó ser el área de un circulo de radio R multiplicado por la magnitud del campo eléctrico. Pero esa área no es otra cosa que el área proyectada perpendicular al campo eléctrico.

¿Cual será entonces el flujo total a través de una esfera? (no hay cargas en el interior) Solución: este es otro ejemplo del flujo a través de una superficie cerrada. El flujo es cero, pues si dividimos la esfera en dos hemisferios, el flujo por el hemisferio de abajo será −EπR2 (las líneas entran en la superficie) mientras que por el otro será +EπR2 (las líneas abandonan la superficie), es decir la suma es cero.

electrostática

77

EJEMPLO 2.20: Flujo mediante dos métodos Un cilindro de radio a está en presencia de un campo eléctrico dado por  ~ = E0 xiˆ + y jˆ + (z 2 − 1)kˆ E ~ a través de la superficie de dos maneras. donde E0 es constante. Evaluar el flujo de E Primero por integración directa y luego usando el teorema de la divergencia. Solución: (1) Integración directa: En la tapa de abajo z = 0 y el elemento de área apunta en la dirección −z ˆ ˆ ˆ   ~  dA ~ = E0 xiˆ + y jˆ + (02 − 1)kˆ  (−dAkˆ ) = E0 E −kˆ  (−dAkˆ ) = E0 πa2 En la tapa de arriba, z = 1, el elemento de área apunta en la dirección +z, el campo eléctrico se reduce a  ~ = E0 xiˆ + y jˆ y por lo tanto E ˆ ˆ  ~  dA ~ = E0 xiˆ + y jˆ  (+dAkˆ ) = 0 E En el manto del cilindro usamos coordenadas cilíndricas para expresar el elemento diferencial de área ~ = adφdz rˆ dA ˆ

ˆ ~  dA ~= E

 E0 xiˆ + y jˆ + (z 2 − 1)kˆ  (adφdz rˆ)

Ahora tenemos una mezcla de coordenadas cilíndricas y cartesianas. Podemos resolver esto si expresamos el vector unitario rˆ en función de los vectores unitarios en coordenadas cartesianas (ver capitulo 1): rˆ = cos φiˆ + sin φjˆ ˆ

ˆ ~  dA ~ E

= = = = =

 E0 xiˆ + y jˆ + (z 2 − 1)kˆ  (cos φiˆ + sin φjˆ )adφdz ˆ E0 a {x cos φ + y sin φ} dφdz ˆ E0 a (a cos φ cos φ + a sin φ sin φ)dφdz ˆ E0 a a(cos2 φ + sin2 φ)dφdz ˆ 1 ˆ 2π E0 a2 dφdz = 2πE0 a2 0

0

Donde hemos usado la equivalencia entre coordenadas cartesianas y cilíndricas (x = a cos φ; y = a sin φ). Sumando los tres resultados anteriores, el flujo total es ˆ ~  dA ~ = 3πE0 a2 E ~ es (2) La divergencia de E

~ = E0 (2 + 2z ) ∇E

78

electromagnetismo fmf-241 (2014)

Sabiendo que el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es dv = rdφdzdr, el flujo es ˛ ˛ ~ (∇  E )dv = (E0 (2 + 2z )rdφdzdr V V ˆ a ˆ 2π ˆ 1 = E0 rdr dφ (2 + 2z )dz 0

=

0

0

2

3πE0 a

Obtuvimos el mismo resultado. Otro caso especial es cuando el campo eléctrico es uniforme, de tal manera que puede salir fuera de la integral ˆ ˆ ˆ ~  dA ~= Φ= E EdA cos θ = E dA cos θ S

S

S

es más, si el campo eléctrico es perpendicular a la superficie θ = 0 y así recobramos la definición básica de flujo eléctrico: ˆ ˆ Φ=E dA cos 0 = E dA = EA S

S

Un tercer caso especial es cuando tenemos cargas (o distribución de cargas) encerradas dentro de una superficie cerrada. Consideremos los 4 casos de la figura de abajo:

1. La carga +q generará un campo eléctrico cuyas líneas atravesarán la superficie. Supongamos que el flujo a través de la superficie es +Φ, es decir las líneas abandonan la superficie. 2. Aquí hay una carga que es el doble que la anterior, por lo tanto el flujo será el doble, +2Φ (el doble de líneas atraviesan la superficie). 3. Tenemos una carga negativa, así que las líneas de campo entran a la superficie, por lo tanto el flujo es −Φ. 4. En este caso la carga neta encerrada es cero (+q − q). El flujo es cero, pues el número de lineas que entran es igual al número líneas que salen (Φ = 0).

electrostática

79

EJEMPLO 2.21 Otro ejemplo: Supongamos que tenemos una carga +q en el centro de una esfera de radio r. ¿Cual es el flujo a través de la esfera? ~ está en todas Respuesta: Aquí hay algo muy importante que notar. Puesto que E ~ partes apuntando radialmente hacia afuera, y el vector dA en cualquier parte sobre la esfera también apunta radialmente, entonces en cualquier elemento de área dA, ~ y dA ~ son paralelos (ver figura). E Ya sabemos que el campo eléctrico generado por una carga q a una distancia r ´ ~ = ke q2 r. ~  dA, ~ tenemos es E ˆ Entonces como Φ = S E r ˆ Φ=

