Electromagnetismo II

April 19, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A

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Apuntes de Electromagnetismo. Dr. Dom´ınguez Hernández Samuel. UPIITA-IPN Telemática 16 de junio de 2023

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Introducci´ on. Electromagnetismo es una unidad e aprendizaje que se imparte en el cuarto semestre de Ingenier´ıa Telem´ atica, Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenier´ıas en Tecnolog´ıas Avanzadas (UPIITA) del Instituto Politécnico Nacional. Esta unidad de aprendizaje requiere conocimientos previos de: fundamentos de f´ısica, ´ algebra lineal, c´ alculo diferencial e integral, cálculo multivariable y ecuaciones diferenciales. Adem´ as de ser fundamental para las unidades: propagaci´ on de ondas y antenas. Una de sus caracter´ısticas de esta materia es ser la segunda materia del área de f´ısica, lo cual plantea un dif´ıcil objetivo a superar para los estudiantes, siendo esta la gran motivaci´ on para realizar este trabajo. En el primer cap´ıtulo se resuelven problemas de Ley de Coulomb, debido a cargas puntuales y distribuciones de carga, además de la Ley de Gauss en su forma integral y diferencial; este cap´ıtulo requiere conocimientos de álgebra y c´ alculo vectorial, adem´ as de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. En el segundo cap´ıtulo se estudiará el potencial eléctrico, la energ´ıa, el electrost´ atico en los materiales, la capacitancia, la ecuación Laplace y por u ´ltimo el método de im´ agenes.

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Índice general Introducci´ on

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1. El campo electrost´ atico 1.1. Conceptos fundamentales del modelo electromagnético. . . . . . . 1.1.1. Unidades y dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Carga eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ley experimental de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Campo eléctrico y l´ıneas de campo. . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales. Ejercicio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Campo eléctrico debido a un distribución de carga. . . . . Ejercicio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Densidad de flujo del campo eléctrico. . . . . . . . . . . . 1.3.2. campo eléctrico de algunas distribuciones de carga con sim´ asria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 7 9 9 10 11 12 14 15 22 23 35 35 36

2. Energ´ıa el´ ectrica. 51 2.1. Energ´ıa potencial eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.1. Carga puntual en movimiento en un campo electrostático. 51 2.1.2. Diferencia de potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2. Potencial eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1. Potencial de algunas distribuciones de carga. . . . . . . . 52 Ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ejercicio 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Ejercicio 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.2. El campo eléctrico a partir del potencial. . . . . . . . . . 59 Ejercicio 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Ejercicio 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ejercicio 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.3. L´ıneas de campo y superficies equipotenciales. . . . . . . 67 5

6

ÍNDICE GENERAL 2.3. Medios materiales en un campo electrostático. . . . . . . . . . . . 69 2.3.1. Conductores en un campo electrostático. . . . . . . . . . . 70 2.3.2. Dieléctricos en un campo electrostático. . . . . . . . . . . 70 2.3.3. Polarización, constante dieléctrica y rigidez eléctrica. . . . 71 Ejercicio 5.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Ejercicio 5.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Ejercicio 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Ejercicio 5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.4. Momento dipolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3.5. Capacitancia y capacitores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Ejercicio 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ejercicio 8.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Ejercicio 8.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3.6. Condiciones en la frontera para campos electrostáticos. . 95 Ejercicio 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Ejercicio 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.4. Energ´ıa electrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ejercicio 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.4.1. Densidad de energ´ıa almacenada en el campo electrostático.107 Ejercicio 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Ejercicio 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.4.2. Fuerzas electrostáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.5. Problemas de condiciones a la frontera . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.5.1. Ec. de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.5.2. Problemas de condiciones en la frontera. . . . . . . . . . . 115 Ejercicio 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ejercicio 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Ejercicio 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Ejercicio 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Ejercicio 7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.5.3. Método de imágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3. Corrientes el´ ectricas estacionarias. 3.1. Corriente eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Corriente y densidad de corriente. . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Ecuación de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Medios conductores y condiciones en la frontera. . . . . . 3.2. Ley de Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Resistencia y conductancia, resistividad y conductividad. 3.2.2. Ley de Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. C´ alculo de resistencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 155 155 156 158 159 160 161 162 166 167 167 168 169

ÍNDICE GENERAL Ejercicio 4.11 . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Potencia y ley de Joule. . . . . . . . . . . . . 3.4. Conductores, semiconductores y dieléctricos. . 3.5. Potencial y fuerza electromotriz. . . . . . . .

7 . . . .

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170 171 172 174

4. El campo magnetost´ atico. 4.1. Ley de Biot-Savart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Campo magnético de una l´ınea de corriente. . . . Ejercicio 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Campo magnético de un circuito de corriente. . . Ejercicio 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. El dipolo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ley circuital de Ampère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Campo magnético de l´ıneas de corriente. . . . . . 4.2.2. Campo magnético de solenoides. . . . . . . . . . Ejercicio 9.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ley de Gauss magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Flujo y densidad de flujo magnético. . . . . . . . 4.3.2. Ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Potenciales magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Potencial vectorial magnético. . . . . . . . . . . . 4.4.2. Potencial escalar magnético. . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Leyes del campo magnetostático. . . . . . . . . . 4.5. Fuerzas sobre cargas m´ oviles y corrientes. . . . . . . . . 4.5.1. Fuerza eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Fuerza magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Fuerza de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Fuerza entre corrientes. . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Medios magnéticos y condiciones en la frontera. . . . . . 4.6.1. Magnetizaci´ on y permeabilidad. . . . . . . . . . . 4.6.2. Momento magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Condiciones en la frontera. . . . . . . . . . . . . 4.7. Energ´ıa y densidad de energ´ıa en materiales magnéticos. 4.8. Inductancia e inductancia mutua. . . . . . . . . . . . . .

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177 177 179 182 183 186 186 187 187 188 190 190 191 191 192 194 194 196 196 196 196 197 197 197 198 202 206 206 206 206

5. Campos din´ amicos y ecuaciones de Maxwell. 5.1. Ley de inducci´ on de Faraday. . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Circuito m´ ovil en un campo estacionario. . . 5.1.2. Circuito estacionario en un campo variable. . 5.1.3. Circuito m´ ovil en un campo estable. . . . . . 5.2. Ley de Ampère-Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Corriente de desplazamiento. . . . . . . . . . 5.2.2. Reformulaci´ on de la ley circuital de Ampère. 5.3. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Forma integral. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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207 207 210 211 211 211 211 211 211 211

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ÍNDICE GENERAL

8

5.3.2. Forma diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A. Coordenadas curvil´ıneas. A.1. Factores de escala. . . . . . . . . . . . . . A.2. Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . A.2.1. Factores de escala para Cil´ındricas. A.3. Ortonormalidad y orientación derecha. . . A.4. Elementos diferenciales. . . . . . . . . . . A.4.1. diferenciales de l´ınea . . . . . . . . A.4.2. Diferenciales de superficie. . . . . . A.4.3. Diferenciales de volumen. . . . . .

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213 213 215 215 218 223 223 228 233

B. Operadores diferenciales. 235 B.1. Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 B.2. Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 B.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Cap´ıtulo 1

El campo electrost´ atico y la fuente que lo origina. 1.1. 1.1.1.

Conceptos fundamentales del modelo electromagn´ etico. Unidades y dimensiones.

Cantidad f´ısica Longitud Tiempo Masa Velocidad Aceleraci´ on Fuerza Presi´ on Trabajo-Energ´ıa Potencia

Unidad Metro segundo kilogramo

Newton Pascal Joule Whatt

S´ımbolo m s kg m/s m/s2 N Pa J W

An´ alisis dimensional

kg·m/s2 N/m2 N·m=kg·m2 /s2 N·m/s=kg·m2 /s3

Tabla 1.1: Cantidades f´ısicas mecánicas.

1.1.2.

Carga el´ ectrica.

Los antiguos griegos se dieron cuenta de que el ambar atra´ıa peque˜ nos objetos cuando se le frotaba contra alguna tela. A principios de los a˜ nos 1700, Francis Hauksbee y Charles de Cisternay du Fay descubrieron, lo que cre´ıan 2 tipos de electricidad friccional: uno debido al vidrio y otro a la resina. 9

10

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

Cantidad f´ısica Carga eléctrica Potencial eléctrico Campo eléctrico Desplazamiento eléctrico Flujo de desplazamiento eléctrico Corriente eléctrica Conductividad Resistividad Resistencia eléctrica Capacitancia

Unidad Coulomb Volt

Ampère

Ohm Farad

S´ımbolo C V N/C C/m2 C A Siemens/m Ω−1 Ω F

Equivalentes N·m/C V/m

Ω−1 m−1 V/A C/V

Tabla 1.2: Cantidades f´ısicas eléctricas.

Cantidad f´ısica Campo magnético Densidad de corriente superficial permeabilidad del vac´ıo Flujo magnético Densidad de flujo magnético Vector Potencial Momento magnético dipolar Inductancia

Unidad

Henry/metro Webers

Henry

S´ımbolo A/m A/m H/m W W/m2 W/m A/m2 4 H

Equivalentes N·m/C

Tabla 1.3: Cantidades f´ısicas magnéticas.

Benjam´ın Franklin propuso que la electricidad proven´ıa de un fluido eléctrico a presiones diferentes y les dió la nomenclatura moderna de carga positiva y negativa. Entre 1838 y 1851, el filósofo naturista británico Richard Laming desarrolló la idea de que el ´ atomo estaba compuesto de un n´ ucleo de materia rodeado por part´ıculas subat´ omicas con carga eléctrica. Estas part´ıculas se llaman electrones, la carga del electrón fue medida con m´ as cuidado por los f´ısicos estadounidenses Robert Millikan y Harvey Fletcher mediante el experimento de la gota de aceite, cuyos resultados fueron publicados en 1911.

1.2. LEY DE COULOMB. → − qE

11 n

− m→ g e b)

a)

q

Figura 1.1: a) Midiendo el tiempo que tarda en pasar la gota de aceite las dos l´ıneas horizontales, se calcula q; b) se grafican el n´ umero n de gotas con carga q observ´ andose grupos de gotas con la misma carga y se propone que esta diferencia m´ axima es la carga elemental de un electrón.

1.2. 1.2.1.

Ley de Coulomb. Ley experimental de Coulomb.

Definici´ on 1 (Ley de Coulomb.). Establece la ley de atracci´ on o repulsión entre dos cargas puntuales Q1 y Q2 separadas una distancia R. → − − Q1 Q2 Q1 Q2 → F =K b aR = K R. R2 R3 1 donde K = 4πϵ es la constante de proporcionalidad, ϵ0 se llama cons0 tante de permitividad eléctrica del vac´ıo.

En el sistema internacional K

=

ϵ0

=

Nm2 1 = 9 × 109 , 4πϵ0 C2 2 10−9 C2 −12 C = 8.854 × 10 . 36π Nm2 Nm2

La fuerza eléctrica que ejerce un sistema de n part´ıculas cargadas sobre otra

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

12 − F 21 →

→ − − − r 12 = → r2−→ r 1. Q1

− − R = ∥→ r2−→ r 1 ∥. −r → 12

b aR =

→ − F 12 =

− F 12 →

→ − r1

Q2

⃗ r2 −⃗ r1 ∥⃗ r2 −⃗ r1 ∥ . 1 Q1 Q2 aR . 4πϵ0 R b

→ − → − F 21 = − F 12 .

−r 2 →

Figura 1.2: Elementos geomásricos de Ley de Coulomb. part´ıcula de carga q0 está dada por → − F =

1 q1 q0 1 q2 q0 1 qn q0 b arn b ar1 + b ar2 + . . . + 2 2 4πϵ0 r1 4πϵ0 r2 4πϵ0 rn2

es decir, Definici´ on 2 (Ley de Coulomb para part´ıculas cargadas.). n

X → − F = k=1

→ − − − donde R = → r0−→ rk ya ˆk =

1.2.2.

n

X 1 qk q0 → − 1 qk q0 b ak = R k. 2 3 4πϵ0 Rk 4πϵ0 Rk0

(1.1)

k=1

→ − R R.

Campo el´ ectrico y l´ıneas de campo.

Tercera Ley de Newton no es válida en Electrodinámica, puede verse ilustrada en la figura 1.3. Debido a que la distancia entre las cargas, es una función que depende del tiempo instant´ aneo de una de las cargas y del tiempo propio de la otra carga, el − − − cual es diferente para cada carga, la distancia → r 12 = → r 2 (t) − → r 1 (τ1 ) es distinta → − → − → − → − → − a r 21 = r 1 (t) − r 2 (τ2 ), con lo cual, para F 12 ̸= F 21 . El problema de que 3a Ley de Newton no sea válida en electrodinámica, se presenta debido a la acción a distancia, ya que la fuerza eléctrica en el vac´ıo viaja a la velocidad de la luz y tarda en llegar de una carga a la otra. Para resolver este problema se propuso definir una cantidad que inunda todo el espacio, llamada campo eléctrico.

1.2. LEY DE COULOMB.

13

t •

q1

q2

r

• τ1 ̸= τ2 r12 (τ1 ) ̸= r21 (τ2 )

• •

t = τ2 • t = τ1 •

r21 (τ2 )

•• → − → − •F (r12 , τ1 ) ̸= F (r21 , τ2 )

r12 (τ1 ) Figura 1.3: Dos part´ıculas cargadas moviéndose a diferentes velocidades.

Definici´ on 3 (Campo eléctrico.). El campo eléctrico debido a una part´ıcula con carga q se define por → − → − → − F qq0 1 q → 1 q E (− x ) = l´ım a ˆR = R k. = q0 →0 q0 4πϵ0 R2 4πϵ0 R3

(1.2)

donde q0 es una carga de prueba ubicada en P , r es la distancia entre q y q0 y a ˆr es un vector unitario que va de q a q0 .

1.2.3.

Campo el´ ectrico debido a un sistema de cargas puntuales.

Definici´ on 4 (Campo eléctrico de un sistema de part´ıculas cargadas.). Para un sistema de n part´ıculas cargada, el campo eléctrico en el punto − P con vector de posici´ on → x viene dado por → − E =

n n − 1 X qk 1 X qk → a ˆk = R k, 2 4πϵ0 Rk 4πϵ0 Rk3 k=1

(1.3)

k=1

− para k = 1, 2, . . . , n, la carga qk tiene vector de posición → x k , entonces → − rk a ˆrk

− − = → x −→ x k, → − rk = . rk

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

14

Z z• (x, y, z)

− r→

•

z

Y

ρ

x

X

•

y

(x, y, 0)

Figura 1.4: Magnitud de un vector en el espacio

Teorema 1 (Magnitud de un vector en el espacio.). Por trigonometr´ıa elemental de la figura 1.4 ρ2

=

x2 + y 2 ,

(1.4)

r2

=

ρ2 + z 2 ,

(1.5)

− se sustituye (1.4) en (1.5) para encontrar la magnitud del vector → r p − ∥→ r ∥ = x2 + y 2 + z 2 . (1.6)

Ejercicio 1 (1.1). Cargas puntuales de 1 mC y −2 mC se localizan en (3, 2, −1) y (−1, −1, 4), respectivamente. Calcule 1a fuerza eléctrica sobre una carga de 10 nC localizada en (0, 3, 1) y la intensidad de campo eléctrico en ese → − punto. Respuestas: a) F = −6.507 a ˆx − 3.817 a ˆy + 7.506 a ˆz mN; b) → − E = −650.7 a ˆx − 381.7 a ˆy + 750.6 a ˆz kV/m.

Soluci´ on: a) por el principio de superposición, la fuerza eléctrica en (0, 3, 1) debido a q1 y q2 es → − → − → − F = F 10 + F 20 ,

1.2. LEY DE COULOMB.

15 → − R1

1 mC

10 nC

(3, 2, −1)

(0, 3, 1)

⃗ 1 = (0, 3, 1) − (3, 2, −1) = (−3, 1, 2) Figura 1.5: R → − R2

-2 mC (−1, −1, 4)

10 nC (0, 3, 1)

⃗ 2 = (0, 3, 1) − (−1, −1, 4) = (1, 4, −3) Figura 1.6: R la fuerza eléctrica en (0, 3, 1) debido a q1 que se encuentra en (3, 2, −1) es → − F 10

=

k

q1 q0 a ˆR1 R2

2

donde k = 9×109 Nm2 /C , q1 = 1 mC = 1×10−3 C y q0 = 10nC = 10×10−9 C, √ √ → − → − de la figura 1.5, R 1 = (−3, 1, 2) y R 1 = 32 + 12 + 22 = 14, con lo cual 9 × 109 1 × 10−3 10 × 10−9 → − F 10 = (−3, 1, 2) , √ 3 14 = −5.154 × 10−3 a ˆx + 1.718 × 10−3 a ˆy + 3.436 × 10−3 a ˆz .

(1.7)

Se calcula ahora para la fuerza eléctrica debido a q2 → − q1 q0 F 20 = k 2 a ˆR1 , R → − → − → − −9 donde q2 = −2mC = −2 × 10−3 C, q0 = 10nC 2 = r 2− r 0 = q = 10 × 10 C, R √ → − 2 (0, 3, 1) − (−1, −1, 4) = (1, 4, −3), R 2 = 12 + 42 + (−3) = 26, con lo cual 9 × 109 −2 × 10−3 10 × 10−9 → − (1, 4, −3) , F 20 = √ 3 26 =

−1.358 × 10−3 a ˆx − 5.431 × 10−3 a ˆy + 4.073 × 10−3 a ˆz ,

(1.8)

utilizando las ecuaciones (1.7) y (1.8) se obtiene → − → − → − F = F 10 + F 20 , =

−6.512 × 10−3 a ˆx − 3.713 × 10−3 a ˆy + 7.509 × 10−3 a ˆz N.

b) El campo eléctrico debido a esta fuerza eléctrica es → − → − F 1 E = = (−6.511ˆ ax − 3.712ˆ ay + 7.506ˆ az ) , q0 10 × 10−9 = −651.1ˆ ax − 371.2ˆ ay + 750.6ˆ az kV/m.

(1.9)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

16

→ − E1 −R 1 →

P (5, 0, 6) → − R 2

Q1

Q2

(4, 0, −3)

(2, 0, 1)

⃗ 1 en azul, mientras que los vectores. Figura 1.7: Se muestra el campo electrico E

Ejercicio 2 (1.4 Resuelto por Estrada Gonzalez Luis Humberto). Las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan en (4, 0, −3) y (2, 0, 1), res→ − pectivamente. Si Q2 = 4 nC, halle Q1 de manera que E en (5, 0, 6) carezca de componente z.

Soluci´ on: a) para la carga Q1 con posición P1 (4, 0, −3), en el punto P (5, 0, 6), √ √ → − R 1 = (5, 0, 6) − (4, 0, −3) = (1, 0, 9) ⇒,de donde R1 = 1 + 81 = 82; para → − la carga Q2 con posición P1 (2, 0, 1), √ en el punto √ P (5, 0, 6), R 2 = (5, 0, 6) − (2, 0, 1) = (3, 0, 5), de donde ⇒ R2 = 9 + 25 = 34. El campo eléctrico debido Q1 y Q2 en P está dada por → − (1, 0, 9) (3, 0, 5) E = kQ1 √ + kQ2 √ , 3 ( 82) ( 34)3 cuya componente en z es nula y Q2 = 4 × 10−9 C, es decir, 5 9 + K 4 × 10−9 √ = 0, KQ1 √ 3 ( 82) 34 3 despejando: √ 5 4 × 10−9 ( 82)3 √ Q1 = − = −8.323 × 10−9 = −8.323 nC 9 34 3

(1.10)

1.2. LEY DE COULOMB.

17 Z

z• x = ρ cos ϕ • x = ρ sen ϕ z=z

z x X

ρ

y

Y

•

Figura 1.8: Coordenadas Cil´ındricas.

1.2.4.

Campo el´ ectrico debido a un distribuci´ on de carga.

Coordenadas curvil´ıneas. Definici´ on 5 (Factores de escala y vectores unitarios curvil´ıneos.). Dadas las ecuaciones de transformación x

= x(u1 , u2 , u3 ),

y

= y(u1 , u2 , u3 ),

z

=

z(u1 , u2 , u3 ),

para k = 1, 2, 3 se definen los vectores unitarios curvil´ıneos − r 1 ∂→ , hk ∂uk

(1.11)

→ ∂− r hk = . ∂uk

(1.12)

a ˆk = junto con sus factores de escala

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

18

Igual que en C. cil´ındricas. x = ρ cos ϕ y = ρ sen ϕ z=z Pero ρ = r sen θ, z = r cos θ, ⇒ x = r sen θ cos ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ.

Z

z•

x

•

r

θ

z

ρ

ϕ y

X

Y

Figura 1.9: Coordenadas esféricas.

Teorema 2 (Factores de escacala para coordenadas cil´ındricas.). Dadas las ecuaciones de transformación cil´ındricas x

= ρ cos ϕ,

y

= ρ sen ϕ,

z

= z.

tiene factores de escala hρ = 1,

hϕ = ρ,

hz = 1

(1.13)

y vectores unitarios curvil´ıneos a ˆρ

=

cos ϕ a ˆx + sen ϕ a ˆy ,

(1.14)

a ˆϕ

=

− sen ϕ a ˆx + cos ϕ a ˆy ,

(1.15)

a ˆz

=

a ˆz .

(1.16)

1.2. LEY DE COULOMB.

19

Teorema 3 (Factores de escala para coordenadas esféricas.).

x

= r sen θ cos ϕ,

y

= r sen θ sen ϕ,

z

= r cos θ.

tiene factores de escala hr = 1,

hθ = r,

hϕ = r sen ϕ.

(1.17)

y vectores unitarios curvil´ıneos a ˆr

=

sen θ cos ϕ a ˆx + sen θ sen ϕ a ˆy + cos θ a ˆz ,

(1.18)

a ˆθ

=

r cos θ cos ϕ a ˆx + r cos θ sen ϕ a ˆy − r sen θ a ˆz ,

(1.19)

a ˆϕ

=

− sen ϕ a ˆx + cos ϕ a ˆy .

(1.20)

Sistemas ortonormales con orientaci´ on derecha. Definici´ on 6 (Sistema ortonormal con orientación derecha.). Dado una base de vectores unitarios curvil´ıneos a ˆ1 , a ˆ2 , a ˆ3 entonces es una base ortonormal si a î • a ˆj = δij , donde δij se llama delta de Kronecker 1 si i = j δij = . 0 si i ̸= j Se dice que la base tiene orientaci´ on derecha si a î × a ˆj = a ˆk , donde {ijk} es una permutación positiva de {123}.

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

20

×

×

a ˆz

a ˆρ

a ˆϕ

×

Figura 1.10: producto vectorial en coordenadas cil´ındricas.

Teorema 4 (Ortonormalidad.). El conjunto {ˆ aρ , a ˆϕ , a ˆz } es un conjunto ortonormal. a ˆρ • a ˆϕ = a ˆϕ • a ˆz = a ˆz • a ˆρ

=

0,

a ˆρ • a ˆρ = a ˆϕ • a ˆϕ = a ˆz • a ˆz

=

1,

a ˆr • a ˆθ = a ˆθ • a ˆϕ = a ˆϕ • a ˆr

=

0,

a ˆr • a ˆr = a ˆθ • a ˆθ = a ˆϕ • a ˆϕ

=

1,

Teorema 5 (Ortonormalidad.). La base {ˆ ar , a ˆθ , a ˆϕ } es ortonormal.

