electg

MPSI 1

Cours d'électrocinétique

II II.I

Définitions

II.I.1

Réseau électrique :

Lycée CARNOT - DIJON

Réseaux électriques

Système de dipôles électrocinétiques reliés entre eux par des conducteurs filiformes de résistance négligeable. II.I.2

Nœud : Point relié par des fils à plus de deux dipôles.

II.I.3

Branche : Ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds.

II.I.4

Maille : Parcours fermé constitué de branches et ne passant qu'une fois par un nœud donné.

II.I.5

Graphe : Schéma représentatif de la topologie du réseau (nature et nombre des interconnections) indépendamment de sa forme réelle.

B

B C

A

A

B C A D

D

C

D

Les réseaux électriques font partie des circuits électriques à constantes localisées, par opposition à certains circuits où l'on ne peut isoler de dipôles (comme se serait le cas pour un câble coaxial ou une ligne bifilaire, une inductance propre et une capacité étant réparties tout au long de la ligne).

Lois de Kirchhoff1

II.II

Ce sont des lois générales de l'électrocinétique applicables à des réseaux comprenant des éléments linéaires ou non. Elles sont valables en courant continu et en courants variables dans le cadre de l'ARQP. II.II.1

Loi des nœuds Cette loi traduit la conservation de la charge électrique.

La somme algébrique des courants "arrivants" (ou "sortants") à un nœud est nulle à tout instant. Elle s'écrit pour un nœud N à un instant t quelconque : ε k ik ( t ) = 0

∑

II.II.2

Gustav Kirchhoff

i1

i2 i3

N

k

avec εk = +1

si le sens positif choisi pour ik arrive (part) au nœud N

avec εk = −1

si le sens positif choisi pour ik part (arrive) du nœud N

avec εk = 0

si la branche k n'est pas relié au nœud N

Loi des mailles

i5

i4

i 1- i 2 - i 3+ i4 - i5 = 0

Elle traduit l'existence d'une fonction potentiel (se reporter au cours d'électrostatique). La somme algébrique des tensions aux bornes des branches successives d'une maille parcourue dans un sens déterminé est nulle. Elle s'écrit pour une maille M à un instant t quelconque : ε k uk ( t ) = 0

u1

∑ k

si l'on circule sur la maille dans le sens défini positif de la tension uk au avec εk = +1 bornes de la branche k

u2 M

u4

u3

u 1+ u 2- u 3 + u4 = 0 1

Gustav Robert KIRCHHOFF (Könisberg, 1824 - Berlin, 1887) : Physicien allemand Réseaux électriques

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Cours d'électrocinétique

avec εk = −1 avec εk = 0

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dans le cas contraire si la branche k n'appartient pas à la maille M :

Remarque très importante : Supposons un réseau comprenant b branches et n nœuds. Combien peut-on écrire d'équations de nœuds indépendantes ? Au plus n' = n − 1 ; il y a donc b inconnues répondant à n' relations, donc m' = b − n' inconnues indépendantes nécessitant m' équations de mailles indépendantes. On admet que ces m' équations sont bien indépendantes si : - l'ensemble des mailles choisies ne laisse aucune branche de côté - toute maille doit comporter au moins une branche qui lui est propre (qui n'appartient qu'à elle).

II.II.3

Association de dipôles Il existe deux types d'association de dipôles : l'association série et l'association parallèle.

II.II.3.a

Association série

Il y a association série de dipôles lorsque ceux-ci sont traversés à tout instant par le même courant i(t) dans le cadre de l'ARQP.

i(t)

D1

D2

Dn

u 1(t)

u 2(t)

u n(t)

u(t) En adoptant la même convention d'orientation des tensions pour chaque dipôle, l'association série des dipôles est équivalente à un dipôle unique traversé par le courant i(t) et soumis à la tension u(t) égale à la somme des tensions aux bornes de chacun des dipôles, par application de la loi des mailles :

u(t ) =

∑u

k

( t ) et i k ( t ) = i ( t ), ∀k

k

II.II.3.b

Association parallèle

D1

Il y a association parallèle de dipôles lorsque ceux-ci sont soumis à tout instant à la même tension u(t) à leurs bornes. En adoptant la même convention d'orientation des courants pour chaque dipôle, l'association parallèle est équivalente à un dipôle unique soumis à la tension u(t) et traversé par le courant i(t) égal à la somme des courants traversant chacun des dipôles, par application de la loi des noeuds dans le cadre de l'ARQP :

i (t ) =

∑i

k

i(t)

i 2(t)