Esfera

ke

ˆ

q ~ = ke q rˆ  dA 2 r r2

Esfera

~ rˆ  dA

~ = dA donde hemos sacado a r y a q fuera de la integral, pues son constantes en este caso. Además como rˆ  dA ˆ ke q q 1 q4πr2 q Φ= 2 dA = ke 2 4πr2 = = r Esfera r 4π0 r2 0 Este es un importante resultado, pues demostraremos más adelante, que el flujo siempre vale q/0 , no importando la superficie elegida. Notar además que el resultado NO depende de r. EJEMPLO 2.22 El último ejemplo antes de ver la Ley de Gauss. Tenemos una superficie cúbica de lado a y en el centro hay una carga positiva q. Calcular el flujo a través de una de las caras del cubo. Solución: de acuerdo a la figura vamos a calcular el flujo a través de la cara derecha. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del cubo y el cubo se extiende entre −a/2 y +a/2 en las tres direcciones. El vector ~r va desde el origen al elemento de área dA. El flujo es: ˆ ~  dA ~ E Φ= Cara

Puesto que el cubo tiene lado a y la carga está en el centro, cualquier punto de la cara derecha tiene coordenadas (x, a/2, z ). Por otro lado el campo eléctrico en el elemento de área dA debido a la carga puntual p ˆ ˆ xyˆ + a 2 j +z k ~ = ke q2 r. es E ˆ Donde rˆ = ~rr = y r = x2 + z 2 + (a/2)2 . r r ~ es perpendicular a la cara y se puede escribir como dA ~ = dAjˆ = dxdz jˆ . Por lo tanto El vector dA ~  dA ~ = ke q E r2

xyˆ + a2 jˆ + z kˆ r

!

 dAjˆ = ke q

a dA a dxdz = ke q 3 2 2 2 r 2 (x + z + (a/2)2 ) 3/2

El flujo resulta de calcular la doble integral: a Φ = ke q 2

ˆ

a/2

−a/2

ˆ

a/2

−a/2

a dxdz = ke q 2 2 2 3/2 2 (x + z + a /4)

ˆ

a/2

−a/2

"ˆ

a/2

−a/2

# dx dz (x2 + z 2 + a2 /4) 3/2

80

electromagnetismo fmf-241 (2014)

podemos encontrar la integral entre paréntesis en una tabla: ˆ

a/2

−a/2

( x2

+ z2

dx 4a √ = 2 2 3/2 2 + a /4) (a + 4z ) a2 /2 + z 2

al sustituir calculamos otra integral más difícil a Φ = ke q 2

ˆ

a/2

−a/2

(a2

4a √

+ 4z 2 )

a2 /2 + z 2

dz = ke q

a 4π 1 a 4π 1 q = q = 2 3a 4π0 2 3a 6 0

El flujo resultó ser 16 q0 . Si ahora queremos calcular el flujo a través de las 6 caras del cubo obtenemos Φ = q0 . Este resultado es el mismo que para una carga encerrada en una esfera (ver ejemplo anterior). Esto nos hace sospechar que tal vez el resultado sea independiente de la superficie elegida. En efecto, esta es una ley llamada Ley de Gauss.

electrostática

81

2.7 La ley de Gauss La ley de Gauss es una de las leyes elementales del electromagnetismo que viene de la observación experimental y que también puede ser demostrada matemáticamente.5 En los dos ejemplos anteriores ya vimos un adelanto de esta ley.

La demostración rigurosa de la ley de Gauss no la veremos en este curso. 5

2.7.1 Forma integral de la ley de Gauss el flujo eléctrico total a través de una superficie es igual a la carga encerrada dividido por la permitividad.

Ley de Gauss.

Si el medio donde está la carga es el vacío, entonces la permitividad es 0 qenc Φ= 0 La carga neta encerrada, qenc , puede ser cualquier distribución de carga y no necesariamente cargas puntuales. El flujo además es independiente de la superficie cerrada. En su forma integral

Forma integral de la ley de Gauss

˛ Φ=

~  dA ~ = qenc E 0 S

La superficie S se llama superficie Gaussiana y es una superficie imagi¸ ~  dA. ~ Como la naria que sirve para calcular la integral de superficie S E integral es independiente de S, entonces podemos escoger la superficie más conveniente con el objetivo de facilitar el cálculo de la integral. En la figura siguiente tenemos una distribución de cargas encerradas dentro de tres superficies Gaussianas, S1 ,S2 y S3 Figura 2.29: Una distribución de cargas encerrada por varias superficies. Notar que algunas líneas salen y otras entran a través de las superficies.

