Electromagnetismo Aplicado - Martin A. Plonus

Electromagnetismo aplicado M. A . P L O N U S

BIBLIOTECA FACULTADDE CIENCIAS - UNI

0014306

•V EDITORIAL REVERTE S

EL SISTEMA DE UNIDADES SI El Sistema Internacional de Unidades, en abreviatura SI, es el que se usa en este libro y ahora es el corriente en ingeniería eléctrica. Las unidades básicas del SI para Ifes dimensiones fundamentales de longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura e intensidad luminosa son, respectivamente, el metro (m), kilogramo (kg), segundo (s), ampere (A), kelvin (K) y candela (cd). Las dimen­ siones de las otras magnitudes se expresan en función de las unidades básicas. En el SI, los múltiplos y submúltiplos de las unidades se suceden en saltos de 103 o 10-3. Se prefiere el kilómetro, metro, milímetro y no el centímetro. Por tanto es más adecuado decir 35 mm que 3,5 cm. • Los órdenes de magnitud se indican en el SI por prefijos y no por potencias de 10. Por ejemplo, la fuerza, cuya unidad es el newton (N), se expresa en mN, N, kN, y la longitud en mm, m, km, etc. También 12 300 m o 12,3 X 103 m se convierten en 12,3 km y 0,0123 pA (microampere) o 12,3 X 10-9 A se con­ vierten en 12,3 nA. Deben elegirse los prefijos para que el valor numérico os­ cile entre 0,1 y 1000. No se usan dobles prefijos ni prefijos unidos por guión. Por ejemplo, se usa GW (gigawatt), no kMW; se usa pF (picofarad), no ppF, y se usa Gg (gigagramos) no Mkg. A continuación se da una tabla de prefijos que se usan con las unidades del SI.

T abla 1.

Prefijos para las unidades del SI

Prefijo

Símbolo SI

alto fem to pico nano m icro m ili ccnti dcci doca hecto kilo m ega «iga lera

a f p n u m c d da h k M G T

Fautor to-*» i o - ,s i o - 32 io -9 10"‘ 10 3 io -2 ío -1 10 102 103 10‘ 109 1012

_c «n>•-• „ üíj W •o c ffl®.- < < “ _ n < 7 < s X

i n A O O í « ( N OO OO (J V£> ** VO K>

uf ¡f

g «a”) oO , c< *üü e M6 5. >_) C cc _ O B5.«55 .2 £ Oh ° 73 ■§ u .2 c 3>X 33 2 ■ •o o a>o '.O «3^o -a .2 *° £ (Oaj É É 8>g 9■>>£ «3¿ O OU O££ para las cargas de la figura 1.5, i i uno

l ' M - y(r2)

z 4m:

(1.15)

d o n d e Ku y Rn son las distancias escalares entre la carga í-ésima y los puntos de observación n y /o, respectivamente. El potencial absoluto se obtiene desplazando uno de los dos puntos de observación al infinito. I.jvrcicio: En la figura 1.6 su representan ¡res cargas puntilorines ü¡, Qi, y U•» los punios clave. Así 1

=t -

E ■ d!

donde R„ — r,t/--r'„ | es la distancia entre la carga enésima y la posición de la prueba en el punto di como indica la ligara 1.6. Adviértase que la posición de 'le prueba AO y la posición de di coinciden. De nuevo observemos que [véase ec. ( R • di = eos

0 di = dR

donde 0 es el ángulo entre la dirección del movimiento de la carga de prueba y la de la recta que une la posición de AO con la de una de las cargas Q. Ademas, ya qu rador sumación y el operador integral conmutan, en la expresión para V, podemos t

I

_ y Q- i' í/R4®: ' ■ d2„

& ¡I1 ^ 4 tt¿ rJ íi:

Después de la integración y sustitución de los límites, obtenemos

R„(r)

R„(co)

Dado que el término 1 / “3 es nulo, obtenemos para el potencial

4 tu:

| r

—

que es la misma expresión con la que hemos partido.

Campos eléctricos estáticos

12

1.5.

CAMPO DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA

Las ecuaciones (1.14) y (1.15) dan el potencial para N cargas discretas. Po­ demos usar estas expresiones para deducir el trabajo o función potencial para una distribución continua tal como un gas cargado o una «nube» de plasma. Sean car­ gas distribuidas de manera continua en todo un volumen v de forma que la den­ sidad de carga, en coulomb/metro cúbico, en un punto cualquiera venga dada por p. Dividamos el volumen v en pequeños volúmenes elementales Av como se indica en la figura 1.7. La carga total contenida en un volumen elemental Av

Fig . 1.7. Nube de carga continua confinada en el volumen v. Subdividien­ do v en volúmenes elementales Av, puede obtenerse el potencial en r por suma para todos los volúmenes elementales.

situado en r' viene dada por p(r') Av y se trata como una carga puntiforme. A fin de obtener el campo de V , de la distribución continua de carga, usaremos la ecuación (1.14) para sumar las contribuciones de todas las cargas puntiformes p(r'„) Av„; usando ahora la definición de integral:

F(r) = lim

1 V- P(T'n) Avn 4ro L I, _ I

1

p (r')

4tzs

dv r - r'

(1.16)

N~* oo

obtenemos el campo del potencial de una distribución continua de carga. De ma­ nera parecida, usando la ecuación 1.15, que da el campo eléctrico debido a N car­ gas puntiformes, podemos obtener el campo eléctrico debido a una distribución continua de carga confinada al volumen v

E(r) = lim

1 £ PK) Avnft 4Jte „ti r —r'n\

1 4ne

i

pM

R dv

(1.17)

donde R = r —r', y R es el vector unitario R = K/R. En muchas aplicaciones en las que intervienen conductores hallamos que una carga Q colocada en un cuerpo conductor se distribuye en una capa delgada sobre la superficie del cuerpo de forma que

Campos eléctricos estáticos

13

Q —

|| Á

(1.18)

Ps d A

donde p, es una densidad superficial de carga en coulomb/metro2. Cuando el ob­ jeto es un hilo delgado, la carga se supondrá en una distribución unidimensional tal que (1.19)

Q = \ p , J l

donde p¿ es una densidad lineal de carga en coulomb/metro. El potencial para estas dos distribuciones de carga vale 1 rr 4tu: JJ

Ps(r') d A

A

R

V(r)

(

1. 20 )

1 r PiÁr') (il 4m: | r —r' | El campo eléctrico puede obtenerse de manera similar.

1.6.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

En la sección 1.4 se demostró que el campo electrostático es conservativo. La expresión matemática de tal propiedad que viene dada por la ecuación (1.12) es que la integral de este campo a lo largo de una línea cerrada es nula. Significa que todo trabajo efectuado sobre la carga de prueba, al moverla en torno al campo electrostático, volverá al campo cuando la carga de prueba regrese a su punto de partida. Esto debe ser así ya que el campo electrostático no tiene mecanismo para pérdidas por fricción. Fuera de los muchos caminos cerrados que una carga de prueba puede tomar, merece nuestra especial atención uno en particular. En la expresión para la función del trabajo (1.9) observamos que la dirección r del campo de fuerzas y la dirección di del movimiento de nuestra carga de prueba están relacionadas por r • di = eos

0 di

Si la carga de prueba se mueve perpendicularmente a la dirección del campo, eos 90° = 0, no se produce trabajo alguno a lo largo de la trayectoria; es decir

E • di = 0

I’ai ií aycclerin se llama equipotencial y iodos los punios de un campo que tienen ;i mismo potencia! pueden ' unsidera. se limaos mediante superficies equipoten-

aies Utía propiedad impórtame de los campos es que los vectores campo eléc­ trico deben ser perpendiculares a estas superficies en lodo punto. Por ejemplo, las superficies equipotenciales para una carga puní ¡forme son capas esféricas concén­ tricas. como se ve en la figura 1.8c;; para un campo uniforme, indicado en la fi­ gura 1.8b, ¡a! rumo el que existe en el espacio entre las placas conductoras de un condensador plano, las equipotenciales son superficies planas. El trabajo que se

L ín e a s E L ín e a s E E q u ip o te n c ia le s ( s u p e r fic ie s e s fé ric a s )

E q u ip o te n c ia le s ( s u p e r fic ie s p la n a s )

¡

---- 4 -

_____ i

--U-

I

(a) lio . 1.8.

Supetíieies equipotenciales pata el campo de una carga puntiíormc (a) y para un campo uniforme (f>).

realizan« al mover la carga de prueba desde el punto a al punto b en la figuin 1 Su sería 14 vollcoulomb (VC) prescindiendo del camino elegido para ir­ le 1 a 2. Es evidente que estando ios puntos b y c en una misma superficie equi­ potencial, no existe diferencia de potencial entre b y c, y el movimiento de la carga de prueba a lo largo del camino 3 implica e! mismo trabajo que entre a y b. Per tanto, el i . abajo implicado es siempre 14 VC cuando una carga de prueba se mueve desde cualquier punto de la superficie equipotencial de 6-V a cualquier otro de la equipotencial de 20-V. I,a noción de superficie equipotencial será partieulannente útil cuando consi­ deremos objeios metálicos, ya que las superficies de tales objetos son superficies

1.7.

CAMPOS DEBIDOS A CARGAS LINEALES Y SUPERFICIALES

Hemos hallado que los campos eléctrico y potencial de una carga puntifo varían, con la distancia R de la carga, así E

V

y

(V.

