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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
ELECTROMAGNETISMO
Cap. 1
LUIS F. GARCIA R. & WILLIAM J TRIGOS G
2
Ed
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1
ELECTROMAGNETISMO
LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI & www.elsolucionario.org WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
BUCARAMANGA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER DEPARTAMENTO DE FISICA
28 de septiembre de 2014
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
A mis padres: BLANCA Y EFRAIN, destellos divinos, Manantiales de amor.
Luis F. García.
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 AGRADECIMIENTO
El autor desea expresar su sincero agradecimiento a la Señorita LUZ MARINA RAMOS HORTUA, Tecnóloga en Arte y Decoración, artífice del diseño de la portada, de la transcripción a máquina del manuscrito, de la elaboración de las gráficas, y en una palabra, la persona que facilitó con su ayuda, paciencia y estímulo, la realización de esta obra. A la Dra. GRACIELA CHALELA, Decana de la Facultad de Ciencias, por haber incentivado con sus acertadas insinuaciones, la producción intelectual. Al Dr. AUGUSTO LOPEZ Z., Director del Departamento de Física, por su ejemplar dinamismo y laboriosidad, que constituyeron el estímulo determinante para la feliz terminación de este texto. A los colegas, por sus valiosas sugerencias. A los estudiantes, por haber conducido a muchas mejoras en la presentación de los temas. A los FISICOS DEL MUNDO, por haber plasmado su sabiduría, su creatividad y su vigorosa disciplina intelectual, en los magníficos textos que constituyeron la fuente bibliográfica.
AUTOR LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI REVISOR WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
ÍNDICE ANALÍTICO Tabla de contenido ELECTROMAGNETISMO ...................................................................................................................................................... 2 AGRADECIMIENTO ........................................................................................................................................................... 4 ÍNDICE ANALÍTICO ........................................................................................................................................................... 5 INTRODUCCION ............................................................................................................................................................. 12 CAPÍTULO 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................................. 2 I.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO......................................................................................................................... 3 1.1. ESBOZO HISTORICO: ................................................................................................................................................. 3 1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: ................................................................................................................................. 4 1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: .................................................................................................................................... 4 1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON ............................................................................ 4 1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: ........................................................................................................................ 4 1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: ....................................................................................................................... 5 1.3.4. CLASES DE CARGA: .......................................................................................................................................... 5 1.4. UNIDADES DE CARGA: .............................................................................................................................................. 6 1.5. LEY DE COULOMB: .................................................................................................................................................... 6 1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: ....................................................................................... 7 1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL QJ........................... 8 1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA DQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. ................................................................................................ 9 1.9. CAMPO ELÈCTRICO. .................................................................................................................................................. 9 1.10. LINEAS DE FUERZA: ................................................................................................................................................. 10 1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: ........................................................................................... 11 1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES: .............................................................. 12 1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: ............................................................ 12 1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: ............................................................................................. 12 1.15. FLUJO ELÉCTRICO: ................................................................................................................................................... 13 1.16. LEY DE GAUSS: ........................................................................................................................................................ 15 1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ...................................................................................... 18 1.18. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 19 1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: .................................................................................................... 19 1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: ................................................................................ 25 1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................ 47 1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss) ......................................................................................... 62
CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO ................................................................................................................................... 82 II.
POTENCIAL ELÉCTRICO .............................................................................................................................................. 83 2.1.
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................................... 83
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL..................................................................................................................................... 83 2.3. POTENCIAL EN UN PUNTO ...................................................................................................................................... 84 2.4. POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL Q................................ 84 2.5. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES (SISTEMA DISDRETO) ............................................................................................................................................................................ 85 2.6. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.................................................. 86 2.7. EJEMPLOS SOBRE CÁLCULO DE POTENCIALES ........................................................................................................ 86 2.7.1. DETERMINAR EL POTENCIAL DE UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DE UNA CARGA PUNTUAL Q. ..................................................................................................................................................................... 86 2.7.2. DETERMINAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA X, DENTRO DE DOS PLACAS CONDUCTORAS DE DENSIDADES CARGA IGUALES Y OPUESTAS , SI SU SEPARACIÓN D ES MUCHO MENOR QUE SUS DIMENSIONES GLOBALES. EL CAMPO ES UNIFORME, SIENDO ,Y . VER FIG. (2.7.2) ......................................................................................................................... 87 2.7.3. HALLAR EL POTENCIAL EN EL PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DEL ANILLO CARGADO, DE CARGA Q Y DENSIDAD UNIFORME DE CARGA Λ = A, INDICANDO EN LA FIG. (2.7.3) ........................................ 87 2.7.4. HALLAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DE UN DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE DE RADIO A DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA UNIFORME , COMO SE MUESTRA EN LA FIG. (2.7.4) ............................................................................................................................ 88 2.7.5. HALLAR LA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LAS PROXIMIDADES DE UNA LÍNEA DE CARGA DE DENSIDAD UNIFORME Λ. ................................................................................................................................................ 89 2.8. CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELECTRÓNICO ............................................................................. 89 2.9. SIGNIFICADO FÍSICO DE GRADIENTE ....................................................................................................................... 91 2.10. SUPERFICIES EQUI-POTENCIALES ............................................................................................................................ 91 2.11. POTENCIAL DE UN CONDUCTOR ............................................................................................................................. 92 2.12. DIPOLO ELECTRICO ................................................................................................................................................. 92 2.13. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA .................................................................................................................. 93 2.13.1. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DÍPOLO EN UN CAMPO ELÉCRICO UNIFORME. ............................................... 94 2.14. ENERGIA EN FUNCIÓN DEL CAMPO ........................................................................................................................ 95 2.15. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 97 2.15.1. PROBLEMAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO: ...................................................................................................... 97 2.15.2. PROBLEMAS SOBRE TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA: ............................................................. 111 2.15.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 116 2.16. MODELO DE EVALUACIONES: ............................................................................................................................... 136 2.16.1. EVALUACIÓN 1 (1 P): ................................................................................................................................... 136 2.16.2. EVALUACIÓN 2 (1 P): ................................................................................................................................... 139 2.16.3. EVALUACIÓN 3 (1P): .................................................................................................................................... 142 2.16.4. EVALUACIÓN 4 (1 P): ................................................................................................................................... 146
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CAPÍTULO 3. CAPACITANCIA ............................................................................................................................................ 152 III.
CAPACITANCIA ........................................................................................................................................................ 153 3.1 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................................... 153 3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS .................................................................................... 153 3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) ....................................................................................................................... 154 3.4 CALCULO DE CAPACIDADES .................................................................................................................................. 154 3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS: ................................................................................................ 155
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO .................................................................................................................................... 156 3.4.3 CAPACITADOR ESFERICO ....................................................................................................................................... 157 3.5 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES .................................................................................................................. 158 3.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ..................................................................................................................................... 158 3.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ............................................................................................................................................. 159 3.6 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR .................................................................................................. 160 3.7 AUTOENERGIA DE CARGAS ELÉCTRICAS ............................................................................................................... 162 3.8 FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR ............................................................................................. 162 3.9 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES.................................................................................... 163 3.10 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 165 3.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS........................................................................................................................ 172 CAPÍTULO 4. DIELÉCTRICOS .............................................................................................................................................. 193 IV.
DIELÉCTRICOS ......................................................................................................................................................... 194 4.1. DESCRIPCIÓN ........................................................................................................................................................ 194 4.2. POLARIZACIÓN DE LA MATERIA ............................................................................................................................ 196 4.3. LEY DE GAUSS ....................................................................................................................................................... 199 4.4. TRES VECTORES ELÉCTRICOS ................................................................................................................................. 202 4.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA EN LA SUPERFICIE LIMITE ENTRE DOS DIELÉCTRICOS ......................... 204 4.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS SITUADAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO ................................................................... 206 4.7. CONDENSADORES CON MATERIALES DIELÉCTRICOS ............................................................................................ 207 4.8. ENERGÍA ALMACENADA EN UN DIELÉCTRICO ....................................................................................................... 208 4.9. FUERZA SOBRE UNA LÁMINA DIELÉCTRICA INTRODUCIDA EN UN CONDENSADOR ............................................. 209 4.10. VARIACIONES DE ENERGÍA POR INTROMISION DE UN DIELÉCTRICO .................................................................... 210 4.11. OBJETIVOS, DESCRPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES ..................................................................................... 214 4.12. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 216 4.13. MODELO DE EVALUACIONES ................................................................................................................................ 236 4.13.1. MODELO DE EVALUACIÓN No 1 (2 P) ......................................................................................................... 236 4.13.2. MODELO DE EVALUACIÓN No 2 (2 P) ......................................................................................................... 240 4.13.2 MODELO DE EVALUCIÓN No 3 (2 P) ............................................................................................................ 244 4.13.3 MODELO DE EVALUACIÓN No 4 (2 P) ......................................................................................................... 251
CAPÍTULO 5. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA ............................................................... 256 V.
INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA .......................................................................... 257 5.1 5.2 5.2.1 5.3 5.4 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.6
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 257 CORRIENTE ELÉCTRICA:......................................................................................................................................... 257 CORRIENTE ELECTRÓNICA Y CORRIENTE CONVENCIONAL:......................................................................... 257 DENSIDAD DE CORRIENTE ..................................................................................................................................... 258 LEY DE OHM .......................................................................................................................................................... 258 COMBINACIÓN DE RESISTENCIAS: ........................................................................................................................ 265 CONEXIÓN EN PARALELO: ........................................................................................................................... 265 CONEXIÓN EN SERIE: ................................................................................................................................... 266 TRANSFORMACIÓN Δ – Y y Y – Δ: ............................................................................................................. 267 PUENTE DE WHEATSTONE .......................................................................................................................... 268 LEY DE JOULE ........................................................................................................................................................ 269
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 5.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIA INTERNA .............................................................................................. 269 5.8 LEYES DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................ 270 5.8.1 LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LKV): ...................................................................................................... 270 5.8.2 LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE:........................................................................................................ 271 5.8.3 SOLUCIÓN DE CIRCUITOS: ........................................................................................................................... 271 5.9 CIRCUITOS RC ........................................................................................................................................................ 274 5.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 277 5.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 279 5.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 288 5.11.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Circuitos de Corriente Continua) ......................................................... 297 5.12 MODELO DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 315 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO ................................................................................................................................... 323 VI.
CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................................................. 324 6.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO ............................................................................................................................ 324 6.2 LEY DE BIOT Y SAVART........................................................................................................................................... 325 6.3 FUERZA ENTRE DOS ELEMENTOS DIFERENCIALES DE CORRIENTE ........................................................................ 327 6.4 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA POR LA QUE CIRCULA UNA CORRIENTTE I, SITUADA EN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME ..................................................................................................................................................... 327 6.5 RESUMEN DIPOLAR .............................................................................................................................................. 330 6.6 FLUJO MAGNETICO ............................................................................................................................................... 330 6.7 LEY DE AMPERE ..................................................................................................................................................... 331 6.7.1 PRUEBA DE LA LEY DE AMPERE................................................................................................................... 334 6.8 FUERZA SOBRE CARGA AISLADAS EN MOVIMIENTO ............................................................................................. 335 6.9 FUERZA DE LORENTZ ............................................................................................................................................. 339 6.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINOPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 340 6.11 PROBLEMAS DE CAMPO MAGNÉTICO .................................................................................................................. 342 6.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 366
CAPÍTULO 7: FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA ........................................................................................................... 389 VII.
FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................................................. 390
7.1 7.2 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.4.6 7.5 7.5.1 7.5.2 7.6
FUERZA ELECTROMOTRIZ DEBIDA AL MOVIMIENTO ............................................................................................ 390 LEY DE INDUCCION DE FARADAY .......................................................................................................................... 391 LEY DE LENZ .......................................................................................................................................................... 393 EJEMPLOS ............................................................................................................................................................. 395 GENERADOR AMBIENTAL ........................................................................................................................... 395 MOTOR ELECTRICO ..................................................................................................................................... 396 DISCO FARADAY: ......................................................................................................................................... 397 VARILLA QUE ROTA EN UN CAMPO ....................................................................................................... 398 CAMPO ELECTRICO INDUCIDO POR UN INCREMENTO DE ..................................................................... 399 TRABAJO MECANICO REALIZADO PARA MOVER UNA BOBINA ................................................................... 399 INDUCTANCIA MUTUA Y AUTOINDUCTANCIA ...................................................................................................... 401 INDUCTANCIA MUTUA ................................................................................................................................ 401 AUTOINDUCCION ........................................................................................................................................ 404 CONVINACIÓN DE INDUCTANCIAS ....................................................................................................................... 406
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
7.6.1 EN SERIE SIN INTERACCIÓN ......................................................................................................................... 406 7.6.2 EN SERIE CON INTERACCIÓN ....................................................................................................................... 406 7.6.3 EN PARALELO SIN INTERACCIÓN ................................................................................................................. 407 7.6.4 INDUCTANCIA MUTUA EN CIRCUITOS ACOPLADOS .................................................................................... 408 7.7 CIRCUITOS RL ........................................................................................................................................................ 410 7.8 ENERGIA ALMACENADA Y DENSIDAD DE ENERGIA MAGNETICA .......................................................................... 412 7.9 OBJETIVOS DESCIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ....................................................................................... 414 7.10 PROBLEMAS SOBRE FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................... 416 7.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 421 7.10.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) ........................................................................................ 424 7.10.3 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) ........................................................................................ 427 7.11 MODELOS DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................. 435 7.11.1 MODELO DE EVALUACION No 1 (3P) ......................................................................................................... 435 7.11.2 MODELO DE EVALUACION No 2 (3P) .......................................................................................................... 440 7.11.3 MODELO DE EVALUACION # 3 (3P) ............................................................................................................. 443 CAPÍTULO 8: PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA .............................................................................................. 447 VIII.
PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA ..................................................................................................... 448
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11
MAGNETIZACION DE LA MATERIA ........................................................................................................................ 448 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................. 451 MATERIALES MEGNETICOS. .................................................................................................................................. 452 PARAMETROS MAGNÉTICOS ................................................................................................................................ 453 CONDICIONES DE FRONTERA ................................................................................................................................ 454 ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA ................................................................................................................... 456 PARAMAGNÉTISMO.............................................................................................................................................. 458 DIAMAGNETISMO:................................................................................................................................................ 461 FERROMAGNETISMO ............................................................................................................................................ 468 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 476 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 478
CAPÍTULO9: CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................................... 484 IX.
CORRIENTE ALTERNA .............................................................................................................................................. 485 9.1. INTRODUCCION .................................................................................................................................................... 485 9.2. GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................. 485 9.3. RELACIONES ENTRE TENSION E INTENSIDAD: ....................................................................................................... 486 9.3.1. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA RESITENCIA....................................................... 486 9.3.2. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA AUTOINDUCCION: ............................................ 487 9.3.3. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD DE UN CONDENSADOR: ................................................. 488 9.4. CIRCUITO RLC EN SERIE: ........................................................................................................................................ 490 9.5. CIRCUITO RLC EN PARALELO: ................................................................................................................................ 493 9.6. RESONANCIA: ....................................................................................................................................................... 495 9.7. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA: ....................................................................................... 497 9.8. ENERGIA Y COMPONENTE ACTIVA DE L A CORRIENTE: ........................................................................................ 500 9.9. OBJETIVOS, DESCRIPTIVOS SINOPTICA Y OBSERVACIONES: .................................................................................. 501 9.10. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 504
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 CAPÍTULO10: ECUACIONES DE MAXWELL ........................................................................................................................ 516 X.
