Electromagnetismo Avanzado Para Ingenieros

Electromagnetismo avanzado para ingenieros

´ Indice 1. Preliminares. Los campos en el vac´ıo. 2. Los campos en la materia. 3. Aproximaciones cuasiest´ aticas. El l´ıquido incompresible. 4. An´ alisis de medios discretos. 5. La ley de Ohm, la disipaci´ on y los principios variacionales. 6. Fluidos el´ ectricos y magn´ eticos. 7. Electromagnetismo y elasticidad. 8. Superconductividad. 9. Ondas conducidas. 10. Magnetohidrodin´ amica.

1- Preliminares. Los campos en el vac´ıo.

• Teorema de Gauss.

• Teorema de Stokes.

• Potenciales.

• Leyes de Maxwell.

• Potenciales electromagn´ eticos. Contraste.

• Energ´ıa electromagn´ etica.

• Momento electromagn´ etico. +

I-1

El flujo del campo C es la integral de superficie el campo:

φ=

ZZ

C ds

Es de gran inter´ es el flujo a trav´ es de una superficie cerrada: ZZ

C ds S

+

I-2

Se define la divergencia de C como:

∂Cx ∂Cy ∂Cz div(C) = + + ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ = ( i+ j + k) ∂x ∂y ∂z (Cxi + Cy j + Ck k) = ∇.C

+

I-3

Teorema de Gauss Dado un volumen V y la superficie cerrada que lo delimita S, se tiene que para un campo vectorial arbitrario C: ZZ

C ds = S

+

ZZZ V

∇.C dv

I-4

Prueba del teorema de Gauss I

φ(por S1) = φ(por S2) = ZZ Sab

ZZ S ZZ a Sb ZZ

C ds1 = −

φ(por S) =

C ds +

ZZ Sa

C ds +

Sab

ZZ Sab

ZZ Sab

C ds1 C ds2

C ds2

C ds +

ZZ Sb

C ds

= φ(por S1) + φ(por S2)

+

I-5

Prueba del teorema de Gauss II Dividemos el volumen cada vez m´ as finamente hasta llegar a hacer peque˜ nos cubitos.

+

I-6

Prueba del teorema de Gauss III

φ(fuera de 1) = −Cx(1)∆y∆z φ(fuera de 2) = Cx(2)∆y∆z

y ∂Cx ∆x Cx(2) = Cx(1) + ∂x Luego

∂Cx φ(fuera de 1 y 2) = ∆x∆y∆z ∂x ∂Cy φ(fuera de 3 y 4) = ∆x∆y∆z ∂y ∂Cz φ(fuera de 5 y 6) = ∆x∆y∆z ∂z +

I-7

Prueba del teorema de Gauss IV Y por tanto ZZ

cubo

+

C ds = (∇C)∆V

I-8

Prueba del teorema de Gauss V Sumando para todos los cubitos ZZ

C ds = S

+

ZZZ V

∇.C dv

I-9

La cicrculaci´ on de C es la integral de l`ınea: Z

C dl Γ

+

I-10

Se define el rotacional de E como:

∂Ez ∂Ey − )i + ∂y ∂z ∂Ex ∂Ez − )j + ( ∂z ∂x ∂Ey ∂Ex ( − )k ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ = ( i+ j + k) ∂x ∂y ∂z × (Exi + Ey j + Ek k)

rot(E) = (

= ∇×E

+

I-11

Teorema de Stokes Dado una superficie no cerrada S y la l´ınea cerrada que la delimita Γ, se tiene que para un campo vectorial arbitrario C: Z

C dl = Γ

+

ZZ S

∇ × C ds

I-12

Prueba del teorema de Stokes I

Z

Z

Γ Z 1

Γ Z a

Γ Z2

Γ Z b

Γ

Γa

C dl =

C dl =

C dl =

C dl + C dl − C dl +

Z Γab

Z Γ Z ab Γb

C dl C dl

C dl

Luego Z

Z

Z

C dl = C dl + C dl Γ

+

Γ1

Γ2

I-13

Prueba del teorema de Stokes II Se puede entonces dividir la superficie en peque˜ nos cuadraditos, y calcular la circulaci´ on sumando la circulaci´ on de los cuadraditos. Imaginemos un cuadradito que est´ a en el plano XY

+

I-14

Prueba del teorema de Stokes III

Z

cuadrado

C ds = Cx(1)∆x + Cy (2)∆y −Cx(3)∆x − Cy (4)∆y = (Cx(1) − Cx(3))∆x + (Cy (2) − Cy (4))∆y

Y

∂Cx ∆y ∂y ∂Cy Cy (4) = Cy (2) − ∆x ∂x

Cx(3) = Cx(1) +

Luego Z

cuadrado

+

!

C ds =

∂Cy ∂Cx − ∆x∆y ∂x ∂y I-15

Prueba del teorema de Stokes IV Este resultado se puede escribir: Z

cuadrado

C ds = (∇ × C)z ∆a

Pero la direcci´ on z no es m´ as que la normal al cuadradito, luego para uno orientado de forma arbitraria:

Z

cuadrado

C ds = (∇ × C)n∆a = (∇ × C)∆s

+

I-16

Prueba del teorema de Stokes V Sumando para todos los cuadraditos Z

C dl = Γ

+

ZZ S

∇ × C ds

I-17

Los campos se representan mediante l´ıneas de campo, que son l´ıneas tangentes en cada punto al campo. El n´ umero de l´ıneas por unidad de superficie es proporcional a la intensidad del campo.

+

I-18

Potenciales I Si un campo C verifica que

∇×C=0

Entonces, existe un campo escalar V tal que

C = ∇V

+

I-19

Potenciales II Si un campo C verifica que

∇C = 0 Entonces, existe un campo vectorial A tal que

C=∇×A

+

I-20

Un sentido de la implicaci´ on es f´ acil de probar. Si C = ∇V , entones ∇ × C = ∇ × ∇V = 0. Si C = ∇ × A, entones ∇C = ∇∇ × A = 0. El otro sentido es m´ as d´ıfiil, pero es cierto.

+

I-21

Las fuentes de los campos el´ ectrico son dos:

• La carga el´ ectrica se considera distribuida en un campo: la densidad de carga ρ(r)

• Tambi´ en existe un campo vectorial: la densidad de corriente:

j(r)

+

I-22

Las leyes de los campos electromagn´ eticos son las leyes de Maxwell. En forma diferencial:

1 ∇E = ρ 0 ∂B ∇×E = − ∂t ∇B = 0 ∇ × B = µ0 j + 0

+

∂E ∂t

!

I-23

En forma integral:

1 Q(incluida) 0 Z d

E dl = − Φm(ligado) dt ZZ

B ds = 0 ZZ

E ds =

d

B dl = µ0 I(ligada) + Φe(ligado) dt Z

+





I-24

Tomando la divergencia de la cuarta ecuaci´ on:

∇∇ × B = 0 = µ0 ∇j + 0∇ ∂ρ = µ0 ∇ j + ∂t 

+

∂E ∂t

!



I-25

As´ı pues

∇j = −

∂ρ ∂t

o ZZ

I = j ds = −

∂

RR

∂Q ρ dv =− ∂t ∂t

Que es la llamada ecuaci´ on de continuidad, y encierra el principio de conservaci´ on de la carga el´ ectrica.

+

I-26

Potenciales electromagn´ eticos I De la ecuaci´ on

∇B = 0

se sigue

B=∇×A

+

I-27

Potenciales electromagn´ eticos II Para el campo el´ ectrico se tienen las ecuaciones:

1 ∇E = ρ 0 ∂B ∇×E = − ∂t Sea

∂A ∂t Ei = E − Er

Er = −

+

I-28

Potenciales electromagn´ eticos III Entonces

∂ 1 ρ − ∇A  ∂t ∇ × Ei = 0 ∇Ei =

+

I-29

Potenciales electromagn´ eticos III Como Ei es irrotacional puede escribirse

Ei = −∇V Y por lo tanto

E = Ei + Er = −∇V −

+

∂A ∂t

I-30

Contraste de los potenciales I En el caso general, los campos E y B se determinan a partir de los potenciales V y A mediante las ecuaciones:

E = −∇V −

∂A ∂t

B = ∇×A

+

I-31

Contraste de los potenciales II Estos potenciales no est´ an ´ unicamente definidos. En efecto, si se hacen las transformaciones:

∂f (x, t) ∂t A´ = A − ∇f (x, t) V´ = V +

Se observa que

∂A ∂ A´ = −∇V´− −∇V − ∂t ∂t ∇ × A´ = ∇ × A

+

I-32

Contraste de los potenciales III Esto da varias formas de fijar los potenciales. Por ejemplo, escojamos f de forma que cumpla

∆f = ∇A

Entonces

∇A´= ∇ (A − ∇f ) = 0 Un potencial (V, A) que cumpla que ∇A = 0 se dice que verifica el contraste de Coulomb.

+

I-33

Contraste de los potenciales IV Si se substituye en la primera ecuaci´ on de Maxwell E por su expresi´ on en funci´ on de los potenciales se obtiene:

∇ −∇V −

∂A ∂t

!

=

ρ 0

Teniendo en cuenta el contraste de Coulomb: ρ −∆V = 0

+

I-34

Contraste de los potenciales V Para calcular A, substituyo B por ∇ × A en la cuarta ecuaci´ on:

∇ × ∇ × A = µ0j + µ00

∂ ∂A −∇V − ∂t ∂t

!

De donde, teniendo en cuenta el contraste de Coulomb ∂ 2A ∂V −∆A + µ00 2 = µ0j − µ00∇ ∂t ∂t

+

I-35

Contraste de los potenciales VI Escojamos ahora otra funci´ on f que verifique: ∂ 2f ∂V + ∇A ∆f − 0µ0 2 = 0µ0 ∂t ∂t Entonces

∂V + ∂f ∂V´ ∂t ∇A´+ 0µ0 = ∇ (A − ∇f ) + 0µ0 ∂t ∂t = 0

+

I-36

Contraste de los potenciales VII Un potencial (V, A) que cumpla que

∇A + 0µ0

∂V =0 ∂t

se dice que verifica el contraste de Lorentz.

+

I-37

Las ecuaciones de Maxwell expresan los campos como funci´ on de las cargas y corrientes. El efecto de los campos sobre las cargas viene descrito por la ecuaci´ on de Lorentz:

f = ρE + j × B f es el campo de densidad de fuerza.

+

I-38

Se demuestra en mec´ anica que, en general, existen siete constantes del movimiento:

• La energ´ıa.

• Las tres componentes del momento lineal.

• Las tres componentes del momento cin´ etico.

+

I-39

Energ´ıa electromagn´ etica I La fuerza que se ejerce sobre un elemento de carga dq es

dF = (E + v × B)dq = (E + v × B)ρ dv

Y por lo tanto se entrega a la part´ıcula un diferencial de potencia:

dP = dFv = Eρ dv v = Ej dv

+

I-40

Energ´ıa electromagn´ etica II De la cuarta ecuaci´ on de Maxwell:

j=

∂E 1 ∇ × B − 0 µ0 ∂t

Luego

jE = =

=

= +

1 ∂E E∇ × B − 0E µ0 ∂t 1 1 ∇(E × B) + B∇ × E − µ0 µ0 ∂E 0E ∂t 1 ∂B 1 ∇(E × B) − B − µ0 µ0 ∂t ∂E 0E ∂t ! 1 ∂ 0 2 1 ∇(E × B) − E + B2 µ0 ∂t 2 2µ0 I-41

Energ´ıa electromagn´ etica III Reordenando la ecuaci´ on anterior: ∂ 0 2 1 − E + B2 ∂t 2 2µ0

!

1 = ∇(E × B) + jE µ0

E integrando a un volumen arbitrario fijo Ω

!

1 0 2 E + B2 = 2µ0 Ω 2 ZZZ ZZ 1 (E × B) + jE

Ω ∂Ω µ0

∂ − ∂t

ZZZ

Es decir Disminuci´ on de la energ´ıa del campo electromagn´ etico = Energ´ıa que sale del volumen + Energ´ıa entregada a las cargas +

I-42

Energ´ıa electromagn´ etica IV El vector de flujo de energ´ıa 1 S= E×B µ0 es conocido como vector de Poynting.

+

I-43

Momento electromagn´ etico I La densidad de fuerza volum´ etrica es:

f = ρE + j × B ∂E 1 (∇ × B) × B − 0 ×B = 0E(∇E) + µ0 ∂t 1 = 0E(∇E) − B × (∇ × B) − µ0 ∂ ∂B 0 (E × B) + 0E × ∂t ∂t 1 = 0E(∇E) − B × (∇ × B) − µ0 ∂ 0 (E × B) − 0E × (∇ × E) ∂t

+

I-44

Momento electromagn´ etico II Se sigue entonces que

∂ f + 0 (E × B) = ∂t 1 B × (∇ × B) − 0E(∇E) − µ0 1 0E × (∇ × E) + B(∇B) µ0

+

I-45

Momento electromagn´ etico III En el segundo miembro, las expresiones de E y B son iguales. Se estudia la de E. Por una parte

!

∇×E =

+

∂Ez ∂Ey − i+ ∂y ∂z   ∂Ex ∂Ez − j+ ∂z ∂x ! ∂Ey ∂Ex − k ∂x ∂y

I-46

Momento electromagn´ etico IV Luego

(

∂Ey ∂Ex Ey − ∂x ∂y

!

