Electromagnetismo
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Descripción: Practicas de fisica en electromagnetismo William taipe...
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Índice general Presentación
I
Índice general
II
1. Datos generales 1.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Datos de la Institución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 1
2. Justificación
2
3. Objetivos 3.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 4
4. Electrostática 4.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ley de Coulomb y principio de superposion . 4.2.1. Principio de superposición . . . . . . . . 4.2.2. Distribución continua de carga . . . . . 4.3. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Expansion multipolar del campo eléctrico . . 4.6.1. Momento monopolar eléctrico . . . . . 4.6.2. Momento dipolar eléctrico . . . . . . . . 4.6.3. Momento cuadripolar eléctrico . . . . .
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5 5 5 5 5 15 19 22 28 28 28 29
5. Electrostática y condición de frontera 5.1. Problema unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. En coordenadas cartesianas . . . . . . . . 5.1.2. En coordenadas esféricas . . . . . . . . . . 5.1.3. En coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . 5.2. Problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . 5.2.2. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . 5.3. Problema con densidad volumétrica de carga
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39 39 39 39 39 43 43 43 44 50
II
ÍNDICE GENERAL
III
6. Imágenes electrostáticas 6.1. Imágenes electrostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Placa conductora infinita y carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Carga puntual y esfera conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 53 53 55
7. Metodología 7.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 62 62 62
8. Cronograma de Actividades 8.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63 63 63
9. Relación de Estudiantes y Asistencias 9.1. Relación de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64 64 65
10.Anexo 10.1. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66 66 66
Bibliografía
67
C. William Taipe H.
Capítulo 2 Justificación La práctica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. de Ciencias Físico Matemáticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social y desarrollo. La práctica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempeño docente, mediante la aplicación de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas desarrolladas en la E.P. de Ciencias Físico Matemáticas. La práctica pre-profesional tiene sustento: 1ro En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias Físico Matemáticas 2001-2006 en los reglamentos específicos que habla de las prácticas pre-profesionales en sus artículos 40-48 señalan: Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realización de prácticas pre-profesionales en la formación de todos los estudiantes de la universidad. Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas están obligados a realizar prácticas pre-profesionales pudiendo efectuarse después de haber logrado un mínimo de 170 créditos. Art. 42 Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas serán prácticas productivas y prácticas de investigación. Art. 43 Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros de enseñanza de nivel medio superior y universidades; prácticas en centros productivos, convenio, proyectos y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos. Art. 44 Las prácticas de investigación se realizan en la U.N.A. bajo la dirección de un profesor designado específicamente con este fin. Art. 45 2
CAPÍTULO 2. JUSTIFICACIÓN
3
Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de un semestre académico. Art. 46 Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas productivas y/o de investigación presentaran el informe a la institución donde se realizo y esta a su vez informara de su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remitirá a la comisión de prácticas pre profesionales para su aprobación o desaprobación. Art. 47 En el caso de que la práctica productiva y/o prácticas de investigación se realice en la Universidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo, este a su vez informara su desarrollo a la Dirección de la Carrera para el visto bueno de la comisión de prácticas Pre-profesionales. Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos por la Comisión de prácticas pre profesionales. 2d o En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen académico y administrativo en su capitulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su articulo 122 que señala: Art. 122 La actividad académica en una Escuela Profesional comprende: Formación general. Formación básica profesional. Formación profesional. Investigación. Orientación profesional. Proyección y extension universitaria Su diseño involucra la programación curricular teórico-práctica de cada asignatura; proyectos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de proyección y extension universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales. Concor.: Arts.10, 12, 16 y ss. Ley 23733
C. William Taipe H.
Capítulo 3 Objetivos 3.1.
Objetivos Generales
Las prácticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en práctica los conocimientos adquiridos plasmándolo en la enseñanza universitaria.
3.2.
Objetivos Específicos Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria. Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la práctica preprofesional. Proporcionar conceptos, teoremas, etc. relacionados al tema a desarrollarse. Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan. Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.
4
Capítulo 4 Electrostática 4.1.
Carga eléctrica
Es una propiedad fundamental de la materia, entre partículas que manifiestan esta propiedad existen fuerzas de atracción o de repulsion
4.2.
Ley de Coulomb y principio de superposion
Las interacciones entre cuerpos que se encuentran cargadas eléctricamente y en reposo están gobernado por la ley de Coulomb. F~ =
4.2.1.
(4.1)
Principio de superposición F~ =
4.2.2.
1 qq1 (~r − ~r1 ) 1 qq1 (~r − ~r1 ) = 2 4π"o |~r − ~r1 | |~r − ~r1 | 4π"o |~r − ~r1 |3
1 (~r − ~r1 ) (~r − ~rn ) qq1 + . . . + qqn 4π"o |~r − ~r1 |3 |~r − ~rn |3 n (~r − ~ri ) 1 X ~ qqi F= 4π"o i =1 |~r − ~ri |3
(4.2) (4.3)
Distribución continua de carga
Densidad volumétrica de carga: ρ(~r 0 ) ρ(~r 0 ) = Densidad superficial de carga: σ(~r 0 )
dq dV
(4.4)
dq (4.5) da La fuerza que una distribución volumétrica de carga ρ(~r 0 ) ejerce sobre una carga puntual q es: ZZZ q (~r − ~r 0 ) F~ = ρ(~r 0 ) dV0 (4.6) 0 3 4π"o |~r − ~r | V σ(~r 0 ) =
5
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
6
La fuerza que una distribución superficial de carga σ(~r 0 ) ejerce sobre una carga puntual q es: ZZZ (~r − ~r 0 ) q σ(~r 0 ) F~ = da0 (4.7) 0 |3 ~ 4π"o |~ r − r S El principio de superposición se puede aplicar para calcular la fuerza que una distribución muy general de carga ejerce sobre una carga puntual q ubicado en un punto ~r . ( ) Z n X q qi (~r − ~ri ) d q 0 (~r − ~r 0 ) F~ = + (4.8) 4π"o i =1 |~r − ~ri |3 |~r − ~r 0 |3 EJERCICIO NO 4. 1 Dos cargas puntuales q 0 y −q 0 están sobre el eje X con coordenadas a y −a respectivamente. Hallar la fuerza sobre la carga q situada en un punto arbitrario del plano X Y .
SOLUCIÓN Gráficamente el problema sera de la forma siguiente
Las fuerza que actúa entre las cargas −q 0 y q sera de atracción y la fuerza entre q 0 y q sera de repulsión. La fuerza total sobre la carga q sera la suma de las fuerzas que interacción con la carga q F~1 = − F~2 =
1 qq 0 ~r1 4π"o r13
1 qq 0 ~r2 4π"o r23
(a)
(b)
de la gráfica obtenemos las componentes del vector ~r1 ~r1 = (x iˆ + y jˆ) − (−a iˆ + 0 jˆ) ~r1 = (x + a )iˆ + y jˆ modulo de ~r1 r1 =
p
(x + a )2 + y 2
de la gráfica obtenemos las componentes del vector ~r2 ~r2 = (x iˆ + y jˆ) − (a iˆ + 0 jˆ) ~r2 = (x − a )iˆ + y jˆ C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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modulo de ~r2 r2 =
p
(x − a )2 + y 2
Fuerza total ejercida sobre la carga q es la suma de la ecuación (a) y (b) F~ = F~1 + F~2 1 qq 0 1 qq 0 ~ ~r2 F~ = − r + 1 4π"o r13 4π"o r23 1 F~ = 4π"o
qq 0 qq 0 ~ ~r2 r + 1 r13 r23
(c)
reemplazando los valores de r1 , r2 , ~r1 y ~r2 en la ecuación (c) 1 (x − a )iˆ + y jˆ (x + a )iˆ + y jˆ F~ = − 4π"o [(x − a )2 + y 2 ]3/2 [(x + a )2 + y 2 ]3/2 EJERCICIO NO 4. 2 Sobre un cuadrado de lado a en el plano Y Z que tiene un vértice en el origen de coordenadas y lados paralelos a los semiejes positivos, se coloca en cada vértice una carga q 0 . Una carga puntual q se ubica sobre el eje X a una distancia b del origen. Hallar el componente x de la fuerza que actúa sobre q .
SOLUCIÓN Para calcular la fuerza usaremos la ecuación F~ =
X i
1 qqi (~r − ~ri ) 4π"o |~r − ~ri |3
(a)
De la gráfica obtenemos que: ~r = b iˆ+0 jˆ+0kˆ ,
~r4 = 0iˆ+0 jˆ+0kˆ ,
~r1 = 0iˆ+a jˆ+0kˆ ,
~r2 = 0iˆ+a jˆ+a kˆ ,
y
~r3 = 0iˆ+0 jˆ+a kˆ
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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desarrollamos la ecuación (a) para nuestro caso F~ = F~ =
(~r − ~r1 ) (~r − ~r2 ) (~r − ~r3 ) (~r − ~r4 ) 1 1 1 1 qq 0 qq 0 qq 0 qq 0 + + + 3 3 3 4π"o |~r − ~r1 | 4π"o |~r − ~r2 | 4π"o |~r − ~r3 | 4π"o |~r − ~r4 |3 ~r − ~r1 ~r − ~r2 ~r − ~r3 ~r − ~r4 1 qq 0 + + + 4π"o |~r − ~r1 |3 |~r − ~r2 |3 |~r − ~r3 |3 |~r − ~r4 |3
reemplazando los valores obtenidos de la gráfica ˆ − a jˆ + 0kˆ ) (b iˆ − a jˆ − a kˆ ) (b iˆ + 0 jˆ − a kˆ ) (b iˆ + 0 jˆ + 0kˆ ) 1 (b i F~ = qq 0 + + + 4π"o [b 2 + a 2 ]3/2 [b 2 + 2a 2 ]3/2 [b 2 + a 2 ]3/2 [b 2 ]3/2 pero nos pide Fx Fx
=
Fx
=
b b b b 1 0 qq + + + 4π"o [b 2 + a 2 ]3/2 [b 2 + 2a 2 ]3/2 [b 2 + a 2 ]3/2 [b 2 ]3/2 1 2b b 0 1 qq + + 4π"o b [b 2 + a 2 ]3/2 [b 2 + 2a 2 ]3/2
EJERCICIO NO 4. 3 Dos líneas de carga de igual longitud L, paralelas y dispuestas en el plano X Y como se muestra en la figura tiene cada una densidad lineal de carga uniforme λ. Hallar la fuerza que la linea I I experimenta debido a la linea I .