ECUACIONES DE MAXWELL ..................................................................................................................................... 517 10.1 10.2 10.3 -
1
LA PRIMERA HIPÓTESIS: LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ............................................................................... 520 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 9.8.1
2
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 517 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ........................................................................................................................ 517 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL:............................................................................................... 519 LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO: ............................................................................................... 519 LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO: ............................................................................................ 519 LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY: ............................................................................................................... 519 LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL: ....................................................................................... 520
ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL: .......................................................................................... 521 LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO: ............................................................................................... 521 LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO: ............................................................................................ 521 LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY: ............................................................................................................... 521 LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL: ....................................................................................... 521 ECUACION DE ONDA: ............................................................................................................................................ 523 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES: ................................................................................... 526 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 528 MODELOS DE EVALUACIONES............................................................................................................................... 532 MODELO DE EVALUACION No 1 ( 4P ) ......................................................................................................... 532
OBSERVACIÓN ........................................................................................................................................................ 533 9.8.2 9.8.3
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MODELO DE EVALUACION No 2( 4P ) ......................................................................................................... 536 MODELO DE EVALUACION No 3 ( 4P ) ......................................................................................................... 540
ANEXOS ........................................................................................................................................................................... 544 MODELOS DE EVALUACIÓN DEL PRIMER PARCIAL: .......................................................................................................................... 545 MODELO No.1 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 546 MODELO No.2 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 551 MODELO No.3 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 557 MODELO No.4 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 560 MODELOS DE EVALUACIÓN DEL SEGUNDO PARCIAL: ....................................................................................................................... 567 MODELO No.1 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 569 MODELO No.2 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 576 MODELO No.3 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 583 MODELO No.4 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 587 MODELOS DE EVALUACIÓN DEL TERCER PARCIAL: .......................................................................................................................... 591 MODELO No.1 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 592 MODELO No.2 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 596 MODELO No.3 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 601 MODELO No.4 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 604 MODELO No.5 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 608 MODELO No.6 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 610
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................................. 612 PRIMER PARCIAL: .................................................................................................................................................................... 612 SEGUNDO PARCIAL: ................................................................................................................................................................. 613 TERCER PARCIAL: ..................................................................................................................................................................... 614
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 INTRODUCCION El propósito de este libro consiste primordialmente, en facilitar la comprensión de las leyes, conceptos y fórmulas que describen los procesos físicos relacionados con la parte del ELECTROMAGNETISMO que trata sobre carga, fuerza, campo, energía potencial, capacitancia, dieléctricos, circuitos de corriente continua, campo magnético, fuerza electromotriz inducida, propiedades magnéticas de la materia, circuitos de corriente alterna y ecuaciones de Maxwell. Comprende el desarrollo completo del programa ELECTROMAGNETISMO 13-22, expuesto en forma clara, concisa y llamativa. Problemas importantes, propuestos en los textos clásicos, que se utilizan en el desarrollo de la asignatura ELECTROMAGNETISMO 13-22, que se ofrece en la Universidad Industrial de Santander, como materia básica de servicio para las distintas Ingenierías, han sido solucionados didácticamente con el fin de mostrar la correcta aplicación de las fórmulas, mecanizar su empleo, adiestrar al estudiante en el manejo de las mismas y aumentar su capacidad de razonamiento, para que adquiera una base sólida que le permita solucionar problemas similares a los enunciados, los cuales incluyen interacciones entre sistemas discretos y continuos con cargas puntuales, como también diferentes clases de sistemas físicos que requieren el cálculo de capacidades, diferencias de potencial, ener gías potenciales, campos magnéticos, fuerzas electromotrices inducidas, parámetros magnéticos, solución de circuitos eléctricos y determinación de otras magnitudes pertinentes. Además, se incluyen novedosos resúmenes junto con algunas observaciones, que son útiles para resaltar los tópicos de mayor interés, reforzar los conceptos y facilitar el aprendizaje. Al final se presentan algunos modelos de evaluación que constituyen una guía ejemplar para la preparación de los exámenes parciales, los cuales contribuirán al mejoramiento del rendimiento académico.
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Cap. 1
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Capítulo 1
Capítulo 1.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Resumen:
Universidad Industrial de Santander Escuela de Física
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A lo largo de este primer capítulo se realizara un recorrido (esbozo) histórico a través de los acontecimientos que marcaron el inicio de la teoría del campo eléctrico. De igual forma, durante este capítulo se abordaran las concepciones que son la base de los siguientes capítulos, como es el caso de las leyes de coulomb entre cargas puntuales, distribuciones discretas de carga (superposición) y distribuciones continuas de carga (densidad de carga).
LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
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Capítulo 1.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Página en blanco Intencionalmente
1
LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
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Cap. 1
CAPÍTULO 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................................. 2 I.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ........................................................................................................................ 3
Capítulo 1.
Capítulo 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
1.1. ESBOZO HISTORICO: .................................................................................................................................................. 3 1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: ................................................................................................................................. 4 1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: .................................................................................................................................... 4 1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON ............................................................................ 4 1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: ........................................................................................................................ 4 1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: ....................................................................................................................... 5 1.3.4. CLASES DE CARGA: .......................................................................................................................................... 5 1.4. UNIDADES DE CARGA: ............................................................................................................................................... 6 1.5. LEY DE COULOMB: ..................................................................................................................................................... 6 1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: ........................................................................................ 7 1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL QJ. .......................... 8 1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA DQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. ........................................................................................................................ 9 1.9. CAMPO ELÈCTRICO.................................................................................................................................................... 9 1.10. LINEAS DE FUERZA: ................................................................................................................................................. 10 1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: ............................................................................................ 11 1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES:............................................................... 12 1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: ............................................................. 12 1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: ............................................................................................. 12 1.15. FLUJO ELÉCTRICO: ................................................................................................................................................... 13 1.16. LEY DE GAUSS: ......................................................................................................................................................... 15 1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES....................................................................................... 18 1.18. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 19 1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: .................................................................................................... 19 1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: ................................................................................. 25 1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................ 47 1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss) ......................................................................................... 62
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO I.
Cap. 1
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Capítulo 1.
1.1.ESBOZO HISTORICO: CUADRO SINOPTICO SOBRE EL ESBOZO HISTORICO
ELECTRICIDAD
MAGNETISMO
Se remonta a Tales de Mileto (600 A.C) quien observo que el Ámbar frotado atraía pedacitos de paja.
Se remonta a Plinio (800 A.C) quien conocía las propiedades de la magnetita.
ELECTROMAGNETISMO En 1819 Hans Christian Oersted observo que una corriente Eléctrica puede afectar la aguja de una brújula.
CONTRIBUYERON AL DESARROLLO DEL ELECTROMAGNETISMO.
JAMES CLERK MAXWELL Estableció las leyes del electromagnetismo. OLIVER HEAVESIDE H.A LORENTZ GUILLERMO MARCONI
hicieron aclaraciones sobre la teoría de maxwell. realizo las primeras transmisiones
La ciencia de la electricidad tiene sus orígenes alrededor del año 600 a. de C., cuando Tales de Mileto observó que cuando se frotaban pedazos de ámbar se podían atraer pedacitos de paja.
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
El magnetismo se remonta a la observación de piedras como la magnetita (mineral de hierro que consta primordialmente de FeO-Fe2O3), estas dos ciencias estuvieron separadas hasta 1819, cuando Hans Christian Oersted descubrió que un conductor por el que fluye una corriente eléctrica tiene propiedades similares a las de un imán.
Posteriormente James Clerk Maxwell observó que estos y una gran variedad de hechos experimentales podían correlacionarse mediante las ecuaciones que ordinariamente se conocen como ecuaciones de Maxwell. Maxwell dedujo que si el flujo de la corriente en un alambre varía en el tiempo, se irradian ondas. Veinte años después Heinrich Hertz produjo experimentalmente esas ondas electromagnéticas, del tipo que hoy conocemos como ondas cortas de radio, pero correspondió al italiano Guillermo Marconi realizar las primeras transmisiones inalámbricas.
Capítulo 1.
Poco después, Michael Faraday observó que si se desplaza un imán cerca de un lazo de alambre (una espira) circula por este último una corriente eléctrica.
Contribuyeron al desarrollo del electromagnetismo clásico: Oliver Heaveside, H.A. Lorentz y otros. El siguiente cuadro sinóptico ilustra lo expuesto en los párrafos anteriores. Estos cuadros facilitan el aprendizaje y la comprensión de los temas tratados.
1.2.MATERIA Y CARGA ELECTRICA: La materia está compuesta por tres clases de partículas elementales: el protón, el neutrón y el electrón. Los átomos están compuestos por un núcleo positivo, rodeado por una nube de electrones.
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1.3.PROPIEDADES DE LA CARGA:
1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON Partícula
Símbolo
Carga
Protón
+e
Neutrón
0
Electrón
-e
Masa
1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: Experimentalmente se demuestra que el fluido eléctrico no es continuo sino que está formado por un múltiplo de cierta cantidad mínima de carga, la cual se denomina carga fundamental y se le asigna el símbolo e. La carga fundamental es igual a 1.60210x10-19coul. La característica de la carga eléctrica de aparecer en múltiplos de una carga elemental indivisible, se conoce como cuantización de la carga, y se dice que la carga eléctrica está cuantizada en unidades iguales a la carga del electrón.
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA:
Capítulo 1.
La hipótesis de la conservación de la carga ha sido comprobada experimentalmente en eventos a nivel nuclear y atómico, tanto en colisiones como en decaimientos radioactivos y en todas las reacciones nucleares. Ejemplo de colisión: La aniquilación del electrón y el positrón. Al colisionar las partículas, estas desaparecen dando origen a dos rayos gamma dirigidos opuestamente. Teniendo en cuenta que la carga de un fotón es cero. Del principio de conservación de la carga se sigue que: Carga antes de la colisión = -e + e = O Carga después de la colisión = 0 + 0 = O Ejemplo de decaimiento radioactivo:
Carga antes del decaimiento = 92 e = 92 protones Carga después del decaimiento = 90e + 2 e = 92 e Ejemplo de reacción nuclear:
Carga antes de la colisión = 7 e + 0 = 7 e Carga después de la colisión = 6 e + e = 7 e.
1.3.4. CLASES DE CARGA: Se demuestra que hay dos clases de carga, porque al frotar una barra de vidrio con un pedazo de seda se observa que la barra de vidrio queda cargada positivamente y la seda queda cargada negativamente. Al acercar dos barras de vidrio cargadas de la manera anteriormente indicada, se observa repulsión electrostática.
Fig. 1.2.4 Dos barras de vidrio cargadas positivamente se repelen una de otra.
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Similarmente al frotar una barra de caucho con cuero se observa que la barra queda cargada negativamente y el cuero queda cargado positivamente. Dos barras de caucho cargadas de la manera anterior experimentan repulsión electrostática.
Benjamín Franklin denominó a la clase de electricidad que aparece sobre el vidrio positiva y la que aparece sobre el caucho negativa. Los experimentos anteriores se resumen diciendo:
“Cargas contrarias se atraen y cargas iguales se repelen"
1.4.UNIDADES DE CARGA:
Capítulo 1.
Al acercar una barra de vidrio cargada mediante el frotamiento con seda y una barra de caucho cargada mediante el frotamiento con cuero se produce atracción.
En el sistema CGS electrostático, la unidad de carga es el statcoulomb, que se define como la cantidad de carga que a 1 cm de distancia de una carga igual, produce una fuerza eléctrica de repulsión de una dina. La unidad de carga en el sistema internacional (SI) es el Coulomb o también llamado culombio, que se abrevia Coul o C y se define como la cantidad de carga que se transporta en un segundo a lo largo de un alambre por el que circula una corriente de un amperio. El físico estadounidense Murray Gell-man recibió el premio Nobel en 1969, por haber postulado la existencia de ciertas partículas fundamentales, a las que denominó "quarks", cuyas cargas son múltiplos de ± 1/3e. De acuerdo a tales proporciones teóricas, existen seis quarks diferentes: tres ordinarios, de cargas 1/3e -1/3e y 2/3e y tres antiquarks, con cargas de signos opuestos. Además, existen diferentes variedades de quarks: se cree que hay como mínimo seis "sabores", que se denominan "arriba", "abajo", "extraño", "encanto", "fondo" Y "cima". Cada sabor puede tener uno de los tres posibles "colores", rojo, verde y azul. Los quarks son mucho más pequeños que la longitud de onda de la luz visible y, por lo tanto, no poseen ningún color en el sentido normal de la palabra, simplemente son formas de llamar a las nuevas partículas. Un protón o un neutrón están constituidos por tres quarks, uno de cada color. En la colisión entre un protón de alta energía y un antiprotón se produjeron varios quarks casi libres, los cuales fueron detectados por las estelas o "chorros" observados en las fotografías tomadas por los científicos del CERN (Centro Europeo para la investigación nuclear).
1.5.LEY DE COULOMB: En 1784, el físico francés Charles Augustin de Coulomb, descubrió la ley cuantitativa entre las fuerzas entre dos cargas puntuales, midiendo las fuerzas de atracción y repulsión con un dispositivo llamado balanza de torsión, semejante al aparato utilizado por Cavendish para investigar la acción de las fuerzas gravitacionales La ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2 es directamente proporcional a la magnitud de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Los resultados obtenidos por Coulomb pueden resumirse diciendo: "La magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa"
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
Por lo tanto, tendremos:
Entonces:
Siendo:
La constante de proporcionalidad expresada en el sistema SI, tiene el siguiente valor: Siendo:
0
0
1
1
1.6.FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO:
Figura 1.6 Fuerza que q2 ejerce sobre ql . La ley de Coulomb para cargas puntuales, puede formularse concisamente en forma vectorial, mediante:
⃑
7
⃑
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⃑⃑⃑⃑⃑
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO En donde:
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑
Siendo F12 la fuerza sobre la carga qL , r12 es el vector que va de ql a q2 , r12 es la magnitud de r12 y k es la constante de proporcionalidad. La expresión anterior suele escribirse en términos del vector unitario r12 de la siguiente manera:
⃑
⃑⃑⃑⃑⃑
Capítulo 1.
⃑⃑⃑⃑⃑
Cap. 1
Si las partículas tienen carga del mismo signo, se repelarán y la fuerza P12 tendrá el sentido de r12. Si las cargas son de signo opuesto, la fuerza tendrá el sentido de r12 . Esto equivale a decir, que en la expresión de la fuerza se debe tener en cuenta el signo de las cargas.
1.7.FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL qj. La fuerza sobre la partícula j-ésima debida a un conjunto de N cargas puntuales, se halla mediante la Ley de Coulomb, haciendo uso de una suma vectorial de fuerzas, conocida como principio de superposición, así:
www.elsolucionario.org ∑
∑
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ Donde la sumatoria de la derecha se extiende a todas las cargas excepto la j-ésima. Esto es por supuesto, el principio de superposición de fuerzas, que dice que la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas individuales que actúan sobre él. El diagrama siguiente muestra la fuerza resultante sobre q. debida a un conjunto de dos cargas puntuales q1 y q2, como puede apreciarse la fuerza Fj es la suma de las fuerzas F1j y F2j debidas a q1 y q2 respectivamente.