E ×)(∇ × E) =   ∂Ex ∂Ez − i + p.c. − Ez ∂z ∂x

y

Ex

+

E(∇E!) = ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z

I-47

Momento electromagn´ etico V As´ı pues

E(∇E) − E × (∇ × E) = ∂Ex ∂Ey ∂Ez Ex − Ey − Ez + ∂x ∂x ∂x ! ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ex + Ey + Ex + Ez Ex i + p.c. = ∂y ∂y ∂z ∂z    ∂Ex ∂Ey ∂Ez − Ex + Ey + Ez + ∂x ∂x )∂x ∂Ex ∂ ∂ 2Ex + ExEy + ExEz i + p.c. = ∂x ∂y ∂z ! 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ ∂ − E + Ex + ExEy + ExEz i + p.c. 2 ∂x ∂x ∂y ∂z 

+

I-48

Momento electromagn´ etico VI As´ı pues, si se define el tensor 1 E = Tij E E − δij E 2 0 i j 2 



se obtiene que ∂ E  (E(∇E − E × (∇ × E))i = T ∂xj ij

+

I-49

Momento electromagn´ etico VII An´ alogamente, se define el tensor 1 1 B Tij = BiBj − δij B 2 µ0 2 



Entonces puede escribirse que:  ∂  E ∂ B fi + 0 (E × B)i = Tij + Tij ∂t ∂xj

+

I-50

Momento electromagn´ etico VIII Se define el tensor de Maxwell

E + TB Tij = Tij ij

Adem´ as 1 0 (E × B) = 2 S c

+

I-51

Momento electromagn´ etico IX Luego ∂ 1 ∂ fi + S = Tij i 2 ∂t c ∂xj 



Se puede identificar c12 S con la densidad de momento lineal del campo electromagn´ etico.

+

I-52

Momento electromagn´ etico X Aplicando el teorema de Gauss: ZZZ Ω

fi +

∂ 1 Si = Tij dsj 2 Ω ∂t c ∂Ω

ZZZ





ZZ

Tij es el flujo de componente i del momento en la direcci´ on j.

+

I-53

Momento electromagn´ etico XI Dos papeles del vector de Poynting:

1. S es el flujo de energ´ıa electromagn´ etica. 2. c12 S es la densidad de momento lineal. Como c es grande, la densidad de momento del campo suele ser despreciable.

+

I-54

Momento electromagn´ etico XII Sup´ ongase un caso puramente electrost´ atico. En este caso, se tiene que ∂ E fi = T ∂xj ij con

 0 

+

1 2


2

Ex2 − Ey2 − Ez Ex Ey Ex Ez

1 2

Ex Ey
2 2 2 Ey − Ez − Ex Ey Ez

TE = 

1 2

Ex Ez  Ey Ez
Ez2 − Ex2 − Ey2

I-55

Momento electromagn´ etico XIII Esc´ ojase en un punto determinado el eje x de forma que est´ e alineado con el campo. Entonces 

E2

  TE = 0  0 2 0



0 0  −E 2 0  0 −E 2

2 Es decir, el campo transmite una tensi´ on 1 E 2 paralelamente al campo y ejerce una presi´ on 1 E 2 perpendicularmente al campo. 2

+

I-56

Los campos en la materia.

• Polarizaci´ on.

• Magnetizaci´ on.

• Termodin´ amica.

• Energ´ıa libre del campo electrost´ atico.

• Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico.

+

II-1

Advertencia Se va a estudiar la interacci´ on de los campos electromagn´ eticos con la materia desde un punto de vista macrosc´ opico. Por lo tanto, los campos que aqu´ı aparecen han de entenderse como el promediado de los campos microsc´ opicos en alguna regi´ on que se considera infinitesimal, aunque sea macrosc´ opica. Como las ecuaciones de Maxwell son lineales, las ecuaciones promediadas y no promediadas coinciden.

+

II-2

Polarizaci´ on I En el interior de los cuerpos existen dos tipos de cargas:

• Cargas libres ρl , que no est´ an ligadas a ninguna posici´ on.

• Cargas de polarizaci´ on ρp, que se encuentran ligadas al material.

+

II-3

Polarizaci´ on II La carga de polarizaci´ on total es nula. Consid´ erese un volumen cualquiera inclu´ıdo en el cuerpo. Por efecto de la polarizaci´ on, si se arrancan el material que originariamente forma el volumen V , quedar´ a una densidad de carga ρp en el interior m´ as una densidad de carga σp en la superficie. Se ha de cumplir que ZZ

σp ds + S

+

ZZZ V

ρp dv = 0

II-4

Polarizaci´ on III La ´ unica manera de asegurar estas ecuaciones para todos los posibles vol´ umenes es exigir que

ρp = −∇P σp = Pns

+

II-5

Polarizaci´ on IV Para poner de manifiesto el sentido del vector P, consid´ erese la siguiente expresi´ on

ZZZ V

rρp dV = −

ZZZ ZZ V

r∇P dV

= − rP ds + ZZS

= − r σp + S

+

ZZZ V

ZZZ V

(P∇)r dV

P dV

II-6

Polarizaci´ on V Luego ZZZ V

ZZ

rρp dV + rσp = S

ZZZ V

P dV

Como esto es v´ alido para cualquier volumen, se sigue que P puede identificarse con el momento dipolar de las cargas de polarizaci´ on.

+

II-7

Polarizaci´ on VI Se define el vector de desplazamiento D como

D = 0E + P

+

II-8

Polarizaci´ on VII Con esto, las ecuaciones del campo electrost´ atico quedan:

∇ D = ρl ∇×E = 0

Para resolverlas hace falta alguna relaci´ on entre D y E.

+

II-9

Magnetizaci´ on I En el interior de los cuerpos existen dos tipos de corrientes:

• Corrientes libres jl , que no est´ an ligadas a ninguna posici´ on.

• Corrientes de magnetizaci´ on jm, que se encuentran ligadas al material.

+

II-10

Magnetizaci´ on II La corriente de magnetizaci´ on total es nula. Consid´ erese una secci´ on cualquiera inclu´ıda en el cuerpo. Por efecto de la magnetizaci´ on, si se arrancan el material que originariamente forma la secci´ on S, quedar´ a una densidad de corriente jm en el interior m´ as una densidad de corriente km en el borde. Se ha de cumplir que ZZ

jm ds + S

+

ZZZ C

(km × ns) dl = 0

II-11

Magnetizaci´ on III La ´ unica manera de asegurar estas ecuaciones para todos las posibles secciones es exigir que

jm = ∇ × M km = M × ns

+

II-12

Magnetizaci´ on IV Para poner en claro el significado de M, consid´ erese la integral

1 2

+

ZZZ

1 r × j dv = r × (∇ × M) dv 2 ZZ ZZZ 1 1

r × (M × ds) − = (M × ∇) × r 2 ZZ 2 ZZZ 1 1

r × km ds + 2M dv = 2 2 ZZZ

II-13

Magnetizaci´ on V Luego 1 2

ZZZ

1 r × j dv + r × km ds = 2 ZZ

ZZZ

M dv

Como esto es v´ alido para cualquier volumen, se sigue que M puede identificarse con el momento magn´ etico de las corrientes de magnetizaci´ on.

+

II-14

Magnetizaci´ on VI Se define el campo de excitaci´ on H como

B = µ0 (H + M)

+

II-15

Magnetizaci´ on VII Con esto, las ecuaciones del campo magnetost´ atico quedan:

∇B = 0 ∇ × H = jl Para resolverlas hace falta alguna relaci´ on entre H y B.

+

II-16

Termodin´ amica I Sea un determinado cuerpo macrosc´ opico caracterizado por determinadas magnitudes macrosc´ opicas observables: su masa, el volumen que ocupa, o el campo el´ ectrico (E) o magn´ etico (B), supuesto uniforme, al que se encuentra sometido. Sup´ ongase que el cuerpo est´ a en reposo. Entonces, si adem´ as est´ a aislado, su energ´ıa interna U es una constante del movimiento.

+

II-17

Termodin´ amica II Si el cuerpo est´ a en equilibrio termodin´ amico, durante su evoluci´ on din´ amica visita todos los microestados compatibles con las ligaduras anteriores (U ,m,V , E,B constantes). Bajo esta hip´ otesis erg´ odica, el logaritmo del n´ umero de microestados que visita, conocido como entrop´ıa, es una funci´ on bien definida del valor de las ligaduras

k log n = S = S(U, m, V, E, B)

+

II-18

Termodin´ amica III La derivada ∂S >0 ∂U ya que el n´ umero de estados admisibles aumenta con la energ´ıa del sistema (salvo excepciones). En estas condiciones, la ecuaci´ on que define S se puede invertir, de forma que

U = U (S, m, V, E, B)

+

II-19

Termodin´ amica IV Diferenciando la expresi´ on anterior

∂U ∂U ∂U ∂U ∂U dS + dm + dV + dE + dB ∂S ∂m ∂V ∂E ∂B ∂U ∂U = T dS + µdm − pdV + dE + dB ∂E ∂B

dU =

+

II-20

Termodin´ amica V En la f´ ormula anterior

• T es la temperatura.

• µ es el potencial qu´ımico.

• p es la presi´ on.

+

II-21

Termodin´ amica VI Obs´ ervese que como ∂S >0 ∂U se tiene que T > 0.

+

II-22

Termodin´ amica VII Consid´ erense ahora dos cuerpos inicialmente aislados, con entrop´ıas S1 y S2 que se juntan. La energ´ıa total U1 + U2 se conserva. Sin embargo, el n´ umero de microestdos total es mayor que el producto n1n2, ya que al desaparecer la restricci´ on de que U1 y U2 sean constantes por separado, hay nuevas formas de repartir la energ´ıa total. Por tanto

S ≥ S1 + S2

+

II-23

Termodin´ amica VIII As´ı pues, la entrop´ıa total siempre aumenta. Este es el segundo principio. Dado que la entrop´ıa mide la verosimilitud de una situaci´ on, siempre tender´ a a ser m´ axima.

+

II-24

Termodin´ amica IX Si dos cuerpos se ponen en contacto t´ ermico (es decir, dV = dm = . . . = 0 para ambos cuerpos, Y dS 6= 0) se tiene que

dU1 = T1dS1 dU2 = T2dS2 dU1 = −dU2 y como dS1 + dS2 ≥ 0, se sigue que si dU1 > 0

T1 < T2 es decir, la energ´ıa fluye del cuerpo caliente al fr´ıo.

+

II-25

Termodin´ amica X Es f´ acil identificar la presi´ on p aqu´ı definida con el concepto intuitivo de presi´ on. Para ello, consid´ erese el sistema de la figura, en que un ´ embolo m´ ovil separa dos gases:

+

II-26

Termodin´ amica XI La entrop´ıa total ha de ser m´ axima en el equilibrio. Por tanto, como V1 + V2 es invariante: ∂S ∂S1 ∂S2 ∂S1 ∂S2 = + ∂V2∂V1 = − =0 ∂V1 ∂V1 ∂V2 ∂V1 ∂V2 Ahora bien, se tiene que 1 p dS = U + dV T T ∂S = p , y por tanto Se deduce que ∂V T

p1 p2 = T1 T2

+

II-27

Termodin´ amica XII Como en el equilibrio T1 = T2, se sigue que tambi´ en p1 = p2. Pero esto coincide con la condici´ on de equilibrio mec´ anico de igualdad de fuerzas.

+

II-28

Termodin´ amica XIII Los diferentes t´ erminos de la igualdad dU = . . . tienen diferentes nombres. En concreto

• pdV trabajo mec´ anico.

• T dS calor

+

II-29

Termodin´ amica XIV Consid´ erese un cuerpo en un ba˜ no isotermo a temeperatura T , con volumen V , campo E, etc., constantes. El cuerpo estar´ a tambi´ en a temperatura T , con una entrop´ıa S. Si la energ´ıa del cuerpo aumenta en dU , el incremento de entrop´ıa del mundo ser´ a

dSmundo = dS + dSresto = dS −

dU >0 T

Como T es constante, esto significa que

d(U − T S) = dF < 0

La cantidad F se llama energ´ıa libre de Helmotz, y tiende a ser m´ınima en sistemas a volumen constante en un ba˜ no isotermo. +

II-30

Termodin´ amica XV Otra menera de ver la energ´ıa libre. Sea dW el trabajo realizado, de forma que

dU = T dS + dR

Si T es constante puede ecribirse que

dR = d(U − T S) = dF

La energ´ıa libre da el trabajo que puede extraerse en condiciones isotermas.

+

II-31

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico I Consid´ erese un conductor sumergido en un medio diel´ ectrico. El trabajo que hay que realizar para llevar una carga δq desde el infinito es:

δR =

Z conductor ∞

δq E dl = δqVconductor

donde V es el potencial el´ ectrico

E = −∇V que se anula en el infinito.

+

II-32

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico II Por otra parte, la carga q del conductor se puede calcular como ZZ

q=−

conductor

D ds

donde el − viene de que tomo como volumen de referencia no el del conductor, sini el del diel´ ectrico. Por tanto ZZ

δq = −

conductor

+

δ D ds

II-33

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico III Entonces

δR = δqV ZZconductor = −

= − = − =

+

ZZZconductor

ZZZdiel

ZZZ

diel

V δ D ds

∇(V δ D) dv

V ∇(δ D) dv −

ZZZ diel

(δ D)∇V dv

(δ D)E dv

II-34

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico IV As´ı pues, el primer principio queda

dU = T dS + dR = T dS +

ZZZ

Eδ D dv

o

dF = d(U − T S) = −SdT +

+

ZZZ

Eδ D dv

II-35

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico V Es preciso encontrar una relaci´ on entre E y D. Esta relaci´ on es an´ aloga a, por ejemplo, la que existe en un gas entre p y V (dR = −pdV ). En un gas perfecto

pV = kT

En generaal

V = V (p, T )

Esta es la ecuaci´ on de estado.

+

II-36

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico VI En el caso electrost´ atico

D = D (E , T ) Habitualmente, es v´ alida una relaci´ on lineal:

Di = ij (T )Ej y muy a menudo

D = (T )E = 0r (T )E

+

II-37

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico VII Valores de r > 1 Substancia Vidrio Mica Nil´ on Caucho Azufre Madera Alcohol et’ilico Benceno Petr´ oleo Agua (0oC) Agua (20oC) Aire (1 atm.) Aire (100 atm.) CO2 (1 atm.)