R

(1

En las secciones siguientes calcularemos los campos debidos a distribuciones pecíficas de cargas lineales y superficiales. Trataremos estas distribuciones cc conjuntos de cargas puntifonnes como se hizo en la sección 1.5. E jem p lo: C am pos d eb id o s a un a carga lin e a l fin ita e in fin ita . En la figi.ua 1. representa una carga lineal de longitud 21 a lo largo de la cual está distribuida una carg de forma que la densidad de carga es p, = 0/21. Si situamos la carga lineal a lo largo eje z.en un sistema de coordenadas cilindricas, obtenemos para el campo E debido a AC

&Q _ pl dz 4ne.R2 4?re(r2 Ez2) Puede descomponerse en dos componentes E. y E, multiplicando por eos 0 y sen 0, respe vamente. A lo largo del eje r las componentes de E¡ de la mitad superior c inferior de carga lineal se anulan entre sí, dejando solamente la componente E„ En el plano z 0, nemos entonces dF

_

AQ 4nr.R2 '

Para obtener la componente total ni en do

Pi. dz 4nc(r2 +■ z l) (r2 + z2)'12

integramos para la longitud total de la carga, ot

P i/__ , 4ne(r2 + z2)312

Fic. 1.9.

Campo eléctrico

debido

(l:

P,J hzsr(r2 + /2)l/2

(L

a un elemento de carga lineal que tiene una

Campos eléctricos estáticos

16

Adviértase que r se trata como una constante en la integración anterior. La ecuación (1.24) da el campo total E en un plano que es mediatriz de la carga lineal. En cualquier otro plano perpendicular, podemos obtener las componentes del campo E, simplemente, cambiando apro­ piadamente los límites de integración. Por ejemplo, en el plano z = l, E, puede obtenerse usando (1.24) con el cambio de límites de —2/ a 0. El campo de una carga lineal infinita es una simple extensión de (1.24), se obtiene ha­ ciendo l ->

Pj Er = lim 2tzer(r2 + l2)112 /-*00

Pl

2iter

(1.25)

Observamos ahora que la dirección del campo E producido por una carga lineal inde­ finida es perpendicular a la carga lineal; es decir, E = E,r. Además, al separarse de la carga lineal, el campo E, tiende a cero como \/r en contraste con el campo E de una carga puntiforme que disminuye como l/ r 1. Es interesante observar que el campo eléctrico debido a una carga lineal infinita es finito, a pesar de que la carga total en el hilo sea infinita. Otro punto a considerar aquí es la utilidad de resolver problemas en los que intervienen estructuras de alcance infinito. Como estas estructuras no se encuentran en la vida real, tales soluciones, aunque simples, solamente serían de interés académico. Sin embargo, uno puede darse cuenta de que muchos problemas de ingeniería de la vida real no pueden resolverse rigurosamente. Generalmente son demasiado complicados incluso para expresarlos en el len­ guaje matemático. Sería útil una solución, pero la más idónea sería tan compleja como para hacerla inútil para aplicaciones en la ingeniería. Tales problemas, usualmente se resuelven haciendo ciertas idealizaciones y aproximaciones. La habilidad para hacer las apropiadas aproximaciones en problemas complicados y obtener resultados útiles, es la característica de un ingeniero experto y científico aplicado. Debe desarrollarse en una primera etapa de la educación de un estudiante. En nuestro caso, por ejemplo, para puntos próximos a una varilla cargada, pero alejados de los extremos, la simple expresión (1.25) da resultados tan próximos a los valores exactos que puede ignorarse la diferencia para la mayoría de casos prácticos. Por otro lado, para puntos próximos a los extremos de la varilla, una aproximación a la carga puntiforme puede dar resultados útiles. La diferencia de potencial entre dos puntos r» y r, situados a lo largo de cualquier nor­ mal a la carga lineal infinita, es el trabajo por unidad de carga necesario para transportar una carga de prueba positiva desde r0 a r:

donde se ha usado la ecuación (1.11) para demostrar que E • di = E,dr. Debe notarse que no puede seleccionarse como referencia de potencial cero el infinito de la carga lineal y, por tanto, el potencial absoluto tiene poco significado en este caso. Si tomamos V = 0 para r0 = oo, la ecuación anterior nos conduciría a un potencial infinito para todo r finito. La ra­ zón para esta dificultad es que no tiene sentido decir que uno está infinitamente lejos de una estructura infinita. Por otro lado, para estructuras localizadas,las hipótesis de campos nulos en el infinito son usualmente válidas (localizada significa que la estructura puede confinarse en el interior de una esfera ficticia de radio grande pero finito). En el caso de carga lineal infinita la dificultad no es molesta, ya que lo que nos interesa es la diferencia de potencial entre dos puntos. Ejemplo: Campos debidos a un anillo cargado. La figura 1.10 muestra un anillo cargado de radio r. Para puntos en el eje del anillo que distan z del centro del anillo, la componente normal del campo eléctrico de una pequeña porción AQ de la carga del anillo es

Campos eléctricos estáticos

17

aq

eos 0

(1.27)

4 nr.R2

Sumando las contribuciones de todas las AQ, obtenemos E„ =

Qring

(1.28)

4 tieR 2 R

donde eos 0 = z/R. Por simetría vemos que en el eje z solamente permanece la componente normal de E. En el centro del anillo, dado por z = 0, el campo eléctrico es nulo. Por otro lado, para z » r, la ecuación (1.28) da

E„

Qr-

Qr

4ne(r2 + z2)3'2

47CEZ2

(1.29)

lo que ya se esperaba pues, a causa de la gran distancia, el anillo es como una carga puntiforme. De aquí que el campo tiende a cero de la manera dada por la ecuación (1.21). Ejemplo: Campos debidos a un disco cargado. El ejemplo anterior puede usarse inmediatamente para obtener el campo axial de un disco cargado, integrando las contribucio­ nes de todos los anillos que constituyen el disco. Si se coloca una carga Q, en un delgado anillo, y si esta carga se destribuye uniformemente como una carga lineal uniforme, la den­ sidad lineal p¿ y la carga total están relacionadas por Q, = p¿2itr. Por otro lado, si imagi­ namos al anillo como una arandela de espesor dr, entonces la carga total y la densidad su­ perficial de carga ps estarán relacionadas por Q, = Ps 7nr dr

Supongamos ahora que la carga total Q, se distribuye en el disco de forma que la densidad superficial de carga p, sea constante. La componente normal del campo eléctrico a lo largo del eje z es, usando la ecuación (1.28), ps2nr dr 4 jveR 3

(1.30)

Fig . 1.10. Anillo cargado de radio r, situado en el plano xy, donde r=(x2+ y2)1'2. y R = (r2 + z2)"2. El anillo contiene una carga total Q„ La componente normal es a lo largo del eje z.

Campos eléctricos estáticos

18 d o n d e a es e l r a d i o d e l d is c o c a rg a d o y R z =

r "

z 2. In t e g r a n d o o b te n e m o s

r2 +

P*z 1 2e ( r 2 + z 2 ) 1'2 0

_ P s z (“ rdr 2 e J0 ( r 2 + z 2) 3' 2 Z

(1.31)

( a 2 + z 2Y 12 ~ \

E n e l c a s o p a r t ic u l a r e n e l q u e e l p u n t o d e o b s e r v a c ió n e s tá le jo s d e l d is c o , z » a , la e c u a ­ c ió n ( 1 .3 1 ) se r e d u c e a Qr

(1.32)

4jt£z 2

4e z2

A d v ié r t a s e q u e la c a rg a t o t a l d e l d is c o v ie n e d a d a p o r Q , = e s p e r a d o a c a u s a d e q u e a g ra n d e s d is ta n c ia s

p¡ i z a 1. E s te r e s u lta d o l í m i t e es e l

e l d is c o se c o m p o r t a

c o m o u n a c a rg a p u n t i ­

fo r m e . E n ( 1 .3 1 ) e l t é r m i n o e n r a íz c u a d r a d a se a p r o x im ó u s a n d o e l d e s a r r o llo d e l b in o m io (1 + A )" s

1 + «A

A < 1

(1-33)

E l p o t e n c ia l e lé c t r ic o p a r a p u n t o s s o b re e l e je d e l d is c o c i r c u l a r c a r g a d o u n if o r m e m e n t e p u e d e o b te n e r s e p o r in t e g r a c ió n , u s a n d o ( 1 .3 1 ), así V =

—í *

d z = — [( a 2 + z 2) 1/2 — z]

•L

(1 .3 4 )

2e

Ejemplo: Campos debidos a una superficie ilimitada cargada. e x te n s ió n d e lo s c a m p o s d e u n lá m in a i n f i n i t a

c a rg a d a

a n i l lo

C om o una

nueva

c a r g a d o , p o d e m o s o b t e n e r e l c a m p o e lé c t r ic o d e u n a

h a c ie n d o a -> ° ° e n ( 1 .3 1 ), lo q u e d a

(1.35) É s te es u n r e s u lta d o in t e r e s a n te . D ic e q u e e l c a m p o e lé c tr ic o p e r m a n e c e c o n s ta n te , e n m ó d u ­ l o , c o n la d is t a n c ia d e la s u p e r f ic ie y s ie m p r e es n o r m a l a la s u p e r f ic ie . S i te n e m o s u n a c a p a d e lg a d a d e c a r g a c o m o se i n d ic a e n la f i g u r a en

am bos

capa com o

la d o s

c a rg a d a la

que

d e la

capa

c a rg a d a , d e

u n if o r m e m e n t e , c o m o e x is te

en

la

s u p e r f ic ie

la de

1 .1 1 , se p r o d u c e u n c a m p o e lé c tr ic o u n i f o r m e ,

m ó d u lo

in d ic a d a un

E = en

la

c o n d u c to r

p , / 2 e. D e b e fig u r a in f in it o

a d v e r t ir s e

1 .1 1 , y son

una

aqu í que

c a rg a

una

s u p e r f ic ia l

ca s o s d if e r e n te s

[v é a s e

ec. (2 .4 4 )].