1.7 Fuerzas que q1 y q2 ejercen sobre qj
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8
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
1.8.FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA dQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL.
Fig. 1.8 Fuerza que un diferencial de carga dQ ejerce sobre qj El diferencial de fuerza está dado por la expresión
⃑⃑⃑⃑
∑
Para obtener la fuerza total, que el sistema continuo ejerce sobre la carga puntual q., debe integrarse la expresión anterior teniendo en cuenta la simetría. En general:
⃑
∫
En la expresión anterior el diferencial de carga dQ puede escribirse de acuerdo a la clase de distribución que se tenga, así: A dl, para una distribución lineal de carga a dA, para una distribución superficial de carga. P dv, para una distribución volumétrica de carga. Donde A es la densidad lineal de carga, o es la densidad superficial de carga y P es la densidad volumétrica de carga. r es un vector unitario de dirección variable, dirigido desde cada dQ hacia la posición de la carga q.
1.9.CAMPO ELÈCTRICO. La intensidad del campo eléctrico E en un punto dado del espacio se define como la fuerza eléctrica por unidad de carga, es decir:
⃑
⃑ Y se expresa en newtons por coulomb (N/C).
La definición del campo eléctrico en un punto se escribe en la forma:
⃑
9
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
12 Cap. 1
En donde se incluye el límite para asegurar que la carga de prueba no afecte a la distribución de carga que produce el campo.
LINEAS DE FUERZA:
Es una línea imaginaria dibujada de tal manera que su dirección en cualquier punto es la dirección del campo eléctrico en dicho punto. Estas líneas también se denominan líneas de campo y fueron introducidas por Michael Faraday para visualizar el comportamiento de los campos eléctricos. Las líneas de fuerza asociadas a una carga puntual positiva q1 son líneas radiales que se dirigen hacia afuera de q1. De manera semejante las líneas de fuerza asociadas con una carga puntual negativa aislada son también radiales, pero esta vez se dirigen hacia la carga negativa. Las líneas de campo eléctrico se construyen de tal modo que tengan las siguientes propiedades:
En cada punto a lo largo de una línea, la tangente a la línea es paralela al campo eléctrico en ese punto.
El número de líneas del campo eléctrico en cualquier región del espacio es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en esa zona. No hay dos líneas de campo que se puedan cruzar la una con la otra, excepto en un punto en el que exista una partícula cargada.
Todas las líneas de campo son continuas en todas las regiones del espacio que no contengan cargas eléctricas. Por tanto, una línea de campo se debe originar en una partícula con carga positiva y terminar en otra de carga negativa; pero ninguna línea se puede originar o terminar en un punto en el que no haya una carga eléctrica.
Capítulo 1.
1.10.
Las siguientes figuras muestran una vista plana de las líneas de campo asociadas a ciertas configuraciones de carga.
Fig. 1.10-a Líneas de campo de una Partícula cargada positivamente.
Fig. 1.10-b Líneas de campo de una Partícula cargada negativamente.
Fig. 1.10-c Líneas de campo de dos cargas iguales y opuestas.
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10
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Cap. 1
Capítulo 1.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Fig. 1.10-d Líneas de campo de dos cargas positivas.
Fig. 1.10-e Líneas de campo de un disco no conductor.
Fig. 1.10-f Líneas de campo de un plano infinito de carga.
La figura 1.10 (a) corresponde a las líneas de campo de una partícula cargada positivamente. La figura 1.10 (b) corresponde a las líneas de campo de una partícula cargada negativamente. La figura 1.10 (c) corresponde a la configuración de las líneas de campo de dos cargas iguales y opuestas. La figura 1.10 (d) muestra las líneas de campo de dos cargas positivas. La figura 1.10 (e) ilustra la configuración de las líneas de campo asociadas a una vista de canto de un disco no conductor. La figura 1.10 (f) señala la estructura de las líneas de campo de un plano infinito de carga.
1.11.
CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL:
El campo eléctrico en el punto r debido a una carga puntual q está dado por la siguiente expresión:
⃑
⃑
r es un vector unitario dirigido de la carga al punto en consideración. La dirección de E es radial, saliendo cuando q es positiva y entrando cuando q es negativa.
11
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO 1.12.
Cap. 1
CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES:
El campo eléctrico en un punto debido a un conjunto de N cargas puntuales, se obtiene sumando vectorialmente los campos debidos a cada una de las cargas, así:
⃑
1.13.
⃑
⃑
⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
∑⃑
⃑
∑
⃑
∑
⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑
Capítulo 1.
⃑⃑
CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA:
El campo eléctrico en un punto, debido a un sistema continuo de carga se obtiene mediante la suma (integración) de todas las contribuciones dE debidas a los diferenciales de carga dQ, por tanto:
⃑⃑
∫⃑⃑⃑⃑⃑
∫
⃑⃑⃑⃑
Según el sistema, el diferencial de carga puede escribirse en términos de la densidad de carga, como: A dl, para una distribución lineal de carga. a dA, para una distribución superficial. P dv, para una distribución volumétrica. En cualquier caso debe tenerse muy en cuenta la simetría.
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Fig. 1.13 Campo eléctrico debido a un diferencial de carga dQ
1.14.
MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS:
La fuerza ejercida sobre una partícula de carga q, situada en un campo eléctrico g, está dada por:
⃑
⃑⃑
Esta fuerza produce una aceleración dada por:
⃑
⃑
Donde m es la masa de la partícula. En el cálculo del movimiento de la partícula en un campo se ignora el campo debido a la misma partícula.
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12
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO 1.15.
Cap. 1
FLUJO ELÉCTRICO:
Capítulo 1.
Si una magnitud fluye en el espacio tridimensional, la rapidez a la cual fluye a través de una superficie fija, se denomina flujo. En un campo eléctrico no existe nada material, ni tampoco fluye nada. Sin embargo, la idea de un flujo eléctrico es muy sugestiva por las similitudes de las líneas de campo eléctrico y las líneas de corriente utilizadas para describir el flujo de fluidos.
Para un campo eléctrico el flujo (I)se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie. Definimos el elemento de flujo eléctrico d 4) que sale a través del elemento de superficie dS, mediante:
⃑⃑
⃑
En el caso de una superficie finita S, el flujo total se obtiene integrando respecto a la superficie:
∫⃑⃑
⃑
Para superficies cerradas el flujo es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia afuera y es negativo si apuntan hacia adentro. Consideremos una superficie cerrada arbitraria inmersa en un campo eléctrico, como lo indica la fig. 1.15-a. Fig. 1.15-a Superficie hipotética inmersa en un campo eléctrico con tres elementos de área sobre su superficie. Dividamos la superficie en cuadrados elementales A 8, cada uno de los cuales es suficientemente pequeño que pueda considerarse plano, Tal Memento de área puede ser considerado como un vector A S, cuya magnitud es el área A S. La dirección de A S se toma perpendicular a la superficie. En estas condiciones, la definición aproximada de flujo eléctrico es:
∑⃑⃑
⃑
La definición exacta de flujo se encuentra en el límite, reemplazando la suma por una integral sobre la superficie, obteniéndose la siguiente expresión:
∮⃑⃑
⃑
El círculo sobre la integral indica que la superficie de integración es una superficie cerrada. La unidad de flujo 2 es el N-m /C.
13
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Si tenemos un elemento de área ΔS asociado con una superficie dada S, en una región donde existe un campo el eléctrico E, definimos el flujo Φ como el producto escalar del campo eléctrico y el elemento de área ΔS, así:
⃑⃑
⃑
|⃑⃑ | | ⃑ |
( )
El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o cero. Los siguientes dibujos ilustran los diferentes casos:
Capítulo 1.
Si θ es el ángulo entre E y ΔS, una forma equivalente de expresar esta definición es la siguiente:
Fig. 1.15-b Valores del flujo eléctrico según el ángulo entre t y AS Para calcular el flujo eléctrico que pasa a través de una superficie cerrada imaginaria que rodea una carga q, es particularmente fácil si tomamos como superficie una esfera centrada en la carga. En este caso E es paralelo a dg, por tanto tenemos:
⃑⃑
⃑
|⃑⃑ | | ⃑ |
( )
Entonces,
∮⃑⃑
⃑
Pero E puede sacarse de la integral por cuanto tiene el mismo valor en cualquier punto sobre la superficie centrada en la carga puntual, luego:
|⃑⃑ | ∮| ⃑ | El valor de la integral es exactamente
, o sea, el área total de la esfera. Por consiguiente tenemos:
Utilizando ley de Coulomb evaluamos E para puntos sobre la superficie de la esfera, dando por resultado:
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14
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Obsérvese cómo el radio de la esfera se elimina en los cálculos y no aparece en la expresión que relaciona el flujo con el valor de la carga fuente q.
Capítulo 1.
Si se tiene un conjunto de n cargas puntuales: q1, q2 ,...,qn, todas dentro de la misma superficie cerrada, el flujo total que pasa por la superficie cerrada, se puede escribir como:
Siendo,
Téngase en cuenta que cuando q es positivo, el flujo eléctrico es positivo y las líneas de campo atraviesan la esfera que rodea la carga en sentido hacia afuera. Cuando q es negativo, el flujo eléctrico es negativo y las líneas de campo atraviesan la esfera en la dirección hacia adentro. El valor absoluto del flujo eléctrico es en ambos casos igual al número de líneas de campo. Cuando se trata de cargas positivas tal número es el número de líneas que comienzan en la carga, si la carga es negativa, corresponderá al número de líneas que terminan en la carga.
1.16.
LEY DE GAUSS:
La ley de Gauss, que se aplica a cualquier superficie hipotética cerrada, establece una conexión entre el flujo eléctrico que atraviesa la superficie y la carga neta encerrada por la superficie. Esto es
∮⃑
⃑
En 1839 Karl Friedrich Gauss dedujo esta ley basado en el hecho de que la ley de Coulomb establece que la fuerza eléctrica es exactamente proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. La ley de Gauss se puede probar de la siguiente manera: Consideremos una partícula aislada de carga q situada en un punto O, e imaginémosla rodeada por una superficie cerrada de forma cualquiera, denominada superficie gaussiana. Imaginemos un cono infinitesimal de ángulo sólido dQ que tenga como vértice el punto O.
Fig. 1.16-a Representación geométrica para la prueba de la ley de Gauss
15
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
El cono intercepta la superficie en un elemento de área dS. En el punto P, situado a una distancia r, la intensidad del campo eléctrico debido a la carga q es
⃑⃑
Si ө es el ángulo existente entre E y ñ en el punto P, entonces
⃑⃑ ⃑
( )
Entonces
⃑⃑
⃑
⃑⃑ ⃑
Capítulo 1.
⃑
En donde la expresión final se obtiene utilizando la definición de ángulo sólido. Integrando la expresión anterior entre los límites y (el ángulo sólido que subtiende cualquier superficie cerrada vista desde un punto en su interior), el flujo total debido a q es
∮ ⃑⃑
⃑
∫
Recordemos que la unidad utilizada para describir los ángulos sólidos es el estereorradián (sr) según la
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Fig. 1.16-b Diagrama geométrico para mostrar el ángulo sólido subtendido por los diferenciales de área dS1 y dS2 Cual una esfera subtiende un total de
En la fig. 1.16-b un par de conos de áreas dS1 y dS2 subtienden el mismo ángulo sólido infinitesimal
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
En donde dS1cosθ y dS2cosθ son las proyecciones respectivas de dS1 y dS2 sobre el plano perpendicular al eje de los conos. La importancia del teorema de Gauss estriba en el hecho de que la integral de superficie cerrada de Eds. es igual al número de líneas de fuerza que salen cualquiera que sea la forma de la superficie cerrada.
17
Si se tienen varias cargas, la integral debe realizarse sobre una superficie cerrada que incluya todas las cargas, entonces
∮⃑
⃑⃑⃑
∑
La ley de Gauss se utiliza para determinar el campo eléctrico en problemas de elevado grado de simetría.
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES
Capítulo 1.
1.17.
Cap. 1
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18
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO 1.18.
PROBLEMAS
1.18.1.
Capítulo 1.
Cap. 1
PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS:
1. ( 1.1 K ) Tres cargas +Q1, -Q2 y +Q3 están espaciadas igualmente a lo largo de una recta tal como se indica en la figura anexa. Si los valores de Q1 y Q2 son iguales, Cuál habrá de ser el valor de Q3 para que la fuerza neta sobre Q2 sea cero? Solución: La fuerza neta sobre Q1 debe ser cero, entonces:
|
|
|
|
2. ( 2.3 K ) En un cierto volumen entran mil líneas de fuerza y salen tres mil. Cuál es la carga total en culombios existente en el interior de dicho volumen? Solución:
|
|
|
|
3. ( 16.1 M ) Una gota de aceite esférica y cargada, con una masa de 10-4 gramos se halla estacionaria en un campo eléctrico vertical que tiene 200 N/C de intensidad. Determine la carga neta de la gota. Solución:
∑
19
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
4. ( 16.3 M ) Un anillo circular delgado de 20 cm. De radio tiene una carga por unidad de longitud dada por A = 10-6 cosθ columbios por centímetro, como se ilustra en el diagrama. Calcule la carga total que tiene el anillo.
Solución:
∫
∫
(
∫
)
5. ( 16.5 M ) Un disco circular de 10 cm de radio contiene una carga total de 10-6C. La densidad de carga superficial Q es directamente proporcional a la distancia r desde el centro del disco. Si r se expresa en centímetros, obtenga el valor de la constante de proporcionalidad. ¿Cuánta carga está contenida en el círculo de 5 cm de radio? Solución:
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( (
)
) ∫
(
)
La carga contenida en un círculo de 5 cm. está dada por:
(
)(
)
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20
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
6. ( 16.7 M ) Se coloca una placa metálica grande, delgada y con un área de 10 m2, en un campo uniforme perpendicular a su superficie. Si el campo es de 50.000 N/C, halle la carga inducida en su superficie. Solución:
Capítulo 1.
Usando el teorema de Gauss:
∮⃑⃑
⃑
∮
.
/(
*(
)
7. ( 29.3 T ) Dos cargas ql y q2 cuando se combinan dan una carga total de 6 C. Cuando están separadas 3 m, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8 x 10-3N. Hallar q y q si: 2
a ) ambas son positivas de'modo que se repelen entre sí. b ) Una es positiva y la otra es negativa de modo que se atraen entre sí. Solución: a)
(1) (2)
De (2)
Reemplazando en (1):
√( (
)
)
Por tanto:
21
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO b)
Cap. 1
(3)
Capítulo 1.
(4) De (4)
Reemplazando en (3):
)
√( √
Reemplazando este valor en (3):
(
√
)
8. ( 16.15 M ) El radio de una esfera conductora es de 1 cm. Determine cuánta carga puede recibir sin provocar la ruptura eléctrica del aire circundante. Solución:
Entonces:
(
)(
)
9. ( 26.3 H ) Dos bolas similares de masa m se cuelgan de hilos de seda, de longitud 9. y llevan cargas similares q, como se muestra en la figura anexa. Supóngase que es tan pequeña, que tan θ puede reemplazarse por seno, por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación demuestre que
.
