Electromagnetismo Serie Schaum

SERIE SCHAUM

ELECTROMAGNETISMO ELECTROMAGNETISMO Teoría y 310 problemas resueltos

Joseph A. Edminister

AEPAEP AEP

AEP

.T. N' 11

8'BLlOT[C.

e.c. [;~ (~AVLORA"

"B. GfJL

LACA'- tiA 535 SERIE DE COMPENDIOS

F~oeRAl

SCHAUM

'TEORIA y PROBLEMAS DE

I

ELECTROMAGNETISMOI

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Por

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JOSEPH A. EDMINISTER,

M.S.E~ROHI810A

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VENTA

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de

TRADUCCION

PEDRO ALBARRACIN de

s

REVISION

SANTIAGO PINTO

EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA .

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S.A.

.

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,

Delhi,

,

,

AEPAEP AEP

AEP

RESERVADOS Copyright

©

TODOS

LOS DERECHOS

1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL Bogotá, Colombia

(D.R.)

LATINOAMERICANA

S.A.

Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso escrito del editor.

o

Traducido de la primera edición de OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS OF ELECTROMAGNETICS Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A.

SCHAUM'S

IS BN 968-451-004-7 0987654321 Impreso

8765432901

en Colombia

Impresión:

Printed

in Colombia

Italgraf S.A., Bogotá, Colombia

AEP AEP AEPAEP

B'8L10ITCA E}l.EJ. N' 17 unU._lw,~.L.\"'. r¡)r I n r '_ ("' L,./-\AV; L ORAfJ \ LACA;'iR:\ 535 e t». ~EOERAI.

I

Prefacio El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagnetismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación. Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas. Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromagnéticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia. Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cuidadoso. Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias. Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera escrito. ]OSEPH

A. EDMINISTER

AEP

AEP AEP

AEP

B'aL!OT[C~ EPeE.T. N' 11 "B. GrJL. D.C. C'.~ ~,\AVLGnAu L

~A 1',,'1''\ ~"' f....,

'\535 (.. ~" r!").•

EOERAl

Contenido Capitulo 1

ANALISIS VECTORIAL

1

1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Sistemas de coordenadas menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales formaciones

Capitulo 2

FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD

DEL CAMPO ELECTRICO

2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.4 Configuraciones estándar de carga

Capitulo 3

1.4 Volú1.6 Trans-

...

13

2.3 Distribuciones de carga

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS

.

27

3.3 Ley de Gauss 3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo 3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico 3.5 Superficies gausianas especiales

Capitulo 4

DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia

Capitulo 5

.

39

4.3 Divergencia de D

ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA.

50

5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una distribución de carga 5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos

Capitulo 6

CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES

.

65

6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec6.4 Densidad de la corriente de conducción J 6.5 Conductividad (J . 6.6 Coción J rriente 1 6.7 Resistencia 6.8 Densidad de la corriente laminar K 6.9 Continuidad de la corriente 6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico

Capitulo 7

CAPACITANCIA

Y MATERIALES DIELECTRICOS

81

AEP AEP

7.1 Polarización P y permitividad relativa e, 7.2 D Y E de voltaje constante 7.3 D Y E de carga constante 7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri-

AEP AEP

CONTENIDO

cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varios dieléctricos nada en un condensador.

Capitulo

8

7.7 Energía almace-

ECUACION DE LAPLACE

.

96

8.1 Introducción 8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor medio y del valor máximo 8.6 Soluciones cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico

Capítulo

9

LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO

113

9.1 Introducción 9.2 Ley de Biot-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional 9.5 Densidad de corriente J y V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes

Capítulo 10

FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS

.

128

10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combinados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia 10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar

Capítulo 11

INDUCTANCIA

Y CIRCUITOS MAGNETICOS

.

140

11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formas estándar 11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curva B-H 11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacios de aire 11.9 Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos

Capitulo 12

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

Y FEM INDUCIDA

.

160

12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entre le y ID 12.3 Ley de Faraday 12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Conductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo

Capitulo 13

ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES 13.1 Introducción laminar en el límite

Capitulo 14

.

172

13.2 Relaciones límites para campos magnéticos 13.3 Corriente 13.4 Resumen de las condiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell

ONDAS ELECTROMAGNETICAS

.

181

14.1 Introducción 14.2 Ecuaciones de onda 14.3 Soluciones en coordenadas cartesianas 14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores 14.5 Soluciones para dieléctrico perfectos 14.6 Soluciones para buenos conductores 14.7 Profundidad de penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacionarias 14.10 Potencia y vector de Poynting

APENDICE INDICE

197

AEP

199 AEP

1

Capítulo

Análisis vectorial 1.1

NOT ACION VECTORIAL

Para distinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tienen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto:

A

aA

=

,A o

IAI

IAI

=A=~ (ver sección 1.2). donde Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de A 1.2

ALGEBRA l.

= A"a" +

de un sistema de coordenadas

+

VECTORIAL

Los vectores pueden sumarse y restarse:

A

a" +

B=

+

+

+ 2.

y

Las leyes asociativa,

distributiva

+

)

+

y conmutativa

se aplican

A + (B + C) = (A + B) +

e

A+B=B+A 3.

El

de dos vectores es, por definición, A- B

=

cos 8

(léase "A punto B")

donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación

A -B En particular, 4.

A-A=

El nición, A x B

=

+

de componentes

se puede demostrar

que

+ "

y

z

de dos vectores es, por defi-

=

sen 8}a"

(léase" A cruz B")

donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de ' un punto común. Existen dos vectores normales a este plano, así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es

Fig. 1-1

AEP AEP AEP AEP

ANALISlS VECTORIAL

2

rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la ducto vectorial. En cambio, se cumple que

[CAP. 1

ley conmutativa

no se cumple para el pro-

AxB=-BxA Desarrollando

el producto

vectorial en forma de componentes,

A x B = (Axax

+

B, -

=

lo que se expresa convenientemente

+ Aza.) +(

x (Bxax

- A~ .

Bx}az

aya.

ax

SISTEMAS

+ B.a.) +( -

como un determinante:

A x B

1.3

+

tenemos

=

s,

s,

DE COORDENADAS

U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innecesariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas cartesianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias. z

z

r P(r, q¡, z)

~ P(x,y,z) I

Iz

iz I I / I . /

_._-_._--

(a)

1//

8 J, P(r, 8, 4»

I

k---+-----y

•

//

I I

.x-'--;,---•... y /

I

I

X

4>

(b)

Cartesianas

Cilíndricas

'J

(e) Esféricas

Fig.I-2

Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico (r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1- 2. El orden de especificación de las coordenadas es importante y debe seguirse cuidadosamente. El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos z

z

z , = const.

8 =

const.

z = const.

I----+-

I----y

/----+-

= const,

4> = consto

AEP AEP

4> = const. (a) Cartesiano

(b)

Cilíndrico

Fig. 1-3

(e) Esférico

AEP AEP

CAP. 1]

ANALISIS

VECTORIAL

3

cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El contexto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia. La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = constante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas cartesianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el n. origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O z

z

z

3

}-----+-y

-

}-----+-y

(b)

(a) Cartesiano

(e)

Cilíndrico

Esférico

Fig. 1-4

La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad. tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas (excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha:

Las formas de componentes

de un vector en los tres sistemas son:

A = A = Arar A

+ + Azaz + A",a", + Azaz

(cartesiano) (cilíndrico)

= Arar + o o + A",a",

(esférico)

Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente funciones de las coordenadas en el sistema particular.

1.4

VOLUMEN,

SUPERFICIE

Y ELEMENTOS

DIFERENCIALES

constantes

sino a menudo

DE LINEA

) ó , , ó Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema aparece en la figura 1-5. En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es (r

+ dr, O + de,

AEP AEP

=

dO senO

=

2

senO dO

AEP AEP

ANALISIS VECTORIAL

4

[CAP. 1

.

z

~------------~

y

=

=,2 sen O

do

(b) Cilíndrico

(a) Cartesiano

dñ

( e) Esférico

Fig. 1-5 El elemento

diferencial

dt2 dt2 dt2

1.5

CAMPOS

de línea, di. es la diagonal

= 2 + = 2 + r2 = 2 + r2

+ 2 + 2 + r2sen

a través de P, por lo que (cartesiano) (cilíndrico)

2 ()

(esférico)

VECTORIALES

Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficientes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de punto a punto, a través de la región de interés. Considere por ejemplo, el vector

E = -xax

+ yay

Dando diferentes valores a y a se obtiene E en varios puntos. Después que varios puntos han sido examinados, el patrón resulta evidente. La figura 1-6 muestra este campo. Además, un campo vectorial puede variar con el tiempo. De esta manera al campo bidimensional examinado puede agregársele una variación temporal mediante la expresión E

=

(-xax

----------~==~------+_------~~-----------

+ yay)senwt

ó

Los campos magnéticos y eléctricos de los capítulos posteriores variarán todos con el tiempo. Como es de esperarse, serán diferenciados o integrados respecto del tiempo. Sin embargo, ambas operaciones tendrán un curso natural y muy raramente causarán gran dificultad.

AEPAEP Fig.l-6

AEP

\

AEP

1.6

5

ANALISIS VECTORIAL

CAP. 1]

TRANSFORMACIONES

El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un campo vectorial, de un sistema a otro.

EJEMPLO 1:

Considérese

= 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a. , 8. q, pueden expresarse en un sistema A

en coordenadas esféricas. Las variables la figura 1-2 y aplicando la trigonometría

cos (J = -;::::;==;===;:: .

Ahora las componentes

de coordenadas

esféricas del campo vectorial

+ l-+

éstas con las componentes

recurriendo

a

y

tanq, =-

Z2

A pueden expresarse

en términos

Los vectores unidad a,. a , ya- pueden expresarse también en un sistema de coordenadas figura 1-4 y aplicando trigonometría básica. En fecto,

Combinando

cartesianas

básica. De esta manera

transformadas

de

,

y

cartesianas

así:

recurriendo

a la

resulta

Problemas resueltos 1.1.

Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z)) a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por

- x¡)a"

+(2 -

+

- z1)a:

Lascoordenadas de M y N se utilizan para expresar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_

A = xla.x + Ylay + zla. B = X2a.x + Y2ay + Z2a.

~------

AEP AEP

Entonces

Fig.I-7

AEP AEP

6

ANALlSIS VECTORIAL

1.2.

Determine el vector A dirigido de (2,- 4, 1)a (0,- 2, O) en coordenadas vector unidad a lo largo de A. A

=

(O - 2)a"

A

221

= 1AT = - 3a" + 3a,

-

el

Determine la distancia entre (5, 3 1t/2, O) Y (5, 1t /2, 10) en coordenadas cilíndricas.

A

=

-5ay

B = 5ay

Entonces B - A = lOa, entre los puntos es.

lB-Al

z

(S,1t/2,tO)

+ lOa.

+ 10a.y

la distancia buscada

=

p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?

f

'P=Q=

Como el disco contiene

cantidades

2x

o

f

4

(12senq,)rdrdq,=OJlC o

iguales de cargas positivas

[sen (q, + 7t ) = - sen q,] no

y negativas

hay un flujo neto que cruce por S.

3.7.

Carga en la forma de una hoja plana con está localizada densidad P s = 40p.Cjm 2 en z = - 0.5 m. U na carga lineal uniforme de P t = - 6 p . C j m yace a lo largo del eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista, centrado en el origen, tal como se muestra en la figura 3-10?

z

--

. . .~. .~• y

La carga encerrada en el plano es Q = (4 m - ) 2) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q =

( 4 0 J lC /m

(2 m)(-

6Jl

=

C jm )

-

12 ¡,¡C x

Entonces,Qenc

3.8.

'P

=

=

160 -

12

=

148

J1C

Fig. 3-10

U na carga puntual Q está en el origen de un sistema de coordenadas esféricas. Encontrar el flujo que cruza la porción de una concha esférica descrita por ()(~ () S (3(figura3-II). ¿Cuál es el resultado si a = O Y P = 1 t j2 ?

z

El flujo total 'P = Q cruza una concha esférica completa de área 4 n r " . El área de la franja está dada por

A

= =

Entonces

f

2. P

o

f

r

neto

Para

sen8d8dq, ---------~ ~

2 n r 2 ( - cos fJ + cos

-

-

-

4 1 tr2

IX

=

es

QJ

Q

= -

O,

fJ

2

(-

cos f3 + cos n /2

(un

IX)

hemisfe-

Fig. 3-11

rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f 2 .