Podemos resumir las características de varias distribuciones de carga diciendo que para Carga puntiforme:

E oc -1j

Carga lineal:

1 E oc r

C a rg a s u p e r fic ia l:

E

oc

constante

r/ ee — 1 P V oc In r V

oc

r

(1-36)

Campos eléctricos estáticos

19

- f -B -Kó--- 'É~ —3“

— F.



:S = : F ig .

1 .1 1 .

U n a c a p a d e c a rg a i n f i n i t a p r o d u c i r á u n c a m p o e lé c t r ic o c o n s ta n te n o r ­ m a l e n a m b o s la d o s d e la c a p a . (S e m u e s t r a la c a p a d e c a n t o .)

Lo dicho antes debe usarse con cautela para varillas cargadas de longitud finita y superficies cargadas de extensión finita. Por ejemplo, muy cerca de la superficie cargada de un disco, el campo sería como el de una lámina infinita cargada. Tomando la ecuación (1.31) y haciendo z -> 0, obtenemos E„ = ps/2e, que es un campo eléctrico constante y concuerda con lo dicho. Por otro lado, cuando el punto de observación está muy lejos del disco finito, el campo eléctrico parecerá el de una carga puntiforme. Ejemplo: Desviación electrostática en un osciloscopio. c o p io v ie n e i lu s t r a d o e n la f i g u r a t e n c ia l m á s a lt o v ie n e d a d a p o r

F ig . 1.12.

E l p r in c ip io

de u n

o s c ilo s -

1 .1 2 . U n ju e g o d e á n o d o s a c e le r a d o r e s , q u e e s tá n a u n p o ­

q u e e l d e l c á to d o , a c e le r a n lo s

e le c tr o n e s

L o s e le m e n to s d e u n o s c ilo s c o p io s o n :

d e s d e e l c á to d o . L a

a c e le r a c ió n

u n a f u e n t e d e e le c tr o n e s , á n o d o s

a c e le r a d o r y d e s v ia d o r , y u n a p a n t a lla e le c t r o lu m in is c e n t e .

20

Campos eléctricos estáticos

d o n d e E „ es e l c a m p o e lé c t r ic o p o r e s ta d if e r e n c ia

c re a d o

p o r e l v o lt a je

d e p o t e n c ia l a d q u i r ir á

una

a c e le r a d o r

e n e rg ía c in é t ic a

V „ . E l e le c tr ó n

a rra s tra d o

dada p or

W = eVQ

(1.38)

la c u a l s e rá ig u a l a 1 / 2 m v 2 s i e l e le c t r ó n p a r t e d e l r e p o s o . P o r t a n t o , e n t r a r á e n la s p la c a s d e s v ia d o r a s c o n u n a v e lo c id a d v d a d a p o r

(1.39)

m

C u a n d o e l e le c tr ó n e lle g a a la s p la c a s d e s v ia d o r a s , e n c u e n tr a u n c a m p o e lé c t r ic o E d p r o d u ­ c id o p o r e l v o lt a j e

d e s v ia d o r V d. E l e le c t r ó n se a c e le r a r á h a c ia a r r ib a d u r a n te u n t ie m p o t d,

d a d o p o r d / v x, q u e es e l q u e e s tá e n t r e la s p la c a s . L a c o m p o n e n t e v e r t i c a l d e la v e lo c id a d q u e a d q u i r ir á v a d e s d e c e r o a

r„ = a j d

eEd

_ eEd d

m

(1.40)

m vx

c u a n d o e l e le c t r ó n d e ja la s p la c a s . E n to n c e s s e g u ir á u n a t r a y e c t o r ia d e s v ia d a e n lín e a r e c ta h a s ta q u e i n c id a e n la p a n t a lla f lu o r e s c e n te . E n e l in s t a n t e e n q u e a b a n d o n a la s p la c a s , h a b r á r e c o r r id o u n a d is t a n c ia h a c ia a r r ib a d a d a p o r

y= lo

v, dt = 2 avf2

2 m

c u a l d e m u e s tr a q u e m ie n tr a s e l e le c tr ó n e s tá b a jo la

la e c u a c ió n d e la t r a y e c t o r ia es u n a p a r á b o la

(1.41)

2 m \v j in f lu e n c ia d e l v o lt a j e

( y o c d 2) . A d v ié r t a s e

q u e d u ra n te

d e s v ia d o r V d, la d e s v ia c ió n

la c o m p o n e n te h o r i z o n t a l v x d e la v e lo c id a d d e l e le c tr ó n , q u e f u e c o m u n ic a d a p o r la s p la c a s a c e le r a d o r a s , se m a n t ie n e . D e s p u é s d e

a b a n d o n a r la s p la c a s d e s v ia d o r a s , e l e le c tr ó n

p ro s e ­

g u ir á e n lín e a r e c ta h a s ta la p a n t a lla . E l á n g u lo d e d e s v ia c ió n a p u e d e d a rs e p o r

V

&E d

y

vx

mvx

x

a = arctan — = a rc ta n ----- 7 s arctan — d o n d e se h a h e c h o la a p r o x im a c ió n v , / v x = y / x , y a q u e x »

(1.42)

d . I g u a la n d o lo s a r g u m e n to s d e

lo s d o s ú lt im o s t é r m in o s o b te n e m o s la p o s ic ió n y c o n la q u e i n c id e e l e le c t r ó n s o b r e la p a n ­ t a lla

eEdxd

(1.43)

mv; S i e n la s p la c a s se a p lic a

un

v o lt a je

V d v a r ia b le , e l e le c tr ó n , d e b id o

a s u p e q u e ñ a in e r c ia ,

s e rá c a p a z d e s e g u ir la s f l u c t u a c io n e s r á p id a s d e V d.

1.8.

EL GRADIENTE Y SU USO PARA OBTENER EL CAMPO DE FUERZAS A PARTIR DEL CAMPO DE TRABAJO

Hemos demostrado que puede obtenerse el campo de trabajo a partir del campo de fuerza por

Campos eléctricos estáticos

21 K = —| E • di

Simbólicamente podemos escribir esto como V = jSf(E)

(1.44)

donde el operador ££ viene dado por

2

= - } ( ) • di

(1:45)

Es fácil demostrar usando la ecuación (1.44) que la función de fuerza (que es un campo vectorial) puede obtenerse a partir de la función de trabajo (un escalar) por la operación inversa E = £ T XV

(1.46)

Está claro que siendo un operador integral, J ? -1 deba ser un operador diferen­ cial. Veremos que — V y se llama operador gradiente. Mientras que =5? opera sobre un campo vectorial y lo reduce a uno escalar, opera sobre un escalar para producir un vector. A fin de hallar la forma explícita de examinemos la expresión para un trabajo elemental (estrictamente hablando, una cantidad elemental de trabajo por unidad de carga) dV = —E • di = —E di eos 9

(1.7)

donde 0 es el ángulo entre E y la dirección del movimiento di. El último término de la expresión anterior es particularmente útil ya que nos da el módulo del cam­ po E, si lo escribimos así dV Ecosd=~—

(1.47)

El significado de esta ecuación se aclara con la ayuda de la figura 1.13. Si damos V en función de la posición, podemos dibujar las superficies equipotenciales. Las líneas de fuerza pueden encontrarse dibujando líneas perpendiculares a las equi­ potenciales para determinar E. Es el equivalente matemático del proceso gráfico que deseamos hallar aquí. Observando la figura 1.13, podemos decir que el primer miembro de la ecuación (1.47) es una componente de E obtenida proyectando E sobre la trayectoria y es igual al segundo miembro que es la derivada direccional de V a lo largo de la trayectoria /. Existirá una dirección para la cual la derivada direccional dV /di es máxima, y para esta dirección el primer miembro de la ecua­ ción (1.47) también será un máximo, que en realidad será la misma E. Es decir E= —

(1.48)

22

Campos eléctricos estáticos

Superficies equipotenciales

F ig. 1.13. Se representan un conjunto de superficies equipotenciales dadas por las constantes Ci, C2, C3...

Ya que el máximo, tal como se ha usado aquí, implica una dirección (la dirección para la cual 0 = 0), hemos determinado no solamente el módulo de E sino tam­ bién su dirección. Al valor máximo de dV /dl en un punto dado le llamaremos gradiente del potencial V en este punto y usaremos el símbolo V, llamado delta, para escribir E como (1.49) La forma explícita del operador V se halla como sigue: Expresemos el trabajo elemental efectuando el producto escalar en la ecuación (1.7) como —AF(x, y, z) = E • d i = Ex dx + Ey dy + E, dz

(1-50)

donde la distancia elemental di se ha escrito en función de sus componentes y de los vectores unitarios así di

= dx x + dy

y

+ dz

i

(1.51)

Tratando AV como una diferencia total y usando su expresión en función de las derivadasparciales, también podemos expresar AV como dV dV cV AVÍx, v, z) = ——dx + ——dv + =—dz (1.52) dx cy ' dz Comparando lasexpresiones

(1.50) y (1.52), hallamos que el campo E es dV. íI V . dV„ -E = — x + — y + — z dx cy cz

(1.53)

23

Campos eléctricos estáticos lo cual determina el operador en coordenadas rectangulares; es decir, , „ 5 „ d . d „ & 1 = V = ——x + ——y + — z dx d p J de

(1.54)

Podíamos haber usado coordenadas esféricas o cilindricas para hallar la forma explícita del operador gradiente. Sin embargo, el sistema de coordenadas rec­ tangulares es el más familiar y el más usado. El gradiente en coordenadas esféri­ cas y en cilindricas viene dado en la cubierta posterior.