( t ) et uk ( t ) = u ( t ), ∀k

k

II.II.3.c

i1(t)

in(t)

Caractéristique d'une association (hors programme)

D2

Dn u(t)

En régime stationnaire indépendant du temps, la caractéristique statique du dipôle équivalent peut être obtenue à partir des caractéristiques statiques de chacun des dipôles composant l'association, en respectant les conventions d'orientation et les lois énoncées ci-dessus. On cherchera avec profit les caractéristiques de tous les types d'association de diodes et de résistors.

II.II.4

Point de fonctionnement

D'après ce qui précède, il est évident que l'on pourra toujours ramené n'importe quel réseau, aussi complexe soit-il, à l'association bornes à bornes de deux dipôles i (équivalents chacun à deux parties du réseau, deux nœuds de celui-ci ayant été privilégiés). D1 u Le courant i circulant dans l'association, ainsi que la tension u aux bornes des deux dipôles, pourront être déterminés graphiquement par intersection des caractéristiques statiques des deux dipôles (attention aux conventions générateur et récepteur), ou analytiquement si les équations de ces caractéristiques sont connues. Les autres grandeurs électriques du réseau pourront ensuite être déterminées de proche en proche en utilisant les lois d'association.

Réseaux électriques

D2

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II.II.5

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Simplification d'un réseau

Outre les lois d'association énoncées ci-dessus, il est quelquefois possible de simplifier considérablement un réseau en utilisant les symétries que celui-ci présente, les courants et les potentiels (réels) respectant ces symétries. On ne modifiera pas le réseau en reliant deux noeuds symétriques par un fil de résistance négligeable (ce qui revient à remplacer les deux noeuds par un seul) ou au contraire en supprimant une branche dans laquelle le courant ne peut être que nul par raison de symétrie.

Exemple : La résistance de chaque arête du maillage vaut r.

Axe de symétrie

On trouve alors globalement une résistance de 3r/2.

II.III

Réseaux linéaires

Un circuit électrique est linéaire s'il peur être modélisé par un réseau électrique constitué uniquement de dipôles linéaires et ne comportant pas de sources liées autres que linéaires. En pratique, en régime continu, un tel circuit est modélisable par une association de résistances et de sources idéales. La notion de dipôles linéaires sera étendu dans le chapitre III.

II.III.1

Représentation linéaire de dipôles réels

Un dipôle réel n'a pas nécessairement une caractéristique affine en régime permanent indépendant du temps, mais si l'on considère de petites variations au voisinage d'un point (U, I) donné, appelé point de repos, il est possible de linéariser le dipôle, c'est-à-dire de remplacer sa caractéristique par sa tangente au point de repos choisi. On a alors : i u i = − 0 u + i0 ou u = u0 − 0 i u0 i0

Réseaux électriques

i

Ai

B u

i0 I U u0

u

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II.III.2

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Représentations de Thévenin et de Norton 2

II.III.2.a Représentation de Thévenin

u0

u Si la source est linéarisée par u = u0 − 0 i , elle est équivalente à i0 u0 l'association série d'une résistance et d'une source idéale de tension i0 de f.e.m. u0. Ceci constitue le modèle Thévenin ou modèle générateur de tension.

u 0/i 0

i u

Léon Charles THEVENIN

II.III.2.b Représentation de Norton

i0

3

Si la source est linéarisée par i = −

i0 u + i0 , elle est équivalente à l'association parallèle d'une u0

i conductance 0 et d'une source idéale de courant i0. u0 Ceci constitue le modèle Norton ou modèle générateur de courant.

i

i 0/u0 u

II.III.2.c Equivalence Thévenin-Norton On peut toujours passer d'une source de Thévenin à une source de Norton et inversement. Il suffit pour cela de constater que la conductance de la source de Norton est l'inverse de la résistance de la source de Thévenin d'une part, et d'autre part, que la f.e.m. de la source de Thévenin est égale au c.e.m. de la source de Norton multipliée par sa résistance. L'emploi de la représentation de Thévenin sera préféré dans le cas d'association série alors que celle de Norton le sera dans le cas d'associations parallèles. En effet, dans le premier cas les f.e.m. et les résistances s'ajoutent et dans le second, ce sont les c.e.m. et les conductances.