3.9.

y

IX)

el flujo a través de la franja

A 'f .

2

•

U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i . C j m , yace a lo largo del eje longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y

x.

¿Qué flujo por unidad de m?

= ± 2

El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12.

IX =

2arctan

(~) = 1.I76-rad

Entonces

!.= L

50(1.176) 2n

=

9.36

J 1 C fm

que cruza la

32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA y LEY DE GAUSS

[CAP. 3

z jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e

" Fig. 3-12

3.10.

Fig. 3-13

Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja plana cuyos bordes son paralelos lineal pero que no está localizada simétricamente respecto de la línea de carga.

a una carga

La figura 3-13 muestra una franja de este tipo en el numeral 2 y otra franja en el numeral 1, que está localizada en forma simétrica como en el problema 3.9. Del problema 3.9 el flujo a través de la franja 1 está determinado por el ángulo ( 1 .. Pero, debido a la ausencia de carga en la región a b c d , la ley de Gauss permite ver que el flujo que entra a XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 debe ser igual al flujo que abandona 2. De esta manera, el flujo a través de 2 también está determinado por el ángulo subtendido (1 . •

3.11.

U na carga puntual Q = 30 n e , está localizada en el origen de las coordenadas cartesianas. Halle la densidad de flujo eléctrico D en (1, 3, - 4) m. Refiriéndose

a la figura

Q D = 4nR2 =

30

x

. aR 10-

9

(a" + 3a, -

p

4 n (2 6 ) =

(9.18

3~ 14

X

x (1 ,3 , -4 )

a" +

10- 1 1 ) (

4a.)

3a, -

4a.\

\D

e /m 2

pJ o, más convenientemente,

3.12.

D

Fig. 3-14

= 91.8 pC/m2.

Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y P t = 20 J .l c ¡ m. Obtenga D en (3, 3, 3) m. La distancia desde el punto de observación dose primero la carga lineal sobre el eje x,

D 1-

y ahora

_ ..!!!...-

a1 -

hasta cualquiera

_

2 W l'

20

/- le /m

2 n {3 J 2 m )

y

de las cargas lineales es 3

(a, + ---

a.)

.J i

la carga lineal sobre el eje y,

La densidad

total de flujo es la suma vectorial

D

=

20

(a" + a, + 2a,)

2 n {3 J 2 ).J i

=

con densidades

(1.30)(a" + ay + 2a,)

J2

/- lC /m

2

j2

de carga

m. Considerán-

FLUJO ELECTRICO

CAP. 3]

3.13.

= lüxa, (e/m 2 ), determine Dado que D LKJIHGFEDCBA x = 3 m.

y LEY DE GAUSS

33

el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xen jihgfedcbaZYXWV

Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,

3.14.

Determine

el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r

=

10

m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Z = 2 m, tP = 53.2 0 si D

+ 2(1 -

= 2 xa x

y)a ,

+ 4za z

(e/m2) z

En el punto

P

(ver figura 3-15),

x = 1Ocos53.2° = 6 Y = 1Osen53.2° = 8

Entonces, en

P,

C/m 2

D = 12a" - 14a, + 8a z

El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña comparada con las unidades en D, puede aproximarse así:

x

Fig. 3-15

Por lo tanto, d 'l'

= D'

1O- 6 (0.6a" + 0.8ay) = -4.0

= (12a" - 14ay + 8a z )'

dS

¡ ,tC

El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje hacia afuera en la dirección de d S. 3.15.

z

antes que

Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los ejes coordenados.) 'I'=fD'dS=

f

J

(2a,,+3ay)'(dSa,,)+

(~2a,,+3ay)· (-dSa,,) x=-l

x=l

+

f

[Zxa, + 3ay) .

(d S

f

ay) +

,= 1

+

(2xa" + 3ay) .

(-d S

ay)

y = -I

f

(2xa" + 3a~).' e=

(d S

a z) +

1

f '

(2xa" + 3a,) .

(-d S

a.)

:=-1

J

= 2

f

dS

,,=1

+ 2

f

+ 3

dS

,,=-1

f

dS y= 1

-

3

f

dS

+ O + O

,= -1

= (2 + 2 + 3 - 3)(2 2 } = 16 C 3.16.

Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concéntrico de radio 2 m tiene P s = ( - 1.5/47t) u C ] m 2 • Ambas distribuciones son infinitas en el sentido de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones. Utilizando la superficie gausiana especial plo 1, sección 3.5, D-

Pt

A

que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-

- 27tr a,

0 a . Obtenga D en todas las regiones. Resp.

'fI =

4 1 t,2 D

= 10+ Q

r < a

1

,>a

3.36.

Dado que D = 5 0 0 e - O ' 1x a x (J .le l m -), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m. Resp. 4 5 2 J .tC , 3 0 3 J .le , 184 J .le

3.37.

Dado que D = 5 x 2 a x + l Oza , (e l m 2 ), halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. Resp. 80 e

3.38.

Dado

que

en coordenadas z = 5 b (m ). 3.39.

Dado

cilíndricas, Resp.

halle el flujo saliente que cruza el cilindro

circular

recto descrito

por,

= 2 b , z= O , y

1 2 9 b 2 (C )

que sencjJ D

=

2,coscjJa.;

-

3r

a.

en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a , O ::; cjJ : : ; 1 t/2 . Repita el ejercicio para 31t I 2 ::; cjJ : : ; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de a z' a

Resp.

3.40.

a

En coordenadas cilíndricas, el disco, ::; a , z = O contiene carga con densidad superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproximados cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ) .

Resp.

(a )

p,(O ,cjJ );

2

( b ) .J L

donde

Q =

4 n z2

r o

no uniforme p,(r , cjJ ). Utilice de D sobre el eje z , ( a ) muy

fG p,(r ,cjJ )r dr dcjJ o

3.41.

Una carga puntual Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una distribución esférica concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1 m 2 • ¿Qué densidad superficial de carga > 2 m? Resp. -71.2 p e l m? sobre una concha concéntrica en r = 2 m produciría D = O para,

3.42.

Dada una distribución de carga con densidad para hallar D. Resp. (5r 2 /4}a, (e/m2)

P

= 5, (e l rn ') en coordenadas

esféricas,

utilice la ley de Gauss

3 '8

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS

3.43.

Hay una densidad la ley de Gauss

uniforme

para hallar

de carga de 2 e / m ' en el volumen D en todas

las regiones.

[CAP. 3

2 :$ jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED x :$ 4 m (coordenadas cartesianas). Utilice

R e s p . -2a"

e/m

3.44.

Utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región que está comprendida un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de radio a . Desprecie R e s p . p s.(a lr ), p s.(a /(o r )

3.45.

Un conductor de espesor determinado del conductor. demuestre que D = especial.

tiene una densidad

superficial

2,

2 (x - 3)a" (e/m 2 ),

entre los conductores el efecto de bordes.

2a" e/m 2 concéntricos

de

de carga XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p s : Suponiendo que 'P = O dentro construyendo una superficie gausiana

x: o , apenas fuera del conductor,

Capítulo 4

DivergenciaFEDCBA y teorema de divergenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcb DIVERGENCIA

4.1

La forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio se caracteriza de dos maneras. La primera de ellas es la jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d ive r g e n c ia , que será examinada enseguida. Es un escalar y es similar a la derivada de una función. La segunda es el r o ta c io n a l, vector que se examinará cuando se discutan los campos magnéticos en el capítulo 9. Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero, se dice que la región c o n tie n e fu e n te so su m id e r o s; fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. En los campos eléctricos estáticos hay una correspondencia entre la divergencia positiva, las fuentes y la carga eléctrica positiva aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q . El flujo eléctrico 'P se origina por definición en una carga positiva. Así pues, una región que contiene cargas positivas contiene fu e n te s de 'P . La divergencia de la densidad de flujo eléctrico D será positiva en esta región. U na correspondencia similar existe entre la divergencia negativa, los sumideros y la carga eléctrica negativa. La divergencia del campo vectorial A en el punto P está definida por TSRQPONMLKJIHGFEDCBA d iI V A .

==

l 'l~m & v " 'O

-

' _ A - , -d_S -·

L \v

En este caso, la integración se hace sobre un volumen infinitesimal 4.2

DIVERGENCIA CARTESIANAS

L \v

que se comprime hasta el punto

EN COORDENADAS

z

La divergencia puede ser expresada para cualquier campo vectorial en cualquier sistema de coordenadas. Para su desarrollo en un sistema de coordenadas cartesianas, se selecciona un cubo con aristas L \ x , L \ y , y L \ z paralelas a los ejes x, y y z , como se muestra en la figura 4-1. Entonces, el campo vectorial A se define en P , esquina del cubo correspondiente a los valores menores de x,

y

y

P.

ill 1

p

A

I1 x

z

l1 y

y

z.

A

=

Axa x

+ Aya y

+ Aza z

Para expresar ~ A . dS para el cubo, deben cubrirse todas las 6 x caras. Sobre cada cara la dirección de d S es saliente. Como las caras son normales a los ejes, sólo una componente de A cruzará Fig.4-1 dos caras paralelas cualesquiera. En la figura 4- 2 el cubo ha sido girado de tal manera que la cara 1 tiene vista total. Las componentes x de A sobre las caras a la derecha y a la izquierda de 1 aparecen indicadas. Como las caras son pequeñas, dS,: ; : ;

fA .

-A A x )L \y L \z

c a ra

izquierda

fA '

dS: : : : :

AAx

1

+ L \x )L \y L \z

dS

c a ra

derecha

I1 x

Fig.4-2

39

DIVERGENCIA

40

de manera

Y TEOREMA

DE DIVERGENCIA

[CAP.

4

que el total para estas dos caras es jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a Ax ; ¡ -AxAyAz vX

El mismo procedimiento

se aplica a los restantes

f A .d S Dividiendo

por Ax Ay Az

=

pares de caras y se combinan

a Ax

o Ay

O A z)

~( - + - + -

A

••

A

A

los resultados.TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

~

ilAuyu", oxaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ay az

Av y haciendo

Av

-+

0, se obtiene

(cartesiano) El mismo método

puede aplicarse

para coordenadas

cilíndricas

diIV A _--- 1 a ( r A) + 1-a A< /> a A z -+ r ar

.

=

dIV A

4.3

DIVERGENCIA

1 a '2:l r

(2) r

A,

or

'

1 + --() rsen

r a e/>

a (

~ ( )A g s e n ( )

1 + --()

)

4.1) Y esféricas.

(cilíndrico)

az

rsen

u

(problema

a A< /> ~,.¡.,

(esférico)

vv'

DE D

De la ley de Gauss (sección

3.3),

§ D·

dS

Qenc =

Av En el límite,

lím ~ D • d S = d'IV D = u1m Av

I ! . V " 'O

Este importante

resultado

es una de las ecuaciones

de Maxwell

=p

div D

Qenc --

I!.v ..• O

Av

p

para campos

div E

y

=

=

estáticos:

e f

si e es constante en toda la región que se está considerando (si no lo es, div iE = E y D tendrán divergencia igual a cero en cualquier región libre de carga .

p ).

Así pues, ambos campos

.

EJEMPLO 1: En coordenadas esférifas, la región r :$ o contiene una densidad uniforme de carga P . Para r densidad de carga escero. Del problema 2.56, E = E , 8 " donde E , = ( p r f 3 (o) para r s ; o y E , = ( p o 3 / 3 lo r 2 ) para Entonces para r :$ o ,

. div E

1 =

~

a ( pr ) a r r 3 io

1 (

2

2

p)

3r 3(0

= ~

> o r

la

> o.

P =

~

y, para r > o ,

.

1

d lv E = - 2

a

r 0r

4.4

EL OPERADOR

(2

r

3

pa ) --

3 io

r

2

= 0

NABLA

El análisis vectorial tiene su propia notación que debe ser examinada con cuidado por el lector. En este punto se define un operador vectorial, simbolizado V, en co o r d en a d a s ca r tesia n a s corno

DIVERGENCIA

CAP. 4]

Y TEOREMA

DE DIVERGENCIA TSRQPONMLKJIHGFEDCBA 41

r

En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representar aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d i d x . Los símbolos yf son también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V, solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vector A , el resultado es la divergencia de A .