1.9.

RELACIÓN ENTRE EL GRADIENTE Y LA DERIVADA DIRECCIONAL

Se puede aprender mucho de la operación gradiente hallando su relación con la derivada direccional. Como hemos visto en las ecuaciones (1.48) y (1.49), el gradiente es la derivada direccional máxima. La interpretación gráfica de esto, usando la figura 1.13, es que el gradiente da la variación máxima por unidad de lon­ gitud a través de las superficies equipotenciales; de aquí que deba ser normal a las mismas. Si en la figura 1.13 la trayectoria es una curva cuyas ecuaciones para­ métricas son x ( l ) , y ( l ) , z ( l ) , podemos escribir para la tangente unitaria en un punto arbitrario a lo largo de la curva dx

di

„

dy

„

dz

„

(1.55)

donde a respectiva­ mente. El camino / + /' forma una línea cerrada.

25

Campos eléctricos estáticos

donde es una función escalar de posición tal como el potencial, la temperatura, la densidad, etc. Consideremos la figura 1.14. Desarrollemos la función en torno el punto a escribiendo los dos primeros términos del desarrollo de Taylor; es decir, (a + A l ) = 4>{á)

+

d i + ■■•

(1-62)

Teniendo en cuenta la ecuación (1.58), el término derivada direccional en la expre­ sión anterior puede escribirse así (a

La función en

b

+ A/) =

(j)(a )

+ V • di + ■• •

(1.63)

puede obtenerse por integración (a) = E • di = 0

(1.12)

de una manera más elegante. Simplemente podemos decir que como un (vector) campo de fuerzas puede derivar de un (escalar) campo de trabajo operando sobre el campo de trabajo con el operador gradiente, como viene dado por la (1.49), E = —VE

(1.49)

se deduce inmediatamente de (1.61) que se cumple (1.12). Un campo electros­ tático E es conservativo a causa de que es el gradiente de un campo escalar y (1.61) se cumple en tales campos.

26

Campos eléctricos estáticos

1.10.

DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS

El campo eléctrico E depende, en general, de la permitividad y por tanto del medio. Por ejemplo, el campo eléctrico de una carga puntiforme Q viene dado por E = Q / A i í t r . En la tabla 1.1 se da una relación breve de las constantes dieléc­ tricas z r = e/ eo, siendo la permitividad del espacio libre e0 — 1(VY36tt: F/m. Ve­ mos, pues, que si el medio entre la carga puntiforme y el punto de observación es baquelita en vez de aire, el campo eléctrico será 5 veces menor. Para evitar esta de­ pendencia del medio, definimos la densidad de flujo eléctrico D multiplicando E por £

D = eE

C/m2

( 1. 6 6 )

Si el medio es isótropo z es un escalar y la dirección de E y D será la misma. Ya que D es una densidad de flujo, el flujo total tj/ a través de un área elemental AA puede obtenerse formando el producto escalar de D con este elemento de área; es decir A^ = D • AA

C

(1.67)

La figura 1.15 lo muestra gráficamente. En esta figura ñ es el vector unitario que denota la normal al elemento de superficie, lo cual nos permite expresar un ele­ mento de área en forma vectorial como AA = ñA. La ecuación (1.67) puede tam­ bién escribirse A 4* = D • ft AA Por supuesto que el flujo total tj; a través de una superficie grande puede obte­ nerse por integración de Atp. El flujo total saliente de una superficie cerrada, por ejemplo, la superficie de un globo, se denota por

Normal a d.A

F ig . 1.15.

El flujo (otal a través del área A. 1 viene dado por el producto escalar de D e AA.

27

Campos eléctricos estáticos Z

y

X

F ig . 1.16. Sistema de coordenadas esféricas mostrando una carga puntifor­ me Q en el origen y un elemento de superficie de área dA = (r cf0)(sen 0 r d).

( 1.68 )

Si tai integral a través de la superficie cerrada es finita, tjt es finito, lo cual im­ plica que debe salir de la superficie un flujo neto. Además, ya que el flujo neto tiene dimensiones de carga, no es difícil imaginar que dentro de la superficie cerrada debe residir una cantidad de carga neta. Dicho de otro modo, las fuentes del flujo deben ser cargas. Esta conjetura puede considerarse en base firme y se conoce por la ley de Gauss, que consideraremos a continuación. Primero tomemos un caso simple. Una carga puntiforme está situada en el origen. Rodeemos esta carga con una esfera con su centro en el origen. El flujo total a través de esta esfera viene dado por (1.69) Ya que la normal a esta superficie es a lo largo de la dirección radial, es decir, dA — r d A , tenemos

donde el término densidad de flujo ha salido fuera de la integral, ya que sobre una superficie esférica de radio constante r, la densidad de flujo es uniforme en

28

Campos eléctricos estáticos

todo punto de esta superficie. La integral de superficie que queda es el área de la esfera de radio r que es igual a 4 tir2. Esto nos será útil para el cálculo del resultado en detalle, usando un sistema de coordenadas esféricas. Considerando la figura 1.16, donde mostramos una porción de la superficie envolvente y un elemento de área dA, obtenemos , 2n . 7t ,n & dA = | I (r dé)(sen() r d(p) = 2nr2 I sen 6 dd = 4nr2 -o

-o

'O

Podemos ahora hacer la importante observación de que el flujo total tp saliente de la superficie cerrada es igual a la carga encerrada; es decir, ^ = Q. Ésta es la ley de Gauss. Vamos a demostrar que esto es cierto para una superficie cerrada cualquiera. La figura 1.17 presenta de nuevo una carga puntiforme Q situada en el origen, pero ahora está rodeada por una superficie no esférica. El flujo total saliente de esta superficie viene dado por la ecuación (1.68), la cual puede escribirse ^ = § Dí ' " dA = § D cos 0 dA = § 4 ^ cos d dA

(I.71)

donde 0 es el ángulo entre la normal ñ a la superficie elemental y la dirección ra­ dial r de la densidad de flujo. Aquí el punto clave es el término r • ñ dA = = cos 0 dA; que es la proyección del elemento de superficie ñ dA sobre una su­ perficie esférica que corta a la superficie de forma arbitraria en el punto r. Por tanto, cos 0 dA es precisamente un área elemental sobre una superficie esférica y viene dada por cos 9 dA = r d6 sen 9 r dE • di = 0

y

(1.12) (1.73)

Campos eléctricos estáticos

39

para hallar las relaciones entre los vectores campo electrostático en ambos lados de una discontinuidad. Podemos también señalar aquí que, a pesar de que el comportamiento del campo eléctrico en un contorno se haya deducido de las ecua­ ciones electrostáticas, las relaciones obtenidas serán válidas incluso cuando el campo eléctrico sea variable con el tiempo. Estas relaciones serán aplicables in­ cluso a las muy elevadas frecuencias de la luz. Hay otra razón por la cual es necesario el conocimiento de las condiciones de contorno. Demostraremos más adelante que el comportamiento de los campos eléc­ trico y potencial se determina por ecuaciones en derivadas parciales. Las solucio­ nes de las ecuaciones diferenciales siempre implican constantes arbitrarias. Una ecuación diferencial de primer orden tiene una constante arbitraria, una ecuación de segundo orden tiene dos constantes arbitrarias, y así sucesivamente. Estas cons­ tantes arbitrarias se determinan por la aplicación de las condiciones de contorno. A fin de hallar el comportamiento en el contorno, descompondremos el cam­ po eléctrico en el contorno en componentes tangencial y normal y analizaremos estas dos componentes separadamente.

Condiciones de contorno para las componentes tangenciales del campo eléctrico en la superficie de separación de dos dieléctricos Consideremos el rectángulo abcd situado con sus lados mayores paralelos a la superficie de separación de dos medios dieléctricos. Los lados ab y cd suponemos que son muy pequeños, pero de tal manera que el contorno esté siempre entre los lados mayores Al, como se indica en la figura 1.24. Un campo eléctrico E 2 al cru­ zar el contorno se inclina y se convierte en Ei. La integral a lo largo de una línea cerrada (1.12) que expresa la propiedad conservativa del campo electrostático, cuando se aplica al contorno abcd, da

Fio. 1.24. Para obtener las condiciones de contorno para E se usa el contorno abcd.

40

Campos eléctricos estáticos lim

| E • di = O

ab,cd~*0 J cd

J *d

E 2 • di +

J

Ei • di = O

d

(E2 - E J • Al = O

(1.85)

Los lados mayores de longitud Al son lo suficientemente pequeños para que E pueda considerarse constante sobre Al, dando la última ecuación en (1.85). El signo menos se ha introducido por el hecho de que los vectores Ali e Ah que están en lados opuestos del contorno son opuestos. Ya que Al en general es finito y puede escribirse Al = t Al donde t es un vector unitario tangencial a la super­ ficie, de (1.85) obtenemos ( 1.86)

Esto indica que las componentes tangenciales del campo E son continuas a través de la interfase.