Teorema 6. Sistema derecho. El conjunto {ˆ aρ , a ˆϕ , a ˆz } es un sistema derecho. a ˆρ × a ˆϕ

=

a ˆz ,

a ˆϕ × a ˆz

=

a ˆρ ,

a ˆz × a ˆρ

=

a ˆϕ .

1.2. LEY DE COULOMB.

21 a ˆϕ

×

×

a ˆr

a ˆθ

×

Figura 1.11: producto vectorial en coordenadas esféricas.

Teorema 7 (Sistema Derecho). La Sistema {ˆ ar , a ˆθ , a ˆϕ } tiene orientación derecha. a ˆr × a ˆθ

=

a ˆϕ ,

a ˆθ × a ˆϕ

=

a ˆr ,

a ˆϕ × a ˆr

=

a ˆθ ,

Elementos diferenciales de arco. Teorema 8 (Diferencial de Arco.). En un sistema curvil´ıneo {ui , uj , uk } si ui , uj son constantes, entonces − el vector → r (uk ) es la ecuaci´ on vectorial de una curva en el espacio, tal que − d→ r − d→ r = duk . duk con diferencial de arco − ds = ∥d→ r ∥ = hk duk .

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

22

Elementos diferenciales de superficies. Teorema 9 (Diferencial de Superficie.). En un sistema curvil´ıneo ui , uj , uk ortonormal con orientación derecha, − si uk = cte, entonces el vector → r (ui , uj ) es la ecuación vectorial de una superficie en R3 con diferencial de superficie → − d S = hi hj dui duj a ˆk , de donde dS = hi hj dui duj .

Teorema 10 (Diferencial de Volumen). dV = h1 h2 h3 du1 du2 du3

Ejercicio 3 (Diferencial de volumen en cil´ındricas). dV = hρ hϕ hz dρdϕdz = (1)(ρ)(1)dρdϕdz = ρdρdϕdz.

Ejercicio 4 (Diferencial de volumen en esféricas).

dV = hr hθ hϕ drdθdϕ = (1)(r)(r sen θ)drdθdϕ = r2 sen θdrdθdϕ.

Hasta ahora solo se ha trabajado con sistemas de part´ıculas cargadas, en esta secci´ on se trabajaran densidades continuas de carga, como las que pueden verse en la figura 1.12. ZZZ n − − − − X → − Qk → x −→ xk ρV′ dV′ → x −→ x′ E = → → − → − → − → − 3 ′ 3 4πϵo ∥ x − x k ∥ V′ 4πϵo ∥ x − x ∥ k=1

1.2. LEY DE COULOMB.

Q

+ + + + + + +

(a)

(b)

ρL

23

ρs (c)

(d)

Figura 1.12: (a) La carga puntual; (b) la densidad lineal de carga (C/m), (c) la densidad superficial de carga (C/m2 ) y (d) la densidad volumásrica (C/m3 )

Definici´ on 7 (Densidad lineal de carga y campo eléctrico). dQ , dQ = ρL dℓ, dℓ con lo cual, la carga total está dada por Z Q= ρL dℓ, ρL =

(1.21)

(1.22)

C

mientras que el campo el´ ectrico está dado por Z Z − − → − ρL dℓ → x −→ x′ dQ a ˆ = E = R → − → − ′ 3. 2 L 4πϵo ∥ x − x ∥ C 4πϵo R

(1.23)

Definici´ on 8 (Densidad superficial de carga y campo eléctrico). dQ , dQ = ρS dS, dS con lo cual, la carga total está dada por ZZ Q= ρS dS, ρS =

(1.24)

(1.25)

S

mientras que el campo el´ ectrico está dado por ZZ ZZ − − → − dQ ρS dS → x −→ x′ E = a ˆ = R → − → − ′ 3. 2 S 4πϵo R S 4πϵo ∥ x − x ∥

(1.26)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

24

Definici´ on 9 (Densidad volumásrica de carga y campo eléctrico). dQ , dQ = ρV dV, dV con lo cual, la carga total está dada por ZZ Q= ρV dV, ρV =

(1.27)

(1.28)

V

mientras que el campo el´ ectrico está dado por ZZ ZZ − − → − ρV dV → x −→ x′ dQ a ˆ = . E = R → − → − 2 ′ 3 V 4πϵo ∥ x − x ∥ V 4πϵo R

(1.29)

Ejercicio 5. Determine la carga total a) Sobre la l´ınea 0 ≤ x ≤ 5 m si ρL = 12x2 mC/m. b) Sobre el cilindro ρ = 3, 0 ≤ z ≤ 4 m si ρs = ρz 2 nC/m2 . c) Dentro de la esfera r = 4 m si ρv =

10 rsen θ

C/m3 .

Respuesta: a) 0.5 C; b) 1.206 nC; c) 1579 C.

Soluci´ on: a) sobre la l´ınea 0 ≤ x ≤ 5 m si ρL = 12x2 mC/m. Z Q =

=

5

Z ρL dl = 0

5 1 12x2 × 10−3 dx = 4x3 × 10−3 0 = C. 2

b) Sobre el cilindro ρ = 3, 0 ≤ z ≤ 4 m si ρs = ρz 2 nC/m2 , dS = hzhϕdzdϕ = ρdzdϕ, Z Z Q =

4

Z 0

= =

Z

ρs ds =

2π

ρz 2 × 10−9 ρdϕdz,

0

Z 2π z dz dϕ, 0 0 3 4 (2π) = 1.206 µC. 9 × 10−9 3 2

ρ × 10

−9

Z

4

2

c) Dentro de la esfera r = 4 m si ρv =

10 rsen θ

C/m3 , dv = hr hθ hϕ drdθdϕ =

1.2. LEY DE COULOMB.

25

r2 sen θdθdϕ, Z Z Z

Z

Q = Z =

2π

Z

Z

π

Z

π

Z

0 4

0

0

4

r2 sen θ drdθdϕ, rsen θ

dϕ

dθ rdr, 0 2 4 10 (2π) (π) = 160π 2 = 1579.13C. 2 10

0

=

2π

ρv dv = 10

0

Ejercicio 6. Un anillo circular de radio a porta una carga uniforme ρL C/m y está situado en el plano xy con eje en el eje z. (Figura 1.13) a) Demuestre que → − E (0, 0, h) =

ρL ah a ˆz . 2ϵ0 [h2 + a2 ]3/2

b) ¿Qué valores de h produce el valor máximo de E? c) Si la carga total en el anillo es Q, halle E cuando a → 0. → − Respuestas: a) Comprobaci´ on; b) h = ± √a2 ; c) E =

Q ˆR . 4πϵ0 R2 a

Soluci´ on: para una distribuci´ on lineal de carga → − → − ρL d ℓ a ˆR , dE = 4πϵ0 R2 donde → − x ′ (ϕ) = aˆ aρ . dℓ = hϕ dϕ = ρdϕ = adϕ con 0 < ϕ < 2π. → − x = (0, 0, h) = hˆ az . → − − − R =→ x −→ x ′ = hˆ az − aˆ aρ . R2 = h2 + a2 − 2ha (ˆ az • a ˆρ ) = h2 + a2 . a ˆR =

→ − R R

=

hˆ a −aˆ aρ √z . h2 +a2

quedando la ecuaci´ on (1.30)

(1.30)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

26

z − → dE z

− → dE − → dE ρ

•

′ → − x →− − → = x − R

− → x = ha ˆz

P (0, 0, h)

− →′ x

=

a aˆ

− → dℓ

ρ

x I

y

Figura 1.13: Anillo circular cargado.

→ − → − ρL d ℓ ρL adϕ hˆ a − aˆ aρ √z dE = , a ˆR = 2 2 2 2 4πϵ0 R 4πϵ0 (h + a ) h + a2 e integrando → − E =

Z2π 0

Z2π

hρL adϕ

a ˆ − 3/2 z 4πϵ0 (h2 + a2 )

0

ρL a2 dϕ

a ˆ , 3/2 ρ

4πϵ0 (h2 + a2 )

aplicando propiedadades de la integral  2π   2π  Z Z 2 → − hρL a ρ a L  dϕ a  a E = ˆz − ˆρ dϕ , 3/2 3/2 4πϵ0 (h2 + a2 ) 4πϵ0 (h2 + a2 ) 0

0

como a ˆρ = cos ϕˆ ax + sin ϕˆ ay , la segunda integral se anula, quedando → − E =

2πρL ha 4πϵ0 (h2 +

a ˆ 3/2 z a2 ) ■

=

ρL ha

a ˆ . 3/2 z

2ϵ0 (h2 + a2 )

(1.31)

1.2. LEY DE COULOMB.

27

b) Puede decirse que E depende de h, es decir, ρL ha

E (h) =

3

,

2ϵ0 (h2 + a2 ) 2

se calcula el valor extremo de E (h) − 3 i − 5 dE ρL a h 0 = = −3h h2 + a2 2 h + h2 + a2 2 , dh 2ϵ0 − 3 3ρa 2 = − h + a2 2 −3h2 + h2 + a2 = 0, 2ϵ0 de donde 2h2 − a2 = 0, es decir

r

a a2 =√ . 2 2 c) si Q = ρL l = 2πaρL entonces la ecuación (1.31) queda h=

→ − Q h Qh E = (0, 0, h) = a ˆz = ˆz , 3 a 2πa 2ϵ0 (h2 + a2 ) 23 4πϵ0 (h2 + a2 ) 2 → − luego, para E (0, 0, h) cuando a → 0, se calcula dicho l´ımite de la ecuación precedente → − l´ım E = l´ım

a→0

a→0

Qh 4πϵ0

(h2

+

3

a2 ) 2

a ˆz =

Qh Q a ˆz = a ˆz . 4πϵ0 h3 4πϵ0 h2

Teorema 11 (Segmento de L´ınea cargada a lo largo del eje Z.). Tiene campo eléctrico → − E =

ρL [[−(cos α2 − cos α1 )ˆ aρ + (sen α2 − sen α1 ) a ˆz ]] . 4πϵ0 ρ

(1.32)

Ver figura 1.14.

Demostraci´ on: El elemento diferencial de carga eléctrico de la figura 1.14 tiene el diferencial campo eléctrico asociado Z → − ρL dl E = a ˆ , 2 R L 4πϵ0 R Por regla general, las coordenadas primadas corresponden a los elementos diferenciales de carga, → − x ′ = z′ a ˆz .

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

28 z

dEy − → dE α •

(0, 0, z)

→R = −

z

β

′

→x − →x − −

z aˆ

B

dEx (x, y, z)

β2

→ x− ′

− → x ′ = z′ a ˆz

β1

=

ρaˆ ρ

+

− → dℓ

A

y x

Figura 1.14: L´ınea cargada

Por lo cual, estas coordenadas son las que se diferencian, es decir, → − − d l = d→ z ′ = h′z a ˆz = a ˆz , El vector que va del elemento diferencial de carga al punto donde se desea calcular el campo eléctrico es: → − − − R =→ x −→ x ′ = [ρ a ˆρ + z a ˆz ] − z ′ a ˆz = ρ a ˆρ + (z − z ′ ) a ˆz ], de donde R2 = ρ2 + (z − z ′ )2 luego → − a ˆR R ρa ˆρ + (z − z ′ ) a ˆz = = 2 . → − 2 ′ 2 3/2 R [ρ + (z − z ) ] ∥ R ∥3 Con lo cual, la integral de campo eléctrico queda como → − ρL E = 4πϵ0 de la figura 1.15,

Z

ρa ˆρ + (z − z ′ ) a ˆz ′ dz , 2 ′ 2 3/2 [ρ + (z − z ) ]

1.2. LEY DE COULOMB.

29

ρ

z − z′ β

R

R

=

p

z − z′

=

ρ cot β,

′

=

ρ csc2 βdβ,

β1 ≤

α

≤ β2 .

dz

ρ2 + (z − z ′ )2 = ρ csc β,

Figura 1.15: Triágulo para integrar. Con lo cual, el campo eléctrico Z α2 → − ρL ρa ˆρ + ρ tan α a ˆz E = − ρ sec2 αdα 4πϵ0 α1 ρ3 sec3 α Z α2 ρL a ˆρ + tan α a ˆz = − dα, 4πϵ0 α1 ρ sec α Z α2 Z α2 ρL cos αdα a ˆρ − sen αdα a ˆz , − = 4πϵ0 ρ α1 α1 ρL [−(sen α2 − sen α1 )ˆ aρ + (cos α2 − cos α1 ) a ˆz ] , = 4πϵ0 ρ ■ definiendo → − ℓ → − r

− − = → z 2−→ z1 → − → − = x − z

→ − r2

− − = → x −→ z2

1

1

se tiene una generalizaci´ on en el espacio, dada por → − ℓ , a ˆz = ℓ → − → − → − r1• ℓ ℓ → − a ˆρ = r 1 − , ℓ ℓ → − → − r1• ℓ cos α1 = , r1 ℓ → − → − r2• ℓ , cos α2 = r2 ℓ Para una Teorema 12 (L´ınea infinita.). → − E =

ρL a ˆρ . 2πϵ0 ρ

(1.33)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

30

→ − dE +

z → − dE −

→ − x

− → R

h

y ϕ

ρS

ρ → − x′

x

Figura 1.16: Lámina infinita de carga. Demostraci´ on: para una l´ınea infinita, muy larga o muy cerca de la l´ınea, de la ecuaci´ on (1.32) α2 → π y α1 → 0, con lo cual, → − E de donde

=

ρL [[−(cos π − cos 0)ˆ aρ + (sen π − sen 0) a ˆz ]] , 4πϵ0 ρ → − E =

ρL ρL [[−(−1 − 1)] a ˆρ ] = a ˆρ . 4πϵ0 ρ 2πϵ0 ρ

Teorema 13 (L´ amina infinita de carga.). El campo eléctrico en el punto P de la figura 1.16 → − ρS E = a ˆz . 2ϵ0

(1.34)

Demostraci´ on: el elemento diferencial de carga de la figura 1.16, aplica el diferencial de campo eléctrico en el punto P → − dE =

dQ a ˆR , 4πϵ0 R2

El vector de posici´ on de dQ es → − − x ′ = ρ′ a ˆ ρ′ = → x ′ (ρ′ , ϕ′ ), de donde dS = h′ρ h′ϕ dρ′ dϕ′ = (1)(ρ′ )dρ′ dϕ′ = ρ′ dρ′ dϕ′ El campo eléctrico se desea medir en → − x = za ˆz ,

(1.35)

1.2. LEY DE COULOMB. luego

31

→ − − − R =→ x −→ x′ = za ˆ z − ρ′ a ˆ ρ′ ,

con lo cual R=

p

0≤

ρ′

< ∞,

0≤

ϕ′

≤ 2π.

z 2 + ρ′2

con regi´ on de integraci´ on

De esta manera, de la ecuaci´ on (1.35) ZZ → − ρs E = dSˆ aR , 4πϵ0 R2 ZZ ′ ′ ′ ρs ρ dρ dϕ z a ˆ z − ρ′ a ˆ ρ′ p = , 2 4πϵ0 z 2 + ρ′2 z + ρ′2 Z Z ZZ ρs zρ′ dρ′ dϕ′ ρ′2 dρ′ dϕ′ ′ = a ˆ − a ˆ z ρ 4πϵ0 [z 2 + ρ′2 ]3/2 [z 2 + ρ′2 ]3/2 como a ˆρ′ = cos ϕ′ a ˆx + sen ϕˆ ay , la segunda integral de la ecuación anterior se anula, con lo cual, → − E

= =

Z 2π Z ∞ ρs z ρ′ dρ′ dϕ′ ρ′ dρ′ ′ a ˆ = dϕ a ˆz z 4πϵ0 0 [z 2 + ρ′2 ]3/2 [z 2 + ρ′2 ]3/2 0 0 0 " # ∞ ρs z 21 1 ρs z 1 ρS p (2π) − a ˆz = a ˆz . −0 + a ˆz = 2 ′2 4πϵ0 12 z +ρ ′ 2ϵ0 |z| 2ϵ0 ρs z 4πϵ0

Z

2π

Z

∞

ρ =0

■

Ejercicio 7 (Esfera con carga uniforme.). Considérese una esfera de radio a con densidad volum´ umetrica uniforme ρV , entonces la carga total de ésta viene dada por Q=

3 3 πa ρV , 4

mientras que el campo eléctrico en el exterior de ella está dado por: → − E =

Q a ˆR . 4πϵ0 R2

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

32

→ − dE

z

→ − x = zˆ az • P (0, 0, z) −R → ′

−x →

dV

θ

ρv

y ρ

ϕ

y

Figura 1.17: Esfera cargada.

Soluci´ on: la carga total es ZZZ Q = =

ρV dV = ρV V 3 3 πa ρV , 4

Mientras que el campo eléctrico total viene dado por ZZZ → − ρV dVˆ aR . E = 4πϵ0 R2 La posici´ on de dQ es → − x ′ = r′ a ˆr ′ , de donde dV

=

hr′ hθ′ hϕ′ dr′ dθ′ dϕ′ = (1)(r′ )(r′ sin θ′ )dr′ dθ′ dϕ′

= r′2 sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′ , la posici´ on donde se calcula el campo eléctrico es → − x = zˆ az , con esto → − − x −→ x ′ = zˆ az − r′ a ˆr ′ , luego − − R = ∥→ x −→ x ′∥ =

p

z 2 + r′2 − 2zr′ a ˆz • a ˆr ′ =

p

z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ .

1.2. LEY DE COULOMB.

33

De esta manera, → − E

ZZZ ρV dV a ˆR 4πϵ0 R2 ZZZ ρV zˆ az − r ′ a ˆr ′ r′2 sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′ √ 2 ′2 ′ ′ 4πϵ0 z + r − 2zr cos θ z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ "Z Z Z ρV zr′2 sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′ a ˆ 3/2 z 4πϵ0 (z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ ) # ZZZ r′3 sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′ − a ˆ ′ 3/2 r (z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ )

= = =

como a ˆr′ = r′ sin θ′ cos ϕ′ a ˆx + r′ sin θ′ sin ϕ′ a ˆy + r′ cos θ′ a ˆz y se integra ϕ de 0 a 2π, en la segunda integral la componente en z, no se anula, es decir, → − E

= =

ρV 4πϵ0

ZZZ

r′2 (z − r′ cos θ′ ) sin θ′ dr′ dθ′ dϕ′

a ˆz 3/2 (z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ ) ! Z 2π Z a Z π ρV (z − r′ cos θ′ ) sin θ′ ′ ′ ′2 dθ dr′ a ˆz , dϕ r 3/2 2 ′2 ′ ′ 4πϵ0 0 0 0 (z + r − 2zr cos θ )

donde Z

2π

dϕ′

=

2π,

0

Haciendo R2 = z 2 +r′2 −2zr′ cos θ′ , 2RdR = 2zr′ sin θ′ dθ′ , si θ′ = 0 entonces 2 2 ′2 R = |z − r′ |, si θ′ = π entonces R = |z + r′ |, además r′ cos θ′ = R −z2z−r π

Z I1

= 0

= −

(z − r′ cos θ′ ) sin θ′ dθ′ 3/2

(z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ ) Z z−r′ z + R2 −z2 −r′2 RdR

1 zr′

2z

1 2z 2 r′

Z

=

1 2z 2 r′

Z

=

1 2z 2 r′

=

R3

z+r ′ z+r

′

2z 2 + R2 − z 2 − r′2

z−r ′ z+r ′

z 2 − r′2 1+ R2

dR R2

1 dR = 2 ′ 2z r z−r ′ (z + r’) − (z − r′ ) − z 2 − r′2

′ 2 ′2 z+r R − z − r R R=z−r′ 1 1 − z + r′ z − r′

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

34 luego I1

1 2z 2 r′ 1 2z 2 r′ 1 2z 2 r′

= = =

1 1 ′ 2 ′2 (z + r’) − (z − r ) − z − r − z + r′ z − r′ ′ ′ z−r −z−r 2r’ − z 2 − r′2 (z + r′ ) (z − r′ ) 2 [2r’ − (−2r′ )] = 2 , z

luego a

Z I2

=

r

!

(z − r′ cos θ′ ) sin θ′ 3/2

(z 2 + r′2 − 2zr′ cos θ′ ) Z a 2 a3 2 ′ r′2 dr = . z2 3 z2 0 0

=

π

Z

′2

0

dθ

′

dr′

As´ı pues → − E

=

ρV 4πϵ0

Z

2π ′

a

Z

r′2 ×

dϕ 0

0

Z

π

× 0 3

=

ρV 2a a ˆz = (2π) 4πϵ0 3 z2

(z − r′ cos θ′ ) sin θ′ r′2

−

4 3 3 πa ρV a ˆz 4πϵ0 z 2

=

(z 2

+

2zr′

3/2 cos θ′ )

! dθ

′

dr′ a ˆz

V ρV Q a ˆz = a ˆz . 4πϵ0 z 2 4πϵ0 z 2

generalizando, en cualquier punto fuera de la esfera → − E =

Q a ˆR . 4πϵ0 R2

Ejercicio 8 (1.16). Los planos x = 2 y y = −3 portan cargas de 10 nC/m2 y 15 nC/m2 , respectivamente (Figura 1.18). Si la l´ınea x = 0, z = 2 porta una carga → − de 10π nC/m, calcule E en (1, 1, −1) debida a las tres distribuciones de carga. Respuesta: −162π a ˆx + 270π a ˆy − 54π a ˆz V/m.

Soluci´ on: el campo eléctrico debido a una lámina infinita es: → − ρs E = a ˆN 2ϵ0 donde

(1.36)

1.2. LEY DE COULOMB.

35 z

z x = 0, z = 2

y=

x = 0, z = 2

−3

y

x

• P (1, 1, −1)

x

• P (1, 1, −1)

x=2 Figura 1.18: Dos planos y una l´ınea cargada.