V

.A _(i. i. ~) .( A "a" + - jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a x a" + a y ay + O Z sr

De aquí en adelante, [ Ate n c iá n l

escribiremos

la divergencia

A

A)

. ,al' +

_ -

• az

oA"

OX +

de un campo vectorial

oAy

oy

+

oAz -

OZ -

di IV A

como V . A.

El operador nabla sólo está definido para coordenadas cartesianas. Si V . A se utiliza para expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas cilíndricas se escribe como

1

o

r

or

(véase sección 4.2). Esto n o im p lic a

1 iJ

== -r -a r (r

V

1 0 A .p

oA.

oq,

iJ z

)+ --+ -

V 'A = - - ( r A

r

r

que

lar +

1 iJ ( ) - -r

iJ ( )

iJ q ,

a + --

a

OZ

.p

%

en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría un r e su lta d o fa lso si se utilizara en V V (el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo 9) ..

4.5

TEOREMA

DE DIVERGENCIA

La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D . d S es igual a la carga encerrada. Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede obtenerse de la integración de p en todo el volumen. Así pues,

Pero

p

=

V . D, entonces

f

D' dS

=

J

(V' D )d v JI

Este es el te o r e m a d e d ive r g e n c ia , también conocido como te o r e m a d e d ive r g e n c ia d e G a u ss. Es el análogo tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre D, Q y p , el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial.

teorema

de la divergencia

fA' s

Por supuesto,

E JE M PL O

2:

el volumen

v es aquél

que está encerrado

dS

=

f

(V' A)d v v

por la superficie

S.FEDCBA

La región r :5: a en coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico

Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.

DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

[CAP.

4

r TSRQPONMLKJIHGFEDCBA = b :s ; a . aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Para S, escogemos la superficie esférica jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f ff (~ : FEDCBA a ,) . 2.

=

2

•

V.

a,)

(b s e n O d 8 d 4 >

2.

senf

E = ~ ~ 2 r

or

pb3

fo fo -

(V, E )d v

y

dO d4>

~

b

(r2 pr)

= f!..

3E

E

P

fo fo fo -

2

r s e n O d rd O d 4 >

E

3E

4 7 tp b 3

4 7 tp b 3 = --

3E

3E

El teorema de divergencia se aplica tanto a campos estáticos como a campos variablescon el tiempo en cualquier sistema de coordenadas. El teorema se usa más a menudo en derivaciones en que se hace necesario cambiar de una integral de superficie cerrada a una integral de volumen. Pero por eso puede usarse también para convertir la integral de volumen de una función, que puede ser expresada como la divergencia de un campo vectorial, en una integral de superficie cerrada.

P r o b le m a s 4 .1 .

Desarrollar

la expresión

para la divergencia

r e s u e lto s en coordenadas

cilíndricas.

U n volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas Sr , r !l.4 > , y !l.z. El campo vectorial definido en P , esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r ,4 > , y z, como

A

está

+ AoIJa4> + A.a.

A,a,

=

A

z

Por definición,

.

d¡vA=

,fA '

dS

hm --6 v~ O

!l.v

Para expresar f A ' dS deben cubrirse todas las 6 caras del volumen. Para la componente radial de A ver la figura 4-4. En la cara izquierda,

y

dS ~ -A,r !l.4 > !l.z

fA'

F ig .4 - 3

y en la cara derecha, fA'

dS ~ A,(r + !l.r ){r + !l.r )!l.4 > !l.z ~ (A,

+

°o~ '!l.r )(r

~ A,r A4 > !l.z

+

( A,

+

"OA,) s

dS

oA ) o 1 a (r A,)!l.v ( A, + r -'or !l.r !l.4 > !l.z = -or (r A,)!l.r !l.4 > !l.z = -;r or =

r !l.r !l.4 > !l.z.

~ ~ + Ar )

!l.r !l.4 > !l.z

donde el término en ( !l. r)2 ha sido despreciado. La contribución neta de este par de caras es entonces

ya que !l.v

s-.

+ !l.r )!l.4 > !l.z

~ F ig .4 - 4

(1)

CAP. 4]

DIVERGENCIA

Y TEOREMA

DE DIVERGENCIA

43

a q , dan En forma similar, las caras normales a TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

y

para una contribución neta de aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 10Aq, ---L \v r 04>

y

(2 )

las caras normales a a, dan

L \Z )

y jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( A. + °o~z r L \ r .1 4 >

para una contribución neta de

oAz oz

(3)

-L \v

Cuando

( l) ,

§ A . d S , la definición de divergencia es:

(2) Y (3) se combinan para dar .

1

o(r A,) or

1

d lv A = - - - + - - + r

4.2.

r

oA4> oAz 04> oz

Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme. Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas, E=~a r

2 1 tE o

'

Entonces

v .E

= ~~ r

or

(r ~)

=

O

r

2 1 tE o

La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r sión es indeterminada.

4.3.

=

O, donde la expre-

Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero. Para una carga puntual, en coordenadas esféricas, Q D = -4

2

1 tr

Entonces, para

r

>

0,

x

4.4.

Dado A

= e -r(c o s

4.5.

Dado A

= x

2

.x

+

a , - sen

y z a )'

+

xyaz,

V ' A

x

a,

ay), hallar V' A.

hallar V' A.

o

=ox

(X2)

o

+ -

ay

o

(y z ) + -

OZ

(x y ) = 2 x+ z

44

4.6.

DIVERGENCIA

V.A

a ( 5x ax

= -

2

[CAP.

sen-1 t X ) 2

1 tX

=

V·

DE DIVERGENCIA

2 A TSRQPONMLKJIHGFEDCBA = aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5 X jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( sen ~ x )a"" hallar V· A en x = l.

Dado

y

Y TEOREMA

Al

5X2

(

cos -

1t 1 tX 5 - + lOx sen- = 2 2 2

)

2

1 tX

1 tX

cos -

2

2

1 tX

+ 10x sen-

2

10.

=

x=l

4.7.

Dado

A

+ y 2 t 1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O).

= (X2

V·

y

Al

=

-8.84

x

10- 2

(2.2.0)

4.8.

Dado

A

=

r sen 4>aFEDCBA , + 2 r cos 4>a",

1 a V'

+ 2z 2 a%, hallar V· A. 1 a + -(2 r co stj» r a tj>

(r 2 sen tj»

A = --

r ar

a + - (2 z 2 ) az

= 2sentj> - 2sentj> + 4z = 4z

4.9.

Dado A

=

tP

r sen

a,

+ r 2 cos 4>a", + 2 r e - 5%a%,hallar V • A en (1/2, n /2 , O).

1 a 2 V' A = -(r sen tj» r ar

1 a + -(r 2 co stj» r a tj>

I(1/2.,,/2.0) 4.10.

Dado A

=

10 sen 2 4>

a,

1

1t

V· A

y

a + - (2 r e- S % ) az

+ ra", + [ (z2/r )cos 2

=

sen Ba, + r cot

(5 /r 2 )

la V· A = - 2 r

4.12.

Dado A

=

ar

(5senO) + - -

= ~~ ,2 a r

4.13.

Dado

A

=

5 sen O a,

(5 )

+

=

5

(2 .< 1 > . S )

é

a, + rsen

Bcos4>a""

- (r sen O co tO ) ao

(5/r2)a, + (10/senO)a/l - r24>senOa""

V . A

V .A I

y

a

1

r sen O

7

o

4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5).

r

Dado A

(1)

1t

= 2sen- - -sen- - 10 - e = -2 2 2 2 2

V' A = 10 sen 2 tj> + 2zcos 2 tj>

4.11.

= 2sentj> - r sen tj> - 1 0 r e- s %

(10) +

_1_~

r sen O

ao

hallar V· A.

a

1

= -1 - sentj>

+ -(r sen O co stj» r sen O a tj>

hallar

V· A.

(-r 2 tj> sen O )

_1_~

r sen O

=

-r

a tj>

+ 5 sen 4>a"" hallar V· A en (0.5, n /4 , n /4 ).

1 a 1 a' cosO costj> + 5-V' A = --(5sen 2 0) + - - (5sentj» = 10-r sen o a o r senO a tj> r r sen O

y

V 'A I

=24.14 (0 .S .,,/4 .,,¡4 )

4

CAP. 4]

4 .1 4 .

DIVERGENCIA

Y TEOREMA

45FEDCBA

DE DIVERGENCIA

P o za, en la región - 1 ~ z ~ 1 en coordenadas Sea D = jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA partes. Halle la densidad de carga.

y D = (P o z/ TSRQPONMLKJIHGFEDCBA I z l)a: en las otras

cartesianas

V·D = p

Para - l ~. z ~

y para z < -

ló z >

L a distribución ra 4-5.

4 .1 5 .

1.

1,

de carga

aparece

F ig . 4 · 5

Sea

en coordenadas 100

P

=--

esféricas,

[ b (r 2 + z 2 r 3 !2 r 2 ]

+ - [ b (r 2 + z2 r 3 J 2 z] oz + (r 2 + z2 r 3 /2 (2 r )]

f - ~ (r 2 + z2 r S/2 (2 r 3 )

=

~

=

b (r 2 + z2 r S/2 [

a menos que r

=

z

-3 r 2 =

de carga.aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

halle la densidad

r or

4 .1 6 .

en la figu-

3 z 2 + (r 2 + Z2 )]

+ (r 2 + z2 )(2 .) -

O. (El campo

dado

+ b f - ~ (r 2 + z2 t

D corresponde

=

SI1 (2 z2 )

+ (r

2

+ z2 t3 /2 ]

o

a una carga puntual

en el origen.)

SeaD=(lOr 3j4)a r ( C j m 2)enlaregiónO < r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar otro sitio. Halle la densidad de carga. ( C j m 2) en cualquier Para O <

r ~

3 m,

y para r > 3 m, 1

o

p = --

r or

4 .1 7 .

(810/4)

=

O

Sea º2'(1-cos3r)ar

D =

nr

en coordenadas

esféricas,

halle la densidad p

=..!.. ~ ,2

4 .1 8 .

or

de carga.

fr 2 J L (1 - cos 3 r )-] n r2

1 o r2

-

or

(7 r 4 )

1

3Q sen 3 r nr2

,

Sea D = 7 r 2 a, + 28 sen {}alJ en coordenadas p = -

=

esféricas.

o

+ -- (28sen 2 O ) rsen () 0 0

Halle la densidad 56 cos O ·

=

28r + - -

r

de carga.

DIVERGENCIA

46

4.19.

Y TEOREMA DE DIVERGENCIA

[CAP. 4

2) < aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r:S 1 m, D=(-2 x 1 O - 4 /r)a, ( C ! m jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y para r > 1 m, D=(-4 x 1 O - 4 /r 2 )a; En la región O TSRQPONMLKJIHGFEDCBA (C/m 2 ), en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga en ambas regiones.

Para O < r s; l m.

y

4.20.

parar

>

I m,

En la región r :S 2, D = (5r 2 /4)a, densidad de carga.

para

y

r

> 2, D= (20/ r2)a" en coordenadas esféricas. Halle la

Para r : : ; ; 2,

y

para

r

>

2, 1 P = 2 r

4.21.

o or

( 2 0 ) =O

Sea D = (lOx 3 /3)a x (C/m2). Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen de un cubo, de 2 m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes.

f n-

dS

f

=

(V '

D )d v

vol

Como O tiene sólo componentes x, D .d S es cero en todas las caras excepto x = l m y x = - I m (ver figura 4-6). 1

f

fO'dS=

10(1)

1

f

-a x'd yd za " ,

-1

+f 40

y

3

-1

l

f l. 1 0 ( - I ) -1

40

-1

3

a",' d yd z (-a",) Fig.4-6

80

= -+ -= -c

333

Ahora, para el lado derecho del teorema de la divergencia, corno V> O

4.22.

=

10x 2 , entonces

Sea A = 30e-'a, - 2za z en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por r = 2, z = O Y z = 5 (figura 4- 7).

Cabe anotar que A z = Opara z = Oy, por consiguiente, A ·d S es cero sobre esa parte de la superficie.

A, 5

fA'

dS

=

f f o

=

2,.

2"

2

30e- a,' o

6Oe- 2 (2n:)(5)"':'

2 d tj> d za, +

f f o

1O(2n:)(2) = 129.4

2

-2(5)a.·

r d r d tj> a .

o

Fig.4-7

CAP. 4]

DIVERGENCIA

Para el lado derecho

f

4.23.