/
donde X es la separación entre las bolas. Si Q = 120 cm, m = 10 gr, y X = 5.0 cm, ¿cuál es q ?
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22
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Capítulo 1.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Solución: a)
∑
(1) ∑
(2) ( ) ( )
( )
.
/
b)
.
/
( )(
)(
)(
)(
)
10. ( 16.35 M ) Se carga un conductor esférico aislado de radio r2 hasta que su superficie está al potencial Vo y entonces tiene una carga total ql. Luego se desea poner la carga q en un segundo conductor esférico de radio r2, también aislado e independiente del primero, tal que su potencial superficial alcance el mismo valor Vo. Demuestre que para que esto suceda, q1/q2 = r1/r2. Demuestre también que lo anterior implica que las densidades de carga superficial σ1 y σ2 están relacionadas por σ1/σ2 = r2/r1. Este resultado, que indica que la densidad de carga superficial para un potencial dado, y por tanto para el campo superficial varia inversamente con el radio de curvatura; explica por qué los campos eléctricos
23
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
son muy intensos en la proximidad de objetos conductores con curvas de radio muy pequeño, o sea agudos.
Solución:
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24
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Capítulo 1.
1.18.2.
Cap. 1
PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS:
11. ( 1.3 K ) a) Encontrar la fuerza neta sobre una carga puntual de 2Q culombios situada en el centro de un cuadrado de 20 cm de lado, si se sitúan cuatro cargas puntuales idénticas de Q culombios en las esquinas del cuadrado. b ) Encontrar la fuerza que actúa sobre la carga central cuando se quita una de las cargas de las esquinas. Solución: a)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑
, por simetría
b)
Supongamos que quitamos la carga del extremo superior derecho. Entonces la situación es la siguiente:
(
√
)
√ Por simetría se anulan ⃑⃑⃑ y ⃑⃑⃑ ; Entonces: ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
(
⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
)
(
⃑⃑⃑ .
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
(
⃑⃑⃑ (
⃑
(
)(
√
)
√ ) . /
(
√
)
√ .
⃑⃑ )
√
/
/ )
(
)
|⃑⃑⃑ | 12. (1.5 K) Un anillo circular delgado de 3 cm de radio tiene distribuida uniformemente sobre él una carga total de 10-3C. Cuál es la fuerza sobre una carga de 10-2C, situada en su centro? Cuál sería la fuerza
25
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
sobre esta carga si estuviera colocada sobre el eje del anillo, pero a una distancia de 4 cm del plano del mismo ?
Capítulo 1.
Solución:
En el primer caso se tiene: Por simetría F = O En el segundo caso se tiene:
⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑
(
(
)(
)(
)(
⃑
)
)(
)
⃑
∫
⃑
⃑
13. ( 1.7 K ) Calcular la relación entre la repulsión electrostática y la atracción gravitatoria entre dos electrones. La carga del electrón es -1,6 x 10-19 culombios y su masa 9,0 x 10-31 Kg. La constante de gravitación universal vale 6,670 x 10-11 N-m2/Kg2. Solución: Repulsión electrostática:|⃑⃑⃑ | Atracción electrostática: |⃑⃑⃑ |
( (
) )
|⃑⃑⃑ | |⃑⃑⃑ |
(
) (
)
|⃑⃑⃑ | |⃑⃑⃑ | 14. ( 2.13 K ) Un dipolo de momento p = Qa está alineado paralelamente a lo largo del eje x. El campo no es uniforme y varia a lo largo del eje x, siendo dE/dx = K. Calcúlese la fuerza que actúa sobre el dipolo. Solución:
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26
Capítulo 1.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
⃑
(
⃑
)
(
Cap. 1
)
Como:
⃑
∫ Luego:
⃑(
y
)
⃑(
)
⃑⃑⃑ 15. ( 26.5 H ) Tres bolitas, cada una de masa igual a 10 gr. se cuelgan separadamente de un mismo punto, mediante hilos de seda, cada uno de 1,0 m. de largo. Las bolitas tienen exactamente la misma carga y quedan suspendidas en los vértices de un triángulo equilátero de 0,1 metro de largo cada lado. ¿ Cuál es la carga que tiene cada bola ? Solución:
√ √
(
( )
√ (
) (
Pero:
27
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))
(
)
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO (
Cap. 1
)
Pero:
√(
)
(
( )(
) )(
)
Capítulo 1.
( )
√
Sin hacer la aproximación tan (θ) ≈ seno (θ) se tiene:
( ) www.elsolucionario.org √
√ 16. ( 26.10 H ) Una cierta carga Q se va a dividir en dos partes: Q-q y q. L Cuál es la relación de Q a q si las dos partes, separadas una distancia dada, deben producir una máxima repulsión culombiana.? Solución:
(
)
17. ( 29.1 T ) Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, según se ve en la figura anexa; a ) Hallar el valor y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo por las otras cargas. b ) Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es:
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28
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Solución:
Capítulo 1.
√
a)
[
(
)( √
.
(
29
⃑
(
/
.
)
( (
| | b)
)
⃑
⃑
)
⃑
⃑
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(
))] √
)
/
Cap. 1
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO (
( )( )
( )(⃑⃑⃑⃑⃑ ) )
(
( )
( )(
( )(⃑⃑⃑⃑⃑ ) )
)
( ) ( )
( ) ⃑
(
Capítulo 1.
⃑
Cap. 1
( )(⃑⃑⃑⃑⃑ ) )
( ) ( )
⃑
(
)
√ ⃑
.
√(
⃑
(
) (
√
)
*(
/(
)
)
18. ( 30.10 T ) Un hilo delgado posee una densidad de carga lineal a y está doblado en forma de arco circunferencial que subtiende un ángulo 28°, como puede verse en la figura anexa. Demostrar que el campo eléctrico en el centro de curvatura del arco tiene el valor
(
)
Solución:
⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑
⃑⃑⃑ ⌈
∫ (
(
)
(
))
( )
⌉ (
)
19. (30.3T) Una carga lineal de densidad A tiene la forma de un cuadrado de lado L, que está contenido en el plano yz y tiene su centro en el origen. Hallar el campo eléctrico en el eje x , a una distancia arbitraria x, y comparar el resultado con el campo en el eje de un anillo cargado del mismo tamaño aproximadamente y que lleva la misma carga total.
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30
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
Solución:
⃑
∫ √ ( √ (
√
( ) (
)
(
( ) (
)
(
(
)) √
( )
√
))
( )
√( )
(
))
( )
( )
⃑ ( ⃑
√
[.
( )
√
( * /
( )
.
√
( ) ) ( * /
]
20. ( 30.1 T ) Demostrar que E en el eje de una carga en forma de anillo tiene sus valores máximo v mínimo para
√
31
√
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Capítulo 1.
Solución:
⃑ ⃑ ⃑ (
⃑ (
)
∫
(
̂
)
̂
‖⃑ ‖
̂
)
(
)
(
)
www.elsolucionario.org ( + (
(
+ (
(
)
( )
+ (
( ) (
)
(
)
)
)
) (
(
)
(
(
)
(
)
) √
21. ( 16.13 M ) El átomo de hidrógeno en su más bajo estado de energía permitido tiene un electrón cuya distancia media al protón nuclear es de 0.5 x 10_ 8cm. Calcule el campo eléctrico que produce el protón en el sitio de localización del electrón. Si se supone que este último está en una órbita circular, obtenga su velocidad en Km/h.
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32
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
Solución:
Capítulo 1.
El campo eléctrico que produce el protón en el sitio del electrón es:
⃑
⃑
̂
(
⃑
)
̂
̂
La velocidad del electrón se obtiene así:
√
√ (
(
) ( ) (
) )
22. ( 16.11 M ) Una semicircunferencia de radio R tiene una densidad de carga longitudinal uniforme A en toda su periferia. Demuestre que el campo eléctrico en el centro de la semicircunferencia es:
Solución:
33
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ⃑⃑⃑
( )̂ ⃑⃑⃑
( )
∫
( )̂
∫ ⃑⃑⃑
̂
⃑⃑⃑
|
( ) ̂
( )|
̂
̂
[ ]
23. ( 2.15 K ) Una sustancia aislante de forma hemisférica y radio R, lleva distribuida uniformemente sobre su superficie curva una carga Q. Calcular el campo eléctrico en el centro de la superficie plana que limita el hemisferio.
Capítulo 1.
⃑
Cap. 1
Solución:
⃑
( )(
( )
⃑
( )(
( )
∫
⃑
( ) (
̂ )
( )
Pero, en coordenadas esféricas
⃑
⃑
̂ )
( )
( ⃑
̂ )
(
*(
(
( )
∫
̂ )
*
*(
∫
.
.
*(
( )
̂ )[
/(
( )
( )
/
(
(
̂ )
̂ )
̂ )
]
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34
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
24. ( 2.9 K ) Una varilla en forma de semicircunferencia, como indica la figura anexa, está cargada uniformemente con una carga total de Q culombios. Calcular la intensidad del campo eléctrico en el centro de la curvatura.
Capítulo 1.
Solución:
⃑
⃑
( )( ̂ ) ⃑
⃑
∫
⃑
* ⃑
(
)
∫
( )( ̂ )
( )(
)( ̂ )
( ) ( ̂ )
( (
( )
|
( )|
)+ ( ̂ ) *(
(
)
( ̂ )
( ̂ )
( ̂ ) *( ̂ ) [
]
25. ( 2.5 K ) un anillo circunferencial delgado de 20 cm de radio está cargado con una densidad uniforme de 0 Culombios/m. Si se quita una pequeña parte del anillo de 1 cm de longitud, calcúlese la intensidad del campo eléctrico en el centro del anillo. Solución:
Teniendo en cuenta la simetría, el campo producido por el arco AC es igual y opuesto al campo producido por el arco BD, entonces el problema se reduce al cálculo del campo producido por el arco AB, así:
35
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⃑
⃑
( ) (̂ )
⃑
∫
( )(
Cap. 1
( ) (̂ )
) (̂ )
( )
(̂ )
( ) (̂ )
Capítulo 1.
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Pero:
(
⃑
(
)
)( ̂ )
[ ]
(̂ )
26. ( 2.7 B ) Se tiene un arco de circunferencia de carga Q que subtiende un ángulo Y , el resto del anillo tiene una carga -Q. Demuestre que si R es el radio del anillo, el campo eléctrico en el centro está dado por:
www.elsolucionario.org (
‖⃑ ‖
(
) )
Solución: De acuerdo a la simetría el sistema se reduce a:
Las contribuciones a los campos de los arcos AB y CD se anulan, entonces:
⃑
Pero: ⃑
⃑
⃑ ∫
( ) ̂
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∫
( ) ̂
36
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Capítulo 1.
⃑
⃑
*
∫
( )(
) ̂
( )
(
)+ ( ̂)
⃑
( )
( ̂)
( ) ( ̂)
( ) ( ̂)
Además:
⃑
∫
( ) ̂
⃑
∫
⃑
( )(
⃑
⃑
⃑
⃑
) ̂
(
(
) ̂ ( ̂)
( )
( )
( ) ( ̂)
( )[
( )(
∫
( ) ( ̂) ⃑
)
( ]
)
( ) ( ̂)
‖⃑ ‖
27. ( 27.3 H ) Una varilla delgada de vidrio está doblada en forma de una semicircunferencia de radio R. Una carga +Q está uniformemente distribuida a lo largo de la mitad superior y una carga -Q está distribuida uniformemente a lo largo de la mitad inferior, corlo se muestra en la figura anexa. Encuentre el campo eléctrico E en el punto P en el centro de la circunferencia. Solución:
37
Cap. 1
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( ) ( ̂)
)
( (
) )
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CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ∫
( )
(
⃑
( ) *(
⃑
( )*
(
)̂
( )̂
(
) ̂)
( ) ̂)+
Capítulo 1.
⃑
Cap. 1
De manera análoga:
⃑
⃑
( )(̂)
⃑
( )( ̂)+
( )(
⃑
( )) ( ̂)
(̂)
(̂)
28. ( 30.2.15 T ) Un cilindro infinitamente largo de radio R, tiene una densidad de carga volúmica uniforme p . Demostrar que el campo eléctrico tiene el valor,
E=
Solución: Para
∮⃑
: (
Para
(
(
) ∮⃑
: (
)
)
∫ .
/
)
∫ (
)
( )
29. ( 30.7 T ) Una esfera de radio R, posee una densidad de carga volúmica proporcional a la distancia al centro; p = Ar para r < R, p = O para r > R, siendo A una constante. 2
a ) Hallar la carga total sumando las cargas en cortezas de espesor dr y volumen 4irr dr. b ) Hallar el campo eléctrico E tanto en el interior como en el exterior de la distribución de la carga. Solución:
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38
CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Cap. 1
a)
Capítulo 1.
∫
∫
(
)
∫
b) r R:
∮⃑
( (
*
∮
) (1)
b. Para r < R:
∮⃑
(
*
(
)
(2)
97
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 DETERMINACION DEL POTENCIAL a. Para r > R:
⃑
∫
∫
∫
.
(
∫
Capítulo 2.
∫ ⃑
/
*
b. Para r < R: Usando la definición correspondiente a la diferencia de potencial entre el infinito y el punto r, se tiene:
∫ ⃑
⃑
∫ ⃑
∫
⃑
∫ ⃑
⃑
∫
∫
∫
∫
∫ (3)
Reemplazando (1) y (2) en (3) se tiene:
∫
∫
.
(
∫
/
*
∫
. /
(
)
(
)
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98
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
Capítulo 2.
(
)
2. (3.5 K ) El Campo eléctrico máximo que puede mantenerse en el aire (sin que se produzca ionización y, por tanto, se haga conductor) es alrededor de Voltios/cm. Con este criterio calcular el potencial máximo a que puede cargarse una esfera metálica de R = 10 cm. rodeada de aire. Solución:
(
*(
)
Obsérvese que:
3. (3.7 K) Un conductor esférico de radio a tiene una carga . Se encuentra en el interior de una esfera conductora hueca de radio b, tal como se indica en la figura anexa. Esta última se halla conectada a tierra a través de una batería de diferencia de potencial . a) Calcular la carga total sobre la superficie exterior de la esfera hueca y sobre la superficie interior. b) Hallar la expresión del campo y del potencial a una distancia r del centro de las esferas, siendo r < a, a < r < b, y finalmente r > b. Solución: a) Sobre la superficie exterior el potencial es.
Sobre la superficie interior, se tiene en cuenta el fenómeno de inducción electrostática, por tanto:
99
LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 b) Cálculo del potencial: Para r > b:
⃑
∫
∫
∫
Capítulo 2.
∫ ⃑
( *
Para a < r < b:
∫ ⃑
⃑
⃑
∫ ⃑
∫ ⃑
⃑
∫
. (
(
*
/ )
Para r < a:
∫ ⃑
⃑
∫ ⃑
⃑
∫ ⃑
⃑
∫ ⃑
⃑
www.elsolucionario.org (
)
Cálculo del campo eléctrico: Para r < a:
∮⃑ Para a < r < b:
∮⃑
Para r > b:
∮⃑
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100
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 4. (3.9 K) Un cilindro muy largo de radio a tiene una carga de Q culombios. Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a distancias y del eje del cilindro.
Capítulo 2.