P (1, 1, −1) 1

•

a ˆn = −ˆ ax

x=2

y

x 1 Figura 1.19: Plano x = 2 y punto P (1, 1, −1) vistos desde arriba, a ˆn es unitario, perpendicular al plano y apunta a P . a ˆN 1 = −ˆ ax es un vector unitario y perpendicular a la lámina x = 2, que apunta hacia (1, 1, −1). a ˆN 2 = a ˆy es un vector unitario y perpendicular a la lamina y = −3, que apunta hacia (1, 1, −1). ρs1 = 10 nC/m2 y ρs2 = 15 nC/m2 son las densidades superficiales de las l´ aminas. ϵ0 = 36π × 10−9 Nm2 /C2 es permitividad eléctrica en el vac´ıo. de la ecuaci´ on (1.36) el campo eléctrico para: La l´ amina 1 (x = 2) es: − → ρs1 10 × 10−9 E1 = a ˆN 1 = (−ˆ ax ) = −564.97ˆ ax . 2ϵ0 2 (8.85 × 10−12 )

(1.37)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

36

y • P (1, 1, −1)

1

x 1

a ˆn = +ˆ ay y = −3 Figura 1.20: Plano y = −3 y punto P (1, 1, −1) vistos desde arriba, a ˆn es unitario, perpendicular al plano y apunta a P . La lamina 2 (y = −3) − → ρs2 15 × 10−9 E2 = (ˆ ay ) = 847.45ˆ ay . a ˆN 2 = 2ϵ0 2 (8.85 × 10−12 )

(1.38)

Por otro lado, el campo eléctrico para una linea infinita está dado por: → − E =

ρL a ˆρ , 2πϵ0 ρ

(1.39)

donde a ˆρ es un vector unitario normal a la linea infinita que apunta al lugar → − donde se calcula el campo E . → − r = (0, y, 2) es la l´ınea cargada. (1, 1, −1) − (0, y, 2) vector que empieza en la l´ınea cargada y apunta a (1, 1, −1), si y = 1 se obtiene: → − ρ = (1, 1, −1) − (0, 1, 2) = (1, 0, −3) vector perpendicular a la l´ınea cargada, que apunta a (1, 1, −1). √ ρ = 10. a ˆρ =

(1,0,3) √ . 10

1.3. LEY DE GAUSS.

37

ρL = 10π × 10−9 C/m. de la ecuaci´ on (1.39) el campo eléctrico de la l´ınea cargada es ρL (1, 0, −3) 10π × 10−9 √ √ = 56.4972ˆ ax − 169.492ˆ az . a ˆρ = −12 2πϵ0 ρ 2π (8.85 × 10 ) 10 10 (1.40) Luego, de las ecuaciones (1.37), (1.38) y (1.40) el campo eléctrico total sobre el punto (1, 1, −1) es : − → E3 =

→ − − → − → − → E = E1 + E2 + E3 = −508.423 a ˆx + 847.458 a ˆy − 169.492 a ˆz V/m.

Ejercicio 9. Los tres lados de un tri´ angulo equilatero

1.3. 1.3.1.

Ley de Gauss. Densidad de flujo del campo el´ ectrico.

Como es sabido el campo eléctrico depende de la permitividad eléctrica (ϵ0 en esta secci´ on), por lo cual, es conveniente definir un nuevo campo vectorial eléctrico que no dependa del medio Definici´ on 10 (Densidad de flujo eléctrico.). → − → − D = ϵ0 E ,

(1.41)

con el cual se define → − Definici´ on 11 (El flujo eléctrico Ψ en términos de D). ZZ Ψ=

→ − → − D • dS .

(1.42)

→ − El desplazamiento o densidad de flujo eléctrico D tiene unidades C/m2 , mientras que el flujo de densidad de flujo eléctrico Ψ tiene unidades de C. → − → − Todas las expresiones obtenidas para E son válidas para D, solo basta multiplicar ϵ0 .

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

38

Ejercicio 10 (Densidades de flujo electrico.). Para una carga puntual: → − D=

Para una l´ınea cargada:

Q a ˆR . 4πR2

→ − ρL D= a ˆρ . 2πρ

Para una l´ amina cargada: → − ρs ˆz . D= a 2

1.3.2.

campo el´ ectrico de algunas distribuciones de carga con sim´ asria.

Definici´ on 12 (Ley de Gauss.). Establece que el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada e igual a la carga total encerrada por esa superficie. ZZ → − → − ⃝ D • d S = Qenc (1.43) S

Carga puntual. Se escoge una superficie Gaussiana como la que se muestra en la figura 1.21, en la cual:

→

− 1. D = cte → − → − 2. D y d S son paralelos. De tal manera, que la Ley de Gauss dice que ZZ ZZ ZZ → − Q = D • dS = DdS cos (0◦ ) = DdS ZZ = D dS = DAS = 4πr2 D.

1.3. LEY DE GAUSS.

39

P•

r Q

Figura 1.21: para una carga puntual, se muestra la superficie gaussiana y sus diferenciales de superficie en naranja, mientras que el campo eléctrico en ella en color azul de donde D=

Q , 4πr2

de la figura 1.21 → − D=

Q a ˆr , 4πr2 comprobando Ley de Coulomb para una carga puntual.

l´ınea infinita de carga. Se escoge un cilindro como superficie Gaussiana, para la l´ınea cargada mostrada en la figura 1.22, la cual satisface

→

− 1. D = cte, en la parte cil´ındrica. → − → − 2. D y d S son paralelos en la parte cil´ındrica. → − → − 3. D y d S son perpendiculares en las tapas del cilindro. con lo cual, al aplicar Ley de Gauss ZZ ZZ ZZ ZZ → − → − → − → − Q = ⃝D • dS = D • dS + D • dS + D • dS S

ZZ = cilindro

cilindro

Tapa I

DdS cos (0◦ ) +

ZZ

DdS cos (90◦ ) +

Tapa I

ZZ cilindro

DdS cos (90◦ )

Tapa S

ZZ DdS + 0 + 0 = D

=

Tapa S

ZZ

cilindro

dS = DAs

(1.44)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

40

z ρL

P • ρ

ℓ

→ − D

y x Figura 1.22: l´ınea infinita cargada, en naranja se ilustra una superficie gaussiana, en violeta se muestra la carga encerrada por la superficie cerrada.

→ − D

→ − dS

→ − D

→ − dS a)

→ − D b)

→ − dS c)

Figura 1.23: De la superficie Gaussiana: a) Parte c´ılindrica; b) Tapa superior; c) Tapa inferior.

ℓ

ρ

2πρ

Figura 1.24: Para calcular el área de la parte cil´ındrica, se realiza un corte vertical de manera que el lado horizontal es el per´ımetro del cilindro.

1.3. LEY DE GAUSS.

41

z

y

ρS

A A

x

Figura 1.25: l´ amina infinita cargada en color verde, en naranja se muestra la superficie gaussiana, la carga encerrada por la superficie Gaussiana se muestra en color violeta y las l´ıneas de verdes son las l´ıneas de Desplazamiento eléctrico.

de la figura se observa que As = 2πρℓ, adem´ as Q = ρL ℓ que se sustituyen en la Ec. (1.44) Qℓ = 2πρL ℓD, despejando D=

Q 2πρL

vectorialmente se tiene que → − Q a ˆρ . D= 2πρ L

l´ amina infinita carga. Se escoge una caja de pildoras como superficie Gaussiana como la mostrada en la figura 1.25, la cual satisface los siguiente:

→

− 1. D = cte, en las tapas cuadradas de la superficie. → − → − 2. D y d S son paralelos en las tapas cuadradas. → − → − 3. D y d S son perpendiculares en las partes rectangulares del paralelep´ıpedo.

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

42

→ − dS

→ − D

→ − dS → − D

→ − D

a)

b)

→ − dS

c)

Figura 1.26: De la superficie Gaussiana: a) Parte c´ılindrica; b) Tapa superior; c) Tapa inferior.

con lo cual, al calcular el flujo de densidad eléctrica. ΨD

=

ZZ ZZ ZZ ZZ → − → − → − ⃝D • dS = D • dS + D • dS + S

tapa I

ZZ

tapa S

DdS cos (0◦ ) +

= tapa I

ZZ

4 tapas L

DdS cos (0◦ ) +

tapa S

→ − D • dS

ZZ

DdS cos (90◦ )

4 tapas L

ZZ =

2

DdS + 0 = 2DAq ,

(1.45)

tapa I o ´S

siendo Aq es el ´ area de la tapa I ó S encerrada de la lámina, por la superficie Gaussiana, adem´ as la carga encerrada es Q = ρ s Aq , as´ı pues, la Ley de Gauss ZZ Ψ=

→ − D • d S = Q,

queda 2DAq = ρs Aq , de donde D=

ρs , 2

es decir, → − ρs D= a ˆz 2

(1.46)

43

a

1.3. LEY DE GAUSS.

r

Figura 1.27: superficie Gaussiana en color naranja dentro de la esfera.

Esfera con carga uniforme. a) Dentro de la esfera: se calcula primero la carga ZZZ ZZZ 4 Qenc = ρV dV = ρV dV = ρV Vesf = πr3 ρV . 3 después se calcula el flujo de desplazamiento eléctrico ZZ ZZ ZZ → − → − ΨD = D • dS = DdS cos (0◦ ) = D dS = 4πr2 D, sustituyendo (1) y (2) en la ley de Gauss ΨD = Qenc , se tiene que 4πr2 D = de donde D=

4 3 πr ρV , 3 ρV r , 3

vectorialmente

→ − ρV r D= a ˆr . 3 b) Fuera de la esfera: se calcula la carga encerrada ZZZ ZZZ 4 Qenc = ρV dV = ρV dV = ρV Vesf = πa3 ρV , 3 después se calcula el flujo ZZ ZZ ZZ → − → − ΨD = D • dS = DdS cos (0◦ ) = D dS = 4πr2 D,

con lo cual, la Ley de Gauss Ψ = Qenc ,

(1.47)

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

r

44

a

Figura 1.28: superficie Gaussiana en color naranja fuera de la esfera. D ρv a 3

a

r

Figura 1.29: Desplazamiento eléctrico de una esfera cargada uniformemente. queda 4πr2 D = de donde D=

4 3 πa ρV , 3

ρV a3 , 3r2

vectorialmente

→ − ρV a3 D= a ˆr . 3r2 as´ı pues de las ecuaciones (1.47) y (1.48) ρV r 0≤r≤a → − 3 D= . ρ V a3 a≤r 3r 2 ,

(1.48)

Ejercicios del cap´ıtulo 1. Campo el´ ectrico debido a distribuciones de carga. 1. Las cargas puntuales 5 nC y −2 nC están situadas en (2, 0, 4) y (−3, 0, 5), respectivamente.

1.3. LEY DE GAUSS.

45 y − 2

− 1 B | −2

| −1 30◦

A 30◦ | 1

| 2

x

− −1 C − −2 Figura 1.30: en la distribucion A: 1 mC/m2 , en la B: 3 mC/m2 y la C: 2 µC/m. a) Determine la fuerza que sobre la carga puntual 1 nC situada en (1, −3, 7). → − b) Halle el campo eléctrico E en (1, −3, 7). Respuesta: (a) −1.004 a ˆx −1.284 a ˆy +1.4 a ˆz nC, (b) −1.004 a ˆx −1.284 a ˆy + 1.4 a ˆz V/m. 2. Las cargas puntuales Q1 = 5 µC y Q2 = −4 µC se sit´ uan en (3, 2, 1) y (−4, 0, 6), respectivamente. Determine la fuerza sobre Q1 . Respuesta: −1.829 a ˆx − 0.522 a ˆy + 1.306 a ˆz mN. 3. Las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan en (4, 0, −3) y (2, 0, 1), respectivamente. Si Q2 = 4 nC, halle Q1 de manera que → − a) El campo eléctrico E en (5, 0, 6) carezca de componente z. b) La fuerza sobre una carga de prueba en (5, 0, 6) carezca de componente x. Respuesta: a) −3.463 nC; b) −18.7 nC. 4. Encuentre la carga total de las distribuciones A, B y C de la figura 1.30. Respuesta: 4.0514 mC. 5. Un anillo con ecuaci´ on z 2 +x2 = 9, y = 0 tiene carga uniforme de 7 nC/m.

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

46

z − → dE z

− → E − → dE ρ

•

→ − R

ha ˆρ

P (0, 0, h)

ρ aˆ

ρ

dS

y

x I

Figura 1.31: Disco circular cargado. → − a) Halle E en (0, 4, 0). b) Si se colocan cargas idénticas en (0, 0, −4) y (0, 0, 4) además de la del → − anillo, halle en valor de E en P . 6. Un disco circular de radio a (figura 2.5) está uniformemente cargado con ρs C/m2 . Si el disco se sit´ ua en el plano z = 0 con su eje a lo largo del eje z, a) Demuestre que en el punto (0, 0, h) → − ρs E = 2ϵ0

h 1− 2 [h + a2 ]1/2

a ˆz .

→ − b) Deduzca de ello el campo E debido a una lámina infinita de carga en el plano z = 0. → − c) Si a ≪ h, demuestre que E es similar al campo debido a una carga puntual. Respuesta: a) Demostraci´ on; b)

ρs ˆz ; 2ϵ0 a

c) Demostraci´ on.

7. Se aplica una carga Q a un disco circular de ebonita de radio a, frotándolo mientras éste gira. De esta manera, la densidad superficial de carga se vuelve proporcional a la distancia radial al centro. Demuestre que la intensidad del campo eléctrico en el eje del disco a una distancia axial h

1.3. LEY DE GAUSS.

47

desde el centro es " # √ a + a2 + h2 Qh 1 ln −√ a ˆn 4πϵ◦ a3 h a2 + h2 Respuesta: demostraci´ on. 8. La l´ amina finita 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 en el plano z = 0 tiene una densidad de carga ρs = xy(x2 + y 2 + 25)3/2 nC/m2 . Halle a) La carga total en la l´ amina. b) El campo eléctrico en (0, 0, 5), c) La fuerza experimentada por una carga de −1 mC localizada en (0, 0, 5). Respuesta: a) 33.15 nC; b) (−1.5, −1.5, 11.25) V/m; c) (1.5, 1.5, −11.25) mN. 9. Una placa cuadrada descrita por −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2, z = 0 porta una carga de 12 |y| mC/m2 . Halle la carga total sobre la placa y la intensidad de campo eléctrico en (0, 0, 10). Respuesta: 192 mC, 16.46 a ˆz MV/m. 10.

a) Demuestre que el campo eléctrico en el punto (0, 0, h) debido al rect´ angulo descrito por −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, z = 0 y que porta una carga uniforme de ρs C/m2 es → − ab ρs . tan−1 E = πϵ0 h(a2 + b2 + h2 )1/2 b) Si a = 2, b = 5, ρs = 10−5 , encuentre la carga total en la placa y la intensidad de campo eléctrico en (0, 0, 10). Respuesta: a) Demostraci´ on; b) 0.4 mC, 31.61 a ˆz µV/m.

11. En el ejemplo precedente, si la l´ınea x = 0, z = 2 rota 90◦ alrededor del → − punto (0, 2, 2) de manera que se convierte en x = 0, y = 2, halle E en (1, 1, −1). Respuesta: −282.7ˆ ax + 564.5ˆ ay V/m. 12. La l´ınea x = 3, z = −1, porta una carga de 20 nC/m, mientras que el plano x = −2 porta una carga de 4 nC/m2 . Halle la fuerza sobre una carga puntual de −5 mC localizada en el origen. Respuesta: −0.591 a ˆx −0.18 a ˆz N. → − 13. El plano x + 2y = 5 porta una carga de ρs = 6 nC/m2 . Determine E en → − (−1, 0, 1). Respuesta: E = −151.5 a ˆx − 303.1 a ˆy V/m.

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

48

y 3 x+

2 a ˆN =

−ˆ ax −2 a ˆy 5

2y

=5

1 (−1, 0, 1)

x

• 1

2

3

4

5

Figura 1.32: Problema 1.20.

+Q

y

+2Q

x

−2Q

−Q

Figura 1.33: Carga en los vértices de un cuadrado.

1.3. LEY DE GAUSS.

49 z

P (4, 0, 3) •

x=4 x

y

Q = 5π C

Figura 1.34: Carga puntual y l´ınea de carga.

Ley de Gauss. 14. Se tienen ciertas cargas puntuales en los vértices de un cuadrado de tama˜ no → − 4 m como se muestra en la figura 1.33. Si Q = 15 µC, halle D en (0, 0, 6). Respuesta: −16.3 a ˆx − 49.08 a ˆy nC/m2 . 15. Una carga lineal uniforme de ρ C/m está situada a lo largo del eje x. La densidad del flujo eléctrico en (−3, 6, 8) es 3 nC/m2 . a) Halle ρL . → − b) Determine D en (0, 0, 4). Respuesta: a) 188.5 nC/m; b) 7.5 a ˆz nC/m2 . → − 16. Determine D en (4, 0, 3) en presencia de una carga puntual de −5π mC en (4, 0, 0) y de una carga de l´ınea de 3π mC/m a lo largo del eje y como se muestra en la figura 1.34. Respuesta: 240 a ˆx + 42 a ˆz µC/m2 . 17. Una carga puntual de 30 nC se localiza en el origen, mientras que el plano → − y = 3 porta una carga de 10 nc/m2 . Halle D en (0, 4, 3). Respuesta: 5.076 a ˆy + 0.0573 a ˆz nC/m2 . 18. Considere un cubo de arista L con una carga puntual Q en su centro, → − calcule el flujo de D a través de su cara inferior. Respuesta: Q 6. → − 19. Considere una carga puntual Q en origen, determine el flujo de D a travez Q de la superficie 0 ≤ x, y ≤ L/2, con z = L/2. Respuesta: 24 . 20. Dado que el vac´ıo  3  10nC/m 3 ρV = 20nC/m  0 → − Determine E en

0 < r < 3 cm, 3 < r < 5 cm, 5 < r cm

´ CAPÍTULO 1. EL CAMPO ELECTROSTATICO

50 a) r = 4 cm. b) r = 6 cm.

Respuesta: a) 23.8 a ˆr N/C; b) 23.35 a ˆr N/C. 21. Las cargas puntuales 5µC, −3 µC, 2 µC y 10 µC están situadas en (−12, 0, 5), (0, 3, −4), (2, −6, 3)4 y (3, 0, 0), respectivamente. Calcule el flujo que pasa a través de las superficies esféricas en a) r = 1. b) r = 10. c) r = 15. Respuesta: a) 0 C; b) 9 µC; c) 14 µC. 22. El modelo de Thomson de un átomo de hidrógeno es una esfera de carga positiva con un electrón (una carga puntual) en su centro. La carga positiva total es igual a la carga electrónica e. Demuestre que cuando el electrón esta a una distancia r del centro de la esfera de carga positiva, sobre el electr´ on act´ ua una fuerza de atracción F =

e2 r 4πϵ◦ R3

donde R es el radio de la esfera. Respuesta: demostraci´ on. 23. Una distribuci´ on de carga con simetr´ıa esférica posee la densidad ρ◦ r R , 0≤r ≤R . ρv = 0, r>R → − Determine E en cualquier punto. Respuesta: → − ρ◦ R 3 E = a ˆr . 4ϵ0 r2 24. Una distribuci´ on de carga en el vac´ıo posee ρv = 2r nC/m3 en el caso de → − 0 ≤ r ≤ 10 m y cero en las demás condiciones. Determine E en r = 2 m y r = 12 m. Respuesta: 2269r V/m, 3.9279r kV/m. Respuesta: 226 a ˆr V/m; 3.927 a ˆr kV/m. 25. Enuncie la ley de Gauss. Deduzca la ley de Coulomb de la de Gauss, lo que equivale a afirmar que ésta es una formulación alterna de la de Coulomb, → − la que a su vez está impl´ıcita en la ecuación de Maxwell ∇ • D = ρv . Respuesta: Demostraci´ on. 26. Tres cascarones esféricos concéntricos r = 1, r = 2 y r = 3 m, respectivamente, poseen distribuciones de carga superficial de 2, −4 y 5 µC/m2

1.3. LEY DE GAUSS.

51

a) Calcule el flujo a través de r = 1.5 m y r = 2.5 m. → − → − b) Halle D en r = 0.5, r = 2.5 y r = 3.5 m. (Nota: D es una función de cambio y posici´ on.) Respuesta: a) 8π µC, −56π µC; b) 0 µC/m2 ,

14 r2

µC/m2 ,

59 r2

µC/m2 .

27. Puesto que ρv =

3

12ρ mC/m , 10

y

V 0) se caracteriza por ϵr = 4. Sea E 1 = −30ˆ ax + 50ˆ ay + 70ˆ az V/m y halle: → − a) D 2 → − b) P 2 → − c) El ´ angulo entre E 1 y la normal a la superficie. Soluci´ on: a −1.061ˆ ax + 1.768ˆ ay + 1.547ˆ az nC/m2 ; b) −0.7958ˆ ax + 2 ◦ 1.326ˆ ay + 1.161ˆ az nC/m ; c 39.79 . 20. La regi´ on y ≤ 0 se compone de un conductor perfecto, en tanto que la regi´ on y ≥ 0 es un medio dieléctrico (ϵ1r = 2), como se se˜ nala en la figura 3.15. Si en el conductor hay una carga superficial de 2 nC/m2 , determine → − → − E y D en

´ CAPÍTULO 2. ENERGÍA ELECTRICA.

150

z

ϵr2 → − E2

a ˆz

θ2 α2 θ1

→ − E1

α1 ϵr1

Figura 2.60: Problema 19. z

Conductor

• B(−4.1.5)

Dieléctrico (ϵr = 2)

• A(3, −2, 2)

y

Figura 2.61: Problema 7 a) A(3, −2, 2). b) B(−4, 1, 5). → − → − → − → − → − Soluci´ on: a) E = 0 V/m y D = 0 C/m2 ; b) D = 2ˆ ay nC/m2 y → − E = 113.1ˆ ay V/m. → − 21. Se determina que E = 60ˆ ax + 20ˆ ay − 30ˆ az mV/m en un punto particular → − en la interfaz entre aire y una superficie conductora. Halle D y ρs en ese 2 punto. Soluci´ on: 0.531ˆ ax + 0.117ˆ ay − 0.265ˆ az pC/m , 0.610 pC/m2 . 22. Dos hojas paralelas de vidrio (ϵr = 8.5) montadas verticalmente están separadas por un espacio uniforme de aire entre sus superficies internas. Debidamente selladas, las hojas están inmersas en aceite (ϵr = 3.0), como se muestra en la figura 2.62. En el aceite existe un campo eléctrico uniforme de 2000 V/m de intensidad en la dirección horizontal. Calcule la magnitud

2.5. PROBLEMAS DE CONDICIONES A LA FRONTERA

151

Vidrio

Aceite

Aceite

Aire Figura 2.62: Problema 22. y direcci´ on del campo eléctrico en el vidrio y en el espacio de aire encerrado cuando a) El campo es normal a las superficies de vidrio. b) El campo en el aceite forma un ángulo de 75◦ con una normal a las superficies de vidrio. Ignore los efectos marginales. Soluci´ on: a) 705.9 V/m, 0◦ (vidrio), 6000 V/m, 0◦ (aire); b) 1940.5 V/m, 84.6◦ (vidrio), 2478.6 V/m, 51.2◦ (aire).

Energ´ıa electrost´ atica. 23. Las cargas puntuales Q1 = 1 nC, Q2 = −2 nC, Q3 = 3 nC y Q4 = −4 nC se ubican una a la vez y en ese orden en (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0 − 1) y (0, 0, 1), respectivamente. Calcule la energ´ıa en el sistema tras la ubicación de cada carga. Respuesta: 0, −18 nJ, −29.18 nJ, −68.27 nJ. 24. Una carga puntual Q se localiza en el origen. Calcule la energ´ıa almacenada Q2 en la regi´ on a < r. Respuesta: 8πϵ J. 0a 25. Una esfera recubierta de plata de 5 cm de radio porta una carga total de 12 nC uniformemente distribuida sobre su superficie en el vac´ıo. Calcule: → − a) | D| sobre la superficie de la esfera

´ CAPÍTULO 2. ENERGÍA ELECTRICA.