1

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o a 3 0 e -'

r

or

= --

A

(3 0 r e -')

+ -

=

2n

o

= --

(-2 z)

oz

2

o

o

-

3 0 e -'

-

2

r

f f f (3--0 e -' 5

(V . A)d v

47

la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

del teorema-de

V'

y

Y TEOREMA DE DIVERGENCIA

3 0 e -'

- 2

) aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r d r d o d z = 129.4

r

Sea D = (lOr 3 /4)a, ( C r m") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por, = 1 m, r = 2 m, Z = O Y Z = 10 m (ver figura 4-8).

f

D . dS

f

=

(V . D )d v z

Como D no tiene componente z, D 'd S es cero para la parte superior y la inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en dirección - .,.

10

f f

+

o

- 2001t =

--

4

-4 (2)3.,' (2 )d < jJd z e , o

x

2001t + 16--

4

Para el lado derecho

f

y

4.24.

10

2n

Fig.4-8

7501t C

=

del teorema

de la divergencia:

(V' D )d v

f f f

10

=

o

2n

o

2

(lOr

2 )

r

dr d o dz

=

7501t C

1

Sea D = (5,2/4)ar ( C j m-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por, = 4 m. y f} = n j4 (ver figura 4-9).

f

dS

D '

f

=

Como D sólo tiene componente te de cero sólo en la superficie

f

t

2n

D '

dS

=

tt/4

fo

y

1 =

f

--

o

r 20r

radial, D· d S tiene valor diferenr = 4 m.

z

5(4)2 -4 -.r ·

Para el lado derecho

V· D

( V ' D )d v

(4 )2 Se n 8 d 8 d < jJ .r

del teorema

(5 r 4 /4 )

=

2n

(V' D )d v

=

589.1 C

de la divergencia:

5r

f f o

=

Fig.4-9

n /4

o

f

4

2 (5 r )r se n 8 d r d 8 d < jJ

o

=

589.1 C

48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA

P r o b le m a s 4.25.

Desarrolle

4.26.

Muestre

4.27.

El campo

la divergencia

que V • E es cero para el campo

eléctrico

s u p le m e n ta r io s

~ r, r ~ O y r sen O ~ < jJ . esféricas. Utilice un volumen delta con aristas aZYXWVUTSRQPONMLKJIHG

en coordenadas

de un dipolo

[CAP. 4 FEDCBA

producido

con cargas en

±

por una carga laminar

d

uniforme.

f 2 sobre el eje jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z es

Qd E TSRQPONMLKJIHGFEDCBA = --3 (2cosOa, +senOa 9 ) 4 n (0 r

Demuestre

que la divergencia

de este campo

es cero.

4.28.

Dado

A

=

e 5 xa x

4.29.

Dado

A

=

(3 x + y2 )a x + (x - y2)a)"

4.30.

Dado

A

=

2 xya

x

4.31.

Dado

A

=

4 xya

x -

4.32.

Dado

A

=

2r cos- ,z).

halle V . A.

089'

V· A en el origen.

halle V . A.

+ 5 sen z a

2 )a ,+ 5 e - 2 z a

r ~

z,

halle

=

R e sp .

R e sp .

1 .2 5

4r sen O +

C~4» cot e

(lOO/r}a.¡, + 4Oa z •

cilíndricas),

y para r > b ,

Para r < a , D

=

O. Halle

p

en las tres regiones.

4.41.

En la región O < r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), (2.057/r)a,. Halle p en ambas regiones. R e sp .

4.42.

En la región r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), ambas regiones. R e sp . 20 + r, O

D

R e sp .

O, P o , O

D = (4r- 1 + 2 e - O . 5 , _ e - O .5 " O

=

(lOr + (r 2 /3)]a"

y

+ 4 r -1e -

para r > 2, D

0.5

=

')ar, y para r>

[3/(128r)]a,.

2. D

=

Halle p en

CAP.

4.43.

4]

DIVERGENCIA

Y TEOREMA

DE DIVERGENCIA

49

Sea D TSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 10 sen aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O FEDCBA a , + 2 cos O as. Halle la densidad de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R e sp .

senO (18 + 2cot2

O)

r

4.44.

Sea 3r

D

= -2 --a ,

r

en coordenadas

4.45.

1

esféricas.

Halle la densidad

de carga.

R e sp .

3 (r 2 + 3 )/(r 2 + 1)2

esféricas.

Halle la densidad

de carga.

R e sp .

4 O e -l,

Sea

en coordenadas

4.46.

+

En la región

r ~

1 (coordenadas

esféricas).

D (4'3 _ ~)a 5 =

r

y para,

>

l. D

=

[5/(63,l)]a,.

Halle la densidad

r ~ 2 m (coordenadas esféricas) = 2 m. R e sp . por la concha,

de carga en ambas

tiene un campo 5.03 x 10- 3

La región encerrada

4.48.

Sea D = (5r 2 /4)a, en coordenadas men encerrado por, = l Y r = 2.

4.49.

cilíndricas. Evalúe ambos Sea D = ( 1 0 r 3 / 4 ) a , en coordenadas men encerrado por, = 2. Z = O Y Z = 10. R e sp . 800n

4.50.

Sea D = 10 sen O a, + 2 cos O as' Evalúe ambos lados del teorema de divergencia 2 = 2. R e sp . 4 0 n la concha,

esféricas. Evalúe R e sp . 75n

ambos

=

R e sp .

4 -

,2. O

(5 r x 1O- 5 /E o )a, (V 1 m ) . Halle la carga neta

4.47.

e

E

regiones.

lados del teorema

de divergencia

para el volu-

lados del teorema de divergencia -

para el volu-

para el volumen encerrado

por

Capítulo 5

Energía y potencial eléctrico de los sistemas de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT 5.1

TRABAJO REALIZADO EN CARGAS PUNTUALES EN M OVIM IENTO

Q experimenta una En un campo eléctrico E una carga puntual ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fuerza que está dada por F= vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -Q E

Si esta fuerza se des balancea, se produce una aceleración de la partícula cargada YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y su movimiento se dirige hacia el campo si Q es positiva. (Ver figura 5 -1.) Para poner la carga en equilibrio se requiere una fuer za a plica da igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza del campo:

Fig.S-l

El trabajo se define como una fuerza que actúa a distancia. Por consiguiente, la fuerza aplicada realiza una cantidad diferencial de trabajo dW cuando la partícula cargada se mueve (a velocidad constante) a lo largo de una diferencial de distancia d t. Ahora, el trabajo puede ser positivo o negativo, según la dirección de d i, vector desplazamiento, con relación a la fuerza aplicada, Fa. Cuando di y F a no están en la misma dirección, la componente de la fuerza en la dirección de d i debe usarse. Todo esto se expresa simplemente por: ·dW

= F "dtcos8

=

F a ' di

Así pues, en un campo eléctrico el diferencial de trabajo realizado por un agente externo es dW=

-Q E · dl

Adoptándose esto como expresión definitiva para el trabajo realizado al mover una partícula cargada en un campo eléctrico, un valor positivo significará que el trabajo ha sido hecho por el agente externo para ocasionar un cambio de posición y un resultado negativo indicará que el trabajo ha sido realizado por el campo. En los tres sistemas coordenados las expresiones para di son: di = dx e;

+ dya y + dz e;

(cartesiano)

= dra , + rdcJ > a ~+ dZ8: di = dra , + rd8a s + rsen8dcJ>a4>

(cilíndrico)

di

EJEMPLO 1: Halle el trabajo realizado al mover una carga de línea recta que une los dos puntos, si el campo eléctrico es E = 2X8 x -

El trabajo

diferencial dW

4ya ,

dW

=

desde (2, O, O) m hasta (0,2, O) m a lo largo de la y

(V/m)

es 2(2x8 x

=

-

=

-4xdx+

4Y8,)'

-

(dX8 x + dY8 y + dZ8.)

-4xdx W

+ 8(2 - x)(-dx)

=

f

(0,2, O)

8ydy

La ecuación de la trayectoria es x + y = 2 y, por lo tanto, largo de la trayectoria. Por consiguiente,

y

+2e

.

(esférico)

=

(4x -

dy

= -

di a lo

Trayec.2

16)dx

o

O (4x -

16)dx

=

24 J

(2, O, O)

Fig.S-l

2

50

x

ENERGIA

CAP. 5]

(Recuérdese

que

1 V/m

=

Y POTENCIAL

1 N /e

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

DE CARGA

YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 51

1 J /e · m.)

=

El trabajo realizado en una carga puntual en movimiento vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Q desde el punto ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B hasta el punto A en un campo eléctrico estático es el mismo para cualquier trayectoria escogida. En forma equivalente, el trabajo realizado para mover la carga alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero: (campos Tal campo

vectorial

se denomina

estáticos)

conser va tivo.

campo

EJEMPLO 2: Halle el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 e es movida desde (2, O, O) m hasta (O, O, O) a lo largo del eje x. Luego desde (O, O, O) m hasta (O, 2, O) m a lo largo del eje y. La trayectoria se muestra en la figura 5-2. Sobre el primer segmento, y = dy = dz = O, así pues dW = -2(2xa"

Sobre

el segundo

segmento,

- Oay)' (dxa " + OBy+ Oa.] = -4.xdx

x = dx = dz = 0, así que: dW ='-2(Oa"

- 4ya y)'

[Oa; + dYIl}. + Oa.) = 8ydy

Por lo tanto, W

-4

=

o

f

2

xdx

+ 8

2

este es el mismo

5.2

valor encontrado

POTENCIAL

para la trayectoria

ELECTRICO

ENTRE

f o ydy

del ejemplo

=

24 J

l.

DOS PUNTOS

El potencia / del punto A con respecto al punto B se define como el trabajo positiva unitaria, Q u' desde B hasta A .

VA B

W = -

Qu

A

=

-

fE'

di

realizado

al mover una carga

(J/C ó V)

B

Debe observarse que el punto inicial, o de referencia, es el límite inferior de la integral lineal. Por lo tanto, el signo menos no debe omitirse. Este signo apareció en esta expresión proveniente de la fuerza F a = - QE, que fue' aplicada para poner la carga en equilibrio. Puesto que E es un campo conservativo, VA B

=

VA C

-

VB C

de aquí que VA B se considere como la difer encia de potencia /entr e los puntos A y B. Cuando ~ B es positivo, debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desde B hasta A y se dice entonces que el punto A está a un potencial más alto que el punto B . En el ejemplo 1, si el punto B se toma en (2, O, O) m yel punto A en (O, 2, O) m, entonces

24J

VA B = - =

2C

12V

El punto A está a un potencial más alto que el punto B, (lo está en 12 V). Además, el potencial VaA debe ser -12 V, ya que V B A difiere de ~ B sólo por la inversión de los límites superior e inferior en la integral definitoria, lo cual simplemente cambia el signo del resultado. """

Pt r=

EJEMPLO

3: Encuentre el potencial de A , (1, ', z"), en coordenadas cilíndricas, donde el campo eléctrico es producido por una carga lineal sobre el eje z, está dado por E = (5O/r)8, ( V 1 m ).

Debe anotarse

primero

que d i tiene componentes en las direcciones' radial. Entonces E . dI = Ei dr, yasí

aro a~, ya; y que E tiene dirección A

VA B

=

-

fE '

1

dI

8

El punto

A

está a un potencial

=

-

50

f 3

dr

=

-

1 50 In -.

r

más alto que el punto

3

=

B.

54.9 V

Fig.5-3

3

m

52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS

DE CARGA

[CAP.

5

Como no hay trabajo en movimiento a lo largo de YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 8 4 > o a z' todos los puntos sobre el cilindro vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT r = constante deben estar al mismo potencial. En otras palabras, para una línea uniforme de carga, cilindros circulares rectos concéntricos son

super ficies equipotencia les.

5.3

POTENCIAL Como el campo

DE UNA CARGA eléctrico

VA B

por una carga puntual ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q tiene dirección radial,

producido A

= -

PUNTUAL

fE'

di

=

-

B

f

rA

E, dr

'8

Q = -

-

4ltio

f

'A

'8

Q

dr

2 r

= -

4ltio

(1 1) -

rA

-

-

rB

Para una carga positiva Q el punto A está a un potencial más alto que el punto B cuando Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Si al punto de referencia B se le permite ahora moverse hacia el infinito, entonces

rA

es menor que

r n-

o En el material que sigue se hará uso considerable de la anterior ecuación. El mayor peligro de ésta reside en olvidar dónde está la referencia e intentar aplicar la ecuación a distribuciones de carga que se extienden hasta infinito.

