Electrocinétique Sup

c Boukaddid

[LE,RO]1 [LO] [RE]

Cours ´electrocinetique

sup TSI

plain

Lois g´ en´ erales dans le cadre de l’approximation des r´ egimes quasi-permanents

Table des mati` eres 1 D´ efinitions 1.1 Approximation des regimes quasi-permanents A.R.Q.P 1.2 Courant ´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Types de courants . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Effets de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Intensit´e du courant i(t) . . . . . . . . . . . . . 2 Lois de Kirchhoff 2.1 Caract´eristiques d’un circuit ´electrique 2.2 Lois de Kirchhoff en regime permanent 2.2.1 Lois des Noeuds . . . . . . . . . 2.2.2 Loi des mailles . . . . . . . . .

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3 Classification des dipˆ oles ´ electrocin´ etiques 3.1 Aspect ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Convention alg´ebrique thermodynamique 3.1.2 Puissance ´electrique P . . . . . . . . . . 3.1.3 Convention recepteur ou g´en´erateur . . . 3.2 Caract´eristique tension courant d’un dipˆole . . . 3.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Caract´eristique statique ou dynamique . 3.3 Dipˆole actif ou passif . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Dipˆole lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 2 2 2 2 3 3

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3 3 4 4 4

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5 5 5 5 6 6 6 6 7 7

1/7

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Cours ´electrocinetique

sup TSI

Lors de l’´etude des circuits ´el´ectriques ,nous rencontrons : • R´egimes permanents : La grandeur physique G ne varie pas dans le temps : G(t + dt) = G(t) ⇒

∂G =0 ∂t

• R´egimes variables : La grandeur physique G varie en fonction du temps G(t + dt) 6= G(t) donc on doit pr´eciser la grandeur G en un point M du circuit G(M, t) On s’interesse dans ce chapitre aux r´egimes lentement variables,ou quasi-permanent .

1 1.1

D´ efinitions Approximation des regimes quasi-permanents A.R.Q.P

Il consiste `a n´egliger le temps de propagation devant un temps cract´eristique de la variation du signal . • Exemples : Un circuit de longueur L = 1m 1 L = = 3.10−9 s Le temps de propagation est de l’ordre de : τ = C 3.108 Pour rester dans L’A.R.Q.P,la p´eriode du signal doit ˆetre T >> τ ⇒ f 0 le courant et la diff´erence de potentiel ont un sens inverse (car le sens r´eel du courant est celui des potentiels d´ecroissant) le dipˆole re¸coit alors de l’´energie ´electrique . I Dipˆole g´en´erateur : P = uAB .iAB < 0 le courant et la diff´erence de potentiel ont le mˆeme sens , le dipˆole fourni de l’´energie .

5/7

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3.1.3

Cours ´electrocinetique

sup TSI

Convention recepteur ou g´ en´ erateur

I Convention recepteur : P = uAB .iAB > 0 I Convention g´en´erateur : P = uAB .iAB < 0 iAB

A

B

B

A iAB D

D

UAB

UAB convention recepteur

3.2 3.2.1

convention g´en´erateur

Caract´ eristique tension courant d’un dipˆ ole D´ efinition

Soit un dipˆole (D) quelconque ´etudi´e en convention recepteur . On appelle caract´eristique courant tension du dipˆole D la courbe representant les variations du courant i en fonction de la tension u i M iM

u uM

Tout point M (uM , iM ) de la caract´eristique est un point de fonctionnement du dipˆole D 3.2.2

Caract´ eristique statique ou dynamique

I Caract´eristique statique : L’ensemble des points (u,i) obtenus en r´egime continu (permanent). • Si la courbe obtenue est sym´etrique par rapport `a l’origine le dipˆole est dit sym´etrique (on peut permuter ses bornes de connexion). • Si la courbe obtenue est dissymetrique par rapport a` l’origine ,le dipˆole est dit non sym´etrique ou polaris´ee.

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Cours ´electrocinetique

sup TSI

I Caract´eristique dynamique : l’ensemble des points (u,i) obtenus en r´egime variable . En g´en´eral elle ne correspond pas au d´eplacement du point de fonctionnement sur la caract´eristique statique .

3.3

Dipˆ ole actif ou passif

I Dipˆole actif : sa caract´eristique statique ne passe pas par l’origine (pile,alimentation stabilis´ee...) I Dipˆole passif : Sa caract´eristique statique passe par l’origine (toujours recepteur).

3.4

Dipˆ ole lin´ eaire

Un dipˆole est lin´eaire si la tension u(t) entre ses bornes et le courant qui le traverse i(t) sont li´ees par une ´equation diff´erentielle a` co´efficients constants : N X

M

dn u(t) X dm i(t) + = F (t) an bm dtn dtm n=0 m=0

En regime continu a0 u + b 0 i = F C’est une relation affine entre u et i ⇒ la caract´eristique statique d’un dipˆole lin´eaire est une droite . Exemples : I Ordre 0 : R´esistance U (t) = R.i(t) du(t) I Ordre 1 : Condensateur i(t) = c dt di(t) Bobine u(t) = L dt

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Cours ´electrocinetique

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El´ ements de circuits lin´ eaires en regime continu ou quasi-permanent

Table des mati` eres 1 Dipˆ oles passifs lin´ eaires fondamentaux : R,L,C 1.1 Conducteur ohmique ou r´esistor R . . . . . . . . . 1.1.1 Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mod`ele microscopique . . . . . . . . . . . 1.1.3 Aspect ´energ´etiques . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Groupement de r´esistor . . . . . . . . . . . 1.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Aspect ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Groupement des condensateurs ideaux . . 1.3 Bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Aspect ´energetique pour une bobine ideale 1.3.2 Groupement de bobines ideales . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2 2 2 2 3 4 5 5 6 7 7 7

2 Diviseur de tension ou de courant 2.1 Pont diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 8

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3 Dipˆ oles actifs 3.1 Source de tension (source ind´ependante de tension) . 3.1.1 Source lin´eaire ideale . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Mod`ele de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Source de courant (source ind´ependante de courant ) 3.2.1 Source ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Mod`ele de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Equivalence Thevenin-Norton . . . . . . . . .

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9 9 9 9 9 9 10 10

4 Groupement de dipˆ oles actifs lineaires 4.1 Groupement serie : mod´elisation de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Groupement parall`ele : mod`ele de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11

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1

Cours ´electrocinetique

sup TSI

Dipˆ oles passifs lin´ eaires fondamentaux : R,L,C

1.1

Conducteur ohmique ou r´ esistor R

La resistance est constitu´ee soit par un d´epˆot de carbone ou d’oxyde m´etallique sur un isolant soit par un enroulementd’un fil conducteur. 1.1.1

Loi d’Ohm

un conducteur ohmique ou r´esistor satisfait a` la loi d’Ohm : u = r.i ou i = G.u R : r´esistance en ohm (Ω) 1 G= conductance en Siemens(s) R i

i R u u Les caract´eristiques statiques et dynamiques sont confondues . Il s’agit d’un dipˆole sym´etrique . 1.1.2

Mod` ele microscopique

La r´esistance R ne d´epend que de la nature du conducteur et ses caract´eristiques g´eom´etriques et pas de son ´etat ´el´ectrique (u,i) . •Application : R´esistance d’un conducteur cylindrique homog`ene Soit un fil m´etallique cylindrique homog`ene d’axe (ox) de section s et de r´esistivit´e ρ , aliment´e par un courant continu I . • r´esistance R d’une longueur l du fil On admet −−→ → − E = −grad(V ) et − → − → dV = − E . dl

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Cours ´electrocinetique

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S x

V(x+l)

V(x) La loi d’Ohm local → − → − E = ρ. j → − j : densit´e volumiqueZde courantZ x+l V (x) − V (x + l) = − dv = x

x+l

E.dx = ρ.j.l (en r´egime permanent E et j sont

x

des constantes) or i = j.s ⇒ u = v1 − v2 = R.i avec R = ρ.

l s

•R´esultat Pout tout conducteur de section s constante on a :

R = ρ.

l s

avec R : r´esistance (Ω) ρ : la r´esistivit´e (Ω.m) l : la longueur du conducteur (m) s : la section du conducteur (m2 ) • Remarque : La r´esistance d’un conducteur m´etallique est une fonction croissante de la temp´erature. 1.1.3

Aspect ´ energ´ etiques

Le passage d’un courant dans un r´esistor se manifeste par un ´echauffement du milieu conducteur, ce ph´enom`ene est appel´e effet Joule,qui s’interpr`ete par l’´echanges ´energ´etiques entre les ´electrons mobiles (acc´eler´es par le champ ´electrique) et les ions fixes du r´eseau `a la suite des collisions. La puissance consomm´ee par le r´esistor s’´ecrit : P =

u2 δW = u.i = R.i2 = dt R

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1.1.4

Cours ´electrocinetique

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Groupement de r´ esistor

1. Groupement en serie

Ai

B

R2

R1

u1

A

i

Rn un

u2

B

Req

u

u u=

n X k

uk =

X

Rk .i = Req .i avec Req la r´esistance ´equivalente entre A et B .

k

Req =

n X

Rk

k

2. Groupement prall`ele R1

i1 A i

B

Ai Req

in Rn

La loi des noeuds : i =

n X k

u

u n X u u ik = = Rk Req k n

X 1 1 = Req Rk k=1 •Application : Shunt Un shunt est une r´esistance de faible valeur s que l’on monte en parall`ele avec une r´esistance R u i R

s i’ 4 / 13

B

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i = Geq .u = (

Cours ´electrocinetique

sup TSI

1 1 1 1 + )u or s 0 la loi des mailles : E = u + Ri avec i = C RC

du donc dt

du +u=E dt

On pose τ = RC : constante du temps du circuit RC τ

du +u=E dt

La solution de cette ´equation s’´ecrit sous la forme u(t) = u1 (t) + u2 (t) u1 : solution g´en´erale de l’´equation : ´equation sans s´econde membre u2 : solution particulier de l’´equation compl`ete t u1 (t) = k exp(− ) τ u2 = cte ⇒ u2 = E donc t u(t) = k exp(− ) + E τ on d´etermine la constante k par les conditions initales a` t = 0 u(0) = 0 ⇒ k + E = 0 ⇒ k = −E finalement t u(t) = E(1 − exp(− )) τ i(t) = C

du E t = exp(− ) dt R τ

u

i

E R

E 0,63E 0, 37 τ

t

E R t

τ

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c

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Cours ´electrocin´etique

sup TSI

• Remarque :on observe : I une continuit´e de la tension u(t) en t = 0 I Une discontinuit´e du courant i(t) en t = 0 1.2.3