+

r 5 - 10 6.0 3.5 2-3.5 4.0 2.5 - 8.0 28.4 2.3 2.1 88.0 80.0 1.00059 1.0548 1.000985

II-38

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico VIII En este ´ ultimo caso:

dF = −SdT +

ZZZ

E(T )δ E dv

Luego 1 F (T ) = F0(T ) + 2

+

ZZZ

(T )E 2 dv

II-39

Energ´ıa libre del campo electrost´ atico IX De esta f´ ormula se sigue que ∂F ∂F0 1 S=− | =− − ∂T Dcte. ∂T 2

+

ZZZ

∂(T ) 2 E dv ∂T

II-40

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico I En su forma final, las relaciones termodin´ amicas para un campo magnetost´ atico son muy parecidas a las de un campo electrost´ atico. No obstante, su origen es muy distinto, porque, debido a que

f = σE + j × B el campo magn´ etico no puede ejercer fuerza, directamente, sobre las cargas.

+

II-41

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico II La ejerce, sin embargo, indirectamente a partir de que ∂E ∇×E=− ∂t Sup´ ongase entonces que, en un medio material, se var´ıa la densidad de corriente libre j. Al cambiar la corriente, cambia B, se produce E, y la fuente de corriente realiza un trabajo sobre el campo

δR = −δt

+

ZZZ

Ej dv

II-42

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico III Como se suponen que el cambio es lento, se tiene que

∇×H=j

As´ı

δR = −δt = −δt = δt =

+

ZZZ ZZZ

ZZZ

ZZZ

Ej dv E∇ × j dv

∇(E × H dv − δt

ZZZ

H∇ × E dv

Hδ B dv

II-43

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico IV Otra manera de escribir esta f´ ormula:

δR = = = =

+

ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ

Hδ B dv H∇ × δ A dv ∇(H × δ A) dv +

ZZZ

δ A∇ × H dv

jδ A dv

II-44

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico V El resto del an´ alisis es similar al del caso electrost´ atico. El primer principio queda:

dU = T dS + dR = T dS +

ZZZ

Hδ B dv

o

dF = d(U − T S) = −SdT +

+

ZZZ

Hδ B dv

II-45

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico VI Es preciso encontrar una relaci´ on de estado entre H y B, como:

B = µ(T )H = µ0µr (T )H Sin embargo, la presencia de hist´ eresis hace imposible encontrar, en general, una ecuaci´ on de estado. µr < 1 µr > 1 µr  1

+

Diamagn´ etico Paramagn´ etico Ferromagn´ etico

II-46

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico VII Valores de χm = µr − 1 Substancia Aluminio Bismuto Cobre Diamante Cloruro de gadolinio Oro Magnesio Mercurio Plata Sodio Titanio Tungsteno Di´ oxido de carbono (1 atm.) Hidr´ ogeno (1 atm.) Nitr´ ogeno (1 atm.) Ox´ıgeno (1 atm.) +

χm 2,3 × 10−5 −1,66 × 10−5 −0,98 × 10−5 −2,2 × 10−5 276 × 10−5 −3,6 × 10−5 1,2 × 10−5 −3,2 × 10−5 −2,6 × 10−5 −0,24 × 10−5 7,06 × 10−5 6,8 × 10−5 −0,99 × 10−8 −0,21 × 10−8 −0,55 × 10−8 209 × 10−8 II-47

Energ´ıa libre del campo magnetost´ atico VIII En este caso lineal:

dF = −SdT +

ZZZ

Hµ(T )δ H dv

Luego 1 F (T ) = F0(T ) + 2

ZZZ

µ(T )H 2 dv

Como esta funci´ on ha de tener un m´ınimo, µ > 0.

+

II-48

Aproximaciones cuasiest´ aticas. El l´ıquido incompresible.

• Transformaci´ on entre sistemas inerciales.

• Polarizaci´ on de medios en movimiento.

• Magnetizaci´ on de medios en movimiento.

• Ecuaciones de campos en la materia.

• Campos cuasielectrost´ aticos.

• Fuerzas cuasielectrost´ aticas en un l´ıquido incompresible. +

III-1

Transformaci´ on entre sistemas inerciales I Sean dos sistemas S y S 0 inerciales con velocidad relativa u. Entonces, las coordenadas en los dos sistemas est´ an ligadas por

r0 = r − ut t0 = t

+

III-2

Transformaci´ on entre sistemas inerciales II Consid´ erese la nabla ∇. Se tiene que, al pasar de un sistema de ccordenadas a otro ∇0 → ∇

En efecto, por ejemplo

∇0ψ(r0, t) = ∇ψ(r, t)

+

III-3

Transformaci´ on entre sistemas inerciales III Por otra parte

∂ψ(r0, t0) ∂ψ(r0, t) = 0 ∂t ∂t ∂ψ(r − ut, t) = ∂t ∂ψ(r, t) = − (u∇)ψ  ∂t  ∂ = − u∇ ψ(r, t) ∂t ∂ψ(r, t) = + ∇(uψ(r, t)) ∂t

+

III-4

Transformaci´ on entre sistemas inerciales IV Tambi´ en se tiene

∂ A(r0, t) ∂ A(r0, t0) = 0 ∂t ∂t ∂ A(r − ut, t) = ∂t   ∂ − u∇ A(r, t) = ∂t ∂A = + u(∇A(r, t)) − ∇ × (u × A) ∂t

+

III-5

Es tambi´ en de inter´ es la regla de Leibnitz generalizada: d dt

+

ZZ S

A ds =

ZZ "

∂A + (∇A)vs S ∂t

#

ds+

I ∂S

(A × vs) ds

III-6

Polarizaci´ on de medios en movimiento I Consid´ erese un cuerpo diel´ ectrico en movimiento, a velocidad u, en el instante t. Sea S el sistema en reposo y S 0 un sistema que se mueve con el cuerpo. Se tiene que

∇j0p = −

+

∂ρ0p ∂t

III-7

Polarizaci´ on de medios en movimiento II As´ı pues

∇j0p = −

∂ρp − ∇(uρp) ∂t

Si se define

jp = j0p + uρp se recupera

∇jp = −

+

∂ρp ∂t

III-8

Polarizaci´ on de medios en movimiento IV Por otra parte, el valor del vector de polarizaci´ on

P=

ZZZ

rρp dv

no puede depender del sistema de referencia.

+

III-9

Polarizaci´ on de medios en movimiento IV En el sistema ligado al cuerpo, se verifica que

ZZ S

j0p ds = = = = = =

d σp ds dt ZZS d P ds dt "S # I ZZ ∂P + (∇P)u ds + (P × u) ds ∂S S ∂t " # ZZ ZZ ∂P + (∇P)u ds + ∇ × (P × u) ds S ∂t S " # ZZ ZZ ∂P ∇ × (P × u) ds − ρpu ds + S ∂t S ZZ

ZZ S

+

(jp − uρp) ds

III-10

Polarizaci´ on de medios en movimiento V As´ı pues, se obtiene que:

jp =

+

∂P + ∇ × (P × u) ∂t

III-11

Magnetizaci´ on de medios en movimiento I El vector de polarizaci´ on magn´ etica no puede depender del sistema de referencia. En efecto,

M=

ZZZ

r × jm dv

Y jm es invariante, puesto que no hay ρm.

+

III-12

Magnetizaci´ on de medios en movimiento II En efecto,

∇jm = ∇ (∇ × M) = 0 ∂ρm = ∂t Luego, de existir carga de magnetizaci´ on, ser´ıa constante y estar´ıa, por tanto, desacoplada de las corrientes.

+

III-13

Ecuaciones de campos I Consid´ erese la cuarta ecuaci´ on de Maxwell

∂E ∇ × H = 0 + jp + jl ∂t ∂E + +jl + = 0 ∂t ∂P + ∇ × ( P × u) ∂t

+

III-14

Ecuaciones de campos II Consid´ erese ahora la tercera ecuaci´ on de Maxwell

∇µ0H = −∇µ0M = ρg que define la ”carga magn´ etica” ρg . Esta carga tiene asociada una corriente

∇jg = −

+

∂ρg ∂t

III-15

Ecuaciones de campos III Estas relaciones ys se vieron al estudiar el campo P. Por tanto, se puede concluir que

jg =

+

∂µ0M + ∇ × (µ0M × u) ∂t

III-16

Ecuaciones de campos IV Por otra parte, se tiene que:

∂B ∂t ∂H − µ0jh = −µ0 ∂t

∇×E = −

Tomando divergencias

∂∇H ∂t ∂∇M = ∂t ∂ρg = − ∂t = ∇jg

∇jh = −

+

III-17

Ecuaciones de campos V Por tanto, se obtiene

∇ × E = −µ0

+

∂H ∂µ M − µ0 0 − µ0∇ × (µ0M × u) ∂t ∂t

III-18

Ecuaciones de campos VI En resumen, se obtiene

0∇E = −∇P + ρl ∂H ∂µ M ∇ × E = −µ0 − µ0 0 − µ0∇ × (µ0M × u) ∂t ∂t ∇µ0H = −∇µ0M ∂E + +jl + ∇ × H = 0 ∂t ∂P + ∇ × (P × u) ∂t

+

III-19

Estas ecuaciones se han obtenido considerando transformaciones galilenas. Son, sin embargo, v´ alidas en el l´ımite relativista. Si embargo, para aplicarlas, se necesita encontrar una relaci´ on entre E y H, y P y M. En reposo, esa relaci´ on es dada por la forma de las relaciones constitutivas (ecuaci´ on de estado). En movimiento, es preciso estudiar la forma de transformaci´ on de los campos.

+

III-20

Dado que, por el momento, solamente nos interesan las transformaciones en que se pueda aplicar la relatividad galileana, es preciso asegurarse de que no estan implicadas velocidades del orden de c. En particular, no se desean ondas electromagn´ eticas.

+

III-21

Las ondas surgen cuando se substituye la segunda ecuaci´ on de Maxwell en la cuarta. Por lo tanto, hay dos formas de evitar estas soluciones

• Despreciar los t´ erminos ∂∂tE : caso cuasimagnetost´ atico (MQS).

B : caso cuasielec• Despreciar los t´ erminos ∂∂t trost´ atico (EQS).

+

III-22

Campos EQS I

0∇E = −∇P + ρl ∇×E = 0 ∇µ0H = −∇µ0M ∂E + jl + ∇ × H = 0 ∂t ∂P + ∇ × ( P × u) ∂t

+

III-23

Campos EQS II Si se miran estas ecuaciones desde otro sistema de referencia que se mueve a velocidad relativa v, se transforman en las mismas ecuaciones si se transforman las variables como:

E0 P0 ρ0l j0l H0 M0

+

= E = P = ρl = jl − vρl = H − v × 0E = M

III-24

Campos MQS I

0∇E = −∇P + ρl ∂H ∂µ M ∇ × E = −µ0 − µ0 0 − µ0∇ × (µ0M × u) ∂t ∂t ∇µ0H = −∇µ0M ∇ × H = jl

+

III-25

Campos EQS II Si se miran estas ecuaciones desde otro sistema de referencia que se mueve a velocidad relativa v, se transforman en las mismas ecuaciones si se transforman las variables como:

E0 P0 ρ0l j0l H0 M0

+

= E + v × µ0 H = P = ρl = jl − vρl = H = M

III-26

Transformaci´ on de campos En las f´ ormulas anteriores, todo coincide en los casos EQS y MQS salvo la transformaci´ on de E y H. La transformaci´ on correcta, que se obtiene del tratamiento relativista, es:

E = E0 + u × µ0H0 H = H0 − u × 0E0

+

III-27

Es interesante notar que el caso EQS se obtiene, formalmente, tomando en las ecuaciones completas el l`ımite µ0 → 0. Por tanto, la energ´ıa y las fuerzas magn´ eticas; que son del orden µ0H 2, ser´ an despreciables frente a las el´ ectricas, de orden 0E 2. Por tanto, casi todo el trabajo es de origen el´ ectrico. En un sistema MQS se dar´ a la situaci´ on rec´ıproca.

+

III-28

Por lo tanto, en los problemas EQS, la parte m´ as importante de la energ´ıa, o energ´ıa libre, es la relativa a los campos el´ ectricos. Como, en este caso, E = E0, la forma de esta funci´ on es la misma que en reposo. An´ alogamente en el caso MQS.

+

III-29

Se han establecido ya las leyes que dan los campos en funci´ on de las fuentes. Es preciso ahora ver que fuerzas ejercen los campos sobre las fuentes. Para ello se utilizan los potenciales termodin´ amicos.

+

III-30

Fuerzas en un l´ıquido incompresible I Por ejemplo, consid´ erese el sistema EQS de un l´ıquido neutro incompresible isotermo en un campo el´ ectrico. Por supuesto

E = −∇V

+

III-31

Fuerzas en un l´ıquido incompresible II Sup´ ongase una relaci´ on constitutiva

D = (T )E La densidad de energ´ıa libre es entonces: 1 f (T ) = f0(T ) + (T )E 2 2

+

III-32

Fuerzas en un l´ıquido incompresible III La variaci´ on de la energ´ıa libre es el trabajo realizado por las cargas. Sup´ ongase que el l´ıquido tiene inmersos unos electrodos con tensiones fijas. La energ´ıa libre es, despreciando f0(T ) que no cambia,

F =

1 (r)E 2 dv V 2

ZZZ

donde (r) = 0 en el vac´ıo y (T ) en el l´ıquido.

+

III-33

Fuerzas en un l´ıquido incompresible IV Consider´ ese ahora un desplazamiento ξ(t) del l´ıquido. Si se sigue a un volumen determinado, al ser el l´ıquido incompresible, la integral ZZZ V

(r) dv

no cambia. Por la regla generalizada de Leibnitz: d dt

+

ZZZ V

(r) dv =

∂ ∂ξ (r) dv +  dv = 0 V ∂t ∂V ∂t

ZZZ

ZZ

III-34

Fuerzas en un l´ıquido incompresible V As´ı pues

δ = −∇(δξ) RR

Como el l´ıquido es incompresible, V dv es constantes, y

∇(δξ) = 0

+

III-35

Fuerzas en un l´ıquido incompresible VI Consideremos ahora la variaci´ on de la energ´ıa libre al producirse el desplazamiento ξ. Se tiene ZZZ 1 δF = δ (r)E 2 dv ZZZ V 2 ZZZ 1 2 = E δ dv + Dδ E dv ZZZV 2 ZZZ V 1 2 = E δ dv − D∇δV dv 2 V V ZZZ ZZZ 1 2 E δ dv − ∇(DδV ) dv + = V ZZZV 2 V ∇δ D dv ZZZV

1 2 E δ dv − DδV dv + = ∂V ZZZV 2 V ∇δρl dv ZZ

V ZZZ

1 2 E ∇(δξ) dv ZZZV 2 ZZZ 1 2 1 2 = − E ∇δξ dv − (E ∇)δξ dv V 2 ZZZV 2 1 2 (E ∇)δξ dv = − 2 V ZZZ = f δξ dv = −

+

V

III-36

Fuerzas en un l´ıquido incompresible VII As´ı pues, la densidad de fuerza el´ ectriza es: 1 f = − E 2∇ 2

+

III-37

Fuerzas en un l´ıquido incompresible VIII Se puede tambi´ en escribir: ∂ fi = Tij ∂xj con  Tij = EiEj − δij E 2 2

+

III-38

An´ alisis de medios discretos.