SOLUCIÓN
La ecuación a resolver es la siguiente d F~ =
1 d q I d q I I (~r − ~r 0 ) 4π"o |~r − ~r 0 |3
(a) C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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donde nuestros datos son
~r = a iˆ + y jˆ ~r 0 = 0iˆ + y 0 jˆ
por dato sabemos que la densidad de carga de las líneas es λ λ=
d qI ; dy0
λ=
d qI I dy
de donde despejamos que d q I = λd y 0 ;
d q I I = λd y
Reemplazando todo los datos hallados en la ecuación (a) d F~ = d F~ =
1 λd y 0 λd y (a iˆ + (y − y 0 ) jˆ) 4π"o [a 2 + (y − y 0 )2 ]3/2 1 λ2 (a iˆ + (y − y 0 ) jˆ)d y 0 d y 4π"o
[a 2 + (y − y 0 )2 ]3/2
Integrando esta ecuación F~ = F~ = F~ =
1 λ2 4π"o
Z LZ
L
(a iˆ + (y − y 0 ) jˆ)d y 0 d y [a 2 + (y − y 0 )2 ]3/2
0Z L 0Z L Z LZ L 0d y 0d y 0d y 1 a d y y − y λ2 iˆ + jˆ 2 + (y − y 0 )2 ]3/2 2 + (y − y 0 )2 ]3/2 4π"o [a [a 0 0 0 0 L L Z Z L L 0 2 1d y λ y −y dy ˆ ˆ p p i+ j −a 2 2 0 2 2 0 2 4π"o a + (y − y ) a (y − y ) 0 0 a 0
0
Z L Z L Z L Z L λ2 ydy dy dy (y − L)d y −a F~ = iˆ + a iˆ + jˆ − jˆ p p p p 2 2 + (y − L)2 2 2+y2 2 + (y − L)2 2+y2 4π"o a a a a a a 0 0 0 0 ! Z L Z L Z L λ2 1 (y − L)d y dy ydy F~ = − iˆ + + +p jˆ p p 2 4π"o a a 2 + (y − L)2 a2 +y 2 a 2 (y − L)2 0 a 0 0 Z L dy jˆ − p 2 2 a +y 0 L L p p p λ2 1 p 2 ˆ 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ~ F= − a + (y − L) + a + y i + ln(y − L + a + (y − l ) ) j − ln(y + a + y ) jˆ 4π"o a 0 0 p p p p λ2 1 F~ = (−a + a 2 + L 2 + a 2 + L 2 − a )iˆ + ln a jˆ − ln( a 2 + L 2 − L) jˆ − ln(L + a 2 + L 2 ) jˆ + ln a jˆ 4π"o a F~ = F~ =
λ2 4π"o
1 p 2 2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ (2 a + L − 2a )i + 2 ln a j − ln(a + L − L ) j a r λ2 L2 ( 1 + 2 − 1)iˆ 2π"o a C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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EJERCICIO NO 4. 4 Sobre un disco de radio R en el plano X Y con centro en el origen se tiene una distribución superficial de carga descrita por la expresión: σ = a r 2 , donde a es una constante (a) Determine las unidades de a , (b) Halle la carga total sobre el disco, (c) Halle la fuerza producida por esta distribución de carga sobre una carga puntual q ubicada en el eje Z
SOLUCIÓN
a) Por dato tenemos que la densidad de carga superficial es σ = a r 2 donde r es el radio y su unidad es el metros, la unidad de σ es C /m 3 , reemplazando esto en la ecuación σ = ar2 C = a (m )2 m2 despejando la unidad de a es a = mC2 b) La carga total sobre un disco
La densidad superficial de carga es σ=
dQ dS
De donde despejamos la diferencial de carga dQ = σd S dQ = a r 2 d S
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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Integrando esta ecuación Z Z Q =
a r 2r d r d θ φ 2π Z R
Z Q =
a r 3d r d φ 0
0 2π Z R
Z Q = a
r 3d r d φ 0
0 2π
Z Q = a 0
2π
Z Q = a 0
R r 4 dφ 4 0 R4 4
R 4π Q = a 2 c) Para el caso de un disco
por dato tenemos ~r = 0iˆ + 0 jˆ + z kˆ ;
~r 0 = r cos φ iˆ + r sen φ jˆ + 0kˆ
dQ = a r 2 d S;
dS = rd rd φ
la fuerza que actúa sobre la carga puntual q sera el siguiente d F~ =
q dQ(~r − ~r 0 ) 4π"o |~r − ~r 0 |3
Reemplazando nuestros datos d F~ =
q (−r cos φ iˆ − r sen φ jˆ + z kˆ )a r 2 r d r d φ 4π"o [r 2 + z 2 ]3/2
integrando qa F~ = 4π"o
R
Z 0
2π
Z 0
(−r cos φ iˆ − r sen φ jˆ + z kˆ )r 3 d φd r [r 2 + z 2 ]3/2 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
F~ = F~ =
12
qa 4π"o
Z
R
qaz 2"o
Z
0 R
0
2πz r 3 d r ˆ k [r 2 + z 2 ]3/2 r 3d r kˆ [r 2 + z 2 ]3/2
qaz 2"o
p
qaz F~ = 2"o
p
F~ =
! R ˆ 2 2 r +z + p k r2 +z2 z2
0
R2 + z 2 + p
z2 R2 + z 2
! − 2z
kˆ
EJERCICIO NO 4. 5 Encontrar la fuerza electrostática sobre un alambre con densidad lineal de carga uniforme λ, debido a un disco uniformemente cargado con densidad σ. El alambre es de longitud L, perpendicular al disco y toca a este en su centro.
SOLUCIÓN Gráficamente el problema es el siguiente
Donde la densidades correspondientes son los siguientes: La densidad lineal de carga para el alambre es λ=
dQ dz
La densidad superficial de carga para el disco es σ=
dQ 0 dS
de donde despejamos
La diferencial de fuerza es d F~ =
dQ = λd z
(a)
dQ 0 = σd S
(b)
~ −R ~ 0) 1 dQdQ 0 (R ~ −R ~ 0 |3 4π"o |R
(c) C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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donde de la gráfica obtenemos y
~ = 0iˆ + 0 jˆ + z kˆ R ~ 0 = r cos φ iˆ + r sen φ jˆ + 0kˆ R
~ yR ~ 0 en la ecuación (c) Ahora reemplazando las ecuaciones (a) , (b) y los valores de R d F~ = d F~ = d F~ = d F~ = d F~ = d F~ =
~ −R ~ 0) 1 λd z σd S(R ~ −R ~ 0 |3 4π"o |R Z a Z 2π (−r cos φ iˆ + r sen φ jˆ + z kˆ )r d φd r λσd z 3/2 4π"o 0 0 [r 2 + z 2 ] Za 2πz r d r ˆ k 2 + z 2 ]3/2 [r 0 Za λσz 2πd z rd r kˆ 2 + z 2 ]3/2 4π"o [r 0 ! λσz d z −1 1 ˆ + k p 2"o a2 +z2 z ! λσ zdz kˆ 1d z − p 2"o 2 2 a +z
Integrando con respecto a la variable z λσ F~ = 2"o F~ =
L
Z
L
Z 1d z −
0
0
zdz p
a2 +z2
!
kˆ
p λσ L − a + a 2 + L 2 kˆ 2"o
EJERCICIO NO 4. 6 Un cilindro circular recto de radio R esta orientado a lo largo del eje Z . Tiene densidad volumétrica de carga dada por la expresión: ρ(z ) = ρ0 + β z con respecto a un origen en el centro del cilindro. encontrar la fuerza sobre una carga puntual q colocada en el centro del cilindro. Altura cilindro es L
SOLUCIÓN
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
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De los datos del ejercicio ρ(z ) = ρ0 + β z
(a)
Para calcular la fuerza aplicaremos la ecuación Z Z Z ρ(z )(~r − ~r 0 )d V q F~ = 4π"o |~r − ~r 0 |3
(b)
donde de la gráfica obtenemos que ~r = 0iˆ + 0 jˆ + 0kˆ ; de donde
~r 0 = r cos φ iˆ + r sen φ jˆ + z kˆ
~r − ~r 0 = −r cos φ iˆ − r sen φ jˆ − z kˆ p |~r − ~r 0 | = r 2 + z 2
(c) (d)
Reemplazando las ecuaciones (a),(c) y (d) en la ecuación (b) obtenemos F~ = F~ = F~ =
q 4π"o
Z
L/2
Z
R
−L/2 0 L/2 Z R
2π
Z 0
(ρ0 + β z )(−r cos φ iˆ − r sen φ jˆ − z kˆ )r d φd r d z (r 2 + z 2 )3/2
q (ρ0 + β z )(−z )r 2π d r d z kˆ 4π"o −L/2 0 (r 2 + z 2 )3/2 Z L/2 Z R q −(ρ0 + β z )z r d r d z kˆ 2"o −L/2 0 (r 2 + z 2 )3/2 Z
Resolviendo las integrales con ayuda de tablas de integrales F~ = F~ = F~ =
q 2"o
Z
q 2"o
Z
q 2"o
Z
L/2
−L/2 L/2
−L/2
R (ρ0 + β z )z d z kˆ p r2 +z2 0
! (ρ0 + β z )z − (ρ0 + β z ) d z kˆ p 2 2 R +z
L/2
−L/2
ρ0 z p
R2 + z 2
+p
βz2 R2 + z 2
! − ρ0 − β z
d z kˆ
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
q F~ = 2"o
ρ0
p
βz
p
! L/2 p 2 R2 + z 2 β R2 z − ln(z + R 2 + z 2 ) − ρ0 z − β kˆ 2 2 2 −L/2
F~ =
R2 + z 2 +
15
q 2"o
p βL 2
r r 2 + L 2 /4 β R 2 L L2 L − ln + R 2 − β0 + 2 2 2 4 2
p βL 2
r 2 + L 2 /4 2
+
r β R2 L L2 L + ln − + R 2 − β0 kˆ 2 2 4 2 F~ = F~ = F~ =
F~ =
r r r 2 2 2 2 2 q βL L R L L L L R R2 + −β ln + R 2 + β ln − + R 2 − β L kˆ 2"o 2 4 2 2 4 2 2 4 L p 2 L p 2 R2 R2 qβ L p 2 2 2 2 ln + R + L /4 + ln − + R + L /4 − L kˆ R + L /4 − 2"o 2 2 2 2 2 p L R 2 2 + R 2 + L 2 /4 qβ L p 2 2 R + L /4 − ln − L kˆ p 2"o 2 2 − L2 + R 2 + L 2 /4 2 p L 2 2 p 2 + R + L /4 qβ 2 L R 2 + L 2 /4 − R ln kˆ − L 2"o 2 2 R
F~ =
4.3.
qβ 2"o 2
Lp
L R 2 + L 2 /4 − R ln + 2R 2
r
L2 + 1 − L kˆ 4R 2
Campo eléctrico
El campo electrostático en un punto ~r es el limite de la razón: fuerza electrostática F~ que actúa sobre una carga q colocado en ~r entre el valor de la carga, cuando este se aproxima a cero es decir F~ q −→0 q
E~ (~r ) = l´ım
(4.9)
Campo eléctrico de una distribución conocida de cara discreta y/o continua en cualquier punto ~r del espacio. ( ) Z N X qi (~r − ~ri ) d q 0 (~r − ~r 0 ) 1 + (4.10) E~ (~r ) = 4π"o i =1 |~r − ~ri |3 |~r − ~r 0 |3 EJERCICIO NO 4. 7 Hallar el E~ debido a un anillo de radio R y que posee una carga Q en un punto P, tal que como en la figura.
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
16
SOLUCIÓN Para hallar el campo eléctrico usamos la ecuación 1 dQ(~r − ~r 0 ) d E~ = 4π"o |~r − ~r 0 |3
donde
(a)
~r 0 = R cos θ iˆ + R sen θ jˆ + 0kˆ ~r = 0iˆ + 0 jˆ + z kˆ
reemplazando los datos en la ecuación (a) d E~ =
1 dQ(−R cos θ iˆ − R sen θ jˆ + z kˆ ) 4π"o |R 2 + z 2 |3/2
integrando E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
λR(−R cos θ iˆ − R sen θ jˆ + z kˆ )d θ |R 2 + z 2 |3/2 0 Z 2π 1 λR (−R cos θ iˆ − R sen θ jˆ + z kˆ )d θ 4π"o [R 2 + z 2 ]3/2 0 1 λR z 2πkˆ 4π"o [R 2 + z 2 ]3/2 λRz kˆ 2"o [R 2 + z 2 ]3/2 1 4π"o
Z
2π
EJERCICIO NO 4. 8 Considere una distribución de carga lineal y uniforme λ, de longitud 2L. Calcular el campo electrostático en un punto A = (x , 0, 0) en la misma recta del segmento cargado y en un punto B = (0, y , 0) sobre una recta perpendicular al segmento cargado y que pasa por su centro.