Solución:
∫ ⃑
⃑
∫
∫
Pero de acuerdo al teorema de sabemos Gauss:
∫
∮⃑
∫
(
) ( *
5. (3.13 K )Dos gotas de agua idénticas están cargadas al mismo potencial dos gotas se juntan en una sola. Solución: Potencial de cada gota antes:
Potencial final:
(
)
Igualando los volúmenes se encuentra la relación entre r y r´, así:
(
101
*
√
LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
. Hallar el nuevo potencial si las
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Luego el potencial final puede escribirse así:
)
(
)
(
√
( )
+
6. (3.17 K) El potencial de los puntos de un plano es:
Siendo r y coordenadas de un punto del plano mientras que a y b son constantes. Calcular las componentes y de la intensidad del campo en cada punto.
Capítulo 2.
(
Solución: -
Obtención de la componente radial
( (
-
*
)(
)
(
)
Obtención de la componente transversal
( (
(
* ))
7. (16.19 M) Un protón se acelera desde el reposo en un campo uniforme ⃑ de N/C, de intensidad. Halle la distancia que recorre en s. Determine la diferencia de potencial por la que ha sido acelerador y cuál es su energía en joules y en electrón-coltios. Solución:
(
*
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102
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 (
Capítulo 2.
.
(
)
/
)(
(
)(
)
(
*
8. (16.25 M) Una carga Q está ubicada en el origen, mientras que dos cargas de igual magnitud –Q/2 están en el eje de las z en ± a. Demuestre que el potencial electrostático en cualquier punto del plano xy debido a esta distribución de carga es:
(
( En que
) *
es la distancia entre ese punto y el origen.
Solución: Sea
un punto cualquiera del plano xy, entonces:
∑
(
√
*
√ ( ( (
√
*
√ *
√ (
)
*
9. (16.37 M) Una placa conductora circular muy grande, de radio R, tiene una densidad de carga superficial no uniforme dada por (1 – (R/r)), en que r es la distancia desde el centro de la placa. Determine el potencial en un punto sobre el eje perpendicular a la placa y que pasa por su centro.
103
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Solución:
. ∫
∫
Capítulo 2.
√ ( )/ √
.
( )/
∫
√
.∫
∫
√
. ∫
/
√ ∫
√
/
√
√
√ 5 ( ) , www.elsolucionario.org
( 4
(√
.
(
(√
4(√
)
) 4(√
(
)
.
)
)
√
(
.
.
√
( )*/
)
√
/5
√
/
/5
10. (16.45 M) Calcule el potencial electrostático a la distancia X desde una lámina cargada finita pero muy grande, que tiene una densidad de carga uniforme . Utilizando este resultado, evalúe el campo eléctrico. Aplique luego el límite para una lámina infinita y se muestre que el campo concuerda con el que se obtiene a partir de la ley de Gauss. Para simplificar, suponga que la lámina es circular y que el punto de campo está en un eje perpendicular al centro de la lámina.
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104
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Solución:
(
)
Capítulo 2.
√ ∫
( (
)∫ (
)((
) )
) )
(( )
((
(
Cuando R (
) )
(( (
)
) )
((
)*
)
: (
)
*
(
(
(
(
)
*
+
)
| |
11. (16.51 M) Una distribución de densidad de carga es uniforme en las direcciones Y y Z, pero varía en la dirección X de acuerdo con la ecuación ( ) , en que es una constante. Se sabe que el campo eléctrico es nulo en X = 0. Obtenga: a. El campo eléctrico a una distancia X del plano X = 0 b. La diferencia de potencial entre cualquier punto y el plano X = 0.
105
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Solución: a.
∫
.
( )
∫
/
.
.
/
Capítulo 2.
∮⃑
/
b.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫
∫
.
/
12. (29.13 H) Una carga por unidad de longitud está distribuida uniformemente a lo largo de un segmento de varilla de longitud L. a. Determinar el potencial electrostático (tomándolo como cero en el infinito) en el punto P a una distancia y del extremo del segmento cargado y en línea con éste (ver figura anexa). b. Use el resultado de a para determinar la intensidad del campo eléctrico en P en la dirección de Y (a lo largo de la línea). c. Determine la componente de la intensidad del campo eléctrico en P, en la dirección perpendicular a la línea recta. Solución: a.
∫ (
)
(
∫ *
(
*
b.
(
( (
*+ *
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106
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
Capítulo 2.
( (
)
(
(
)
*
)
c.
(
(
)
*
13. (29.10 H) Para la configuración de carga mostrada en la figura anexa, demuestre que V(r) para puntos sobre el eje vertical, asumiendo r >> a, está dado por:
(
*
Solución:
(
)
(
( .
) )
(
)
(
)
(
/
*
Si r >> a,
(
)
14. (29.17 H) En el experimento de la gota de aceite de Millikan un campo eléctrico de 1,92 x nt/coul la mantiene en equilibrio en medio de dos placas separadas por 1,50 cm. Encuentre la diferencia de potencial entre las placas. Solución:
(
)(
)
15. (29.18 H) Demuestre que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de carga q y radio a, está dada por:
√
107
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Solución:
∫
∫ (
√
)
√
16. Determinar el potencial eléctrico y el campo eléctrico de un dipolo en un punto arbitrario del espacio.
Capítulo 2.
∫
Solución:
∑
www.elsolucionario.org ( (
)
Son las distancias al punto P de las cargas Q y –Q puesto que +Q está en (X, Y, Z) =
) y -Q en (X, Y, Z) = (
) , obtenemos: √
(
√
)
(
)
Si estamos interesados en puntos lejanos que satisfagan la condición:
√ Podemos usar a aproximación:
(
)
( )
, para pequeños cambios de
(
)
.
/
(
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)
108
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Identificamos
con
y
con (
), entonces
(
Capítulo 2.
√
(
)
) √
√
.
/
.
/
Análogamente:
Por consiguiente:
(
*
(
.
/+
(
.
/+
Luego la expresión para el potencial en un punto distante de un dipolo es:
Para Qa =| ⃑ |
, entonces
|⃑|
⃑
(⃑
)
El campo eléctrico de un dipolo para un punto lejano se obtiene así:
⃑ Pero
(⃑
⃑
) (√
)
Siendo r = √ Además:
√( Como el radio vector
se escribe
̂
⃑
)
̂
√
√
̂ , entonces obtenemos: ̂
̂
̂
( ̂
̂) ̂
√
El potencial v puede escribirse como:
( )
109
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 ( )
( (
Recordando que (
)
| |
̂
y que
(
*
̂
̂
(
*
(
*
( *(
Obtenemos
( (
*
*
Capítulo 2.
( *
*
)
)
(
)
Luego:
̂
̂
̂
.
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(
)
/
110
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 2.15.2.
PROBLEMAS SOBRE TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA:
Capítulo 2.
1. (16.9 M) Dos cargas puntuales, están separadas a 1m. Determine que trabajo se realiza para mover una tercera carga, , desde un punto situado en la línea que une las cargas, a 60 cm de y 40 cm de , hasta el punto medio entre las mismas.
Solución:
∫
⃑
( ∫
(
(
( )(
) 2(( .
̂
(
̂*
⃑
( ̂)
( ̂)
∫
) *
( *
)) ( (
(
( ̂)
( ̂)
) ∫
(
)
* *
. (
(
*/3
*/
)
2. (16.21 M) Dos bolas cargadas, cada una como radio muy pequeño y carga Q, están suspendidas de hilos de longitud ℓ. Cada bola tiene una masa m, se repelen una a otra, y en equilibrio, forman un ángulo con la vertical. a. Demuestre que el ángulo
está por una solución de la ecuación.
b. Obtenga una expresión para la energía potencial (Gravitacional más eléctrica) en términos de . c. Demuestre que la expresión en (a) se puede obtener minimizando la energía potencial con respecto al ángulo .
111
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Solución: a.
∑
Capítulo 2.
(1)
∑ (2) De (1): T De (2): T
(1)’ (2)’
= Fe = mg
Dividiendo (1)’ entre (2)’
(
)
(
)
b.
(
)
c.
( ) www.elsolucionario.org ( (
Haciendo
*
)
) , puesto que
3. (16.23 M) Que trabajo debe hacerse para mover un electrón desde una distancia inicial de 0,528 x de un protón hasta una separación infinita?
m
Solución:
∫
⃑
(
⃑)
⃑
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112
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 ⃑
∫
Capítulo 2.
.
⃑
∫
/
( (
* )(
)
4. (16.29 M)Un dipolo puntual cuyo momento dipolar es 2,4 x m está orientado formando un ángulo de 60° con un campo eléctrico constante aplicado exteriormente, de 3 x V/m. Calcule: a. El momento de rotación que ejerce sobre el dipolo el campo externo. b. El trabajo que puede realizar el dipolo a alinear su vector paralelamente al campo externo. Solución: a.
⃑
⃑ ⃑
⃑
(
)(
)
⃑ b.
∫
∫ ( (
(
)
) )
(
)(
)(
)
5. (16.47 M) Un globo de radio r tienen una carga Q distribuida uniformemente en su superficie. Demuestre que el globo experimente una fuerza electrostática hacia afuera por unidad de área superficial dada por:
113
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Solución:
∫
( *
∫
(
(
*
∫
.
Capítulo 2.
( *
/
* (
)
6. (16.49 M) Suponga por un momento que el protón es una carga puntual. Que trabajo se realiza para traer un electrón desde el infinito hasta una distancia de cm del centro del protón? Si se supone que el protón es una esfera de cm de radio y que tiene una distribución de carga uniforme en todo su volumen. Que trabajo se necesita para mover un electrón desde el infinito hasta una distancia de cm desde el centro del protón? Solución:
Suponiendo que el protón es una carga puntual, el trabajo que se realiza para traer un electrón desde el infinito hasta una distancia de cm del centro del protón, es:
∫
⃑
∫
∫
∫
∫ (
.
/
)
Suponiendo que el protón tiene una distribución de carga uniforme en todo su volumen, el trabajo que se necesita para mover un electrón desde el infinito, hasta una distancia de cm, desde el centro del protón es:
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114
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 ⃑
∫
⃑
∫
Capítulo 2.
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
115
⃑
∫ ∫
⃑
∫
)
. (
)
(
/
. / )
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( (
) )
((
)
(
) )
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 2.15.3.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
SOLUCION: B
B VB V A E dl Edl cos 180 0 A
B
A
A
r B
B
A
A
B
dr 2 Ar
VB V A Edl Edr k e q
Capítulo 2.
1. Determine la diferencia de potencial entre los puntos B y A, situados en las proximidades de una carga puntual q.
1 dr 1 k e q 2 rB rA Ar
B
VB V A k e q Si rA
y definimos V =0, eliminando el subíndice, se sigue que:
V ke q / r 2. Potencial eléctrico en un punto P situado a una distancia x sobre el eje de una anillo cargado uniformemente de radio a y carga total Q.
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SOLUCION:
V ke V ke
dQ ke r (2 a) x2 a2
2A
0
ke
dl x a 2
2
2
r
a
x
Q
+x
2
P
x2 a2
3. Determine el potencial eléctrico en un punto situado a una distancia x sobre el eje perpendicular que pasa por el centro de un disco cargado uniformemente de radio a, que tiene una densidad superficial de carga .
r
r
SOLUCION: x
El potencial debido a un anillo de área A 2 rdr y carga dQ dA está dado por:
dV k e
dQ r 2 x2
ke
(2 rdr) r 2 x2
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116
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Sumando sobre todos los anillos que conforman el disco, se tiene: r
V k e 0
2 rdr r 2 x2
r
k e (r 2 x 2 )
rdr
0
1 2 2 2 ( r x ) V k e 1 2
Capítulo 2.
1 2
a 0
1 V 2k e (a 2 x 2 ) 2 x
4. Una esfera sólida aislante de radio R tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q (figura anexa). Determine el potencial eléctrico en los puntos:
R
a) r > R, b) r = R, c) r < R
Q
Considere el potencial igual a cero en r = . SOLUCION: a)
El potencial eléctrico para r > R, está dado por: r
V Edr
Pero:
E ke
Q r2
Entonces:
r 1 r dr V k e Q 2 k e Q 1 r r
V ke
Q r
b) Para r = R, el resultado es idéntico al anterior pero se debe cambiar r por R, así:
V ke
Q R
c) Para r < R, se debe tener en cuenta el valor del campo eléctrico en el interior de la esfera, así:
Ein k e
117
Qr R3
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r
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Luego: r
V Edr Ahora separamos la integral en dos, debido a que el campo eléctrico por fuera de la esfera es diferente al campo en el interior, luego: R
r
R
V Edr Edr R
r
dr Q k e 3 rdr 2 R R r
V k e Q
Capítulo 2.
r 1 R Q r2 r V k e Q ke R 3 2 R 1
V ke
Q Q ke (r 2 R 2 ) 3 R 2R
V ke
Q r2 (3 2 ) 2R R
De aquí se sigue que el potencial en el centro de una esfera aislante uniformemente cargada se obtiene para el valor r =0, por tanto:
V( r 0) V0
3k e Q 2R
El gráfico del potencial se puede apreciar en la gráfica siguiente:
V0
R
r
5. A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es V=400 Voltios y la magnitud del campo eléctrico es E = 150 N/C. Determine los valores de q y r.
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118
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 SOLUCION: El potencial producido por una carga puntual es:
Capítulo 2.
V ke
q 400 voltios r
El campo eléctrico debido a una carga puntual a la distancia r es:
E ke
q 150 N / C r2
Dividiendo la primera ecuación por la segunda, se obtiene:
q r 400 r 400 2,6m q 150 150 ke 2 r ke
Sustituyendo este valor en la primera ecuación se tiene:
q
400(r ) 400(2,6) C 115.55 x10 9 C 9 ke 9 x10
6. Las tres cargas de la figura anexa están en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base, considerando q= 7.0 C.
q
SOLUCION: En el punto medio de la base, el potencial eléctrico viene dado por:
VP V1 V2 V3 VP k e
4m
q q1 q ke 2 ke 3 r1 r2 r3
q q q VP k e 0.01m 0.04 2 0.012 0.01m 1 2 VP k e q 0.01m 0.038
-q
P
-q
2cm
VP 9 x109 (7 x10 6 )(173.36)V VP 10921.68x103V 7. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje del anillo mostrado en la figura anexa, el cual tiene una densidad de carga uniforme .
119
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 SOLUCION: El potencial eléctrico en el punto P se obtiene de idéntica manera al caso del disco, pero en esta oportunidad sólo cambian los límites de la integral, así:
b
V k e a
r 2 x2 2 rdr r 2 x2
ke
b
(2 rdr) a
r 2 x2 b
k e (r 2 x 2 )
x 1 2
P
rdr
a 1 2 (r x 2 ) 2 b V k e 1 a 2
Capítulo 2.
dV k e
dQ
1 1 V 2k e (b 2 x 2 ) 2 (a 2 x 2 ) 2
V
2 4 0
V
1
1
(b 2 x 2 ) 2 (a 2 x 2 ) 2
2 0
1 1 2 2 2 2 2 2 ( b x ) ( a x )
www.elsolucionario.org 8. Un alambre que tiene una densidad de carga lineal uniforme , se dobla en la forma indicada en la figura anexa. Encuentre el potencial eléctrico en el punto O.