Condiciones de contorno para las componentes normales del campo eléctrico en una interfase Para obtener lá condición para las componentes normales del campo eléctrico podemos usar la ley de Gauss (1.73) y aplicarla a una pequeña «caja de pastillas» situada en la interfase de los dos dieléctricos, como se indica en la figura 1.25. Si

n

Fig. 1.25. «Caja de pastillas» de altura An y superficie AA que contiene la interfase con carga superficial ps. La normal hacia fuera de la superficie de la caja es ñ . Ad­ viértase que ft = —ñ2. Se indica la existencia de una capa superficial de densi­ dad p, a la vez que cierta densidad cúbica de carga en toda la región 2.

41

Campos eléctricos estáticos

la altura An se hace tan pequeña como queramos, no habrá flujo lateral en dicha caja. La ley de Gauss para este caso puede escribirse lim

D • ft dA =

A n -O

11 (D 1 - D 2) • ñ dA = lim j J Cp dn dA = | f ps dA

(1.87)

An-»0 * * *

donde hemos supuesto que existe una carga superficial, que vale »Azi ps = lim | p dn = lim p An A n -*0 * O

distribuida en una capa infinitamente delgada en el contorno. Ya que queña, podemos quitar el símbolo integral en (1.87) y obtenemos (D, — D 2) • ñ o bien

(D t

AA

(1.87a)

A h -»O

=

AA

es pe­

ps AA

D 2) • A — Dn

D . == Ps

(1.87b)

donde D„ son las componentes normales. Así, cuando exista una carga superficial, las componentes normales de la densidad de flujo eléctrico, diferente de las com­ ponentes tangenciales del campo eléctrico, son discontinua por la carga superfi­ cial presente. Corrientemente la interfase entre dos dieléctricos no tiene carga. De donde, para un contorno libre de carga = e2E„

(1.87c)

La ecuación (1.87a) merece nueva discusión. Implica que en los puntos donde exista una densidad superficial de carga p.,, la densidad cúbica de carga p debe necesariamente ser infinita. Los cuerpos dieléctricos cargados tienen una densidad cúbica de carga finita distribuida por el interior de los mismos. De donde ps debe ser nula. Por otro lado, en los conductores, una carga colocada en los mismos se distribuye en una capa infinitamente delgada en la superficie, dando una p, fi­ nita. (Lo cual se considera en el próximo capítulo.) Por lo tanto, a menos que exista una capa real de carga superficial en la interfase entre dos dieléctricos,1 la condición de contorno apropiada para dieléctricos es (1.87c), la cual establece que las componentes normales de la densidad de flujo son continuas.

t Podría obtenerse una carga superficial arrancando electrones superficiales, como cuando se frota vidrio con seda.

Campos eléctricos estáticos

42

Ahora es evidente que las componentes normales del campo eléctrico de la luz deben contribuir a la inclinación de los rayos cuando la luz atraviesa la inter­ fase aire-agua. La inclinación puede ser apreciable ya que la constante dieléctrica del agua es 81 veces mayor que la del aire (véase tabla 1.1).

1.14.

DIVERGENCIA Y FORMA DIFERENCIAL DE LA LEY DE GAUSS

Una segunda forma de la ley de Gauss se expresa en función de derivadas. Re­ cuérdese que la forma integral de la ley de Gauss relaciona el flujo neto que sale de un volumen finito a la cantidad neta de carga encerrada en este volumen. La forma diferencial de la ley de Gauss puede hallarse aplicando la ley integral de Gauss a un pequeño volumen diferencial que rodea un punto. Como veremos, las integrales se convierten en diferenciales en el límite cuando el volumen tiende a cero y obtendremos una relación de punto de la ley de Gauss en la que inter­ vienen solamente derivadas. Ya que las derivadas, comparadas a las integrales, son más fáciles de calcular, la forma diferencial de la ley de Gauss será muy útil y, en cierto sentido, más general. Consideremos un pequeño volumen Av = Ax Ay Az atravesado por una densi­ dad de flujo D como se indica en la figura 1.26. Aplicando la ley de Gauss a este volumen elemental y dividiendo por Av, obtenemos lim ÍÜ L dA = lim

Ai'-*o

Av

Ai’-»o

Av

- p

(1.88)

donde la integral de volumen para el elemento de volumen Av es simplemen­ te p Av, que al dividir por Av da p. Adviértase que la integral de superficie en el primer miembro no puede aproximarse por su cantidad subintegral aunque la

2

Fig. 1.26.

Para calcular la divergencia de un campo vectorial D se usa un pequeño volumen.

Campos eléctricos estáticos

43

integración se haga extendida a la pequeña superficie que limita el volumen infi­ nitesimal Av. Diferente de una integral superficial ordinaria, la integral extendida a una superficie cerrada tiene propiedades especiales que no permiten esta elimi­ nación. Por ejemplo, si en Av está localizada una carga puntiforme, el flujo total saliente de una superficie que lo rodee, sea pequeña o grande, siempre es el mismo. Una manera más simple de obtener la ecuación (1.88) es suponer que una carga se distribuye en un volumen v con la densidad de carga p. Entonces la carga total encerrada en Av es AQ = p Av. La ley de Gauss aplicada a Av se convierte en $>D • dA = Ag = p Av

(1.88a)

la cual dividida por Av da (1.88). El límite de la operación D expresado por la ecuación (1.88) se llama divergen­ cia de D, es decir div D = lim Av-*0

ffD dA Av

(1.89)

en donde «div» es la abreviatura de divergencia. La divergencia del vector densi­ dad de flujo es por tanto la medida del flujo saliente por unidad de volumen. De la ley de Gauss también sabemos que el segundo miembro de (1.89) es igual a la densidad cúbica de carga; es decir div D = p

(1.90)

Esta ecuación se identificará más brevemente como forma diferencial de la ley de Gauss. El que un campo en un punto tenga divergencia finita significa que debe existir allí el equivalente a una fuente. Si la divergencia de un campo es nula para un pequeño volumen, puede interpretarse que significa que todo el flujo que penetra en el volumen también lo abandona; esta región del espacio está libre de cargas. Para relacionar la divergencia a las derivadas, calcularemos el flujo entrante y saliente de las seis caras del volumen cúbico de la figura 1.26. Por conveniencia elegiremos un sistema de coordenadas rectangulares (en la cubierta posterior se tabulan las operaciones divergencia en otros sistemas coordenados). Está claro que la divergencia es un operador intrínseco que no depende del particular sistema de coordenadas elegido. Consideremos el par de caras Az Ay en la figura 1.26 y calculemos el flujo neto a través de estas dos caras. El flujo entrante a través de la cara en el plano zy viene dado por

D • ñ A A = —Dx Ay Az

(1.91)

Campos eléctricos estáticos

44

donde el signo menos proviene de que Dx y la normal saliente ñ a la cara Az Ay son opuestas. El flujo saliente de la cara adyacente es Ay Az

D • ft AA =

(1.91a)

donde la densidad de flujo saliente está aproximada por la densidad de flujo entrante más la variación de D por unidad de longitud entre las dos caras por la distancia entre las caras. Esto se reconoce como los dos primeros términos en el desarrollo de Taylor de D en torno al origen. Si la distancia Ax entre las dos caras es pequeña, la aproximación por los dos términos del desarrollo es válida ya que los términos de orden superior en los que interviene (Ax)” serán despre­ ciables. El flujo neto a través de las dos caras ahora puede obtenerse sumando el flujo entrante y saliente, lo cual da O rv

— i Ax Ay Az ex

(1.916)

Si se repite el mismo procedimiento para los restantes grupos de dos caras, obte­ nemos para el flujo neto saliente del volumen Ax Ay Az § D -d A

\d x

dy

+

cD, Ax Ay Az dz

(1.91c)

Dividiendo esta expresión por el volumen Av, como en la ecuación (1.89), nos da la expresión de la divergencia en función de las derivadas; es decir, div D =

dDy dDz dx ^ dy ^ dz

(1.9W)

Esto puede escribirse de forma simple empleando el operador que se usó prime­ ramente en la operación gradiente. La ecuación (1.9Id) puede verse que es el pro­ ducto escalar del operador V por D; es decir, —

x +—y+

j - z \ ■ ( P xx + P yy + P zi )

(1.91e)

Esto completa la deducción del operador divergencia V ■en el sistema de coorde­ nadas rectangulares. Debido a que la divergencia implica el producto escalar, la magnitud que opera debe ser un vector. El resultado de esta operación es un escalar. Adviértase que es diferente del gradiente que opera sobre un escalar y da un vector. Finalmente, podemos escribir la ley de Gauss en forma diferencial, que es una relación de punto, expresada en función de las derivadas, como

Campos eléctricos estáticos *

45

V D =p

(1.92)

Se demostrará en el capítulo 11 que las formas diferencial e integral de la ley de Gauss constituyen la segunda ecuación de Maxwell en la forma diferencial e integral, respectivamente. En resumen, si existe una densidad de carga en un punto del espacio, entonces la densidad de flujo debe tener una divergencia en este punto, lo cual significa que si el punto se rodea por un pequeño volumen, debe emerger del mismo un flujo neto. Inversamente, si la densidad de flujo D posee una divergencia en un punto, debe existir una densidad de carga en tal punto.