R´ egime transitoire-temps de relaxation

• Pour t >> τ u ≈ E le syst`eme se trouve alors en un r´egime ´etabli ind´ependant du temps . • Soit tn la dur´ee n´ecessaire au syst`eme pour approcher le r´egime ´etabli ut = E a` 10−n pr´es (n = 2.3...) E − u(tn ) tn ut − u(tn ) = 10−n = = exp(− ) ut − u(0) E τ tn = 2, 3nτ τ : de l’ordre de grandeur du r´egime transitoire est appel´ee temps de relaxation • ordre de grandeur R = 103 Ω, C = 0, 1µF ⇒ τ = 10−4 s 1.2.4

Temps de mont´ e

On appelle le temps de mont´ee du signal la dur´ee tm n´ecessaire a` la tension pour passer de 100 /0 a` 900 /0 de sa valeur finale. u(t)

E 0, 9E 0, 1E t t1

tm

t2

t1 t1 u(t1 ) = E(1 − exp(− )) = 100 /0 E = 0, 1E ⇒ exp(− ) = 0, 9 ⇒ t1 = 0, 1τ τ τ t2 u(t2 ) = E(1 − exp(− )) = 900 /0 E = 0, 9E ⇒ t2 = 2, 3τ τ tm = t2 − t1 = 2, 2τ 1.2.5

Aspect ´ energ´ etique

u + Ri = E en multipliant par i = C

du dt

d 1 2 ( Cu ) + Ri2 = Ei dt 2 4 / 14

c

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Cours ´electrocin´etique

sup TSI

Ei : puissance fournie par le g´en´erateur Ri2 : puissance li´ee `a l’effet joule dans la r´esistance 1 2 Cu = Ee : ´en´ergie ´electrique emmagasin´ee dans le condensateur Z E Z ∞ Z2 E Z ∞ 1 2 2 ECdu = CE 2 Eidt = Ri dt = d( Cu ) + 2 0 0 0 0 Z ∞ 1 1 wJ = Ri2 dt = CE 2 − CE 2 = CE 2 2 2 0

1.3 1.3.1

D´ echarge d’un condensateur - R´ egime libre R´ egime libre d’un circuit R,C

Le r´egime libre (ou propre ) caract´erise l’´evolution du circuit RC en l’absence de la source . R

(1) k

(2) u

E

C

a` t < 0 k se trouve dans la position (1) qui permet la charge du condensateur .Apr´es quelques τ u atteint la valeur de E a` t = 0 k bscule vers la position (2) , le circuit RC se trouve dans le r´egime libre la continuit´e de u aux bornes de C : u(0+ ) = u(0− ) = u0 = E du et u + Ri = 0 ⇒ i=C dt u+τ

du =0 dt

avec τ = RC t la solution de cette ´equation s’´ecrit sous la forme u(t) = k exp(− ) , avec u(0) = E = k τ donc t u(t) = E exp(− ) τ i=C

du E t = − exp(− ) dt R τ

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c

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Cours ´electrocin´etique

sup TSI

i

u

τ −0, 37 0, 37E t

−

τ continuit´e de u en t = 0

1.3.2

t

E R

E R

discontinuit´e de i en t = 0

Aspect ´ energ´ etique

En multipliant l’´equation u + Ri = 0 par idt = Cdu 1 Cudu + Ri2 dt = d( Cu2 ) + Ri2 dt = 0 2 l’int´egration entre t = 0 et t = ∞ (quelques τ ) on obtient : Z

∞

wJ = 0

1 Ri2 dt = CE 2 2

Le condensateur restitue ,au cours de la d´echarge ,sous forme d’effet Joule l’´energie qu’il avait emmagasin´ee pendant la charge .

2 2.1

R´ egime transitoire d’un circuit RL R´ eponse d’un circuit RL ` a un ´ echelon de tension (1) K

R

(2) L

u

E

Pour t < 0,le courant circulant dans le circuit RL est suppos´e nul . k est plac´e en position (1) a` t = 0 6 / 14

c

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Cours ´electrocin´etique

sup TSI

la continuit´e du courant dans la bobine se traduit par i(0− ) = i(0+ ) = 0 di pour t > 0 : E = Ri + u = Ri + L dt i+τ

E di = dt R

L avec τ = temps de relaxation R la solution de cette ´equation s’´ecrit sous la forme

i(0) = 0 ⇒ k = −

i(t) =

E t + k exp(− ) R τ

i(t) =

E t (1 − exp(− )) R τ

E R

u(t) = L

t di = E exp(− ) dt τ u

i

iM =

E R

E

0, 63iM

t τ

t τ

continuit´e de i(t) en t=0

discontinuit´e de u(t) en t=0

• Aspect ´energ´etique di En multipliant E = Ri + L par idt dt 1 2 2 Eidt = Ri dt + d( Li ) Z ∞ Z ∞ 2 Z 1 2 Eidt = Ri dt + d( Li2 ) 2 0 0 1 wg = wJ + Li2M 2 E avec : iM = R wg : l’´energie fournie par le g´en´erateur wJ : l’´energie dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance 7 / 14

c

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2.2

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

R´ egime libre du circuit RL (1)

R

i (2)

u

L

E

E dans le a` t < 0 k est dans la position (1),on attend l’´etablissement du courant iM = R circuit . a` t = 0 on bascule l’interrupteur k vers la position (2) , le circuit se trouve a` t > 0 dans le r´egime libre . La continuit´e du courant en 0 : i(0− ) = i(0+ ) = iM . di di L u + Ri = L + Ri = 0 ⇒ τ + i = 0, τ = dt dt R t i(t) = k exp(− ) avec i(0) = iM = k τ t i(t) = iM exp(− ) τ u=L

di t = −RiM exp(− ) dt τ

i

u τ

t

iM

t

−RiM

τ

• Bilan ´energ´etique di 1 Multiplions L + Ri = 0 par idt on obtient d( Li2 ) + Ri2 dt = 0 dt 2 par int´egration entre t = 0 et t1 >> τ : 1 wJ = Li2M 2 L’´energie ´electromagn´etique initiale dans la bobine est totalement dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance . 8 / 14

c

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3

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

R´ egime libre d’un circuit RLC

3.1

Conditions initiales

Pour r´esoudre les ´equations d’un circuit RLC il es n´ecessaire d’utilser les conditions initiales et les deux conditions suivantes : I La continuit´e du courant i (circulant dans la bobine) I La continuit´e de la tension u aux bornes du condensateur

3.2

Equation diff´ erentielle - Facteur de qualit´ e - Pulsation propre R

i

uR L

uL

uc

C q

di du + Ri + u = 0; i = c dt dt 1 d2 u R du + + u=0 dt2 L dt Lc

L

d2 u du + 2λ + ω02 u = 0 dt2 dt R : Coefficient d’amortissement 2L 1 ω0 = √ : pulsation propre Lc On d´efinit le facteur de qualit´e du circuit RLC par λ=

1 1 Lω0 = = Q= R Rcω0 R

r

L c

d2 u ω0 du + + ω02 u = 0 2 dt Q dt de mˆeme l’´equation en charge q : q = cu d2 q ω0 dq + + ω02 q = 0 dt2 Q dt

9 / 14

c

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3.3

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

Divers r´ egimes de variation

l’´equation caract´eristique de l’´equation diff´erentielle r2 + 2λr + ω02 = 0 avec λ = ∆0 = λ2 − ω02 = ω02 ( 3.3.1

ω0 2Q

1 − 1) 4Q2

R´ egime ap´ eriodique

r L 1 Pour un amortissement ´elev´e ∆ > 0 ⇒ λ > ω0 ⇒ Q < ⇒ R > 2 2 c q r1,2 = −λ ± λ2 − ω02 donc 0

q q 2 2 u(t) = exp(−λt)(a exp( λ − ω0 t) + b exp(− λ2 − ω02 t)) • Portrait de phase du en fonction de u(t) . C’est la repr´esentation de dt Pour un signal sinusoidal le portrait de phase est un ´ellipse du dt

u(t)

u Q1 > Q2 > Q3 Q3 Q1

Q2 t

Les trajectoires de phase montrent un retour sans oscillation vers le point attracteur `a l’origine . 10 / 14

c

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Cours ´electrocin´etique

sup TSI

• Ordre de grandeur de la dur´ee du r´egime libre q t Pour t suffisament ´elev´e : u(t) ≈ a exp(−(λ − λ2 − ω02 )t) = a exp(− ) τ p λ + λ2 − ω02 1 p = τ= ω02 λ − λ2 − ω02 La dur´ee du r´egime libre est de quelques τ varie avec le facteur de qualit´e Q . 3.3.2

R´ egime critique

r 1 L ∆ = 0, λc = ω0 , Qc = , Rc = 2 2 c 0

u(t) = (a + bt) exp(−ω0 t) • Ordre de grandeur du r´egime libre

τc =

1 ω0 du dt

u

u

Qc =

1 2

Qc = t

Portrait de phase

Le syst`eme tente encore `a contourner l’origine dans le sens horaire mais ne peut y parvenir : il ´echoue rapidement au point o . 3.3.3

R´ egime pseudo-p´ eriodique

r 1 L Pour un amortissement faible : ∆0 < 0; λ < ω0 ; Q > ; R < 2 2 c q 2 r1,2 = −λ ± i ω0 − λ2 = −λ ± iΩ 11 / 14