2R
R
2R
O
SOLUCION: El potencial eléctrico en el punto O se obtiene como la contribución de tres potenciales: uno debido a una semirecta, otro debido al bucle semicircunferencial y el otro debido a la otra semirecta, así:
VO V1 V2 V3 Veamos cómo se calcula V1:
2 Rx
dx dQ dV1 k e ke x x
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R
O
120
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 V1 k e
R2 R
R
dx 3R k e ln k e ln(3) x R
Capítulo 2.
Para calcular V2 se procede así
dV2 k e
dl dQ ke x R
Entonces:
V2 k e
R
R
dl k e R (R) k e 0
Luego:
VO 2k e ln(3) k e k e 2 ln 3 9. Una barra de longitud L (ver figura anexa) se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene una densidad de carg no uniforme =x (donde es una constante positiva). a) Cuáles son las unidades de ? b) Calcule el potencial eléctrico en A.
y SOLUCION: El potencial debido a un elemento diferencial de carga dQ dx está dado por:
dV k e
dx
(d x)
d
Insertando el valor de =x se tiene:
dV k e
A
xdx (d x)
Integrando se tiene: L
xdx ( d x) 0
V dV k e Teniendo en cuenta la integración por partes:
udv uv vdu podemos hacer las siguientes asignaciones:
u x d dx
dv
121
dx v ln( d x) dx
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dQ= dx
L
x
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Luego:
xdx
d x x ln(d x) ln(d x)dx Pero:
Capítulo 2.
ln(d x)dx (d x) ln(d x) (d x) Entonces:
d x x ln(d x) (d x) ln(d x) (d x)] xdx
Cuando se saca factor común a:
ln(d x)
se sigue que:
xdx
d x d ln(d x) (d x) Por tanto: L
d x d ln(d x) (d x) 0 xdx
L
0
L
xdx
d x d ln(d L) (d L) d ln d d 0
L
xdx
d x L d ln 0
( d L) d
Por consiguiente:
d L V k e L d ln d 10. Considere dos cascarones esféricos delgados y conductores, como en la figura anexa. El cascarón interno tiene un radio r1=15 cm y una carga de 10 nC. El cascarón exterior tiene un radio r2=30 cm y una carga de –15 nC.
r1
Encuentre a) el campo eléctrico E b) el potencial eléctrico V en las regiones A, B y C, con V=0 en r = .
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B
A
r2
C
122
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 SOLUCION: a) El campo eléctrico en la región A se obtiene a partir de la ley de Gauss:
Capítulo 2.
E dA qneta 0 E 0 El potencial eléctrico en la región A se obtiene de la siguiente manera: r
r2
r1
r
r2
r1
V Edr Edr Edr Edr Pero el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico de radio r 1 es nulo, por tanto: r
r2
r1
r2
V Edr Edr Edr
1 1 5 x10 9 C k e (10 x10 9 C ) r2 r1 r2
V k e
b)El campo eléctrico en la región B se obtiene a partir de la ley de Gauss:
9 E dA qneta 10x10 C / 0
E (4 r 2 ) 10 x10 9 C / 0 E
10 x10 9 C 10 x10 9 C k e 4 0 r 2 r2
El potencial en la región B, se obtiene a partir de la siguiente expresión: r
r2
r
r2
V Edr Edr Edr r2
r
dr dr 9 k 10 x 10 C e 2 2 r r2 r
V k e 5 x10 9 C
V k e
1 1 5 x10 9 C k e (10 x10 9 C ) r2 r r2
c) El campo eléctrico en la región C, se obtiene a partir de la ley de Gauss:
E dA qneta 5x10
123
9
C /0
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 E (4 r 2 ) 5x10 9 C / 0 5 x10 9 C 5 x10 9 C k e 4 0 r 2 r2
Capítulo 2.
E
El potencial en la región C, se obtiene a partir de la siguiente expresión: r
r
dr 2 r
V Edr k e (5 x10 9 C )
r
V Edr k e
5 x10 9 C r
11. La barra delgada cargada uniformemente que se muestra en la figura anexa tiene una densidad de carga lineal . Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en P.
y SOLUCION: P
La contribución al potencial de un diferencial de carga dQ dx está dada por:
dV k e
dx
r
b
r www.elsolucionario.org Pero de acuerdo a la figura:
a r ( x a) b 2
L
2
Luego la suma de todas las contribuciones de los diferentes diferenciales de carga al potencial, puede expresarse como: a L
V ke
a
dx (a x) 2 b 2
Como se sabe esta integral es de la forma:
dv a v 2
Por tanto:
2
ln(v a 2 v 2 ) sen 1
V k e ln (a x) (a x) 2 b 2
a a L
V k e ln (a a L) (a a L) 2 b 2
v a
k e ln (a a) (a a) 2 b 2
a a L
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124
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
Capítulo 2.
( 2a L ) ( 2a L ) 2 b 2 V k e ln 2a 4a 2 b 2
12. Un contador Geiger –Müller es un detector de radiación que se compone de un cilindro hueco (el cátodo) de radio interior r a y un alambre cilíndrico coaxial (el ánodo) de radio r b (ver figura anexa). La carga por unidad de longitud del ánodo es , en tanto que la carga por unidad de longitud en el cátodo es . a) Muestre que la magnitud de la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro en la región sensible del detector es
r V 2k e ln a rb
b) Muestre que la magnitud del campo eléctrico sobre esa región está dada por
E
V 1 ln ra / rb r
donde r es la distancia del centro del ánodo al punto donde se va a calcular el campo.
ra
- rb
SOLUCION: a) De la definición de diferencia de potencial se tiene que: b
V Vb Va Edr a
Pero de la ley de Gauss, se puede calcular el campo eléctrico en puntos r tales que r b < r < r a :
E dA Entonces:
E (2 rl )
q neta
0
l 0
l E 0 2 0 r
Luego:
V Vb Va dr 2 0 r 2 0 a b
125
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b
dr r a
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 V
r r ln b ln a 2 0 ra 2 0 rb
V
2 4 0
r ln a rb
r 2k e ln a rb
Capítulo 2.
Multiplicando y dividiendo por 2:
b) El campo eléctrico se obtiene a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:
r 1 1 d ra E 2k e 2k e a 2 ra dr r ra r r r E
dV d r 2k e ln a dr dr r
Pero de la expresión obtenida para la diferencia de potencial V, se sigue que:
2k e
V r ln a rb
Sustituyendo esta cantidad en la última expresión para E se tiene:
E
V r ln a rb
ra ra r
V 1 1 2 r ra r ln rb
13. a) Considere un cascarón cilíndrico cargado uniformemente que tiene una carga total Q, radio R y altura h. Determine el potencial electrostático en un punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como en la figura anexa. Considere el cilindro como una colección de cargas de anillos.
h d
b) Determine el campo eléctrico para el caso de un cilindro sólido.
SOLUCION: a) El potencial electrostático en el punto se obtiene de la siguiente manera: La contribución al potencial de un disco de carga dQ está dada por:
dV 2 k e
dQ R2
( x 2 R 2 ) 12 x
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126
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Cambiando dQ por dx e integrando se obtiene:
Capítulo 2.
V 2 ke
V 2 ke
1 R2
d h
dx ( x
1
R2 )
2
2
d
d h
R 2
x
d h
d
x 2 R 2 dx
d
xdx
Pero:
x x2 a2 a2 x a dx ln( x x 2 a 2 ) 2 2
2
2
Entonces:
V 2 ke
V 2 ke
x x2 R2
R 2
2
2 2 ( d h) ( d h) R
R 2
2
R2 ln( x x 2 R 2 2
R2 ln(( d h) 2
( d h) 2 R 2
R2 d2 ln( d d 2 R 2 ) 2 2
b) La contribución al campo debida a un anillo de carga dQ está dada por:
dE k e
x
(dQ) x 2
r
2
3
iˆ 2
Esta expresión nos permite calcular la contribución al campo de un disco, así: Teniendo en cuenta que dQ dA (2 rdr) Entonces:
(2 rdr ) x dE k e iˆ 3 2 2 2 x r
Integrando entre cero y R, se tiene:
E k e (
R
x) 0
127
x
x2 d h 2 d
2rdr 2
r
2
3
iˆ 2
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( d h) 2 d d 2 R 2 2 2
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 E k e (
x)
R iˆ x 2 r 2 0 2
E 2k e 1
Capítulo 2.
2 2 E k e ( x) iˆ 2 2 x x R
iˆ x 2 R 2 x
Ahora tomando dQ / R podemos encontrar la expresión que indica la contribución al campo de un elemento diferencial de carga del cilindro (el cual corresponde a un disco con carga dQ): 2
dQ dE 2k e 1 R 2
iˆ x 2 R 2
dx dE 2k e 2 1 R
iˆ x 2 R 2
x
Cambiando ahora dQ por dx, se tiene:
x
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Integrando entre d y d+h, se sigue que:
2k d h E e2 1 R d
dx iˆ x 2 R 2 x
d h 2k 1 2 xdx E e2 h 2 d x2 R2 R
2k E e2 h R
x
2
R2
ˆ i
d d hiˆ
2k E e2 h d 2 R 2 (d h) 2 R 2 iˆ R 14. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de carga uniforme y una carga total Q. electrostática.
Calcule su energía
SOLUCION: La energía potencial electrostática se obtiene a partir de la siguiente expresión:
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128
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
Capítulo 2.
U
1 0 E 2 dv 2 0
Teniendo en cuenta que la energía potencial existe donde hay campo eléctrico, descomponemos la integral en dos integrales correspondientes a las regiones 0 < r < R y r > R, así:
R
1 1 U 0 E 2 dv 0 E 2 dv 2 0 2 R Teniendo en cuenta que las expresiones para el campo dentro y fuera de la esfera están dadas por:
E
r 3 0
rRy E
R 3 3 0 r 2
Por lo tanto, recordando que el diferencial de volumen puede escribirse como:
dv 4r 2 dr Entonces, se tiene que:
1 U 0 2 3 0
1 R3 0 2 3 0
2R
r
2
(4r 2 dr )
0
2
2
1 2 r 2 (4r )dr R 2
R5 1 4 U 0 5 2 3 0 2
1 R3 1 4 0 2 3 0 R 2
R5 1 5 U 0 4 R 5 2 3 0
U
12 2 5 R 45 0
15. Un electrón se suelta desde una distancia d medida sobre el eje principal de un anillo de radio R y carga Q, con qué velocidad pasa por el plano del anillo?
-e
R
d SOLUCION:
129
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Del principio de conservación de la energía se tiene:
( K U ) xd (( K U ) x0
Como se suelta desde x=d, significa que su velocidad inicial y por tanto su energía cinética son nulas, luego teniendo en cuenta que la energía potencial es U = qV, se sigue que:
1 (eV ) x d mv 2 eV 2 x 0
Capítulo 2.
(U ) xd ( K U ) x0
Como el potencial en un punto x sobre el eje de una anillo de carga Q es:
Q
V ke
x R2 2
Entonces:
ek e
Q d 2 R2
1 2 Q mv ek e 2 R2
Luego:
ek e
Q ek e R
Q d 2 R2
1 2 mv 2
Por tanto la velocidad en el centro del anillo está dada por:
v
1 2 1 ek e Q m R d 2 R2
16. Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarón esférico de radio R con una carga total Q. SOLUCION: El trabajo realizado para cargar un cascarón es igual a la energía potencial eléctrica almacenada, por tanto:
1 U 0 E 2 dv 2 R Como el campo eléctrico está dado por:
E ke
Q 2 y el diferencial de volumen es dv 4r dr , se sigue que: 2 r
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130
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
U
2
1 Q 0 k e 2 (4r 2 dr ) 2 R r
Capítulo 2.
1 dr 2 U 0 k e Q 2 (4 ) 2 2 Rr U
r 1 1 0 k e 2 Q 2 (4 ) 2 1 R
U
1 Q2 Q2 ke 2 R 8 0 R
17. El eje x es el eje de simetría de un anillo cargado uniformemente de radio R y carga Q. Una carga puntual Q de masa M se localiza en el centro del anillo. Cuando éste se desplaza ligeramente, la carga puntual se acelera a lo largo del eje x hacia el infinito. Demuestre que la velocidad final de la carga puntual es
2k Q 2 v e MR
1
2
SOLUCION: Del principio de conservación de la energía se tiene:
(K U )C (K U ) 1 QV Mv 2 QV 2 Pero la expresión para el potencial en un punto x sobre el eje de un anillo de carga Q es:
V ke
Q x2 R2
De tal suerte que en el centro del anillo x=0 y en el infinito x=, por lo tanto
V 0 . Luego:
2k e Q 2 Q2 1 2 ke Mv v . R 2 MR 18. Una lámina infinita de carga que tiene una densidad superficial de carga se encuentra en el plano yz, pasa por el origen y está a un potencial V0. Un alambre largo con densidad lineal se dispone paralelo al eje y e intercepta al eje x en x=d. a) Determine en función de x, el potencial a lo largo del eje x entre el alambre y la lámina. b) Cuál es la energía potencial de una carga q ubicada en x=d/4.
131
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 SOLUCION:
y
V Vlámina Valambre El potencial en un punto x próximo a la lámina de densidad superficial de carga , está dado por:
Vlámina V x V x,0
x V V0 E dl 0
d
x
x
z
Capítulo 2.
a) El potencial en un punto entre el alambre y la lámina se obtiene como la superposición de dos contribuciones: el potencial debido a la lámina y el potencial debido al alambre, así:
dl V0 x 2 2 0 0 0 x
Vlámina V0
El potencial en un punto x, debido al alambre largo de densidad lineal de carga , está dado por:
Valambre
d d ln r ln( ) d x 2 0 2 0 dx
Obsérvese que cuando se considera solamente el alambre cargado, en x=0, el potencial es nulo y para x=d el potencial es infinito.
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Por lo tanto, el potencial debido a las dos contribuciones es:
V V0
d x ln( ) 2 0 2 0 dx
b) La energía potencial electrostática de la carga q situada a d/4 es:
U qV qV0
q q 4 x ln( ) U qV qV0 q 2 0 2 0 3
19. Cuatro partículas idénticas de carga q y masa m, se liberan desde el reposo, estando inicialmente en los vértices de un cuadrado de lado L. Cuál es la rapidez de cada carga cuando la distancia al centro del cuadrado se ha duplicado? Considere que sólo se deja una partícula libre. Qué velocidad alcanzará cuando se suelte? SOLUCION:
q2
2L
L q1
El procedimiento para encontrar la velocidad de cada carga cuando la distancia al centro del cuadrado se ha duplicado, consiste en utilizar el principio de conservación de la energía, así:
q3
L
q4
2L
U antes K U después 4K partícula U después
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132
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Pero:
U antes
4 4 q q 1 i j k e 2 i 1 j 1 rij
Capítulo 2.
j i
U antes
U antes
4 qq qq qq qq 1 ke i 1 i 2 i 3 i 4 2 i 1 ri1 ri 2 ri 3 ri 4
1 q 2 q1 q3 q1 q 4 q1 q1q 2 q3 q 2 q 4 q 2 q1q3 q 2 q3 q 4 q3 q1q 4 q 2 q 4 q3 q 4 ke r13 r23 r43 r14 r24 r34 2 r21 r31 r41 r12 r32 r42
Teniendo en cuenta que las distancias: r21
r12 ; r31 r13 ; r41 r14 ; r23 r32 ; r24 r42 r34 r43
La expresión anterior se reduce a:
U antes
qq q q qq q q qq 1 q1q 2 k e 2 2 1 3 2 1 4 2 3 2 2 2 4 2 3 4 r24 r34 2 r12 r13 r14 r32
Simplificando por 2:
qq q q q q qq q q qq U antes k e 1 2 1 3 1 4 3 2 2 4 3 4 r24 r34 r13 r14 r32 r12 Teniendo en cuenta que las cargas son iguales, se sigue que:
1 1 1 1 1 1 U antes k e q 2 r12 r13 r14 r32 r24 r34 Reemplazando las distancias en términos de L:
1 1 1 1 1 1 U antes k e q 2 L L 2 L L L 2 L Reduciendo términos:
2 4 U antes k e q 2 L L 2 U antes
ke q 2 4 2 L
La energía potencial electrostática se obtiene en forma similar, pero podemos darnos cuenta que basta con cambiar L por 2L en la expresión anterior:
133
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 U después
ke q 2 4 2 2L
U antes 4K partícula U después o también:
ke q 2 k q2 4 2 4 K partícula e 4 2 L 2L
Capítulo 2.