La notion de sources de Thévenin ou de Norton est bien entendu à considérer dans tout le cadre de l'ARQP ! II.III.3

Notion de dualité

Edward Lawry NORTON au BELL laboratories en Octobre 1925 Dans un circuit électrique on considère très souvent que la tension émise par le générateur engendre le passage du courant dans le circuit. Il n'y a aucune raison de ne pas envisager que c'est au contraire le courant délivré par le générateur qui est à l'origine de la chute de tension dans les éléments du circuit. Si la forme de dépendance entre les grandeurs i et u est conservée, on dit qu'il y a dualité entre les expressions. Mathématiquement, il suffit d'échanger le rôle de la variable indépendante i et de la fonction u. Ainsi, nous avons noté que la loi d'Ohm, qui se traduit par une relation de proportionnalité entre le courant et la tension dans un dipôle ohmique, prend deux formes suivant que l'on exprime la tension en fonction du courant ou l'inverse. Si dans la première relation on échange le rôle de u et i, on obtient la seconde à condition d'échanger résistance et conductance : les deux relations de définition de la loi d'Ohm découlent donc l'une de l'autre par dualité.

Une quantité est dite duale d'une autre si dans un théorème, une équation ou une définition, l'échange de toutes les quantités par les grandeurs duales conserve la validité du théorème, de l'équation ou de la définition. Dans les circuits électriques il y a dualité entre les termes suivants : Tension Courant Résistance Conductance Série Parallèle Coupe-circuit Court-circuit Tension à vide Courant de court-circuit ... Il va donc de soi, d'après ce qui précède qu'une source de Norton est le dipôle dual d'une source de Thévenin. Cette liste n'est pas exhaustive et sera à compléter au fur et à mesure que nous aborderons de nouvelles notions.

2 Léon Charles THEVENIN, (Meaux 1857 – Paris 1926) : polytechnicien, directeur de l'atelier des timbres-poste puis de l’École Professionnelle Supérieure des Postes et Télégraphes (aujourd'hui École Nationale Supérieure des Télécommunications), physicien français qui mena des recherches en électricité qui le conduisirent à énoncer son théorème. 3 Edward Lawry NORTON (Rockland 1898 – Chatham 1983) : physicien américain

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II.III.4

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Lycée CARNOT - DIJON 4

Théorème de superposition (ou th. d'Helmholtz) (Hors programme)

Un circuit électrique ou électronique linéaire est régi par un système différentiel linéaire à coefficients constants puisque ce circuit peut être modélisé par un réseau électrique constitué uniquement de dipôles linéaires et que les lois de Kirchhoff se traduisent par des équations linéaires. Les seconds membres de ces équations ne font intervenir que des combinaisons linéaires et homogènes des forces électromotrices et des courants électromoteurs des sources idéales indépendantes de courant et de tension du réseau. Les sources liées linéaires n'interviennent dans ce système différentiel linéaire que par leurs coefficients multiplicateurs, soit au second membre comme coefficients multiplicateurs des forces électromotrices ou des courants électromoteurs des sources idéales indépendantes, soit au premier membre comme coefficients multiplicateurs dans les coefficients constants des équations du système différentiel linéaire.

Dans un circuit électrique ou électronique linéaire comportant plusieurs sources Helmholtz idéales indépendantes agissant simultanément, l'expression de la solution générale donnant l'intensité du courant traversant une branche quelconque (ou la tension à ses bornes) est égale à la somme algébrique des intensités des courants traversant cette branche (ou des tensions à ses bornes) produits par chacune des sources indépendantes agissant séparément, les autres sources indépendantes étant "éteintes" et la configuration du réseau restant inchangée. Autre énoncé : La "réponse" d'un réseau linéaire à une distribution de sources indépendantes peut être considéré comme la superposition des réponses à chacune des sources, les autres étant "éteintes".

Remarques : - il va de soi que les éventuelles sources liées linéaires ne seront jamais éteintes ! - lorsque toutes les conditions initiales sont données, la solution est unique.