SOLUCIÓN
a) Para la primera parte del problema
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
17
d E~ =
1 d q (~r − ~r 0 ) 4π"o |~r − ~r 0 |3
d q = λd x 0 d E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
λ d x 0 (~r − ~r 0 ) 4π"o |~r − ~r 0 |3 Z 2L (x − x 0 )d x 0 λ iˆ 4π"o 0 (x − x 0 )3 Z 2L λ dx0 iˆ 4π"o 0 (x − x 0 )2 2L λ 1 − iˆ 4π"o (x − x 0 ) 0 −1 1 λ + iˆ 4π"o x − 2L x λ x − 2L − x iˆ 4π"o x 2 − 2Lx −λ 2L 2 4π"o x − 2Lx 2Lλ iˆ − 4π"o (x 2 − 2Lx )
b) Para la segunda parte del problema la gráfica es de la forma siguiente
d E~ =
1 d q (~r − ~r 0 ) 4π"o |~r − ~r 0 |3
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
d E~
=
E~
=
E~
=
18 λ (−x iˆ + y jˆ + 0kˆ )d x 4π"o (x 2 + y 2 )3/2 Z L Z L λ −x d x ydx iˆ + jˆ 2 + y 2 )3/2 2 + y 2 )3/2 4π"o (x (x −L −L L L 1 λ x ˆ ˆ i+ p j p 4π"o x2 +y 2 y y 2 +x2 −L
E~
=
−L
2L λ jˆ p 4π"o y y 2 + L 2
EJERCICIO NO 4. 9 ¿Cual es el campo eléctrico en el centro de un cascaron esférico de radio R si la mitad de su superficie tiene densidad superficial de carga uniforme σ y la otra mitad 2σ?
SOLUCIÓN Gráficamente el problema es el siguiente
La ecuación a resolver es la siguiente 1 d E~ = 4π"o
d q (~r − ~r1 ) 0
|~r − ~r1 |3 0
d q 0 (~r − ~r2 ) 0
+
(a)
|~r − ~r2 |3 0
De la gráfica obtenemos los siguientes datos ~r = 0iˆ + 0 jˆ + 0kˆ
(b)
0 ~r1 = R cos φ sen θ iˆ + R sen φ sen θ jˆ + R cos θ kˆ ;
0 < φ < π;
0 < θ < π/2
(c)
~r2 = R cos φ sen θ iˆ + R sen φ sen θ jˆ + R cos θ kˆ ;
0 < φ < π;
π/2 < θ < π
(d)
0
d q = σd S
(e)
d q 0 = 2σd S 0
(f)
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
19
Reemplazando las ecuaciones (b),(c), (d), (e)y (f) en la ecuación (a) luego integrando ambos lados 0 0 d q (~r − ~r1 ) d q 0 (~r − ~r2 ) 1 d E~ = + 0 0 4π"o |~r − ~r1 |3 |~r − ~r1 |3 σ E~ = − 4π"o 2σ − 4π"o
4.4.
Z
π π/2
π/2 Z 2π
Z 0
0 2π
Z 0
R 2 sen θ R sen φ sen θ d φd θ R 2 sen θ R cos θ d φd θ ˆ R 2 sen θ R cos φ sen θ d φd θ ˆ+ ˆ+ i j k R3 R3 R3
R 2 sen θ R cos φ sen θ d φd θ R 2 sen θ R sen φ sen θ d φd θ R 2 sen θ R cos θ d φd θ ˆ ˆ+ ˆ+ i j k R3 R3 R3
E~
=
E~
=
E~
=
E~
=
Z π/2 Zπ −1σ 2π sen θ cos θ d θ kˆ + 4π sen θ cos θ d θ kˆ 4π"o 0 π/2 π/2 π i −1 h σπ sen2 θ 0 + 2σπ sen2 θ π/2 kˆ 4π"o 1 − (σπ − 2σπ)kˆ 4π"o σ ˆ k 4"o
Potencial electrostático
Al campo escalar U (~r ) tal que
¯ E~ = −∇U
(4.11)
lo llamaremos potencial electrostático. El potencial debido a una carga puntual qi ubicado en ~ri es U (~r ) =
1 qi 4π"o |~r − ~ri |
(4.12)
Teniendo en cuenta el principio de superposición, podemos establecer la siguiente expresión para el potencial electrostático, U (~r ), debido a una distribución muy general. ( ) Z N X 1 qi dq0 U (~r ) = + (4.13) 4π"o i =1 |~r − ~ri | |~r − ~r 0 | donde d q 0 puede ser: λd l 0 , σd a 0 ,ρd V 0 EJERCICIO NO 4. 10 Considere la siguiente distribución discreta de carga: q : (0, 0); 2q : (0, a ); 3q : (a , 0); 4q : (a , a ). Determinar el potencial electrostático en el centro del cuadrado.
SOLUCIÓN El planteo gráfico del problema es el siguiente
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
20
Según los datos de la gráfica
~r = a /2iˆ + a /2 jˆ
(a)
r~1 = 0iˆ + 0 jˆ;
q;
r~2 = 0iˆ + a jˆ;
2q ;
~r − ~r2 = a /2iˆ − a /2 jˆ
(c)
r~3 = a iˆ + a jˆ;
4q ;
~r − ~r3 = −a /2iˆ − a /2 jˆ
(d)
r~4 = a iˆ + 0 jˆ;
3q ;
~r − ~r4 = −a /2iˆ + a /2 jˆ
(e)
usando la ecuación 1 U (~r ) = 4π"o
~r − ~r1 = a /2iˆ + a /2 jˆ
(
N X i =1
qi |~r − ~ri |
(b)
) (f)
desarrollando la ecuación (f)para N = 4 q2 q3 q4 1 q1 + + + U (~r ) = 4π"o |~r − ~r1 | |~r − ~r2 | |~r − ~r3 | |~r − ~r4 |
(g)
reemplazando los valores de las ecuaciones (a), (b),(c),(d) y (e) en la ecuación (g), luego resolviendo q 2q 4q 3q 1 + + + U (~r ) = 4π"o |(a /2, a /2)| |(a /2, −a /2)| |(−a /2, −a /2)| |(−a /2, a /2)| U (~r ) =
U (~r ) =
U (~r ) = U (~r ) = U (~r ) =
1 q 2q 4q 3q q + q + q + q 4π"o 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 + a2 + − a2 − a2 + − a2 − a2 + a2 2 2 10q 1 q 4π"o a 2 a 2 + 2 2 1 20q p 4π"o a 2 p 10q 2 4π"o a p 5q 2 2π"o a
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
21
EJERCICIO NO 4. 11 Se tiene un disco de radio a con distribución uniforme σ0 . Hallar en un punto de su eje: a) El potencial U b) El campo eléctrico E~
SOLUCIÓN
De la gráfica obtenemos
~r = z kˆ ~r 0 = r cos φ iˆ + r sen φ jˆ + 0kˆ p |~r − ~r 0 | = z 2 + r 2
Para hallar el potencial usaremos la ecuación 1 U= 4π"o
Z
dQ |~r − ~r 0 |
(a)
dQ dS dQ = σ0 d S = σ0 r d r d φ σ0 =
Reemplazando los datos obtenidos en la ecuación (a) U
=
1 4π"o
U
=
σ0 4π"o
2π Z a
σ0 r d r d φ p z2 +r2 0 0 Z 2π p a z 2 + r 2 d φ Z
0
0
2π p σ0 ( z 2 + a 2 − z )d φ 4π"o 0 σ0 p 2 ( z +a2 −z) 4π"o
Z
Por consiguiente:
U
=
U
=
∂U ∂U ∂U ˆ E~ = −∇U = − iˆ + jˆ + k ∂x ∂y ∂z
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
22
∂V ˆ E~ = − k ∂z ∂ σ0 p 2 ( z + a 2 − z ) kˆ E~ = − ∂ z 2"o E~ E~
4.5.
= − =
σ0 2"o
σ0 2"o
z p
1− p
z2 +a2 z
z2 +a2
! !
− 1 kˆ kˆ !
kˆ
Ley de Gauss
El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada S es proporcional a la carga neta encerrada q (4.14) E~ · d a~ = "o S Siendo "o la constante de proporcionalidad la permitividad del vació EJERCICIO NO 4. 12 En la region comprendida entre dos cilindros coaxiales de radio R y 3R existe una distribución volumétrica de carga dada por la expresión: ρ(r ) = ρ0
r 2R
donde r es la distancia desde cualquier punto al eje común de los cilindros. ¿Cual es la diferencia de potencial entre las superficies cilíndricas de radio R y 3R?
SOLUCIÓN El análisis gráfico
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
23
Para resolver este problema aplicaremos la ley de Gauss q E~ · d S~ = "o
(a)
Donde la densidad volumétrica de carga esta dada por ρ(r ) = ρ0 Para el caso region R < r < 2R
r 2R
(b)
dq dV d q ρ = ρd V ρ=
(c)
la carga que esta contenido dentro de la superficie lo encontramos integrando la ecuación (c) Z Z Z q
=
ρd V h/2
Z q
ρ0
= Z
q
2π Z r
Z
R −h/2 0 h/2 Z 2π Z r
= −h/2
R
0
r r d r d φd z 2R
ρ0 r 2 r d r d φd z 2R
ρ0 πh 3 (r − R 3 ) 3R Aplicando la ley de Gauss para nuestro caso de la region R < r < 2R q E~ · d S~ = "o q=
S
dS =
E
ρ0 πh 3 (r − R 3 ) "o 3R
S
r d φd z
E
(d)
=
ρ0 πh 3 (r − R 3 ) "o 3R
S
E (2πr h) = E
=
ρ0 πh 3 (r − R 3 ) "o 3R ρ0 R3 2 r − 6"o R r
Lo que encontramos es la parte escalar, el campo electrostático tiene una dirección de vector eˆr por tanto en forma vectorial es de la siguiente forma ρ0 R3 2 ~ E= r − eˆr (e) 6"o R r Ahora para calcular el potencial usaremos la siguiente ecuación E~ = −∇U
(f) C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
24
donde desarrollando la gradiente en coordenadas cilíndricas es de la forma siguiente ∂U 1∂U ∂U E~ = − eˆr + eˆφ + eˆz ∂r r ∂φ ∂z
(g)
igualando componentes de las ecuaciones (e) y (g) ρ0 R3 ∂U 2 ~ E= r − eˆr = − eˆr 6"o R r ∂r ρ0 R3 ∂U 2 r − =− 6"o R r ∂r 3 ρ0 R r2 − ∂ r = −∂ U 6"o R r integrando en los puntos R y 3R 3R
ρ0 R3 2 r − dr 6" R r o R 3 3R ρ0 r 3 − R ln r 6"o R + R 3 3 ρ0 (3R) R 3 2 − R ln(3R) − + R ln R 6"o R 3 3 ρ0 R3 (9R 3 − R 3 ln 3R + R 3 ln R − ) 6"o R 3 ρ0 26 3 ( R − R 3 ln 3) 6"o R 3 Z
4U = −
Z
U (3R)
= −
dU U (R)
= −(U (3R) − U (R)) = −4U = −4U = −4U
R 2 ρ 26 3 ( R − R 3 ln 3) 6"o 3
EJERCICIO NO 4. 13 El espacio entre dos esferas concéntricas de radios R 1 y R 2 esta lleno con una distribución de carga: ρ(r ), siendo r la distancia al centro común de la esferas. Hallar el campo eléctrico E~ en cualquier punto del espacio.