1 2

c

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Cours ´electrocin´etique Ω=

sup TSI

q ω02 − λ2

Ω : pseudo-pulsation la solution est : u(t) = a exp(−λt) cos(Ωt + ϕ) a; ϕ sont des constantes d’int´egration ω0 λ= 2Q r Ω = ω0

1−

1 < ω0 4Q2

• Pseudo-p´eriode T la p´eriode propre T0 = la pseudo-p´eriode :

2π ω0

T =

T0 2π =r > T0 Ω 1 1− 4Q2

• D´ecr´ement logarithmique u(t + T ) = exp(−λT )u(t) δ = λT =

2π T ω0 r 0 =p 2Q 1 4Q2 − 1 1− 4Q2

δ = ln[

u(t) ] u(t + T )

la dur´ee du r´egime pseudo-p´eriodique τ=

1 2Q = λ ω0

•Portrait de phase

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c

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4

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

R´ eponse d’un circuit RLC s´ erie ` a un ´ echelon de tension

4.1

R´ egime transitoire-R´ egime libre R

i

E

L

u

l’´equation diff´erentielle : d2 u ω0 du + + ω02 u = ω02 E dt2 Q dt la solution de cette ´equation s’´ecrit sous la forme : u(t) = u1 (t) + E avec : I E : solution particuli`ere I u1 (t) : solution g´en´erale u1 (t) correspond au r´egime libre (ap´eriodique-critique-pseudo-p´eriodique) . Pendant la dur´ee de l’existence du r´egime libre le circuit RLC se trouve en r´egime transitoire ,cependant au bout de quelques τ on parvient a` un r´egime ´etabli ind´ependant du temps u1 = 0; u = E . Le r´egime ´etabli ne d´epend pas des conditions initiales (i0 , u0 ) car u1 (t) → 0 lorsque t→∞.

4.2

Aspect ´ energ´ etique

di En multipliant l’´equation E = L + Ri + u par idt = cdu dt 1 2 1 2 2 Eidt = d( Li + cu ) + Ri dt = dE + δwJ 2 2 l’int´egration entre t = 0 et t = ∞ 13 / 14

c

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Cours ´electrocin´etique

sup TSI

Z ∞ 1 2 1 2 2 2 Ri2 dt dq = L(i∞ − i(0) ) + c(u(∞) − u(0) ) + E 2 2 0 q(0) avec : q(0) = u(0) = i(0) = 0 et q(∞) = cE ;u(∞) = E ; i(∞) = 0 Z

q(∞)

1 1 cE 2 = cE 2 + wJ ⇒ wJ = cE 2 2 2 I La bobine n’intervient pas dans le bilan ´energ´etique globale de la charge du condensateur . I L’´energie fournie par le g´en´erateur se r´epartit a` ´egalit´e entre la r´esistance (effet Joule) et le condensateur .

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c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

R´ egime sinusoidal forc´ e d’un circuit RLC

Table des mati` eres 1 Diagramme de Fresnel 1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Application : Etude d’un circuit RLC 1.2.1 Dipˆoles fondamentaux . . . . 1.2.2 Groupement R,L,C . . . . . .

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2 2 3 3 4

2 M´ ethode des grandeurs complexes-Imp´ edance complexe 2.1 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Application a` une grandeur alternative sinusoidale . 2.1.4 D´eriv´ee et primitive en notation complexe . . . . . 2.2 Lois de Kirchhoff en notation complexe . . . . . . . . . . . 2.3 Imp´edance complexe-Admittance complexe . . . . . . . . . 2.3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Dipˆoles fondamentales R,L,C . . . . . . . . . . . . 2.4 Groupement s´erie de dipˆoles passifs . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Imp´edance ´equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cas du RLC s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Groupement parall`ele de dipˆoles passifs . . . . . . . . . . .

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5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9

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3 Th´ eor` emes g´ en´ eraux 4 R´ esonance d’un circuit RLC 4.1 r´esonance en intensit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Intensit´e ´efficace du circuit . . . . . . . . . . 4.1.2 R´esonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 R´esonance en tension aux bornes du condensateur . 4.2.1 Tension ´efficace aux bornes du condensateur 4.2.2 R´esonance en tension . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . .

9

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10 10 10 10 11 11 12 12 13 13

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c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

On s’interesse a` un circuit RLC,soumis a` une tension sinusoidale . Le r´egime sinusoidal forc´e s’´etablit rapidement apr`es extinction du r´egime transitoire .

1

Diagramme de Fresnel

1.1

D´ efinitions

• Diagramme de Fresnel : Il s’agit d’une repr´esentation vectorielle des grandeurs sinusoidales . • Vecteur de Fresnel : Il s’agit d’un vecteur repr´esentant une grandeur sinusoidale . −→ Consid´erons un vecteur OP de module Vm tournant autour du poit O dans le sens trigonom´etrique avec une vitesse angulaire ω constante . −−→ −→ On choisit l’axe OX de r´ef´erence tq :(OX, OP ) = ϕ a` t = 0 Y P

ωt + ϕ X O

H

H la projection de P sur OX OH = OP cos(ωt + ϕ) = Vm cos(ωt + ϕ) • R´esultat : a` toute grandeur sinusoidale on peut faire correspondre un vecteur de Fresnel . −→ v(t) = Vm cos(ωt + ϕ) ⇔ OP tq : −→ ||OP || = Vm l’amplitude de v(t) −−→ −→ (OX, OP ) = ωt + ϕ la phase instantann´ee I Somme de deux grandeurs sinusoidales Soient : v1 (t) = V1m cos(ωt + ϕ1 ) et v2 (t) = V2m cos(ωt + ϕ2 ) des grandeurs −−→ −−→ sinusoidales associ´ees aux vecteurs OP1 et OP2 −→ −−→ −−→ OP = OP1 + OP2 donc v = v1 + v2 = Vm cos(ωt + ϕ)

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c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

P P2

ϕ2

P1

ϕ ϕ1

X O I D´eriv´ee et primitive d’une grandeur sinusoidale −→ v(t) = Vm cos(ωt + ϕ) ⇔ OP −−→ π dv(t) = −ωVm sin(ωt + ϕ) = ωVm cos(ωt + ϕ + ) ⇔ OP1 dt 2 dv • R´esultat : la grandeur est en quadrature avance par rapport `a v(t) dt Z −−→ Vm Vm π vdt = sin(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ − ) ⇔ OP2 ω 2 Z ω • R´esultat : la grandeur

vdt est en quadrature retard par rapport a` v(t)

P1

π 2

P ϕ

O

π − 2

X

P2

1.2 1.2.1

Application : Etude d’un circuit RLC Dipˆ oles fondamentaux

Par analogie avec la loi d’Ohm : Um = ZIm et Im = Y Um Um : Amplitude de la tension Im : Amplitude du courant Z : Imp´edance modulaire (Ω) Y : Admittance modulaire (Ω−1 ou siemens s) 3 / 13

c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

Um cos(ωt) I R´esistance pure : u(t) = Um cos(ωt) = Ri(t) ⇒ i(t) = R En prenant comme axe de r´ef´erence la tension,nous obtenons un diagramme tr´es simple . ϕ=0 Im Um

Z=R I Bobine pure

di(t) Um : u(t) = L = Um cos(ωt) ⇒ i(t) = dt L

Z cos(ωt)dt =

Um sin(ωt) Lω Um π Um π i(t) = cos(ωt − ) ⇒ Im = ; ϕ = − ; Z = Lω Lω 2 Lω 2 Um − Im

+

π 2

Z = Lω π ϕ=− 2 • Resultat : Le courant est en quadrature retard par rapport `a la tension . q(t) = Um cos(ωt) I Condensateur : u(t) = C dq π i(t) = = −CωUm sin(ωt) = CωUm cos(ωt + ) dt 2 π On d´eduit : Im = CωUm et ϕ = + 2

Im

π 2 Um + Z= ϕ=

1 Cω π 2

• Resultat : Le courant est en quadrature avance par rapport `a la tension . 1.2.2

Groupement R,L,C

En serie la grandeur commune est l’intensit´e on la choisit comme axe de r´ef´erence . i(t) = Im cos(ωt)

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c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

i

L

R

u1

sup TSI C

u3

u2 u

u1 (t) = RIm cos(ωt) = U1m cos(ωt) π π u2 (t) = Lω cos(ωt + ) = U2m cos(ωt + ) 2 2 Im π π u3 (t) = cos(ωt − ) = U3m cos(ωt − ) Cω 2 2 U2m

Im axe de r´ef´erence

U1m ϕ

U3m − U2m

Um

U3m 1 − Lω)2 ]i2m Cω r 1 Z = R2 + ( − Lω)2 Cω

2 2 Um = U1m + (U3m − U2m )2 = [R2 + (

tan ϕ =

1 Cω

cos ϕ =

2 2.1 2.1.1

− Lω R R Z

M´ ethode des grandeurs complexes-Imp´ edance complexe Notation complexe Pr´ eliminaire

En physique pour ne pas confondre le nombre d’Hamilton i tq i2 = −1 avec l’intensit´e du courant on note j 2 = −1 . Un nombre complexe peut se mettre sous la forme 5 / 13

c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

z = a + jb = r(cos θ + j sin θ) = r exp jθ a : partie r´eelle b : partie imaginaire r : module θ : argument −−→ − → On peut lui associer un vecteur OM dans le plan complexe (− u→ X , uY ) Y

M

b r − u→ Y O − u→ X

θ

r=

√ a2 + b 2

tan θ = 2.1.2

X

a

b a

propri´ et´ es

I z1 = z2 ⇒ a1 = a2 ; b1 = b2 ⇔ r1 = r2 ; θ1 = θ2 I z = z1 z2 ⇔ r = r1 r2 ; θ = θ1 + θ2 r1 z1 ⇔ r = ; θ = θ1 − θ2 I z= z2 r2 I z = a + jb ⇔ z ∗ = a − jb; z ∗ = (r, −θ) √ I L’expression du module de z est r = z.z ∗ I La condition z r´eel se traduit par z = z ∗ I La condition z imaginaire se traduit par z = −z ∗ 2.1.3