Distribución de cargas

Notar que las líneas de campo eléctrico salen y entran a través de las tres superficies, pues las cargas pueden ser positivas o negativas.6 El teorema de Gauss dice que el flujo a través de cualquiera de estas superficies es el mismo: ˛ ˛ ˛ ~  dA ~= ~  dA ~= ~  dA ~ = qenc Φ= E E E 0 S1 S2 S3

En efecto podría ocurrir que la carga total positiva sea igual a la carga total negativa. En ese caso la carga neta sería cero y por lo tanto el flujo es cero. 6

El flujo es independiente de la superficie elegida.

82

electromagnetismo fmf-241 (2014)

Calcular el flujo eléctrico mediante la ley de Gauss puede ser bastante más fácil que mediante integración directa. Por otro lado, la aplicación de la ley de Gauss está limitada a problemas donde haya un cierto grado de simetría de la distribución de carga.

2.7.2 Forma diferencial de la ley de Gauss A veces es conveniente escribir la ley de Gauss en su forma diferencial. Partamos por la expresión: ˛ ~  dA ~ = qenc E 0 S Sea V es el volumen que encerrado por la superficie S. Si ρ(~r) es la densidad de carga, entonces la carga encerrada se obtiene ˆ qenc = ρ(~r)dV V

por lo tanto:

˛

~  dA ~= 1 E 0 S

ˆ ρ(~r)dV

(2.3)

V

Usando el teorema de la divergencia7 podemos reemplazar la integral de superficie en 2.3 por una integral de volumen: ˛ ˆ ~ )dV = 1 (∇  E ρ(~r)dV 0 V V

Ver sección 1.4, donde para un campo ~ se cumple: vectorial G ˛ ˆ ~ )dv = ~  dA ~ (∇  G G 7

V

S

Si pasamos todo bajo una sola integral  ˛  1 ~ ∇  E − ρ(~r) dV = 0 0 V Esta integral es cero dado cualquier volumen V , así que la única alternativa para que la integral sea nula es que el integrando sea siempre cero. De esto obtenemos la forma diferencial de la ley de Gauss ~ = 1 ρ(~r) ∇E 0 Recordemos la interpretación de la divergencia de un campo vectorial que vimos en la sección 1.2.2. En el caso del campo eléctrico, la interpretación es la misma. ¸ ~  dA ~ E ~ ∇  E = l´ım S ∆V ∆V →0 ~ es una medida del flujo del campo eléctrico E ~ a través de una región ∇E ~ da cuenta de cuanto infinitesimal del espacio. Es decir la divergencia de E flujo por unidad de volumen es generado o perdido en un punto. ~ en un punto. Ese La figura 2.30 ilustra la idea de la divergencia deE punto corresponde a: ~ < 0, (lineas entran o convergen). Un sumidero si ∇  E ~ > 0, (lineas salen o divergen). Una fuente ∇  E

Forma diferencial de la ley de Gauss.

electrostática

83

Figura 2.30: Ejemplo gráfico de la divergencia de un campo eléctrico.

~ = 0 (por ejemplo para un campo Una transferencia pura si ∇  E uniforme). EJEMPLO 2.23 Si el campo eléctrico es conocido, la ley de Gauss puede servir para calcular la carga dentro de una región. Por ejemplo, la figura muestra una ~ = (5 + 2x2 )iˆ. superficie y un campo eléctrico paralelo al eje x dado por E Calcular la carga encerrada por la superficie. Solución: Como el campo es paralelo al eje x, cualquier contribución al flujo eléctrico estará dado por las dos caras perpendiculares al eje x. Φ

= −E (x = a)ab + E (x = a + c)ab = −(5 + 2a2 )ab + (5 + 2(a + c)2 ) Qenc = 0

y después de factorizar términos queda Qenc = 2abc(2a + c)0 Aquí hemos usado la forma integral de la ley de Gauss. La otra forma es usar la forma diferencial sabiendo que ~ = 4x = ρ ⇒ ρ(x) = 4x0 ∇E 0

y para calcular la carga debemos integrar ρ en todo el volumen ˛ Qenc =

˛ ρ(x, y, x)dxdydz =

V

V

4x0 dxdydz = 40

ˆb

ˆa dz

0

0

a+c a+c  2 a+c ˆ ˆ x dy xdx = 40 ab xdx = 40 ab 2 a a

Después de arreglar términos obtenemos nuevamente Qenc = 2abc(2a + c)0 .

a

84

electromagnetismo fmf-241 (2014)