SOLUCIÓN Esta relleno de ρ(r ) Aplicando la ley de Gauss a la region R 1 < r < R 2
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
25
resolvamos la siguiente ecuación Z Z
E~ 1 · d S~1 =
q "o
Z Z E1 Z Z E1
dS =
1 "o
Z 1 d S1 = ρ(r )d V "o V Z r Z π Z 2π ρ(r )r 2 sen θ d θ φd r R1
0
0 r
Z
1 ρ(r )4πr 2 d r E 1 (4πr ) = "o R 1 Zr 1 E1 = ρ(r )4πr 2 d r 4πr 2 "o R 2
1
luego 1 E~ 1 = 2 r "o
Z
r
ρ(r )r 2 d r eˆr R1
y para la region r > R 2
Z Z
E~ 2 · d S~2 =
q "o
Z Z E2 Z Z E2
d S2 =
1 "o
Z 1 ρ(r )d V d S2 = "o V Z R 2 Z π Z 2π ρ(r ) sen θ r 2 d θ d φd r R1
0
0 R2
Z
1 E 2 (4πr ) = "o
ρ(r )4πr 2 d r
2
R1
Luego 1 E~ 1 = "o r 2
Z
1 E~ 2 = "o r 2
Z
r
! ρ(r )r 2 d r
eˆr
R1 R2
! ρ(r )r 2 d r
eˆr
R1
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
26
EJERCICIO NO 4. 14 Encontrar el campo eléctrico dentro de un cilindro infinitamente largo de radio a y una densidad volumétrica de carga uniforme ρ. Encontrar también el potencial electrostático.
SOLUCIÓN
Por la ley de Gauss
E~ · d S~ =
q "o
asumiendo que la altura del cilindro es h −→ ∞ q E~ · d S~ = "o ZZ ZZ ZZ q E~ · d S~1 + E~ · d S~2 + E~ · d S~3 = "o ZZ q E~ · d S~2 = "o ZZ Z h Z a Z 2π 1 E d S2 = ρr d φd r d z "o 0 0 0 1 (πr 2 hρ) "o ρr E= 2"o
E (2πr h) =
Luego E~ =
ρr eˆr 2"o
El potencial es igual a Z
r
−E~ · d ~l =
U (r ) = re f
r
Z
− 0
ρr 2 ρr dr =− +ct e 2"o 4"o C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
27
EJERCICIO NO 4. 15 Dos cilindros coaxiales de longitud infinita tiene radios a y b (b > a ) y la region entre ellos contiene una distribución de carga dada por la expresión: ρ(r ) = Ar n donde A y n son constantes mientras que r es la coordenada cilíndrica ρ. Hallar el campo eléctrico en cualquier punto del espacio.
SOLUCIÓN Por dato del ejercicio tenemos que la densidad volumétrica de carga es ρ(r ) = Ar n En la region r < a , E~ = ~0 Para calcular E~ en la region a < r < b usamos la ley de Gauss
I
E~ · d S~ =
q "o
E~ · d S~3 =
q "o
Z
1 "o
Z
1 "o
Z
S
Z S1
E~ · d S~1 +
Z S2
E~ · d S~2 +
Z S3
Z E d S2 = S2
Z d S2 =
E S2
E (2πr h) = E (2πr h) = E
=
Ar n d V V h
Z rZ
2π
Ar n r d φd r d z a
0 h
0
0
Z rZ a
1 Ah2π "o
Z
2π
Ar n +1 d φd r d z
0 r
r n +1 d r
a n+2 1 r a n+2 Ah2π − "o n +2 n +2 a n +2 A n +1 r − "o (n + 2) r
luego
A a n +2 n+1 E~ = r − eˆr "o (n + 2) r Para la region del espacio r > b se tiene
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
I
28
E~ · d S~ =
S
E (2πr h) = E
=
q "o A 2hπ b n +2 − a n+2 "o (n + 2) A b n +2 − a n +2 "o (n + 2)
luego E~ =
4.6.
A b n+2 − a n+2 eˆr "o (n + 2)
Expansion multipolar del campo eléctrico 1 U (~r ) = 4π"o
Z
dq0 |~r − ~r 0 |
(4.15)
U (~r ) = U1 (~r ) + U2 (~r ) + U4 (~r ) + . . . ( ) ← → ~ · ~r ~r · Q ~r 1 Q p U (~r ) = + 3 + + ... 4π"o r r r5
4.6.1.
(4.17)
Momento monopolar eléctrico Z Q=
4.6.2.
(4.16)
Z dq0 =
Z ρd V 0
Q=
ó
Z σd a 0
ó
Q=
λd l 0
(4.18)
Momento dipolar eléctrico Z ~= p
Z Z Z ~r 0 d q 0 =
Z Z ~r 0 ρd V 0
ó
~= p
Z ~r 0 σd a 0
ó
~= p
~r 0 λd l 0
(4.19)
Recordando que d q 0 , tiene el vector posición ~r 0 , de donde se derivara las componentes x 0 , y 0 , z 0 . C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
4.6.3.
29
Momento cuadripolar eléctrico ← → 1 Q = 2
Z
3x 02 − r 02 3x 0 y 0 3y 0 z 0 3y 02 − r 02 3y 0 z 0 d q 0 3x 0 y 0 3x 0 z 0 3y 0 z 0 3z 02 − r 02
(4.20)
EJERCICIO NO 4. 16 Una circunferencia de radio R esta compuesta de dos mitades cargadas uniformemente y con signos opuestos. Determine el momento cuadrupolar eléctrico. Encontrar el potencial electrostático U (~r ) en puntos muy lejanos de la circunferencia, es decir, r a
SOLUCIÓN
Para encontrar el potencial electrostático U (~r ) usamos la ecuación ( ← → ) ~ ~r Q ~r Q ~r · p 1 + 3 + U (r, φ, θ ) = 4π"o r r r5
(a)
Los datos del ejercicio son: dq0 dl dq0 λ = rd φ 0 d q = λr d φ λ =
~r 0 = a (cos φ iˆ + sen φ jˆ + 0kˆ ) Calculemos el momento monopolar Z Q =
dq0 Z
Q =
λr 0 d φ π
Z Q =
Z
2π
λa d φ − 0
λa d φ π
Q = λa π − 2πλa + λa π C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
30
Q =0
(b)
Hallemos los términos del tensor momento cuadrupolar Qx x Qx y Qx z ← → Q = Qy x Qy y Qy z Qz x Qz y Qz z
Qx x Qx x Qx x Qx x
Z
=
1 2
Z
=
1 2 1 2
Z
= =
Qx x
=
Qx x
=
Qx x
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
Qy y
=
(3x 02 − r 02 )d q 0 π
Z
2π
(3x − r )d q − 02
02
(3x 02 − r 02 )d q 0
0
π
0 π
Z
2π
(3a cos φ − a )λa d φ − 2
2
0
λa 3
π
Z
(3a 2 cos2 −a 2 )λa d φ
2
Z
π 2π
(3 cos2 φ − 1)d φ
(3 cos2 φ − 1)d φ −
2
!
π
0 π
! Z 2π 3 3 ( (1 + cos 2φ) − 1)d φ − ( (1 + cos 2φ) − 1)d φ 2 2 0 π 3 3π 3 3 3 3π 3 λa + − π − − 3π + − 2π − − +π 2 2 4 4 4 2 4 3 λa (3π − 4π + π) = 0 2 λa 3 2
1 2
Z
Z (3y 02 − r 02 )d q 0
Z π Z 2π 1 (3y 02 − r 02 )d q 0 − (3y 02 − r 02 )d q 0 2 0 π Z π Z 2π 1 a λ a λ (3a 2 sen2 φ − a 2 ) dφ− (3a 2 sen2 φ − a 2 ) d φ 2 2 2 0 π Z π Z 2π a 3λ (3 sen2 φ − 1)d φ − (3 sen2 φ − 1)d φ 4 0 π Z π Z 2π 3 a 3λ 3 ( (1 − cos 2φ) − 1) − ( (1 − cos 2φ) − 1)d φ 4 2 2 0 π π 2π 3 a 3λ 3 3 cos 2φ 3 sen 2φ ( φ − − φ) − ( φ − − φ) 4 2 4 2 4 0 π a 3 λ 3π 3π − π − (3π − 2π − + π) 4 2 2 a 3λ (3π − 4π + 2π − π) 4 0 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
=
Qx y Qx y
=
Qx y
=
Qx y
=
Qx y
=
3 2
31
Z x 0y 0d q 0
Z π Z 2π 3 λa λa a 2 cos φ sen θ dφ− a 2 cos φ sen φ d φ 2 2 2 0 π Z π Z 2π 3a 3 cos φ sen φd φ − cos φ sen φd φ 4 0 π π 2π 3a 3 sen2 φ sen2 φ − 4 2 0 2 π 3a 3 (0) 4 Qx y = Qy x = 0 Z 3 Qy z = y 0z 0d q 0 = 0 2 Qy z = Qz y = 0 Z 3 Qx z = x 0z 0d q 0 = 0 2 Qx z = Qz x = 0
0 0 0 ← → Q = 0 0 0 0 0 0
(c)
La carga total es cero Q = 0 Z ~ p
~r 0 d q 0
=
~ p ~ p ~ p
π
Z 2π a 2λ a 2λ dφ− (cos φ, sen φ) dφ = (cos φ, sen φ) 2 2 0 π π 2π a 2 λ a 2 λ = (sen φ, − cos φ) − (sen φ, − cos φ) 2 0 2 π = a 2 λ(1 + 1) jˆ − (−1 − 1)a 2 λ jˆ Z
~ = 2a 2 λ jˆ p
(d)
Reemplazando (b), (c), (d) en la ecuación (a) U (r, φ, θ ) = U (r, φ, θ ) = U (r, φ, θ ) =
1 4π"o
(
← → ) ~ ~r Q ~r Q ~r · p + 3 + r r r5
1 r sen φ cos θ 2a 2 λ 4π"o r3 1 2a 2 λ sen φ cos θ 4π"o r2 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
32
EJERCICIO NO 4. 17 Una hemisferio de radio a que tiene una carga neta Q distribuida uniformemente en su superficie esta elevado sobre el plano X Y . tomado como origen de coordenadas el centro de curvatura del hemisferio, Calcular: a) El momento dipolar eléctrico b) El momento cuadrupolar eléctrico c) La aproximación multipolar del potencial electrostático, hasta orden cuadrupolar