Luego haciendo uso de la primera ecuación se sigue que:
Teniendo en cuenta que la energía cinética de cada partícula está dada por:
K partícula
1 2 mv 2
Se obtiene que:
1 2 U antes U después mv 2 4 Luego:
2 U antes U después m 4
v
v
v
ke q 2 4 2 2 2L m 4
q ke 4 2 2 mL
Si sólo se deja una partícula libre, la ecuación de conservación de la energía, establece que:
U antes K U después K partícula U después En esta oportunidad:
U antes
ke q 2 4 2 L
El cálculo de la energía potencial después de que la sólo una partícula se desplaza hasta el doble de su distancia al centro del cuadrado se obtiene en forma similar y viene dada por:
U después
1 4 qiVi 2 i 1
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134
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
Capítulo 2.
donde
Vi es el potencial calculado donde se encuentra la partícula i, así: 1 U después q1V1 q2V2 q3V3 q4V4 2
U después
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ke q 2 2 L 3L 2 / 2 L L L 2 L 10 / 2 L 10 / 2 3L 2 / 2 L 10 / 2 L
1 L 2
1 L 10 / 2
Reduciendo términos:
U después
ke q 2 L
5 2 2 10 2 6 5
Luego:
U antes
1 2 mv U después 2
Entonces:
v
v
135
2 k e q 2 m L
2 U antes U después m
5 2 2 10 4 2 2 6 5
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 2.16.
MODELO DE EVALUACIONES:
2.16.1.
EVALUACIÓN 1 (1 P):
(
Capítulo 2.
1. En un sistema de coordenadas (X, Y, Z) mts, se encuentran localizadas cargas eléctricas puntuales, así: )
(
)
a. Determinar el vector campo eléctrico en el punto m. b. Calcular el vector fuerza eléctrica que experimenta la carga localizada en el punto N. Solución:
www.elsolucionario.org a. Campo eléctrico en el punto m. ⃑
̂ ⃑⃑⃑⃑⃑
(
⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑ ̂
̂
(
⃑
(
⃑⃑⃑
̂)
( ̂
̂ ̂
⃑
⃑⃑⃑
)
(
̂
b. Fuerza eléctrico sobre
̂) ̂
√ ) (
)(
̂
̂)
̂) debida a
es: ̂ ( ̂ ̂
̂
̂)
(
̂
|
̂
̂
̂)
|
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136
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 (
)
(
) (
Capítulo 2.
(
)(
) (
)( ̂
̂)
̂) ̂
2. En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme ⃑ ̂ Newton/coul. Una partícula cargada con masa m (kg) y carga eléctrica –Q coul, en el instante t = 0 se pone en movimiento desde un punto situado en el origen de coordenadas, con velocidad (̂ ̂) m/s. Despreciando efectos gravitacionales, determinar el vector aceleración y el vector velocidad de la partícula cargada, en el instante t > 0. Solución:
⃑ ̂
Cálculo del vector aceleración: ⃑
⃑
.
̂/
Cálculo del vector velocidad: ⃑
⃑
⃑
(
(̂
̂)
̂*
3. a. A, B y C son superficies gaussianas, en una región del espacio donde existe el campo eléctrico ilustrado. Qué puede decir respecto a la carga eléctrica encerrada por cada superficie? Justifique sus respuestas. b. Para el mismo caso, que puede decidirse respecto al flujo eléctrico a través de cada una de éstas superficies?. Explique. c. Se tiene una línea uniformemente cargada con λ constante. Un hemisferio de radio R mts. Se ha colocado como se indica. Determine el flujo del campo eléctrico a través del hemisferio. Solución: Figura 3 b.
Figura 3 a,b
.
137
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 ∮⃑
Superficie B:
∮⃑
Superficie C:
∮⃑
∫
Capítulo 2.
a. Superficie A:
∫
b. c.
∮⃑
∮
4. Una esfera maciza no conductora de radio a mts., con carga +Q coul está rodeada concéntricamente por una capa esférica gruesa conductora de radio interior b mts y radio exterior c mts. Calcule el vector campo eléctrico para punto situados a distancias b < r < c. Solución: De acuerdo al teorema de Gauss, analizando la carga contenida en la superficie gaussiana con línea interrumpida, se tiene: ∮⃑ La carga –Q es debida a la inducción electrostática. 5. El potencial eléctrico de cierta distribución de carga está dado por: Calcule el vector campo eléctrico E en el punto M (5,2)mts.
(
(
)
)
Solución: ⃑ ⃑
(
̂
⃑
(
(
⃑
((
⃑(
)
̂* ( ̂
)
)̂ )̂
( )̂
(( ⃑(
)
(
)̂
) ̂*
(
) ̂) (
) ̂) ((
( )( )) ̂
( ( )
( ) ̂)
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⃑(
)
( ̂
̂)
138
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 2.16.2.
EVALUACIÓN 2 (1 P):
Capítulo 2.
1. Dos cargas 3Q y Q están localizadas en los puntos (3, 4, 7) metros y (-5, -2, 3) metros respectivamente en un sistema de coordenadas cartesianas. Hallar: a. El campo eléctrico E en el punto (1, 1, 1) metros. b. Si en el punto (1, 1, 1) metros, se coloca una carga –Q/2. Cuál será la fuerza sobre dicha carga?. Solución: Solución:
⃑(
a.
̂
)
̂ (
Pero:
̂
)̂
( ̂
⃑(
)
b.
̂
.
(
(
)̂
̂ ̂
√ (
⃑
)̂
(
(
)̂
(
̂
̂
)̂
̂ ̂
)
)̂
̂ ̂
Además:
⃑(
(
̂
/
( (
̂
̂
(
̂
̂
̂
√
̂) ̂
(
.
/
̂
̂ )) ̂
̂)
̂)
̂
( (
̂
̂
̂
̂ ))
̂ ))
2. En la figura de abajo, las densidades lineales de carga, λ, en le semiarco y la barra son iguales y de valor constante. La longitud de la barra NR, donde N es una constante positiva. Hallar el campo en el punto 0.
Solución: ⃑
139
⃑
⃑
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Cálculo de ⃑
: ⃑ ̂
⃑
∫
∫
̂
̂
|
( )
(
)| ̂
⃑
Cálculo de ⃑
:
⃑
(
̂) (
∫
⃑
.
⃑
(
⃑ Luego: ⃑⃑
̂
Capítulo 2.
⃑
(
)
)̂
*(
*(
(
)̂
̂)
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(
(
(
/
⃑
)̂
̂
)
(
(
̂)
)
(
)
(
̂)
̂)
3. Un cilindro de radio R y carga Q, de longitud L >> R, tiene una densidad de carga volumétrica cada por coul/ (donde r es la distancia al eje del cilindro). Calcular: a. La constante A en función de Q. b. La magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia R/2 metros del eje del cilindro, y muy lejos de sus extremos. c. La magnitud del campo eléctrico a la distancia 2R del eje del cilindro y muy lejos de sus extremos. Solución:
L >> R a.
∫
∫
∫
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140
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 (
Capítulo 2.
∫
4
5
Luego:
b.
∫⃑
∫ (
∫ (
*
.
√ c.
∫⃑
∫ )4
5
(
)
( *
/
√
( (
141
)∫
(
) )
*
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 2.16.3.
EVALUACIÓN 3 (1P):
A. La figura muestra una superficie cónica completamente cerrada. El radio de la circunferencia de la base es R. Las Líneas de fuerza de un campo eléctrico homogéneo (uniforme) E, están orientadas perpendicularmente a la base del cono (vea la figura). a. Calcule el flujo a través de la superficie de la base. b. Calcule e flujo a través de la superficie lateral. B. en figura se muestra e globo terráqueo idealmente esférico ubicado en una región donde existe un campo eléctrico E uniforme, en la dirección Norte-Sur. Pequeñas áreas, ( todas iguales entre sí: A, B, C, y D), están localizadas sobre la superficie del globo, El área a está en el polo sur, B a 45° de longitud Sur, C en el ecuador y D a 45° de latitud Norte. a. Calcule el flujo a través de cada una de las superficies b. Calcule el flujo total a través de la esfera.
Capítulo 2.
1.
.
Solución: 1. A. a.
∫⃑
∫
b.
∫⃑
∫
(
(
)
(
)
(
)
)
1. B. ⃑
a. ⃑
.
√
/
⃑ ⃑
.
√
/
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142
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 ∫⃑
b.
Capítulo 2.
∫
∫ ∫
(
)∫
.
/
2. En los vértices de un tetraedro regular, (una pirámide de 4 caras, todas triángulo equiláteros), de arista 2A, están dispuestas 4 cargas puntuales de valor –q (negativas) cada una. Halle la longitud del campo eléctrico en el centro de cualquiera de las caras de la pirámide.
Solución: ⃑ ⃑
(
̂)
(
⃑
⃑
̂)
⃑
⃑
( ̂)
(
Pero
̂
143
(
̂) ̂
̂
̂ (
⃑
̂
̂ entonces
⃑ ⃑
̂)
) ̂
( ) ̂
̂
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2
a. Debido al alambre que está sobre el eje X, (por la ley de Gauss.) b. Producido por el otro alambre (mediante el método de integración). c. Determine el campo eléctrico total, indicado además su dirección respecto al eje Y.
Capítulo 2.
3. En el plano XZ del sistema cartesiano de coordenadas reposan dos alambres rectilíneos infinitos separados una distancia 3L m. Halle el vector de campo eléctrico ⃑ , en un punto sobre el eje Y, a la distancia 4L metros del origen de coordenadas:
Solución: ∫⃑
a. Usando la ley de Gauss: (
)(
)
*Las densidades de carga de los alambres son 16 (C/mts) la del que está sobre el eje X y 25 (C/mts) la del otro alambre.
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b.
⃑
⃑
̂
∫
̂
Pero: ⃑
⃑
∫
(
)
( ) ) (
(
∫
(
) )
̂
̂
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144
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 ⃑
(
⃑
Capítulo 2.
∫
)
̂
.
( ) ̂
Pero:
⃑
( ̂ ⃑
)/ ̂ ̂
̂
̂
√ .
⃑
̂
√
⃑
c.
(
̂
̂
√
/
̂
√
(
).
̂
̂
√
/
̂)
⃑
⃑
̂
Además:
⃑
∫
⃑
∫
⃑
(
⃑
̂
⃑ ⃑
145
̂
(
̂
)
̂ (
) (
̂
*∫ (
̂ ̂
̂
)
)
⃑
̂
̂
( ̂
̂)
̂ ̂
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 2.16.4.
EVALUACIÓN 4 (1 P):
-q : (d, 0) -9q : (-3d, 0)
4q : (0, 2h) q : (0, - h)
Halle el campo eléctrico en el origen de coordenadas del sistema: Solución: ⃑( ⃑(
)
⃑(
)
̂
̂
)
⃑
⃑
( ) ( ( ) ̂
⃑
⃑ ( ) ( ( )
̂) ̂
Capítulo 2.
1. Dadas cuatro cargas puntuales dispuestas en un plano XY con los siguientes valores y posiciones (X, Y):
̂) ̂
̂
2. La gráfica representa el valor del campo eléctrico en función de la distancia con respecto al centro, para una distribución de simétrica esférica de carga. A partir de esta gráfica dibuje en los ejes V, r, la correspondiente función del potencial electrostático. Considere el potencial en el infinito nulo.
Solución:
Tramo (1):
Tramo (2): ∫
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146
POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 Tramo (3).
Capítulo 2.
∫
3. En el interior de una región del espacio finita la carga neta es cero. ¿ Se puede afirmar que el campo eléctrico en toda esta región es nulo ? ¿ Se puede afirmar que el campo en la superficie que encierre esta región es cero ?. Solución: Se puede afirmar que el campo en la superficie que encierre esta región es cero. Pero en el inferior no necesariamente es cero. 4. A y B lámina conductores planas muy grandes entre las cuales existe inicialmente una diferencia de potencial . ¿ Qué cambios en el valor del campo y la diferencia de potencial entre las placas, ocurren cuando se introduce una placa conductora descargada de espesor , como se indica en la figura.
Solución: ∫
∫
∫
( *
∫
∫
∫
( (
(
∫
∫
))
)
5. Calcule el flujo de un campo eléctrico uniforme (R= radio del hemisferio).
sobre la superficie esférica de un cascarón hemisférico
Solución: ∫⃑
∫
(
147
(
∫
∫ (
)
)
∫
)
∫
(
)
.
/
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 (
)
Capítulo 2.
6. Al colocar un dipolo eléctrico cerca de las siguientes distribuciones uniformes de carga, indicadas en las figuras de abajo, cuál es su desplazamiento? a. Alambres rectilíneo infinito:
Rta: El dipolo se desplaza en sentido de ⃑ , puesto que éste está orientado de –q a +q, entonces habrá repulsión electrostática. b. Cascarón esférico:
Rta: Se desplaza en sentido contrario a ⃑ por efecto de repulsión electrostática. c.
Esfera no conductora:
www.elsolucionario.org Rta: Se desplaza en sentido contrario a ⃑ , la fuerza neta es de atracción.
7. En la figura A, B y C son tramos diferenciales de igual longitud, orientados como se indica, en presencia de un campo eléctrico no uniforme representado en la figura. Para cuál de ellos la magnitud ⃑ ⃑ será: a. Máxima. b. Cero. Solución: a.
⃑
⃑ es máxima para D, ya que el producto ⃑ (⃑
b.
⃑
⃑ es cero para B, ya que ⃑
⃑ es máximo cuando: ⃑)
⃑
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148
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POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2 8. ¿ Qué dirección debe tener el vector gradiente V con respecto a cualquier superficie
(
)
= Constante ?.
Solución:
Capítulo 2.
⃑
149
⃑
⃑
⃑
⃑(
)
El vector ⃑ es nulo. Luego no tiene dirección por cuanto no existe, desde punto de vista matemático. Pero físicamente ⃑ siempre es perpendicular a las superficies equipotenciales, ya que ⃑
⃑
⃑
De donde se concluye que ⃑
,
es perpendicular a la superficie equipotencial de V constante.