• Elementos cuasielectrost´ aticos.

• Elementos cuasmagnetost´ aticos.

• M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica.

+

IV-1

Un sistema de elementos discretos (”lumped”) consta de varios subsistemas (elementos) unidos por cables.

+

IV-2

Sup´ ongase que en el espacio entre elementos las variaciones de campo el´ ectricos y magn´ eticos son despreciables:

∂E ≈ 0 ∂t ∂B ≈ 0 ∂t

+

IV-3

El flujo de energ´ıa electromagn´ etica est´ a dado por el vector de Poynting. Ahora bien:

ZZ

S ds =

ZZ

E × H ds ZZ

= − ∇V × H ds ZZ

ZZ

= − ∇ × (V H) ds + V ∇ × H ds = =

ZZ

V j ds

X

IiVi

i

+

IV-4

Cada elemento estar´ a definido por alg´ un tipo de relaci´ on entre las intensidades y los potenciales. Se considerar´ an solamente dos tipos de elementos:

• Elementos cuasielectrost´ aticos.

• Elementos cuasimagnetost´ aticos.

+

IV-5

Elementos cuasielectrost´ aticos I Se pueden considerar como sistemas en equilibrio termodin´ amico formados por una serie de electrodos a tensiones dadas Vi, con determinadas cargas qi, en un medio sin cargas libres. Adem´ as, pueden existir otros grados de libertad (p. ej.,mec´ anicos) que se denotan por ξi.

+

IV-6

Elementos cuasielectrost´ aticos II Dentro del sistema cuasielectrost´ atico, el campo resulta de resolver el sistema

∇D = ρ

E = −∇V E = E(D, T, ξi) V = VZZi en conductor i qi =

conductor i

D ds

que tienen soluci´ on

qi = qi(Vj , T, ξi)

+

IV-7

Elementos cuasielectrost´ aticos III Si adem´ as se tiene que

E = (T )D las ecuaciones de campo son lineales, y por tanto

qi = Cij (T, ξj )vj

+

IV-8

Elementos cuasielectrost´ aticos IV La variaci´ on de energ´ıa libre es

δF =

ZZZ

= − = −

Dδ E dv

Ω ZZZ

ZZZΩ ZZ Ω

= −

∂Ω = qiδVi

+

D∇δV dv ∇ (DδV ) dv −

ZZZ Ω

δV ∇D dv

DδV dv

IV-9

Elementos cuasielectrost´ aticos V En el caso de una relaci´ on constitutiva lineal,

δF = Cij Vj δVi

+

IV-10

Elementos cuasielectrost´ aticos VI Por otra parte, en este caso

1 F − F0 = 2 = = = = =

+

ZZZ Ω ZZZ

ED dv

1 − D∇V dv 2 ZZZΩ ZZZ 1 1 − ∇ (DV ) dv − − V ∇D dv 2 ZZ Ω 2 Ω 1 − DV ds 2 ∂Ω 1 qiVi 2 1 Cij Vj Vi 2

IV-11

Elementos cuasielectrost´ aticos VII Luego

1 δF = (Cij Vj δVi + Cij ViδVj ) 2  1 = Cij + Cji ViδVj 2

+

IV-12

Elementos cuasielectrost´ aticos VIII La ´ unica forma de que las dos expresiones de δF sean iguales es que

Cij = Cji Adem´ as, como F est´ a inferiormente acotada, Cij ha de ser positiva. En particular, ha de tener diagonal positiva.

+

IV-13

Elementos cuasielectrost´ aticos IX Por otra parte, los potenciales est´ an definidos hasta una constante. Luego



qi = Cij Vj = Cij Vj + 1



Luego

Cij 1 = 0 o sea

X

Cij = 0

j

+

IV-14

Elementos cuasielectrost´ aticos X En los sistemas cuasielectrost´ aticos, la din´ amica viene impuesta por la ecuaci´ on de continuidad

−

∂ρ = ∇j ∂t

En el caso de elementos discretos dqi − = Ii dt

+

IV-15

Elementos cuasielectrost´ aticos XI Se ha visto que 1 −1 F (T, ξk , qi) = F0(T, ξ) + Cij (T, ξk )qiqj 2 Adem´ as

S=−

+

∂F |qi,ξk ctes ∂T

IV-16

Elementos cuasielectrost´ aticos XII Sup´ ongase que  y las condiciones de contorno definidas por ξk son independientes de la temperatura. Por tanto, Cij no es funci´ on de T .

Cij = Cij (ξk ) Por tanto

S=−

+

∂F0 |ξk ctes ∂T

IV-17

Elementos cuasielectrost´ aticos XIII Ahora bien

U = F + TS 1 ∂F0 |ξk ctes) + Cij (ξk )ViVj = (F0 − T ∂T 2 1 = U0(T, ξk ) + Cij (ξk )ViVj 2

+

IV-18

Elementos cuasimagnetost´ aticos I Se pueden considerar como sistemas en equilibrio termodin´ amico formados por una serie de espiras con intensidades dadas Ii, con determinadas flujos ligados λi, en un medio sin corrientes libres. Adem´ as, pueden existir otros grados de libertad (p. ej.,mec´ anicos) que se denotan por ξi.

+

IV-19

Elementos cuasimagnetost´ aticos II Dentro del sistema cuasimagnetost´ atico, el campo resulta de resolver el sistema

∇B = 0 ∇×H = j

H = H(B, T, ξi) I = IZZi en espira i

λi =

espira i

B ds

que tienen soluci´ on

λi = λi(Ij , T, ξj )

+

IV-20

Elementos cuasimagnetost´ aticos III Si adem´ as se tiene que

H = (T )B las ecuaciones de campo son lineales, y por tanto

λi = Lij (T, ξj )Ij

+

IV-21

Elementos cuasimagnetost´ aticos IV La variaci´ on de energ´ıa libre es

δF = = = = = = = =

ZZZ ZZZΩ ZZZΩ ZZZΩ

Hδ B dv H∇ × δ A dv (∇ × H)δ A dv +

i X i X

espira i Z

jδ A dv

Ii

δ A dl

Ii

∇ × δ A ds

Ii

i = Iiδλi +

Ω

∇ (H × δ A) dv

jδ A dv

Ω X ZZZ i X

ZZZ

espira i ZZ

espira i ZZ espira i

δ B ds

IV-22

Elementos cuasimagnetost´ aticos V En el caso de una relaci´ on constitutiva lineal,

δF = Lij Ij δIi

+

IV-23

Elementos cuasimagnetost´ aticos VI Por otra parte, en este caso ZZZ 1 F − F0 = BH dv 2 ZZZΩ 1 = H (∇ × A) dv 2 ZZZΩ ZZZ 1 1 = A (∇ × H) dv + ∇ (H × A) dv 2 ZZZΩ 2 Ω 1 Aj dv = 2 ΩZZZ 1X = Aj dv 2 i espira i Z 1X Ii = A dl 2 i espira i ZZ 1X Ii = ∇ × A ds 2 i espira i ZZ 1X Ii B ds = 2 i espira i 1 = Iiλi 2 1 = Lij IiIj 2 +

IV-24

Elementos cuasimagnetost´ aticos VII Luego

1 δF = (Lij Ij δIi + Lij IiδIj ) 2  1 = Lij + Lji IiδIj 2

+

IV-25

Elementos cuasimagnetost´ aticos VIII La ´ unica forma de que las dos expresiones de δF sean iguales es que

Lij = Lji Adem´ as, como F est´ a inferiormente acotada, Lij ha de ser positiva. En particular, ha de tener diagonal positiva.

+

IV-26

Elementos cuasimagnetost´ aticos IX En los sistemas cuasielectrost´ aticos, la din´ amica viene impuesta por la ley de Farady

−

+

∂B =∇×E ∂t

IV-27

Elementos cuasimagnetost´ aticos X Consid´ erese una espira, que en general se estar´ a moviendo. Por la regla de Leibnitz:

d d λ = B ds dt dt "S # ZZ ∂B + (∇B)vs ds + = S ∂t ZZ

Z

(B × vs) dl ∂S

∂B = ds + (B × vs) dl SZZ ∂t ∂S Z = − ∇ × E ds + (B × vs) dl ZZ

Z

ZS

∂S

= − (E + vs × B) dl Z∂S

= − E0 dl ∂S

+

IV-28

Elementos cuasimagnetost´ aticos XI Div´ıdase ∂S en dos partes:

1. La espira propiamente dicha ∂S1.

2. El espacio entre bornas, que se supone fijo en el espacio ∂S2.

+

IV-29

Elementos cuasimagnetost´ aticos XII Luego

−

Z ∂S2

E0 dl = − =

Z ∂S2

Z ∂S2

E dl

∇V dl

= V1 − V2 Z d = λ+ E0 dl dt ∂S1 Muy a menudo, puede escribirse ∂S1 E0 dl ≈ 0 R o ∂S1 E0 dl = RI R

+

IV-30

Elementos cuasimagnetost´ aticos XIII Sup´ ongase que µ y las condiciones de contorno definidas por ξk son independientes de la temperatura. Por tanto, Lij no es funci´ on de T .

Lij = Lij (ξk )

+

IV-31

Elementos cuasimagnetost´ aticos XIV De aqu´ı se sigue que 1 U = U0(T, ξk ) + Lij (ξk )IiIj 2

+

IV-32

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica I Una m´ aquina cuasimagnetost´ atica suele constar de un est´ ator y un rotor con un n´ umero variable de espiras, por ejemplo, 1. El ´ unico grado mec´ anico de libertad ξi es el ´ angulo que forma el r´ otor θ.

+

IV-33

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica II Den´ otense las intensidades por rotor y est´ ator Ir e Is, las tensiones Vr y Vs, y la matriz de inductancias: "

Lij (θ) =

+

Ls(θ) M (θ) M (θ) Lr (θ)

#

IV-34

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica III En una posici´ on dada, a intensidad y temperatura constantes, la m´ aquina sufre un giro virtual dθ. La variaci´ on de energ´ıa libre es:

dF dθ

+

∂ 1 = Lij (ξk )IiIj ∂θ 2 1 ∂Ls 2 ∂M 1 ∂Lr 2 I + Ir Is + I = 2 ∂θ s ∂θ 2 ∂θ r

IV-35

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica IV Ahora bien, la variaci´ on de la energ´ıa libre es el trabajo ejercido sobre el sistema. Luego, como dF = dR = Tmdθ, 1 ∂Ls 2 ∂M 1 ∂Lr 2 Tm = I + Ir Is + I 2 ∂θ s ∂θ 2 ∂θ r

+

IV-36

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica V Esta ecuaci´ on hay que complementarla con las ecuaciones din´ amicas. Para el rotor se tiene

d λr + E0 dl Vr = dt ∂rotor1 d = λr + Rr Ir dt d = (M Is + Lr Ir ) + Rr Ir dt Z

Y an´ alogamente para el est´ ator

+

IV-37

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica VI Adem´ as, hace falta especificar la din´ amica mec´ anica. Por ejemplo, si la m´ aquina arrastra una carga de par constante Tc d2 I 2 θ = Tm − Tc dt

+

IV-38

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica VI En resumen:

1 ∂Ls 2 ∂M 1 ∂Lr 2 Tm = I + Ir Is + I 2 ∂θ s ∂θ 2 ∂θ r d Vr = (M Is + Lr Ir ) + Rr Ir dt d Vs = (LsIs + M Ir ) + RsIs dt d2 I 2 θ = Tm − Tc dt

+

IV-39

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica VII Es de inter´ es analizar el caso cuando la m´ aquina gira a velocidad constante ω, y las corrientes Ir e Is son peri´ odicas con frecuencias b´ asicas ωr y ωs. Si Tm tiene un valor medio no nulo ha de verificarse: • Que haya dos enteros n y m tales que nω + mωs = 0, de forma que el valor medio de 1 ∂Ls I 2 6= 0. 2 ∂θ s • Que haya dos enteros n y m tales que nω + mωr = 0, de forma que el valor medio de 1 ∂Lr I 2 6= 0. 2 ∂θ r • Que haya tres enteros n, m y l de forma que nω + mωs + lωr = 0, de forma que el valor medio de ∂M ∂θ Ir Is 6= 0 +

IV-40

M´ aquinas de conversi´ on electromec´ anica VIII Las m´ aquinas se pueden clasificar seg´ un el t´ ermino importante en la expresi´ on del par:

∂Ls I 2 o el de 1 ∂Lr I 2 1. Si el valor medio de 1 2 ∂θ s 2 ∂θ r es distinto de cero, y relativamente grande, m´ aquinas de induccion variable.

2. Si el t´ ermino significativo es ∂M ∂θ Ir Is , (a) Si wr = 0, m´ aquinas s´ıncronas. (b) Si wr 6= 0, m´ aquinas as´ıncronas o de inducci´ on.

+

IV-41

Se pueden construir m´ aquinas cuasielectrost´ aticas basadas en principios similares. Si embargo, la relativamente baja rigidez diel´ ectrica del aire limita su eficiencia.