Application ` a une grandeur alternative sinusoidale

Consid´erons les grandeurs sinusoidales : u(t) = Um cos(ωt) et i(t) = Im cos(ωt + ϕ) On peut leur faire correspondre les grandeurs complexes : u(t) = Um exp jωt et i(t) = Im exp(jωt + ϕ) seules les parties r´eelles ont un sens physique . Usuellement on pose I m = Im exp jϕ l’intensit´e maximale complexe de i(t) i(t) = I m exp jωt avec |I m | = Im : intensit´e maximale de i argI m = ϕ : phase a` l’origine de i(t)/u(t) 6 / 13

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2.1.4

Cours d’´electrocinetique

D´ eriv´ ee et primitive en notation complexe

i(t) = I m exp jωt ⇒

Z i(t)dt =

di = jωI m exp jωt dt di = jωi(t) dt

1 I exp jωt jω m Z i(t)dt =

2.2

sup TSI

1 i(t) jω

Lois de Kirchhoff en notation complexe

Dans le cadre de l’ARQP,en r´egime sinusoidal les lois de Kirchhoff se g´en´eralisent en notation complexe : I Loi des Noeuds X

εk i k = 0

k

I Loi des mailles X

εk uk = 0

k

2.3 2.3.1

Imp´ edance complexe-Admittance complexe D´ efinitions i D u

Par analogie avec la loi d’Ohm : u = Z.i ⇔ i = Y .u Z : Imp´edance complexe 1 admittance complexe Y = Z u(t) = Um exp jωt et i(t) = Im exp(jωt + ϕ) = I m exp jωt la relation pr´ecedente se simplifie en Um = Z.I m ϕ est le d´ephasage de i/u I En modules Um = Z.Im I Le d´ephasage 0 = arg Z + ϕ 7 / 13

c Boukaddid

2.3.2

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

Dipˆ oles fondamentales R,L,C

I R´esistance pure : u(t) = R.i(t) ⇔ u(t) = R.i(t) donc ZR = R ; Y R =

1 R

I Bobine pure di(t) di u(t) = L ⇔ u = L = jLωi dt dt Z L = jLω; Y L =

1 jLω

π |Z L | = Lω et ϕi/u = − arg Z = arg Y = − (quadrature retard) Z Z2 1 1 1 I Condensateur u(t) = i i(t)dt ⇔ u = idt = c c jcω Zc = ϕi/u =

2.4

1 ; Y = jcω jcω c

π (quadrature avance) 2

Groupement s´ erie de dipˆ oles passifs

2.4.1

Imp´ edance ´ equivalente Z2

Z1

u1

u2

ZN

Z eq

uN

u

u u=

X

Z k i = Z eq i

k

Z eq =

X

Zk

k

2.4.2

Cas du RLC s´ erie i

L

R

c

u i(t) = Im cos(ωt + ϕ) et u(t) = Um cos(ωt + ϕ) en utilisant les imp´edances complexes : Z = ZL + ZR + Zc 8 / 13

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Cours d’´electrocinetique Z = R + j(Lω −

Im =

sup TSI

1 ) cω

Um Um =r |Z| 1 R2 + (Lω − )2 cω Lω − tan ϕ = −

1 cω

R

avec cos ϕ > 0

2.5

Groupement parall` ele de dipˆ oles passifs D1

i DN

u i=

X k

ik =

X

Y ku

k

Y eq =

X k

3

Y k ; Z eq =

1 Y eq

Th´ eor` emes g´ en´ eraux

Les lois de kirchhoff et les th´eor`emes g´en´eraux qui d´ecoulent de la lin´earit´e du syst`eme se g´en´eralisent au r´egime sinusoidal dans le cadre de la repr´esentation complexe . Tout les th´eor`emes vu pr´ecedement restent valables a` condition de remplacer chaque dipˆole par son imp´edance complexe ou son admittance complexe .

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4

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

R´ esonance d’un circuit RLC

4.1 4.1.1

r´ esonance en intensit´ e Intensit´ e´ efficace du circuit c

i

L

R

u(t)

√ u(t) = U√ 2 cos ωt i(t) = I 2 cos(ωt + ϕ) En notation complexe √ u = U√ 2 exp jωt √ i = I 2 exp(jωt + ϕ) = I 2 exp jωt 1 u = Z.i avec Z = R + j(Lω − ) cω I exp jϕ =

U

1 R + j(Lω − ) cω On d´efinit :

1 cω

Lω − et ϕ(ω) = − arctan

R

1 I Pulsation propre du circuit : ω0 = √ Lc Lω0 1 I Facteur de qualit´e du circuit : Q = = R RCω0 ω I Pulsation r´eduite du circuit : X = ω0 U R

I(X) = r 1 1 + Q2 (X − ) X ϕ(X) = − arctan (Q(X − 4.1.2

1 )) X

R´ esonance

Il se produit le ph´enom`ene de r´esonance en courant lorsque l’intensit´e ´efficace I est 1 maximale ⇒ Xr − = 0 ⇒ Xr = 1 ⇒ ωr = ω0 et ϕ(Xr ) = 0 Xr • R´esultat : La pulsation de r´esonance en intensit´e est ´egale a` la pulsation propre du circuit, et le courant est en phase avec la tension `a la r´esonance quelque soit le facteur de qualit´e Q du circuit RLC s´erie . ωr = ω0 et ϕ(ωr ) = 0 10 / 13

c Boukaddid

4.1.3

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

Bande passante

` la r´esonance l’intensit´e ´efficace est maximale Imax = U . A R On appelle bande passante en pulsation r´eduite l’intervalle ∆X = X2 − X1 pour lequel Imax √ 6 I(X) 6 Imax 2 Imax 1 1 1 X I(X) = √ ⇒ 1 + Q2 (X − )2 = 2 ⇒ X − = ± ⇒ X2 ± − 1 = 0 on prend X X Q Q 2 les solutions positives 1 1 + X1 = − 2Q 2 1 1 + X2 = 2Q 2

r

r

1 +4 Q2

1 +4 Q2

La bande passante en pulsation r´eduite ∆X = X2 − X1 =

1 Q

La bande passante en pulsation ∆ω =

R ω0 = Q L

La bande passante est d’autant plus ´etroite que le facteur de qualit´e est plus ´elev´e . 4.1.4

Aspect graphique

I(x) → 0 lorsque X → 0 ou X → ∞ c’est le comportement limite du condensateur et du bobine . • Y c = jcω → 0 lorsque ω → 0 un condensateur se comporte comme une coupe circuit aux tr´es basses fr´equences . 1 • YL = → 0 lorsque ω → ∞ la bobine se comporte comme une coupe circuit aux jcω fr´equences ´elev´es .

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c Boukaddid

Cours d’´electrocinetique

sup TSI

I Imax Imax √ 2

X 1

X1

X2

ϕ π 2 π 4 X π 4 π − 2 −

4.2 4.2.1

R´ esonance en tension aux bornes du condensateur Tension ´ efficace aux bornes du condensateur i

R

u

L

C

uc

√ uc (t) = √ Uc 2 cos(ωt + φ) i(t) = I √2 cos(ωt + ϕ) u(t) = U 2 cos ωt Z u uc = c u = 1 Z jcω[R + j(Lω − )] cω

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c Boukaddid

Uc exp jφ =

Cours d’´electrocinetique

U U ⇒ Uc = p 2 1 − Lcω + jRcω (1 − Lcω 2 )2 + R2 c2 ω 2 Uc = s

U

(1 − X 2 )2 +

4.2.2

sup TSI

X2 Q2

R´ esonance en tension

Il existe une r´esonance en tension aux bornes du condensateur , lorsque la tension ´efficace Uc aux bornes du condensateur passe par un maximum pour une certaine ωr (ωr pulsation de r´esonance ) . valeur Xr = ω0 2 ` la r´esonance la fonction f (X) = (1 − X 2 )2 + X doit ˆetre minimale A Q2 1 df 1 ( )X=Xr = 0 ⇒ 2Xr [−2(1 − Xr2 ) + 2 ] = 0 ⇒ Xr2 = 1 − > 0 ce qui exige dx Q 2Q2 r 1 1 6= ω0 Q > √ donc ωr = ω0 1 − 2Q2 2 1 Pour Q < √ pas de r´esonance . 2 1 • R´esultat : La r´esonance en tension exige Q > √ 2 r 1 La pulsation de r´esonance en tension ωr = ω0 1 − 2Q2 1 π • D´ephasage : U cm = I cm ⇒ φ = ϕ − jcω 2 La courbe repr´esentant φ en fonction de ω se d´eduit directement `a partir de la courbe π ϕ = f (ω) par un simple d´ecalage vers le bas de − . 2 4.2.3

Aspect graphique

Uc

φ 1

Q = 1, 5 Q=1

−

X

π 2

Q = 0, 5 −π X

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c Boukaddid

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

Puissance en r´ egime sinusoidal

Table des mati` eres 1 Puissance instantan´ ee 1.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2

2 Puissance moyenne 2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Puissance moyenne d’un r´esistor - grandeurs ´efficaces . . . . . . . . . . 2.3 Puissance moyenne en r´egime sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 3

3 Puissance en notation complexe 3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Adaptation d’imp´edance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5

1/5

c Boukaddid

1 1.1

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

Puissance instantan´ ee Expression D

i

u Dans le cadre de la convention recepteur la puissance consomm´ee par un dipˆole ´electrocin´etique (D) est d´efinie par : P (t) = u(t).i(t) En r´egime sinusoidal u(t) = Um cos ωt et i(t) = Im cos(ωt + ϕ) Um .Im [cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)] P (t) = Um Im cos ωt. cos(ωt + ϕ) = 2 Donc la puissance P (t) est une fonction p´eriodique de pulsation ωp = 2ω 2π T π La p´eriode Tp = = = ωp ω 2

1.2

Aspect graphique P

Um .Im cos ϕ 2 t

Tp

Au cours d’une p´eriode T le dipˆole se comporte r´eellement : • Comme un r´ecepteur si P > 0 • comme un g´en´erateur si P < 0

2 2.1

Puissance moyenne D´ efinition

Dans le cas de signaux p´eriodiques (u(t) et i(t)) on d´efinit la puissance moyenne consomm´ee par un dipˆole ´electrocin´etique par : 2/5

c Boukaddid

Cours ´electrocin´etique Z

1 Pm = T

sup TSI

T

P (t)dt en watt : w 0

• Remarque : En r´egime sinusoidal cette puissance est appel´ee puissance active .