SOLUCIÓN
Calculemos el momento monopolar Z Q=
Z dq0 =
d q 0 = σd S Z π/2 Z 2π σd S =
σa 2 sen θ d φd θ 0
0
π/2
Z
π/2
Q=
σa 2 sen θ (2π)d θ = σa 2 (− cos θ )2π|0
= σa 2 2π
0
Q = σa 2 2π ~ en un punto cualquiera de la superficie a) Calculemos el momento dipolar eléctrico p ~r 0 = a cos φ sen θ iˆ + a sen φ sen θ jˆ + a cos θ kˆ Z ~= p Z ~= p Z ~= p
Z ~r d q = 0
~= p 0
a (cos φ sen θ iˆ + sen φ sen θ jˆ + cos θ kˆ )σd S
a (cos φ sen θ iˆ + sen φ sen θ jˆ + cos θ kˆ )σa 2 sen θ d φd θ
π/2 Z 2π
Z
0
~r 0 d q 0
a 3 σ(cos φ sen θ iˆ + sen φ sen θ jˆ + cos θ kˆ ) sen θ d φd θ
0
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
33 π/2
Z ~= p
a 3 σ2π cos θ sen θ d θ kˆ
0 π/2 ~ = σa 3 π sen3 θ |0 kˆ = a 3 σπkˆ p
~ = a 3 σπkˆ p b) Calculemos el momento cuadrupolar eléctrico Q ← → xx Q = Qy x Qz x
Qx x
=
1 2
Qx x
=
1 2
Qx x
=
Qx x
=
Qx x
=
Qx x
=
Qx x
=
Z
02
Qx y Qy y Qz y
Qx z Qy z Qz z
Z
1 (3x − r )d q = 2 Z π/2 Z 2π 02
← → Q
(3a 2 cos2 φ sen2 θ − a 2 )σa 2 sen θ d φd θ
0
(a 4 σ(3 cos2 sen3 θ − sen θ )d φd θ 0
a 4σ
Z
0 π/2
3 3 cos 2φ + sen3 θ − sen θ )d φd θ 2 0 2 2 Z π/2 Z π/2 4σ 1 πa 3 sen3 θ (2π) − sen θ (2π) d θ = (3 sen2 θ sen θ − 2 sen θ )d θ 2 0 2 2 0 Z π/2 Z π/2 4 πa 4 σ πa σ 2 (3(1 − cos θ ) sen θ − 2 sen θ )d θ = (sen θ − 3 cos2 sen θ )d θ 2 2 0 0 π/2 4 4 πa σ πa σ (− cos θ + cos2 θ ) = (−0 + 0 − (−1 + 1)) = 0 2 2 0 0
Qz z Qz z
Z
=
1 2
Z
=
1 2
(3z 02 − r 02 )d q 0 π/2 Z 2π
σ(3a 3 cos2 θ − b 2 )d 2 sen θ d φd θ 0
0
σa 4 2π
Z
π/2
Qz z
=
Qz z
π/2 σa 4 2π = (− cos3 θ + cos θ ) 0 = 0 2 = 0
Qz z
2
(3 cos2 θ − 1) sen θ d θ 0
Sabemos por propiedad Q x x +Q y y +Q z z = 0 de lo cual Q y y = −Q x x −Q z z = 0 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
Qx y Qx y
34 Z
= Qy x
3 = 2
Z
= Qy x
3 = 2
x 0y 0d q 0 π/2 Z 2π
a cos φ sen θ a sen φ sen θ σa 2 sen θ d φθ 0
3a 4 σ = 2
Qx y
= Qy x
Qx y
= Qy x = 0 Z
Qx z
= Qz x
3 = 2
Z
Qx z
= Qz x
3 = 2
Qx z
= Qz x = 0
Z
Qy z
= Qz y
3 = 2
Z
Qy z
= Qz y
3 = 2
Qy z
= Qz y = 0
0 π/2
Z
2π sen2 φ sen3 θ d θ 2 0
0
x 0z 0d q 0 π/2 Z 2π
a cos φ sen θ a cos θ σa 2 sen θ d φd θ = 0 0
0
y 0z 0d q 0 π/2 Z 2π
a sen φ sen θ a cos θ σa 2 sen θ d φd θ = 0 0
0
← → entonces el tensor Q es
← → Q =0
c) Calculemos La aproximación multipolar del potencial electrostático, hasta orden cuadrupolar para el caso de un punto ~r = r cos φ sen θ iˆ + r sen φ sen θ jˆ + r cos θ reemplazando en la ecuación 1 U= 4π"o
(
) ← → 0 ~ ~r Q p ~ Q ~r · p + 3 + + ... r r r5
σa 2 2π r a 3 σπ cos θ + + 0 + ... r r3 KQ b cos θ U (r, θ ) = 1+ + ... r 2r
1 U (r, φ, θ ) = 4π"o
EJERCICIO NO 4. 18 La densidad lineal de carga de un anillo de radio a esta dado por: λ=
q (cos φ + sen 2φ) a C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
35
a) El momento monopolar b) El momento dipolar eléctrico c) El momento cuadrupolar eléctrico d) La aproximación multipolar del potencial electrostático, hasta orden cuadrupolar
SOLUCIÓN
a) El momento monopolar Z Q=
dq0 Z
Q=
λd l
Z Q=
λr d φ
donde el radio es r = a Q =
q a
2π
Z
(cos φ + sen 2φ)λa d φ 0 2π
Z Q = qλ
(cos φ + sen 2φ)d φ 0
2π 1 Q = q λ(sen φ + cos 2φ) 2 0 Q = 0
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
36
b) El momento dipolar Z ~ p
~r 0 d q 0
= Z
~ p ~ p
2π
q (a cos φ, a sen φ, 0) (cos φ + sen 2φ)a d φ a 0 Z 2π = aq [cos φ(cos φ + 2 sen φ cos φ)iˆ + sen φ(cos φ + 2 sen φ cos φ) jˆ]d φ =
0 2π
Z
[(cos2 φ + 2 sen φ cos φ)iˆ + (sen φ cos φ + 2 sen2 φ cos φ) jˆ]d φ
~ p
= aq
~ p
= q a πiˆ
0
c) El momento cuadrupolar Z 1 (3x 02 − r 02 )d q 0 Qx x = 2 Z 2π 1 q Qx x = (3a 2 cos2 φ − a 2 ) (cos φ + sen 2φ)a d φ 2 0 a Z 2π qa2 Qx x = (3 cos3 − cos φ + 6 cos3 φ sen φ − 2 sen φ cos φ)d φ 2 0 Z 2π qa2 Qx x = [3(1 − sen2 φ) cos φ − cos φ + 6 cos3 φ sen φ − 2 sen φ cos φ]d φ 2 0 Z 2π qa2 Qx x = [3 cos φ − 3 sen2 φ cos φ − cos φ + 6 cos3 sen φ − 2 sen φ cos φ]d φ 2 0 Qx x
= 0
Qz z Qz z Qz z Qz z
Z
=
1 2
Z
=
1 2
=
(3z 02 − r 02 )d q 0 2π
0
−q a 2 2
= 0
q (3(0)2 − a 2 ) (cos φ + sen 2φ)a d φ a Z 2π (cos φ + 2 sen φ cos φ)d φ 0
Sabemos que Q x x +Q y y +Q z z = 0 Q y y = −Q x x −Q z z Qy y = 0
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
Qx y Qx y Qx y Qx y Qx y Qx y
37 Z
=
3 2
Z
=
3 2
= = = =
x 0y 0d q 0 2π
0
3a 2q 2 3a 2q
q a cos φa sen φ (cos φ + sen 2φ)a d φ a Z 2π (cos2 φ sen φ + 2 sen2 φ cos2 φ)d φ 0 2π
Z
2
(cos2 φ sen φ +
sen2 2φ ) 2
(cos2 φ sen φ +
1 cos 4φ − )d φ 4 4
0
3a 2q
2π
Z
2
0
3a 2q π 4
Pero sabemos que Q x y = Q y x Qy x = Qx z = Qz x = Qy z = Qz y
3 2
3a 2q π 4 Z
3 = 2
x 0z 0d q 0 = 0 Z y 0z 0d q 0 = 0
Luego la matrices es
Q Qx y ← → xx Q = Qy x Qy y Qz x Qz y Reemplazando lo obtenido anteriormente ← → Q =
← → Q =
0
3a 2 q π 4
3a 2 q π 4
0
3a 2q π 4
Qx z Qy z Qz z
0 0
0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0
d) La aproximación multipolar del potencial electrostático, hasta orden cuadrupolar ( ) ← → ~ · ~r ~r Q ~r 1 Q p U (r ) = + 3 + + ... 4π"o r r r5 En coordenadas esféricas
Q =0 r
(a)
(b)
~ · ~r p 1 = 3 (q a πiˆ)(r cos φ sen θ iˆ + r cos φ sen θ jˆ + r cos θ ) 3 r r C. William Taipe H.
CAPÍTULO 4. ELECTROSTÁTICA
38
~ · ~r 1 q a π cos φ sen θ p = q a πr cos φ sen θ = r3 r3 r2
r cos φ sen θ 0 1 0 1 3a 3q π (r cos φ sen θ , r sen φ sen θ , r cos θ ) 1 0 0 r sen φ sen θ 5 r 4 r cos θ 0 0 0 r sen φ sen θ 3a 3q π (r cos φ sen θ , r sen φ sen θ , r cos θ ) r cos φ sen θ 4r 5 0
← → ~r Q ~r r5
=
← → ~r Q ~r r5
=
← → ~r Q ~r r5 ← → ~r Q ~r r5 ← → ~r Q ~r r5
(c)
=
3a 3q π 2 (r cos φ sen2 θ + r 2 sen φ cos φ sen2 θ ) 4r 5
=
3a 3q πr 2 cos φ sen φ sen θ 2r 3
=
3a 3q πr 2 cos φ sen φ sen θ 2r 3
← → ~r Q ~r 3a 3q πr 2 cos φ sen φ sen θ = r5 2r 3 Reemplazando (b), (c), (d) en ecuación (a) a π cos φ sen θ 3a 3 π cos φ sen φ sen θ q + 0+ U (r, φ, θ ) = 4π"o r2 2r 3
(d)
C. William Taipe H.
Capítulo 5 Electrostática y condición de frontera 5.1. 5.1.1.
Problema unidimensional En coordenadas cartesianas
La ecuación de Laplace se reduce a d 2U =0 dx2
(5.1)
U (x ) = Ax + B
(5.2)
cuyos solución general es:
5.1.2.
En coordenadas esféricas
La ecuación de Laplace se reduce a 1 d r2 dr
r
2 dU
dr
=0
(5.3)
cuya solución general es: U (r ) =
5.1.3.