II.III.5

Théorèmes de Thévenin et de Norton(Hors programme)

Considérons deux nœuds d'un réseau électrique. Vu de ces deux nœuds, le réseau apparaît comme étant constitué de deux dipôles D1 et D2, dont nous supposerons que l'un d'eux, D1, est linéaire et ne comporte ni inductance pure, ni capacité pure, ni source de courant ou de tension liée à une grandeur électrique de D2, ce dernier étant quelconque, linéaire ou non.

A D1

i(t) u(t)

D2

B

II.III.5.a Théorème de Thévenin

Le dipôle D1 ne comportant que des résistances pures et des sources idéales de courant et de tension (indépendantes ou liées à un courant ou une tension d'un des dipôles constitutifs de D1 par une relation de proportionnalité), la relation entre le courant i(t) traversant D1 et la tension u(t) à ses bornes peut s'écrire, avec la convention générateur pour D1 : u ( t ) = eTh ( t ) − RTh i ( t ) Un réseau dipolaire linéaire D1 vu de deux points A et B, est modélisable de l'extérieur par un générateur unique constitué par l'association en série d'une source idéale de tension de f.e.m. eTh et d'une résistance RTh : - la f.e.m. eTh est égale à la tension à vide au bornes du dipôle D1 (c'est-à-dire le reste du circuit étant débranché) - la résistance RTh est la résistance équivalente du dipôle D1 vue de A et B tous ses générateurs autonomes étant éteints.

A

A R Th

D1 B

e Th

B

4 Hermann Ludwig Ferdinand von HELMHOLTZ (Postdam 1821 – Berlin 1894) : scientifique allemand célèbre, entre autres choses, pour son énoncé du principe de conservation de l'énergie en 1847 (à 26 ans) et son Manuel d’optique physiologique.

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II.III.5.b Théorème de Norton Grâce à la notion de dualité, on déduit facilement du théorème de Thévenin, celui de Norton :

Un réseau dipolaire linéaire D1 vu de deux points A et B, est modélisable de l'extérieur par un générateur unique constitué par l'association en parallèle d'une source idéale de courant de c.e.m. ηTh et d'une résistance RTh : - la f.e.m. ηTh est égale au courant qui circulerait dans un court-circuit substitué au reste du circuit, c'est-à-dire branché entre A et B - la résistance RTh est la résistance équivalente du dipôle D1 vue de A et B tous ses générateurs autonomes étant éteints.

A

η

D1

A Th

R Th B

B II.III.6

5

Equivalence triangle-étoile - Théorème de Kennely (Hors programme)

A

rA

rB

B

rC

RAB

A

B

R BC

RAC

C

C

"Etoile"

"Triangle"

On cherche les conditions sur les résistances afin que les deux montages ci-dessus soient équivalents. Les relations de passage de l'étoile vers le triangle sont : rA =

R AB R AC et les autres par permutations circulaires. R AB + RBC + R AC

Les relations du triangle vers l'étoile sont obtenues par dualité.

II.III.7

6

Théorème de Millman

Ce théorème permet la détermination directe de potentiel de noeud d'un réseau de résistances par rapport à un potentiel de référence, à partir de la loi des noeuds.

∑i

k

= 0 = ∑ (Vk − VA ) Gk

k

VA

i1

ik G1

k

∑V G = ∑G k

d'où :

Vk

V1

G2

k

k

k

i2 V2

k

5 6

Gk

A

Arthur Edwin KENNELLY, (Colaba près de Bombay, Inde, 1861 – Boston, 1939), ingénieur en électricité américain Jacob MILLMAN (1911 – 1991) : physicien américain.

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II.III.8

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Diviseurs de courant ou de tension

II.III.8.a Diviseur de tension En affectant la valeur 0 au potentiel de la masse, l'application du théorème de E 0 + R2 E R1 R2 Millman au point A conduit à VA = soit u2 = VA − 0 = . 1 1 R1 + R2 + R1 R2

R1 E

i=0 A R2

u2

II.III.8.b Diviseur de courant Le diviseur de courant est le dual du diviseur de tension. Le soin est laissé au lecteur d'en déduire le schéma ainsi que la relation qui le caractérise.

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