2.8 Aplicaciones de la ley de Gauss La principal utilidad de la ley de Gauss es para encontrar el campo eléctrico de distribuciones con simetría. Veremos que en algunos casos es muy sencillo comparado con la integración directa que vimos en la sección 2.5.3. EJEMPLO 2.24: Esfera sólida En primer lugar, el típico ejemplo de una esfera sólida y aislante: la esfera tiene radio a, carga Q y una densidad de carga volumétrica uniforme ρ. Encontrar el campo eléctrico afuera y dentro de la esfera. Solución: en primer lugar si quisiéramos usar la in´ ~ = ke dq2 r, tegración directa E ˆ resultaría un procedir miento matemático un poco complicado. Puesto que la configuración de carga tiene una alta simetría, la ley de Gauss nos puede ayudar. Dividiremos el problema en dos partes: consideraremos un punto afuera de la esfera y otro dentro de ella. a) Caso r>a : La superficie Gaussiana es una esfera concéntrica de radio r pues queremos calcular el campo eléctrico a una distancia r del centro de la esfera. Esta superficie imaginaria encierra toda la carga Q y además por simetría el campo eléctrico debe apuntar radialmente (igual que una carga puntual). Supondremos entonces que la magnitud del campo eléctrico es la misma en todos los puntos de la la superficie Gaus~ debe ser perpendicular a la superficie, por lo tanto dA ~ yE ~ (r ) son siana. Por definición cualquier vector dA paralelos y apuntan en la dirección radial r. ˆ El flujo es ˛ ˛ ˛ ~  dA ~= Φ= E E rˆ  dArˆ = EdA Superficie Gaussiana encierra toda la carga

S

S

S

el campo eléctrico es uniforme y puede salir fuera de la integral ˛ Φ = E dA = E4πr2 S

hemos calculado la integral de superficie que corresponde a una esfera. Pero recordemos que el flujo debe valer qenc /0 y que qenc = Q Q E4πr2 = 0

es decir, la magnitud del campo es

E=

Q ke Q = 2 2 4π0 r r

r>a

Notar que el resultado es idéntico al de una carga puntual y no depende del radio de la esfera.

electrostática

Superficie gaussiana encierra sólo una fracción de la carga

85

b) Caso r 10 : 2πrH = 16 − 12 − 4 = 0 ⇒ (b) Hallar el flujo total a través de la superficie 1 < r < 7, 0 < z < 1. Solución: La superficie corresponde a un rectángulo de ancho 6 elemento de área en este rectángulo es dA = dzdr, además usamos ˆ ˆ ˆ ~ · dA ~ = BdA = B Φ = ˆ1 ˆ6

= 0

1

16µ0 drdz + 2πr

ˆ1 ˆ7 0

6

y alto 1 perpendicular al plano xy. Un ~ = µ0 H ~ para calcular el flujo B Bdrdz

4µ0 drdz 2πr

µ0 = 2 [4 ln 4 + ln 7/6] = 5.9 µWb π  ~ · d~l = I, de la ley de Ampère, aunque en este caso no era Nota: Hemos usado a propósito la forma, C H  ~ ~ necesario pues con C B · dl = µ0 I habría sido más directo.

5.11 Inducción electromagnética Michael Faraday contribuyó a uno de los mayores avances en la teoría electromagnética. El descubrió que si en una espira había un flujo variable de campo magnético, entonces se inducía una fem en la espira. En otras palabras, se establece una corriente eléctrica en la espira sin que esté conectada una batería. La ley de Faraday es establece que la fem inducida en un circuito está relacionada con la variación del flujo magnético:10 ε=−

dΦ dt

Esta es una ley experimental que no puede ser deducida de otras leyes experimentales.

El signo negativo indica que la dirección de la fem inducida es tal que se opone al cambio que la produce (ver ley de Lenz). 10

190

electromagnetismo fmf-241 (2014)

Por definición la fem es ˛ ~ · d~l E

ε= y también ˆ Φm =

~ · dA ~ B S

de ε = − dΦ dt escribimos

ˆ d ~ · dA ~ B dt S para un circuito que no cambia de forma, la derivada total puede pasar hacia adentro de la integral en forma de derivada parcial ε=−

ˆ ε=− S

~ ∂B ~= · dA ∂t

˛ ~ · d~l E

aplicamos el teorema de Stokes a la integral del lado derecho ´ ~ ) · dA ~ de tal forma que (∇ × E

¸

~ · d~l = E

S

ˆ

ˆ ~ ) · dA ~=− (∇ × E

S

S

~ ∂B ~ · dA ∂t

ˆ ⇒ S

~ ~ + ∂B ∇×E ∂t

!

~=0 · dA

Este resultado es válido para cualquier superficie, por lo tanto si la in~ + ∂ B~ = 0 independiente de la superficie. tegral es nula, entonces ∇ × E ∂t Con esto obtenemos la ley de Faraday en forma diferencial:11

Para campos estáticos teníamos que ~ = 0. La ley de Faraday es una ∇×E generalización. 11

~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t LEY DE LENZ “Las fems inducidas son de un sentido tal que se oponen a la variación del flujo magnético que las produjo” Por ejemplo, si intentamos incrementar el flujo a través de un circuito, la fem inducida tiende a causar corrientes en una dirección para decrementar el flujo. EJEMPLO 5.13

Un circuito circular formado por N vueltas de alambre conductor está en el plano xy con el centro en el origen de un campo magnético dado ~ = kB ˆ 0 cos(πr/2b) sin ωt, donde b es el radio del circuito y ω es por B la frecuencia angular. Determinar la fem inducida en el circuito. Solución: El campo magnético es variable con el tiempo y el circuito no cambia de forma, es decir el flujo del campo magnético depende del tiempo. Primero calculamos el flujo y después la fem ˆ ~ · dA ~ Φm = B S