+

IV-42

Tm ≈ Tθr R × 2πRL Por otra parte

• Magn´ etico Tθr ≈ µ1 B 2 ≈ 8 ∗ 105, suponien0 do B ≈ 1T.

• El´ ectrico Tθr ≈ 0E 2 ≈ 80, suponiendo E ≈ 30kV/cm.

+

IV-43

La ley de Ohm, la disipaci´ on y los principios variacionales

• Disipaci´ on.

• Principios variacionales.

+

V-1

Disipaci´ on I Consid´ erese un sistema contin´ uo. Se considera que en cada elemento del sistema existen densidades de energ´ıa u(x), entrop´ıa s(x), densidad ρ(x) etc. ; y una temeperatura T (x), presi´ on p(x), etc. El primer principio es:

1 du = T ds − pd + . . . ρ = dq + dr

Sumando a todo el cuerpo

dU = dQ + dR

+

V-2

Disipaci´ on II Derivando respecto al tiempo dQ dR dU = + dt dt dt Muy frecuentemente el trabajo R ser´ a la suma de dos o m´ as t´ erminos. En el caso de una m´ aquina el´ ectrica, podr´ıan ser el trabajo el´ ectrico Re y el mec´ anico Rm. En este caso: dU = Pq + Pe + Pm dt Pq es el flujo de calor.

+

V-3

Disipaci´ on III Consid´ erese ahora un sistema con energ´ıa U , entrop´ıa S, etc en un ba˜ no a temperatura constante Ta.

+

V-4

Disipaci´ on IV Se tiene entonces que:

dST = dS + dSa dQ = dS − Ta dU − dR = dS − Ta 1 = [− (U − TaS ) + dR] Ta

+

V-5

Disipaci´ on V Si el sistema est´ a a temperatura constante:

dF = dR − TadST Derivando respecto al tiempo dF dR dS = − Ta T dt dt dt

+

V-6

Disipaci´ on VI Sup´ ongase que el sistema funciona de forma c´ıclica. Entonces: dR dS = Ta T dt dt Por otra parte, se ha de verificar tambi´ en que:

dR dQ = dt dt

+

V-7

Disipaci´ on VII Apliquemos lo anterior a una m´ aquina cuasimagnetost´ atica. Por una parte se tiene que: 1 F = F0(T ) + Lij (θ)IiIj 2 Por otra, se tiene que el trabajo el´ ectrico es

Pe = ViIi Y el mec´ anico dθ Pm = Tm dt +

V-8

Disipaci´ on VIII Adem´ as, se tiene que d Vi = Lij (θ)Ij + E0 dl dt ∂S1i Z

+

V-9

Disipaci´ on IX Juntando todo lo anterior, se obtiene:

dS E0 dl Ta T = Ii dt ∂S1i Z

Def´ınase

Vi =

+

Z ∂S1i

E0 dl

V-10

Disipaci´ on X Vi ser´ a funci´ on del estado del sistema:

Vi = Vi(Ij , θ) Si Ij = 0, se tiene que Pe = Pm = 0. La m´ aquina est´ a parada, la disipaci´ on es nula, y por tanto

Vi(0, θ) = 0

+

V-11

Disipaci´ on XI Si las intensidades no son muy grandes, cabe esperar que V se pueda desarrollar en serie de Taylor.

Vi = Rij (θ)Ij Por otra parte, la localidad fuerza a admitir que Vi solamente puede depender de Ii. Adem´ as, debido a que es local y que la forma de las espiras no cambia con θ, no debiera depender de θ. Por tanto Vi = Ri(θ)Ii no sumar i0s

+

V-12

Disipaci´ on XII Finalmente se tiene que

dST Ta = RiIi2 dt Como la entrop´ıa es creciente, Ri ≥ 0.

+

V-13

Disipaci´ on XIII El mismo argumento puede aplicarse a un conductor por el que pasa una corriente. Al conductor es un sistema cuasimagnetost´ atico

∇H = −∇M ∇×H = j ∂B ∇×E = − ∂t

+

V-14

Disipaci´ on XIV Apliquemos la f´ ormula antes obtenida a un conductor isotermo en reposo:

dST T dt

= dF − dR dB = H − S dt ZZZ ZZZ = − H (∇ × E ) − ∇ (E × H) ZZZ

= =

+

ZZZ ZZZ

ZZ

E (∇ × H) Ej

V-15

Disipaci´ on XV Si el campo no es muy intenso, cabe esperar una relaci´ on lineal entre E y j:

ji = σij Ej + ji0

j0 ha de ser nulo, porque si no el t´ ermino Ej0 no tiene signo definido, mientras que ha de ser positivo por el segundo principio. La relaci´ on ha de ser local, y por eso relaciona j y E en el mismo punto. La matriz σ ha de ser positiva porque la entrop´ıa no decrece. Adem´ as, puede demostrarse que ha de ser sim´ etrica. A menudo se tiene:

j = σE +

V-16

Disipaci´ on XVI Valores de σ Substancia Aluminio Cobre Oro Plata Hierro Mercurio Silicio (puro) Silicio (10−4 % As) Soluci’on saturada NaCl Ambar Vidrio Madera

+

σ 3,53 × 107 5,92 × 107 4,10 × 107 6,80 × 107 1,13 × 107 1,04 × 106 16 × 10−4 300 22.7 2 × 10−15 10−14 − 10−10 10−11 − 10−8

V-17

Disipaci´ on XVII Estos valores explican porqu´ e un conductor es un sistema cuasimagnetost´ atico. En efecto, sup´ ongase que hubiera carga libre en el conductor. Entonces:

∇ j = ∇ (σ E ) σ ρ = 0 ∂ρ = − ∂t

+

V-18

Disipaci´ on XVIII Luego

ρ ≈ exp(−t/T )

con 0 T = σ T es el tiempo de relajaci´ on electrost´ atica. Para el cobre T ≈ 10−18s. En la tierra T ≈ 10−9s.

+

V-19

Disipaci´ on XIX Al no haber pr´ acticamente carga libre, solamente existe una fuente de campo E: la variaci´ on del campo magn´ etico. Por tanto, si el sistema fuera cuasiest´ atico, habr´ıa de ser est´ atico a secas, y por tanto tambi´ en cusimagnestost´ atico.

+

V-20

Principios variacionales I El an´ alisis de sistemas cuasielectrost´ aticos y cuasimagnetost´ aticos requiere la soluci´ on de ecuaciones de campo est´ aticas. Existen bastantes procedimientos para hacerlo. Uno de los m´ as populares es el de los elementos finitos, que se basa en la existencia de formas variacionales de las ecuaciones de campo.

+

V-21

Principios variacionales II Por ejemplo, consid´ erse la ecuaci´ on de Poisson:

∇ (∇V ) = f sujeto a

en D V =g

en ∂D1

 ∂V ∂ n = h en ∂D2

+

V-22

Principios variacionales III La soluci´ on V de la ecuaci´ on anterior es la misma soluci´ on del siguiente problema variacional:

m´ın F V

=

1 2 ZZ

ZZZ D

∂D2

 (∇V )2 dv −

ZZZ D

f V dv −

hV ds

sujeto a V = g en ∂D1

+

V-23

Principios variacionales IV En efecto, sea V ∗ la soluci´ on del problema variacional. Una funci´ on V arbitraria puede escribirse como V = V ∗ + δV

V y V tienen que valer g en ∂D1. Luego

δV = 0 en ∂D1

+

V-24

Principios variacionales V Escr´ıbase el funcional F (V ) como suma de tres t´ erminos

F (V ) = F1(V ) + F2(V ) + F3(V ) ZZZ 1 F1(V ) =  (∇V )2 dv 2 D ZZZ F2(V ) = f V dv F3(V ) =

+

ZZ D

∂D2

hV ds

V-25

Principios variacionales VI ZZZ 1 F1(V ) =  (∇V )2 dv 2 ZZZD
1  ∇(V ∗ + δV ) 2 dv = 2 ZZZD ZZZ
1 1 =  ∇V ∗ 2 dv +  (∇δV )2 dv + 2 D 2 D ZZZ
∇V ∗ (∇δV ) dv D ZZZ

ZZZ

D ZZZ

ZZZD

∂D ZZZ

D ZZZ


2 1 1 ∗ =  ∇V  (∇δV )2 dv + dv + 2 D 2ZZZ D ZZZ

∗ ∗ ∇ δV ∇V dv − δV ∇ ∇V dv
2 1 1 ∗  ∇V  (∇δV )2 dv + dv + = 2 2 D ZZ D ZZZ
∗

δV ∇V ds − δV f dv

1 = 2 ZZ


2 1 ∗  ∇V dv + 2 D ZZZ ∗

∂V δV  ds − ∂ n ∂D2

1 = 2 ZZ

δV f dv

1  ∇V dv +  (∇δV )2 dv − 2 D D ZZZ δV h − δV f dv

ZZZ

∂D2 +

D

D

 (∇δV )2 dv −

∗
2

ZZZ

D

V-26

Principios variacionales VII

F2(V ) = =

ZZZ ZZZD D

+

f V dv f V ∗ dv +

ZZZ D

f δV dv

V-27

Principios variacionales VIII

F3(V ) = =

ZZ ZZ∂D2 ∂D2

+

hV ds hV ∗ ds +

ZZ ∂D2

hδV ds

V-28

Principios variacionales IX Sumando ahora todo

F (V ) = F1(V ) + F2(V ) + F3(V ) ZZZ ZZZ
1 1 2 =  ∇V ∗ dv +  (∇δV )2 dv − 2 D 2 D ZZ ZZZ δV h − δV f dv + ZZZ∂D2

ZZ D

=

f V ∗ dv +

∂D2 ZZZ

D ZZZ

hV ∗ ds +

ZZD

f δV dv +

∂D2

hδV ds


1  ∇V ∗ 2 dv + 2 D ZZZ ZZ f V ∗ dv + hV ∗ ds +

1 2

D ZZZ

∂D2

 (∇δV )2 dv

D ZZZ 1  (∇δV )2 dv = F (V ∗) + 2 D +

V-29

Principios variacionales X La ecuaci´ on variacional puede utilizarse para hacer c´ alculos de la siguiente forma. Se escoge una familida de funciones Vi tales que

V (x, y, z) = V0(x, y, z) +

X

aiVi(x, y, z)

i

con

V0 = g en ∂D1 y

Vi = 0 en ∂D1

+

V-30

Principios variacionales XI As´ı pues V verifica las condiciones de contorno de von Neumann (esenciales). Por tanto, puede aproximarse el problema varicional por el de minimizar la funci´ on

F (V0 +

X

aiVi)

i

respecto a las ai. Elementos finitos viene de una selecci´ on particular de las Vi.

+

V-31

Principios variacionales XII El caso de corrientes continuas lleva a la misma ecuaci´ on. En efecto, en estado est´ atico:

E = −∇V ∇j = 0 j = σE Y por tanto

∇(σ∇V ) = 0

+

V-32

Principios variacionales XIII Como curiosidad, el funcional variacional es ahhora 1 F = 2

1 2 σ(∇V ) dv = 2 D

ZZZ

ZZZ D

jE dv

Es decir, las corrientes se distribuyen de forma que se minimiza la producci´ on de entrop´ıa.

+

V-33

Principios variacionales XIV Un problema magnetost´ atico lineal es:

∇B

=

0

∇×H

=

j µH

B = sujeto a Bn = 0 en ∂Dn Bt = 0 en ∂Dt

+

V-34

Principios variacionales XV La forma variacional es

1 m´ın F = HB dv − 2 D sujeto a At = 0 en ∂Dn ZZZ

+

ZZZ D

jA dv

V-35

Principios variacionales XVI Sea A∗ la soluci´ on de la forma variacional. Entonces

A = A∗ + δ A Por tanto

At = 0 en ∂Dn ⇒ δ At = 0 en ∂Dn

+

V-36

Principios variacionales XVII Esta condici´ on garantiza que Bn = 0. En efecto, sup´ ongase que el eje normal al contorno coincide con el eje z. Entonces Bn = Bz . Pero

Bz =

∂ Ay ∂ Ax − ∂x ∂y

Como las componentes tangenciales son, en este caso, x e y, que son constantes (iguales a 0) en el contorno (es decir, el plano x − y), se sigue que las derivadas, y por tanto Bz , se anulan. El caso general, en funci´ on de las componenentes tangenciales y normales, se sigue de este resultado.

+

V-37

Principios variacionales XVIII

F (A) = F (A∗ + δ A)

F es la suma de dos t´ erminos 1 F = 2

+

ZZZ D

HB dv −

ZZZ D

jA dv

V-38

Principios variacionales XIX Anal´ıcese el primer sumando:

1 HB dv = 2ZZZ D 1 1 2 B dv = 2 Dµ ZZZ 1 1 (∇ × A)2 dv = 2 Dµ ZZZ

1 2


1 ∇ × (A∗ + δ A) 2 dv = Dµ ZZZ
2 1 1 ∗ ∇×A dv+ 2 Dµ ZZZ
1 ∗ ∇ × A (∇ × δ A) dv+ µ D ZZZ 1 1 (∇ × δ A)2 dv 2 Dµ

+

ZZZ

V-39

Principios variacionales XX Por otra parte


1 ∇ × A∗ (∇ × δ A) dv = Dµ " # ZZZ
1 ∗ ∇×A δ A∇ × dv− µ D " # ZZZ
1 ∇ δA × ∇ × A∗ dv = µ D ZZZ

ZZZ ZZZ D D

+

ZZ

δ A∇ × H dv −

(δ A × H) ds =

δ A∇ × H dv −

(δ A × H) ds

ZZ ∂D ∂Dt

V-40

Principios variacionales XXI Por otra parte ZZZ D

+

jA dv =

ZZZ D

jA∗ dv +

ZZZ D

jδ A dv

V-41

Principios variacionales XXII Sumando todo


1 1 F = ∇ × A∗ 2 dv − 2 µ ZZZ D ZZZ ZZZ

ZZ D

1 2

+

δ A∇ × H dv −

∂Dt ZZZ

D

ZZZ D

jA∗ dv +

jδ A dv −

(δ A × H) ds +

1 (∇ × δ A)2 dv Dµ

V-42

Principios variacionales XXIII Como F alcanza su m´ınino para A∗, los t´ erminos lineales en δ A tienen que ser nulos. Por otra parte, las integreales de volumen y de superficie tienen que anularse separadamente, porque siempre se puede escoger un δ A que sea pr´ acticamente nulo en el volumen y no en la superficie o viceversa. Luego

ZZZ D

δ A∇ × H dv − ZZ ∂Dt

+

ZZZ D

jδ A dv = 0

(δ A × H) ds = 0

V-43

Principios variacionales XXIV La primera ecuaci´ on implica que

∇×H=j

La segunda se puede escribir como: ZZ ∂Dt

(H × ds) δ A = 0

Como δ A puede ser cualquier cosa, H ha de ser normal al contorno.