2.2

Puissance moyenne d’un r´ esistor - grandeurs ´ efficaces

En r´egime continu (I = cte) la puissance moyenne consomm´ee par ´effet Joule s’´ecrit Pm = U.I = R.I 2 En r´egime moyenne consomm´ee : Z variable la puissance Z 1 T 1 T 2 Pm = P (t)dt = Ri (t)dt T 0 T 0 • D´efinition : On appelle intensit´e ´efficace I la valeur de l’intensit´e du courant continu qui produirait le mˆeme effet Joule qu’en r´egime p´eriodique . Pm = R.I 2 donc l’intensit´e ´efficace est : 1 I = T 2

Z

T

i2 (t)dt

0

Pour un courant sinusoidal i(t) = Im cos(ωt + ϕ) 2 Z T 2 Z T Im Im 2 2 I = cos (ωt + ϕ)dt = (1 + cos(2(ωt + ϕ)))dt avec ωT = 2π T 0 2T 0 Im I=√ 2 • Valeur ´efficace d’une tension sinusoidale Il s’agit de la valeur quadratique moyenne de la tension u(t) = Um cos(ωt + ϕ) sur une p´eriode T . Um U=√ 2

2.3

Puissance moyenne en r´ egime sinusoidal

u(t) = Um cos ωt et i(t) = Im cos(ωt + ϕ) Um .Im [cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)] P (t) = u(t).i(t) = 2 Z Z 1 T Um .Im 1 T Pm = P (t)dt = [cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)dt] T 0 2 T 0 Pm =

Um .Im cos ϕ 2

√ √ avec Um = U 2 et Im = I 2 Pm = U.I cos ϕ I La puissance moyenne repr´esente la puissance active consomm´ee I Le produit U.I d´esigne la puissance apparente (V.A) du dipˆole 3/5

c Boukaddid

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

I cos ϕ est appel´e facteur de puissance • Exemples I Puissance moyenne d’un condensateur et d’une bobine π Pour un condensateur le courant est en avance de par rapport a` la tension 2 π Pour une bobine le courant est en retard de par rapport a` la tension 2 π Donc cos(± ) = 0 donc Pm = 0 2 Le condensateur et la bobine emmagasinent de l’´energie pendant une alternance et restituent cette ´energie lors de l’alternance suivante . I Cas de RLC s´erie i

L

R

uR

uL

C

uc

u u = uR + uL + uc Pm = PR + PL + Pc = PR = RI 2 La seule ´energie consomm´ee l’est par effet Joule dans la r´esistance .

3

Puissance en notation complexe

3.1

D´ efinition

On d´efinit la puissance complexe P consomm´ee par le dipˆole par 1 P = u.i∗ 2 i∗ complexe conjugu´e de i√ √ √ u = U 2 exp jωt et i = I 2 exp −jϕ exp jωt = I 2 exp jωt P = U .I ∗ = U.I exp jϕ P = U I(cos ϕ + j sin ϕ) I la puissance active ou moyenne (w) Pm = Rel(P ) I la puissance reactive (V.A) Im(P ) = pr

4/5

c Boukaddid

3.2

Cours ´electrocin´etique

sup TSI

Adaptation d’imp´ edance i

Zg

u D

e

Consid´erons un√dipˆole D d’imp´edance Z = R + jX,aliment´e par un g´en´erateur de f.e.m e(t) = E 2 cos ωt d’imp´edance interne Z g = Rg + jXg . La puissance moyenne consomm´ee par un dipˆole D est : Pm = Rel(Z).I 2 = R.I 2 e e E2 = ⇒ I2 = ⇒ loi de Poouillet : i = Zg + Z Rg + R + j(Xg + X) (Rg + R)2 + (Xg + X)2 RE 2 Pm = (Xg + X)2 + (Rg + R)2 Pm = f (R, X) ∂Pm ∂Pm )Xf ixe = 0 et ( )Rf ixe = 0 Pm est maximale : ( ∂R ∂X Pour simplifier les calculs on utilise la d´eriv´ee logarithmique 1 ∂Pm ∂ ln Pm 2(Xg + X) )R = ( )R = − = 0 donc X = −Xg ( Pm ∂X ∂X (Rg + R)2 + (Xg + X)2 ∂ ln Pm 1 2(Rg + R) Rg − R 1 ∂Pm ( )X = ( )X = − = = 0 donc 2 2 Pm ∂R ∂R R (Rg + R) + (Xg + X) R(Rg + R) R = Rg • R´esultat : Pm est maximum si Z = Zg∗ ⇒ R = Rg ; X = −Xg

5/5

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

Diagramme de Bode des filtres du premier et second ordre

Table des mati` eres 1 Fonction de transfert d’un circuit lin´ eaire 1.1 Ordre d’un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction de transfert harmonique H . . . . . . 1.3 Stabilit´e d’un circuit lin´eaire . . . . . . . . . . 1.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Crit`ere de stabilit´e en r´egime sinusoidal 1.3.3 Crit`ere de stabilit´e en r´egime libre . . .

. . . . . .

2 2 2 3 3 3 3

. . . . .

4 4 4 4 4 5

3 Filtre d’ordre un 3.1 Filtre passe bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 D´ephaseur ou filtre passe tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 7

. . . . . . . . . . . . . . . . forc´e . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 Diagramme de Bode d’un filtre 2.1 Gain en d´ecibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Pulsation de coupure ωc - bande passante a` −3dB 2.2.3 Diagramme asymptotique-diagramme r´eel . . . .

4 Filtres d’ordre 2 4.1 Filtre passe bas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . 4.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . 4.2.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . 4.3 Filtre passe bande d’ordre deux : r´esonance en 4.3.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . 4.3.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . 4.4 Filtre coupe bande . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 D´ephaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

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. . . . .

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. . . . .

. . . . . . . . . . .

8 8 8 9 11 11 12 12 12 13 14 15

5 Filtres actifs 5.1 Probl`eme des filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . intensit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

1 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

Le filtrage est une forme de traitement de signal qui consiste : I S´electionner une partie de l’information utile dans un signal et le transmettre (transmission de quelques fr´equences du signal et att´enuation des autres) I Eliminer les fr´equences parasites dans un signal I Un filtre est tout circuit lin´eaire r´ealisant l’op´eration filtrage

1 1.1

Fonction de transfert d’un circuit lin´ eaire Ordre d’un circuit Circuit d’´etude

e(t)

s(t)

Du fait de la lin´earit´e du syst`eme les signaux e(t) et s(t) sont reli´ees par une ´equation diff´erentielle de type : a0 s + a1

dn s de dm e ds + ... + an n = b0 e + b1 + ... + bm m dt dt dt dt

• D´efinition : On appelle ordre du circuit lin´eaire,l’ordre de l’´equation diff´erentielle lin´eaire associ´ee c’est-`a-dire l’ordre de la d´erivation le plus ´elev´e (n si n > m) • Exemples L

R

e(t)

e(t) = us + Rc

1.2

us

C

dus d2 us + Lc 2 circuit d’ordre 2 dt dt

Fonction de transfert harmonique H

ue (t)

Circuit lin´eaire

us (t)

Le signal d’entr´ee est suppos´e sinusoidal, du fait de la lin´earit´e du syst`eme le signal de sortie est aussi sinusoidal . On d´efinit la fonction de transfert harmonique par : 2 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique H(jω) =

sup TSI

us ue

cette fonction permet de d´eterminer l’amplitude et le d´ephasage du signal de sortie us (t) par rapport `a ue (t) . H(jω) = H(ω) exp jϕ avec ϕ = ϕs − ϕe Us = H(ω)Ue ϕs = ϕe + arg(H(jω)) ` partir de l’´equation diff´erentielle : A dn s dm e de ds a0 s + a1 + ... + an n = b0 e + b1 + ... + bm m dt dt dt dt d En r´egime harmonique → jω dt H(jω) =

1.3 1.3.1

b0 + b1 jω + ... + bm (jω)m a0 + a1 jω + ... + an (jω)n

Stabilit´ e d’un circuit lin´ eaire D´ efinition

un circuit est dit stable lorsque sa r´eponse s(t) , a` un signal d’entr´ee e(t) restant born´e,ne diverge pas quelque soient les pram`etres du signal d’entr´ee et les conditions initiales du syst`eme . 1.3.2

Crit` ere de stabilit´ e en r´ egime sinusoidal forc´ e

Notons p = jω , la fonction de transfert s’´ecrit sous la forme : H(jω) =

N (jω) b0 + jωb1 + ... + (jω)m bm b0 + b1 p + ... + bm pm = = D(jω) a0 + jωa1 + ... + (jω)n an a0 + a1 p + ... + an pn

• D´efinition : On appelle pˆoles de fonction H(p)les racines de l’´equation D(p) = 0. Afin que H(p) ne diverge pas , il faut que les pˆoles pk ne soient pas des imaginaires purs (si non pour ωk telle que pk = jωk ,H devient infini). bm (m−n) D’autre part : lorsque ω → ∞ H(p) ≈ p an H(p) reste fini si m 6 n 1.3.3

Crit` ere de stabilit´ e en r´ egime libre

I Syst`eme du premier ordre

ds a0 = 0 ⇒ s(t) = k exp(− t) dt a1 Lorsque t → ∞ le signal diverge si a0 et a1 ont des signes contraires .