1.15.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS

La discusión de la sección anterior, puede ahora extenderse para deducir un teorema, que será útil en el manejo de ecuaciones vectoriales, a fin de reducirlas a formas más convenientes. Este teorema se conoce como el teorema de la diver­ gencia de Gauss. Usando la ecuación (1.89), podemos decir que el flujo saliente de la superficie de un ortoedro infinitesimal, es igual a la divergencia del vector densidad de flujo multiplicada por el volumen del ortoedro; es decir, (1.93) donde F representa un campo vectorial arbitrario. Para un volumen finito, después de subdividirlo primero en volúmenes elementales Av, podemos obtener el flujo neto integrando la divergencia para todo el volumen, con lo que obtenemos el teorema de la divergencia de Gauss (1.94)

donde A(v) es el área de la superficie que limita el volumen v ' y v(A) es el volu­ men v limitado por el área A. En la sección anterior hemos demostrado que la divergencia de un vector cam­ po puede considerarse que es la medida de las fuentes escalares del campo. Por ejemplo, sabemos que la carga es la fuente del campo electrostático. Esto lo ex­ presa la ecuación (1.90) o (1.92) lo que representa que una divergencia finita de un campo en un punto implica la presencia en el mismo de una densidad de fuente. El teorema de la divergencia de Gauss, entonces, debería interpretarse de la si­ guiente forma: El flujo neto a través de una superficie cerrada es igual a la suma de las fuentes escalares en el interior de la superficie.

46

1.16.

Campos eléctricos estáticos

EL OPERADOR LAPLACIANA Y LA ECUACIÓN DE LAPLACE

En este punto quizá el estudiante está empezando a creer que la introducción de nuevos operadores no tiene fin. También puede creer que estos operadores son abstractos y de no mucha utilidad. La utilidad de estos operadores estará en la facilidad con que pueden describirse los fenómenos electromagnéticos. Esto se evidenciará mejor al progresar en nuestro estudio y resolver más problemas. Al lado de los dos operadores diferenciales, el gradiente y la divergencia, tendremos que familiarizarnos con dos más. Éstos también están íntimamente relacionados con el gradiente y son el rotacional y la laplaciana. El operador laplaciana se introduce cuando se considera la relación de la ecuación (1.92) entre el campo y la densidad de carga eV • E = p

(1.95)

Hemos supuesto que la permitividad £ en la relación D = eE es constante (apro­ piado para medios lineales, homogéneos e isótropos). A menudo es más conve­ niente usar el campo de trabajo en vez del campo de fuerza. De (1.49) sabemos que el campo eléctrico y el potencial están relacionados por E = -V E

(1.49)

Sustituyendo esto en (1.95), obtenemos (1.96)

V • VE = —— e

Aquí tenemos una nueva operación, a saber, la divergencia de un gradiente, que en coordenadas rectangulares puede escribirse /

d

„

d

.

8 A

( d

.

8

„

200)

Esta ecuación ya se discutió como ecuación (2.19). En una situación como ésta, la velo­ cidad aumentará indefinidamente, lo cual significa que la conductividad aumentará indeíini damente; es decir a «> Al mismo tiempo, ya que las colisiones están ausentes, ei término amortiguador m v / ~ en (2.22) debe anularse, lo cual implica que - -> Un material en el que ocurra esto no puede existir físicamente pues tendría que tener los átomos de la red completamente en reposo, dispuestos en perfecta simetría, Fi principio de incertidumbre, ya imposibilita la existencia de tal material. Para demostrar lo impracticable del sueño de obtenet un conductor perfecto, podemos realizar el siguiente experimento. Tomemos una muestra pura de nuestros mejores conduc­ tores tal como plata o cobre. Debería esperarse que si la muestra se enfriase al cero abso­ luto, la resistencia de la muestra se anularía, ignorando la formidable labor de enfriar ia muestra a! cero absoluto, hallaríamos que la resistencia no e= nula sino que aún existe una resistividad residual de cerca de 0.02 X 10"’ íi-m. De la mecánica cuántica se sabe que la temperatura del cero absoluto no implica la ausencia total de movimiento. A esta tempera­ tura aún existe un movimiento de la red y se ¡lama energía de vibración del punto cero. Este movimiento --además de ias imperfecciones— da cuenta de la resistencia adicional. La inves­ tigación de materiales perfectamente conductores parecía completamente desesperada hasta que se descubrieron los materiales superconductores. En cierto sentido, estos materiales in­ cluso exceden las propiedades deseables de ios conductores perfectos. Tienen resistencia nula en un margen de temperaturas, como se indica en ia figura 2.5c, y expelen el campo mag­ nético de su interior. Ahora no proseguimos con la superconductividad, la dejamos basta que hayamos estudiado ei magnetismo, y entonces la consideraremos de nuevo en la sec­ ción 9.9. Se puede decir ahora que un c o n d u c t o r p a d e c i ó es un materia! que tiene conductividad infinita y no permite, a los campos magnetostáticos. existir dentro del material. Un m a t e ­ r i a l s u p e r c o n d u c t o r es un material diamagnético perfecto que expele todos los campos mag­ néticos de su interior y también tiene resistencia nula. Si consideramos la ley de Ohm J = -7¡i

(

2. 30)

80

Conductores y cargas

d e f in im o s u n c o n d u c t o r p e r f e c to c o m o u n m a t e r ia l p a r a e l c u a l

e n to n c e s p a r a m a n ­

te n e r u n a c o r r ie n t e f i n i t a J , v e m o s q u e e l c a m p o e lé c tr ic o d e n t r o d e l m a t e r ia l d e b e a n u la r s e ; es d e c ir , E -> 0 . Y a

q u e la r e s is te n c ia d e u n

c o n d u c to r p e rfe c to

o

s u p e r c o n d u c to r es n u la ,

n o se d is ip a p o t e n c ia e n e l m a t e r ia l. E n c o n s e c u e n c ia , la t e m p e r a t u r a d e t a l m a t e r ia l n o c a m ­ b ia c u a n d o c i r c u l a c o r r ie n t e p o r é l. L a p r o p ie d a d d e lo s s u p e r c o n d u c to r e s d e q u e n o se p ie r d e p o t e n c ia n i se c o n v ie r t e e n c a lo r t ie n e g ra n d e s im p lic a c io n e s e n lo s s is te m a s d e d is t r ib u c ió n d e p o t e n c ia ,

2.8.

d e b id o

a

q u e s o n p o s ib le s lín e a s d e t r a n s m is ió n s in p é r d id a s .

TIEMPO DE REDISTRIBUCIÓN DE LA CARGA LIBRE EN UN MATERIAL CONDUCTOR

Ahora deduciremos una propiedad importante de los materiales conductores: Una carga colocada en un punto interior de un cuerpo conductor desaparece de este punto en un tiempo inversamente proporcional a la conductividad cr del ma­ terial. Ya que la carga debe reaparecer en alguna parte, hallaremos que se mueve hacia la superficie y se redistribuye de tal manera que produce un campo nulo dentro del conductor. A efectos de discusión, consideraremos cualquier substan­ cia como material conductor si tiene conductividad no nula. (En la práctica, los materiales que tienen una conductividad menor que 1 S/m se consideran aislan­ tes.) Ya que nos interesa saber qué le ocurre a una carga que, por un medio cual­ quiera, se coloca en el interior de un cuerpo conductor, empecemos con la rela­ ción de continuidad (2.11) que relaciona la variación con el tiempo de la carga a la corriente resultante; es decir,

V J= dt

Cualquier corriente que fluya como resultado de la variación de la densidad de carga p puede expresarse usando la ley de Ohm J = ffE. La expresión anterior puede escribirse como 1 dp

(2.31)

dt

El primer miembro es la divergencia del campo eléctrico que puede relacionarse directamente a la densidad de carga mediante la ley de Gauss (1.92) como VE = p/e. Sustituyendo esto en la ecuación (2.31), obtenemos una simple ecuación diferen­ cial (2.32)

81

Conductores y cargas

para la variación con el tiempo de la densidad de carga p(í) en un punto arbitrario dentro del material conductor. La solución de esta ecuación diferencial es inme­ diata p(t) = Poe~‘IT

(2.33)

donde po es la densidad de carga inicial (es decir, en el instante t = 0, se coloca una carga AQo = p0Av en un punto situado dentro del volumen elemental Av). T es el tiempo de redistribución de carga libre (2.34) y a veces se alude como tiempo de relajación. Hemos elegido tiempo de redistri­ bución para no confundir con el tiempo de relajación t de ( 2 .2 1 ) que es el tiempo libre medio de un electrón libre, entre colisiones en un metal. El término «tiem­ po de redistribución» es particularmente adecuado ya que cuando la carga desapa­ rece de un punto, debe aparecer en algún otro. Siempre que un proceso disminuye exponencialmente, como en la ecua­ ción (2.33), puede asociarse con una constante de tiempo T, que es el tiempo que emplea el proceso en disminuir a \ / e de su valor inicial. De aquí que llamaremos a T la constante de tiempo de redistribución de la carga libre. Por ejemplo, si consideramos cobre o plata que tiene a — 6 X 107 S/m y una permitividad que es la del espacio libre Eo = 10~9/36 ir F/m , obtenemos para el tiempo necesario para que una distribución inicial de carga po disminuya al 36,8 % de su valor inicial TCu.Ag= ^

1 0 -19s

(2.35)

Éste es un tiempo extremadamente corto y podemos considerar que en el intervalo de unas pocas constantes de tiempo, es decir de unos 1CL18 s para los metales con­ ductores, la mayoría de carga haya desaparecido de cualquier punto interior del cuerpo y habrá aparecido en la superficie. Por otro lado, si consideramos un dieléc­ trico como la mica, el tiempo de redistribución es

donde hemos usado a — 10“15 como la conductividad para la mica (véase ta­ bla 2.1) y Er = 6 como permitividad relativa (véase tabla 1.1). Se emplea mucho tiempo en la disminución de carga. Para un buen dieléctrico o aislante el tiempo de redistribución es muy largo y para muchos propósitos prácticos puede consi­ derarse que una carga colocada permanece en el punto de emplazamiento.