152 z (1, 0, 2) •

y y x ϕ=

π 3

ϕ=

π 3

x 1

4

a)

b)

Figura 2.63: a) Regi´ on: 1 < ρ < 4, −2 < z < 2, 0 < ϕ < la regi´ on.

π 3;

b vista superior de

→ − b) D externa a la esfera. c) La energ´ıa total almacenada en el campo. Soluci´ on: a) 381.97 nC/m2 ; b)

0.955ˆ ar r2

nC/m2 ; c) 12.96 µJ.

26. Si V = ρ2 z sen ϕ, calcule la energ´ıa dentro de la región definida por 1 < ρ < 4, −2 < z < 2, 0 < ϕ < π/3. Respuesta: 6.612 nJ.

Problemas de condiciones a la frontera. 27. En un dispositivo unidimensional, la densidad de carga está dada por → − → − ρv = ρ0 x/a. Si E = 0 en x = 0 y V = 0 en x = a, halle V y E. 2 ρ0 0x Respuesta: 6ϵa a3 − x3 y ρ2aϵ a ˆx . 28. Con referencia al modelo de la figura 2.64, si ρs = 0 y el electrodo superior se mantiene en V0 mientras el electrodo inferior se conecta a tierra, demuestre que → − E1 =

−V0 a ˆx , d − a + ϵϵ21 a

→ − E2 =

−V0 a ˆx ϵ2 a + ϵ1 d − ϵϵ21 a

Respuesta: demostraci´ on. 29. Dos placas conductoras de 1 × 5 m tienen una inclinación de 45◦ entre s´ı y est´ an separadas por un espacio de 4 mm de ancho, como se ilustra

2.5. PROBLEMAS DE CONDICIONES A LA FRONTERA

153

x V = V0 d−

a−

ρs = 0

0−

Figura 2.64: Región Fotoconductor-Aire. en la figura 2.65. Determine un valor aproximado de la carga por placa si las placas se mantienen en una diferencia de potencial de 50 V. Atribuya ϵr = 1.5 al medio entre ellas. Respuesta: −22.2 nC. 30. Un cono conductor de gran tama˜ no (θ = 45◦ ) se coloca sobre un plano conductor con un ´ınfimo espacio de separación, como se muestra en la → − figura 2.66. Si el cono se conecta a una fuente de 50 V, halle V y E en (−3, 4, 2). Respuesta: 22.13 V; 11.36 a ˆθ V/m. 31. Con referencia al ejercicio 24, adopte V0 = 100 V, b = 2a = 2 m y halle V → − y E en a) (x, y) = (a, a/2). b) (x, y) = (3a/2, a/4). → − Respuesta: a) V = 44.57 V y E = −99.11 V/m; b) 16.50 V y → − E = 20.67 a ˆx − 70.34 a ˆy V/m. 32. Con referencia al ejercicio 31, halle la distribución de potencial si V0 no es constante sino a) V0 = 10 sen 3πx/b, y = a, 0 ≤ x ≤ b. b) V0 = 2 sen πx b +

1 10

sen 5πx b , y = a, 0 ≤ x ≤ b.

Respuesta: a) 10 sinh 3π b y sin V = sinh 3π b a

3π b x

.

b) 2 sinh πb y sin V = sinh πb a

π bx

5π sinh 5π b y sin b x + . 10 sinh 5π b a

´ CAPÍTULO 2. ENERGÍA ELECTRICA.

154

45◦ | ρ=δ

| ρ=δ+1

m 4m

22.5◦ δ=

2×10−3 sin 22.5◦

m

Figura 2.65: l´ aminas separadas 4 mm tienen dimensión 1 × 5 m, por lo cual, la carga se distribuye en la región 1 < z < 5, δ < ρ < δ + 1

2.5. PROBLEMAS DE CONDICIONES A LA FRONTERA

155

z

θ=4 ◦ 5

Espacio

Figura 2.66: Un cono conductor grande.

Problemas de condiciones a la frontera. 33. Si la carga puntual Q = 10 nC de la figura 2.53 está a 10 cm del punto O y a lo largo de la bisectriz ϕ = 60◦ , halle la magnitud de la fuerza en Q debida a la carga inducida en la paredes de los conductores. Respuesta: 60.53 µN. 34. Dos cargas puntuales de 3 nC y −4 nC están situados en (0, 0, 1) m y (0, 0, 2) m, respectivamente, mientras que un plano conductor infinito está en z = 0. Determine a) La carga total inducida en el plano. b) La magnitud de la fuerza de atracción entre las cargas y el plano. Respuesta: a 1 nN; b) 5.25 nC. 6.43 Una carga puntual de 10 µC está situada en (1, 1, 1), y las porciones positivas de los planos de coordenadas están ocupadas por 3 conductores planos mutuamente perpendiculares que se mantienen a potencial cero. Calcule la fuerza sobre la carga debida a los conductores. Respuesta: −0.8191(ˆ ax + a ˆy + a ˆz ) N. 6.45 Los planos infinitos x = 3 y x = 10 tienen cargas de −10 nC/m2 y 5 nc/m2 , → − respectivamente. Si se pone a tierra el plano x = 1, halle E en (6, 0, −4). Considere ϵ = ϵ◦ . Respuesta: −565.5ˆ ax V/m.

156

´ CAPÍTULO 2. ENERGÍA ELECTRICA.

Cap´ıtulo 3

Corrientes el´ ectricas estacionarias. Definici´ on 1 (Corriente de convección.). En general, la corriente eléctrica tiene como causa el movimiento de cargas eléctricas. En la corriente de convección no intervienen conductores, por lo cual, no se cumple la ley de Ohm. Ocurre cuando una corriente pasa a través de un medio aislante.

3.1.

Corriente el´ ectrica.

3.1.1.

Corriente y densidad de corriente. ρv → − v

∆S

∆ℓ Figura 3.1: Corriente eléctrica a través de un elemento diferencial.

157

158

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS. Definici´ on 2 (Corriente de convección.). ∆Q ∆Q ∆S∆l = = ρv ∆Sv ∆t ∆V ∆t donde ∆i es la corriente que pasa a través del filamento, ρv es la densidad de carga volumétrica y v es la velocidad del filamento. ∆i =

Luego, se define Definici´ on 3 (Densidad de corriente (A/m2 )). → − ∆i − = ρv → v J = ∆S donde i es la corriente de convección. → − Si J es perpendicular a la superficie ∆I = J∆S, en general → − → − ∆i = J • ∆ S

Definici´ on 4 (La corriente que pasa por una superficie S). est´ a dada por → − → − J • dS .

ZZ i= S

Ejercicio 1 (4.4). Un ejemplo t´ıpico de transporte de carga convectiva es el generador Van de Graaff, en donde se transporta la carga sobre una banda en movimiento, desde la base hasta el domo como se muestra en la figura 3.11. Si se transporta una densidad superficial de carga de 10−7 C/m2 a una velocidad de 2 m/s, calcule la carga que se acumula en 5 s. Considere el ancho de la banda de 10 cm. Respuesta: 100 nC.

Soluci´ on: datos 2

ρs = 10−7 C/m , densidad superficial de carga.

´ 3.1. CORRIENTE ELECTRICA.

159

separaci´ on de carga domo conductor soporte aislante

colocaci´ on de carga base conductora •

motor

Figura 3.2: Generador de Van der Graaff. v = 2 m/s, velocidad de la banda. t = 5 s, el tiempo. Q = ?, la carga. ∆y = w = 10 cm = 0.1 m, es el ancho de banda. → − v

∆S

w

∆x Figura 3.3: Segmento de la banda cargada de la figura 3.12 I

=

∆Q ∆Q ∆S ∆Q w ∆x − = = = ρs w → v ∆t ∆S ∆t ∆S ∆t

de donde Q = It = ρs wvt = 10−7 (0.1) (2) (5) = 100nC

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

160

Ejercicio 2 (4.1). → − Si J =

1 ˆr r 3 (2 cos θ a

+ sen θ a ˆθ ) A/m2 , calcule la corriente que pasa por

a) Un cascar´ on hemisférico de 20 cm de radio. b) Un cascar´ on esférico de 10 cm de radio. Respuesta: a) 31.4 A; b) 0 A.

20

cm 20

a)

cm

b)

Figura 3.4: a) Hemisferio de 20 cm de radio; b) Esfera de 20 cm de radio. Soluci´ on: la corriente eléctrica viene dada por ZZ I=

→ − → J · d− s.

donde → − J =

1 r3

2

(2 cos θ a ˆr + sin θ a ˆθ ) A/m es la densidad de corriente.

→ − d S = hθ hϕ dθdϕ a ˆr = r2 sin θdθdϕˆ ar , es la diferencial de superficie. → − − J • d→ s =

2 r3

r2 cos θ sin θdθdϕ .

Con r = 0.2, 0 ≤ θ ≤

π 2,

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

(3.1)

´ 3.1. CORRIENTE ELECTRICA.

161

As´ı la ecuaci´ on la ecuaci´ on (3.1) queda Z I

= = =

2π

Z

π 2

2 cos θ sin θ dθdϕ r 0 0 π Z π2 Z 2 2π 4π sin2 θ 2 dϕ cos θ sin θ dθ = r 0 r 2 0 0 2π 2π = = 10π = 31.4 A r 0.2

b) para la esfera completa 0 ≤ θ ≤ π, y del cáculo precedente 4π sin2 θ I= r 2

π = 0. 0

Ejercicio 3. Un alambre de 1 mm de di´ ametro y conductividad 5 × 107 mhos/m 29 tiene 10 electrones libres/m3 cuando se aplica un campo eléctrico de 10 mV/m. Determine a) La densidad de carga de los electrones libres. b) La densidad de corriente. c) La corriente que conduce el alambre. d) La velocidad de arrastre de los electrones. Tome la carga electr´ onica como e = −1.6 × 10−19 C. Respuesta: a)−1.6×1010 ; b) 500 kA/m2 ; c) 0.393 A; d) 3.125×10−5 m/s.

Soluci´ on: datos d = 2r = 1mm = 1 × 10−3 m. r = 0.5 × 10−3 m. σ = 5 × 107 mhos/m. n = −1029 electrones/m3 . e = 1.6 × 10−19 C. E = 10 × 10−3 = 0.01 V/m.

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

162

a) Para la Densidad de carga volumétrica

ρv

=

∆Q = ne = ∆V

29 #electrones −1.6 × 10−19 C , 10 m3 3

= −1.6 × 1010 C/m .

(3.2)

b) Densidad de Corriente usando ley de Ohm → − J

→ − → − − J = σ E = ρV → v

→ − − = σ E = ρV → v, 2 7 = 5 × 10 (0.01) = 5 × 105 A/m , 2

500 kA/m .

=

(3.3)

c) Con lo cual, la corriente eléctrica viene dada por Z Z 2 → − → I = J · d− s = JA = πr2 J = π 0.5 × 10−3 5 × 105 =

392 × 10−3 = 392 mA.

d) Sustituyendo datos, y las ecuaciones (3.2) y (3.3) en J = ρV v 5 × 105

=

1.6 × 1010 v,

de donde v=

3.1.2.

5 × 105 = −31.25 × 10−6 m/s. −1.6 × 1010

Ecuaci´ on de continuidad.

Por conservaci´ on de la carga, la rapidez de decrecimiento de la misma dentro de un volumen determinado debe ser igual al flujo neto de corriente que sale a través de la superficie cerrada del volumen. Por lo tanto, la corriente Isal que sale de la superficie cerrada es ZZ → − → − dQent , (3.4) Isal = ⃝ J • d S = − dt S

donde Qent es la carga total encerrada por la superficie cerrada. Por el teorema de la divergencia se tiene que ZZ ZZZ → − → − → − ⃝ J • dS = ∇ • J dV S

(3.5)

´ 3.1. CORRIENTE ELECTRICA.

163

y de la ecuaci´ on ZZZ

dQent d = dt dt

ZZZ ρv dV =

∂ρv dV, ∂t

(3.6)

sustituyendo las ecuaciones (3.5) y (3.6) en la (3.4) ZZZ ZZZ → − ∂ρv ∇ • J dV = − dV ∂t ⇒ Definici´ on 5 (Ecuaci´ on de continuidad). Establece que no debe de haber acumulación de carga en ning´ un punto. → − ∂ρv ∇• J =− . ∂t

(3.7)

Para corrientes estacionarias ∂ρv =0 ∂t sustituyendo en la ecuaci´ on de continuidad de la corriente (3.7), → − ∇ • J = 0, es decir, la carga total que sale del volumen es la misma que entró a éste, desprendiéndose de ésto la ley de Kirchhof de la corriente. Ejercicio 4 (5.17 Resuelto por González Gallegos Madeline Scarlett). → − Puesto que J =

5e−10 r

4t

a ˆr A/m2 , en t = 0.1 ms, halle:

a) La cantidad de corriente que pasa por la superficie r = 2 m. b) La densidad de carga ρV sobre esa superficie. Respuesta: a) I = 46.229 A; b) ρV = 45.98 × 10−6 C/m3 .

Soluci´ on: a) Se calcula la corriente que pasa por la superficie de la esfera r = 2 m: ZZ Z 2π Z π −104 t − → − → 5e I = J · ds = r2 sin θ dθdϕ, r 0 0 Z π Z 2π 4 4 −104 t = (5) (r) e sin θdθ dϕ = (5)(2)e−10 t (2) (2π) = 40πe−10 t . 0

0

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

164

Si t = 0.1 × 10−3 segundos: I

=

4 −3 40πe−10 (0.1×10 ) = 40πe−1 = 46.229 A.

b) De la ecuaci´ on de continuidad ∂ρV − ∂t

→ − 1 ∂ 1 ∂ = ∇• J = 2 r 2 Jr = 2 r ∂r r ∂r

r

2 5e

−104 t

r

! =

5 −104 t e , r2

Se calcula la densidad de carga ρV sobre superficie r = 2 en coordenadas esféricas, quedando la ecuaci´ on precedente 4 dρV 5 = − e−10 t dt 4

cuya soluci´ on es: ρV =

5 × 10−4 −104 t e +c 4

cuando t → ∞, ρV → 0, con lo cual, c = 0, es decir, ρV =

5 × 10−4 −104 t e 4

luego, si t = 0.1 ms = 1 × 104 s ρV =

3.1.3.

5 × 10−4 −104 (1×10−4 ) 2 e = 45.985 × 10−6 C/m . 4

Medios conductores y condiciones en la frontera.

Definici´ on 6 (Conductores.). Un conductor posee abundante carga con libertad de desplazamiento. → − Cuando se aplica un campo externo E a un conductor aislado como en la figura 3.5, las cargas positivas libres se mueven en la dirección del campo, mientras que la negativas en dirección contraria. con esto se acumula carga en la superficie del conductor y esta distribución inducida → − de las cargas, establece un campo inducido E ind , que anula al campo → − externo aplicado E ext .

´ 3.1. CORRIENTE ELECTRICA.

− − − − − − −

→ − E ind

→ − E ind

+ + + + + + +

165

− + − + − + − ρV = 0 + − + → − → − −E = 0 + − +

→ − E ext

→ − E ext

→ − E ext

→ − E ext

→ − E ext

→ − E ext

Figura 3.5: a) Un conductor aislado bajo la influencia de un campo aplicado; b) un conductor tiene un campo eléctrico en condiciones estáticas.

Definici´ on 7 (Corriente de conducción.). Se produce cuando a un conductor se le aplica un campo eléctrico debido al arrastre de los electrones. Aunque el conductor permanezca en reposo, sus electrones no lo est´ an.

Condiciones de frontera conductor-diel´ ectrico.

Dieléctrico → − E 1n → − E 1t

b

a

∆h

1

→ − E

1

d

c ∆w

2

Conductor (E = 0)

Figura 3.6: Interfaz Conductor-Dieléctrico.

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

166

integrando en la trayectoria mostrada en la Fig. (3.6) I → − → − 0 = E •d ℓ , =

0 · ∆w + 0 ·

∆h ∆h ∆h ∆h + En · − Et · ∆w − En · −0· , 2 2 2 2

de donde Et = 0.

(3.8)

Dieléctrico → − D 1n

1

→ − D

1 ∆S ∆h

→ − D 1t

2

Conductor (E = 0)

Figura 3.7: Superficie Gaussiana en una interfaz Dieléctrico-Conductor. Aplicando la ecuación (2.66) en la superficie mostrada en la Fig. (3.7) ZZ → − → − ∆Q = ⃝ D • d S = Dn · ∆S − 0 · ∆S, S

de donde Dn =

∆Q = ρS . ∆S

(3.9)

En conclusi´ on: No hay campo eléctrico en el interior del conductor. → − Como E = −∇V en el conductor, V es equipotencial dentro de éste. El campo eléctrico externo es normal a la superficie Dn = ϵ0 ϵr En = ρS . Una aplicaci´ on importante de que E = 0 en interior del conductor, es utilizarlo como blindaje o apantallamiento electrostático (ver figura 2.29).

´ 3.1. CORRIENTE ELECTRICA.

167

A

C B

Figura 3.8: El conductor A se utiliza como blindaje para el material B del material C.

Condici´ on de frontera conductor-vac´ıo. Este es un caso especial del caso anterior conductor-dieléctrico, ya que puede considerarse al vac´ıo como un dieléctrico, para el cual ϵr = 1 De las ecuaciones (3.8) y (3.9), Dt

=

ϵ0 Et = 0,

Dn

=

ϵ0 En = ρS ,

es decir, el campo eléctrico cerca del conductor es normal a la superficie (ver figura 3.9). → − D

→ − Dn → − En

vac´ıo (ϵ = ϵo ϵr )

→ − E

→ − Et

→ − Dt

Figura 3.9: Interfaz Conductor-Vac´ıo.

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

168

→ − E

S

I

|

−

−

−

−

−

−

ℓ

|

+V −

⃗ apliFigura 3.10: Conductor de sección transversal uniforme bajo un campo E cado.

3.2.

Ley de Ohm.

Definici´ on 8 (Corriente de conducción.). Se produce cuando a un conductor se le aplica un campo eléctrico debido al arrastre de los electrones. Aunque el conductor permanezca en reposo, sus electrones no lo est´ an.

Definici´ on 9 (La velocidad media de arrastre de los electrones.). es directamente proporcional al campo aplicado, por lo tanto, → − → − − J = ρv → v = σE

(3.10)

donde σ es la conductividad del material en mhos/m ó siemens/metro → − y J y la densidad de corriente de conducción (en A/m2 ) distinta (f´ısicamente) a la densidad de corriente de convección.

3.2. LEY DE OHM.

3.2.1.

169

Resistencia y conductancia, resistividad y conductividad.

Considérese un conductor de longitud ℓ y sección transversal uniforme S. Entonces, el campo eléctrico V E= (3.11) ℓ y densidad de corriente I (3.12) J= , S se sustituyen en la (3.10) I V =σ , S ℓ de donde se define Definici´ on 10 (La resistencia.). R :=

ℓ V = . I σS

(3.13)

ρc ℓ S

(3.14)

o bien R=

donde ρc = σ1 es la resistividad del material. Cuando S no sea uniforme no puede aplicarse la ecuación (3.14), sin embargo de la ecuaci´ on elemental. R=

3.2.2.

R→ R→ → − → − − − E •d ℓ E •d ℓ V = RR → = RR → − → − − → − I J • dS σE • dS

(3.15)

Ley de Ohm.

Definici´ on 11 (Ley de Omh). También llamada forma puntual de la Ley de Ohm está dada por la ecuaci´ on (3.10) → − → − J = σE, para materiales conductores incluyendo aquellos con sección no uniforme, la Ley de Ohm tiene la forma elemental, dada en la ecuación (3.15) R → R → → − → − − − E •d ℓ E •d ℓ V C C R= = RR → = RR − → − → − → − I J • dS σE • dS S

S

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

170

R1

R2

∆V Figura 3.11: 2 resistencias en serie.

3.2.3.

C´ alculo de resistencias.

Definici´ on 12 (Resistencias en serie). R = R1 + R2 ,

(3.16)

En este caso por segunda Ley de Kirchhoff V − VR1 − Vr2 = 0,

(3.17)

es decir, V = VR1 + Vr2 , por ley de Omh V = IR, con lo cual, la ecuación precedente queda IR = I1 R1 + I2 R2 , sin embargo, de la figura 3.11: I = I1 = I2 , es decir, IR = IR1 + IR2 , de donde R = R1 + R2 ,

(3.18)

que es la resistencia equivalente de 2 resistencias en serie. Definici´ on 13 (Resistencias en paralelo.). 1 1 1 = + . R R1 R2

(3.19)

3.2. LEY DE OHM.

171 R1

R2

I

∆V Figura 3.12: resistencias en paralelo. De la primera Ley de Kirchhoff I = I1 + I2 , utilizando Ley de Ohm V = IR, V V1 V2 = + , R R1 R2 sin embargo, de la figura 3.12: V = V1 = V2 , V V V = + , R R1 R2 de donde

1 1 1 = + , R R1 R2

o bien R=

R1 + R2 . R1 R2

(3.20)

siendo las ecuaci´ on (3.20) la resistencia equivalente a dos resistencias en paralelo. Ejercicio 5. Una barra de plomo (σ = 5 × 106 mhos/m) de sección transversal cuadrada tiene un taladrado a lo largo de su longitud de 4 m, de manera que su secci´ on transversal se convierte a la mostrada en la de la figura 3.13. Halle la resistencia entre los extremos cuadrados. Respuesta: 974 µΩ.

Soluci´ on: datos σ = 5 × 106 mhos/m.

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

172

−

3 cm

1 cm

−

−

− |

|

3 cm

Figura 3.13: Sección transversal de la barra de plomo. a = 0.03 m. r = 0.5 cm = 0.005 m. ℓ = 4 m. para la resistencia eléctrica se tiene R=

V ℓ ρc ℓ = = , I σs s

(3.21)

donde 2

2

s = scuadro − sagujero = a2 − πr2 = (0.03) − π (0.005) , 8.214 × 10−4 m,

=

con lo cual, la ecuaci´ on (3.21) queda R

=

4 106 ) (8.214

(5 × = 973.9 µΩ.

× 10−4 )

= 973.9 × 10−6

Ejercicio 6 (4.11 Resuelto por Rodriguez Castillo Silvia). Si se rellena completamente con cobre (σ = 5.8×107 mhos/m) el barreno de la barra de plomo del ejercicio 4.10, determine la resistencia de la barra compuesta en la figura 3.14. Este problema sufrió una modificación ya que en la versión original de libro dice que conductividad del cobre es de 5.8 × 106 mhos/m, sin embargo, en la literatura aparece que es de 5.8 × 107 mhos/m. Respuesta: 461.75 µΩ. Ayuda

3.3. POTENCIA Y LEY DE JOULE.

173 −

3 cm

1 cm

− cobre

R1

− plomo

R2

I −

|

|

3 cm

∆V

a)

b)

Figura 3.14: a) Secci´ on transversal de la barra de plomo con un relleno de cobre; b) sistema de dos resistencias en paralelo donde R1 es la resistencia del cobre y R2 es la resistencia del cobre.