A +B r
(5.4)
En coordenadas cilíndricas
La ecuación de Laplace se reduce a 1 d r dr
dU r dr
=0
(5.5)
cuyos solución general es: U (r ) = A ln r + B
(5.6)
EJERCICIO NO 5. 1 Hallar el potencial electrostático y el campo eléctrico en la region comprendida entre los semiplanos φ = 0 y φ = φ0 sabiendo que el valor del potencial en las fronteras es: U (φ = 0) = 0 y U (φ = φ0 ) = U0
SOLUCIÓN 39
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
40
Nos pide calcular el potencial electrostático comprendida entre los semi planos φ = 0 y φ = φ0 . Las condiciones de frontera son u (φ = 0) = 0
U (φ = φ0 ) = U0
y
(a)
Notemos en las condiciones de frontera que no depende de r ni de z solo depende de φ entonces nuestra ecuación a resolver se reduce a lo siguiente ∇2U = 0
(coordenadas cilindricas)
1 ∂ r ∂r
∂U r ∂r
+
1 ∂ 2U ∂ 2U + r 2 ∂ φ2 ∂ z 2 ∂ 2U ∂ φ2
= 0 = 0
Ahora resolviendo ∂U ∂φ U
= A = Aφ + B
utilizando la condiciones de frontera ecuación (a) U (φ) = Aφ + B U (0) = 0 = B ;
U (φ0 ) = U0 = Aφ0 + B
de donde despejamos A=
U0 φ0
U (φ) =
U0 φ φ0
(b)
El campo electrostático lo calcularemos mediante la ecuación E~ = −∇U
(en coordenadas cilindricas) ∂U 1∂U ∂U ˆ ~ E =− eˆr + eˆφ + k ∂r r ∂φ ∂z
(c)
Para nuestro caso U depende de la variable φ, entonces la ecuación (c) se reduce a E~ = −
1∂U eˆφ r ∂φ
(d)
Reemplazando la ecuación (b) en (d) y desarrollando 1 ∂ U0 ~ E =− φ eˆφ r ∂ φ φ0 E~ = −
1 U0 eˆφ r φ0 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
41
EJERCICIO NO 5. 2 El la figura adjunta se muestra un plano conductor y una superficie cónica infinitos. Sus potenciales son U = 0 y U = U0 respectivamente. En la region comprendida entre ambas superficies se pide hallar: a) El potencial electrostático, b) El campo eléctrico
SOLUCIÓN a) Calculemos el potencial electrostático De la gráfica las condiciones iniciales de frontera son U (θ0 ) = U0
y
U (π/2) = 0
(a)
podemos notar que el U no depende de las variables r y φ solo depende de θ , entonces la ecuación ∇2U = 0 (En coordenadas esfericas) 1 ∂ ∂U 1 ∂ 2U 1 ∂ 2∂U =0 r + sen + r2 ∂ r ∂r r 2 sen θ ∂ θ ∂θ r 2 sen θ ∂ φ 2 Como U solo depende de θ , entonces la ecuación se reduce a 1 ∂ ∂U sen =0 r 2 sen θ ∂ θ ∂θ ∂ ∂θ
∂U sen ∂θ
=0
(b)
Ahora resolviendo la ecuación (b) sen θ
∂U ∂θ dU dθ dU
= A = A csc θ = A csc θ d θ
U (θ ) = A ln(csc θ − cot θ ) + B Hallemos las constantes A y B con ayuda de las condiciones de frontera ecuación (a) U (θ0 ) = U0 = A ln(csc θ0 − cot θ0 ) + B U (π/2) = 0 = A ln(csc π/2 − cot π/2) + B C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
42
de donde B = 0 y A = U0 / ln(csc θ0 − cot θ0 ) U (θ ) = U0
ln(csc θ − cot θ ) ln(csc θ0 − cot θ0 )
(c)
b) Calculemos el campo electrostático, mediante la ecuación E~ = −∇U (en coordenadas esfericas) ∂U 1∂U 1 ∂U ~ ˆ ˆ ˆ E =− er + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ φ Puesto que nuestro potencial solo depende de la variable θ , entonces nuestra ecuación se reduce a 1∂U E~ = − eˆθ r ∂θ Reemplazando la ecuación (c) y desarrollando U0 ln(csc θ − cot θ ) 1 ∂ eˆθ E~ = − r ∂θ ln(csc θ0 − cot θ0 ) E~ = −
1 1 1 (− csc θ cot θ + csc2 θ )ˆ eθ r ln(csc θ0 − cot θ0 ) (csc θ − cot θ ) E~ =
csc θ cot θ − csc2 θ eˆθ r (csc θ − cot θ ) ln(csc θ0 − cot θ0 ) E~ =
− csc θ eˆθ r ln(csc θ0 − cot θ0 )
EJERCICIO NO 5. 3 Dos cascaras cilíndricas largas de radio ra y rb se disponen coaxialmente y se cargan a los potenciales Ua y Ub respectivamente. Hallar el potencial en puntos entre las cascaras cilíndricas.
SOLUCIÓN
∇2U = 0 U = a ln r + B
(a)
Condición del problema r =a C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
43
U = Ua r =b U = ub Reemplazando en los datos en la ecuación (a) Ua = A ln ra + B
(b)
Ub = A ln rb + B
(c)
Restando Ua − U − b = A(ln ra − ln rb ) Ua − U − b A= ln(ra /rb )
(d)
reemplazando (d) en (b) Ua − Ub ln ra + B ln(ra /rb ) Ua − Ub B = Ua − ln ra ln(ra /rb ) Ua ln rb B = Ub ln ra − ln(ra /rb ) Reemplazando (d) y (e) en (a) tenemos r 1 ra + Ub ln U = Ua ln rb r ln rra Ua =
(e)
b
5.2. 5.2.1.
Problema bidimensional Coordenadas cartesianas
Cuando hay simetría traslacional a lo largo de la dirección eje Z . ∂ 2U ∂ 2U + =0 ∂ x2 ∂y2
(5.7)
La solución general a la ecuación de la Laplace bidimensional en coordenadas cartesianas es: X U (x , y ) = (A k e k x + B k e −k x )(C k cos k y + D k sen k y ) (5.8) k
5.2.2.
Coordenadas esféricas
Cuando hay simetría azimultal. 1 ∂ 1 ∂ ∂U 2∂U r + 2 sen θ =0 r2 ∂ r ∂r r sen θ ∂ θ ∂θ
(5.9)
Solución general para la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas cuando se tiene problemas de simetría azimultal es: ∞ X U (r, θ ) = (A n r n + B n r −(n+1) )Pn (cos θ ) (5.10) i =0
Pn (cos θ ) polinomio de Legendre C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
5.2.3.
44
Coordenadas cilíndricas
Cuando hay simetría traslacional a lo largo de la dirección del eje Z . ∂U 1 ∂ 2U 1 ∂ r + 2 =0 r ∂r ∂r r ∂ φ2
(5.11)
La solución general a la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas cuando hay simetría traslacional a lo largo del eje Z es:
U (r, φ) = A 0 + B 0 ln r +
∞ X
(A n r n + B n r −n ) cos nφ +
n =1
∞ X
(C n r n + D n r −n ) sen nφ
(5.12)
n =1
EJERCICIO NO 5. 4 Se tiene dos superficies cilíndricas coaxiales de longitud infinita; una de radio a y la otra de radio b (b > a ). El potencial en dichas superficies es U (a , φ) = U0 y U (b, φ) = Ub cos φ respectivamente. Hallar el potencial electrostático en cualquier punto de la region a < r < b
SOLUCIÓN Gráficamente el problema es
Donde las condiciones de frontera son U (a , φ) = U0
y
U (b, φ) = Ub cos φ
(a)
Nos pide hallar el potencial electrostático para la region (a < r < b ),para hallar U usaremos la ecuación ∇2U = 0 En coordenadas cilindricas ∂U 1 ∂ 2U ∂ 2U 1 ∂ 2 r + 2 ∇U= + =0 r ∂r ∂r r ∂ φ2 ∂ z 2 Sabemos que las condiciones de frontera no depende de la variable z , 1 ∂ ∂U 1 ∂U r + 2 =0 r ∂r ∂r r ∂ φ2
(b)
La solución general de la ecuación (b) es: U (r, φ) = A 0 + B 0 ln r +
∞ X n =1
(A n r n + B n r −n ) cos nφ +
∞ X
(C n r n + D n r −n ) sen nφ
n =1
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
45
Ahora según las condiciones de frontera ecuación (a) U (a , φ) = U0 = A 0 + B 0 ln a + (A 1 a + B 1 a −1 ) cos φ + (C 1 a + D 1 a −1 ) sen φ + . . . U (b, φ) = Ub cos φ = A 0 + B 0 lnb + (A 1b + B 1b −1 ) cos φ + (C 1b + D 1b −1 ) sen φ + . . . de donde comparando se obtiene U0 = A 0 + B 0 ln a ;
A 1 a + B 1 a −1 = 0
A 0 + B 0 lnb = 0;
A 1b + B 1 a −1 = Ub
con estas ecuaciones calculamos los valores de las constantes A 0 , B 0 , A 1 y A 1 A 0 = −B 0 lnb U0 = −B 0 lnb + B 0 ln a B0 = −
U0 ; ln a /b
A0 =
U0 lnb ln a /b
B1 a2 −B 1b B 1 + =0 a2 b −Ub a 2b B1 = 2 a −b2 Ub a 2b A1 = 2 2 a (a − b 2 ) A1 = −
A1 = la solución
Ub a2 −b2
b
U0 lnb U0 ln r U0 ln r Ub a 2b U (r, φ) = − + br + 2 cos φ ln(a /b ) ln(a /b ) ln a /b a −b2
EJERCICIO NO 5. 5 Dos semicilindros conductores de radio a y de longitud infinita se mantienen a los potenciales U0 y −U0 como se muestra en la figura. Hallar el potencial en la region r < a .