~ es el área de una franja circular de radio r y apunta en este caso dA

magnetismo

191

~ = dAkˆ = 2πrdrkˆ en la dirección z, es decir dA ˆ Φm =

0

b

ˆ 0 cos(πr/2b) sin ωt) · (2πrdrkˆ ) = (kB

 8b2  π − 1 B0 sin ωt π 2

puesto que hay N vueltas, el flujo total es N Φ y obtenemos ε = −N

 8N 2  π dΦ = − b − 1 B0 ω cos ωt dt π 2

EJEMPLO 5.14: Conductor movil en un campo magnético estático Cuando un conductor se mueve en un campo magnético estático con una velocidad ~v , los electrones en el conductor experimentarán una fuerza hacia arriba dada por ~ F~m = q~v × B en esta situación la parte abajo del conductor quedará con deficiencia de electrones y la parte de arriba con exceso de electrones. Esto significa que se establecerá un campo ~ y por lo tanto una fuerza en dirección contraria a la fuerza magnética. Esta eléctrico E separación de cargas será hasta que las fuerzas magnética y eléctrica se equilibren, es decir qE = qvB ⇒ E = vB pero el campo eléctrico está relacionado con la diferencia de potencial ∆V entre ambos extremos del conductor, que está dada por ∆V = EL entonces tenemos la condición ∆V = vBL se establece una diferencia de potencial entre los extremos del conductor, donde el extremo de abajo está a mayor potencial. EJEMPLO 5.15 Dos alambres paralelos e infinitos separados por una distancia d llevan corrientes iguales y en direcciones opuestas, con I incrementándose a una razón de dI dt . Una espira cuadrada de alambre de lado d se coloca a un lado y en el mismo plano de los alambres a una distancia d de uno de los alambres. Encontrar la fem inducida y la dirección de esta en la espira.

Ampère:

Solución: El campo magnético producido por una alambre con corriente I a una distancia r es un resultado muy conocido que puede obtenerse fácilmente por medio de la ley de

µ0 I 2πr y su dirección es tangencial a la circunferencia de radio r (regla de la mano derecha). Entonces el flujo B=

192

electromagnetismo fmf-241 (2014)

magnético a través de la espira debido al alambre más alejado es ˆ Φ1 =

ˆ ~ · dA ~= B

ˆ3d BdA =

S

S

2d

µ0 Id 3 µ0 Id dr = ln 2πr 2π 2

donde dA = (d)dr es un elemento de superficie que corresponde a una cinta de alto d y ancho dr en la espira. En este caso el flujo se dirige hacia adentro de la página. Análogamente para el otro alambre ˆ2d Φ2 =

µ0 Id µ0 Id dr = ln 2 2πr 2π

d

apuntando hacia afuera de la página. Entonces el flujo total es Φ = Φ2 − Φ1 = apuntando hacia fuera de la página. En consecuencia la fem inducida en la espira es ε=−

µ0 Id 4 ln 2π 3

dΦ µ0 d 4 dI = − ln dt 2π 3 dt

El campo magnético producido por la corriente inducida debe tender a oponerse al cambio de flujo magnético, de tal forma que el campo debe entrar en la página. Entonces por la regla de la mano derecha la corriente debe fluir en el sentido horario.

5.12 Inductancia e inductancia mutua 5.12.1 Inductancia La inductancia12 es uno de los tres parámetros importantes en la teoría de circuitos. Los otros dos parámetros ya los vimos y son la resistencia y la capacidad. Vamos a considerar la relación entre el flujo magnético y la corriente asociados a un circuito aislado. Si queremos calcular el flujo magnético asociado a un circuito aislado depende de su geometría, y de acuerdo ´ r12 ~ (~r2 ) = µ0 I1 d~l1 ×~ a la ley de Biot-Savart B depende linealmente de 4π r3 12

la corriente en el circuito. Entonces para un circuito que no cambia de forma, la única manera que cambie el flujo es debido al cambio en la corriente. La expresión de flujo la podemos escribir dΦ dI dΦ = dt dI dt

~ es proporcional a Puede suceder que la ley de Biot-Savart sea válida (B I) o que el flujo sea directamente proporcional a la corriente (en ese caso dΦ Φ dI es una constante igual a I ). En cualquiera de los dos casos definimos la inductancia L como dΦ L= dI de este modo la ley de inducción se puede escribir

También conocida como auto inductancia. 12

magnetismo

ε = −L

193

dI dt

que es una ecuación de considerable utilidad. La unidad de inductancia es el henry (H). EJEMPLO 5.16: Inductancia de un toroide Un dispositivo llamado toroide se usa frecuentemente para crear un campo magnético aproximadamente uniforme. un toroide consiste de un alambre conductor enrollado alrededor de un anilla (toro) hecho de un material no conductor. Para un toro con N vueltas, calcular la auto inductancia. Solución: Debemos calcular el flujo magnético, pero primero hay que calcular el campo magnético. De ~ k d~l, es decir B ~ · d~l = Bdl. La aplicación de la ley de Ampère nos lleva a acuerdo a la figura B ˛