Soluci´ on: datos:parte este problema de considerarse la varilla como un sistema de dos resistencias en paralelo, como se muestra en la figura 3.14.

3.3.

Potencia y ley de Joule.

Teorema 1 (La potencia P (en watts)). ∆W P = = ∆t

ZZZ

→ − − ρv E • → v dV =

ZZZ

→ − → − E • J dV,

(3.22)

que se conoce como Ley de Joule, por otro lado, utilizando la ley de Ohm (3.10) ZZZ P = σE 2 dV,

de tal manera que

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

174

Tabla 3.1: Clasificación de los materiales por su conductividad. Conductividad σ≫1 σ∼1 σ≪1

Materiales metales semiconductores aisladores

Definici´ on 14 (La densidad de potencia). est´ a dada por → → − → − − 2 u = E • J = σ E .

Definici´ on 15 (La potencia, de un conductor transversal uniforme). Z P = pero R =

V I

→ − → − E •d l

ZZ

→ − → − J • dS = V I

, por lo tanto P = IV = I (RI) = I 2 R.

3.4.

Conductores, semiconductores y diel´ ectricos.

En un sentido amplio de los materiales pueden clasificarse en términos de su conductividad σ, como conductores y no conductores, ó bien metales y aisladores (o dieléctricos). En general la conductividad aumenta al disminuir la temperatura. A temperaturas cercanas a 0 K algunos conductores presentan conductividad infinita y se les llama superconductores. El plomo a 4 K presenta 1020 mhos/m. en las tablas 3.2, 3.3 y 3.4 se muestran las conductividades de diferentes materiales conductores, semiconductores y dieléctricos.

´ 3.4. CONDUCTORES, SEMICONDUCTORES Y DIELECTRICOS.

Tabla 3.2: Conductividad de Conductores. Conductores Plata Cobre (recocido normal) Oro Aluminio Tugsteno Zinc Lat´ on Fierro Plomo Mercurio Carb´ on Agua (Mar)

Conductividad (mhos/m) 6.1 × 107 5.8 × 107 4.1 × 107 3.5 × 107 1.8 × 107 1.7 × 107 1.1 × 107 107 5 × 106 106 3 × 106 4

Tabla 3.3: Conductividad de Semiconductores. Semiconductores Germanio (puro) Silicio (puro)

Conductividad (mhos/m) 2.2 4.4 × 10−4

Tabla 3.4: Conductividad de Aisladores. Aisladores Agua (destilada) Tierra (seca) Baquelita Papel Vidrio Porcelana Mica Parafina Hule (duro) Cuarzo (fundido) Cera

Conductividad (mhos/m) 10−4 10−5 10−10 10−11 10−12 10−12 10−15 10−15 10−17 10−17 10−17

175

176

3.5.

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS.

Potencial y fuerza electromotriz.

Para un campo electrostático existe una función función llamada potencial eléctrico, tal que → − E = −∇V. (3.23) Sin embargo, si en un circuito cerrado se genera una corriente eléctrica mediante un generador de corriente, el potencial eléctrico asociado a esta corriente, se le llama potencial eléctrico inducido Vf em ó bien fuerza electromotriz, con la propiedad de la corriente de éste es de signo contrario a la corriente eléctrica asociada al potencial electrostático V .

3.5. POTENCIAL Y FUERZA ELECTROMOTRIZ.

177

Tarea 3 1. En un generador Van de Graaff, w = 0.1 m, u = 10 m/s, y las trayectorias de fuga tienen resistencia de 1014 Ω. Si la banda transporta una carga de 0.5 µC/m2 , halle la diferencia de potencial entre el domo y la base. Respuesta: 50 MV. 2. La banda de un generador Van de Graaff tiene 50 cm de ancho y se mueve a una velocidad de 25 m/s. a) Despreciando las fugas, ¿a qué velocidad en coulombs/segundo debe rociarse la carga sobre una de las caras de la banda para corresponder a una corriente de 10 µA en la esfera colectora? b) Calcule la densidad de carga superficial en la banda si se supone que es uniforme. Respuesta: a) 10 µC/s; b) 0.8 µC/m2 . → − 3. Para la densidad de corriente J = 10z sen2 ϕ a ˆρ A/m2 , halle la corriente que pasa por la superficie cil´ındrica ρ = 2, 1 ≤ z ≤ 5 m. Respuesta: 754 A. → − 4. Determine la corriente total en un alambre de radio 1.6 mm si J = 500ρ aˆz A/m2 . Respuesta: 5.026 A. 5. La densidad de carga libre en el cobre es de 1.81 × 1010 C/m3 . Para una densidad de corriente de 8 × 106 A/m2 , halle la intensidad del campo eléctrico y la velocidad de arrastre. Respuesta: 0.138 V/m; 4.42 × 10−4 m/s. 6. La carga 10−4 e−3t C se remueve de la esfera a través de un alambre. Halle la corriente por el alambre a t = 0 y t = 2.5 s. Respuesta: −0.3 mA; −166 nA.

Medios conductores y condiciones de frontera. 7. La regi´ on y ≤ 0 se compone de un conductor perfecto, en tanto que la regi´ on y ≥ 0 es un medio dieléctrico (ϵ1r = 2), como se se˜ nala en la figura 3.15. Si en el conductor hay una carga superficial de 2 nC/m2 , determine → − → − E y D en a) A(3, −2, 2). b) B(−4, 1, 5). → − → − → − → − → − Soluci´ on: a) E = 0 V/m y D = 0 C/m2 ; b) D = 2ˆ ay nC/m2 y → − E = 113.1ˆ ay V/m.

178

´ CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELECTRICAS ESTACIONARIAS. z

Conductor

• B(−4.1.5)

Dieléctrico (ϵr = 2)

• A(3, −2, 2)

y

Figura 3.15: Problema 7 → − 8. Se determina que E = 60ˆ ax + 20ˆ ay − 30ˆ az mV/m en un punto particular → − en la interfaz entre aire y una superficie conductora. Halle D y ρs en ese punto. Soluci´ on: 0.531ˆ ax + 0.117ˆ ay − 0.265ˆ az pC/m2 , 0.610 pC/m2 .

Ley de Ohm. 9. Si se rellena completamente con cobre (σ = 5.8 × 107 mhos/m) el barreno de la barra de plomo del ejercicio 4.10, determine la resistencia de la barra compuesta en la figura 3.14. Este problema sufrió una modificación ya que en la versión original de libro dice que conductividad del cobre es de 5.8 × 107 mhos/m, sin embargo, en la literatura aparece que es de 5.8 × 107 mhos/m. Respuesta: 973.9 µΩ. 10. Un conductor compuesto de 10 m de largo está formado por un n´ ucleo interior de acero de 1.5 cm de radio y un recubrimiento exterior de cobre cuyo espesor es de 0.5 cm. a) Determine la resistencia del conductor. b) Si la corriente total en el conductor es de 60 A, ¿cuál es la corriente que pasa en cada metal? c) Halle la resistencia de un conductor de cobre sólido de la misma longitud y área de sección transversal del recubrimiento. Tome las resistividades del cobre y el acero como 1.77 × 10−8 y 11.8 × 10−8 Ω·m, respectivamente. Respuesta: a) 0.27 mΩ; b) 50.3 A (cobre), 9.7 A (acero); c) 0.322 mΩ.

Cap´ıtulo 4

El campo magnetost´ atico y la fuente que lo origina. Como es sabido el campo electrostático se debe a cargas eléctricas en reposo. El movimiento de cargas con velocidad constante produce primero una corriente eléctrica y esta a su vez genera un campo magnético envolviendo el flujo de corriente. Tras 13 a˜ nos de investigaciones, Hans Christian Oersted (1777-1851), f´ısico danés, descubri´ o que la electricidad puede producir magnetismo. De hecho, el movimiento de cargas a velocidad constante (corriente directa) produce campo magnético est´ atico. Las principales leyes de los campos magnetostáticos son: 1. La Ley de Biot Savart. 2. La Ley de Ampère. En campos electrost´ aticos tienen su equivalente en la Ley de Coulomb para distribuciones de carga y la Ley de Gauss.

4.1.

Ley de Biot-Savart.

Definici´ on 1 (Ley de Biot Savart.). → − Establece la intensidad diferencial del campo magnético d H producida → − en un punto P por un elemento diferencial de corriente Id ℓ , como se muestra en la figura, es proporcional al producto de Idℓ y sen α e → − → − inversamente proporcional a R2 , siendo α el ángulo entre Id ℓ y R el vector que empieza en Idℓ y termina en P .

179

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

180

Figura 4.1: Regla de la mano derecha: el pulgar indica la dirección de la corriente eléctrica, mientras que los dedos indican las l´ıneas de campo magnético envolviendo a la corriente.

→ − dℓ → − R α

N→ − H

I

⃗ es paralelo a H, ⃗ en la Ley de Biot-Savart. Figura 4.2: d⃗ℓ × R

4.1. LEY DE BIOT-SAVART.

181

La representaci´ on matem´ atica de la Ley de Biot-Savart es: dH = k

Idℓ sen α . R2

siendo k la constante de proporcionalidad, en el Sistema Internacional (SI) k = 1/4π, con lo cual, Idℓ sen α dH = 4πR2 vectorialmente, el producto cruz permite escribir la Ley de Biot-Savart como sigue: → − → − → − → − Id ℓ × a ˆR Id ℓ × R dH = = , (4.1) 4πR2 4πR3 La Ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente. → − H

=

→ − H

=

→ − H

=

→ − Id ℓ × a ˆR , Corriente de l´ınea, 2 4πR L ZZ → − K dS × a ˆR , Corriente de superficial, 2 4πR S ZZZ → − J dv × a ˆR , Corriente de volumétrica. 4πR2 v

Z

(4.2) (4.3) (4.4)

→ − donde I es una corriente de l´ınea en (amperes); K es una densidad de corriente → − superficial (con unidades de amperes/m) y J es una densidad de corriente volumétrica (con unidades de amperes/m2 ).

4.1.1.

Campo magn´ etico de una l´ınea de corriente.

Ejercicio 1 (filamento recto de longitud finita.). Considérese un filamento recto de corriente como se muestra en la figura 4.3, determine el campo magnético en el punto P .

Soluci´ on: se parte de la Ley de Biot-Savart → − → − → − Id ℓ × R dH = , 4πR3 p → − → − donde d ℓ = dzˆ az , R = ρˆ aρ − zˆ az y R = ρ2 + z 2 , con lo cual, → − → − d ℓ × R = dzˆ az × (ρˆ aρ − zˆ az ) = ρdz (ˆ az × a ˆρ ) = ρdzˆ aϕ ,

(4.5)

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

182 z B

→ − dℓ −

α2

I

α

z

→ − R

A

→ − NH hacia dentro de la página

α1 −

ρ

P

Figura 4.3: Filamento de corriente paralelos al eje z. con zA < z < zB , e integrando la ecuación (4.5) → − H =

ZzB

Iρdz a ˆϕ 4πR3

zA

haciendo el cambio de variable z = ρ cot α, dz = −ρ csc2 αdα, R = ρ csc α, si z = zA entonces α = α1 y si z = zB entonces α = α2 , es decir, → − H =−

Zα2

α1

I Iρ2 csc2 αdα a ˆϕ = − 3 3 4πρ csc α 4πρ

Zα2

dα I a ˆϕ = − csc α 4πρ

α1

Zα2 sin αˆ aϕ , α1

es decir, → − I H = (cos α2 − cos α1 ) a ˆϕ . 4πρ para filamento semi-infinito, con A en (0, 0, 0) y B en (0, 0, ∞), se tiene que α2 = 0◦ y α1 = 90◦ , entonces → − I I a ˆϕ , H = (1 − 0) a ˆϕ = 4πρ 4πρ para un plano infinito, con A en (0, 0, −∞) y B en (0, 0, ∞), se tiene que α2 = 0◦ y α1 = 180◦ , entonces → − I I H = (1 − (−1)) a ˆϕ = a ˆϕ , 4πρ 2πρ

4.1. LEY DE BIOT-SAVART.

183

→ − para generalizar este problema a un segmento paralelo a ℓ y un punto P con vector de posici´ on desde el filamento, paralelo a a ˆρ , se toma a ˆϕ = a ˆℓ × a ˆρ .

• → − R2

α2 → − ℓ

→ − R1

⊗P

• α1 Figura 4.4: Filamento representado por vector ⃗ℓ paralelo a la corriente, que provoca una corriente eléctrico en el punto P .

Teorema 1 (Campo magnético de un filamento). → − como en la figura 4.4, representado por el vector ℓ , que va en el sentido de la corriente eléctrica. En el punto P → − I H = (cos α2 − cos α1 ) a ˆϕ , 4πρ donde cos α1

=

cos α2

=

ρ = a ˆϕ

=

→ − → − ℓ • R1 , ℓR1 → − → − ℓ • R2 − , ℓR2 → − → − ∥ ℓ 1 × R 1∥ , ℓ → − → − ℓ 1 × R1 → − → − . ∥ ℓ 1 × R 1∥ −

(4.6)

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

184 y

(2, 0, 0) •

→ − α2 ℓ

1−

→ − r2 2

3

(0, 0, 0) • α1

| 1

1

| 2

x

→ − r1

a)

⊗ P (0, 0, 5)

b)

Figura 4.5: a) Espira conductora triangular. b) lado 1 de la espira conductora.

Ejercicio 2 (9.1). La espira conductora triangular que aparece en la figura 4.5a porta una → − corriente de 10 A. Halle H en (0, 0, 5) debida al lado 1 de la espira. Respuesta: −59.11 a ˆy mA/m.

→ − Soluci´ on: el campo H generado por un segmento de recta es:

→ − I H = (cos α2 − cos α1 ) a ˆ′ϕ 4πρ

donde I = 10 A, de la figura 4.5 b, → − ℓ → − R2 → − R1 → − → − ℓ × R1

=

(2, 0, 0) − (0, 0, 0) = (2, 0, 0),

=

(0, 0, 5) − (2, 0, 0) = (−2, 0, +5),

=

(0, 0, 5) − (0, 0, 0) = (0, 0, 5),

=

(2 a ˆx ) × (5 a ˆz ) = 10(ˆ ax × a ˆz ) = −10 a ˆy ,

(4.7)

4.1. LEY DE BIOT-SAVART.

185 (0, 0, 0) •

z (0, 0, t → ∞) •

→ − ℓ α2 3A -3

P (−3, 4, 0)

(0, 0, 0) •

4

→ − R2 •

(0, 0, t) •

y

α1

3A x • (0, 0, t → ∞) a)

→ − R1 ⊗ P (−3, 4, 0)

b)

Figura 4.6: a) filamento de corriente a lo largo de los ejes semi infinitos x y z; b) filamento a lo largo del eje Z. con lo cual cos α2

=

cos α1

=

ρ = a ˆϕ

=

→ − → − ℓ • R2 (2, 0, 0) • (−2, 0, 5) 4 2 √ =− = √ =√ , 2 2 ℓ · R2 2 29 29 2· 2 +5 → − → − (2, 0, 0) • (0, 0, 5) ℓ • R1 = 0, = − ℓ · R1 2·5 → − → − ∥ ℓ × R 1∥ 10 = = 5, ℓ 2 → − → − ℓ × R1 −10 a ˆy = −ˆ ay , = → − → − 10 ∥ ℓ × R 1∥

−

As´ı, la ecuaci´ on (4.7) queda → − 10 2 √ − 0 (−ˆ H = ay ) = −59.11 × 10−3 a ˆy 4π (5) 29 Ejercicio 3 (9.3). → − Halle H en (−3, 4, 0) debida al filamento de corriente que aparece en la figura 4.6. Respuesta: 38.2 a ˆx + 28.65 a ˆy + 23.88 a ˆz mA/m ´ o −47.75 a ˆϕ + 23.88 a ˆz mA/m. → − Soluci´ on: el campo H generado por un segmento de recta es: → − I H = (cos α2 − cos α1 ) a ˆϕ . 4πρ

(4.8)

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

186 En este problema

→ − → − → − H = H 1 + H 2,

(4.9)

→ − donde H 1 es el campo generado por la corriente del segmento semi-infinito → − paralelo a a ˆz y H 2 al debido segmento paralelo a a ˆx → − a) Para H 1 de la figura 4.6 → − ℓ → − R2 → − R1 → − → − ℓ × R1

=

(0, 0, 0) − (0, 0, t) = (0, 0, −t),

=

(−3, 4, 0) − (0, 0, 0) = (−3, 4, 0),

=

(−3, 4, 0) − (0, 0, t) = (−3, 4, −t),

=

(−t a ˆz ) × (−3 a ˆx + 4 a ˆy − tˆ az ) = 3t(ˆ az × a ˆx ) − 4t(ˆ az × a ˆy )

=

3t a ˆy + 4t a ˆx = 4t a ˆx + 3t a ˆy ,

con lo cual,si t → ∞:

ρ

=

cos α2

=

cos α1

=

a ˆϕ

=

→ − → − ∥ ℓ × R 1∥ 5t = → 5, ℓ t → − → − ℓ • R2 0 (0, 0, −t) • (−3, 4, 0) √ =− √ = 0, =− 2 ℓ · R2 t · 25 + t t · 25 + t2 → − → − ℓ • R1 (0, 0, −t) • (−3, 4, −t) −t2 √ =− = √ → −1, ℓ · R1 t · 25 + t2 t · 25 + t2 → − → − ℓ × R1 (4t, 3t, 0) 4 3 4 3 = → ( , , 0) = a ˆx + a ˆy , → − → − 5t 5 5 5 5 ∥ ℓ × R 1∥

As´ı, la ecuaci´ on (4.8) queda → − H1

= =

4 3 3 (0 − (−1)) a ˆx + a ˆy 4π (5) 5 5 38.20 a ˆx + 28.65 a ˆy mA/m.

→ − b) para H 2 de la figura 4.7 → − ℓ → − R2 → − R1 → − → − ℓ × R1

=

(t, 0, 0) − (0, 0, 0) = (t, 0, 0),

=

(−3, 4, 0) − (t, 0, 0) = (−3 − t, 4, 0),

=

(−3, 4, 0) − (0, 0, 0) = (−3, 4, 0),

(tˆ ax ) × (−3ˆ ax + 4ˆ ax ) = −3t(ˆ ax × a ˆx ) + 4t(ˆ ax × a ˆy ) → − = −3t( 0 ) + 4t(ˆ az ) = 4tˆ az ,

=

4.1. LEY DE BIOT-SAVART.

187 (t, 0, 0) •

z (t, 0, 0) •

→ − ℓ α2 3A -3

P (−3, 4, 0)

(0, 0, 0) •

4

→ − R2 •

(0, 0, 0) •

y

α1

3A x • (0, 0, t → ∞) a)

→ − R1 ⊗ P (−3, 4, 0)

b)

Figura 4.7: a) filamento de corriente a lo largo de los ejes semi infinitos x y z; b) filamento a lo largo del eje X.

con lo cual,si t → ∞:

cos α2

=

cos α1

=

ρ = a ˆϕ

=

→ − → − ℓ • R2 (t, 0, 0) • (−t − 3, −4, 0) t2 + 3t q − =− = √ → 1, ℓ · R2 2 t · 25 + t2 t · (t + 3) + 42 → − → − 3 ℓ • R1 (t, 0, 0) • (−3, 4, 0) 3t → , − =− q = ℓ · R1 t · 5 5 2 t · (t + 3) + 42 → − → − ∥ ℓ × R 1∥ 4t = = 4, ℓ t → − → − ℓ × R1 4tˆ az →a ˆz , = → − → − 4t ∥ ℓ × R 1∥

As´ı, la ecuaci´ on (4.8) queda → − H2

=

3 4π (4)

3 1− (ˆ az ) = 23.873 a ˆz mA/m. 5

c) Luego, con las ecuaciones (4.10) y (4.10) se calcula → − → − → − H = H 1 + H 2 = 38.197 a ˆx + 28.648 a ˆy + 23.873 a ˆz mA/m.

(4.10)

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

188

z − → dH z

P (0, 0, h) •

− → dH ρ

→ − R ρ=

3

− → dℓ

x I

y

Figura 4.8: Espira circular.

4.1.2.

Campo magn´ etico de un circuito de corriente.

Ejercicio 4 (9.5). Una espira circular ubicada en x2 + y 2 = 9, z = 0 (ver figura 4.8) porta → − una corriente directa de 10 A. a lo largo de a ˆϕ . Determine H en (0, 0, 4) y (0, 0, −4). Respuesta: a) 0.36 a ˆz A/m, b) 0.36 a ˆz A/m.

Soluci´ on: utilizando Ley de Biot-savart → − H =

Z

→ − → − Id l × R , 4πR3

(4.11)

de la figura 4.8 → − → − − r =→ r (ϕ) = 3ˆ aρ , es el vector de posición de d ℓ . → − − d ℓ = d→ r = hϕ dϕˆ aϕ = ρdϕˆ aϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π. → − → − R = hˆ az − 3ˆ aρ , vector que empieza en la posición de d ℓ y termina en P (0, 0, h).

` 4.2. LEY CIRCUITAL DE AMPERE. R=

p

189

h2 + ρ2 .

luego, se obtiene el producto, → − → − dl ×R

=

ρdϕˆ aϕ × (hˆ az − ρˆ aρ ) = ρhdϕ (ˆ aϕ × a ˆz ) − ρ2 dϕ (ˆ aϕ × a ˆρ )

=

ρhdϕˆ aρ + ρ2 dϕˆ az ,

→ − → − en la figura 4.9 se observa como las l´ıneas de campo están asociadas a d ℓ × R , luego, la ecuaci´ on (4.11) queda → − H

2π

Z

Iρhˆ aρ + Iρ2 a ˆz

3 dϕ, 4π (h2 + ρ2 ) 2 Z 2π Z 2π Iρh Iρ2 a ˆz a ˆ dϕ + dϕ ρ 3/2 3/2 0 0 4π (h2 + ρ2 ) 4π (h2 + ρ2 )

=

0

= donde

R 2π 0

a ˆρ dϕ =

R 2π 0

→ − (cos ϕ a ˆx + sen ϕ a ˆy )dϕ = 0 , con lo cual,

→ − H =

Iρ2 a ˆ = a ˆ . z 3/2 3/2 z 4π (h2 + ρ2 ) 2 (h2 + ρ2 ) 2πIρ2

(4.12)

a) Para I = 10 A, ρ = 3m, h = 4m, → − H =

10 · 32 a ˆz = 0.36 a ˆz A/m. 2(42 + 32 )3/2

b) Si h = −4, es el mismo resultado, ya que → − H =

4.1.3.

4.2.

10 · 32 a ˆz = 0.36 a ˆz A/m. 2((−4)2 + 32 )3/2

El dipolo magn´ etico.

Ley circuital de Amp` ere.