En r´egime libre : a0 s + a1

R´esultat : Un syst`eme du premier ordre est stable si les coefficients a0 et a1 de l’´equation diff´erentielle ont le mˆeme signe . 3 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

I Syst`eme du s´econd ordre d2 s ds a0 s + a1 + a2 2 = 0 on montre le syst`eme est stable si les coefficients a0 , a1 , a2 dt dt ont le mˆeme signe

2

Diagramme de Bode d’un filtre

2.1

Gain en d´ ecibel

ue = Uem exp jωt et us = Usm exp jϕ exp jωt On appelle gain du filtre G(ω) tq G(ω) = |H(jω)| ϕ(ω) = arg H(jω) • D´efinition : On appelle gain en d´ecibels (dB)(grandeurs ´electriques) G(dB) = 20 log G(ω) • Remarque : Pour des grandeurs ´energ´etiques (ou de puissance) le gain en d´ecibels est d´efini par : X(dB) = 10 log(

2.2 2.2.1

p1 ) p2

Diagramme de Bode D´ efinition

On appelle diagramme de Bode d’un filtre l’ensemble de deux graphes : I G(dB) = f (log ω) : courbe de r´eponse en gain I ϕ = f (log ω) : courbe de r´eponse en phase On appelle d´ecade un intervalle de log ω ´egale a` 1 (ω2 = 10ω1 ) 2.2.2

Pulsation de coupure ωc - bande passante ` a −3dB

• La pulsation de coupure ωc d’un filtre est d´efinie par : Gmax G(ωc ) = √ 2 • GdB (ωc ) = GdB (max) − 3 • La bande passante d’un filtre est l’intervalle de pulsation qui satisfait `a : Gmax √ 6 G(ω) 6 Gmax 2

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c Boukaddid

2.2.3

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

Diagramme asymptotique-diagramme r´ eel

Il s’agit de repr´esenter les asymptˆotes,associ´ees a` ω → 0 et ω → ∞,des graphes GdB = f (log ω) On d´eduit ensuite le diagramme r´eel en faisant intervenir la pulsation de coupure .

3 3.1

Filtre d’ordre un Filtre passe bas

La fonction de transfert d’un filtre passe bas s’´ecrit sous la forme : 1

H(jω) =

1+j

ω ωc

avec ωc : la pulsation de coupure 1 G(ω) = r ω 1 + ( )2 ωc ϕ = − arctan(

ω ) ωc

• Exemples R

ue

C

us

us zc = ue zR + zc 1 1 1 H(jω) = = donc ωc = ω 1 + jRcω Rc 1+j ωc H(jω) =

1 G(ω) = √ 1 + R 2 c2 ω 2 1 Gmax G(0) = Gmax = 1 et G(ωc ) = √ = √ 2 2 Gmax la bande passante du filtre passe bas tq : √ 6 G(ω) 6 Gmax 2 donc la bande passante est [0, ωc ] 1 ωc us dus • Si ω >> ωc ⇒ H(jω) = ω ≈ jω = u ⇒ dt = ωc ue e 1+j ωc 5 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

Z us = ωc

ue dt

R´esultat : En haute fr´equence le filtre passe bas du premier ordre se comporte comme un int´egrateur • Diagramme de Bode 1 1 ω G(dB) = 20 log G = 20 log r = 20 log √ avec x = 2 ω 2 ωc 1+x 1+( ) ωc • pour x → 0+ ,G(dB) → 0 asymptˆote horizontale . • pour x → +∞ ,G(dB) → −20 log x asymptˆote oblique de pente −20dB par d´ecade ϕ = arg H(jω) = − arctan x • pour x → 0, ϕ → 0 π • pour x → +∞, ϕ → − 2 ϕ

G(dB)

log x −3dB

log x

−20dB /d´ecade

−

π 4 −

3.2

π 2

Filtre passe haut

La fonction de transfert d’un filtre passe haut s’´ecrit sous la forme : j H(jω) =

ω ωc

1+j

G= r

ω ωc

1 1+(

ωc 2 ) ω

Gmax 1 G(∞) = 1 = Gmax et G(ωc ) = √ = √ 2 2 la bande passante du filtre passe haut est : [ωc , ∞] ω u • Pour ω 0 ⇒ Q <

1 2

ω0 ω0 + p1 = − 2Q 2

r

1 −4 Q2

ω0 ω0 p2 = − − 2Q 2

r

1 −4 Q2

On pose p1 = −ω1 ; p2 = −ω2 On v´erifie que ω1 .ω2 = ω02 H(jω) =

ω02 1 = ω ω (jω + ω1 )(jω + ω2 ) (1 + j )(1 + j ) ω1 ω2

G(dB) = 20 log r

1 ω 1 + ( )2 ω1

+ 20 log r

1 ω 1 + ( )2 ω2

= G1 + G2

ϕ(ω) = arctan(H(jω)) = ϕ1 + ϕ2

9 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

ϕ

G(dB) log

ω1 ω0

log

ω2 ω0

log log x −20dB/d´ecade −

log

ω2 ω0

log x

π 2

−π

−40dB/d´ecade

I Deuxi`eme cas : ∆ = 0 ⇒ Q =

ω1 ω0

1 2 1

H(jω) =

(1 + j

ω 2 ) ω0

1

G(dB) = 20 log

1+(

ω 2 = 2G(filtre passe bas) ) ω0 ϕ

G(dB)

log x

log x −40dB/d´ecade −π

I troisi`eme cas : ∆ < 0 ⇒ Q > 0 : R´esonance en tension H(jω) =

1 ω 2 1 ω 1−( ) +j ω0 Q ω0

1 1 G(dB) = 20 log r = 20 log s ω 1 ω x2 (1 − ( )2 )2 + 2 ( )2 2 )2 + (1 − x ω0 Q ω0 Q2 • ω > ω0 ; G → −40 log asymptˆote de pente −40dB /d´ecade ω0 d x2 1 • G pr´esente un maximum si : [(1 − x2 )2 + 2 ] = 0 ⇒ x2r = 1 − dx Q 2Q2 r 1 ω = ω0 1 − 2Q2 10 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

1 ω Q ω0 ϕ = − arctan ω 1 − ( )2 ω0 • ω > ω0 ⇒ ϕ → −π

G(dB) 1 Q1 > √ 2 Q2 > Q1 log x

ϕ

log x −

−40dB/d´ecade

4.2 4.2.1

π 2

−π

Filtre passe haut Fonction de transfert H(p) =

p2 ω0 p2 + p + ω02 Q

ω2

(jx)2 H(jω) = − = ω0 = x ω02 1 ω0 ω02 − ω 2 + j ω 1 + j + (jx)2 1− 2 −j Q Q ω Qω 1

1

G(dB) = 20 log 1−(

En rempla¸cant

ω0 2 1 ω0 ) + 2 ( )2 ω Q ω

ω ω0 par on retrouve le G du filtre passe bas . ω0 ω

ϕ = ϕ(filtre passe bas)+ arg(−ω 2 )=ϕ(filtre passe bas)+π

11 / 16

c Boukaddid

4.2.2

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

Aspect graphique G(dB) ϕ log x

π π 2

1 Q< √ 2

log x

Le filtre passe haut d’ordre deux pr´esente en basse fr´equence une att´enuation de −40dB/d´ecade

4.3 4.3.1

Filtre passe bande d’ordre deux : r´ esonance en intensit´ e Fonction de transfert ω0 p Q H(p) = ω0 p2 + p + ω02 Q

p = jω H(jω) =

1 ω 2 − ω02 1 + jQ ωω0

• Exemple ie

C

L

ue

La fonction de transfert s’´ecrit sous la forme H(jω) =

R

us = ue

us

1 Lω 1 1+j + R jRcω

On introduit les param`etres : 12 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

ω ω0 1 • La pulsation propre ω0 = √ Lc 1 Lω0 = • Le facteur dr qualit´e Q = R Rcω0

• La pulsation r´eduite x =

H(jx) =

G= r

1

=

1 1 1 + jQ(x − ) x

Usm RIm = Uem Uem

1 1 + Q2 (x − )2 x Il se produit le ph´enom`ene de r´esonance en intensit´e lorsque Im passe par un maximum quelque soit le facteur de qualit´e . 1 ωr xr − = 0 ⇒ xr = = 1 ⇒ ωr = ω0 xr ω0 • Bande passante La bande passante correspond `a l’intervalle [ω1 , ω2 ] tq : 1 ω 1 1 ω0 =± x− =± ⇒ − x Q ω0 ω Q ∆ω = 4.3.2

R ω0 = Q L

Aspect graphique 1 G(dB) = 20 log G = −10 log[1 + Q2 (x − )2 ] x

x asymptote de pente 20dB/d´ecade Q • x → ∞ ⇒ G(dB) → −20 log(xQ) asymptote de pente −20dB/d´ecade les asymptotes se coupent en x = 1 ⇒ G(dB) = −20 log Q • Q < 1 : La courbe se trouve au dessous des asymptotes • Q > 1 : La courbe se trouve au dessus des asymptotes • x → 0 ⇒ G(dB) → 20 log

π 1 ϕ = − arctan[Q(x − )] = ϕ(filtre passe bas)+ x 2

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c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

G(dB) ϕ π 2

log x

log x

(1)

−

(2)

pente de 20dB par d´ecade

π 2

pente de −20dB par d´ecade Q1 < 1 : courbe au dessous des asymptotes Q2 > 1 : courbe au dessus des asymptotes

Plus Q est grand plus le filtre est selectif

4.4

Filtre coupe bande

la fonction de transfert d’un coupe bande H(p) =

p2 + ω02 ω0 p2 + p + ω02 Q 1

H(jω) = 1+j

1 ω0 ω Q ω02 − ω 2

1 G(dB) = 20 log r 1 ωω0 2 1 + 2( 2 ) Q ω0 − ω 2 ϕ = ϕ(passe bas)+ arg(ω02 − ω 2 ) • ω0 = ω ; G → −∞ • ω > ω0 ; G → 0 ⇒ ϕ → ϕ(p.b) + π

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c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