5.4

POTENCIAL

DE UNA D1STRIBUCION

DE CARGA

Si hay carga distribuida en algún volumen finito con una densidad de carga conocida p (C I m '), entonces puede determinarse el potencial en un punto externo. Para hacerlo, se identifica una diferencial de carga dentro de algún punto en el volumen, como se muestra en la figura 5-4. Entonces en P .

dV= --

dQ dV

4ltio R

La integración

sobre el volumen

~p

da el potencial

V= f

~ vol

4ltio

--

total en P :

R

R Fig. 5-4

donde dQ está reemplazado por p du. Ahora, no debe confundirse R con r del sistema de coordenadas esféricas. R no es un vector sino la distancia desde dQ hasta el punto P . Finalmente, R casi siempre varía de lugar a través del volumen y entonces no puede removerse del integrando. • Si la carga se distribuye sobre una superficie o una línea, la expresión de arriba para Vse cumple, siempre y cuando la integración sea sobre la superficie o la línea y P s o P t estén usados en lugar de p . Debe hacerse hincapié en que todas estas expresiones para el potencial en un punto externo están basadas en una r efer encia cer o en el infinito.

5.5

GRADlENTE

Llegados a este punto, se introduce otra operación del análisis vectorial. La figura 5-5 (a ) muestra dos puntos vecinos, M y N . de la región en que está definida una función escalar V. El vector separación de los dos puntos es

dr = dx e; + dye; + dz s,

CAP. 5]

ENERGIA Y POTENCIAL

M (x ,y ,z )

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS DE CARGA

53

ZYXWVUTSR

vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z

N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + dx ; y + dy ; z + dz) ~

V(x,y,,)",

V (x , Y. z ) y

=

el

y

x

x (a )

(b) Fig. S-S

Por el cálculo,

el cambio

en V desde M hasta

N está dado

av ax

dV = -dx Ahora,

el operador

De lo que se deduce

nabla,

introducido

av ay

+ -dy

por

av az

+ -dz

en la sección 4-4, sobre

V

da

que

dV

=

VV· dr

El campo vectorial V V (también escrito grad V) se llama el gr a diente de la función escalar V. Se ve que para una I d r l fija, el cambio en Ven una dirección dada dr es proporcional a la proyección de VV en esa V. dirección. Así pues VV ya ce en la dir ección de má ximo incr emento de la función Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie equipotencial (si Ves un potencial), V(x, y, z) = C l [ver figura 5-5 (b)] . Entonces dV = O lo que implica que V V es perpendicular a dr . Pero dr es tangente a la superficie equipotencial. En efecto, para una localización VV debe estar a lo largo adecuada de N, éste representa cua lquier tangente a través de M. En consecuencia, de la superficie normal a M . Como dVestá en la dirección de aumento de V, apunta desde V(x, y, z)= C I hacia V (x, y , z ) = c 2 , donde C2 >c l• El gr a diente de una función potencia l es un ca mpo vector ia l el cua l es en todo punto nor ma l a la s super ficies equipote.ncia les. El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término contiene la derivada parcial de V con respecto a la distancia en dirección del vector unidad particular.

(cartesiano)

(cilíndrico)

av VV

=

a,:

av

a,

+ r ao

av

ao

+ rsenO acIJ a 4 >

Aunque V Ves válido para grad Ven cualquier nabla se define sólo en coordenadas cartesianas.

(esférico)

sistema coordenado,

debe recordarse

que el operador

54

5.6

ENERGIA Y POTENCIAL

RELACION

ENTRE

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

DE CARGA

[CAP. 5

E Y ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V

A partir de la expresión integral para el potencial de A respecto de B . el diferencial como vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

dV=

de V puede escribirse

-E·dl

Por otro lado,

dV

= VV ·dr

di YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = dr es un pequeño desplazamiento arbitrario, se deduce que

Como

E=

-VV

La intensidad del campo eléctrico E' puede obtenerse, cuando la función potencial V es conocida, tomando simplemente el negativo del gradiente de V . Ya se halló que el gradiente es un vector normal a las superficies equipotenciales dirigido hacia un cambio positivo en V . Con el signo negativo se encuentra que el campo E se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial V .

5.7

ENERGIA

EN CAM POS

ELECTRICOS

ESTATICOS

Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por carga, una distribución de n = 3 cargas puntuales. La región se supone inicialmente libre de carga y con E = O en todas partes. Como se ve en la figura 5-6, el trabajo requerido para Q colocar la primera carga Q ., en la posición l es cero. Por 1 tanto, cuando Q2, se mueve hacia la región, se requiere un trabajo igual al producto de esta carga por el potencial de Q •. El trabajo total realizado al colocar estas tres cargas es 00

WE = W1 + W2 + W3 =

O + (Q2 V2 .1 ) + (Q3 V3 .1 + Q3 V3 .2 )

El potencial V2 • notación, poco usual, campo eléctrico de la ción.) Ahora, si las tres

Fig. 5-6

debe leerse "el potencial en el punto 2 debido a la carga Q . en la posición 1". (Esta no aparecerá de nuevo en este libro.) El trabajo W E es la energía almacenada en el distribución de carga. (Ver problema 5.20 para un comentario sobre esta identificacargas se trajeran

a su sitio en orden

inverso,

el trabajo

total sería

WE = W3 + W2 + W¡

,;, O + Cuando

las dos expresiones

arriba

(Q2

se suman,

V2 • 3 ) + (Qt V1 • 3 + Qt V1 .i)

ei resultado

es dos veces la ~nergía almacenada:

El término Q. (V 1.2 + V 1.3) era el trabajo hecho contra los campos de Q2 región. Así que, V i , 2 + V r , 3 = V ., potencial en la posición 1. Entonces

y

Q3' únicas otras cargas en la

y

para una región que contiene n cargas puntuales. sumatorio se convierte en una integración,

Para una región con densidad

de carga p (C I m ') el proceso

CAP. 5]

ENERGIA Y POTENCIAL

Otras expresiones

(ver problema

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

5.15) para la energía almacenada

DE CARGA

55

son YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2

1 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR

~= -f-dv 2 (. En un circuito

eléctrico,

la energía almacenada

en un condensador 1

WE = -Q V

2

donde C es la capacitancia (en faradios), yen el condensador y Q es la magnitud

=

1

-CV

está dada por

2

2

Ves la diferencia de voltaje entre los dos conductores de la carga total sobre uno de los conductores.

que constitu-

EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal que e = lA/d. tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico. Despreciando el efecto de bordes, el campo es E = (V/d)a n entre las placas y E = O en cualquier otro lugar.

WE =

f

21 a : 2

dv

(V)2 2 d f e

=

+

v.= .. dv

Fig. 5-7 Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por medio de la ley de Gauss (sección 3.3).

Entonces

Problemas resueltos 5.1.

Halle el trabajo en el campo

E

=

realizado

al mover una carga puntual

(~ + 2Y~" + 2X8

y

Q

= - 20

J1.C desde el origen hasta (4, O, O) m

(V/m) y

Para una trayectoria a lo largo del eje x. di

dW

=

- Q E ' di

=

(20

x

=

dx a". (4.2. O)

1O-6)(~ + 2Y)dX

(0,0,0) y

W= (20x =

80pJ

1O-6)((~+ 2Y)dX

(4.0,0)

I Fig. 5-8

x

56

5.2.

ENERGIA

Y POTENCIAL

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

DE CARGA

[CAP.

5

5.1, mueva la carga desde (4, O, O) m hasta (4,2, O) m YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED y determine el trabajo

En el campo del problema realizado.

Ahora (sección figura 5-8) vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA di = dya y, y así

5.3.

f

= (20 x 10- 6 )

W

2

2xdy = (20 x 10- 6 )(2)(4) o

f

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2

dy

= 320 J Ú

o

En el campo E del problema 5.1, halle el trabajo realizado al mover la carga desde el origen hasta (4, 2, O) m a lo largo de la línea recta que conecta los puntos. La ecuación de la línea es x = 2y. de lo cual dx = 2 dy, dz = O. Entonces

y dy se cambian a x/2

x, y

Para integrar respecto de

5.4.

Y

l1 J

320

dx l L.

45

W= (20x1O- 6 )I

que es la suma de 80

y

-xdx= 400J Ú

2

o

datos hallados en los problemas 5.1 y 5.2.

f.1 J ,

Q

Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual 1t/2), coordenadas esféricas, en el campo

E

10

5e- r /4 a

=

r

+ ---

=

5 p 'e desde el origen hasta (2 m, n/4,

(V/m)

a

r sen (J q,

En coordenadas esféricas, dI

=

z

dr s, + rdea s

+ rsenedq,a.

Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5-9, a lo largo del segmento de = dq, = O, y dW

-QE'

=

dI

(-5

=

A lo largo del segmento 11. dr dW=

-QE'

dl=(-5

A lo largo del segmento 111. dr dW

de

=

=

=

-QE'

1O-6)(5e-' 1 4 dr)

x

=

o,

x

1O- 6 )(1Odq,)

y

de/> = O, y

dI

Fig. 5-9

O

=

Por consiguiente, W

=

(-25

x 10- 6 )

f

2

e- r /4 dr

x 10- 6 )

+ (-50

o

f

_12

dq, = -117.9 J Ú o

En este caso, el campo realiza al mover la carga un trabajo de 117.9 J Ú. 5.5.

Sea el campo E = (k/ r )a" en coordenadas cilíndricas. Demuestre que el trabajo necesario para mover una carga puntual desde una distancia radial r hasta un punto situado a dos veces esa distancia radial, es independiente de r. Como el campo tiene solamente componente radial, dW = -QE'

dI = -QE,dr

-kQ = --

Para los límites de integración use r I y 2r W

= -

l.

2"

kQ

"

independiente de

r.

dr

f -

r

= -

kQ In 2

r

dr

CAP. 5]

5.6.

57

ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA

9 /2) Dada una carga lineal de ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p , = (10- YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e / m sobre el eje vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE z, halle VAB, donde A es (2 m, n/2, O)y Bes (4 m , n, 5 m ) .

VAS

= -

f

A

donde

E· dI S

Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di es E, dr .

5.7.

5.8.

=

En el campo del problema 5.6, hállese VBC • donde r , compárese éste con la suma de VAB y VBC •

4my

rC

=

VB C

= -9[lnr]::

= -9(1n4 -In

10) = 8.25 V

V AC

= -9[lnrt

= -9(ln2

10) = 14.49 V

V AB

+

V BC

= 6.24

-In

+ 8.25 V = 14.49 V =

V

10 m. Luego, determínese

V AC

Dado el campo E = ( -16/ r2 )a , (V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto (2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ). Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r sea B . Entonces VAB

5.9.

VAC Y

=

-

t

2

(-16)

7

dr

=

=

2 m sea A y r

=

4 m,

- 4 V

Una carga lineal de p , = 400 p Cj m yace a lo largo del eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (O, 5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10). Halle el potencial en (2, 3, - 4) m.

z

Como la carga lineal yace a lo largo del eje x, las coordenadas x de los dos puntos pueden ignorarse. r A= J 9+ 16= 5m

rB

=

y

J 25 + 144 = 13 m

Línea de carga

Entonces VA B

Pt

rA

=

-

f r. 27tE:or --

d

r

=

-

p, rA --In 27tE:o r B

=

6.88 V

Fig. 5-10

5.10.

Halle el potencial en r A = 5 m respecto de r » = 15 m producido por una carga puntual Q p C en el origen y referencia cero en el infinito. Debido a la carga puntual,

Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero. 12

V AB

=

500 x 10(1 47t(10 9/367t) 5" -

1) 15

=

0.60 V

=

500

58zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS

DE CARGA

[CAP. 5

la referencia cero en el infinito puede usarse para encontrar ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y V IS ' s YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V15

=

-.JL (~) 47tt:o

=

0.30 V

15

Entonces

5.11.

Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo circular de 2 m de radio. Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5 m del plano del anillo. Compare el resultado con el que se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual. Con la carga en una línea,

v-

f

-

Aquí

y

(40/3) X 10- 9 2x(2)

p, =

(ver figura 5-11)

R

p,dt oR

J 29

=

z

41U

m,

10- 8

e /m

= ~

dt

=

(2 m)dq,.

Fig. 5-11

Si la carga está concentrada en el origen.

v= 5.12.

(40/3) X 104Xio(5)

9

=

24.0

V

Repita el problema 5.11 con la carga total distribuida de radio (figura 5-12).

uniformemente

sobre un disco..circular de 2 m

Como la carga está sobre una superficie, p.dS

V =

(40/3) con

P.

=

R

=

V

=

z

f 4XioR 10- 9

X

X(2)2

J 25 + r

2

10- 8/3x

10- 8

2

Cim

=~ (m) 2"

2

r dr dq,

f f o J 25

4x(10 9/36x) o

+ r2

=

23.1 V

Fig.5-12 5.13.

5.14.

Cinco cargas puntuales potencial en el origen.

iguales, Q

=

20 nC, están localizadas

en x

=

2,3,4,5

y 6 m. Encuentre

el

Hay una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L (figura 5-13). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del punto medio, tales que r¡ y'2 sean peque. ños comparados con la longitud, el potencial Vl2 es el mismo que para una línea infinita de carga.

CAP. 5]

ENERGIA Y POTENCIAL

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS DE CARGA

59

El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, es ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fL p,dz

VI =

o 47Uo(Z2

=

2p,

+

ri)I/2

[1n(z+Jz2+d)]L

47tlo

o

[In (L + J 13 + d ) - In r¡)

= ~

27tfo

En forma similar, el potencial en el punto 2 es

Ahora si

L ~ rl

y

(In2L - ln r.)

V I :::; ~

27tfo

Entonces

-L Fig. 5-13

lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita.

5.15.

Hay una carga distribuida energía almacenada

Demuestre

en un volumen

que una expresión

equivalente

v con densidad p , que da lugar a un campo eléctrico con

para la energía almacenada

es

La figura 5-14 muestra el volumen v que contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera de radio R . Como p es nula fuera de v, WE = -

tf 2

pVdv= -J 1·

2

lo'

pVdv= volumen

1f 2

esferoidal

El vector identidad integrando, da: WE

= ~f 2

V' V A

(V ,

=

(V'O)Vdv volumen esferoidal

Esfera

A' VV + V(V' A), aplicado al

VO)dv - ~

volumen esferoidal

f

( O ' VV)dv volumen esferoidal

Esta expresión se cumple para un radio R arbitrariamente grande. Se debe hacer R ....•co. La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema de divergencia, a 1!

VO·dS

-j

2

superficie

esferoidal

Fig. 5-14

ENERGIA Y POTENCIAL

60

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

[CAP. vutsrqponml S

DE CARGA

Ahora, si la esfera envolvente se hace muy grande, el volumen encerrado parece una carga puntual. De esta manera, en la superficie, D aparece como k ti R2 Y V como k2 / R. Así que el integrando decrece con 1/ R3. Como el área de la superficie aumenta sólo con R2, se concluye que límf

V D · dS=O

~-co

superficie

esferoidal

La otra integral da, en el limite,

y como D

= (E. la energía almacenada está también dada por YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ó

5.16.

V = 2 x + 4y (V) en el espacio libre. Halle la energía Sea la función potencial ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA volumen de 1 m 3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1 m '.

E= -VV=

OV - ( -a ox

oV +-a

ay

x

OV) +-a

oz •

y

= -2a

'" -4a

almacenada

en un

(V/m)

Este campo es constante en magnitud (E = .jW V/m) y con dirección sobre todo el espacio, de esta manera la energía total almacenada es infinita. (El campo puede ser aquél que se produce dentro de un condensador de placas paralelas infinitas. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para cargar tal condensador.) De todas maneras, es posible hablar de una densida d de ener gía para éste y otros campos. La expresión

sugiere que cada volumen minúsculo dv tendrá asignado un contenido w dv, donde

Para este campo, la densidad de energía es constante: 1

W

=-

2

10- 8

y así cada volumen de 1 m 3 contiene (10 8f361t)

5.17.

= --

(0(20)

J

36n

J/m 3

de energía.

Dos semiplanos conductores delgados, en 4J = O Y 4J = 1 tJ6 , están aislados uno del otro a lo largo del eje z. La función potencial para O ~ 4J ~ n J6 es V = (-604J/1t) V. Halle la energía almacenada entre los semi planos para 0.1 ~ r ~ 0.6 m y O ~ z ~ 1 m. Suponga espacio libre. Para encontrar la energía almacenada, W' E' en una región limitada de espacio, se debe encontrar la densidad de energía (ver problema 5.16) a través de la región. Entre los semiplanos,

E= -VV= y

1 --r

a al/>

(-601/» --n

60

a.=-a. '

nr

(V/m)

así

WÉ

e = ~ 2

fo fo f 1

,,/6

0.6 0.1

(60)2 nr

300(

rd rd I/>

dz

= __ o ln6 = 1.51 nJ n

CAP. 5]

5.18.

ENERGIA Y POTENCIAL

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

DE CARGA YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC 61

r = 0.01 m y r = 0.05 m está El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos concéntricos en vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK dado por E = (10 5 / r )a , (V / m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada en una longitud de 0.5 m. Suponga espacio libre.

(10

5 )2 e h+ O.S 2" O.OS 1 2 WÉ= 2f€OE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dv= if fo . -rrdrd< jJdz= 0.224J

f o ol

h

5.19.

Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q = 4 nC, en las esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610 dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas?

donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema. VI =

Q

Q

+

2

41t(0

R J2

Entonces

+

3

41t(0

R13

2QI

WE =

Q 41tEo

4

=

4

x'

10- 9 (1_ + _1 + _ 1) 1 1

J2

41tfo

R I4

2(4 x 10- 9 )(97.5)

VI =

=

=

97.5 V

780 nJ

Para sólo dos cargas,

E

2W o

WE

=

Q

=

VI =

I

VI

QI

(4

+ Q2

(4

-9

10)

x

V2 = x

2QI

10-

¡;

)

=

102 nJ

2

41tEoV

5.20.

VI

9

¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ·Q I = 3 nC radas por una distancia de d = 0.2 m?

por esto

VI

2WE

=

QI

W

=

QIQ2

E

41t/:0

V

+ Q2 =

2

=

QI

(4~:d)

+

d

Q 2 = - 3 nC, sepa-

Q2(4~:d)

9

(3 X 10- )2 41t( 10 9 /361t )(0.2)

_

y.

=

-405 nJ

Puede parecer paradójico que la energía almacenada se torne negativa aquí, mientras !fE 2 , y por consiguiente

WE =

-1

2

f

fE 2

dv

todo el espacio

es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energía almacenada en el campo, uno desprecia la energía infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior, U i = - 405 nJ, puede tomarse con el significado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las d ife re n c ia s de energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado.

5.21.

Una concha esférica conductora de radio a , centrada en el origen, tiene un campo potencial

v_

{Yo

Voa jr

r ~a r> a

con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo representa. r< a r > c.

62zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS

Obsérvese

que la carga total sobre la concha

Q

=

DA

=

DE CARGA

[CAP.

5

es, según la ley de Gauss,

Voa ) ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 (47ta ) YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED = 47tEo Voa ~vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

EO (

mientras que el potencial en la concha es V = ~ . Así pues, WE = !Q V , resultado familiar para la energía alma-cenada en un condensador (en este caso, un condensador esférico con la otra placa de radio infinito).

Problemas suplementarios 5.22.

Halle el trabajo realizado al mover una carga Q = - 20 el origen hasta (4, 2, O) m en el campo

E

=

x2

=

el problema 5.4 utilizando Resp. - 117.9 J ll

desde

Z

2(x + 4 Y )8 x + 8 X 8 y

a lo largo de la trayectoria

J lC

(V/m) Resp.

8y.

5.23.

Repita radial.

una trayectoria

5.24.

Repita el problema 5.4 utilizando la trayectoria figura 5-15. Resp. -117.9 J ll

1.60 m J

de dirección

mostrada

en la

Y

~ - - - - - ll- - -

x

Fig.5-15

5.25.

Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 3 J lC desde (4 m, 7t, O) hasta (2 m, 7t/2, 2 m), coordeResp. - 0.392 J nadas cilíndricas, en el campo E = (10 5 /r)a, + 10 5 z8 z (Y/m).

· S.26.

Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga puntual Q infinito hasta r = 2 m y desde el infinito hasta r = 4 m, en el campo E ,,;,(10 5 / r)a r (Y / m). . Resp. 1.39 x 10- 4 J

5.27.

Una carga total de (40/3) nC está distribuida en forma de un disco circular de radio 2 m. Halle el potencial producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 m del disco. Compare este potencial con el que se obtiene si toda la carga está en el centro del disco. Resp. 49,7 Y, 60 Y

, 5.28.

5.29.

=2

nC desde el

Z

U na carga lineal uniforme de densidad p ( = 1 nC/ m está arreglada en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestra en la figura 5 -16. Halle el potencial en (O, O, 5) m. Resp. 35.6 Y

(O, O, 5)

Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado a d metros medidos radial mente hacia afuera desde el punto medio de una carga lineal finita con L metros de longitud y densidad uniformePr(C/m). Aplique este resultado, como prueba, al problema 5.28.

y

x Resp.

~

27tfo

In

L/2 + Jd

2

+ 1 3 /4 ( V )

Fig.5-16

d

superficial

uniforme

de carga P . sobre el

5.30.

Demuestre que el potencial en el origen producido por una densidad de R. anillo Z = O, R ~ r ~ R + I es independiente

5.31.

Una carga total de 160 nC está inicialmente separada en cuatro cargas puntuales iguales espaciadas a 90° de intervalo alrededor de un círculo de 3 m de radio. Halle el potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 m del

CAP. 5]

ENERGIA Y POTENCIAL

ELECTRICO

DE LOS SISTEM AS

DE CARGA

63

plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límite vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P r = (160/61t) nCfm? Resp. 247 Y

5.32.

En coordenadas

( -161 punto Resp.

r2 )a , ( Y

esféricas,

B. Ahora exprese VA

=

A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. Dado el campo E YXWVUTSR = ZYXWVUTSRQPON del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el la diferencia de potencial V A - V B Y compare el resultado con ~roblema 5.8. el punto

1 m), halle el potencial

2 VD

= -

8 Y

5.33.

Si el potencial de referencia cero está en r = 10 m y una carga puntual Q = 0.5 nC está en el origen, halle los potenciales en r = 5 m Y" =15 m. ¿A qué distancia radial el potencial es igual en magnitud al potencial en r = 5 m, pero opuesto en signo? Resp. 0.45 Y, 0.15 Y,oo

5.34.

cartesianas. Halle la diferencia U na carga puntual Q = 0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas potencial V AB, donde el punto A es (2, 2, 3) m y B es (-2, 3, 3) m. Resp. 2.70 Y

5.35.

Halle el potencial en coordenadas eje y= ±d I2 . Suponga r ~ d .

5.36.

Repita

5.37.

Halle las densidades

el problema

esféricas producido por dos cargas puntuales Resp. (Q d sen 8)/(41tt.or 2)

5.35 con las cargas

sobre el eje z.

de carga sobre los conductores

iguales, pero opuestas

de

sobre el

(Q d cos 8)j(41tt.o r 2 )

Resp.

del problema

5J 7.

Resp.

5.38.

Una carga lineal uniforme de potencial

con P r = 2 nCI m yace en el plano z =0 paralelo al eje xeny

V AB para los puntos

A (2 m, 0,4 m) y B(O, O, O).

Resp.

-18.4

=3 m. Halle la diferencia

Y

5.39.

Una carga laminar uniforme, con P . = (I/61t) nCfm 2 , está en x =0 y una segunda carga laminar, (-1/61t) nCfm 2 , está en x =10 m. Halle VAB, VBC y VAC para A (IO m, O, O) Y C(O, O, O). Resp. - 36 Y, - 24 Y, - 60 Y

5.40.

Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas E = (51 r)a , (Y 1 m) para O < r ~ 2 m y E = 2.5 a, Y 1 m para r > 2 m, halle la diferencia de potencial VAB para A(I m, O, O) Y B(4 m, O, O). Resp. 8.47 Y

5.41.