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
46
SOLUCIÓN Calculemos el potencial en la region r < a , para lo cual usamos la ecuación ∇2U = 0 en coordenadas cilíndricas
∂U 1 ∂ 2U ∂ 2U 1 ∂ r + 2 + =0 r ∂r ∂r r ∂ φ2 ∂ z 2 Como nuestro potencial electrostático solo depende de las variables φ y r entonces nuestra ecuación ∇2U = 0 se reduce a ∂U 1 ∂ 2U 1 ∂ r + 2 =0 r ∂r ∂r r ∂ φ2 para lo cual se conoce la solución general, y es de la forma siguiente U (r, φ) = A 0 + B 0 ln r +
∞ X
(A n r + B n r n
−n
n =1
) cos nφ +
∞ X
(C n r n + D n r −n ) sen nφ
n =1
El potencial en el eje del cilindro no puede ser infinito por tanto la solución general se reduce a U (r, φ) = A 0 +
∞ X
(A n r n cos nφ + C n r n sen nφ)
n =1
La función U (r, φ) es impar (U (r, −π) = −U0 U (r, φ) =
y ∞ X
U (r, π) = U0 ) por tanto la solución se reduce a C n r n sen nφ
n =1
solo nos preocuparemos por calcular todo los valores de C n . Para lo cual usaremos la series de Fourier Z 2π 1 0 Bn = f (θ ) sen nθ d θ π 0 aplicando para nuestro caso Zπ Z0 Zπ 1 1 1 Cn a n = U (r, φ) sen nφ = U (r, φ) sen nφd φ + U (r, φ) sen nφd φ π −π π −π π 0 Z0 Zπ 1 1 n Cn a = −U0 sen nφd φ + U0 sen nφd φ π −π π 0 0 π 1 U0 U0 U0 cos n π U0 cos nφ U0 1 U0 n Cn a = cos nφ − cos nφ = − − + π n π n πn πn πn πn −π 0 1 2U0 2U0 cos nπ Cn = n − a πn πn Por simple inspección concluimos que ¨ 0 , Si n es par Cn = 4U0 , Si n es impar nπa 2 entonces
∞ 2n +1 4U0 X 1 r U (r, φ) = sen(2n + 1)φ π n =0 (2n + 1) a
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
47
EJERCICIO NO 5. 6 En una superficie cilíndrica de radio a , el potencial esta dado por: ¨ U0 sen φ ; 0 < φ < π U (a , φ) = −U0 sen φ ; −π < φ < 0 Hallar el potencial en cualquier punto de la region r < a
SOLUCIÓN Calculemos el potencial en la region r < a ∇2U = 0 en coordenadas cilíndricas
1 ∂ r ∂r
∂U r ∂r
+
1 ∂ 2U ∂ 2U + =0 r 2 ∂ φ2 ∂ z 2
Como nuestro potencial electrostático solo depende de las variables φ y r entonces nuestra ecuación ∇2U = 0 se reduce a 1 ∂ ∂U 1 ∂ 2U =0 r + 2 r ∂r ∂r r ∂ φ2 para lo cual se conoce la solución general, y es de la forma siguiente U (r, φ) = A 0 + B 0 ln r +
∞ X
(A n r + B n r n
−n
) cos nφ +
n =1
∞ X
(C n r n + D n r −n ) sen nφ
n =1
El potencial en el eje del cilindro no puede ser infinito por tanto la solución general se reduce a U (r, φ) = A 0 +
∞ X
(A n r n cos nφ + C n r n sen nφ)
n =1
La función U (r, φ) es par (U (r, −π) = −U0 sen φ U (r, φ) = A 0 +
y ∞ X
U (r, π) = −U0 sen φ) Por tanto A n r n cos nφ
n =1
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
48
Ahora nos preocuparemos por hallar los valores de A n , lo cual calcularemos con ayuda de las series de Fourier Z 2π 1 0 An = f (θ ) cos nθ d θ π 0 Para nuestro caso sera de la forma siguiente 1 An a = π n
Z
π
1 U cos nφd φ = π −π
2U0 An a n = π
Z
Z
0
1 −U0 sen φ cos nφd φ + π −π
π
Z
U0 sen φ cos nφ 0
π
π 2U0 cos(1 − n)φ cos(1 + n)φ sen φ cos nφd φ = − − π 2(1 − n) 2(1 + n) 0 0 cos(1 − n)π cos(1 − n)π 2U0 − − +1 An = n πa 2(1 − n) 2(1 + n)
Ahora calculemos el valor de A 0 que se obtiene al integrar la serie de Fourier 0
A0
1 A0 = = 2 π 1 2A 0 = π
Z
0
1 −U0 sen φd φ + π −π
2π
Z
Ud φ 0 π
Z 0
2 U0 sen φ = π
π
Z
U0 sen φ 0
2U0 2A 0 = (− cos φ)|π0 π 2U0 A0 = π Analizando por simple inspección los valores de A n para n ≥ 1 notese que ¨ 0 , Si n es impar An = 4U0 1 si n es par − πa n (n 2 −1) entonces nuestra solución sera U (r, φ) =
∞ 2n 2U0 4U0 X 1 r − cos(2nφ) 2 π π n =1 4n − 1 a
EJERCICIO NO 5. 7 Hallar el potencial electrostático U (r ), en la region comprendida entre dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b ) sabiendo que el potencial en ella es: U (a , θ ) = Ua = con s t a n t e U (b, θ ) = Ub cos θ
SOLUCIÓN
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CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
49
Puesto que en ninguna de las esferas fronteras U depende de φ admitimos que en toda la region a < r < b tampoco U depende de φ. La solucion a este problema particular debe ser entonces de la forma general. U (r, θ ) =
∞ X
(A n r n + B n r −(n+1) )Pn (cos θ )
i =0
Solo hay que encontrar los coeficientes A n y B n que satisfagan las condiciones de frontera Bn B0 B1 n + A 1 a + 2 cos θ + . . . + A n a + n+1 Pn cos θ Ua = A 0 + a a a B0 Bn B1 n Ub cos θ = A 0 + + A 1b + 2 cos θ + . . . + A n b + n+1 Pn cos θ b b b Puesto que los polinomios de Legendre son ortonormales entre si para que se satisfagan estas dos condiciones de frontera debe tener B0 Ua = A 0 + a B0 0 = A0 + b B1 0 = A 1a + 2 a B −1 Ub = A 1b + b2 0 = A n a n + B n a −(n+1) ;
n >1
0 = A n b n + B n b −(n+1) ;
n >1
Para cada par de coeficientes A n , b n tenemos dos ecuaciones similares. Los valores obtenidos son: aUa A0 = − b −a Ua a b B0 = b −a A1 = − B1 =
Ub b 2 a3 −b3
Ub b 2 a 3 a3 −b3
A n = B n = 0; para todo n mayor o igual a 2.
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
50
El potencial electrostático en la region a < r < b es entonces aUa Ua a b Ub b 2 Ub b 2 a 3 U (r, θ ) = − + + − 3 + cos θ b − a a (b − a ) a − b 3 r 2 (a 3 − b 3 ) aUa a3 b Ub b 2 U (r, θ ) = − 1− − 3 r − 2 cos θ b −a r a −b3 r
5.3.
Problema con densidad volumétrica de carga
Si se presenta un problema con condición de frontera y densidad volumétrica de carga no nula debemos encontrar la solución a la ecuación de Poisson ρ (5.13) ∇2U = − "o que satisfaga las condiciones de Dirichlet o de Neumann EJERCICIO NO 5. 8 Dos planos conductores infinitos son paralelos al plano X Y . Uno de ellos esta ubicado en z = 0 y es mantenido al potencial constante U0 . El otro a potencial constante Ub , tiene z = d . La region entre ellos esta llena con una distribución volumétrica de carga 2 z ρ = ρ0 d Resolver la ecuación de Poisson y encontrar U (z ) para 0 < z < d .
SOLUCIÓN Gráficamente nuestro problema es
para calcular U (z ) utilizamos la ecuación de Poision ρ "o 2 z ρ = ρ0 d Ahora reemplacemos la ecuación (b) en (a), obtenemos ∇2U = −
(a) (b)
d 2U ρ0 z 2 = − dz2 "0 d 2 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
integrando
51
dU ρ0 z 3 =− +A dz 3"0 d 2
volviendo a integrar obtenemos, lo cual es la solución general para este caso U (z ) = −
ρ0 z 4 + Az + B 12"0 d 2
según las condiciones de frontera de la gráfica U (0) = U0 = B U (d ) = Ub = −
ρ0 d 4 + Ad + b 12"0 d 2
(c) (d)
resolviendo las ecuaciones (c) y (d) para hallar A y B Ub = −
ρ0 d 2 + Ad + U0 12"0
Ud − U0 + A=
ρ0 d 2 = Ad 12"0
Ud − U0 ρ 0 d + d 12"0 B =0
(e)
(f) (g) (h)
Reemplazando en la solución general las ecuaciones (h)y (g) obtenemos Ud − U0 ρ 0 d ρ0 z 4 U (z ) = + z + U0 − d 12"0 12"0 d 2 EJERCICIO NO 5. 9 Se tiene dos superficies esféricas cobductoras concéntricas de radios a y b mantenidos a los potenciales Ua y Ub respectivamente en la region a < r < b hay una distribucion volumetrica de carga dada por: c ρ(r ) = r Hallar el potencial electrostático entre ambas superficies
SOLUCIÓN
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA Y CONDICIÓN DE FRONTERA
52
La ecuación de Laplace toma la forma 1 d r2 dr Resolviendo la ecuación
r
d dr
r
r2
2 dU
dr
2 dU
dr
=−
=−
c "o r
cr "o
dU cr2 =− +A dr 2"o
A dU c + 2 =− dr 2"o r U =−
A cr + +B 2"o r
Las constantes A y B se hallan a partir de la dos siguientes condiciones de frontera Dirichlet: U (a ) =
A ca +B− = Ua a 2"o
U (b ) =
a cb +B− = Ub b 2"o
Los valores de las constantes que se obtienen son: A= B = Ua +
Ua − Ub c a b − b −a 2"o
c (Ua − Ub ) (a − b ) − b 2"o b −a
La expresión para el potencial es: Ua − Ub U (r ) = b −a
ab c ab −b + b +a −r − + Ua r 2"o r
C. William Taipe H.
Capítulo 6 Imágenes electrostáticas 6.1.
Imágenes electrostáticas
Para una conjunto dado de condiciones en la frontera, la solución a la ecuación de Laplace es única, de modo que si se obtiene una solución U (x , y , z ) por cualquier medio, y si esta U satisface todas las condiciones en la frontera, entonces se ha efectuado una solución completa al problema.El método de imágenes es un procedimiento para lograr este resultado sin resolver específicamente a todos los tipos de problemas electrostáticos. Supongamos que el potencial puede expresarce en la siguiente forma: Z 1 σ(~r 0 )d a 0 U (r ) = U1 (r ) + (6.1) 4π"o S |~r − ~r 0 | Donde U1 es ya sea una función especifica o fácilmente calculable, y la integral representa la contribución al potencial, de la carga superficial, sobre todo los conductores que aparecen en el problema. No se conoce la función σ. Puede suceder, y esta es la esencia del método de carga-imagen, que el ultimo termino de (6.1) se sustituye por un potencial U2 que se debe a una distribución de carga especifica. Esto es posible mientras las superficies de todos los conductores coincidan con las superficies equipotenciales de los U1 + U2 combinados. Las cargas especificadas que produce U2 se llaman cargas imagen. Por supuesto que no existe no existe realmente. Su posición aparente es dentro de los conductores y el potencial U = U1 +U2 es una solución valida al problema solo en la region exterior.
6.2.
Placa conductora infinita y carga puntual
EJERCICIO NO 6. 1 Se tiene una placa conductora uniforme conectada a tierra y a una distancia d se coloca una carga puntual q . Hallar el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio
53
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
54
SOLUCIÓN
Tierra y la placa conductora infinita forman un solo gran conductor neutro. Al colocar la carga q cerca del plana las cargas libres de este gran conductor se redistribuyen quedando el plano cargado con carga de signo contrario a q . El campo que queremos hallar es el campo debido a q a la distribución de cargas sobre el plano. Dicho campo puede describirse por lineal de fuerza que salen de q y terminan en el plano conductor infinito (si q es positivo). En la region x < 0 no hay líneas de fuerza E~ = ~0 y como U (x = 0) = 0 el potencial es nulo. Para hallar el potencial en la region x > 0 podemos hacerlo buscando el valor y posición de una carga imagen tal que su potencial superpuesto al de q resulta nula en el plano Y Z . Es intuitivo que una carga q 0 = −q ubicado en (−d , 0, 0) satisface la condición requerida luego: q q 1 − U (r ) = 4π"o |~r − ~r1 | |~r − ~r2 | o
1 U (x , y , z ) = 4π"o
q q − 2 2 2 1/2 2 [(x − d ) + y + z ] [(x + d ) + y + z 2 ]1/2
Puede verificarse que cuando x = 0 se obtiene efectivamente U (0, y , z ) = 0 el campo eléctrico se puede obtener tomando el gradiente al potencial o superponiendo el campo de las dos cargas puntuales ¨ « 1 q ((x − d )iˆ + y jˆ + z kˆ ) q ((x + d )iˆ + y jˆ + z kˆ ) E~ (x , y , z ) = − 4π"o [(x − d )2 + y 2 z 2 ]3/2 [(x + d )2 + y 2 + z 2 ]3/2
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
6.3.
55
Carga puntual y esfera conductor
EJERCICIO NO 6. 2 Se tiene una esfera conductora de radio a conectada a tierra. A una distancia d de su centro (d > a ) se coloca una carga puntual q . Hallar el potencial electrostático en cualquier punto del espacio.
SOLUCIÓN
En la region r < a el potencial es típico, donde las condiciones de frontera son U (r = 0) finito y U (r = a ) = 0. Resolveremos este problema en la region r > a es equivalente a resolver el siguiente. Supongamos que basta una imagen q 0 ubicado en algún punto ~r2 , se tendrá entonces: q q0 1 + (a) U (~r ) = 4π"o |~r − ~r1 | |~r − ~r2 | Si q 0 no estuviera en la recta O~r1 , su componente tangencial de E~ en los puntos M y N ; luego la carga imagen q 0 esta ubicada en la recta que une el centro de la esfera con la carga puntual q ; Es decir ~r2 = 0iˆ + 0 jˆ + b kˆ Para hallar el valor de q 0 y su posición b tengamos en cuenta que: 1 q q0 U (M ) = + =0 4π"o d − a a − b 1 q q0 U (N ) = + =0 4π"o d + a b + a q (a − b ) + q 0 (d − a ) = 0 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
56
q (b + a ) + q 0 (d + a ) = 0 desarrollando las ecuaciones anteriores q a − qb + q 0 d − q 0 a = 0
(b)
qb + q a + q 0 d + q 0 a = 0
(c)
de donde de la ecuaciones (b) y (c) obtenemos que 2q a + 2q 0 d = 0 a q0 = − q d
(d)
2qb + 2a q 0 a = 0 a 2qb + 2 − qa = 0 d b=
a2 d
(e)
a2 ˆ k d Ahora podemos escribir la ecuación (a) U (r ) en coordenadas esféricas ~r2 =
U (r, θ ) =
a d
q 1 q −Æ p 4 2 4π"o r 2 + d 2 − 2r d cos θ r 2 + da 2 − 2 r da cos θ
EJERCICIO NO 6. 3 Se tiene una esfera conductora de radio a con carga neta Q. A una distancia d de su centro (d < a ) se coloca una carga puntual q . Hallar el potencial electrostático en cualquier punto del espacio.