˛ ~ · d~l = B

Bdl = µ0 N I

el campo magnético es constante en cualquier punto de una circunferencia de radio r ˛ B dl = µ0 N I ⇒ B2πr = µ0 N I B=

µ0 N I 2πr

Este campo depende de r por lo tanto no es uniforme dentro del toroide. Sin embargo para r mucho mayor que el radio de la sección transversal de toro, podemos considerar un campo aproximadamente uniforme. N IA Ahora procedemos a calcular el flujo. El flujo para cada vuelta es µ02πr , donde A es el área de la sección transversal del toro. Como hay N vueltas, el flujo total es µ0 N IA µ0 N 2 AI = 2πr 2πr de esta forma, la inductancia es aproximadamente Φ=N

L=

µ0 N 2 A 2πr

5.12.2 Inductancia mutua En la sección anterior sólo consideramos un circuito aislado. Ahora consideremos que hay n circuitos. El flujo sobre el i-ésimo circuito debido a al resto de los n − 1 circuitos se calcula como Φi = Φi1 + Φi2 + · · · + Φii + · · · + Φin =

n X

Φij

j =1

donde Φi1 significa el flujo sobre el circuito i debido al circuito 1, etc. la fem inducida sobre el i-ésimo circuito es   n X dΦij dΦi dΦi1 dΦi2 dΦii dΦin ε=− =− + +···+ + +···+ =− dt dt dt dt dt dt j =1

Si cada uno de los circuitos es rígido y estacionario, entonces dΦij dΦij dIj = dt dI dt

194

electromagnetismo fmf-241 (2014)

al igual que en el caso de un sólo circuito, los términos dIij son constantes y definimos la inductancia mutua entre el circuito i y el circuito j como dΦ

Mij =

dΦij dIj

i 6= j

Se puede demostrar que Mij = Mji . EJEMPLO 5.17 Supongamos que en el toroide del problema 5.16 hay N1 vueltas y le enrollamos otro alambre con N2 vueltas. Calcular la inductancia y la inductancia mutua. Solución: El campo magnético producido por la corriente 1 es (ver problema 5.16) µ0 N1 I1 2πr

B= en consecuencia los flujos son: Φ11 =

µ0 N12 AI1 2πr

De estos flujos sigue que L1 = De la misma manera

µ0 N12 A 2πr

y

y

Φ21 =

M21 =

µ0 N1 N2 AI1 2πr µ0 N1 N2 A 2πr

µ0 N22 A µ0 N1 N2 A y M12 = 2πr 2πr demostrando, que en este caso, se cumple M12 = M21 . L2 =

Nota: Puesto que M12 = M21 , es interesante considerar 2 M12 M21 = M12 =

es decir M12 =

√

L1 L2



µ0 N1 N2 A 2πr

2

=

µ0 N12 A µ0 N22 A = L1 L2 2πr 2πr

magnetismo

195

5.13 Ecuaciones de Maxwell La ecuaciones de Maxwell representan una de las formas más elegantes y concisas de establecer los fundamentos de la electricidad y el magnetismo. De estas ecuaciones podemos desarrollar la mayoría de las relaciones necesarias en este campo. La formulación concisa de estas ecuaciones involucran un alto nivel de sofisticación matemática, y son usadas como punto de partida para cursos más avanzados. James Clerk Maxwell fue un genio al mismo nivel que Einstein o Newton. Maxwell tomó un conjunto de leyes experimentales conocidas (ley de Faraday, ley de Ampère) y las unificó en un conjunto simétrico y coherente de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell. Maxwell fue uno de los primeros en determinar que la rapidez de propagación de las ondas electromagnéticas es la misma que la rapidez de luz; con esto concluyó que las ondas electromagnéticas y la luz son la misma cosa. Originalmente las ecuaciones de Maxwell fueron escritas para campos en el vacío, en presencia de una densidad de carga eléctrica ρ, y densidad de corriente J~ (cargas en movimiento). Durante el curso hemos formulado algunas de las ecuaciones de Maxwell sin haberlo mencionado:

5.13.1 Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell Las cuatro ecuaciones para ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ~ = µ0 ε0 ∂ E + µ0 J~ ∇×B ∂t ~ = 1ρ ∇E ε0 ~ =0 ∇B

el vacío son: Ley de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad Ley de Gauss del magnetismo

Las mismas ecuaciones también pueden ser escritas para medios magnéticos o medios polarizables

Con:

~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ∂ D ~ = ∇×H + J~ ∂t

Ley de inducción de Faraday

~ =ρ ∇D

Ley de Gauss de la electricidad

~ =0 ∇B

Ley de Gauss del magnetismo

Ley de Ampère

Figura 5.23: James Clerk Maxwell [1831-1879] fue un físico escocés, quien originó la idea de radiación electromagnética. Su trabajo fue la base para la teoría especial de la relatividad de Einstein. El también determinó la naturaleza de los anillos de Saturno e inventó la teoría cinética de los gases. La ideas de Maxwell son la base de la mecánica cuántica y de la teoría de la estructura de los átomos y las moléculas.