U n condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una difeResp. 11.1 nJ rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía almacenada, suponiendo que t. = t.o.

5.42.

El condensador descrito aplicado de 200 Y.

en el problema

5.41 tiene

con P .

=

un voltaje

Halle la energía almacenada. M antenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en 200 Y, mientras se aumenta d 2 a 2.2 cm. Halle la energía final almacenada. (Suger encia : Mtí, = t(i\C)V2) Resp. (a ) 4.4 ul ; (b) 4.2 jJ l

(a ) (b )

1-

o.sm ---j Fig.5-17

5.43.

Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales m de separación entre ellas. Resp. 180 nJ

5.44.

Repita

el problema

5.43 si la carga en 'el centro

es -2

nC.

iguales, Q

Resp.

-180

=

2 nC, dispuestas

nJ.

en línea con 0.5

64

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS

5.45.

5.46.

5.47.

DE CARGA

[CAP. 5

Cuatro cargas puntuales iguales, vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q = 2 nC, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/3) m de lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada. Resp. O, 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ

lll Dado el campo eléctrico E = - 5e- rZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a r en coordenadas cilíndricas. Halle la energía almacenada en el volumen Resp. 7.89 x 10-10 a 3 descrito por r S; 2a y O S; z S; 5a .

Dado un potencial V = 3 x 2 + 4y2 (V). Halle la energía almacenada O:S;; Y S; 1 m y O S; z ~ 1 m. r esp. 147 pJ

en el volumen

descrito

por O S; x S; 1 m

Capítulo 6

Corriente, densidad de corrienteEDCBA y conductoreszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 6.1

INTRODUCCION onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

C o r r ie n te e lé c tr ic a es la tasa de transporte de carga eléctrica que pasa por un punto específico o a través 1 se usa generalmente para corrientes constantes y el símbolo ZYXWVU i de una superficie determinada. El símbolofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA para corrientes que varían con el tiempo. La unidad de corriente es el a m p e r e (1 A = 1 C I s. En el sistema SI, el ampere es la unidad básica y el coulomb la unidad derivada). La ley de Ohm relaciona la corriente con el voltaje y la resistencia. Para circuitos de simples, 1= VI R . Sin embargo, cuando las cargas están suspendidas en un líquido o un gas, o cuando los portadores de carga negativa y positiva están presentes con diferentes características, la forma simple de la ley de Ohm es insuficiente. Por consiguiente, en electromagnetismo, la densidad de corriente J (A l m") recibe más atención que la corriente l .

6.2

CARGAS

EN MOVIMIENTO

Considérese la fuerza sobre una partícula cargada positivamente en un campo eléctrico en el vacío, como se muestra en la figura 6-1 (a). Esta fuerza, F= + Q E , no es opuesta y produce una aceleración constante. De esta manera, la carga se mueve en dirección de E con una velocidad U que aumenta siempre que la partícula se halle en el campo E. Si la carga está en un líquido o en un gas, como se muestra en la figura 6-1 (b), se estrella repetidamente con las partículas presentes en el medio, con lo cual se producen cambios de dirección al azar. Pero, si E es constante y el medio es homogéneo, las componentes aleatorias de velocidad se cancelan, y se tiene una velocidad promedio constante, conocida como ve lo c id a d d e c o r r im ie n to U, a lo largo de la dirección E. La conducción en los metales tiene lugar mediante el movimiento de los electrones de las capas más exteriores de los átomos que conforman la estructura cristalina. De acuerdo con la teoría e le c tr ó n ic a d e lo s g a s e s , estos electrones alcanzan una velocidad de corrimiento promedio muy similar a la de una partícula cargada que se mueve a través de un líquido o un gas. La velocidad de corrimiento es directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico,

u

=

jlE

donde u , la m o vilid a d , se mide en unidades m 2 IV· s. Cada metro cúbico de un conductor contiene un número de átomos del orden de 1028• Los buenos conductores tienen uno o dos de los electrones de cada átomo libres para moverse cuando se aplica un campo. La movilidad u varía con la temperatura y la estructura cristalina del sólido. Las partículas presentes en el sólido tienen un movimiento vibratorio que aumenta con la temperatura. Esto dificulta aún más el movimiento de las cargas. Así pues, a altas temperaturas la movilidad jl se reduce, resultando en una menor velocidad (o corriente) de corrimiento para un E determinado. En análisis de circuitos este fenómeno se toma en cuenta para determinar la r e s is tivid a d para cada material y especificar un aumento de esta resistividad con temperatura creciente.

u

-~+~Q~.====~--------~ ~ E

--------------------~ (b) Líquido o gas

(a) Vacío

Fig.6-1

65

66

6.3

CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Y CONDUCTORES [CAP. 6

DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONVECCION,

J

Un conjunto de partículas cargadas que dan lugar a una densidad de cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK p en un volumen v aparece en la figura 6-2 provisto de una velocidad U hacia la derecha. Se supone que las partículas mantienen su posición relativa dentro del volumen. Cuando esta configuración de carga pasa una superficie S ello origina una c o r r ie n te d e c o n ve c c ió n , con densidad

Si la sección transversal defedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v varía o si la densidad p no es constante a través de v, entonces J no será constante con el tiempo. Más aún, J será cero cuando la última porción del volumen cruza S. De todas maneras, el concepto de una densidad de corriente causada por una nube de partículas cargadas en movimiento es a veces útil en el estudio de la teoría de campos electromagnéticos.

6.4

DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONDUCCION,

~

U

J=pU

S

Fig.6-2

J

De más interés es la c o r r ie n te d e c o n d u c c ió n que aparece dentro de los conductores de sección transversal fija en presencia de un campo eléctrico. La densidad de corriente está dada nuevamente por

que, en vista de la relación U

= llE ,

puede escribirse J=

(1E

donde ( 1 = PJl es la c o n d u c tivid a d del material en s ie m e n s p o r m e tr o (S / m). En conductores metálicos los portadores de carga son los electrones, que se desplazan en dirección opuesta al campo eléctrico (figura 6-3). Por consiguiente, para los electrones, tanto P como Jl son negativos, lo que produce una conductividad (1, positiva, tal como en el caso de portadores de carga positivos. Se deduce que J y E tienen la misma dirección sin importar el signo de los portadores de carga. Es convencional tratar los electrones que se mueven a la izquierda como cargas positivas que se mueven a la derecha, y siempre tener a P y jJ como positivos. La relación J = ( 1 E se conoce como fo r m a p u n tu a l d e la le y d e O h m . El factor ( 1 tiene en cuenta la densidad de electrones libres que se mueven (P) y la facilidad relativa con que se mueven a través de la ess tructura cristalina (Jl). Como podría esperarse, es una función de la temperatura. Fig.6-3

6.5

CONDUCTIVIDAD

(1

En un líquido o gas hay, generalmente iones, tanto negativos como positivos, algunos con carga sencilla y otros con carga doble y además, posiblemente, con diferente masa. Una expresión de conductividad podría incluir tales factores. Sin embargo, se supone que todos los iones negativos son iguales y lo mismo todos los iones positivos. Entonces la conductividad contiene dos términos como se ve en la figura 6-4(a). En un conductor metálico, sólo los electrones de valencia están para moverse. En la figura 6-4(b) se muestran en movimiento hacia la izquierda. La conductividad contiene entonces sólo un término, el producto de la densidad de carga de los electrones libres para moverse, P e ' por su movilidad, Jle' Una conducción más compleja es la que se da en semiconductores como el germanio y el silicio. En la estructura cristalina cada átomo tiene cuatro enlaces covalentes con átomos adyacentes. Sin embargo, a temperatura ambiente, y bajo el influjo de alguna fuente de energía como luz, los electrones pueden moverse fuera de la posición reservada para el enlace covalente. Esto crea un p a r e le c tr ó n -h u e c o disponible para

CAP. 6]

J E

CORRIENTE,

----

DENSIDAD

DE CORRIENTE Y CONDUCTORES

-e

--e ---e depende sólo de r. Entonces, si el voltaje de la placa tP = (X con respecto a la placa cjJ = O es V o ,

De esta manera,

D

4> = .

-

Eo E,

" ó ír e x, y la densidad de carga sobre la placa cjJ

=

a es

y MA"¡;ERIALES DIELECTRICOS CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

CAP. 7]

La carga total sobre la placa está dada entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rz i

h

.

Q

= fP sd S = f f o

i

89

z

WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V.

~drdz ra

rl

Vo h r, -=--:........::-ln-

iO ir

a

rl

Por lo tanto y

Cuando se substituyen valores numéricos (con a convertido a radianes), se obtiene C = 7.76 pF.

7.11.

En relación al problema 7.10, halle la separación d que se produce con la misma capacitancia cuando las placas se arreglan en forma paralela con el mismo dieléctrico en medio.

a

x

=

5° / / /

/ /

Fig. 7-12

Con las placas paralelas

iO ir A

C = --

d

así que a (r 2 -

r¡)

lnh/r¡) Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensador, mientras que el denominador es ellogaritmo de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del problema 7.\0, arl = 0.087 mm, a r 2 = 2.62 mm y d = 0.74 mm.

7.12.

Halle la capacitancia El potencial

de una concha esférica aislada de radio

de un conductor

de este tipo con referencia

a.

cero en el infinito .es (ver. problema

V= ~ 4 1 [(0

C

Entonces

7.13.

a

Q = - = V

4 1 t(o a

Halle la capacitancia entre dos conchas esféricas de radio a separadas por una distancia d ~ a . El resultado del problema 7.12 para la capacitancia de una concha esférica sencilla, 41tf o a , puede usarse como aproximación. En la figura 7-13 los dos condensadores idénticos parecen estar en serie. Fig. 7-13

1 1 I -= -+ -

e,

C

C

C2

ClC2 =

e,

+ C2

=

21tio a

2.35):

90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS

7.14.

[CAP. 7

= 1.5 Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contiene dos dieléotricos e,ZYXWVUTSR Y ('2 = 3.5, cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura 7.14. AquígfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A = 2 m? y d = 10-3 m.

C = fo frlA I = (8.854 x 101

12

)(1.5)1 = 13.3 nF

WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d 1 0 -3

De manera similar,

e,

A

d

T

= 31.0 nF. Entonces,

C=C I +C 2 =44.3nF Fig. 7-14 7.1S.

Repita el problema 7.14 suponiendo que los dos dieléctricos pero tienen la entrecara paralela a las placas. fo e ; A

fo e , A

T

CI =

=

--;¡¡¡-

ocupan cada uno la mitad del volumen·

10-12 )(1.5)2 10 3/2 = 53.1 nF

(8.854

x

=

De manera similar, C 2 = 124 nF. Entonces C =

7.16.

C IC 2 = 37.2 nF CI + C2

En el condensador cilíndrico que aparece en la figura 7-15 cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen. Halle la capacitancia.

r

La entrecara dieléctrica es paralela a D y E, así que la configuración puede tratarse como dos condensadores en paralelo. Como cada condensador contiene la mitad de la carga que contendría un cilindro completo, el resultado del problema 7.9 da n io

nfo fr2 L + In ( b / a )

fr lL

C = C I + C 2 = In ( b / a )

L

L

2nfo fr ava L In ( b / a )

donde e , ava = t(irl + (r 2 )' Los dos dieléctricos se comportan como un sólo dieléctrico con una permitividad relativa promedio. 7.17.

Halle el voltaje a través de cada dieléctrico voltaje es 200 V.

Fig. 7-15

en el condensador

que aparece en la figura 7-16 cuando el

t;rnrn =TIrnrn

5(1) C I =-1O-3 =5000(0 iO

C 2 = 1000(0/3

y Fig. 7-16 El campo

D

dentro del condensador se halla ahora a partir de =

D

=

p

CV

A

s

n

g=

= (2.77

9

x

A

10- )(200) = 5.54

x

10-7 C/m2

1

Entonces El = -(o

D

de lo que se deduce VI =

D

4

= 1.25 x 10 V/m

irl

E ld l

= 12.5 V

E2

= - = 6.25 (o

X

10 4 V/m

CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS

CAP. 7]

7.18.

91

Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri= 2.0 Y fr2 = 5.0. El cos de la figura 7-17, dondefrl conductor interno está en r¡ = 2 cm y el externo en r; = 2.5 cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad. La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo IX , tendrá una capacitancia 1 X /2 1 T . veces la del condensador coaxial completo. Del problema 7.9,

100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG

(F )

V¡

+

V 2 = V,

se deduce que Fig. 7-17

V¡

=

C2

V

=

C¡+ C2 V2

7.19.