SOLUCIÓN El la region (r < a ) no hay carga, se satisface la ecuación de Laplace y puede verificarse que el potencial es uniforme e igual al potencial en la superficie r = a . Para resolver el problema en la region r > a , usamos hechos conocidos de que debido a las cargas q y q 0 ubicados en (0, 0, d ) y (0, 0,b ), respectivamente la superficie r = a es equipotencial con U = 0. Una carga imagen q 00 en el origen permite que la superficie r = a siga siendo equipotencial con otro valor para U . Para satisfacer la condición de que la esfera de radio a encierra una carga neta Q debe cumplirse q 0 + q 00 = Q a q 00 = Q + q d 1 q q0 q 00 U (r ) = + + 4π"o |~r − ~r1 | |~r − ~r2 | r C. William Taipe H.
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
57
En coordenadas esféricas U (r ) =
a d
q q 00 1 q + −Æ p 2 4 4π"o r 2 + d 2 − 2r d cos θ r r 2 + aa 2 − 2 2rda cos θ
EJERCICIO NO 6. 4 Se tiene un conductor esférico hueco de radio interno a conectado a tierra. A una distancia d (d < a ) se coloca una carga puntual q . Hallar el potencial en cualquier punto del espacio
SOLUCIÓN
En la region r > a el problema es típico,con condiciones de frontera U (a ) = 0 y U (∞) = 0, Luego U (r ) = 0. Para la cavidad del conductor (region r < a ) resolvemos el problema buscando los valores de una carga imagen q 0 y su posición (0, 0,b ) de tal manera que la superficie r = a sea equipotencial con U = 0, con la notación mostrada en la figura 1 q q0 U (r ) = + 4π"o |~r − ~r1 | |~r − ~r2 | 1 q q0 U (M ) = + =0 4π"o a − d b − a 1 q q0 U (N ) = + =0 4π"o d + a b + a a q 0 = − q, b
b=
a2 d
pero |q 0 | > q y b > d U (r ) =
q da 1 q −Æ p 4 2 4π"o r 2 + d 2 − 2r d cos θ r 2 + da 2 − 2rda cos θ C. William Taipe H.
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
58
EJERCICIO NO 6. 5 Dos carga iguales q están separadas una distancia 2b (a d ) una carga Q. Calcular la fuerza sobre Q.
SOLUCIÓN
La fuerza sobre q es debido solamente a su carga imagen q 0 Para nuestro caso a q0 = − q d 2 a b = kˆ d 2 0 a a 1 qq (~r − ~r2 ) 1 −q 2 d d − d kˆ F~ = = 2 3 4π"o |~r − ~r2 |3 4π"o d − ad 1 q 2a d F~ = − 2 4π"o (d − a 2 )2 La fuerza sobre la carga Q es debido a su imagen Q 0 y a la carga q −Q 0 que se distribuye uniformemente en la superficie r = b y por eso puede ser considerada como carga puntual en el centro de la esfera. b Q0 = − Q D b2 z = kˆ D
C. William Taipe H.
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
60
2 b b Q q −Q 0 D Q D − D ˆ ~ − F= k 2 3 4π"o D 2 D − bD Q F~ = 4π"o
q −Q 0 Qb D − 2 kˆ D2 (D − b 2 )2
EJERCICIO NO 6. 7 Un conductor esférico tiene dos cavidades esféricas. La carga neta sobre el conductor es cero. Sin embargo hay una carga puntual qb en el centro de una de las cavidades y qc en el centro de la otra. Hay además una carga puntual qd a una distancia r del centro de la esfera y fuera de ella. ¿ Que fuerza actúa sobre cada una de los siguientes objetivos: esfera qb , qc , qd ? Llámese a al radio externo del conductor esférico
SOLUCIÓN
Sobre las cargas qb y qc no se produce ninguna fuerza por que en cada cavidad no hay campo externo debido a la misma qb y qc . sobre las superficies interna de cada cavidad hay cargas −qb y −qc pero como el conductor es neutro, en la superficie externa tendremos qb + qc la fuerza sobre qd se calcula q = qd Q = qb + q c d =r para:
a Q 0 = − qd r a2 b= r F~ =
q d qb + q c + 4π"o r2
qd F~ = 4π"o
¨
qd F~ = 4π"o
¨
a q r d
−
qb + qc + ar qd r2 qb + qc + ar qd r2
a q r d
−
2 r − ar a2 3
r−
r
kˆ
« a q r2 r d kˆ (r 2 − a 2 )2
« qd a r − 2 kˆ (r − a 2 )2 C. William Taipe H.
CAPÍTULO 6. IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS
61
EJERCICIO NO 6. 8 Una lamina conductora infinita sobre la cual se ha hecho una protuberancia hemisférica esta conectada a tierra. A una distancia d del centro del hemisferio se coloca una carga puntual q . determinar La fuerza sobre la carga q .
SOLUCIÓN
La carga q10 sera la imagen de q con respecto a la lamina plana, q20 es la carga imagen de q con respecto a la protuberancia hemisférica, q30 es la carga imagen de la carga imagen q20 con respecto a la lamina plana q 0 = −q, ~r1 = d kˆ 1
a2 a q20 = − q, ~r2 = kˆ d d a a2 q30 = q, ~r3 = − kˆ d d La fuerza sobre la carga q es F~ =
a q d
d q q (d + d ) − 4π"o (2d )2 d− q F~ = 4π"o
2 − ad a2 3
d
a2 d+d + kˆ a2 3 d+d a q d
q adq aqd − + kˆ 4d 2 (d 2 − a 2 )2 (d 2 + a 2 )2
C. William Taipe H.
Capítulo 7 Metodología 7.1.
Estrategias
El desarrollo del curso, se realiza utilizando la estrategia del aprendizaje significativo, brindando apoyo a los alumnos en la solución de los diferentes problemas que se les puede presentar.
7.2.
Métodos
El método que se emplea para el desarrollo de las prácticas pre-profesionales es el inductivo y deductivo
7.3.
Medios y Materiales
Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son: Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana. Visual: empleo de pizarra, plumón y mota.
62
Capítulo 8 Cronograma de Actividades 8.1.
Temas No 01 02 03
8.2.
Temas Electrostática Electrostática y condición de frontera Imágenes electrostáticas
Cronograma de Actividades Fechas Temas 01 02 03
Marzo 27 28 ∗ ∗
3 ∗
4 ∗
10 ∗
Abril 11 17 ∗ ∗
18
24
25
2
∗
∗
∗
∗
Mayo 8 9 15
∗
63
∗
∗
Junio 4
∗
Capítulo 9 Relación de Estudiantes y Asistencias 9.1.
Relación de estudiantes
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
CODIGO 031294 052548 001214 002189 051689 972982 011942 051701 022725 021316 033248 031314 011958 031316 033255 031327 011967 031319 973009 021336 021337 990720 002207 033261 033262 031326 040716 041360 031327
APELLIDOS Y NOMBRES ATAMARI HANCCO BRENDA YAMILET CCOMA AROCUTIPA OMAR ZIF CHAMBI CALLA PERCY IVAM CHAMBILLA ESCOBAR JAVIER COLLANQUI YANA PEDRO COTRADO COTRADO WINSTON ALEX GUTIERREZ QUISPE EDWIN HUARAYA GUTIERREZ FAUSTINO JILAPA CHARCA JULIO LOPE CHOQUE HERBERTH WILLIAM LOPEZ HUMPIRI RENE MENDOZA MAMANI EVA GENOVEVA PARIAPAZA VELASQUEZ ODIEL PIMTO APAZA WILY PUMA MARON LILIANA ELIZABETH QUISOCALA MAMANI RIGOBERTO JESUS QUISPE QUISPE JAVIER ARMANDO RAMOS CARI WALTHER EULOGIO RAMOS ROJAS LUCIA LOURDES ROJAS COLLATUPA SALVADOR SACACA MAMANI OSCAR SUCA YUNGA ELMER SUCASACA SURCO EDWIN URRUTIA SANCA RONALD VELASQUEZ MAMANI ROGER VERA BERNAL MIGUEL DARIO VILCA QUISPE ELMIRE NORMITA YANAPA CAHUAPAZA EDWIN YUCRA CARCASI YONNY DANIEL 64
CAPÍTULO 9. RELACIÓN DE ESTUDIANTES Y ASISTENCIAS
9.2.
65
Lista de Asistencia
Fechas No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Datos CODIGO 031294 052548 001214 002189 051689 972982 011942 051701 022725 021316 033248 031314 011958 031316 033255 031327 011967 031319 973009 021336 021337 990720 002207 033261 033262 031326 040716 041360 031327
Marzo 27 28 • •
3
4 •
10 •
Abril 11 17
18 • • •
24
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25 •
Mayo 8 9 15 • • •
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C. William Taipe H.
Capítulo 10 Anexo 10.1.
Tabla de integrales
sea c una constante Integral R dx p 2 2 R xxd+a x p x 2 +a 2 R x 2d x p 2 2 R xx3 d+a p x x 2 +a 2 R pd x R x dx x2 +a 2 R R
10.2.
Solución de la integral p ln(x + x 2 + a 2 ) + c p x2 +a2 +c p p x x 2 +a 2 a2 − ln(x + x 2 + a 2) + c 2 2 p 2 x 2 + a 2 + p a2 2 + c p x +a a + x 2 +a 2 1 +c − a ln x
(x 2 +a 2 )3/2 xdx (x 2 +a 2 )3/2 x 2d x (x 2 +a 2 )3/2
a2
px
x +a 2 −1
p
x +a 2 −x
p
x +a 2
+c
+c
p + ln(x + x + a 2 ) + c
Serie de Fourier
Consideramos una función f (θ ) definida para 0 ≤ θ ≤ 2π. buscamos un desarrollo de la forma 0
f (θ ) =
A0 2
+
∞ X
0
0
(A n cos nθ + B n sen nθ )
(10.1)
n=1
Los coeficientes pueden obtenerse multiplicando ambos miembros de (10.1) por cos nθ o (sen nθ ) e integrando entre 0 y 2π Z 2π 1 0 An = f (θ ) cos nθ d θ (10.2) n 0 Z 2π 1 0 Bn = f (θ ) sen nθ d θ (10.3) π 0
66
Bibliografía [1] Arturo Talledo,Teoria de campos electromagneticos, CIENCIAS S.R.Ltda, 2005 [2] Curricula Flexible por Competencias de la C.P. Ciencias Fisico Matematicas 2000-005, UNA, Puno. [3] Humberto Leyva Naveros, Electostatica y magnetismo ,MOSHERA S.R.L.,1999 [4] John R. Reit, Frederick J. Milford y otros, Fundamentos de la teoria electromagnetica ,UTEHA ,1969
67
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