Teorema 2 (Ley circuital de Ampère.). → − Establece que la integral de H a lo largo de un curva cerrada C es igual a la corriente encerrada por C, es decir, I → − → − H • d ℓ = Ienc . (4.13) C

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

190

→ − H

I

⃗ producidas por una espira de corriente Figura 4.9: L´ınea de flujo magnético H I. aplicando el teorema integral de Stokes a la ecuación precedente I ZZ → − → − → − → − Ienc = H •d ℓ = ∇ × H • dS C

s

utilizando la definici´ on de corriente eléctrica ZZ ZZ → − → − → − → − J • dS = ∇ × H • dS s

s

con lo cual, se obtiene Teorema 3 (La forma diferencial de la Ley de Ampère.). → − → − ∇×H = J.

4.2.1.

(4.14)

Campo magn´ etico de l´ıneas de corriente.

Ejercicio 5 (L´ınea infinita de corriente.). Considérese una l´ınea infinita de corriente, en la cual circula una corriente I como la que se muestra en la figura 4.10.

Soluci´ on: aplicando Ley de Ampére I → − → − I = H •d ℓ

` 4.2. LEY CIRCUITAL DE AMPERE.

191

z

I Trayectoria Amperiana → − H P ρ

y → − dℓ

I

x

Figura 4.10: L´ınea infinita de corriente.

→ − → − donde H = Hϕ a ˆϕ , d ℓ = hϕ dϕˆ aϕ = ρ dϕ a ˆϕ y 0 < ϕ < 2ϕ, con lo cual,

Z I=

Z Hϕ a ˆϕ • a ˆϕ ρdϕ = Hϕ ρ

dϕ = Hϕ · 2πρ, 0

de donde

H=

2π

I a ˆϕ . 2πρ

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

192 x

dz − · · · · · · · · · · · ·| · ·| · · · · · · · · · a

θ1

−

•

P

θ

|

z

θ2

z

|

××××××××××××××××××××××× | | ℓ Figura 4.11: Solenoide.

4.2.2.

Campo magn´ etico de solenoides.

Ejercicio 6 (9.7). Un solenoide de longitud ℓ y radio a consta de N vueltas de alambre portador de corriente I (ver figura 4.11). Demuestre que en el punto P a lo largo de su eje, → − nI (cos θ2 − cos θ1 )ˆ az , H = 2 donde n = N/ℓ, θ1 y θ2 son los ángulos subtendidos en P por las vueltas en el extremo, como se ilustra en la figura 4.11. Demuestre asimismo que si ℓ ≪ a, en el centro del solenoide, → − H = nI a ˆz . Respuesta: Demostraci´ on.

Soluci´ on: el campo magnético debido a 1 espira es: → − H =

Iρ2

a ˆ 3/2 z

2 (ρ2 + h2 )

(4.15)

para un elemento diferencial adimensional del solenoide, h → z, ρ → a → − dH =

Idℓa2

a ˆ 3/2 z

2 (a2 + z 2 )

(4.16)

donde dℓ es el n´ umero de vueltas por unidad de longitud n en el elemento

´ 4.3. LEY DE GAUSS MAGNETICA.

193

diferencial de longitud dz, n=

dℓ N = = cte, ℓ dz

de donde dℓ = ndz =

N dz, ℓ

con lo cual, la ecuaci´ on (4.16) queda Ia2 ndz

→ − dH =

3

2 (a2 + z 2 ) 2

a ˆz con z1 ≤ z ≤ z2 ,

integrando → − H =

Z

z2

z1

Ia2 ndz 2 (a2

+

ˆz = 3 a

z2) 2

Ia2 n 2

Z

z2

z1

dz (a2

3

+ z2) 2

a ˆz ,

a de la figura tan θ = CO CA = z y se propone el cambio de variable z = a cot θ, con el cual, dz = a csc2 θdθ, a2 + z 2 = a2 + a2 cot2 θ = a2 1 + cot2 θ = a2 csc2 θ, 3 a2 + z 2 2 = a3 csc3 θ y θ1 ≤ θ ≤ θ2 ; quedando la integral de la ecuación (4.16)

→ − H

= =

Z Z a csc2 θdθ Ia2 n θ2 1 In θ2 a ˆ = dθˆ a = sin θdθˆ az z z a3 csc3 θ 2a2 θ1 csc θ 2 θ1 θ1 θ2 In In ˆz = cos θ a (cos θ2 − cos θ1 ) a ˆz . − 2 2 θ1 Ia2 n 2

Z

θ2

Si ℓ >> a entonces cos θ2

→ cos (0) → 1,

cos θ1

→ cos (180) → −1,

luego → − In H = (1 − (−1)) a ˆz = nIˆ az . 2 ■

4.3. 4.3.1.

Ley de Gauss magn´ etica. Flujo y densidad de flujo magn´ etico.

→ − En analog´ıa a la densidad del flujo eléctrico D.

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

194

Definici´ on 2 (La densidad de flujo magnético). → − se relaciona con la intensidad de flujo magnético H como sigue → − → − B = µ◦ H ,

(4.17)

donde µ◦ es la llamada permeabilidad magnética en el vac´ıo, en unidades de henry/metro (H/m) es µ◦ = 4π × 10−7 H/m.

(4.18)

Definici´ on 3 (El flujo magnético). a través de una superficie S está dado por ZZ → − → − Ψ= B • dS ,

(4.19)

S

el flujo magnético Ψ está en webers (Wb) y la densidad de flujo magnético en wb/m2 ´ o teslas.

4.3.2.

Ley de Gauss.

→ − Las l´ıneas de flujo magnético son las trayectorias en las cuales B es tangen→ − cial en todos los puntos de un campo magnético, la dirección de B es indicada como norte por la aguja de una br´ ujula. Las l´ıneas de flujo magnético son cerradas, por lo cual, el flujo magnético está dado por ZZ → − → − Ψ = ⃝ B • d S = Qm = 0, (4.20) S

esto significa que no es posible tener polos magnéticos aislados, a la ecuación (4.20) se le como Ley de Gauss magn´ etica o de no existencia de monopolos. Aplicando el teorema integral de la divergencia a la ecuación (4.20) ZZZ → − ∇ • B dV = 0, V

del integrando se obtiene la forma diferencial de la Ley de Gauss magnético o de no existencia de monopolos. → − ∇ • B = 0. (4.21)

´ 4.3. LEY DE GAUSS MAGNETICA.

195

J

Figura 4.12: L´ıneas de flujo magnético debido a una corriente entrando saliendo de la p´ agina.

N

N

N

S N

S N

S N

S N

S

S

S

N S N S N S N S N S N S N S N S

Figura 4.13: Dividir la barra de un imán vara generando imanes con polaridad norte-sur, por lo cual, no es posible aislar los polos magnéticos.

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

196

4.4.

Potenciales magn´ eticos.

→ − En electrost´ atica se trabajo con el potencial eléctrico con la expresión E = −∇V , los campos magnetostáticos se relacionan con potenciales escalares Vm y → − vectoriales A de la siguiente manera ∇ × (∇V ) = 0, → − ∇ • ∇ × A = 0,

4.4.1.

(4.22) (4.23)

Potencial vectorial magn´ etico.

Definici´ on 4 (Potenciales vectorial magnéticos). → − Un campo magnetostático satisface ∇ • B = 0 (ecuación (4.21)), al mismo tiempo que la ecuación (4.23), de tal manera que l potencial → − vectorial magnético A se define como → − → − B = ∇ × A.

Por otro lado, de la Ley de Biot-Savart → − µ◦ B = 4π

ZZZ → − → − J dV × R , R3 V

(4.24)

→ − − − donde R = → r −→ r ′, ∇

1 R

d = dR

1 R

→ → − → − − 1 R R R =− 2 = − 3, R R R R

de tal manera, que la ecuación (4.24) puede escribirse como sigue ZZZ → − → − µ◦ 1 B =− J dV ′ × ∇ , 4π R ′ V → − → − → − utilizando la identidad ∇ × ϕ C = (∇ϕ) × C + ϕ∇ × C , con ϕ = se tiene que → −! → − → − J 1 1 ∇× =∇ × J + ∇× J, R R R → − → − → − → − → − sin embargo, como J = J J , ∇ × J = 0 , obteniéndose → − J ×∇

1 R

= −∇

1 R

→ − × J = −∇ ×

→ −! J , R

(4.25) 1 R

→ − → − y C = J,

´ 4.4. POTENCIALES MAGNETICOS.

197

as´ı pues, la ecuaci´ on (4.25) puede escribirse como sigue → − B =∇×

ZZZ V′

! → − µ◦ J dV ′ , 4πR

comparando, con la ecuaci´ on (4.23) se obtiene Teorema 4 (Potencial vectorial para distribuciones superficiales.). → − A =

ZZZ V

→ − µ◦ J dV 4πR

(4.26)

an´ alogamente se obtienen: Teorema 5 (Potencial vectorial para distribuciones lineales.). → − A =

→ − µ◦ Id ℓ 4πR

Z L

(4.27)

Teorema 6 (Potencial vectorial para distribuciones superficiales.). → − A =

ZZ S

→ − µ◦ K dS 4πR

(4.28)

Por otro lado, sustituyendo la ecuación (4.24) en la ecuación del flujo magnético → − → − B • dS =

ZZ Ψ= S

ZZ

→ − → − ∇ × A • dS

S

y luego del teorema de Stoke’s, se tiene otra expresión para Teorema 7 (Flujo de magnético.). I Ψ= L

→ − → − A •d ℓ

(4.29)

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

198

4.4.2.

Potencial escalar magn´ etico.

En analog´ıa con el potencial electrostático, se define el Definici´ on 5 (El potencial magnético escalar Vm ). → − → − → − H = −∇Vm si J = 0 ,

(4.30)

sustituyendo en la ley de Ampère en su forma diferencial, para campos magnetost´ aticos → − → − → − H = ∇ × H = ∇ × (−∇Vm ) = 0 , → − esto significa que Vm sólo se define en una región en la que J . Adem´ as, por la ley de Gauss magnética → − 0 = ∇ • H = ∇ • (−∇Vm ) = −∇2 Vm , es decir, ∇2 Vm = 0.

4.4.3.

(4.31)

Leyes del campo magnetost´ atico.

Teorema 8 (Las leyes para campos electromagnéticos estáticos.). → − ∇• D → − ∇• B → − ∇× E → − ∇×H

= ρV ,

(4.32)

=

(4.33)

0, → − = 0, → − = J.

(4.34) (4.35)

l

4.5. 4.5.1.

Fuerzas sobre cargas m´ oviles y corrientes. Fuerza el´ ectrica.

Definici´ on 6 (Fuerza eléctrica sobre una part´ıcula cargada.). → − → − F e = QE .

(4.36)

´ 4.5. FUERZAS SOBRE CARGAS MOVILES Y CORRIENTES.

4.5.2.

199

Fuerza magn´ etica.

Definici´ on 7 (Fuerza magnética sobre una part´ıcula cargada.). → − → − − F e = Q→ v × B.

4.5.3.

(4.37)

Fuerza de Lorentz.

Definici´ on 8 (Fuerza de Lorentz.). → → − − − → − Fe =Q E +→ v ×B .

4.5.4.

(4.38)

Fuerza entre corrientes.

− La fuerza sobre una part´ıcula cargada con velocidad → v está dada por la ecuaci´ on (4.37), es decir, → − → − − F e = Q→ v × B, considerando que en un elemento de corriente se tiene carga dQ moviéndose a − velocidad → v , se tiene una importante relación con los elementos de corriente, dada por → − → − → − − dQ→ v = Id ℓ = K dS = J dV, As´ı pues, se tiene que Teorema 9 (La fuerza sobre un elemento de corriente). → − dF → − dF → − dF

de tal manera, que la

→ − → − Id ℓ × B , → − → − = K dS × B , → − → − = J dV × B ,

=

(4.39) (4.40) (4.41)

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

200 y

→ − F◦

→ − B 1

→ − F◦

2

I

ℓ

4

⊙

→ − B

→ − F◦

w

w

→ − B

α

→ − B

3

a ˆn

⊗ → − F◦

Figura 4.14: a) Espira plana rectangular en un campo magnético uniforme; b) el capo magnético provoca un torque a la espira haciéndola girar.

Teorema 10 (La fuerza sobre distribuciones de corriente). se calcula como sigue → − F

Z =

→ − → − Id ℓ × B ,

ZLZ

→ − F

=

→ − → − K dS × B ,

Z ZSZ

→ − F

(4.42) (4.43)

→ − → − J dV × B .

=

(4.44)

V

4.6.

Medios magn´ eticos y condiciones en la frontera.

La torca o momento de torsión sobre una espira está dada por → − → − − τ =→ r × F, considérese una espira rectangular de longitud ℓ y ancho w en un campo magnéti→ − co B como se muestra en la fiegura 4.45, entonces la fuerza sobre la espira está dada por → − F =I

Z 4

1

→ − → − d ℓ × B +I

Z 1

2

→ − → − d ℓ × B +I

Z 2

3

→ − → − d ℓ × B +I

Z 3

4

→ − → − d ℓ × B,

´ 4.6. MEDIOS MAGNETICOS Y CONDICIONES EN LA FRONTERA. 201 → − → − las integrales de 1 a 2 y de 3 a 4 se anulan debido a que d ℓ y B son paralelos en esa regi´ on (ver figura 4.45), con lo cual, Z 1 Z 3 → − → → − → → − − − → − → − F =I d ℓ × B +I d ℓ × B = F 41 + F 23 , 4

2

→ − de la figura se observa que d ℓ tiene dirección contrario de 4 a 1 con respecto a la regi´ on de 2 a 3, haciendo que, de tal manera que → − → − F = 0. sin embargo este par de fuerza están aplicados a partes diferentes de la espira, por lo cual, se tiene un momento de torsión cuya magnitud es τ = F◦ w sin α = BIℓw sin α, n´ otese que el ´ area de la espira es s = ℓw, es decir, τ = BIS sin α, y se define Definici´ on 9 (El momento dipolar magnético). → − m = ISˆ an ,

(4.45)

con unidades de A/m2 .

de tal manera que el Definici´ on 10 (El momento de torsión de la espira). → − → − − τ =→ m × B.

(4.46)

con unidades de N·m.

Considérese una espira circular de radio a con una corriente I, como se muestra en la figura 4.15, de tal manera que el vector potencial magnético está dado por’ − I → → − µ◦ I dℓ A = , (4.47) 4π C R → − − − de la figura se tiene que: R = → r −→ r ′ = rˆ a −aˆ a′ , luego R2 = r2 +a2 −2raˆ a •ˆ a′ , r

ρ

r

ρ

como a ˆr = sin θ cos ϕˆ ax + sin θ sin ϕˆ ay + cos θˆ az y a ˆ′ρ = cos ϕ′ a ˆx + sin ϕ′ a ˆy , ′ ′ ′ entonces a ˆr • a ˆρ = sin θ cos ϕ cos ϕ + sin θ sin ϕ sin ϕ , con lo cual, −1/2 1 = r2 + a2 − 2ra sin θ cos ϕ cos ϕ′ − 2ra sin θ sin ϕ sin ϕ′ , R

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

202

P (r, θ, ϕ) •

z • P (r, θ, ϕ)

→ − r

→ − r

→ − R

θ y I

y → − r′

I ϕ

x

→ − dℓ

ϕ′ •

→ − dℓ

x

Figura 4.15: Espira circular plana y sistemas coordenado primado y no primado. de donde 1 1 = R r

1+

a a a2 − 2 sin θ cos ϕ cos ϕ′ − 2 sin θ sin ϕ sin ϕ′ r2 r r

−1/2 ,

para calcular, el potencial vectorial lejos de espira, es decir, considerando r ≫ a, n se puede utilizar el la aproximación del binomio de Newton (1 + x) ≃ 1 + nx, se tiene que 1 1 a2 a a ′ ′ ≃ 1 − 2 + sin θ cos ϕ cos ϕ + sin θ sin ϕ sin ϕ , R r 2r r r → − luego, la ecuaci´ on (4.47) con d ℓ = hϕ dϕ′ a ˆ′ϕ = adϕ′ (− sin ϕ′ a ˆx + cos ϕ′ a ˆy ) de 0 a 2πpuede escribirse como sigue Z → − µ◦ I 1 2π a a a2 A = 1 − 2 + sin θ cos ϕ cos ϕ′ + sin θ sin ϕ sin ϕ′ × 4π r 0 2r r r × (− sin ϕ′ a ˆx + cos ϕ′ a ˆy ) dϕ′ , R 2π R 2π R 2π considerando que 0 cos ϕ′ dϕ′ = 0 sin ϕ′ dϕ′ = 0 sin ϕ′ cos ϕ′ dϕ′ = 0, se tiene que Z → − µ◦ I a2 2π sin θ cos ϕ cos2 ϕ′ a ˆy − sin θ sin ϕ sin2 ϕ′ a ˆx dϕ′ , A = 2 4π r 0 es decir, Z 2π Z 2π → − µ◦ I a2 2 ′ ′ 2 ′ ′ A = sin θ cos ϕ cos ϕ dϕ a ˆy − sin θ sin ϕ sin ϕ dϕ a ˆx , 4π r2 0 0 R 2π R 2π como 0 cos2 ϕ′ dϕ′ = 0 sin2 ϕ′ dϕ′ = π entonces → − µ◦ I a2 sin θ A = (π cos ϕˆ ay − π sin ϕˆ ax ) , 4π r2

´ 4.6. MEDIOS MAGNETICOS Y CONDICIONES EN LA FRONTERA. 203 luego → − µ◦ Iπa2 sin θ (− sin ϕˆ ax + cos ϕˆ ay ) , A = 4πr2 es decir, → − µ◦ Iπa2 sin θ A = a ˆϕ , 4πr2

(4.48)

n´ otese que → − m

= ISˆ an = Iπa2 a ˆz ,

→ − m×a ˆr

= Iπa2 a ˆz × a ˆr = Iπa2 sin θˆ aϕ ,

luego

− → − µ◦ → m×a ˆr A = . 2 4πr que también puede escribirse como sigue

(4.49)

→ − µ◦ m sin θ a ˆϕ A = 4πr2 de donde hr a ∂ˆr → − 1 ∇× A = hr hθ hϕ ∂r hr Ar

hθ a ˆθ ∂ ∂θ

hθ Aθ

hϕ a ˆϕ 1 ∂ = ∂ϕ r2 sin θ hϕ Aϕ

a ˆ∂r ∂r 0

rˆ aθ

r sin θˆ aϕ

∂ ∂θ

∂ ∂ϕ m sin θ r sin θ µ◦4πr 2

0

simplificando → − ∇× A =

µ◦ m 4πr2 sin θ

a ˆ ∂r ∂r 0

rˆ aθ ∂ ∂θ

0

r sin θˆ aϕ ∂ ∂ϕ 2 sin θ r

luego → − ∇× A =

µ◦ m 4πr2 sin θ

" ∂ ∂θ 0

∂ ∂ϕ sin2 θ r

∂ ˆr − r ∂r a 0

∂ ∂ϕ sin2 θ r

∂ ˆθ + r sin θ ∂r a 0

desarrollando → − ∇× A =

2 µ◦ m ∂ sin θ ∂ sin2 θ → − a ˆ − r a ˆ + 0 , r θ 4πr2 sin θ ∂θ r ∂r r

es decir, → − ∇× A =

µ◦ m 2 sin θ cos θ sin2 θ a ˆr + a ˆθ , 4πr2 sin θ r r

factorizando y simplificando → − µ◦ m ∇× A = (2 cos θˆ ar + sin θˆ aθ ) , 4πr3

# a ˆ 0 ϕ

∂ ∂θ

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

204

n´ ucleo −

+ −

electrón

electrón

a)

b)

Figura 4.16: a) electr´ on girando alrededor del n´ ucleo; b) electrón girando sobre su propio eje (sp´ın).

4.6.1.

Magnetizaci´ on y permeabilidad.

Los materiales est´ an formados por átomos, cuyos electrones forman una nube electr´ onica de carga negativa alrededor de un n´ ucleo con carga positiva. Los electrones giran alrededor de sus propio ejes (sp´ın) que producen un campo magnético interno, debido al movimiento de los electrones alrededor del n´ ucleo y del sp´ın como se observa en la figura 4.47. → − Cuando un campo magnético B externo es aplicado a un material, los momentos magnéticos de los electrones se alinean con el dicho campo. El n´ umero de ´ atomos en un volumen ∆V. − → Definici´ on 11 (Magnetización M ). Sup´ onganse N ´ atomo en un volumen ∆V , de tal manera que cada átomo − → − tiene asociado el momento magnético → m k , define la magnetización M como momento de magnético dipolar de los átomos en el volumen V por unidad de volumen PN → − − → k=1 m k M = l´ım , (4.50) △V →0 △V

− → → − el medio est´ a magnetizado si M ̸= 0 en alguna región del medio el momento magnético del elemento diferencial △V está dado por − → − d→ m = M dV, de tal manera, que si el vector potencial de una espira circular plana dada en la ecuaci´ on, entonces el vector potencial magnético del elemento △V,se obtiene

´ 4.6. MEDIOS MAGNETICOS Y CONDICIONES EN LA FRONTERA. 205 → − B

→ − B

a)

→ − B

b)

Figura 4.17: Momento magnético de los electrones en un material: a) cuando → − → − B = 0; b) cuando un campo magnético externo B . − → − cambiando → m por M dV,es decir, − → → − → − µ◦ M × R dA = dV, 4πR3 → − → − − − sustituyendo la identidad RR3 = ∇′ R1 , donde R = → r −→ r ′ , con lo cual, ZZZ − → → − 1 µ◦ ′ M ×∇ A = dV, (4.51) 4π R → − → − → − utilizando la identidad vectorial ∇ × ϕ F = ∇ϕ × F + ϕ∇ × F , con ϕ = R1 − − → → − → → − − → y F = M se tiene que ∇ × R1 M = ∇ R1 × M + R1 ∇ × M ,de donde: − → M × ∇′

1 R

− → ∇×M = −∇× R

− →! M , R

que se sustituye en la ecuaci´ on (4.51) → − µ◦ A = 4π

ZZZ

ZZZ − → ∇×M µ◦ dV − ∇× R 4π

− →! M dV, R

aplicando el teorema integral en Gauss en la segunda integral, ZZZ ZZ − − → → → − µ◦ ∇×M µ◦ M •b an A = dV − dS, 4π R 4π R

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

206

comparando con el vector densidad de corriente y vector densidad de corriente − RRR → → − J superficial, utilizados para definir el vector potencial como A = µ4π◦ R dV y − RR → → − µ◦ K dS A = 4π R , se definen Definici´ on 12 (Densidad volumétrica de corriente por magnetización). o densidad volumétrica latente o ligada → − − → J b = ∇ × M,

(4.52)

Definici´ on 13 (Densidad superficial de corriente por magnetización). o densidad superficial latente o ligada → − − → Kb = M • b an ,

(4.53)

donde b an es un vector unitario y normal a la superficie del material.