+

V-44

Principios variacionales XXV Consid´ erese ahora un problema no lineal, donde la relaci´ on entre H y B viene dada como ˆ H(B) B H = H0 + B Es decir, se desprecia la hist´ eresis tanto en m´ odulo como en direcci´ on.

+

V-45

Principios variacionales XXVI Las ecuaciones de campo son:

∇B

=

0

∇×H

=

j H(B)

H = sujeto a Bn = 0 en ∂Dn Bt = 0 en ∂Dt

+

V-46

Principios variacionales XXVII La forma variacional

m´ın F

=

ZZZ D

Z B 0

!

dv −

H dB

ZZZ D

jA dv

sujeto a At = 0 en ∂Dn donde Z B 0

+

H dB = H0B +

Z B ˆ H(B) 0

B

dB

V-47

Principios variacionales XXVIII La demostraci´ on es an´ aloga a la del caso lineal. Sea A∗ el optimizador del funcional. Entonces

F (A∗ + δ A) − F (A∗) = ZZZ D

Z B ∗+δB 0

!

H dB

Z B∗

ZZZ

ZZZ D

dv −

0 D Z B ∗+δB B∗

ZZZ




D !

H dB

dv −

!

H dB

ZZZ D

+

j A∗ + δ A dv −

dv −

Hδ B dv −

ZZZ D

ZZZ D ZZZ D

jA∗ dv jδ A dv jδ A dv

V-48

Principios variacionales XXIX As´ı pues

ZZZ ZZZ

δ A∇ × H dv −

DZZZ

D

+

ZZZ D

F (A∗ + δ AZZZ ) − F (A∗) =

H∇ × δ A dv − ∇ (Hδ A) dv −

D ZZ

δ A∇ × H dv −

∂D

Hδ A dv −

ZZZD ZZZD D

jδ A dv

jδ A dv jδ A dv

V-49

Principios variacionales XXX Esta expresi´ on coincide con la que se obten´ıa en el caso lineal. A partir de este punto, el resto del an´ alisis es identico: la anulaci´ on de los t´ erminos lineales en δ A (que son los ´ unicos que existen cuando δ A es lo bastante peque˜ no), exigida por la condici´ on de que F (A∗) es m´ınimo, lleva a las ecuaciones de campo.

+

V-50

Fluidos el´ ectricos y magn´ eticos.

• Otro potencial temodinamico.

• Fuerzas el´ ectricas en fluidos.

• Fuerzas magn´ eticas en fluidos.

+

VI-1

Otro potencial termodin´ amico I La variaci´ on de energ´ıa libre en un sistema electrost´ atico tiene la forma

dF = −SdT +

ZZZ

Eδ D dv + dRo

Esta expresi´ on da el trabajo que se puede obtener del sistema en condiciones isotermas. Adem´ as, si no solo la temperatura, sino tambi´ en las cargas permanecen constantes, se tiene que

dF = dRo

+

VI-2

Otro potencial termodin´ amico II En el caso isotermo dual en el que dRo = 0, el sentido del t´ ermino de campo es el trabajo necesario para aumentar la carga en los electrodos. En efecto

dRe =

ZZZ

= − = − = −

diel ZZZ

Eδ D dv

ZZZdiel ZZZdiel ZZ diel

= −

(∇V )δ D dv (∇V )δ D dv −

ZZZ diel

V ∇(δ D) dv

∇(V δ D) dv V δ D dv

conductores X = Viδqi conductores

+

VI-3

Otro potencial termodin´ amico III El sentido de esta f´ ormula es que si se mide (controla) la carga que entra en cada electrodo, es posible calcular la variaci´ on de energ´ıa libre. De hecho, la variaci´ on de energ´ıa libre se escribe:

dF = −SdT +

X

Vidqi + dRo

conductores

+

VI-4

Otro potencial termodin´ amico IV En general, no se controla la carga de los electrodos, sino m´ as bien su tensi´ on (por ejemplo, conect´ andolos a una bater´ıa). Si la tensi´ on permanece constante, al modificar la geometr´ıa para obtener un trabajo, las cargas cambiar´ an. Por tanto, F no es muy adecuada para analizar este caso. Por ejemplo, si dRo = −pdv

p=−

+

∂F ∂F |T,qi=ctes. 6= − |T,Vi=ctes. ∂v ∂v

VI-5

Otro potencial termodin´ amico V Para resolver este problema, se introduce la coenerg´ıa libre:

F˜ = F −

X

qiVi

i

Se tiene qie

dF˜ = dF − d

X

qiVi

i

= −SdT −

X

qidVi + dRo

conductores

+

VI-6

Otro potencial termodin´ amico VI La coenerg´ıa libre da el trabajo que es posible obtener en condiciones isopotenciales. Adem´ as, ahora s´ı que se tiene, por ejemplo, que ∂ F˜ p=− |T,Vi=ctes. ∂v

+

VI-7

Otro potencial termodin´ amico VII Por otra parte, se tiene que

ZZZ

= − = − = −

diel ZZZ

ED dv

ZZZdiel ZZZdiel ZZ diel

= −

(∇V )D dv (∇V )D dv −

diel

V ∇(D) dv

∇(V D) dv

conductores X = Viqi conductores

+

ZZZ

V D dv

VI-8

Otro potencial termodin´ amico VIII As´ı pues

F˜ = F −

ZZZ

dF˜ = −SdT −

ZZZ

diel

ED dv

Y

+

Dδ E dv + dRo

VI-9

Fuerzas el´ ectricas en fluidos I Si existe un tensor de fuerzas, podr´ a escribirse ZZZ V

+

ZZ

fi dv =

∂V

Tij dsj

VI-10

Fuerzas el´ ectricas en fluidos II Consid´ erese un paralelogramo infinitesimal inmerso en el fluido.

n

6

  

 

χ

 









    



h

   

Som´ etase el plano superior a un desplazamiento virtual χ, manteniendo los planos equipotenciales, en condiciones isotermas.

+

VI-11

Fuerzas el´ ectricas en fluidos III El trabajo realizado ser´ a la variaci´ on de coenerg´ıa libre (por unidad de ´ area)

Tij χinj = δ(hf˜) = hδ f˜ + f˜δh siendo f˜ la densidad volum´ etrica de coenerg´ıa libre.

+

VI-12

Fuerzas el´ ectricas en fluidos IV Por otra parte, la energ´ıa libre de un fluido depende, para valores dados de T y E, tan solo de su densidad ρ (no hay fuerzas de cizalladura). Por tanto, para una variaci´ on isoterma

δ f˜ = −Dδ E +

+

∂ f˜ δρ ∂ρ

VI-13

Fuerzas el´ ectricas en fluidos V La variaci´ on de densidad en el paralelep´ıpedo elemental viene dada por δh δρ = −ρ h

+

VI-14

Fuerzas el´ ectricas en fluidos VI Por otra parte, cada punto del paralelep´ıpedo sufre un desplazamiento u, por lo que al punto r va a parar la materia en r−u. Como la materia lleva el potencial, se tiene que la variaci´ on del potencial en un punto dado vale:

δV (r) = V (r − u) − V (r) = −u∇V = uE

+

VI-15

Fuerzas el´ ectricas en fluidos VII Como la deformaci´ on es homog´ enea, se tiene que:

u = zχ/h siendo z la distancia desde el plano inferior. Por tanto,

δ E = −n(Eχ)/h

+

VI-16

Fuerzas el´ ectricas en fluidos VIII Juntando ahora todo, se obtiene que

∂ f˜ + χnf˜ Tik χink = (nD)(χE) − χnρ ∂ρ ! ˜ ∂f = EiDk − ρ δik + f˜δik χink ∂ρ Luego ∂ f˜ Tik = EiDk + f˜ − ρ δik ∂ρ "

+

#

VI-17

Fuerzas el´ ectricas en fluidos VIII Para seguir adelante se necesita suponer alguna forma espec´ıfica para la energ´ıa libre. Sup´ ongase que

D = (T, ρ)E Y por tanto 1 f = f0(ρ, T ) + ED 2 Y 1 f˜ = f0(ρ, T ) − ED 2

+

VI-18

Fuerzas el´ ectricas en fluidos IX Por otra parte, sup´ ongase que en el paralelep´ıpedo hab´ıa una masa m. La relaci´ on entre la densidad y el volumen ser´ a m v= ρ

+

VI-19

Fuerzas el´ ectricas en fluidos X Si no hubiera campo, a temperatura constante, se tendr´ıa que la presi´ on se calcula como:

p0(ρ, T ) = −

∂F ∂v

∂ m f0 ∂m(1/ρ) ρ ! ∂ f0 = − ∂(1/ρ) ρ ∂f = f0 − ρ 0 ∂ρ

!

= −

+

VI-20

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XI Junt´ andolo todo se obtiene que

Tik = −p0(ρ, T )δik −

+

E2 2

"

#

−ρ

∂ δik + EiEk ∂ρ

VI-21

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XII Para obtener la fuerza, no hay m´ as que derivar el tensor.

"

E 2 ∂

#

∂ fi = −p0 + ρ ∂xi 2 ∂ρ E 2 ∂ − 2 ∂xi  ∂E 2 ∂ − + EiDk 2 ∂xi ∂xi

+

VI-22

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XIII Como ∇D = 0, la ´ ultima l´ınea se anula. En efecto, se tiene que, tomando esto en cuenta, se reduce a ∂Ek ∂Ei ∂Ek ∂Ei −Ek + Dk = −Dk − ∂xi ∂xi ∂xi ∂xk

!

que se anula porque ∇ × E = 0

+

VI-23

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XIV Finalmente queda entonces 1 ∂ E2 2 f = −∇p0 + ∇ E ρ ∇ − 2 ∂ρ 2 "

+

#

VI-24

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XV En el caso de que estuviera en un campo gravitatorio, habr´ıa que a˜ nadir a la energ´ıa libre un t´ ermino ρgz. Esto dar´ıa un t´ ermino adicional en el tensor

grv = Tij

(

−ρgz si i = z, j = z 0 sino

y el la fuerza un t´ ermino adicional −ρg k.

+

VI-25

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XVI En situaciones est´ aticas, la fuerza total que actua sobre cada elemento del fluido tiene que ser nula. Luego: 2 1 ∂ E ∇p0 + ρg k = ∇ E 2ρ − ∇ 2 ∂ρ 2

"

#

Esta ecuaci´ on puede escribirse:

∂ ρ 2 ∇p0 + ρg k = ∇ E 2 ∂ρ

+

!

VI-26

Fuerzas el´ ectricas en fluidos XVII Integrando esta ´ ultima ecuaci´ on

g(z2 − z1) +

+

Z p 2 dp p1

ρ

=

1 2

("

E2

#

"

# )

∂ ∂ − E2 ∂ρ 2 ∂ρ 1

VI-27

Fuerzas magn´ eticas en fluidos I En ausencia de cargas y corrientes las ecuaciones de Maxwell est´ aticas quedan:

∇E = −∇P ∇×E = 0 ∇µ0H = −∇µ0M ∇×H = 0

+

VI-28

Fuerzas magn´ eticas en fluidos II Las energ´ıas libres tienen la forma:

dFelec = dFmag =

ZZZ ZZZ

Eδ D dv Hδ B dv

Donde

D = 0E + P B = µ0 H + µ0 M

+

VI-29

Fuerzas magn´ eticas en fluidos III Por lo tanto, existe una dualidad entre campos magn´ eticos y el´ ectricos:

E 0 P D

+

↔ H ↔ µ0 ↔ µ0 M ↔ B

VI-30

Fuerzas magn´ eticas en fluidos IV As´ı pues, el tensor de fuerzas para un l´ıquido magn´ etico vale: ∂ f˜ Tik = HiBk + f˜ − ρ δik ∂ρ "

+

#

VI-31

Fuerzas magn´ eticas en fluidos V Se pueden fabricar l´ıquidos magn´ eticos mediante un coloide de part´ıculas magn´ eticas en ´ acidos grasos.

+

VI-32

Fuerzas magn´ eticas en fluidos VI La ecuaci´ on de estado es de la forma:

B=

+

H q

2 α1 α2 2+H

+ µ0 H

VI-33

Fuerzas magn´ eticas en fluidos VII La coenerg´ıa libre tiene la forma

f˜ = f˜0 −

Z H 0

Bδ H

1 1q 2 α = f0 − α 2 + H 2 + 2 − µ0 H 2 α1 α1 2

+

VI-34

Fuerzas magn´ eticas en fluidos VIII Suponiendo que las constantes α1 y α2 no dependen de la densidad (lo que suceder´ a si el l´ıquido es incompresible) se obtiene que

Tik = −p0δik −

!

1 2 + α2 − 1 µ H 2 δ α2 + H 0 ik 2 α1 α1 2 q

+HiBk

+

VI-35

Fuerzas magn´ eticas en fluidos IX Esta expresi´ on se puede escribir 1 Tik = −p0δik − (µ(H)H 2 + θ(H)H 2)δik + HiBk 2 con

µ(H) = θ(H) =

+

1

+ µ0 2 2 α1 α2 + H 1 q 2 2 + α2 − 1 µ − µ(H) α + H 0 2 α1 H 2 α1 H 2 2 q

VI-36

Fuerzas magn´ eticas en fluidos X Para obtener la fuerza, basta con derivar

∂ 1 2 ∂ fi = − p0 − H (µ + θ ) − ∂xi 2 " ∂xi # 1 ∂ ∂ 1 ∂ θ H2 + − µ H2 + HiBk 2 ∂xi 2 ∂xi ∂xk

+

VI-37

Fuerzas magn´ eticas en fluidos XI An´ alogamente al caso el´ ectrico, se tiene que ∇ × H = 0 y ∇B = 0. Por tanto, el ´ ultimo t´ ermino se anula y 1 1 f = −∇p0 − H 2∇(θ + µ) − θ∇H 2 2 2 Tambi´ en se puede escribir: 1 1 f = −∇p0 − H 2∇µ − ∇(θH 2) 2 2

+

VI-38

Electromagnetismo y elasticidad.