82

Conductores y cargas T abla 2.2. Tiempos de redistribución de carga libre para algunos materiales corrientes Material

Tiempo de redistribución T = s/cr

Cobre Carbón Agua de mar Agua destilada Mica Cuarzo fundido

1,4 x 1 0 19 3 x 10“ 16 s 2 x 10-10 s 10-6 s 3 días 50 días

Tenemos ahora otra manera conveniente de diferenciar los aislantes de los conductores. Si un material presenta un tiempo de redistribución muy corto, lo cual significa que una carga libre es extraordinariamente móvil en él, se considera que el material es un conductor; mientras que si T es muy largo, el material se comporta como un aislante. Podemos obtener una idea del significado de corto y largo comparando los valores de T en la tabla 2.2 para materiales que se sabe que son conductores o aislantes. Para los materiales que se usen en presencia de señales que varían con el tiem­ po, la definición de buen conductor sería la de que el tiempo de redistribución T sea muy pequeño, en comparación con el período de la señal. Podemos ahora ver que algunos materiales que se consideran buenos conductores a cierta frecuencia, tienden a ser aislantes si la frecuencia se eleva suficientemente. Podemos expre­ sarlo cuantitativamente diciendo que si (2.36) el material actúa como conductor, y si (2.37) el material actúa como un aislante, donde Tsesai es el período de la señal armó­ nica. Por ejemplo, el agua de mar se considera que es un conductor para frecuen­ cias por debajo de 1 GHz y un aislante para frecuencias por encima de 1 GHz.

2.9.

CAMPOS INTERIOR Y EXTERIOR DE CONDUCTORES Y CONDICIONES DE CONTORNO

Aquí consideraremos primero los conductores metálicos. De las anteriores sec­ ciones sabemos que si colocamos una carga AQ en algún punto dentro de un con­

Conductores y cargas

83

ductor, desaparece de este punto, y su comportamiento en función del tiempo viene dado por (2.33), con lo que Ag(t) = Po An e ,IT

(2.38)

donde Av es un volumen elemental que rodea el punto y la carga colocada inicial­ mente es AQo = poAv. Para conductores metálicos la constante de tiempo de disminución T es del orden de 10~18 s, que es un tiempo extremadamente corto. Como la carga tiene que ir a la superficie, se acumula en la misma en una delgada capa de carga superficial ps. De la física del estado sólido sabemos que el exceso de carga se acumulará dentro de una o dos capas atómicas de la superficie. La relación entre ps y la densidad cúbica de carga p se dedujo y viene dada por la ecuación (1.87 a). Fuerzas muy intensas evitan que las cargas superficiales aban­ donen la superficie, y solamente en este sentido las cargas en el interior del con­ ductor no son completamente libres. La imagen que ahora tenemos de un con­ ductor con cierta carga colocada en su interior es la de una carga «precipitada» en su superficie. El interior de un conductor metálico al cabo de cierto tiempo de haberle colocado la carga (denotado por t > 0, o í+), está libre de carga; es de­ cir, de (2.38) podemos deducir que AQ(t ) = 0

dentro del conductor

(2.39)

De la anterior discusión también se sigue que no puede existir campo electros­ tático dentro de un conductor. Los electrones se moverán en respuesta a cualquier campo remanente hasta que se hayan distribuido de forma que el campo en cual­ quier punto dentro del conductor sea nulo, es decir,f E = 0 dentro del conductor

(2.40)

Podemos preguntarnos ahora cuál es el mecanismo que hace que el exceso de carga se precipite a la superficie. Sabemos que los metales poseen tantos electro­ nes libres que incluso un campo eléctrico muy pequeño pondría en movimiento gran número de electrones. Una vez empezado el movimiento de los electrones, debe mantenerse por alguna fuente externa, o este movimiento cesará. Más ade­ lante veremos que la acción química de una batería o campos magnéticos pueden mantener una corriente eléctrica. En nuestro caso, la carga colocada en el interior del conductor puede considerarse que es una fuente externa, que crea temporalt Nótese que E — 0 dentro de un conductor es una propiedad de un material conductor y como tal no puede deducirse. Por ejemplo, el hecho de que p = 0 dentro de un conductor no implica E = 0 según la ley de Gauss [véase la discusión apropiada que precede a la ecua­ ción (2.50)].

Conductores y cargas

84

mente un campo eléctrico radial, desde el punto en el que está situada la carga. La carga está compuesta de muchas partículas discretas (véase sec. 1.1) que son los electrones. Estos electrones responderán al campo, se marchan, dejando el in­ terior libre de carga y con campo eléctrico nulo. Ya que el campo eléctrico es nulo en el interior, el gradiente del potencial V también debe ser cero; es decir, E = —W = 0. Esto implica que el potencial no varía dentro y es constante; o sea V = constante

en el interior de la superficie de un conductor

(2.41)

donde la constante es proporcional a la carga en el cuerpo. Por tanto, el interior del conductor es una región equipotencial y su superficie es una superficie equi­ potencial. Otra manera de llegar a la misma conclusión es observar que la distri­ bución del exceso de electrones en la superficie del conductor debe ser tal que dé lugar a un campo tangencial E nulo en la superficie. Cualquier otra distribución que no diese un campo tangencial nulo, haría que las cargas libres en la super­ ficie se moviesen en la misma, como respuesta al campo tangencial E no nulo. En la figura 2.6 se esquematiza la distribución de carga libre. La ley de Gauss nos dice que un campo eléctrico debe salir de una región que contenga carga. Por tanto podemos concluir que un flujo o un campo eléctrico debe salir normalmente de la superficie cargada, pues se ha demostrado que el campo eléctrico tangencial es nulo. Si expresamos la ley de Gauss para el con­ ductor mostrado en la figura 2.6 como (2.42) entonces para una superficie gaussiana elemental tenemos que ñ

E xceso d e c a rg a s u p e r f ic ia l p

S u p e r fic ie g a u s s ia n a e le m e n ta l

Fig. 2.6. Conductor con exceso de carga distribuida en la superficie.

Conductores y cargas

85

^normal E

Ps

tangencial= 0

(2 .4 3 )

a causa de que el campo D en el interior es nulo. Éstas son las condiciones de con­ torno para campos eléctricos en una superficie conductora. A veces se escriben, usando la normal ñ a la superficie, en la forma ñ D = p„ y ñ X E = 0 (la ope­ ración ñ X identifica la componente tangencial). Ejemplo: Examinemos el campo eléctrico debido a una superficie conductora y el de­ bido a una capa de carga aislada. Son dos casos distintos, incluso aunque a primera vista no lo parezca. En el primer caso, el campo eléctrico viene dado de (2.43) como £„ = -

£

(2.44)

y en el caso de una capa con la carga superficial p„ el campo eléctrico viene dado, de (1.35) o (1.78c), por

£„ = P.

2e

¿Por qué la diferencia del factor 2? La ley de Gauss será aquí de la máxima utilidad. Si examinamos la deducción de la ecuación (1.78c) y la figura 1.20, hallamos que una capa infinita, cargada superficialmente tiene un campo eléctrico normal en ambos lados de la capa, mientras que una superficie conductora, con una carga superficial, solamente tiene campo en la región del espacio libre. Comparando los flujos eléctricos a través de las super­ ficies gaussianas elementales de las figuras 2.6 y 1.20, es evidente la diferencia en el fac­ tor 2. Ya que esto presenta generalmente una situación confusa al estudiante, examinémosla de otra manera. Sabemos que la condición general de contorno para las componentes nor­ males en una interfase son, de (1.87b), £>„, - Dn2 = Ps

(1.87b)

donde la normal se dirige de la región 2 a la región 1, como se indica en la figura 1.25. Suponiendo que la región 2 es el conductor, D„2 debe ser nula y obtenemos (2.44). Por otro lado, en el caso de una capa de carga superficial con espacio libre en ambos lados, Dni tiene

Fig. 2.7. Trozo de lámina conductora cargada. El exceso de carga se distribuye en la superficie como carga superficial ps.

Conductores y cargas

86

el sentido de la normal, pero t>„2 es opuesta a ñ. Observando que los valores del flujo en ambos lados de la capa son iguales, obtenemos D„ = p,/2. Si tuviésemos en cuenta las res­ tantes cargas en la superficie de un cuerpo conductor, veríamos que su efecto es producir campo E nulo en el interior y campo p,/e en el exterior del conductor metálico. En la fi­ gura 2.7 se muestra un simple caso de esto. Vemos que el campo de un lado de la carga superficial anula el campo de las cargas del otro lado si el punto de observación está dentro del metal, pero los campos se sumarán para proporcionar el campo eléctrico E = p , / e en el exterior.