En el vac´ıo

→ − → − ∇ × H = J f,

(4.54)

→ − mientras que en una material sujeto a un campo externo H , → −! → − → − → − B ∇× = J = Jf+ Jb µ◦ sustituyendo las ecuaciones (4.52) y (4.54) ∇×

→ −! → − − → B = ∇ × H + ∇ × M, µ◦

es decir, Definici´ on 14 (Densidad de flujo flujo magnético en un material). est´ a dada por → → − − − → B = µ◦ H + M ,

(4.55)

´ 4.6. MEDIOS MAGNETICOS Y CONDICIONES EN LA FRONTERA. 207 Definici´ on 15 (Suscetibilidad magnética de un material). relaciona el campo magnético externo con la magnetización inducida al material − → → − M = χm H . (4.56)

sustituyendo la ecuaci´ on (4.56) en la (4.55) se obtiene → → − − → − → − B = µ◦ H + χm H = µ◦ (1 + χm ) H y se define Definici´ on 16 (Permeabilidad magnética de un material). como la constante µ = µ◦ (1 + χm ) = µ◦ µr ,

(4.57)

de esta manera, se obtiene una relación entre el campo magnetico y la densidad magnética para un material, es decir, → − → − B = µ◦ µr H ,

(4.58)

de donde se obtiene Definici´ on 17 (Permeabilidad magnética relativa de un material). µr = 1 + χm =

µ µ◦

de donde Teorema 11 (Suscetibilidad magnética de un material). χm =

µ − 1. µ◦

208

´ CAPÍTULO 4. EL CAMPO MAGNETOSTATICO.

4.6.2.

Momento magn´ etico.

4.6.3.

Condiciones en la frontera.

4.7.

Energ´ıa y densidad de energ´ıa en materiales magn´ eticos.

4.8.

Inductancia e inductancia mutua.

Cap´ıtulo 5

Campos din´ amicos y ecuaciones de Maxwell. 5.1.

Ley de inducci´ on de Faraday.

Hasta ahora se han estudiado los campos electrostático, debido carga estáticas y los campos magnetost´ aticos que se deben a carga que se mueven a velocidad constante o bien a corrientes que no dependen del tiempo. Los campos variables en el tiempo se deben a cargas aceleradas, a corrientes variables en el tiempo como las que se muestran en la figura. Biot Savart y Ampère basaron sus leyes en el experimento de Oersted: de que una corriente estacionaria produce un campo magnético. Once a˜ nos después, Faraday en Londres y Joseph Henry en Nueva York descubrieron que un campo magnético variable en el tiempo produce una corriente eléctrica. Definici´ on 1 (Ley de Faraday). Faraday descubri´ o que un campo variable en el tiempo , inducia un voltaje (fuerza electromotriz inducida) en un circuito cerrado es igual a la rapidez de cambio del eslabonamiento de flujo magnético (flujo magnético a travez de una espira de N vueltas). Vf em = −

dλ dΨ = −N , dt dt

(5.1)

donde N es el n´ umero de vueltas en el circuito y Ψ el flujo a través de cada una de ellas. el signo negativo indica que el voltaje inducido genera una corriente que por ley de Ampère produce un campo magnético que se opone al campo magnético original.

209

´ 210CAPÍTULO 5. CAMPOS DINAMICOS Y ECUACIONES DE MAXWELL.

a)

b)

c) Figura 5.1: Corrientes variables en el tiempo a) sinosoidal; b) rectangular; c) triangular.

I

P•

→ − N Ee

N J

J

N J

J

+ + → − ∆V E f em

→ − Ee

N

N

N

R

− − J

J N

J N→ − Ee

J N

Q• Figura 5.2: Se aplica un campo magnético variable en el tiempo creciente saliendo de la p´ agina (en color azul), provoca un voltaje inducido Vf em que genera una corriente I, con una dirección tal (Ley de Lenz) que el campo magnético inducido (en color naranja) tiene dirección contraria al campo magnético original.

´ DE FARADAY. 5.1. LEY DE INDUCCION

211

Considérese un circuito cerrado como el de la figura 5.2, Faraday descubrió que → − en la bater´ıa se genera campo eléctrico inducido E f em producido por fuerza electromotriz debido a la acci´ on electroqu´ımica de la bater´ıa, este campo provoca acumulaci´ on de carga eléctrica, que a su vez genera un campo electrostático → − E e = −∇V . el campo eléctrico en cualquier punto es → − → − → − E = E f em + E e (5.2) → − → − → − Cabe hacer notar E f es de cero fuera de la bater´ıa, E f y E e siguen direc→ − ciones opuesta dentro de ésta y la dirección de E e en la bater´ıa es contrar´ıa a la que sigue dentro de ella. Si se integra la ecuación (5.2) sobre el circuito cerrado, I I I → − → − → − → − → − → − E •d ℓ = Ef • d ℓ + Ee • d ℓ , L

L

L

H → → − → − − como E e es un campo conservativo L E e • d ℓ = 0, es decir, I I Z P → − → − → − → − → − → − E •d ℓ = E f em • d ℓ = E f wm • d ℓ , L

L

N

luego, la fuerza electromotriz de la bater´ıa es la integral de l´ınea del campo producido por esa fuerza; es decir, Z P → − → − Vf em = E f • d ℓ = IR, N

→ − → − como E f y E e son iguales pero contrarios dentro de la bater´ıa (figura 5.2). Esto también podr´ıa interpretarse como la diferencia de potencial (VP − VN ) entre las terminales de la bater´ıa en circuito abierto. Nótese que H → → − − → − 1. L E e • d ℓ = 0, con lo cual, E e es conservativo. H → → − − → − 2. L E f em • d ℓ = IR ̸= 0,es decir, E f em no es conservativo. Una vez analizada la relaci´ on entre fuerza electromotriz y campo eléctrico, examinaremos ahora la relaci´ on entre los campos eléctrico y magnético en el marco de la Ley de Faraday. En el cado de un circuito con una vuelta (N = 1), la ecuaci´ on (5.1) se convierte en Vf em = −

dΨ . dt

(5.3)

→ − → − En términos de E y B , la ecuaci´ on (5.3) puede expresarse como I ZZ → − → − → − → − d Vf em = E •d ℓ =− B • dS , (5.4) dt L S RR → − → − donde, Ψ = S B •d S , es el llamado flujo magnético de través de una superficie S acotada por la espira, la variación de tiempo de flujo de campo magnético, puede deberse a:

´ 212CAPÍTULO 5. CAMPOS DINAMICOS Y ECUACIONES DE MAXWELL. → − B (t) creciente

I

→ − dℓ − +

Figura 5.3: Fuerza electromotriz inducida debida a una espira estacionaria en un campo variable en el tiempo. → − 1. Una espira estacionaria en un campo B variable en el tiempo. → − 2. Una espira de ´ area variable en el tiempo en un campo B estático. 3. Una espira de ´ area variable en el tiempo en un campo.

5.1.1.

Circuito m´ ovil en un campo estacionario.

En la figura 5.3, una espira conductora estacionaria se ubica en campo → − magnético B variable en el tiempo, con lo cual, la ecuación (5.4) se convierte en I ZZ ZZ → − → − → − → − → − → − d ∂B Vf em = E •d ℓ =− B • dS = − • dS . dt ∂t L S S A esta fuerza electromotriz inducida por una corriente variable en el tiempo → − (debido al B variable en el tiempo) en una espira estacionaria se le llama fuerza electromotriz est´ atica, o de transformador en análisis de potencia, ya que se debe a la acci´ on de un transformador. Luego, se aplica el teorema integral de Stokes ZZ ZZ → − − → − → − → ∂B • dS , (5.5) ∇× E •d ℓ =− S S ∂t igualando los integrandos

→ − → − ∂B ∇× E =− . ∂t

(5.6)

´ Esta es una de las ecuaciones de Maxwell, debido a no existencia de monopolos magnéticos → − ∇ • B = 0,

` 5.2. LEY DE AMPERE-MAXWELL.

213

→ − → − → − esto significa que existe un vector potencial A , tal que B = ∇ × A , de tal manera que la ecuaci´ on (5.6) queda → − → − → − ∂A ∂∇ × A = −∇ × , ∇× E =− ∂t ∂t con lo cual, el campo eléctrico puede escribirse de la siguiente manera → − → − ∂A E = −∇V − , ∂t que ya que no es un campo conservativo.

5.1.2.

Circuito estacionario en un campo variable.

5.1.3.

Circuito m´ ovil en un campo estable.

5.2.

Ley de Amp` ere-Maxwell.

5.2.1.

Corriente de desplazamiento.

5.2.2.

Reformulaci´ on de la ley circuital de Amp` ere.

5.3.

Ecuaciones de Maxwell.

5.3.1.

Forma integral.

5.3.2.

Forma diferencial.

´ 214CAPÍTULO 5. CAMPOS DINAMICOS Y ECUACIONES DE MAXWELL.

Ap´ endice A

Coordenadas curvil´ıneas.

A.1.

Factores de escala.

Definici´ on 1 (Ecuaciones de Transformación.).

x

= x(u1 , u2 , u3 ),

y

= y(u1 , u2 , u3 ),

z

=

z(u1 , u2 , u3 ),

para k = 1, 2, 3 se definen los vectores unitarios curvil´ıneos − r 1 ∂→ , hk ∂uk

(A.1)

→ ∂− r hk = . ∂uk

(A.2)

a ˆk = junto con sus factores de escala

215

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

216

Z z• x = ρ cos ϕ •

x = ρ sen ϕ z=z z

x

ϕ ρ

X

y

Y

•

Figura A.1: Coordenadas Cil´ındricas.

Definici´ on 2 (Ecuaciones de Transformación.).

x

= x(u1 , u2 , u3 ),

y

= y(u1 , u2 , u3 ),

z

= z(u1 , u2 , u3 ),

para k = 1, 2, 3 se definen los vectores unitarios curvil´ıneos − r 1 ∂→ , hk ∂uk

(A.3)

→ ∂− r hk = . ∂uk

(A.4)

a ˆk = junto con sus factores de escala

A.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS

217

A.2.

Coordenadas Cil´ındricas

A.2.1.

Factores de escala para Cil´ındricas.

Teorema 1 (Coordenadas Cil´ındricas.).

x =

ρ cos ϕ,

y

=

ρ sen ϕ,

z

=

z.

tiene factores de escala hρ = 1,

hϕ = ρ,

hz = 1.

(A.5)

y vectores unitarios curvil´ıneos a ˆρ

=

cos ϕ a ˆx + sen ϕ a ˆy ,

a ˆϕ

= − sen ϕ a ˆx + cos ϕ a ˆy ,

(A.7)

a ˆz

= a ˆz .

(A.8)

Demostraci´ on: se parte del vector → − r = xa ˆx + y a ˆy + z a ˆz = ρ cos ϕ a ˆx + ρ sen ϕ a ˆy + z a ˆz . Con el cual, se calculan − ∂→ r ∂ρ − ∂→ r ∂ϕ − ∂→ r ∂z

=

cos ϕ a ˆx + sen ϕ a ˆy ,

= −ρ sen ϕ a ˆx + ρ cos ϕ a ˆy , = a ˆz ,

de donde =

p

cos2 ϕ + sen2 ϕ = 1,

hϕ

=

p

ρ2 sen2 ϕ + ρ2 cos2 ϕ =

hz

=

hρ

√

12 = 1.

p ρ2 (sen2 ϕ + cos2 ϕ) = ρ,

(A.6)

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

218

Igual que en C. cil´ındricas. x = ρ cos ϕ y = ρ sen ϕ z=z Pero ρ = r sen θ, z = r cos θ, ⇒ x = r sen θ cos ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ.

Z

z• • θ x

z ρ

ϕ y

X

Y

Figura A.2: Coordenadas Cil´ındricas. con lo cual a ˆρ

=

a ˆϕ

=

a ˆz

=

− 1 ∂→ r = cos ϕ a ˆx + sen ϕ a ˆy , hρ ∂ρ − 1 ∂→ r = − sen ϕ a ˆx + cos ϕ a ˆy , hϕ ∂ϕ − 1 ∂→ r =a ˆz . hz ∂z

Teorema 2 (Coordenadas Esféricas).

x

= r sen θ cos ϕ,

y

= r sen θ sen ϕ,

z

= r cos θ.

tiene factores de escala hr = 1,

hθ = r,

hϕ = r sen ϕ.

(A.9)

y vectores unitarios curvil´ıneos a ˆr

=

sen θ cos ϕ a ˆx + sen θ sen ϕ a ˆy + cos θ a ˆz ,

(A.10)

a ˆθ

=

r cos θ cos ϕ a ˆx + r cos θ sen ϕ a ˆy − r sen θ a ˆz ,

(A.11)

a ˆϕ

=

− sen ϕ a ˆx + cos ϕ a ˆy .

(A.12)

Demostraci´ on: se parte del vector → − r = r sen θρ cos ϕ a ˆx + r sen θ sen ϕ a ˆy + r cos θ a ˆz .

A.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS Con el cual, se calculan

− ∂→ r ∂r − ∂→ r ∂θ − ∂→ r ∂ϕ

=

sen θ cos ϕ a ˆx + sen θ sen ϕ a ˆy + cos θ a ˆz ,

=

r cos θ cos ϕ a ˆx + r cos θ sen ϕ a ˆy − r sen θ a ˆz ,

=

−r sen θ sen ϕ a ˆx + r sen θ cos ϕ a ˆy ,

de donde

=

p

=

p

sen2 θ cos2 ϕ + sen2 θ sen2 ϕ + cos2 θ p sen2 θ(cos2 ϕ + sen2 ϕ) + cos2 θ = sen2 ϕ + cos2 ϕ = 1,

=

p

r2 cos2 θ cos2 ϕ + r2 cos2 θ sen2 ϕ + r2 sen2 θ

=

p

r2 cos2 θ(cos2 ϕ + sen2 ϕ) + r2 sen2 θ

=

p

r2 (cos2 ϕ + sen2 ϕ) = r,

=

p

r2 sen2 θ sen2 ϕ + r2 sen2 θ cos2 ϕ

=

p

r2 sen2 θ(sen2 ϕ + cos2 ϕ) = r sen θ.

a ˆr

=

a ˆθ

=

a ˆϕ

=

hr hθ

hϕ

con lo cual

− 1 ∂→ r = sen θ cos ϕ a ˆx + sen θ sen ϕ a ˆy + cos θ a ˆz , hr ∂r − 1 ∂→ r = cos θ cos ϕ a ˆx + cos θ sen ϕ a ˆy − sen θ a ˆz , hθ ∂θ − 1 ∂→ r = − sen ϕ a ˆx + cos ϕ a ˆy . hϕ ∂ϕ

219

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

220

A.3.

Ortonormalidad y orientaci´ on derecha.

Definici´ on 3 (Sistema ortonormal con orientación derecha.). Dado una base de vectores unitarios curvil´ıneos a ˆ1 , a ˆ2 , a ˆ3 entonces es una base ortonormal si a î • a ˆj = δij , donde δij se llama delta de Kronecker 1 si i = j δij = . 0 si i ̸= j Se dice que la base tiene orientaci´ on derecha si a î × a ˆj = a ˆk , donde {ijk} es una permutación positiva de {123}.

Teorema 3 (Ortonormalidad.). El conjunto {ˆ aρ , a ˆϕ , a ˆz } es un conjunto ortonormal.

Demostraci´ on: por cálculo directo a ˆρ • a ˆϕ

=

(cos ϕ, sin ϕ, 0) • (− sin ϕ, cos ϕ, 0)

=

− cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ = 0

a ˆϕ • a ˆz

=

(− sin ϕ, cos ϕ, 0) • (0, 0, 1) = 0

a ˆz • a ˆρ

=

(0, 0, 1) • (cos ϕ, sin ϕ, 0) = 0

a ˆρ • a ˆρ

=

(cos ϕ, sin ϕ, 0) • (cos ϕ, sin ϕ, 0) = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

a ˆϕ • a ˆϕ

=

(− sin ϕ, cos ϕ, 0) • (− sin ϕ, cos ϕ, 0) sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1

a ˆz • a ˆz

=

(0, 0, 1) • (0, 0, 1) = 1 ■

Teorema 4 (Ortonormalidad.). La base {ˆ ar , a ˆθ , a ˆϕ } es ortonormal.

´ DERECHA. A.3. ORTONORMALIDAD Y ORIENTACION

221

Demostraci´ on: por c´ alculo directo a ˆr • a ˆθ

a ˆθ • a ˆϕ

=

(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) • (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ)

= =

sin θ cos θ cos2 ϕ + sin θ cos θ sin2 ϕ − cos θ sin θ = sin θ cos θ cos2 ϕ + sin2 ϕ − cos θ sin θ = 0

=

(cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) • (− sin ϕ, cos ϕ, 0)

= − cos θ cos ϕ sin ϕ + cos θ cos ϕ sin ϕ = 0 a ˆϕ • a ˆr

=

(− sin ϕ, cos ϕ, 0) • (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)

a ˆr • a ˆr

=

(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) • (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)

=

= − sin θ cos ϕ sin ϕ + sin θ sin ϕ cos ϕ = 0.

a ˆθ • a ˆθ

a ˆϕ • a ˆϕ

=

sin2 θ cos2 ϕ + sin2 θ sin2 ϕ + cos2 θ sin2 θ cos2 ϕ + sin2 ϕ + cos2 θ = 1

=

(cos θ cos ϕ, cos θ cos ϕ, − sin θ) • (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ)

= =

cos2 θ cos2 ϕ + cos2 θ sin2 ϕ+ sin2 θ cos2 θ cos2 ϕ + sin2 ϕ + sin2 θ = 1

=

(− sin ϕ, cos ϕ, 0) • (− sin ϕ, cos ϕ, 0) sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1

■

Teorema 5 (Sistema derecho.). El conjunto {ˆ aρ , a ˆϕ , a ˆz } es un sistema derecho.

Demostraci´ on: por c´ alculo directo

a ˆρ × a ˆϕ

a ˆy a ˆz sin ϕ 0 = cos ϕ 0 cos ϕ 0 sin ϕ 0 a = a ˆ − ˆ cos ϕ 0 x − sin ϕ 0 y cos ϕ sin ϕ a + ˆ − sin ϕ cos ϕ z → − → − = 0 − 0 + cos2 ϕ + sin2 ϕ a ˆz = a ˆz a ˆx cos ϕ − sin ϕ

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

222

×

×

a ˆz

a ˆρ

a ˆϕ

×

Figura A.3: producto vectorial en coordenadas cil´ındricas.

a ˆϕ × a ˆz

a a ˆy a ˆz ˆx = − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 − sin ϕ cos ϕ 0 a ˆ − = 0 0 1 x − sin ϕ cos ϕ a ˆ + 0 0 z =

a ˆz × a ˆρ

=

= =

0 1

a ˆy

cos ϕˆ ax + sin ϕˆ ay + (0) a ˆz = a ˆρ

a a ˆy a ˆz ˆx 0 0 1 cos ϕ sin ϕ 0 0 1 ˆx − sin ϕ 0 a

0 cos ϕ

1 0

0 a ˆy + cos ϕ

− sin ϕˆ ax + cos ϕˆ ay + (0) a ˆz = a ˆϕ . ■

a ˆρ × a ˆϕ

= a ˆz ,

a ˆϕ × a ˆz

=

a ˆρ ,

a ˆz × a ˆρ

=

a ˆϕ ,

0 a ˆ sin ϕ z

´ DERECHA. A.3. ORTONORMALIDAD Y ORIENTACION

223

Teorema 6 (Sistema Derecho). El Sistema {ˆ ar , a ˆθ , a ˆϕ } tiene orientación derecha.

Demostraci´ on: por c´ alculo directo

a ˆr × a ˆθ

=

a ˆx a ˆy a ˆz sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ sin θ cos ϕ cos θ sin θ sin ϕ cos θ a ˆ a ˆ − cos θ sin ϕ − sin θ x cos θ cos ϕ − sin θ y sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ a ˆ . + cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ z − sin2 θ sin ϕ − cos2 θ sin ϕ a ˆx − − sin2 θ cos ϕ − cos2 θ cos ϕ a ˆy

=

+ (sin θ cos θ cos ϕ sin ϕ − cos θ sin θ cos ϕ sin ϕ) a ˆz → − 2 2 2 2 − sin ϕ sin θ + cos θ a ˆx + cos ϕ sin θ + cos θ a ˆy + 0

=

− sin ϕˆ ax + cos ϕˆ ay = a ˆϕ .

=

=

a ˆθ × a ˆϕ

=

=

a ˆx a ˆy a ˆz cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ − sin ϕ cos ϕ 0 cos θ sin ϕ − sin θ cos θ cos ϕ a ˆx − cos ϕ 0 − sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ a + ˆz − sin ϕ cos ϕ

− sin θ ˆy a 0

=

(sin θ cos ϕ) a ˆx − (− sin θ sin ϕ) a ˆy + cos θ cos2 ϕ + cos θ sin2 ϕ a ˆz 2 2 sin θ cos ϕˆ ax + sin θ sin ϕˆ ay + cos θ cos ϕ + sin ϕ a ˆz

=

sin θ cos ϕˆ ax + sin θ sin ϕˆ ay + cos θˆ az = a ˆr .

=

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

224

×

×

a ˆϕ

a ˆr

a ˆθ

×

Figura A.4: producto vectorial en coordenadas cil´ındricas.

a ˆϕ × a ˆr

=

=

a ˆx a ˆy a ˆz − sin ϕ cos ϕ 0 sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ − sin ϕ cos ϕ 0 ˆx − sin θ sin ϕ cos θ a sin θ cos ϕ − sin ϕ cos ϕ a ˆ + sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ z

0 a ˆ cos θ y

=

(cos θ cos ϕ) a ˆx − (− cos θ sin ϕ) a ˆy + − sin θ sin2 ϕ − sin θ cos2 ϕ a ˆz 2 2 cos θ cos ϕˆ ax + cos θ sin ϕˆ ay − sin θ sin ϕ + cos ϕ a ˆz

=

a ˆθ .

=

■

es decir, a ˆr × a ˆθ

= a ˆϕ ,

a ˆθ × a ˆϕ

=

a ˆr ,

a ˆϕ × a ˆr

=

a ˆθ ,

A.4. ELEMENTOS DIFERENCIALES.

A.4.

Elementos diferenciales.

A.4.1.

diferenciales de l´ınea

Teorema 7 (Diferencial de Arco.). En un sistema curvil´ıneo {ui , uj , uk } si ui , uj son constantes, entonces − el vector → r (uk ) es la ecuaci´ on vectorial de una curva en el espacio, tal que − d→ r − duk . d→ r = duk con diferencial de arco − ds = ∥d→ r ∥ = hk duk .

Demostraci´ on: por definici´ on − d→ r − d→ r = duk duk de donde

→

d− r → −

duk = hk duk

ds = ∥d r ∥ = duk ■

Ejercicio 1 (1: Semi-recta saliendo perperdicular del eje Z.). Si ϕ = 110◦ , z = 3, ver figura A.5 → − r

=

ρa ˆρ + zˆ az = ρ a ˆρ + 3ˆ az , con ϕ = 110◦

hρ

=

1.

− d→ r

=

entonces

ds =

hρ a ˆρ dρ = dρ a ˆρ con ϕ = 120◦ , hρ dρ = dρ.

225

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

226

Z 3

110◦

X

Y

Figura A.5: Semirecta normal al eje z. Z

z=3

r=3

X

Y

Figura A.6: Circunferencia horizontal de radio 3.