ϕ

G(dB) π 2 log x

log x

−

4.5

π 2

D´ ephaseur ω0 p + ω02 Q H(p) = ω0 p2 + p + ω02 Q p2 −

|H| = 1 pas d’att´enuation ϕ = 2ϕ(passe bas) ϕ

log x

−2π

5 5.1

Filtres actifs Probl` eme des filtres passifs

• Les imp´edances de sortie et d’entr´e ne sont pas adapt´ees • Le gain en bande passante ne d´epasse pas un 15 / 16

c Boukaddid

Cours d’´electrocin´etique

sup TSI

I Les filtres actifs utilisent les amplificateurs op´erationnels I Les filtres passifs sont utilis´ees en hautes fr´equences et puissance elev´ee (limitation des O.A)

5.2

Exemple R

R B A

C vs

ve

R

C

αr r

Millman en A et B 1 vs vB = v+ = v− = 1+α ω0 ω Q H(jω) = k ω0 ω + ω02 (jω)2 + j Q j

√

√ 2 2 1+α ω0 = ;Q = ;k = Rc 4−α 4−α

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c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

Amplificateur op´ erationnel en r´ egime lin´ eaire

Table des mati` eres 1 AO r´ eel - AO id´ eal 1.1 Description de l’AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fonctionnement lin´eaire d’un AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Syst`eme lin´eaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Cas du r´egime continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Comportements non lin´eaires d’un AO : ph´enom`enes de saturations 1.3.1 Saturation en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Limitation en courant de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Vitesse de balayage : limitation en fr´equence (slew-rate) . . . 1.4 AO id´eal en r´egime lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 AO id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Propri´et´e fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5

2 Amplificateur non inverseur 2.1 Mod´elisation d’un amplificateur lin´eaire . . . . . . . . . . 2.1.1 Amplificateur id´eal en r´egime continu . . . . . . . 2.1.2 Amplificateur r´eel-R´esistance d’entr´ee et de sortie 2.1.3 Cas d’un r´egime sinusoidal . . . . . . . . . . . . . 2.2 Amplificateur non inverseur `a AO en r´egime lin´eaire . . . 2.3 Stabilisation du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Amplificateur id´eal de tension . . . . . . . . . . . 2.3.2 Amplificateur a` AO r´eel en r´egime sinusoidal . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5 5 5 6 6 6 7 7 7

3 Montages usuels ` a AO ideal 3.1 Suiveur de tension . . . . 3.2 Amplificateur inverseur . . 3.3 Sommateur de tension . . 3.4 Soustracteur de tension . . 3.5 Int´egrateur simple . . . . . 3.6 d´erivateur simple . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8 8 9 9 10 10 12

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

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c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

L’amplificateur op´erationnel,d´esign´e par AO dans la suite du cours,est un syst`eme ´electronique complexe,du type circuit int´ egr´ e compos´e de r´esistance , condensateur diodes , transistors .

1 1.1

AO r´ eel - AO id´ eal Description de l’AO 8

7

6

1

2

3

5

4

1 : r´eglage de l’offset 2 : Entr´ee inverseuse (-) 3 : Entr´ee non inverseuse (+) 4 : Polarisation n´egative (−Vcc = −15V ) 5 : R´eglage de la tension de d´ecalage (offset) 6 : Sortie 7 : Polarisation positive (+Vcc = 15V ) 8 : Borne non connect´ee Exemples : TL081 , CA741 , µA741 Sh´ematiquement on repr´esente AO par (3) E

(2)

−

+

(6) s

E−

(6)

+ (3)

(2) E + : Entr´ee non inverseuse E − : Entr´ee inverseuse

1.2 1.2.1

Fonctionnement lin´ eaire d’un AO Syst` eme lin´ eaire du premier ordre

ε us

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c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

La tension de sortie us est reli´ee a` ε par l’´equation suivante : τ

dus + us = µε dt

τ : temps de relaxation du syst`eme τ ≈ 10−2 s µ : Coefficient d’amplification : gain en r´egime continue µ = 105 l’´equation pr´ec´edente s’´ecrit sous la forme suivante us µ 1 = avec ω0 = ω ε τ 1+j ω0 1.2.2

Cas du r´ egime continu

En r´egime continu l’´equation pr´ec´edente devient Us = µε

1.3 1.3.1

Comportements non lin´ eaires d’un AO : ph´ enom` enes de saturations Saturation en tension

En r´egime continue faisons varier ε entre −ε0 et +ε0 la r´eponse est comme suit : us saturation haute Usat

−ε0

−ε

+ε

ε +ε0

−Usat saturation basse En pratique Usat = Vsat = 15V • Pour ε > εM : saturation haute (ph´enom`ene non lin´eaire) • Pour ε < −εM : saturation basse • Dans le cas d’un signal sinusoidal us (t) d’amplitude Usm superieur `a Usat

3 / 12

c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

us saturation +Usat

t

−Usat

Ordre de grandeur : Usat = 13V ,Vcc = 15V ,µ = 105 ⇒ εM =

Usat ≈ 10−4 V µ

Conclusion : En regime lin´eaire d’un AO r´eel,la tension ε est tr´es faible ε < εM . 1.3.2

Limitation en courant de sortie

Le courant de sortie is produit un ´echauffement des composantes internes en circulant dans l’AO . Pour ´eviter la d´et´erioration de leurs composants,les AO sont en g´en´eral munis de limiteurs de courant de sortie is < Imax ≈ 20mA . 1.3.3

Vitesse de balayage : limitation en fr´ equence (slew-rate)

Dans la structure des AO,il existe une vitesse limite de variation de tension us dite vitesse de balayage not´ee σ avec |

dus | 6 σ ≈ 0, 5V.µs−1 dt

• La vitesse de balayage caract´erise le temps de r´eponse ∆t d’un AO . σ=

∆us ∆t

σ augmente ⇒ ∆t diminue us

us

t pas de limitation en fr´equence

t ∆t limitation en fr´equence

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c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

• La vitesse de balayage est responsable sur la triangularisation de us . us (t) = Usm cos(ωt + ϕ) telque Usm .ω > σ . dus | = ωUsm | sin(ωt + ϕ)| > σ Il existe un intervalle de temps pour laquelle | dt dus on doit poser | | = σ ⇒ us (t) = σ.t + cte ⇒ variation affine de us (t) dans ∆t . dt

1.4 1.4.1

AO id´ eal en r´ egime lin´ eaire AO id´ eal

Un AO id´eal est un amplificateur diff´erentiel de tension : I de gain infini : µ → ∞ I de courants nuls en entr´ee : i+ = i− = 0 1.4.2

Propri´ et´ e fondamentale

Pour ´eviter le ph´enom`ene de saturation en tension il faut que us < Usat us Usat En r´egime lin´eaire us = εµ on d´eduit que ε = 6 avec µ → ∞ donc ε → 0 µ µ

En r´egime lin´eaire de l’AO id´eal ε = 0 us +Usat

ε

−Usat • Remarque I La puissance fournie en entr´ee est nulle : i+ = i− = 0 ⇒ P + = U + .i+ = 0, P − = U − .i− = 0 I L’´energie consomm´ee par la charge et par les composantes internes de l’AO est pr´elev´e des sources d’alimentation (+Vcc et −Vcc )

2 2.1 2.1.1

Amplificateur non inverseur Mod´ elisation d’un amplificateur lin´ eaire Amplificateur id´ eal en r´ egime continu

Un op´erateur qui amplifie la tension d’entr´ee (us > ue ) sans pr´elever d’´energie en entr´ee est appel´e amplificateur id´eal de tension . us • Gain de l’amplificateur G0 = >1 ue 5 / 12

c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

ie = 0

us

ue

2.1.2

G0 ue

Amplificateur r´ eel-R´ esistance d’entr´ ee et de sortie ie Rs ue

2.1.3

us

Re

Gue

Cas d’un r´ egime sinusoidal ie zs ue

us

ze

H.ue

• L’amplificateur est consid`er´e comme id´eal si : z e = ∞, z s = 0

2.2

Amplificateur non inverseur ` a AO en r´ egime lin´ eaire

Consid`erons le montage suivant ie = i+ = 0 is ε

i

r ve e

R i− = 0

vs Ru

ve0

R’ i

op´erateur amplification 6 / 12

c S.Boukaddid

2.3

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

Stabilisation du montage

dvs + vs = µε dt ie = i+ = i− = 0 , ve = ve0 + ε = e − rie = e ,ve0 = R0 i =

ε = ve − ve0 est li´e a` vs par : τ

l’´equation devient

R0 R0 v on pose β = s R + R0 R + R0

dvs vs µe + (1 + µβ) = dt τ τ la solution de l’´equation homog`ene (r´egime transitoire) t vs = K exp[−(1 + µβ) ] → 0, t → ∞ donc l’op´erateur a` AO est stable τ 2.3.1

Amplificateur id´ eal de tension

si on suppose que l’Ao est id´eal ⇒ ε = 0 R + R0 1 vs = = ve = ve0 = βvs ⇒ G = ve β R0

ve

Gve

vs

Op´erateur d’amplification 2.3.2

Amplificateur ` a AO r´ eel en r´ egime sinusoidal

En r´egime sinusoidal l’Ao se comporte comme un filtre passe bas de fonction de transfert h=

vs µ 1 = avec ω0 = ω ε τ 1+j ω0

ω0 repr´esente la pulsation de coupure ou la bande passante de l’Ao R0 v 1 1 v s = s , v e = ε + v 0e = v s ( + ) ve0 = 0 R+R G h G µG vs 1 1 (µ + G) = = = 1 1 1 ω 1 ω µG ve + + +j 1+j h G µ G µω0 µω0 (µ + G) vs µ0 = ω ve 1+j 0 ω0 avec µ0 =

µG ω0 (µ + G) et ω00 = µ+G G 7 / 12

c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

µ0 .ω00 = µ.ω0 = cte Ce facteur est appel´e facteur de m´erite ou le produit gain x bande passante • R´esultat : Le produit gain x bande passante est le mˆeme pour un AO en boucle ferm´e ou en boucle ouverte .