=

(100)

=

74 V

(100)

=

26 V

1 .5 + 4 .2

C¡ C¡ + C2

4.2

V

=

1.5 1.5 + 4.2

Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de voltaje constante. Determine cómo cambian W D . E . C.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q . P s Y V cuando se inserta un dieléctrico de e = 2 entre las placas. E

,

r

Relación

Explicación

C2

= = =

2C ¡

La fuente V permanece conectada como E = V j d W = 1 S (o e , E d v C (o c r A/d

D2

=

2D ¡

D

(o

P s2

=

2ps¡

P.

D .

Q2

=

2Q ¡

Q

p.A

V2 E2

W2

V¡

=

E¡

2

2W¡

crE

En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen constantes.

7.20.

Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a una fuente de voltaje V . que es luego removida. Determine cómo cambian W E , D . E . C. Q . P . ' y V cuando las placas se apartan a una distancia de separación d 2 = 2 d l sin perturbar la carga. Relación

7.21.

Q2

=

P .2

=

P .¡

D2

=

D¡

E

= E¡

2

Q¡

Explicación La carga total no cambia

Q/A

P. D .

P .

E

W2

=

2W¡

W

C2

=

tC¡

C

V2

= 2 V¡

V

D jf.

o

t S (o E =

f.o

2

dv,

Y el volumen dobla

A/d

Q /C

U n condensador de placas paralelas con una separación d = 1.0 cm tiene 29 000 V cuando el espacio vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm. M uestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio ( l . r = 6.5) con una resistencia dieléctrica de 29000 V/cm y espesor d 2 = 0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la figura 7-18.

92

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS El problema

resulta ser el de dos condensadores

[CAP. 7

en serie Aire.

o

EO

1.0 cm

d

Vidrio. e ,

Fil. 7-18 Entonces,

como en el poblema

7.18,

Vi

3250 125 + 3250 (29000)

=

. =

27926 V

y así

27933

El

lo cual excede la resistencia

7.22.

=

dieléctrica

V

0.80 cm

=

34907 V/cm

del aire.

Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un conductor cilíndrico de radio WVUTSRQPONMLKJIHG a = 2.5 cm y un h = 6.0 de él. plano de tierra paralelo al eje del conductor a una distancia gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED U na técnica útil en problemas de esta clase es el m é to d o espejo del conductor en el plano de tierra y deje que este conductor imagen transporte el negativo de la distribución de carga del conductor real. Ahora, suponga que el plano de tierra es removido. Está claro que el campo eléctrico de los dos conductores obedece la condición de fronteras correcta en el conductor real, y, por simetría tiene una superficie equipotencial (sección 5.2) donde existía el plano de tierra. Por consiguiente, este campo es el campo que queda en la región comprendida entre el conductor real y el plano de tierra. Aproximando las distribuciones de carga real e imagen a cargas lineales + P t Y - P t respectivamente, en el centro de los conductores, se obtiene (ver figura 7-19): d e im á g e n e s . Tome "la imagen

potencial

en el radio

potencial

en el punto

El potencial madamente

debido

a

a

P debido

+

Pt = -

a

(+27tEo

P t) In a

Fig. 7-19

a - P t = - ( - P t) In ( 2 h - a )

27tE o

debido a - P t n o es constante sobre r = a , la superficie del conductor real. Pero lo es muy aproxisi a ~ h . Con esta aproximación, entonces, el potencial total del conductor real es .

v

=

-

a

~lna 27tEo

+ ~ In(2h 27tEo /

a) ~ -

~ ln a

27tEo

+

~ ln 2 h

27tEo

=

~ln 27tEo

2h a

Similarmente, el potencial del conductor imagen es - Va . Así pues, la diferencia de potencial entre los dos conductores es 2 Va , de tal manera que la diferencia de potencial entre el conductor real y el plano de tierra es deseada por unidad de longitud es, entonces, t( 2 V .) = v.. La capacitancia

e

Q /L

Pt

Va

V.

L

Para los valores de

a

y h , C /L

=

9.0 p Fj

m,

27tEo In ( 2 h /a )

CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS

CAP. 7]

La anterior expresión para gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C ] L no es exacta, pero da una buena aproximación cuando práctico). Una solución exacta da

a

~

h

93

(el caso

Obsérvese que C ] L para el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores h ) es la mitad del valor encontrado arriba (la misma cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA . carga, dos veces el voltaje). Esto es, con d = 2 h .

e

7tio

L

In

(d

J ~ -:

+

7tio

4a

2 )

~

In

(d ja )

Problemas suplementarios 7.23.

Halle la magnitud de D en un material Resp. 4.96 X 10-7 c ¡ m 2

7.24.

Halle las magnitudes de D, P Y i r para un material Resp. 6.97 p c ¡ m-, 5.64 J l c ¡ m-, 5.25

7.25.

En un material dieléctrico con Resp. 8.94 kV/m, 206 nC/m 2 ,

7.26.

Dado E ir

=

=

3a x + 4a, - 2a,

-

6.5.

-3a x

Resp.

ir

=

die\éctrico

3.6, D

=

para el cual

dieléctrico

285 nC/m 2 •

=

le

1.6 Y

en el cual

E

3.05

=

P

X

10-7

0.15 MV/m

=

Halle las magnitudes

C jm

y

le

2 •

=

4.25.

de E, P Y X •.

2.6 V/m en la región z < O, donde e,

=

2.0. Halle E en la región z > O, para el cual

4

+ 4a, - -a.

6.5

Vjm

7.27.

Dado que D = 2a x - 4a, + 1.5 a. C jm 2 en la región x > O, que es espacio vacío. Halle P en la región x < O, 2 que es un dieléctrico con i r = 5.0. Resp. 1.6a x - 16a, + 6a. C jm

7.28.

La región 1, z < O m, es espacio vacío donde D = 5., + 7a. Y la región 3, z > 1 m, tiene i r = 3.0. Halle E2' P 2 Y ( J ) . Resp.

-

1(

5a y + -

iO

7.29.'

7))

a.

2 .5

(V jm ,

7.5 ay + 4.2 a.

C jm ,

2

C fm

2 5 .0 2

El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3 x + z (4.5 a, + 3.2 a.) 10- 7 y i r ! = 4.3, mientras en el otro lado, 4 2 Resp. 1.45 X 10 4 ,3.37 X 10\ 5.37 x 10-7 ,83.06

2

•

La región 2, O < z ~ 1 m, tiene

ir

=

2.5.

o

= =

5. En el lado que incluye el origen, 1.80. Halle

E l'

E 2•

D2 Y

DI

(J 2 '

0

7.30.

Una entrecara DI

=

dieléctrica

a, + 3a, + 2a,

está descrita por 4 y + 3 z J J C /m 2 . En el otro lado,

= ir2

12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con = 3.6. Halle D 2 y (J 2 ' Resp. 5 .l4 1 lC /m 2 ,4 4 .4 °

7.31.

Halle la capacitancia de un condensador ración 4.5 mm. Resp. 5.43 n F

de placas paralelas con un dleléctrico

de

7.32.

Un condensador de placas paralelas de 8.0 nF tiene un área de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué separación se requeriría para obtener la misma capacitancia con espacio vacío entre las placas? Resp. 1.67 mm

ir

=

3.0, área 0.92 m? y sepa-

-CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES D1ELECTRICOS [CAP. 7

94

7.33.

7.34.

7.35.

Halle la capacitancia entre las superficies curvas interna y externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Desprecie el efecto de bordes.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Resp. 6.86 p F

Halle

la capacitancia

por unidad

de longitud

entre

un con-

ductor cilíndrico de 2.75 pulgadas de diámetro paralelo a 28 pies del eje del conductor. Resp. 8.99 p F / m (fíjese en las unidades)

y un plano

Duplique el diámetro del conductor del problema la capacitancia por unidad de longitud. Resp. 10.1 p Fj m

7-34 y halle Fig. 7-20

7.36.

Halle la capacitancia cm y una separación

por unidad de longitud entre dos conductores cilíndricos paralelos en el aire, de radio 1.5 entre sus centros de 85 cm. Resp. 6.92 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p F jm

7.37.

Un condensador de placas paralelas con área 0.30 m 2 y separación 5.5 mm contiene 3 dieléctricos con entrecaras normales a E y D, como sigue: frl = 3.0, d , = 1.0 mm; fr2 = 4.0, d 2 = 2.0 mm; 43 = 6.0, d ) = 2.5 mm. Encuentre la capacitancia. Resp. 2.12 nF

7.38.

Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador del problema 7.37, halle la diferencia gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) en cada dieléctrico. Resp. 267 V, 267 kVjm; 400 V, 200 kVjm; 333 V, \33 kVjm

7.39.

Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con radio externo de4 mm y radio interno de 0.5 mm si el dieléctrico tiene e , = 5.2. Resp. \39 p F j m

7.40.

Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio 0.75 cm y un blindaje cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene e , = 2.70. Resp. \37 p F j m

y el

¡o

€r=5.5 7.41.

de potencial

El cable coaxial de la figura 7-21 tiene un conductor interno de radio 0.5 mm y un conductor externo de radio 5 mm. Halle la capacitancia por unidad de longitud con los espaciadores que aparecen. Resp. 45.9 p Fj m Fig. 7-21

7.42.

Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga conectándolo momentáneamente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de e , = 2.0 llenando totalmente el espacio. Compare los valores de W p D , E , P . , Q . Vy Cantes y después de la inserción del dieléctrico. Resp. p a r c ia l V 2 = tV I

7.43.

A un condensador de placas paralelas gía almacenada permanece fija: W 2 Resp. p a r c ia l. P .2 = .j3 P.I

se le cambia el dieléctrico de f rl Examine los cambios. en

= W¡.

=

V,

2.0 a C, D ,

C

r2

=

E, Q

6.0. Se nota que la enery P . , si hay alguno.

7.44.

Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son acercadas la una a la otra, desde una separación d hasta ! d . Examine los cambios que se producen en Q , P . ' C. D , E Y W E • Resp. p a r c ia l. D 2 = 2D ¡

7.45.

U n condensador de placas paralelas con espacio libre entre las 'placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son apartadas desde dhasta 2 d . Exprese los cambios que se producen en D . E, Q, P . ' C y Wc Resp. p a r c ia l. D2 = t D¡

7.46.

U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación d . Sin perturbar la carga Q , las placas se acercan, hasta d l / , con un dieléctrico de e , = 3, que llena completamente el espacio entre las Resp. p a r c ia l. V2 == i V I placas. Exprese los cambios qu, ~e producen en D , E , V , C y W E '

CAP. 7]

CAPACITANCIA

y MATERIALES

DIELECTRICOS

95

7.47.

U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE i r = 5.4 llena 20% de la distancia entre las placas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso. Resp. 0 .8 4

7.48.

Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el conductor interno Hay dos aislantes; el primero tiene i r ! = 6.0 Yestá de r = 0.8 cm a r = 1.0 Y está desde r = 1.0 cm hasta r = 3.0 cm, que el segundo tiene i r 2 = 3.0 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante.

7.49.

Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual i r = 2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV 1 m . ¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm? Resp. 0.376 MV

7.50.

Para el condensador coaxial de la figura 7-15, a = 3 cm, b = 12 cm, i r ! = 2.50, i r 2 = 4.0. Halle E l' E 2 • D I Y (V/m) D 2 si la diferencia de voltaje es 50 V. R e s p . p a r c ia l. E 2 = ±(36.1/r)sr

7.51.

En la figura 7-22, el conductor central, rl = 1 mm, está a 100 V respecto del conductor externo en r s = 100 mm. La región l < r < 50 mm es espacio vacío, mientras 50 < r < 100 mm es un dieléctrico con e , = 2.0. Halle el voltaje a través de cada región. Resp. 91.8 V, 8.2 V

7.52.

Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dos regiones del problema 7.51. Resp. 59.9 n J /m , 5.30 n J /m

con respecto al blindaje cilíndrico. cm del conductor interno, mientras dentro de la superficie interna del Resp. 0.645 MV WVUTSRQPONMLKJIHGFED 1 m , 1.03 MV 1 m

e , = 2.0

Fig. 7-22