• Elasticidad.

• Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos.

• Piezoel´ ectricos

+

VII-1

Elasticidad I Bajo la acci´ on de fuerzas aplicadas los s´ olidos se deforman. Sea r el radio vector a un punto del cuerpo antes de la deformaci´ on y r0 al mismo punto despu´ es. Entonces, el desplazamiento u se define como:

u = r0 − r

+

VII-2

Elasticidad II En el sistema sin deformar la distancia entre dos puntos del cuerpo pr´ oximos es:

dl =

+

q

2 2 dx2 1 + dx2 + dx3

VII-3

Elasticidad III En el sistema deformado

0

dl2

0

0

0

2 + dx2 = dx2 + dx 1 2 3

= (dx1 + du1)2 + (dx2 + du2)2 + (dx2 + du2)2 2 2 = (dx2 1 + dx2 + dx3 ) +

2(dx1du1 + dx2du2 + dx3du3) + 2 + du2 ) (du2 + du 1 2 3

= dl2 + 2dxidui + duidui ∂ui ∂u ∂u dxk i dxl = dl2 + 2dxi i dxj + ∂xj ∂xk ∂xl ! ∂ui ∂uk 2 dxidxk + dxk dxi + = dl + ∂xk ∂xi ∂ui ∂u dxk i dxl ∂xk ∂xl = dl2 + 2uik dxidxk +

VII-4

Elasticidad IV Donde se ha definido el tensor de deformaci´ on

uik =

∂uk 1 ∂ui ∂ul ∂ul + + 2 ∂xk ∂xi ∂xk ∂xi

!

El tensor es evidentemente sim´ etrico

uik = uki

+

VII-5

Elasticidad V Debido a que las tensiones internas que aparecen en un cuerpo se deben a fuerzas moleculares de corto alcance, la fuerza total que act´ ua sobre un volumen del cuerpo se debe poder escribir como una integral de superficie. ZZZ Ω

ZZ

fi dv =

∂Ω

σik dsk

Aplicando el teorema de Gauss: ∂σik fi = ∂xk

+

VII-6

Elasticidad VI El momento por unidad de volumen es:

f i xk − f k xi Por tanto, para un volumen arbitrario:

Mik =

ZZZ Ω ZZZ

(fixk − fk xi) dv !

∂σkl ∂σil xk − xi dv ∂xl Ω ∂xl ZZZ ∂ (σil xk − σkl xi) = dv − ∂xl Ω ! ZZZ ∂xk ∂xi σil − σkl dv ∂xl ∂xl Ω

=

=

ZZ

ZZZ∂Ω Ω +

(σil xk − σkl xi) dsl +

(σki − σik ) dv VII-7

Elasticidad VII Si el momento tambi´ en ha de poder escribirse como una integral de superficie, se tiene que:

σik = σki

+

VII-8

Elasticidad VIII En el caso de un flu´ıdo, el tensor de tensiones se puede escribir de una manera particularmente simple. La fuerza que transmite una superficie al interior de un volumen es

fi = −p dsi = σik dsk Luego

σik = −pδik

+

VII-9

Elasticidad IX Consider´ ese un cuerpo deformado que sufre una peque˜ na deformaci´ on adicional δui. El trabajo que realiza el cuerpo es:

ZZZ Ω

δr dv =

∂σik δui dv Ω ∂xk

ZZZ

∂δui = σik δui dsk − σik dv ∂xk ∂Ω Ω ! ZZZ ∂δuk 1 ∂δui σik + dv = − 2 Ω ∂xk ∂xi ! ZZZ 1 ∂ui ∂uk σik δ + dv = − 2 Ω ∂xk ∂xi ZZ

= −

+

ZZZ

ZZZ Ω

σik δuik dv

VII-10

Elasticidad X Por tanto, el primer principio impone que:

du = T ds + σik δuik dv Por tanto

df = −sdT + σik δuik dv

+

VII-11

Elasticidad XI Se necesita adem´ as la ecuaci´ on de estado que relaciona uik y σik . Si las deformaciones no son muy grandes, resulta que la relaci´ on es lineal (ley de Hooke):

σik = λiklm(T )ulm

+

VII-12

Elasticidad XII Por tanto, la energ´ıa libre el´ astica ser´ a:

f = =

Z u ik Z0u ik 0

σik duik λiklm(T )ulm duik

1 λiklm(T )uik ulm = 2

+

VII-13

Elasticidad XIII Como la energ´ıa libre es un escalar, las propiedades de simetr´ıa y transformaci´ on del tensor λiklm tiene que coincidir con las de uik ulm, es decir

λiklm = λkilm = λikml = λlmik Hay en total 21 componentes independientes de λiklm.

+

VII-14

Elasticidad XIV En el caso de un cuerpo is´ otropo el n´ umero de constantes independientes disminuye mucho. En efecto, en este caso solamente pueden aparecer en la expresi´ on de la energ´ıa libre combinaciones escalares de uik , ya que as´ı F (uik ) conserva su forma en todos los sistemas coordenados.

+

VII-15

Elasticidad XV En general, solamente existen dos escalares de segundo grado: el cuadrado de la traza u2 ii y la norma de Frobenius uik uik . As´ı pues, la energ´ıa libre tiene la forma: λ(T ) 2 uii + µ(T )u2 F = F0 + ik 2 λ y µ son los coeficientes de Lam´ e.

+

VII-16

Elasticidad XVI Por tanto,

∂F ∂uik = λull δik + 2µuik   σ E ull δik + uik = 1 + σ 1 − 2σ

σik =

Con las constantes:

(3λ + 2µ) µ E = λ+µ 1 3λ σ = 2λ + µ E es el m´ odulo de Young y σ el de Poisson. +

VII-17

Elasticidad XVII Las f´ ormulas inversas son: 1 uik = [(1 + σ ) σik − σσll δik ] E

+

VII-18

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos I Consid´ erese un cuerpo is´ otropo. En el estado no deformado tendr´ a un tensor de permeabilidad ik = oδik . Al deformarse, teniendo en cuenta solamente los t´ erminos de primer orden, teniendo en cuenta que la traza es el ´ unico invariante de primer orden, se obtiene:

ik = o(T )δik + a1(T )uik + a2(T )ull δik

+

VII-19

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos II Consid´ erese, como al estudiar fluidos, un elemento de s´ olido y su deformaci´ on:

n

6

  

 

χ

 









    



h

   

El plano superior se somete a un desplazamiento virtual χ, manteniendo los planos equipotenciales, en condiciones isotermas.

+

VII-20

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos III De la misma forma que para fluidos, se encuentra que: ∂ f˜ δ f˜ = −Dδ E + δuik ∂uik !

+

VII-21

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos IV Por otra parte, como zχ u= h se tiene que:

1 ∂ui ∂uk ∂ul ∂ul uik = + + 2 ∂xk ∂xi ∂xk ∂xi ! 1 ∂ui ∂uk = + 2 ∂xk ∂xi 1 = (χink + χk ni) 2h

+

!

VII-22

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos V Substituyendo este resultado, y teniendo en ∂ f˜ cuenta la simetr´ıa de uik y la de ∂u : ik

∂ f˜ δuik ∂uik ∂ f˜ 1 = −Dδ E + (χink + χk ni) ∂uik 2h ∂ f˜ 1 = −Dδ E + χink ∂uik h

δ f˜ = −Dδ E +

+

VII-23

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos VI Por otra parte, la variaci´ on de coenerg´ıa libre ser´ a el trabajo realizado por el elemento, es decir, por unidad de superficie:

Tik nk χi = δ(hf˜) = hδ f˜ + f˜δh Y

δh = nχ

+

VII-24

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos VII Por otra parte, como el material “lleva” al potencial el´ ectrico:

δV (r) = V (r − u) − V (r) = −u∇V = uE

Y por tanto:

δ E = −n(Eχ)/h

+

VII-25

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos VIII Poni´ endolo todo junto

∂ f˜ Tik nk χi = (nD)(δ Eχ) + χink + f˜(χn) ∂uik ! ˜ ∂f ˜ + EiDk χink = f+ ∂uik Luego

Tik = f˜ +

+

∂ f˜ + EiDk ∂uik

VII-26

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos IX Por otra parte, se tiene que

1 ˜ f = f0(uik , T ) − ED 2 1 = f0(uik , T ) − (o(T )δik + a1(T )uik + 2 a2(T )ull δik ) E 2

+

VII-27

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos X As´ı pues

∂f0 ∂ f˜ = − a1EiEk − a2E 2δik ∂uik ∂uik = σ0,ik − a1EiEk − a2E 2δik Por tanto 1 1 Tik = σ0,ik + (2o − a1)EiEk − (o + a2)E 2δik 2 2

+

VII-28

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos XI Consid´ erese ahora un cuerpo anis´ otropo. Al producirse una deformaci´ on virtual como la considerada, los ejes cristalogr´ aficos giran un ´ angulo δφ respecto al campo E. Equivalentemente se puede considerar que el campo gira −δφ respecto al crtistal, por lo que la variaci´ on total del campo es:

δ E = −n(Eχ)/h − δφ × E

+

VII-29

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos XII Por otra parte, u y δφ estan ligados por la ecuaci´ on

δφ =

1 ∇×u 2

Luego zχ n×χ δφ = ∇ = 2h 2h

+

VII-30

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos XIII As´ı

n×χ δ E = −n(Eχ)/h + E × 2h −1 = [n(Eχ) + χ(En)] 2h

+

VII-31

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos XIV Luego

1 − Dδ E = [(nD(Eχ) + χD(En)] 2h 1 1 χink (EiDk + Ek Di) = h 2

+

VII-32

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos XV Finalmente

Tik = f˜ +

+

∂ f˜ 1 + (EiDk + Ek Di) ∂uik 2

VII-33

Fuerzas el´ ectricas en s´ olidos XVI Por ´ ultimo, el tensor diel´ ectrico podr´ıa tomar la forma:

ik = o,ik + aiklmulm Las propiedades de simetr´ıa de aiklm han de ser las mismas que las de λiklm.

+

VII-34

Piezoel´ ectricos I Se ha obtenido el resultado general:

Tik = f˜ +

+

∂ f˜ 1 + (EiDk + Ek Di) ∂uik 2

VII-35

Piezoel´ ectricos II Este resultado no depende de la relaci´ on constitutiva

D = D(E, uij , T ) En el caso de que esta relaci´ on sea lineal, como se ha supuesto hasta ahora:

D = (uij , T )E El tensor Tij es funci´ on cuadr´ atica de E.

+

VII-36

Piezoel´ ectricos III Sin embargo, este no es el tipo m´ as general de relaci´ on. Para ciertas substancias, la relaci´ on es tal que se obtiene un tensor de tensiones que depende linealmente del campo, Estas substancias se llaman piezoel´ ectricos.

+

VII-37

Piezoel´ ectricos IV Como solamente nos interesan los t´ erminos lineales, se escribir´ a que:

Tik = f˜δik +

∂ f˜ ∂uik

Aqu´ı f˜ es la coenerg´ıa libre por unidad de volumen.

+

VII-38

Piezoel´ ectricos V Es interesante tambi´ en la densidad por unidad de masa, aunque dada de un modo peculiar, como la densidad por unidad de volumen no deformado. Se denotar´ a por f¯.

+

VII-39

Piezoel´ ectricos VI Para calcular esta cantidad, consid´ erse un sistema de coordenadas alineado con los ejes principales del tensor uik . En estos ejes, uik es diagonal, con valores principales u1, u2, u3. Si dV0 es el volumen antes de deformaci´ on y dV despu´ es

dV = dV0(1 + u1)(1 + u2)(1 + u3) ≈ dV (1 + uii) Y ρ0 ρ= 1 + uii

+

VII-40

Piezoel´ ectricos VII Por tanto

ρ=

ρ0 1 + uii

Y

∂ f¯ρρ0 ∂ f˜ = ∂uik ∂uik ∂ f¯ ≈ − f¯δik ∂uik

+

VII-41

Piezoel´ ectricos VIII As´ı ∂ f¯ Tik = ∂uik

+

VII-42

Piezoel´ ectricos IX En esta expresi´ on las variables independintes son E, uik y T , ya que f¯ = f¯(E, uik , T ). De hecho

δ f¯ = −sδT − Dδ E + Tik δuik

+

VII-43

Piezoel´ ectricos X Es conveniente utilizar Tik como variables independientes, en vez de uik . Para ello se define la coenerg´ıa de Gibbs:

¯ = f¯ − uik Tik φ Se obtiene entonces:

¯ = −sδT − Dδ E − uik δTik δφ

+

VII-44

Piezoel´ ectricos XI En ausencia de campo, se obtiene para la energ´ıa de Gibbs:

φ0 = f0 − uik Tik 1 = λiklmuik ulm − uik λiklmulm 2 −1 = λiklmuik ulm 2 −1 −1 = λiklmTik Tlm 2 −1 = µiklmTik Tlm 2

+

VII-45

Piezoel´ ectricos XII Por otra parte, desarrollando D = D(E, σik , T ) en Taylor:

Di = D0i(T ) + ik (T )Ek + γi,kl Tkl Debido a la simetr´ıa de Tkl , se verifica que γi,kl = γi,lk .

+

VII-46

Piezoel´ ectricos XIII Un t´ ermino D0 6= 0 implica que existe una polarizaci´ on espont´ anea del medio en ausencia de campo el´ ectrico. Estos cuerpos se llaman pirroel´ ectricos. La direcci´ on D0 debe ser la de alg´ un eje del cristal que no cambie frente a ningua transformaci´ on del grupo cristal´ ografico. Solamente algunos grupos cristalogr´ aficas tienen esta direcci´ on privilegiada.