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Capítulo 3 Resumen:
Universidad Industrial de Santander Escuela de Física
[email protected] [email protected]
La capacitancia es un elemento importante dentro del mundo electrostático, ya que permite el almacenamiento de energía. gracias a la existencia de materiales que pueden retener la carga superficial que los rodea y generar superficies de potencial, es decir diferencias de potencial entre sus terminales, convirtiéndose así en elementos básicos de circuitos eléctricos, como el caso de capacitores de placas paralela, cilíndricos y esferas, etc. De igual forma se verán los posibles arreglos de capacitancias paralelo y serie, para los cuales se establecerán relaciones de equivalencia.
Capítulo 3.
CAPACITANCIA Cap. 3
Página en blanco Intencionalmente
151
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CAPACITANCIA Cap. 3
CAPÍTULO 3. CAPACITANCIA ............................................................................................................................................ 152 III.
Capítulo 3.
Capítulo 3. CAPACITANCIA
CAPACITANCIA........................................................................................................................................................ 153 3.1 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................................... 153 3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS .................................................................................... 153 3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) ....................................................................................................................... 154 3.4 CALCULO DE CAPACIDADES ................................................................................................................................... 154 3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS:................................................................................................. 155 3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO .................................................................................................................................... 156 3.4.3 CAPACITADOR ESFERICO ....................................................................................................................................... 157 3.5 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES ................................................................................................................... 158 3.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ..................................................................................................................................... 158 3.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ............................................................................................................................................. 159 3.6 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR .................................................................................................. 160 3.7 AUTOENERGIA DE CARGAS ELÉCTRICAS ................................................................................................................ 162 3.8 FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR .............................................................................................. 162 3.9 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 163 3.10 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 165 3.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................................ 172
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152
CAPACITANCIA Cap. 3 III.
CAPACITANCIA
Capítulo 3.
3.1 DEFINICIÓN La capacitancia o capacidad de un capacitador o condensador se define mediante.
Donde Q es por convenio, la carga situada sobre el electrodo, placa o armadura positiva del capacitador, y es la caída o diferencia de potencial del conductor con carga negativa, por tanto, en un capacitador, es una cantidad eminentemente positiva. La razón , para un capacitador, es una constante independiente de su diferencia de potencial y de su carga, depende solamente de la geometría de las líneas de campo y de las propiedades del medio entre los conductores. La disposición geométrica de los conductores incluye el tamaño, la forma y el espaciamiento de las armaduras. El medio entre los conductores puede ser aire, vacío, parafina o cualquier material aislante. La capacidad de un conductor, o de un conjunto de conductores, se mide por la cantidad de carga que se le debe suministrar para elevar su potencial en un voltio. La unidad de capacidad en los sistemas mks y SI se denomina faradio (F), designada así en honor del físico inglés Michael Faraday. Ordinariamente los valores de C son muy pequeños y por tal motivo se utiliza submúltiplos. Uno de estos es el micro-faradio ( ) . Otro es el nano-faradio ( ) , y también se usa otro llamado picofaradio ( ) . Las relaciones son:
3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS En ocasiones se habla de un cuerpo único y aislado, pero como es natural, en la práctica no puede conseguirse un cuerpo totalmente aislado de los demás. Sin embargo, si las distancias de separación entre él y otro cuerpo cualquiera es grande en comparación con sus propias dimensiones, podemos para todos los efectos prácticos considerarlo aislado y la capacidad de un cuerpo así suele denominarse capacidad respecto a tierra o respecto al infinito considerado este como tierra. Para el caso de una esfera conductora aislada, de radio R y carga Q, la capacidad viene dada por
153
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CAPACITANCIA Cap. 3
Como puede apreciarse la capacidad de la esfera aislada aumenta proporcionalmente con su radio.
Fig. 3.2-1 Dos conductores con Cargas +q y –q constituyen una Configuración denominada Capacitador.
Capítulo 3.
Donde
En el caso de la figura (3.2-1), cada uno de los dos conductores cargados es una superficie equipotencial dos conductores cargados es una superficie equipotencial y, al menos que Q=0, estarán a potenciales distintos.
3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) Un condensador o capacitador de la figura es un dispositivo que consta de dos conductores (llamados armaduras o placas), que poseen cargas iguales y opuestas y que sirve para almacenar cargas y energía. El fenómeno de almacenamiento de cargas sobre un condensador fue investigado por Benjamín Franklin en los años 1747 y 1748, y demostró que las cargas sobre las armaduras de un condensador tienen signos opuestos. Franklin construyó un condensador mediante una placa de vidrio recubierta por ambos lados con hojas de estaño. La palabra “condensador” se originó por la idea de que los condensadores condensaban la electricidad en una forma nueva y más poderosa. Entre las diferentes clases de condensadores de capacitancias fijas y variables se encuentran: el condensador de placas planas paralelas, el condensador cilíndrico y el condensador esférico. Ordinariamente un capacitador de capacitaciones fija se representa esquemáticamente mediante el símbolo
En donde las líneas verticales representan las placas. El símbolo utilizado en un diagrama de circuito para representar un capacitador de capacitancia variable es
3.4 CALCULO DE CAPACIDADES Para calcular la capacidad de parejas de conductores de diversas formas se utiliza la definición general
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154
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CAPACITANCIA Cap. 3 O también puede hacerse mediante el cálculo de de relajación.
, utilizando la ecuación de Laplace, o utilizando el método
Capítulo 3.
3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS: Consiste de dos láminas paralelas de área A separadas por una pequeña distancia d, como se muestra en la figura (3.4.1)
Fig. 3.4-1 condensador de placas planas paralelas. La capacidad se determina de la siguiente manera:
Si depositamos la carga ±Q sobre cada placa, la densidad de carga sobre la superficie de cada placa es
(3.4.1-1) Donde A es el área de cada placa La expresión para el campo eléctrico entre las placas es
(3.4.1-2) Y la diferencia de potencial entre las placas es
∫ ⃑
∫
Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es constante
∫
∫ (3.4.1-3)
Sustituyendo la Ec. (3.4.1-2) en la Ec. (3.4.1-3) se obtiene
155
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CAPACITANCIA Cap. 3
(3.4.1-4)
3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO Consiste de dos cilindros coaxiales de longitud L y de radios a y b. El cilindro interior tiene una densidad lineal de carga λ y el cilindro exterior una densidad lineal de carga –λ, como lo ilustra la fig. (3.4.2)
Capítulo 3.
Luego la capacitancia de un capacitador de placas planas paralelas es
∫ ⃑
∫
∫ Fig. 3.4.3 Capacitador
El campo eléctrico solo tiene componente radial y su magnitud está dada por
www.elsolucionario.org Entonces
∫
(
∫
(
)
) (3.4.2-1)
La capacidad por unidad de longitud es
(
) (3.4.2-2)
Si los conductores cilíndricos se encuentran uno muy cerca del otro, tal que, b = a + d, con d 1, significa que hubo una disminución de energía, lo cual corresponde a un trabajo realizado por las placas del condensador, el cual es positivo, es decir la lámina dieléctrica se desplaza en sentido de la fuerza.
3. (5.6 K) Comparar las capacidades de dos condensadores idénticos salvo en la forma en que se han colocado los dieléctricos, como indica la figura anexa, teniendo una constante dieléctrica .
Solución: ( )
Caso (a): Los condensadores (
y (
)(
)
(
, se consideran conectados en paralelo, por tanto:
)
)
Caso (b): El sistema puede considerarse como si estuviera formado por dos condensadores, conectados en serie.
4
5
4
5
4
5 (
4
217
5
4
5
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*
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DIELÉCTRICOS
Cap. 4
Otro método:
(
)
(
*
Caso (b):
( )
( )
( )
( (
Capítulo 4.
Caso (a)
(
)( )
)
( )
(
)( )
(
*
*
4. (5.9 K) Dos condensadores de capacidades iguales están conectados en paralelo, cargados a una tensión y después aislados de la fuente de tensión (figura anexa). Se introduce un dieléctrico de constante K en uno de los condensadores de modo que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular la cantidad de carga verdadera que pasa de un condensador al otro, y la tensión final en los condensadores en función de C, y K.
Solución: En sistema aislado se conserva la carga así: Carga antes de introducir el dieléctrico
=
carga después de introducir el dieléctrico
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218
DIELÉCTRICOS
Cap. 4
=
Capítulo 4.
= =
(
)
La carga transferida de un condensador al otro, se obtiene así: ( ( (
*
) )
5. (5.11 K) El ángulo de incidencia del campo eléctrico en la superficie plana de un dieléctrico es de 20°. Hallar el ángulo de refracción dentro del dieléctrico si la constante dieléctrica del medio es 1,25. Supóngase que fuera del dieléctrico existe el vacío. Solución:
(
)
6. (17.9 M) Determine la capacitancia de una esfera metálica con radio igual al de la tierra. Si se carga a 1.000 Voltios, calcule la carga en la esfera, la densidad de carga y el campo eléctrico en la superficie.
219
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DIELÉCTRICOS
Cap. 4
Solución:
∫ ⃑
⃑
∫
∫
∫
∫ (
(
)(
∫
* )
Capítulo 4.
Cálculo de la capacitancia de la esfera:
Cálculo del campo eléctrico sobre la superficie: (
)(
)
Cálculo del campo eléctrico sobre la superficie: ( )( ) Cálculo del campo eléctrico sobre la superficie: ∮⃑
(
)
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)
( (
) )
7. (17.11 M) Un capacitador cilíndrico largo consiste en un cilindro interno de 1m. de radio y otro externo de 2m. de radio. Si se aplica una diferencia de potencial de 200 V, halle la carga que tiene un tramo de 5m. del condensador externo. Solución:
La capacidad por unidad de longitud de un condensador cilíndrico está dado por:
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220
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DIELÉCTRICOS (
)(
( )
) ( ) *(
(
Capítulo 4.
Cap. 4
(
)
)(
)
8. (17.12 M) Un capacitador cilíndrico consiste en tubos coaxiales de radios , como se indica en la figura. Demuestre que la capacitancia por unidad de longitud está dada por:
(
)
Solución:
∫
∫
∫
∫
( )
∫
∫
(
∫
( )
)
⃑
⃑
∫
⃑
⃑
∫
⃑
⃑
∫
⃑
⃑
∫
∫
(
)
*( ) ( )+
9. (17.13 M) Dos capacitores descargadas con capacitancia respectivas de 1 F y 3 F se conectan en paralelo a una batería o acumulador que proporciona una diferencia de potencial de 12 V. Calcule la cantidad de carga en cada placa. Luego se desconectan de la fuente sin perder su carga y se conectan en serie, de manera que la placa cargada positivamente del capacitador de 1 F quede conectada a la placa cargada negativamente del capacitador de 3 F. Halle a diferencia de potencial del capacitador equivalente. ¿Cuál es la diferencia de potencial en cada capacitador? Solución:
221
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DIELÉCTRICOS
Cap. 4
Cálculo de la cantidad de carga en cada placa: ( (
)( )(
) )
Capítulo 4.
Al conectar los dos condensadores de la manera propuesta se tiene:
(
)
Cálculo de la diferencia de potencial en cada capacitador:
10. (17.15 M) Se puede conectar en serie o en paralelo dos capacitadores . Cuando están en serie la capacidad equivalente es , y cuando están en paralelo, vale 3 F.
Calcule
.
Solución: En serie:
(1)
En paralelo:
(2)
De (1):
Reemplazando este valor en (2), se sigue que: (
)
11. (17.21 M) Se conectan en paralelo 200 condensadores idénticos cada uno con 10 F de capacitancia y se cargan a 30.000 V.A razón de 3 (de dólar) por Kilowatt-hora, ¿Cuánto valdría la energía almacenada? Si los capacitadores se cargan al estar conectados en serie, ¿Cuánto vale entonces, la energía almacenada? Solución:
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222
DIELÉCTRICOS
Capítulo 4.
Conexión en paralelo:
(
)(
)(
)
Conexión en serie:
∑
Luego: (
223
) (
)
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Cap. 4
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DIELÉCTRICOS
Cap. 4
Solución: En el interior, es decir, para r < R, la densidad de energía está dada por:
Capítulo 4.
12. (17.23 M) Una densidad uniforme de carga, está distribuida dentro de una esfera pequeña de cm. de radio. Si la cantidad de carga es la de un protón 1,6 x C., halle la densidad de energía y la energía total en todo el espacio. ¿Cuánta energía contiene una esfera de 5 cm. de radio, se la densidad de energía es uniforme y tiene el valor dado por la densidad de energía obtenida antes a r = 0,5 x cm?
Usando Ley de Gauss, se obtiene E, así: ∮⃑
∫ (
)
(
(
)
*
(
Pero:
(
)
(
)
)
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) )
En el exterior de la esfera, es decir, para r > R:
Usando la Ley de Gauss, se obtiene E, así:
∮⃑
(
( (
)
*
(
)
) (
)
La energía total se calcula a partir de: ∫
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224
DIELÉCTRICOS ∫
Capítulo 4.
∫ (
∫
)
.
(
(
Cap. 4
∫ (
)
/
.
)
(
(
/
)* )
La energía que contiene una esfera de 5 cm. de radio con las especificaciones dadas, se obtiene así: (
*
Pero: ( (
) *
(
)
13. (17.29 M) Una fuente de 2,5 V, carga un capacitador de placas paralelas y 6 F de capacitancia. Entre sus placas se inserta un dieléctrico lineal de constante dieléctrica 3, y que llena completamente toda la región entre las mismas. a) Determine la nueva diferencia de potencial entre las armadas. b) ¿Cuál es la densidad de carga ligada en las superficies del dieléctrico en función de la carga libre? c) Obtenga la energía en el capacitador antes y después de que se inserte el dieléctrico. Explique la diferencia. Solución:
225
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DIELÉCTRICOS
Cap. 4
b) La densidad de carga ligada o carga de polarización se obtiene a partir de su definición: (
*
( (
)
(
)
Capítulo 4.
a) Usando el principio de conservación de la carga:
) (
)
c) Energía del capacitador antes: (
)(
)
Energía del capacitador después de introducir el dieléctrico: ( (
)) (
)
14. (17.31 M) Se coloca una hoja de cuarzo cuya constante dieléctrico es 3,8 en un campo eléctrico de 20 Kv/m, como se muestra en la figura. El vector de campo eléctrico forma un ángulo de 45° con las caras superior e inferior y es paralelo a las caras del frente y posterior.
Obtenga la densidad de carga en cada una de las caras.
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226
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DIELÉCTRICOS
Cap. 4
Solución: Sobre la cara superior:
Capítulo 4.
∫⃑ ∫
∫ √
√
√
Pero: (
(
)
(
)
(
√
)(
)(
)
)√
Sobre la cara inferior: ∫⃑ √
∫ √ (
(
√
) √ )(
)(
)(√ )
15. (17.33 M) Determinado dieléctrico “ficticio” contiene dipolos eléctricos permanentes de magnitud igual a coul.m. La densidad atómica es de átomos por . Si un campo eléctrico de . Produce una polarización efectiva que corresponde a la alineación del 25% de los dipolos atómicos en la dirección del campo, calcule la susceptibilidad del dieléctrico. Solución: (
227
)( )( )
(
)(
)(
)
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DIELÉCTRICOS ) (
)
16. (17.37 M) Un capacitador cilíndrico consiste en un tubo conductor largo de radio interno igual a 2 cm. y radio externo de 3 cm., y un segundo tubo de radio interior igual a 5 cm. y radio exterior de 6 cm. Las regiones r