Para completar esta sección ahora podemos establecer la ley de Gauss en for­ ma diferencial y la ecuación de continuidad en el interior de un conductor como

y

V ■D = 0

(2.45)

v •J = 0

(2.46)

La primera ecuación establece meramente que el interior de un cuerpo metálico es como un punto neutro, lo cual se ha establecido por ahora. Sin embargo, si partimos de la ley de Gauss, sabemos que en el instante que colocamos un exceso de carga, tenemos (2.45a)

V D = po|, =0

Desde el tiempo t = 0 a, digamos, t+ (donde G > T), las cargas se redistribuyen, y así la ley de Gauss para este intervalo de tiempo se expresa por V D = Poe - ‘IT

(2.45b)

Solamente es después de t > G que se cumple la ecuación (2.45) y podemos decir que el metal es como un punto neutro. De manera similar, la ecuación de conti­ nuidad se reduce a su forma particular V ■J = 0 solamente después que t > G; es decir V • J = —— = — É>~,/ r ->0 dt T

2.10.

para t > G

(2.46a)

CARGAS INDUCIDAS EN LOS CONDUCTORES Y APANTALLAMIENTO ELECTROSTÁTICO

La condición de contorno D„ = p„ para la superficie de un conductor, esta­ blece que si existe una carga superficial, esta carga superficial produce un campo eléctrico en el lado del espacio libre del contorno. También debe cumplirse la

Conductores y cargas

87

Fig. 2.8. (a) Un campo eléctrico £„ en el espacio antes de introducir nada; (b) se introduce una lámina metálica mostrando las cargas inducidas; (c) el campo E nulo en el interior del conductor se ve que es la composición de dos campos E„ y E¡ que se anulan uno a otro.

inversa: Si un campo eléctrico incide en un conductor, la componente normal del mismo inducirá una carga superficial en el lado del conductor del contorno. La figura 2.8 lo muestra gráficamente. Una lámina plana de un material conductor se introduce perpendicularmente en un campo externo Ea. El campo aplicado por lo visto no está afectado por la lámina, debido a que en ambos lados de la lámina el campo se mantiene invariable. Esto actúa como si el campo se introdujese en la lámina y volviese a emerger en el otro lado. ¿Cómo puede ocurrir esto si dentro de la lámina no puede haber campo eléctrico? Lo que ocurre es lo siguiente: El campo que incide por el lado izquierdo de la lámina, induce cargas negativas, de acuerdo con D„ = ps. Estas cargas proceden de los abundantes electrones libres que existen dentro de un objeto metálico. Ya que la lámina era neutra antes de introducirla en el campo eléctrico, una migración de cargas negativas al lado iz­ quierdo de la lámina dejará muchos puntos cargados positivamente. La única po­ sición estable para las cargas positivas, es el lado de la derecha de la lámina de­ bido a que sabemos qúe el campo eléctrico en los puntos interiores debe ser nulo. Cualquier carga positiva en el interior sería neutralizada por los electrones libres dentro del tiempo de redistribución T apropiado para este material. Las cargas superficiales positivas del lado de la derecha se equilibrarán por el campo eléc­ trico que continúa a la derecha de la lámina, de la forma ps = D„. La figura 2.8c representa otra manera de verlo. Una vez que se haya indu­ cido la, carga superficial negativa y positiva, podemos suponer que existe un cam­ po eléctrico inducido E¡ entre estas capas superficiales que equilibra el campo apli­ cado Ea de forma que el campo eléctrico total en el metal sea nulo; es decir £me.al = Ea + E, = 0 Por tanto, en un metal el campo inducido es E ,= -E ,

(2.47)

(2.47 a)

Conductores y cargas

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Cam po p o te n c ia l

D e n s id a d s u p e r f ic ia l d e c a rg a p s

1

Fig. 2.9. Capa metálica delgada con una carga puntiforme Q en el centro. La línea continua en la figura de la parte superior muestra el campo E total en presencia de la capa. La gráfica punteada es solamente la de la carga puntiforme.

La visión que ahora tenemos de un conductor introducido en un campo eléc­ trico externo es que las cargas libres, dentro del metal, se precipitan a la super­ ficie, para establecer un campo eléctrico interno que equilibre el campo eléctrico aplicado y produzca un campo nulo en el interior del conductor.

La capa esférica Otro ejemplo conciso de esto es el de una capa esférica delgada conductora que tiene una carga introducida en el centro de la capa, como se indica en la figura 2.9. La carga debe colocarse a través de un pequeño orificio en la capa. Si dibujamos una superficie gaussiana S¡ justo en el interior de la capa esférica, hallaremos que el campo eléctrico es el de una carga puntiforme. Esto se muestra en la figura 2.9 como E q. El campo eléctrico E q in­ ducirá un recubrimiento negativo p., en la pared interna de la capa dado por

Conductores y cargas

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§ PsdA= IQI

(2.48)

Para una superficie gaussiana Sm dibujada dentro del metal

§ D • dA = Q - § ps dA = 0

(2.48a)

ya que, por (2.40), D dentro del metal es nula. La cantidad de carga encerrada dentro de S„, es por tanto nula. De manera similar, si consideramos una superficie gaussiana Se ex­ terior a la capa, obtenemos (2.486) La cantidad de carga neta encerrada es Q, que se distribuye sobre la pared externa de la capa, y el campo externo es, por tanto, el de una carga puntiforme

Una variación interesante del problema anterior es el caso en que la carga puntifor­ me Q en la figura 2.9 se separa del centro. La capa de carga inducida negativa, en la super­ ficie interior, cambia a una distribución no uniforme, siendo más densa en los puntos de la superficie que están más próximos a la carga puntiforme. La distribución no uniforme puede representarse fácilmente en un esquema en el cual las líneas de E de la carga pun­ tiforme terminan normalmente en la superficie interna de la capa conductora. El recubrimien­ to de carga positiva en la pared externa de la capa conductora, sin embargo, permanece distribuida uniformemente. Por tanto, el campo externo parece originarse por una carga puntiforme situada en el centro de la capa. Lo que ocurre aquí es que, la carga inducida en la superficie interna, anula los efectos de la carga puntiforme para todos los radios ma­ yores que el radio de la pared interna. La carga positiva en la parte externa de la capa conductora se distribuye uniformemente en la superficie, como si no estuviese afectada por la combinación de la carga puntiforme y la carga de la pared interna. Ahora podemos efectuar un experimento que es parecido al famoso experimento del ci­ lindro de Faraday. Tocamos con la carga puntiforme Q a la pared interna o conectamos un hilo conductor entre Q y la pared interna; circulará una corriente unos breves instantes hasta que las cargas de la pared interior y de la carga puntiforme se reduzcan a cero. Ahora nos queda solamente la carga externa superficial ps en la capa esférica. En cuanto concierne al campo exterior a la capa esférica, no ha tenido lugar cambio alguno y la variación del campo, mostrada en la figura 2.9, en el exterior de la capa es nula. Este ejem­ plo demuestra que la carga que estaba inicialmente en la carga puntiforme, se ha transfe­ rido enteramente a la parte externa del conductor. Si conectásemos un hilo conductor entre la parte externa de la capa y tierra, circularían electrones desde tierra a la superficie externa descargándola. Esto nos conduciría a una estructura descargada, la carga puntiforme se ha transferido a tierra. Nótese que tierra (denotado usualmente por el símbolo 4-) puede considerarse como un objeto descargado a potencial nulo que posee un número infinito de cargas positivas y negativas y que siempre acepta el exceso de cargas de cualquier objeto que se conecte a ella.

C onductores y cargas

90

Campo eléctrico dentro de un recinto metálico Si consideramos un recinto metálico hueco vacío, como ei que se representa en la figura 2.10, podemos demostrar que el campo eléctrico en el interior es nulo. Tomemos una superficie cerrada S, justo en el interior de las paredes internas del recinto. Ya que no hay carga encerrada, la ley de Gauss para S¡ nos da (2.49) y podemos deducir que I); = 0 dentro del recinto. Se demostrará que el campo interior se anula incluso si el recinto esfá cargado, como se muestra en la figu­ ra 2.10b, con el exceso de carga distribuido en la superficie externa; también es válido cuando el recinto está inmerso en un campo externo Ea, como se indica en la figura 2.10c, donde las cargas inducidas se distribuirán en la superficie exte­ rior. Podemos deducir que un conductor cerrado, incluso el que tiene pequeños orificios, tales como mallas o rejillas, actúa como una pantalla eléctrica para los aparatos que están dentro del recinto. 1 odos los campos eléctricos exteriores que­ darán apantallados y no podrán influir sobre el campo E nulo en el interior de la cavidad.

ib)

W) Fio. 2.10. (a) Recinto metálico hueco de cinto cargado, con el exceso de carga en la tro de un campo exterior; (d) un contorno parcialmente dentro

forma arbitraria; ( b) el mismo re­ superficie externa; (c) el recinto den­ cerrado S parcialmente en el metal y de la cavidad.

Ahoia adoptemos un punto de vista más ajustado a nuestra conclus eampo eléctrico nulo dentro de la cavidad de un recinto metálico. ¿Si exami la ecuación (2.49) no podríamos decir que existe ui¡ campo estático de cargas positivas y negativas en cantidades equivalentes, distribuidas de ciei riera en la superficie interna, por ejemplo, como se indica en la figura 2.10 d riamos entonces un campo eléctrico en el interior que partiría de las carga tivas y acabaría en las negativas, como se indica en ia figura 2.10c?. Esta ii aunque parezca plausible, no lo es. Implica que la superficie interna del 1 no es equipotencial. Ya que sabemos que las superficies conductoras deb equipotenciales, las cargas opuestas se moverán unas hacia las otras anuí; mutuamente y volviendo equipotencial la superficie interna. Matemáticament de demostrarse usando las ecuaciones (1.12) o (1.61) que establecen que 1 grai a lo largo de una línea cerrada en un campo electrostático debe ser nula cando (1.12) al contorno S en la figura 2.1 Ck/, hallamos que •j