196

electromagnetismo fmf-241 (2014)

~ = ε0 E ~ + P~ D

Caso general

~ = ε0 E ~ D

Espacio libre

~ = εE ~ D

Dieléctrico lineal isotrópico

~ = µ0 (H ~ +M ~) B

Caso general

~ = µ0 H ~ B

Espacio libre

~ = µH ~ B

Medio magnético lineal isotrópico

5.13.2 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Durante el curso hemos estado más familiarizados con la forma integral de las ecuaciones de Maxwell. Las cuatro ecuaciones para el vacío son: ‰ ~  d~l = − dΦ E Ley de inducción de Faraday dt C ˆ ‰ ~ ∂E ~ ~ ~ Ley de Ampère B  dl = µ0 I + µ0 ε0  dA S ∂t C ˆ ~  dA ~= 1Q E Ley de Gauss de la electricidad ε0 S ˆ ~  dA ~=0 B Ley de Gauss del magnetismo S

Las mismas ecuaciones también ticos o medios polarizables ‰ ~  d~l = − dΦ E dt C ‰ ˆ ~ ∂D ~ ~ ~ H  dl = I +  dA C S ∂t ˆ ~  dA ~=Q D

pueden ser escritas para medios magnéLey de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad

S

ˆ

S

~  dA ~=0 B

Ley de Gauss del magnetismo

magnetismo

5.13.3 Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo Las ecuaciones de Maxwell en sus formas diferencial e integral se encuentran resumidas en la tabla siguiente: Forma diferencial ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ~ = ∂ D + J~ ∇×H ∂t ~ =ρ ∇D

Forma integral ‰ ~  d~l = − dΦ E dt C ‰ ˆ ~ ∂D ~  d~l = I + ~ H  dA C S ∂t ˆ ~  dA ~=Q D

Significado Ley de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad

S

~ =0 ∇B

ˆ

~  dA ~=0 B

Ley de Gauss del magnetismo

S

Las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuación de continuidad ∂ρ + ∇ · J~ = 0 ∂t y la fuerza de Lorentz ~ + ~v × B ~) F~ = q (E constituyen las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. Estas ecuaciones pueden ser usadas para explicar y predecir todos lo fenómenos macroscópicos electromagnéticos.

197

Apéndice A Elementos diferenciales d~s

~ dA

dV

Cartesianas

dx iˆ + dy jˆ + dz kˆ

ˆ dxdz jˆ ; dydz iˆ dxdy k;

dxdydz

Cilíndricas

dr rˆ + rdφ φˆ + dz kˆ

rdφdz r; ˆ rdφdr kˆ

rdφdzdr

Esféricas

dr rˆ + r sin θdφ φˆ + rdθ θˆ

r2 sin θdθdφ rˆ

r2 sin θdθdφdr

~ =0 Demostración de que ∇ × E Partiendo de

ˆ ~ (~r) = ke E V

~ es el rotor de E

~r − ~r0 ρ(r~0 )dv 0 |~r − ~r0 |3

 ˆ  ~r − ~r0 ~ = ∇ × ke ∇×E ρ(r~0 )dv 0 |~r − ~r0 |3 V

El campo depende solo de ~r, así que ˆ ρ(r~0 )dv 0 ∇ ×

~ = ke ∇×E



V

~r − ~r0



|~r − ~r0 |3

Para desarrollar esta expresión usamos una identidad vectorial. Sea f una ~ un campo vectorial, entonces se cumple que función escalar y A ~) = f ∇ × A ~ + ∇f × A ~ ∇ × (f A En el término

~ r−~ r0 , |~ r−~ r 0 |3

~r − ~r0 es un vector y

1 |~ r−~ r 0 |3

es un escalar que

depende de ~r. Si aplicamos la identidad anterior     ~r − ~r0 1 1 0 ∇× = ∇ × (~r − ~r ) + ∇ × (~r − ~r0 ) |~r − ~r0 |3 |~r − ~r0 |3 |~r − ~r0 |3 Se puede demostrar fácilmente que ∇ × (~r − ~r0 ) = 0. Por otro lado !   1 1 ∇ =∇ |~r − ~r0 |3 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2 Empezaremos con la componente x del gradiente: !   1 ∂ 1 ∇ = ∂x [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2 |~r − ~r0 |3 x

= −

3 2(x − x´) 2 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]5/2

= −3

x − x0 |~r − ~r0 |5

200

electromagnetismo fmf-241 (2014)

Similarmente para las otras componentes:     y − y0 1 z − z0 1 = −3 y ∇ = −3 ∇ |~r − ~r0 |3 y |~r − ~r0 |5 |~r − ~r0 |3 z |~r − ~r0 |5 es decir

