Electrocinetique Regimes Transitoires

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Circuits lin´ eaires en r´ egime transitoire 1

– la continuit´e de l’intensit´e du courant dans la bobine (sinon u = L vers l’infini ce qui est physiquement impossible).

di tendrait dt

Conditions initiales et continuit´ e

On va ´etudier ce qui se passe entre entre deux r´egimes continus = r´egime transitoire. Les grandeurs ´electriques ne sont plus constantes. Rappelons les conventions et r´esultats pour la bobine et le condensateur :

2 2.1

R´ egime libre du circuit RC ´ Evolution de la tension aux bornes du condensateur

L

i

I

u

E

C

u=L

R

E

C

i u

R

di dt

L inductance en henry (H).

Le condensateur est initialement charg´e sous une tension E. En r´egime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert U = E et I = 0 (E/R dans la r´esistance). A t = 0, on ouvre l’interrupteur, le condensateur se d´echarge dans la r´esistance :

C

i

U

q

q u

u = Ri = −R q = Cu i =

dq du =C dt dt

C capacit´e en farad (F ). Les circuits ´etant lin´eaires, toute grandeur ´electrique x(t) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire a` coefficient constant. On d´etermine les constantes d’int´egration grˆ ace aux conditions initiales en utilisant : du – la continuit´e de la tension aux bornes du condensateur (sinon i = C dt tendrait vers l’infini ce qui est physiquement impossible) ; Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

dq du = −RC dt dt

du u + = 0 avec dt τ

τ = RC

La solution est de la forme u(t) = A exp(−t/τ ). u(0) = A = E par continuit´e de la tension aux bornes du condensateur. Finalement u(t) = E exp(−t/τ )

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u(t)

i(t) E R

E

t

τ

t

τ

Le condensateur assure la continuit´e de la tension ` a ses bornes mais pas celle de l’intensit´e du courant. 

du dt



t=0

=−

E τ

E La tangente a` l’origine d’´equation − t + E coupe l’axe des abscisses en t = τ . τ D’autre part : pour t = τ , u = E exp(−1) = 0, 37E pour t = 2τ , u = E exp(−1) = 0, 14E pour t = 3τ , u = E exp(−1) = 0, 05E

2.3

´ Etude ´ energ´ etique

Calculons l’´energie re¸cue (on est bien en convention r´ecepteur pour la r´esistance) et dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance :   Z Z Z E2 ∞ E 2 exp(−2t/τ ) ∞ W = Pdt = uidt = exp(−2t/τ )dt = R 0 R −2/τ 0 1 W = CE 2 ´energie emmagasin´ee dans le condensateur. 2

2.2

´ Evolution de l’intensit´ e du courant

3 3.1

i=−

R´ egime libre du circuit RL ´ Evolution de l’intensit´ e du courant

du dq = −C , ce qui donne dt dt

R

Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

R

i

L E

E i(t) = exp(−t/τ ) R

I

U

L u

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En r´egime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur ferm´e U = 0 et I = E/R. A t = 0, on supprime E :

u(t) τ

t

di u = L = −Ri dt di i + = 0 avec dt τ

τ = L/R

La solution est de la forme i(t) = A exp(−t/τ ). i(0) = A = E/R par continuit´e de l’intensit´e du courant dans la bobine. Finalement i(t) =

E exp(−t/τ ) R

−E

´ Etude ´ energ´ etique

3.3

Calculons l’´energie re¸cue (on est en convention g´en´erateur pour la r´esistance) et dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance :

i(t) E R

W =

W =

4 t

τ

4.1

Z

Pdt =

Z

E2 −uidt = R

Z

∞

0

  E 2 exp(−2t/τ ) ∞ exp(−2t/τ )dt = R −2/τ 0

1 1 E2 L = LI 2 ´energie emmagasin´ee dans la bobine. 2 R R 2

R´ egime libre du circuit RLC s´ erie ´ Equation diff´ erentielle

R 3.2

´ Evolution de la tension aux bornes de la bobine

q E

di u = L , ce qui donne dt

C u(t) = −E exp(−t/τ )

Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

L

i u

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page 4/8 u(t)

di (1) u = Ri + L dt dq q dq d2 q avec u = q/C et i = − donne = −R − L 2 soit dt C dt dt (2)

E

1 d2 q R dq + + q=0 dt2 L dt LC

t

Avec q = Cu, (2) donne 1 d2 u R du + + u=0 2 dt L dt LC En d´erivant (1) et en utilisant u = q/C et i = −

dq , on obtient dt La pseudo-p´eriode est ´egale a` T =

1 d2 i R di + + i=0 2 dt L dt LC

4.2

2π 2π =p 2 = ω ω0 − α 2

2π r 1 ω0 1 − 4Q2

Diff´ erents r´ egimes

r´egime 1 Q> 2 pseudo-p´eriodique 1 Q< 2 ap´eriodique 1 Q= 2 critique

d2 u du + 2α + ω02 u = 0 2 dt dt 1 ω0 R et Q = 2α = , ω02 = L LC 2α −αt u = e (A cos(Ωt) + B sin(Ωt))

4.3

´ Etude ´ energ´ etique

En multipliant (1) par i, on obtient ui = Ri2 + L

Ω2 = ω02 − α2 ′

′

u = e−αt (A′ eΩ t + B ′ e−Ω t ) Ω′2 = α2 − ω02

dq et q = Cu, on a dt

u = e−ω0 t (A′′ t + B ′′ )

Q s’appelle le facteur de qualit´e. On d´etermine les constantes grˆ ace aux conditions initiales en utilisant la continuit´e de la tension aux bornes du condensateur et la continuit´e de l’intensit´e du courant dans la bobine.

Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

comme i = −

di i dt

−Cu d dt



di du = Ri2 + L i dt dt

1 2 1 2 Cu + Li 2 2



= −Ri2

L’´energie emmagasin´ee dans le condensateur et la bobine `a un instant t, W (t) = 1 2 1 2 Cu + Li , diminue au cours du temps, elle est dissip´ee par effet Joule dans la 2 2 r´esistance.

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5

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R´ eponse d’un circuit RC ` a un ´ echelon de tension ´ Evolution de la tension aux bornes du condensateur

5.1

R

´ Evolution de l’intensit´ e du courant

i=+

dq du =C ce qui donne dt dt E exp(−t/τ ) R

R I

E

5.2

U

C

E

u

q

i i(t)

C E R

Le condensateur est initialement d´echarg´e (R´egime continu U = 0 et I = 0). A t = 0, on ferme l’interrupteur et le condensateur se charge : E = Ri + u = RC du u E + = dt τ τ

avec

du +u dt τ = RC

t

τ

La solution est de la forme u(t) = u(h) + u(p) = A exp(−t/τ )+E. u(0) = A + E = 0 par continuit´e de la tension aux bornes du condensateur. Finalement u(t) = E(1 − exp(−t/τ ))

5.3

Bilan ´ energ´ etique

Multiplier E = Ri + u par i donne Ei = Ri2 + ui

u(t)

E

τ Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

t

o` u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue) ; Ri2 est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance ; ui est la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans le condensateur. Z ∞ Z E2 ∞ E2 Eidt = RC = CE 2 exp(−t/τ )dt = R R 0 0 Z ∞ 2 Z ∞ E 2 RC 1 E exp(−2t/τ )dt = R 2 = CE 2 Ri2 dt = R 2 R 0 R 2 2 0 Z ∞ Z ∞ 2 2 E RC 1 E uidt = (RC − ) = CE 2 (exp(−t/τ ) − exp(−2t/τ ))dt = R 0 R 2 2 0 L’´energie fournie par le g´en´erateur se r´epartit ´equitablement entre la r´esistance et le condensateur.

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R´ eponse d’un circuit RL ` a un ´ echelon de tension ´ Evolution de l’intensit´ e du courant

6.1

I

R

u=L

di ce qui donne dt u(t) = E exp(−t/τ )

L E

U

´ Evolution de la tension aux bornes de la bobine

i

R L

E

6.2

u(t)

u E

R´egime continu U = 0 et I = 0. A t = 0, on ferme l’interrupteur : E = Ri + L i E di + = dt τ L

avec

di dt τ = L/R

E La solution est de la forme i(t) = i(h) + i(p) = A exp(−t/τ ) + . R E i(0) = A + = 0 par continuit´e de l’intensit´e du courant dans la bobine. R Finalement E i(t) = (1 − exp(−t/τ )) R i(t)

t

τ

6.3

Bilan ´ energ´ etique

Multiplier E = Ri + u par i donne Ei = Ri2 + ui o` u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue) ; Ri2 est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance ; ui est la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans la bobine. Quand t → ∞ Un nouveau r´egime continu s’´etablit avec I = E/R donc : Z ∞ Eidt → ∞

E R

0

Z

∞

Ri2 dt → ∞

0

τ Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

t

Z

∞

uidt = 0

E2 R

Z

0

∞

(exp(−t/τ ) − exp(−2t/τ ))dt =

L 1 E2 L ( − ) = LI 2 R R 2R 2

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7 7.1

R´ eponse d’un circuit RLC s´ erie ` a un ´ echelon de tension

page 7/8

7.2

Bilan ´ energ´ etique

Multiplier E = L

Tension aux bornes du condensateur

di + Ri + u par i donne dt Ei = L

L

R E

q C

di du i + Ri2 + C u dt dt

o` u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue) ; di L i est la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans la bobine ; dt Ri2 est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance ; ui est la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans le condensateur. Quand t → ∞ Un nouveau r´egime continu s’´etablit avec U = E et I = 0 donc :   Z ∞ 1 2 ∞ di Li =0 L idt = dt 2 0 0   Z ∞ 1 2 ∞ 1 du Cu C udt = = CE 2 dt 2 2 0 0

i u

Le condensateur est initialement d´echarg´e. A t = 0, on ferme l’interrupteur : di E = L + Ri + u soit dt 1 E d2 q R dq + + q= 2 dt L dt LC L u et i v´erifient la mˆeme ´equation. La solution est de la forme q(t) = q (h) + q (p) . Pour q (h) voir r´egime libre. q (p) = CE. Par exemple en r´egime pseudo-p´eriodique :

Pour les deux autres int´egrales, il faut expliciter u(t) et i(t) : u(t) = e−αt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + E comme i(t) = C

du , on a dt


i(t) = C −αe−αt (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) + e−αt (−AΩ sin(Ωt) + BΩ cos(Ωt))

u(t)

u(0) = A + E = 0 ⇒ A = −E

i(0) = C(−αA + BΩ) = 0 ⇒ B =

−αE d’o` u Ω

i(t) = CEe Z

E

−αt

sin(Ωt)



 α2 +Ω Ω

∞

Eidt = CE 2

0

t

Damien DECOUT - Derni` ere modification : janvier 2007

(voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la derni`ere int´egrale vaut Z ∞ 1 Ri2 dt = CE 2 2 0

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