+

VII-47

Piezoel´ ectricos XIV Tambi´ en existen restricciones a las clases cristalogr´ aficas que admite un γi,kl . De hecho, este tensor se transforma como Eiukl . Frente a una inversi´ on especular, se transforma de una forma no trvial. Por ejemplo, si el eje del espejo es z

Ez uxy → −Ez uxy Pero un cuerpo is´ oproto coincide localmente con su imagen especular, por lo que

γi,kl → γi,kl

+

VII-48

Piezoel´ ectricos XV Por tanto, en un cuerpo is´ otropo

γi,kl = 0 En general, solamente algunos tipos de cristales dan γi,kl = 6 0.

+

VII-49

Piezoel´ ectricos XVI Juntando todo, se obtiene que

¯ = φ

+

−1 µiklmTik Tlm − EiD0i(T ) − 2 1 ik (T )EiEk − γi,kl EiTkl 2

VII-50

Piezoel´ ectricos XVII Por tanto ¯ ∂φ uik = − = µiklmTlm + γl,ik El Tik

+

VII-51

Superconductividad.

• Superconductores.

• Termodin´ amica de los superconductores.

• Ecuaci´ on de London.

• Tipos de superconductores.

+

VIII-1

Superconductores I En 1911 Kamerlingh Onnes descubri´ o que cuando el mercurio se enfriaba por debajo de 4.2 K perd´ıa su resistencia.

+

VIII-2

Superconductores II En 1933 Meissner descubri´ o que los superconductores expulsan el campo magn´ etico que se halle en su interior (efecto Meissner). Esta es la propiedad fundamental: Un superconductor es un diamagn´ etico perfecto

+

VIII-3

Superconductores III

• En el interior de un conductor, E = 0, por tanto no hay densidad de carga volum´ etrica y hay densidad de carga superficial que apantalla el campo externo.

• En el interior de un superconductor, B = 0, por tanto no hay densidad de corriente volum´ etrica y hay densidad de corriente superficial que apantalla el campo externo.

+

VIII-4

Superconductores IV Como las corrientes han de mantenerse indefinidamente constante en presencia de un campo magn´ etico externo constante, la resistencia debe ser nula.

+

VIII-5

Superconductores V El campo magn´ etico debe ser tangencial a la superficie del superconductor. En efecto, dado que

∇B = 0 las componentes normales de B a la superficie de separaci´ on han de ser iguales. Como dentro del superconductor B = 0, han de ser nulas.

+

VIII-6

Superconductores VI Teniendo esto en cuenta, es muy f´ acil calcular la fuerza que act´ ua sobre un superconductor. Recu´ erdese que el tensor de Maxwell es: 1 Tik = µ0 HiHk − H 2δik 2 

+



VIII-7

Superconductores VII La densidad de fuerza que act´ ua sobre la superficie es

fi = Tik nk µ = − 0 H 2ni 2 ya que Hk nk = 0, puesto que el campo es tangencial.

+

VIII-8

Superconductores VIII Para calcular la densidad de corriente, se puede partir de

∇×H=j

De aqu´ı se deduce que

Ht1 aire − Ht1 supc. = Ht1 aire = kt2

+

VIII-9

Superconductores IX Dicho de otra forma:

k=n×H

+

VIII-10

Superconductores X El planteamiento de problemas est´ aticos con superconductores es muy similar a el que existe con conductores. En conductores se resuelve

∆V = 0 V = Vi conductor i En superconductores

∆A = 0 A = Ai conductor i

+

VIII-11

Termodin´ amica de los superconductores I La transici´ on entre los estados normal y superconductor de una substancia es una transici´ on de fase, an´ aloga a la transici´ on entre, por ejemplo, las fases l´ıquida y el vapor de agua. En este ultimo caso existe una relaci´ ´ on de estado para el l´ıquido y otra para el vapor:

pliq = pliq(V, T ) pvap = pvap(V, T )

+

VIII-12

Termodin´ amica de los superconductores II An´ alogamente, existe una relaci´ on de estado para las fases normal y superconductora:

Bnorm = µ(T )H Bsupc = 0

+

VIII-13

Termodin´ amica de los superconductores III La energ´ıa libre del agua se calcula como

f (T, v) = f0(T ) −

Z v=V v=0

p dv

Substituyendo las ecuaciones de estado se encuentran, e integrando a la totalidad de la substancia, las energ´ıas libres Fliq (T, V ) y Fvap(T, V ).

+

VIII-14

Termodin´ amica de los superconductores IV Si, para determinados T y V , Fliq < Fvap, el agua ser´ a l´ıquida. Si Fliq > Fvap ser´ a vapor. Los puntos en que Fliq = Fvap (una curva en el plano (T, V )) ser´ an los puntos de transici´ on de fase.

+

VIII-15

Termodin´ amica de los superconductores V En el caso de superconductores, es coveniente usar la coenerg´ıa libre. En efecto, el montaje experimental habitual es colocar una muestra dentro de un solenoide por el que circula una intensidad dada I. Por una parte, se tiene la relaci´ on para la energ´ıa libre

δF = δ (U − T SZZZ ) = −S δT +

+

Ω

H δB

VIII-16

Termodin´ amica de los superconductores VI Consid´ erese el sistema en un ba˜ no isotermo s temperatura T . El calor que sale del sistema a ba˜ no, se calcula a partir de

δU = δQ + δ(IiΦi) ya que las Ii son constantes.

+

VIII-17

Termodin´ amica de los superconductores VII Se tiene entonces que

δSmundo = δSresto + δS Adem´ as

T δSresto = −δQ

+

VIII-18

Termodin´ amica de los superconductores VIII Poniendo todo junto

T δSmundo = −δ (U − T S − IiΦi) = −δ (F − IiΦi) = −δ F˜

Por el segundo principio, la coenerg´ıa libre tender´ a a un m´ınimo.

+

VIII-19

Termodin´ amica de los superconductores IX Por otra parte, se tiene que

F˜(T, H) = F0(T ) −

+

ZZZ

Z H=H H=0

!

B dH

dv

VIII-20

Termodin´ amica de los superconductores X Se tiene as´ı que

F˜norm(T, H) = F0,norm(T ) − ZZZ

Z H=H norm H=0

!

Bnorm dHnorm

dv

F˜supc(T, H) = F0,supc(T ) − ZZZ

Z H=H supc H=0

+

!

Bsupc dHsupc

VIII-21

dv

Termodin´ amica de los superconductores XI Los t´ erminos integrales se pueden escribir de otra manera. Sean H0 y B0 los campos que existir´ıan en ausencia de materia, en el vac´ıo, con las mismas corrientes. Entonces

Z

Bsupc δ Hsupc− Z

B0 δ H0 =

Z Z Z

+

(µ0Hsupc − B0) δ H0 +

Bsupcδ (Hsupc − H0) + (Bsupc − µ0Hsupc) δ H0

VIII-22

Termodin´ amica de los superconductores XII El primer integrando se puede escribir:

1 ∇ × δ A0 (µ0Hsupc − B0) δ H0 = (µ0Hsupc − B0) µ 0 !# " 1 B0 + = ∇ δ A0 Hsupc − µ0 ! 1 δ A0∇ × Hsupc − B0 µ0

+

VIII-23

Termodin´ amica de los superconductores XIII El segundo t´ ermino es nulo, ya que al ser creado los campos por las mismas corrientes ∇ × Hsupc = ∇ × H0 = j. El primer t´ ermino hay que integrarlo a todo el espacio para obtener la energ´ıa libre. Por el teorema de Gauss, se puede tomar una superficie infinitamente alejada, en la que se anula. Luego la contribuci´ on total es nula.

+

VIII-24

Termodin´ amica de los superconductores XIV El segundo integrando se puede escribir:

Bsupcδ (Hsupc − H0) = ∇ × Asupcδ (Hsupc − H0) = ∇ [Asupcδ (Hsupc − H0)] + Asupc∇ × δ (Hsupc − H0) que dan contribuci´ on nula por razones similares a las anteriores.

+

VIII-25

Termodin´ amica de los superconductores XV En el ´ ultimo integrando, Bsupc − µ0Hsupc = µ0Msupc. Por tanto

F˜supc(T, H) = F0,supc(T ) −

ZZZ

Z H=H 0

ZZZ

H=0 Z H=H 0

+

!

µ0Msupc dH0

H=0

dv

!

B0 dH0

dv

An´ alogamente

F˜norm(T, H) = F0,norm(T ) − +

ZZZ

Z H=H 0

ZZZ

H=0 Z H=H 0 H=0

+

!

µ0Mnorm dH0 !

B0 dH0

dv VIII-26

dv

Termodin´ amica de los superconductores XVI La magnetizaci´ on de la fase normal suele ser despreciable, debido a la baja suceptibilidad magn´ etica de la mayor parte de las substancias. Entonces la diferencia entre las dos coenerg´ıas vale:

F˜norm(T, H)− F˜supc(T, H) = F0,norm(T ) − F0,supc(T ) +

ZZZ

Z H=H 0 H=0

+

!

µ0Msupc dH0

VIII-27

dv

Termodin´ amica de los superconductores XVII Como en el interior del cuerpo superconductor B = 0, M tiene sentido opuesto a H0. Por tanto, en campos altos la diferencia es negativa y la fase normal es la estable, y al rev´ es en campos bajos.

+

VIII-28

Termodin´ amica de los superconductores XVIII En el caso de un cilindro en un campo longitudinal uniforme, M = −H0, y por tanto

F˜norm(T, H) − F˜supc(T, H) = F0,norm(T ) − F0,supc(T ) µ − 0 H02 2 El campo H0 para el cual se anula la diferencia (los puntos del cambio de fase) se denomina campo cr´ıtico Hc.

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VIII-29

Termodin´ amica de los superconductores XIX

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VIII-30

Ecuaci´ on de London I El an´ alogo de la ley de Ohm en superconductores es la llamada ecuaci´ on de London, que de la densidad de corriente. Sea A el potencial vector en el gauge de London:

∇A = 0

An = 0 An se anula en las superficies externas por la que no entra corriente.

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VIII-31

Ecuaci´ on de London II La ecuaci´ on de London es 1 A j=− 2 µ0λL λL es una constante llamada longitud de London.

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VIII-32

Ecuaci´ on de London III Para ver el sentido de λL, se toma el rotacional

1 ∇×A 2 µ0λL 1 B = − µ0λ2 L 1 ∇ × (∇ × B) = µ0 −1 = ∆B µ0

∇×j = −

O sea 1 ∆B = 2 B λL

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VIII-33

Ecuaci´ on de London IV Consid´ erese un superconductor que ocupa el semiespacio z > 0, sometido a un campo uniforme. La soluci´ on de la ecuaci´ on anterior es

B(z) = B(0) exp(−z/λL) λL es del orden de unas pocas millon´ esimas de cm.

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VIII-34

Tipos de superconductores I Hasta el momento se han estudiado los llamados superconductores tipo I, en los que tan solo se dan las fases superconductora y normal. Existen adem´ as los superconductores tipo II. En estas substancias, al subir el campo desde el estado superconductor se pasa por un campo critico Hc1 en el cual el campo magn´ etico penetra en el superconductor formando v´ ortices de estado normal en una matriz de estado superconductor. Si se sigue aumentando el campo se llega un segundo punto cr´ıtico Hc2 y se pasa al estado normal.

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VIII-35

Tipos de superconductores II

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VIII-36

Tipos de superconductores III En este estado mixto, la suceptibilidad magn´ etica χ(H, T ) es negativa, pero no llega a ser χ = −1. Microsc´ opicamete, cada v´ ortice lleva un cuanto de flujo magn´ etico (2 × 10−15W b). La corriente circula por la matriz superconductora, por lo que la resistividad es nula.

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VIII-37

Tipos de superconductores IV

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VIII-38

Tipos de superconductores V En los superconductores tipo II de baja temperatura, la red de v´ ortices est´ a ¸ congelada”, formando un s´ olido. En los superconductores de alta temperatura existe una nueva fase: el l´ıquido de v´ ortices. Al poder moverse los v´ ortices, las fuerza ejercidas por las corrientes ejercen fuerzan sobre los v´ ertices, que causan trabajo (f = m∇B). Por tanto, aparece disipaci´ on, proporcional al cubo de la intensidad. El calor generado tiende a volver normal al superconductor.

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VIII-39

Tipos de superconductores VI

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VIII-40

Ondas conducidas.

• Gu´ıas de ondas.

• Clases de modos.

• Una gu´ıa rectangular.

• Modos TEM.

• Ecuaciones de l´ınea larga.

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IX-1

Gu´ıas de onda I Las gu´ıas de ondas son, idealmente, sistemas de conductores que se extienden “indefinidamente” en el eje z.

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IX-2

Gu´ıas de onda II Se estudiar´ an campos que dependan senoidalmente del tiempo. Adem´ as de ser interesante, cualquier soluci´ on se puede obtener a partir de estas por el teorema de Fourier y la linealidad de las ecuaciones. As´ı

i ∗ ωt E(x, y, z, t) = < Eˆ (x, y, z)e h i ∗ ωt ˆ (x, y, z)e H(x, y, z, t) = < H h

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IX-3

Gu´ıas de onda III Se supondr´ a que el medio entre conductores tiene una caracter´ıstica lineal

ˆ = (ω)Eˆ D ˆ Bˆ = µ(ω)H

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IX-4

Gu´ıas de onda IV Por otra parte, los campos vendr´ an dados por la soluci´ on de las ecuaciones

∇D = 0 ∂B ∇×E = − ∂t ∇B = 0 ∂D ∇×H = ∂t

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IX-5

Gu´ıas de onda V Estas ecuaciones son v´ alidas entre conductores, que proporcionan las condiciones de contorno. En el caso de conductores perfectos, el campo el´ ectrico tangencial se ha de anular en la superficie del conductor. As´ı pues, el dominio de definici´ on espacial del problema tiene la forma S ×