1

 ∇



|~r − ~r0 |3

= −3

~r − ~r0 |~r − ~r0 |5

Por lo tanto 0

 ∇×

~r − ~r0 |~r − ~r0 |3



= 0−3

~r − ~r0 |~r − ~r0 |5

× (~r − ~r0 ) = −3

}| { z (~r − ~r0 ) × (~r − ~r0 ) |~r − ~r0 |5

=0

~ el producto vectorial A ~ ×A ~ = 0. es cero porque para cualquier vector A, Finalmente   ˆ ~r − ~r0 ~ = ke ∇×E ρ(r~0 )dv 0 ∇ × =0 |~r − ~r0 |3 V | {z } 0

Ecuaciones de Maxwell Forma diferencial ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ ∂ D ~ = ∇×H + J~ ∂t ~ =ρ ∇D ~ =0 ∇B

Forma integral ‰ ~  d~l = − dΦ E dt ˆ ‰C ~ ∂D ~ ~ ~ H  dl = I +  dA S ∂t ˆC ~  dA ~=Q D ˆS ~  dA ~=0 B

Significado Ley de inducción de Faraday Ley de Ampère Ley de Gauss de la electricidad Ley de Gauss del magnetismo

S

~ = ε0 E ~ + P~ D

Caso general

~ = ε0 E ~ D

Espacio libre

~ = εE ~ D

Dieléctrico lineal isotrópico

~ = µ0 (H ~ +M ~) B

Caso general

~ = µ0 H ~ B

Espacio libre

~ = µH ~ B

Medio magnético lineal isotrópico

Índice alfabético adición de vectores, 10 aisladores, 46 base ortonormal, 34, 36 campo conservativo, 29, 62 campo eléctrico, 55 campo escalar, 19 campo irrotacional, 27 campo magnético, 163 campo solenoidal, 26 campo vectorial, 19 capacidad, 119 carga de prueba, 55 carga eléctrica, 43 carga fundamental, 45 carga puntual, 47 circulación, 30 condensadores, 119 condición de frontera, 129 condiciones de borde, 129 conducción, 46 conductores, 46, 112 conjunto completo, 13 conservación de la carga, 45 constante dieléctrica, 124, 127 coordenadas cilíndricas, 36 coordenadas curvilíneas, 33 coordenadas esféricas, 34 coordenadas polares, 37 corriente continua, 155 corriente eléctrica, 141 cuantización de la carga, 45 curvas de nivel, 20 densidad de corriente, 143 densidad de corriente en régimen permanente, 153 densidad de flujo eléctrico, 126 densidad lineal de carga, 59 densidad superficial de carga, 59 densidad superficial de carga de polarización, 125 densidad volumétrica de carga, 59 densidad volumétrica de carga de polarización, 125 desplazamiento eléctrico, 126 diagrama de contorno, 19

dieléctricos, 123 dieléctricos imperfectos, 152 diferenciación vectorial, 21 distribución continua de carga, 58 divergencia, 26 ecuación de continuidad, 144, 197 ecuación de Laplace, 29, 105, 135 ecuación de Poisson, 28, 104, 135 ecuaciones de Maxwell, 195 efecto Joule, 161 efecto punta, 116 electrostática, 43 elemento infinitesimal de área, 33 elemento infinitesimal de línea, 33 elemento infinitesimal de volumen, 33 energía electrostática, 138 energía potencial, 94 energía potencial eléctrica, 94 equilibrio electrostático, 112 espacio vectorial, 9 forma diferencial de la ley de Gauss, 82, 126 forma integral de la ley de Gauss, 81, 127 fricción, 46 fuente, 26 fuerza conservativa, 93 fuerza de Lorentz, 164, 197 fuerza eléctrica, 47, 69 funciones vectoriales, 21 gradiente, 22 inducción, 46 inducción magnética, 163 inductancia, 192 inductancia mutua, 194 Laplaciano, 28 Ley de Coulomb, 47 ley de Gauss, 81 ley de Joule, 161

ley de Ohm, 145 leyes de Kirchhoff, 155 lineas de campo, 56 lineas de fuerza, 56 método de corrientes de malla, 160 magnitud de un vector, 14 manantial, 26 momento dipolar eléctrico, 110 operador nabla, 23 operadores, 38 permitividad del espacio vacío, 47 potencia disipada, 161 potencial eléctrico, 94 potencial electrostático, 93 principio de superposición, 52, 56 producto cruz, 16 producto escalar, 15 producto punto, 15 producto vectorial, 16 proyección de un vector, 18 regla del paralelogramo, 10 regla del triángulo, 10 rotacional, 27 rotor, 27 semiconductores, 46 sumidero, 26 superficie de frontera, 129 superficie equipotencial, 117 Susceptibilidad eléctrica, 127 sustracción de vectores, 10 teorema de la divergencia, 32 teorema de Stokes, 32 vector, 9 vector base, 12, 13 vector de desplazamiento, 126 vector de polarización, 124 vector posición, 12, 21 vector unitario, 12 velocidad de deriva, 165 Volt, 94