3 3.1

Montages usuels ` a AO ideal Suiveur de tension

ε=0

− +

∞ vs Rc

ve

AO ideal : i− = i+ = 0, ε = 0 ⇒ v + = v − = ve or v − = vs ⇒ ve = vs ve = vs donc on peut mod´eliser le suiveur par un amplificateur ideal de tension de gain 1,d’imp´edance d’entr´ee infini et d’imp´edance de sortie nulle .

ve = e

vs

e

Suiveur La puissance d´elivr´ee a` la r´esistance de charge Rc est Ps =

vs2 e2 = = Pmax Rc Rc

Conclusion : En suiveur la puissance maximale disponible de la source de tension a ´et´e transmise int´egralement `a la r´esistance de charge . Le suiveur est un adaptateur d’imp´edance .

8 / 12

c S.Boukaddid

3.2

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

Amplificateur inverseur R’ ie R

ie -

0

ue

+

∞ us

ue us + 0 + − − R R =0 v = v = 0 et v = 1 1 + 0 R R G=

us R0 =− ue R

supposons que R0 > R donc on peut mod´eliser l’amplificateur inverseur par le montage ue amplificateur non ideal de tension de gain G et de r´esistance d’entr´ee R = ie ie ue

us R

Gue

cet op´erateur d’amplification consomme de l’´energie en entr´ee ce qui constitue un d´efaut par rapport a` l’amplificateur non inverseur . Remarque : si R = R0 on obtient us = −ue c’est un changeur de signe .

3.3

Sommateur de tension R

R ie R ve1

+

∞ vs

ve2

9 / 12

c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

vs ve1 ve2 + + R R =0 v + = v − = 0 et v − = R 1 1 1 + + R R R vs = −(ve1 + ve2 ) sommateur inverseur

3.4

Soustracteur de tension R

R ∞

+

vs

R

ve2

ve1 R

vs ve2 + R AO ideal : v + = v − avec v + = et v − = R 1 1 1 1 + + R R R R v − = v + ⇒ vs + ve2 = ve1 ve1 R

vs = ve1 − ve2

3.5

Int´ egrateur simple k uc

ie

R +

ve

∞ vs

10 / 12

c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique

sup TSI

a` t = 0 on ouvre l’interrepteur (k) uc (0) = 0 dq duc ue = Rie , ie = =c et vs = −uc dt dt dvs ve ie = −c = dt R 1 vs = − RC

Z ve dt

• En r´egime sinusoidal ve = Vm exp(jωt) vs ve + v v zc R − + = 0 ⇒ vs = − e zc = − e v =v = 1 1 R jRcω + z c ZR Z 1 1 donc v s = − v e dt ⇒ vs (t) = − ve (t)dt Rc Rc • Remarque : En pratique , il se produit le ph´enom`ene de d´erive en tension du aux courants de polarisation d’un AO r´eel,donc on r´ealise le montage pseudo-int´egrateur R’ uc

ie

R +

ve

∞ vs

vs v + e 0 v −1 z //R R v− = v+ = c =0⇒ s = 1 1 ve R(zc //R0 ) + z c //R R R0 jcω

z c //R0 =

R0 +

1 jcω

=

R0 1 + jR0 cω

R0 R0 − v R R donc s = = ω ve 1 + jR0 cω 1+j ω0 1 vs −R0 1 • Si ω >> ω0 = 0 ⇒ ≈ Rc ve R jω ω0 −

11 / 12

c S.Boukaddid

TP-Cours 2 d’´electronique −1 vs = Rc

3.6

sup TSI

Z v e dt

d´ erivateur simple R C

ie

ie

∞

+ ve

vs

due ue due = − ⇒ us = −Rc dt R dt ve vs + R zc R − + v =v =0= ⇒ v s = − v e = −jRcωv e 1 1 zc + zc R ie = c

dv e dt En pratique on utilise le montage pseudo-d´erivateur v s = −Rc

R ie

R’

C

ie +

∞

ve

vs

ve v + s −R −jRcω + zc R v− = v+ = 0 = ⇒ vs = ve = v 1 1 1 1 + jR0 cω e 0+ + R z c + R0 R jcω 1 dv si ω 0

1.1

Comparateur simple en boucle ouverte

Cet op´erateur a` AO va permettre de comparer une tension ve (t) appliqu´ee sur une entr´ee (+) (par exemple) et une tension de r´ef´erence vr sur l’autre entr´ee . +

ε

∞

ve vr

vs

ε = v + − v − = ve − vr si ve > vr ⇒ ε > 0 saturation haute si vr > ve ⇒ ε < 0 saturation basse vs

vr

ve

• Remarque : Si l’on permute les deux entr´ees,le comparateur est dit inverseur . En pratique la caract´eristique de transfert est visualis´e en mode X −Y de l’oscilloscope .

2/6

c S.Boukaddid

1.2 1.2.1

TP-Cours 3 d’´electronique

sup TSI

Comparateur en boucle ferm´ ee : trigger de schmitt Montage ε

∞

+

i

ve

vs

i R1

R2

vr

On pose β=

R1 R1 + R2

vr0 = (1 − β)vr = 1.2.2

R2 vr R1 + R2

Stabilisation du montage

Pour montrer l’instabilit´e du montage on consid`ere que l’AO est r´eel tq vs et ε sont reli´es par l’´equation : on suppose que vr = 0 τ v + = R1 i =

dvs + vs = µε dt

R1 vs = βvs et ε = βvs − ve R1 + R2 τ

dvs + (1 − µβ)vs = −µve dt

µβ µβ >> 1 ⇒ vs = k exp( t) → ∞, t → ∞ (solution de l’´equation SSM) τ donc vs diverge et l’AO sature en tension . 1.2.3

Comparateur ` a hyster´ esis

v + = vr + R1 i = vr + R1

vs − vr = vr + β(vs − vr ) = βvs + vr0 R1 + R2 ε = v + − v − = βvs + vr0 − ve

I Saturation haute ε > 0 ⇒ ve < βvs + vr0 = βVsat + vr0 = ve2 3/6

c S.Boukaddid

TP-Cours 3 d’´electronique

sup TSI

I Saturation basse ε < 0 ⇒ ve > −βVsat + vr0 = ve1 I Cycle d’hyster´esis vs +Vsat

A2

A0

ve1

ve

ve2

vr0

A00

−Vsat A1

On part du point A0 tq vs = +Vsat ⇒ ε > 0 On augmente la tension jusqu’`a ve = ve2 donc on d´ecrit le s´egment A0 A2 . ` ve = ve2 : ε = ve2 − ve2 = 0 ⇒ basculement de vs a` −Vsat et si on augmente ve A toujours on aura vs = −Vsat car ε < 0 On diminue ve jusqu’`a ve = ve1 tq ε = 0 ⇒ basculement de vs a` +Vsat d’o` u l’allure du cycle `a hyster´esis La largeur du cycle est ∆ve = ve2 − ve1 = 2βVsat Le centre du cycle a` hyster´esis ve =

2 2.1

ve1 + ve2 = vr0 2

Multivibrateur astable Montage i− = 0 i

-

i ε

R

∞ +

vc

i+ = 0 R2

i1

vs

R1 i1

Le signal de sortie ±Vsat fournie par le trigger de schmitt,est int´egr´e par un circuit RC Ce syst`eme (non lin´eaire) `a deux ´etats instables correspondant aux basculement de vs 4/6

c S.Boukaddid

TP-Cours 3 d’´electronique

sup TSI

est appel´e multivibrateur astable . Int´erˆet : Il permet de g´en´erer des signaux p´eriodiques cr´eneau vs (t) et pseudo-triangulaire vc (t) associ´es `a des oscillations de relaxation .

2.2

Etude th´ eorique

R1 R1 , τ = RC et v + = R1 i1 = vs = βvs R1 + R2 R1 + R2 on choisit comme origine du temps t = 0 l’instant o` u vs bascule de +Vsat a` −Vsat vs (0− ) = Vsat et vs (0+ ) = −Vsat ,ε(0− ) = v + (0− ) − v − (0− ) = 0 vc (0− ) = βvs (0− ) = βVsat La continuit´e de la tension aux bornes du condensateur vc (0+ ) = vc (0− ) = βVsat ε(0+ ) = v + (0+ ) − v − (0+ ) = βvs (0+ ) − vc (0+ ) = −βVsat − βVsat = −2βVsat on d´eduit que

vc = v − , β =

ε(0+ ) = −2βVsat < 0 donc le condensateur se d´echarge dans R : dvc dvc et vc + Ri = vs ⇒ τ + vc = vs = −Vsat i=c dt dt t la solution de cette ´equation est vc (t) = k exp(− ) − Vsat τ vc (0+ ) = βVsat ⇒ k = (1 + β)Vsat t vc (t) = Vsat [(1 + β) exp(− ) − 1] τ vc diminue jusqu’`a ε = 0 ⇒ basculement a` +Vsat + − ε = 0 ⇒ vc (t− 1 ) = v (t1 ) = −βVsat donc 1+β t1 −βVsat = Vsat [(1 + β) exp(− ) − 1] ⇒ t1 = τ ln τ 1−β dvc t − t1 a` vs = +Vsat : vc + τ = Vsat ⇒ vc = k exp(− ) + Vsat dt τ t − t1 − vc (t+ )] 1 ) = vc (t1 ) = −βVsat ⇒ vc = Vsat [1 − (1 + β) exp(− τ vc augmente jusqu’`a ε = 0 a` t = t2 ⇒ basculement a` −Vsat − + − ε(t− 2 ) = 0, vc (t2 ) = βVsat = v (t2 ) t2 − t1 1−β )= exp(− τ 1+β t2 = t1 + τ ln(

1+β ) = 2t1 1−β

5/6

c S.Boukaddid

TP-Cours 3 d’´electronique

sup TSI

Vsat βVsat vc (t) t1

t

t2

−βVsat Vsat

T = 2t1 = 2τ ln(

2R1 + R2 1+β ) = 2Rc ln( ) 1−β R2 T = 2Rc ln(1 + 2

R1 ) R2

6/6