Ejercicio 2 (2: C´ırculo horizontal.). Si ρ = 3, z = 3 ver figura A.6 → − r

=

ρa ˆρ + zˆ az = 3 a ˆρ + 3ˆ az ,

hϕ

=

ρ.

Entonces − d→ r

= hϕ a ˆϕ dϕ = ρ a ˆϕ dϕ = 3 dϕ a ˆϕ ,

ds = hϕ dϕ = 3 dϕ.

A.4. ELEMENTOS DIFERENCIALES.

227

Z z=3

r=3

110◦

X

Y

Figura A.7: Segmento de recta paralela al eje z.

Ejercicio 3 (3: L´ınea paralela al eje Z.). Si ρ = 3, ϕ = 110◦ ver figura A.7 → − r

=

hz

= 1.

ρa ˆρ + zˆ az = 3 a ˆρ + z a ˆz ,

Entonces − d→ r

= hz a ˆz dz = a ˆz dz

ds = hz dz = dz.

− − Ejercicio 4 (Curva 4: L´ınea saliendo de origen → r =→ r (r)). Si θ = 53.1◦ , ϕ = 60◦ ver la figura A.8. → − r

= ra ˆr ,

hr

=

1.

Entonces − d→ r

=

ds =

hr a ˆr dr = dr a ˆr , dr.

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

228

Z

z•

• θ z

x ρ

ϕ y

X

Y

Figura A.8: L´ınea saliendo del origen. − − Ejercicio 5 (Curva 5: Arco vertical → r =→ r (θ).). Si ϕ = 60◦ , r = 5 ver figura A.9 → − r

= ra ˆr = 5 a ˆr ,

hθ

= r = 5,

Entonces − d→ r

=

ds =

hθ a ˆθ dθ = r a ˆθ dθ = 5 dθ a ˆθ , hθ dθ = rdθ = 5dθ.

− − Ejercicio 6 (Curva 6: C´ırculo horizontal → r =→ r (ϕ).). Si θ = 53.1◦ , r = 5 ver la figura A.10 → − r

=

ra ˆr = 5 a ˆr ,

hϕ

=

r sen θ = r sen 53.1◦ .

Entonces − d→ r

= hϕ a ˆϕ dϕ = r sen θ a ˆϕ dϕ, = 5 sen 53.1◦ dϕ a ˆϕ ,

ds = hϕ dϕ = r sen θdϕ = 5 sen 53.1◦ dϕ.

A.4. ELEMENTOS DIFERENCIALES.

229

Z

z•

• θ z

x ρ

ϕ y

X

Y

Figura A.9: Arco vertical.

Z

z•

• θ z

x

X

ρ

ϕ y

Figura A.10: C´ırculo horizontal.

Y

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

230

A.4.2.

Diferenciales de superficie.

Teorema 8 (Diferencial de Superficie.). En un sistema curvil´ıneo ui , uj , uk ortonormal con orientación derecha, − si uk = cte, entonces el vector → r (ui , uj ) es la ecuación vectorial de una superficie en R3 con diferencial de superficie → − d S = hi hj dui duj a ˆk , de donde dS = hi hj dui duj .

Demostraci´ on: por definición → − dS

=

− − d→ r d→ r × dui duj = hi hj a î × a ˆj dui duj = hi hj dui duj a ˆk , dui duj

de donde dS = hi hj ∥ˆ ak ∥dui duj = hi hj dui duj ■

Ejercicio 7 (Superficie 1: cilindro vertical ρ = 3.).

→ − r ρ

= ρa ˆρ + zˆ az = 3 a ˆρ + zˆ az , =

3,

hϕ = ρ = 3,

hz = 1.

Entonces → − dS dS Ver figura A.11.

= hϕ hz a ˆρ dϕdz = ρ a ˆρ dϕdz = 3 dϕdz a ˆρ , = ρ dϕdz = 3 dϕdz = 3 dϕdz = 3 dϕdz.

A.4. ELEMENTOS DIFERENCIALES.

231

Z → − dS

X

Y Figura A.11: Superficie cil´ındrica.

Ejercicio 8 (Superficie 2: Plano vertical ϕ = 110◦ .).

→ − r ϕ

= ρa ˆρ + zˆ az , =

110◦ ,

hρ = 1,

hz = 1.

Entonces → − dS dS Ver figura A.12.

= ±hρ hz a ˆϕ dρdz = ±ˆ aϕ dρdz = hρ hz dρdz = dρdz.

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

232

Z → − dS

X

Y Figura A.12: Superficie cil´ındrica.

Ejercicio 9 (Diferencial de Superficie z = 4.).

→ − r

= ρa ˆρ + zˆ az ,

hρ → − r

=

1,

hϕ = ρ

z = 4,

= ρa ˆρ + 4ˆ az .

Entonces → − dS dS Ver figura A.13.

= ±hρ hϕ a ˆz dρdϕ = ±ρ a ˆz dρdϕ = hρ hz dρdϕ = ρdρdϕ.

A.4. ELEMENTOS DIFERENCIALES.

233

Z

X

Y Figura A.13: Superficie cil´ındrica.

Ejercicio 10 (Superficie r = 5.).

→ − r r hθ

= ra ˆr , =

5,

= r, hϕ = r sen θ.

Entonces → − dS dS

=

hθ hϕ a ˆr dθdϕ = r2 sen θ a ˆr dθdϕ = 52 sen θ a ˆr dθdϕ

= 25 sen θ a ˆr dθdϕ.

Ver figura A.14.

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

234

Z

z•

• θ z

x ρ

ϕ y

X

Figura A.14: Semiesfera.

Ejercicio 11. Superficie θ = 53.1◦ . → − r θ hr

=

ra ˆr ,

= 53.1◦ , = 1, hϕ = r sen θ.

Entonces → − dS

=

hr hϕ a ˆθ drdϕ = r sen(53.1) a ˆθ drdϕ,

dS

=

sen(53.1)rdrdϕ.

Ver figura A.15.

Y

A.4. ELEMENTOS DIFERENCIALES.

235

Z

z•

• θ

z

x ϕ ρ

y

X

Y

Figura A.15: Cono θ = 53.1◦ .

Ejercicio 12 (Superficie ϕ = 60◦ .).

→ − r

= ra ˆr ,

ϕ

=

60◦ ,

hr

=

1, hθ = r.

Entonces → − dS dS

=

hr hθ a ˆϕ drdθ = r a ˆϕ drdθ,

= rdrdθ.

Ver figura A.16.

A.4.3.

Diferenciales de volumen.

Teorema 9 (Diferencial de Volumen). dV = h1 h2 h3 du1 du2 du3

´ APENDICE A. COORDENADAS CURVILÍNEAS.

236

Z

z• − → dS

• θ z x ϕ

ρ

y

X

Y

Figura A.16: semiplano saliendo del eje z. Demostraci´ on: por definición ∂y ∂z ∂x ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂x ∂y ∂z dv = ∂u ∂u2 du1 du2 du3 2 ∂x2 ∂u ∂y ∂z ∂u ∂u3 ∂u3 3 → → − ∂− r ∂− r ∂→ r = du1 du2 du3 , • × ∂u1 ∂u2 ∂u3 = |h1 a ˆ1 • (h2 a ˆ2 × h3 a ˆ3 )| du1 du2 du3 , =

h1 h2 h3 |ˆ a1 • (ˆ a2 × a ˆ3 )| du1 du2 du3 ,

=

h1 h2 h3 |ˆ a1 • a ˆ1 | du1 du2 du3 = h1 h2 h3 du1 du2 du3 . ■

Ejercicio 13 (Diferencial de Volumen.). dV = hρ hϕ hz dρdϕdz = (1)(ρ)(1)dρdϕdz = ρdρdϕdz.

Ejercicio 14 (Diferencial de Volumen.).

dV = hr hθ hϕ drdθdϕ = (1)(r)(r sen θ)drdθdϕ = r2 sen θdrdθdϕ.

Ap´ endice B

Operadores diferenciales. B.1.

Gradiente.

Teorema 1 (Gradiente en Coordenadas Curvil´ıneas.). ∇V =

1 ∂V 1 ∂V 1 a ˆ1 + a ˆ2 + a ˆ3 . h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3

(B.1)

Demostraci´ on: por definici´ on, en coordenadas cartesianas ∇V =

∂V ∂V ∂V a ˆx + a ˆy + a ˆz , ∂x ∂y ∂z

(B.2)

como V = V (u1 , u2 , u3 ), se multiplica escalarmente, la ecuación (B.2) por a ˆ1 ∇V • a ˆ1 = ∂x como a ˆ1 = h11 ∂u a ˆx + 1 escribirse como

∇V • a ˆ1

∂V ∂V ∂V a ˆx • a ˆ1 + a ˆy • a ˆ1 + a ˆz • a ˆ1 , ∂x ∂y ∂z

1 ∂y ˆy h1 ∂u1 a

= =

+

1 ∂z ˆz h1 ∂u1 a

(B.3)

entonces la ecuación (B.3) puede

∂V 1 ∂x ∂V 1 ∂y ∂V 1 ∂z + + ∂x h1 ∂u1 ∂y h1 ∂u1 ∂z h1 ∂u1 ∂V ∂y ∂V ∂z 1 ∂V ∂x + + h1 ∂x ∂u1 ∂y ∂u1 ∂z ∂u1

usando regla de la cadena ∇V • a ˆ1 =

1 ∂V , h1 ∂u1

(B.4)

− − − luego, como {→ u 1, → u 2, → u 3 } es una base ortonormal, entonces ∇V = (∇V • a ˆ1 ) a ˆ1 + (∇V • a ˆ2 ) a ˆ2 + (∇V • a ˆ1 ) a ˆ3 , 237

(B.5)

´ APENDICE B. OPERADORES DIFERENCIALES.

238

entonces se sustituye la ecuación (B.4) y sus análogos en la (B.5) ∇V =

1 ∂V 1 ∂V 1 ∂V a ˆ1 + a ˆ2 + a ˆ3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 ■

B.2.

Divergencia.

Teorema 2 (Divergencia en coordenadas curvil´ıneas.).

→ − ∇• A =

1 ∂ (h2 h3 A1 ) ∂ (h1 h3 A2 ) ∂ (h1 h2 A3 ) + + . h1 h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3

(B.6)

Demostraci´ on: como se sabe → − A = A1 a ˆ 1 + A2 a ˆ 2 + A3 a ˆ3 , con lo cual, → − ∇ • A = ∇ • (A1 a ˆ1 ) + ∇ • (A2 a ˆ2 ) + ∇ • (A3 a ˆ3 ) , → − → − → − utilizando la propiedad ∇ • ϕ B = ∇ϕ • B + ϕ∇ • B , se tiene que → − ∇ • A = ∇A1 • a ˆ 1 + A1 ∇ • a ˆ1 +∇A2 • a ˆ 2 + A2 ∇ • a ˆ2 +∇A3 • a ˆ 3 + A3 ∇ • a ˆ3 , en coordenadas curvili´ıneas ∇Ak = con lo cual, → − ∇• A

=

a ˆ1 ∂Ak h1 ∂u1

+

a ˆ2 ∂Ak h2 ∂u2

+

a ˆ3 ∂Ak h3 ∂u3

para k = 1, 2, 3,

1 ∂A1 + A1 ∇ • a ˆ1 h1 ∂u1 1 ∂A2 + + A2 ∇ • a ˆ2 h2 ∂u2 1 ∂A3 + + A3 ∇ • a ˆ3 , h3 ∂u3

(B.7)

donde ∇•a ˆ1

= =

a ˆ1 ∂ a ˆ2 ∂ a ˆ3 ∂ + + •a ˆ1 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 a ˆ1 ∂ˆ a1 a ˆ2 ∂ˆ a1 a ˆ3 ∂ˆ a1 • + • + • h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3

(B.8)

B.2. DIVERGENCIA.

239

siendo, el primer término de la ecuación (B.8) a ˆ1 •

∂ˆ a1 1 ∂ (ˆ a1 • a ˆ1 ) 1 ∂ (1) = = =0 ∂u1 2 ∂u1 2 ∂u1

(B.9)

mientras que el segundo término de la ecuación (B.8) − a ˆ2 ∂ˆ a1 a ˆ2 ∂ 1 ∂→ r • = • h2 ∂u2 h2 ∂u2 h1 ∂u1 → − ∂ ∂− r a ˆ2 ∂ → r ∂ 1 a ˆ2 • + • = h1 h2 ∂u2 ∂u1 h2 ∂u1 ∂u2 h1 en el primer término se intercambia el orden de derivación, mientras que en el − ∂→ r segundo término se utiliza ∂u = h1 a ˆ1 , 1 → a ˆ2 ∂ˆ a1 a ˆ2 ∂ ∂− r a ˆ2 1 ∂ • = • + • h1 a ˆ1 , h2 ∂u2 h1 h2 ∂u1 ∂u2 h2 ∂u2 h1 en el primer término se utiliza se anula ya que a ˆ2 • a ˆ1 a ˆ2 ∂ˆ a1 • h2 ∂u2

= =

− ∂→ r ∂u2

= h2 a ˆ2 y el segundo termino del lado derecho

a ˆ2 ∂ • (h2 a ˆ2 ) h1 h2 ∂u1 h2 a ˆ2 ∂ a ˆ2 ∂h2 • (ˆ a2 ) + •a ˆ2 h1 h2 ∂u1 h1 h2 ∂u1

utilizando la ecuacion (B.9), el primer término de lado derecho se anula, y haciendo el producto punto en el segundo a ˆ2 ∂ˆ a1 1 ∂h2 • = , h2 ∂u2 h1 h2 ∂u1

(B.10)

an´ alogamente, el u ´ltimo termino de la ecuación (B.8) está dado por a ˆ3 ∂ˆ a1 1 ∂h3 • = , h3 ∂u3 h1 h3 ∂u1

(B.11)

se sustituyen las ecuaciones (B.9), (B.10) y (B.11) en la (B.8) ∇•a ˆ1 =

1 ∂h2 1 ∂h3 + , h1 h2 ∂u1 h1 h3 ∂u1

se sustituye la ecuaci´ on (B.12) y sus análogos en la (B.7) → − ∇• A

=

1 ∂A1 A1 ∂h2 A1 ∂h3 + + + h1 ∂u1 h1 h2 ∂u1 h1 h3 ∂u1 1 ∂A2 A2 ∂h1 A2 ∂h3 + + + h2 ∂u2 h1 h2 ∂u2 h2 h3 ∂u2 1 ∂A3 A3 ∂h1 A3 ∂h2 + + , h3 ∂u3 h1 h3 ∂u3 h2 h3 ∂u3

(B.12)

´ APENDICE B. OPERADORES DIFERENCIALES.

240

ecuaci´ on que puede escribirse como sigue → − ∇• A

h2 h3 ∂A1 h3 A1 ∂h2 h2 A1 ∂h3 + + + h1 h2 h3 ∂u1 h1 h2 h3 ∂u1 h1 h2 h3 ∂u1 h1 h3 ∂A2 h3 A2 ∂h1 h1 A2 ∂h3 + + + h1 h2 h3 ∂u2 h1 h2 h3 ∂u2 h1 h2 h3 ∂u2 h1 h2 ∂A3 h2 A3 ∂h1 h1 A3 ∂h2 + + , h1 h2 h3 ∂u3 h1 h2 h3 ∂u3 h1 h2 h3 ∂u3

=

utilizando la ecuaci´ on de la derivada del un triple producto de funciones → − ∇• A

=

1 ∂ (h2 h3 A1 ) 1 ∂ (h1 h3 A2 ) + h1 h2 h3 ∂u1 h1 h2 h3 ∂u2 1 ∂ (h1 h2 A3 ) + . h1 h2 h3 ∂u3

factorizando → − ∇• A =

∂ (h2 h3 A1 ) ∂ (h1 h3 A2 ) ∂ (h1 h2 A3 ) 1 + + . h1 h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3

(B.13)

■

B.3.

Rotacional

Teorema 3 (El Rotacional). en coordenadas curvil´ıneas es h1 a ∂ˆ1 → − 1 ∇× A = h1 h2 h3 ∂u1 h1 A1

h2 a ˆ2 ∂ ∂u2

h2 A2

h3 a ˆ3 ∂ ∂u3 h3 A3

(B.14)

Demostraci´ on: en coordenadas curvil´ıneas → − A = A1 a ˆ 1 + A2 a ˆ2 +A3 a ˆ3 con lo cual, → − ∇ × A = ∇ × (A1 a ˆ1 ) + ∇ × (A2 a ˆ2 ) +∇ × (A3 a ˆ3 ), → − → − → − utilizando la propiedad ∇ × ϕ B = ∇ϕ × B + ϕ∇ × B , se tiene que → − ∇× A

= ∇A1 × a ˆ 1 + A1 ∇ × a ˆ1 + ∇A2 × a ˆ 2 + A2 ∇ × a ˆ2 +∇A3 × a ˆ 3 + A3 ∇ × a ˆ3 ,

B.3. ROTACIONAL

241

en coordenadas curvil´ıneas ∇Ak = con lo cual, → − ∇× A

a ˆ1 ∂Ak h1 ∂u1

+

a ˆ2 ∂Ak h2 ∂u2

+

a ˆ3 ∂Ak h3 ∂u3 ,

para k = 1, 2, 3,

a ˆ1 ∂A1 a ˆ2 ∂A1 a ˆ3 ∂A1 = + + ×a ˆ 1 + A1 ∇ × a ˆ1 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 a ˆ1 ∂A2 a ˆ2 ∂A2 a ˆ3 ∂A2 + + + ×a ˆ 2 + A2 ∇ × a ˆ2 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 a ˆ1 ∂A3 a ˆ2 ∂A3 a ˆ3 ∂A3 + + + ×a ˆ 3 + A3 ∇ × a ˆ3 , h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3

como las coordenadas curvil´ıneas forman un sistema derecho entonces → − ∇× A

=

a ˆ3 ∂A1 a ˆ2 ∂A1 − + + A1 ∇ × a ˆ1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 a ˆ3 ∂A2 a ˆ1 ∂A2 + − + A2 ∇ × a ˆ2 h1 ∂u1 h3 ∂u3 a ˆ2 ∂A3 a ˆ1 ∂A3 + − + + A3 ∇ × a ˆ3 , h1 ∂u1 h2 ∂u2

donde, para calcular la primera componente, hacemos → − a ˆ1 • ∇ × A

=

1 ∂A2 1 ∂A3 − h2 ∂u2 h3 ∂u3 +ˆ a1 • (A1 ∇ × a ˆ 1 + A2 ∇ × a ˆ 2 + A3 ∇ × a ˆ3 ) (B.15)

utilizando propiedades del producto caja, se calcula primero ∂ˆ a1 a ˆ2 ∂ˆ a1 a ˆ3 ∂ˆ a1 a ˆ1 × + × + × = a ˆ1 • h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 1 ∂ˆ a1 1 ∂ˆ a2 = a ˆ1 • a ˆ1 × − a ˆ1 • ×a ˆ1 h1 ∂u1 h2 ∂u2 1 ∂ˆ a3 − a ˆ1 • ×a ˆ1 h3 ∂u3 = 0,

a ˆ1 • ∇ × a ˆ1

(B.16)

se utilizan de nuevo propiedades del producto caja, junto con las identidades

´ APENDICE B. OPERADORES DIFERENCIALES.

242 ∂ˆ ak ∂u

•a ˆk = 0 y

∂ˆ ak ∂ui

•a î =

1 ∂hi hk ∂uk ,

para calcular

a ˆ1 • ∇ × a ˆ2

a ˆ1 ∂ˆ a2 a ˆ2 ∂ˆ a2 a ˆ3 ∂ˆ a2 × + × + × h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 1 ∂ˆ a2 1 ∂ˆ a2 = • (ˆ a1 × a ˆ1 ) + • (ˆ a1 × a ˆ2 ) h1 ∂u1 h2 ∂u2 1 ∂ˆ a2 + • (ˆ a1 × a ˆ3 ) h3 ∂u3 1 ∂ˆ a2 1 ∂ˆ a2 → − = 0 + •a ˆ3 − • (ˆ a2 ) h2 ∂u2 h3 ∂u3 1 ∂ˆ a2 1 ∂ˆ a3 1 ∂h2 = •a ˆ3 = − •a ˆ2 = − h2 ∂u2 h2 ∂u2 h2 h3 ∂u3

= a ˆ1 •

(B.17) como en el c´ alculo anterior

a ˆ1 • ∇ × a ˆ3

a ˆ1 ∂ˆ a3 a ˆ2 ∂ˆ a3 a ˆ3 ∂ˆ a3 × + × + × h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 a3 1 ∂ˆ a3 1 ∂ˆ • (ˆ a1 × a ˆ1 ) + • (ˆ a1 × a ˆ2 ) = h1 ∂u1 h2 ∂u2 1 ∂ˆ a3 + • (ˆ a1 × a ˆ3 ) h3 ∂u3 1 ∂ˆ a3 1 ∂ˆ a3 → − = 0 + •a ˆ3 − • (ˆ a2 ) h2 ∂u2 h3 ∂u3 1 ∂ˆ a3 1 ∂ˆ a2 1 ∂h3 = − •a ˆ2 = •a ˆ3 = h3 ∂u3 h3 ∂u3 h2 h3 ∂u2

= a ˆ1 •

(B.18) As´ı pues, se sustituyen las ecuaciones (B.16), (B.17) y (B.18) en la (B.15) → − a ˆ1 • ∇ × A

=

= = = =

1 ∂A3 1 ∂A2 − h2 ∂u2 h3 ∂u3 +ˆ a1 • (A1 ∇ × a ˆ 1 + A2 ∇ × a ˆ 2 + A3 ∇ × a ˆ3 ) 1 ∂A3 1 ∂A2 A2 ∂h2 A3 ∂h3 − − + h2 ∂u2 h3 ∂u3 h2 h3 ∂u3 h2 h3 ∂u2 h3 ∂A3 A3 ∂h3 h2 ∂A2 A2 ∂h2 + − − h2 h3 ∂u2 h2 h3 ∂u2 h2 h3 ∂u3 h2 h3 ∂u3 1 ∂ (h3 A3 ) 1 ∂ (h2 A2 ) − h2 h3 ∂u2 h2 h3 ∂u3 ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂u h1 ∂u ∂u3 = ∂u3 2 2 h2 h3 h2 A2 h3 A3 h1 h2 h3 h2 A2 h3 A3

B.3. ROTACIONAL

243

Generalizando → − ∇× A

=

=

∂ ∂ 1 1 ∂u3 h a ∂u2 1 ˆ1 − h1 h2 h3 h2 A2 h3 A3 h1 h2 h3 ∂ ∂ 1 ∂u ∂u h3 a 1 2 + ˆ3 h1 h2 h3 h1 A1 h2 A2 h1 a ˆ1 h2 a ˆ2 h3 a ˆ3 1 ∂ ∂ ∂ ∂u2 ∂u3 h1 h2 h3 ∂u1 h1 A1 h2 A2 h3 A3

con esto se prueba la ecuaci´ on (B.14). ■

∂ ∂u1 h1 A1

∂ ∂u3

h2 a ˆ2 h3 A3

Electromagnetismo II

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